GRÁFICO CUSUM 1.0 INTRODUCCIÓN. El gráfico CUSUM fue propuesto por primera vez durante la década de 1950. El gráfico utiliza una suma móvil que incluye sólo secuencia de datos recientes que indica un posible cambio en la medida del proceso. En general, los gráficos CUSUM son más eficientes para detectar pequeños cambios en la media del proceso (Bertrand L. & Prabhakar M., 1989, pág. 133). EI gráfico CUSUM (sumas cumuladas) puede ser aplicado en áreas muy variadas tales como control de procesos industriales, administración, ciencias médicas, marketing, comercio, biología, etc. En este capítulo presentaremos la aplicación de los gráficos CUSUM al control de procesos industriales. Los gráficos de control CUSUM surgieron como una alternativa a los gráficos de Shewart para detectar cambios moderados en los cambios del proceso (en torno a 0.5−2σ , siendo σ la desviación estándar de los valores observables). Las diferencias principales entre los dos gráficos se deben a los objetivos que persiguen. Mientras que el objetivo de los gráficos Shewart es detectar la aparición de causas asignables de variabilidad, el objetivo del CUSUM es algo diferente. Durante el control con CUSUM se desea fabricar en torno a un valor nominal o target T y se pretende detectar cualquier evidencia de alejamiento por parte del proceso de T en una magnitud superior a un valor preestablecido. • Un valor constante: el valor nominal de una variable continua, la varianza del proceso 3 σ , una proporción de individuos defectuosos p , etc. • Un valor no constante: los valores que predice un modelo teórico. Para la presentación de los gráficos CUSUM nos basaremos en el caso particular en el que se pretende controlar la media de cierta característica y en tal caso T = μ . A igual que en los gráficos X́ −R se han de tomar muestras de tamaño n del proceso, a intervalos de tiempo equidistantes, y se ha de calcular la media x́ i y el recorrido, Ri . A partir de estos datos, en cada instante k
C i=∑ ( ́x i ) ,
k , se obtiene el estadístico C i :
siendo en este caso particular
T=μ
i =1
que es el que se llevará al gráfico CUSUM. Este valor acumula las discrepancias de los valores observados respecto al valor nominal. Si el proceso está bajo control produciendo con media μ=T , los sumandos positivos y negativos se compensarán unos con otros y observaremos a C k oscilar alrededor de 0 (u otro valor fijo), tal corno se muestra en la figura 1.1.
1
GRÁFICO CUSUM
Figura 1.. Gráfico CUSUM cuando el proceso está bajo control con
T=μ .
Por el contrario, si la media del proceso no coincide con T , las discrepancias de los valores observados respecto T se acentuarán en un sentido, dependiendo de si T es superior o inferior al verdadero valor de μ , y por lo tanto el gráfico CUSUM tendrá una apariencia similar a una de las presentadas en la figura 1.2.
Figura 1.. Gráficos CUSUM cuando el proceso no está bajo control: a)
μ >T. b) μ <T .
Por lo tanto, en un gráfico CUSUM la magnitud del valor representado no tiene tanto interés como en los gráficos Shewart, pues aquí la importancia la tiene la pendiente que forma una trama de puntos. En consecuencia, una trama de puntos horizontales, sea cual sea su magnitud, puede ser interpretada como que en ese periodo de tiempo no hay evidencia de que la media del proceso no sea T . Por el contrario, el alejamiento de la horizontal da pruebas de cambios en la media del proceso: cuanto mayor sea la pendiente, mayor será la discrepancia entre μ y T . Por ejemplo, la figura 1.3 presenta un proceso que se ha mantenido con media μ=T al comienzo de la implementación del gráfico CUSUM; posteriormente la media del proceso ha pasado a ser más pequeña, volviendo a su valor original T durante un período intermedio.
2
GRÁFICO CUSUM
Figura 1.. Gráfico CUSUM para la media de un proceso. Al final la media del proceso nuevamente cambia a un valor mayor que T . Si comparamos está pendiente creciente con la anterior decreciente, podemos sospechar que el último cambio experimentado en la media es de mayor magnitud. Como ya se ha mencionado, el análisis de los gráficos CUSUM se hará analizando la pendiente de una trama de observaciones seguidas. Por lo tanto, los límites de control en lugar de estar formados por líneas paralelas estarán formados por dos “pendientes”, que representarán las máximas pendientes permitidas antes de concluir que hay pruebas de que causas asignables están actuando en el proceso provocando un cambio en media superior a la admitida. La pendiente de los límites de control dependerá de cuatro factores: La escala del gráfico. La variabilidad innata del proceso, σ . El cambio en el parámetro del proceso que se pretende detectar. El riesgo que se admite tomar en las decisiones ( ∝ ). En cuanto a la escala del gráfico se recomienda que la escala del eje vertical (o escala CUSUM) tenga la siguiente relación con la escala del eje horizontal (o escala del tiempo), 1 unidad escala horizontal = 2 σ e se escala vertical = A , donde σ e se es la desviación estándar del estadístico del cual se obtienen las sumas acumuladas. Por ejemplo, si se σ e =5 , y colocamos las observaciones en el gráfico CUSUM con una separación de un centímetro en la horizontal, en la escala vertical un centímetro representará 10 unidades de la característica que se mida. La variabilidad innata del proceso influye directamente en los límites de control: a mayor variabilidad más fácil es encontrar tramas de puntos en pendiente y más acentuadas pueden ser éstas aun estando el proceso bajo control. Por lo tanto, para la construcción del gráfico se ha de estimar σ e , o desviación estándar del estadístico obtenido de la muestra. Ésta puede tomar diferentes expresiones dependiendo de la característica que se estudie, y puede ser estimada de la misma manera que en los gráficos Shewart. Algunas de las formas que puede tomar se son: σ / √ n si se toma la medida de cierta característica que varía con desviación típica σ ; 3
GRÁFICO CUSUM
√ p(1− p)/n √ np(1− p)
si se toman proporciones de individuos defectuosos; si se toma número de individuos defectuosos;
CITATION Pra05 \p 266-268 \l 2058 (Prat Bartés, Tort-Martorell Llabrés, Grima Cintas, Pozueta Fernández, & Solé Vidal, 2005, págs. 266-268) . 1.1 ORIGEN. En 1954 Page propuso el uso del Gráfico de la Suma Acumulada más conocido por Gráfico CUSUM que, contrariamente a lo que ocurre en el gráfico de la media, la decisión se toma tras el análisis sistemático de toda o de la mayor parte de la serie temporal de medias, consiguiendo así, en determinadas circunstancias, mejorar la eficacia del gráfico de la media (Carot Alonso, 1998, pág. 527). 1.2 CONCEPTO. Gráfica CUSUM. La gráfica de sumas acumuladas (CUSUM) de medias es usada para detectar cambios pequeños o medianos en la media del proceso, de una manera más rápida que las gráficas de control de Shewhart (Escalante Vázquez, 2006, pág. 379). Gráfica CUSUM. Este es un tipo de gráfico en el que cada punto no representa la información correspondiente a un momento dado, como ocurría en los anteriores, sino que va acumulando información contenida en puntos anteriores (Grima Cintas & Tort-Martorell Llabrés, 1995, pág. 132). Gráfica CUSUM. Este gráfico muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto a un valor objetivo (Martín Fernández, Ayuga Tellez, González García, & Martín Fernández, 2001, pág. 567). 1.3 TIPOS DE GRÁFICOS CUSUM. • Cusum chart (V mask). Este gráfico muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto a un valor objetivo. Una tendencia ascendente o descendente del gráfico detecta que el proceso ha cambiado y puede estar fuera de control. Permite detectar cambios en un proceso de forma más rápida que los gráficos de control por variables. Según el número de desviaciones típicas de la desviación que se quiere que el sistema detecte se puede establecer un intervalo de control en la muestra que se desee (V mask).
√❑ si se toma número de ocurrencias por unidad
•
Cusum individuals chart (V musk). Gráfico basado en sumas acumuladas para observaciones, es un gráfico equivalente al anterior en el que el tamaño de muestra es 1. • Cusum chart (H-K). (Statg. Plus v 4.0). Este gráfico muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto a un valor objetivo. Pero a diferencia del gráfico anterior separa las desviaciones por encima del valor objetivo de las desviaciones por debajo de dicho valor. El intervalo de control viene determinado por el coeficiente H . En el gráfico aparece un segundo intervalo determinado con el coeficiente K que sirve de referencia para ver el grado de control del proceso. Este gráfico permite detectar cambios en un proceso de forma más rápida que los gráficos de control por variables. En este caso se supone que los datos proceden de un modelo de distribución normal (Martín Fernández, Ayuga Tellez, González García, & Martín Fernández, 2001, pág. 567). 1.4 GRÁFICO CUSUM. 4
GRÁFICO CUSUM Una característica importante de los gráficos de Shewhart es su capacidad para responder de forma rápida a la introducción de un error de cierto tamaño. En presencia de este error, el resultado obtenido se sitúa fuera de los límites de control e inmediatamente se toman las medidas correctoras pertinentes. Sin embargo, si ocurren cambios más graduales, debido a errores pequeños tales como los introducidos por la deriva de los instrumentos, los gráficos de Shewhart poseen lentitud de respuesta. En estos casos se deberían utilizar los gráficos Cusum. Gráficos Cusum. En estos gráficos se representa la suma cumulativa (cumulative sum) c i de diferencias entre los valores observados x 1 y el valor medio determinado previamente ́x . Siendo:
C 2=C 1 +( X 2 − X́ ) C 3=C 2 +( X 3− X́ ) C 1= X 1− X́ .
.
.
C n=C n−1+( X n− X́ )
Figura 1.. Gráfico de control Cusum en el que se representa la suma cumulativa de errores en función de la muestra de control analizada. Los valores c i deberían oscilar, en presencia de errores únicamente aleatorios alrededor del cero tal como muestra la primera parte de la Figura 111.6. Si existe algún error sistemático se suma a cada valor de C i , por lo que éste se aleja sucesivamente del valor central. La posición del cambio de pendiente indica el momento del cambio en la calidad del parámetro estudiado. Los límites se establecen mediante una plantilla en forma de V o de parábola [22] de tal forma que la bisectriz del ángulo sea paralela al eje horizontal del gráfico. El punto P situado a una distancia d = 2 x (donde x es la distancia entre puntos representados en el eje horizontal) del vértice O de la plantilla, se sitúa en el punto más reciente del gráfico Cusum. Si los límites de la plantilla cortan en algún punto al gráfico Cusum, es a partir de este punto donde se considera significativa la tendencia detectada. Se han descrito diversas versiones de estos gráficos en los que varía principalmente el ángulo de la plantilla y la distancia d [23] así como diversas técnicas para determinar la presencia, o no, de deriva en los resultados obtenidos [3,25]. La construcción de los gráficos de Shewhart así como de los gráficos de 5
GRÁFICO CUSUM Cusum se ha automatizado, existiendo diversos programas de ordenador que facilitan enormemente su desarrollo [24-26] (Barcárcel & Rios, 1992, págs. 98-100). • CUSUM de dos lados (con máscara) En este tipo de CUSUM se grafican las sumas S i definidas antes, y para detectar cambios se usa una especie de cono en forma de la letra V , al cual se le denomina mascara y se coloca de manera horizontal sobre los puntos graficados (véase figura 9.2). Si algún punto anterior al punto de colocación se sale de los brazos de la máscara, el proceso se encuentra fuera de control estadístico. Por ejemplo, en la figura 9.2, al colocar la máscara en el punto 10 se detecta una señal de fuera de control porque el punto 8 se sale del brazo superior. Note que la señal también se detectaría al colocar la máscara en cualquier punto a partir del punto 10. Como se observa en la figura 9.2, los parámetros fundamentales de la máscara son el intervalo de decisión h y el valor de referencia k . Donde h es la distancia entre el punto de colocación y los brazos de la máscara, y k es la mitad del salto que interesa detectar. Ambos parámetros se expresan en unidades del error estándar σ X́ . La distancia guía d entre el punto de colocación, el vértice de la máscara y el ángulo θ (figura 9.2) se relaciona con los parámetros k y h mediante las formulas:
h d= y k
θ=arctan
( k2 )=arctan ( 2dh )
donde el 2 sale del hecho de que la escala horizontal está en unidades de 2σ X́ , y es necesario reescalar a unidades de σ X́ para realizar los cálculos. Los valores que toman los parámetros de la máscara determinan el desempeño de la herramienta en cuanto a su potencia para detectar cambios de nivel en el proceso.
Figura 9.2 M´´ascara V y sus parámetros básicos. Los parámetros d y k se relacionan con los riesgos tipo I (α) mediante la fórmula: 1 1− β d = 2 ln α 2k
( )
6
y tipo
II ( β)
GRÁFICO CUSUM Si se considera al error
β pequeño (¿ 1 ) , entonces d
se simplifica a
−1 ln ( ∝) 2k 2 De esta última relación se puede poner el riesgo α en función de d d=
y
k
como,
2
α=exp (– 2 dk ) Al conocer dos de los parametros del conjunto α , θ , d , h , k es posible deducir los tres restantes. Los valores típicos que se recomienda son h=5 y k =0.5 , ya que son apropiados cuando interesa detectar un cambio de magnitud de un error estándar (1 σ X́ ) , con un ARL 0 en control de 465. La selección de los parámetros de la carta se puede hacer con la ayuda de la tabla 9.1. Por ejemplo, si se quiere detectar un cambio de nivel de magnitud 1 σ X́ , se elige el valor δ=1 en el margen izquierdo y el ARL 0 deseado en la parte superior. Al considerar el ARL 0=300 , los parámetros de la CUSUM requerida son d =9.0 , k =0.5 y h=dk =4.5 , con la cual se detectaría el cambio de interés en 9.4 puntos en promedio. EJEMPLO 9.1
δ
50
100
200
300
400
500
0.25 0.50 0.75 1.0 1.5 1.75 2.0
INTERPRETACIÓN. En la interpretación de los gráficos CUSUM de la manera aquí expuesta hay que tomar ciertas precauciones. La primera es que la variabilidad del proceso ha de permanecer constante, para ello se ha de llevar un control aparte de la misma. En segundo lugar, los gráficos así construidos no son muy eficaces en la detección de cambios graduales en media o en los cambios que surgen y desaparecen rápidamente del proceso. Por lo tanto es recomendable usar los gráficos CUSUM para detectar “saltos” en la media del proceso y paralelamente los gráficos Shewart para ayudarnos a Interpretar otro tipo de anomalías. USOS. Uso de la gráfica Cusum (Pyzdek, 1992)
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GRÁFICO CUSUM 1. Cuando se tiene lo necesidad de una respuesta rápida (de dos o cuatro veces más rápido que uno gráfico Shewhart) ante cambios pequeños, en el rango de 0.5σ o 2σ. Sin embargo puede ser lento para detector cambios grandes. Se recomiendo si: 2. Los costos de muestreo son altos y hay que reducirlos, y cuando se necesita saber cuándo ocurrió el cambio en el proceso. a) Se tienen largos corridas de producción. b) La varianza del proceso es estable. c) El proceso puede ajustarse para trabajar en un valor objetivo específico (Escalante Vázquez, 2005, pág. 358). Ejemplos. Ejemplo 1. Hacer un gráfico Cusum tabular para los siguientes datos de un proceso con objetivo 2 en donde se desea detectar cambios de 0.15, siendo σ=0.1. I
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.37 1.88 1.85 1.80 1.70 1.70 1.95 2.21 2.32 2.35
μ o=valor objetivo μ 1= μ0 +δσ , μ1=2+0.15=2.15 k=
∣ μ1− μ0∣ 2
=
δσ 2.15−2 , k= =0.075 2 2
H =5σ , H =5 ( 0.1 )=0.5 +¿ 0, x i−( μ o+ K ) +C ¿i −1 +¿=máx ¿ ¿ Ci +¿ 0, x i−( 2+0.075 ) +C ¿i−1 ¿ +¿ ¿ 0, xi −( 2.075 ) +C i −1 +¿=máx ¿ +¿=máx ¿ C ¿i
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,
μ o=2
GRÁFICO CUSUM
−¿ ¿ 0, ( μ o−K )− x i+C i−1 −¿=máx ¿ ¿ Ci −¿ 0, ( 2−0.075 )−x i +C ¿i −1 ¿ −¿ ¿ 0, ( 1.925 )−x i +C i−1 −¿=máx ¿ −¿=máx ¿ C ¿i I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 2.37 1.88 1.85 1.80 1.70 1.70 1.95 2.21 2.32 2.35
X- 2.075 0.295 -0.195 -0.225 -0.275 -0.375 -0.375 -0.125 0.135 0.245 0.275
C 0.295 0.100 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.135 0.380 0.655
N+ 1 2
Decisión
1 2 3
Reset 2
1.925-X -0.4450 0.0450 0.0750 0.1250 0.2250 0.2250 -0.0250 -0.2850 -0.3950 -0.4250
C 0.000 0.045 0.120 0.245 0.470 0.695 0.000 0.000 0.000 0.000
N-
Decisión
1 2 3 4 5
Reset 1
En Reset 1 el cambio ocurrió entre los puntos 1 y 2 (6-5). En Reset 2 el cambio ocurrió entre los puntos 7 y 8 (10-3). Ejemplo 2. Se desea evaluar el comportamiento de un proceso de empacado de galletas en cajas de 1 kg y se desea detectar cambios de 0.035 kg. Se sabe que σ = 0.07. μ o=valor objetivo μ o=1 ,
μ 1= μ0 +δσ , μ1=1+0.035=1.035 9
GRÁFICO CUSUM
k=
∣μ1− μ0∣ 2
=
δσ 1.035−1 , k= =0.0175 2 2
H =5σ , H =5 ( 0.07 )=0.35 +¿ ¿ 0, x i−( μ o+ K ) +C i −1 +¿=máx ¿ ¿ Ci +¿ 0, x i−( 1+0.0175 ) +C ¿i −1 ¿ +¿ ¿ 0, x i −( 1.0175 )+ C i−1 +¿=máx ¿ +¿=máx ¿ C ¿i −¿ 0, ( μ o−K )− x i+C ¿i−1 −¿=máx ¿ ¿ Ci −¿ 0, ( 1−0.0175 )− x i+ C ¿i−1 ¿ −¿ 0, ( 0.9825 ) −x i +C ¿i−1 −¿=máx ¿ −¿=máx ¿ C i¿ I
X
X-1.0175
C
N+
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0.97 1.05 1.05 1.05 1.04 1.05 1.03 1.05 1.04 1.05 1.04 1.03 1.02 1.05 1.05
-0.0475
0.000
0.0325
Decisió n
0.9825-X
C
N-
0
0.0125
0.013
1
0.033
1
-0.0675
0.000
0
0.0325
0.065
2
-0.0675
0.000
0
0.0325
0.097
3
-0.0675
0.000
0
0.0225
0.120
4
-0.0575
0.000
0
0.0325
0.153
5
-0.0675
0.000
0
0.0125
0.165
6
-0.0475
0.000
0
0.0325
0.198
7
-0.0675
0.000
0
0.0225
0.220
8
-0.0575
0.000
0
0.0325
0.253
9
-0.0675
0.000
0
0.0225
0.275
10
-0.0575
0.000
0
0.0125
0.288
11
-0.0475
0.000
0
0.0025
0.290
12
-0.0375
0.000
0
0.0325
0.323
13
-0.0675
0.000
0
0.0325
0.355
14
-0.0675
0.000
0
10
Reset
Decisión
GRÁFICO CUSUM 16 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 17 0.98 -0.0375 0.000 0 0.0025 0.003 1 18 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 19 1.00 -0.0175 0.000 0 -0.0175 0.000 0 20 1.00 -0.0175 0.000 0 -0.0175 0.000 0 21 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 22 0.98 -0.0375 0.000 0 0.0025 0.003 1 23 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 24 1.01 -0.0075 0.000 0 -0.0275 0.000 0 25 1.02 0.0025 0.002 1 -0.0375 0.000 0 26 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 27 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 28 0.98 -0.0375 0.000 0 0.0025 0.003 1 29 1.01 -0.0075 0.000 0 -0.0275 0.000 0 30 0.99 -0.0275 0.000 0 -0.0075 0.000 0 31 1.02 0.0025 0.002 1 -0.0375 0.000 0 32 1.01 -0.0075 0.000 0 -0.0275 0.000 0 + — + — N y N representan el número sucesivo de valores C o C que son mayores que cero, y sirve poro indicar el punto en el que se inició el cambio. La acción “reset” significo que se pasó el límite de decisión H, y o partir del siguiente punto el valor acumulado se pone en cero. Lo gráfico se muestra en la figura 7.15.
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GRﾃ：ICO CUSUM
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