PRÁCTICA CON EXCEL LANZAMIENTO OBLICUO DE PROYECTILES Se denomina proyectil a cualquier cuerpo que, una vez lanzado, se ve únicamente sometido la acción de la gravedad. M.R.U. son las siglas de movimiento rectilíneo uniforme y M.R.U.A. las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. OBJETIVO DEL LIBRO El objetivo del libro que se propone para la práctica, Tiro parabólico, es el estudio del lanzamiento oblicuo de proyectiles; este tipo de lanzamiento se caracteriza porque la dirección de lanzamiento forma un cierto ángulo con la horizontal, al que llamaremos A0. Dicho estudio se realizará descomponiendo el movimiento en otros dos elementos, un M.R.U. en la dirección del eje X y un M.R.U.A (con aceleración igual a la gravedad) en la dirección del eje Y, y despreciando la resistencia del aire. UTILIZACIÓN DEL LIBRO El libro que se va a diseñar simulará el lanzamiento oblicuo de un proyectil y permitirá el estudio de todas las variables que intervienen en el movimiento del cuerpo. Una vez creado, los datos que habrá que introducir serán los correspondientes a la velocidad inicial, V0, y al ángulo que forma la dirección del proyectil con el eje horizontal, A0. El programa obtendrá y mostrará los parámetros más característicos del movimiento; además calculará las velocidades iniciales (V0x y V0y) con el fin de simplificar las fórmulas a introducir. El libro va a contener una tabla con los valores de la posición y la velocidad, respecto a cada uno de los ejes, en distintos momentos que corresponderán a intervalos de tiempo constantes. Con estos valores será posible observar, por ejemplo, cómo la velocidad en el eje Y parte de un valor inicial que va disminuyendo, se hace cero en el punto de altura máxima, y aumenta de nuevo hasta alcanzar otra vez su valor inicial cuando el cuerpo llega al suelo. Los datos de esta tabla también permitirán crear los dos gráficos; en uno se representarán los valores de posición de cada eje, para comprobar que la trayectoria del proyectil es una parábola; en el otro gráfico se representarán las velocidades (Vx, Vy y V) frente al tiempo. CREACIÓN DEL LIBRO Comenzaremos abriendo el libro de Calc llamado Tiro parabólico.sxc. Este libro deberá mostrar una hoja llamada Datos que debe contener las tres tablas que se explican a continuación: DATOS INICIALES. Esta tabla contiene las casillas, sombreadas de amarillo, que habrá que introducir como datos iniciales (Velocidad inicial= V0 y ángulo inicial = A0). Estos valores iniciales serán valores concretos sobre los que la hoja de cálculo realizará el resto de operaciones.
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DATOS INICIALES Velocidad inicial Ángulo inicial
Vo Ao
CÁLCULOS REALIZADOS. Representará los cálculos que realiza el programa en función de los datos iniciales introducidos. Estas casillas, sombreadas de rojo, tendremos que rellenarlas con fórmulas para poder realizar estos cálculos. CÁLCULOS REALIZADOS Velocidad inicial Eje X Velocidad inicial Eje Y Tiempo de vuelo t Altura máxima Ymax Alcance máximo Xmax
m/s m/s s m m
Las fórmulas a introducir son las siguientes: o Velocidad inicial Eje X (V0x) V0 x = V0 ⋅ cos( A0 ) V0 y =V0 ⋅ sen( A0 ) o Velocidad inicial Eje Y (V0y) Antes de calcular el seno y el coseno de A0 es necesario pasar los grados a radianes mediante la función RADIANES de Excel (RADIANES(A0))
t = 2⋅
o Tiempo de vuelo (t)
o Altura máxima (Ymax)
o Alcance máximo (Xmax)
Ymax =
V0 y g
2 V02 ⋅ sen 2 ( A0 ) V0 y = 2⋅ g 2g
X max =
2 ⋅ V0 x ⋅ V0 y g
POSICIÓN, VELOCIDAD Y TIEMPO. En esta tabla se establecerán unos intervalos de tiempo constantes y mediante una serie de fórmulas el programa calculará para ese instante concreto los siguientes valores: posición en X (distancia recorrida), posición en Y (altura del proyectil), velocidad en la componente X (Vx, en m/s), velocicodad en Y (Vy, en m/s) y la suma de estas velocidades (V, en m/s).
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X(m)
Y(m)
Tiempo (s)
V x (m/s)
V y (m/s)
V (m/s)
POSICIÓN, VELOCIDAD Y TIEMPO
Las fórmulas para esta tabla son las siguientes: o
X = V0 x ⋅ t
o Y = V0 y o
Distancia recorrida en el instante t
1 ⋅t − 2 ⋅ g ⋅t 2
Altura alcanzada en el instante t
t0 = 0
Tiempo inicial. La primera fila de la tabla tendrá
como valor de tiempo cero. o
t t k = + t k −1 10
El siguiente instante de tiempo se calcula como la
décima parte del tiempo total más el tiempo del instante anterior. Por ejemplo, t t t1 = + t 0 , t 2 = + t1 . Esta forma de calcular los tiempos no se rige por 10 10
ninguna ley física, simplemente hay que escoger unos intervalos de tiempo y se ha elegido esta opción como se podía haber elegido otra. o V x =V 0 x La velocidad en la componente X se mantiene constante (M.R.U en el eje X). o V y = V0 y − g ⋅ t La velocidad en la componente Y no es constante (M.R.U.A en el eje Y con a = g) o V = V x2 +V y2 NOTA MUY IMPORTANTE Para esta última tabla sólo hay que introducir las fórmulas en la primera fila, en el resto de filas se deben copiar. Por este motivo, es muy importante que tengáis en cuenta qué fórmulas contienen referencias relativas y qué fórmulas tienen referencias absolutas. A la hora de introducir las fórmulas intenta encontrar valores constantes que simplifiquen las fórmulas, por ejemplo (g = 9’8, 2g = 19’6, etc).
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COMPROBACIÓN DE RESULTADOS Ahora introduciremos los siguientes datos iniciales: DATOS INICIALES Velocidad inicial Ángulo inicial
Vo Ao
400 60
Si se han introducido correctamente las fórmulas, los resultados deberán corresponderse con los que siguen: Velocidad inicial Eje X Velocidad inicial Eje Y Tiempo de vuelo t Altura máxima Ymax Alcance máximo Xmax X(m) 0,00 1413,92 2827,84 4241,76 5655,68 7069,60 8483,51 9897,43 11311,35 12725,27 14139,19
CÁLCULOS REALIZADOS 200,00 346,41 70,70 6122,45 14139,19
m/s m/s s m m
Y(m)
Tiempo (s)
V x (m/s)
V y (m/s)
V (m/s)
0,00 2204,08 3918,37 5142,86 5877,55 6122,45 5877,55 5142,86 3918,37 2204,08 0,00
0,00 7,07 14,14 21,21 28,28 35,35 42,42 49,49 56,56 63,63 70,70
200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00
346,41 277,13 207,85 138,56 69,28 0,00 69,28 138,56 207,85 277,13 346,41
400,00 341,76 288,44 243,31 211,66 200,00 211,66 243,31 288,44 341,76 400,00
POSICIÓN, VELOCIDAD Y TIEMPO CREACIÓN DE LOS GRÁFICOS La primera gráfica representará la trayectoria seguida por el cuerpo durante su movimiento; esto se consigue representando los valores de la posición horizontal en el eje X (valores X(m)) y de la posición vertical en el eje Y (valores Y(m)). Para ello usaremos un gráfico de dispersión (XY), concretamente aquel que se indica “Dispersión con puntos de datos conectados por líneas suavizadas” (buscar en los subtipos). Pulsamos siguiente. En el siguiente paso lo dejamos todo por defecto, pulsamos siguiente. En el paso 3, aparece una ventana con varias pestañas, fijémonos que podemos utilizar la vista previa del gráfico para ver cómo va quedando en función de lo que vamos seleccionando: o En la pestaña TITULOS indicamos como título del gráfico “Trayectoria del proyectil”, en Eje de valores X ponemos X(m) y en Eje de valores Y teclearemos Y(m). o En la pestaña EJES debemos comprobar que estén marcadas las casillas “Eje de valores X” y “Eje de valores Y”. o En la pestaña LÍNEAS DE DIVISIÓN seleccionamos las casillas “Líneas principales para X” y “Líneas principales para Y”. o En la pestaña LEYENDA desactivamos la casilla “Mostrar leyenda” Página 4 de 6
o En la pestaña ROTULOS activamos la casilla “Ninguno”. En el último paso indicamos que queremos crear el gráfico en una hoja nueva que la llamaremos “Trayectoria”. Si situamos el puntero del ratón sobre la línea de la gráfica y esperamos un breve lapso de tiempo el programa mostrará las coordenadas X,Y de ese punto. La segunda gráfica representa las tres velocidades, Vx, Vy y V frente al tiempo; en este caso también utilizaremos un diagrama de dispersión (XY) con líneas suavizadas entre los puntos representados. Los rangos de datos a representar serán Vx , Vy y V como series en el eje Y, mientras que los valores de Tiempo constituirán la serie de categorías (los valores de X serán el tiempo). En el siguiente paso lo dejamos todo por defecto, pulsamos siguiente. En el paso 3, aparece una ventana con varias pestañas, fijémonos que podemos utilizar la vista previa del gráfico para ver cómo va quedando en función de lo que vamos seleccionando: o En la pestaña TITULOS indicamos como título del gráfico “Velocidad del proyectil”, en Eje de valores X ponemos Tiempo(s) y en Eje de valores Y teclearemos velocidades (m/s). o En la pestaña EJES debemos comprobar que estén marcadas las casillas “Eje de valores X” y “Eje de valores Y”. o En la pestaña LÍNEAS DE DIVISIÓN seleccionamos las casillas “Líneas principales para X” y “Líneas principales para Y”. o En la pestaña LEYENDA activamos la casilla “Mostrar leyenda” y la situaremos arriba. o En la pestaña ROTULOS activamos la casilla “Ninguno”. En el último paso indicamos que queremos crear el gráfico en una hoja nueva que la llamaremos “Velocidad”. Si situamos el puntero del ratón sobre la línea de la gráfica y esperamos un breve lapso de tiempo el programa mostrará las coordenadas X,Y de ese punto.
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RESPONDE A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS Creamos un nuevo documento de Word que se llame Respuestas. En ese documento responderemos a las siguientes preguntas ayudándonos de la hoja de cálculo creada( HAZ UN ESQUEMA DEL PROBLEMA 1. Calcula el alcance y la altura máxima de un cuerpo lanzado con una velocidad de 250 m/s y un ángulo de elevación de 40º. 2. Calcula el tiempo que tardará en tocar el suelo un proyectil lanzado con una velocidad de 300 m/s y un ángulo de 30º. 3. Calcula el ángulo con el que se debe lanzar un proyectil, independientemente de su velocidad, para que el alcance sea 0 metros. 4. Calcula el ángulo, independientemente de la velocidad, que permite lograr un alcance máximo. 5. Si se dispara un proyectil a 200 m/s con ángulo de 30º. Si a mitad de su recorrido hay una colina de 600 metros de altitud, ¿chocará con ella? ¿Y si la colina tiene 300 metros? 6. Un jugador de golf golpea la pelota en el campo con una velocidad inicial de 180 km/h formando un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula: a)-La altura máxima de la parábola que forma la pelota con su trayectoria b) El alcance de la pelota c) Si a una distancia de 180 m del punto de salida hay una arboleda de 5 m de ancha y los árboles del extremo opuesto a la dirección de la pelota tienen una altura de 25 m; determina: Si la pelota pasara por encima de los árboles o se parará en ellos. y
V 0
0
4 5º 180 mm
MATERIAL DE AMPLIACIÓN
X 5 m
En esta dirección tienes un tutorial para representar el tiro punto por punto. http://www.youtube.com/watch?v=YU6doQtuJSY
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