BINGO DE FRACCIONES Obtenido de la página web http://anagarciaazcarate.wordpress.com/tag/operaciones-con-fracciones/
OBJETIVOS: Trabajar las operaciones con fracciones. NIVEL: 2ºESO DESCRIPCION: Número de jugadores: toda la clase a la vez. Material necesario: 15 tarjetas como las que se muestran al final, con operaciones de fracciones. Los resultados que se obtienen con estas operaciones tienen que ser valores del 1 al 15. Cada alumno tiene un folio y bolígrafo. Normas del juego: 1. Cada alumno realizará en su folio un tablero 3 x 3 y rellenará sus casillas con 9 números distintos escogidos entre los números del 1 al 15 (a bolígrafo). Por ejemplo puede rellenar su cartón de la forma que se muestra en la figura.
1
7
9
13
5
11
2
10
8
2. El profesor saca al azar y sin reposición tarjetas. 3. Cada vez que se saca una tarjeta, los alumnos realizan la operación y si tienen el resultado lo señalan en su tarjeta de BINGO. 4. Gana el primero que rellena su cartón o dos líneas completas (según se decida).
APLICACIÓN AL AULA: Realizar varias partidas. Se puede o no, tras extraer la tarjeta, que un alumno salga a la pizarra, haga el cálculo y después se marque en el tablero o que los alumnos las realicen, marque el número y antes de sacar la siguiente se compruebe el resultado.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Organizar grupos de tres alumnos y que cada grupo de alumnos realice las tarjetas del juego. El profesor elegirá la más original para cada número tratando de que haya de distintos grupos. Se puede hacer con números enteros. Que las operaciones se puedan realizar a bolígrafo en su folio (operaciones más complicadas) o que las hagan de cabeza (entonces serían más sencillas).
EJEMPLO DE 2 TARJETAS DEL JUEGO
1 2 90 2 3
25 1 1 2 2 13
15
CÁLCULO DE ÁREAS OBJETIVOS: Introducir el cálculo de áreas, desde un primer concepto de conteo de cuadrados, hasta las fórmulas de los polígonos básicos. Trabajar el concepto de superficie, unidades cuadradas (cm2 en este caso) y cálculo de áreas de polígonos.
NIVEL: 1ºESO. DESCRIPCION: Material: Transparencia con la cuadrícula, una hoja con polígonos, y otra con los mismos polígonos pero con sus medidas. Mecánica de la actividad: La actividad consiste en medir la superficie de las figuras geométricas con la ayuda de la plantilla, contando el número de cuadrados. En un primer acercamiento, utilizaremos la plantilla para calcular el área de las figuras 1 y 2, contando los cuadrados que abarcan. Posteriormente, con la figura 4, veremos como podemos simplificar la labor de cálculo multiplicando el largo por el ancho, introduciendo la fórmula del área de un rectángulo. Pasamos ahora a figuras más complejas, la 3, un triángulo y vemos con ayuda de la plantilla cómo podríamos calcular su superficie. También usaremos la figura 5, que tiene una longitud decimal, y podremos conseguir que el alumno verifique la relación del resultado de operar con decimales y el conteo de cuadrículas. A continuación calculamos la superficie de la figura 6, en la que obtendremos un resultado decimal. Finalmente, podemos pasar a calcular superficies más complejas o formadas por más de un polígono para trabajar el área de polígonos o el de superficies compuestas (figuras 7, 8 y 9) En la siguiente hoja se facilitan las medidas de los polígonos trabajados anteriormente, con el objetivo de que vuelvan a calcular las áreas pero esta vez usando las acotaciones y comprobando con la plantilla.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Podemos ampliar el uso de la plantilla para realizar un mayor número de ejercicios de cálculo de áreas o para introducir las fórmulas de áreas de más figuras poligonales, como el rombo y el trapecio.
LA PLANTILLA: Preparada para imprimirla en papel de transparencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0cm
1cm
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
POLÍGONOS PARA REALIZAR LAS MEDIDAS
1
2
5 3 8
6
4
7
9
EL MISMO GRUPO DE POLÍGONOS CON LAS ACOTACIONES
2 cm
2 cm
2 cm
6 cm
2 cm
2 cm 4 cm 2 cm
2,5 cm
3 cm 3 cm
2,5 cm 6 cm
2 cm
7 cm 3 cm
2,5 cm
2 cm
4,5 cm
CINCO JUEGOS PARA TRABAJAR LOS CONCEPTOS MÚLTIPLOS, DIVISORES Y NÚMEROS PRIMOS Obtenidos de la revista SUMA 62 pp.51-54
JUEGO 1 OBJETIVOS: Trabajar el cálculo de divisores de un número. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: Toda la clase a la vez. Tablero: 20
9
36
Puntos
24
=
10
=
18
=
||
Puntos
||
||
||
=
Total
Material: Un tablero para cada jugador (lo puede hacer él mismo sobre un folio),un dado y un bolígrafo. Normas del juego:
1. Cada jugador tiene un tablero para jugar. 2. Tiramos el dado 9 veces y el alumno coloca los resultados en las casillas (centrales rojas). Los resultados los pone en las casillas en el orden que quiera, pero no puede poner dos números en la misma casilla ni dejar casillas vacías. 3. Para rellenar los cuadrados de la derecha (azules), anotamos tantos puntos como divisores, del número que aparece a la izquierda, haya en esa fila. Por ejemplo si tenemos en la fila 1ª el 5, 3 y 6 anotaremos 2 puntos ya que son 2 (el 3 y el 6) los divisores del 24 4. Rellenamos los cuadrados de abajo (verdes) de igual forma pero fijándonos en la columna.
5. Se suman las casillas de puntos (azules y verdes) para obtener la puntuación total. 6. Gana el de mayor puntuación.
24
20
9
36
5
3
6
Puntos =
10
=
18
= ||
Puntos
||
||
2
|| =
Total
APLICACIÓN AL AULA: 1. La primera partida la realizamos sin haber explicado como se anotan los puntos. En el resultado sólo influye el azar. 2. La segunda partida ya conocen como se ponen los puntos. Influye la estrategia y el azar. 3. Se lanza el dado nueve veces se anota aparte y el alumno elige como colocarlos. Influye la estrategia.
VARIABLES DIDÁCTICAS El alumno que gana sale a la pizarra y explica el resultado. Se puede buscar o no a partir de este resultado si se puede mejorar. Que el profesor elija los números, por ejemplo, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6 y 6 y hacer preguntas como ¿es posible con estos números conseguir la máxima puntuación (18)?. Colocar los números para sacar la menor puntuación. Si sale un 1, ¿dónde debo colocarlo? ¿y el 5? Cambiar los números propuestos.
JUEGO 2 OBJETIVOS: Trabajar el cálculo de divisores de un número. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: por parejas. Tablero: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Material: para cada dos jugadores 1 tablero y 2 rotuladores de colores distintos, uno para cada jugador. Reglas del juego: 1. El jugador A tacha un número del tablero. 2. El jugador B tacha todos los divisores del número que ha tachado A y que estén en el tablero sin tachar. 3. Se repite el proceso pero ahora es el jugador B el que tacha un número (que esté sin tachar) y el jugador A tacha sus divisores… 4. Se van alternando los turnos hasta que no queden números sobre el tablero sin tachar. 5. Si un jugador se olvida de tachar un divisor y su contrincante se da cuenta, puede tacharlo. 6. Al acabar cada jugador suma los números que ha tachado. 7. Gana el que más puntos tenga. Preguntas interesantes: ¿Qué número son los mejores para tachar? ¿Por qué?
JUEGO 3 OBJETIVOS: Trabajar los conceptos de divisor y número primo. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: por parejas. Tablero: 3
2
2
5
3
7
11
5
7
3
3
13
5
11
2
2
2
5
2
3
5
5
3
7
2
3
13
2
7
2
11
5
3
2
7
2
17
5
3
7
3
5
11
3
5
2
19
7
2
Material: un dado, fichas (unas 20) de 2 colores distintos (cada jugador utilizará los de un color) y dos tableros, uno para cada jugador. Reglas del juego: 1. Un jugador en su turno lanza el dado 2 veces y forma un número de 2 cifras, por ejemplo 36. Coloca una de sus fichas sobre un divisor de ese número en su tablero, por ejemplo el 2. Divide 36:2 = 18 y repite el proceso con el 18, por ejemplo coloca una ficha sobre el 3. Divide 18:3 = 6 y repite el proceso hasta que no encuentre más divisores. Entonces pasa el turno al otro jugador. 2. Si el número inicial es primo y no está en el tablero, el jugador tira de nuevo. 3. Si el jugador dice que el número es primo y no lo es, el otro jugador puede poner sobre su tablero las fichas de los divisores que descubra y a continuación coger el turno. 4. Gana el primero que llene una fila y una columna. Preguntas interesantes: 1. ¿Cómo son los números del tablero? 2. ¿Qué número tiene más posibilidad de ser tachado, el 11 o el 17? 3. ¿Cuántos resultados me permiten tachar el 7?
VARIABLES DIDﾃ，TICAS: Que el jugador componga el nﾃｺmero en el orden que quiera pero si compone un nﾃｺmero primo distinto de 11 o 31, pierde el turno. Que gane el que llene una fila o una columna. Que el tablero de cada jugador sea distinto para que un jugador no pueda copiar la estrategia del otro.
JUEGO 4 OBJETIVOS: Trabajar los conceptos de divisor y múltiplo. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: individual. Tablero:
6
2
16
48
17
18
3
24
5
8
3
2
15
7
70
40
4
27
5
35
15
14
9
19
8
45
7
3
2
18
5
35
5
10
21
42
Entrada Salida
Material: un tablero para cada jugador. Reglas del juego: 1. Se trata de hacer un camino que empiece por una de las entradas y salga por una de las salidas. 2. Para pasar de una casilla a otra vecina en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonal) es necesario que la casilla a la que saltamos sea múltiplo o divisor de la casilla en la que estamos. Un ejemplo es 5-35-5-10-2-42
VARIABLES DIDÁCTICAS: Buscar varios caminos que empiecen en 5 y salgan por 42, ¿cuál es el más largo?, ¿y el más corto? Hallar el camino más largo posible que empiece en 5 y salga por 42.
JUEGO 5 OBJETIVOS: Trabajar los conceptos de divisor. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: individual. Tablero:
150
39
182
61
176
2
44
6
93
17
45
81
14
73
11
277
224
12
217
16
5
112
9
504
252
99
4
35
924
693
25
147
41
533
26
9
135
162
733
115
162
168
24
443
113
14
125
625
5
150
Material: un tablero para cada jugador. Reglas del juego: 1. Se trata de hacer un camino que empiece por la esquina superior izquierda y salga por la esquina inferior derecha. 2. Para pasar de una casilla a otra vecina en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonal) es necesario que los números de ambas casillas tengan un divisor común distinto de 1.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Buscar el camino más largo, y el más corto. Buscar un camino que pase por una casilla determinada (por ejemplo la 99). Buscar estrategias para determinar el camino (por ejemplo marcar con puntos de distinto color los divisores de cada número, rojo divisores del 2, verde del 3….)
JUEGO DE CARTAS CON ENTEROS OBJETIVO: Trabajar ordenación, la suma y resta de números enteros y el producto por un número negativo.
NIVEL: 1ºESO DESCRIPCION: Material: Cartas elaboradas con cartulina y una hoja para anotar las puntuaciones (final) Número de jugadores: 2 o 3 Normas del juego: El juego consiste en una competición entre los números negativos y los positivos. Se parte de una puntuación inicial de 0. El jugador de los números negativos intentará que la puntuación final sea la más negativa posible, mientras que el jugador positivo intentará conseguir que la puntuación sea la más positiva o mayor, ganando el jugador cuyo signo coincida con el resultado final. Mecánica del juego: 1. Se reparten las 24 cartas boca abajo entre los dos jugadores. Del montón de cada uno cogerán 5 cartas cada uno. 2. El “combate” de cartas consiste en ataques por turnos: 3. El jugador atacante (por ejemplo jugador negativo) dirige una carta con un valor entero (por ejemplo -5) para bajar la puntuación previa. El atacado (positivo) se puede defender con una carta para compensar dicha puntuación (por ejemplo +3) de forma que el resultado de la operación, (-2) se suma a la puntuación anterior. Turno Puntos Inicio 0+(-2)= 1 (-2) 2 4. A continuación toma cada uno una carta de su montón y es el atacado (en este caso jugador positivo) el que pasa a ser el atacante. (Ejemplo: jugador positivo lanza un +8 y el jugador negativo utiliza un -5, resultado +3, por lo que anotamos su puntuación) Turno Inicio 1 2
Puntos 0+(-2)= (-2)+3= 1
5. Además de las cartas habituales que se suman a las del otro jugador, habrá cartas especiales que multiplican o dividen las cartas del adversario. (Ejemplo: jugador negativo lanza un -5 y el jugador positivo contesta con un ·(-2), siendo por tanto el resultado +10) 6. El juego continúa hasta que los dos jugadores se quedan sin cartas, siendo obligatorio usarlas todas. 7. Durante toda la partida, ambos jugadores anotarán la puntuación, repasando y comparando las anotaciones para evitar disconformidades. El ganador será el jugador cuyo signo coincida con el resultado.
8. El juego posibilita la participación de un “árbitro” que lleve el tanteo. Las cartas es conveniente imprimirlas en cartulina gruesa para evitar que se transparenten, pegando varios folios o cartulinas o imprimiendo el reverso de la carta. Aplicación al aula: Es aplicable tanto a la introducción de las operaciones con números enteros, como una vez explicadas, realizar prácticas de las operaciones. Igualmente sirve de refuerzo para alumnos de 2º con más dificultades y errores con los enteros.
Variables didácticas: Podemos adaptar el juego a un primer nivel de ordenación de los números enteros, eliminando las cartas especiales (las de multiplicación) y jugando a la carta más alta para estudiar la ordenación de los enteros. El árbitro puede ser otro alumno más desenvuelto. Otra variación es limitarnos en un primer momento a las cartas verdes para trabajar las sumas y restas únicamente, y posteriormente introducir las especiales con la multiplicación.
CONCURSO Y EXPOSICION DE CUADROS REALIZADOS CON LINEAS Y PUNTOS OBJETIVOS: Introducción a la geometría NIVEL: Todos los niveles DESCRIPCION: Material: Papel continuo, papel pluma y cartulina de diversos colores para enmarcarlos cuadros que lo necesiten, pegamento, fixo… Aplicación al aula: Después de la explicación en el aula, del motivo de este concurso, se les informa de las bases. Bases del concurso: 1. Tema: Realización de cuadros con líneas y puntos. Pueden servir como referencia los de la exposición “Un brève histoire des lignes” del Museo Pompidou-Metz de abril 2013 (más información en las direcciones web que se adjuntan al final). 2. Soporte: papel, lienzo... 3. Tamaño: libre. 4. Materiales y técnicas: libre. 5. Participantes: Alumnos del IES Juan Carlos I de forma individual.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Se pueden realizar cuadros basados en figuras geométricas planas o de tres dimensiones, cónicas….
LA CRIPTOLOGÍA. The Zodiac (Alexander Bulkley, 2005) OBJETIVOS: Divulgar las Matemáticas a través del cine. Profundizar en las aplicaciones de las matemáticas a lo largo de la historia. Descifrar criptogramas sencillos.
NIVEL: 2º ESO, 3º ESO DESCRIPCION: Material: Película “The Zodiac” (Alexander Bulkley, 2005) Aplicación al aula: Después de proyectar la película los alumnos realizaran el cuestionario
CUESTIONARIO Observa detenidamente el siguiente fragmento de la película "The Zodiac" y responde a las siguientes cuestiones:
1. ¿Qué es un criptograma?, ¿qué diferencia existe entre criptografía y criptoanálisis? 2. En la escena se hace referencia al sistema de cifrado utilizado en la II Guerra Mundial, ¿cuál es el nombre de la máquina que cifraba los mensajes?, ¿quién fue el primero en poder descifrarla?. Investiga sobre el papel que jugaron las matemáticas en la II Guerra Mundial y haz una puesta en común con el resto de compañeros de clase. 3. El siguiente criptograma se ha realizado utilizando un cifrado por sustitución, es decir, cada número ha sido reemplazado por un símbolo. ¿Serías capaz de descifrarlo?
4. Invéntate un criptograma (o busca alguno por Internet) y propón su resolución al resto de compañeros de la clase.
DOMINÓ DE FUNCIONES OBJETIVOS Se trata del clásico juego del dominó de 28 fichas. Se pretende que los alumnos de 4º de ESO sean capaces de relacionar un determinado tipo de función (recta, parábola, hipérbola, logaritmo, exponencial) con su representación gráfica, sus propiedades y su fórmula analítica. El objetivo de esta actividad es doble: Construir el domino. Por lo que el alumno deberá hacer el estudio de 14 funciones que sean representativas de cada tipo. Jugar con el domino de otros compañeros. Así quedarán asimiladas las asociaciones que otros compañeros han hecho de las funciones que han pensado.
NIVEL: 4ºESO DESCRIPCION: Material: 1. Un domino de madera infantil. 2. Modelos de los modelos de funciones pensados para recortar. 3. Pegamento. 4. Ordenador con un programa de representación de funciones (por ejemplo: Geogebra). Número de jugadores: 4 personas Construcción del material: El alumno pensará 14 funciones que representen el tema de funciones estudiado en ese momento. Se distinguirán: gráfica, fórmula analítica, propiedades más significativas y tipo de función. Una vez hecho esto el alumno/a las distribuirá en fichas de forma aleatoria como la que aparece a continuación. Se ha usado el programa libre “Geogebra” para la construcción de las funciones. Normas del juego: Una vez que se tiene el domino construidos se trata de jugar al juego básico del domino. Entre los 4 jugadores se cogen 7 fichas y se sortea quien empieza poniendo la primera pieza. Pero esta vez en vez de ser números son funciones que se podrán asociar a su tipo, fórmula analítica, representación gráfica o tipo de función. Lógicamente, en este último
caso será más fácil de colocar el tipo de función y más difícil las demás ya que tendrán que coincidir exactamente con su correspondiente función. Por ejemplo: La función parabólica podrá encajar perfectamente con f ( x) x 2 1 o con f ( x) 2 x 2 , o bien con cualquiera de las gráficas de las dos; pero no podrán casar los propiedades de una con la gráfica de la otra.
Aplicación en el aula: Su aplicación será básicamente para 4º de la ESO tanto en su “Opción A” (Rectas, parábolas e hipérbolas) como en la “Opción B” (Rectas, parábolas, hipérbolas, exponenciales y logarítmicas).
VARIABLES DIDÁCTICAS: Podemos ampliar su uso a cursos superiores como Matemáticas I o incluso Matemáticas CCSS I para afianzar el dominio de las propiedades de funciones elementales.
DOMINÓ DE LOS MONOMIOS OBJETIVOS: Iniciar al alumnado en la asociación de monomios semejantes para la suma y la resta de monomios. Iniciarse en el uso de variables no numéricas en matemáticas. Entender el concepto de monomio. Diferenciar entre coeficiente y exponente de la variable. Agrupar monomios semejantes.
NIVEL: 1ºESO DESCRIPCION: JUEGO 1: LA CRUZ. Jugadores: Cuatro. Puede haber ocho si se forman parejas. Material: Dominó de monomios. Normas: 1. Se reparten todas las fichas, 7 para cada jugador. 2. Comienza el juego el jugador que tiene el monomio de grado 6 doble. 3. Cada jugador pone por su lado, asociando monomios semejantes. 4. Si un jugador no puede continuar la asociación pasa la ronda. Si otro jugador puede y quiere ponerle ficha, puede hacerlo para que pueda seguir jugando. 5. Ganará quién acabe antes sus fichas. 6. Cada jugador anotará los monomios que vaya sumando o restando, realizando una cadena de operaciones consecutivas. JUEGO 2: CORRE QUE TE PILLO Jugadores: Cuatro. Puede haber ocho si se forman parejas. Material: Dominó de monomios. Normas: 1. Se reparten todas las fichas, 7 por jugador, todas bocabajo, ningún jugador sabe las fichas que le han tocado. 2. Cada jugador pone las fichas en fila de izquierda a derecha. Por turno, cada jugador levanta su primera ficha, de izquierda a derecha. 3. Empieza el juego cuando un jugador al dar la vuelta a una ficha sea el monomio del seis doble. 4. Cada jugador irá dando la vuelta a sus fichas, siempre por orden de izquierda a derecha e irá poniendo fichas si tiene monomios semejantes, sino pasará. Ganará quién acabe antes sus fichas. 5. Cada jugador anotará los monomios que vaya sumando o restando, realizando una cadena de operaciones consecutivas.
EL MENSAJE SECRETO OBJETIVO: El uso de la jerarquía de las operaciones con números naturales. NIVEL: 1ºESO DESCRIPCION: Juego: Mensaje secreto.
Normas: 1. Juega todo el alumnado del grupo individualmente. 2. Cada operación es un resultado diferente que corresponde a una letra. 3. Igual resultado letras iguales. 4. Descifrar el mensaje secreto.
MENSAJE 1 CLAVE 1 : A = 17 + 8 x 2
E= 56:
I= 16 x 2 : 4
C= 18 : 3 + 5
D= 8 : 2 - 3
M= ( 9 + 1 ) : 2
R= 49 : 7 + 3
S= 3 x 5 - 9
T= (13 + 7 –8) : 6
V= (14 – 3 x 2): 2
MENSAJE 1 : 5
33
2
7
2 5
8 1
7
10
11
33
33
2 4
8
8 1
33
6
6
MENSAJE 2
CLAVE 2: A= 14 – 3 x 4
E= (7 + 5) : 3
I= 32: (8 x 4)
O= 49 : 7 + 3
U= 3 x 5–4 : 2
D=(12 + 8): 4
F= (8 + 4) : 2
N= 5 + 5 - 2
P= 9 :3 x 4
R= 72:36+11
S= 5 x (9-6)
T= 21 : 3 + 2
MENSAJE 2: 2 12
13
4
8 5
5
1
4
15 6
13
7
9
2
8 5
10
VARIABLES DIDÁCTICAS: Los mensajes se pueden cambiar de dificultad para distintos niveles Las operaciones de los mensajes pueden ser de cálculo con potencias, fracciones… Se pueden confeccionar para otros niveles
EL TEOREMA DE FERMAT. Los Crímenes de Oxford (Álex de la Iglesia, 2008) OBJETIVOS:. Divulgar las Matemáticas a través del cine. Conocer la figura de Pierre de Fermat y sus aportaciones más importantes. Realizar pruebas simples de resultados matemáticos.
NIVEL: 3º ESO, 4º ESO DESCRIPCION: Material: Película “Los Crímenes de Oxford” (Álex de la Iglesia, 2008) Aplicación al aula: Después de proyectar la película los alumnos realizaran el cuestionario
CUESTIONARIO Observa detenidamente el siguiente fragmento de la película "Los crímenes de Oxford" y responde a las siguientes cuestiones:
1. En la escena se habla del "Teorema de Bormat" para hacer referencia al Teorema de Fermat. ¿Cuál es el enunciado de este famoso teorema? ¿En el margen de que famoso libro había anotado Fermat dicho teorema?
2. El presentador del telediario informa de que este teorema ha sido demostrado por el profesor H. Wilkins, ¿se corresponde esta situación con la realidad?
3. Hay dos grandes familias de números primos: unos son de la forma 4n+1 y otros de la forma 4n+3. Fermat descubrió que los números primos de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados y en cambio ningún número de la segunda familia se puede descomponer de esa forma. Pon ejemplos de números primos de ambas familias e intenta expresarlos como suma de dos cuadrados.
4. A lo largo de su carrera Fermat no solía acompañar sus resultados de demostraciones, esperando que otros matemáticos ratificarán sus hallazgos. De todos sus resultados conocidos, sólo uno era erróneo, ¿de cuál se trata?.
5. Investiga sobre otros hallazgos realizados por Fermat y cita algunos de ellos.
LA IDENTIDAD DE EULER. La ecuación preferida del profesor (T. Koizumi, 2006) OBJETIVOS: Divulgar las Matemáticas a través del cine. Conocer la identidad de Euler. Identificar las constantes más importantes de las matemáticas. Conocer la figura de Leonhard Euler y sus aportaciones más importantes. Realizar pruebas simples de resultados matemáticos.
NIVEL: 3º ESO, 4º ESO DESCRIPCION: Material: Película “La ecuación preferida del profesor”(T. Koizumi, 2006) Aplicación al aula: Después de proyectar la película los alumnos realizaran el cuestionario
CUESTIONARIO Observa detenidamente el siguiente fragmento de la película "La ecuación preferida del profesor" y responde a las siguientes cuestiones:
1. 1. La identidad de Euler relaciona las cinco constantes más importantes de las matemáticas. Indica cuales son dichas constantes y a que rama de las matemáticas pertenecen. ¿Alguna de esas constantes es un número irracional?
2. Euler realizó multitud de aportaciones a la notación matemática. Investiga y cita alguna de ellas.
3. Otro importante resultado de Euler es la fórmula e - k + f = 2 que señala la relación entre el número de vértices (en alemán, Ecken), aristas (Kanten) y caras (Flächen) de cualquier poliedro convexo. Completa la siguiente tabla y verifica la fórmula de Euler. Poliedro Tetraedro Hexaedro Dodecaedro Octaedro Icosaedro
Nº caras
Nº aristas
Nº vértices
Fórmula de Euler
4
6
4
4-6+4=2
BATALLA NAVAL EN COORDENADAS CARTESIANAS OBJETIVO: Trabajar el uso de coordenadas cartesianas NIVEL: 1ºESO DESCRIPCION: Material: Dos folios, uno para cada jugador, que contiene dos cuadros con ejes de coordenadas. Número de jugadores: Por parejas. Mecánica de la actividad: El juego consiste en imitar el conocido juego de los barcos pero usando las coordenadas cartesianas. Cada jugador dispone de una hoja con cuadros con ejes de coordenadas, el superior para anotar los disparos realizados y el inferior para reflejar los disparos recibidos. Cada jugador debe situar en el cuadro superior los siguientes “barcos”, de forma que abarquen varios puntos y no se solapen: 1 de 4 puntos 2 de 3 puntos 3 de 2 puntos 4 de un punto
Una vez situada la flota de cada jugador, por turnos van realizando sus “disparos”. Para ello el jugador indica las coordenadas de un punto donde piensa que está situado un barco. A continuación el contrincante sitúa en su cuadrante el punto indicado y lo marca, indicando: Si en el punto no hay una embarcación, dirá al primer jugador “agua” Si en el punto hay una parte de una embarcación, dirá al primer jugador “tocado”. En el caso de acertar en una embarcación de un punto, o bien ser el último punto intacto, se indicará “tocado y hundido” para indicar al otro jugador que no hay más restos de esa embarcación. Sea cual sea el resultado del disparo, el primer jugador deberá anotar en su cuadrante inferior el resultado del disparo para poder llevar el conteo de impactos y no repetir el disparo. A continuación el oponente pasa a realizar su disparo. Gana la partida aquel que consiga “hundir” toda la flota del oponente. Aplicaciones didácticas: Nos servirá para practicar la situación de puntos mediante las coordenadas cartesianas.
BATALLA NAVAL CARTESIANA
JUEGO PARA TRABAJAR EL CONCEPTO DE VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN Obtenido de la revista SUMA 69, pp. 96-97
OBJETIVOS: Trabajar el cálculo de valor numérico de una expresión algebraica. NIVEL: 2ºESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: Por parejas. Tablero: En la otra página. Material: 1 tablero, 1 dado para cada dos jugadores y una ficha de cada color por alumno. Normas del juego: Los jugadores colocan su ficha en la casilla de salida. Por turnos tiran el dado, y sustituyen el valor obtenido en la expresión algebraica que aparece en ese momento en la casilla en la que se encuentra su ficha. Gana el primer jugador que llega a la meta.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Se puede jugar indicando que gana el que llegue justo o que se pueda sobrepasar la meta. Realizar preguntas como: En las casillas cercanas a la meta ¿hay alguna en la que siempre se retroceda? ¿Hay alguna casilla en la que da igual el valor del dado? Es decir, siempre hacemos lo mismo independiente del valor que salga. Si estoy en la penúltima casilla, ¿qué valores me permiten avanzar y cuáles retroceder? Jugar sin dados y que cada alumno elija el número del 1 al 6 que quiere en cada jugada. Pasaremos de un juego de azar a uno de estrategia. Podríamos hacer un estudio de qué casillas nos permiten ganar en el menor número de pasos Modificar las expresiones del tablero para adaptarlo al nivel deseado.
TABLERO: VARIABLE NUMÉRICA
SALIDA
h-1
b+2
y-2
3b-2
2c-6 -x+5 12-2c
Z/z
b-4
y-8
N+3 2(d-4)
-p+4
3n/n
2a-10
x-3 3·(4-1)
META
3d
2·(d-1)
l+1
x+4
7-c
2(i-2)
3-v
2x-3
3(e-2)
7-t
8-t
2(x+3)
n+5
4s/s
5-3r
2·(6-z)
2y
11-3b
2e/e
LA RULETA DE PROBABILIDAD OBJETIVO: Iniciar al alumnado en la probabilidad. NIVEL: 1ºESO DESCRIPCION: Material: Ruletas confeccionadas por los alumnos Normas del juego: Las ruletas son de dos y de cuatro colores. Cada alumno hace girar la flecha. Realizaremos 1º 10 tiradas, 2º 20 tiradas y por último 50 tiradas. En una tabla se va anotando el color que sale en cada tirada. Observar lo que ocurre y sacar conclusiones. Aplicación en el aula: 1. El alumno va comprobando la frecuencia con la que van saliendo los diferentes colores. 2. Comprobar qué ocurre si la flecha no gira bien. 3. Comprobar que ocurre si hacemos girar la flecha al revés.
TABLAS DE FRECUENCIAS Se anota con una cruz cada vez que salga un color. En la última columna se anota el número total de veces que te ha salido cada color. 1º RONDA: ROJO AZUL VERDE AMARILLO 1ªTIRADA 2ªTIRADA 3ªTIRADA 4ªTIRADA 5ªTIRADA 6ªTIRADA 7ªTIRADA 8ªTIRADA 9ªTIRADA 10ªTIRADA fi CONCLUSIONES:
2ª RONDA: ROJO 1ªTIRADA 2ªTIRADA 3ªTIRADA 4ªTIRADA 5ªTIRADA 6ªTIRADA 7ªTIRADA 8ªTIRADA 9ªTIRADA 10ªTIRADA 11ªTIRADA 12ªTIRADA 13ªTIRADA 14ªTIRADA 15ªTIRADA 16ªTIRADA 17ªTIRADA 18ªTIRADA 19ªTIRADA 20ªTIRADA fi CONCLUSIONES
AZUL
VERDE
AMARILLO
3ª RONDA: ROJO 1ªTIRADA 2ªTIRADA 3ªTIRADA 4ªTIRADA 5ªTIRADA 6ªTIRADA 7ªTIRADA 8ªTIRADA 9ªTIRADA 10ªTIRADA 11ªTIRADA 12ªTIRADA 13ªTIRADA 14ªTIRADA 15ªTIRADA 16ªTIRADA 17ªTIRADA 18ªTIRADA 19ªTIRADA 20ªTIRADA 21ªTIRADA 22ªTIRADA 23ªTIRADA 24ªTIRADA 25ªTIRADA 26ªTIRADA 27ªTIRADA 28ªTIRADA 29ªTIRADA 30ªTIRADA 31ªTIRADA 32ªTIRADA 33ªTIRADA 34ªTIRADA 35ªTIRADA 36ªTIRADA 37ªTIRADA 38ªTIRADA 39ªTIRADA 40ªTIRADA 41ªTIRADA 42ªTIRADA 43ªTIRADA 44ªTIRADA 45ªTIRADA 46ªTIRADA 47ªTIRADA
AZUL
VERDE
AMARILLO
48ªTIRADA 49ªTIRADA 50ªTIRADA fi CONCLUSIONES
LAS PRIMERAS 5000 CIFRAS DEL NÚMERO PI OBJETIVOS: Introducir el concepto de número irracional NIVEL: 2ºESO DESCRIPCION: Material: Las primeras 5000 cifras del número pi. Aplicación al aula: Después de la explicación en el aula, empapelar los pasillos del centro con las primeras 5000 cifras del número pi.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Se puede hacer con otros números irracionales como 2 , e, etc Los alumnos pueden buscar alguna secuencia de números en las cifras de pi, por ejemplo la fecha de un cumpleaños…
MATEMÁTICAS Y POESÍA OBJETIVO: Demostrar que las matemáticas no son distantes ni frías, pueden expresar sentimientos, emociones y belleza.
NIVEL: ESO DESCRIPCION: Exposición de poesías matemáticas Material: Poesías relacionadas con las matemáticas Descripción de la actividad: Después de dar a conocer distintas poesías relacionadas con las matemáticas, se les propone a los alumnos que ellos mismos creen poesía numérica.
POLINOMIOS Y MAGIA OBJETIVOS: Trabajar las operaciones con polinomios. NIVEL: 1º ESO, 2º ESO. DESCRIPCION: Número de jugadores: toda la clase individualmente o en grupos. Material necesario: Cada alumno tiene un bolígrafo y un folio para realizar cálculos. Normas del juego: La profesora realizará un juego de magia con un alumno, los demás observan. Por ejemplo: Da a un alumno un folio doblado, dentro está escrito el -1. A continuación a otro alumno le dice: Piensa un número. Multiplícalo por 5. Súmale 1. Multiplica el resultado por 2. Réstale 12 Divide el resultado por 10. Réstale el número inicial. Tras esto pide al primer alumno que abra el folio y lo lea. Aplicación al aula: 1. Tras realizar el juego, se dictan las normas y deben dar una explicación de por qué da -1. 2. En la pizarra tratamos de que los alumnos lleguen a escribir el juego como una expresión algebraica. Tras lo cual les pediremos que simplifiquen esta expresión y vean lo que da. 3. Organizados en grupos deben inventar un truco de magia numérica. VARIABLES DIDÁCTICAS: Idear otros juegos dónde el resultado sea el número pensado más 15, por ejemplo. En este caso les pediremos el resultado y nosotros les diremos que número pensaron. Idear juegos en los que parte de la cifra final sea un número pensado, por ejemplo las unidades y decenas y la otra parte otro de los datos del jugador. Por ejemplo: Escribe el número de personas que viven en tu casa. Multiplícalo por 2 y súmale 4. El resultado lo multiplicas por 50. Al resultado le sumas 1568. Resta, al resultado, tu año de nacimiento. Dime lo que te dá. El profesor adivinará los años que ha cumplido o cumplirá en 2014 (unidades y decenas) y el número de hermanos (centenas). Para ello es necesario que el profesor sume 246 al resultado del alumno. En este juego se pueden hacer, además de las preguntas que hemos realizado en el juego primero, otras como: ¿qué ocurre sui la persona tiene 105 años? ¿cómo hay que modificar el juego para que sirva en 2020?...
MEDICIÓN DE ÁNGULOS. TEODOLITO CASERO. OBJETIVOS: Con esta actividad se desea que los alumnos construyan un teodolito casero y realicen una actividad práctica de trigonometría con él. El objetivo de esta actividad es doble: Construir el teodolito. El alumno conocerá con ello la utilización del transportador de ángulos. Realizar cálculos sencillos de trigonometría. A través de las mediciones hechas con su teodolito casero.
NIVEL: 4ºESO DESCRIPCION: Actividad individual (Aunque se pueden formar equipos de 2 para usar la el metro o la cinta métrica y marcar posiciones para la medida). Materiales: Un transportador de ángulos escolar. Un láser luminoso. Una pieza sólida para taladrarlo como base. (Madera, metacrilato, etc.). Un tornillo pequeño con tuerca. Una brida pequeña. Un trozo circular de espuma o similar. Pegamento instantáneo. Taladro para hace un agujero.
Mecánica de la actividad: Construcción del material: Se pega el transportador de ángulos a la base procurando que quede centrado en la pieza base y que quede suficiente espacio debajo para el giro del láser. Una vez seco se taladra un agujero justo en el centro del transportador de ángulos con un diámetro suficiente para que pase nuestro tornillo con tuerca. Se taladra también la pieza de espuma o foam justo en el centro, esta pieza nos servirá de ruleta en el teodolito. Una vez hecho esto se unen la base con la ruleta de espuma usando el tornillo con tuerca.
A continuación pasamos a pegar el láser a la ruleta pero previamente le pegaremos la punta de una brida. Esto nos servirá para indicar sobre el transportador de ángulos el ángulo que señala el láser. Finalmente calculamos la mitad del láser y procuramos pegar este a la ruleta de forma que coincida este punto medio con el tornillo que se encontrará ligeramente hundido en la ruleta de espuma…. Y ya está. Es recomendable que guardemos nuestro teodolito casero en una caja de zapatos o caja sólida con una cinta métrica y un metro para tener nuestro equipo de medidas preparado para entrar en acción.
Realización de la actividad: El profesor propondrá una serie de ejercicios en los que la utilización del teodolito casero será imprescindible. En algunas de ellas el alumno no solo tendrá que hacer uso del teodolito sino también de la cinta métrica. Podemos citar como ejemplo las siguientes actividades. Ejercicio 1: Utiliza tu teodolito para medir la altura de un armario de tu casa o una figura de decoración que tengas en casa. Debes calcular el ángulo donde posicionas el teodolito y la distancia a la base del objeto. Describir las mediciones tomadas y los cálculos realizados para llegar al resultado.
Ejemplo 1: Realizamos una medición con la cinta métrica desde la figura hasta la posición donde colocaremos el teodolito. Anotamos la distancia a la figura, en este ejemplo: 16 cm.
Realizamos a continuación una medición con nuestro teodolito poniéndolo en la posición prevista y apuntando a la punta de la figura. En nuestro ejemplo: 52º.
Usando la trigonometría obtenemos finalmente:
Tg (52º )
altura altura 16 Tg (52º ) 20, 47cm 16 cm
Ejercicio 2: Utiliza tu teodolito para medir la altura de un objeto de pie inaccesible como por ejemplo una farola del otro lado de una calle en un parque. Realiza dos mediciones con tu teodolito y una medida de la distancia que te alejas. Ejercicio 3: Utiliza tu teodolito para medir el área de un triángulo formado por un árbol del parque, una papelera y un banco. Coloca tu teodolito en forma horizontal y haz 2 mediciones y una con el metro.
Aplicaciones didácticas: Su aplicación será básicamente para 4º de la ESO en la “Opción B” ya que es donde se introduce la trigonometría.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Podemos ampliar su uso a cursos superiores como en Matemáticas I de 1º de bachillerato para el tema de trigonometría y resolución de triángulos. Pudiendo utilizarse para resolver problemas de alturas de pie inaccesible.
INTRODUCCCIÓN TEOREMA DE PITÁGORAS OBJETIVO:. Usar una cuerda para mostrar la utilidad de la terna pitagórica 3, 4, 5, comentando su uso histórico en el Antiguo Egipto para el trazado de tierras de cultivo. Con ello se pretende introducir su generalización al teorema de Pitágoras.
NIVEL: 2º ESO DESCRIPCION: Número de jugadores: Dos personas (necesarias para sostener la cuerda) Material: Tramo de cuerda de al menos un par de metros. Mecánica de la actividad: Construcción del material: A lo largo de la cuerda vamos haciendo nudos simples a intervalos regulares (un total de 11), más un nudo final de cierre que puede ser corredizo (para ajustar mejor la medida) (Si resulta complejo conseguir nudos equidistantes, se puede probar a marcar con cinta de color cada marca en lugar de un nudo). En total debe tener 12 nudos, separando la cuerda en 12 tramos. Ver foto:
Realización de la actividad: Se introduce la siguiente referencia al Antiguo Egipto: “En las crecidas estacionales del Nilo, las tierras de cultivo se inundaban completamente, con lo que se regaban las tierras, pero se producían corrimientos de tierras que borraban las lindes de los terrenos agrícolas, por lo que había que volver a trazarlas, y para ello era necesario un método para construir líneas perpendiculares sobre el terreno, de forma que encajaran correctamente los terrenos, para ello se utilizaban cuerdas como esta en la que se colocaban estacas en tramos de longitudes 3, 4 y 5, formando un triángulo que tenía la propiedad de formar siempre un ángulo recto entre los lados de longitudes 3 y 4 (catetos del triángulo). Esta aplicación de la conocida como terna pitagórica de 3, 4 y 5 se usó en la antigüedad para todo tipo de edificaciones por la sencillez de trazar ángulos rectos. De hecho, el triángulo formado se conoce como triángulo egipcio o triángulo sagrado, como lo consideraban ellos (En el interior de una de las pirámides de Egipto hay una representación de este triángulo)”. Para utilizar la cuerda, un alumno sujeta el nudo de cierre por ejemplo, mientras que otro alumno coge con una mano el nudo que limita 3 tramos, mientras que el profesor u otro alumno sostiene el siguiente nudo que marca 4 tramos, tensando la cuerda y formando el triángulo rectángulo.
Después se suelta uno de los nudos, el que marca 3 tramos, para coger el siguiente, de forma que abarque 4 tramos, y el otro alumno coge el nudo correspondiente a 3 tramos, de forma que invertimos el triángulo, pudiendo marcar otra esquina de lo que sería un rectángulo de 3 X 4. (Se tiene que tensar la cuerda)
Aplicaciones didácticas: Su aplicación será básicamente para 2º de la ESO, ya que es cuando se introduce el teorema de Pitágoras, aunque puede ser introducido también en 1º como curiosidad o para introducir los triángulos rectángulos o la geometría en general.
VARIABLES DIDÁCTICAS: Podemos ampliar su uso a cursos superiores para introducir las ternas pitagóricas.
TRAGA-RAÍCES OBJETIVO: Con esta variante del juego de mesa del traga-bolas se pretende que los alumnos sean capaces de operar con las raíces (Sumar restar, multiplicar e incluso dividir). Se pretende que el alumno sea capaz de conseguir el número obtenido al azar por la ruleta operando con las bolas que ha conseguido al tragar las bolas los hipopótamos. También resulta útil para practicar el hecho de sacar factores de una raíz o bien meter factores dentro de la raíz.
NIVEL: 4º ESO DESCRIPCION: Número de jugadores: 4 personas. Materiales: Un traga-bolas. Rotulador permanente. Una ruleta con números enteros y raíces.
Mecánica de la actividad: 1. Damos vuelta a la ruleta para obtener un número irracional o natural. 2. Echamos las bolas al centro del juego. Tras el “preparados listos ya…” Los jugadores se tragan todas las bolas que puedan. 3. Se hace un recuento de las bolas y se buscan combinaciones con las bolas que permitan conseguir el número irracional o entero seleccionado en la ruleta. Los números irracionales juntos implican que se está multiplicando si no se pone con ninguna otra operación intermedia.
4. Si hay empate gana el que utilice el mayor número de bolas.
Aplicaciones didácticas: Su aplicación será 4º de la ESO tanto en su “Opción A” como en la “Opción B” para la utilización y manejo de raíces (Sumar, restar, multiplicar). Incluso para racionalizar raíces.
1 2
3
2
6
2 5
1яАл 2
2 3 8
ACERTIJOS Y ENIGMAS. El incidente (M. Night Shyamalan, 2008) OBJETIVOS: Divulgar las Matemáticas a través del cine. Fomentar el gusto por las Matemáticas a través de acertijos. Calcular el error absoluto y relativo de una aproximación. Identificar sucesiones numéricas en situaciones reales. Calcular el término enésimo de una sucesión geométrica. Calcular las suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica. Convertir cantidades de unas unidades monetarias a otras.
NIVEL: 3º ESO DESCRIPCION: Material: Película “El incidente” (M. Night Shyamalan, 2008) Aplicación al aula: Después de proyectar la película los alumnos realizaran el cuestionario
CUESTIONARIO Observa detenidamente el siguiente fragmento de la película "El incidente" y responde a las siguientes cuestiones:
1. En la escena anterior, el protagonista propone un acertijo matemático a la chica para que se olvide de la trágica situación que está sucediendo a su alrededor. Este acertijo no es más que una sucesión numérica, ¿de qué tipo?
2. Calcula la suma de los 30 primeros términos de dicha sucesión y comprueba si la solución dada por el protagonista se aproxima a la solución correcta. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido?, ¿crees que es una buena aproximación?
3. Busca en Internet la cotización del dólar respecto al euro y calcula el resultado anterior en euros. Aproxima el resultado a las unidades de millón y calcula el error absoluto y relativo cometidos.
4. Inventa un acertijo matemático que se base en una sucesión numérica.