ecuaciones

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA SEMINARIO UNIVERSITARIO 2011

CAPITULO IV : ECUACIONES –INTRODUCCIÓN. [Contenidos: Concepto. Conjunto solución. Propiedades. Lenguaje coloquial y lenguaje simbólico. Clasificación de ecuaciones de acuerdo al conjunto solución. Problemas.

Clasificación de funciones de acuerdo a las operaciones involucradas, al grado del polinomio asociado, etc. Ecuaciones racionales. Guía de trabajo . ]

¿Cómo se resuelve una ecuación?.El famoso “pasaje de términos

COORDINADORA MODULO MATEMATICA: ING.DURE,DIANA A

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

MODULO MATEMÁTICA- U. T. N. – F. R. Re.

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ECUACIONES ¿Qué son las ecuaciones?

Situaciones Plantear en forma simbólica: 1. Una empresa constructora contrata albañiles para realizar un trabajo en 30 días. Acuerdan que a cada albañil se le pagará 50$ por día trabajado y se le descontará 10$ por cada día que no fuese a trabajar. Ricardo cobró 0$ , ¿cuántos días trabajó y cuántos días no se presentó al trabajo?

Luego de resolver este ejercicio se verá que: Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras. Es una traducción del lenguaje coloquial al lenguaje matemático. Las dificultades que podemos tener al plantear ecuaciones son dificultades de interpretación.

Para traducir una frase del castellano al inglés se necesitan dos cosas: tenemos que comprender primero totalmente el contenido de la frase en castellano y segundo, tenemos que estar familiarizados con las formas particulares de expresión del idioma inglés.

En nuestra situación planteada, primero hemos de comprender totalmente la condición y luego hemos de estar familiarizados con las formas de expresión del lenguaje matemático.

Una manera de resolver una ecuación es transformarla en una más simple cuya solución sea obvia.

Para transformar ecuaciones pueden ser de gran utilidad las propiedades de suma y multiplicación de la igualdad.

2.Pedro, Juan y Luis son hermanos. Tienen entre los tres ahorrados $63. Juan tiene un peso más que Pedro y uno menos que Luis. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada uno?

Antes de proseguir con la lectura sería conveniente intentar resolver el problema.

Luego se puede comparar la resolución obtenida con las que le proponemos a continuación.

Una posible resolución sería: Si todos tuvieran ahorrada la misma cantidad podríamos dividir 63 entre 3 y obtendríamos 21.

Pero como Juan tiene un peso más que Pedro y uno menos que Luis, Pedro tiene 20 y Luis 22.

Formalicemos lo analizado en las situaciones planteadas

En capítulos anteriores hemos visto que la función polinómica de primer grado es:

f ( x) = a1 x + a 0 Para calcular las raíces de una función polinómica debemos igualar f(x) a cero: a1 x + a0 = 0 , por lo tanto hallar las raíces de una función f(x) es plantear y resolver la ecuación f ( x) = 0 .

a1 x = 0 − a0 x=−

a0 a1

Ésta es la única solución de la ecuación de primer grado, o lo que es lo mismo: x = −

a0 es la única a1

raíz de la función polinómica f (x).

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Ejemplos

2x + 3 = 5

es

una ecuación

si

x = 1 2( 1 ) + 3 = 5

Al reemplazar dicho valor en la ecuación

5=5 se obtiene una identidad o igualdad numérica en la que decimos que x=1 es la solución o raíz de la ecuación.

1) x 2 = 16 2) 2 = 8 3) 2.( x + 1) = 4 x 4) 3x + 2y = 5 X

Son ecuaciones

Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, alguno o ningún valor de las variables

5) S = b.h/2 Los ejemplos 1, 2 y 3 corresponden a ecuaciones con una variable, x.

El ejemplo 4 corresponde a una ecuación con dos variables, x e y. El ejemplo 5 corresponde a una ecuación con tres variables, S, b y h.

Según el valor que le demos a las variables la igualdad será verdadera o falsa.

El conjunto de todos los valores que pueden tomar las variables de modo tal que la igualdad resulte verdadera, recibe el nombre de conjunto solución de la ecuación.

En el caso de la ecuación 1 decimos que el conjunto solución está formado por los números 4 y –4 Lo simbolizamos S = {4,−4} Resolver una ecuación significa hallar su conjunto solución. Dependiendo de la cantidad de variables y de la forma de la ecuación existen diferentes métodos para resolverlas.

Las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones equivalentes.

En el siguiente cuadro mostramos algunas ecuaciones, sus incógnitas y sus soluciones.

Ecuación

Cantidad de variables

x = 16

1

2

2x = 8

1

1

2( x + 1) = 4 x

1

1

2

Infinitas Por ejemplo: (1; 1) (2; 1/2)

S = (x, y)

3x + 2y = 5

S = b · h/2

3

Infinitas Por ejemplo: (6, 3, 4) (16, 4, 8)

S = (S, b, h) R

2

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Cantidad de soluciones

Conjunto solución

Se lee El conjunto solución esta formado por los números 4 y -4

S = {4,−4} S = {3}

El conjunto solución esta formado por el número 3

S = {1}

El conjunto solución esta formado por el número 1

∈R

∈

El conjunto solución está formado por todos los pares (x, y) que verifican la igualdad.

El conjunto solución está formado por todas las ternas de números reales que verifican la igualdad.

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Cantidad de variables

Ecuación

Cantidad de soluciones

Conjunto solución

S = { }= φ

a +1= a + 2

1

Ninguna

2b = b + b

1

Infinita ( ∞ )

S=R

Se lee

El conjunto solución es vacío.

El conjunto solución está formado por todos los números reales.

Ecuaciones de primer grado con una sola variable o incógnita

ax + b = 0

Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: Siendo a y b números reales , con

a ≠ 0 , x es la incógnita.

Para resolver ecuaciones se utilizan dos propiedades muy importantes.

Propiedades: • Aditiva de la igualdad: •

⇒ a + c = b + c ∀c ∈ ℜ Multiplicativa de la igualdad : Si a = b ⇒ a • c = b • c ∀c ∈ ℜ

Ejemplos

Si a = b

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades

a) 5 x − 4 = 1 3 5 x − 4 + 4 = 13 + 4 5 x = 17 1 1 5 x = .17 5 5 17 17  x= ⇒S =  5 5

propiedad aditiva (sumando el inverso - 4)

propiedad multiplicativa (multiplicando por el recìproco

1 ) 5

17  El conjunto solución de la ecuación es: S =   . 5 5 x − 4 = 13 17 Se puede comprobar si es valor hallado es el verdadero → 5. − 4 = 13 5 13 = 13

b) − 12 y + 22 = − y − 12 y + y + 22 + (-22 ) = -y + y + (-22 ) − 11y = −22 1 1 (−11y) = .(−22) 11 11 22 y= = 2 ⇒ S = {2} 11

−

sumando en ambos miembros y ∧ -22

( )

multiplicando ambos miembros por - 1 11

No siempre la ecuación es tan sencilla como para que se pueda resolver mentalmente.

Tampoco el método por tanteo es sencillo si en la ecuación la variable aparece más de una vez o si la solución no es un número entero.

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Más acerca de la solución de ecuaciones 3 1 3 c) x + = 4 2 2

Cuando la ecuación contiene fracciones o decimales, podemos utilizar la propiedad multiplicativa para eliminarlos. Este proceso se conoce como eliminación de fracciones o decimales de una ecuación.

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.),que en este caso es 4.

1 3  3 4. x +  = 4.   multiplica ndo por 4 2 4  2 3 1 4. x + 4. = 6 propiedad distributi va 4 2 3 1 3 3x + 2 = 6 simplifica ndo Comprobaci ón : x + = 4 2 2 3 x = 6- 2 4 3 4 1 3 3 3     4 4 S = ⇒ = ⇒ =   + 3x = 4 ⇒ x = ⇒ S =   43 2 2 2 2 3 3 3

d ) 3.(5 − 2 x ) =14 − 8( x − 1) 15 − 6 x = 14 − 8x + 8

15 − 3x = 22 − 8 x 8 x − 6 x = 22 + (−15) 2x = 7 ⇒ x = 7  S =  2 

Cuando una ecuación contiene paréntesis, primero utilizamos la propiedad distributiva para eliminarlos, después procedemos como en el caso anterior.

propiedad distributiva

Principio de adición, luego

7 2

sumamos términos semejantes y simplificamos

El procedimiento de ir transformando la ecuación dada en otras equivalentes, más sencillas, hasta llegar a la ecuación más simple de todas que es aquella en la cual la incógnita queda sola en uno de los miembros de la igualdad, recibe el nombre de “ir despejando la incógnita”.

Para despejar la incógnita debemos tener en cuenta las siguientes propiedades:

Propiedad uniforme Si sumamos o restamos un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, obtenemos una ecuación equivalente a la dada.

Si multiplicamos o dividimos por un mismo número o expresión algebraica (distinta de cero) a los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente a la dada.

a = b  ⇒a +c = b+d c = d

a = b  ⇒ a. . c = b . d c = d

a = b a b ⇒ = c ≠ 0 c c

Propiedad cancelativa Si sumamos y restamos un mismo número o expresión algebraica a un miembro de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente a la dada.

Si multiplicamos y dividimos un término de una ecuación por un número distinto de cero obtenemos una ecuación equivalente a la dada.

a+c = b+c ⇒a = b

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a .d = b . d ⇒ a = b

a b = c c

⇒a =b

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La forma práctica de resolver es “ir despejando la incógnita” o bien el difundido “Pasaje de términos” ( no es la manera formal de resolverlas ).

Para pensarlo

Pautas para resolver ecuaciones 1. Utilizar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis, si fuera necesario.

2. Eliminar fracciones y decimales, si fuera necesario.

3. Sumar en ambos miembros de la ecuación los términos que sean semejantes.

4. Utilizar las propiedades aditiva y multiplicativa para despejar la variable.

5. Utilizar las propiedades uniforme y cancelativa para despejar la variable.

Del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico Recordemos Los lenguajes utilizados en Matemática son: El lenguaje coloquial, formado por las palabras que utilizamos para conversar.

El lenguaje simbólico o algebraico, formado por los símbolos específicos de la Matemática.

Lenguaje coloquial

Lenguaje simbólico

El triple de un número es igual a diez

3 n = 10

La edad de Juan supera en dos años a la de Pablo

J=P+2

El costo de vida ha aumentado un 2%

C = c + 0,02 c

¿Siempre existe la solución?

Veamos un ejemplo:

x + 3 = x+7

En este caso, es obvio que no hay número que al sumarle 3 de el mismo resultado que al sumarle 7. x + 3 = x+7 Si intentamos resolverlo:

x − x = 7−3 0 x = 4 ⇒ absurdo

La ecuación no tiene solución .Su conjunto solución es vacío. → Entonces la ecuación es incompatible. x = ∅ Las ecuaciones que tienen solución son compatibles.

Si el conjunto solución de una ecuación tiene un número determinado de elementos (es decir finito), esta ecuación es compatible determinada y si el conjunto solución es infinito, la ecuación es compatible indeterminada.

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Ejemplo

3(4 − 2 x) = − 2(3 x − 6) 12 − 6 x = −6 x + 12 -6 x + 6 x = 12 −12 0x = 0

Esta ecuación es una identidad que se verifica para cualquier valor de x. Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones indeterminadas.

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES Para comenzar proponemos que recuerde las siguientes sugerencias:

Para resolver problemas: Primero: LEER atentamente el problema. ¿Qué debo encontrar? ¿Con qué datos cuento? ¿He resuelto con anterioridad un problema semejante?

Segundo: Elaborar y llevar a cabo un PLAN .¿Que estrategias podría seguir para resolver el problema? ¿Como podría llevar a cabo correctamente las estrategias que he seleccionado?

Tercero: Encontrar la RESPUESTA Y COMPROBARLA. ¿Es correcta la solución propuesta? ¿Cuál es la respuesta al problema? ¿Parece razonable? ¿Se ha expresado con toda claridad la respuesta?

Por lo tanto los pasos a seguir serían los siguientes: 1. Elección de la o las incógnitas: Esta elección debe ser coherente con el enunciado y, cuando corresponda, las unidades deberán ser precisas.

2. Armar la ecuación: La proposición del enunciado se traduce en una ecuación.

3. Resolver la ecuación: Se emplea un método conveniente.

4. Retornar al problema: La coherencia de los resultados debe ser controlada y la conclusión formulada en los términos exactos del enunciado.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Ejemplo

El tiempo que permanece encendida la luz amarilla de un semáforo es un segundo más largo que 0,05 veces el límite de velocidad de la calle que éste controla. ¿Cuál es el tiempo de encendido de la luz amarilla de un semáforo que controla una calle con un límite de velocidad de 30 m/h?

LEER el problema: ¿Cuál es el tiempo que la luz amarilla permanece encendida?.→ Identificar la incógnita • Datos: La luz amarilla permanece encendida 0,05 veces el límite de velocidad más 1 segundo.

• Designación de la o las incógnitas → y: tiempo de encendido s: límite de velocidad

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Elaborar y llevar a cabo un PLAN: Si se elige como estrategia escribir la ecuación.

El tiempo de encendido es 1 segundo más largo que 0,05 veces el límite de velocidad y

=

1

+

0,05

.

x

y = 1 + 0,05 x Resolver la ecuación : Para este limite de velocidad de 30 m/h ⇒ x= 30, de esta manera tenemos la expresión: y = 1 + 0,05 (30)=2,5

Encontrar la RESPUESTA Y COMPROBARLA: En una calle con un límite de velocidad de 30m/h, 2,5 segundos es un tiempo razonable de encendido para la luz amarilla.

Presentación de la respuesta: El tiempo de encendido de la luz amarilla es de 2,5 seg.

Vamos por más Problemas

Retomando el problema 2 del inicio ,vamos a resolverlo de tres maneras diferentes. Recordemos: 1. Pedro, Juan y Luis son hermanos. Tienen entre los tres $63 ahorrados. Juan tiene un peso más que Pedro y uno menos que Luis. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada uno? a) Si llamamos x al dinero que tiene Pedro: Pedro: x Juan: x + 1 Luis: x + 1 + 1 La ecuación que resulta es: x + x + 1 + x + 1 + 1 = 63 b) Si llamamos x al dinero que tiene Juan: Pedro: x – 1 Juan: x Luis: x + 1 La ecuación que resulta es: x – 1 + x + x + 1 = 63 c) Si llamamos x al dinero que tiene Luis: Pedro: x – 1 – 1 Juan: x –1 Luis: x La ecuación que resulta es: x –1 –1 + x –1 + x = 63

Para pensar

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Dijimos que resolver una ecuación es encontrar su conjunto solución. O sea, todos los valores de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

El resultado de un problema no cambia a pesar de que para un mismo problema pueden plantearse distintas ecuaciones según a quién se tome como referencia pues una vez resuelta la ecuación deben interpretarse los resultados.

En cada problema se podrá decidir qué tipo de resolución resulta más apropiada.

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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES Por las operaciones que realizan las variables: Si la variable solamente figura sumando, restando o multiplicando, la ecuación se llama entera.

Una ecuación que Incluya alguna de sus variables en un cociente o razón se llama racional o fraccionaria.

Si incluye una variable dentro de un radical, se llama ecuación irracional. Si incluye una variable dentro del argumento de un logaritmo se denomina logarítmica.

Si incluye una variable como exponente se denomina exponencial.

Si incluye una variable dentro del argumento de una función trigonométrica se denomina trigonométrica.

Etcétera.

Por la cantidad de variables: Si la ecuación incluye sólo una variable se dice que es de una incógnita.

Si la ecuación incluye das variables se dice que es de dos incógnitas.

Si la ecuación incluye tres variables se dice que es de tres incógnitas.

Etcétera.

Por el grado de la ecuación: El grado de la ecuación se determina en forma equivalente al grado de un polinomio: Una ecuación de primer grado también se denomina ecuación lineal.

Una ecuación de segundo grado también se denomina ecuación cuadrática.

Para recordar

Si la ecuación es de una sola variable a su solución la llamamos también raíz.

Al conjunto de todas las soluciones lo llamamos conjunto solución de la ecuación.

Si la ecuación es de segundo grado, posee dos soluciones es decir dos raíces.

Resumiendo

ALGEBRAICAS

ENTERAS POLINOMICAS NO ENTERAS (FRACCIONARIAS)

ECUACIONES LOGARITMICAS TRIGONOMETRICAS EXPONENCIALES

NO ALGEBRAICAS

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ECUACIONES ALGEBRAICAS NO ENTERAS (FRACCIONARIAS).

Dados dos polinomios expresión del tipo:

P ( x) ∧ Q( x) tales que Q ( x) ≠ 0 se denomina ecuación fraccionaria a toda

P(x ) = 0 Q( x )

siendo

a x n + . . . + a1 x + a 0 P( x ) . = n Q( x ) bn x n + . . . + b1 x + b0

Resolver una ecuación fraccionaria es encontrar las raíces del polinomio P(x) que representan el conjunto solución de la ecuación, siempre que para esos valores sea Q(x) ≠ 0.

Si alguna de las raíces del numerador es igual a alguna de las raíces del denominador, ésta debe ser descartada, ya que no es solución de la ecuación planteada.

Ejemplo

a)

3 2x 2 + 3 + = 0 ∀x:x ≠ 1 ∧ x ≠ -1 x −1 x 2 −1 3( x + 1) 1 + =0 (x − 1)( x + 1) (x − 1)( x + 1) 3x + 3 + 1 = 0 ⇒ 3x + 4 = 0 (x − 1)( x + 1) 4 x=− 3

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T P4

GUÍA DE TRABAJO PRACTICO N°4: ECUACIONES -INTRODUCC ION A. Escribir una ecuación que: 1) Tenga una sola solución.

2) Tenga dos soluciones.

3) No tenga solución.

4) Sea equivalente a 3x – 2 = 10 5) Cuyo conjunto solución sea S = {4} B. Resolver las ecuaciones e indicar qué propiedades se utilizan en cada paso.

1) − 6 x + 7 = 22

4) − 2( x − 1) =

2) 2 x + 1 = 10 x + 17

2 3

5)

− x+ 4 2

3) 5 − x = x + x

1 2

= 1+

C. ¿Qué ecuación contiene cada uno de los siguientes enunciados. Escribirla y resolverla: 1) El triple de un número es igual a su doble aumentado en tres cuartos.

2) Si a un número se le suma tres, se obtiene el mismo resultado que sumando ocho a su mitad.

D. Dadas las siguientes ecuaciones: i.

Hallar el conjunto solución.

ii.

Clasificarlas

1) 3( x − 2) + 1 = x − 2(4 − x)

2) (x − 2 ).( − 15 ) = 5.( 4 − 3 x) + 10

1  1  3) − 5 + x .(−2) = (2 − x).

4  2 

4) 3x + 2 − x = −5 + 2 x + 7

E. Resolver las siguientes ecuaciones:

1) − 6 x + 2 x = −5 x + 5 2 x+4 2.( x − 1) = − 2 3 3

3)

x −6 2x + 3 2x − 6 4 + = + 3 5 7 5

5)

2 + 1− x

7)

9)

2) 5 x + 15 + 4 x + 2 − 2 x = 3 x + 20 + 5

8 x +1

=

45 1 − x2

2x −2 7x −3 +3 = 4 x −1 2x −2

11)

13)

3x x 2 −1

+

4 x2 2 x2 − 8

2x 3− 2 x = − x +1 x −1 −

x +1 3 x −1 = x+2 3x − 6

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4)

x x −3 − 2 3

6)

4x = 6 ( 2 x + 2) + 100 5

8)

−x 4 1 + =− 5 ( x + 1) x+3 5

=

x 2

x 3x − + 2 = 0 x +1 x +2 6x−6 x +2 x 12 + = x +1 x −1 x 2 −1 10)

14)

3x+2 6 x + 3 3x 2 + 2 x + 1 + = 1− x x −1 1 − 2x + x 2

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TP4 F. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias:

1)

2 x +1 3 − =0 2 x+ 3 ( x + 3)

3x − 1 − 1 92 − 3 = 2 5

3)

( )

5) 4

2 2

−1 3 3   1   2 x + 2.5 3 − (4 + 1) +    = −2 9 2  4   

2)

2-x 3 + − 27 = −2 4

4)

6)

2x −1 −1 = 4 3 x −1 ) 23 + 0 , 3 = 52 + 2 2 4.5 + 1

PROBLEMAS A. ¿Cuál es el número cuyo duplo supera a su mitad en 9?

B. Hallar un número sabiendo que su triplo excede a su mitad en 15 C. Hallar un número sabiendo que si se lo divide por 3 y se le suma 2 da el mismo resultado que si de su duplo se resta 8.

D. Hallar cuatro números pares consecutivos sabiendo que su suma es 44.

E. Hallar cuatro números impares consecutivos sabiendo que su suma es 48.

F.

Hallar tres números sabiendo que su suma es 21, que el mayor supera al menor en 4 y que el otro número es la semisuma de las anteriores.

G.

¿Qué renta anual tiene una persona que gasta las dos terceras partes de la misma en vivir, las dos terceras partes de lo que queda en viajes y ahorra $2.000 por año?

H.

A un banquete asisten cincuenta personas y pagan en total $4.600. ¿Cuántas señoras y caballeros asistieron si las primeras pagaron $80 cada una y los segundos $100?

I.

Con 32 monedas de 25 y de 10 centavos, solamente se han juntado cinco pesos; ¿cuántas monedas de cada clase se tienen?

J.

Si en una escuela se hacen sentar 35 alumnos en cada aula, quedan 28 sin asiento, y si se hacen sentar 38 en cada aula quedan 10 sin asiento; ¿cuántos alumnos y cuántas aulas hay?

K.

Un señor tiene 50 años de edad y su hijo 20 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el doble de la del hijo?

ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN. En un espectáculo teatral las entradas costaban $15 para los mayores y $10 para los menores de 12 años. Un día determinado se recaudaron $4.500.

Con esta información: ¿Es posible saber, exactamente, cuántos mayores y cuántos menores asistieron ese día MODULO MATEMATICA- UTN - FRRe

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TP4 ECUACIONES: UNA MIRADA GRÁFICA • Actividades. a) Identificar las incógnitas, asignarles una letra a cada una y escribir el enunciado del problema en lenguaje simbólico. b) Escribir dos posibles soluciones y explicar cómo se las halló c) Graficar los pares que corresponden a las posibles soluciones, en un sistema de ejes cartesianos. d) Indicar entre qué valores se pueden encontrar las soluciones.

En una clase de matemática, la profesora planteó el siguiente problema: en una panadería, vendían cada factura a 30 centavos, y el kilo de pan a $1,20. María compró algunas facturas y 1 kilo de pan y cuando fue a pagar se dio cuenta de que había gastado lo mismo que el día anterior, cuando había comprado la mitad de facturas y el doble de pan. ¿Cuántas facturas compró cada día? ¿Cuánto pagó en total cada día?

Inmediatamente Clara, una de las alumnas, pensó que no hacía falta escribir ecuaciones para resolver el problema, y se puso a probar con diversos valores.

Organizó los datos y obtuvo estas dos tablas:

a. Explicar cómo confeccionó cada tabla. Justificar la respuesta. b. Realizar un gráfico con los valores de las tablas, colocando en el eje de abscisas la cantidad de facturas (para que resulte más sencillo trabajar, se debe buscar una escala apropiada en el eje de las ordenadas). ¿Cómo se ubica la respuesta en el gráfico? c. Anahí, una de sus compañeras, prefería plantear ecuaciones. Si llamó x a la cantidad de facturas compradas el segundo día, ¿cómo quedaron las ecuaciones? d. Sergio, que también prefería usar ecuaciones, llamó x a la cantidad de facturas compradas el primer día. ¿Obtuvo las mismas ecuaciones que Anahí o cambiaron en algo? Escribirlas.

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