Matematiske kompetencer

Matematikfaglig kompetence

Kort formuleret bruger vi ordet kompetence i betydningen ekspertise. At have kompetence betyder både at have viden og færdigheder og at være i stand til at handle på en hensigtsmæssig måde. Desuden skal man have fornemmelse for og kunne vurdere, hvad udfordringerne i en given situation består i med henblik på at kunne træffe den rigtige beslutning. Kompetence indbefatter almindeligvis, at man bevidst kan inddrage sine færdigheder som værktøj i forskellige situationer. Kompetencebegrebet rummer altså mange aspekter, ligesom når det anvendes i sammenhænge som fx det kompetente barn og den kompetente lærer.

Progression i kompetenceudvikling

I komprimeret form kan man sige, at kompetence er en persons indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation. Denne forståelse betyder, at kompetence kan og bør udvikle sig på flere forskellige måder. I Matematrix har vi valgt at arbejde med de tre dimensioner, som er beskrevet i KOM-rapporten.

Kompetencedimension

Dækningsgrad

Aktionsradius

Teknisk niveau Kendetegn

Dækningsgraden afspejler de aspekter, som eleverne kan bringe i spil, når en kompetence udfordres. Kompetence udvikles ikke i et spring, men i en glidende proces, hvor man lægger mere og mere til sin ekspertise. Jo flere aspekter af en kompetence, man er blevet fortrolig med, jo dybere er ens kompetencebesiddelse. Aktionsradius indikerer antallet af forskellige typer situationer, som eleverne er kompetente i forhold til. Kompetence udvikles, når man bliver udfordret i konkrete situationer. Jo flere forskellige typer situationer man har lært at håndtere, jo bredere er ens kompetencebesiddelse.

Teknisk niveau vedrører de matematiske begreber og metoder, som eleverne kan trække op af værktøjskassen, når kompetencen udfordres. Kompetence udvikles blandt andet ved, at man forsøger at bringe nye begreber og metoder i spil, når man handler i en situation. Jo mere avancerede begreber og metoder man kan inddrage, jo højere er det tekniske niveau. Eksempel

Dækningsgraden af hjælpemiddelkompetencen er øget, hvis man ud over at kunne håndtere lommeregner og regneark enkeltvis også er i stand til kritisk at vurdere disse hjælpemidlers styrker og svagheder.

Aktionsradius af modelleringskompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge helt simple regnestykker også kan gøre det i mere komplekse sammenhænge. Det kan fx være i forbindelse med at anvende matematik i andre fag. Det tekniske niveau af symbolbehandlings kompetencen er øget, hvis man ud over at kunne bygge simple regneudtr yk med naturlige tal også bliver i stand til at gøre det med negative tal og/eller brøker.

Nogle matematiklærere tænker, at der skal nye begreber og/eller metoder i spil, for at man kan tale om progression i elevernes niveau. En af styrkerne ved at arbejde med kompetencemål i undervisningen er at legitimere, at det også giver rigtig god mening at arbejde med progression i dybden og i bredden. Progressionen behøver altså ikke at være bundet op på et nyt matematisk indhold.

Matematiske kompetencemål

I Matematrix lægger vi naturligvis op til, at eleverne udvikler alle de matematiske kompetencer, som udgør en central del af Fælles Mål. Lige fra starten har kompetencebegrebet haft en fremtrædende placering i systemet og med en særlig vægt på matematisk modelleringskompetence, som vi anser som den mest centrale kompetence i en almendannende matematikundervisning.

Betoningen af modelleringskompetencen viser sig på to måder. For det første er der i alle bøgerne rigtig mange opgaver og undersøgelsesoplæg, der sigter på at udvikle denne kompetence. For det andet deler vi modelleringskompetencen op i to kompetencer, som begge bliver beskrevet i denne vejledning. Det drejer sig om produktiv matematisk modelleringskompetence – evnen til selv at kunne anvende matematik ved at bygge og bruge matema tiske modeller – og matematisk anvendelseskritisk kompetence, der handler om at kunne forholde sig kritisk til andres anvendelse af matematik.

Problembehandlingskompetencen kan også konsekvent udfordres i alle mellemtrinskapitlerne, fordi opgaverne har stigende progression, så der findes passende udfordringer for alle eleverne. Derudover er der i alle bøgerne ofte fokus på symbolbehandlings- og ræsonnementskompetence, jf. kompetencematricen på side 14. Dette skal ses i sammenhæng med, at de største udfordringer i mellemtrinnets matematikundervisning er forståelsesmæssigt at komme ”bag om” symbolske repræsentationer af regnestykker, ligninger, brøker, decimaltal, procentberegninger m.m.

Matematiske kompetencer

Ekspertise i at kunne…

Problembehandling

• formulere og løse problemer selv.

Det gælder både faglige og anvendelsesorienterede problemer.

Modellering

• anvende den matematiske værktøjskasse kritisk og med omtanke. • opstille matematiske udtryk, som bearbejdes og fortolkes.

Anvendelseskritisk

• være kritisk i forhold til andres brug af matematik. • vurdere egenskaber ved simple matematiske modeller og resul tater stammende herfra.

Ræsonnement

• følge, forholde sig til og gennemføre matematiske ræsonnementer.

T ankegang

• vurdere matematikkens ”spilleregler” og strukturelle opbygning. • bruge sin viden om, hvad der er karakteristisk for matematik som fag.

Generelle spørgemåder

Generelle formuleringer giver ikke mening, da spørgemåden afhænger af modtagerens oplevelse af spørgs

målet. − Hvordan kan man bruge matema tik til at undersøge...? − Giver det mening at beskrive ... ved hjælp af...? − Hvad er det fornuftigt at se bort

fra, når man skal undersøge...? − Er matematik brugt fornuftigt her? − Er ... en god model af...? − Kan ... bruges som model af...? − Er der grund til at ændre på modellen som følge af...? − Er det rimeligt at konkludere ... på baggrund af...?

− Hvor stammer resultatet ... fra? − Forklar... − Hvordan er du nået frem til...?

Begrund svaret. − Er det rigtigt, at...? − Giver det mening at påstå, at...? − Hvad er udgangspunktet (præmis

serne), når du påstår, at...? − Findes der situationer/regler for...? − Kan matematik bruges til at...? − Kan begrebet ... bruges til at…? − Hvordan kan man vide, at...? − Hvad er i matematik det modsatte af at...? − Er det en del af matematik at...?

Konkrete eksempler fra Matematrix 6

Hvad skal man gange 6 med for at få 3 2 ? (Brøker, side 51, nr. 54). Johans far er 7 år ældre end hans mor. Tilsammen er de 83 år. Opstil en ligning, der passer til oplysningerne. (Ligninger, side 76, nr. 24). Hvad er gennemsnittet af fem på hinanden følgende hele tal? (Statistik og sandsynlighed, side 103, nr. 37). Kvadratet uden om en cirkel kaldes ”cirklens omskrevne kvadrat”. Er forholdet mellem cirklens og kvadratets areal altid det samme? (Geometriske formler, side 113, nr. 28).

• I skal designe en dækkeser viet og en papirserviet. (Flytninger , side 37, nr. 31). • Hvor langt er der mellem dine ører? (Geometriske formler, side 115, nr. 42). • Hvor meget affald kommer der i løbet af et år fra jeres familie? (Virkelighed og matematik, side 141, nr . 46). • Undersøg forskellige mål på jeres kroppe, eller hvor meget energi der er i det, I spiser og drikker . (Undersøgelse, side 144-145). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).

• Otte elever fra 6. klasse har regnet med bogstaver .

Hvem har regnet rigtigt? Hvem har regnet forkert?

Hvor gik det galt?

(Algebra, side 19, nr . 17). • Diskutér svarene på opgaverne med en eller flere fra klassen. Kan I forstå hinandens beregninger? Er I enige om svarene? (Geometriske formler , side 115, nr. 43). • Undersøg forskellige mål på jeres kroppe, eller hvor meget energi der er i det, I spiser og drikker. (Undersøgelse, side 144-145). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).

• Hvor mange symmetriakser har et rektangel? (Flytninger , side 38, nr. 35). • Hvilken af de udfoldede figurer kan danne den viste terning? (T egning, side 63, nr. 30). • Undersøg, hvilke figurer der kan danne en tesselation. (Undersøgelse, side 148-149). • Hvordan laver man en sudokuopgave? (Undersøgelse, side 154-155).

• Hvilke fotos indeholder mønstre? (Flytninger , side 36, nr. 30). • Hvad er det største tal, man kan få som løsning til en ligning? (Ligninger , side 77, nr. 32). • Skriv nogle spørgsmål, som du mener, det vil være smart at besvare med procent. (Procent, side 89, nr . 48).

Matematiske kompetencer

Ekspertise i at kunne…

Repræsentation

• arbejde med forskellige repræsentationer i forbindelse med problemløsning: hands on, ikonisk og symbolsk. • skifte repræsentationsform og vælge den mest hensigtsmæssige repræsentation i en given situation.

Symbolbehandling

• afkode og arbejde med symbolog formelsprog.

Kommunikation

• udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik. • forstå andres matematikholdige udtryk i såvel skriftlig som mundtlig form.

Hjælpemiddel

• betjene sig af hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde i forbindelse med matematisk virksomhed.

Generelle spørgemåder

− Hvad er en god måde at vise det på? − I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... til at vise noget med? − Hvordan kan man vise det ved hjælp af…? − Hvilke andre måder kan man vise det på? − Hvorfor vælger du at bruge ... til at vise…? − Er det ikke mindre smart at bruge ... til at vise...? − Hvad betyder det, når der står ...? − Forklar hvad der udtrykkes med formlen...? − Oversæt ... til almindeligt sprog. − Skriv ... ved hjælp af matematiske symboler. − Byg en formel, der viser ... − Hvordan kan man skrive ... kortere? − Omform formlen..., så den er nemmere at bruge til at ... − Forklar for hinanden, hvordan I har ... − Forbered en god måde at vise jeres arbejde på for de andre. − Skriv en tekst, der er henvendt til ... og forklarer om ... − Forstår du, hvad hun mener? − Prøv at sige det „samme“ på en anden måde. − Er det rigtigt forstået, at du mener, at...? − Hvad er et godt hjælpemiddel i den her situation? − I hvilke typer situationer er det smart at bruge ... som hjælpemiddel til at...? − Hvad kan man ved hjælp af...? − Hvordan bruger man...? − Hvilke andre hjælpemidler kan man bruge? − Hvor for vælger du at bruge ... til at beregne...? − Er det ikke usmart at bruge ... til at tegne...?

Konkrete eksempler fra Matematrix 6

• Hvilke af disse spørgsmål vil det være smart at besvare med procent? (Procent, side 89, nr. 47). • Hvilket diagram viser fordelingen bedst? Hvorfor? (Procent, side 91, nr. 64). • Find selv på sammenligninger mellem de to hoppelande. (Statistik og sandsynlighed, side 105, nr. 49). • Vis både sammenhængene “det dobbelte af” og “det halve af” på forskellige måder. (Sammenhænge, side 127, nr. 20).

• Hvilke regneudtr yk og sætninger passer sammen? (Algebra, side 23, nr . 40). • Johans far er 7 år ældre end hans mor. Tilsammen er de 83 år. Opstil en ligning, der passer til oplysningerne. (Ligninger, side 76, nr. 24). • Forklar med almindeligt sprog, hvilken sammenhæng formlerne beskriver . (Geometriske formler , side 112, nr. 21). • Hvor meget affald kommer der i løbet af et år fra jeres familie? (Virkelighed og matematik, side 141, nr . 46).

• Hvad skal man egentlig med bogstaver , når man regner? (Algebra, side 23, nr . 41). • Find selv på fire varer . Bestem pris og rabat og lad din sidemand beregne rabatprisen. (Procent, side 88, nr . 46). • Find selv eksempler på nogle ting, der er proportionalitet mellem. (Sammenhænge, side 129, nr. 33). • Hvordan ser en liter ud? (Undersøgelse, side 146-147).

• Vælg et decimaltal, der ligger mellem de to brøker. (Brøker, side 51, nr. 55). • Tegn rektanglet og prismet i GeoGebra. (T egning, side 64, nr. 33). • Skriv regnearksformler til cellerne B10, E10 og H10. (Geometriske formler, side 117, nr. 50). • Undersøg noget om Danmarks natur. (Undersøgelse, side 152-153).

Virkelighed og matematik

Sammenhænge

Geometriske formler

Statistik og sandsynlighed

”Hvad er gennem-snittet af fem på hinanden føl- gende hele tal?”

Ligninger Procent

Tegning

Flytninger Brøker

”Kan man regne med alle brøker?”

Algebra

Problem- behandling

Regneudtryk, formler og tegninger som modelværktøj, og kritik af andres modelvalg.

Bygge formler som modeller af forskellige sam-menhænge, og kritik af andres ditto. Begrundelser for påstande om sammenhænge mellem forskellige forhold.

Ræsonnementer om formler og variables egenskaber og karakteristika.

Refleksioner over rimeligheden af forskellige argumenter baseret på statistik og sandsynlighed. Mulighed for at arbejde med beviset for cirklens arealformel.

Tegninger som geometriske model-ler, herunder valg mellem tre tegnemodeller. At skulle forholde sig til udsagn om ligninger og deres løsning.

Ræsonnementer vedrørende forskellige udsagn om rumlige figurers egenskaber.

Mønstre som geo-metriske modeller.

Modellering*

Ræsonnementer vedrørende mønstre og symmetri som geometriske egenskaber.

Ræsonnementer vedrørende gyldigheden af forskellige regneregler.

Ræsonnement**

Symmetri som en geometrisk egenskab.

Modsatte regningsarter som en del af matematikkens kendetegn.

Tankegang***

Matematiske sammenhænge repræsenteret med fx sprog, ”maskiner”, ligning og tabel.

Afkodning af eksisterende formler. Bygning af egne formler. Kommunikation om egne og andres modeller og fortolkningen af resultater.

Kommunikation om sammenhænge mellem forskellige størrelser.

Procent som repræsentation af størrelsesforhold.

Ukendte tal repræsenteret ved hjælp af bogstaver i ligninger .

Forskellige typer tegninger som repræsentationer af det samme objekt.

Omskrivning fra brøk til decimal tal.

Ukendte tal repræsenteret ved hjælp af bogstaver.

Repræsentation

Afkodning af og regning med procenttal, brøker og decimaltal.

Afkodning, opstilling og løsning af ligninger. Procent som effektivt kommunikationsmiddel, fx ved sammenligning af brøkdele.

En brøk forstået både som et forhold og som en selvstændig talrepræsentation.

Bogstaver som pladsholdere for ukendte tal. Forberedelse af variabelbegrebet.

Symbolbehandling

Kommunikation om, hvordan geometriske figurer kan flyttes.

Kommunikation

Valg af hjælpemidler til små statistiske undersøgelser.Blandt andet ved brug af GeoGebra.

Hjælpemiddel****

* Udvikling af modelleringskompetence spiller en central rolle i Matematrix (se side 11f). I hovedparten af undersøgelserne i 6. klasse er der således fokus på denne kompetence.** Også ræsonnementskompetencen er der et klart fokus på i Matematrix. Flere af undersøgelserne i 6. klasse lægger først og fremmest op til at udvikle denne kompetence.*** Tankegangskompetencen er der ikke så meget fokus på i 4.-6 klasse, da det nemt ender med temmelig abstrakte fag-overvejelser, som eleverne ikke er parate til. De tre udfyldte felter kan opfattes som eksempler på ”nedslag”.**** Hjælpemiddelkompetencen nævnes kun eksplicit et sted, men er et kompetenceområde, der på forskellig vis kommer til udtryk i alle kapitlerne.

Evaluering af faglige kompetencer

Kompetenceudvikling er en proces, som aldrig afsluttes. Kompetencer udvikler sig løbende hos den enkelte elev. Tænk blot på udviklingen af nogle af de mere alment menneskelige kompetencer som fx hensyntagen til andre og indlevelsesevne. Karakteristikken af de enkelte kompetencer (jf. skemaet på side 12-13) kan man tænke på som pejlemærker, som man kan lade sig inspirere af og navigere efter i arbejdet med sin undervisning.

At besidde en matematisk kompetence betyder, at man kan handle på en måde, der er karakteristisk for kompetencen, når en situation ”kalder på det”. Hvis man vil evaluere en elevs kompetencebesiddelse, skal man derfor bringe ham/hende i en situation, hvor den kompetente form for handlen er naturlig og hensigtsmæssig.

Konkret støtte og eksempler

Som støtte til gennemførelsen af disse evalueringsprocesser samler vi løbende en række resurser og konkrete eksempler på matematrix.alinea.dk. • Aktivitetsoplæg i form af kompetenceorienterede opgaver og undersøgelsesoplæg fra bøgerne. • Videoklip med elever og en lærer, der arbejder med udvalgte aktivitetsoplæg. • Interviews med den involverede lærer, der mundtligt evaluerer de viste elevers præstationer i forhold til det valgte kompetencemål. • Udfyldte evalueringsark med en tilsvarende skriftlig evaluering.

Tegn på kompetencebesiddelse

Dækningsgraden er både den vigtigste og den vanskeligste af de tre dimensioner at se tegn på. Her udfordres lærere og elever uundgåeligt på deres forståelse af, hvilke aspekter den enkelte kompetence kan siges at bestå af, så man kommer til at arbejde med det, der udgør kompetencens kerne. For at støtte denne proces har vi udviklet et evalueringsark til hver matematisk kompetence, som findes på matematrix.alinea.dk.

Af disse ark fremgår det, hvad vi anser for de væsentligste aspekter af kompetencen. Der er også gjort plads til, at læreren kan gøre notater om synlige tegn på læring. I hvilken udstrækning behersker eleven de enkelte aspekter? Helt tilsvarende er der gjort plads til notater vedrørende det tekniske niveau, som normalt er den nemmeste dimension af en kompetence at forholde sig til. Aktionsradius er i sagens natur vanskelig at evaluere med afsæt i en enkelt aktivitet og læringssituation. Det mest hensigtsmæssige er at udfordre den samme kompetence i mange forskellige situationer.