Análisis de secciones mediante modelos de fibras.

An´alisis de secciones compuestas mediante modelos de fibras Iturribizia, S.L. 29 de octubre de 2007

´Indice 1. Introducci´ on

1

2. Hip´ otesis y consideraciones de partida

2

3. Fuerzas y deformaciones generalizadas

2

4. Ecuaciones cinem´ aticas

4

5. Modelos constitutivos de las fibras

4

6. Determinaci´ on de la respuesta de la secci´ on 6.1. Rigidez de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Respuesta de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

7. Conclusi´ on

7

´Indice de figuras 1.

2.

3.

4.

5.

1.

Modelo de fibras (tomada de la referencia [2]). . . .

Fuerzas y deformaciones generalizadas (tomada de la Modelo del material Steel01. . . . . . . . . . . . . . .

Modelo del material Steel02. . . . . . . . . . . . . . .

Modelo del material Concrete01. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . referencia [2]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2 3 4 5 5

Introducci´ on

En el presente documento se describe un m´etodo para el an´alisis de secciones compuestas de materiales heterog´eneos (hormig´on armado, pretensado, mixtas,. . . ). Dicho m´etodo de an´alisis permite: Formar una representaci´on de las ecuaciones constitutivas del material secci´ on compuesta que pueda emplearse en la formulaci´on de elementos finitos de tipo barra o l´amina.

Como caso particular analizar la respuesta en tensiones normales de una secci´on sometida a compresi´on y flexi´on biaxial.

1

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana Fecha: 3 FUERZAS Y DEFORMACIONES ´ n: Revisio GENERALIZADAS

2 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

Figura 1: Modelo de fibras (tomada de la referencia [2]).

2.

Hip´ otesis y consideraciones de partida

Se supone que las secciones planas y normales a la directriz de la pieza permanecen planas y perpendiculares a dicho eje durante toda la historia de deformaciones del elemento.

Se desprecian los efectos producidos por el cortante en la distribuci´on de tensiones normales.

La precisi´on de la respuesta del modelo depende de la finura de la discretizaci´on que se emplee.

Un mayor n´ umero de fibras proporciona una mayor precisi´on de la respuesta obtenida, a costa de un mayor coste computacional tanto en tiempo de c´alculo como en las necesidades de memoria ya que, al tratarse de un modelo no lineal, ser´a necesario almacenar un mayor n´ umero de variables hist´oricas necesarias para seguir la pista al ciclo de hist´eresis de cada una de las fibras.

3.

Fuerzas y deformaciones generalizadas

En la figura 1 se da una representaci´on esquem´atica de un elemento de tipo barra cuyo material son secciones discretizadas en fibras. Cada secci´on, referida al sistema local x, y, z, se coloca en uno de los puntos de control del elemento (puntos de Gauss, Gauss-Lobatto1 ,. . . ). Cada secci´on se divide en n fibras2 .

Las fuerzas y deformaciones generalizadas que act´ uan sobre la secci´on se representan en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2. El vector fuerza3 es: 1 El esquema de integraci´ on de Gauss-Lobatto permite el empleo de dos puntos de integraci´ on colocados en los extremos del elemento lo que, dado que en estos puntos suelen presentarse significativas deformaciones inel´ asticas, resulta una ventaja.

2 El n´ umero de fibras no tiene porqu´ e ser constante a lo largo del elemento.

3 En lo que sigue se emplear´ a la siguiente convenci´ on: las letras may´ usculas representan fuerzas, las min´ usculas desplazamientos o deformaciones y los vectores se representan en negrita.

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana Fecha: 3 FUERZAS Y DEFORMACIONES ´ n: Revisio GENERALIZADAS

3 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

Figura 2: Fuerzas y deformaciones generalizadas (tomada de la referencia [2]). 

 Mz D = My  N

(1)

y el vector de deformaciones: 

 χz d = χy  ²

(2)

Para describir el estado de las fibras se introducen dos vectores m´as que contienen las deformaciones y tensiones de las fibras. El vector de deformaciones de las fibras es:   ²1 (y1 , z1 )   ···    e =  ²i (yi , zi )  (3)    ··· ²n (yn , zn ) y el de tensiones: 

 σ1 (y1 , z1 )   ···    E =  σi (yi , zi )     ··· σn (yn , zn )

(4)

En dichos vectores los valores yi , zi se refieren a la posici´on de la fibra en la secci´on (ver figura 1).

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana Fecha: 5 MODELOS CONSTITUTIVOS DE ´ n: Revisio LAS FIBRAS

4 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

3000 ’test_steel01_ley_modelo.dat’

2000

1000

0

-1000

-2000

-3000 -0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005

0

0.0005 0.001 0.0015 0.002

Figura 3: Modelo del material Steel01.

4.

Ecuaciones cinem´ aticas

Admitida la hip´otesis de que las secciones planas y normales a la directriz permanecen as´ı durante las deformaciones sufridas por el elemento, el vector de deformaciones de las fibras y el de deformaci´on de la secci´on cumplen la siguiente relaci´on cinem´atica: e=l·d

(5)

siendo l la matriz4 : 

−y1  ···  l=  −yi  ··· −yn

5.

z1 zi zn

 1   1   1

(6)

Modelos constitutivos de las fibras

El comportamiento no lineal de la secci´on deriva directamente del de las fibras. Por tanto la validez de los resultados obtenidos depende de la precisi´on de los modelos empleados para el material. Para no extendernos demasiado en la descripci´on de los modelos empleados para los materiales de las fibras baste indicar que, para representar el comportamiento de las fibras que corresponden a la armadura pasiva de la secci´on, se emplea el modelo denominado Steel01 cuyo diagrama5 tensi´on deformaci´on se representa en la figura 3, an´alogamente para las fibras de armadura activa se emplea el modelo denominado Steel02 (ver figura 4) y para el hormig´on el modelo Concrete01 (figura 5).

4 Existen formas m´ as complejas de la matriz l que permiten introducir el efecto del cortante y de la p´ erdida de adherencia.

5 La tensi´ on de cedencia y la pendiente de la rama de cedencia, son par´ ametros del modelo del material que se ajustan en cada caso al valor adecuado.

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana Fecha: 5 MODELOS CONSTITUTIVOS DE ´ n: Revisio LAS FIBRAS

5 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

3000 ’test_steel02_ley_modelo.dat’

2000

1000

0

-1000

-2000

-3000 -0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005

0

0.0005 0.001 0.0015 0.002

Figura 4: Modelo del material Steel02.

0 ’test_concrete01_ley_modelo.dat’

-50

-100

-150

-200

-250 -0.0035

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

Figura 5: Modelo del material Concrete01.

0

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

Procedimiento ´ gina: Pa ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana Fecha: ´ 6 DETERMINACION DE LA RES´ n: Revisio ´ PUESTA DE LA SECCION

6 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

Para terminar con la descripci´on de los modelos de los materiales hay que hacer notar que las leyes tensi´on-deformaci´on de todos ellos son funciones expl´ıcitas de la deformaci´on. Esto permite que a partir de los valores del vector d puedan obtenerse las deformaciones en todas la fibras mediante la expresi´on 5 y, de forma inmediata6 las tensiones en todas las fibras.

Tambi´en es importante indicar que cada una de las fibras lleva asociado un modelo del material en el que se almacenan las variables de estado de dicha fibra (b´asicamente deformaci´on, tensi´on y m´odulo de rigidez tangente) que en general ser´an distintas entre fibras.

6.

Determinaci´ on de la respuesta de la secci´ on

Cuando, como en un modelo el´astico lineal, la relaci´on entre tensi´on y deformaci´on generalizadas (esto es la relaci´on entre los vectores D y d) es independiente de la deformaci´on, la matriz de rigidez tangente de la secci´on k es constante y no es necesario el empleo de procedimientos iterativos para la obtenci´on de la soluci´on.

6.1.

Rigidez de la secci´ on

Por contra, en el caso que nos ocupa la rigidez de la secci´on depende de su historia de cargas.

Al emplear el modelo de fibras, usamos la ecuaci´on cinem´atica 5 para obtener los incrementos de deformaci´on en las fibras que se producir´an para un determinado incremento del vector de deformaciones, es decir, para cada paso7 j tendremos: ∆ej = l · ∆dj

(7)

para actualizar los valores de la deformaci´on de las fibras se emplear´a la expresi´on: ∆ej = ej−1 + ∆ej

(8)

Las nuevas tensiones de las fibras σij y su m´odulo de rigidez tangente Eji se determinan mediante el empleo de su diagrama tensi´on deformaci´on seg´ un lo expuesto en el apartado 5; las tensiones se colocan en el vector Ej (definido mediante la expresi´on 4) y los m´odulos de rigidez tangente se colocan en una matriz diagonal a la que llamaremos Ejtan . Si llamamos A a la matriz diagonal cuyo elemento Ai,i es el ´area de la fibra i, puede demostrarse que la matriz de rigidez de la secci´on en el paso j vendr´a dada por: kj = lT · (Ejtan A) · l y operando se obtiene:  Pn j 2 i=1 Ei · Ai · yi P n j j k =  i=1 Ei · Ai · yi · zi Pn − i=1 Eij · Ai · yi

Pn j i=1 Ei · Ai · yi · zi P n E j · Ai · zi2 Pn i=1 j i i=1 Ei · Ai · zi · zi

(9) Pn  − i=1 Eij · Ai · yi Pn j  i=1 Ei · Ai · zi P n j E · A i i=1 i

(10)

Esta matriz de rigidez tangente puede invertirse para obtener la matriz de flexibilidad tangente fj.

6 Si la funci´ on tensi´ on-deformaci´ on no fuera expl´ıcita ser´ıa necesario calcular la tensi´ on de cada fibra mediante alg´ un procedimiento iterativo, lo que provocar´ıa una fuerte ralentizaci´ on del c´ alculo.

7 Nos referimos aqu´ ı a un paso del procedimiento iterativo que se emplee para resolver el sistema no lineal; Newton-Raphson, Newton-Raphson modificado, . . .

Proyecto: T´ıtulo: Apartado:

6.2.

Procedimiento ´ lisis seccio ´ n fibras.

Ana REFERENCIAS

´ gina: Pa Fecha: ´ n: Revisio

7 de 7 29 de octubre de 2007 0.1

Respuesta de la secci´ on

An´ alogamente los esfuerzos con los que la secci´on responde a las acciones DjR pueden obtenerse directamente sumando la fuerza y momentos que producen cada una de las fibras mediante la expresi´on: DjR = lT · A · Ej a partir de la cual, operando, se obtiene:  Pn  − i=1 σij · Ai · yi P n j  DjR =  i=1 σi · Ai · zi P n j i=1 σi · Ai

7.

(11)

(12)

Conclusi´ on

El procedimiento expuesto en los apartados anteriores permite conocer la respuesta de una secci´on formada por fibras de distintos materiales sometida a unos esfuerzos cualesquiera. El procedimiento no depende de la forma de la secci´on ni es necesario que los esfuerzos cumplan ninguna condici´on especial (flexi´on simple,. . . ).

Referencias [1] Ministerio de Fomento, EHE; Instrucci´ on de hormig´ on estructural. (Espa˜ na: Comisi´ on Permanente del Hormig´ on.Ministerio de Fomento. 1998).

[2] Fabio F. Taucer et al., A fiber beam-column element for seismic response analysis of reinforced conccrete structures. (EERC University of California, Berkeley. 1991).

[3] Miguel Fern´ andez Ruiz., Evaluaci´ on no lineal de los efectos estructurales producidos por las deformaciones diferidas del hormig´ on y el acero. (Espa˜ na: Departamento de mec´ anica de medios cont´ınuos y teor´ıa de estructuras, ETSICCP Universidad Polit´ecnica de Madrid. 2003).