Matematiske begreber

Matematiske begreber er ordnet hierarkisk. Det enkelte matematiske begreb skal ses i sammenhæng med den overordnede struktur, det indgår i. Eksempelvis vil begrebet koordinatsystem give ringe mening uden kendskab til tal og tallinjer. De matematiske begreber skal imidlertid bruges i tilknytning til virkelige problemstillinger, der ikke er pænt tilrettelagt og struktureret. Tværtimod! Begreber som fx addition, sum og procent dukker pludselig op i forskellige sammenhænge og kræver handling her og nu. For at blive en kompetent matematikbruger skal matematikundervisningen og -læringen altså både have fokus indad på matematikken og udad på anvendelser.

”Hvordan vedligeholder og videreudvikler man forståelsen og anvendelsen af de matematiske begreber, samtidig med at der løbende inddrages nye begrebsområder?” Problemstillingen kan løses gennem en spiralorganisering af undervisningen. Herved foregår repetition og færdighedstræning af begreber fra tidligere klassetrin parallelt med arbejdet med det nye stof. I Matematrix-systemet holder vi styr på det ved at beskrive samtlige kapitler i den såkaldte begrebsmatrix, som man kan finde på matematrix.alinea.dk. Den viser, hvordan vi på hvert klassetrin har valgt at arbejde med en række matematikfaglige begreber (27 i alt), som vi har udpeget som de mest centrale i grundskolens matematikundervisning.

Matricen kan tilgås på (mindst) to måder: Årgangs-udgangspunkt: Ved at gå lodret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvilken begrebsmæssig progression hvert kapitel i en given Matematrix-bog indgår i. Eksempelvis kan man se, at ligningskapitlet i Matematrix 6 er det første af tre kapitler om ligninger. Fokuspunkter i kapitlerne: • 6. kl. Hvad er en ligning? Betydningen af lighedstegnet. Gæt og prøv som løsningsmetode. • 7. kl. Systematisk ligningsløsning ved hjælp af omformning (algebraisk manipulation). • 8. kl. Opstilling af ligninger som matematisk model (matematisering).

Begrebs-udgangspunkt: Ved at gå vandret ind i matricen kan man danne sig overblik over, hvordan begrebsprogressionen er tænkt på tværs af de forskellige Matematrix-bøger. Eksempelvis kan man se, at arbejdet med sandsynlighed indledes med fokus på mere intuitive overvejelser om chancen for, at noget sker. I 5. klasse introduceres en mere systematisk tilgang til tilfældighedsprægede eksperimenter, men begrebet sandsynlighed introduceres først her i 6. klasse. Da mængden af stof, der skal repeteres, har en tendens til at blive større og større, kan det være hensigtsmæssigt at afsætte tid til at ”samle trådene”. Det er baggrunden for de kapitler, der omtales som kerneområder og i begrebsmatricen er skrevet med blokbogstaver. For 4.-6. klassetrin drejer det sig om: 4. klasse: Hele tal, brøker og division. 5. klasse: Rumfang, procent og størrelsesforhold. 6. klasse: Ligninger, sammenhæng og symmetri/ flytninger.

Sammenhæng mellem faglige begreber

Da de fleste matematiske begreber er forbundet med hinanden, og progressionen af faglige begreber er hierarkisk opbygget, er det vigtigt at have kendskab til begrebernes indbyrdes sammenhæng. Eksempelvis er der i Matematrix 6 fokus på regning med brøker. Det giver kun mening, fordi der i hele indskolingen og her på mellemtrinnet er blevet arbejdet med en lang række begreber, som danner grundlag for at forstå, hvorfor brøkregning foregår som det gør. En grundlæggende talforståelse danner udgangspunkt for arbejdet med addition og subtraktion, derefter multiplikation og division, så anvendt brøkregning i form af deling og brøkdele og så endelig brøk forstået som et forhold mellem to tal, der i sig selv danner et tredje tal. Med fokus på kapitlerne i bøgerne til hvert klassetrin ser progressionen således ud:

0. klasse Tallene 0-20. 1. klasse Addition og subtraktion. 2. klasse Multiplikation. Sproglig repræsentation af brøkdele. 3. klasse Deling og brøkdele. 4. klasse Division. Brøker som tal-repræsentation. 5. klasse Brøker. Regning med hele tal og simple brøker. 6. klasse Brøkregning med alle fire regningsarter.

I introduktionen til hvert grundbogskapitel her i lærervejledningen præsenterer vi den begrebsmæssige progression, som kapitlet indgår i.

Faglige opslag

Kapitlernes faglige hovedpointer er placeret på gennemgangssiderne, men til de fleste kapitler findes faglige opslag, som forløber over en eller to sider. Disse opslag indeholder relevante underbegreber eller beslægtede begreber til gennemgangsstoffet, fx: • Flytninger: Symmetri. • Sammenhænge: Proportionalitet.

Begrebsdannelse

Eleverne i 6. kl. har både hørt om millioner og milliarder. Hvilken opfattelse de har af fx en million er meget individuelt. Elevens viden om en million stammer måske fra udtryk som ”Nej skat, jeg har travlt, jeg skal nå en million ting i dag”. De fleste af os bruger jo ”million” i betydningen ”en masse” eller ”meget” i dagligdagssproget. Også i kontekster som fx huspriser, indbyggertal m.m. kan eleverne have hørt om store tal. Men herfra og til præcist at vide, at en ”million” er heltallet efter 999.999, er der meget langt. I rammen nedenfor er nogle få eksempler på begreber, som voksne forbinder med en million.

Hvert af disse begreber hænger igen sammen med andre begreber. Illustrationen ville derfor meget hurtigt blive uoverskuelig, hvis alt dette skulle med. Og alligevel ville det blot udgøre en brøkdel af det samlede antal mentale begrebslige forbindelser. Børnenes forskellige udviklingstrin og måde at tilegne sig viden på, skyldes i høj grad, at der er så ufatteligt mange mulige mentale forbindelser. Forståelsesgraden af et forhold handler nemlig om, hvor mange forbindelser der er dannet mellem begrebet og alle de øvrige begreber, man kender. At forstå noget nyt handler altså om at få etableret nogle stærke forbindelser (eller relationer) mellem det nye begreb og de allerede kendte sikre begreber. Eksempelvis har et barn på 10 år måske dannet stærke levedygtige relationer mellem en ”million” og ”meget”. Udfordringen for læreren er at bygge videre på den ”rigtige” relation, således at begrebsforståelsen bliver mere sikkert forankret. I 6. klasse kan man ikke forvente, at eleverne præcist ved, hvad en million er. Ikke desto mindre sidder der faktisk nogle meget velorienterede elever i hver klasse, der har god fornemmelse for ”store tal”.

A

Hvert knudepunkt svarer til et begreb, og hver streg til en relation.

Udfordringen er, at begreberne ikke sådan bare kan sættes ind efter en nærmere tilrettelagt plan. Begreberne opstår som led i elevens ”trial and error” og ”aha-oplevelser”, når de selv er virksomme. Den pædagogiske opgave er derfor at hjælpe hver enkelt elev med selv at bygge/konstruere et arkivsystem (en begrebsstruktur) og få anbragt både de eksisterende og nye hidtil ukendte begreber i det.

At lære et nyt begreb er altså at koble det til de eksisterende begreber. Denne kobling sker i forbindelse med elevens faglige aktivitet med det pågældende begreb. I hvilken grad det lykkes, afhænger af en række faktorer: • Begrebet skal være inden for rækkevidde for eleven. Det skal indgå i en naturlig sammen hæng og progression i forhold til barnets øvrige begrebsverden. • Aktiviteterne skal bringe eleven til at tænke i de rette baner . Ideelt set skal de tage udgangspunkt i begreber, som er velkendte for eleverne. Da en del forskning har vist, at også elevens humør og motivation har stor betydning, må vi endvidere stille krav om, at aktiviteterne opleves som vedkommende og spændende. • Der skal være tilstrækkeligt mange aktiviteter, og de skal spredes over tid. Begreber, der ikke arbejdes intensivt med i læringsperioden, kobles ikke med stærke forbindelser og nedbrydes efter kort tid. Som en analogi kan vi tænke på muskeltræning. Trænes der ikke hårdt nok, svarer kroppen ikke igen med at opbygge flere og stærkere muskelfibre.

A

Der mangler stærke relationer imellem begrebet A og andre begreber.

Meget forsimplet kan matematikundervisningen forstås som aktiviteter, der har til formål at skabe forståelse, fasttømre forståelsen og udvide forståelsen for matematiske begreber. Det er vigtigt at påpege, A at der næsten altid findes flere grader af forståelse. Eksempelvis har et 4-årigt barn, en 9. klasseelev og en biolog en forskellig forståelse af begrebet insekt. Spørger vi det 4-årige barn, finder det et insekt og siger ”sådan en”! Eleven i 9. klasse nævner måske et par konkrete arter og forklarer om forskellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer, at et insekt er ”en treleddet struktur med seks ben”.

De forskellige grader af forståelse er et spørgsmål om, A hvor mange og hvor stærke relationer, der er mellem det, der skal forstås, og øvrige relevante begreber. At udvide sin forståelse kræver tid til at opleve, tænke og erfare. Nye sammenhænge erkendes ud fra kendte begreber, og pludselig har man fået baggrund og rum til at forstå det, man ikke tidligere forstod.

A

Nye aktiviteter skaber flere relationer mellem begrebet A og andre begreber. Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskellige måder at forstå begreber på. Han opererer med to typer af forståelse: relationel forståelse og instrumentel forståelse. Førstnævnte er det, som er skitseret ovenfor. Som modpol kan man tale om instrumentel forståelse, hvilket betyder, at man bare ”gør noget”, uden at forstå det og uden at se det som en del af en større sammenhæng. Man kan udføre korrekte regneoperationer, men man har ikke fat i begrebet. Og det er tydeligt, at den usikre forståelse gør det meget vanskeligt at bruge begrebet i nye sammenhænge. Hvis læreren spørger på en ny måde, kan der opstå store problemer med overhovedet at opfatte spørgsmålet.

Eksempler på instrumentel forståelse: • At kunne den lille tabel uden at forstå multiplikation. • At kunne regne 7 · 21 men ikke 21 · 7. • At kunne bruge algoritmer uden at forstå, hvordan de virker.

Instrumentelle forståelser virker på kort sigt. Eleven får jo de rigtige facitter. Men den instrumentelle forståelse viser sig utilstrækkelig til at bygge ny viden ovenpå. Desuden tvinges man til at lære mere udenad, end når begrebsstrukturen forstås. Fx er ideen bag navngivningen af polygoner, at man ikke behøver at huske de enkelte figurers navne. På samme måde er princippet bag titalssystemet, at man ved at forstå selve systemet slipper for at skulle huske alle tallenes forskellige navne.

I skolesystemet, hvor læring baseres på tidligere lærte begreber, metoder osv. må instrumentelle forståelser altså ikke være mål i sig selv. I en række af livets øvrige sammenhænge er den instrumentelle forståelse dog ofte tilstrækkelig. Fx har de færreste andet end en instrumentel forståelse af gearkasse og kobling i en bil, eller hvordan der skabes forbindelse

til internettet.

Sproglige forhold

Evnen til at kommunikere med andre har stor betydning for læringen. Derfor må sproget beherskes. At kunne sætte ord på begreberne gør det let for børnene at præcisere og teste begrebsforståelsen løbende: ”Er det sådan, du mener?”, ”En firkant, kan det også være sådan en her?” Mange forløb i bogen lægger op til samtaler klassevis, gruppevis og to og to.

Den russiske psykolog, Lev Semenovich Vygotskij, argumenterede for, at sprog og begreb udvikler sig dialektisk. Det giver eksempelvis ikke mening at lære at lægge brøker sammen uden at få at vide, at det faktisk hedder ”brøk”, ”tæller”, ”nævner”, ”addere/plusse”. Vygotskij har givet udtryk for, at det er en vigtig del af begrebsudviklingen at kunne udtrykke sig sprogligt. Og med sprogligt mente han ikke kun det talte sprog, men alle de sprog, hvormed et menneske kan kommunikere – altså også kropssprog, tegninger osv. Jo mere kommunikation, og jo flere forskellige mennesker, der kommunikeres med, des bedre. Men det er ikke ligegyldigt, hvordan denne kommunikation finder sted. Det handler i høj grad om at være ”på bølgelængde”.

Læringsmæssigt er det symbolske sprog (tal-, tegn- og bogstavssymboler) et svært sprog. Årsagen er, at der ikke er nogen intuitiv sammenhæng mellem det, der skal læres (begrebet), og det navn (eller symbol), begrebet har. Det er hverken intuitivt eller logisk, at symmetri netop hedder ”symmetri”, eller at > betyder ”større end”, og + betyder ”lægge sammen”.

Vygotskij har skabt nogle begreber, der kan hjælpe med at forstå problemstillingen lidt bedre.

Vygotskijs 1. ordens sprog: Man udtrykker sig spontant, hverdagsagtigt og uden at tænke på oversættelse mv. Sproget og begreberne har udviklet sig samtidigt for barnet. Det er uadskilleligt – en del af et hele. Et barn kan fx bede om ”en kvart skummet” uden at tillægge en kvart nogen særlig matematisk betydning. Det drejer sig ganske simpelt om en konkret genstand.

Vygotskijs 2. ordens sprog er sprog, som ikke står i direkte kontakt med begrebsindholdet. Derfor er man nødt til at ”oversætte”. Det kan fx være 1 4 . En fjerdedel refererer ikke nødvendigvis til et bestemt forhold, men betegner måske mere generelt begrebet, 1 4 . 2. ordens sproget er altså frakoblet de konkrete ting, det omhandler. Når eleverne skal lære det, må man bygge videre på deres eksisterende viden ved at tage udgangspunkt i deres naturlige sprog. Udviklingen af 2. ordens sproget forudsætter med andre ord, at man udnytter elevens sprog af 1. orden som en slags oversættelsesled. Derfor må man tage afsæt i dagligdagssproget og elevernes viden og bruge den aktivt som fundament til den nye viden.

2. ordens sprog, ”niveau 2” Ikke nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 6. klasse, da der forudsættes mere 1. og 2. ordens sprog (niveau 1) og erfaringer.

a b ⋅ c d = a b ⋅ ⋅ c d

2. ordens sprog, ”niveau 1” Nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 6. klasse.

1 2 ⋅ 1 2 = 1 4

1. ordens sprog.

”Ida og jeg skal dele en halv pizza. Så får vi en kvart hver.”

Begrebet, zonen for nærmeste udvikling, handler om overgangen mellem de to sprog.

Zonen for nærmeste udvikling

Vygotskij beskriver læring som overgang mellem to zoner. Den aktuelle zone (der hvor man befinder sig inden læringen) beskrives som barnets mentale operationer, som allerede er etableret som resultat af tidligere udviklingsniveau. Den defineres altså ud fra, hvad barnet kan.

Den potentielle eller proximale zone defineres af det, som barnet er på vej mod. Barnet skal strække sig for at forstå det nye begreb, hvilket er muligt med hjælp og støtte fra andre.

En god måde at undersøge en elevs aktuelle zone er ved at studere hans/hendes tegninger. I tegningen udtrykker man sig nemlig i sit naturlige 1. ordens sprog. Derved får vi adgang til de mentale forestillinger, som er elevens nuværende forståelse – den aktuelle zone (jf. begrebsevaluering, side 20). Det er så en efterfølgende pædagogisk udfordring at finde de aktiviteter, der kan være oversættelsesled. Altså aktiviteter, som kan få barnet til at ”koble sin eksisterende viden” til den ny viden.

Evaluering af begrebsforståelse

I arbejdsbogen afsluttes hvert kapitel med to evalueringssider, som sætter fokus på henholdsvis færdigheder og begrebsforståelse. Evalueringens rolle er ikke at fastlægge elevernes indbyrdes eller absolutte niveau. Siderne tager i stedet et formativt udgangspunkt, hvor eleven og læreren undersøger elevens formåen med henblik på den videre udvikling.

Begrebsevaluering i arbejdsbogen

c

2 5

6 Et badekar, der kan rumme 400 liter, fyldes 3 4 op med vand. a Hvor mange liter vand er det?

b Halvdelen af vandet løber ud. Hvor meget vand er der tilbage?

forkorte

nævner Tegn og skriv hvad du ved om brøker. Du kan bruge ordene fra boksen.

del/helhed

forlænge

tal

brøkdel

tæller

brøk

forhold gange

trække fra brøkstreg

lægge sammen

Hvordan regner du med brøker? __________________________________________________________

BRØKER · EVALUERING

KOPIERING FORBUDT

27

9788723530318_indhold.indd 27 06/05/2020 11.00

Overordnet består begrebsevalueringen af en meget åben tilgang øverst på siden og et spørgsmål, der sætter fokus på et nøglebegreb, nederst på siden.

Fokus på en åben tilgang

Her lægges der op til, at eleverne viser eksempler på, hvilke forestillinger de har om kapitlets centrale begreb. I kraft af dette arbejde kan man få et godt billede af, hvilke mentale forbindelser de har fået skabt.

Begreberne langs rammen af skrivefeltet er tænkt som en støtte for elevernes refleksioner og associationer. Begreberne kan inspirere dem, men de behøver ikke at gøre brug af dem. Der skal således ikke skrives noget på forhånd fastlagt, og der skal ikke nødvendigvis arbejdes systematisk med de enkelte hjælpebegreber.

Aktiviteten kan altså præsenteres og sættes i gang på mange måder, som i forskellig grad gør brug af de angivne hjælpebegreber. • I kan indlede med en fælles brainstorm på tavlen/ boardet med tegninger, forklaringer og eksempler fra kapitlet, som eleverne så kan lade sig inspirere af. • Eleverne kan arbejde selvstændigt med aktivi teten med mulighed for at bladre i grundbog, arbejdsbog og kladdehæfte for at finde relevante eksempler m.m. Det er tanken, at de selv kan vælge, om de vil vise tegn på målopfyldelse ved at tegne, give eksempler, lave filmklip og/eller fortælle om begreberne. • Man kan arbejde meget eksplicit med de angivne hjælpebegreber ved at lade eleverne arbejde med begr ebskort (se næste side).

Fokus på et nøglebegreb

Nederst på siden udfordres eleverne med et spørgsmål, hvis besvarelse kræver, at de har forstået kernen i kapitlets centrale begreb. I det konkrete eksempel spørges der ind til, hvordan man regner med brøker.

I andre kapitler lægges der op til, at eleverne selv beskriver kapitlets helt centrale begreb. Det gælder fx i begrebsevalueringen af ligninger (Arbejdsbogen, side 43).

Begrebskort

Et begrebskort er en skematisk fremstilling af en persons forståelse af et antal begreber beskrevet ud fra en række udsagn om disse begrebers indbyrdes relationer (se illustrationen herunder). Hvert udsagn består af to eller flere navne på begreber forbundet med ord til en semantisk enhed. I sin simpleste form er et begrebskort således blot ét udsagn bestående af to begrebsnavne forbundet med ét ord: ”Bladet er grønt”, ”skolen former hjernen”, ”brøker er tal”, osv.

Lykkehjul

Saftekan vand

Division Kan altid resultere i kan sjældent vises på Brøkdele Tæller kan handle om kan handle om m e d n æ v n e r e n 1 0 0 Procent vise Tallinje består af består af Nævner Addition/ Subtraktion kan vises på kan man Brøker kan K a n a l t i d s k r i v e s s o m K a n o f t e s k r i v e s s o m Decimaltal Fællesnævner kræver Fo kan skabe rlænge kan være er altid være Hele tal Forkorte Tal kan være

Eksempel på begrebskort fra kapitlet ”Brøker”.

Hvordan man vælger at introducere og bruge begrebskort i undervisningen, er i høj grad et spørgsmål om personlig stil. Et helt centralt fokuspunkt er dog, at eleverne skriver udsagn om forskellige begrebspar som et konkret tegn på deres begrebsforståelse. Processen kan naturligvis både foregå analogt og digitalt. I dette eksempel foregår det på papir:

1.

2. Eleven/gruppen udvælger et antal af kapitlets centrale begreber, bl.a. med inspiration fra hjælpebegreberne i rammen, men gerne også med egne input. Hvert begreb skrives på en lap papir. Alle lapperne placeres på et stort stykke papir eller karton. Eleven/gruppen vælger kapitlets centrale begreb til at være det styrende for sit begrebskort og placerer denne lap midt på papiret. De øvrige begreber placeres rundt om det styrende begreb. 3.

4.

5. Eleven/gruppen tegner pile mellem de begreber, som opfattes som relaterede. Begreber med indbyrdes relationer flyttes, så de er placeret i nærheden af hinanden. V ed hver pil skrives et eller flere ord, som karakteriserer relationen mellem de to begreber i hver ende af pilen. Eleven/gruppen skal nu se på sit begrebskort „lidt fra oven“ og reflektere over resultatet og eventu elt lave dét om, som ikke er tilfredsstillende. Når ændringerne er foretaget, laves en „rentegning“ af begrebskortet.

Hvis man ønsker at arbejde digitalt med begrebskortene, kan mindmaps være et velegnet værktøj. På nettet findes der mange hjemmesider, som indeholder velegnede og frit tilgængelige mindmaps (Søg fx på ”concept maps”).

Tegn på begrebsforståelse

Begrebsforståelse handler om at etablere nogle stærke relationer mellem forskellige begreber (jf. omtalen på side 17-18). Evaluering af begrebsforståelse handler derfor om at spejde efter tegn på sådanne relationer. De gode evalueringssituationer er således dem, hvor eleverne bringes til mundtligt og/eller skriftligt at beskrive, hvad de mener forskellige begreber har med hinanden at gøre.

En sådan situation har vi som beskrevet tilstræbt at etablere i begrebsevalueringssiderne. Her er der netop fokus på relationer mellem kapitlets centrale begreb og andre beslægtede begreber, som eleverne har arbejdet med.

Eksempelvis lægges der på evalueringssiden i kapitlet Brøker op til at beskrive forbindelser mellem begreberne brøk og brøkdel. Hvis en elev fx skriver, ”brøkdele er, når man bruger brøker til deling af fx pizza”, er det tegn på god forståelse af både brøker og brøkdele. Omvendt vil der også være elever, som færdighedsmæssigt kan finde konkrete brøkdele af fx en pizza, men som viser manglende tegn på forståelse af brøkbegrebet, hvis de skal forklare det med udgangspunkt i en tallinje.