Mødet med matematik 1

Introduktion

I elevbøgerne fungerer kapitel 1 generelt som en introduktion til matematikfaget. Fra og med denne udgave tager kapitel 1 udgangspunkt i en af de seks matematiske kompetencer: Modellering, ræsonnement og tankegang, repræsentation og symbolbehandling, problembehandling, kommunikation samt hjælpemiddel.

Kapitel 1 har derfor altid specielt fokus på én af de seks kompetencer for at tydeliggøre, hvad denne kompetence indeholder.

Dette kapitel tager udgangspunkt i modelleringskompetencen, hvor eleverne afkoder problemstillinger i tekster, illustrationer og lyd og bearbejder dem matematisk. Der lægges op til at arbejde med forskellige faser inden for modelleringskompetencen.

Eleverne kommer til at arbejde undersøgende med at finde og fremvise forskellige metoder og løsninger samt at vurdere og forholde sig kritisk til disse.

Modellering

Matematisk modellering er den proces, der foregår, når vi arbejder med at udvælge, begrænse og oversætte hverdagsproblemer og situationer til matematik. Ved analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver problemstillinger i vores hverdag, bør man forholde sig kritisk til de løsninger, der fremkommer, og dele dem med hinanden, både for at få sat ord på matematikken og for at lære af hinandens erfaringer. Modelleringskompetencen indeholder dele af de andre kompetencer. Modelleringskompetencen er valgt som den første kompetence for på den måde at give eleverne erfaring med at arbejde undersøgende, oversætte hverdagsproblemer til matematik samt forholde sig kritisk overfor både egne og andres løsninger. På den måde kan eleverne i fællesskab finde den bedste løsning på et givent problem. I modelleringsprocessen indgår problembehandling af en situation fra hverdagen. Modelleringskompetence relaterer sig også til kommunikationskompetence, idet man skal kunne kommunikere med andre om, hvad problemet er, hvilken fremgangsmåde man vil gribe til for at løse opgaven og endelig at beskrive med hverdagsord, hvad man er kommet frem til. Modelleringsprocessen indeholder desuden repræsentation og symbolbehandling, når eleverne skal ”oversætte” problemet til matematik. Alt dette er vigtige delelementer i modelleringsfasen.

I dette kapitel bliver eleverne dels stillet overfor åbne opgaver med flere løsninger og dels præsenteret for lukkede spørgsmål, hvor der kun findes én løsning. I de opgaver, hvor der findes flere løsninger, vil nogle elever kun kunne finde frem til én løsning, mens andre elever vil kunne se flere løsninger. Der er lagt vægt på, at de forskellige fremgangsmåder og løsninger præsenteres af eleverne, så de i fællesskab kan se, at der findes flere metoder til at løse det samme problem, og at det vigtige ikke er selve resultatet, men vejen dertil. Samtidig kan der også fokuseres på, at nogle metoder er mere effektive og smartere end andre, samt at nogle løsninger er mere anvendelige end andre. Netop denne kritiske overvejelse er en central del af modelleringskompetencen.

Ved opgaver, hvor der kun findes én løsning, vil eleverne få mulighed for at opleve flere forskellige måder at gribe modelleringsprocessen an på, når problemet tages op i en klassesamtale. Både ved lukkede og åbne opgaver skal eleverne forholde sig til løsningen og oversætte den til hverdagssprog. Begge dele er relevante i arbejdet med modelleringskompetence.

I indskolingen forenkles modelleringsprocessen til at bestå af tre faser:

1 Valg og afgrænsning af problemstillingen, der som oftest vil være et problem fra elevernes hverdag.

2 Matematisering af problemstillingen kan vises som en metode og et matematisk svar på problemstillingen i form af et regneudtryk eller et facit.

3 En løsning, hvor eleverne, efter fortolkning af det matematiske svar, ved brug af hverdagssprog fortæller, hvad de er kommet frem til, og hvorfor dette er deres løsning på problemstillingen.

Dette er en bevidst enkel måde at tilgå modelleringsprocessen på. Eleverne i indskolingen skal opnå erfaring med de centrale dele af modelleringsfasen, før de på mellemtrinnet og i udskolingen skal forholde sig til hele processen. Eleverne skal på længere sigt kunne arbejde med alle faser i modelleringsprocessen. Opdeling af modelleringen i tre faser viser, hvordan en stilladsering kan se ud i arbejdet med matematisk modellering i indskolingen. Modelleringsprocessen er meget fremtrædende gennem hele skoleforløbet, og det er derfor vigtigt, at der især fokuseres på, hvordan processen forløber. Eleverne vil skulle arbejde ud fra denne model, når de fremover møder modelleringsopgaver i Reflex i indskolingen.

MODELLERINGSPROCES (Ordeneielevbogen erangivetiparentes)

VIRKELIGHEDEN MATEMATIKKEN

Problemstillingog afgrænsning (Problem)

Løsning (Løsning)

Svarpåproblemet

Oversættelse

Matematisering (Metode)

Fortolkning

Regneudtryk (Regnestykkeog facit)

Anvendte begreber Problem

Her stilles eleverne overfor et problem, der skal afgrænses og behandles. Enten får de udpeget et problem, eller også skal de selv formulere og afgrænse et problem, fx ved at tegne eller optage lyd. Eleverne skal i afgrænsningen af problemet afgøre: “Hvad vil eller skal jeg finde en løsning på?”

Metode

Eleverne skal vise, hvordan de vil gribe problemet an. Matematiseringen kommer i spil, når et problem fra virkeligheden skal oversættes til matematik. Oversættelsen kan ske ved, at eleverne tegner, skriver og opstiller simple regneudtryk og finder facit.

Løsning

Modelleringsprocessen afsluttes med en løsning, der enten kan være fortolkningen af facit på det regneudtryk, som eleverne har opstillet, eller en tegning, der passer til det problem, som de har undersøgt. Det er vigtigt, at eleverne kan forklare, hvorfor og hvordan deres løsning besvarer problemstillingen.

Modelleringsprocessen

Udgangspunktet i modelleringsprocessen er at undersøge forskellige hverdagssituationer. Der opstilles en problemstilling med udgangspunkt i hverdagen, som kan være en tegning eller en matematikhistorie. Udpegning og afgrænsning af problemstillingen er med til at gøre problemet overskueligt. Det kan fx være en tegning af en høne og tre kyllinger, hvor eleverne vælger at undersøge antallet af kyllingernes ben. De fravælger dermed hønens ben. Herefter skal de oversætte fra virkelighed til matematik og dermed give et bud på en metode, som kan være et regnestykke og et facit. Metoden er et centralt element i modelleringsprocessen, fordi det er her, eleverne finder frem til, hvordan de vil gribe problemstillingen an. Metoden kan enten tegnes, formuleres sprogligt eller vises med et regneudtryk. Eleverne skal kunne forklare deres fremgangsmåde, så de kan reflektere over det i fællesskab. På den måde kan klassens elever lære af hinanden. Det kan fx være en tegning af benene under hver kylling.

Regneudtrykket 2 + 2 + 2 = 6 skrives under de enkelte tegninger, svarende til antallet af ben. Eleverne skal tage stilling til, hvilken matematik der skal bruges til at beskrive situationen og oversætte den til et regneudtryk. Regneudtrykket er en matematisk fortolkning af den hverdagssituation, som var udgangspunktet for undersøgelsen.

Løsningen er afslutningen på modelleringsprocessen. Eleverne skal fortolke og oversætte det matematiske resultat til hverdagssprog. Hvad er de kommet frem til i forhold til virkeligheden?

I eksemplet er facit på regneudtrykket 6. Derefter fortolkes og oversættes facit til en løsning i virkeligheden: ”Kyllingerne har 6 ben i alt.” Eleverne har fundet eller opstillet et problem fra hverdagen. De har undersøgt forskellige muligheder for en fremgangsmåde, der peger hen imod en løsning. De har oversat fra matematiksprog til hverdagssprog.

Eleverne bør også undersøge, om der findes andre metoder og løsninger til samme opgave og på den måde vurdere, om deres fremgangsmåde og løsning er god, eller om der findes andre og bedre metoder.

Introtegning

Klasseaktivitet

Introtegning

Varighed: Ca. 15 min.

Vis introtegningen på en skærm i klassen og læs spørgsmålet i taleboblen højt: “Hvad kan I spørge om med matematik?” Lad efterfølgende eleverne komme med eksempler på, hvor de kan anvende matematikken til at undersøge, løse og besvare en problemstilling, der indgår i tegningen. Eleverne kan fx nævne, hvor mange timer katteudstillingen er åben, antallet af ben, prisen på en kattemadspose, hvor mange fliser der skal til for at anlægge en hel sti osv.

Eleverne kan enten vælge de oplagte problemstillinger, hvor tallene fremstår direkte, som fx entrepriser, tidspunkter, priser m.m., eller de kan selv foretage undersøgelser, som fx antallet af køernes ben, hvor mange flere kyllinger end høns der er osv. Det vigtige i samtalen er, at eleverne kan sætte ord på, hvad der kan være et problem, som kan undersøges, og at de får en fornemmelse af, at matematik kan bruges til at beskrive mange ting fra hverdagen, og at matematik er alle vegne. Eleverne vil efterfølgende i dette kapitel arbejde med opgaver, der har fokus på forskellige faser i modelleringsprocessen.

Supplerende spørgsmål til introtegningen:

• Hvilke spørgsmål kan I stille til kæledyrsudstillingen?

• Hvilke spørgsmål kan I stille til isskiltet?

• Hvilke spørgsmål kan I stille til det skilt, som læreren står ved?

• Hvilke forskellige spørgsmål kan I stille om dyrene?

• Kan I finde på et spørgsmål, hvor der indgår figurer eller mønstre?

• Hvordan ville spørgsmålet lyde, hvis det skulle handle om køretøjerne?

Vores undersøgelse

Paraktivitet

Nøglespørgsmål

Arbejdsark 1

Varighed: Ca. 15 min.

Vis nøglespørgsmålet på en skærm i klassen og læs det højt: “Hvordan finder I antallet af ben i klassen?” Lad efterfølgende eleverne finde en fremgangsmåde til, hvordan de vil besvare spørgsmålet. Til sidst skal de opstille et regneudtryk og et facit. Eleverne kan både skrive og tegne fremgangsmåden. Hvis feltet er for lille, kan eleverne i stedet bruge et stykke papir. Nogle elever vil have brug for at tegne samtlige ben i klassen, mens andre vil kunne inddele benene i forskellige grupperinger, så de undgår at tegne benene enkeltvis. Opgaven er åben, og eleverne skal selv finde ud af, hvordan de vil gribe den an. Eleverne vælger selv, hvad der kan defineres som ben. For mange elever vil det måske kun handle om børnenes ben, og de tegner måske en pige og en dreng og viser ud fra disse, hvor mange ben der er i hver gruppe. Nogle elever vil også tælle den voksne med. Måske skal en elev, der er syg, også tælles med? Nogle elever kan måske vælge at forstå spørgsmålet bredere, fordi borde og stole jo også har ben, som de mener skal indgå. Der er ikke tale om én bestemt fremgangsmåde, men mange forskellige, som hver især afhænger af, hvilke ben eleverne vælger at tælle med, og hvordan de vælger at vise fremgangsmåden. De hurtige elever kan med fordel få til opgave at finde flere fremgangsmåder. Lad dem forholde sig til, om de nye metoder er bedre end de tidligere, og om de er mere præcise eller måske en smartere metode. En hurtig elev kunne også udfordres til at opstille en model over ALLE ben i klassen (altså ALT, hvad man overhovedet kan henføre til kategorien ben).

Til sidst skrives et regneudtryk og et facit, som angiver antallet af ben med udgangspunkt i deres valg af fremgangsmåde. Hvis eleverne har fundet frem til flere fremgangsmåder, skal de vælge den, som de synes er bedst. Nogle elever vil kun skrive et regnestykke og et facit, men forsøg at få dem til at holde fokus på fremgangsmåden og lad derfor gerne regnestykket og facit være det sidste, de kommer frem til.

Noter undervejs nogle af elevernes udtalelser og eksempler på arbejdsark 1, så de kan anvendes i den efterfølgende klassesamtale under Min rygsæk

Vejledende spørgsmål til undersøgelsen:

• Hvor kan I se ben i klassen?

• Hvilke ben skal med i undersøgelsen?

• Hvordan kan I tegne et svar?

• Kan jeres metode vises på flere måder?

• Hvordan kan I nemmest finde antallet af ben?

• Hvad er den smarteste metode?

• Hvordan kan I skrive løsningen som et regnestykke?

• Hvor mange ben tror I, der er?

• Findes der flere løsninger?

Gi’ og ta’

Klasseaktivitet

Varighed: Ca. 15 min.

I aktiviteten Gi’ og ta’ skal eleverne udveksle eksempler på, hvordan de har valgt at løse undersøgelsen. Eleverne skal gå rundt imellem hinanden, finde sammen i par og ud fra deres noter og tegninger vise og fortælle hinanden, hvordan de har valgt at gribe fremgangsmåden an, herunder hvilket regnestykke og facit de er kommet frem til. Når eleverne sætter ord på disse ting, er det netop løsningen, som de arbejder med, idet de sætter hverdagsord på matematikken. Når eleverne har udvekslet eksempler, finder de sammen i nye par og gentager øvelsen.

I luppen skal eleverne efterfølgende hver især vise et eksempel, som det var særligt spændende at få præsenteret af en anden. Det kan fx være en anden måde at vise fremgangsmåden på. Det kan være en undersøgelse, hvor en elev har medtaget alle elever, inkl. de syge, i beregningen af, hvor mange ben der er i klassen, eller hvor en anden elev har tænkt, at borde og stole også har ben, og at de derfor skal tælles med.

Noter fortsat udvalgte eleveksempler på arbejdsarket.

Min rygsæk

Klasseaktivitet

Faglige film

Varighed: Ca. 15 min.

Som afslutning på undersøgelsen samles der op på, hvilke valg eleverne har taget i forbindelse med fremgangsmåden, hvordan de har vist fremgangsmåden, og hvilke regnestykker og facit, som man kan stille op. Spørg gerne ind til, om nogle fremgangsmåder eller løsninger er bedre eller smartere end andre. Vis først filmen om det faglige begreb og tal efterfølgende med eleverne om deres forståelse af begrebet. Tal derefter i fællesskab om, hvad der kan tegnes og noteres om det faglige begreb i rygsækken Tegn og noter på tavlen med udgangspunkt i elevernes bidrag. Brug elevernes eksempler fra undersøgelsen af, hvordan de kan vise deres fremgangsmåde og eksempler på de valg, de har truffet. Brug arbejdsarket til at referere til elevernes faglige pointer fra undersøgelsen og fra Gi’ og ta’-øvelsen. Indholdet i rygsækken skal vise de vigtigste pointer, som eleverne har lært i forbindelse med at undersøge. Det kan enten være eksempler på flere fremgangsmåder, eller det kan være de forskellige faser i undersøgelsen: Problem og afgrænsning, metode med regnestykke og facit samt løsning. Som afslutning tegner eleverne de pointer, som de hver især vil tage med sig, i rygsækken

Mål

Meningsramme 1

Vi stiller spørgsmål med matematik

Jeg kan stille spørgsmål til hverdagssituationer og beskrive dem med matematik.

Modul

Vi problembehandler.

I opgaverne undersøger eleverne forskellige problemstillinger. De arbejder både med lukkede opgaver med én løsning og med mere åbne opgaver, hvor der fokuseres på at finde flere løsninger. Vis meningsrammen i klassen og tal med eleverne om indholdet.

1 Tegn og fortæl matematikhistorier

Paraktivitet

Lydoptager

Materialer: Evt. farveblyanter

Eleverne skal i denne opgave tegne to forskellige tegninger, der visualiserer problemstillingen, som regnestykket indgår i. Fx tre dyr, hvoraf to har fire ben, og den sidste har to ben, eller køretøjer med henholdsvis 4 hjul og 2 hjul.

Formålet med denne opgave er, at eleverne afprøver metoden med at vise en problemstilling gennem tegninger, hvori regnestykket fremgår. Eleverne omsætter matematik til hverdagseksempler gennem tegningerne og går baglæns i modelleringsprocessen.

Efterfølgende indtaler eleverne to historier, der passer til tegningerne, på web. Herefter lytter de til hinandens historier og fortæller hinanden, hvilken tegning de har valgt, og hvorfor de har valgt at tegne, som de har.

2 Tegn dyr, så antallet passer

Paraktivitet

Web

Materialer: Evt. farveblyanter

Opgaven er vendt rundt, da fremgangsmåden er vist i form af, hvor mange ben og hoveder der skal være. Først skal eleverne på web undersøge, hvilke dyr de kan have i folden, så antallet af ben og hoveder stemmer overens med den opgave, der stilles.

Eleverne skal derefter selv tegne problemstillingen i undersøgelsen. I bogen tegner de dyr, hvis antal ben og hoveder stemmer overens med det angivne antal. Eleverne bestemmer selv, om de vil løse opgaven ved at tegne fire hoveder og derefter sætte ben på, indtil det passer, eller om de vil tegne hoveder med tilhørende ben et ad gangen. Bemærk, at dyrene kan have to ben, fire ben eller måske flere alt efter, hvilket dyr eleverne vælger at tegne. Efterfølgende skal eleverne parvis præsentere deres fremgangsmåde, og hvordan de er nået frem til netop den.

Formålet med denne opgave er, at eleverne skal undersøge, hvordan antallet af ben og hoveder hører sammen ved at tegne og erfare, at opgaver kan vendes rundt, så man, i stedet for at gå fra virkelighed til matematik i modelleringsprocessen, også kan gå fra matematik til virkelighed. Det sker i denne opgave, hvor matematiseringen er givet, men problemstillingen mangler.

3 Stil spørgsmål om din familie

Materialer: Evt. farveblyanter

Eleverne skal i denne opgave tage udgangspunkt i deres egen familie. De skal opfinde et problem - noget de gerne vil optælle i deres familie. Dette skal de tegne i det første felt. Det er vigtigt, at det tydeligt fremgår, hvad der er fokus på, som fx antallet af ben i familien, og så skal alle ben kunne ses på tegningen. I det store felt skal eleverne tegne deres metode til, hvordan de vil komme frem til en løsning på problemet, altså hvordan de kommer frem til antallet af det, de vil finde.

Afslut opgaven med en klassesamtale, hvor elevernes forskellige metoder fremhæves. I kan med fordel tegne eller skrive metoderne på en tavle og tale om, hvorvidt nogle er bedre, smartere eller hurtigere at bruge end andre.

Formålet med denne opgave er, at eleverne skal vise en mulig metode, lytte til andres metoder og igennem klassesamtalen være kritisk over for egne og andres fremgangsmåder.

4 Leg Find sammen

Klasseaktivitet

Arbejdsark 2-4

Eleverne får hver især en brik, og herefter skal de finde sammen tre og tre i et ”stik”. På brikkerne er der vist tre forskellige dele af modelleringsprocessen: En tegning af problemet, en metode og en løsning. Vær opmærksom på, at stikkene kan sættes sammen på forskellige måder. Legen kan gentages ved at blande brikkerne og tildele hver elev en ny brik. Et eksempel på et stik kan være disse tre brikker:

1En tegning af problemet, der viser 1 ko og 3 høns.

2Metoden, som er illustreret med ikoner for ben og hoveder og teksterne “10 ben” og “4 hoveder”.

3En taleboble, hvor løsningen står skrevet i hverdagssprog.

Formålet med denne opgave er, at eleverne oplever, at de tre faser, problem, metode og løsning hører sammen, og at de på hver sin måde er visninger af trin i modelleringsprocessen.

5 Find løsningen på problemet

Gruppeaktivitet

Materialer: Farveblyanter

Eleverne skal parvis undersøge, hvor mange bøger der er i klassen. Dette er deres problem. Undersøgelsen minder om den, de arbejdede med i omdrejningspunktet, men i denne opgave er der sat begreber på modelleringprocessen. Eleverne går fra virkeligheden, problemet, som er givet på forhånd til at oversætte dette til matematik gennem valg af metode for derefter at finde et regnestykke og et facit. Til sidst fortolker eleverne matematikken til en løsning, hvor de i hverdagssprog fortæller om svaret på problemet.

Eleverne skal selv finde ud af, hvilke bøger der skal tælles med i deres undersøgelse. Er det kun taskebøgerne? Tæller frilæsningsbøger på reolen også med? Måske har læreren også en højtlæsningsbog. Skal den tælles med? De skal herefter tegne deres metode i det store felt til højre og skrive regnestykket med tilhørende facit. Herefter skriver eller tegner eleverne løsningen på problemet i taleboblen til venstre.

Til sidst finder eleverne sammen med et andet par og fortæller om deres løsning.

6 Leg Bordet rundt

Gruppeaktivitet

Materialer: Papir

Eleverne inddeles i grupper på 3 eller 4. Alle skal have et stykke papir. Legen er opdelt i 4 runder.

1 Tegn et problem.

2 Vis en metode med et regnestykke og et facit.

3 Tegn og fortæl løsningen.

4 Passer løsningen på det tegnede problem.

Eleverne skal først hver for sig vise et problem i form af en tegning, der viser noget, som man kan undersøge, fx antallet af ben på nogle dyr, bøger på biblioteket, eller det antal is, som man kan købe for 50 kr. Herefter rykker hver elev en plads til venstre, men lader papiret med tegningen ligge. På den nye plads skal eleverne vise en metode ved at skrive et regneudtryk, som kan bruges til at løse problemet. Eleverne rykker igen en plads, hvor de fortæller løsningen ved at sætte hverdagsord på matematikken. Herefter rykker eleverne tilbage til den tegning, de selv har tegnet, og hvor de kan studere de tre modelleringsprocesser og fortælle hinanden, om de selv havde den samme metode, regneudtryk og løsning i tankerne, da de tegnede problemet. Alle tre elever har hermed bidraget til samme modelleringsproces. Det vigtige er, at eleverne ikke bare tegner noget tilfældigt, men at de har en forestilling om, at der er noget, som kan undersøges på tegningen.

Formålet med opgaven er, at eleverne deler og bygger videre på hinandens ideer, samtidig med at de arbejder med alle faserne i kapitlets modelleringsproces.

Mål

Meningsramme 2

Vi forklarer med matematik

Jeg kan forklare, hvordan den matematiske løsning hænger sammen med problemet fra hverdagen.

Modul Vi kommunikerer.

I opgaverne sætter eleverne ord på problem, fremgangsmåde og løsning. Vis meningsrammen i klassen og tal med eleverne om indholdet.

7 Find flere metoder til løsningen

Paraktivitet

I denne opgave skal eleverne undersøge, hvordan fordelingen af kalve kan se ud. Det er en åben opgave, der kan løses på forskellige måder, og som derfor enten kræver forskellige metoder, eller at metoden gentages.

Eleverne kan opstille forskellige spørgsmål, når de finder flere metoder til løsningen. Kan en ko have nul kalve? Kan en ko have fire kalve? Hvor mange kalve får en ko egentlig på en gang? Måske er kalvene ikke født på samme tidspunkt? Eleverne kan vælge at bruge centicuber til at konkretisere kalvene. Efterfølgende præsenterer de parvis deres metoder, hvor de fortæller, hvordan de er kommet frem de forskellige fordelinger. Formålet med opgaven er, at eleverne præsenteres for et problem, der har flere løsninger, og at eleverne kan sætte ord på deres tanker omkring metoden.

8 Farv rammerne, så de passer sammen

Paraktivitet

Webopgave

Materialer: Farveblyanter

Eleverne skal hver især på web afgøre, om de tre faser passer sammen eller ej. Derefter skal eleverne hver især farve rammerne, så problem, metode med et regnestykke og facit samt løsning kobles sammen.

Vær opmærksom på, at metoden kun vises med et regneudtryk i denne opgave og ikke med en tegning, der understøtter metoden.

Eleverne arbejder efterfølgende sammen parvis, hvor de hver især vælger et sæt og forklarer hinanden, hvorfor de tre faser hører sammen. Formålet med denne opgave er, at eleverne omsætter et matematisk udtryk til en hverdagssituation og en fremgangsmåde, og at de derefter sætter ord på løsningen.