Clasificación de secciones de acero según EAD.

Clasificaci´on de secciones de acero Iturribizia, S.L. 8 de abril de 2008

´Indice 1. Introducci´ on 1.1. Clases de secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Modelo de c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Clasificaci´ on de secciones 2.1. Criterio para la clasificaci´on de secciones . . . . . .

2.1.1. Clase de un panel . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2. Clase de una secci´on . . . . . . . . . . . . .

2.2. Componentes de una secci´on . . . . . . . . . . . .

2.3. Tensi´on cr´ıtica de pandeo de un componente . . .

2.4. Esbeltez de un componente . . . . . . . . . . . . .

2.5. Clasificaci´on de un componente . . . . . . . . . . .

2.5.1. Esbeltez normalizada . . . . . . . . . . . .

2.5.2. Relaci´on de tensiones (o de deformaciones) 2.5.3. Coeficiente de abolladura kσ . . . . . . . .

2.5.4. Esbelteces l´ımite . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.5. Clase del componente . . . . . . . . . . . .

3 3 3

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6 6 8 8 8 8 10 10 11 12 12 17 17

3. Algoritmo para clasificaci´ on de secciones 3.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Caracterizaci´on de v´ertices y paneles . . . . . . . . . . . . .

3.3. Relaci´on de tensiones ( o de deformaciones) del componente 3.4. Caso de carga del componente . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5. Coeficiente de abolladura del componente . . . . . . . . . .

3.6. Esbeltez normalizada del componente . . . . . . . . . . . .

3.7. Clase del componente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8. Clase de la secci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 19 19 20 20 21 21 22 22

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´Indice de cuadros 1.

2.

3.

Relaci´on entre la clasificaci´on de la secci´on y las comprobaciones a realizar en estados l´ımite u ´ltimos (tomada de la referencia [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura de un panel en funci´on de sus condiciones de apoyo (tomada de la referencia [7]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones (tomada de la referencia [7]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

7 10 13

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Clasificacio ´INDICE DE FIGURAS

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Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones en paneles interiores (tomada de la referencia [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones en paneles exteriores (tomada de la referencia [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de deformaciones en paneles interiores (tomada de la referencia [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de deformaciones en paneles exteriores (tomada de la referencia [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensi´on (tomada de la referencia [3]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V´ertices del grafo que representa a los componentes de la secci´on. . . . . . . . . .

Lista de incidencia del grafo que representa a los componentes de la secci´on. . . .

13 13 14 15 16 19 20

´Indice de figuras 1.

2.

3.

4.

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6.

7.

8.

9.

10.

Pandeo local en ala inferior de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comportamiento de chapas a compresi´on (tomada de la referencia [6]). . . . . . .

Diagramas momento-curvatura de secciones de acero de clases 1 a 4 (tomada de la referencia [1]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Diagrama elastopl´astico hasta rotura de un dintel met´alico continuo en funci´on de la clase de la secci´on met´alica que forma el perfil (tomada de la referencia [1]). .

Clasificaci´on de secciones tubulares seg´ un EAE (tomada de la referencia [1]). . .

Componentes de una secci´on (tomada de la referencia [7]). . . . . . . . . . . . . .

Diagrama adimensional esbeltez carga u ´ltima de un panel (tomada de la referencia [7]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Modelos de comportamiento de las secciones (tomada de la referencia [7]). . . . .

Modelo de secci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Casos de carga de un componente (tomada de la referencia [6]). . . . . . . . . . .

4 4 5 5 8 9 11 18 19 21

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Clasificacio ´ 1 INTRODUCCION

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Introducci´ on

Para evitar el pandeo local de alguno de los paneles de chapa que constituyen los perfiles empleados en construcci´on met´alica (ver figura 1), las normas establecen la asignaci´on, a cada secci´on, de una clase que representa la mayor o menor sensibilidad de la pieza frente a este fen´omeno. Dicha clase se emplea posteriormente en los procedimientos de comprobaci´on limitando la magnitud de los esfuerzos que la misma es capaz de soportar.

En el presente documento se describen los criterios empleados por las normas para clasificar las secciones y se propone un procedimiento para obtener la clasificaci´on de una secci´on a partir de un modelo de fibras1 de la misma.

1.1.

Clases de secciones

De acuerdo con su comportamiento frente a tensiones normales, las secciones de una pieza prism´atica de acero que forma parte de una estructura, pueden clasificarse como: 1. Pl´asticas.

2. Compactas.

3. Semi-compactas.

4. Esbeltas.

Dicha clasificaci´on da idea de en qu´e medida, la posible aparici´on de fen´omenos de inestabilidad local (abolladura2 ) puede limitar: La resistencia de la secci´ on (el momento para el que se produce su colapso). En la figura 3 puede verse como, seg´ un aumenta la esbeltez de los paneles que forman la secci´on (secciones de clase mayor), con la consiguiente reducci´on de los niveles de compresi´on que producen fen´omenos de inestabilidad local (como los de la figura 2), el momento m´aximo que resiste la secci´on es menor.

Su capacidad de rotaci´ on, curvatura m´axima que puede adoptar la secci´on antes de su colapso. Por ejemplo en el caso del dintel de la figura 4 puede verse que si la capacidad de rotaci´on de la secci´on situada sobre el apoyo central (en el que se produce la primera plastificaci´on) es peque˜ na, el colapso de dicha secci´on (y por tanto de la estructura) se producir´a antes de que pueda iniciarse la plastificaci´on de las secciones centrales de los vanos.

1.2.

Modelo de c´ alculo

Como es sabido el dise˜ no de una estructura requiere la selecci´on de un modelo de c´alculo adecuado para la misma. La selecci´on de dicho modelo implica: La selecci´on de un m´etodo de an´alisis.

La selecci´on de un m´etodo de comprobaci´on de las secciones.

1 Esta forma de modelizar la secci´ on se describe en el documento denominado An´ alisis de secciones compuestas mediante modelos de fibras que acompa˜ na a ´ este.

2 Aqu´ ı se trata de abolladura debida a tensiones normales, la abolladura de chapas debida a tensiones tangenciales queda fuera del alcance de este documento.

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Clasificacio ´ 1 INTRODUCCION

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Figura 1: Pandeo local en ala inferior de viga.

Figura 2: Comportamiento de chapas a compresi´on (tomada de la referencia [6]).

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Clasificacio ´ 1 INTRODUCCION

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Figura 3: Diagramas momento-curvatura de secciones de acero de clases 1 a 4 (tomada de la referencia [1]).

Figura 4: Diagrama elastopl´astico hasta rotura de un dintel met´alico continuo en funci´on de la clase de la secci´on met´alica que forma el perfil (tomada de la referencia [1]).

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Clasificacio ´ DE SECCIONES 2 CLASIFICACION

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Como puede verse en la tabla 1, la clasificaci´on de las secciones de la estructura, afecta al modelo de c´alculo a emplear en la misma3 .

Efectivamente, si estamos procediendo a la comprobaci´on de una estructura cuyos miembros son de clase 3 no tiene sentido realizar un an´alisis pl´astico ya las secciones no ser´an capaces siquiera de alcanzar su momento pl´astico y menos de formar r´otulas pl´asticas con capacidad de rotaci´on suficiente.

2.

Clasificaci´ on de secciones

En funci´on de la sensibilidad de una secci´on a los fen´omenos de inestabilidad de chapas, se definen cuatro clases de secciones de acero, a saber: Secciones de Clase 1 (pl´ asticas): son aquellas capaces de alcanzar su momento pl´astico sin presentar problemas de inestabilidad y, adem´as, tienen suficiente capacidad de rotaci´on como para desarrollar una r´otula pl´astica tal y como ´esta se entiende en un an´alisis pl´astico.

Secciones de Clase 2 (compactas): son aquellas que siendo capaces de alcanzar su momento pl´astico sin presentar problemas de inestabilidad, no tienen capacidad de rotaci´on suficiente para formar r´otulas pl´asticas. Estas secciones pueden aprovechar al m´aximo el material pero no permiten considerar para la estructura mecanismos de rotura de tipo pl´astico. En consecuencia su empleo en estructuras isost´aticas permitir´a el mismo aprovechamiento global del material que en el caso de emplear secciones pl´asticas. Por el contrario cuando la estructura sea hiperest´atica la limitaci´on en cuanto a la formaci´on de r´otulas pl´asticas impedir´a aprovechar el material hasta el l´ımite que permitir´ıa el empleo de secciones pl´asticas.

Secciones de Clase 3 (semi-compactas): estas secciones presentan problemas de abolladura local antes de alcanzar el momento pl´astico y una vez rebasado el momento el´astico (ver figura 3). El momento resistente de la secci´on se considerar´a igual a su momento el´ astico.

Secciones de Clase 4 (esbeltas): la esbeltez de los paneles que forman estas secciones impiden que se alcance incluso el momento el´astico antes de que se presenten fen´omenos de inestabilidad.

2.1.

Criterio para la clasificaci´ on de secciones

La asignaci´on de clase a una secci´on transversal de acero depende de: 1. El l´ımite el´astico del material.

2. La geometr´ıa de la secci´on y, en particular, la esbeltez de sus paneles comprimidos total o parcialmente.

3. Las posibles vinculaciones laterales de las zonas comprimidas.

4. La geometr´ıa y extensi´on de las zonas de panel comprimidas, lo que, a su vez, depende de la geometr´ıa de la secci´on y del conjunto de esfuerzos que producen tensiones normales (axil y momentos) a los que est´a sometida.

3 En el art´ ıculo 19.5 de la instrucci´ on EAE se propone el denominado M´ etodo general de an´ alisis no lineal elastopl´ astico mediante el que se considera la influencia de los fen´ omenos de abolladura sin necesidad de definir previamente el modelo de c´ alculo a emplear.

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Clasificacio ´ DE SECCIONES 2 CLASIFICACION

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Cuadro 1: Relaci´on entre la clasificaci´ on de la secci´on y las comprobaciones a realizar en estados l´ımite u ´ltimos (tomada de la referencia [1]).

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Figura 5: Clasificaci´ on de secciones tubulares seg´ un EAE (tomada de la referencia [1]).

2.1.1.

Clase de un panel

Los diferentes componentes de una secci´on podr´an tener clases diferentes de acuerdo con los criterios que se expondr´an en el apartado 2.5 de este documento.

2.1.2.

Clase de una secci´ on

La clase de una secci´on ser´a la clase m´as elevada de las asignadas a sus componentes. En las secciones tubulares en las que el concepto de componente no est´a claro las normas dan tablas similares a la tabla 5 de las que se obtiene directamente la clasificaci´on de la secci´on.

2.2.

Componentes de una secci´ on

Llamaremos componentes de una secci´on a cada una de las partes en que, el contacto con otro panel, divide a los paneles de chapa que forman la misma. As´ı, por ejemplo, las alas de una secci´on en I, estar´an formadas por dos componentes (uno a cada lado del contacto con el alma) y las alas de la secci´on en caj´on c de la figura 6 estar´an divididas en tres componentes. En la figura 9 pueden verse representadas las l´ıneas medias de cada uno de los paneles que componen una secci´on en I. Los componentes de la secci´on pueden clasificarse en: 1. Interiores o rigidizados: cuando sus dos extremos est´an unidos a otro panel como, por ejemplo, es el caso del alma de las vigas en I. 2. Exteriores o no rigidizados: cuando s´olo uno de sus extremos est´a unido a otro panel, como por ejemplo cada uno de los dos componentes del ala de una viga en I.

2.3.

Tensi´ on cr´ıtica de pandeo de un componente

Dado un panel con una raz´on de proporcionalidad α = a/b (ver tabla 2) mayor de 0.8 la tensi´on cr´ıtica de pandeo de Euler para el mismo viene dada por la expresi´on: σcr = kσ

t π2 E · ( )2 12(1 − ν 2 ) b

siendo: a: Longitud del panel (ver figura en tabla 2).

(1)

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Figura 6: Componentes de una secci´on (tomada de la referencia [7]).

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Cuadro 2: Coeficiente de abolladura de un panel en funci´on de sus condiciones de apoyo (tomada de la referencia [7]). b: Anchura del panel (ver figura en tabla 2). t: Espesor del panel. α = a/b: Raz´on de proporcionalidad.

E: M´odulo el´astico del material. ν: Coeficiente de Poisson del material. kσ : Coeficiente de abolladura del panel (ver tabla 2). Este coeficiente introduce en la expresi´on el efecto de las condiciones de apoyo sobre la estabilidad de la misma, as´ı, cuanto m´as r´ıgidos son los apoyos, mayor es la tensi´on cr´ıtica de pandeo que se obtiene.

2.4.

Esbeltez de un componente

De la expresi´on 1 se deduce que la tensi´on cr´ıtica de pandeo crece con (b/t)2 y, por tanto, decrece con su inversa. Esto implica que la esbeltez del panel (b/t) juega un papel similar a la esbeltez de una barra (L/t) en el pandeo de piezas comprimidas. El resto de los valores que intervienen en la expresi´on dependen del material y de las condiciones de sustentaci´on del panel.

Dicho de otro modo, dado un componente de una secci´on met´alica, puesto que el material y la sustentaci´on del componente vienen dados, su tensi´on cr´ıtica de pandeo y, por tanto, su clase depender´an solamente de su esbeltez (b/t).

2.5.

Clasificaci´ on de un componente

De acuerdo con la definici´on de Clase 3, para que un componente de la secci´on sea de esta clase, la relaci´on (b/t) deber´a ser tal que el valor de σcr obtenido de la expresi´on 1 sea superior al

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Figura 7: Diagrama adimensional esbeltez carga u ´ltima de un panel (tomada de la referencia [7]). l´ımite el´ astico del material de modo que pueda alcanzarse dicho l´ımite antes de que se produzca el pandeo del componente.

El comportamiento ideal de un panel sin imperfecciones4 sometido a compresi´on uniforme puede representarse mediante un diagrama esbeltez-carga u ´ltima como el de la figura 7. ¯ p que se representan en dicho diagrama las definidas como sigue: ¯p y λ siendo las magnitudes N ¯p = N ¯p = λ

σu fy :

p

Tensi´on u ´ltima normalizada.

fy /σcr : Esbeltez normalizada del panel.

fy : Tensi´on de l´ımite el´astico del material. σcr : Tensi´on cr´ıtica de pandeo del panel (expresi´on 1). ¯ p < 1) el Del diagrama se deduce que para esbelteces normalizadas inferiores a la unidad (λ panel llega a plastificar sin que ocurra el pandeo. Por el contrario para valores de la esbeltez normalizada superiores a la unidad, se produce el pandeo antes de que el material llegue a plastificar.

2.5.1.

Esbeltez normalizada

Si en la expresi´on de la esbeltez normalizada, sustituimos el valor de la tensi´on cr´ıtica de pandeo dado por la expresi´on 1, tendremos: s fy ¯p = (2) λ t 2 π2 E kσ 12(1−ν 2) · ( b ) y operando: s ¯p = λ

fy · 12(1 − ν 2 ) b Ekσ πt

siendo: p ¯ p = fy /σcr : Esbeltez normalizada del panel. λ 4 Deformaciones

iniciales, tensiones residuales de laminaci´ on,. . .

(3)

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fy : Tensi´on de l´ımite el´astico del material. ν: Coeficiente de Poisson del material.

E: M´odulo el´astico del material. kσ : Coeficiente de abolladura del panel. b: Anchura del panel (ver figura en tabla 2). t: Espesor del panel.

2.5.2.

Relaci´ on de tensiones (o de deformaciones)

Para tener en cuenta la influencia que la forma de la ley de tensiones tendr´a sobre el posible pandeo del panel5 se emplea al denominada relaci´on de tensiones6 que se define como: ψ=

σ2 σ1

(4)

siendo: σ1 : Tensi´on m´axima de compresi´on en el panel. σ2 : Tensi´on en el extremo opuesto del panel (ver figura 3).

Otras normas como la instrucci´on EAE emplean la relaci´on de deformaciones7 (ver figuras 6 y 7) cuya definici´on es completamente an´aloga: ψ=

²2 ²1

(5)

siendo: ²1 : Deformaci´on m´axima de compresi´on en el panel. ²2 : Deformaci´on en el extremo opuesto del panel.

2.5.3.

Coeficiente de abolladura kσ

El factor kσ de la expresi´on 3 es un coeficiente con dimensiones que depende de: Las condiciones de sustentaci´on del panel (ver tabla 2).

La raz´on de proporcionalidad del panel (a/b).

La forma de la ley de tensiones a la que se somete al panel (uniforme,flexi´on,. . . ).

Cuando, como es frecuente, la raz´on de proporcionalidad del panel es muy superior a 1 y est´a sometido a tensi´on uniforme los valores de ´este coeficiente pueden tomarse de la tabla 2.

Si el panel no est´a sometido a una ley de tensiones uniformes, sino que dicha ley presenta un gradiente (como en el caso del alma de una viga a flexi´on), el coeficiente de abolladura kσ ha de modificarse para tener en cuenta dicha variaci´on de tensiones.

En la figura 3 se dan las expresiones del coeficiente de abolladura en funci´on del tipo de sustentaci´on del panel, del valor de la relaci´on de tensiones ψ y de la posici´on (interior o exterior) de la fibra m´as comprimida.

5 Es f´ acil imaginar que no es lo mismo tener el panel sometido a compresi´ on uniforme que si s´ olo est´ a comprimido en parte como las almas de las vigas a flexi´ on.

6 En esta expresi´ on se consideran positivas las tensiones de compresi´ on.

7 Tambi´ en aqu´ı el criterio de signos es congruente con el de la expresi´ on anterior, esto es se consideran positivas las deformaciones de compresi´ on.

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Cuadro 3: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones (tomada de la referencia [7]).

Cuadro 4: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones en paneles interiores (tomada de la referencia [4]).

Cuadro 5: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensiones en paneles exteriores (tomada de la referencia [4]).

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Cuadro 6: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de deformaciones en paneles interiores (tomada de la referencia [1]).

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Cuadro 7: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de deformaciones en paneles exteriores (tomada de la referencia [1]).

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Cuadro 8: Coeficiente de abolladura para distintas relaciones de tensi´on (tomada de la referencia [3]).

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2.5.4.

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Esbelteces l´ımite

El comportamiento real de un panel difiere del te´orico representado en la figura 7 debido a las siguientes razones: 1. Existencia de imperfecciones geom´etricas.

2. Fen´omeno de endurecimiento por deformaci´on del material.

3. Comportamiento post-cr´ıtico.

Influencia de las imperfecciones geom´ etricas La existencia de imperfecciones geom´etricas ¯ p menores que provoca el pandeo prematuro del panel, produci´endose el mismo para valores de λ la unidad (para los que un panel perfecto ser´ıa estable). Las esbelteces l´ımite que los distintos c´odigos establecen para tener en cuenta el efecto de las imperfecciones geom´etricas varia de unos a otros8 entre 0.5 y 0.9. El euroc´odigo 3 adopta los siguientes valores de la esbeltez l´ımite por imperfecciones geom´etricas: ¯ p3 = 0,74.

Para paneles a compresi´on: λ ¯ p3 = 0,9.

Para paneles a flexi´on: λ ¯p < λ ¯ p3 ), no se producir´a Cuando la esbeltez normalizada del panel es menor que la cr´ıtica (λ el pandeo prematuro del panel debido a sus imperfecciones geom´etricas.

Influencia del endurecimiento por deformaci´ on 9 Para que un panel permita que la secci´on de la que forma parte forme una r´otula pl´astica deber´a ser capaz no s´olo de alcanzar la plastificaci´on en todas sus fibras sino que, adem´as, deber´a admitir deformaciones pl´ asticas de cierta importancia (dentro de la zona de endurecimiento por deformaci´on) sin que la tensi´on en sus fibras se reduzca. Esto s´olo es posible para paneles poco esbeltos. El valor l´ımite de la esbeltez propuesto por el euroc´odigo 3 a estos efectos es: ¯ p1 = 0,5 λ

(6)

¯ p1 valores entre 0.46 y 0.6 otras normas proponen para λ ¯ p2 que indica Comportamiento post-cr´ıtico Por u ´ltimo se considera una esbeltez l´ımite λ el l´ımite a partir del cual el panel puede plastificar sin pandear pero no admite deformaciones suficientemente grandes como para que la secci´on forme una r´otula pl´astica. El valor propuesto por el euroc´odigo 3 para esta esbeltez es: ¯ p2 = 0,5 λ 2.5.5.

(7)

Clase del componente

¯ p la asignaci´on de clase para dicho Dado un panel del que se conoce su esbeltez normalizada λ panel se realizar´a de acuerdo con el siguiente esquema: ¯p < λ ¯ p1 , el panel es de clase 1.

Si λ ¯ p1 < λ ¯p < λ ¯ p2 , el panel es de clase 2.

Si λ ¯ p2 < λ ¯p < λ ¯ p3 , el panel es de clase 3.

Si λ ¯ p3 < λ ¯ p , el panel es de clase 4.

Si λ 8 L´ ogicamente los l´ımites aceptables depender´ an de las tolerancias que cada c´ odigo admita en los que se refiere a la geometr´ıa de las piezas.

9 Como se ver´ a esta denominaci´ on no parece muy afortunada pero no se me ocurre una mejor.

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Clasificacio ´ DE SECCIONES 2 CLASIFICACION

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Figura 8: Modelos de comportamiento de las secciones (tomada de la referencia [7]).

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Clasificacio 3 ALGORITMO PARA CLASIFICA´ DE SECCIONES CION

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Figura 9: Modelo de secci´on.

V´ ertice 1 2 3 4 5 5

x x1 x2 x3 x4 x5 x6

y y1 y2 y3 y4 y5 y6

Cuadro 9: V´ertices del grafo que representa a los componentes de la secci´on.

3.

3.1.

Algoritmo para clasificaci´ on de secciones Datos de partida

Para la implementaci´on del algoritmo partiremos de la suposici´on de que se dispone de los siguientes datos: 1. Modelo de fibras de la secci´on.

2. Grafo de los componentes en los que se divide la secci´on.

As´ı en la secci´on de la figura 9 tendr´ıamos representado el grafo de los componentes de la secci´on mediante los v´ertices 1 a 6 representados en la misma y los arcos o aristas10 : 1-2,2-3,2-5,4-5 y 5-6 que se corresponden con la l´ınea media de cada uno de los componentes.

Como se ver´a posteriormente, ser´ a necesario disponer tambi´en del espesor del panel que corresponde a cada componente. As´ı la lista de incidencia del grafo quedar´ıa como en la tabla 10.

3.2.

Caracterizaci´ on de v´ ertices y paneles

De acuerdo con lo que se expuso en el apartado 2.2 y como se ver´a m´as adelante el coeficiente de abolladura depende de que el panel para el que se calcula sea exterior o interior.

Denominaremos v´ertice interior a aquel que est´a conectado a m´as de un arco. En consecuencia un v´ertice exterior ser´a el que s´olo esta conectado a un arco. Es inmediato deducir que un panel ser´a interior cuando lo son sus dos v´ertices, en otro caso el panel es exterior.

10 En este documento los t´ erminos v´ ertice, arco o arista se emplean con el sentido que dichos t´ erminos tienen en la teor´ıa de grafos.

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Clasificacio 3 ALGORITMO PARA CLASIFICA´ DE SECCIONES CION

Arco 1 2 3 4 5

V´ ertice 1 1 2 2 4 5

V´ ertice 2 2 3 5 5 6

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Espesor t1 t2 t3 t4 t5

Cuadro 10: Lista de incidencia del grafo que representa a los componentes de la secci´on.

3.3.

Relaci´ on de tensiones ( o de deformaciones) del componente

Para calcular la relaci´on de tensiones ψ de cada uno de los paneles necesitaremos obtener las tensiones en cada uno de los dos v´ertices del componente, para ellos calcularemos las mismas a partir de las de las fibras m´as pr´oximas al v´ertice en cuesti´on. Si llamamos σA y σB a ´estas tensiones tendremos que los valores de σ1 y σ2 de la expresi´on 4 ser´an: σ1 = −min(σA , σB ) σ2 = −max(σA , σB )

(8) (9)

El cambio de signo en las expresiones anteriores se debe a que el criterio de signos que se emplea en las expresiones de la relaci´on de tensiones y del coeficiente de abolladura es el opuesto al habitual en teor´ıa de estructuras de considerar las tracciones positivas.

Cuando lo que se desea obtener el la relaci´on de deformaciones el procedimiento es completamente an´alogo.

3.4.

Caso de carga del componente

Tal y como se deduce de las figuras 2 y 10 se distinguen tres casos de carga de un componente de la secci´on (dependiendo de la relaci´on de de tensiones y de si el panel es interior o exterior11 ).

Caso I: Cuando el panel es interior, independientemente de la forma de la ley de tensiones.

Caso II: Cuando el panel es exterior y la compresi´on m´axima se produce en su v´ertice interior.

Caso III: Cuando el panel es exterior y la compresi´on m´axima se produce en su v´ertice exterior.

Para calcular el caso de carga del componente procederemos del siguiente modo: Obtener cual de los dos v´ertices del panel est´a sometido a compresi´on m´axima.

Obtener la cualidad interior o exterior del mismo.

Si es exterior el caso de carga es el III. Si es interior, obtener la cualidad interior o exterior del otro v´ertice.

Si ´esta es interior el caso de carga es el I, en caso contrario el caso de carga es el II. 11 La

definici´ on de panel interior y exterior se da en el apartado 2.2 de este documento.

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Clasificacio 3 ALGORITMO PARA CLASIFICA´ DE SECCIONES CION

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Figura 10: Casos de carga de un componente (tomada de la referencia [6]).

3.5.

Coeficiente de abolladura del componente

Dado que las f´ormulas propuestas por los distintos c´odigos (ver tablas 3, 6, 7, 7, 4 y 5) expondremos aqu´ı el procedimiento para obtener el coeficiente de abolladura seg´ un la referencia [1].

Trasladar dicho procedimiento a otra norma es, como se deduce de las tablas antes mencionadas, inmediato.

La obtenci´on del coeficiente se desarrolla de acuerdo con el siguiente esquema; Q I I I I I I II II II III

α ≥1 ≥1 ≥1 <1 <1 <1 ≥1 ≥1 ≥1 ≥1

ψ 1≥ψ>0 0 ≥ ψ > −1 −1 ≥ ψ > −5 1≥ψ>0 0 ≥ ψ > −1 −1 ≥ ψ > −5 >1 1≥ψ>0 0 ≥ ψ > −1 1 ≥ ψ ≥ −1

kσ 8,2 1,05+ψ

7,81 − 6,29 · ψ + 9,78 · ψ 2 5,98(1 − ψ)2 2,05 (α + α1 )2 · 1,05+ψ 7,81 − 6,29 · ψ + 9,78 · ψ 2 5,98(1 − ψ)2 0,57 − 0,21 + 0,07 ψ ψ2 0,578 ψ+0,34

1,7 − 5ψ + 17,1ψ 2 0,57 − 0,21ψ + 0,07ψ 2

siendo: Q: Caso de carga del componente cuyo coeficiente de abolladura se pretende calcular. α: Raz´on de proporcionalidad del componente. ψ: Relaci´on de deformaciones del componente. kσ : Coeficiente de abolladura a calcular.

3.6.

Esbeltez normalizada del componente

Calculado el coeficiente de abolladura kσ , podemos calcular la esbeltez normalizada del componente mediante la expresi´on 3 de la p´agina 11.

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3.7.

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Clasificacio REFERENCIAS

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Clase del componente

Para obtener la clase de cada componente basta comparar el valor de su esbeltez normalizada, con los valores de las esbelteces l´ımite propuestos por la norma de que se trate seg´ un se vio en el apartado 2.5.5.

3.8.

Clase de la secci´ on

La clase de la secci´on se obtendr´a simplemente mediante la expresi´on: Csecc = max(Ccomp,1 , . . . , Ccomp,i , . . . , Ccomp,n )

(10)

siendo: Ccomp,i : Clase del componente i-´esimo de la secci´on cuya clase se pretende calcular.

Csecc : Clase de la secci´on.

Referencias [1] Ministerio de Fomento, EAE; Instrucci´ on de acero estructural. (Espa˜ na: Comisi´ on Permanente de estructuras de acero.Ministerio de Fomento. 2004).

[2] Ministerio de Vivienda, CTE-SE; C´ odigo t´ecnico de la edificaci´ on. Seguridad estructural. (Espa˜ na: Ministerio de Vivienda. 2006).

[3] Ministerio de Vivienda, CTE-SE-A; C´ odigo t´ecnico de la edificaci´ on. Seguridad estructural. Acero.

(Espa˜ na: Ministerio de Vivienda. 2006).

[4] Asociaci´ on espa˜ nola de normalizaci´ on y certificaci´ on, UNE-ENV 1993-1-1:1996; Euroc´ odigo 3: Proyecto de estructuras de acero: Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificaci´ on. (Espa˜ na: AENOR. 1999).

[5] Universidad nacional de educaci´ on a distancia (UNED), Estructuras met´ alicas. Unidad did´ actica 1; tomo I; La pieza aislada. Flexi´ on. Torsi´ on. (Espa˜ na: Fundaci´ on Escuela de la Edificaci´ on. 1988).

[6] Euroc´ odigos para estructuras de acero. Desarrollo de una propuesta transnacional, Curso euroc´ odigo 3, m´ odulo 4; dise˜ no de piezas, tema 9; Pandeo local. Clasificaci´ on de secciones.

[7] European Steel Design Education Programme (ESDEP), Elements. Lecture 7.2: Cross-section classification. (http://www.kuleuven.be/bwk/materials/Teaching/master/toc.htm).