An´alisis de secciones compuestas mediante modelos de fibras Iturribizia, S.L. 29 de octubre de 2007
´Indice 1. Introducci´ on
1
2. Hip´ otesis y consideraciones de partida
2
3. Fuerzas y deformaciones generalizadas
2
4. Ecuaciones cinem´ aticas
4
5. Modelos constitutivos de las fibras
4
6. Determinaci´ on de la respuesta de la secci´ on 6.1. Rigidez de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Respuesta de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 7
7. Conclusi´ on
7
´Indice de figuras 1. 2. 3. 4. 5.
1.
Modelo de fibras (tomada de la referencia [2]). . . . Fuerzas y deformaciones generalizadas (tomada de la Modelo del material Steel01. . . . . . . . . . . . . . . Modelo del material Steel02. . . . . . . . . . . . . . . Modelo del material Concrete01. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . referencia [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 3 4 5 5
Introducci´ on
En el presente documento se describe un m´etodo para el an´alisis de secciones compuestas de materiales heterog´eneos (hormig´on armado, pretensado, mixtas,. . . ). Dicho m´etodo de an´alisis permite: Formar una representaci´on de las ecuaciones constitutivas del material secci´ on compuesta que pueda emplearse en la formulaci´on de elementos finitos de tipo barra o l´amina. Como caso particular analizar la respuesta en tensiones normales de una secci´on sometida a compresi´on y flexi´on biaxial.
1
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana Fecha: 3 FUERZAS Y DEFORMACIONES ´ n: Revisio GENERALIZADAS
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Figura 1: Modelo de fibras (tomada de la referencia [2]).
2.
Hip´ otesis y consideraciones de partida
Se supone que las secciones planas y normales a la directriz de la pieza permanecen planas y perpendiculares a dicho eje durante toda la historia de deformaciones del elemento. Se desprecian los efectos producidos por el cortante en la distribuci´on de tensiones normales. La precisi´on de la respuesta del modelo depende de la finura de la discretizaci´on que se emplee. Un mayor n´ umero de fibras proporciona una mayor precisi´on de la respuesta obtenida, a costa de un mayor coste computacional tanto en tiempo de c´alculo como en las necesidades de memoria ya que, al tratarse de un modelo no lineal, ser´a necesario almacenar un mayor n´ umero de variables hist´oricas necesarias para seguir la pista al ciclo de hist´eresis de cada una de las fibras.
3.
Fuerzas y deformaciones generalizadas
En la figura 1 se da una representaci´on esquem´atica de un elemento de tipo barra cuyo material son secciones discretizadas en fibras. Cada secci´on, referida al sistema local x, y, z, se coloca en uno de los puntos de control del elemento (puntos de Gauss, Gauss-Lobatto1 ,. . . ). Cada secci´on se divide en n fibras2 . Las fuerzas y deformaciones generalizadas que act´ uan sobre la secci´on se representan en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2. El vector fuerza3 es: 1 El esquema de integraci´ on de Gauss-Lobatto permite el empleo de dos puntos de integraci´ on colocados en los extremos del elemento lo que, dado que en estos puntos suelen presentarse significativas deformaciones inel´ asticas, resulta una ventaja. 2 El n´ umero de fibras no tiene porqu´ e ser constante a lo largo del elemento. 3 En lo que sigue se emplear´ a la siguiente convenci´ on: las letras may´ usculas representan fuerzas, las min´ usculas desplazamientos o deformaciones y los vectores se representan en negrita.
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana Fecha: 3 FUERZAS Y DEFORMACIONES ´ n: Revisio GENERALIZADAS
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Figura 2: Fuerzas y deformaciones generalizadas (tomada de la referencia [2]).
Mz D = My N
(1)
y el vector de deformaciones:
χz d = χy ²
(2)
Para describir el estado de las fibras se introducen dos vectores m´as que contienen las deformaciones y tensiones de las fibras. El vector de deformaciones de las fibras es: ²1 (y1 , z1 ) ··· e = ²i (yi , zi ) (3) ··· ²n (yn , zn ) y el de tensiones:
σ1 (y1 , z1 ) ··· E = σi (yi , zi ) ··· σn (yn , zn )
(4)
En dichos vectores los valores yi , zi se refieren a la posici´on de la fibra en la secci´on (ver figura 1).
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana Fecha: 5 MODELOS CONSTITUTIVOS DE ´ n: Revisio LAS FIBRAS
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3000 ’test_steel01_ley_modelo.dat’
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000 -0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005
0
0.0005 0.001 0.0015 0.002
Figura 3: Modelo del material Steel01.
4.
Ecuaciones cinem´ aticas
Admitida la hip´otesis de que las secciones planas y normales a la directriz permanecen as´ı durante las deformaciones sufridas por el elemento, el vector de deformaciones de las fibras y el de deformaci´on de la secci´on cumplen la siguiente relaci´on cinem´atica: e=l·d
(5)
siendo l la matriz4 :
−y1 ··· l= −yi ··· −yn
5.
z1 zi zn
1 1 1
(6)
Modelos constitutivos de las fibras
El comportamiento no lineal de la secci´on deriva directamente del de las fibras. Por tanto la validez de los resultados obtenidos depende de la precisi´on de los modelos empleados para el material. Para no extendernos demasiado en la descripci´on de los modelos empleados para los materiales de las fibras baste indicar que, para representar el comportamiento de las fibras que corresponden a la armadura pasiva de la secci´on, se emplea el modelo denominado Steel01 cuyo diagrama5 tensi´on deformaci´on se representa en la figura 3, an´alogamente para las fibras de armadura activa se emplea el modelo denominado Steel02 (ver figura 4) y para el hormig´on el modelo Concrete01 (figura 5). 4 Existen formas m´ as complejas de la matriz l que permiten introducir el efecto del cortante y de la p´ erdida de adherencia. 5 La tensi´ on de cedencia y la pendiente de la rama de cedencia, son par´ ametros del modelo del material que se ajustan en cada caso al valor adecuado.
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana Fecha: 5 MODELOS CONSTITUTIVOS DE ´ n: Revisio LAS FIBRAS
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3000 ’test_steel02_ley_modelo.dat’
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000 -0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005
0
0.0005 0.001 0.0015 0.002
Figura 4: Modelo del material Steel02.
0 ’test_concrete01_ley_modelo.dat’
-50
-100
-150
-200
-250 -0.0035
-0.003
-0.0025
-0.002
-0.0015
-0.001
-0.0005
Figura 5: Modelo del material Concrete01.
0
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana Fecha: ´ 6 DETERMINACION DE LA RES´ n: Revisio ´ PUESTA DE LA SECCION
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Para terminar con la descripci´on de los modelos de los materiales hay que hacer notar que las leyes tensi´on-deformaci´on de todos ellos son funciones expl´ıcitas de la deformaci´on. Esto permite que a partir de los valores del vector d puedan obtenerse las deformaciones en todas la fibras mediante la expresi´on 5 y, de forma inmediata6 las tensiones en todas las fibras. Tambi´en es importante indicar que cada una de las fibras lleva asociado un modelo del material en el que se almacenan las variables de estado de dicha fibra (b´asicamente deformaci´on, tensi´on y m´odulo de rigidez tangente) que en general ser´an distintas entre fibras.
6.
Determinaci´ on de la respuesta de la secci´ on
Cuando, como en un modelo el´astico lineal, la relaci´on entre tensi´on y deformaci´on generalizadas (esto es la relaci´on entre los vectores D y d) es independiente de la deformaci´on, la matriz de rigidez tangente de la secci´on k es constante y no es necesario el empleo de procedimientos iterativos para la obtenci´on de la soluci´on.
6.1.
Rigidez de la secci´ on
Por contra, en el caso que nos ocupa la rigidez de la secci´on depende de su historia de cargas. Al emplear el modelo de fibras, usamos la ecuaci´on cinem´atica 5 para obtener los incrementos de deformaci´on en las fibras que se producir´an para un determinado incremento del vector de deformaciones, es decir, para cada paso7 j tendremos: ∆ej = l · ∆dj
(7)
para actualizar los valores de la deformaci´on de las fibras se emplear´a la expresi´on: ∆ej = ej−1 + ∆ej
(8)
Las nuevas tensiones de las fibras σij y su m´odulo de rigidez tangente Eji se determinan mediante el empleo de su diagrama tensi´on deformaci´on seg´ un lo expuesto en el apartado 5; las tensiones se colocan en el vector Ej (definido mediante la expresi´on 4) y los m´odulos de rigidez tangente se colocan en una matriz diagonal a la que llamaremos Ejtan . Si llamamos A a la matriz diagonal cuyo elemento Ai,i es el ´area de la fibra i, puede demostrarse que la matriz de rigidez de la secci´on en el paso j vendr´a dada por: kj = lT · (Ejtan A) · l y operando se obtiene: Pn j 2 i=1 Ei · Ai · yi P n j j k = i=1 Ei · Ai · yi · zi Pn − i=1 Eij · Ai · yi
Pn j i=1 Ei · Ai · yi · zi P n E j · Ai · zi2 Pn i=1 j i i=1 Ei · Ai · zi · zi
(9) Pn − i=1 Eij · Ai · yi Pn j i=1 Ei · Ai · zi P n j E · A i i=1 i
(10)
Esta matriz de rigidez tangente puede invertirse para obtener la matriz de flexibilidad tangente fj. 6 Si la funci´ on tensi´ on-deformaci´ on no fuera expl´ıcita ser´ıa necesario calcular la tensi´ on de cada fibra mediante alg´ un procedimiento iterativo, lo que provocar´ıa una fuerte ralentizaci´ on del c´ alculo. 7 Nos referimos aqu´ ı a un paso del procedimiento iterativo que se emplee para resolver el sistema no lineal; Newton-Raphson, Newton-Raphson modificado, . . .
Proyecto: T´ıtulo: Apartado:
6.2.
Procedimiento ´ lisis seccio ´ n fibras. Ana REFERENCIAS
´ gina: Pa Fecha: ´ n: Revisio
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Respuesta de la secci´ on
An´ alogamente los esfuerzos con los que la secci´on responde a las acciones DjR pueden obtenerse directamente sumando la fuerza y momentos que producen cada una de las fibras mediante la expresi´on: DjR = lT · A · Ej a partir de la cual, operando, se obtiene: Pn − i=1 σij · Ai · yi P n j DjR = i=1 σi · Ai · zi P n j i=1 σi · Ai
7.
(11)
(12)
Conclusi´ on
El procedimiento expuesto en los apartados anteriores permite conocer la respuesta de una secci´on formada por fibras de distintos materiales sometida a unos esfuerzos cualesquiera. El procedimiento no depende de la forma de la secci´on ni es necesario que los esfuerzos cumplan ninguna condici´on especial (flexi´on simple,. . . ).
Referencias [1] Ministerio de Fomento, EHE; Instrucci´ on de hormig´ on estructural. (Espa˜ na: Comisi´ on Permanente del Hormig´ on.Ministerio de Fomento. 1998). [2] Fabio F. Taucer et al., A fiber beam-column element for seismic response analysis of reinforced conccrete structures. (EERC University of California, Berkeley. 1991). [3] Miguel Fern´ andez Ruiz., Evaluaci´ on no lineal de los efectos estructurales producidos por las deformaciones diferidas del hormig´ on y el acero. (Espa˜ na: Departamento de mec´ anica de medios cont´ınuos y teor´ıa de estructuras, ETSICCP Universidad Polit´ecnica de Madrid. 2003).