Acústica musical by Luis Colomer Blasco

Acústica Musical Luis Colomer Blasco

27 de diciembre de 2016

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Índice general

Prólogo

VIII

1. El sonido como vibración 1 1.1. ¿Qué es el sonido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Simulación de la vibración del aire en un sonido simple . . . . . . . . 3 1.2.1. Propagación de la perturbación a través del aire . . . . . . . . 5 1.2.2. Movimiento individual de oscilación . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3. De la oscilación individual a la propagación ondulatoria . . . 8 1.3. Simulación de la vibración del aire en un fragmento sonoro complejo 14 1.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. La señal de audio 2.1. Representación del sonido . . 2.2. Un ejemplo de registro digital 2.3. El editor de sonido . . . . . . 2.4. El osciloscopio . . . . . . . . 2.5. Conclusión . . . . . . . . . .

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3. Características de los sonidos musicales 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ruido y sonido musical . . . . . . . . 3.3. Ruido blanco y sonido simple . . . . . 3.4. Tráﬁco con lluvia y notas de clarinete 3.5. Campanadas y notas de piano . . . . . 3.6. Habla y canto . . . . . . . . . . . . . . II

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17 17 19 22 25 26

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28 28 29 30 33 37 40

3.7. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. El sonido simple 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. El sonido simple como fundamento del sonido musical 4.3. El Movimiento Armónico Simple (MAS) . . . . . . . . 4.3.1. Un ejemplo de Movimiento Armónico Simple 4.3.2. Parámetros del Movimiento Armónico Simple 4.4. El Movimiento Armónico Simple en el sonido . . . . . 4.4.1. Parámetros del sonido simple . . . . . . . . . . 4.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Altura tonal, intervalos y volumen sonoro 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Relación entre estímulo y sensación: la Ley de Weber-Fechner . . . . 5.3. Frecuencia y altura tonal: notas e intervalos . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. El intervalo musical como razón numérica . . . . . . . . . . 5.3.2. Unidades interválicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Las frecuencias de las notas musicales . . . . . . . . . . . . . 5.4. Amplitud y volumen sonoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Unidades interválicas de intensidad sonora: el belio y el decibelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Correspondencia entre la amplitud normalizada y la intensidad en decibelios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Valores absolutos de intensidad sonora . . . . . . . . . . . . 5.4.4. La percepción del volumen sonoro . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Mezcla e interferencia de dos sonidos simples 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. El Principio de Superposición Lineal de Ondas . . . . . . . . . . . 6.3. Mezcla de dos sonidos simples de la misma frecuencia: Unísono . . 6.4. Mezcla de dos sonidos simples de frecuencias muy próximas: Batidos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Los batidos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

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47 47 48 51 51 56 58 58 61

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62 62 63 65 66 69 71 74

. 74 . . . .

76 78 80 82

84 . 84 . 86 . 87 . 91 . 91

6.5. 6.6.

6.7. 6.8. 6.9.

6.4.2. Causas de los batidos de primer orden . . . . . . . . . . . . . 94 6.4.3. Batidos y aﬁnación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Mezclas de dos sonidos simples en función de la distancia entre sus frecuencias y de la anchura de su banda crítica . . . . . . . . . . . . . 97 Mezcla de dos sonidos simples cuyas frecuencias están en relación de conmensurabilidad próxima: Consonancias . . . . . . . . . . . . . . 100 6.6.1. Conmensurabilidad próxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.6.2. Consonancias entre sonidos simples . . . . . . . . . . . . . . 102 6.6.3. De la consonancia a la disonancia . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.6.4. Grados de consonancia según la conmensurabilidad . . . . . . 109 6.6.5. La fase inicial en la mezcla consonante . . . . . . . . . . . . . 111 Mezcla de dos sonidos simples cuyas frecuencias se alejan un poco de la conmensurabilidad próxima: Batidos de segundo orden . . . . . . 113 Distorsión y componentes espurios en la mezcla de dos sonidos simples116 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7. El sonido armónico 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Sonidos armónicos y sonidos inarmónicos . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. La serie armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Sonido formado por componentes consecutivos de la serie armónica: Señal en diente de sierra . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Sonido formado por los componentes impares consecutivos de la serie armónica: Señal rectangular . . . . . . . . . . . . . 7.3.3. Cualidad sonora derivada de los componentes de la serie armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Componentes de la serie armónica y notas de la escala temperada . . 7.5. Intervalos entre los sucesivos componentes de la serie armónica . . . 7.6. Estructura armónica y reconocimiento de la altura tonal . . . . . . . 7.7. Las fronteras de lo armónico. La inarmonicidad en el sonido musical 7.8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 122 124 128 129 131 132 133 138 141 144 148

8. Ondas estacionarias y resonancia: Generación del sonido armónico 150 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Iᴠ

8.2. La cuerda como paradigma de un sistema vibratorio unidimensional 8.3. Propagación y reﬂexión de una perturbación transversal sobre una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Superposición de dos perturbaciones que viajan en sentido opuesto sobre una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Formación de ondas estacionarias sobre una cuerda . . . . . . . . . 8.5.1. Reﬂexión de una onda sinusoidal cuya longitud no es una parte entera del doble de la longitud de la cuerda . . . . . . 8.5.2. Generación de una onda estacionaria en el modo fundamental de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3. Generación de ondas estacionarias en los modos de vibración armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6. La resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. Generación del sonido armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Envolventes de amplitud y de frecuencia 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Envolvente de amplitud general . . . . 9.3. Envolventes de amplitud parciales . . . 9.4. Envolvente de frecuencia . . . . . . . 9.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . .

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152 . 155 . 160 . 164 . 165 . 170 . . . .

175 183 188 192

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193 193 195 199 204 208

10. Análisis espectral de los sonidos musicales 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Un modelo ideal de analizador espectral mediante resonancias . . . . 10.3. Relación entre duración temporal y resolución frecuencial . . . . . . 10.4. El espectrograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Interpretación de los espectrogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1. Espectrograma de sonidos armónicos estables . . . . . . . . . 10.5.2. Espectrograma de sonidos armónicos cuyos componentes cambian de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.3. Espectrograma de sonidos cuyos componentes modiﬁcan su frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ᴠ

209 209 211 215 219 223 224 225 227

10.5.4. Espectrograma de ruido blanco y sonido simple . . . . . . . . 229 10.5.5. Espectrograma de ruido de tráﬁco y de habla . . . . . . . . . 230 10.6. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11. El timbre 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Rasgos tímbricos derivados del contenido espectral . . . . . . . . . 11.2.1. Rasgos espectrales característicos del tipo de instrumento . . 11.2.2. Diferencias del contenido espectral entre las distintas notas del mismo instrumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3. Modiﬁcación del contenido espectral por la acción del intérprete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Rasgos tímbricos dependientes de la evolución de los parámetros del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1. Marcas tímbricas y envolvente de amplitud . . . . . . . . . 11.3.2. Marcas tímbricas y envolvente de frecuencia . . . . . . . . . 11.4. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

232 . 232 . 235 . 242 . 247 . 254 . . . .

257 257 263 265

12. Fisiología de la audición 12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. El oído humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. La cóclea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1. Descripción general de la cóclea . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Estructura interna de la cóclea . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3. El órgano de Corti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4. El ganglio espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. La cóclea como analizador mecánico de frecuencias . . . . . . . . . . 12.4.1. Tonotopía de la membrana basilar . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2. Comportamiento de la membrana basilar ante un sonido complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3. Retroalimentación de las células pilosas externas sobre la membrana basilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Transducción mecano-eléctrica en la cóclea . . . . . . . . . . . . . . 12.6. Codiﬁcación de la información sonora en impulsos eléctricos . . . . .

266 266 267 271 271 273 278 284 287 287

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292 294 295 299

12.7. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 13. Psicoacústica musical 13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Limitaciones en la percepción del objeto sonoro debidas a la fisiología del oído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. El reconocimiento del patrón armónico . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Percepción de la consonancia entre sonidos musicales . . . . . . . . 13.4.1. Consonancia y disonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Consonancia de octava, de quinta y de cuarta . . . . . . . . 13.5. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. La voz musical 14.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. El concepto de voz musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. El movimiento de la voz en el recitado de la primera estrofa de la Oda a la flor de Gnido de Garcilaso de la Vega . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. El movimiento de la voz en los compases iniciales del Lamento de Ariadna de Monteverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5. El movimiento de la voz en el inicio del Adagio de la Sonata I para violín solo (BWV 1001) de J. S. Bach . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. El movimiento de la voz en el inicio del Nocturno op.9, nº 1 de Fr. Chopin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7. El “espacio” de la significación musical . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía

304 . 304 . . . . . .

305 308 312 314 319 324

325 . 325 . 327 . 330 . 334 . 337 . 340 . 344 . 346 347

ᴠII

Prólogo Este curso pretende proporcionar al músico y al musicólogo los conocimientos de acústica que pueden ser de interés para la realización de su trabajo. El sonido es el material con el que se hace la música, por lo que a cualquiera que le interese el arte musical le puede resultar atractivo conocer todo lo que atañe al sonido, tanto en su realidad física —es decir, al hecho de que sea una onda mecánica—, como en su realidad psíquica, pues en un sentido estricto hablamos de sonido cuando esa onda mecánica es percibida por nuestro sistema auditivo. Ciertamente, no es necesario conocer nada de acústica para interpretar bien un instrumento, ni para investigar en la mayor parte de los aspectos de los que se ocupa la musicología, pero creo que todos estaremos de acuerdo en que saber en qué consiste el sonido, conocer cuáles son sus parámetros físicos, comprender cómo nosotros percibimos esos parámetros y, en deﬁnitiva, conocer cuál es la relación entre la naturaleza física del sonido y la manera en la que nuestro sistema auditivo lo percibe, puede resultar de gran ayuda para la práctica del instrumento y también puede colaborar eﬁcazmente en múltiples aspectos de la investigación musicológica. A mi juicio, es difícil entender bien el lenguaje musical sin un conocimiento, aunque sea elemental, del sonido musical. En este sentido, uno de los objetivos de este curso es presentar las bases físicas sobre las que se ha construido el lenguaje musical de Occidente y también su sistematización teórica. La pregunta que podemos hacernos a continuación es la siguiente: ¿Es posible estudiar acústica sin utilizar el formulismo matemático que normalmente acompaña cualquier estudio físico? Mi respuesta es que sí. Creo que se puede entender bien la naturaleza del sonido, y en particular del sonido musical, mediante la experiencia,

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sin recurrir a ninguna fórmula matemática. Por eso este curso de acústica musical va a prescindir de toda formulación matemática. No se trata de realizar cálculos, ni de desarrollar aplicaciones prácticas; el objetivo de quien siga este curso de acústica musical va a ser entender las ideas fundamentales en torno a la naturaleza del sonido y, en particular, aquellos aspectos que han sustentado nuestro lenguaje musical. Por ejemplo, desde mi punto de vista, se puede entender razonablemente bien qué es la descomposición espectral sin necesidad de conocer la formulación matemática de la Transformada de Fourier. Es verdad que su conocimiento sería más profundo y estaría mejor expresado si se utilizara el lenguaje matemático, pero esto sólo sería así una vez que se hubieran entendido las ideas en las que se basa la descomposición espectral. Creo que para el músico es suficiente con este conocimiento y también que quien está interesado en la física del sonido, sin un especial interés musical, le puede venir muy bien observar y experimentar muchos fenómenos que luego podrán ser formalizados matemáticamente. Por ello en este curso voy a procurar explicar todas las ideas de la manera más intuitiva posible. Pienso que, armados solamente con el sentido común y con la ayuda de abundantes gráficas y vídeos que nos permitan relacionar lo que oímos con lo que vemos, podremos entender las principales nociones de acústica musical. Por todo ello este curso va a utilizar con mucha frecuencia vídeos, la mayor parte de los cuales han sido elaborados a partir de imágenes obtenidas mediante Matlab. Estos vídeos van a servir como una suerte de laboratorio de acústica y van a permitir experimentar de primera mano todo lo que se explica en el texto. En ellos me he esforzado en mostrar la relación entre lo que se ve y lo que se oye. Así pues, espero que los conceptos más importantes de acústica musical queden afianzados con ayuda de las imágenes de estos vídeos, que presentan gráficamente cómo es la naturaleza del sonido y la manera en la que nosotros percibimos sus parámetros. Los distintos capítulos de este curso de acústica musical recorren el amplio camino que va desde la explicación de la naturaleza vibratoria del movimiento mecánico que origina el sonido y el modo en el que se trasmite, con sus parámetros de frecuencia, amplitud, periodo y fase, hasta las peculiaridades de la voz musical, es decir, el movimiento que transcurre interválicamente de una a otra altura tonal y que da lugar a la melodía, pasando por la explicación de fenómenos acústicos de especial relevancia en la formación del sonido musical, tales como las ondas estacionarias, la resonancia, IX

los batidos, la consonancia, las envolventes de amplitud y de frecuencia, etc. A la vez, se presentan algunas herramientas que nos permiten observar el sonido musical, tales como el espectrograma y el melograma, y se proporciona un conocimiento básico sobre cómo funciona nuestra percepción auditiva. Pero querría, antes de comenzar, hacer algunas aclaraciones. La primera se refiere a lo que hay que entender en este curso por “sonido musical”. Si bien es cierto que la música puede utilizar cualquier tipo de sonido (y no tenemos más que pensar en las músicas de vanguardia), es necesario aclarar que aquí cuando hablo de “sonido musical” me estoy refiriendo exclusivamente al sonido armónico, es decir, aquél que posee una altura tonal definida y del que, por lo tanto, podemos decir que es un re, un fa, un mi, o cualquier otra altura tonal, lo que usualmente llamamos una nota. No descarto en absoluto la posibilidad de que se pueda utilizar musicalmente cualquier material sonoro, como hace una parte importante de la música contemporánea. Menos todavía niego la posibilidad de una música puramente rítmica, en la cual cualquier sonido o ruido puede servir para marcar el tiempo. Sin embargo, puesto que uno de los objetivos de este curso es proporcionar las bases acústicas convenientes para el estudio de nuestro lenguaje musical estándar, creo que es oportuno y resulta cómodo restringir la definición de sonido musical al sonido formado por componentes armónicos. Lo siguiente que quiero decir es que en este curso me voy a limitar a analizar el sonido musical desde el punto de vista físico y psicoacústico, sin entrar para nada en el lenguaje musical. Cualquier sonido obtendrá su valor dentro de una escala o de un acorde, y allí pasará a adquirir un significado por su posición en el sistema correspondiente. Pero estas cuestiones pertenecen ya a la teoría musical, por lo que aquí atenderé únicamente a las características físicas del sonido y a los aspectos psicoacústicos de nuestra audición que van a repercutir en la configuración de nuestro lenguaje musical. Me voy a centrar en cuestiones como, por ejemplo, en qué consiste la especificidad del sonido musical o armónico, cuáles son los elementos básicos de todo sonido musical, qué relación hay entre frecuencia y altura tonal, o entre amplitud y volumen sonoro, qué razones numéricas deben cumplir los componentes de los sonidos musicales o armónicos, cómo es posible lograr una buena afinación —es decir, determinar con precisión las frecuencias de los sonidos—, qué relación hay

entre el hecho físico de la vibración y nuestra forma de percibir los acontecimientos sonoros, cuáles son los fundamentos físicos de las consonancias, si los hay, etc. Y por último, una advertencia para poder apreciar correctamente los ejemplos sonoros que aparecen en los vídeos. Es necesario utilizar un sistema de reproducción sonora que tenga una distorsión razonablemente pequeña. Puede valer un teléfono móvil, un iPad o cualquier otra tableta con un sistema de audio razonable, pero es necesario que disponga de un altavoz mínimamente decente o, en caso contrario, los ejemplos deben ser escuchados a través de unos auriculares. Si se reproducen los vídeos en un ordenador también es conveniente que tenga unos altavoces de cierta calidad. La razón es que la distorsión que introduce un sistema sonoro deficiente da lugar a la aparición de componentes espurios, es decir, componentes que no están presentes en la señal original. Se producen principalmente dos efectos no deseados debidos a la distorsión, con posibles repercusiones en la audición de los ejemplos sonoros. En primer lugar, en el caso de un sonido simple, la distorsión puede añadir armónicos, produciéndose la llamada “distorsión armónica”, que provocará que no los oigamos con la pureza con la que debe sonar un sonido simple auténtico (que debería tener una cualidad sonora similar a la de un diapasón metálico de los utilizados para afinar), sino que escuchemos un sonido más áspero y complejo. En segundo lugar, en el caso de sonidos compuestos o de las mezclas de sonidos, la distorsión puede provocar la aparición de nuevos componentes, la llamada “distorsión de intermodulación” y, en especial en los ejemplos de mezclas de sonidos simples, esta distorsión puede hacer aparecer un nuevo componente grave, precisamente con una frecuencia que sería el resultado de la diferencia entre las frecuencias de los sonidos mezclados. Algunas leyendas sobre la posibilidad de obtener sonidos muy graves a partir de los tonos de diferencia son simplemente provocadas por la distorsión de los equipos de reproducción. Para mitigar este último problema, cuando he podido, he procurado elegir las frecuencias de los sonidos utilizados en los ejemplos de tal forma que estos sonidos espurios de diferencia tuvieran una frecuencia por debajo del límite de graves que un reproductor de audio mediocre es capaz de dar. Para probar si nuestro equipo distorsiona más de lo aceptable, podemos atender, por ejemplo, al vídeo de la figura 9 del capítulo 6, en concreto, cuando se superponen dos sonidos simples cuyas frecuencias están en razón 3/2 (quinta) y 4/3 (cuarta). En ambos casos tenemos que oír solamente las dos notas por separado, de modo que si oímos un terXI

cer componente más grave, debemos atribuirlo a la distorsión de intermodulación provocada por la pobre calidad del equipo. Espero que este curso sea de utilidad a todas las personas que se animen a seguirlo. Mi recomendación es hacer en primer lugar una lectura superﬁcial del capítulo que queramos trabajar, luego atender especialmente a los materiales didácticos y ﬁnalmente repasar de nuevo el texto. Si hay algún profesor que le interese para sus clases algunos de los vídeos, puede utilizarlos también con toda libertad y complementarlos con sus propias explicaciones.

XII

Capítulo 1 El sonido como vibración

1.1.

¿Qué es el sonido?

Empecemos conociendo qué es el sonido, cualquier sonido, sea o no musical. La primera cuestión que es necesario tener clara es que el sonido es una vibración mecánica que se propaga en un medio elástico. Si nos molesta el ruido que hace alguien que está en la habitación de al lado es porque la pared que nos separa se está moviendo, se está deformando, está vibrando. Bien, es cierto, se mueve muy poco, las deformaciones son mínimas, pero son lo suﬁcientemente intensas como para que, a su vez, estas vibraciones mecánicas hagan vibrar el aire de nuestra habitación y el ruido de la habitación de al lado llegue a nuestros oídos. Toda vibración es posible porque el medio que vibra es elástico. En efecto, el aire es elástico: el aire se comprime y se expande, aumentando y disminuyendo la presión que ejerce sobre todo lo que rodea. Y la pared, aunque no lo parezca a simple vista, también es elástica. Así pues, cualquier vibración mecánica, hablando en términos generales, es sonido. Pero como habitualmente el medio por el que se transmite el sonido es el aire y como lo que nos interesa ahora es el sonido que los humanos somos capaces de percibir, para simpliﬁcar podemos pensar que el sonido es la alteración producida en nuestro 1

sistema perceptivo por las pequeñas y rápidas oscilaciones de la presión del aire en torno a su valor medio. Ahora bien, decimos que el sonido es movimiento, que la pared a través de la que llega a nuestros oídos el ruido de la habitación de al lado se está deformando, pero no vemos que nada se deforme, no apreciamos que nada se mueva. Ello se debe a dos peculiaridades de las vibraciones mecánicas que percibimos como sonido. La primera es que las amplitudes de las vibraciones sonoras son, en general, muy pequeñas. Por poner un ejemplo, la variación de la presión sonora en una calle con un tráﬁco moderado, debida al ruido de los coches y de los transeúntes, es aproximadamente una millonésima parte de la presión media del aire. La segunda es que las vibraciones sonoras son muy rápidas para ser seguidas por nuestra vista. Nosotros sólo percibimos como sonidos las vibraciones mecánicas que se producen dentro de un margen temporal adecuado a nuestra percepción, en concreto, aquéllas que realizan una oscilación completa en un rango que va desde unas 20 veces por segundo hasta unas 20.000 veces por segundo. Para obtener una imagen intuitiva de la vibración sonora, podríamos imaginar el aire como si estuviera formado por pequeñas bolitas o esferitas unidas por diminutos muellecillos, unas esferitas que estarían igualmente espaciadas en su posición de equilibrio y que oscilarían siguiendo el movimiento de la fuente sonora. Este modelo es apropiado para simular las variaciones de la presión del aire que constituyen el sonido. El hecho de que las esferitas se aproximen entre sí se corresponde con un aumento de la densidad del aire y, por lo tanto, de la presión, mientras que el que se alejen unas de otras representa la rarefacción y la disminución de la presión del aire. Los muellecillos simulan la posibilidad de todo medio elástico de ser deformado, así como su tendencia a recuperar la posición de equilibrio. Utilizando este modelo de las esferitas y los muelles, he confeccionado varios vídeos didácticos, cuyos fotogramas han sido generados con Matlab. Estos vídeos nos ayudarán a asimilar los principales conceptos implicados en la vibración sonora, los cuales son estudiados en los apartados “Simulación de la vibración del aire en un sonido simple” y “Simulación de la vibración del aire en un fragmento sonoro complejo”. Espero que esta forma de representación resulte útil para entender en qué consiste la 2

vibración del sonido y cómo se transmite por el aire el movimiento vibratorio desde la fuente sonora hasta nuestros oídos.

1.2.

Simulación de la vibración del aire en un sonido simple

Veamos un vídeo que simula a cámara lenta cómo vibra el aire cuando suena un sonido simple, es decir, un sonido con una frecuencia y una amplitud estables y sin armónicos. El vídeo sigue el modelo del aire formado por una serie de bolitas y muellecillos que se desplazan cuando cambia la presión del aire como consecuencia de la vibración sonora. El vídeo representa la vibración del aire cuando suena la nota la4 generada artificialmente, cuya frecuencia es de 440 Hz. He elegido para este ejemplo un sonido simple porque, al ser su movimiento vibratorio muy sencillo y repetitivo, nos va a permitir observar con facilidad los rasgos característicos de toda vibración sonora y de su propagación. He ralentizado el movimiento 440 veces y he amplificado mucho el desplazamiento de cada esferita para que se pueda apreciar la vibración con facilidad. El sonido del vídeo, sin embargo, corresponde a la nota la4 tal cual, es decir, sin ralentizar, por lo que la finalidad del sonido es meramente ilustrativa.

Figura 1.1: Vídeo que modeliza, ralentizada 440 veces, la vibración del aire ocasionada por la nota musical simple la4 .

Aunque la ﬁnalidad del vídeo es puramente didáctica, he tratado de que el modelo sea lo más realista posible. Por ello cada cuadro del vídeo ha sido realizado con Matlab. Este programa me ha permitido calcular la posición instantánea de cada una de las esferitas del modelo durante la emisión de este sonido. Así, el vídeo simula lo que ocurre en una imaginaria sección cúbica de aire de 2 metros de lado situada en un espacio abierto, sin viento y sin obstáculos, lo cual evita la necesidad de tener en cuenta cualquier perturbación en la propagación del sonido. Puesto que el sonido en realidad se propaga en todas las direcciones por igual, es necesario pensar que el cubo está a gran distancia de la fuente sonora, de modo que los movimientos de las esferitas puedan ser considerados como prácticamente paralelos. Para ello suponemos que a la izquierda del cubo, a 100 metros o más de distancia, un altavoz potente está emitiendo la nota musical la4 que acabamos de oír. Suponemos también que la nota está ya sonando de una forma estable cuando el vídeo se inicia. Cada esferita del vídeo representa un volumen esférico de aire de 2,8 cm de radio. En su posición de equilibrio la distancia entre los centros de estas esferas es de 9,69 cm. He elegido esta distancia para que la longitud de onda del sonido analizado abarque un número entero de esferitas en nuestra simulación. Ya que la propagación de la vibración se realiza de izquierda a derecha, en el vídeo los muellecillos sólo unen las esferitas en el sentido longitudinal. Esta es también la razón de que las esferitas que se mueven sincronizadamente estén agrupadas en paneles paralelos a las caras laterales del cubo. Debemos suponer que la vibración que vemos en esta simulación está siendo provocada por la masa de aire que se encuentra a la izquierda del cubo, la cual, a su vez, está siendo movida por el cono del altavoz que está emitiendo la nota musical la4 . Cuando el cono del altavoz se desplaza a la derecha, desplaza a la derecha la masa de aire que está en contacto inmediato con él, con lo que éste se comprime. Cuando se comprime, su densidad aumenta y, por lo tanto, la presión que ejerce sobre lo que le rodea se hace más elevada. Ello hace que, a su vez, pero con un cierto retraso, desplace y comprima el aire que sigue a continuación, y así sucesivamente. Cuando el cono del altavoz se desplaza hacia la izquierda, el vacío que deja atrae el aire de

sus inmediaciones, con lo que su densidad disminuye y su presión desciende. Esta disminución de la presión provoca, a su vez, la atracción del aire vecino.

1.2.1.

Propagación de la perturbación a través del aire

Los movimientos de la fuente sonora provocan una cadena de compresiones y rarefacciones que constituyen ondas de presión que se desplazan por el interior de la masa de aire. Veamos cómo se producen. Lo primero que observamos a simple vista en el vídeo es un cubo que vibra, estirándose y encogiéndose como si fuera una especie de fuelle, y lo hace de una manera totalmente regular. La regularidad y simplicidad de esta vibración es debida a que estamos simulando un sonido simple, es decir, una nota musical sin armónicos. Si nos distanciamos un poco de la pantalla para tener una visión de conjunto, podemos apreciar unas perturbaciones que se desplazan de izquierda a derecha. Estas perturbaciones, que se corresponden con las alteraciones de la presión del aire, constituyen un movimiento ondulatorio, que es la manera en la que se propaga el sonido desde la fuente sonora hasta nuestros oídos. En efecto, distinguimos varias áreas donde los paneles de esferitas progresivamente se amontonan, dando una sensación de mayor densidad o, lo que viene a ser lo mismo, de mayor presión. Estas áreas de mayor densidad parecen surgir de la cara lateral izquierda del cubo, viajar de izquierda a derecha y desaparecer por la cara lateral derecha. Cada una de estas condensaciones que surge deja a su paso otra zona donde los paneles de esferitas se van separando y en la que, por lo tanto, la densidad y la presión del aire serán menores. Podemos ver en el vídeo que estas condensaciones se renuevan una vez por segundo. En efecto, cada segundo parece surgir de la cara izquierda del cubo una nueva condensación, por lo que la frecuencia de las ondulaciones que apreciamos en este vídeo es de 1 Hz. Teniendo en cuenta que en él se representa el movimiento vibratorio ralentizado 440 veces, la frecuencia real con la que se renuevan estas zonas de presión en el aire será de 440 veces por segundo, lo que coincide con la frecuencia de la nota musical que está sonando, un la4 de 440 Hz.

Si midiéramos con exactitud, mediante un editor de vídeo u otro programa similar, el tiempo que tarda cada una de las condensaciones en recorrer el cubo, veríamos que es de 2,58 segundos. Como el lado del cubo representado mide 2 metros, en un segundo cada condensación recorrerá 0,775 metros (2 ÷ 2, 58 = 0, 775). Como la realidad es 440 veces más rápida, la velocidad real en la que se propagaría la perturbación sería de 341 m/s (0, 775×440 = 341), lo cual es coherente con la velocidad de propagación del sonido en el aire.

1.2.2.

Movimiento individual de oscilación

Sin embargo, si nos fijamos en cada una de las esferitas nos daremos cuenta de que no se van desplazando indefinidamente hacia la derecha, sino que tienen únicamente un movimiento oscilatorio horizontal en torno a su posición de equilibrio: sólo se mueven realizando un sencillo vaivén de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, en un rango muy reducido de desplazamiento respecto a su posición central. Y lo mismo ocurre con los paneles en los que se agrupan. Además, si observamos con un poco de detenimiento varias esferitas elegidas al azar podremos comprobar que todas ellas realizan el mismo movimiento. Unas se mueven antes y otras después en función del panel en el que se encuentran, pero todas las esferitas del cubo oscilan exactamente de la misma manera. Dado que en nuestra simulación hemos elegido un sonido simple, el movimiento de cada esferita es un sencillo vaivén. Este sencillo vaivén repite el movimiento que ha efectuado el cono del altavoz al emitir el sonido. Para observar con detalle el movimiento de una esferita cualquiera he realizado un vídeo en el que aparece la oscilación de una esferita del cubo aislada, ralentizada ahora 880 veces, es decir, el doble que en el vídeo de la figura 1.1. Conforme va oscilando se va dibujando la forma de su movimiento en el tiempo.

Tiempo

Desplazamiento

Figura 1.2: Vídeo con el movimiento de oscilación de una esferita cualquiera del cubo de la ﬁgura 1, ralentizado 880 veces.

Vemos que la forma de la gráﬁca que dibuja el movimiento de oscilación de cada esferita en el tiempo es una sucesión de eses. En efecto, en el momento en el que la esferita alcanza su máximo desplazamiento hacia la derecha se detiene instantáneamente y cambia de sentido, empezando a moverse hacia la izquierda. Entonces va aumentando progresivamente su velocidad hasta pasar por la posición de equilibrio, a partir de la cual va frenándose gradualmente hasta alcanzar su desplazamiento máximo hacia la izquierda. En ese momento de nuevo se detiene instantáneamente y cambia de sentido, moviéndose ahora hacia la derecha, recorriendo de la misma manera el mismo camino, pero en sentido opuesto, hasta llegar otra vez a su desplazamiento máximo por el lado derecho, donde inicia una nueva oscilación. Observamos que la esferita tarda 2 segundos en realizar una oscilación completa. Esta duración es el periodo de oscilación de la esferita que vemos en la pantalla. Como el vídeo está ralentizado 880 veces, el periodo real de la oscilación de este sonido será de 2,3 milésimas de segundo (2 ÷ 880 = 0, 0023). Visto de otra manera, en un segundo la esferita de este vídeo realiza media oscilación completa. Eso quiere decir que su frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz. Al estar ralentizado 880 veces, la frecuencia real de la oscilación es de 440 Hz, que es 7

la frecuencia de vibración del la4 que está sonando. Comprobamos, así pues, que la frecuencia de oscilación de las esferitas es la misma que la frecuencia del movimiento ondulatorio de propagación, es decir, la frecuencia con la que se renuevan las condensaciones en un punto del espacio que hemos visto en el apartado anterior.

1.2.3.

De la oscilación individual a la propagación ondulatoria

Al oír la palabra ondulación nos viene enseguida a la mente la imagen de las olas del mar o la de los círculos concéntricos que surgen en un estanque de agua al arrojar una piedra. Pero en nuestra simulación no vemos nada que ondule, nada que tenga la forma de una onda; a lo más, intuimos un cierto carácter ondulatorio en la sucesión de condensaciones y rarefacciones. Ello se debe a que las ondas mediante las que se propaga el sonido son ondas de presión longitudinales, mientras que las ondas del estanque o del mar son principalmente transversales. Voy a explicar a continuación cómo son las ondas longitudinales mediante las que se propaga el sonido. Veremos cómo surgen las ondas sonoras a partir del movimiento individual de oscilación, que reproduce la oscilación de la fuente sonora, y de la elasticidad del medio, en este caso, el aire. Comprenderemos, así mismo, que como consecuencia de la elasticidad del medio, la forma de la onda en el espacio es la misma que la forma de la oscilación de la fuente sonora en el tiempo. En términos de nuestra simulación, vamos a estudiar cómo a partir del movimiento oscilatorio de cada una de las esferitas se genera el movimiento ondulatorio mediante el que se propaga la perturbación. Para ello he fabricado un vídeo con una ﬁla aislada del cubo de la ﬁgura 1.1, en el que las esferitas aparecen oscilando, pero ahora con el movimiento ralentizado 880 veces. La oscilación de cada una de las esferitas se va dibujando en el tiempo con trazos de ocho colores distintos. La línea ondulada verde que aparece por encima y por debajo de las esferitas indica la variación de la presión del aire a lo largo del espacio.

Tiempo

Espacio

Figura 1.3: Vídeo con el movimiento oscilatorio de una ﬁla de esferitas.

Analicemos con un poco de detenimiento lo que vemos en este vídeo y lo que sucede en la realidad que simula.

a) En las ondas longitudinales la dirección de propagación es la misma que la de la oscilación

Podemos apreciar con claridad que la oscilación de cada una de las esferitas se realiza en la misma dirección que la propagación de las perturbaciones, en este caso, de izquierda a derecha. Por eso los desplazamientos individuales de las esferitas, al oscilar en torno a su posición de equilibrio, se camuﬂan en el movimiento general de propagación, lo que explica que en el cubo del aire vibrando de la ﬁgura 1.1 no se observe ninguna forma ondulada en el espacio. En la realidad, los pequeñísimos desplazamientos del aire, representados por la oscilación de las esferitas, oscilan en la misma dirección en la que se propaga el sonido por el espacio, repitiendo el movimiento de la fuente sonora. Este tipo de ondas se llaman longitudinales y mediante ellas se propaga el sonido.

b) Los desfases provocados por la elasticidad transforman los desplazamientos oscilatorios del aire en oscilaciones de la presión

En el vídeo observamos que la elasticidad de los muellecillos causa retrasos en la transmisión del movimiento oscilatorio de las esferitas. Vemos que la fuente del movimiento de cada esferita es la que está situada inmediatamente a su izquierda; ahora bien, la elasticidad de la unión entre la esferita impulsora y la impulsada hace que los constantes cambios de velocidad del movimiento oscilatorio de la esferita impulsora se transmitan con retraso. Esto explica que los dibujos en forma de ese que cada esferita va trazando en el tiempo, aún siendo iguales en la forma, estén desfasados, lo que queda reﬂejado por los distintos colores con los que están pintados. A su vez, el retraso en la transmisión del movimiento provoca que en unos momentos las esferitas se vayan aproximando y en otros se vayan alejando, con las correspondientes compresiones y elongaciones de los muellecillos que las unen.

Tiempo

Para entender cómo surge la oscilación de la presión a partir de los desfases derivados de la elasticidad, presento un nuevo vídeo con un detalle ampliado del movimiento de las dos primeras esferitas. En el rectángulo de la derecha se va trazando la separación entre ellas, o lo que es lo mismo, el grado de compresión o elongación del muelle que las une.

Desplazamiento

Distancia entre esferitas

Figura 1.4: Vídeo con la oscilación de las dos primeras esferitas y la evolución de sus distancias.

Podemos apreciar en este nuevo vídeo cómo la evolución en el tiempo del grado de compresión o elongación del muelle reproduce, aunque desfasada, la forma y el ritmo de la oscilación de las esferitas individuales. En este caso, como estamos analizando un sonido simple, ambas oscilaciones tienen la forma de una sucesión de eses, que repiten la oscilación de la fuente sonora. En efecto, en la vibración real la presión del aire en cualquier punto del espacio oscila con la misma forma y ritmo que los pequeñísimos desplazamientos de aire provocados por la oscilación de la fuente sonora.

c) La onda que se desplaza por el espacio tiene la misma forma que la oscilación en el tiempo

Como consecuencia de los desfases debidos a la elasticidad, se produce una cadena de condensaciones y rarefacciones del aire que se extiende por el espacio. Estas variaciones de la presión del aire a lo largo del espacio constituyen la onda sonora. Podemos hacernos una idea intuitiva de lo que es la onda sonora si nos ﬁjamos en la línea ondulada verde del vídeo de la ﬁgura 1.3. Allí podemos ver también que la forma de esta onda que se desplaza imita los dibujos de colores que las oscilaciones de cada una de las esferitas van trazando en el tiempo. En efecto, los retrasos producidos por la elasticidad de los muelles son también la causa de que el movimiento oscilatorio que realizan las esferitas en el tiempo se dibuje en el espacio. Si miramos con un poco más de atención ese vídeo, podremos apreciar que, en un instante cualquiera, la secuencia a lo largo del espacio de aproximaciones y separaciones entre las esferitas reproduce la secuencia de aproximaciones y separaciones de las dos primeras esferitas a lo largo del tiempo. Como la fuente sonora está a la izquierda, lo que está más a la derecha en el espacio es lo que ha sucedido antes en el tiempo, pues es lo que ha tardado más en llegar. Puesto que la evolución de las distancias entre las esferitas repite el movimiento de la fuente sonora, conforme se encuentren más a la derecha —o sea, más lejos de la fuente—, su estado se corresponderá con un momento anterior. Por poner un ejemplo, la distancia entre las dos últimas esferitas de la derecha en un instante determinado es la misma que la que había en un instante anterior entre la penúltima y la antepenúl11

tima, que, a su vez, es la misma que en otro instante anterior se producía entre la antepenúltima y la que le antecede, y así sucesivamente. Así pues, en un instante dado, las distancias entre las sucesivas esferitas a lo largo de la ﬁla reﬂejan la historia del movimiento de la fuente sonora. Podemos observar también en este vídeo que la secuencia de separaciones entre las esferitas se va desplazando por el espacio. Lo que se desplaza a lo largo del espacio no son las esferitas, que sólo tienen un pequeño movimiento oscilatorio, sino el patrón de proximidad y lejanía entre ellas. Lo mismo sucede en la vibración real, donde lo que se desplaza no son las masas de aire, sino la onda de presión y con ella la información que lleva implícita, que no es otra sino la información de la fuente sonora.

d) En un sonido simple la onda de presión del aire tiene forma de ese y una longitud definida

Veamos ahora lo que es específico de un sonido simple y, en concreto, de la onda que corresponde a la nota la4 de nuestro ejemplo. En el vídeo de la figura 1.3 podemos ver que la acumulación de los desfases provoca que todas las esferitas que estén separadas entre sí por ocho muellecillos oscilen siempre sincronizadamente. En efecto, en los dibujos en forma de ese que trazan las esferitas al oscilar podemos apreciar que los retrasos con los que todas ellas repiten el movimiento de la primera de la izquierda se van incrementando linealmente, es decir, según la misma cantidad. La acumulación de los sucesivos retrasos hace que en la novena esferita el desfase respecto a la primera coincida exactamente con una oscilación completa, de modo que ambas oscilan de manera sincronizada. Los dibujos de las esferitas que oscilan sincronizadamente están pintados en el vídeo con el mismo color. Como consecuencia de ello, las separaciones entre las esferitas forman un patrón en el espacio que se repite cada ocho esferitas. En cualquier momento en el que paremos el vídeo de la figura 1.3, si tomamos como primera la esferita que en ese momento está entre los muelles más comprimidos, siempre comprobaremos que la quinta esferita

estará entre los muelles más distendidos y la novena, de nuevo, entre los muelles más comprimidos. Al margen de las imprecisiones debidas al reducido número de esferitas, este patrón de compresiones y elongaciones representa la onda de presión sonora en el espacio. Podemos observar en ese vídeo que los valores máximos de presión, representados por los picos de la gráfica verde, vienen a coincidir con los puntos del espacio en los que los muellecillos están más comprimidos, mientras que los valores mínimos coinciden con aquellos puntos en los que los muelles están más estirados. Para apreciar mejor la forma de la onda en el espacio en este sonido simple, presento una instantánea de la cara frontal del cubo de la figura 1.1, en la que he trazado la gráfica de la presión del aire. He teñido cada esferita siguiendo la misma serie de colores del vídeo de la figura 1.3, lo que facilita el reconocimiento del patrón.

Figura 1.5: Cara frontal del cubo con la gráﬁca de la onda de presión en el espacio.

La longitud de onda es la distancia entre dos puntos equivalentes de la perturbación o, lo que en nuestra simulación viene a ser lo mismo, entre dos esferitas del mismo color. En este caso, dado que la distancia entre las esferitas en la posición de equilibro es de 9,69 cm, esta longitud es de 77,5 cm (9,69 x 8), lo que corresponde a la longitud de onda esperada para la nota la4 a 440 Hz con una velocidad del sonido de 341 m/s. 13

Si ahora volvemos de nuevo al vídeo de la figura 1.3 y prestamos un poco de atención, podremos apreciar también que en el tiempo en el que cualquier esferita realiza una oscilación completa, es decir, en el tiempo del periodo de la oscilación —en este vídeo 2 segundos—, el patrón que representa la onda de presión ha recorrido exactamente la distancia que lo define, en este caso el espacio abarcado entre los centros de nueve esferitas. De la misma manera, en la vibración real de un sonido simple la longitud de la onda coincide con la distancia que recorre la onda de presión durante el tiempo que dura una oscilación completa, es decir, el periodo de la oscilación. En nuestro ejemplo, como el periodo de la oscilación real es, redondeando, de 2,3 milésimas de segundos ((2 ÷ 880) = 0, 002273) y la velocidad del sonido que hemos supuesto es de 341 m/s, la longitud de onda será de 77,5 cm ((2 ÷ 880) × 341 = 0, 775) , lo que coincide con la medida que hemos obtenido a partir de esta figura 1.5.

1.3.

Simulación de la vibración del aire en un fragmento sonoro complejo

El carácter sencillo y repetitivo de la vibración en el caso de un sonido simple se debe a que no posee armónicos y su amplitud y frecuencia permanecen constantes a lo largo de toda su duración. Pero la realidad sonora es mucho más compleja: los sonidos van cambiando con el tiempo; es frecuente que varias notas distintas estén sonando a la vez; y puede que ni siquiera se trate de un fragmento musical, sino de una conversación o del ruido de tráﬁco, por ejemplo. Para hacernos una idea de cómo varía la presión del aire en el caso de un sonido complejo he fabricado un vídeo que representa la vibración ocasionada por un brevísimo fragmento del inicio de la Quinta Sinfonía de Beethoven. El sonido es meramente ilustrativo, pues la vibración que simula el vídeo correspondería solamente a 27 milésimas de segundo. He utilizado el mismo modelo del cubo de aire simulado por esferitas unidas por muellecillos. La única diferencia es que ahora, para que se pueda apreciar con más facilidad el movimiento individual de oscilación, he destacado con más luz una esferita. 14

Figura 1.6: Vídeo que modeliza, ralentizada 440 veces, la vibración del aire ocasionada por un fragmento de 27 milésimas de segundo del inicio de la Quinta Sinfonía de Beethoven.

Si nos ﬁjamos en el movimiento de oscilación de la esferita más iluminada, no encontramos nada parecido al sencillo vaivén del vídeo que simula un sonido simple. En efecto, en el caso de un fragmento sonoro real, con toda su complejidad, los pequeñísimos desplazamientos de aire no consisten ya en una simple oscilación de tipo pendular que se repite una y otra vez, sino que se trata de una oscilación bastante más compleja, que se va transformando con el transcurso del tiempo. Además, y como consecuencia de ello, tampoco la onda de presión en el espacio tendrá una forma ﬁja, sino que irá cambiando constantemente. Por eso, conceptos como periodo y frecuencia de la oscilación o longitud de onda ya no serán tan evidentes. Pero, lo esencial de todo movimiento ondulatorio se cumple también en el caso de cualquier sonido complejo, sea o no musical. Dado que en ambas simulaciones hemos supuesto las mismas condiciones para el aire, podemos apreciar que en los dos casos el retraso ocasionado por la elasticidad de los muellecillos es el mismo y, en consecuencia, la velocidad con la que se propagan las perturbaciones es también igual. Y lo que es más importante, aunque el movimiento de oscilación sea complejo, observamos que también ahora todas las esferitas del cubo repiten, cada una con su retraso, el mismo movimiento, el movimiento que está inducido por la fuente. Esto nos ilustra sobre lo que ocurre en la vibración del aire. En el aire la oscilación de la presión en cualquier punto del espacio repite, con su correspondiente desfase 15

en función de la lejanía, las variaciones de la presión originadas por la fuente sonora al emitir cualquier sonido. Así mismo, vemos que también en el caso de un fragmento sonoro complejo, la secuencia de distancias entre las esferitas reproduce la forma de la oscilación de cada una de ellas. En lo que concierne al aire, la onda de presión a lo largo del espacio adquiere la misma forma que la oscilación de la presión en un punto a lo largo del tiempo.

1.4.

Conclusión

Mediante la simulación por ordenador de la vibración sonora en el aire, hemos experimentado qué signiﬁca que el sonido sea una vibración mecánica que se propaga por un medio elástico. Hemos visto que el movimiento oscilatorio de la fuente sonora, sea simple o complejo, se repite en cualquier punto del medio elástico por el que se propaga, dando lugar a oscilaciones de la presión. Así mismo, hemos comprendido cómo en la transmisión del movimiento oscilatorio se generan ondas de presión que toman la misma forma que la oscilación de la fuente. En consecuencia, podemos concluir que la información sonora está contenida tanto en la oscilación de la presión en cualquier punto del espacio, como en las formas que va adquiriendo la onda al propagarse.

Capítulo 2 La señal de audio

2.1.

Representación del sonido

Dada la rapidez y el reducido rango de las oscilaciones de la presión del aire que dan lugar al sonido, nosotros no podemos observarlo directamente. Sin embargo, con el avance de la tecnología, se han desarrollado diversos sistemas capaces de registrar el movimiento vibratorio que lo constituye, lo que ha permitido, por un lado, reproducirlo más tarde a voluntad y, por otro, estudiarlo y hasta manipularlo. Todos estos métodos están basados en conseguir que la forma de la vibración sonora deje un rastro, una huella, es decir, una señal. En efecto, toda la información que lleva consigo el sonido está contenida dentro de la forma de la vibración. La señal de audio es el dibujo que esa vibración traza en el tiempo. En el caso del aire, la señal de audio viene dada por la forma de la oscilación de la presión en torno a su valor medio, en un punto determinado del espacio. Bastará, así pues, con obtener el dibujo de esa oscilación de la presión para lograr una representación del sonido. Cuando el contenido de la vibración sonora es una pieza o un fragmento de música, a esa representación del sonido se la denomina señal musical. Desde mediados del siglo XIX se desarrollaron varios ingenios para atrapar el sonido, es decir, para guardarlo y volver a reproducirlo posteriormente. Surgieron los primeros fonógrafos, que, como su nombre indica, pretendían “escribir el sonido”. 17

Aquellos fonógrafos consistían en una membrana capaz de vibrar solidariamente con el aire y que, a través de una serie de palancas intermedias que ampliaban la vibración, transmitía su movimiento a un ﬁno estilete. El estilete iba dibujando la forma de la oscilación en una capa de cera o en un papel ahumado colocado sobre la superﬁcie de un cilindro que rotaba. De esta manera, la huella de la vibración quedaba registrada.

Figura 2.1: Un fonógrafo. Dibujo de la época.

Con el desarrollo de la electricidad, las oscilaciones mecánicas de la membrana que captaba el sonido pasaron a transformarse en oscilaciones de la tensión eléctrica, las cuales, a su vez, podían de nuevo ser transformadas en vibraciones mecánicas. Nacían el micrófono y el altavoz eléctrico. La aparición de las válvulas electrónicas y, luego, de los transistores permitió controlar la ampliﬁcación y mejorar la ﬁdelidad del registro sonoro, así como difundir por radio la señal a lugares remotos. Posteriormente se desarrolló el registro de la señal de audio en un soporte magnético, lo que facilitó la edición del sonido. Todas estas representaciones del sonido que imitan de manera más o menos directa el dibujo de la vibración sonora se conocen con el nombre de señal analógica de audio, con independencia de que el soporte utilizado sea cera, vinilo, cinta magnética o cualquier otro. Pero desde hace unas décadas el avance de la tecnología ha permitido dar un paso más y transformar la oscilación de la presión del aire en una lista de números. Para ello es necesario tomar una cantidad muy elevada de mediciones por segundo de la 18

señal analógica. Mediante estas mediciones, que recogen con la precisión deseada el movimiento vibratorio original, se digitaliza la señal sonora. Obtenemos así la lista de números que constituye la representación digital de la vibración y que recibe, por ello, el nombre de señal digital de audio. Conforme mayor sea la cantidad de muestras obtenidas —es decir, la frecuencia del muestreo—, mejor será la aproximación al movimiento vibratorio real que obtendremos. La transformación en números de la vibración sonora permite que el tratamiento del sonido se pueda realizar simplemente mediante operaciones matemáticas simples. Por ejemplo, ampliﬁcar un sonido consiste en multiplicar cada una de sus muestras por una cantidad constante; para mezclar dos grabaciones digitales sólo hay que sumar los valores correspondientes de cada una de sus muestras, etc. Además, la señal digital de audio, al tratarse solamente de una lista de números, no se pierde ni se deteriora por muchas veces que sea reproducida. Y a partir de esa lista de números se pueden generar con facilidad gráﬁcas e imágenes que facilitan la observación y el estudio de los sonidos.

2.2.

Un ejemplo de registro digital

Veamos mediante un ejemplo en qué consiste el registro de la señal de audio digital. Un sistema muy sencillo y al alcance de cualquiera puede estar formado simplemente por un micrófono de condensador con salida digital y conectado a un ordenador. La cápsula de un micrófono de condensador posee una membranita muy ﬁna que vibra como consecuencia de las variaciones de la presión del aire que llegan hasta ella. Esta membranita constituye una de las dos placas de las que consta un condensador eléctrico. Al desplazarse esta membranita, debido a la vibración del aire, se acerca o se aleja de la placa ﬁja del condensador, lo que produce un cambio en la capacitancia de éste, un cambio que es proporcional al desplazamiento de la membranita. De esta manera las vibraciones mecánicas que dan lugar al sonido se transforman en variaciones de la tensión eléctrica. Si a este mecanismo le unimos un sistema capaz de medir con rapidez esas variaciones de la tensión eléctrica, tendremos ya una herramienta que nos permitirá transformar 19

en números lo que sucede en la vibración sonora. Se trata de un pequeño circuito integrado llamado Conversor Analógico Digital (CAD o ADC, por sus siglas en inglés). La cantidad de mediciones que se toman por segundo se llama frecuencia de muestreo. Una frecuencia de muestreo estándar con la que se puede conseguir ya la máxima ﬁdelidad es 44.100 muestras por segundo. Hay que tener en cuenta que las muestras no contienen los valores absolutos de las variaciones de la presión del aire, sino valores que son relativos entre sí, habitualmente normalizados entre 1 y -1. El valor 0 corresponde a la presión ambiental del aire en ausencia de sonido y los valores 1 y -1 a la presión sonora máxima y mínima respectivamente que el sistema puede registrar. Por su parte, el ordenador nos proporciona un lugar para almacenar las mediciones que vamos obteniendo y nos permite también generar, a partir de esta lista de números, todo tipo de gráﬁcas e imágenes. Supongamos que queremos registrar y guardar en un archivo de ordenador los compases iniciales de la Quinta Sinfonía de Beethoven interpretada por una orquesta cualquiera en un día cualquiera. Los números obtenidos —es decir, las medidas o muestras que resulten de digitalizar la oscilación de la presión del aire en torno a su valor medio en el lugar en el que hayamos colocado el micrófono— constituirán la señal de audio digital de esta interpretación concreta. Y esta lista de números será el archivo de sonido que guardaremos en el ordenador. Para ilustrar cómo surge la señal de audio digital a partir de la vibración sonora, he fabricado un vídeo con imágenes obtenidas mediante Matlab. En el vídeo se simula, a cámara lenta, el movimiento arriba y abajo de la membranita del micrófono, provocado por la variación de la presión del aire en el punto donde se halla colocado, cuando suena un pequeñísimo fragmento del inicio de la Quinta Sinfonía de Beethoven. El resultado de ese movimiento se va dibujando en el panel de la izquierda, dibujo que da lugar a la señal analógica de ese fragmento. En el panel de la derecha va apareciendo el valor numérico de las muestras que se van obteniendo, es decir, lo que constituye la señal digital. El movimiento que apreciamos en el vídeo está ralentizado 1.000 veces. Aunque el sonido es meramente ilustrativo, hay que tener en cuenta que el movimiento de la membrana, el dibujo de la señal y el valor numérico de las muestras que aparecen en 20

el vídeo se corresponden a las 20 primeras milésimas de segundo de esa grabación concreta de la interpretación de esta sinfonía de Beethoven realizada por esa orquesta en ese momento.

Figura 2.2: Vídeo que ilustra el proceso de digitalización sobre un fragmento de 20 ms de los primeros compases de la Quinta Sinfonía de Beethoven.

El espacio de color azul viene a representar el interior de la cápsula del micrófono, mientras que la raya horizontal de color amarillo que se desplaza arriba y abajo es la membranita del micrófono que se mueve dentro de la cápsula, aunque la medida real del desplazamiento de la membranita por la cápsula del micrófono sería de unos pocos micrómetros. La señal analógica es la gráﬁca de color blanco que se dibuja desde la cápsula del micrófono como consecuencia de la transformación de la oscilación de la presión del aire en oscilación de la tensión eléctrica. Las pequeñas cruces verdes que están sobre esta gráﬁca de la señal representan los puntos en los que se van tomando las muestras para la digitalización. Estas muestras se toman a intervalos de tiempo iguales, lo que se llama la frecuencia de muestreo, que en este caso ha sido de 25.000 muestras por segundo. Esas mediciones van apareciendo en el recuadro de la derecha. Si detenemos el vídeo en un instante cualquiera, podemos comprobar que el último número que aparece, el situado en la parte superior de la lista, corresponde a la posición de la membranita en ese momento. La lista de todas estas muestras numéricas es la señal digital de este 21

fragmento sonoro. Estos números se pueden almacenar en un archivo de ordenador, de modo que el sonido quede registrado. Si continuáramos digitalizando el sonido de la Sinfonía completa a tiempo real y guardáramos la enorme lista de números, sin alteración alguna, obtendríamos exactamente esa interpretación concreta, tal como fue recogida por el micrófono. Y lo más interesante es que si conserváramos esa lista de números, no ya en un ordenador o en un CD, sino, por poner un ejemplo disparatado, uno detrás de otro en un papel, tendríamos exactamente la grabación original, sin que se perdiera nada de ella. A partir de esta señal digital de audio que puede ser guardada en un archivo del ordenador es posible reproducir el sonido de esta interpretación. El sistema de sonido de cualquier ordenador posee un circuito integrado capaz de convertir los números en variaciones de la tensión eléctrica, un Conversor Digital Analógico (CDA, o DAC, por sus siglas en inglés). De esa manera se puede recuperar la misma forma original de la señal analógica. Idealmente, el altavoz al que tenemos conectado el ordenador vibrará siguiendo la lista de números de la señal de audio que tenemos almacenada y provocará las mismas oscilaciones de la presión de aire que habían sido registradas.

2.3.

El editor de sonido

Veamos ahora cómo podemos representar y observar con ayuda de un editor de sonido la señal digital de ese fragmento sonoro. Existen muchos editores de sonido, algunos de ellos, como Audacity, de libre distribución. Mediante cualquiera de ellos podemos trazar, a partir de los números que hemos guardado en el archivo del ordenador, la gráﬁca de la señal que hemos registrado. Abrimos desde el editor de sonido el archivo con la señal de audio digital de ese fragmento de música. Elegimos una presentación en la que podamos ver todo el fragmento en una sola pantalla, para lo que, probablemente, necesitaremos hacer un zoom negativo. Veremos y oiremos algo similar a lo siguiente:

Figura 2.3: Vídeo con la señal de audio de los compases iniciales de la Quinta Sinfonía de Beethoven.

En el vídeo podemos observar la representación de la señal de audio de un fragmento de aproximadamente 21 segundos de duración. El valor de la coordenada vertical representa la variación de la presión del aire en torno a su valor medio en el punto en el que estuviera colocado el micrófono en el momento de la grabación. Dado que los valores de presión que muestran las gráficas de las señales de audio no son valores absolutos, sino relativos, no se indica ninguna unidad de presión. Comprobamos a simple vista que esa mancha verde, la señal de audio, guarda cierta relación con lo que estamos oyendo. Por ejemplo, los niveles sonoros más fuertes coinciden con desplazamientos verticales más amplios, y viceversa. Pero en realidad lo único que vemos son unas manchas más o menos amplias con un perfil bastante simétrico y muy escarpado. En efecto, con esta presentación no apreciamos el detalle de la vibración sonora, no podemos ver cómo se ha movido la membrana del micrófono en cada instante, ni por lo tanto, cómo ha variado la presión del aire que ha hecho que nuestro tímpano vibrara. Esta gráfica consta aproximadamente de 1.000.000 de muestras, por lo que no podemos ver los detalles. Ahora bien, basta hacer sucesivos zoom —ahora positivos— en nuestro editor de sonido para acercarnos al interior de la señal. Obtendremos una gráfica similar a la siguiente:

Figura 2.4: Fragmento de 50 ms de la señal de audio del inicio de la Quinta Sinfonía de Beethoven.

En esta imagen sí podemos observar con bastante detenimiento cómo ha sido la vibración sonora en un pequeño intervalo temporal. Debido a que la gráfica está representando solamente 50 milésimas de segundo (en concreto, desde el segundo 2 hasta el segundo 2,05), ahora es posible apreciar con detalle la vibración. Vemos que esa gráfica va dibujando un movimiento de subidas y bajadas que oscilan en torno a un valor central. Esta gráfica es el resultado de unir los valores de cada una de las muestras digitales que han sido tomadas en el momento de la grabación y que han constituido la señal de audio. Por lo tanto, podemos decir que la gráfica verde representa la oscilación del valor de la presión del aire en el punto donde estaba colocado el micrófono. Si seguimos la forma de la gráfica verde en la pantalla utilizando un dedo o el ratón del ordenador, nos estaremos haciendo una idea bastante intuitiva, como si fuera a cámara lenta, de los pequeñísimos desplazamientos sucesivos que ha realizado la membrana del micrófono que ha registrado el sonido. Mediante el editor de audio podemos movernos por las barras de desplazamiento hacia la izquierda y la derecha y recorrer toda la señal, de modo que podemos observar toda la vibración sonora con el detenimiento que queramos.

2.4.

El osciloscopio

Pero lo que realmente nos interesaría para estudiar el movimiento vibratorio que es el sonido sería ver con este mismo detalle el dibujo de la señal de audio mientras oímos lo que está representando. Con el editor de sonido podemos conseguir algo aproximado si hacemos que la ventana en la que se representa la señal se vaya actualizando conforme la música va sonando. Pero la forma idónea de representar en vivo las vibraciones sonoras es mediante un osciloscopio. Un osciloscopio es un instrumento de observación y medición que hace pasar a tiempo real la señal de audio por una ventana de observación. En Teoría de Señal se llama ventana de observación a la función matemática que recorta un fragmento de la señal de un determinado tamaño. Para simular un osciloscopio he realizado un vídeo en el que podemos ver y escuchar sincronizadamente la oscilación de los mismos compases iniciales de la Quinta Sinfonía de Beethoven del vídeo anterior. He elegido una ventana de observación de 50 milésimas de segundo porque ese tamaño es lo suﬁcientemente corto como para que se pueda apreciar el detalle de la vibración y lo suﬁcientemente largo como para permitirnos observar la forma de las oscilaciones.

Figura 2.5: Vídeo con la representación en un osciloscopio simulado de los compases iniciales de la Quinta Sinfonía de Beethoven.

Podemos entender de manera intuitiva en qué consiste un osciloscopio si imaginamos que la señal de audio, la gráfica de la vibración, va pasando por delante de nuestra ventana de observación a la vez que va sonando, entrando por la derecha y saliendo por la izquierda. Algo así como si tuviéramos la gráfica de la señal de todo el fragmento sonoro escondida a la derecha de la ventana del osciloscopio (una ventana en la que caben 50 milésimas de segundo) y la hiciéramos pasar de derecha a izquierda por delante de nuestra ventana a la misma velocidad con la que está sonando. El hecho de ver casi simultáneamente un fragmento de 50 milésimas de segundo nos permite estudiar una realidad como la vibración sonora que cambia tan rápidamente que de otro modo sería imposible observar. Mediante esta especie de osciloscopio digital podremos apreciar la forma de la vibración que está sonando y su evolución conforme el sonido va cambiando. Podemos parar el vídeo en cualquier momento y analizar la forma de la vibración en las 50 milésimas de segundo correspondientes al momento en el que lo hemos detenido. Mediante este vídeo-osciloscopio podemos apreciar que cuando suena una nota musical aislada las formas de la vibración tienden a repetirse, lo que nos produce la impresión de que en ese momento el movimiento de la gráfica se hubiera detenido o ralentizado. En realidad estamos viendo pasar la gráfica a la misma velocidad que antes, pero, como las formas de la oscilación se repiten muchas veces con escasas variaciones, la sensación óptica que obtenemos es más estática. Esta repetición, unida al ritmo en el que se actualizan los cuadros en el vídeo y a la persistencia en nuestra retina de las imágenes, nos produce diferentes ilusiones ópticas: a veces parece que las formas de la oscilación se dirigieran a la derecha, otras a la izquierda, otras parecen casi detenerse y en otras ocasiones da la impresión de que se superpusieran dos vibraciones distintas. Pero estas ilusiones ópticas no nos interesan ahora, pues nuestra atención solamente debe estar dirigida a la forma de la vibración y a su evolución.

2.5.

Conclusión

Al margen de las numerosas utilidades prácticas en los campos del registro, edición y difusión de las obras musicales o de los acontecimientos sonoros de todo tipo, la 26

representación digital del sonido ofrece muchas posibilidades para el estudio acústico. Puesto que la señal de audio digital es una representación ﬁdedigna de la vibración sonora, a partir de ella podemos obtener con facilidad todo tipo de gráﬁcas e imágenes que nos ayudarán a entender el sonido y la relación entre los parámetros físicos de la vibración y nuestra percepción. Así mismo, podremos utilizar técnicas numéricas para extraer la información que contiene.

Capítulo 3 Características de los sonidos musicales

3.1.

Introducción

Imaginemos que hacemos escuchar a un grupo de personas de distintas edades, culturas y formación musical varios fragmentos sonoros y les pedimos que nos digan en cada caso cuándo se trata de música y cuándo no. Con independencia de instrumentos, de aﬁnaciones y escalas o de su procedencia cultural, nadie dudará en decir si lo que está escuchando es música o no lo es. En efecto, distinguimos con facilidad los sonidos propios de la música del ruido que produce un atasco de tráﬁco, o del murmullo de una fuente de agua, o de las palabras de una conversación, por poner unos ejemplos. Ciertamente, hay circunstancias en las que esta distinción no resulta tan obvia, como, por ejemplo, cuando en una obra musical contemporánea se utilizan los ruidos procedentes de una fábrica. Pero, al margen de casos similares, todos sabemos reconocer si lo que está sonando son o no son sonidos musicales. Ahora bien, ¿en qué consisten estas diferencias que percibimos? ¿Las señales de audio que contienen información musical tienen alguna particularidad que las hace distintas de otros tipos de señales sonoras? ¿Por qué el ruido se considera lo opuesto al sonido musical? Este capítulo va a tratar de responder a estas cuestiones, mostrando las peculiaridades que poseen las vibraciones de los sonidos que consideramos musicales. 28

3.2.

Ruido y sonido musical

Habitualmente se contrapone el sonido musical al ruido. Si bien esta oposición es de gran utilidad para ayudarnos a entender qué es lo especíﬁco del sonido musical, necesitamos precisar antes qué entendemos por sonido musical y en qué sentido usamos la palabra ruido, pues este término tiene varias acepciones. Cualquier sonido puede ser utilizado con un propósito musical, como, por ejemplo, los sonidos de los instrumentos de percusión, los efectos sonoros que se generan en la música electrónica o los ruidos diversos que se pueden incluir dentro de una obra de música. Pero por sonido musical, en sentido estricto, vamos a entender aquí solamente aquel sonido en el que podemos identificar una altura tonal, es decir, aquél del que podemos decir que es un re o un la o cualquier otra nota. Por otra parte, en el sentido cotidiano del término, ruido es cualquier sonido no deseado. Así, si el vecino de al lado está escuchando ópera y a mí no me apetece nada oír la ópera que pone mi vecino, esa ópera, paradójicamente, es ruido para mí. Este es el sentido en el que se utiliza la palabra ruido en acústica ambiental, donde el objetivo es atenuar las molestias que el sonido indeseado puede ocasionar. Así mismo, desde el punto de vista de la Teoría de la Información, ruido es cualquier perturbación en la transmisión del mensaje. Por poner un ejemplo similar al anterior, si estoy hablando por el móvil en una cafetería en la que está sonando música a un volumen muy elevado, el sonido de la música, aunque parezca también paradójico, es un ruido que perturba mi comunicación y que altera la transmisión de la información al colarse en el canal por el que viaja la conversación. Aquí, sin embargo, vamos a usar el término ruido en un sentido distinto. Ruido va a ser lo opuesto al sonido musical. Así pues, ruido será una masa de sonido indiferenciado de la que nunca podríamos extraer notas musicales individuales. Del ruido, cómo mucho, podremos decir que es grave o que es agudo o que predominan en él los tonos medios, pero nunca podremos intuir, ni siquiera remotamente, una nota musical. Pero, ¿son tan claras las cosas?, ¿es tan nítida esta separación?, ¿qué es el habla, ruido o sonido musical?, ¿y el sonido de una campana? A continuación intentaré responder a estas cuestiones, utilizando una serie de ejemplos que nos van a permitir comparar 29

por medio del osciloscopio las vibraciones de los sonidos especíﬁcamente musicales con las de otros sonidos que no lo son.

3.3.

Ruido blanco y sonido simple

Antes de entrar en la observación de señales reales, voy a presentar dos sonidos generados artiﬁcialmente que deﬁnen los polos opuestos entre los que se mueven los sonidos naturales: el ruido blanco y el sonido simple. En un extremo, el ruido blanco —llamado así por analogía con la luz blanca— contiene todas las frecuencias del espectro con la misma intensidad. En el otro extremo, el sonido simple posee una sola frecuencia que se mantiene estable durante toda su duración y es el paradigma del sonido musical. Para comparar cómo es la forma de la vibración en ambos casos, he construido un vídeo en el que se observa en el osciloscopio un fragmento de ruido blanco seguido de un sonido simple de 440 Hz.

Figura 3.1: Vídeo que simula un osciloscopio con un fragmento de ruido blanco y otro de un sonido simple de 440 Hz.

Durante toda la primera parte del vídeo, cuando suena el ruido blanco, resulta imposible identiﬁcar alturas tonales, notas musicales. Aun es más, ni siquiera podríamos

responder a la pregunta de si este sonido es agudo o grave. En principio, el chisporroteo de la parte aguda es lo que resulta más evidente, pero con un poco de esfuerzo podemos distinguir también el ronroneo de los graves. Esta diferencia de apreciación se debe a que nuestro oído no responde a todas las frecuencias por igual, sino que es más sensible a la banda situada entre los 2.000 y los 5.000 Hz. Pero, al margen de las irregularidades de nuestra sensibilidad auditiva, en el vídeo podemos apreciar que este sonido contiene todas las frecuencias del espectro audible, de la misma manera que la luz blanca contiene todos los colores visibles. En la segunda parte del vídeo, sin embargo, la situación es completamente distinta. Todos oímos una nota musical, en concreto, un la4 afinado a 440 Hz, la nota que habitualmente sirve de referencia para definir la afinación estándar. Atendamos ahora a la señal de audio, al dibujo que traza la vibración y que se observa en el osciloscopio. Cuando suena el ruido blanco la gráfica va cambiando aleatoriamente a lo largo del tiempo y no hay manera de reconocer en ella ningún orden. Si paramos el reproductor del vídeo en un cuadro cualquiera, veremos una imagen similar a la siguiente:

Figura 3.2: Gráﬁca de la señal de audio de ruido blanco.

Vemos en esta gráﬁca que el movimiento de la vibración no posee forma alguna, ni siquiera se aprecia una tendencia. Por consiguiente, no hay nada que nos permita predecir cómo va a continuar, es absolutamente indeterminado. Esto se debe a la 31

manera en la que ha sido generada esta señal: para calcular el valor de las muestras he utilizado una secuencia de números aleatorios, como si hubiera echado a suertes el valor de cada muestra en una lotería en la que estuvieran todos los números posibles, sin que los valores que hubieran salido previamente influyeran en las probabilidades de los siguientes. Así pues, la señal de audio del ruido blanco es completamente aleatoria. Por el contrario, en la segunda parte del vídeo, mientras suena el sonido simple, la gráfica que dibuja la vibración en la pantalla del osciloscopio tiene una forma definida: una serie de eses iguales. Si paramos el reproductor del vídeo obtendremos una imagen como ésta:

Figura 3.3: Gráﬁca de la señal de audio de un sonido simple de 440 Hz.

Al ver la gráfica de esta nota simple podemos predecir con total seguridad cómo va a continuar. Ello se debe a que los valores de las muestras de esta señal han sido obtenidos mediante una función matemática. Por ello decimos que la señal de audio de un sonido simple es puramente determinista. Y, lo que es más importante, en esta gráfica distinguimos que la forma se repite en intervalos de tiempo exactamente iguales, es decir, existe un periodo de repetición. Podemos apreciar que en las 50 milésimas de segundo de la gráfica se han sucedido 22 oscilaciones completas; en un segundo, por lo tanto, se habrán producido 440 oscilaciones. Vemos, así pues, que la frecuencia de este sonido, el número de oscilaciones 32

completas que se producen en un segundo, es de 440 hercios. Nos encontramos con un concepto que es esencial al sonido musical: la periodicidad de la vibración. Esta periodicidad de la vibración es la que posibilita que nuestro sistema auditivo reconozca una altura tonal, es decir, una nota musical. Mediante este vídeo hemos podido observar las dos referencias extremas de las señales sonoras: la señal puramente aleatoria, la indeterminación absoluta, por un lado, y la señal totalmente predecible, la determinista pura, por otro. O, visto de otra manera, la máxima complejidad, la reunión inﬁnita de todas las frecuencias audibles posibles, frente a la máxima simplicidad, un sonido con una sola frecuencia siempre estable. Pero la realidad no es nunca ni totalmente impredecible ni completamente determinada. Solo en el caso de sonidos generados artiﬁcialmente podremos obtener tanto una máxima predictibilidad como una máxima impredecibilidad. Ambas señales, el ruido blanco y el sonido simple, son dos formas paradigmáticas de los constituyentes que están presentes en la mayoría de los sonidos reales, es decir, vienen a ser las referencias ideales entre las que se mueven los sonidos naturales.

3.4.

Tráfico con lluvia y notas de clarinete

Comparemos ahora dos situaciones acústicas naturales de índole opuesta: por un lado, el ambiente sonoro de una ciudad en un día de lluvia y con tráﬁco abundante y, por otro, unas pocas notas de clarinete tomadas de los compases iniciales de la Rapsodia para piano y clarinete de Claude Debussy.

Figura 3.4: Vídeo que simula un osciloscopio con ruido de tráﬁco en un día lluvioso, en la primera parte, y cinco notas de clarinete de la Rapsodia para piano y clarinete de C. Debussy, en la segunda.

Durante la primera parte, el ambiente sonoro de fondo del tráﬁco con lluvia nos recuerda el ruido blanco que hemos oído en el vídeo anterior. Sin embargo, nos damos cuenta enseguida que ahora tienen más presencia los componentes graves. Podríamos decir, siguiendo la analogía de los colores, que esta sonoridad tiende al rojo, la parte inferior del espectro. Esto es debido a la aportación que hace el tráﬁco al sonido de la lluvia. Si detenemos el vídeo en los segundos iniciales observaremos una imagen similar a la siguiente:

Figura 3.5: Gráﬁca de la señal de audio de ruido de tráﬁco con lluvia.

Vemos en esta señal que, igual que en el caso del ruido blanco, ni hay periodicidad alguna ni resulta posible predecir con seguridad el valor de cualquier muestra a partir de las que le preceden. Sin embargo, el grado de aleatoriedad es ahora menor, pues las muestras anteriores sí influyen en las posibilidades de la que viene a continuación. En efecto, en la gráfica podemos apreciar, tomando como referencia una muestra cualquiera, que los valores más próximos a las muestras inmediatamente anteriores son más frecuentes que los más alejados. Esto explica que la gráfica, aun siendo una línea quebrada, mantenga una cierta continuidad. Cuando analicemos esta señal mediante el análisis espectral entenderemos mejor el significado de todo esto. Por otro lado, en medio de este ruido rojo de fondo, podemos distinguir varios acontecimientos sonoros. Oímos el motor de un coche que acelera, con lo que su sonido se va haciendo más agudo y se incrementa su volumen. Oímos también otros coches más lejanos. Y ya casi al final de esta primera parte del vídeo escuchamos la bocina de un coche. Si prestamos atención, nos damos cuenta de que esta bocina está dando una nota musical, en concreto, una nota que podríamos situar entre un sol4 y un lab4 . En el osciloscopio podemos ver que la señal, que hasta entonces era claramente aleatoria, parece adquirir en ese momento cierta periodicidad. En la segunda parte del vídeo, sin embargo, todos oímos con claridad las cinco notas del clarinete (la4 , si4 , solb4 , mib4 , re4 ). Puede que quien no tenga oído absoluto o sus conocimientos de música sean menores no sea capaz de darles nombre, es decir, no pueda determinar si se trata de un la o de un si, pero todos sabemos que lo que suena son notas musicales. Podemos observar también que mientras está sonando cada una de las notas, la gráfica que aparece en la pantalla del osciloscopio es bastante estable, pues la vibración se repite de manera parecida durante la duración de la nota. Por eso, ahora también podemos hablar de una forma de la vibración, como ocurría en el caso del sonido simple, si bien se trata de una forma más compleja que una sencilla ese. Como se explica en el capítulo dedicado al sonido armónico, la forma de ese dibujo tiene que ver con la cualidad del sonido, con el hecho de que sea más suave o más áspero, por poner un ejemplo. Si paramos el reproductor del vídeo cuando suena la nota si4 , obtendremos una gráfica parecida a la siguiente: 35

Figura 3.6: Gráﬁca de la señal de audio de una nota de clarinete.

Puesto que hay una forma que se repite, podremos hablar aquí también de periodo de la oscilación y, a partir de ahí, deducir su frecuencia. En efecto, en esta gráfica, que representa 50 milésimas de segundo, podemos distinguir casi 25 oscilaciones, pues la última no está del todo completa, por lo que deducimos que en un segundo se habrán producido un poco menos de 500 oscilaciones. Esta frecuencia de 500 Hz es ligeramente superior al valor que esperaríamos para la nota si4 en la afinación estándar (493,9 Hz), pero se aproxima bastante a la frecuencia real de la nota que estamos escuchando (497 Hz). Y, puesto que existe una forma, es posible también predecir cómo va a continuar la señal en las próximas milésimas de segundo, a no ser, claro está, que se produzca algún cambio repentino, como, por ejemplo, que empiece a sonar otra nota. Así pues, hemos podido observar que durante la primera parte del vídeo, en el tráfico con lluvia, predomina la aleatoriedad, por lo que la señal de audio que vemos en el osciloscopio tiene muchos rasgos en común con la del ruido blanco que hemos analizado en el apartado anterior. Durante la segunda parte del vídeo, sin embargo, cuando suenan las notas del clarinete, hemos comprobado que la señal tiende a ser de tipo determinista y también hemos podido apreciar con claridad su periodicidad. Mediante los ejemplos que hemos estudiado hasta ahora podemos obtener la idea general de que el ruido se corresponde con el desorden, con la aleatoriedad, con 36

la imposibilidad de predecir lo que va a suceder a continuación, mientras que el sonido musical tiene que ver con el orden, la predictibilidad y, lo que es más importante, con la periodicidad.

3.5.

Campanadas y notas de piano

Ahora bien, ¿son tan claras las cosas? ¿Hay una línea que delimita con nitidez las vibraciones propias de los sonidos musicales? ¿Podemos determinar con precisión dónde empieza el sonido musical y dónde termina el ruido? E incluso más, ¿hay siempre una separación clara entre los sonidos periódicos y los que no lo son? La respuesta es que no, que en medio hay un amplio territorio difuso. Ciertamente, hay sonidos que no pueden ser considerados como ruidos, pero que tampoco son propiamente periódicos; y hay sonidos que son claramente musicales, pero que están lejos de ser estrictamente periódicos. A continuación vamos a comparar dos sonidos que pertenecen a esta zona intermedia que se encuentra lejos de los extremos opuestos de la pura aleatoriedad y la periodicidad estricta, es decir, lejos del ruido blanco y del sonido simple. Se trata del sonido de una campana de iglesia y el de una nota de piano, en concreto un sol3 .

Figura 3.7: Vídeo que simula un osciloscopio con el sonido de una campana, en la primera parte, y el de una nota de piano, en la segunda.

Podemos apreciar en el vídeo que existe un gran parecido en la forma en la que evoluciona la vibración de los dos sonidos. Ciertamente, ambos son sonidos percutidos, por lo que las vibraciones que observamos en el osciloscopio tienen bastantes semejanzas: el ataque es muy rápido y abrupto, ruidoso en ambos casos, y va seguido de un decrecimiento inmediato que conduce a un nivel sonoro considerablemente más bajo; una vez alcanzado ese nivel, el sonido prolonga su duración durante bastante tiempo, decayendo lentamente. Todo este proceso va acompañado de un cambio constante en la cualidad del sonido, pues con el paso del tiempo se van extinguiendo progresivamente los componentes más agudos. Por eso vemos en el osciloscopio que la forma de la vibración se va haciendo cada vez más sencilla, hasta recordar al final la gráfica de un sonido simple. Pero, aunque el sonido de la campana y el del piano tienen todos estos rasgos en común, ambos se diferencian en algo que es fundamental para discernir si son sonidos musicales: la posibilidad de atribuirles una altura tonal. Cuando suenan las notas del piano todos percibimos una altura tonal que permanece constante, aquí en concreto un sol3 . Pero si tratamos de responder a la pregunta de qué nota está dando la campana, nos encontraremos que durante la mayor parte de su duración no podemos dar una respuesta, y sólo al final, en la parte que queda resonando, podemos apreciar una altura tonal clara, un lab4 un poco bajo. Por ello, podemos afirmar que en el caso del sonido de esta campana estamos al otro lado de la frontera que delimita el sonido musical. Esta diferencia que percibimos al oír ambos sonidos responde a las diferencias que se producen en la vibración, como podemos observar en las dos señales de audio. En el caso de la campana, a excepción de la resonancia final donde la forma de la vibración es similar a la de un sonido simple, no podemos reconocer en la gráfica ninguna periodicidad, si bien comprobamos que está muy lejos de las gráficas del ruido blanco o del ruido de tráfico que hemos observado en los vídeos anteriores. Para apreciar esto con claridad, veamos las gráficas que se obtienen si paramos el vídeo en un momento cualquiera en pleno sonido de la campana, primero, y del piano, después.

Figura 3.8: Gráﬁca de la señal de audio de un sonido de campana.

La gráﬁca de la campana no muestra ninguna periodicidad, lo que explica que no podamos apreciar una nota determinada, pero lo cierto es que tampoco presenta una gran complejidad. Su aspecto no es el de una señal aleatoria. Más bien su forma nos llevaría a pensar que pudiera tratarse de varias notas musicales sencillas de frecuencias diferentes que estuvieran sonando a la vez. De hecho, una persona entrenada o un profesional de la aﬁnación podría extraer algunos de los componentes frecuenciales que constituyen este sonido.

Figura 3.9: Gráﬁca de la señal de audio de una nota de piano.

En la gráfica del piano la situación es diferente. A pesar de que ni siquiera durante este breve intervalo de 50 milésimas de segundo, la forma que dibuja la vibración se repite idénticamente igual, sí es posible reconocer en ella una forma compleja que, aun con variaciones, se renueva cada cierto intervalo exacto de tiempo. Por lo tanto, aunque no podamos decir que esta señal sea estrictamente periódica, sí podemos afirmar sin ninguna duda que posee un periodo de oscilación que se mantiene constante y que posibilita el reconocimiento de una altura tonal. En efecto, en esta gráfica podemos contar aproximadamente unas nueve oscilaciones y media, lo cual correspondería a una frecuencia de 190 Hz, muy próxima a la frecuencia real del sol3 que está sonando, 196 Hz. Movimiento vibratorio periódico, en un sentido estricto, significa que el movimiento tiene que repetirse exactamente igual cada cierto intervalo de tiempo, su periodo. Pero en el caso de una nota musical real, como ésta que estamos observando, con toda su complejidad, la periodicidad no es perfectamente estricta. Su oscilación es compleja, por lo que la forma que se repite no es exactamente igual, sino que va evolucionando con el paso del tiempo, y eso es lo que le proporciona su riqueza sonora. Y no sólo su forma va cambiando, sino que también con el paso del tiempo varía su amplitud. No obstante, a pesar de todos estos cambios e inestabilidades, en ese intervalo de tiempo de 50 milésimas de segundo que estamos observando, la forma de la vibración de esta nota de piano resulta lo suficientemente periódica como para poder percibir una altura tonal. Este es el estado que predomina en los sonidos musicales reales, salvo en los momentos en los que se producen cambios abruptos, como, por ejemplo, en el inicio de una nueva nota. Así pues, la frontera que delimita el sonido musical reside en que su vibración sea lo suficientemente periódica como para poder percibir una altura tonal determinada.

3.6.

Habla y canto

Hemos visto hasta ahora que la periodicidad es esencial al sonido musical. Pero, ¿podemos aﬁrmar que todos los sonidos que muestran cierta periodicidad son musicales? 40

¿Qué sucede con los sonidos del habla? Vamos a comparar ahora en el osciloscopio las vibraciones de los sonidos del habla con los del canto, a ﬁn de precisar con más nitidez qué es lo especíﬁco del sonido musical. Para estudiar estas diferencias he fabricado un vídeo en el podremos observar con detalle las particularidades que adquieren los sonidos del habla cuando reciben música. En la primera parte se presenta la señal de audio de un breve fragmento hablado de una locutora de radio y, en la segunda, la señal de un pequeño fragmento cantado, en concreto, el inicio del Lamento de Ariadna de Claudio Monteverdi. En ambos casos se trata de sonidos propios del habla; la única diferencia es que en el segundo la prosodia natural del lenguaje hablado ha sido sustituida por la melodía del canto. Mediante este vídeo podremos ver en qué se diferencia la vibración de los sonidos en los que podemos reconocer de qué vocal se trata (si es una a o es una e, por poner un ejemplo) de otros sonidos en los que, además de reconocer su fonema, percibimos claramente una nota musical.

Figura 3.10: Vídeo que simula un osciloscopio con un fragmento de una locutora de radio, en la primera parte, y el inicio del Lamento de Ariadna, en la segunda.

El texto de la locutora es: “Dice: Pero no se pueden aceptar normas éticas a la carta. La sociedad necesita criterios reconocibles, saber que las varas de medir se aplican a todos por igual”. 41

La letra del Lamento de Ariadna es: “Lasciáte mi morire”. Y las notas musicales que van sobre cada sílaba, respectivamente, son: la4 , sib4 , fa4 , fa4 , mi4 , mi4 ,mi4 . En la primera parte, durante el enunciado de la locutora, podemos ver en el osciloscopio que la vibración va alternando rápidamente entre unas formas breves, pero periódicas, que recuerdan a las de los sonidos musicales, y otras, mucho más breves todavía, de aspecto aleatorio, similares a las del ruido. Esta alternancia corresponde, simplificando un poco, a la que se produce en el habla entre las vocales y las consonantes. Por el contrario, en el fragmento del canto vemos constantemente formas periódicas claramente reconocibles. Podemos apreciar que cambian con el texto y con la música, incluso que durante la emisión de la misma vocal van modificando su forma y su amplitud, pero se reconoce en ellas un patrón lo suficientemente estable como para concluir que son sonidos musicales, incluso si simplemente los viéramos en el osciloscopio, sin oír lo que suena. Veamos la gráfica de un pequeño fragmento de la primera parte del vídeo en la que podemos apreciar muy bien cómo se articula el lenguaje hablado, es decir, cómo los sonidos consonánticos se unen con los vocálicos para formar la cadena hablada. La gráfica corresponde al momento en el que la locutora pronuncia la palabra “éticas”. He elegido ahora una duración más extensa que la ventana de observación que he utilizado en los vídeos del osciloscopio, a fin de presentar un panorama general de la vibración cuando se emite una palabra completa. La duración de este fragmento es de 400 milésimas de segundo, es decir, ocho veces mayor que el de la ventana del vídeo, lo que explica que las formas de la vibración se vean ahora mucho más apretadas.

Figura 3.11: Gráﬁca de la señal de audio correspondiente a la emisión de la palabra “éticas”.

La parte de la señal correspondiente a cada fonema está delimitada por unos corchetes. Aunque es imposible una separación precisa, responde bastante ﬁelmente a la realidad de lo que oímos. Podemos apreciar que existe una diferencia muy clara entre la forma de la vibración de las consonantes y la de las vocales: las vocales son claramente periódicas, mientras que las consonantes no son periódicas y tienden al ruido. Observamos también que las consonantes oclusivas, la t y la k, son muy breves, mientras que la s es bastante más larga y relativamente parecida al ruido blanco. Si midiéramos mediante un editor de sonido el periodo de cada una de las vocales y, a partir de ello, dedujéramos su altura tonal, comprobaríamos que la sílaba acentuada é es casi un semitono más aguda que la vocal siguiente i y cerca de semitono y medio más alta que la tercera vocal a, cuya sílaba, sin embargo, es la que tiene más intensidad sonora y mayor duración. Comprobamos que en español el acento de la palabra no se produce ni por una mayor intensidad sonora ni por un alargamiento de la duración, sino por una elevación de la altura tonal, lo cual justiﬁca que se llame “sílaba tónica” a la que va acentuada. Así pues, al margen de la entonación general propia de la prosodia, la relación de agudeza y gravedad entre los sonidos de la cadena hablada explica nuestra distinción entre sílabas acentuadas y sin acentuar, como podemos apreciar si volvemos a escuchar con detenimiento cómo suena la palabra “éticas”.

Pero lo que interesa ahora es responder a la pregunta siguiente: ¿las vocales, cuyo movimiento vibratorio es periódico, son propiamente sonidos musicales? Lo cierto es que no oímos una nota musical cuando suenan. La razón de que, en principio, en la cadena hablada no identiﬁquemos una nota musical cuando se emite una vocal, a pesar de que se trata de un sonido periódico, reside en la brevedad de la parte periódica. En efecto, vemos que cada vocal apenas llega a completar unos pocos ciclos. Esto, debido al constante entrecortarse en su articulación con el sonido consonántico vecino, impide que reconozcamos esa periodicidad y que la apreciemos como un sonido musical. Para observar un detalle de la forma de la vibración cuando se emite la sílaba ti, presento una gráﬁca que tiene la misma duración que la ventana de observación de los vídeos y en la que he hecho zoom en la amplitud, que ha quedado delimitada entre -0,4 y 0,4.

Figura 3.12: Gráﬁca de la señal de audio correspondiente a la emisión de la sílaba ti.

Vemos que el periodo de la vocal i es un poco más de 5 milésimas de segundo, lo que corresponde a una frecuencia ligeramente inferior a 200 Hz, es decir, se trata aproximadamente de un sol3 . Pero la duración de este sonido es muy breve: solo se observan entre cuatro y cinco ciclos completos, lo que explica que no oigamos ninguna nota musical cuando suena esta sílaba. En el fragmento del canto, sin embargo, la situación es totalmente distinta. En la gráﬁca de abajo, correspondiente a la vocal a de la primera sílaba, las, podemos ver 44

que la señal permanece claramente estable al menos durante todo el tiempo que dura la observación.

Figura 3.13: Gráﬁca de la señal de audio correspondiente a la vocal a cantada.

Vemos que durante las 50 milésimas de duración la señal permanece estable, lo cual es suficiente para que se pueda percibir una altura tonal. Conforme evolucione el sonido, incluso durante la propia emisión de la vocal a, se modificará la forma, la amplitud e incluso el periodo, pero, al margen de estas modificaciones, el sonido en el canto es lo suficientemente estable y duradero como para permitirnos apreciar con claridad una altura tonal. Por poner un ejemplo, si emitimos al hablar la vocal a, no pensaremos que estamos dando una nota musical; ahora bien, si prolongamos la duración de la vocal y nos esforzamos en mantener constante la misma altura tonal, enseguida nos daremos cuenta de que estamos emitiendo una nota musical. Así pues, el requisito de “suficientemente periódico”, que hemos reconocido en el apartado anterior como necesario para determinar que un sonido sea musical, exige también una cierta duración, es decir, necesitamos que la periodicidad se mantenga durante el suficiente tiempo como para que nuestro sistema perceptivo sea capaz de apreciar una frecuencia, y con ella, una altura tonal.

3.7.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos podido apreciar las características que posee el sonido musical. Ayudándonos de la señal de audio que queda representada en el osciloscopio, hemos comparado lo que oímos cuando escuchamos un sonido musical, con lo que oímos cuando se trata de sonidos ruidosos y de otros de cualidad intermedia, de modo que hemos podido experimentar que un sonido es considerado por nuestra percepción auditiva como musical cuando su vibración es lo suﬁcientemente periódica y duradera cómo para que podamos reconocer una altura tonal.

Capítulo 4 El sonido simple

4.1.

Introducción

El sonido simple, también llamado sonido puro, es el sonido al que da lugar la vibración más sencilla posible, aquella que se comporta siguiendo lo que en Física se denomina Movimiento Armónico Simple (MAS). El calificativo armónico para describir este movimiento procede precisamente de su vinculación con la música. Empecemos observando cómo es un sonido simple. En el capítulo 1, El sonido como vibración, he utilizado un sonido simple para estudiar la vibración del aire, precisamente porque su oscilación es muy sencilla y repetitiva, un simple vaivén. Volvamos, pues, al vídeo de la figura 1.1 de ese capítulo donde se simula a cámara lenta el movimiento del aire cuando suena un sonido simple generado artificialmente, la nota musical la4 a 440 Hz, sin armónicos y de frecuencia y amplitud totalmente estables. En el vídeo de la figura 1.2 de ese capítulo tenemos el detalle del movimiento oscilatorio de una de las esferitas de la simulación, donde se ve cómo la oscilación dibuja en el tiempo una serie de eses enlazadas. Veamos ahora un vídeo donde podemos apreciar en tiempo real mediante el osciloscopio la forma de la vibración cuando suena esa misma nota.

Figura 4.1: Vídeo con un sonido simple, la4 a 440 Hz, visto en un osciloscopio.

Podemos detener el reproductor en cualquier momento y observaremos con más claridad la forma de ese constantemente repetida de la oscilación. Esta forma de ese, como veremos enseguida, es el resultado de que la gráfica de la oscilación de un sonido simple es una función sinusoidal del tiempo. A lo largo de este capítulo estudiaremos en detalle en qué consiste el sonido simple y comprenderemos por qué su vibración es la más sencilla de todas las posibles formas de vibración. Me parece que este estudio puede ser útil para entender los fundamentos acústicos de la teoría musical, e incluso algunas consideraciones filosóficas que esta teoría ha generado a lo largo de la historia.

4.2.

El sonido simple como fundamento del sonido musical

El sonido simple es en sí mismo un sonido musical; aun es más, es la referencia ideal de todo sonido musical. Y es también el constituyente elemental del que están formados todos los sonidos musicales. Además, la descomposición en sonidos simples está presente en la forma en la que nuestro sistema perceptivo procesa y entiende todo sonido, sea o no musical. Este carácter de constituyente elemental que posee el sonido simple reside, en última instancia, en la simplicidad esencial del movimiento que lo produce.

Veamos a continuación brevemente las implicaciones que se derivan de las propiedades del sonido simple.

a) El sonido simple es el paradigma del sonido musical

El sonido simple es periódico en el sentido más estricto, es decir, su vibración se repite idénticamente igual cada cierto intervalo de tiempo durante toda su duración. Por ello su frecuencia y su amplitud permanecen constantes, con lo que su altura tonal puede ser percibida con total nitidez. Su estabilidad, unida a su simplicidad, hacen del sonido simple el lugar más adecuado para estudiar los parámetros físicos del sonido musical, así como la relación entre estos parámetros físicos y nuestra sensación. Idealmente un sonido simple no tendría comienzo ni final, sino que estaría sonando eternamente, pues todo comienzo o final supone una discontinuidad y produce un ruido. Hablando con rigor, deberíamos decir que lo que oímos en el vídeo de la figura 4.1 es un fragmento de un sonido simple eterno. El sonido simple, estable y sin armónicos, es principalmente un sonido de laboratorio. Entre los sonidos naturales, el que se aproxima mejor a un sonido simple es el que produce un diapasón metálico de los que se utilizan para afinar los instrumentos, pues emite una nota sin armónicos y, una vez pasado el ataque inicial, mantiene durante cierto tiempo una amplitud casi constante.

b) El sonido simple es el elemento constitutivo de todo sonido musical

El sonido musical puede ser considerado como una composición de sonidos simples cuyas frecuencias mantienen entre sí unas determinadas relaciones de conmensurabilidad. En este sentido, al sonido musical se le llama también sonido armónico, pues la palabra griega harmonía designaba, en origen, la buena mezcla que resulta de una proporción adecuada. En efecto, al margen de fenómenos transitorios y de la parte de ruido que cualquier sonido natural lleva consigo, todo sonido musical está formado por un conjunto de sonidos simples denominados parciales. Salvo excepciones, las frecuencias de estos 49

parciales son múltiplos de un sonido simple más grave. Estos múltiplos siguen el orden de los números naturales y constituyen la serie armónica. Los sonidos simples que forman parte de la serie armónica de un sonido se denominan componentes armónicos. La presencia o ausencia en un determinado sonido musical de unos u otros armónicos, así como el mayor o menor peso de cada uno de ellos, determinará en gran medida la cualidad del sonido musical resultante. Por ejemplo, los sonidos con pocos armónicos tienden a ser más dulces, mientras que aquellos en los que predominan los armónicos impares son más ásperos.

c) Nuestra audición extrae sonidos simples del complejo sonoro

Toda vibración —ya sea mecánica, como el sonido, o electromagnética, como la luz— puede ser descompuesta matemáticamente en componentes simples, es decir, en oscilaciones que realizan un simple vaivén, similar al que hemos visto en el vídeo de la figura 4.1. Esta descomposición matemática recibe el nombre de análisis frecuencial o análisis armónico. Salvando las distancias, nosotros percibimos el sonido de una manera similar. En efecto, nuestro sistema auditivo extrae continuamente del complejo sonoro los componentes simples más relevantes. A nuestro cerebro no llega la forma de la vibración tal cual, es decir, lo que llamamos la señal de audio, sino que la propia fisiología de nuestro oído detecta los componentes más significativos presentes en esa señal en cada momento y transmite sus parámetros al cerebro, iniciándose con este filtrado el procesamiento de la información que contiene. Y este proceso se realiza así con independencia de que se trate de música o de cualquier otro tipo de sonido.

d) El sonido simple es la vibración más sencilla posible

El sonido simple o puro no sólo es simple porque es el componente elemental de todo sonido musical o incluso, en un sentido amplio, de todo sonido, sino que es simple, principalmente, porque la vibración que realiza es la más sencilla posible.

Como veremos enseguida, el Movimiento Armónico Simple es la proyección unidimensional del Movimiento Circular Uniforme y comparte con él el atributo de sencillez. Entiendo aquí por movimiento sencillo aquél que no cambia, o que cambia lo menos posible y de la forma más suave y continua posible. En este sentido, el sonido simple es la expresión sonora del movimiento más elemental, sencillo y natural que surge de las propias condiciones de simplicidad exigidas a la razón: el Movimiento Circular Uniforme. Por utilizar una metáfora, el sonido simple es la forma en la que suena lo que gira eternamente sobre sí mismo. Estas relaciones de afinidad entre la vibración del más simple de los sonidos musicales y el Movimiento Circular Uniforme iluminan en parte algunas de las afirmaciones hechas por matemáticos, físicos y filósofos de todos los tiempos sobre la constitución armónica o musical del universo.

4.3.

El Movimiento Armónico Simple (MAS)

Puesto que el sonido simple es el resultado de un Movimiento Armónico Simple, es conveniente conocer con un cierto detalle en qué consiste este movimiento. El Movimiento Armónico Simple es la forma más sencilla de oscilación, aquella que surge de modo natural cuando la fuerza que tiende a recuperar la posición de equilibrio es proporcional al desplazamiento realizado.

4.3.1.

Un ejemplo de Movimiento Armónico Simple

Para ilustrar el Movimiento Armónico Simple he fabricado mediante Matlab una animación que simula matemáticamente el movimiento que realiza una bola suspendida de un muelle, al ser liberada después de haber sido desplazada de su posición de equilibrio.

Figura 4.2: Vídeo que representa en esquema un MAS, su relación con el Movimiento Circular Uniforme y su desarrollo sinusoidal en el tiempo.

En el vídeo hay tres paneles, cada uno con su correspondiente bola roja. Las tres bolas se mueven al mismo tiempo. Si atendemos únicamente al movimiento vertical de las bolas rojas, veremos que las tres bolas se encuentran en cada instante a la misma altura. La línea de puntos verde que las une resalta este hecho. Analicemos con detalle lo que vemos en cada uno de estos tres paneles:

a) Panel central

En el panel del medio vemos una pequeña bola roja que simula estar suspendida de un muelle colgado del techo. Suponemos que antes de comenzar el vídeo hemos desplazado la bola hacia abajo, desde la posición de equilibrio, que en la gráﬁca se corresponde con la altura 0, hasta la altura -1. El vídeo empieza justo en el momento en el que hemos soltado la bola y ha comenzado a oscilar. Para entender lo que sucede es necesario tener presente un principio de carácter universal que constituye el fundamento de la Física, la Segunda Ley de Newton, la cual dice que cualquier cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza conserva indeﬁnidamente su velocidad. Por otra parte, es necesario suponer también que hemos elegido

un muelle adecuado al peso de la bola, de modo que su fuerza de restauración sea proporcional al desplazamiento de ésta. La acción combinada del peso de la bola y de la fuerza de restauración del muelle tenderá a colocar la bola en la posición de equilibrio, la altura 0. No especiﬁco si la altura se mide en metros, centímetros o cualquier otra unidad, pues es irrelevante para el ejemplo. Cuando la bola esté por debajo de la altura 0, la fuerza total ejercida sobre ella estará dirigida hacia arriba, hacia la posición de equilibrio, y será mayor conforme más alejada se encuentra la bola de esa posición de equilibrio. Por el contrario, si la bola está por encima de la altura 0, la fuerza total ejercida sobre ella estará dirigida hacia abajo, y será mayor también conforme más alejada esté de su posición de equilibrio. No importa la forma en la que ambas fuerzas, el peso y el muelle, se reparten el trabajo. Hay momentos en los que las dos fuerzas colaboran y otros en los que se oponen. Lo importante es que la fuerza total que actúa sobre la bola siempre estará dirigida hacia la posición de equilibrio y que la magnitud de esta fuerza será proporcional a la distancia en la que se encuentre la bola respecto a esa posición de equilibrio. Por eso la magnitud de esta fuerza será la misma en las posiciones simétricas. Observamos que al soltar la bola en la altura -1, ésta comienza a ascender impulsada por la fuerza de restauración del muelle, que supera el peso de la bola. En el vídeo podemos apreciar que este desplazamiento ascendente adquiere cada vez mayor velocidad. Ciertamente, la fuerza total ascendente que se ejerce sobre la bola es progresivamente menor conforme se va acercando a la posición de equilibrio. Pero, hasta que se llega a la posición de equilibrio, sigue ejerciéndose una fuerza hacia arriba, por lo que la velocidad ascendente tiene que seguir incrementándose. Por eso, cuando la bola roja pasa por la posición de equilibrio, la altura 0, podemos ver en el vídeo que la velocidad es la máxima, pues todo el tiempo ha ido recibiendo fuerza. A partir de allí las cosas se invierten, pues la combinación del peso y de la fuerza de restauración del muelle apunta hacia la posición de equilibro y se opone, por lo tanto, a la velocidad ascendente que lleva la bola. Así, la velocidad ascendente de la bola va siendo frenada hasta llegar a la altura 1, la simétrica a la altura -1.

En ese punto justo la bola se detiene y su velocidad se hace 0. Pero esta pausa es instantánea, pues la fuerza que la ha frenado sigue apuntando hacia abajo, por lo que inmediatamente la bola comienza a descender. Y va ganando de nuevo velocidad, ya que ahora, al apuntar la fuerza en la misma dirección que va la bola, no la frena, sino que la acelera, hasta pasar de nuevo por la posición de equilibrio, la altura 0, a la misma velocidad máxima con la que había pasado al subir. Una vez superada la posición de equilibrio, la bola comienza a ser frenada hasta llegar a la altura -1, donde otra vez se detiene instantáneamente. Y de nuevo comienza a ascender. Y así sucesivamente. Este movimiento continuaría eternamente si no fuera por las fuerzas de fricción, entre otras la del aire, que progresivamente van atenuando la oscilación de la bola.

b) Panel izquierdo

El panel izquierdo ilustra la conexión del Movimiento Armónico Simple con el Movimiento Circular Uniforme y muestra que el Movimiento Armónico Simple es la proyección unidimensional del Movimiento Circular Uniforme. Este relación nos permite entender el concepto de fase instantánea de la oscilación y nos muestra que la altura que alcanza la bola en cada instante es el seno de esta fase. En este panel de la izquierda vemos otra bola roja que va recorriendo una circunferencia. El radio de esta circunferencia es igual a la altura máxima que alcanza el desplazamiento de la bola del panel central. Además, ambas bolas, la que se desplaza por la circunferencia y la del muelle, están sincronizadas: la altura instantánea de la bola que gira uniformemente alrededor de la circunferencia es la misma que la altura de la bola que oscila en el muelle. Dicho de otro modo, la altura de la bola es la proyección en el eje vertical de la posición de la bola en la circunferencia. Pero, a diferencia de la bola que oscila en el muelle, la celeridad del movimiento de la bola que se traslada por la circunferencia en el panel de la izquierda se mantiene constante: en cada unidad de tiempo recorre un arco de circunferencia de la misma longitud. Si lo expresamos en medidas angulares vemos que, en este ejemplo, recorre 90º en cada segundo, por lo que tarda 4 segundos en realizar una vuelta completa, como podemos comprobar en el propio reloj del vídeo. 54

De esta manera, la posición de la bola en la circunferencia nos permite expresar utilizando medidas angulares el estado en el que en ese momento se encuentra la oscilación. Este estado, cuantiﬁcado así, recibe el nombre de fase instantánea de la oscilación. En nuestro ejemplo el estado inicial de la oscilación coincide con el momento en el que la bola está desplazada a su posición más baja, y por eso decimos que la fase en ese instante inicial es de 270º. En el segundo 1 el estado de la bola alcanza en su movimiento ascendente la posición de equilibro y la fase instantánea es 0º. En el segundo 2 el estado de la bola ha alcanzado la altura máxima y su fase instantánea es 90º. En el segundo 3 la bola vuelve a la posición de equilibrio, pero ahora en un movimiento descendente, y la fase instantánea es 180º. Dicho de otro modo, la fase instantánea es el ángulo que expresa la posición de la bola sobre la circunferencia. Observamos también que la altura en la que se encuentra la bola en cada instante es el seno de este ángulo, como podemos apreciar en la siguiente ﬁgura:

Figura 4.3: Altura de la bola cuando la fase de la oscilación es 60º.

La ﬁgura muestra el momento en el que la fase de la oscilación es 60º. Puesto que el radio es 1, la altura (h) es el seno de 60º, que es igual a 0,866. 55

c) Panel derecho

El panel derecho sirve para ilustrar que el Movimiento Armónico Simple es una función sinusoidal del tiempo. La gráfica del panel de la derecha va describiendo las sucesivas alturas por las que pasa la bola al oscilar a lo largo del tiempo. De hecho, si seguimos con el dedo esta gráfica, podemos verificar de manera intuitiva la descripción del Movimiento Armónico Simple que he presentado al comentar el desplazamiento de la bola en el panel central. En efecto, podemos apreciar, entre otras cosas, cómo el movimiento aumenta su velocidad conforme se acerca a la posición de equilibrio; cómo la disminuye cuando se aleja de ésta; cómo se detiene instantáneamente y cambia de sentido al alcanzar los desplazamientos máximos en los segundos 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Como hemos visto, la altura de la bola es la proyección en el eje vertical de su posición en la circunferencia. Esta proyección es el seno del ángulo que define la posición de la bola en la circunferencia, la fase de la oscilación. Dado que la celeridad de la bola al recorrer la circunferencia es constante —con independencia de que su movimiento pueda ser más o menos rápido—, este movimiento giratorio depende linealmente del tiempo, es decir, es la misma imagen del tiempo, como si fuera un reloj. Por ello la descripción de la evolución temporal del Movimiento Armónico Simple que realiza la bola en su ascender y descender es una función sinusoidal que depende del tiempo.

4.3.2.

Parámetros del Movimiento Armónico Simple

Ahora, con ayuda del vídeo, voy a explicar brevemente los parámetros que intervienen en el Movimiento Armónico Simple: amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia.

a) Amplitud

La amplitud es el valor absoluto del desplazamiento máximo que alcanza la oscilación desde la posición de equilibrio. En el vídeo del ejemplo vemos que 56

este valor es 1, tanto cuando la bola del muelle va hacia arriba, como cuando va hacia abajo.

b) Fase inicial

La fase inicial de la oscilación es la fase instantánea en la que se encuentra la oscilación en el tiempo 0. En nuestro ejemplo la fase inicial es 270º, pues ésta es la fase instantánea en la que se halla la bola en el momento en el que se inicia la oscilación, como podemos comprobar en el panel de la izquierda del vídeo.

c) Periodo y frecuencia

El periodo de la oscilación es el tiempo que tarda un movimiento oscilatorio en realizar una oscilación completa. En nuestro vídeo podemos observar que la bola tarda 4 segundos en completar una oscilación. Así pues, el periodo de esta oscilación es 4 segundos. La frecuencia de la oscilación es el número de oscilaciones completas que se producen en un segundo. La unidad de frecuencia es el hercio. Un hercio equivale a una oscilación completa por segundo. En este ejemplo la frecuencia es 0,25 Hz. En efecto, puesto que una oscilación tarda 4 segundos en completarse, en un segundo sólo habrá realizado la cuarta parte de la oscilación. Vemos que periodo y frecuencia son recíprocos. Ambos nombran la misma realidad, pues decir cuántos segundos se tarda en completar un ciclo equivale a decir cuántos ciclos se producen en un segundo. Por otra parte, hay que tener en cuenta que el desplazamiento inicial no inﬂuye en la frecuencia de la oscilación. Podríamos haber alejado la bola al inicio a cualquier distancia —dentro de los márgenes en los que el muelle trabaja bien— y la frecuencia de la oscilación hubiera sido la misma. La frecuencia depende únicamente de dos valores: en este caso, de la elasticidad del muelle y de la masa de la bola. Es decir, para ese sistema concreto de bola y muelle la frecuencia será siempre la misma. Es su frecuencia natural de oscilación. Podemos decir que este conjunto de bola y muelle

—o, generalizando, de masa y resorte— tiene una frecuencia natural de oscilación de 0,25 Hz.

4.4.

El Movimiento Armónico Simple en el sonido

El sonido simple es una vibración mecánica que se comporta según el modelo oscilatorio que acabamos de estudiar. En efecto, el sonido simple es un caso particular del Movimiento Armónico Simple. Ahora bien, para ser percibida por nosotros como sonido, la oscilación debe ser lo suficientemente rápida, en concreto, debe realizar entre 20 y 20.000 oscilaciones completas por segundo, que es aproximadamente el rango en el que se mueve nuestro sistema auditivo. Así pues, el movimiento oscilatorio que he descrito con detenimiento en el ejemplo de la bola y el muelle nos puede servir para entender cómo es la vibración de un sonido simple. En lugar de la bola oscilante pensemos ahora en un pequeño volumen de aire que se comprime y se expande de la manera más sencilla posible, es decir, con un Movimiento Armónico Simple. Cuando se emite un sonido simple, los valores que va tomando la oscilación de la presión del aire en un punto del espacio a lo largo del tiempo describen una gráfica sinusoidal similar a la del panel derecho que aparece en el vídeo de la figura 4.2. En efecto, en el sonido simple la presión del aire oscila según una función sinusoidal del tiempo. Examinemos ahora los parámetros del Movimiento Armónico Simple en el caso concreto de la vibración sonora.

4.4.1.

Parámetros del sonido simple

Veamos los parámetros del sonido simple en una gráﬁca que muestra las primeras 50 milésimas de segundo de la señal de audio correspondiente a la nota la4 que hemos observado en el osciloscopio de la ﬁgura 4.1.

Figura 4.4: Gráﬁca de los 50 ms iniciales de un sonido simple, la4 a 440 Hz, con la amplitud y el periodo.

Esta gráﬁca representa la variación, respecto a su valor medio, de la presión del aire en un punto del espacio a lo largo del tiempo o, lo que podemos considerar equivalente, el desplazamiento de la membrana de un micrófono situado en ese punto del espacio que hubiera recogido esa variación de la presión del aire.

a) Amplitud

La amplitud es la variación máxima que alcanza la presión del aire respecto a su valor medio como consecuencia del movimiento vibratorio del sonido en el punto del espacio elegido como referencia. Si pensamos que este punto es el lugar en el que hemos colocado el micrófono, podemos interpretar la amplitud como el desplazamiento máximo que alcanza la membranita del micrófono cuando está recogiendo el sonido. En la gráﬁca la amplitud está señalada en color rojo. El 0 representa el valor medio de la presión del aire. Es costumbre utilizar el valor 1 y -1 para representar la variación máxima de la presión del aire que el sistema de grabación tendría capacidad de registrar. En este ejemplo la amplitud tiene un valor de 0,2. Esto quiere decir que el valor máximo de la oscilación de la presión del aire debida a la vibración de este sonido es el 20 % del valor máximo que el sistema podría registrar.

La amplitud de un sonido dependerá del punto del espacio que tomemos como referencia, pues disminuirá conforme mayor sea la distancia de la fuente sonora.

b) Fase inicial

La fase inicial es el estado en el que se encuentra la oscilación de la presión del aire en el tiempo 0 en el punto del espacio elegido como referencia. En la gráﬁca vemos que en el tiempo 0 la oscilación pasa por la posición de equilibrio en sentido ascendente, es decir, la fase inicial es 0º. La fase instantánea cambia también con la posición espacial, pues en función de la velocidad con la que se propaga la vibración, el estado en el que se encuentra la oscilación en un mismo instante varía de un lugar a otro.

c) Periodo y frecuencia

El periodo es el tiempo que tarda la vibración sonora en realizar una oscilación completa. Fijémonos, por ejemplo, en el primer pico de la oscilación y sigamos la evolución de la señal, primero hacia abajo y luego hacia arriba, hasta completar una vuelta entera y llegar al siguiente pico. Éste es el periodo de la vibración. Si en lugar del primer pico, comenzamos en cualquier otro punto de la oscilación y realizamos el mismo proceso completando una vuelta entera, obtendremos el mismo valor. En la gráﬁca he indicado el periodo mediante una línea de color azul que une alternativamente los picos y valles de la señal de audio. La frecuencia es el número de oscilaciones completas que se producen en un segundo. En el caso de nuestro ejemplo sabemos que la frecuencia de la nota es 440 Hz, por lo tanto, en nuestra gráﬁca, que tiene una duración de 50 milésimas de segundo, tendremos que encontrar 22 ciclos completos (440 × 0, 05 = 22), como así sucede. Como ya hemos dicho periodo y frecuencia son recíprocos, por lo tanto el periodo de esta vibración, redondeando, será 2,3 milésimas de segundo (1÷440 = 0, 0023).

La frecuencia de la vibración, así como su recíproco el periodo, es independiente del lugar del espacio que tomemos como referencia. Esto hace de la frecuencia un parámetro idóneo para transmitir la información musical.

4.5.

Conclusión

El sonido simple es la forma sonora del Movimiento Armónico Simple, la oscilación más sencilla y elemental, que resulta de la proyección unidimensional del Movimiento Circular Uniforme. El sonido simple no sólo es en sí mismo un sonido musical, sino que es también el elemento constitutivo de todo sonido musical.

Capítulo 5 Altura tonal, intervalos y volumen sonoro

5.1.

Introducción

Al margen del carácter convencional y arbitrario de los diversos lenguajes musicales, carácter que es inherente a cualquier creación del espíritu humano, todos los sistemas musicales se construyen sobre unos condicionantes previos que se derivan tanto de la naturaleza física del sonido en sí mismo, como de la manera en la que nosotros percibimos los fenómenos sonoros. Por ello, para entender la Teoría Musical es necesario estudiar las relaciones que se producen entre los parámetros físicos de la vibración sonora y las sensaciones auditivas que nosotros experimentamos. Dado que el sonido simple es sencillo y estable, y además puede ser considerado como el paradigma de todo sonido musical, resulta muy adecuado para examinar cómo afecta a nuestra sensación la variación de sus parámetros físicos. A lo largo de este capítulo analizaremos la manera en la que percibimos la frecuencia y la amplitud en el caso de un sonido simple. Veremos que la frecuencia determina la altura tonal que apreciamos y, por lo tanto, la nota musical que reconocemos, y que la amplitud guarda relación con el volumen sonoro que percibimos. Sin embargo, no nos vamos a ocupar de la fase inicial, pues, aunque es un parámetro importante para la localización espacial de la fuente sonora y puede provocar diferentes efectos en la reunión simultánea de varios sonidos, no tiene un correlato directo 62

en nuestras sensaciones. En efecto, si escuchamos un sonido simple de frecuencia y amplitud determinadas cuya fase inicial es de 0º, y luego escuchamos otro sonido de la misma amplitud y frecuencia, pero cuya fase inicial sea, pongamos por caso, 180º, no apreciaremos ninguna diferencia.

5.2.

Relación entre estímulo y sensación: la Ley de Weber-Fechner

Puesto que nuestra sensación auditiva se comporta de manera similar al resto de nuestros sentidos, comenzaremos estudiando las relaciones matemáticas que se establecen entre los estímulos físicos y nuestras sensaciones. Me refiero al carácter logarítmico de nuestro sistema sensorial, tal como ha quedado definido mediante la llamada Ley de Weber-Fechner. En la segunda mitad del siglo XIX Gustav Fechner, basándose en los trabajos previos de Ernst Weber, expresó una ley que relacionaba los estímulos físicos con las sensaciones que experimentamos al recibirlos. Al margen de matizaciones y excepciones, la Ley de Weber-Fechner establece que el estímulo debe crecer en progresión geométrica para que la intensidad de la sensación crezca en progresión aritmética. Esto significa que la relación entre la variación de los parámetros físicos que actúan de estímulo y la de nuestras sensaciones no es lineal, sino logarítmica. Veamos con un ejemplo qué significa que nuestra sensación responda logarítmicamente al incremento o disminución de los estímulos. Imaginemos que recibimos cuatro estímulos sucesivos, a los que llamamos a, b, c y d. El parámetro físico asociado al estímulo a tiene una intensidad de 100; el de b, de 200; el de c, de 400; y el de d, de 800. Podemos comprobar que cada uno de ellos es el doble del anterior, es decir, que crecen manteniendo una progresión geométrica cuya razón es 2 y cuyo primer término es 100: 100; 100 × 2 = 200; 100 × 2 × 2 = 400; 100 × 2 × 2 × 2 = 800; ... Cuando pasamos del estímulo a al b, entre los cuales hay una distancia aritmética de 100, nuestra sensación aprecia una diferencia. Tomemos para nuestro ejemplo

esa diferencia sensorial como unidad y consideremos a partir de ahora que nuestra sensación se ha incrementado en un grado al pasar del estímulo a al estímulo b. Examinemos ahora lo que sucederá al pasar del estímulo b al c. La diferencia aritmética entre los parámetros físicos del estímulo b y del estímulo c es de 200 (400-200), es decir, el doble de la diferencia aritmética que hay entre los estímulos a y b. Si nuestra sensación respondiera de forma lineal al incremento del parámetro físico, cuando pasáramos del estímulo b al c tendríamos que percibir un incremento de dos grados. Sin embargo, esto no sucede así, sino que experimentamos un incremento de un grado, el mismo que hemos percibido al pasar del estímulo a al b. Y este mismo incremento de un grado es también el que percibiremos cuando pasemos del estímulo c al d, aunque la diferencia aritmética entre sus parámetros sea de 400 (800-400). La explicación reside en que nuestra sensación reconoce como incremento de un grado el cociente entre las intensidades de los estímulos, no su diferencia aritmética. Por eso, aunque en nuestro ejemplo hayamos tomado como unidad sensitiva el paso del estímulo a al b, lo signiﬁcativo no ha sido la diferencia aritmética que hay entre ambos estímulos (es decir, 100), sino la razón b/a que se establece entre ellos, que es la misma que c/b y que d/c. En este caso, se trata de la razón doble, la representada por el número 2: 200 400 800 2 = = = 100 200 400 1 Esto quiere decir que cada vez que el parámetro físico se multiplique por 2, nuestra sensación se incrementará un grado. Imaginemos ahora que tenemos un nuevo estímulo al que llamaremos e, cuya intensidad es de 3200, y queremos saber cuántos grados sensoriales de incremento percibirá nuestra sensación al pasar del estímulo a a ese estímulo e. La razón entre el estímulo e y el estímulo a es 3200/100, es decir, la representada por el número 32. Puesto que en nuestro ejemplo hemos tomado como unidad de grado sensorial la razón 2/1, representada por el número 2, la pregunta que nos tenemos que hacer ahora es: ¿cuántas veces tenemos que multiplicar el número 2 por sí mismo para obtener el número 32? O, dicho de otra manera, ¿a qué exponente hay que elevar el número 2 para obtener el número 32? 64

La respuesta es el logaritmo en base 2 del número 32, el cual es 5: 25 = 32. Esto signiﬁca que si la intensidad del parámetro físico pasa de 100 a 3200, nosotros sentiremos un incremento de 5 grados. Así pues, el paso del estímulo a al estímulo e provocará una sensación 5 veces más intensa que la que hemos experimentado al pasar del estímulo a al estímulo b. Generalizando, para saber cuántos grados sensoriales experimentamos cuando el estímulo cambia de intensidad, basta obtener el logaritmo del cociente entre el estímulo final y el inicial, logaritmo que ha de tener como base la razón numérica que hemos elegido como unidad sensorial. En efecto, el logaritmo, como su nombre indica, es el número que mide la razón (la palabra logaritmo procede del griego lógos, razón, y arithmós, número) y, por ello, el logaritmo realiza la conversión de los valores de los parámetros físicos a las unidades en las que se miden nuestras sensaciones. Por eso se dice que nuestra percepción es logarítmica. Con todas las matizaciones, excepciones y limitaciones que sería necesario hacer en cada caso, la Ley de Weber-Fechner tiene especial interés para conocer cómo oímos la música, pues, como veremos enseguida, nuestra audición percibe las diferencias de frecuencia y de amplitud de modo logarítmico.

5.3.

Frecuencia y altura tonal: notas e intervalos

La altura tonal que percibimos al oír un sonido periódico y con ella la nota musical que reconocemos está determinada por el parámetro físico de frecuencia (o por su inversa, el periodo). Conforme mayor es la frecuencia de un sonido, más aguda es la altura tonal que apreciamos, y viceversa. A continuación vamos a analizar el modo en el que las notas y los intervalos musicales están vinculados con la frecuencia de los sonidos. Comenzaremos comprobando que, dado el carácter logarítmico de nuestro sistema perceptivo, los intervalos se deﬁnen por las razones numéricas que se establecen entre las frecuencias. Luego examinaremos las unidades musicales que habitualmente utilizamos para comparar intervalos entre sí: el intervalo de octava y sus divisiones. Y ﬁnalmente estudiaremos cómo se 65

establece mediante los intervalos una correspondencia directa entre las frecuencias de los sonidos y las notas musicales.

5.3.1.

El intervalo musical como razón numérica

Aunque la altura tonal de una nota tiene un valor musical por sí misma, lo cierto es que los elementos que deﬁnen las escalas y los acordes musicales no son las alturas absolutas de los sonidos, sino los intervalos que se producen entre ellas. Igual que ocurre con la mayor parte de nuestro sistema sensitivo, en lo que concierne a la percepción del intervalo musical también está presente la Ley de Weber-Fechner: la manera en la que percibimos las variaciones de la frecuencia no responde a una escala lineal, sino a una escala logarítmica. Esto explica que el intervalo musical no sea la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino su razón numérica, el cociente que se establece entre ellas. He fabricado un vídeo que nos va a permitir comprobar cómo percibimos las variaciones de la frecuencia y por qué las magnitudes de los intervalos musicales son razones numéricas. El vídeo está formado por una sucesión de sonidos simples agrupados de dos en dos para que se pueda distinguir con facilidad el intervalo que hay entre ellos. Consta de dos partes separadas por una pausa larga. En la primera parte se oyen en primer lugar dos sonidos seguidos, cuyas frecuencias son 220 Hz y 440 Hz, y tras una breve pausa, se oyen otros dos sonidos seguidos de 440 Hz y 660 Hz. En la segunda parte del vídeo se oye primero otra vez la pareja de sonidos de 220 Hz y 440 Hz, y luego otra nueva pareja que tiene como frecuencias 440 Hz y 880 Hz. A medida que se van sucediendo los sonidos, se muestra en un recuadro la frecuencia y la nota musical correspondiente.

Figura 5.1: Vídeo con una sucesión de sonidos simples agrupados por parejas que forman distintos intervalos.

Podemos apreciar con claridad que percibimos mayor altura tonal en aquellos sonidos que presentan las oscilaciones más apretadas, es decir, los que tienen un periodo menor y, por lo tanto, una mayor frecuencia. Pero, sobre todo, lo que nos interesa experimentar mediante este vídeo es que el intervalo que percibimos entre dos notas musicales no está deﬁnido por la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino por el cociente entre ellas. En la primera parte del vídeo vemos que entre el primer sonido, el de 220 Hz, y el segundo, el de 440 Hz, hay una diferencia aritmética de 220 Hz. Apreciamos al oírlos un salto de altura tonal que es un intervalo de octava, en concreto, el que existe entre el la3 y el la4 . Ahora bien, cuando escuchamos el salto entre los sonidos de la segunda pareja —entre el tercero, de 440 Hz, y el cuarto, de 660 Hz— no percibimos un intervalo de octava, a pesar de que su diferencia aritmética es también de 220 Hz. Nuestra sensación nos dice que el salto ha sido bastante más pequeño que el que se producía entre el sonido de 220 Hz y el de 440 Hz. En efecto, ahora no reconocemos el la5 , sino el mi5 , que está a una distancia interválica de quinta respecto al la4 . Sin embargo, al oír los cuatro sonidos de la segunda parte del vídeo apreciamos la misma diferencia interválica entre la altura tonal de las dos parejas: entre el primer sonido, cuya frecuencia es de 220 Hz, y el segundo, de 440 Hz, oímos un intervalo de octava, que es el mismo que oímos entre el tercer sonido, de 440 Hz, y el cuarto, de 880 Hz. Pero la diferencia aritmética entre las frecuencias es distinta: mientras 67

que entre los dos primeros sonidos es de 220 Hz, entre los dos segundos es de 440 Hz. Comprobamos que lo que ocurre es que la razón entre las frecuencias que definen los dos intervalos de esta segunda parte del vídeo es la misma: el segundo sonido respecto al primero mantiene la misma razón numérica que el cuarto respecto al tercero, exactamente la razón doble, 2/1, la cual es la propia del intervalo de octava: 880 2 440 = = 220 440 1 Hemos podido experimentar que reconocemos el mismo intervalo, la misma distancia perceptiva, cuando entre los sonidos se mantiene la misma razón numérica. Esto se debe a que lo que define el intervalo musical no es la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino la razón que hay entre ellas, su cociente. En el vídeo, además de los dos intervalos de octava, oímos un intervalo de quinta, el que hay entre la segunda pareja de sonidos, la4 (440 Hz) y mi5 (660 Hz). Si atendemos a la relación que se establece entre sus frecuencias vemos que están en razón 3/2, que es la razón que define el intervalo de quinta natural: 3 660 = 440 2 Así mismo, aunque no las oigamos seguidas, podemos ver que el intervalo que hay entre la última nota de la primera parte, mi5 (660 Hz), y la última nota de la segunda parte, la5 (880 Hz), es de una cuarta. Si nos fijamos en sus frecuencias veremos que mantienen la razón 4/3, que es la que define el intervalo de cuarta natural: 880 4 = 660 3 Los intervalos que podemos considerar estructurales en nuestro sistema musical tienen una razón simple entre sus frecuencias: dos sonidos están a un intervalo de octava cuando sus frecuencias mantienen la razón doble, 2/1; están a un intervalo de quinta cuando mantienen la razón 3/2, la llamada razón sesquiáltera; y están a un intervalo de cuarta cuando mantienen la razón 4/3, la llamada razón sesquitercia. Ahora bien, 68

en nuestra música habitualmente no oímos los intervalos naturales de cuarta y quinta, sino los intervalos temperados, los cuales están ligerísimamente desviados. Finalmente, del hecho de que el intervalo sea una razón numérica se deduce que el intervalo que se obtiene de la composición de otros intervalos es el resultado de multiplicar sus respectivas razones. Por ejemplo, de la composición del intervalo de quinta y el de cuarta surge el intervalo de octava, como podemos apreciar si unimos el intervalo que hay entre las notas la4 y mi5 (3/2) con el que hay entre mi5 y la5 (4/3): 2 3 4 × = 2 3 1 De manera inversa, la diferencia entre dos intervalos es la división de sus razones. Así entre el intervalo de octava —por ejemplo, el que hay entre la4 y la5 (2/1)— y el intervalo de quinta —por ejemplo, entre la4 y mi5 (3/2)— existe una diferencia interválica de una cuarta (4/3) —la que hay entre mi5 y la5 —, lo cual se obtiene dividiendo entre sí ambas razones: 2 3 4 ÷ = 1 2 3

5.3.2.

Unidades interválicas

Como acabamos de ver, los intervalos se definen mediante las razones entre sus frecuencias, pero, en tanto que el intervalo es un elemento de nuestra percepción musical, necesitamos una unidad perceptiva que nos permita comparar unos intervalos con otros. En la música disponemos de una unidad natural. Esta unidad natural es el intervalo de octava, la razón 2/1 entre las frecuencias de los sonidos. Sonidos que distan un intervalo de octava poseen una especial afinidad reconocida en la práctica totalidad de los sistemas musicales de las diferentes culturas. Hay que tener presente que cuando dos sonidos que forman una octava son emitidos simultáneamente, el más ligero alejamiento de la relación doble es percibido inmediatamente como desafinación. Así pues, la octava es una unidad interválica de carácter uni-

versal y en referencia a ella establecemos las restantes unidades que utilizamos para medir los intervalos. Veamos cómo podemos expresar cualquier intervalo en número de octavas. Imaginemos dos sonidos cuyas frecuencias sean a y b. El intervalo será la razón b/a. Si aplicamos lo que hemos estudiado con carácter general en el apartado sobre la Ley de Weber-Fechner para medir las distancias perceptivas, concluiremos que el número de octavas que mide este intervalo será el logaritmo en base 2 del número b/a (recordemos que 2 es la razón de la octava). Así pues, para expresar la medida de un intervalo en octavas bastará tomar el logaritmo en base 2 del número que define la razón entre las frecuencias de los sonidos que lo delimitan, sin que el resultado tenga que ser necesariamente un número entero. Por ejemplo, el intervalo que hay entre el último sonido del vídeo, el la5 de 880 Hz, y el primero, el la3 de 220 Hz, está definido por la razón 880/220, es decir, 4/1. Por lo tanto, el número de octavas de este intervalo será el logaritmo en base 2 del número 4, que es 2. Efectivamente, entre el la5 y el la3 hay dos octavas. Pero en la mayor parte de las ocasiones la octava es un intervalo demasiado grande para medir las diferencias entre las alturas tonales de los sonidos. Por eso se recurre a divisiones de la octava. Una unidad interválica habitual es el semitono temperado, que se define como la doceava parte de la octava. Por eso la razón que representa el semitono temperado es el número que multiplicado 12 veces por sí mis√ mo da como resultado el número 2, la razón de la octava. Este número es 12 2, que expresado con 15 decimales es: 1,059463094359295. Cuando se trata de medir las sutilezas de la afinación el semitono sigue siendo una unidad muy grande, por lo que es común también utilizar como unidad interválica la centésima parte del semitono temperado, la cual recibe el nombre de cent. Como el cent es la 1/1200 parte de la octava, la razón que define el intervalo de cent es aquella que multiplicada por sí misma 1200 veces da el número 2. Esta razón √ es 1200 2, que con 15 decimales es: 1,000577789506555.

De las propiedades de los logaritmos se deduce que para expresar un intervalo cualquiera en semitonos o en cents basta con tomar el logaritmo en base 2 de la razón de 70

las frecuencias de sus notas y multiplicar el resultado respectivamente por 12 o por 1200. A modo de ejemplo veamos cómo podemos expresar en semitonos temperados el intervalo de quinta natural deﬁnido por la razón 3/2. Basta simplemente calcular el logaritmo en base 2 del número 3/2 y multiplicarlo luego por 12. El resultado redondeado a centésimas de semitono es 7,02. log2

3 × 12 = 7, 02 2

Comprobamos que el intervalo de quinta natural, deﬁnido por la razón 3/2, es 2 centésimas de semitono —es decir, 2 cents— mayor que el de quinta temperada, que por deﬁnición consta de 7 semitonos temperados. Así mismo, si queremos expresar en semitonos el intervalo de cuarta natural, la razón 4/3, calcularemos el logaritmo en base 2 del número 4/3 y lo multiplicaremos por 12. El resultado será 4,98 semitonos. log2

4 × 12 = 4, 98 3

Este resultado nos indica que el intervalo de cuarta natural es 2 cents menor que el de cuarta temperada, que por deﬁnición consta de 5 semitonos. Una vez realizadas estas comparaciones, nos daremos cuenta de que el sistema temperado se caracteriza porque acorta muy ligeramente las quintas y alarga las cuartas, exactamente 2 cents en ambos casos.

5.3.3.

Las frecuencias de las notas musicales

Para determinar las frecuencias de las notas musicales de la escala, además de conocer los intervalos que las separan, es necesario también elegir la frecuencia de una nota que sirva de punto de partida para calcular todas las demás. La elección de la frecuencia de esta nota determina la altura absoluta de toda la escala.

Aunque el intervalo es el elemento más relevante para el lenguaje musical, lo cierto es que la altura absoluta también tiene un importante valor en sí misma. Es evidente que el efecto musical que produce una melodía es muy distinto cuando se interpreta en un registro grave que cuando se hace en un registro agudo. Así mismo, también resultan claras las diferencias entre una pieza interpretada, pongamos por caso, en la tonalidad de do mayor o la misma pieza transportada a la tonalidad de mi mayor. Y hay todavía otras diferencias más sutiles: por ejemplo, una pieza de Händel ejecutada en la afinación que se considera propia de su música, con el la4 en torno a 422 Hz, no suena igual que esa misma pieza interpretada en la afinación estándar actual, con el la4 a 440 Hz. Veamos cómo se determinan las frecuencias de las notas de nuestra escala temperada. Supongamos que elegimos como nota de referencia el la4 a 440 Hz y queremos hallar la frecuencia a la que debe estar afinada la nota do6 . La cantidad de semitonos temperados que separan ambas notas es 15 (12 semitonos de la octava la4 a la5 , más 3 de la5 a do6 ). El número que define el intervalo de 15 semitonos será el resultado de multiplicar 15 veces por sí misma la razón del semitono, que como hemos visto √ es 12 2: √

215 = 2, 378414230005442

El número 2,378414230005442 es, así pues, la razón que deﬁne el intervalo de 15 semitonos. Nos bastará ahora con multiplicar este número por la frecuencia de la nota que hemos tomado como referencia inicial, en este caso 440 Hz, para obtener la frecuencia de la nota do6 en la escala temperada estándar. Su valor será 1046,5 Hz. 440 ×

√

215 = 1046, 5

A continuación presento una tabla con las frecuencias de las notas musicales en la escala temperada estándar. Los números de la ﬁla superior indican la octava a la que corresponde cada nota. Aunque no hay unanimidad en la asignación de los números de octava, he seguido el criterio que me parece más acertado, el que hace corresponder el do central del piano con el inicio de la octava número 4. 72

Sobre fondo amarillo está destacada la frecuencia de la nota utilizada como referencia, el la4 . Las notas cuyo fondo está en color naranja coinciden con la extensión completa de un piano moderno, que va del la0 al do8 . Las notas sobre fondo lila son completamente excepcionales en la práctica musical: resulta muy difícil reconocer la altura tonal de las más agudas, mientras que las más graves –algunas de las cuales se pueden encontrar en algún tubo de órgano– casi no se perciben como sonido, sino más bien como un zumbido sordo.

16,4

32,7

65,4

130,8

261,6

523,3

1.046,5

2.093,0

4.186,0

do#

17,3

34,6

69,3

138,6

277,2

554,4

1.108,7

2.217,5

4.434,9

18,4

36,7

73,4

146,8

293,7

587,3

1.174,7

2.349,3

4.698,6

mib

19,4

38,9

77,8

155,6

311,1

622,3

1.244,5

2.489,0

4.978,0

20,6

41,2

82,4

164,8

329,6

659,3

1.318,5

2.637,0

5.274,0

21,8

43,7

87,3

174,6

349,2

698,5

1.396,9

2.793,8

5.587,7

fa#

23,1

46,2

92,5

185,0

370,0

740,0

1.480,0

2.960,0

5.919,9

sol

24,5

49,0

98,0

196,0

392,0

784,0

1.568,0

3.136,0

6.271,9

lab

26,0

51,9

103,8

207,7

415,3

830,6

1.661,2

3.322,4

6.644,9

27,5

55,0

110,0

220,0

440,0

880,0

1.760,0

3.520,0

7.040,0

sib

29,1

58,3

116,5

233,1

466,2

932,3

1.864,7

3.729,3

7.458,6

30,9

61,7

123,5

246,9

493,9

987,8

1.975,5

3.951,1

7.902,1

Tabla 5.1: Frecuencia de las notas musicales (Hz) en las diferentes octavas.

5.4.

Amplitud y volumen sonoro

El mayor o menor volumen sonoro, que es una sensación subjetiva, está en relación directa con la intensidad de las ondas sonoras que llegan a nuestros oídos. La intensidad es una magnitud física que mide la potencia sonora que transmite la onda por unidad de superﬁcie y se expresa en vatios por metro cuadrado (W/m2 ). Es decir, la intensidad sonora es la cantidad de energía que, como consecuencia del movimiento vibratorio que transmiten las ondas, ﬂuye en un instante dado a través de un área del espacio, como puede ser el tímpano de nuestro oído. Puesto que la intensidad de las ondas sonoras cuando se propagan por el aire es independiente de la frecuencia y, en el caso de un sonido simple, es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud con la que la presión oscila, el volumen sonoro que percibimos al escuchar un sonido simple viene determinado por el cuadrado de su amplitud. Igual que ocurre con la altura tonal, también ahora está presente la Ley de WeberFechner, de modo que el cambio en el volumen sonoro que percibimos guarda una relación logarítmica con la variación de la intensidad o, lo que viene a ser lo mismo, con la variación del cuadrado de la amplitud, a la que la intensidad es directamente proporcional. Por ello, lo que nuestro sistema perceptivo interpreta como un grado en la variación del volumen sonoro es el cociente entre las intensidades de los sonidos, no su diferencia aritmética.

5.4.1.

Unidades interválicas de intensidad sonora: el belio y el decibelio

El rango de intensidades que podemos oír es mucho más amplio que el de frecuencias. Mientras el sonido más agudo que oímos tiene una frecuencia de unas mil veces la del sonido más grave (recordemos que el rango frecuencial de nuestra audición va aproximadamente de 20 Hz a 20.000 Hz), el sonido más fuerte que podemos escuchar es por lo menos un billón de veces más intenso que el más débil. En efecto, el rango de intensidades de la audición humana va desde un picovatio por metro cuadrado (1 pW/m2 =0,000000000001 W/m2 ), donde se sitúa el umbral de audición, hasta un

vatio por metro cuadrado (1 W/m2 ), donde la sensación auditiva se transforma en dolorosa. Además, para medir la percepción de la intensidad sonora no existe una unidad objetiva que cumpla una función similar al intervalo de octava en el caso de la percepción de las alturas tonales en la música. Pero, puesto que se ha comprobado de una manera estadística que un incremento en la intensidad del sonido de 10 veces es percibido por nuestra sensación auditiva como si se hubiera doblado el sonido, se ha establecido como unidad convencional la razón 10:1. Por eso, para poder comparar las diferentes intensidades de los sonidos de una manera acorde con la forma en la que percibimos el volumen sonoro se utiliza la relación 10:1. Esta unidad recibe el nombre de bel o belio (B) en honor del cientíﬁco Alexander Graham Bell. El belio, que sirve también como unidad logarítmica para otras magnitudes relativas, es el logaritmo en base 10 de la razón entre las magnitudes que se quieren comparar. En lo que concierne al sonido, podríamos decir que el belio es una medida interválica de las intensidades sonoras y cumple una función similar a la que realiza la octava en la percepción de la frecuencia. Pero como en la mayor parte de las ocasiones el belio resulta en la práctica una unidad demasiado grande, para medir la intensidad sonora habitualmente se utiliza el decibelio (dB), que es la décima parte del belio. Así pues, para saber cuántos decibelios de diferencia hay entre dos sonidos, se toma el logaritmo en base 10 de la razón entre sus respectivas intensidades —o de la razón entre los cuadrados de sus amplitudes— y se multiplica el resultado por 10. Veamos con ayuda de un ejemplo cómo se puede expresar en decibelios la diferencia de volumen sonoro entre dos sonidos cuyas amplitudes son una el doble de la otra. Dado que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, las ( )2

diferencias entre sus intensidades estarán en razón cuádruple: 21 = 41 . Calculamos el logaritmo en base 10 de 4 y multiplicamos el resultado por 10. Redondeando, obtenemos el número 6,02. Así pues, el intervalo de intensidades, la diferencia de volumen sonoro que percibimos entre dos sonidos cuya amplitud es una el doble que la otra, es aproximadamente de 6 dB. Podemos aprovechar las propiedades de los logaritmos para simpliﬁcar el cálculo (el logaritmo de un número elevado al cuadrado es igual al logaritmo de ese número 75

multiplicado por 2), por lo que es suﬁciente multiplicar por 20 el logaritmo en base 10 de la razón 2/1 que hay entre las amplitudes: 10 × log10

( )2 2

= 20 × log10

( )

2 = 6, 02 1

Resumiendo, para expresar en decibelios las diferencias de volumen sonoro entre dos sonidos simples basta tomar el logaritmo en base 10 del cociente entre sus amplitudes y multiplicarlo por 20.

5.4.2.

Correspondencia entre la amplitud normalizada y la intensidad en decibelios

Los editores de sonido ofrecen la posibilidad de acompañar las gráﬁcas que representan la evolución temporal de la amplitud de la presión sonora —cuyos valores están generalmente normalizados entre 1 y -1— con una escala logarítmica en decibelios que indica la intensidad a la que corresponden. Esto nos permite comparar entre sí las amplitudes de varios sonidos de una manera más próxima a la sensación de volumen que percibimos. Para obtener los valores de intensidad relativa en una escala expresada en decibelios, se aplica la fórmula anterior, es decir, se calcula el logaritmo en base 10 del valor de cada amplitud y se multiplica por 20. Así, el valor de amplitud 1 equivale a 0 dB de intensidad (el logaritmo en base 10 de 1 es 0); el valor 0,5 de amplitud corresponde a -6,02 dB de intensidad relativa; y así sucesivamente. Los valores negativos se deben a que el logaritmo de los números inferiores a la unidad es negativo, de modo que 0 dB se corresponde con la amplitud máxima. A continuación presento una tabla de correspondencias entre los valores de amplitud normalizados y su intensidad expresada en decibelios. En la columna de la izquierda se muestran una serie de valores de amplitud normalizada que cubren el rango que un sistema de 16 bits es capaz de digitalizar. Los valores van decreciendo de modo que cada uno de ellos es la mitad del anterior, hasta llegar al valor mínimo que es posible representar con 16 bits. En la columna de la derecha se expresa en decibelios los correspondientes valores de intensidad. Podemos observar que las intensidades 76

van decreciendo de manera lineal, disminuyendo 6,02 dB cada vez que la amplitud se reduce a la mitad.

Amplitud

Intensidad

normalizada

normalizada (dB)

1,000000

0,00

0,500000

-6,02

0,250000

-12,04

0,125000

-18,06

0,062500

-24,08

0,031250

-30,10

0,015625

-36,12

0,007813

-42,14

0,003906

48,16

0,001953

-54,19

0,000977

-60,21

0,000488

-66,23

0,000244

-72,25

0,000122

-78,27

0,000061

-84,29

0,000031

-90,31

0,000015

-96,33

Tabla 5.2: Equivalencias entre amplitudes y decibelios de intensidad.

5.4.3.

Valores absolutos de intensidad sonora

Por razones prácticas, hay algunas ocasiones en las que es conveniente referirse a la intensidad del sonido en términos absolutos, como por ejemplo para determinar si el nivel sonoro de un lugar está dentro de la normativa legal. En estos casos es útil establecer una escala logarítmica de intensidades absolutas adecuada a la manera en la que nosotros percibimos el volumen sonoro. Dado que el belio o el decibelio son unidades que miden intervalos entre intensidades, para expresar con ellas valores absolutos es necesario tomar una intensidad de referencia con la que comparar las que queremos medir. Como sonido de referencia al que se asigna el valor 0 dB, se ha elegido lo que se considera el umbral mínimo de la audición humana: un sonido simple de 1 pW de intensidad, a una frecuencia de 1000 Hz. Para hacernos una idea de las intensidades que corresponden al volumen que percibimos en distintos ambientes sonoros, pongo debajo una escala de intensidades absolutas y su correspondiente valor en dB, acompañada de unos ejemplos orientativos. En la columna de la izquierda se muestra la intensidad en W/m2 y en la del medio la intensidad en dB, a partir del valor de referencia inicial de 0 dB para 1 pW/m2 . El valor de cada intensidad es 10 veces mayor que el de la ﬁla anterior, por lo que el incremento en dB es de 10. Como la intensidad depende de la proximidad o lejanía de la fuente sonora, se indica la distancia o el lugar en el que se debería hacer la medición. Hay que insistir en el carácter meramente orientativo de cada ejemplo, dada la gran variedad de intensidades que pueden darse en cada situación sonora.

Intensidad 2

Intensidad

W(m )

(dB)

0,000000000001

0,000000000010

0,000000000100

0,000000001000

0,000000010000

0,000000100000

0,000001000000

0,000010000000

0,000100000000

0,001000000000

0,010000000000

100

0,100000000000

110

1,000000000000

120

Ejemplo sonoro orientativo - Umbral de audición para un sonido simple de 1000 Hz. - Suave aleteo de una mariposa a 1 m. - Zumbido de un mosquito a 1 m. - Suave murmullo de hojas de árbol a 10 m. - Respiración tranquila de una persona a 1 m. - Ordenador silencioso a 1 m. - Murmullo de un arroyo en el campo a 1 m. - Susurro a 2 m en una biblioteca silenciosa. - Oleaje junto a la orilla de una playa tranquila. - Piano vertical en un pasaje pianissimo (pp) a 3 m. - Ruido de lluvia moderada en una calle sin tráfico. - Piano vertical en un pasaje piano (p) a 3 m. - Conversación entre dos personas a volumen medio a 1 m. - Piano vertical en un pasaje mezzoforte (mf ) a 3 m. - Autobús urbano de gasóleo a 10 m. - Piano vertical en un pasaje forte (f ) a 3 m. - Ruido de tráfico intenso a 10 m. - Piano vertical en un pasaje fortissimo (ff ) a 3 m. - Moto de gran cilindrada a 10 m. - Orquesta sinfónica a pleno volumen en sala de conciertos. - Sirena de una ambulancia a 20 m. - Tren suburbano llegando a la estación en el andén. - Avión de pasajeros despegando a 100 m. - Música a gran volumen en el interior de una discoteca. - Martillo neumático a 0,5 m. - Umbral de molestias serias.

Tabla 5.3: Niveles de volumen sonoro de diferentes sonidos.

5.4.4.

La percepción del volumen sonoro

He confeccionado un vídeo que nos va a permitir experimentar cómo percibimos el mismo grado de disminución del volumen sonoro cuando la amplitud se reduce, manteniendo la misma razón. En él podemos oír seis veces el sonido simple la3 a 220 Hz con una amplitud que es cada vez la mitad de la anterior. En la parte superior del vídeo va apareciendo el valor de la amplitud normalizada de la nota que está sonando y su correspondiente intensidad en decibelios. La primera nota tiene una amplitud de 0,5 y las siguientes notas reducen su amplitud sucesivamente a la mitad, coincidiendo con los valores de la tabla.

Figura 5.2: Vídeo con la nota la3 a 220 Hz repetida con una amplitud que se reduce cada vez a la mitad.

Para apreciar que los valores de amplitud e intensidad son relativos, nos basta con subir o bajar el volumen del reproductor de sonido. Al hacer esto, aumenta o disminuye la presión sonora que el altavoz origina y, con ello, la intensidad que llega a nuestros oídos. Ahora bien, si escuchamos de nuevo todo el vídeo con el nuevo volumen, comprobaremos que percibimos el mismo grado de disminución del volumen sonoro al pasar de nota en nota. En efecto, el intervalo entre las intensidades sonoras, lo que nosotros percibimos como un grado en el volumen sonoro, sigue siendo el mismo: cada vez que la amplitud se reduce a la mitad nosotros percibimos el mismo descenso de volumen sonoro, el que corresponde aproximadamente a 6 dB. 80

Hemos podido comprobar que nuestra percepción del volumen sonoro guarda muchas similitudes con nuestra percepción de la altura tonal. Sin embargo, hay varias diferencias que conviene tener presente, debidas tanto a las peculiaridades físicas del sonido, como a las de nuestro sistema auditivo. A diferencia de la frecuencia que, salvo situaciones excepcionales, se mantiene invariable en su transmisión a través de las ondas, la amplitud y la intensidad disminuyen progresivamente conforme el sonido se aleja de la fuente: la amplitud de forma lineal y la intensidad según el cuadrado de la distancia. Además, ambas magnitudes son muy sensibles a las múltiples incidencias que las ondas pueden encontrase en su camino. Por otra parte, nuestra sensación no responde de igual manera a todos los sonidos de la misma intensidad, sino que el grado de volumen sonoro que percibimos depende en buena medida de la frecuencia. Para permitir comparar el volumen sonoro en función de la frecuencia se ha establecido una unidad de referencia: el fon o fonio. Hay que tener en cuenta que el fonio no es una unidad física objetiva, sino que se trata de una unidad establecida a partir de criterios psicoacústicos estadísticos. El número de fonios de un sonido simple es la sensación de volumen sonoro que experimenta un oyente medio cuando escucha un sonido de 1000 Hz de ese número de decibelios de intensidad absoluta. Por ello la escala de fonios coincide con el valor de intensidad sonora de un sonido a 1000 Hz. Por ejemplo, cuando hablamos de un sonido que provoca una sensación de volumen sonoro de 50 fonios, estamos reﬁriéndonos a un sonido simple de 1000 Hz cuya intensidad sonora expresada en decibelios absolutos es de 50 dB. Si la frecuencia del sonido fuera de 200 Hz, para provocar la misma sensación de volumen sonoro —es decir, 50 fonios— sería necesario que tuviera una intensidad de 60 dB, expresada en unidades absolutas. Podemos verlo en las gráﬁcas que habitualmente se establecen con los valores psicoacústicos de la percepción del volumen sonoro en función de la frecuencia.

Figura 5.3: Gráﬁcas de la percepción del volumen sonoro en las diferentes frecuencias.

La raya azul marca los 1000 Hz, la frecuencia de referencia donde el número de fonios coincide con el valor de la intensidad sonora absoluta. Podemos observar que en torno a los 4000 Hz es donde, con la misma intensidad sonora, la percepción del volumen es mayor, tal vez debido a la resonancia de nuestra canal auditivo. Por otra parte, las zonas extremas, tanto graves como agudas, requieren una intensidad mucho mayor para que el oyente experimente el mismo número de fonios, es decir, la misma sensación de volumen sonoro.

5.5.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos podido comprobar que nuestra percepción musical de los parámetros físicos del sonido es logarítmica. Percibimos razones interválicas, no diferencias aritméticas. Mientras la altura tonal es el correlato perceptivo de la frecuencia, el volumen sonoro está en relación directa con el cuadrado de la amplitud. En ambos casos, nuestra sensación se incrementa de grado en grado cuando se mantiene la misma razón en la variación de los parámetros físicos. El intervalo melódico entre dos notas musicales queda determinado por la razón entre sus fre82

cuencias y puede ser expresado utilizando como unidad la octava —la razón 2/1— o cualquiera de sus subdivisiones, como el semitono o el cent. Así mismo, también podemos deﬁnir el “intervalo” de volumen sonoro entre dos sonidos como la razón entre el cuadrado de sus amplitudes y utilizar para medirlo el belio —la razón 10/1— o el decibelio. El hecho de que, a diferencia de la amplitud, la frecuencia permanezca invariable a lo largo de la transmisión ondulatoria ha posibilitado su codiﬁcación en las notas y escalas del lenguaje musical.

Capítulo 6 Mezcla e interferencia de dos sonidos simples

6.1.

Introducción

Los sonidos que oímos todos los días, sean o no musicales, no suelen ser sonidos simples, sino el resultado de la superposición de un conjunto de vibraciones que coinciden en un momento dado. En el caso de la música, que es lo que nos interesa ahora, estas superposiciones se pueden producir en cualquier lugar: en el cuerpo mismo de los instrumentos, en el espacio por el que se transmiten las ondas sonoras o en el interior de nuestro oído. Cuando se mezclan las vibraciones sonoras se producen diversos fenómenos acústicos, fenómenos que dan lugar a las diferentes cualidades sonoras que oímos. Estas mezclas, dependiendo de sus características, pueden ser combinaciones armónicas que percibimos como notas musicales o pueden ser otro tipo de combinaciones en las que apreciamos simplemente ruido. En efecto, los fenómenos acústicos derivados de las distintas combinaciones de sonidos simples (es decir, de componentes sinusoidales) generan buena parte de la riqueza sonora de nuestro entorno. En lo que concierne a la música, los fenómenos que se crean al combinarse las vibraciones de distintos sonidos o de distintos componentes de un mismo sonido constituyen buena parte del fundamento acústico de nuestro sistema musical. 84

Como se estudia en el capítulo siguiente, el sonido armónico o musical, hablando en general, está formado por una serie de componentes simples cuyas vibraciones se superponen de una manera especial. Las características de las mezclas y combinaciones de sonidos simples que dan lugar al sonido musical son la causa de su particular naturaleza sonora. Estas características explican, además, los principios físicos que rigen las consonancias, los pilares del lenguaje musical. En este sentido, este capítulo prepara el estudio del sonido armónico, es decir, de la estructura armónica creada por la combinación de componentes simples que mantienen entre sí unas determinadas relaciones. Puesto que los principios que rigen la superposición de dos componentes simples son los mismos que los que están detrás de la mezcla de cualquier número de componentes, conviene experimentar cómo son los fenómenos que se crean cuando interfieren entre sí las vibraciones de dos sonidos simples y analizar a qué se deben esos fenómenos. Después será sencillo entender las especiales relaciones de conmensurabilidad que se establecen entre las frecuencias de un número cualquiera de componentes simples cuando se superponen unos con otros para formar un sonido armónico. Así pues, en este capítulo vamos a comprobar que los fenómenos acústicos que se crean en las diferentes tipos de mezclas de sonidos simples son el resultado bien de la diferencia aritmética entre las frecuencias de los sonidos que se superponen o bien de la razón numérica que hay entre esas frecuencias, y que estos fenómenos están condicionados por la anchura de la banda crítica correspondiente a sus respectivas frecuencias. Además, vamos a atender a los fundamentos acústicos de las consonancias musicales, es decir, a los fenómenos que se producen cuando se mezclan dos sonidos simples cuyas frecuencias mantienen unas especiales relaciones de conmensurabilidad. Por otra parte, al estudiar todos estos fenómenos, vamos a entender el mecanismo acústico que permite la afinación de los instrumentos musicales. Comprenderemos cómo, a lo largo de la historia, de manera natural y sin recurrir a ninguna herramienta externa, ha sido posible afinar con precisión los instrumentos y, a partir de esas afinaciones, han sido establecidas las diferentes escalas musicales. En efecto, podremos experimentar que las interferencias que se crean cuando se mezclan entre sí los sonidos permiten determinar de manera empírica las alturas tonales que dan lugar a los intervalos y a las escalas, y que eso se hace con tanta exactitud que muy ligeras 85

variaciones son interpretadas por nuestra percepción como extrañas a esa escala o desafinadas. Experimentaremos también los límites de nuestra capacidad para discernir individualmente sonidos simultáneos, comprobando que estos límites dependen de la anchura de la banda crítica correspondiente a cada zona frecuencial. Y, por último, mediante la introducción de una distorsión artificial en la señal, comprobaremos los efectos que ésta puede ocasionar en la mezcla de sonidos simples, al dar lugar a la aparición de componentes espurios. Esta es la razón de que, para poder apreciar correctamente las características sonoras que se muestran en los vídeos, sea necesario que la distorsión del equipo de audio en el que los reproduzcamos sea pequeña, como he indicado en el Prólogo de este libro. A mi juicio, el modo más sencillo que tenemos hoy en día para estudiar los fenómenos acústicos y psicoacústicos que se crean al mezclarse los sonidos es observar como se comportan dos sonidos fabricados por ordenador. El hecho de utilizar sonidos artificiales nos garantiza su estabilidad y permite que sus parámetros estén perfectamente controlados. Mediante vídeos que simulan un osciloscopio creados a partir de Matlab, a lo largo de este capítulo vamos a escuchar cómo suenan las diferentes mezclas de interés musical de dos sonidos simples y observar la forma de la vibración de la señal resultante, atendiendo tanto a los fenómenos acústicos en sí mismos, como a la manera en la que nosotros los percibimos.

6.2.

El Principio de Superposición Lineal de Ondas

Antes de analizar cada uno de los casos de interés musical que se producen cuando se mezclan dos sonidos simples, vamos a prestar atención brevemente al principio general que rige toda mezcla de sonidos. Puesto que el sonido es un movimiento vibratorio que se transmite en forma de ondas, cuando se mezclan dos sonidos en las situaciones habituales se cumple el Principio de Superposición Lineal de Ondas. El Principio de Superposición Lineal de Ondas dice que cuando en un tiempo dado coinciden en un punto dos o más ondas la alteración total que se produce en ese punto es igual a la suma de las alteraciones que cada onda individual

habría producido. Es decir, cuando dos ondas interﬁeren, el comportamiento individual de cada una de ellas no se ve afectado por el de la otra. Si pensamos en términos de señal de audio, podemos decir que la señal que resulta de la reunión de dos señales independientes es una nueva señal cuyas muestras son simplemente la suma de las muestras de cada una de ellas. Hay que tener en cuenta que para que se cumpla el Principio de Superposición Lineal de Ondas es necesario que el medio por el que se transmite el sonido no altere la forma de la vibración, es decir, que no distorsione la señal de audio. Si esto no se cumple (por ejemplo, si el equipo reproductor de sonido presenta una distorsión signiﬁcativa) surgirán componentes extraños no presentes en la señal original. Un ejemplo de los efectos de tales distorsiones son los llamados Tonos de Tartini, que no son componentes reales que pertenezcan a la vibración sonora en sí misma, sino el resultado de la pequeñísima distorsión que introduce nuestro propio oído. A continuación vamos a estudiar una serie de fenómenos físicos, todos ellos de interés musical, que surgen al mezclarse dos sonidos simples. Todos estos fenómenos, así como la forma en la que nosotros los percibimos, dependen de tres factores: la distancia aritmética entre las frecuencias de los sonidos que se mezclan; la razón numérica que se establece entre sus frecuencias; y la región frecuencial a la que pertenecen. Generalizados a la mezcla de cualquier número de componentes, estos fenómenos y la forma en la que nosotros los percibimos constituyen el fundamento acústico sobre el que se ha construido nuestro Sistema Musical.

6.3.

Mezcla de dos sonidos simples de la misma frecuencia: Unísono

Empecemos analizando lo que ocurre cuando se superponen en el mismo espacio y tiempo dos sonidos simples que tienen exactamente la misma frecuencia, es decir, que forman un unísono. He confeccionado un vídeo que nos va a permitir observar que el resultado de la superposición de dos sonidos simples de igual frecuencia es siempre otro

sonido simple de la misma frecuencia, cuya amplitud depende no solo de la de cada sonido, sino también del desfase que hay entre ellos. En el vídeo se emiten cinco veces dos sonidos simultáneos que tienen la misma frecuencia, 220 Hz, un la3 en la afinación estándar. En cada emisión oímos el sonido resultante de la mezcla de ambos componentes. Para reconocer con facilidad la forma de la señal de cada componente en el simulador del osciloscopio, he generado los sonidos con una ligera diferencia entre sus amplitudes. Si fueran exactamente iguales, las gráficas de ambas señales se superpondrían y no podríamos distinguirlos, particularmente en el momento en el que están en fase. La amplitud de la señal azul es 0,20 y la de la señal magenta 0,22. En cada repetición los sonidos componentes se van desfasando entre sí: la primera vez que suenan tienen la misma fase inicial; luego la fase inicial del sonido representado por la señal azul se adelanta un poco, de modo que los dos sonidos quedan desfasados entre sí 45º; a continuación la señal azul se adelanta todavía más, siendo el desfase entre los componentes de 90º; luego el desfase es de 135º; y, finalmente, de 180º, es decir, ambos sonidos están en oposición de fase.

Figura 6.1: Vídeo con dos sonidos unísonos que van incrementando su desfase.

Podemos ver en el osciloscopio dos señales ﬁnas sinusoidales de amplitudes muy parecidas, una magenta y otra azul, que representan los sonidos simples componentes. 88

Vemos también una señal más gruesa de color verde, que es la resultante de la mezcla y que corresponde al sonido que estamos escuchando en el vídeo. En cada una de las cinco repeticiones percibimos un solo sonido simple. Comprobamos, así pues, que la mezcla de dos sonidos simples de la misma frecuencia produce un sonido simple que conserva el mismo periodo y, por lo tanto, la misma frecuencia que los componentes, en este caso 220 Hz. En efecto, en el osciloscopio vemos que la gráfica de la señal resultante, de color verde, es también una señal sinusoidal. Al escuchar como suenan podemos apreciar que la mezcla ha sido tan perfecta que los sonidos que la han compuesto han sido fundidos, de modo que oímos un solo sonido simple. Veamos ahora en qué se diferencian las distintas repeticiones de esa nota. Enseguida nos damos cuenta de que el volumen sonoro que percibimos es diferente en cada caso. No voy a explicar ahora cómo se puede calcular la amplitud y la fase inicial del sonido resultante de la mezcla, pues no es relevante para nuestro objetivo; nos basta comprobar en el osciloscopio que la amplitud de la señal verde, la del sonido que oímos, disminuye conforme aumentan los desfases en las sucesivas emisiones. Como casos especiales podemos observar que cuando los dos sonidos están en fase —la primera emisión, desfase de 0º—, la amplitud del sonido resultante es la suma de las amplitudes de cada uno de los componentes (0,20 + 0,22 = 0,42), mientras que cuando ambas señales están en oposición de fase —la última emisión, desfase de 180º—, la amplitud de la señal resultante es la diferencia de las amplitudes de los componentes (0,22 – 0,20 = 0,02). Para ver en detalle lo que sucede, la figura de abajo presenta una instantánea de la forma de la vibración en cada una de las cinco emisiones, de modo que cada gráfica corresponde a uno de los desfases que hemos visto en el vídeo.

Figura 6.2: Formas de la vibración de dos sonidos simples unísonos con diferentes desfases.

Puesto que cada muestra de la señal resultante es, según el Principio de Superposición Lineal, la suma de las correspondientes muestras de las señales componentes, vemos que, conforme se van incrementando los desfases, la pérdida de sincronía da lugar a que la amplitud resultante vaya disminuyendo. En la gráfica de la quinta fila, en la que ambas señales están en oposición de fase, podemos apreciar que los valores de todas las muestras son prácticamente opuestos, de modo que resulta fácil deducir que si ambos componentes hubieran tenido la misma amplitud, el sonido resultante hubiera tenido una amplitud de 0, es decir, hubiera desaparecido por completo. Así pues, en este vídeo hemos podido observar que el resultado de la mezcla de dos sonidos simples de igual frecuencia siempre es otro sonido simple de la misma frecuencia y que el cambio en la fase inicial sólo modifica la amplitud del sonido simple resultante y, por lo tanto, solo repercute en el volumen sonoro que apreciamos, sin que afecte a la cualidad sonora que percibimos. Los cambios en el volumen sonoro derivados de los desfases entre dos sonidos unísonos explican algunos problemas que pueden surgir al realizar una grabación en un estudio. En el caso de que la misma fuente sonora sea recogida por dos micrófonos, pudiera suceder que algunos componentes llegaran a cada micrófono casi en oposi90

ción de fase, lo que podría dar lugar a que, al realizarse la mezcla, esos componentes quedaran signiﬁcativamente atenuados. Si esto ocurre se puede percibir una especie de agujero acústico en el sonido grabado. Para evitar este problema las mesas de mezclas suelen llevar un dispositivo que permite invertir la fase de cada señal de entrada. En la audición directa este problema queda minimizado por el hecho de que disponemos de dos oídos y porque los sonidos habitualmente llegan hasta nosotros con múltiples desfases, debido a que, por regla general, provienen de diversos lugares, como consecuencia de las reﬂexiones en las paredes, techos y suelos.

6.4.

Mezcla de dos sonidos simples de frecuencias muy próximas: Batidos de primer orden

Vamos a estudiar ahora lo que ocurre cuando se mezclan dos sonidos simples cuyas frecuencias están separadas entre sí por una pequeña distancia, menos de 15 Hz aproximadamente. El fenómeno acústico que se produce se denomina “batidos de primer orden” y ha sido empleado desde tiempos muy antiguos para la aﬁnación de los instrumentos musicales y la determinación de las escalas.

6.4.1.

Los batidos de primer orden

Para experimentar cómo son los batidos o pulsaciones, he fabricado un vídeo en el que se oyen sucesivamente seis sonidos, cada uno de los cuales es el resultado de la mezcla de dos componentes simples de frecuencias muy próximas. En cada nuevo sonido las frecuencias de los dos componentes están cada vez más cercanas.

Figura 6.3: Vídeo con diferentes casos de batidos de primer orden.

En el osciloscopio se representan dos señales finas, que pertenecen a cada uno de los dos componentes que se mezclan y una señal más gruesa, que es la del sonido resultante de la mezcla y que es el que oímos. La señal de color magenta es la del componente más grave y la de color azul es la del componente más agudo, mientras que la de color verde pertenece al sonido resultante. Para poder distinguir bien cada uno de los dos componentes y para que la profundidad del batido no sea excesiva, he elegido amplitudes diferentes para cada componente: la amplitud del primero es 0,2 y la del segundo es 0,1. En cada uno de los seis sonidos que escuchamos, la frecuencia del primer componente es de 220 Hz (un la3 en la afinación estándar) mientras que la del segundo va cambiando, de modo que la diferencia entre los dos componentes es cada vez más pequeña, hasta llegar a coincidir en el último sonido: en el primer sonido la frecuencia del componente agudo es de 228 Hz, por lo que la diferencia respecto al componente grave es de 8 Hz; en el segundo, el componente agudo tiene una frecuencia de 224 Hz, de modo que tiene una diferencia de 4 Hz respecto al grave; en el tercero, la frecuencia del componente agudo es de 222 Hz, por lo que están a 2 Hz de distancia del grave; en el cuarto caso la frecuencia del agudo es de 221 Hz, estando sólo a 1 Hz del primer componente; en el quinto sonido la frecuencia del agudo es de 220,5 Hz, por lo que solo están separados 0,5 Hz; y, finalmente, en el último caso, los dos componentes tienen la frecuencia de 220 Hz,de modo que suenan al unísono.

A excepción del último sonido, en todos los casos oímos una especie de sonido tremolado, es decir, unos batidos o pulsaciones que se repiten de manera periódica y que coinciden con la oscilación de la amplitud de la señal verde que vemos en el osciloscopio. Si prestamos atención al vídeo comprobamos que el número de batidos por segundo que oímos (es decir, la frecuencia de los batidos) coincide con la diferencia que hay entre la frecuencia de los dos componentes que han intervenido en la mezcla. En efecto, en el primer caso oímos 8 batidos por segundo; en el segundo 4; en el tercero 2; en el cuarto 1; en el quinto 1 batido cada dos segundos (es decir, 0,5 cada segundo); y en el último los batidos desaparecen y los dos componentes se quedan fundidos plenamente en un solo sonido estable y continuo. Ahora bien, si detenemos el vídeo en cualquier momento, con independencia de que haya o no batidos, observaremos que en todos los casos la vibración sigue teniendo una forma sinusoidal. Esto explica que en todos esos sonidos, incluso cuando están formados por dos componentes de diferente frecuencia, oímos un solo sonido simple, con una altura tonal bien deﬁnida. En resumen, cuando se producen los batidos de primer orden la amplitud del sonido oscila periódicamente, pero su frecuencia permanece estable durante toda su duración. Si tenemos un oído muy ﬁno podremos apreciar que la altura tonal desciende ligerísimamente de un sonido a otro, conforme se van aproximando más las frecuencias de los dos sonidos componentes. La frecuencia del sonido resultante depende de la frecuencia y la amplitud de los componentes que lo forman. Si la amplitud de ambos componentes hubiera sido la misma, la frecuencia resultante de la mezcla hubiera sido la media aritmética de las frecuencias de los dos componentes; pero como en todos los casos de este vídeo el componente más grave tiene mayor amplitud, la frecuencia resultante se aproxima más a la de este componente. Por ello la frecuencia de los seis sonidos que oímos desciende ligeramente de un caso a otro: desde 222 Hz en el primero, hasta 220 Hz en el último cuando desaparecen los batidos y ambos componentes suenan al unísono.

6.4.2.

Causas de los batidos de primer orden

Para ver en detalle a qué se debe este fenómeno, vamos a centrar nuestra atención en las señales del primer caso del vídeo, cuando las frecuencias de los dos componentes están a una distancia de 8 Hz. Veamos una gráﬁca que corresponde a 2 décimas de segundo de este primer sonido, en concreto, las que están entre los segundos 1 y 1,2. En esta gráﬁca las señales están más comprimidas que en la ventana del osciloscopio, donde se representan sólo 50 milésimas de segundo, con lo que ahora podremos apreciar la forma de los batidos.

Figura 6.4: Detalle de un batido de primer orden.

La gráﬁca representa algo más de un batido y medio. En ella podemos ver que la ligera diferencia entre las frecuencias de los dos componentes provoca unos desfases que van cambiando durante toda la emisión del sonido. Así, vemos que la señal azul y la señal magenta (que, recordemos, corresponden respectivamente al componente de 220 Hz y al de 228 Hz) pasan alternativamente por momentos en los que están en fase y por momentos en los que están en oposición de fase. En el primer caso la señal resultante tiene la máxima amplitud y en el segundo, la mínima. Por ejemplo, podemos observar que en torno a los segundos 1,07 y 1,20 las señales magenta y azul coinciden en sus fases, con lo que en ese momento, al sumarse la 94

amplitud de ambos componentes, la señal verde adquiere su máxima amplitud (0,2 + 0,1 = 0,3). Por el contrario, en torno a los segundos 1,00 y 1,13 ambas señales se encuentran en oposición de fase, por lo que en ese momento la amplitud resultante es la diferencia entre la amplitud de ambos componentes, teniendo su valor más bajo (0,3 – 0,2 = 0,1). La profundidad del batido es la diferencia entre la amplitud máxima y mínima de la señal resultante, por lo que en este caso es de 0,2 (como en el resto de los sonidos del vídeo en los que hay batidos). La variación en los desfases entre los componentes es la causa de que la amplitud de la señal resultante vaya modiﬁcándose a lo largo del tiempo, oscilando también de una forma sinusoidal. Ese cambio periódico de la amplitud es lo que origina los batidos que escuchamos. El ritmo de los batidos o pulsaciones es la diferencia aritmética entre las frecuencias de los componentes. Para entenderlo mejor podemos imaginarnos la señal de cada componente simple como si fuera el resultado de un movimiento circular uniforme, similar al del panel de la izquierda del vídeo de la ﬁgura 4.2 del capítulo 4. En un segundo el componente de color magenta dará 220 vueltas, mientras que el componente de color azul dará 228 vueltas. Por lo tanto, como si se tratara de una carrera de coches, en un segundo el componente magenta habrá “doblado” 8 veces al componente azul. Y cada vez que lo “doble” sus fases volverán a sincronizarse, de modo que en la vuelta de después de la sincronización, en la que ambos componentes irán casi a la vez, se producirá la máxima amplitud del sonido resultante; por el contrario, como consecuencia de los desfases, cuando ambos componentes estén en oposición, el sonido resultante alcanzará su amplitud mínima. En resumen, cuando se mezclan dos sonidos de frecuencias muy próximas, el resultado es un solo sonido simple, cuya frecuencia se encuentra entre la de los dos componentes y cuya amplitud oscila de forma sinusoidal tantas veces por segundo como la diferencia que hay entre la frecuencia de los dos componentes, dando lugar a los batidos de primer orden. Hay que tener en cuenta que para que se perciban los batidos la diferencia entre las frecuencias de los componentes debe ser inferior a 15 Hz, aproximadamente, pues nuestro sistema perceptivo no tiene capacidad para distinguir con nitidez cambios más rápidos en la variación de los parámetros sonoros. 95

6.4.3.

Batidos y afinación

Cualquier músico que tiene que afinar su instrumento está habituado a “poner el oído”, es decir, a prestar atención y escuchar las pequeñas oscilaciones en el volumen sonoro que se producen cuando las frecuencias de dos sonidos distintos que se emiten simultáneamente están muy próximas, pero no son idénticas. En efecto, como el fenómeno de los batidos se produce de manera natural siempre que se mezclan sonidos de frecuencias muy próximas, su observación ha sido el método habitualmente utilizado para afinar los instrumentos musicales: si se conoce la frecuencia de un sonido que se utiliza de referencia, este método permite la determinación precisa de la frecuencia de otro. El vídeo de la figura 6.3 nos sirve para entender cómo se utilizan los batidos para la afinación. Por ejemplo, para afinar la cuerda de una guitarra, tomando como referencia la nota ya afinada de una cuerda inferior, empezaremos tensándola de manera aproximada para acercarla al sonido de referencia y, una vez en ese rango, iremos ajustando su tensión hasta que los batidos desaparezcan por completo. En el vídeo vemos que, conforme las frecuencias de los componentes están más próximas, el ritmo de los batidos va disminuyendo, hasta desaparecer cuando los sonidos están completamente afinados. Incluso cuando no se busca una coincidencia exacta, el número de batidos que se produce cada cierto tiempo proporciona al músico una medida precisa de la diferencia entre las frecuencias de los dos sonidos. El número de batidos que se produce por segundo (es decir, la frecuencia de los batidos) es un medio para determinar con precisión el grado de desafinación. Este procedimiento no sólo es válido para afinar notas unísonas, sino también para determinar la afinación de las principales consonancias musicales y, a partir de ahí, la escala entera. Aunque en este capítulo estamos estudiando el modelo de dos sonidos simples cuyas frecuencias se superponen en un momento dado, tenemos que tener presente que la mayoría de los sonidos que emiten los instrumentos musicales no son simples, sino que están formados por muchos componentes armónicos, como se estudia en el capítulo 7. Por ello, en la afinación natural la frecuencia de algún importante componente armónico de una nota coincidirá exactamente con la frecuencia de otro armónico de la otra nota. En la afinación temperada, donde ya 96

no se produce esa coincidencia exacta, el número de batidos permite bajar con precisión las quintas, exactamente en la pequeña cantidad requerida. Éste es el método habitualmente utilizado por los aﬁnadores de pianos.

6.5.

Mezclas de dos sonidos simples en función de la distancia entre sus frecuencias y de la anchura de su banda crítica

Debido a las características de nuestro sistema auditivo, cuando se mezclan dos sonidos simples de diferente frecuencia es necesario que entre ellos exista suﬁciente distancia frecuencial para que podamos percibirlos individualmente. Esta separación mínima, a la que llamamos “anchura de la banda crítica”, no es igual en todas las regiones frecuenciales, pues la capacidad de resolución de nuestra percepción auditiva depende de la zona frecuencial en la que están situados los sonidos que se mezclan. En efecto, según la separación entre las frecuencias de dos sonidos simples emitidos simultáneamente, se pueden producir cuatro situaciones diferentes: a) Cuando la diferencia es menor de unos 15 Hz oímos un solo sonido tremolado, los batidos de primer orden que acabamos de ver. b) A partir de 15 Hz, aproximadamente, de distancia entre ellos, dejamos de oír un solo sonido tremolado y empezamos a escuchar una especie de zumbido áspero, sin que todavía seamos capaces de distinguir dos alturas tonales diferenciadas. c) Cuando la separación está cerca de la anchura de la banda crítica correspondiente a la zona frecuencial en la que se hallan los dos componentes que se mezclan, comenzamos a distinguir ya dos sonidos, pero la cualidad sonora de la mezcla sigue siendo áspera y rugosa. d) Conforme aumenta la distancia entre las frecuencias de los dos componentes, la cualidad sonora se va haciendo cada vez menos rugosa, hasta que, una vez 97

superada holgadamente la anchura de su banda crítica, llega un momento en el que percibimos con nitidez los dos sonidos. Para experimentar esto, he fabricado, a partir de fotogramas construidos mediante Matlab, un vídeo con cuatro sonidos en los que se mezclan dos componentes simples de la misma amplitud. Las frecuencias de los dos componentes se van distanciando progresivamente: en todos los casos la frecuencia del componente grave es 220 Hz, un la3 temperado; en el primer sonido, la frecuencia del componente agudo es 233,1 Hz, que corresponde al sib3 de la escala temperada habitual, de modo que la distancia frecuencial respecto al componente grave es de 13,1 Hz; en el segundo sonido, la frecuencia del componente agudo es 246,9 Hz, el si3 de la escala temperada, con lo que la distancia respecto al grave es de 26,9 Hz; en el tercer sonido, la frecuencia del componente agudo es 261,6 Hz, el do4 de la escala temperada, con lo que la distancia respecto al grave es de 41,6 Hz; y en el cuarto sonido la frecuencia del componente agudo es 311,1 Hz, el mib4 de la escala temperada, de modo que la diferencia con el componente grave es de 91,1 Hz.

Figura 6.5: Vídeo que muestra la importancia de la banda crítica en la percepción individual de dos sonidos próximos.

En el primer sonido, donde los componentes están separados 13,1 Hz, oímos una nota simple tremolada, con unos batidos muy rápidos y muy profundos, similares a los que hemos oído en los primeros casos del vídeo de la ﬁgura 6.3. En efecto, como la distancia frecuencial es menor de 15 Hz, estamos ante un caso de una mezcla en la 98

que se percibe un solo sonido, pero en la que se producen batidos de primer orden, como hemos visto en el apartado anterior. Lo he incluido aquí para que podamos comparar su sonido con el de los siguientes casos. La altura tonal que percibimos corresponde a una nota situada entre el la3 y el sib3 , pues, al ser igual la amplitud de ambos componentes, la frecuencia del sonido resultante es la media aritmética entre ellos, es decir, 226,6 Hz. En el segundo sonido, cuando la distancia entre las frecuencias de los dos componentes es de 26,9 Hz, no oímos ya ninguna nota musical, ni una sola nota tremolada, ni tampoco las dos notas por separado, sino un sonido áspero y rugoso, como un zumbido. Ello se debe a que, cuando la diferencia aritmética entre las frecuencias de los dos componentes supera los 15 Hz aproximadamente, la frecuencia de los batidos es tan rápida que nuestro sistema auditivo es incapaz de seguirlos. Por eso ya no podemos distinguir un solo sonido simple tremolado, sino que oímos un sonido sucio y rugoso, un zumbido borroso en el que no oímos en absoluto los componentes individuales de la mezcla. En el tercer sonido, en el que la distancia entre las frecuencias es de 41,6 Hz, podemos apreciar ya las dos notas por separado, el la3 y el do4 , aunque la cualidad de la mezcla que oímos sea sucia y borrosa. En el cuarto sonido, sin embargo, cuando la distancia entre las frecuencias es de 91,1 Hz, distinguimos con nitidez dos notas individuales, el la3 y el mib4 , y el carácter rugoso de la mezcla anterior ha desaparecido, siendo sustituido por una sonoridad mucho más clara y eufónica. Estos fenómenos son de orden psicoacústico, es decir, se deben a las peculiaridades de nuestro sistema auditivo, en concreto, a la ﬁsiología de nuestro oído interno. Como consecuencia de ello, para poder distinguir dos sonidos simples simultáneos es necesario que la separación entre ellos supere una distancia mínima. La anchura de la banda crítica varía en función de la zona frecuencial de los sonidos que se superponen, incrementándose conforme los sonidos son más agudos. En los casos del vídeo la anchura de la banda crítica está en torno a los 40 Hz. Ello explica que no hayamos sido capaces de distinguir en el vídeo los componentes simples cuando la distancia entre sus frecuencias era inferior a esta cantidad y, sin embargo, en el

último caso, cuando la separación excede en mucho a la anchura de la banda crítica de esta región frecuencial los oímos con claridad. Es oportuno aclarar que, si en lugar de sonidos simples, se hubieran superpuesto notas normales —es decir, compuestas por varios armónicos—, hubiéramos podido distinguirlas con facilidad, pues la distancia entre sus armónicos superiores hubiera excedido la anchura de su banda crítica correspondiente.

6.6.

Mezcla de dos sonidos simples cuyas frecuencias están en relación de conmensurabilidad próxima: Consonancias

Cuando las distancias entre las frecuencias de dos sonidos simples que se superponen sobrepasan holgadamente la anchura de la banda crítica, de modo que ya no percibimos zumbidos o rugosidades, hay ocasiones en las que se produce una mezcla tan bien amalgamada que los dos sonidos casi parecen fundirse en uno. Esta mezcla recibe el nombre de consonancia. Antes de continuar, conviene hacer una aclaración. El concepto de consonancia que vamos a estudiar en estos capítulos no hace referencia al carácter más o menos eufónico que resulta de la mezcla de los sonidos, sino al especial acoplamiento físico entre las vibraciones sonoras que se produce cuando sus frecuencias son cercanamente conmensurables. Por ejemplo, el acorde de séptima disminuida puede perfectamente ser considerado hoy en día eufónico, pero nunca será una combinación consonante. Si bien las consonancias entre los sonidos reales de la música, cada uno de ellos formado habitualmente por muchos componentes armónicos, se estudiarán más adelante (en el capítulo dedicado al modo en el que reconocemos el sonido musical), primero es conveniente entender en qué consiste la consonancia entre sonidos simples. Así pues, a continuación vamos comprobar, mediante nuestra experiencia auditiva directa, que cuando se superponen dos sonidos simples cuyas frecuencias mantienen entre sí una relación de conmensurabilidad próxima se produce una consonancia.

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6.6.1.

Conmensurabilidad próxima

Empecemos puntualizando qué es la conmensurabilidad próxima. Dos cantidades son conmensurables cuando tienen una medida común, es decir, cuando la relación entre ellas puede ser expresada mediante un número racional o, lo que es lo mismo, mediante el cociente de dos números enteros. Por ejemplo, 11/7 ó 23/12. Ahora bien, en física, astronomía, otras ciencias en general y en la música en particular, hay circunstancias en las que es relevante que esa razón sea sencilla. Podemos considerar que una razón es sencilla cuando, expresada como fracción irreducible, sus términos están comprendidos entre los primeros números enteros positivos. Diremos en ese caso que su conmensurabilidad es próxima. Así pues, dos números están en razón de conmensurabilidad próxima cuando los términos de la fracción irreductible que los relaciona son alguno de los primeros números enteros positivos. Conforme menores sean los términos de la fracción irreducible, más sencilla será la razón y más próxima la conmensurabilidad. En este sentido, 2/1 es una razón más sencilla que 3/2, y ésta más sencilla que 4/3. En lo que concierne a la música, esta sencillez tiene que ver con los límites de nuestro sistema auditivo. La proximidad de los términos de la razón entre las frecuencias de dos sonidos simples va a permitir que nuestro oído perciba su superposición como una buena mezcla y los reconozca como consonantes: cuando las dos frecuencias que se superponen son cercanamente conmensurables, las vibraciones de los sonidos coinciden de modo periódico cada pocos ciclos, lo que hace que el patrón de repetición de las coincidencias sea lo suficientemente sencillo como para que nuestro sistema perceptivo sea capaz de seguirlo. De ese modo podemos oír la mezcla como un sonido perfectamente amalgamado. Cuando las frecuencias de los dos sonidos componentes están en una relación doble, 2/1, sucede que mientras una vibración completa un ciclo entero, la otra completa exactamente dos; cuando están en una relación sesquiáltera, 3/2, ocurre que mientras una vibración realiza dos ciclos, la otra hace exactamente tres. Por eso conforme más próxima es la conmensurabilidad, más unitaria resulta la mezcla de las vibraciones de los dos sonidos simples, hasta el punto de que en la octava, 2/1, la más perfecta de las consonancias, prácticamente oímos un solo sonido.

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Así pues, la consonancia, más que un hecho físico externo, viene dada por la capacidad de nuestro oído para reconocer un sonido unitario cuando se combinan dos vibraciones cuya periodicidad coincide cada pocos ciclos. Por eso, conforme la conmensurabilidad se aleja, percibimos un sonido cada vez más complejo: cada vez oímos menos el resultado de la mezcla y los componentes individuales van adquiriendo más presencia. La cuestión sería precisar hasta dónde podemos considerar que una razón expresa una conmensurabilidad próxima. La teoría musical creada por los antiguos, que realizaba los cálculos atendiendo a la longitud de la cuerda y no al valor de la frecuencia, consideraba que sólo los intervalos formados por razones cuyos términos estaban comprendidos entre los cuatro primeros números enteros eran consonantes. De acuerdo a este criterio, dentro del rango de la octava, serían consonantes las mezclas de sonidos que están en razón doble (2/1), es decir, que están a distancia interválica de una octava; en razón sesquiáltera (3/2), los que están a distancia de un intervalo de quinta; o en razón sesquitercia (4/3), en un intervalo de cuarta. No en vano estos intervalos son los que han estructurado las escalas musicales de Occidente. Desde el punto de vista de nuestra percepción musical, la relación 5/4 podría incluirse también entre las razones simples, pero lo cierto es que el intervalo de tercera mayor (al que, en principio, correspondería en nuestras escalas) queda ya bastante alejado de esta razón: el intervalo de 5/4 está 14 cents por debajo de la tercera mayor temperada y 22 cents por debajo del dítono que surge en la aﬁnación por quintas justas de 3/2.

6.6.2.

Consonancias entre sonidos simples

Una vez entendido qué es la conmensurabilidad próxima en acústica y por qué da lugar a las mezclas consonantes, vamos ahora a experimentar cómo son las señales de audio de las mezclas de dos sonidos simples cuyas frecuencias, expresadas como fracción irreducible, son uno de los cuatro primeros números enteros positivos. Siguiendo el procedimiento habitual, he fabricado varios vídeos mediante los cuales podremos comprobar que en esos casos nuestro oído reconoce con claridad la buena mezcla, lo que llamamos la consonancia.

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En el vídeo de la figura 6.6 podemos escuchar las consonancias que se pueden establecer entre los cuatro primeros números enteros positivos: la consonancia de octava, la de doble octava, la de octava y quinta, la de quinta y la de cuarta. En todos los ejemplos del vídeo la frecuencia del componente grave es 220 Hz (la3 ). En el primer caso la frecuencia del componente agudo es 440 Hz (la4 ), por lo que ambos sonidos mantienen la razón 2/1, que es la que define el intervalo de octava. En el segundo, el componente agudo tiene una frecuencia de 660 Hz (mi5 natural), por lo que los dos componentes están entre sí en razón 3/1, la que define el intervalo de octava y quinta natural. En el tercero, el sonido agudo es de 880 Hz (la5 ) y la razón respecto al componente grave es 4/1, por lo que entre ambos forman un intervalo de doble octava. En el cuarto, el componente agudo es de 330 Hz (mi4 natural) y forma respecto al grave una razón de 3/2, que corresponde al intervalo de quinta natural. En el quinto caso, la frecuencia del sonido agudo es 293,3 Hz (re4 natural) y su razón respecto al grave es 4/3, con el que forman un intervalo de cuarta natural. Para que se distingan mejor los dos componentes, la amplitud de cada uno de ellos es diferente: la del componente grave es 0,2 y la del agudo 0,1.

Figura 6.6: Vídeo con las consonancias deﬁnidas por los cuatro primeros números enteros.

Si ponemos un poco de atención, en todos estos ejemplos, además del sonido resultante de la mezcla, también podemos oír cada uno de los dos componentes por separado. Solamente en el primer caso, cuando las frecuencias están en razón 2/1, 103

predomina la tendencia a percibir un solo sonido, en lugar de dos sonidos simultáneos distintos que se mezclan bien. Pero incluso ahí, si orientamos un poco nuestra escucha para hacerla más analítica, podemos apreciar las dos notas individuales. Para entender por qué percibimos en todos los casos la superposición de los dos sonidos componentes como una mezcla consonante, vamos a ﬁjarnos en la forma de la vibración de cada uno de los ejemplos que vemos en el osciloscopio del vídeo. Para poder comparar unas formas con otras, la ﬁgura 6.7 representa un fragmento de la señal de audio de cada uno de los ejemplos del vídeo.

Figura 6.7: Formas de la vibración de las consonancias entre los cuatro primeros números enteros.

En los tres primeros casos podemos observar que cada vez que el componente grave, el de color magenta (el sonido de 220 Hz, que es común a todos ellos) realiza un ciclo completo, el componente agudo, el de color azul, completa exactamente un número entero de ciclos: dos ciclos en el caso de la octava (de ahí la razón 2/1); tres en el caso de la octava y quinta natural (de ahí la razón 3/1); y cuatro en el caso de la doble octava (de ahí la razón 4/1). Ello hace que en todos estos casos el sonido resultante de la mezcla tenga el mismo periodo que el del componente más grave, como podemos comprobar en las gráﬁcas.

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En la cuarta gráfica, en el caso de la quinta natural, vemos que cada dos ciclos del componente grave, el componente agudo completa exactamente tres (de ahí la razón 3/2). Por ello, el periodo del sonido resultante es el doble que el del componente más grave o, lo que es lo mismo, el triple del periodo del componente más agudo. En la última gráfica, en el caso de la cuarta natural, observamos que cada tres ciclos del componente grave, el componente agudo completa exactamente cuatro (de ahí la razón 4/3). De esta forma, el periodo del sonido resultante es el triple del periodo del componente más grave y el cuádruple del más agudo. Así pues, en este vídeo y en las gráficas correspondientes, hemos podemos observar que la conmensurabilidad es la causa de la aparición de una periodicidad en la mezcla resultante. Podría parecer que esta periodicidad debería haber dado lugar a la percepción de la altura tonal correspondiente a la mezcla. Si esto hubiera sido así, en el cuarto caso, por ejemplo, deberíamos haber oído la nota la2 , que correspondería al periodo de la mezcla resultante, en lugar de las notas individuales la3 y mi4 bien amalgamadas y formando la consonancia de quinta. Sin embargo, esto no ocurre así, salvo que el equipo de música en el que estemos oyendo los ejemplos distorsione y provoque la aparición de componentes espurios, como veremos un poco más adelante. La explicación de ello reside en que nuestra percepción es frecuencial, de modo que, como estudiaremos en el capítulo correspondiente, oímos dos notas y no una sola nota más grave correspondiente a la señal resultante.

6.6.3.

De la consonancia a la disonancia

Pero, debido a los márgenes de nuestra percepción, las fronteras entre lo que nos suena consonante y lo que nos parece disonante son algo difusas. Para observar donde acaba la consonancia y donde empieza la disonancia, he fabricado un vídeo con varios casos en los que se mezclan dos sonidos simples cuya distancia interválica está en torno a la quinta: la quinta natural o quinta justa (la que propiamente está en razón 3/2), la quinta temperada, la quinta disminuida y una quinta desaﬁnada. He elegido el ámbito interválico de la quinta por dos razones: primero porque la quinta justa es la consonancia en la que se pueden distinguir con más faci105

lidad los dos componentes; y, segundo, porque en nuestro sistema musical también se encuentran la quinta temperada y la quinta disminuida, por lo que estamos familiarizados con ellas y podemos compararlas. He añadido la quinta desaﬁnada para permitir apreciar la diferencia. En todos los ejemplos la frecuencia de la nota grave es 220 Hz (la3 ). En el primer caso la frecuencia de la nota aguda es 330 Hz (mi4 natural), por lo que están exactamente en razón 3/2 y forman el intervalo de quinta natural o justa. En el segundo caso la frecuencia de la nota aguda es de 329,6 (mi4 temperado) por lo que forman un intervalo de quinta temperada (700 cent) con la nota grave (la quinta temperada está solamente 2 cent por debajo de la quinta justa). En el tercer caso la frecuencia de la nota aguda es 325,8 Hz (mi4 desaﬁnado) y forman un intervalo de quinta que está 20 cent por debajo del que formaría con el mi4 temperado. Y en el cuarto caso la frecuencia de la nota aguda es 311,1 Hz (mib4 ) y forma un intervalo de quinta disminuida (600 cent) con la nota grave. Para permitir que se distingan la amplitud del componente grave es 0,2 y la del agudo 0,1.

Figura 6.8: Vídeo que ilustra el paso de la consonancia a la disonancia.

En todos los casos oímos los dos sonidos de forma independiente, pues la distancia entre ellos excede con mucho la anchura de la banda crítica de esa zona frecuencial, que está en torno a los 55 Hz, lo cual, como hemos visto en los apartados anteriores,

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es una condición necesaria para que podamos reconocer con claridad ambos sonidos. Analicemos con un poco de detenimiento lo que ocurre en cada caso. a) En el primer caso, cuando las frecuencias de los componentes están exactamente en razón 3/2 y forman la consonancia de quinta natural, oímos una mezcla muy bien amalgamada y observamos en el osciloscopio que la forma de la vibración resultante permanece totalmente estable. En efecto, el máximo común divisor de las frecuencias de los dos componentes (220 y 330) es 110. Esto quiere decir que la forma de la vibración de la mezcla resultante se repite 110 veces por segundo y que, por lo tanto, su periodo es 1/110 s, o sea, redondeando, 9 milésimas de segundo. Así pues, cada 9 ms aproximadamente ambos componentes se sincronizan: el sonido grave completa 2 ciclos mientras que el sonido agudo completa 3, como podemos comprobar en el osciloscopio si detenemos el vídeo. Este periodo de 9 ms está dentro del rango temporal en el que nuestro sistema auditivo es capaz de detectar periodicidades en la forma de la vibración. Por eso, aunque seguimos oyendo los dos componentes por separado, percibimos que se combinan muy bien, por lo que obtenemos una clara sensación de buena mezcla, una mezcla sin perturbaciones que no varía a lo largo del tiempo. b) En el segundo caso, en el que se mezclan dos sonidos que están en intervalo de quinta temperada, la razón entre sus frecuencias, redondeadas a décimas de hercio, es 3296/2200. Esta razón expresada como fracción irreducible es 412/275, la cual no es para nada una razón sencilla, por lo que las frecuencias de los componentes están muy lejos de mantener una relación de conmensurabilidad próxima. Sin embargo, la diferencia entre la frecuencia del componente agudo (329,6 Hz) y la del componente agudo del caso de la consonancia de quinta natural (330 Hz) es solamente de cuatro décimas de hercio. En efecto, bastaría con subir 0,4 Hz la frecuencia de la nota aguda para obtener la razón simple 3/2. Por ello también ahora oímos un intervalo de quinta cuyas notas se mezclan bien, lo que coincide con la cuasi-periodicidad que observamos en la señal verde del vídeo. Ahora bien, la mezcla que oímos ya no es totalmente estable como en el caso anterior, sino que, si prestamos atención, podremos oír que va acompañada de una lenta y periódica evolución de la cualidad sonora, lo cual también se reﬂeja en la cíclica evolución de la forma de la señal resultante que 107

observamos en el osciloscopio, una forma que parece estirarse y encogerse como si se tratara de una goma elástica. En el siguiente apartado, en el que se estudian los batidos de segundo orden, se explica a qué se debe este fenómeno. c) En el tercer caso, en la superposición de dos sonidos que forman un intervalo de quinta desafinada (20 cent menos que la quinta temperada), vemos que la razón entre sus frecuencias es 3258:2200, que expresada como fracción irreducible es 1629:1100, la cual está muy alejada de ser una razón simple y, por lo tanto, de mantener una conmensurabilidad próxima. El sonido agudo, el de 325,8 Hz, es 4,2 Hz más grave que el sonido agudo de la mezcla consonante justa, que tiene 330 Hz. Es decir, le faltan 4,2 Hz para mantener, respecto al sonido grave, la razón simple más cercana, en este caso la razón 3:2. Y esta diferencia es ya significativa. Por ello ahora percibimos que esta mezcla nos produce una sensación de inestabilidad. El ritmo de las modificaciones de la cualidad sonora es ya tan rápido que dificulta la buena amalgama de los dos componentes y percibimos ahora claramente los batidos de segundo orden. Podemos apreciar también esa inestabilidad en el osciloscopio del vídeo, donde la señal resultante modifica constantemente su forma. d) En el cuarto caso, en el que se superponen dos sonidos que están en un intervalo de quinta disminuida, oímos una disonancia. Percibimos con claridad cada uno de los sonidos componentes, pero ahora ya no tenemos la sensación de que se amalgamen el uno con el otro. Así mismo vemos en el osciloscopio que la forma de la vibración cambia constantemente. Si atendemos a sus frecuencias (220 Hz y 311,1 Hz), vemos que la razón entre ellas es 3111:2200, que es ya una fracción irreducible, por lo que su conmensurabilidad es muy alejada: el sonido grave tendría que completar 2200 ciclos y el agudo 3111 para que sus fases volvieran a sincronizarse y se repitiera de nuevo la forma de la vibración. El periodo de la señal resultante sería, por lo tanto, de 10 segundos, lo que, a efectos de nuestra percepción, es equivalente a decir que no hay ningún periodo. Con la finalidad de expresar este intervalo como una razón más simple, podríamos bajar la afinación del sonido agudo 1,1 Hz y atribuirle una frecuencia de 310 Hz. En ese caso la razón simple entre las frecuencias expresada como fracción irreducible sería 31:22, por lo que cada 22 ciclos del sonido grave, el sonido agudo completaría 31. Pero, incluso en este caso, la conmensurabilidad seguiría 108

siendo muy alejada —el periodo de la señal resultante sería ahora un segundo— por lo que percibiríamos esa mezcla también como una disonancia. En resumen, en el intervalo de quinta natural oímos una mezcla perfecta y totalmente estable; en el de quinta temperada el ritmo con el que se producen las alteraciones de la cualidad sonora es tan lento que no apreciamos ninguna inestabilidad, por lo que la sensación de mezcla es casi perfecta, e incluso notamos que esa pequeña inexactitud dulciﬁca y da calor al sonido resultante; en el intervalo de quinta desaﬁnada la mezcla está perturbada por un cierta inestabilidad provocada por unas rápidas y periódicas alteraciones de la cualidad sonora; y en el intervalo de quinta disminuida no tenemos para nada la sensación de que los componentes se hayan mezclado entre sí. Mediante este vídeo hemos podido experimentar que, si bien solo percibimos exactamente como una buena mezcla la superposición de dos sonidos simples cuyas frecuencias están en conmensurabilidad próxima, nuestra percepción auditiva permite ciertos márgenes de tolerancia dentro de los cuales se encuentran los ajustes propios de las escalas temperadas. Hemos comprobado que, más allá de esos márgenes, cuando no se produce una razón matemática simple entre las frecuencias de los componentes, los periodos de ambas vibraciones solo se sincronizan tras un periodo de tiempo demasiado largo como para que nuestro oído sea capaz de reconocerlo, por lo que no oímos una buena mezcla, sino dos sonidos independientes que van cada uno por su lado y su combinación nos resulta disonante. Así pues, hemos podido experimentar que la consonancia entre sonidos simples se debe al reconocimiento de una periodicidad en la vibración resultante. Esta periodicidad no da lugar a la desaparición de los sonidos individuales en la mezcla resultante, pues nuestra audición es principalmente frecuencial, pero en el caso de los sonidos simples es la única razón que explica que percibamos la especial buena mezcla a la que llamamos consonancia.

6.6.4.

Grados de consonancia según la conmensurabilidad

Nuestra percepción auditiva no es igual para todas las consonancias, sino que el grado de perfección de la consonancia disminuye conforme la conmensurabilidad entre 109

las frecuencias de los dos sonidos simples que se mezclan se hace más lejana. Para experimentar este fenómeno he confeccionado un vídeo con cinco ejemplos en los que se mezclan dos componentes simples, dentro del rango de una octava. En todos los casos sus frecuencias están en una razón simple próxima y, por lo tanto, forman una consonancia, pero su conmensurabilidad se va alejando, desde el unísono (1/1) hasta la consonancia de tercera mayor natural (5/4). En todos los ejemplos la frecuencia del componente grave es 440 Hz, un la4 en la aﬁnación habitual. La frecuencia del componente agudo va cambiando: en el primer caso es también 440 Hz, por lo que ambas notas forman un unísono (1/1); en el segundo, es 880 Hz, un la5 , por lo que forman una octava (2/1); en el tercero es 660 Hz, un mi5 , formando un intervalo de quinta natural (3/2); en el cuarto caso, redondeando a décimas de hercio, es 586,7 Hz, un re5 , por lo que forman un intervalo de cuarta natural (4:3); y en el quinto caso la frecuencia aguda es 550 Hz, un do#5 , formando una tercera mayor natural (5:4). En este vídeo he elegido como nota grave la4 , una nota que está en una octava más aguda que la de los vídeos anteriores, para evitar que en la consonancia de tercera mayor las frecuencias de los dos sonidos se aproximaran a la anchura de la banda crítica y se generara alguna rugosidad en la mezcla resultante. Como referencia para nuestro oído, a ﬁn de facilitar la escucha individualizada de los componentes del intervalo de octava, he incluido también el unísono.

Figura 6.9: Vídeo con las consonancias de unísono, octava, quinta, cuarta y tercera mayor.

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En el osciloscopio del vídeo podemos apreciar que la forma de la vibración permanece totalmente estable en todos los casos y que en cada uno de ellos oímos con claridad una mezcla consonante. En efecto, al mantener las frecuencias de los dos sonidos una relación de conmensurabilidad próxima, el periodo de la señal resultante está dentro de los márgenes en los que nuestro sistema auditivo es capaz de detectar la sincronización de ambas vibraciones, de modo que percibimos una buena mezcla. Pero si escuchamos con un poco de atención nos damos cuenta de que no todas las mezclas son igualmente armoniosas, sino que, a medida que avanza el vídeo y la conmensurabilidad entre las frecuencias se va alejando, se produce una pérdida progresiva de la sensación de “buena mezcla”. Conforme la conmensurabilidad de las frecuencias es más alejada, el periodo de su sincronización es mayor y la forma de la vibración resultante adquiere mayor complejidad, por lo que cada vez se hace más difícil percibir las coincidencias periódicas entre los dos sonidos. Ello da lugar a la progresiva disminución de la sensación de buena mezcla: desde la octava, en la que la amalgama de los dos componentes es tan fuerte que se hace difícil su escucha individualizada, hasta la tercera mayor natural, donde la sensación de buena mezcla es ya bastante débil.

6.6.5.

La fase inicial en la mezcla consonante

Veamos ahora cómo afecta la fase inicial a las consonancias. En el caso de la mezcla unísona hemos visto que la diferencia de fase entre los componentes modiﬁca notablemente la amplitud del sonido resultante y, en consecuencia, el volumen sonoro que percibimos. Pero, a diferencia del unísono, los desfases entre dos componentes consonantes, si bien modifican la forma de la vibración resultante, no alteran el volumen sonoro que oímos, ni ninguna otra cualidad sonora, al menos de un modo claramente perceptible. Para observar que la forma de la vibración viene determinada por la fase inicial de los sonidos componentes y experimentar que nuestro oído no aprecia diferencias signiﬁcativas, he confeccionado un vídeo con seis ejemplos en los que se mezclan dos sonidos simples, todos ellos en consonancia de octava, pero con diferentes desfases entre sus componentes.

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En todos los casos las frecuencias de los sonidos son las mismas: 220 Hz (la3 ) y 440 Hz (la4 ). La fase inicial del componente grave es siempre 0º, pero el sonido agudo se va adelantando sucesivamente 60º respecto al caso anterior: en el primero es también de 0º; en el segundo es 60º; en el tercero, 120º; en el cuarto, 180º; en el quinto, 240º; y en el sexto, 300º. La amplitud del componente agudo es 0,3 y la del grave 0,1.

Figura 6.10: Vídeo de dos sonidos en consonancia de octava con diferentes desfases.

Podemos ver en el osciloscopio que la forma de la vibración es diferente en cada caso. Pero, ¿hasta qué punto las diferencias en la forma de la vibración que aparecen en el osciloscopio pueden ser percibidas por nuestro oído? Comprobamos que no es sencillo reconocer diferencias. Si prestamos mucha atención y oímos repetidas veces los diferentes ejemplos, puede que apreciemos alguna sutil diferencia entre ellos, pero se trata de algo que es prácticamente irrelevante. Como mucho, podemos reconocer un pequeño cambio de volumen o una ligerísima modiﬁcación en la cualidad sonora. Lo mismo hubiera sucedido si hubiéramos elegido cualquier otra consonancia. La conclusión, así pues, es que las diferencias de fase entre los sonidos componentes de una mezcla consonante no son reconocidas por nuestra percepción auditiva.

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6.7.

Mezcla de dos sonidos simples cuyas frecuencias se alejan un poco de la conmensurabilidad próxima: Batidos de segundo orden

Cuando las frecuencias de dos sonidos simples que se superponen se alejan ligeramente de las que deberían tener para estar en una razón de conmensurabilidad próxima y ser, por lo tanto, consonantes se produce una modiﬁcación periódica de la forma de la vibración resultante, la cual es percibida por nuestro oído como una oscilación regular de la cualidad sonora. Este fenómeno recibe el nombre de “batidos de segundo orden”. Estos fenómenos recuerdan mucho a las interferencias que se producen entre sonidos muy próximos al unísono (es decir, los batidos de primer orden), pero sus causas y sus efectos no son exactamente los mismos. He fabricado un vídeo que nos va a permitir experimentar cómo se producen los batidos de segundo orden cuando se mezclan dos sonidos cuyas frecuencias están muy próximas a la consonancia de octava. En todos los casos la frecuencia del componente más grave es de 220 Hz (la3 ). En el primer caso la frecuencia del componente agudo es de 446 Hz, con lo que la diferencia respecto a la frecuencia que debería tener para estar en razón doble (440 Hz) es de 6 Hz; en el segundo caso la frecuencia del componente agudo es de 444 Hz, es decir, tiene una diferencia respecto a la consonancia de octava de 4 Hz; en el tercer caso la frecuencia aguda es de 442 Hz con lo que su diferencia es de 2 Hz; y en el cuarto caso la frecuencia del sonido agudo es de 440 Hz, con lo que la razón que mantiene con el sonido grave es exactamente la de octava. Para que se distingan bien los dos componentes y para que se aprecie mejor el fenómeno de los batidos de segundo orden, la amplitud de cada componente es diferente: la del primero es 0,3 y la del segundo 0,1.

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Figura 6.11: Vídeo con los batidos de segundo orden de dos sonidos cuyas frecuencias están muy próximas a la octava.

En los tres primeros sonidos podemos observar que la forma de la vibración resultante cambia periódicamente, como si se tratara de una goma elástica, mientras que su amplitud, al margen de los cambios de posición que acompañan la evolución de la forma, permanece prácticamente constante. En el último caso, por el contrario, cuando son perfectamente consonantes, la señal permanece totalmente estable. En todos ellos, el ritmo con el que la forma de la vibración evoluciona coincide con la variación periódica en la cualidad del sonido que oímos. Estas variaciones periódicas dan lugar a los batidos de segundo orden. Los batidos de segundo orden se repiten tantas veces por segundo como la diferencia que hay entre la frecuencia que tiene el sonido agudo y la que debería tener para mantener la razón exacta de octava (440 Hz): en el primer caso, 6 veces por segundo; en el segundo caso, 4 veces por segundo; y en el tercero, 2 veces por segundo. En el último caso, al mantener la frecuencia de los dos sonidos la razón 2:1 exacta, desaparecen los batidos y los dos sonidos se funden perfectamente. Veamos la explicación de este fenómeno. En el vídeo de la ﬁgura 6.10, donde los dos sonidos mantienen exactamente la razón 2/1, hemos visto que los desfases entre los sonidos dan lugar a diferentes formas en la vibración resultante, pero, puesto que esos desfases permanecen constantes durante la emisión de cada sonido, la forma de la vibración resultante se mantiene estable en todos los casos. Pero ahora las frecuencias de los dos sonidos que se mezclan no están exactamente en la razón 2/1, sino que el 114

sonido agudo difiere en algunos hercios del que debería tener para que la mezcla fuera exactamente una octava. Esta ligera diferencia da lugar a que el desfase entre ambas señales vaya aumentando, haciendo que la forma de la vibración resultante no permanezca constante, sino que vaya cambiando a lo largo del tiempo. Estas modificaciones en la forma de la vibración se repiten cíclicamente, pues el progresivo incremento de los desfases hace que cada cierto periodo de tiempo ambos sonidos vuelvan a estar en fase y comience un nuevo ciclo. Los batidos de segundo orden son los cambios cíclicos en la forma de la vibración que nuestro oído percibe como una periódica oscilación en la cualidad sonora. Así pues, la razón por la que se producen tanto los batidos de primer orden como los de segundo orden es la misma: la evolución en el desfase entre los dos componentes cuando se alejan ligeramente de los números que definen las razones exactas del unísono (1/1) o de las consonancias (2/1, 3/2, 4/3). Sin embargo, la naturaleza de los batidos de primer orden (que se producen en lo que podríamos llamar cuasi-unísono) y los de segundo orden (que se dan en lo que podríamos llamar cuasi-consonancia) es distinta. Los primeros provocan una evolución cíclica de la amplitud y son percibidos por nuestro oído como un trémolo en el sonido resultante, mientras que los batidos de segundo orden no afectan a la amplitud de la señal resultante, sino que producen una modificación, también cíclica, de la forma de la vibración y son percibidos por nuestro oído como una variación periódica de la cualidad sonora. En el capítulo dedicado a la fisiología de la audición estudiaremos la causa de que, siendo nuestra audición frecuencial, percibamos estos batidos de segundo orden. En el caso de la cuasi-consonancia de octava, el número de batidos por segundo es la diferencia entre la frecuencia que tiene el sonido más agudo y la que debería tener para mantener la relación exacta 2/1, como hemos podido apreciar en el vídeo de la figura 6.11. En lo que respecta a la cuasi-consonancia de quinta, el número de batidos por segundo es el doble de la diferencia que hay entre la frecuencia del sonido agudo y la que debería tener para mantener la razón exacta de 3/2. En efecto, si volvemos al vídeo 115

de la ﬁgura 6.8, podemos apreciar que la desaﬁnación del intervalo de quinta provoca batidos de segundo orden. Donde se perciben más claramente es en el ejemplo en el que la quinta está bajada 20 cent. Allí el componente agudo tiene una frecuencia de 325,8 Hz, cuando debería tener 330 Hz para mantener la razón exacta de quinta, 3/2, con el componente grave de 220 Hz. La diferencia es de 4,2 Hz y el número de batidos que percibimos por segundo es 8,4, el doble de esa diferencia. En el caso de la quinta temperada la diferencia es de 0,4 Hz y el número de batidos por segundo de 0,8. En el caso de la cuasi-consonancia de cuarta el número de batidos por segundo que percibimos es el triple de la diferencia entre la frecuencia que tiene el componente y la que debería tener para mantener la razón exacta de la cuarta, 4/3.

6.8.

Distorsión y componentes espurios en la mezcla de dos sonidos simples

Por último, para concluir este capítulo quiero explicar, aunque sea brevemente, lo que puede suceder en la mezcla de dos sonidos simples si el equipo de sonido que los reproduce presenta una distorsión significativa. En un sentido amplio, distorsión es cualquier modificación que sufre la señal de audio al pasar por un sistema, como ocurre, por ejemplo, en un equipo de música provisto de ecualizador, donde la intensidad de las diferentes bandas de frecuencia puede ser amplificada a voluntad. De hecho, toda señal que pasa por un sistema que no sea idealmente plano sufre algún tipo de distorsión, pues algunos componentes son amplificados más que otros. Por ejemplo, mediante un ecualizador, podemos reforzar la presencia de los graves o de los más agudos, o bien de los medios, y todo ello ocasionará modificaciones en la forma de la vibración y en la cualidad del sonido que oímos. Sin embargo, en otras ocasiones la alteración de la importancia de las bandas de frecuencia puede ser un problema, como cuando la acústica de una sala de conciertos refuerza en exceso unos determinados componentes en detrimento de otros.

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Pero ahora vamos a referirnos a la distorsión en un sentido más limitado: aquellas deformaciones de la señal de audio que provocan la aparición de nuevos componentes frecuenciales que no estaban en la señal original. Esta distorsión es muy importante, pues no se limita a teñir o matizar los componentes de la señal original, sino que introduce en ella componentes espurios. Cuando la señal de audio consta de un solo componente sinusoidal esta distorsión provoca que surjan en la señal nuevos componentes que son armónicos del componente original, por lo que recibe el nombre de distorsión armónica. Se llama armónica porque los componentes que se introducen son armónicos del sonido simple original, es decir, sus frecuencias son múltiplos de éste. Como veremos en el capítulo dedicado al sonido armónico, esto quiere decir que si el sonido original es un sonido simple de 220 Hz, por ejemplo, el sonido resultante será un sonido que, además de este componente original, tendrá otro u otros componentes cuyas frecuencias sean múltiplos de la de ese componente original. Es decir, será la suma del componente original de 220 Hz, más otro en 440 Hz, y tal vez otro en 660 Hz, y así sucesivamente en función de la importancia de la distorsión. En el caso de que la señal de audio esté compuesta por dos o más sonidos simples, el resultado de la señal distorsionada estará formada no sólo por los armónicos correspondientes a la distorsión de cada uno de los sonidos que intervienen en la mezcla, sino también por nuevos componentes que serán la suma y la diferencia de las frecuencias de los componentes originales. Esta distorsión recibe el nombre de distorsión de intermodulación y altera considerablemente la señal original, de tal modo que, a partir de cierto nivel, dificulta seriamente la audición de la música. Si bien las razones de esta distorsión exceden nuestro objetivo, a continuación voy a mostrar un caso particular de distorsión de intermodulación, la cual ha dado lugar a que en ocasiones se haya interpretado mal el fenómeno de la mezcla de dos sonidos simples. Vamos a ver lo que puede suceder si el equipo reproductor presenta cierta cantidad de distorsión cuando los dos componentes que se mezclan forman un intervalo de quinta natural (3/2). En los vídeos de la figura 6.6 y de la figura 6.8 hemos podido apreciar que ambos se oyen como una consonancia de quinta. Sin embargo ahora vamos a poder experimentar que si el equipo presenta una distorsión relevante pueden ser oídos como si se tratara de un solo sonido cuya frecuencia fuera una octava más grave que la del más grave de los dos componentes. He elegido este 117

caso precisamente para mostrar hasta qué punto es fácil confundir el resultado de un proceso producido por la distorsión con una propiedad derivada de la mezcla entre sonidos. En el vídeo que vamos a ver a continuación se han mezclado dos componentes simples cuyas frecuencias son de 440 Hz (la4 ) y 660 Hz (mi5 natural), ambos de igual amplitud.

Figura 6.12: Vídeo que ilustra el efecto de la distorsión en la mezcla de dos sonidos simples.

En el osciloscopio podemos ver en color verde, en torno al valor de 0,4 la señal resultante que oímos y debajo, en color azul, centrada en el valor -0,4, la señal original tomada como referencia para apreciar el efecto de la distorsión. Si nuestro reproductor de sonido no distorsiona (en caso contrario igual es buena idea probar con unos auriculares), en el primer caso debemos oír dos notas consonantes muy bien mezcladas. Vemos en el osciloscopio que la señal verde, la que estamos oyendo, y la señal azul, la original, son totalmente idénticas. En el segundo caso, en el que artiﬁcialmente he provocado una distorsión de intermodulación, oímos un solo sonido que está a una octava más grave que el la4 , es decir, oímos el la3 , pero con una cualidad sonora más rica que la de un sonido simple. Si nos ﬁjamos en la forma de la vibración (podemos parar el reproductor de vídeo) y comparamos la señal resultante, ahora distorsionada, con la referencia original de color azul podremos apreciar que la señal verde no es capaz de continuar 118

hacia abajo cuando desciende, reproduciendo el movimiento de la señal azul, sino que da lugar a una clara deformación respecto a la señal de referencia, la original. Esta deformación provoca que la señal verde no esté ahora formada únicamente por los dos componentes originales, sino que tenga nuevos componentes. Los componentes más destacados han sido los que resultan de la suma y de la diferencia de los componentes reales: un componente en 1100 Hz y otro en 220 Hz. Luego, los que son el doble de los originales: uno de 880 Hz y el otro de 1320 Hz. Si los reordenamos todos sucesivamente nos encontramos con que tenemos los siguientes componentes: 220, 440, 660, 880, 1100, 1320. Como veremos en el capítulo dedicado al sonido armónico, estos componentes forman una serie armónica, pues todos ellos son los sucesivos múltiplos de 220 Hz. Y ésta es la razón por la que ahora oímos el la3 (220 Hz) como la nota fundamental y no oigamos ya los dos componentes aislados, las notas la4 y mi5 formando una consonancia. En el tercer caso tenemos la misma situación, pero ahora con una distorsión mucho más exagerada. Vemos que incluso los movimientos descendentes han sido transformados en gran medida en ascendentes. El resultado es similar al anterior, sólo que ahora todavía apreciamos una cualidad sonora más plena. Esto explica por qué, de una manera aparentemente paradójica, la distorsión nos puede dar lugar a un resultado engañoso y nos puede hacer pensar que la mezcla de dos componentes simples en relación de quinta ocasiona un nuevo sonido una octava más baja. Este error aparece a veces incluso en algún libro de texto y por ello me ha parecido oportuno explicarlo aquí. Cuando lleguemos al capítulo dedicado al análisis espectral podremos entender mejor las causas de que la distorsión pueda alterar las propiedades de la mezcla de los sonidos, ya que podremos observar con más detalle los componentes espurios que surgen como consecuencia de esta distorsión de intermodulación.

6.9.

Conclusión

En este capítulo hemos podido experimentar que cuando dos sonidos simples suenan simultáneamente se producen diferentes fenómenos acústicos y psicoacústicos, los cuales dependen de la diferencia aritmética entre sus frecuencias, de la anchura de la 119

banda crítica de nuestro oído en esas frecuencias y de la razón numérica que hay entre ellas. Estos fenómenos, que fundamentan una parte importante de nuestro lenguaje musical, pueden ser resumidos de la siguiente manera: - Si los dos sonidos simples tienen la misma frecuencia, el resultado es un solo sonido simple de esa frecuencia, cuya amplitud depende no sólo de la amplitud de sus componentes, sino también del desfase que hay entre ellos. - Si la diferencia aritmética entre la frecuencia de los dos sonidos simples es menor de unos 15 Hz, percibimos un solo sonido simple, cuya amplitud oscila sinusoidalmente dando lugar a un efecto de trémolo (batidos de primer orden) y cuya frecuencia se sitúa entre la de los dos componentes, aproximándose más a la del que tiene mayor amplitud. La frecuencia con la que se repite la oscilación de la amplitud (el número de batidos por segundo) es la diferencia aritmética entre las frecuencias de los dos sonidos componentes. Estos batidos, al permitir determinar con precisión la diferencia entre la frecuencia de los dos componentes, posibilitan aﬁnar con facilidad los instrumentos musicales y establecer con exactitud los intervalos que dan lugar a las escalas. - Cuando la diferencia aritmética entre las frecuencias de los dos sonidos simples supera aproximadamente los 15 Hz, nuestro sistema auditivo no puede seguir el ritmo de los batidos y dejamos de percibir un solo sonido simple tremolado. Si esta diferencia está dentro de la anchura de la banda crítica correspondiente a esa zona frecuencial, oímos un sonido áspero y rugoso, a modo de zumbido, en el que no podemos distinguir individualmente los dos componentes. Cuando esta diferencia se aproxima al límite de la anchura de la banda crítica, aunque la cualidad del sonido siga siendo rugosa, progresivamente pasamos a reconocer los dos componentes individuales. Y cuando la diferencia supera con cierta holgura esa anchura de la banda crítica desaparece la sensación de rugosidad y percibimos ya nítidamente los dos componentes por separado. - Cuando las frecuencias de los dos sonidos simples mantienen una relación de conmensurabilidad próxima (razones entre los primeros números enteros positivos), la mezcla sonora resultante es periódica y la forma de la vibración es lo suﬁcientemente sencilla como para que nuestro sistema auditivo pueda reconocer las coincidencias periódicas entre los dos componentes. A consecuencia de ello, si las frecuencias de 120

estos componentes superan la anchura de la banda crítica, percibimos una sensación de buena mezcla que explica la consonancia musical entre dos sonidos simples. - Cuando las frecuencias de los dos sonidos simples se alejan ligeramente de una razón de conmensurabilidad próxima, percibimos un cambio periódico en la cualidad de la mezcla resultante (batidos de segundo orden). A diferencia de los batidos de primer orden, los batidos de segundo orden no son el resultado de una oscilación de la amplitud, sino que se producen porque nuestro sistema auditivo es capaz de reconocer cambios cíclicos en la forma de la vibración. - La distorsión de intermodulación puede dar lugar a una mala interpretación de los resultados de la mezcla de sonidos.

121

Capítulo 7 El sonido armónico

7.1.

Introducción

La palabra griega harmonía originalmente designaba al conjunto que resulta del buen ensamblaje de sus partes. Por ello, en la Antigüedad las escalas musicales, estructuradas mediante consonancias, eran llamadas armonías y la música era considerada el paradigma de lo armónico. En tanto que el sonido musical es un conjunto formado por partes perfectamente ensambladas, hasta el punto de que es percibido como un solo sonido, también es llamado sonido armónico. Hasta ahora hemos estudiado la vibración de un sonido simple y los fenómenos acústicos que se producen al superponerse dos vibraciones simples, pero la mayor parte de los sonidos que oímos son bastante más complejos, pues en realidad son el resultado de la combinación de muchos sonidos simples. Los sonidos simples cuando forman parte de un sonido compuesto reciben el nombre de parciales. Ahora bien, cualquier combinación de sonidos simples no genera un sonido musical, es decir, el sonido resultante no siempre vibra de una manera lo suﬁcientemente periódica como para que nuestro sistema auditivo sea capaz de reconocer una altura tonal. Para que se produzca un sonido musical es necesario que las relaciones entre las frecuencias de los componentes simples que intervienen en la mezcla sean armónicas, es decir, que sus frecuencias sean múltiplos de una frecuencia fundamental. En ese caso se crea una estructura armónica y los sonidos simples 122

que la constituyen se llaman componentes armónicos, o simplemente armónicos. El sonido simple puede ser considerado como un caso particular de sonido armónico, aquél que consta de un solo componente sinusoidal. El sonido musical o armónico puede ser definido como el sonido formado por la superposición simultánea de varios sonidos simples cuyas frecuencias son múltiplos de una frecuencia fundamental, es decir, de una frecuencia que es el máximo común divisor de todas ellas. La frecuencia de ese sonido fundamental determina la periodicidad del sonido resultante y, por lo tanto, la altura tonal que percibimos. Y ello es así incluso si esa frecuencia fundamental no está presente, siempre que el número de componentes armónicos sea suﬁciente como para que podamos percibir la mezcla como un solo sonido. Por el contrario, cuando las frecuencias de los componentes no son múltiplos de una frecuencia fundamental se generan sonidos inarmónicos. Los elementos mediante los que se producen los sonidos musicales en los instrumentos —por ejemplo, las cuerdas o las columnas de aire de los tubos— habitualmente son capaces de vibrar de diferentes modos a la vez, cada uno de ellos con su propia frecuencia de vibración, generando diferentes sonidos simples. Esos instrumentos emiten sonidos musicales porque, debido a su propia constitución física, las frecuencias de todos esos modos de vibración son conmensurables entre sí, es decir, son todas ellas múltiplos de una frecuencia base, llamada fundamental o primer armónico. El resultado es una vibración armónica, a la que podemos asignar una altura tonal deﬁnida, por lo que reconocemos una nota musical. En este capítulo vamos a limitarnos a estudiar el sonido armónico, dejando al margen las mezclas inarmónicas de componentes parciales. Por razones didácticas vamos a analizar el comportamiento de sonidos totalmente estables, es decir, de sonidos formados por componentes cuyos parámetros de frecuencia y amplitud permanecen sin cambios durante toda su duración. Esto nos va a facilitar la observación aislada de las diferencias en la cualidad sonora derivadas de la presencia o ausencia de unos u otros componentes de la serie armónica, así como de su mayor o menor amplitud, dejando para más adelante el estudio de los rasgos sonoros que dependen de la evolución temporal de los parámetros, es decir, de las envolventes de frecuencia y de amplitud.

123

He confeccionado mediante Matlab varios vídeos que nos van a permitir observar con detenimiento qué es el sonido armónico. En la parte superior de todos ellos podremos examinar la forma de la vibración, es decir, la señal de audio, como en el osciloscopio virtual que hemos visto en los vídeos de los capítulos anteriores, y en la parte inferior podremos ver unas gráficas que representan la frecuencia y la amplitud de cada uno de los componentes que constituyen ese sonido. El color de cada componente en esas gráficas viene determinado por su amplitud, siguiendo una escala que va del negro (el valor cero) al blanco (el valor máximo que podría representarse en el eje de ordenadas), pasando por los distintos colores que adquiere el hierro al calentarse: negro rojizo, rojo oscuro, rojo claro, naranja, amarillo y, finalmente, blanco, con todos sus matices intermedios. Este mapa de color es el que se utilizará en las gráficas de los capítulos siguientes cuando sea necesario representar mediante colores el valor de la amplitud.

7.2.

Sonidos armónicos y sonidos inarmónicos

Empecemos diferenciando la forma de la vibración de los sonidos armónicos de la de los inarmónicos. En el vídeo de la ﬁgura 7.1 se presenta primero un sonido inarmónico y luego un sonido armónico. Ambos están constituidos por cuatro componentes sinusoidales estables, pertenecen a la misma banda frecuencial y tienen las mismas relaciones de amplitud entre ellos. En el primer caso las frecuencias de los componentes son: 220 Hz, 311 Hz, 557 Hz y 929 Hz. Comprobamos que estas cantidades no son conmensurables con ninguna otra que pudiera servir de fundamental (o, lo que es lo mismo, su máximo común denominador es la unidad). En el segundo caso, sin embargo, todas las frecuencias son múltiples de la más grave: 220 Hz, 440 Hz, 660 Hz y 880 Hz. Todas estas cantidades son múltiplos sucesivos de 220, que es su máximo común divisor: 220; 220 x 2 = 440; 220 x 3 = 660; 220 x 4 = 880.

124

Figura 7.1: Vídeo que muestra la diferencia entre los sonidos armónicos y los inarmónicos.

El color de cada componente en ambas gráficas viene determinado por su amplitud, según la escala de color del hierro al calentarse, mientras que la señal resultante de la mezcla está en color verde. Dada la proximidad de las amplitudes, los colores son bastante similares, lo cual dificulta su visualización, pero he optado por mantenerlos así para que coincidan con los valores de la gráfica de abajo y también para que nos vayamos familiarizando con el mapa de color que se usará en los capítulos siguientes, cuando se estudie el análisis frecuencial. En la gráfica de abajo aparecen la frecuencia y la amplitud de cada componente que interviene en la mezcla, representadas respectivamente en el eje de las abscisas y en el de las ordenadas. Además, la leyenda indica la frecuencia de cada uno de los componentes con el color correspondiente a su amplitud: 0,12; 0,10; 0,08; y 0,06. Como vemos en el eje de las ordenadas, ahora el valor máximo de la amplitud (al que le correspondería el color blanco) es 0,15. Puesto que los componentes no cambian en amplitud, esta gráfica no se modifica a lo largo de la duración del sonido. En el primer caso oímos un sonido que no es un ruido, pero del que para nada podremos decir que se trate de una nota musical. Como mucho, algún experimentado afinador de instrumentos o alguien con un oído analítico particularmente bueno podría detectar los componentes individuales, que aproximadamente son: la3 , mib4 , do#5 , sib5 . En efecto, estamos ante un sonido que podríamos calificar como inarmónico: no es ruido, pero tampoco es una nota musical. 125

En el segundo caso, por el contrario, todos oímos claramente una nota musical, en concreto, el la3 a 220 Hz. Aunque un buen oído analítico muy entrenado podría identificar aisladamente cada componente, lo cierto es que los percibimos como un único sonido musical, pues han amalgamado perfectamente bien. Se ha producido la mezcla armónica. Si nos fijamos en las gráficas de arriba, las del osciloscopio, comprobamos que hay una evidente diferencia en la forma de la señal entre el primer sonido y el segundo. En el caso del sonido inarmónico, vemos que la forma de la vibración no es estable, sino que va cambiando constantemente, de modo que es imposible reconocer ninguna periodicidad en ella. En el caso del sonido armónico, por el contrario, la forma de la vibración permanece constante, con lo que podemos apreciar la estabilidad de su dibujo, es decir, su periodicidad. En la gráfica de abajo apreciamos la disposición espacial de los componentes. También ahora las diferencias son claras. Vemos que en el caso del sonido inarmónico los componentes mantienen entre sí distancias totalmente desiguales, sin que podamos encontrar ningún patrón espacial, mientras que en el caso del sonido armónico todos los componentes están igualmente espaciados. Conviene fijarnos en que, en este segundo caso, la distancia entre los componentes armónicos es la misma que la que hay entre 0 y la frecuencia del primer componente, es decir, 220 Hz. Para entender lo que sucede podemos fijarnos en un pequeño fragmento de la señal de la segunda parte del vídeo, cuando se produce la superposición de cuatro componentes parciales armónicos:

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Figura 7.2: Forma de la vibración de un sonido armónico y sus componentes.

Vemos que, mientras el componente más luminoso y de mayor amplitud, representado en amarillo claro (el de 220 Hz), realiza un ciclo completo, el componente amarillo oscuro (el de 440 Hz) realiza exactamente dos ciclos, el naranja (el de 660 Hz), tres ciclos exactos, y el rojo (el de 880 Hz), cuatro ciclos. Todos los componentes se sincronizan con total precisión cada vez que el de 220 Hz empieza un nuevo ciclo. Esta sincronización hace que la señal verde, la resultante de la mezcla de los cuatro componentes, se repita exactamente igual cada cierto tiempo. En efecto, esta señal verde es periódica y su periodo, como podemos observar en la gráﬁca, es aproximadamente de 4,5 milésimas de segundo (1/220). Podemos apreciar que ese periodo es la inversa de la frecuencia del componente más grave, el fundamental. Y puesto que los componentes han amalgamado bien formando un solo sonido, una mezcla armónica, podemos atribuirle una frecuencia. De ahí que en la segunda parte del vídeo oigamos una nota de 220 Hz, el la3 en nuestra aﬁnación estándar. Fijémonos ahora en la forma de la señal cuando se mezclan componentes sinusoidales que no mantienen entre sí una relación armónica, como ocurre en la primera parte del vídeo.

127

Figura 7.3: Forma de la vibración de un sonido inarmónico y sus componentes.

En la ﬁgura 7.3 no apreciamos ninguna regularidad: al no haber ninguna sincronización entre los componentes individuales, sino que que cada uno lleva su propio ritmo de repetición, en la señal verde resultante no existe ninguna forma que se repita. Este sonido carece de periodicidad y, por lo tanto, no podemos asignarle una frecuencia y no oímos una altura tonal concreta.

7.3.

La serie armónica

En música se denomina serie armónica a la sucesión de sonidos simples cuyas frecuencias son múltiplos enteros y sucesivos de una frecuencia base, llamada fundamental o primer armónico. Esta frecuencia fundamental es la que determina la nota musical que percibimos. Los componentes armónicos se designan por el ordinal que le corresponde en la serie armónica: primer armónico o fundamental; segundo armónico, el que tiene una frecuencia que es doble de la fundamental; tercer armónico, el que tiene una frecuencia que es triple de la fundamental, y así sucesivamente. Por ejemplo, si tomamos como frecuencia base un sonido simple de 100 Hz, la frecuencia del primer armónico o fundamental será 100 x 1 = 100 Hz; la del segundo armónico será 100 x 2 = 200 Hz; la del tercero, 100 x 3 = 300 Hz; la del cuarto 100 x 4 = 400 Hz, etc. 128

A continuación vamos a estudiar cómo inﬂuye en la cualidad del sonido resultante el número y el peso de los componentes que constituyen su estructura armónica. Los ejemplos que vamos a observar en los vídeos nos servirán también para comprender que cualquier forma de vibración periódica, por compleja que sea, puede ser generada a partir de componentes armónicos. Para ello he fabricado dos vídeos a partir de fotogramas creados mediante Matlab. En ambos vídeos podemos observar que conforme se añaden armónicos al sonido la forma de la vibración se va haciendo cada vez más compleja, alejándose de la forma sinusoidal, y la cualidad sonora va adquiriendo cada vez más brillantez. El primer vídeo muestra cómo se va formando una señal en dientes de sierra y el segundo una señal rectangular. Igual que en el vídeo anterior, en la parte de arriba podemos ver la forma de la vibración del sonido resultante, a modo de osciloscopio, y en la de abajo la frecuencia y la amplitud de los componentes que lo constituyen. A medida que van apareciendo, se muestra también el número de armónico del que se trata y su frecuencia. En ambos vídeos suena ocho veces la misma nota, un la3 a 220 Hz, lo que nos permite apreciar cómo va cambiando la cualidad sonora conforme se van añadiendo nuevos componentes armónicos. En los dos casos empieza sonando el componente fundamental aislado, un sonido simple de 220 Hz. En el primer vídeo se van incorporando uno detrás de otro todos los componentes de la serie armónica, tanto pares como impares, hasta llegar al octavo armónico. En el segundo vídeo sólo se incorporan los armónicos impares, de modo que, puesto que también se van añadiendo un total de ocho componentes, llegan hasta el decimoquinto armónico. En los dos vídeos la amplitud de cada armónico se decrementa proporcionalmente al ordinal del armónico correspondiente: la amplitud del armónico quinto, por ejemplo, es la quinta parte de la amplitud del fundamental. En todos los casos los componentes simples tienen la misma fase inicial.

7.3.1.

Sonido formado por componentes consecutivos de la serie armónica: Señal en diente de sierra

Empecemos escuchando y observando la forma de la señal cuando al sonido simple fundamental se añaden uno tras otro componentes cuyas frecuencias siguen la serie armónica. 129

Figura 7.4: Vídeo que muestra la generación de una señal en diente de sierra a partir de los componentes consecutivos de la serie armónica.

Podemos apreciar que el carácter puro, seco y más bien mate del sonido simple aislado que oímos al inicio, se va perdiendo con la adquisición de nuevos componentes. Observamos que progresivamente el sonido va adquiriendo más cuerpo y nos va transmitiendo una sensación de mayor grosor y de mayor brillo. En efecto, la incorporación del segundo armónico elimina ya la sequedad del sonido simple y le otorga una cualidad dulce y redondeada. Con el tercer armónico se introduce una clara sensación de nasalidad. El cuarto armónico refuerza el carácter redondo y compacto, atenuando un poco la nasalidad que había introducido el tercer armónico. El quinto aporta plenitud al sonido, produciéndonos la sensación de una sonoridad compacta y llena. El sexto añade de nuevo nasalidad. El séptimo introduce, por primera vez, una sensación de aspereza. Y el octavo refuerza la coherencia total del sonido, aumentando el brillo y la luminosidad del conjunto. En lo que respecta a la forma de la señal que vemos en el osciloscopio, comprobamos que conforme se van añadiendo nuevos armónicos, va haciéndose más y más compleja, adquiriendo nuevas ondulaciones y alejándose de la forma sinusoidal que tenía al principio. El hecho de que todos componentes que introducimos estén en fase y que la relación entre sus amplitudes se decremente proporcionalmente al número del armónico, hace que esas ondulaciones tiendan a aproximarse a una forma rectilínea, conforme aumenta el número de armónicos que se incorporan. Aunque 130

en este vídeo para construir el sonido compuesto sólo he sumado ocho armónicos, podemos darnos cuenta de que la incorporación de un número mayor nos permitiría aproximarnos cada vez más a una señal que tuviera la forma de dientes de sierra.

7.3.2.

Sonido formado por los componentes impares consecutivos de la serie armónica: Señal rectangular

Veamos ahora cómo suena y cómo es la forma de la señal de un sonido armónico formado sólo por componentes impares.

Figura 7.5: Vídeo que muestra la generación de una señal rectangular a partir de los componentes impares de la serie armónica.

Podemos apreciar que la incorporación del tercer armónico hace que el sonido tenga un carácter nasal muy destacado. Así mismo, la ausencia del segundo armónico nos produce un efecto de hueco. El quinto armónico aporta también ahora una sensación de acabado, pero dentro de una cualidad sonora dominada por la nasalidad. Los restantes armónicos que se van incorporando (el séptimo, el noveno, el undécimo, el decimotercero y el decimoquinto) proporcionan cada vez más brillo al sonido, pero el resultado es también progresivamente más áspero. 131

Respecto a la forma de la vibración, observamos que va evolucionando con la incorporación de nuevos armónicos, hasta adquirir un aspecto rectilíneo, una señal rectangular. Esta forma rectangular se debe a la concentración de las ondulaciones en los tramos superior e inferior de la señal, unas ondulaciones que van aumentando en número y atenuándose en amplitud con cada nueva incorporación de armónicos. Igual que en el caso de la señal en dientes de sierra, también ahora podemos imaginar que si se siguieran añadiendo componentes armónicos impares, manteniendo la misma proporción en el decremento de la amplitud, podríamos aproximarnos cuánto quisiéramos a una señal rectangular. El predominio de los armónicos impares es un rasgo característico del timbre de algunos instrumentos como, por ejemplo, el clarinete.

7.3.3.

Cualidad sonora derivada de los componentes de la serie armónica

Como hemos podido experimentar en los dos vídeos anteriores, la presencia o ausencia de unos u otros componentes inﬂuye decisivamente en la cualidad sonora de la mezcla armónica. Pero hay que tener en cuenta que la coloración que añade cada componente a la mezcla armónica se ve matizada por otras circunstancias, en especial, la anchura de la banda crítica en la que está localizado o la existencia o no de componentes vecinos dentro de su banda frecuencial con los que pueda interferir. Dejando al margen esto, podemos generalizar lo que hemos observado en los vídeos y deducir cómo afecta cada uno de los componentes de la serie armónica a la cualidad sonora de la mezcla resultante: a) En líneas generales, el incremento del número de armónicos aumenta la brillantez del sonido. b) Los armónicos segundo, cuarto, octavo, decimosexto, etc. —es decir, los que mantienen una relación de octava con el fundamental— refuerzan la coherencia tonal del sonido.

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c) Los armónicos tercero, sexto, duodécimo, etc. —es decir, los que están en relación de octava con el tercer armónico— aportan un carácter nasal (llamado así por recordar al que se produce en el habla al emitir los sonidos nasales). d) Los armónicos quinto y décimo añaden una sensación de plenitud. e) El resto de los armónicos añaden cierto matiz de aspereza. f) Un sonido con numerosas lagunas entre sus armónicos tiende a producir una sonoridad hueca, mientras que un sonido más completo produce una sonoridad plena y maciza. Hay que tener presente que si hubiéramos alterado la fase inicial de los componentes armónicos, hubiéramos cambiado la forma de la vibración, pero la cualidad del sonido resultante no hubiera sufrido ninguna modiﬁcación relevante. Por otra parte, mediante estos dos vídeos podemos comprender que cualquier forma de vibración periódica, por alejada que esté de la sinusoidal, puede ser generada a partir de componentes armónicos. Y, a la inversa, podemos deducir también que cualquier forma de vibración periódica puede ser descompuesta en sus componentes armónicos, como los que aparecen en la ventana inferior de los dos vídeos.

7.4.

Componentes de la serie armónica y notas de la escala temperada

Una vez que hemos visto que los sonidos musicales complejos se forman combinando diversos componentes de la serie armónica, nos interesa conocer la correspondencia entre esos componentes y las notas e intervalos de la escala musical temperada, la habitual en nuestra música. Muchos teóricos de la Armonía han considerado que los acordes imitan en cierta manera la estructura armónica de los sonidos musicales, por lo que es común que los tratados de Armonía comiencen enumerando los componentes de la serie armónica e indicando las notas de la escala a las que más se aproximan. Aunque estas consideraciones hoy en día están en desuso, lo cierto es que existe una gran aﬁnidad entre los

133

elementos de nuestro lenguaje musical y la organización interválica de la serie armónica. Esta aﬁnidad se debe a que la estructura cognitiva que posibilita la percepción unitaria de un sonido armónico es la misma que la que está detrás de la construcción de nuestro lenguaje musical. Por otra parte, conocer la correspondencia entre los componentes de la serie armónica y las notas de la escala musical nos va a permitir entender por qué oímos consonancias o disonancias cuando se mezclan notas musicales. Puesto que habitualmente las notas de las voces y de los instrumentos musicales constan de múltiples componentes armónicos, cuando se emiten simultáneamente dos o más notas se va a producir la mezcla e interferencia entre sus respectivos componentes. La coincidencia o divergencia entre los armónicos de cada una de esas notas determinará el grado de consonancia que se establezca entre ellas. Para ver las correspondencias entre los componentes armónicos y las notas de la escala temperada, primero debemos traducir a semitonos temperados los intervalos que forman cada uno de los componentes de la serie armónica con el fundamental o primer armónico. Las razones que deﬁnen estos intervalos vienen dadas por las que se establecen entre sus respectivos números de armónico: el intervalo del segundo armónico con el fundamental tiene la razón 2/1 (o sea, 2); el del tercero con el fundamental, la razón 3/1 (o sea, 3); el del cuarto, la razón 4/1 (o sea, 4); y así sucesivamente. Como hemos visto en el capítulo 5, para expresar estas razones en semitonos temperados bastará tomar el logaritmo en base 2 de los sucesivos enteros positivos que constituyen la serie armónica y multiplicar el resultado por 12. Por ejemplo, para expresar en semitonos temperados el intervalo que forma el tercer armónico con el fundamental, tomaremos el logaritmo en base 2 del número 3 y multiplicaremos el resultado por 12, lo que nos dará, redondeado a centésimas de semitono, 19,02 semitonos. En la tabla de abajo presento el número de semitonos temperados, redondeados a cents, que tiene el intervalo que forma cada uno de los componentes de la serie armónica con el fundamental.

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Armónico

Nombre del intervalo

Número de

Diferencia en

que forma el componente armónico

semitonos

cents entre el

con el fundamental

temperados

intervalo natural y el temperado

1º

Unísono

2º

Octava

3º

Octava más quinta natural

19,02

4º

Doble octava

5º

Doble octava más tercera mayor natural

27,86

-14

6º

Doble octava más quinta natural

31,02

7º

Doble octava más séptima menor natural

33,69

-31

8º

Triple octava

9º

Triple octava más tono de 9/8

38,04

10º

Triple octava más tercera mayor natural

39,86

-14

11º

Triple octava más cuarta aumentada natural

41,51

-49

12º

Triple octava más quinta natural

43,02

13º

Triple octava más sexta menor natural

44,41

+41

14º

Triple octava más séptima menor natural

45,69

-31

15º

Triple octava más séptima mayor natural

46,88

-12

16º

Cuádruple octava

Tabla 7.1: Intervalos que se establecen entre los componentes de la serie armónica y el fundamental.

En la primera columna se indica el número del armónico; en la segunda, el nombre del intervalo que forma ese armónico con el fundamental, habitualmente adjetivado con el caliﬁcativo “natural” para diferenciarlo del temperado; en la tercera, el número de semitonos temperados que tiene ese intervalo natural redondeado a cents; y en la cuarta, la diferencia en cents entre el intervalo natural y el intervalo temperado más próximo.

135

Así, por ejemplo, en la quinta fila, el ordinal 5º indica que se trata del quinto componente armónico y que, por lo tanto, la razón con el fundamental es 5/1. En la segunda columna figura el nombre habitual de ese intervalo, en este caso, “doble octava más tercera mayor natural”. En la tercera columna se presenta el número de semitonos temperados de este intervalo, que es el resultado de tomar el logaritmo en base 2 de 5 y multiplicarlo por 12, lo que nos da un valor, redondeado a centésimas de semitono, de 27,86 semitonos. Esta cantidad será de utilidad para averiguar cuál es la nota musical de nuestra escala temperada que más se aproxima a ese componente en una serie armónica concreta, es decir, una serie armónica con un componente fundamental determinado (por ejemplo, la serie armónica que comienza en do2 que podemos ver en la figura 7.6). En la cuarta columna se presenta la diferencia en cents entre el intervalo que forma ese componente armónico con el fundamental y el intervalo temperado más próximo (recordemos que por definición todo intervalo temperado tiene un número entero de semitonos). Puesto que en este caso el valor en semitonos que forma el quinto armónico con el fundamental es de 27,86, la diferencia con el intervalo temperado más próximo, el de 28 semitonos, será de -14 cents, tal como aparece en la cuarta columna. Dicho de otra manera el intervalo natural de 5/1 es 14 cents menor que el intervalo de 28 semitonos, el intervalo de doble octava más tercera mayor temperada. Una vez que hemos expresado en semitonos temperados el valor interválico de cada armónico con el fundamental, es sencillo asignar el primer armónico a una nota cualquiera y, a partir de ahí, determinar la nota musical que más se aproxima a cada uno de los componentes armónicos. La figura que presento a continuación nos va a permitir observar que la frecuencia de algunos componentes armónicos coincide exactamente con la frecuencia de una nota de la escala temperada, que la de otros se aproxima mucho, pero que la frecuencia de otros se aleja significativamente de la de cualquier nota de esa escala. Estas coincidencias y divergencias entre las frecuencias de los componentes armónicos y las de sus correspondientes notas de la escala temperada condicionan el grado de consonancia que se establece entre las notas musicales, como se explica en el capítulo que trata de la consonancia entre sonidos compuestos. Para minimizar el número de bemoles y sostenidos, suele ser habitual presentar las notas de la serie armónica tomando como referencia la nota do. He elegido como 136

fundamental el do2 , para evitar sobrepasar en exceso los límites del pentagrama. La serie armónica que presento a continuación se extiende hasta los primeros dieciséis componentes armónicos.

Figura 7.6: Serie armónica con fundamental en do2 y diferencias entre las notas naturales correspondientes a cada armónico y las temperadas.

Debajo del pentagrama vemos el número del armónico al que se asigna cada nota. Los colores de las notas representan la cualidad sonora característica que aporta cada armónico a la mezcla: en negro están los que proporcionan coherencia al sonido; en magenta, los que añaden una sensación de nasalidad; en azul, los que aportan una impresión de plenitud; y en rojo, los que introducen cierto matiz de aspereza. En la fila que está situada inmediatamente encima del pentagrama se indica la frecuencia de cada nota en la escala temperada estándar (la4 = 440 Hz), redondeada a décimas de hercio. En la siguiente fila, se muestra la frecuencia del componente armónico —al que podemos llamar la nota natural—, la cual es el resultado de multiplicar la frecuencia de la nota do2 (130,8 Hz) por el número del armónico, redondeada también a décimas de hercio. En la tercera fila se indica, cuando la hay, la diferencia en hercios entre la frecuencia del componente armónico y la frecuencia de la nota temperada, redondeada a décimas de hercio. Y en la fila superior, destacada en color 137

azul, se presenta, expresado en cents, el intervalo que hay entre la nota natural —es decir, el componente armónico— y la nota temperada más próxima. Puesto que este intervalo es el mismo que la diferencia que hay entre el intervalo natural que forma el componente armónico con el fundamental y el intervalo temperado más próximo, podemos ver que estos valores coinciden con los de la cuarta columna de la tabla 7.1. Por ejemplo, vemos que el quinto componente armónico se corresponde, aproximadamente, con la nota mi4 temperada, cuya frecuencia es 659,3 Hz. Como la frecuencia del quinto armónico es 654,1 Hz, comprobamos que es 5,2 Hz menos que la de la nota mi4 temperada. El intervalo que hay entre la nota natural, es decir, la correspondiente al componente armónico, y la nota temperada es de -14 cents (27,86 - 28 = -14). Podemos veriﬁcarlo también calculando el intervalo que hay entre la frecuencia de la nota natural y la frecuencia de la nota temperada, tomando el logaritmo en base 2 de la razón entre sus frecuencias (654,1/659,3) y multiplicando el resultado por 12, con lo que obtendremos el mismo resultado de -14 cents. Así pues, el número -14 que está sobre la nota mi4 indica que la nota correspondiente al quinto armónico de la serie está 14 cents por debajo del mi4 de nuestra escala temperada.

7.5.

Intervalos entre los sucesivos componentes de la serie armónica

Dadas las afinidades entre la constitución de la serie armónica y la estructura interválica que da lugar a las escalas y acordes de nuestro lenguaje musical, nos interesa comparar las relaciones interválicas que se establecen entre los sucesivos componentes armónicos con los intervalos de nuestra escala temperada. Para ello vamos a utilizar la fila superior de la figura 7.6, en color azul, donde se indica, redondeado a cents, el intervalo de diferencia que hay entre la nota de la serie armónica y la nota temperada correspondiente. Así mismo, para diferenciar con claridad cuándo estamos refiriéndonos a la nota de la serie armónica y cuándo a la nota correspondiente de nuestra escala temperada, utilizaré el adjetivo “natural” para las notas de la serie armónica y el adjetivo “temperada” para las de la escala temperada.

138

a) En los cuatro primeros armónicos están contenidas las consonancias que estructuran todo nuestro sistema musical: la octava (2/1), entre el segundo y el primer armónico; la quinta (3/2), entre el tercero y el segundo; y la cuarta (4/3) entre el cuarto y el tercero. En la serie armónica de la ﬁgura 7.6, cuyo fundamental es do2 , estas consonancias corresponden a los intervalos que se establecen entre do3 —do2 , sol3 —do3 y do4 —sol3 , todas ellas notas naturales. Hay que tener en cuenta que, si bien estos intervalos exactos han constituido el fundamento sobre el que se ha desarrollado nuestro lenguaje musical, a partir del desarrollo de la moderna tonalidad las quintas y las cuartas han sido ligeramente matizadas para establecer el sistema temperado: la quinta temperada está aproximadamente 2 cents más baja que el intervalo de quinta natural y la cuarta temperada está unos 2 cents más alta que la cuarta natural. Esto último lo podemos deducir fácilmente, pues si la quinta natural es 2 cents mayor que la quinta temperada, la cuarta natural ha de ser necesariamente 2 cents menor para que la octava tenga los cents justos que le corresponden (1200 cents por deﬁnición, 12 semitonos). Hay que tener presente que, al ser la octava el intervalo de referencia, carece de sentido la distinción entre octava natural y octava temperada. b) Entre el quinto y el cuarto armónico (5/4) hay una tercera mayor natural que es sensiblemente más corta que la tercera temperada, en concreto, 14 cents menos. En la serie armónica que estamos utilizando como ejemplo corresponde al intervalo que se establece entre mi4 —do4 , ambos naturales. c) Entre el sexto y el quinto armónico (6/5) hay una tercera menor natural que excede en 16 cents a la tercera menor temperada. En nuestra serie armónica corresponde al intervalo que se establece entre sol4 —mi4 , ambos naturales. En efecto, puesto que el quinto armónico (mi4 natural) es 14 cents más bajo que la nota temperada correspondiente (mi4 temperado) y el sexto armónico (sol4 natural), es 2 cents más alto que el sol4 temperado, la diferencia entre el intervalo que forman las notas naturales (la tercera menor natural) y la que forman las correspondientes notas temperadas (la tercera menor temperada) es de 16 cents. d) Los intervalos entre los armónicos cuarto, quinto y sexto (5/4, 6/5) constituyen un acorde perfecto mayor. Si incluimos el séptimo armónico forman 139

un acorde de séptima de dominante, aunque su correspondiente séptima temperada está ya muy lejos de la séptima natural, en concreto la séptima natural es 31 cents inferior a la séptima temperada. En la ﬁgura 7.6 corresponden a las notas do4 , mi4 , sol4 , sib4 , todas ellas naturales. e) Entre el noveno y el octavo armónico se establece el tono de 9/8, también llamado tono pitagórico, que resulta de la composición de dos quintas naturales a la que posteriormente se sustrae una octava. En nuestra serie armónica corresponde al intervalo que se establece entre re5 —do5 , ambos naturales. Podemos construir este tono de 9/8 si añadimos a la quinta natural que hay entre el cuarto y el sexto armónico (do4 —sol4 naturales), la quinta natural que hay entre el sexto armónico y el noveno armónico (sol4 —re5 naturales), con lo que obtenemos un intervalo de octava más un tono diatónico. Luego, al ascender una octava el sonido más grave del intervalo así formado (el do4 pasa a ser do5 ), dejamos solamente el tono diatónico. Como cada quinta natural excede en 2 cents a la quinta temperada, este tono pitagórico será 4 cents mayor que el tono temperado. f) Entre el décimo y el noveno armónico se forma un intervalo de tono de 10/9, el llamado tono menor. En nuestra serie armónica corresponde al intervalo que se establece entre mi5 —re5 naturales. Este intervalo es 18 cents menor que el tono temperado. En efecto, puesto que el noveno armónico (re5 natural) es 4 cents más alto que la correspondiente nota temperada (re5 temperado) y el décimo armónico (mi5 natural) es 14 cents más bajo que su correspondiente nota temperada (mi5 temperado), la diferencia respecto al tono temperado es de 18 cents. g) Entre el decimosexto y el decimoquinto armónico se produce un intervalo de semitono de 16/15, el llamado semitono mayor que se usaba en algunas escalas musicales antiguas. En nuestra serie armónica corresponde al intervalo que se establece entre do6 —si5 naturales. Este intervalo excede en 12 cents al semitono temperado, pues el si5 natural es 12 cents más bajo que el si5 temperado. h) El resto de los intervalos que se forman entre los sucesivos armónicos quedan lejos de los intervalos usados en nuestras escalas musicales. 140

7.6.

Estructura armónica y reconocimiento de la altura tonal

La estructura armónica es el conjunto de componentes de la serie armónica que están presentes en un sonido concreto, cada uno de ellos con su propia amplitud. Como hemos podido apreciar en los vídeos anteriores, cuando escuchamos un sonido formado por componentes armónicos, nuestro sistema perceptivo reconoce la estructura armónica que forman esos componentes, lo que hace que, de manera totalmente inconsciente, seamos capaces de reconocer una altura tonal y, por lo tanto, una nota musical. En los vídeos de este capítulo la estructura armónica del sonido queda representada en las gráficas de abajo, donde aparecen los componentes frecuenciales, cada uno con su amplitud. Como hemos visto en los apartados anteriores, los componentes de la serie armónica están separados unos de otros por la misma distancia frecuencial. Esta distancia es el máximo común divisor de las frecuencias de todos ellos y coincide con la frecuencia del primer componente de la serie. Cuando oímos un sonido, nuestro sistema de reconocimiento auditivo intenta organizar sus componentes, intenta buscar una distancia frecuencial que se repita, es decir, intenta reconocer una estructura armónica. Si lo consigue, está ante un sonido armónico, de modo que puede asignarle la altura tonal del componente fundamental de la serie armónica a la que pertenece, incluso cuando ese componente fundamental no está presente en la estructura armónica de ese sonido concreto. Ello es así porque, como veremos en el capítulo 13, nuestro cerebro unifica los componentes frecuenciales para reconstruir la unidad del objeto sonoro, con lo que puede identificar la nota musical correspondiente en la escala. En definitiva, si somos capaces de oír notas musicales es porque reconocemos el patrón armónico de un sonido concreto, aunque para ello sea necesario rellenar los huecos de los componentes frecuenciales que faltan en su estructura armónica, de modo que sea posible reconstruir la serie armónica a la que pertenece. A continuación vamos a comprobar experimentalmente que la altura tonal de un sonido musical viene determinada por la frecuencia del componente fundamental de su estructura armónica, con independencia de que ese componente esté o no presente en ese sonido concreto. Veremos también que el reconocimiento del patrón armónico se produce incluso cuando la estructura armónica presenta un número importante de huecos, como hemos podido observar en el caso de la señal 141

rectangular formada únicamente por componentes impares que aparece en el vídeo de la ﬁgura 7.5. Para apreciar cómo se produce el reconocimiento de la estructura armónica he confeccionado un vídeo en el que se presentan tres notas musicales cuyas alturas tonales distan entre sí una octava. En lo tres casos la frecuencia del componente más grave presente en la señal es 220 Hz; sin embargo, en el primero oímos un la3 a 220 Hz, en el segundo un la2 a 110 Hz, y en el tercero un la1 a 55 Hz.

Figura 7.7: Vídeo que muestra que la percepción de la altura tonal del sonido armónico no se ve afectada por la ausencia del componente fundamental o incluso de los primeros componentes.

Como era de esperar, la primera nota que oímos es un la3 , pues esa es la frecuencia del componente fundamental, tal como aparece indicado en la leyenda. Si atendemos a la gráﬁca de abajo y nos ﬁjamos en su estructura armónica, vemos que todos los componentes son múltiplos de 220 Hz y que están presentes los ocho primeros armónicos de su serie. En la ventana del osciloscopio podemos ver que la forma de la vibración es totalmente periódica. En efecto, si detenemos el vídeo en cualquier momento, y hacemos un cálculo aproximado, podremos ver que su periodo ocupa un poco menos de la anchura de un rectángulo de la retícula, es decir, un poco menos de 5 milésimas de segundo, lo cual es coherente con el periodo correspondiente a la frecuencia de 220 Hz, es decir, 4,5 milésimas de segundo (1/220 = 0,0045). 142

La segunda nota que oímos es un la2 . La estructura armónica de esta nota está formada también por ocho componentes consecutivos, pero ahora el primer componente de esa serie armónica está ausente. En efecto, vemos que las frecuencias de todos los componentes son múltiplos de 110, y no de 220. O lo que es lo mismo, el máximo común divisor de las frecuencias de todos los componentes de esta estructura armónica es 110. Así pues, deducimos que la frecuencia del componente fundamental de la serie armónica a la que pertenece esta nota es 110 Hz y que en este caso está ausente. En efecto, los componentes presentes en esta estructura armónica comienzan con el segundo armónico, el de 220 Hz, y consecutivamente llegan hasta el noveno, el de 990 Hz. En el osciloscopio vemos que la señal es también claramente periódica, pero que el periodo es el doble del periodo del caso anterior, aproximadamente, 9 milésimas de segundo, como corresponde a una frecuencia de 110 Hz (1/110 = 0,009, redondeando a milésimas). La tercera nota que oímos es el la1 . En este caso el máximo común divisor de todos los componentes que forman la estructura armónica de ese sonido es 55, de modo que la frecuencia del componente fundamental de la serie armónica a la que pertenece es 55 Hz. Pero este componente no está. Podemos también observar que el componente más grave que está presente en la estructura armónica de esta nota musical es el cuarto armónico. A partir de él están los sucesivos componentes hasta el undécimo, el de 605 Hz. Así pues, en este caso, no sólo falta el fundamental, sino que también faltan los tres primeros componentes. Pero nosotros oímos con total claridad una nota que es una octava más grave que la anterior, es decir, un la1 . Si nos fijamos en la periodicidad, vemos que también se corresponde con la frecuencia del fundamental ausente. En el osciloscopio podemos observar que el periodo de esta señal es el doble del de la anterior, aproximadamente 18 milésimas de segundo (1/55 = 0,018, redondeando a milésimas). Mediante este ejemplo hemos podido experimentar que la altura tonal que percibimos en un sonido armónico es independiente de la existencia o no del componente fundamental o incluso de los componentes más graves. Ello explica que seamos capaces de oír notas graves con cualquier sistema de reproducción de sonido, por muy deficiente que sea: aunque la calidad sonora saldrá perjudicada, la percepción de la nota de la que se trata no se ve modificada. Por poner un ejemplo, la mayor parte de los reproductores de sonido económicos son incapaces de dar frecuencias inferiores 143

a 100 Hz; sin embargo, en esos reproductores nosotros no oímos las notas graves cambiadas de octava, sino que, incluso en el peor equipo de música, reconocemos, pongamos por caso, el la1 del piano, cuya frecuencia fundamental está en 55 Hz y no lo confundimos con el la2 , cuya frecuencia es 110 Hz. Ahora bien, la cualidad, el color del sonido, no será el mismo si están o no están presentes los componentes más graves.

7.7.

Las fronteras de lo armónico. La inarmonicidad en el sonido musical

A continuación me propongo mostrar que la estructura armónica del sonido puede deformarse hasta cierto punto sin que desaparezca la percepción de una altura tonal definida. Observaremos, además, que esa deformación, debida al estiramiento progresivo de la distancia frecuencial entre los componentes, produce una modificación de la cualidad sonora. Como acabamos de ver, la altura tonal de un sonido musical queda definida por la distancia frecuencial entre los componentes que constituyen su estructura armónica, al margen de los posibles huecos que pueda haber en ella. Ahora bien, en la realidad, los sonidos de algunos instrumentos deforman esa estructura, incrementando la distancia entre sus componentes. Y, además, lo hacen de una forma no lineal: conforme mayor es el ordinal del armónico, mayor es el intervalo musical en el que se alejan. Por poner un ejemplo, en el caso del piano la deformación ocasionada por la rigidez de sus cuerdas metálicas puede dar lugar en una nota grave a que la frecuencia del armónico decimoquinto, pongamos por caso, sea 16 veces la frecuencia del fundamental, es decir, la frecuencia que debería tener el armónico decimosexto. Ahora bien, la deformación de la estructura armónica, cuando se mantiene dentro de unos límites, no impide el reconocimiento de una nota musical, si bien es cierto que la altura tonal que se percibe es ligeramente más aguda que la correspondiente a la frecuencia del componente fundamental. Además esta inarmonicidad modifica la cualidad sonora: cuando es muy ligera aporta un cierto grosor y hace que el sonido sea más cálido; 144

cuando el estiramiento es ya más pronunciado, el sonido adquiere un color metálico y empieza a recordar al sonido de una campana. He fabricado un vídeo que nos va a permitir experimentar lo que sucede cuando la estructura armónica se deforma dentro de ciertos márgenes. En los tres casos que se presentan suena la nota la3 constituida por los ocho primeros armónicos. Pero mientras que en el primer caso los componentes son equidistantes, lo que da lugar a una estructura armónica perfecta, en los dos casos siguientes la estructura creada por los ocho componentes se va deformando: en el segundo caso las distancias entre ellos están ligeramente estiradas, lo que provoca una pequeña inarmonicidad, mientras que en el tercero el estiramiento se acerca ya al límite de lo que podemos considerar una estructura armónica y, por lo tanto, también al límite de nuestra capacidad para percibir una altura tonal deﬁnida. La amplitud de cada uno de los componentes es la misma en los tres casos.

Figura 7.8: Vídeo que muestra que la introducción de una ligera inarmonicidad en un sonido armónico no impide la percepción de una altura tonal.

La leyenda que aparece a la derecha de la ventana inferior del vídeo muestra la frecuencia de los componentes y su número de armónico, así como la desviación en hercios de cada uno de ellos respecto a la frecuencia que tendría el armónico sin deformar y su correspondiente distancia interválica expresada en cents. 145

En el primer caso oímos un sonido estable y claro, una nota musical, en concreto, un la3 a 220 Hz. En la ventana del osciloscopio podemos apreciar que la forma de la vibración permanece siempre idéntica a sí misma, totalmente estable. Si paramos el vídeo en cualquier momento y atendemos a la leyenda, comprobaremos que los componentes de este sonido son los ocho armónicos consecutivos exactos, múltiplos sucesivos de la frecuencia fundamental. Por eso en todos ellos la desviación es 0. En resumen, la deformación de la estructura armónica en este caso es nula. Si comparamos el segundo caso con el anterior, notamos que son muy similares. Aunque tenemos una cierta sensación de que la altura se ha elevado muy ligeramente, seguimos oyendo sin ninguna duda una nota musical clara. Ahora bien, si prestamos un poco más de atención, apreciamos que la cualidad sonora se ha modiﬁcado sensiblemente respecto al sonido anterior: se ha hecho más cálida y ha adquirido una coloración que nos recuerda algo al efecto producido por los batidos de segundo orden cuando se mezclan dos sonidos consonantes que se apartan ligerísimamente de la conmensurabilidad exacta. En la ventana del osciloscopio apreciamos que ahora la forma de la vibración cambia a cada momento, si bien el periodo se mantiene constante. Podemos parar el vídeo y ver en la leyenda que ahora ya hay una desviación en la frecuencia de los componentes, una desviación que es muy pequeña en los primeros armónicos y que va creciendo, tanto en hercios como en cents, a medida que aumenta su ordinal. Pero nos damos cuenta de que incluso en el último componente, que es donde se produce la desviación máxima, el intervalo que se desvía respecto al valor que le correspondería al octavo armónico exacto es solo de 16 cents. Vemos, así pues, que en este sonido la estructura armónica se ha deformado ligeramente. En efecto, cuando he generado este sonido, he elegido a propósito los valores de deformación de cada componente para que simulara aproximadamente el estiramiento que se suele producir en una cuerda media del piano. Para ello he usado una variante de la fórmula habitualmente utilizada para calcular la frecuencia de cada uno de los componentes de una nota de piano a partir de un coeﬁciente dado de inarmonicidad. En el tercer caso, si atendemos a nuestra percepción auditiva, comprobamos que resulta todavía posible asignar al sonido una altura tonal, aunque ya de una forma más confusa que en los dos casos anteriores. Observamos que esta altura tonal es más elevada. Al poner un poco más de atención apreciamos que la cualidad cálida 146

del caso anterior ha pasado ahora a adquirir cierta aspereza y a transformarse en un sonido metálico. En efecto, la cualidad sonora nos recuerda bastante al sonido de una campana (aunque no esté presente la atenuación progresiva característica de la campana). Estamos en el límite de la posibilidad de distinguir una altura tonal estable y de reconocer que se trata de una nota musical. Si prestamos atención a la ventana del osciloscopio, vemos que la periodicidad resulta ya difícil de reconocer, incluso cuando detenemos el vídeo. Podemos aventurar un cierto valor temporal que parece marcar la evolución de la vibración y que, más o menos, coincidiría con el periodo de los dos casos anteriores, pero de una manera bastante imprecisa. En la leyenda podemos comprobar ahora que las desviaciones de los armónicos son ya bastante importantes, tanto en hercios como en cents. También ahora la desviación va creciendo conforme mayor es el ordinal, hasta el punto de que la frecuencia del octavo componente está ya muy lejos de la que le correspondería al octavo armónico. En efecto, su desviación en cents es de 152, es decir, un semitono y medio. Podemos ver que la frecuencia de este octavo componente (1921,5 Hz) se aproxima a la frecuencia que le correspondería al noveno armónico: teniendo en cuenta que la frecuencia fundamental es 220 Hz, el noveno armónica tendría una frecuencia de 1980 Hz (220 x 9 = 1980). Ahora la estructura armónica ha sido deformada, estirándose los componentes hasta casi romper la estructura armónica. Un poco más allá de estas fronteras dejaríamos ya de percibir una altura tonal y el sonido dejaría de ser armónico. En efecto, para generar este tercer sonido he utilizado la misma fórmula que en el caso anterior, pero con un coeficiente de inarmonicidad diez veces mayor. Para entender a qué se debe el cambio de cualidad sonora provocada por una ligera inarmonicidad vamos a fijarnos en el segundo caso. Vemos en la ventana del osciloscopio que la forma de la vibración cambia constantemente, mientras se mantiene la periodicidad. Este fenómeno es una generalización a múltiples componentes de lo que observamos en el caso de los batidos de segundo orden respecto a la mezcla de dos componentes. La explicación del fenómeno es, pues, similar. Las pequeñas diferencias de frecuencia provocan desfases, los cuales dan lugar a modificaciones constantes de la forma de la vibración, que son las que dotan al sonido de esa cualidad cálida. La forma de la vibración, no obstante, mantiene su periodicidad y eso 147

hace que tenga una frecuencia propia y, en consecuencia, que tenga sentido atribuirle una altura tonal. La diferencia respecto a los batidos de segundo orden reside en que la complejidad de los desfases, debida al elevado número de componentes, evita una rotación repetida de la forma de la vibración, por lo que no percibimos batidos, sino solamente un sonido más cálido. Conforme la inarmonicidad aumenta la periodicidad tiende a desaparecer y se complica la percepción de una altura tonal, pues nuestro sistema auditivo tiene diﬁcultades para organizar los componentes en un patrón armónico. En el último ejemplo de este vídeo, la deformación de la estructura es tan importante que el patrón armónico es percibido ya de una manera difusa, totalmente alejada de la percepción nítida con la que se percibe en el primer caso.

7.8.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos podido comprobar que la Armonía está presente incluso en la constitución misma del sonido musical. Hemos visto que los sonidos armónicos o musicales son el resultado de la buena mezcla, mientras que los inarmónicos son aquellos cuyos componentes no se mezclan bien, no amalgaman unos con otros. Hemos podido observar cómo al combinarse varias vibraciones que guardan entre sí determinadas razones y proporciones se produce una nueva entidad, una nota musical clara y diferenciada. Lo que hace musical a la vibración que resulta de esta mezcla es la estructura armónica que posee, una estructura que en sí misma no es otra cosa que unas determinadas relaciones de conmensurabilidad. Por eso los componentes del sonido armónico no desaparecen, sino que pueden ser de nuevo descompuestos, tal como hace nuestro sistema auditivo y como podemos realizar mediante las herramientas matemáticas propias del análisis frecuencial. Es por ello por lo que la rama de las matemáticas que se ocupa de la descomposición de funciones en componentes sinusoidales se denomina Análisis Armónico. Puesto que la estructura armónica, que es lo propio del sonido musical, se crea por la conmensurabilidad de las frecuencias de todos los componentes respecto al fundamental, y puesto que esa conmensurabilidad permite que amalgamen bien unos 148

componentes con otros, podemos considerar que el sonido armónico viene a ser la generalización a un número indeterminado de componentes de la “buena mezcla” que se produce entre dos sonidos simples consonantes. En ambos casos la conmensurabilidad da lugar a la sincronización de las fases de los distintos componentes, y esa sincronización posibilita su buena mezcla. En este capítulo hemos visto que los intervalos que hay entre los primeros componentes de una serie armónica son precisamente los principales intervalos consonantes (2/1, 3/1, 4/1, 3/2, 4/3), de modo que la estructura sonora que se crea mediante la mezcla de cualquier número de componentes pertenecientes a la misma serie armónica da como resultado un sonido en el que se ha producido la “buena mezcla”, un sonido musical. Mediante los ejemplos que se presentan en los vídeos de este capítulo hemos podido experimentar que la vibración del sonido armónico o musical mantiene siempre una periodicidad y que, por lo tanto, posee una frecuencia concreta, con lo que se le puede atribuir una altura tonal. Dado que nosotros no somos capaces de seguir al detalle el desarrollo temporal del movimiento vibratorio para captar su periodicidad, sino que nuestro sistema auditivo extrae su estructura frecuencial, podemos considerar que la estructura armónica sirve de puente entre la naturaleza periódica del sonido y nuestra percepción de la altura tonal. Nuestra especial facultad para reconstruir intuitivamente la serie armónica explica la abundante presencia en las acciones de los hombres del sonido armónico: silbar, gritar, cantar, vocalizar, todas estas acciones producen una vibración armónica a la que dotamos de sentido y de signiﬁcación. Esta facultad también pudiera tener que ver con la invariabilidad de la frecuencia a lo largo de todo el recorrido de la vibración sonora, desde la emisión hasta su recepción. El sonido puede perder amplitud con la distancia, puede perder componentes frecuenciales por el camino, pero en condiciones normales nunca modiﬁca su periodo de vibración, o sea, su frecuencia. Las coincidencias que hemos podido observar entre los armónicos y las notas e intervalos de nuestro lenguaje musical contribuyen a explicar que el mismo sistema cognitivo que posibilita la percepción unitaria de un sonido compuesto por varios componentes armónicos esté presente en la constitución de nuestro lenguaje musical, tanto en la determinación de los elementos estructurales de las escalas, como en la construcción de los acordes.

149

Capítulo 8 Ondas estacionarias y resonancia: Generación del sonido armónico

8.1.

Introducción

El material de la música, el sonido armónico, es un fenómeno tan frecuente que forma parte de nuestra experiencia cotidiana en el reconocimiento del entorno. En efecto, el sonido armónico está por todas partes: si ponemos un poco de atención, podemos oír notas musicales en medio del ruido del tráfico, en el silbido del aire cuando se filtra por los tubos de una chimenea o por las grietas de las rocas, en el canto de los pájaros o incluso en el aullido de algunas fieras. Por otra parte, es sencillo generar sonidos armónicos: basta soplar ligeramente en el cuello de una botella vacía, frotar con suavidad el borde de una copa de cristal o pellizcar una cuerda lo suficientemente tensa para que se produzcan sonidos musicales. La pregunta es: ¿por qué es tan habitual la existencia de vibraciones cuyos componentes tienen frecuencias que son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental? La respuesta nos lleva a la geometría: si el sonido armónico abunda tanto en la naturaleza y en los utensilios de todo tipo que hemos fabricado los humanos es porque es muy común la existencia de estructuras geométricas adecuadas para la generación de ondas estacionarias armónicas y para su amplificación mediante resonancias.

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En cierto modo podemos decir que todo sonido armónico se produce mediante un proceso de resonancia, un proceso por el cual la onda excitadora se acopla con sus sucesivos reflejos, dando lugar a la aparición de ondas estacionarias. A lo largo de este capítulo vamos a examinar por qué se produce el sonido armónico. Para ello estudiaremos el mecanismo físico mediante el cual surgen las ondas estacionarias y el fenómeno de la resonancia. Comprenderemos que determinadas propiedades físicas y geométricas de los cuerpos que vibran posibilitan la aparición de ondas estacionarias con unos modos de resonancia que son armónicos entre sí y que cuando estos modos naturales de vibración son excitados por algún agente surgen sonidos armónicos. Mediante vídeos ilustrativos que he elaborado con Matlab y que simulan el comportamiento de una cuerda tensada y ﬁja en sus extremos, podremos experimentar qué son las ondas estacionarias y en qué consiste el fenómeno de la resonancia. Los vídeos nos van a permitir observar cómo las ondas estacionarias surgen de la interferencia reiterada de una onda sinusoidal con su reﬂejo. Veremos también que la cuerda tensada, como todo sistema vibratorio unidimensional, posee por naturaleza unos modos de vibración que son armónicos. Observaremos que la resonancia se produce cuando un sistema vibratorio es excitado por cualquier perturbación, por pequeña que sea, que coincida con una de sus frecuencias naturales de vibración. Y comprenderemos por qué, al ponerse a vibrar en las frecuencias de estos modos naturales de vibración, la cuerda produce un sonido periódico y musical. Finalmente, antes de entrar en materia, me gustaría señalar que el fenómeno de la resonancia no sólo es importante para la acústica musical, sino que atañe a toda la acústica e incluso a la física en su conjunto y, de una u otra manera, a la ciencia en general. La noción de resonancia ha salido del campo estrictamente acústico y ha servido para explicar multitud de fenómenos en todas las áreas de las ciencias, desde fenómenos electromagnéticos hasta los que conciernen a la física de partículas, a la astronomía, e incluso a la biología molecular. Allí donde está presente la vibración o la oscilación está también presente el fenómeno de la resonancia.

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8.2.

La cuerda como paradigma de un sistema vibratorio unidimensional

Para estudiar los fenómenos de las ondas estacionarias y de la resonancia vamos a analizar lo que ocurre en una simple cuerda tensada y fija en sus extremos. Este modelo puede ser considerado como paradigma de un sistema vibratorio unidimensional. Dado que los sonidos musicales suelen ser producidos por sistemas vibratorios unidimensionales, si analizamos el comportamiento de una cuerda cuando es inducida a vibrar podremos comprender los mecanismos mediante los cuales se produce el sonido armónico. En todo movimiento ondulatorio hay que distinguir entre el movimiento de propagación de la onda y el movimiento oscilatorio que realiza cada una de las partículas que se ven afectadas por el paso de la onda. Cuando la dirección de ambos movimientos es la misma, decimos que las ondas son longitudinales, como vimos que ocurre con las condensaciones y rarefacciones en el aire al transmitir un sonido. Cuando la dirección del movimiento oscilatorio es perpendicular a la del movimiento propagatorio, decimos que las ondas son transversales. Por otra parte, la propagación de las ondas puede producirse en las tres dimensiones del espacio, en dos dimensiones o solamente en una: las condensaciones y rarefacciones que se producen al propagarse un sonido por el aire en un espacio abierto son de carácter tridimensional, pues se extienden de forma radial por todo el espacio circundante; la ondulación que se propaga por las aguas de un estanque o por la membrana de un tambor es bidimensional, pues viaja a lo largo y ancho de una superficie; y las perturbaciones que se propagan a través de una cuerda tensada o en el aire contenido en el tubo de una flauta son unidimensionales, pues viajan en una sola dirección del espacio. Al margen de que sean transversales o longitudinales, los sistemas vibratorios unidimensionales tienden a producir ondas estacionarias con modos normales de vibración armónicos. Por eso los sonidos musicales son generados por sistemas vibratorios unidimensionales, tales como los instrumentos de cuerda y los de viento. Habitualmente las cuerdas de los instrumentos al excitarse dan lugar a ondas transversales: el macillo en un piano golpea la cuerda y la desplaza transversalmente; lo mismo sucede al ser 152

frotada la cuerda de un violín con un arco o al ser pulsada la cuerda de una guitarra con el dedo. En el caso de los instrumentos de viento, sin embargo, las ondas que se producen son longitudinales, pues la oscilación de las partículas de aire se produce en la misma dirección en la que se propagan las variaciones de la presión, es decir, a lo largo de la propia longitud de la masa de aire que está contenida en el tubo. Para estudiar cómo se genera el sonido armónico me ha parecido oportuno tomar como ejemplo un sistema constituido por una cuerda tensada que está fija en ambos extremos, como puede ser la cuerda de un piano, de una guitarra o de cualquier otro instrumento similar. Se trata de un sistema vibratorio unidimensional y transversal. Dado que en las ondas transversales las partículas oscilan de forma perpendicular a la dirección de propagación, son más fáciles de observar que las ondas longitudinales, donde la oscilación de las partículas tiende a camuflarse con el movimiento de la onda que propaga la perturbación. Aunque al estudiar el comportamiento de la cuerda tensada nos centraremos en las ondas transversales, las ideas que vamos a examinar pueden ser generalizadas al caso de las ondas longitudinales unidimensionales, como las que se producen en el interior de los tubos de los instrumentos de viento. Así pues, con el propósito de permitir entender con facilidad cómo se producen las ondas estacionarias y en qué consiste el fenómeno de la resonancia, he fabricado varios vídeos en los que se simula a cámara lenta el movimiento de una cuerda cuando se provocan en ella diversas perturbaciones transversales. Supondremos que se trata de una cuerda de piano sin encorchar de un metro de longitud —como podría ser cualquiera de las cuerdas que dan una nota en la octava que va de do3 a do4 — y que ha sido extraída del instrumento y sujetada por sus extremos a unos soportes que la mantienen tensada. Supondremos también que estos soportes pueden ser desplazados arriba y abajo mediante algún artilugio mecánico para inducir en la cuerda diversos tipos de perturbaciones. La perturbación se provocará mediante el desplazamiento vertical del soporte izquierdo al que está unida la cuerda o, en alguna ocasión, de los dos soportes. Una vez que la perturbación haya sido introducida, los soportes volverán a quedar fijos. A fin de modelizar la inercia y la elasticidad, podemos considerar que la cuerda está constituida por un conjunto de bolitas unidas por pequeñas gomas o muellecillos que se estiran y se encogen. En el eje vertical de la gráfica que aparecen en los vídeos se representa el desplazamiento vertical de las partículas que suponemos forman la cuerda. Como nos interesa 153

observar el detalle de la perturbación y de sus reflejos e interferencias, las unidades del eje vertical están en milímetros. En el eje horizontal se representan las sucesivas posiciones de la cuerda a lo largo de su longitud. Las unidades en este caso, sin embargo, están en metros. Esta diferencia en las unidades hace que en los vídeos resulten muy exageradas las deformaciones de la cuerda provocadas por su vibración (tengamos en cuenta que la cuerda real mide un metro y que la deformación máxima que va a sufrir es de dos milímetros), pero nos va a permitir ver con mucha más facilidad los fenómenos ondulatorios que se producen. Por otra parte, como queremos observar con detenimiento el movimiento que se genera en la cuerda, nos interesa que en nuestra simulación la velocidad de propagación de las perturbaciones sea suficientemente lenta. La velocidad con la que se transmite cualquier perturbación transversal en una cuerda real está determinada por la tensión a la que está sometida y por la masa por unidad de longitud que posee. En el caso de una cuerda de piano que emite una nota media (como puede ser el la3 ) la velocidad de propagación de una perturbación transversal puede estar en torno a los 400 m/s. En nuestra simulación, sin embargo, la velocidad con la que se propaga la perturbación a lo largo de la cuerda es de 1 metro por segundo, es decir, 400 veces más lenta que en la cuerda real. El movimiento vertical del soporte mediante el que se generan las perturbaciones está ralentizado en esa misma proporción. Hay que tener en cuenta también que la cuerda de nuestro modelo se comporta de forma ideal. En las simulaciones de los vídeos se ha prescindido del rozamiento con el aire o con los soportes que la sujetan, por lo que no se produce ninguna amortiguación en el movimiento de la cuerda. Así mismo, supondremos que la cuerda vibra siempre en el mismo plano —en concreto, en el plano vertical arriba/abajo—, aunque las cuerdas de los instrumentos reales no se comportan siempre así (por ejemplo, en un piano de cola, como consecuencia de la acción del macillo que la golpea desde abajo, la cuerda comienza a oscilar en la dirección arriba/abajo, pero durante su vibración tiende a rotar su plano de oscilación y a oscilar también de izquierda a derecha, en la dirección paralela al teclado). Comenzaremos examinando cómo se propaga por la cuerda una perturbación transversal y cómo esa perturbación se refleja cuando llega a los extremos fijos. Luego analizaremos lo que ocurre cuando interfieren dos perturbaciones que viajan en sentidos opuestos. Después comprobaremos que las ondas estacionarias surgen de la interfe154

rencia de una onda sinusoidal con su reﬂejo, cuando, en el tiempo que tarda una oscilación en completarse, la onda recorre exactamente una parte entera del camino de ida y vuelta a lo largo de la cuerda. A continuación veremos que la cuerda tensada, en función de la velocidad de propagación ondulatoria, posee unos modos normales de vibración propios, cuyas frecuencias siguen la serie armónica. Después podremos observar que, cuando una cuerda es excitada en cualquiera de esos modos de resonancia naturales, basta una mínima perturbación para producir una gran ondulación. Y ﬁnalmente, podremos ver el movimiento de una cuerda cuando resuena simultáneamente en varios de sus modos naturales de vibración, como sucede habitualmente en las cuerdas de los instrumentos musicales.

8.3.

Propagación y reflexión de una perturbación transversal sobre una cuerda

Para estudiar cómo se propaga una perturbación transversal a lo largo de una cuerda y cómo se refleja al llegar a un punto fijo que le impide seguir en el mismo sentido, he fabricado un vídeo en el que se simula el comportamiento de nuestra cuerda cuando se introduce en ella una perturbación de 1,5 milésimas de segundo de duración. Imaginemos que para iniciar la perturbación hemos desplazado, con ayuda de un artilugio mecánico, 1 mm hacia arriba el soporte al que está sujeta la cuerda por la izquierda y luego lo hemos hecho descender hasta su posición original. Dado que la simulación está ralentizada 400 veces, la duración del impulso en el vídeo de nuestra simulación es de 0,6 segundos. Los 20 segundos que dura el vídeo corresponden a las primeras 50 milésimas de segundo del movimiento de la supuesta cuerda real. Para que se apreciara claramente en el vídeo que la perturbación se invierte cuando se refleja en los soportes fijos de los extremos, interesaba que el impulso inicial fuera sólo hacia arriba, sin que al descender sobrepasara la posición de equilibrio de la cuerda, de manera que antes de reflejarse por primera vez la perturbación viajara sólo por la parte superior. Para ver cómo es el impulso que ha generado la perturbación, es decir, el movimiento vertical que ha realizado el soporte de la cuerda, presento una gráfica que muestra el desplazamiento del soporte en función del tiempo.

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Figura 8.1: Gráﬁca de la perturbación introducida.

Podemos apreciar que el desplazamiento del soporte es simétrico y que tiene forma de campana de Gauss. Las unidades del eje horizontal corresponden al tiempo de la simulación en el vídeo. Veamos ahora el vídeo que simula el comportamiento de la cuerda.

Figura 8.2: Vídeo que simula la propagación de una perturbación en una cuerda tensada y su reﬂejo cuando alcanza un extremo ﬁjo.

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Podemos observar en el vídeo que el movimiento vertical del soporte izquierdo provoca una perturbación en la cuerda que se transmite a lo largo de ella por la parte superior hasta alcanzar el soporte derecho. Allí la perturbación, al no poder continuar, se refleja de modo invertido, regresando por la parte inferior hasta alcanzar el soporte izquierdo, donde se vuelve a reflejar para invertirse de nuevo y seguir por la parte superior. Dado que no hemos contemplado ningún tipo de amortiguación, la propagación de la perturbación se repite constantemente, reflejándose de modo invertido cada vez que alcanza un extremo. La propagación de la perturbación es consecuencia de la elasticidad de la cuerda. En nuestra simulación podemos apreciar que la elasticidad introduce un retraso en la comunicación del movimiento de una bolita a la siguiente, de modo que las bolitas van repitiendo sucesivamente, pero con su correspondiente demora, el desplazamiento vertical del impulso inicial, como podemos apreciar en el vídeo si atendemos al movimiento individual de cualquiera de ellas. De esta manera el movimiento temporal que ha realizado el soporte, la campana de Gauss que hemos visto en la figura 8.1, queda dibujado en el espacio. Así mismo, la anchura de la perturbación que dibuja la cuerda depende también de los retrasos que introduce la elasticidad, los cuales determinan la velocidad con la que se propaga cualquier perturbación a lo largo de esa cuerda. En la simulación ralentizada de nuestro vídeo, dado que la velocidad de transmisión es de 1 m/s y que el impulso dura 0,6 segundos, la anchura de la deformación provocada en la cuerda es de 0,6 metros. La reflexión se produce cuando la perturbación que se transmite a lo largo de la cuerda encuentra un obstáculo que no puede mover. En nuestro caso, cuando la perturbación llega al extremo derecho de la cuerda no puede desplazar el soporte. Puesto que, según la Tercera Ley de Newton, la fuerza ejercida hacia arriba por la cuerda sobre el soporte es la misma que la que el soporte ejerce hacia abajo sobre la cuerda, el resultado es que el soporte, al no poder moverse, hace que la cuerda rebote hacia abajo, con lo que la perturbación se invierte y retorna por la parte inferior. La misma situación se repite cuando la cuerda llega de nuevo al soporte izquierdo, el cual, una vez introducido el impulso inicial, ha quedado también fijo. De nuevo la perturbación rebota y sigue su recorrido, ahora por la franja superior. Podemos también interpretar el fenómeno de la reflexión como el resultado de la superposición de dos perturbaciones simétricas que viajaran en sentido opuesto a lo 157

largo de dos cuerdas virtuales. Esta forma de entenderlo es más intuitiva y nos sirve para explicar los desplazamientos que sufre la cuerda en los momentos en los que se solapa la perturbación incidente y la reflejada, lo cual nos va a facilitar el estudio de las ondas estacionarias. Estas dos cuerdas virtuales, que no estarían sujetas a ningún soporte, se prolongarían por un espacio imaginario que existiría más allá del obstáculo fijo en el que se refleja la perturbación real. La prolongación sería igual a lo que mide la cuerda real, por lo que las cuerdas imaginarias medirían el doble de ésta. Por una de estas cuerdas imaginarias viajaría la perturbación incidente, que se prolongaría por el espacio imaginario sin ser influida por la existencia del obstáculo; por la otra viajaría en sentido opuesto la perturbación reflejada, una perturbación idéntica a la real, pero invertida, que se habría originado simultánea y simétricamente en esta segunda cuerda imaginaria. En todo momento el desplazamiento de cada punto de la cuerda real sería el resultado de la superposición lineal de ambas cuerdas virtuales. Entenderemos mejor esta idea si imaginamos que en el punto del espacio en el que se halla el obstáculo que la perturbación no puede mover —en nuestro caso, el soporte derecho al que está fijada la cuerda— existiera una suerte de espejo que separara el espacio real del espacio virtual. Veamos un vídeo de carácter didáctico en el que se ilustra lo que ocurre cuando la misma perturbación del vídeo anterior se refleja en el soporte derecho. Para poder apreciar los detalles, la velocidad del vídeo ha sido ralentizada 5 veces respecto al anterior.

Figura 8.3: Vídeo que ilustra el reﬂejo especular de una perturbación que viaja por una cuerda cuando alcanza un extremo ﬁjo.

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En el vídeo podemos ver dos planos claramente diferenciados y separados por una línea blanca vertical que representa el espejo. A la izquierda aparece el plano de la realidad, cuyo fondo está en color azul oscuro, el mismo color que el del resto de los vídeos que simulan el comportamiento de la cuerda, y a la derecha está el plano virtual, el del otro lado del espejo, en color gris. La cuerda está representada en el mundo de la realidad por las mismas bolitas y gomillas que en el vídeo anterior. Las dimensiones coinciden: la longitud es de 1 metro y la anchura de la perturbación es de 0,6 metros. Junto a la cuerda, por encima y por debajo, vemos unas líneas de puntos que representan las cuerdas imaginarias por donde viajan las perturbaciones virtuales. Ambas líneas deberían coincidir exactamente con la cuerda, pero, para que resultara más fácil distinguirlas, las he dibujado ligeramente por encima y por debajo de la cuerda real. Por la línea de arriba, en color amarillo, va la perturbación incidente, la que va de la realidad al espejo, la cual continúa su camino cuando se encuentra con el soporte fijo, como si no hubiera obstáculo alguno. Por la línea de abajo, en color turquesa, viaja la perturbación reflejada, la originada al otro lado del espejo y que se dirige al plano de la realidad. Observamos que, a la vez que se introduce una perturbación que afecta a la cuerda real de nuestra simulación y a la línea de puntos amarilla, al otro lado del espejo se inicia la misma perturbación, pero invertida, una perturbación que viaja por la línea de puntos de color turquesa con la misma velocidad que la perturbación original. Vemos que ambas perturbaciones siguen por su línea de puntos como si no hubiera ningún obstáculo, atravesando en el mismo instante la separación entre la realidad y el mundo del espejo. Vemos que la cuerda real, la que está formada por las bolitas, se comporta como si fuera el resultado de sumar los desplazamientos de ambas perturbaciones virtuales, la que va por la línea de puntos amarilla y la que va por la línea de puntos turquesa. Esto es de especial interés para explicar lo que sucede en el tiempo en el que la perturbación incidente y la reflejada se solapan. Podemos apreciar que ambas perturbaciones, la incidente y la reflejada, alcanzan a la vez el soporte fijo de la cuerda, es decir, la frontera entre el mundo imaginario y el real, y a partir de ese momento empiezan a solaparse hasta que cada una termina de pasar totalmente al otro lado. Esto ocurre porque ambas perturbaciones han sido producidas simultáneamente a la misma distancia del punto del reflejo y viajan a la misma velocidad. Así mismo, puesto que 159

una es la inversa de la otra, el valor de su superposición en el punto en el que se produce el reﬂejo (es decir, el valor de la suma de sus desplazamientos individuales en el extremos ﬁjo de la cuerda real) como era de esperar, es siempre cero.

8.4.

Superposición de dos perturbaciones que viajan en sentido opuesto sobre una cuerda

Examinaremos a continuación el comportamiento de la cuerda cuando se cruzan en ella dos perturbaciones que se desplazan en sentidos opuestos. He fabricado dos vídeos en los que podemos ver que cuando las dos perturbaciones se solapan, sus desplazamientos se suman, pero que, una vez han terminado de cruzarse, cada una de ellas continúa su camino sin sufrir ninguna modificación, como si no hubiera ocurrido nada. En ambos vídeos las perturbaciones han sido ocasionadas por dos impulsos dados simultáneamente en los dos extremos de la cuerda mediante el desplazamiento vertical de los respectivos soportes. En el primer vídeo (el de la figura 8.4 y su repetición a cámara lenta en la figura 8.5) los dos impulsos desplazan la cuerda hacia arriba, mientras que en el segundo vídeo (el de la figura 8.6) el impulso de la izquierda la desplaza hacia arriba y el impulso de la derecha la desplaza hacia abajo. Por ello, en el primer caso las dos perturbaciones interfieren constructivamente, mientras que en el segundo lo hacen destructivamente. Los impulsos son similares a los que hemos visto en el vídeo anterior, es decir, tienen forma de campana de Gauss, y en la simulación ralentizada del vídeo también duran 0,6 segundos. La duración de los dos vídeos es de 20 segundos, y corresponden a las primeras 50 milésimas de segundo del movimiento de la cuerda real. Para facilitar la distinción de cada una de las perturbaciones, ahora la amplitud de cada uno de los impulsos es diferente: el impulso izquierdo es de 1 mm y la del derecho es de 0,7 mm. Empezaremos observando cómo se producen las interferencias constructivas.

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Figura 8.4: Vídeo que simula la interferencia constructiva de dos impulsos que viajan a lo largo de una cuerda.

En este vídeo podemos ver que las perturbaciones provocadas en la cuerda por el desplazamiento hacia arriba de ambos soportes viajan por la parte superior en sentidos opuestos, se superponen cuando se cruzan, continúan su camino sin alterarse y se reflejan al llegar a los extremos fijos, viajando entonces ambas por la parte de abajo. Para apreciar con detalle lo que sucede es necesario reconocer primero cada una de las dos perturbaciones por separado. Puede servirnos de ayuda ralentizar la velocidad del reproductor, tal como ocurre en el vídeo de la figura 8.5, que es una repetición a cámara lenta de los momentos iniciales del vídeo de la figura 8.4.

Figura 8.5: Momentos iniciales del vídeo de la ﬁgura 8.4 ralentizado cinco veces.

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Este vídeo auxiliar está ralentizado cinco veces respecto al anterior, lo que significa que la perturbación que vemos viaja 2.000 veces más despacio que la de la cuerda real. Ahora podemos observar con más facilidad que cada una de las dos perturbaciones, cuando no se solapa con la otra, mantiene la amplitud con la que ha sido generada: la que procede de la izquierda es siempre de 1 mm y la que procede de la derecha es siempre de 0,7 mm. Vemos también que la perturbación más amplia, la que procede de la izquierda, circula de izquierda a derecha cuando va por la franja superior y de derecha a izquierda cuando va por la inferior, mientras que la perturbación más pequeña, la que procede de la derecha, circula de derecha a izquierda cuando viaja por la franja inferior y de izquierda a derecha cuando lo hace por la franja superior. Dicho de otra forma, la perturbación mayor sigue siempre el sentido de las agujas del reloj y la menor el sentido contrario al de las agujas del reloj. Una vez que hemos identificado ambas perturbaciones, podemos observar que cuando se cruzan el desplazamiento que sufre cada punto de la cuerda es la suma de los desplazamientos que hubiera provocado en ella cada una de las perturbaciones por separado, es decir, las dos perturbaciones se superponen linealmente. Como ambas perturbaciones viajan siempre por la misma franja del espacio, las dos por arriba o las dos por abajo, interfieren entre sí de manera constructiva. Y puesto que las dos perturbaciones han comenzado a la vez y se propagan a la misma velocidad, necesariamente se cruzan en la mitad de su camino, en el punto que está a 0,5 m, y es en ese punto donde la perturbación resultante alcanza su desplazamiento máximo. Dado que la amplitud de la perturbación iniciada en el soporte izquierdo es de 1 mm y la provocada por el soporte derecho es de 0,7 mm, la amplitud máxima de la perturbación resultante es de 1,7 mm, que corresponde a un desplazamiento ascendente de la cuerda cuando las perturbaciones se encuentran en la franja superior o a un desplazamiento descendente cuando se encuentran en la franja inferior. Una vez superado su solapamiento cada una de las perturbaciones sigue su camino conservando su individualidad. Hemos podido observar que, como consecuencia de la elasticidad, la perturbación se sigue transmitiendo a través de las fuerzas que ejercen unas bolitas sobre las siguientes, por lo que, cuando cesa la coincidencia de ambas perturbaciones, cada una sigue su camino. Veamos ahora el vídeo en el que podemos observar cómo se producen las interferencias destructivas. 162

Figura 8.6: Vídeo que simula la interferencia destructiva de dos impulsos que viajan a lo largo de una cuerda.

Este vídeo solo se diferencia del de la ﬁgura 8.4 en que ahora los dos impulsos se dan en sentidos verticales opuestos: mientras que el impulso del soporte izquierdo desplaza la cuerda hacia arriba de su posición de equilibrio, el del soporte derecho la desplaza hacia abajo. Esto hace que las perturbaciones no solo viajen en sentidos opuestos a lo largo de la cuerda, sino que los desplazamientos verticales provocados por las perturbaciones siempre sean opuestos. Podemos observar que ambas perturbaciones se desplazan ahora en el sentido de las agujas del reloj, pero que cuando una se propaga por la franja superior, la otra lo hace por la inferior, y viceversa. Por eso, cuando ambas se cruzan en el punto central de la cuerda, el desplazamiento que sufre ésta es la diferencia de las amplitudes de ambas perturbaciones. Podemos apreciar que cuando la superposición de las dos perturbaciones coincide plenamente, el desplazamiento del punto central de la cuerda es de 0,3 mm (1 – 0,7 = 0,3), hacia arriba o hacia abajo en función de la franja por la que circulen las perturbaciones. También ahora vemos que, una vez que ha concluido el cruce, cada perturbación sigue su camino sin haber sufrido ninguna alteración, hasta reﬂejarse en el extremo correspondiente.

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8.5.

Formación de ondas estacionarias sobre una cuerda

Una vez que hemos estudiado la propagación, la reflexión y la superposición de las perturbaciones que viajan sobre una cuerda fija, estamos en condiciones de comprender cómo y en qué circunstancias se crean las ondas estacionarias. Y puesto que los sonidos musicales son el resultado de un conjunto armónico de ondas estacionarias, entender cómo se producen estas ondas nos permitirá conocer verdaderamente qué es el sonido musical. Un movimiento ondulatorio transmite una perturbación de un lugar a otro del espacio, es decir, por naturaleza es viajero. Ahora bien, cuando una onda sinusoidal queda atrapada en algún cuerpo o en alguna región del espacio —como puede ser la cuerda de una guitarra o la columna de aire de una flauta—, las sucesivas interferencias de la onda con su reflejo pueden hacer que su carácter viajero quede disimulado y parezca que la onda se hubiera detenido. En ese momento, el cuerpo o el volumen de aire de la región del espacio en el que la onda ha quedado encerrada comienza a oscilar y la onda viajera se transforma en onda estacionaria. A continuación vamos examinar, mediante varios vídeos que he fabricado para ello, cómo surgen las ondas estacionarias en la cuerda que nos está sirviendo de modelo. Dado que las ondas estacionarias son el resultado de la superposición de las sucesivas reflexiones de una onda sinusoidal, vamos a introducir en la cuerda oscilaciones sinusoidales, en lugar del impulso gaussiano que hemos utilizado en los vídeos anteriores. Para ello, supondremos que mediante un artilugio mecánico obligamos al soporte que sujeta el extremo izquierdo de la cuerda a realizar un Movimiento Armónico Simple (MAS). Nuestro objetivo va a ser comprobar que, cuando se introduce una oscilación sinusoidal en una cuerda concreta —definida por su longitud y por la velocidad con la que se propagan en ella las perturbaciones transversales—, sólo se producirán ondas estacionarias si la longitud de la onda creada coincide con el doble de la longitud de la cuerda o si es una parte entera de esta medida. O dicho de otra manera, se generarán ondas estacionarias cuando dentro de la longitud de la cuerda quepan exactamente un número entero de semiondas sinusoidales. En los vídeos de este apartado podremos observar que esto solamente sucede cuando en el

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tiempo que tarda en completarse una oscilación sinusoidal, la onda recorre exactamente el camino de ida y vuelta a lo largo de la cuerda o una parte entera de este camino. Veremos, así mismo, que las frecuencias de las ondas estacionarias que se pueden producir en una cuerda dada siguen la serie armónica, pues todas ellas son múltiplos de la frecuencia fundamental, que es la frecuencia de la onda estacionaria cuya longitud es el doble de la longitud de la cuerda. Recordemos que la cuerda ideal sobre la que estamos haciendo la simulación mide un metro de longitud y que la velocidad con la que se propaga por ella cualquier perturbación transversal es de 400 m/s. Por ello, en los vídeos ralentizados 400 veces, la velocidad de la propagación de la onda que observaremos será de 1 m/s, y la duración de 20 segundos corresponderá a las primeras 50 milésimas de segundo de la vibración real. En los vídeos ralentizados 2.000 veces, la velocidad de propagación será de 0,2 m/s y la duración de 30 segundos representará las primeras 15 milésimas de segundo del movimiento real de la cuerda. En todos ellos la amplitud de las oscilaciones sinusoidales introducidas es de 1 mm.

8.5.1.

Reflexión de una onda sinusoidal cuya longitud no es una parte entera del doble de la longitud de la cuerda

Pero antes de estudiar las ondas estacionarias vamos a examinar cómo se produce la reflexión de una onda sinusoidal en un extremo fijo de la cuerda cuando la longitud de la onda introducida no es una parte entera del doble de la longitud de la cuerda. Como lo que nos interesa ahora es ver lo que sucede al solaparse la onda incidente con la reflejada, elegiremos una onda cuya longitud sea menor que la longitud de la cuerda. De esta manera, podremos apreciar por separado los momentos en los que se produce el solapamiento de las dos ondas (la incidente y la reflejada) y los momentos en los que solo está presente una de ellas. Por ello, he elegido una onda cuya longitud es de 0,6 metros, la misma que la del impulso gaussiano de los apartados anteriores. El periodo de la oscilación introducida tendrá que ser, por lo tanto, de 1,5 ms. En efecto, dado que la velocidad de propagación de las perturbaciones transversales en nuestra cuerda es de 400 m/s, cuando la oscilación del soporte termine, la onda habrá recorrido 0,6 m (0,0015 x 440 = 0,6). Aunque no sea relevante en este caso, este

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periodo corresponde, redondeando a décimas de hercio, a una frecuencia de 666,7 Hz. Así pues, he confeccionado un vídeo en el que se simula el comportamiento de nuestra cuerda ideal cuando introducimos en ella esta única oscilación sinusoidal de 1,5 ms de periodo. Puesto que este vídeo está ralentizado 400 veces, la duración de la oscilación inicial que observaremos en él será de 0,6 segundos.

Figura 8.7: Vídeo que simula ralentizada 400 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es inferior a la longitud de la cuerda y no es una parte entera del doble de esta longitud.

En el vídeo vemos que una perturbación en forma de onda sinusoidal que ha sido generada por el desplazamiento vertical del soporte izquierdo recorre ininterrumpidamente la longitud de la cuerda, reflejándose de forma invertida cada vez que alcanza uno de los extremos fijos. A diferencia de los vídeos anteriores, ahora nos sorprende el carácter artificial del movimiento que realiza la cuerda. Ello se debe a la introducción repentina de una única oscilación sinusoidal y a su cese instantáneo, sin transición alguna, ni al comienzo ni al final. Aunque he procurado dotar de la mayor verosimilitud posible al movimiento de la cuerda, no podemos olvidar que estamos ante una simulación de carácter didáctico, en la que es necesario aislar el fenómeno que nos interesa estudiar, aun a consta de una apariencia artificiosa.

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Distinguimos en el vídeo dos situaciones claramente diferenciadas: los momentos en los que la onda va y viene por el medio de la cuerda y los momentos en los que esa onda se deforma, dando lugar a una fugaz semionda, cuando se refleja en los soportes de los extremos. Respecto a los primeros, no hay nada que no hayamos visto antes. Observamos cómo la oscilación provocada por el movimiento armónico simple que ha realizado el soporte, se dibuja en la cuerda en forma de onda sinusoidal. Si pensamos en los tiempos en los que suceden los acontecimientos en el vídeo, podemos verificar también que la longitud de la onda introducida es de 0,6 metros. Puesto que la velocidad con la que se propagan las perturbaciones en la cuerda del vídeo es de 1 m/s, en los 0,6 segundos que ha tardado la oscilación en completarse, la onda introducida habrá recorrido 0,6 m. En efecto, si detenemos el vídeo en cualquier instante en el que la onda se encuentre en una posición intermedia, podremos comprobar que su longitud es de 0,6 metros. Como lo que nos interesa ahora en particular es estudiar lo que sucede en los momentos en los que se produce la reflexión de la onda en cada uno de los soportes fijos en los que termina la cuerda, he fabricado un vídeo auxiliar con el movimiento de la cuerda ralentizado 5 veces más que en el vídeo anterior. En él se representan también las dos cuerdas imaginarias que hemos visto en el vídeo de la figura 8.3, pues nos sirven para interpretar la reflexión como la superposición de dos ondas virtuales, la incidente y la reflejada, que viajarían por ellas.

Figura 8.8: Vídeo que simula ralentizada 2.000 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es inferior a la longitud de la cuerda y no es una parte entera del doble de esta longitud, con el añadido de dos cuerdas virtuales que ilustran lo que sucede en la reﬂexión.

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Igual que en el vídeo anterior, vemos que sobre la cuerda real —representada por las bolitas unidas por muellecillos— se desplaza una onda sinusoidal que se refleja cada vez que alcanza uno de los extremos fijos. Vemos también dos cuerdas virtuales que no están sujetas a ningún soporte y que, como en el vídeo de la figura 8.3, debemos imaginar prolongándose por ambos lados a través de un espacio imaginario que no está representado en este vídeo. Por la cuerda amarilla viaja, de izquierda a derecha, la perturbación original en los primeros segundos del vídeo, y luego los sucesivos reflejos que se producen en el soporte izquierdo (esto es, las ondas sinusoidales provenientes del otro lado del hipotético espejo situado a la izquierda de la cuerda). Por la cuerda turquesa viajan, de derecha a izquierda, las ondulaciones reflejadas en el soporte derecho (es decir, las ondas que llegan desde el espacio imaginario de la derecha), las cuales son del mismo periodo, amplitud y longitud de onda que las de la cuerda amarilla, pero invertidas. Ya he explicado, a propósito del vídeo de la figura 8.3, la razón por la que la suma de los desplazamientos de las cuerdas auxiliares en los puntos extremos fijos es siempre cero. Ahora vamos a prestar atención a lo que sucede cuando se produce la superposición entre la onda incidente y la reflejada en los extremos fijos de la cuerda. Si nos fijamos en el soporte de la derecha, vemos que en el momento en el que la onda que viaja por la cuerda amarilla comienza a atravesar el soporte, también lo hace la onda turquesa que, invertida, proviene del otro lado del supuesto espejo. Como una onda es la inversa de la otra y ambas viajan a la misma velocidad en sentidos opuestos, en el momento en el que ambas están a la mitad del cruce, las dos, que en ese momento tienen la forma de una semionda sinusoidal inferior, coinciden exactamente. Lo mismo sucede en el soporte derecho, con la única diferencia de que, en ese caso, las semiondas que coinciden son las superiores. En ambos momentos, vemos que la cuerda adquiere su desplazamiento máximo, hacia abajo o hacia arriba, respectivamente. Veamos una instantánea de este último vídeo que representa un momento inmediatamente anterior a producirse la coincidencia exacta de las dos ondas virtuales cuando se cruzan en el soporte derecho (si fuera en el momento exacto no podríamos distinguir las dos cuerdas virtuales, pues coincidirían exactamente).

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Figura 8.9: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 8.8 en el momento anterior a producirse la coincidencia entre la semionda incidente y la reﬂejada.

En la figura podemos observar que en el momento de la coincidencia, tanto la onda incidente como la reflejada tienen la forma de una semionda sinusoidal inferior. Teniendo en cuenta que la suma de dos ondas sinusoidales de la misma fase es también una onda sinusoidal de la misma fase cuya amplitud es la suma de las amplitudes de las dos ondas componentes, la cuerda real adquiere también la forma de una semionda sinusoidal de la misma fase, cuya amplitud es el doble de la de las ondas virtuales. En la gráfica vemos que la semionda formada en la cuerda real, la de las bolitas, tiene una amplitud de 2 mm, el doble de la que tiene la onda cuando no está solapada. Resumiendo, mediante los vídeos de las figuras 8.7 y 8.8 hemos podido observar que las semiondas creadas en la cuerda real en cada reflexión duran solamente un instante, pues a continuación esa semionda fugaz se diluye y se dibuja de nuevo en la cuerda la forma de la onda completa. Así pues, la onda sigue siendo viajera, pues en esta cuerda la oscilación introducida no ha generado una onda estacionaria.

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8.5.2.

Generación de una onda estacionaria en el modo fundamental de vibración

A continuación examinaremos lo que sucede al introducir en la cuerda, mediante el desplazamiento vertical del soporte izquierdo, una oscilación de un periodo tal que sea capaz de generar en ella una onda sinusoidal de longitud doble de lo que mide la cuerda. Veremos que cuando la onda termine de realizar por primera vez su recorrido de ida y vuelta a lo largo de la cuerda, su carácter viajero quedará enmascarado y la cuerda entera comenzará a oscilar de forma unitaria, realizando un movimiento armónico simple de la misma frecuencia que la de la oscilación inicial que la ha generado. Cuando esto ocurre decimos que se ha producido una onda estacionaria en el modo fundamental de vibración o primer modo. Para generar una onda estacionaria de estas características en la cuerda que nos sirve de modelo (que, recordemos, mide 1 metro y tiene una velocidad de propagación de 400 m/s), la longitud de la onda sinusoidal que viaje por ella deberá tener 2 metros y, por lo tanto, el periodo de la oscilación inicial que deberemos introducir tendrá que ser de 5 milésimas de segundo. En efecto, en 5 ms la onda habrá recorrido los 2 metros que mide el camino de ida y vuelta a lo largo de la cuerda (440 x 0,005 = 2). La frecuencia de la oscilación será, pues, de 200 Hz (1/0,005 = 200). Como en los casos anteriores, he fabricado un vídeo que reproduce, ralentizado 400 veces, el movimiento de la cuerda en estas condiciones. El periodo de la oscilación inicial que observaremos en el vídeo será, por lo tanto, de 2 segundos y su frecuencia de 0,5 Hz. La velocidad de propagación que veremos será de 1 m/s.

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Figura 8.10: Vídeo que simula ralentizada 400 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda.

Al igual que en el vídeo de la figura 8.7, como consecuencia de la superposición de la onda con su reflejo, se crea en la cuerda una semionda sinusoidal inferior. La diferencia reside en que ahora la semionda abarca la cuerda entera y en que la cuerda conserva la forma de semionda durante toda la duración del vídeo, alternándose entre semionda inferior y semionda superior. Aparentemente ya no se transmite ninguna perturbación por la cuerda; en su lugar, oscila la cuerda en su conjunto como un todo, repitiendo toda ella el movimiento oscilatorio que ha sido introducido por el soporte. La onda ha dejado de viajar a lo largo de la cuerda y se ha transformado en una onda estacionaria. La frecuencia con la que oscila la cuerda es la misma que la de la oscilación que la ha generado, en nuestro vídeo, que está ralentizado 400 veces, es 0,5 Hz. En efecto, podemos observar que cada 2 segundos la cuerda realiza una oscilación completa. Vemos también que, una vez formada la onda estacionaria, cada punto de la cuerda oscila de forma sinusoidal, en fase con todos los demás, con una amplitud que es siempre la misma para cada punto y que depende únicamente de su posición en la cuerda. Observamos que los puntos extremos permanecen fijos y que el punto situado en la mitad de la cuerda es el que alcanza la mayor amplitud. La pregunta que tenemos que responder ahora es: ¿Por qué se ha producido esto? Para entender con más detalle lo que ocurre vamos a ver un vídeo que describe, cinco veces más despacio que el vídeo anterior, los momentos iniciales en los que se 171

crea la onda estacionaria. En él aparecen las cuerdas virtuales que hemos visto antes y que nos van a ayudar a entender cómo las constantes interferencias entre las ondas reﬂejadas en ambos extremos ﬁjos dan lugar a la onda estacionaria.

Figura 8.11: Vídeo que simula ralentizada 2.000 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda, con el añadido de dos cuerdas virtuales que ilustran lo que sucede en la reﬂexión.

Con ayuda de las cuerdas virtuales auxiliares, en el vídeo podemos ver que lo que está sucediendo por debajo de esa apariencia de estabilidad es que los sucesivos reflejos de la onda viajera están interfiriendo entre sí, dando lugar a la formación de esa onda que parece haberse detenido. En el vídeo vemos que, como consecuencia de los sucesivos reflejos, la onda sinusoidal amarilla viaja ininterrumpidamente de izquierda a derecha, y la turquesa de derecha a izquierda. En los momentos iniciales del vídeo, podemos apreciar que cuando la onda incidente, la de color amarillo, alcanza el soporte derecho, comienza a surgir invertida la onda reflejada, la de color turquesa. Como he explicado a propósito del vídeo de la figura 8.8, cuando ambas ondas imaginarias completan la mitad de su recorrido, coinciden plenamente y la cuerda real, la de las bolitas, adquiere la forma de una semionda sinusoidal inferior. Dado que, en este caso, la longitud de la onda es de 2 metros, la semionda abarca la longitud entera de la cuerda y, por lo tanto, se termina de formar en el instante exacto en el que el soporte izquierdo ha completado su oscilación. Esta coincidencia —que se produce como consecuencia de que el periodo de la oscilación 172

introducida y la velocidad de propagación de la cuerda dan lugar a una onda de longitud doble que la de la cuerda— es la causa de que la cuerda comience a oscilar de forma unitaria y se cree una onda estacionaria en el primer modo de vibración. Veamos en la ﬁgura de abajo el momento inmediatamente anterior a la formación de esta semionda sinusoidal.

Figura 8.12: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 8.11 en el momento anterior a producirse la coincidencia entre la semionda incidente y la reﬂejada.

Vemos que la cuerda entera está a punto de adquirir la forma de una semionda sinusoidal y que, al coincidir las dos ondas virtuales, su amplitud alcanza el valor máximo, 2 mm. Tenemos que entender ahora por qué esta forma que adquiere la cuerda no se diluye, como en el caso del vídeo de la ﬁgura 8.8, sino que la ondulación de la cuerda va modiﬁcando su amplitud y alternando su forma entre una semionda inferior y una semionda superior. Para ello, tenemos que tener presente que la suma de dos ondas sinusoidales de la misma longitud de onda es otra onda sinusoidal de esa misma longitud, cuya amplitud depende de la diferencia de fase entre las dos ondas componentes. Al viajar las dos ondas en dirección opuesta, el desplazamiento hacia la derecha de la onda que va 173

por la cuerda amarilla es compensado por el desplazamiento hacia la izquierda de la onda turquesa, por lo que la cuerda real, la de las bolitas, siempre conserva la misma fase, manteniendo, por lo tanto, la forma de una semionda sinusoidal. Puesto que las dos ondas auxiliares viajan a la misma velocidad en direcciones opuestas, siempre se cruzan en el medio, pasando de coincidir plenamente, cuando ambas cuerdas virtuales forman una semionda inferior o superior, a oponerse por completo, dando lugar a que la cuerda adquiera, en el instante en el que pasa por la posición de equilibrio, la forma rectilínea. Dicho de otra manera, las cuerdas auxiliares pasan continuamente de estar en fase a estar en oposición de fase. Pero siempre los adelantos de una se compensan con los retrasos de la otra, por lo que la resultante, la de la cuerda real, es siempre una semionda inferior o una semionda superior, según sea la zona en la que coincidan las ondas virtuales. Los desfases entre las ondas virtuales se traducen en diferencias de amplitud de la onda resultante: cuando ambas están en fase —es decir, cuando coinciden— la amplitud es máxima, como hemos visto en la ﬁgura 8.12; conforme se desfasan, yendo una hacia la derecha y la otra hacia la izquierda, la amplitud de la cuerda real disminuye; y cuando llegan a estar en oposición de fase, la amplitud se anula y en ese instante la cuerda recobra su forma rectilínea, como se puede ver en la ﬁgura de abajo.

Figura 8.13: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 8.11 en el momento anterior a producirse la oposición entre la semionda incidente y la reﬂejada.

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Por otra parte, dado que el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda real es la suma de los desplazamientos de los puntos correspondientes de la onda incidente y la reﬂejada, en toda onda estacionaria hay puntos cuyo desplazamiento es siempre nulo y otros cuyo desplazamiento alcanza el valor máximo. Los puntos que son ﬁjos se denominan nodos, y en este modo fundamental de vibración son sólo los puntos extremos de la cuerda. Los puntos que oscilan con una amplitud máxima se denominan vientres o antinodos, y en este modo, sólo lo es el punto medio, aquél en el que siempre se cruzan las dos ondas virtuales. La amplitud con la que oscila este punto es el doble de la amplitud de la oscilación introducida, en este caso podemos ver que es de 2 mm. Así pues, el modo primero de vibración se caracteriza porque la cuerda entera oscila de forma unitaria. En consecuencia, tiene un solo vientre en el punto central de la cuerda y dos nodos que están situados en los puntos extremos. La frecuencia de este primer modo de vibración es la que corresponde a una longitud de onda doble de la longitud de la cuerda. En nuestra cuerda ideal, sobre la que estamos realizando la simulación, la frecuencia de este primer modo de vibración es de 200 Hz.

8.5.3.

Generación de ondas estacionarias en los modos de vibración armónicos

Ahora vamos a comprobar que también se producen ondas estacionarias en nuestra cuerda cuando la oscilación que introducimos al desplazar el soporte izquierdo da lugar a una onda cuya longitud es una parte entera del doble de la longitud de la cuerda. O, dicho de otra manera, cuando introducimos oscilaciones sinusoidales cuyo periodo es tal que, al reﬂejarse la perturbación en los extremos ﬁjos de la cuerda, se crean un número entero de semiondas. Para que este requisito se cumpla, el periodo de las oscilaciones iniciales tendrá que ser la mitad, la tercera parte, la cuarta parte o cualquier parte entera del periodo que ha producido la onda estacionaria en el modo de vibración fundamental. Por ello, la frecuencia de estas oscilaciones iniciales —que será la misma con la que oscilará la cuerda cuando se formen en ella las ondas estacionarias— tendrá que ser el doble, el triple, el cuádruple o cualquier otro múlti-

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plo entero de la frecuencia fundamental de vibración. Ello explica que estos modos naturales de vibración se denominen armónicos. Vamos a detenernos a continuación en observar cómo se produce el segundo modo de vibración y luego generalizaremos los conceptos aprendidos al resto de los modos armónicos. Para lograr que nuestra cuerda ideal se ponga a vibrar en el segundo modo de vibración, la longitud de la onda que deberemos generar tendrá que ser de 1 metro. Por ello, el periodo con el que deberá oscilar el soporte izquierdo para introducir la perturbación tendrá que ser de 2,5 ms. En efecto, dado que la velocidad de la cuerda es de 400 m/s, en 2,5 ms la onda habrá recorrido 1 metro (400 x 0,0025 = 1). La frecuencia de la oscilación inicial será, por lo tanto, de 400 Hz. Tenemos que tener en cuenta también que, para que se produzca el solapamiento de la onda incidente con la reﬂejada en el segundo modo de vibración, deberemos introducir en la cuerda dos oscilaciones completas. He fabricado un vídeo que simula el comportamiento de nuestra cuerda ideal cuando se introducen en ella dos oscilaciones sinusoidales de ese periodo de 2,5 ms. También ahora el movimiento de la cuerda está ralentizado 400 veces, con lo cual el periodo de la oscilación que observaremos será de 1 segundo y su frecuencia, por lo tanto, de 1 Hz.

Figura 8.14: Vídeo que simula ralentizada 400 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es la misma que la longitud de la cuerda.

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En el vídeo podemos observar que en el mismo instante en el que el soporte izquierdo ha terminado de realizar las dos oscilaciones y se ha quedado ﬁjo, en la cuerda se han formado dos semiondas, una inferior y otra superior, es decir, se ha creado una onda sinusoidal entera. De modo similar a lo que hemos visto en el caso de la onda estacionaria en el modo fundamental de vibración, a partir de ese momento desaparece el carácter viajero de la onda y la cuerda comienza a oscilar. La diferencia reside en que ahora oscila como si estuviera dividida en dos partes. La forma que adquiere la cuerda en su oscilación es la de una onda completa. Ahora hay un nuevo punto ﬁjo, un nodo, que está en el medio de la cuerda (con lo que en total hay tres nodos), y dos puntos de desplazamiento máximo, dos antinodos o vientres, que están en la mitad de cada semionda, uno a 0,25 m y el otro a 0,75 m. La frecuencia con la que vemos oscilar la cuerda en este vídeo es el doble de la que tenía en el anterior: ahora es de 1 Hz, que corresponde, en la cuerda de la realidad, a 400 Hz. Esta frecuencia es la misma que la de las oscilaciones iniciales que han generado la onda estacionaria. Dado que en el modo segundo de vibración la cuerda adquiere la forma de una onda sinusoidal completa, podremos apreciar más claramente cómo surge una onda estacionaria. Para verlo con más detalle he fabricado un vídeo con los momentos iniciales del movimiento de la cuerda, ralentizados 5 veces respecto al vídeo anterior o, lo que es lo mismo, 2.000 veces respecto al movimiento de la cuerda real. Este vídeo corresponde a las primeras 15 milésimas de segundo del movimiento de la cuerda real. También ahora la cuerda real, representada por las bolitas, va acompañada de las cuerdas virtuales auxiliares, la amarilla y la azul turquesa.

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Figura 8.15: Vídeo que simula ralentizada 2.000 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es la misma que la longitud de la cuerda, con el añadido de dos cuerdas virtuales que ilustran lo que sucede en la reﬂexión.

Puesto que ahora la longitud de la onda es la misma que la de la cuerda, podemos observar que justamente cuando la perturbación inicial —que viaja de izquierda a derecha por la cuerda auxiliar amarilla— alcanza el soporte derecho, se termina de formar en la cuerda una onda sinusoidal completa. Luego, justo cuando empieza a surgir en la cuerda la segunda ondulación sinusoidal desde el soporte izquierdo, esa primera perturbación se refleja en el soporte derecho y regresa invertida, de derecha a izquierda, por la cuerda virtual turquesa. Podemos ver después que, en el instante en el que la primera onda ha terminado de recorrer el camino de ida y vuelta a lo largo de la cuerda y ha alcanzado de nuevo el soporte izquierdo, la segunda onda ha llegado al soporte derecho. En ese mismo instante, la onda incidente y la reflejada coinciden plenamente y la cuerda real dibuja la forma entera de una onda o, lo que es lo mismo, la de dos semiondas opuestas consecutivas. En la figura de abajo se muestra el instante previo a esta coincidencia.

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Figura 8.16: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 8.15 en el momento anterior a producirse la coincidencia entre la onda incidente y la reﬂejada.

En la figura podemos apreciar que en ese instante las cuerdas virtuales prácticamente coinciden, con lo que, al sumarse los desplazamientos de ambas, el desplazamiento vertical de cada uno de los puntos de la cuerda real alcanza su valor máximo, dando como resultado una onda sinusoidal cuya amplitud es el doble de la amplitud de la oscilación introducida, es decir, 2 mm. Si volvemos al vídeo de la figura 8.15, podemos fijarnos en que, a partir del momento en el que la cuerda adquiere la forma de una onda completa, el desplazamiento hacia la derecha de la onda virtual incidente —la que viaja por la cuerda amarilla— es compensado por el desplazamiento hacia la izquierda de la onda virtual reflejada —la que viaja por la cuerda turquesa—, de modo que desde ese momento la cuerda, que parece estar dividida en dos partes, oscila de forma estable, como si ya no se propagara ninguna perturbación por ella. Atendamos ahora a lo que ocurre cuando la cuerda oscila. Nos damos cuenta de que pasa por dos situaciones extremas. Una es el momento en el que las cuerdas auxiliares coinciden completamente, con lo que la ondulación de la cuerda real alcanza su máxima amplitud, como hemos visto en la figura 8.16; otra es el momento en el que las cuerdas virtuales están en oposición de fase, con lo que los desplazamientos 179

de todos los puntos de la cuerda se anulan y ésta pasa por su posición de equilibrio, como podemos ver en la ﬁgura de abajo.

Figura 8.17: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 8.15 en el momento anterior a producirse la oposición entre la onda incidente y la reﬂejada.

En el vídeo de la figura 8.15 podemos apreciar que, como consecuencia también de que ambas ondas virtuales se desplazan a la misma velocidad en sentidos opuestos, se cruzan siempre en los mismos puntos y se oponen siempre en los mismos puntos. Dado que el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda real es la suma de los desplazamientos de los puntos correspondientes de las cuerdas virtuales, los puntos en los que éstas se cruzan oscilan con la máxima amplitud y son los vientres o antinodos de la onda estacionaria, mientras que los puntos en los que siempre se oponen permanecen fijos y constituyen los nodos. En la figura 8.17 podemos ver que las ondas virtuales se cruzan en 0,25 m y 0,75 m, que corresponden a los vientres de la onda real que hemos visto en el vídeo, y se oponen en 0 m, 0,5 m y 1 m, que corresponden a los nodos de la onda real. Podemos generalizar las ideas que hemos visto respecto al primero y segundo modo de vibración a cualquier caso en el que la frecuencia de las oscilaciones iniciales sea múltiplo de la frecuencia del modo fundamental. En cualquiera de esos modos de 180

resonancia armónicos, la longitud de la onda generada por la oscilación inicial será necesariamente una parte entera del doble de la longitud de la cuerda (que, recordemos, coincide con la longitud de la onda en el modo de resonancia fundamental), de forma que la cuerda entera oscilará dividida en tantas partes como semiondas se puedan formar en ella. En el vídeo de abajo se simula la generación de una onda estacionaria en el tercer modo de vibración. El periodo de las oscilaciones introducidas tendrá que ser, en este caso, la tercera parte del periodo necesario para producir la onda estacionaria en el modo fundamental, es decir, 5/3 ms. Por ello, la frecuencia correspondiente será el triple de la frecuencia fundamental, esto es, 600 Hz, si bien, al estar el vídeo ralentizado 400 veces, la frecuencia que observaremos en él será de 1,5 Hz. La longitud de la onda será también la tercera parte del doble de la longitud de la cuerda, esto es, 2/3 m, es decir, redondeando a milímetros, 0,667 m. Para que se solapen completamente la onda introducida con su reﬂejo necesitaremos ahora tres oscilaciones iniciales.

Figura 8.18: Vídeo que simula ralentizada 400 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es la tercera parte del doble de la longitud de la cuerda.

Podemos observar que, al terminar de completarse las tres oscilaciones iniciales del soporte, la cuerda comienza a vibrar sin que parezca que se propague ya ninguna perturbación por ella. En este caso la cuerda adquiere la forma de tres semiondas si181

nusoidales, consecutivas y opuestas, que oscilan al ritmo de la frecuencia introducida. Vemos que en este modo estacionario de vibración se forman 4 nodos —en los puntos 0, 0,3333, 0,6666 y 1—, que dividen la cuerda en tres partes, y tres vientres entre los nodos. Puesto que la frecuencia que resulta es el triple de la del modo primero de vibración, cuando es excitado este modo, producirá el tercer armónico. Algo parecido podríamos hacer para generar el cuarto modo de vibración, con la diferencia de que deberíamos introducir cuatro oscilaciones. En ese caso el periodo de la oscilación introducida deberá ser la cuarta parte del periodo fundamental y su frecuencia, cuádruple, es decir, deberá tener un periodo de 1,25 ms y, por lo tanto, una frecuencia de 800 Hz. Ello dará lugar a una longitud de onda de 0,5 m. Veámoslo en un nuevo vídeo.

Figura 8.19: Vídeo que simula ralentizada 400 veces la propagación a lo largo de una cuerda de una perturbación sinusoidal cuya longitud de onda es la mitad de la longitud de la cuerda.

La frecuencia representada en el vídeo es de 2 Hz, pues el movimiento de la cuerda está ralentizado 400 veces respecto a la vibración real que está simulando. Podemos observar que en las ondas estacionarias que se forman en el cuarto modo de vibración hay 5 nodos —en los puntos 0, 0,25, 0,5, 0,75 y 1—, que dividen la cuerda en cuatro semiondas, y cuatro vientres entre los nodos. Así pues, la frecuencia de 800 Hz, que es cuatro veces la del modo primero de vibración de esta cuerda, corresponde al cuarto armónico. 182

Y algo similar podríamos observar en los restantes modos de vibración. Su número, en principio, sería inﬁnito. En la realidad, sin embargo, la pérdida de elasticidad de la cuerda para longitudes de onda pequeñas hace que el número de modos armónicos de vibración sea limitado. De los vídeos que hemos visto en este apartado dedicado a la formación de ondas estacionarias podemos sacar la conclusión de que la cuerda fija en sus extremos tiene la propiedad de crear ondas estacionarias a frecuencias que son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental determinada, es decir, en modos de vibración armónicos. La frecuencia fundamental depende tanto de la velocidad de propagación de la perturbación a lo largo de esa cuerda, como de la longitud de ésta. El periodo de la oscilación que da lugar a la frecuencia fundamental coincide con el tiempo que tarda la perturbación en realizar el camino de ida y vuelta a lo largo de la cuerda. Y también se crean ondas estacionarias cuando se introducen 2, 3, 4 o cualquier número entero de oscilaciones en ese tiempo que tarda la perturbación en ir y volver. Eso quiere decir que la cuerda tiene unos modos naturales de vibración, los cuales son también llamados modos de resonancia. A continuación veremos por qué se llaman así y lo que sucede cuando son excitados.

8.6.

La resonancia

Cualquier músico ha sufrido alguna vez la desagradable experiencia de que algún objeto de su entorno empezaba a emitir un sonido cuando daba una determinada nota con su instrumento, sin que le resultara nada sencillo determinar su procedencia. Al cabo, se ha encontrado con un cenicero metálico, una lámpara de cristal o un objeto cualquiera que estaba vibrando. Ocurría simplemente que el objeto en cuestión resonaba con la nota musical que estaba emitiendo el instrumento: la vibración producida por esa nota tenía un componente frecuencial que coincidía con alguna de las frecuencias naturales de vibración del objeto, de modo que éste se ponía a resonar. La resonancia se produce porque un cuerpo que vibra excita a otro que es capaz de vibrar. Un cuerpo entra en resonancia cuando alguna de las frecuencias del sistema excitador coincide con alguna de las frecuencias naturales de vibra183

ción que ese cuerpo posee, de modo que la perturbación no se limita a pasar a través de él, sino que se retroalimenta positivamente, dando lugar a una onda estacionaria cuya amplitud se va incrementando con el paso del tiempo. La resonancia despierta los modos de vibración que por naturaleza posee cada objeto y por eso a estos modos normales o naturales de vibración se les llama también modos de resonancia. Un ejemplo tomado de la vida cotidiana que nos puede servir para comprender el fenómeno de la resonancia es el de un columpio. Pensemos que tenemos a un niño columpiándose y queremos que cada vez gane más altura y que el columpio se balancee más y más. El columpio, al igual que cualquier péndulo, tiene una frecuencia natural de oscilación, la cual depende de su longitud. Si empujamos el columpio de forma periódica, haciendo que nuestros impulsos se produzcan siempre en el mismo estado de la oscilación, el columpio irá ganando en altura; si, por el contrario, impulsamos el columpio cuando se nos ocurra, con total independencia del estado de oscilación, no incrementaremos la amplitud de sus oscilaciones, sino que probablemente lo frenaremos. En deﬁnitiva, si impulsamos el columpio siempre con la misma frecuencia y ésta coincide con la frecuencia natural de oscilación de ese columpio concreto (por ejemplo, si lo impulsamos siempre cuando pasa lo más próximo al suelo), el columpio irá acumulando esa energía y progresivamente la amplitud de sus oscilaciones aumentará. Examinemos ahora cómo se produce la resonancia en la cuerda que estamos utilizando para nuestras simulaciones. Recordemos que mide 1 m de longitud, que está ﬁja en sus extremos y que tiene, por razón de su masa y de la tensión a la que está sometida, una velocidad de propagación de las perturbaciones transversales de 400 m/s. Como consecuencia de ello, tal como hemos visto en el apartado anterior, en nuestra cuerda se puedan crear ondas estacionarias en frecuencias que sean múltiplos enteros de 200 Hz. Y esto quiere decir que cuando la cuerda entre en contacto con una vibración en alguna de estas frecuencias, se pondrá en resonancia con ella y empezará a vibrar por simpatía: con una frecuencia de 200 Hz dará el primer modo de resonancia o fundamental; con una de 400 Hz, el segundo modo de resonancia; con 600 Hz, el tercero, y así sucesivamente. Así pues, si en nuestra simulación hacemos que la frecuencia con la que oscila el soporte que introduce la perturbación coincida

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con una de esas frecuencias naturales de vibración, la cuerda se pondrá a vibrar en resonancia. A diferencia de los casos anteriores, ahora vamos a introducir en la cuerda oscilaciones de modo continuo, unas oscilaciones de amplitud muy pequeña, de 0,1 mm, pero que se mantienen durante cierto periodo de tiempo, exactamente durante 50 ms. Lo que nos interesa es comprobar cómo la amplitud de la oscilación que se genera en la cuerda va creciendo rápidamente a medida que pasa el tiempo. Empezaremos viendo lo que ocurre cuando el soporte oscila durante 50 ms a una frecuencia de 200 Hz, es decir, la frecuencia del modo fundamental o primero de resonancia de nuestra cuerda. En el vídeo de abajo, que está ralentizado 400 veces, la frecuencia será de 0,5 Hz, con lo que podremos observar una oscilación completa cada 2 segundos.

Figura 8.20: Vídeo que simula la creación por resonancia de una onda estacionaria en el primer modo de vibración.

Vemos que enseguida se crea una onda estacionaria en el primer modo de resonancia, por lo que la cuerda entera oscila de manera unitaria. Pero vemos también, y esto es lo más importante, que la amplitud de la oscilación crece de manera muy rápida, de tal forma que cuando el soporte se detiene al concluir los primeros 50 ms de la realidad (o los primeros 20 segundos del vídeo), la amplitud de la oscilación de la cuerda ha alcanzado ya 2 mm. Es decir, han bastado 50 ms de oscilación del soporte 185

para multiplicar la amplitud de esa oscilación inicial por 20 veces. Sucede que el movimiento del soporte se acopla con las sucesivas reﬂexiones de la cuerda, de tal modo que la energía se acumula y eso hace crecer la oscilación de la cuerda, de modo semejante a lo que ocurre en el columpio. Ahora examinaremos lo que sucede cuando el soporte oscila con otra de las frecuencias de resonancia naturales de nuestra cuerda, en este caso 400 Hz, que corresponde al segundo modo de resonancia. En el vídeo, ralentizado 400 veces, la frecuencia será de 1 Hz.

Figura 8.21: Vídeo que simula la creación por resonancia de una onda estacionaria en el segundo modo de vibración.

Vemos que en este caso se crea también una onda estacionaria, ahora en el modo segundo. En efecto, la cuerda oscila dividida por la mitad en dos partes. Cuando el soporte deja de moverse el punto medio permanece ya estable y se crea en él un nodo. También ahora podemos apreciar que la mínima amplitud con la que oscila el soporte es capaz de provocar una gran respuesta en la oscilación de la cuerda. Comprobamos, pues, que la cuerda resuena también a la frecuencia de 400 Hz. Para experimentar que la resonancia se produce solo cuando la oscilación que introducimos tiene una frecuencia que coincide con alguno de los modos de resonancia naturales de nuestra cuerda, vamos a ver lo que sucede cuando forzamos a la cuerda a vibrar a una frecuencia alejada de cualquiera de esos modos. En concreto, vamos a 186

forzar a la cuerda mediante una oscilación constante del soporte izquierdo a 285 Hz de frecuencia. En el vídeo, al estar ralentizado 400 veces, la frecuencia del soporte será aproximadamente de 0,7 Hz.

Figura 8.22: Vídeo que muestra que no hay resonancia si la frecuencia de la oscilación introducida no coincide con ningún modo natural de vibración de la cuerda.

La duración del vídeo es de 33 segundos, que corresponden aproximadamente a 82 milésimas de segundo del movimiento real de la cuerda. A pesar de que durante todo este tiempo el soporte izquierdo se mantiene oscilando, vemos que no es capaz de generar en la cuerda una onda estacionaria. El soporte fuerza a vibrar a la cuerda a la misma frecuencia con la que oscila, 285 Hz en la realidad y 0,7 Hz en el vídeo, pero, como esta frecuencia no corresponde a ninguna de las frecuencias naturales de resonancia de la cuerda, la oscilación del soporte no se acopla con la onda que se transmite a lo largo de la cuerda y no genera ninguna onda estacionaria. Además, la amplitud con la que oscila la cuerda forzada por el soporte es, por ello mismo, muy pequeña. En resumen, cuando un cuerpo vibra siempre lo hace a la misma frecuencia que posee aquello que lo fuerza a vibrar. La diferencia es que si esa frecuencia coincide con alguna que posee el cuerpo receptor por su propia naturaleza, esa fuerza se transmite muy eficazmente, acoplándose y amplificándose, mientras que si no se produce esa coincidencia, la eficacia es mucho menor. 187

La resonancia se produce siempre en un contexto de oscilaciones forzadas. La resonancia implica dos partes. Por un lado, la parte activa: un cuerpo o sistema que vibra y que con sus vibraciones excita o impulsa a otro. Por otro, la parte pasiva: un cuerpo o sistema que, por su propia constitución, posee una o varias frecuencias naturales de vibración. Al poner en relación estas dos partes, siempre el resultado será que la frecuencia de la vibración del cuerpo o sistema pasivo será la misma que la del sistema impulsor o activo, con independencia de cuál fuera su frecuencia natural de vibración. Ahora bien, cuando la frecuencia del sistema impulsor se aproxima mucho a una de las frecuencias naturales del sistema pasivo, la facilidad con la que la energía del sistema impulsor se transmite al sistema pasivo hace que la amplitud de las vibraciones de este sistema pasivo crezca de forma extraordinaria. Como conclusión podemos decir, que, en líneas generales, cuando coincide la frecuencia de la fuerza excitante y la frecuencia natural del sistema pasivo, se produce un cambio cualitativo importante. La resonancia nos muestra como una fuerza en sí misma pequeña puede crear un efecto grande. Este efecto será más evidente conforme las fuerzas de fricción o cualquier otra que se oponga al movimiento sean menores. En el caso de nuestra cuerda ideal en la que hemos descartado cualquier fuerza de amortiguación este crecimiento es máximo.

8.7.

Generación del sonido armónico

Una vez que hemos visto que la cuerda, por sus propias características físicas, posee unos modos naturales de vibración que son armónicos y que estos modos resuenan cuando coinciden con alguna o algunas de las frecuencias que están presentes en la perturbación que la excita, estamos en condiciones de entender en qué consiste y cómo se produce la vibración armónica. Habitualmente una cuerda, como cualquier otro cuerpo capaz de vibrar, vibra simultáneamente en varios modos de resonancia. Esto da lugar a que el movimiento de la cuerda evolucione de una forma aparentemente compleja. Vamos a comenzar observando un caso sencillo: el movimiento a cámara lenta que realiza la cuerda de nuestra simulación cuando vibra simultáneamente en los dos primeros modos de resonancia. Para ello, he fabricado un vídeo en el que el movimiento 188

del soporte que provoca la vibración de la cuerda es una oscilación armónica de la misma frecuencia que la frecuencia natural de vibración de la cuerda, y consta de los dos primeros armónicos. La frecuencia del primer componente es 200 Hz y la del segundo componente es 400 Hz. La amplitud de ambos componentes es la misma y está ajustada para que la amplitud máxima de la onda cuando quede resonando sea de 2 mm.

Figura 8.23: Vídeo que simula la vibración de una cuerda en los dos primeros modos de resonancia.

En el vídeo, que está ralentizado 400 veces respecto al movimiento real de nuestra cuerda, podemos observar cómo se superponen los dos primeros modos de vibración. Al entrar en resonancia por la acción del soporte, el movimiento de la cuerda va incrementando rápidamente su amplitud. Cuando el soporte se detiene, lo cual ocurre en el segundo 20 del vídeo o en el 50 ms de la realidad, y dado que no hemos tenido en cuenta ninguna fuerza de amortiguación, la amplitud de la onda permanece estable durante el resto del vídeo. Vemos que el conjunto de la cuerda oscila arriba y abajo una vez cada 2 segundos, como corresponde a la frecuencia fundamental. Esto lo podemos ver mejor si nos ﬁjamos en el punto central de la cuerda, el que está en 0,5 m: podemos apreciar en el vídeo que este punto oscila arriba y abajo haciendo un Movimiento Armónico Simple (MAS) con la frecuencia del primer modo de resonancia de nuestra cuerda, que 189

coincide con la frecuencia fundamental de la oscilación del soporte que está introduciendo la perturbación, es decir, 0,5 Hz en el vídeo o 200 Hz en la realidad. Pero, a la vez, observamos que la cuerda se divide por el medio en dos partes iguales y que cada una de estas partes oscila, de forma complementaria una de la otra, a una frecuencia doble de la que tiene el conjunto de la cuerda, es decir, a 400 Hz en la realidad o a 1 Hz en el vídeo. Este movimiento es similar al que tendría la cuerda si solo se hubiera introducido en ella el segundo modo de resonancia y pivotara en torno al punto central (como podemos ver en la ﬁgura 8.21). Pero este punto central en el modo segundo sería un nodo y, por lo tanto, permanecería inmóvil. La diferencia reside en que ahora este punto central oscila también arriba y abajo, en cuanto que es el punto de máxima amplitud, el vientre, del primer modo de resonancia. En este caso sencillo en el que se combinan solamente los dos primeros modos de resonancia, nos resulta fácil apreciar que el movimiento total de la cuerda es el resultado de la composición de estos dos movimientos, pero a medida que el número de los componentes que vibran aumenta, la vibración de la cuerda se hace más y más compleja, hasta un punto en el que ya no es posible discernirlos ni siquiera en un vídeo ralentizado. Por otra parte, hay que tener en cuenta que en nuestra simulación solamente hemos contemplado el caso de que la excitación que genera la onda sobre la cuerda se realice a través de uno de los extremos ﬁjos de la cuerda. Pero la cuerda de un instrumento musical real puede ser excitada de múltiples maneras, bien por un golpe —tal como el que realiza el macillo en el piano—, bien al ser pulsada —como en el caso de la guitarra o del clavecín— o bien al ser frotada —como ocurre en el violín—. El lugar en el que se produce la excitación de la cuerda también es relevante para la sonoridad que se obtiene, pues, dependiendo de la posiciones en las que se produce el estímulo y de las intensidades de éste, se potenciarán o se atenuarán unos u otros modos de resonancia de la cuerda, con lo que se despertarán en mayor o menor medida unos u otros armónicos. Veamos ahora un vídeo que simula de una forma más completa el movimiento de una cuerda real cuando produce un sonido armónico. En él se observa la vibración de nuestra cuerda cuando es excitada por una perturbación constituida por un conjunto numeroso de componentes, alguno de los cuales coinciden con sus modos de 190

resonancia, mientras que otros están alejados. La cuerda amplifica solamente aquellas frecuencias que coinciden o están muy próximas a sus modos de resonancia y deja pasar sin amplificar aquellas otras que están alejadas. De esta manera, como las frecuencias naturales de la cuerda son armónicas, la vibración resultante será también armónica, dando lugar a una nota musical. La frecuencia de esta nota es de 200 Hz, la frecuencia fundamental que por naturaleza tiene la cuerda de nuestra simulación. A fin de facilitar la observación en el vídeo, he diseñado el movimiento del soporte para que la cuerda responda de forma significativa a los ocho primeros modos de resonancia y, además, para que los componentes de más frecuencia disminuyan progresivamente su amplitud.

Figura 8.24: Vídeo que simula la vibración de una cuerda en múltiples modos de resonancia.

Al principio del vídeo observamos una vibración de poca amplitud y más bien de carácter aleatorio, pero rápidamente va adquiriendo periodicidad y ganando en amplitud. Sucede simplemente que aquellos componentes que están presentes en la oscilación del soporte, pero que no corresponden a ningún modo de vibración natural de nuestra cuerda, no son ampliﬁcados, permaneciendo siempre en su bajo nivel inicial, mientras que los componentes que corresponden a las frecuencias naturales de la cuerda resuenan y son ampliﬁcados. El resultado es que la cuerda vibra de una manera compleja, como consecuencia de la combinación de sus modos naturales de vibración, pero de una forma periódica, con lo que produce una vibración armónica. 191

En efecto, el movimiento que observamos en el vídeo se aproxima bastante al que podría ser el movimiento de una cuerda real. Al ser el movimiento de la cuerda el resultado de múltiples modos de vibración, la apariencia que observamos es un movimiento complejo en el que es casi imposible reconocer individualmente cada uno de los modos de vibración. Aun con todo, podemos apreciar que se trata de una vibración armónica, como podemos reconocer si nos fijamos en la clara periodicidad que se manifiesta cuando el soporte queda ya inmóvil. Podemos fijarnos en que cada dos segundos se repite el mismo movimiento, lo que supone una frecuencia de 0,5 Hz, que multiplicado por las 400 veces que está ralentizado el vídeo, nos da los 200 Hz de frecuencia que hemos atribuido a nuestra cuerda. Así pues, mediante este vídeo hemos podido hacernos una idea intuitiva de que una cuerda tensada selecciona de modo natural aquellas perturbaciones que coinciden con sus modos naturales de vibración, actuando como si se tratara de un filtro, de modo que, ante una perturbación compleja, reacciona positivamente y se acopla bien sólo en aquellas frecuencias que coinciden con sus modos naturales de vibración.

8.8.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos estudiado que el sonido armónico o musical se produce cuando un cuerpo cuyos modos naturales de vibración son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental es excitado por una fuerza vibratoria que contiene algunas de esas frecuencias o todas ellas, con las que entra en resonancia y se generan ondas estacionarias.

192

Capítulo 9 Envolventes de amplitud y de frecuencia

9.1.

Introducción

En el capítulo dedicado al sonido armónico hacíamos abstracción de los cambios a lo largo del tiempo que se pueden producir en la amplitud y en la frecuencia de cada uno de los componentes armónicos, estudiando el sonido musical como si se tratara de un fenómeno totalmente estable. Pero la realidad es que los sonidos musicales no suelen permanecer estables, sino que van evolucionando durante su duración. La evolución de los parámetros de amplitud y de frecuencia de los componentes simples que constituyen los sonidos musicales da lugar a ciertos rasgos acústicos que caracterizan la sonoridad de las notas musicales que escuchamos. Esos rasgos nos proporcionan información sobre la fuente sonora —es decir, sobre el instrumento del que se trata— y también sobre las acciones que realiza el intérprete con el instrumento. Debido a esto último, los rasgos tímbricos que se van creando por la modiﬁcación de la amplitud y de la frecuencia de la nota a lo largo de su duración encierran una parte muy importante de la fuerza emotiva que es capaz de transmitir el cantante o el instrumentista con su interpretación. Las formas que adquieren la evolución de la amplitud y de la frecuencia a lo largo del tiempo de duración de una nota reciben respectivamente el nombre de envolvente de amplitud y envolvente de frecuencia. Junto a la cualidad sonora derivada del diferente peso de cada uno de los componentes que constituyen 193

el sonido armónico y también de las marcas acústicas que resultan de la transición entre una nota y la siguiente, las envolventes de frecuencia y de amplitud deﬁnen el timbre de las notas musicales que escuchamos. En el caso de la amplitud, no solo interviene la envolvente general —es decir, la forma que describe la evolución temporal de la amplitud del sonido armónico en su conjunto—, sino también las envolventes de cada uno de sus componentes simples. Efectivamente, la evolución de la amplitud de cada uno de los componentes que constituyen un sonido armónico puede tener su ritmo propio, de modo que unos pueden estar adelantados o retrasados respecto a otros, o incluso unos pueden crecer mientras otros decrecen. Estas diferencias van a dar lugar a marcas tímbricas distintas. En el caso de la frecuencia, sin embargo, más allá de sutilezas que escapan al objetivo de este curso, todos los componentes armónicos de una nota evolucionan de la misma manera, con lo que la forma de la envolvente de frecuencia general coincide con la de cada uno de ellos. Aunque voy a dedicar un capitulo a estudiar el timbre de los sonidos producidos por los instrumentos musicales y por la voz humana, es de interés experimentar primero, mediante ejemplos sonoros de laboratorio, cómo son los rasgos acústicos elementales derivados de la evolución de la frecuencia y de la amplitud de los diferentes componentes armónicos, lo que nos va a permitir apreciar la importancia que tienen las envolventes de amplitud y de frecuencia en la caracterización tímbrica de los sonidos musicales. Pare ello he confeccionado varios vídeos con sonidos de laboratorio creados con Matlab especialmente diseñados para experimentar cómo afecta a nuestra percepción sonora la envolvente de amplitud y la envolvente de frecuencia. En la parte superior de cada uno de estos vídeos se representa, como un osciloscopio virtual, la forma de la vibración en tiempo real, mientras que en la parte inferior se muestra una gráﬁca con la envolvente de amplitud o la envolvente de frecuencia. En la parte inferior, la barra azul que se va deslizando señala el punto de la envolvente del sonido que estamos oyendo en ese instante. En los ejemplos de este capítulo he pretendido dejar aislado el rasgo sonoro que nos interesa experimentar en cada caso. Por eso en cada vídeo los sonidos han sido 194

generados a propósito para que sólo se diferencien en el rasgo especíﬁco que debemos observar.

9.2.

Envolvente de amplitud general

Empezaremos atendiendo a la evolución de la amplitud del sonido armónico en su conjunto, con independencia de los desfases y de los cambios de forma que se puedan producir en la evolución de la amplitud de cada uno de sus componentes parciales. La envolvente de amplitud general es la gráfica que describe cómo la amplitud total de un sonido cambia a lo largo del tiempo, desde el momento de su emisión hasta que desaparece completamente. Por eso, la envolvente de amplitud global describe, entre otras cosas, si el ataque es rápido o lento, si el sonido se mantiene durante un tiempo o si comienza enseguida su extinción, y si esta extinción es abrupta o el sonido se va amortiguando poco a poco. Puesto que el caso más sencillo de un sonido armónico es un sonido simple, donde la envolvente de amplitud global necesariamente coincide con la del único componente que lo constituye, en primer lugar vamos a observar cómo inﬂuye en la caracterización tímbrica de un sonido simple la forma que adquiere la evolución de su amplitud, es decir, su envolvente de amplitud general. He fabricado un vídeo en el que suena dos veces la misma nota generada en el laboratorio, un la3 a 220 Hz constituido por un solo componente. La diferencia entre ambos sonidos simples reside solamente en la forma en la que evoluciona la amplitud a lo largo de su duración: la envolvente del primer sonido es similar a la que posee una nota musical real producida mediante una cuerda pulsada con la mano o con una púa; la envolvente del segundo sonido, sin embargo, se asemeja a la de una nota de ﬂauta mantenida durante unos pocos segundos. He procurado que el pico de amplitud sea el mismo en ambos casos para que la única diferencia entre ellos resida en la envolvente de amplitud. En la parte superior del vídeo aparece la forma de la vibración a medida que va sonando. En la parte inferior se representa en color verde la señal de audio completa 195

de los dos sonidos y en color amarillo su envolvente de amplitud. La señal de audio tiene el aspecto de una mancha continua debido a que el número de muestras que se representan en este reducido espacio es superior a 300.000. La barra azul señala en cada instante el punto de la envolvente que corresponde a la señal de audio que está sonando y que se ve representada en la parte superior.

Figura 9.1: Vídeo que muestra las diferencias tímbricas a las que dan lugar dos envolventes de amplitud distintas sobre el mismo sonido simple.

Podemos observar que la gráﬁca amarilla, la que representa la evolución de la amplitud, parece perﬁlar la mitad superior de la señal de audio, como si la envolviera. En efecto, si bien la relación de envoltura solo es rigurosamente cierta para la evolución de la amplitud de sonidos simples, el nombre de “envolvente” ha pasado a designar también la evolución de la amplitud de cualquier tipo de sonido, e incluso la evolución de la frecuencia, donde en realidad no se produce ninguna relación de envoltura, como veremos enseguida. En el primer ejemplo vemos que el ataque es muy rápido. En efecto, si detenemos el vídeo en el momento preciso en el que se inicia el sonido, comprobamos que tarda sólo 5 milésimas de segundo en alcanzar su amplitud máxima, y que a partir de ahí comienza inmediatamente a decaer de forma exponencial, hasta extinguirse lentamente. Como es propio de la amortiguación exponencial, la tasa de caída en 196

cada instante es directamente proporcional al valor de la amplitud en ese momento: cuando la amplitud es mayor, la tasa de caída es mayor; cuando la amplitud es menor, la tasa de caída es menor. O dicho de otra manera, conforme más amplitud tiene el sonido, más rápidamente decae y conforme la amplitud se hace menor, lo hace más lentamente. En realidad, esta amortiguación exponencial es la forma natural en la que se extingue toda perturbación abandonada a sus propias fuerzas. El sonido que escuchamos en este primer ejemplo nos recuerda al de una cuerda pulsada: tenemos la sensación de que se trata de un sonido producido por algo que ha sido pulsado, o activado de una manera similar, y que la propia dinámica del instrumento ha dejado que se extinga libremente. Esta sensación se debe a que reconocemos que ha recibido al inicio una energía puntual por parte del ejecutante y que la propia constitución del instrumento la ha ido disipando hasta su extinción, sin que haya habido más contribuciones de energía por parte del instrumentista. En este caso la información que ha aportado el intérprete se ha concentrado en el ataque, mientras que el resto de la envolvente sólo nos ilustra sobre las características propias del instrumento. En el segundo ejemplo podemos distinguir con claridad las cuatro etapas que convencionalmente se diferencian en la envolvente de amplitud: ataque, declive, mantenimiento y extinción (si bien esta clasificación en etapas no deja de ser una simplificación de tipo práctico utilizada en los antiguos sintetizadores de sonido). Podemos apreciar en este caso que el ataque es muy lento, pues dura medio segundo (aproximadamente desde 3,6 s hasta 4,1 s) y que tiene la forma de una especie de “ese” inclinada hacia la derecha. En efecto, el ataque comienza muy lentamente, luego se apresura y finalmente se ralentiza de nuevo hasta alcanzar el punto de máxima amplitud. Una vez terminado el ataque, la amplitud comienza a decaer un poco hasta estabilizarse en torno al segundo 5. Esta etapa de declive recibe también el nombre de caída o primera caída y es el resultado de que a veces tras el ataque de la nota se produce una cierta relajación que conduce a la etapa de mantenimiento. La etapa de mantenimiento, que también se llama “etapa de sostenimiento”, comienza en el segundo 5. Ahora el sonido se mantiene en una amplitud aproximada de 0,2. 197

En este ejemplo el sonido mantiene la amplitud estable, pero también podría haberse producido un trémolo, es decir, una oscilación de la amplitud en torno al valor medio del mantenimiento. Por último, se inicia la etapa de extinción del sonido, que en este caso se prolonga durante bastante tiempo, desde aproximadamente 6,6 s hasta 7,4 s. La duración de esta última etapa puede depender no sólo del instrumento o de la voluntad del ejecutante —quien puede prolongar la duración de la nota amortiguándola poco a poco si el instrumento lo permite—, sino también del entorno sonoro en el que se emite la nota. Por ejemplo, si la nota se emite en una sala cerrada grande, cuyas paredes reflejan una parte importante del sonido que reciben, se producirá una reverberación que prolongará considerablemente esta etapa de extinción. El sonido de este segundo ejemplo nos recuerda al de una nota de flauta, una nota que el intérprete ha atacado con delicadeza y que luego se ha esforzado en mantener estable durante toda su duración. La prolongación de la etapa de extinción nos hace imaginar una sala grande y vacía con mucha reverberación. Con estos dos ejemplos hemos podido ver que los rasgos acústicos derivados de la evolución de la amplitud global de un sonido armónico contribuyen a caracterizar la cualidad sonora que escuchamos. Si reconocemos un determinado rasgo tímbrico y lo asociamos a un instrumento o a una acción del intérprete es porque nuestro sistema auditivo está entrenado para detectar en los sonidos del entorno toda la información útil que podamos extraer y que nos permita identificarlos. Por eso, cuando la evolución de la amplitud sigue la ley natural de extinción exponencial, como en el primer sonido del vídeo, reconocemos, sin ser conscientes de ello, que la fuente sonora no ha sido modificada durante su emisión, y esa información es percibida como una característica diferencial de ese sonido. Cuando, por el contrario, el sonido mantiene un cierto nivel de amplitud durante buena parte de su duración, como es el caso del segundo ejemplo, interpretamos que la fuente sonora está siendo alimentada constantemente con energía. Y en función de las variaciones de la fase de mantenimiento nos hemos acostumbrado a distinguir si es el resultado de la intervención del ejecutante o si viene dado por la dinámica propia del instrumento. Así mismo, la forma de la extinción y su duración nos aporta información sobre la acción del intérprete y sobre el entorno espacial en el que ese sonido se encuentra.

198

Cualquier forma de la envolvente que no responda a la dinámica propia del comportamiento físico esperable nos habla de una intervención por parte del intérprete. Por poner un ejemplo, nuestro sistema perceptivo distingue entre el sonido producido por un órgano de iglesia y el producido por una flauta, con independencia del color —es decir, del número y peso de los armónicos—, simplemente por las variaciones que, por mínimas que sean, acompañarán siempre al sonido de la flauta. Así, en el segundo ejemplo, la suavidad del ataque con esa forma de ese y la ligera primera caída son suficientes para atribuir a ese sonido una voluntad humana, y por eso lo relacionamos con el sonido de una flauta en la que el intérprete ha podido modificar la evolución de la amplitud. Aunque se trata de un sonido generado artificialmente, nunca lo confundiríamos con otro que simulara el producido por el tubo de un órgano de iglesia. En realidad, si en lugar de haber sido la envolvente de amplitud tan esquemática, sus etapas de declive y de mantenimiento hubieran presentado algunas inflexiones, nos hubiera recordado más al sonido producido por una flauta real.

9.3.

Envolventes de amplitud parciales

Durante la emisión de un sonido musical no solamente puede cambiar la amplitud global, como hemos visto en el apartado anterior, sino que también puede modiﬁcarse el peso relativo que cada componente aporta al conjunto, con la consecuente alteración de la cualidad sonora. A continuación vamos a experimentar cómo afectan al timbre los desfases en la envolvente de amplitud entre los distintos componentes. Comprobaremos también que los cambios en la forma de las envolventes de amplitud de los distintos componentes de un sonido musical pueden ser consecuencia tanto de la propia constitución acústica del instrumento, como de las acciones del intérprete mediante las cuales consigue su especial expresividad. La propia constitución acústica de algunos instrumentos hace que los componentes armónicos se amortigüen de manera desfasada. En general, los armónicos superiores tienden a extinguirse antes que los inferiores. En algunos instrumentos, sin embargo, el desfase afecta al ataque, como es el caso de los instrumentos de metal, donde los armónicos superiores tienden a retrasarse. Estos desfases constituyen una marca tím-

199

brica que caracteriza los sonidos y contribuye a la identificación de la fuente sonora, es decir, ayudan a reconocer el instrumento. Así mismo, en la voz y en otros instrumentos, el intérprete puede modificar durante la emisión del sonido la importancia relativa de sus componentes armónicos y, con ello, su cualidad sonora. Por ejemplo, en el caso del violín puede cambiar la posición del arco, su velocidad o la presión que ejerce sobre la cuerda, alterando la cualidad sonora de la nota que está emitiendo. Por todo ello las envolventes de amplitud de los componentes parciales no siguen necesariamente el mismo patrón, sino que se puede dar la circunstancia de que el aumento de amplitud de un armónico superior pueda coincidir con el decremento de un armónico inferior, o viceversa. Para experimentar cómo afecta al timbre las relaciones entre las envolventes de amplitud de los diferentes componentes de un sonido musical, he fabricado tres vídeos en los que se ejemplariza tres situaciones características. El ejemplo del primer vídeo muestra lo que ocurre cuando se desfasa la extinción de los componentes; el del segundo, lo que sucede cuando hay un retraso progresivo en el ataque; y el tercero, cómo se modifica la cualidad sonora a lo largo de la emisión de un sonido a consecuencia del cambio en el peso relativo entre los componentes. La nota es en todos los casos un la3 a 220 Hz, constituido por los cuatro primeros componentes armónicos. El primer vídeo presenta el caso en el que la extinción de los componentes no se produce de manera homogénea, sino que se apaga antes conforme más agudo es el componente.

200

Figura 9.2: Vídeo que muestra la inﬂuencia en el timbre del desfase en la extinción de los componentes de un sonido.

En este vídeo observamos dos repeticiones de la nota la3 a 220 Hz, pero si prestamos atención advertimos que su sonoridad es claramente diferente. En ambos casos el número de armónicos y su amplitud máxima es la misma: el primer armónico, el de 220 Hz, tiene una amplitud máxima de 0,24; el segundo, el de 440 Hz, de 0,21; el tercero, el de 660 Hz, de 0,18; y el cuarto, el de 880 Hz, de 0,15. La única diferencia entre ambos sonidos es que en el primero la velocidad con la que se amortiguan los cuatro componentes es similar, mientras que en el segundo la extinción de cada armónico sigue un ritmo diferente, de modo que los armónicos superiores se extinguen más rápidamente que los inferiores. En la primera emisión de la nota apreciamos que durante toda su duración la cualidad del sonido es la misma. En la parte inferior podemos observar que el peso relativo de los diferentes armónicos no varía sustancialmente. Podemos apreciar también en el osciloscopio que la forma de la vibración no cambia a lo largo de todo el sonido, aunque su amplitud vaya disminuyendo progresivamente. En la segunda emisión de la nota, por el contrario, si realizamos una escucha atenta nos damos cuenta de que la cualidad sonora va cambiando a lo largo de la duración. Comienza con una sonoridad plena, resultado de que los cuatro componentes que forman la nota tienen un peso similar, pero luego va perdiendo cuerpo hasta que la nota se transforma en un sonido simple. Esta evolución de la cualidad es percibida por 201

nuestro oído como un rasgo característico del timbre de esa nota, algo que la hace diferente de la anterior. En el osciloscopio se puede observar también que la forma de la vibración cambia a largo de su duración. En efecto, al principio de la nota la forma de la vibración es compleja, pero luego, conforme la amplitud se va atenuando, su forma se va simpliﬁcando progresivamente, hasta llegar a una sinusoide pura. El segundo vídeo muestra un caso en el que se produce un retraso de los componentes superiores en el momento del ataque:

Figura 9.3: Vídeo que muestra la inﬂuencia en el timbre del desfase en el ataque de los componentes de un sonido.

Ahora también se repite dos veces la misma nota, el la3 a 220 Hz constituido por los cuatro primeros componentes. La amplitud máxima en ambos casos es la misma: 0,24 en el primer armónico, el de 220 Hz; 0,18 en el segundo, el de 440 Hz; 0,12 en el tercero, el de 660 Hz; y 0,08 en el cuarto, el de 880 Hz. Como podemos apreciar en las gráﬁcas de las envolventes que aparecen en la parte inferior del vídeo, la única diferencia ente los dos sonidos reside en que en la segunda repetición de la nota los armónicos se retrasan progresivamente en el momento del ataque, de modo que los armónicos superiores alcanzan su máximo más tarde que los inferiores. Este retraso provoca un cambio en la cualidad del sonido debido al 202

diferente peso relativo que adquieren los componentes a lo largo del breve intervalo de tiempo que dura el ataque. Si nos ﬁjamos en el área del osciloscopio, podremos observar que durante la emisión del primer sonido no cambia la forma de la vibración, mientras que el ataque del segundo se inicia con una vibración puramente sinusoidal que rápidamente se transforma en una forma más compleja, similar a la del primer sonido. Aunque reconocemos que se trata de la misma nota, si escuchamos con atención percibiremos una diferencia apreciable en el timbre de ambos sonidos. Nuestro sistema perceptivo ha reconocido en el segundo sonido un cambio rápido en la cualidad sonora que nos recuerda el efecto “wah” de una trompeta al destapar la sordina o el de un pedal “wah wah” de guitarra eléctrica. Así pues, percibimos el retraso en el ataque de los armónicos superiores como un rasgo tímbrico peculiar que diferencia ambos sonidos, que son por lo demás idénticos. El tercer vídeo muestra el caso de un sonido en el que la amplitud de los armónicos superiores durante la etapa de mantenimiento sigue una evolución opuesta a la del fundamental. Aunque en los sonidos reales de los instrumentos y de las voces estos cambios acostumbran a ir unidos a modiﬁcaciones en la intensidad sonora, para aislar el rasgo tímbrico que se deriva de la diferente evolución de los componentes parciales he procurado mantener constante la amplitud global durante la etapa de mantenimiento.

Figura 9.4: Vídeo que muestra la inﬂuencia en el timbre de las modiﬁcaciones en el peso de los componentes de un sonido durante su etapa de mantenimiento.

203

En este vídeo escuchamos una sola nota, la misma que en los vídeos anteriores, un la3 a 220 Hz constituido por los cuatro primeros armónicos. En la parte inferior del vídeo podemos observar que las envolventes de amplitud de los tres armónicos superiores tienen una forma opuesta a la del componente fundamental. Vemos que durante la etapa de mantenimiento el componente fundamental decae progresivamente desde su valor máximo, alcanzado tras el ataque, hasta llegar a su valor mínimo, lo que sucede en torno a la mitad de la duración del sonido, para desde allí volver a crecer y alcanzar de nuevo su valor máximo antes de iniciar la extinción. Sin embargo, las envolventes de amplitud de los restantes armónicos realizan el camino inverso: crecen hasta llegar a un máximo hacia la mitad del sonido y a partir de allí decrecen. En este recorrido vemos que el segundo y el tercer armónico llegan a superar al primero, e incluso que el tercer armónico supera al segundo. Estos cambios hacen que el peso relativo de cada componente en el conjunto se modifique a lo largo de la emisión de la nota, con la correspondiente modificación en su cualidad sonora. En efecto, percibimos que estos cambios durante la etapa de mantenimiento dan lugar a una modificación gradual y constante de la cualidad sonora: en la parte inicial y final de esta etapa el peso del sonido recae mayoritariamente en el componente fundamental, lo que proporciona al sonido una cualidad sólida; progresivamente los armónicos superiores van adquiriendo mayor importancia en detrimento del fundamental, lo que proporciona al sonido una cualidad cada vez más hueca e incluso nasal, cuando predomina el tercer armónico, cosa que sucede hacia la mitad de la duración del sonido. Los casos que hemos examinado en estos tres vídeos son solamente una muestra de laboratorio de los rasgos acústicos que se derivan de las diferencias entre las envolventes de amplitud parciales. Estas diferencias provocan que la cualidad sonora de una nota cambie a lo largo de su duración y estos cambios son habitualmente percibidos como un rasgo tímbrico.

9.4.

Envolvente de frecuencia

A continuación vamos a experimentar cómo las modiﬁcaciones de la frecuencia de una nota musical durante el tiempo que dura su emisión afectan al timbre. 204

Aunque, como hemos visto, lo que define una nota musical es la permanencia de una frecuencia estable durante un periodo de tiempo lo suficientemente grande como para que podamos reconocer una determinada altura tonal, lo cierto es que en la voz y en algunos instrumentos musicales esa permanencia puede ir adornada con oscilaciones en torno a su valor medio o con inflexiones expresivas que pueden incluso recorrer momentáneamente las frecuencias de otras notas vecinas. El hecho de que sean posibles esas modificaciones frecuenciales durante la emisión de una nota, constituye ya un rasgo sonoro característico de un grupo de instrumentos, los llamados instrumentos de afinación libre —como es el violín—, un rasgo que los diferencia de aquellos otros cuya frecuencia se mantiene totalmente estable a lo largo de toda la duración de la nota, los instrumentos de afinación fija, como por ejemplo, el piano. Incluso la mayor o menor libertad en la modificación de la frecuencia también constituye un rasgo tímbrico. Así, por ejemplo, mientras el violín puede modificar libremente la frecuencia de una nota sin interrumpir su emisión —hasta el extremo de que la transición entre las notas puede realizarse de forma continua, sin necesidad de una nueva emisión—, la flauta o el saxofón solamente pueden modificar ligeramente la frecuencia durante la misma emisión de la nota. Así pues, se puede decir que la modificación de la frecuencia en los instrumentos de afinación libre constituye un elemento expresivo de primer orden a disposición del intérprete. Para experimentar los rasgos acústicos que se derivan de los cambios en la frecuencia de una nota a lo largo de su duración he fabricado dos vídeos. De manera semejante a los vídeos anteriores, en cada uno de ellos en la parte de arriba se presenta la forma de la vibración, a modo de osciloscopio, y en la parte inferior las correspondientes envolventes de frecuencia. En ambos vídeos la nota que escuchamos sigue siendo un la3 con una frecuencia de 220 Hz. En el primer vídeo se presenta el caso de un sonido simple y en el segundo el de una nota formada por los tres primeros armónicos. Con la finalidad de aislar los rasgos tímbricos específicos que se originan por la evolución de la frecuencia, empezaremos examinando una nota musical constituida por un solo componente. En el vídeo que presento a continuación podemos escuchar tres sonidos simples que dan la misma nota, donde la única diferencia que hay entre ellos reside en la envolvente de frecuencia.

205

Figura 9.5: Vídeo que muestra la inﬂuencia en el timbre de la envolvente de frecuencia en el caso de un sonido simple.

El primer sonido nos sirve de referencia para facilitar la comparación. Durante su emisión la frecuencia de la nota permanece totalmente estable y, en consecuencia, la envolvente de frecuencia que se presenta en la parte de abajo es una línea horizontal. En el segundo sonido vemos que la frecuencia de la nota oscila en torno a su valor medio, 220 Hz, dando lugar a un efecto sonoro denominado vibrato. Podemos apreciar que este vibrato tiene su propia frecuencia de oscilación (no confundirla con la frecuencia de la nota), que en este caso es de aproximadamente 4 oscilaciones por segundo. También podemos observar la profundidad del vibrato, es decir, lo que se aleja en su oscilación de la frecuencia media de la nota. En este caso, como es habitual en la realidad, la profundidad del vibrato varía a lo largo de la duración de la nota. La profundidad máxima de este vibrato es aproximadamente de 8 Hz, lo cual, para una frecuencia media de 220 Hz, corresponde a un intervalo de unos 60 cents. En el tercer sonido escuchamos una inﬂexión importante de la nota, similar a la que podemos oír en una guitarra eléctrica cuando se sobretensa momentáneamente una cuerda, bien con el dedo o con ayuda de una palanca destinada a tal ﬁn, para lograr mayor expresividad.

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Así pues, hemos podido apreciar mediante este vídeo que las variaciones en la frecuencia de una nota a lo largo de su emisión producen efectos acústicos que contribuyen a caracterizar el timbre de un instrumento y que proporcionan al sonido una particular carga emotiva. Para ver cómo se comporta la envolvente de frecuencia de cada uno de los componentes de un sonido armónico compuesto he confeccionado un vídeo que presenta el vibrato de una nota formada por los tres primeros armónicos. El objetivo de este vídeo es mostrar que la evolución de la frecuencia en los distintos componentes presenta la misma forma, si bien sus valores están escalados.

Figura 9.6: Vídeo que muestra la inﬂuencia en el timbre de la envolvente de frecuencia en el caso de un sonido compuesto.

Las dos repeticiones de la misma nota se diferencian sólo por la envolvente de frecuencia. El primer sonido sirve también ahora de referencia para permitirnos la comparación. Se trata de un sonido en el que no ha habido modiﬁcación de la frecuencia a lo largo de su emisión y por eso en la parte inferior, donde aparecen las envolventes de frecuencia de los tres componentes, solamente se dibujan tres líneas horizontales igualmente espaciadas. El segundo sonido tiene un vibrato similar al del primer vídeo. Vemos que, como en el anterior sonido, la frecuencia del segundo armónico es doble que la del primero 207

y la del tercero, triple. Dado que en las notas musicales los componentes, salvo ligeras matizaciones, son armónicos, sus envolventes de frecuencia mantienen la misma forma y sólo se diferencian en el escalado correspondiente a su número armónico. Así, en este caso, como la profundidad del vibrato del primer armónico es de 8 Hz, la del segundo armónico es de 16 Hz y la del tercero de 24 Hz.

9.5.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos podido comprobar la inﬂuencia de la envolvente de frecuencia y de la envolvente de amplitud, tanto la general como la de cada componente, en la cualidad tímbrica de las notas musicales. Estas envolventes constituyen una parte importante de la caracterización de los instrumentos musicales y sirven también como vehículo expresivo de las intenciones del intérprete.

208

Capítulo 10 Análisis espectral de los sonidos musicales

10.1.

Introducción

En los capítulos anteriores hemos visto mediante el osciloscopio virtual distintos ejemplos de señales de audio, es decir, de la forma que adquiere la vibración sonora a lo largo del tiempo. Estas señales nos han ayudado a distinguir los rasgos característicos de los sonidos musicales y la manera en la que nosotros los percibimos. Hemos podido comprobar que, en líneas generales, nuestra sensación auditiva no es capaz de seguir el rápido movimiento de la vibración sonora, sino que atiende principalmente a los parámetros de frecuencia y amplitud de los componentes que forman el sonido musical. En efecto, como veremos más adelante, nuestra percepción descompone el movimiento vibratorio que llega a nuestro oído, de modo que obtiene la frecuencia y la amplitud de sus componentes sinusoidales. Por eso, para estudiar la realidad musical de una forma completa necesitamos una herramienta de análisis que nos permita descomponer los sonidos en sus componentes sinusoidales y extraer sus parámetros de frecuencia y amplitud (salvo circunstancias excepcionales, podemos ignorar la fase inicial). Nos interesa pasar de una representación de la vibración en su desarrollo temporal a una representación de la vibración en función de la amplitud de 209

los componentes que la constituyen o, dicho en términos más técnicos, pasar de la representación en el dominio del tiempo a la representación en el dominio de la frecuencia. Esta tarea se realiza mediante las técnicas de análisis espectral, llamado también análisis frecuencial. En este capítulo me propongo explicar qué es el análisis espectral del sonido, en particular, en el caso del sonido musical. Hoy en día disponemos de algoritmos numéricos muy potentes que nos permiten realizar el análisis de los sonidos y extraer la frecuencia y la amplitud de cada componente simple, los cuales pueden ser realizados con facilidad en un ordenador. La Fast Fourier Transform (FFT) es capaz de descomponer un fragmento de señal en sus componentes sinusoidales con gran eﬁcacia. Pero me ha parecido que explicar en qué consiste la Transformada de Fourier se alejaba del propósito de este curso. En su lugar, creo que es más intuitivo, y no menos correcto, explicar el análisis frecuencial utilizando el fenómeno de la resonancia. De hecho, hasta el desarrollo de las técnicas digitales los analizadores de espectro tradicionales consistían en una batería de circuitos resonadores que medían la amplitud de cada componente presente en la señal. Por otra parte, explicar el procedimiento del análisis frecuencial a partir del fenómeno de la resonancia tiene la ventaja, a mi juicio, de que es más fácil de asimilar para un lector sin conocimientos físicos ni matemáticos. Además, puesto que nuestro sistema auditivo procede de una manera similar, este punto de vista nos va a permitir entender mejor la forma en la que percibimos las frecuencias de los componentes que constituyen los sonidos, la cual se produce por la localización de sus resonancias en los diferentes puntos de la membrana basilar situada en nuestro oído interno. El análisis espectral se utiliza habitualmente para sonidos o fragmentos musicales que constan de múltiples componentes, por lo que es necesario conocer hasta qué punto va a ser capaz de distinguirlos y localizarlos con precisión en el caso de que esos componentes tengan frecuencias próximas. Veremos a lo largo de este capítulo que la capacidad de resolución del análisis espectral está indisolublemente ligada a la duración del fragmento analizado, de modo que si queremos un análisis preciso y exacto deberemos elegir una duración larga. El problema surge porque, en general, a menos que lo que se pretenda sea obtener una especie de valor promediado útil en algunas circunstancias, es necesario que los parámetros de los componentes permanezcan estables durante el tiempo en el que se efectúa el análisis. Pero en el caso de los sonidos 210

musicales reales, aunque son mucho más estables que los del habla, generalmente la estabilidad no se mantiene más allá de unos 50 milisegundos, por lo que, salvo circunstancias excepcionales, la longitud del fragmento no debe ser mucho mayor que esa cantidad, de forma que podamos considerar, aunque sólo sea de forma aproximada, que los parámetros han permanecido constantes durante el intervalo de tiempo analizado. En este capítulo veremos, en primer lugar, en qué consiste el análisis espectral y cómo se puede realizar mediante el fenómeno de la resonancia. Después estudiaremos la cuestión esencial de los límites de su capacidad de resolución. A continuación veremos cómo mediante el espectrograma es posible obtener una representación de la evolución de los distintos componentes simples a lo largo del tiempo. Por último, para ejemplarizar las ideas expuestas y para preparar la utilización de esta nueva herramienta en el estudio de los sonidos reales, presentaré los espectrogramas de varios sonidos característicos.

10.2.

Un modelo ideal de analizador espectral mediante resonancias

Imaginemos que disponemos de un piano ideal en el que las cuerdas vibran con toda facilidad, pues no hay apagadores. Además, las cuerdas de este piano imaginario sólo tendrían un modo de vibración, el modo fundamental, es decir, sólo resonarían cuando la frecuencia que las excitara coincidiera con su frecuencia natural o estuviera próxima a ella. Las cuerdas de este piano imaginario, en lugar de estar espaciadas siguiendo la escala cromática, estarían separadas de hercio en hercio (aunque también podrían haber estado separadas de décima de hercio en décima de hercio o de cualquier otra forma). Evidentemente este piano imaginario poseería miles de cuerdas, tantas como quisiéramos. Lo que acabo de describir será nuestro analizador espectral ideal. Delante de este piano haremos sonar, imaginariamente claro está, los sonidos que vayamos a analizar y luego mediremos la amplitud con la que vibra cada una de las

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cuerdas que se han quedado resonando, representando los resultados en una gráfica. En las gráficas de componentes frecuenciales que presentaré a partir de ahora consideraremos que cada uno de los pequeños “palitos” que las constituyen corresponde a una cuerda de nuestro piano imaginario. La altura que alcance cada uno de esos palitos reflejará la amplitud relativa con la que se ha quedado resonando la cuerda correspondiente, en una escala que va del 0 al 1. He asociado, de manera similar a las gráficas del capítulo 7, un color a cada amplitud, dentro de una escala que se corresponde con la de los colores por los que pasa el hierro al calentarse: el cero será el negro absoluto; los valores próximos a cero serán de un rojo muy oscuro; progresivamente, conforme los valores se incrementen, el rojo pasará a ser más brillante; luego el rojo se transformará en amarillo; y finalmente, a medida que los valores se van aproximando al 1, el amarillo se irá aclarando hasta llegar al blanco absoluto, que representará el valor máximo, el 1. Supongamos que delante de nuestro imaginario piano hacemos sonar durante un segundo de duración un sonido simple de 220 Hz, un la3 formado por un único componente. La elección de un segundo no ha sido algo casual, pues, como veremos en el apartado siguiente, la duración del fragmento sonoro puede condicionar en determinadas circunstancias la fiabilidad del análisis. La duración temporal que se elige recibe habitualmente el nombre de “ventana de observación” o “ventana de análisis”. Ahora nos interesa comprobar cómo responde este analizador de espectro ideal al sonido propuesto y averiguar si localiza bien la frecuencia. La gráfica de abajo representa las amplitudes de las cuerdas que quedarán resonando en el piano ideal. He limitado la gráfica a la representación de los primeros 1.000 Hz.

212

Figura 10.1: Gráﬁca del análisis frecuencial de un sonido simple de 1 segundo.

Observamos en esta gráﬁca un pico muy destacado pintado de un color amarillo muy luminoso, próximo al blanco, situado a la derecha de la cuadrícula que señala los 200 Hz. Este pico correspondería a la cuerda del piano imaginario que se ha quedado resonando con más fuerza y, en principio, coincidiría con el componente sinusoidal que, como ya sabemos, constituye el sonido que estamos analizando. El valor absoluto de su amplitud no nos interesa ahora, pues este parámetro sólo es pertinente cuando hay más de un componente, pues permite comparar las diferentes amplitudes. Veamos un detalle de la zona que rodea a este componente, algo así como si hiciéramos un zoom positivo sobre la gráﬁca.

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Figura 10.2: Detalle de la gráﬁca del análisis frecuencial de un sonido simple de 1 segundo.

Ahora distinguimos con claridad la representación de cada una de las cuerdas del piano que han quedado resonando. Apreciamos que la cuerda que resuena con más fuerza es la de 220 Hz. Pero, como podemos observar en la gráﬁca, al estar las cuerdas de este piano separadas de hercio en hercio, en realidad solo podemos saber que la frecuencia del componente del sonido analizado habrá sido mayor que 219,5 Hz y menor que 220,5. En efecto, el margen de precisión de nuestro piano analizador de espectro es de un hercio, aunque nada nos habría impedido añadir en medio muchas más cuerdas a este piano imaginario y obtener la precisión que deseáramos. Así pues, de este análisis se desprende que el componente presente en el sonido que estamos analizando se corresponde con el pico destacado en la gráfica de las amplitudes de las cuerdas resonantes. Pero eso no es todo. También observamos que, en menor medida, algunas de las cuerdas laterales han obtenido cierta amplitud. Esto parece intuitivamente coherente, pues el efecto de la resonancia también hace vibrar las cuerdas cuya frecuencia es muy próxima a la del componente del sonido que estamos analizando. Cada una de las cuerdas de este hipotético piano resonará cuando en el sonido que queramos analizar esté presente un componente sinusoidal muy próximo a su frecuencia natural de vibración. En este caso la cuerda que resonará con más fuerza será aquella que tenga una frecuencia natural lo más cercana a 220 Hz; pero las cuerdas próximas, como es fácil de intuir, también resonarán, aunque sea en menor medida. 214

Estas cuerdas vibrarán también a la frecuencia de ese componente, en este caso, a 220 Hz, con independencia de la frecuencia exacta a la que cada una de ellas esté afinada. La amplitud con la que vibren las cuerdas irá incrementándose conforme su frecuencia natural sea más cercana a la del componente. Por eso en las gráficas nos encontramos con que no aparece sólo un palito en la frecuencia de los 220 Hz, sino que a ambos lados hay otras cuerdas/frecuencias que van decrementando su amplitud a medida que su frecuencia natural de vibración se aleja de la que está sonando. No obstante, en principio, esto no parece alterar la fiabilidad del resultado.

10.3.

Relación entre duración temporal y resolución frecuencial

Ahora bien, la pregunta es: ¿Siempre esto es así? ¿Todo resulta tan fácil? ¿Disponemos, o mejor dicho, dispone la naturaleza de un medio tan sencillo para determinar con precisión los componentes sinusoidales presentes en cualquier fragmento sonoro? La respuesta, desafortunadamente, es que no. Voy a realizar ahora el análisis del mismo sonido de un solo componente de 220 Hz, pero acortando la duración del fragmento a analizar: ahora haré sonar delante de nuestro piano imaginario sólo 50 milésimas de segundo (es decir, la ventana de análisis será de 0,05 s). Veamos lo que ocurre en la gráﬁca de abajo.

Figura 10.3: Gráﬁca del análisis frecuencial de un sonido simple de 50 milisegundos.

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Ahora observaremos un detalle de la zona entre 160 Hz y 280 Hz.

Figura 10.4: Detalle de la gráﬁca del análisis frecuencial de un sonido simple de 50 milisegundos.

Comprobamos ahora que, al reducir la cantidad de tiempo de la señal analizada, el número y la importancia de las cuerdas laterales afectadas ha sido mucho mayor que cuando analizábamos un segundo entero. Esto responde también a una cierta idea intuitiva sobre la resonancia, pues todos hemos podido comprobar que el efecto de la resonancia se aprecia más fácilmente cuando la señal que excita dura más tiempo. Por lo tanto, vemos que la duración de la vibración analizada determina el número de cuerdas próximas afectadas por la resonancia. Dicho de otra manera, el efecto de la resonancia es más picudo conforme la duración del sonido que la provoca es mayor. Si se trata, como en este caso, de analizar un componente aislado no se plantea ningún problema. Pero, ¿qué hubiera ocurrido si hubiéramos querido analizar una señal con dos componentes que estuvieran próximos? Vamos a comprobarlo en los dos ejemplos siguientes. En el primero voy a analizar una señal formada por dos componentes sinusoidales de la misma amplitud. La frecuencia del primero, igual que antes, es de 220 Hz (la3 ), y la del segundo, de 233 Hz (sib3 ). La ventana de análisis (la duración del fragmento 216

analizado) será, como en el ejemplo anterior, de sólo 50 ms. Realicemos el análisis y veamos los resultados.

Figura 10.5: Gráﬁca del análisis frecuencial de dos sonidos simples muy próximos de 50 milisegundos.

Comprobamos que el análisis efectuado con este tamaño de ventana ha sido incapaz de distinguir los dos componentes, el de 220 Hz y el de 233 Hz, que sabemos que existen en la señal a analizar, y que, en su lugar, ha salido un solo componente cuya frecuencia es la media aritmética de los otros dos, 226,5 Hz. Ciertamente, si hubiéramos podido analizar un segundo entero de duración no habríamos tenido ningún problema para distinguir nítidamente los dos componentes. En la siguiente gráﬁca podemos ver el resultado de realizar el mismo análisis durante un segundo de duración.

217

Figura 10.6: Gráﬁca del análisis frecuencial de dos sonidos simples muy próximos de 1 segundo.

En efecto, aquí los dos componentes han sido resueltos y además con toda la precisión que había requerido al análisis. Veamos ahora otro ejemplo de dos componentes un poco más separados. Vamos a analizar una señal constituida por un componente de 220 Hz (la3 ) y otro de 262 (do4 ). La duración del análisis va a ser también de 50 ms.

Figura 10.7: Gráﬁca del análisis frecuencial de dos sonidos simples de 50 milisegundos.

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En este caso el análisis sí que ha sido capaz de distinguir los dos componentes. Ahora bien, si nos fijamos en la localización de los picos máximos vemos que el componente de 220 Hz ha sido desplazado a 232 Hz y el de 262 Hz a 250 Hz. Es decir, observamos que la presencia de un componente próximo altera de manera notable la fiabilidad del resultado obtenido. Resumiendo, nos encontramos con que al reducir el tamaño de la ventana de análisis disminuye su capacidad para discernir componentes distintos y la precisión con la que puede determinar su frecuencia. Este problema plantea una cuestión esencial: si queremos obtener una buena resolución en frecuencia necesitamos una duración temporal larga. Pero la realidad es que el sonido musical va evolucionando con el tiempo y los parámetros de sus componentes solamente permanecen relativamente estables durante un tiempo pequeño, unas cincuenta milésimas de segundo. Así pues, a la hora de efectuar un análisis frecuencial de un fragmento musical siempre hemos de buscar una opción de compromiso. Podremos utilizar una ventana de mayor duración, pero en ese caso tendremos que asumir que lo que obtendremos en el análisis será una especie de promediado de la evolución de los acontecimientos sonoros que se hayan producido en ese tiempo. Podremos elegir una ventana de corta duración para garantizar que el fragmento analizado sea suficientemente estable, pero en ese caso deberemos asumir que si coinciden componentes próximos puede que el análisis no sea capaz de distinguirlos o al menos que pierda precisión en su localización.

10.4.

El espectrograma

Como he dicho ya, los parámetros de los componentes sonoros en los sonidos reales no suelen permanecer estables, sino que evolucionan a lo largo de su duración. Por ello, para analizar un fragmento sonoro nos interesará muchas veces obtener una representación que muestre la evolución de los valores de amplitud y de frecuencia de cada componente durante el tiempo que dura el sonido. Habitualmente esta representación recibe el nombre de espectrograma.

219

Un espectrograma no es otra cosa que una forma de representar gráficamente los sucesivos y solapados análisis frecuenciales que se pueden hacer a lo largo de un sonido o de un fragmento de una interpretación. Esta forma de representación guarda mayor afinidad con la manera en la que nosotros oímos que la representación de la señal de audio que hemos visto en el osciloscopio. En los vídeos en los que se simulaba un osciloscopio y en las gráficas en las que se mostraba el desplazamiento de la vibración en relación al tiempo hemos tenido una representación puramente temporal del hecho físico de la vibración. Acabamos de ver también en qué consiste una representación puramente frecuencial, donde no importa cuándo se han producido los componentes sonoros, sino sólo su frecuencia y su amplitud relativa. Ahora bien, ninguna de estas dos formas coincide con la manera en la que oímos. Oímos frecuencias, pero oímos frecuencias que cambian en el tiempo, bien porque unas dejan de sonar y surgen otras, bien porque las que estaban sonando evolucionan en amplitud, o bien porque desparecen y surgen otras frecuencias. No obstante, en lo que concierne al sonido musical, hay cierto margen de tiempo en el que las cosas, salvo momentos especiales de transición, parecen cambiar poco, es decir, hay momentos en el que se puede considerar que la vibración es casi estable, pues los componentes y sus parámetros no han sufrido grandes cambios. Como he dicho al principio de este capítulo, el tamaño que se suele considerar adecuado para este intervalo temporal viene a ser de unas 50 milésimas de segundo. Si cada 50 ms se va haciendo un análisis que va progresivamente desplazándose en el tiempo y solapándose, la evolución de los parámetros será más fiable y responderá más a la realidad que si se hace un análisis en intervalos más grandes o más pequeños. Mediante el vídeo que pongo a continuación voy a explicar más detenidamente cómo podemos obtener un espectrograma. Voy a utilizar para este ejemplo los primeros compases del adagio de la Sonata para violín solo de J. S. Bach (BWV 1001). Para facilitar la presentación, he limitado la banda de los componentes a los primeros 2.000 Hz. Veamos primero el vídeo.

220

Figura 10.8: Vídeo que muestra la obtención de un espectrograma.

Recomiendo ir parando el vídeo en el momento que se considere oportuno para entender mejor lo que sucede. Encontraremos una imagen similar a la siguiente.

Figura 10.9: Instantánea del vídeo de la ﬁgura 10.8.

221

En el panel de la izquierda tenemos la representación temporal de la vibración a modo de osciloscopio, es decir, la forma de la vibración a lo largo del tiempo. Al estar en la ﬁgura 10.9 la imagen detenida, he podido añadir la localización temporal precisa: el fragmento de señal analizado en este cuadro del vídeo corresponde al intervalo de tiempo transcurrido entre el segundo 10,360 y el 10,410. En total son las 50 milésimas de segundo que constituyen la duración de los fragmentos que analizamos. Podemos observar que en esta ocasión la forma de la vibración ha permanecido casi prácticamente estable durante ese intervalo de tiempo. Sin embargo, si hubiéramos detenido el vídeo en algún otro momento, especialmente en el ataque de alguna nota, nos hubiéramos encontrado con una situación más inestable. En el panel de la derecha tenemos la representación frecuencial, es decir, los componentes que constituyen la señal que estamos viendo en el panel de la izquierda. Esta representación sigue los mismos criterios que acabamos de ver en los apartados anteriores, es decir, muestra el análisis frecuencial. He aumentado proporcionalmente la amplitud para que en el espectrograma inferior resaltaran más los componentes pequeños. En esta ocasión vemos que aparecen destacados 6 picos que corresponden a los 6 primeros armónicos de la nota re4 , cuya frecuencias son, redondeando en hercios: 294,7 Hz, 587,4 Hz, 881,1 Hz, 1174,8 Hz, 1.468,5 Hz, 1.762,2 Hz. Las amplitudes están también acompañadas de una escala de colores, como la que he descrito antes. El componente primero se ve claramente destacado y el pico presenta un color amarillo luminoso que se aproxima ya al blanco. Los componentes segundo y el tercero tienen también una amplitud considerable y su color es un rojo brillante, siendo ligeramente mayor el tercero que el segundo. Los componentes cuarto, quinto y sexto van progresivamente perdiendo amplitud y sus colores van siendo cada vez más oscuros. A lo largo del vídeo podemos ver como esta gráﬁca va evolucionando siguiendo los cambios en el sonido. Dicho de otra manera, conforme el sonido va pasando por el panel izquierdo, la representación frecuencial de la derecha se va actualizando. En el panel de abajo vemos cómo se va construyendo el espectrograma del fragmento. Si nuestro reproductor de vídeo nos permite avanzar de cuadro en cuadro veremos que en cada cuadro tenemos un desplazamiento de la señal hacia la izquierda en la ventana temporal del panel de la izquierda, una actualización de su representación frecuencial en el panel de la derecha y, por último, una nueva columna de 222

píxeles en el panel inferior. Esa nueva columna de píxeles presenta los valores frecuenciales correspondientes al análisis frecuencial del cuadro que estamos analizando, utilizando simplemente los mismos colores que hemos obtenido en la representación frecuencial, de tal forma que aquí prescindimos de la longitud del componente y la representamos únicamente por el color. Así por ejemplo, si en el visor de imágenes con el que estamos examinando esta gráﬁca hacemos un zoom considerable, hasta el extremo de poder ver píxeles aislados, y nos ﬁjamos únicamente en la última columna de píxeles del espectrograma que estamos construyendo y que hemos detenido, veremos que los picos que hemos visto en el panel de las frecuencias se corresponden, con sus mismos colores, con los píxeles que vemos destacados en esta último columna de la imagen. Tal vez el componente más agudo nos aparezca un poco desvaído, pero aun con todo nos resultará fácil ver cómo esta columna de píxeles se corresponde y representa la amplitud de cada componente frecuencial analizado en el panel de la derecha. Esta forma de representación nos permite dejar un rastro de lo que hemos visto que ha ido sucediendo a lo largo del tiempo en el panel de las frecuencias. De este modo tenemos una representación frecuencial actualizada con el paso del tiempo. Y esto es ya similar a la manera en la que nosotros oímos y a la que en la realidad se producen la mayor parte de los acontecimientos sonoros. Así pues, el espectrograma es la forma de representación más idónea del sonido de un fragmento musical.

10.5.

Interpretación de los espectrogramas

Voy a presentar a continuación varios espectrogramas para mostrar cómo podemos interpretar las imágenes que ofrecen. Utilizaré los mismos ejemplos sonoros que hemos visto en anteriores capítulos, lo cual nos permitirá comparar la información que nos proporciona el espectrograma con la que obteníamos en el osciloscopio. He confeccionado mediante Matlab varios vídeos para facilitar el seguimiento del sonido en el espectrograma. La imagen del vídeo muestra el espectrograma del fragmento completo, mientras la línea verde vertical se va desplazando marcando el instante que está sonando. Todos los espectrogramas presentan sólo los primeros 4.000 Hz.

223

10.5.1. Espectrograma de sonidos armónicos estables Comenzaré con el espectrograma que corresponde al vídeo de la ﬁgura 7.4 del capítulo 7, donde se muestra cómo la incorporación de los sucesivos componentes armónicos aproxima la forma de la vibración a la de un diente de sierra y cómo repercute esta incorporación en la cualidad sonora. En este ejemplo suena ocho veces la misma nota, un la3 a 220 Hz. Empieza sonando el componente fundamental aislado, un sonido simple de 220 Hz, y luego se van incorporando sucesivamente todos los componentes de la serie armónica, hasta llegar al octavo armónico.

Figura 10.10: Vídeo con el espectrograma de la generación de una señal en diente de sierra a partir de los componentes consecutivos de la serie armónica.

En este espectrograma podemos observar que cada componente aparece representado por una línea horizontal, lo que indica que la frecuencia de todos ellos permanece constante durante la emisión de cada nota. Así mismo, por el color podemos apreciar que la amplitud de cada componente es la misma en todas las repeticiones de la nota en las que está presente, y también que la amplitud de los componentes que van apareciendo es progresivamente menor. Así vemos que el primer armónico o fundamental presenta la mayor amplitud, pues su color es casi blanco, que el color con el que está representado el segundo armónico es amarillo dorado y que los siguientes son rojos cada vez más oscuros. 224

Podemos ver también en el espectrograma con total claridad la estructura armónica que forman el conjunto de los componentes de la nota, pues todos ellos están separados entre sí por la misma distancia, una distancia que coincide con la frecuencia del primer componente.

10.5.2. Espectrograma de sonidos armónicos cuyos componentes cambian de amplitud Veamos ahora cómo queda reflejado en un espectrograma la evolución en amplitud de los componentes armónicos de un sonido. He elegido tres sonidos cuya forma de vibración ya habíamos examinado en el capítulo 9, cuando estudiábamos las envolventes de amplitud. En todos los ejemplos los sonidos están formados por los cuatro primeros armónicos y su frecuencia fundamental es 220 Hz, correspondiente a la nota la3 . En el primer caso se produce un retraso en el momento del ataque de los componentes superiores (figura 9.3 del capítulo 9); en el segundo hay cambios en las amplitudes respectivas de cada componente durante el mantenimiento del sonido (figura 9.4 del capítulo 9); y en el tercero ocurre que los componentes superiores se extinguen mucho más rápidamente que los inferiores (figura 9.2 del capítulo 9).

Figura 10.11: Vídeo con el espectrograma de tres sonidos armónicos formados por componentes cuya amplitud evoluciona de diferentes formas.

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A diferencia de la representación de la señal en el tiempo que veíamos en el osciloscopio, donde no podíamos distinguir los componentes individuales, este espectrograma nos muestra de forma clara la evolución de la amplitud de cada componente que forma el sonido. En primer lugar podemos observar que en todos los casos estamos ante un sonido armónico, pues las distancias entre los componentes son iguales. Por otro lado, los cambios en el color de cada componente a lo largo de su duración nos indican que ha variado su amplitud. En el espectrograma se puede distinguir también el carácter más o menos abrupto del ataque y de la extinción de las notas. Si pasamos a analizar caso por caso, nos encontramos con que en el primer sonido la amplitud de los componentes superiores es progresivamente menor, pues vemos que el componente primero es el que presenta mayor luminosidad, mientras que el último es el más oscuro. Se aprecia también claramente en el momento del ataque un retraso de los sucesivos componentes, siendo el fundamental el primero que entra. Por el contrario, vemos que en la extinción del sonido todos los componentes se apagan simultáneamente (si bien los componentes de mayor amplitud parecen prolongarse un poco más, esto se debe solamente a que los colores más oscuros se funden antes con el negro). Vemos también que las líneas que representan los componentes cambian de color durante la parte inicial del sonido, aproximadamente en la primera décima de segundo, desde un rojo muy oscuro que se funde casi con el negro del fondo, hasta llegar al color que mantendrán durante la mayor parte de la emisión. Esto es indicativo de que el ataque de la nota ha sido más bien suave, tal como apreciamos al oírla. Así mismo, en la etapa ﬁnal de la nota vemos que los componentes van perdiendo luminosidad, lo que hace que parezca que se vayan adelgazando. Esto corresponde a la extinción suave que oímos. En el segundo sonido los ataques de los componentes son simultáneos y menos suaves que en el primero, como podemos observar en el hecho de que se alcanza más rápidamente el color que mantendrá cada componente durante la emisión. Así mismo, vemos que la forma en la que se extinguen es similar a la del sonido primero. Los cambios de color que observamos durante su etapa intermedia nos indican que la amplitud de los componentes superiores, en especial el segundo y el tercero, se va haciendo progresivamente mayor, hasta superar, aproximadamente a la mitad de la duración del sonido, a la del fundamental; luego vemos que se invierte la tendencia y se recupera la situación inicial. Esto coincide con el cambio de cualidad sonora que 226

apreciamos: el sonido comienza con un carácter más bien suave, va ganando cuerpo y un poco de aspereza, y finalmente retorna a la suavidad. En el tercer caso, como en el primero, la representación de los componentes es progresivamente más oscura, lo que nos indica que su amplitud es menor conforme mayor es su frecuencia. Cada uno de los componentes tiene mayor intensidad lumínica al inicio de la emisión de la nota y luego se oscurece hasta casi desaparecer. Podemos ver en el espectrograma que los cuatro componentes han surgido a la vez. Por el contrario, la extinción se ha realizado de forma claramente desfasada, de tal modo que al final sólo queda sonando el componente fundamental, como podemos ver por la desaparición de las líneas que representan cada componente en el espectrograma. Si nos fijamos un poco más, vemos que el ataque abrupto que oímos se traduce en una línea vertical en el espectrograma, que se extiende por arriba y por abajo de la posición del respectivo componente y que luego, en forma de una especie de embudo, va a desembocar en la línea que le corresponde por su frecuencia. Esto se debe a que el ataque abrupto es similar al ruido, es decir, contiene una banda muy amplia de frecuencias. Podemos ver que la inestabilidad inicial es ruidosa y pasa cierto tiempo hasta que el sonido alcanza la estabilidad. Cuando veamos sonidos reales, los ataques abruptos vendrán caracterizados por esa forma de embudo que desemboca en la zona más luminosa del componente.

10.5.3. Espectrograma de sonidos cuyos componentes modifican su frecuencia A continuación vamos a ver un conjunto de casos en los que podremos apreciar cómo se observa la evolución de la frecuencia en un espectrograma. Los sonidos son los mismos que los que utilicé en el capítulo 9 al explicar la envolvente de frecuencia. Los tres primeros sonidos corresponden a la ﬁgura 9.5 y los otros dos a la ﬁgura 9.6.

227

Figura 10.12: Vídeo con el espectrograma de varios sonidos cuya frecuencia evoluciona de diferentes formas.

Al igual que en los ejemplos anteriores y a diferencia de la representación de la señal en el tiempo, el espectrograma nos permite apreciar la evolución de cada componente por separado. En el primer caso observamos un componente aislado que mantiene constante su frecuencia, como podemos ver por su horizontalidad. En el segundo, vemos unas oscilaciones que reﬂejan perfectamente el vibrato que oímos. En él podemos apreciar que la profundidad del vibrato aumenta y luego disminuye, pues las ondulaciones se hacen más pronunciadas y luego menos, aunque vemos también que el ritmo de las oscilaciones —es decir, la frecuencia del vibrato— permanece constante. En el tercer sonido apreciamos un incremento signiﬁcativo de la frecuencia tras el ataque, que luego baja de nuevo hasta alcanzar el nivel correspondiente en el que ya se mantiene horizontal. En el cuarto caso tenemos un sonido formado por tres componentes armónicos que mantienen su frecuencia constante, como podemos apreciar en su horizontalidad. Y en el quinto, vemos los mismo tres componentes anteriores, pero ahora con un vibrato similar al del segundo sonido. En él podemos apreciar que las ondulaciones del segundo componente son el doble de profundas que las del primero y que las del tercero son el triple que las del primero, como era lógico de esperar, pues los sonidos siguen siendo armónicos durante el vibrato.

228

10.5.4. Espectrograma de ruido blanco y sonido simple Una vez visto cómo se pueden observar en un espectrograma los componentes y la respectiva evolución de sus parámetros de frecuencia y amplitud, vamos a examinar un elemento que también está presente de una u otra manera en los sonidos musicales: el ruido. Para ver cómo aparece representado el ruido en un espectrograma y cómo se distingue inmediatamente de un sonido musical voy a utilizar el ejemplo de la ﬁgura 3.1 del capítulo 3, donde veíamos la representación en el osciloscopio del ruido blanco, aquél que contiene todas las frecuencias del espectro, y de su opuesto, un sonido simple.

Figura 10.13: Vídeo con un espectrograma de ruido blanco y de un sonido simple.

La representación espectral del ruido blanco es el granulado de la izquierda, mientras que la línea blanca de la derecha corresponde al sonido simple. Si hubiéramos extendido la representación del espectrograma más allá de los 4.000 Hz hubiéramos seguido observando ese mismo granulado en toda la franja audible. Idealmente un ruido blanco contiene todas las frecuencias con la misma amplitud, por lo que deberíamos haber visto, en lugar de este granulado, un rectángulo plano de un color uniforme. Pero la aleatoriedad absoluta sólo es posible en la idealidad. Para ello deberíamos haber dispuesto de una duración inﬁnita y haber tenido una garantía total 229

de que los números que hemos obtenido para generar el ruido blanco fueran perfectamente aleatorios, no pseudo-aleatorios, como los que hemos utilizado. Así mismo, cuando observamos el componente aislado, un sonido simple, deberíamos haber visto una línea inﬁnitamente ﬁna, la correspondiente solamente a esa precisa frecuencia. Sin embargo, en los espectrogramas siempre vemos para cada componente una línea con un cierto grosor. Estas son las aproximaciones con las que vamos a ver las señales en los espectrogramas que realicemos habitualmente.

10.5.5. Espectrograma de ruido de tráfico y de habla Quiero ahora presentar un ejemplo en el que se toman dos situaciones de la vida real en las que no hay sonido musical. Ambos ejemplos corresponden también al capítulo 3: el primero consiste en la primera parte de la figura 3.4, que contiene ruido de tráfico en un día de lluvia, y el segundo en la primera parte de la figura 3.10 en el que una locutora de radio dice unas pocas palabras.

Figura 10.14: Vídeo con un espectrograma de ruido de tráﬁco y de una locutora de radio.

En la primera parte vemos con claridad el ruido blanco producido por la lluvia, que cubre todo el espectro de frecuencias de una manera homogénea. En la parte de abajo del espectro vemos una forma granulada, correspondiente también a ruido, pero que 230

se sitúa en una zona de más bajas frecuencias. Es el ruido propio del tráfico. Vemos también como el motor de un coche, al acelerar, se refleja en la aparición de unos componentes que suben rápidamente su frecuencia. Y oímos en medio de ese ruido un sonido armónico, la bocina de un coche, como se puede apreciar con claridad por la distribución vertical de componentes igualmente espaciados que se observan en torno al segundo nueve y con menos claridad un poco antes del segundo 4. En la segunda parte del espectrograma, cuando oímos hablar a la locutora, vemos una alternancia entre breves fragmentos de sonidos armónicos y un granulado organizado en barras verticales. Es la alternancia entre ruido y sonido armónico característica del habla, simplificando un poco, la alternancia entre consonantes y vocales. Vemos también que las vocales cambian de frecuencia siguiendo unos esquemas ascendentes y descendentes dentro de unos pequeños márgenes. Estos esquemas son los que constituyen la entonación del habla.

10.6.

Conclusión

En este capítulo hemos estudiado cómo se puede descomponer una vibración cualquiera en la suma de los componentes sinusoidales que la constituyen, cada uno con su propia frecuencia y amplitud. Al hacer esto hemos obtenido una representación frecuencial del sonido analizado. Así mismo, dado que habitualmente los parámetros de los componentes armónicos que constituyen el sonido musical cambian a lo largo del tiempo, hemos visto que el espectrograma es una forma adecuada de representar esta evolución, pues muestra para cada instante la frecuencia y la amplitud de los componentes que forman el sonido.

231

Capítulo 11 El timbre

11.1. Introducción El sonido de los instrumentos musicales, entre los que hay que incluir el de la voz humana en el canto, es una realidad acústica mucho más compleja que el sonido generado artificialmente que hemos utilizado en la mayor parte de los ejemplos de los capítulos anteriores. El sonido habitual que oímos en las notas que forman una pieza musical interpretada por instrumentos acústicos posee unas cualidades que le proporcionan, por así decir, un grosor y una textura que lo hacen rico y variado, tiene “algo” que percibimos como vivo y de lo que suelen carecer los sonidos artificiales. Estas cualidades son las que dotan a cada sonido musical de una individualidad, una individualidad que va a conservar incluso cuando se mezcle con otros sonidos, como ocurre, por ejemplo, en los acordes dados en el mismo instrumento o cuando la misma nota es emitida simultáneamente por dos instrumentos distintos. Este conjunto de cualidades sonoras constituyen lo que llamamos el timbre del sonido. La palabra “timbre” se suele usar en sentido estricto para designar los rasgos específicos que caracterizan los sonidos propios de uno u otro instrumento. Así, se habla del timbre del violín, del clarinete, del piano, etc. Sin embargo, el término “timbre” también puede ser utilizado para nombrar el conjunto de marcas diferenciadoras que individualizan el sonido de cada nota musical concreta, al margen de su altura tonal o de su volumen sonoro. Estas marcas tímbricas no sólo diferencian un sonido de otro 232

dentro del mismo instrumento, sino que hacen que una misma nota dada en el mismo instrumento posea una cualidad sonora particular dependiendo del “toque” del intérprete, el cual puede hacer incluso que suene de diferente modo en los distintos momentos de su interpretación. La palabra “timbre” significa precisamente esto: sello. Podemos considerar, así pues, que el timbre es el sello propio que posee cada sonido, bien sea por su pertenencia a un tipo de instrumentos o a un instrumento concreto, o bien incluso por la acción intencionada del instrumentista. En este último sentido decimos que el instrumentista “timbra” de una u otra manera cada uno de los sonidos que ejecuta, dotándolos de unas marcas específicas que forman parte del sello de su interpretación. En líneas generales, podemos decir que los sonidos producidos por la práctica totalidad de los instrumentos musicales son el resultado de la interacción de dos sistemas: uno, la fuente de excitación sonora, aquellos mecanismos mediante los cuales se provoca y se mantiene la vibración, como son, por ejemplo, las cuerdas en el piano; otro, las estructuras que actúan de resonadores y que modifican la composición del sonido emitido por la fuente, como es, por ejemplo, la caja de resonancia. Las posibilidades de acción sobre cada uno de estos sistemas que ofrece cada instrumento al intérprete completan su caracterización tímbrica, como ocurre, por ejemplo, con el vibrato en los instrumentos de afinación libre. Estas posibilidades son los recursos expresivos con los que cuenta el intérprete para transmitir su idea musical. Pero no todos los instrumentos permiten al intérprete las mismas posibilidades. En unos casos puede modificar los parámetros acústicos a lo largo de la emisión de un sonido, como ocurre en la voz humana, el más versátil de los instrumentos, donde el cantante puede controlar la amplitud y la frecuencia de la fuente sonora (sus cuerdas vocales), pero también, y especialmente, puede modificar la forma de los resonadores (su órgano bucal). Esto último le permite incrementar o disminuir la amplitud de unos u otros componentes frecuenciales, modificando a su voluntad y de forma constante la cualidad tímbrica del sonido que está emitiendo. El caso opuesto es el del clavecinista, por ejemplo, quien dispone casi exclusivamente de la posibilidad de disparar el mecanismo de producción del sonido mediante su acción sobre la tecla, pero, a partir de ahí, todo lo que sucede en el sonido viene ya determinado por la

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propia constitución del instrumento, careciendo el intérprete de cualquier medio de modiﬁcación. Aunque el estudio del timbre no se presta con facilidad a un análisis sistemático, un conocimiento de las causas que dan lugar a las diferentes marcas y matices tímbricos que conforman el sonido de los instrumentos es esencial para entender verdaderamente en qué consiste el sonido musical, el “material” con el que se construye la música. Por otra parte, analizar sonidos reales nos va a ayudar a entender cómo nuestro sistema perceptivo es capaz de organizar el conjunto sonoro que llega a nuestros oídos y extraer de él las diferentes voces. Y esto es algo que está detrás de todo nuestro sistema musical. Para realizar un análisis sistemático del timbre del sonido musical tendríamos que estudiar su “color”, es decir, el número de armónicos y su jerarquía; las envolventes de amplitud y de frecuencia de cada componente; los formantes, es decir, las resonancias propias de cada instrumento; los transitorios, es decir, los breves milisegundos que transcurren hasta que el sonido se estabiliza; la presencia de ruido y sus características; la posible existencia de algún componente no armónico; etc. Pero el estudio sistemático de todos estos factores excedería el propósito de este capítulo, por lo que me voy a limitar a ofrecer unos cuantos ejemplos ilustrativos que muestran cómo el sonido conserva la “marca” del instrumento que lo ha producido y la “gestualidad sonora” que ha realizado el intérprete. A través de estos ejemplos observaremos también que nuestra percepción es capaz de detectar esas marcas tímbricas y con ello de seguir y reconocer, hasta cierto punto, la individualidad de cada sonido en medio de otros. Así pues, en este capítulo vamos a adentrarnos en el complejo mundo de la “vida real” de los sonidos musicales. Comprobaremos que en la mayoría de los sonidos musicales es habitual que cierto componente de ruido acompañe a la parte armónica del sonido. Veremos, por ejemplo, que cuando un instrumento emite una nota, lo más común es que los parámetros de cada uno de los componentes simples que la constituyen evolucionen de diferente modo a lo largo del tiempo de su emisión y que eso interviene en el timbre del sonido que escuchamos. Además, podremos experimentar que los componentes sinusoidales de los sonidos de algunos instrumentos, como es el caso del piano, no son estrictamente armónicos, es decir, las frecuencias de sus componentes no son múltiplos exactos del fundamental. 234

En primer lugar me ocuparé del conjunto de rasgos que pertenecen a lo que habitualmente se denomina el contenido espectral de un sonido y que determinan sus cualidades sonoras, su color. Puesto que el espectrograma nos ofrece una imagen bastante completa de la “vida” del sonido musical, utilizaré varios vídeos con espectrogramas que nos permitirán observar los rasgos tímbricos que están vinculados a la estructura y a la evolución individual de los componentes frecuenciales, así como la posible presencia de ruidos característicos que acompañan a la emisión. En segundo lugar mostraré la importancia que para la caracterización del timbre tiene la evolución temporal de los parámetros del sonido en su conjunto, es decir, la envolvente de amplitud y la envolvente de frecuencia.

11.2. Rasgos tímbricos derivados del contenido espectral Empezaremos estudiando, a modo de ejemplo, los rasgos más destacados que se pueden observar en el contenido espectral de unos cuantos sonidos instrumentales. Se trata de sonidos de piano, de violín y de clarinete. He procurado elegir ejemplos en los que sea fácilmente apreciable la relación entre lo que vemos en el espectrograma y lo que oímos. El primer ejemplo consiste en dos frases breves formadas por notas salteadas del registro medio-grave del piano. La segunda frase se repite al ﬁnal con un toque más suave. Las notas son: sib2 , mib3 , solb3 ,dob3 ; mib3 , lab3 , dob4 , re3 ; mib3 , lab3 , dob4 , re3 . El segundo ejemplo pertenece al registro medio-agudo del piano y consiste en una frase formada principalmente por notas consecutivas: la4 , si4 , do5 , re5 , mi5 , do5 , si4 , la4 , fa5 . Esta frase se repite dos veces, la primera con un toque intermedio y la segunda con un toque más duro. Tanto en este ejemplo como en el anterior las notas de cada frase están ligadas y no he utilizado ningún pedal. El tercer ejemplo consta de una frase de violín y otra de clarinete. La frase de violín está formada por tres notas: la primera es sol3 , la nota más grave del violín que se obtiene con la cuarta cuerda al aire; la segunda y la tercera son fa#5 y sol5 , esta última ejecutada con vibrato. La frase de clarinete está formada por dos pares de notas 235

ligadas, de las cuales las segundas son el resultado de abrir el portavoz sin modificar la posición. La primera pareja la forman el re3 , la nota más grave del clarinete en sib con todos los orificios tapados, y el la4 , la misma posición con el portavoz abierto. La segunda pareja está compuesta por el mib3 y el sib4 . Para cada uno de los tres ejemplos presentaré dos vídeos con sus correspondientes espectrogramas, a fin de mostrar, mediante la modificación de la escala de color, diferentes aspectos de su contenido espectral. En todos los espectrogramas la duración de la ventana de análisis ha sido de 50 milésimas de segundo, lo que, como vimos, da como resultado un compromiso aceptable entre la resolución en tiempo y en frecuencia. De esta forma podremos distinguir con suficiente claridad los componentes que constituyen cada sonido y a la vez seguir su evolución temporal. En el primero de los dos espectrogramas de cada ejemplo la escala de colores refleja linealmente las amplitudes de cada componente, desde el negro, que corresponde al 0, hasta el blanco, que corresponde al 1, con todas las gradaciones intermedias, como indiqué en el capítulo dedicado al análisis espectral. Dado que, en general, la amplitud relativa de los componentes muy agudos es muy pequeña, con esta escala de colores no se observa prácticamente ningún componente más allá de los 5.000 Hz, por lo que he limitado el rango de estos espectrogramas a esta frecuencia. El segundo espectrograma de cada ejemplo nos va a permitir observar con claridad los componentes que están en la banda alta de frecuencias. Aunque la amplitud de estos componentes muy agudos es, en general, muy pequeña, nuestro oído es muy sensible a su presencia y, si bien su importancia para el reconocimiento de la altura tonal es escasa, influyen mucho en el color del sonido. Si los componentes que se encuentran en esas zonas superiores del espectro no fueran importantes para nuestra percepción acústica, no tendría sentido que los reproductores de música de calidad se distinguieran, entre otras cosas, por su capacidad para reproducir con fidelidad los componentes más agudos. Para hacer visibles estos componentes muy agudos he modificado la escala de colores, de tal forma que el color blanco representa ahora cualquier amplitud superior a una centésima, dentro de la escala normalizada del 0 al 1. Al hacerlo así, surgen del fondo oscuro del espectrograma nuevos componentes que antes estaban fundidos con el color negro. Ahora bien, desaparecen las diferencias entre las amplitudes que se pueden apreciar con la escala de color sin alterar de los primeros espectrogramas, ya que cualquier valor superior a una centésima queda 236

representado ahora por el color blanco. Esto explica el engrosamiento que se observa en los componentes más graves. Esta escala de color nos permitirá también apreciar mejor la presencia de ruido y su inﬂuencia en la caracterización de los sonidos musicales. No obstante, he limitado el rango de estos segundos espectrogramas a los 10.000 Hz, pues, aunque desde el punto de vista de la calidad de la reproducción sonora son muy importantes los componentes que están por encima de esta frecuencia, para nuestro estudio sobre las marcas tímbricas este límite es suﬁciente. Veamos, pues, uno detrás de otro los vídeos con los tres ejemplos sonoros y sus correspondientes espectrogramas. Recomiendo ver y escuchar con detenimiento cada uno de los vídeos para adquirir familiaridad a la hora de relacionar lo que se ve con lo que se oye.

237

Figura 11.1: Vídeo con el espectrograma de una melodía de piano en el registro medio-grave.

Figura 11.2: Vídeo con el espectrograma de banda alta de la melodía de piano de la ﬁgura 11.1.

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Figura 11.3: Vídeo con el espectrograma de una melodía de piano en el registro medio-agudo.

Figura 11.4: Vídeo con el espectrograma de banda alta de la melodía de piano de la ﬁgura 11.3.

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Figura 11.5: Vídeo con el espectrograma de unas notas de violín y clarinete.

Figura 11.6: Vídeo con el espectrograma de banda alta de las notas de violín y clarinete de la ﬁgura 11.5.

Lo primero que podemos observar es que todos estos espectrogramas son de sonidos naturales, es decir, de sonidos producidos por instrumentos acústicos, pues podemos apreciar imperfecciones, ruidos y variaciones que lo hacen rico y “vivo”. Así, en el espectrograma de banda alta del primer ejemplo, el de la ﬁgura 11.2, observamos que 240

aproximadamente en el segundo 12,5 aparece una pequeña franja vertical. Si el volumen del altavoz de nuestro reproductor es lo suficientemente alto, reconoceremos en ese momento el ruido que se ha producido al levantar la tecla que ha dado el re3 . Un poco más adelante (en la penúltima nota, en torno al segundo 16,7, casi al final de la duración del dob4 ) oímos un pequeño ruido sordo que enmascara momentáneamente el sonido de la nota y que se corresponde con una pequeña franja vertical en el espectrograma. Y al finalizar el pasaje, en la última nota (un poco antes del segundo 18) oímos y vemos en el espectrograma un pequeño chasquido ambiental. Por otra parte, el granulado que está por debajo de los componentes más graves en todo el espectrograma coincide con el ruido ambiente de la grabación doméstica. Ciertamente, en medio del sonido emitido por los instrumentos musicales hay muchas formas de ruido, todas ellas caracterizadas por una acumulación de componentes en una determinada zona del espectro. En el caso del piano, por ejemplo, como veremos enseguida, determinados tipos de ruido forman parte de su propia caracterización tímbrica. Con la ayuda de estos ejemplos vamos a examinar a continuación los rasgos tímbricos a mi juicio más relevantes que se aprecian en el contenido espectral del sonido de los instrumentos musicales. Estos rasgos son, en parte, resultado de la constitución de cada instrumento y, en parte, resultado de las acciones del intérprete. En primer lugar nos ocuparemos de las peculiaridades espectrales que comparten los sonidos del mismo instrumento, es decir, aquellas características que poseen los sonidos del piano por ser de piano, los del violín por ser de violín o los del clarinete por ser de clarinete. Para no alargar en exceso este capítulo, me centraré en las marcas específicas del sonido del piano. En segundo lugar estudiaremos las diferencias en contenido espectral que presentan cada sonido individual del mismo instrumento. Veremos cómo la cualidad sonora de una nota del piano es diferente de la de otras notas del mismo piano, igual que cada nota del violín es diferente de otras del mismo violín, y lo mismo en el caso del clarinete. Y en tercer lugar analizaremos las diferencias en el contenido espectral que son resultado de las acciones intencionadas que realiza el intérprete al emitir cada nota según sus propósitos expresivos en cada momento de la interpretación.

241

11.2.1. Rasgos espectrales característicos del tipo de instrumento Puesto que, como acabo de decir, un estudio detenido válido para cualquier instrumento excedería el objetivo de este curso, me ha parecido oportuno elegir como ejemplo el caso del piano para estudiar sus peculiaridades tímbricas. Empezaremos analizando cómo quedan reflejadas en los espectrogramas que acabamos de ver las marcas tímbricas propias de este instrumento, es decir, los rasgos sonoros que nos permiten reconocer que un determinado sonido ha sido emitido por un piano, y no por un violín, por un clarinete o por cualquier otro instrumento. Si comparamos los espectrogramas de los tres instrumentos podemos distinguir las siguientes características propias de los sonidos del piano: a) Todos los componentes del piano mantienen una total horizontalidad. Ciertamente también son horizontales los componentes del sol3 del violín o incluso los del re3 y mib3 del clarinete, aunque, si nos fijamos en el detalle, nos damos cuenta de que estos últimos son algo menos horizontales. Ahora bien, en ninguna nota de piano podremos encontrar nunca una oscilación de los componentes a lo largo de su duración, como ocurre en el caso del sol5 del violín o, aunque en un grado menor, en el la4 y el sib4 del clarinete. Los componentes del piano ni siquiera presentan una ligera inflexión, a diferencia de los del violín, como podemos apreciar en el inicio del fa#5 de este instrumento. En efecto, la estabilidad de la frecuencia es un rasgo distintivo de los componentes del sonido de piano. b) Los componentes de las notas del piano poseen en el espectrograma cierto aspecto triangular: son más gruesos en el comienzo, donde al poco de empezar alcanzan su máxima luminosidad, y luego progresivamente se adelgazan y oscurecen. El grosor con el que empieza cada componente se debe al ruido inicial producido durante el ataque. El modelo de paso brusco de ruido a frecuencia estable es común a todas las notas del piano. Esto se aprecia más claramente en las notas agudas, donde la presencia del ruido es más duradera y destacable. Esto sucede porque cuando el martillo golpea la cuerda del piano se produce un ruido inicial que va transformándose en vibración periódica, es decir, en un conjunto de componentes claramente definidos. Este momento 242

inicial, que se llama “transitorio de ataque”, es especialmente significativo para definir el timbre del piano, y es ahí, en este momento, donde se concentra la mayor parte de la información que el pianista puede proporcionar, pues a partir de entonces es ya la propia constitución del instrumento la que determina la evolución de los parámetros sonoros, sin que el intérprete pueda hacer nada para modificarlos. c) Salvo las excepciones que veremos en el apartado “d”, un rasgo característico de las notas del piano es que sus componentes tienden a desvanecerse y a perder paulatinamente su brillo. Los espectrogramas de las figuras 11.1 y 11.3 traducen la atenuación progresiva de la intensidad sonora que se produce tras el momento inicial del ataque de la nota de piano, momento en el que se acumula toda la aportación de energía que realiza el intérprete y que queda reflejado en ese punto inicial de fuerte luminosidad que poseen muchos componentes. A diferencia de los sonidos del piano, los componentes de las notas del violín y del clarinete, como podemos observar en el espectrograma de la figura 11.5, pueden disminuir, mantener o incrementar su brillo a lo largo de su emisión, pues en estos instrumentos la energía sonora se modifica a voluntad del intérprete, quien ha de aportar energía constantemente para que el sonido siga produciéndose. d) En ocasiones los componentes del piano se desvanecen y vuelven a aparecer, como podemos apreciar en los armónicos segundo, tercero y cuarto de la nota dob4 del espectrograma de la figura 11.1, en torno al segundo 9,5, o con más claridad en muchos componentes de las notas de las figuras 11.2, 11.3 y 11.4. Nada parecido observamos en los espectrogramas del violín o del clarinete. Podemos comprobar que el espectrograma refleja lo que el oído percibe como pequeñas pulsaciones. Estas pulsaciones son el resultado de las interferencias que se producen por las pequeñísimas desigualdades de frecuencia que habitualmente hay entre las dos o tres cuerdas unísonas que suenan al pulsar cada tecla del piano. e) Los componentes frecuenciales del sonido del piano no son estrictamente armónicos. Si bien un sonido musical se caracteriza por ser armónico, ocurre que en la propia naturaleza de los sonidos de algunos instrumentos como el piano hay una pequeña inarmonicidad, la cual le otorga precisamente una 243

cualidad sonora característica. La inarmonicidad es una marca tímbrica del sonido del piano. Aunque no es fácil apreciarla a simple vista en los espectrogramas, el oído sí la reconoce enseguida. La inarmonicidad se produce porque las frecuencias de los sucesivos componentes del piano se apartan cada vez más de la que les debería corresponder si siguieran estrictamente la serie armónica. Los armónicos de una nota del piano no son exactamente múltiplos de la frecuencia fundamental, sino que progresivamente se van abriendo: la frecuencia del segundo armónico, en lugar de ser el doble de la fundamental, puede ser, por ejemplo, de 2,002 veces esa frecuencia; la del tercero, en lugar de ser exactamente tres veces la del fundamental, puede ser de 3,005 veces; y así sucesivamente, de modo que la frecuencia del noveno armónico ya será una 9,14 veces la del fundamental, pues la apertura va aumentando conforme mayor es el número del armónico. Podemos observar la inarmonicidad del piano mediante un nuevo ejemplo. Ahora se trata de la nota sol3 dada por un piano, seguida de esa misma nota emitida por un violín con la cuerda al aire, de manera que no presenta ningún vibrato ni inestabilidad en su frecuencia. Para este espectrograma he utilizado una ventana de análisis muy larga, lo que nos va a permitir obtener una resolución en frecuencia muy elevada, pues, lo que nos interesa ahora es atender a las frecuencias de los componentes, aunque perdamos resolución temporal. He modiﬁcado el mapa de color para poder apreciar los componentes más débiles. Sólo vamos a estudiar lo que ocurre en los primeros nueve armónicos.

244

Figura 11.7: Vídeo con el espectrograma de ventana muy larga de la nota sol3 dada primero por un piano y luego por un violín.

En el espectrograma he medido la frecuencia de cada uno de los componentes, tanto los de la nota de piano como los de la nota de violín. A continuación pongo una tabla con los valores que he obtenido en ambos instrumentos y, para que sirva de referencia, las frecuencias que les hubieran correspondido a los componentes si hubieran seguido estrictamente la serie armónica. Hay que tener en cuenta que, como se trata de sonidos naturales, la aﬁnación de la nota de piano y la de violín no coinciden exactamente, sino que hay una pequeña diferencia de décimas de hercio: el componente fundamental del piano mide 195,5 Hz y el del violín 195,9 Hz.

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Piano serie

Piano

Violín serie

Violín

armónica (Hz)

medido (Hz)

armónica (Hz)

medido (Hz)

195,5 x 1 = 195,5

195,5

195,9 x 1 = 195,9

195,9

195,5 x 2 = 391,0

391,3

195,9 x 2 = 391,8

391,8

195,5 x 3 = 586,5

587,5

195,9 x 3 = 587,7

587,7

195,5 x 4 = 782,0

784,4

195,9 x 4 = 783,6

783,6

195,5 x 5 = 977,5

982,1

195,9 x 5 = 979,5

979,5

195,5 x 6 = 1.173,0

1.180,9

195,9 x 6 = 1.175,4

1.175,4

195,5 x 7 = 1.368,5

1.381,4

195,9 x 7 = 1.371,3

1.371,3

195,5 x 8 = 1.564,0

1.583,5

195,9 x 8 = 1.567,2

1.567,2

195,5 x 9 = 1.759,5

1.786,8

195,9 x 9 = 1.763,1

1.763,1

Tabla 11.1: Frecuencias de los componentes de la nota de piano y de la nota de violín.

Si comparamos los valores de las columnas correspondientes a los instrumentos medidos con los respectivos valores de referencia según la serie armónica, podemos verificar que los componentes de la nota de violín son armónicos hasta la décima de hercio, mientras que los del piano se van apartando cada vez más, de modo que la diferencia es bastante significativa en los componentes superiores, exactamente de 27,3 hercios en el noveno armónico. Esta inarmonicidad, que es consecuencia de la rigidez de las cuerdas del piano, da al instrumento un sonido ligeramente metálico muy característico. La inarmonicidad del piano provoca también problemas en la afinación y obliga al afinador a estirar artesanalmente las octavas.

246

11.2.2. Diferencias del contenido espectral entre las distintas notas del mismo instrumento Las notas de un clarinete suenen todas a clarinete y las de un piano suenen todas a piano, pero cada instrumento e incluso cada nota del mismo instrumento posee un color propio, unos matices que le otorgan una sonoridad peculiar. Como se explica en el capítulo dedicado al sonido armónico, la mayor o menor importancia que posee cada componente dentro del conjunto —es decir, su jerarquía— determina la cualidad sonora que percibimos, su color. En efecto, el contenido espectral de todas las notas del mismo instrumento no es idéntico. De un instrumento a otro y de una nota a otra cambia la importancia relativa que cada componente posee respecto al conjunto. Para observar que esto es así volveremos a los tres ejemplos sonoros que he presentado al principio y a sus respectivos espectrogramas (ﬁguras 11.1 a 11.6). Comprobaremos que el hecho de que varíe el contenido espectral de una nota a otra dentro del mismo instrumento hace que cambie su cualidad sonora. Primero vamos a examinar las diferencias de sonoridad que se producen entre notas cuya tesitura está alejada y luego las que existen entre notas muy cercanas. Por último, comentaré brevemente las causas de estas diferencias entre sonidos del mismo instrumento.

a) Diferencias tímbricas entre notas pertenecientes a distintos registros del mismo instrumento

Para explicar la inﬂuencia del registro tonal en la cualidad tímbrica de las notas emitidas por el mismo instrumento voy mostrar los que ocurre en el piano y en el violín mediante los ejemplos sonoros de los vídeos que he presentado antes. Empezaremos estudiando al caso del piano. En los vídeos con los dos ejemplos de piano (los espectrogramas de las ﬁguras 11.1 a 11.4) podemos apreciar la diferencia de sonoridad que hay entre las notas del registro medio-grave y las notas del registro medio-agudo.

247

Atendamos a los espectrogramas de los dos ejemplos de piano en los que la escala de color no está alterada (los de las figuras 11.1 y 11.3). Podemos apreciar que la mayor parte de las notas que pertenecen al registro medio-grave (las del primer caso) presentan abundantes armónicos visibles, diez o incluso más, mientras que en las notas que pertenecen al registro medio-agudo (las del segundo caso) el número de armónicos que se pueden distinguir con claridad está en torno a tres o cuatro. Examinemos ahora los espectrogramas que nos permiten apreciar mejor la banda alta del espectro de esos dos ejemplos de piano (el de las figuras 11.2 y 11.4). Puesto que la escala de color ahora representa como blanco todo valor de amplitud superior a una centésima, vemos que aparecen los componentes de la banda alta, cuya amplitud es generalmente muy reducida y que no se veían en los espectrogramas anteriores. Podemos comprobar también ahora que el número de componentes visibles es notablemente mayor en las notas del registro medio-grave (las del espectrograma de la figura 11.2) que en las del registro medio-agudo (las del espectrograma de la figura 11.4). En estos dos ejemplos podemos observar que lo que vemos en los espectrogramas coincide plenamente con lo que oímos en los respectivos vídeos: mientras que las notas del primer ejemplo suenan más llenas, más redondas, las del segundo tienen una sonoridad más clara, más perlada. En resumen, podemos concluir que el color de las notas del piano es muy diferente en el registro medio-grave y en el registro medio-agudo, a pesar de la proximidad que hay entre ambos registros. Las diferencias hubieran sido mucho más exageradas si hubiéramos comparado notas del piano de los registros extremos, el más grave y el más agudo, pero me ha parecido oportuno situar los ejemplos dentro del rango habitual de la música de piano. Por otra parte, en estos últimos espectrogramas podemos apreciar que el ruido, que acompaña el ataque de la nota en todos los sonidos de piano y que es un elemento característico del timbre de este instrumento, no tiene la misma importancia en las notas agudas que en las graves. Si nos fijamos en el espectrograma de la figura 11.4 (el del registro medio-agudo del piano) observamos que el inicio de cada nota va acompañado de una serie de emborronamientos y sombreados de tendencia vertical que se diluyen al cabo de muy poco tiempo y que señalan la presencia de ruido. Ahora bien, aunque este ruido de ataque se puede observar también en el espectrograma de banda alta que corresponden al primer ejemplo del piano (el de la 248

figura 11.2), donde se dan notas del registro medio-grave, podemos comprobar que su incidencia es claramente menor. Esa diferente presencia del ruido de ataque en ambos registros es también una marca tímbrica que distingue nuestro oído. Veamos ahora en el caso del violín cómo se aprecian las diferencias tímbricas entre notas de distintos registros tonales, pero del mismo instrumento. Volvamos a las notas que suenan en la primera parte del tercer ejemplo que he presentado antes (el que corresponde a los espectrogramas de las figuras 11.5 y 11.6). Hay una distancia de casi dos octavas entre la primera y la segunda nota: primero suena la nota más grave de este instrumento, el sol3 , dado con la cuarta cuerda al aire, y luego el fa#5 seguido del sol5 , dadas ambas con la primera cuerda presionada con los dedos para acortar su longitud. Si analizamos el contenido espectral de la nota sol3 del violín del espectrograma de la figura 11.5, encontramos que el primer armónico es inapreciable y que el componente más destacado es el segundo; el tercero, cuarto y quinto armónico tienen una escasa presencia, mientras que el sexto aparece con claridad; el séptimo, octavo y noveno armónico casi pasan desapercibidos, pero el décimo y el undécimo se observan con bastante nitidez. Ahora bien, el contenido armónico de las notas agudas del violín, el fa#5 y el sol5 , es totalmente distinto: en ambos casos los cuatro primeros armónicos tienen una presencia destacada, mientras que el quinto y el sexto están más atenuados. Comprobamos que la sonoridad de los dos grupos de notas es también muy distinta: el fa#5 y el sol5 tienen una cualidad sonora brillante, casi hiriente, mientras que el sonido del sol3 es más cálido y envolvente. Entenderemos mejor la razón de la sonoridad agresiva de esas notas del registro agudo si nos fijamos en el otro espectrograma del mismo ejemplo (el de la figura 11.6). Vemos que en esas notas hay una presencia destacada de armónicos en toda la banda superior, lo que explica esa sonoridad casi hiriente. Así pues, hemos podido experimentar en el caso del piano y del violín que las diferencias en el contenido espectral de notas de diferentes registros dan lugar a unas marcas tímbricas específicas.

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b) Diferencias tímbricas entre notas próximas del mismo instrumento

Una vez que hemos examinado la diferente cualidad sonora de notas del mismo instrumento que pertenecen a regiones de la voz alejadas, vamos a ver que también existen diferencias entre notas que son casi consecutivas. Estas diferencias son más difíciles de apreciar por el oído y requieren una audición más atenta, capaz de hacer abstracción de la diferente altura tonal para prestar atención exclusivamente a la cualidad sonora. Comenzaré con la frase de clarinete que aparece en la segunda parte del tercer ejemplo (figuras 11.5 y 11.6). Las notas forman una doble pareja que distan entre sí un semitono. La primera pareja, el re3 y el la4 , han sido producidas con toda la longitud del tubo, en el caso del re3 con todos los agujeros tapados y en el caso del la4 continuando con todos los orificios tapados excepto el portavoz (el orificio cuya apertura provoca en el clarinete la emisión del tercer armónico, la nota que está a una distancia de octava y quinta). La otra pareja, el mib3 y el sib4 , ha sido producida de forma similar, pero con el acortamiento del tubo sonoro. Como ahora pretendo mostrar la diferente cualidad sonora entre notas que están muy próximas, no voy a analizar las diferencias de sonoridad que existen entre las notas del registro grave del clarinete —el llamado chalumeau— y las del registro agudo, el registro clarín que da nombre a este instrumento y que se producen al abrir el portavoz. Atenderemos al diferente contenido espectral entre notas que pertenecen al mismo registro, es decir, el re3 y mib3 , por un lado, y el la4 y sib4 , por otro. Un rasgo característico del sonido del clarinete es la prevalencia de los armónicos impares. Fijémonos, en primer lugar, en el mib3 , la tercera de las notas emitidas por el clarinete. En efecto, en el espectrograma se observan casi exclusivamente los armónicos impares: primero, tercero, quinto, etc, hasta el undécimo, y acaso parece vislumbrarse un poco el duodécimo. En el caso del re3 , la primera nota, observamos, así mismo, la prevalencia de los armónicos impares, pero comprobamos que también hay una cierta presencia de los armónicos pares: el sexto, el octavo, el décimo y el duodécimo. Como hemos experimentado hasta ahora, estas diferencias en la importancia de los componentes armónicos deberían ser percibidas por nuestro oído como diferencias en la cualidad sonora.

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Para facilitar la apreciación auditiva de estas diferencias, he realizado un nuevo vídeo con los dos sonidos que quiero comparar, uno a continuación del otro. Para que la diferente altura tonal no distraiga nuestra atención sobre la cualidad sonora de cada nota, he bajado artiﬁcialmente un semitono la segunda nota, el mib3 , de modo que ha quedado convertido en un re3 , y así ambas notas tienen la misma altura tonal.

Figura 11.8: Vídeo con el espectrograma de dos notas de clarinete con diferente contenido espectral.

Ahora podemos distinguir bastante bien la diferente cualidad sonora de ambas notas. En efecto, oímos dos notas de igual altura tonal, pero con distintos matices de color: mientras la primera tiene un sonido más bien profundo y lleno, la segunda resulta más áspera. Si comparamos el contenido espectral de las otras dos notas del clarinete, las del registro agudo, vemos que en el la4 aparece el segundo armónico, un armónico par que está ausente en el sib4 . También observamos que el componente más destacado del la4 es el fundamental, mientras que en el sib4 es el tercer armónico el que tiene más relevancia. Estas diferencias en el contenido espectral explican las distintas cualidades sonoras que oímos en dos notas consecutivas. Veamos por último cómo dos notas próximas de piano tienen una cualidad sonora diferente. Volvamos al vídeo de la ﬁgura 11.3, donde se repite una pequeña frase ligada 251

formada por notas predominantemente seguidas. Todas las notas de la primera frase han sido dadas con el mismo toque, por lo que las diferencias de sonoridad que apreciemos se tienen que deber necesariamente a la propia constitución del instrumento. Prestemos atención en el espectrograma, por ejemplo, a la jerarquía armónica de las tres primeras notas: la4 , si4 y do5 . Observamos que en el la4 , aunque en el momento del ataque el armónico primero es el que tiene una presencia mayor, el que termina prevaleciendo es el segundo; en el si4 el armónico más importante es el tercero; y en el do5 el que posee mayor importancia es claramente el primer armónico. Así pues, la diferente jerarquía en el contenido espectral de estas tres notas es la razón de que oigamos una cualidad sonora distinta en cada una de ellas. Esta diferente cualidad sonora de cada una de las notas del mismo piano explica, por ejemplo, que algunos pianistas que no poseen oído absoluto —es decir, que no son capaces de identiﬁcar una nota aislada de un instrumento cualquiera sin una referencia previa— puedan reconocer sin ninguna diﬁcultad cualquiera de las notas del instrumento en el que habitualmente interpretan.

c) Causas de las diferencias tímbricas entre notas del mismo instrumento

El estudio detenido de las causas físicas que explican las diferencias de sonoridad entre las notas de un instrumento excede el objetivo de este capítulo. Pero si atendemos a lo que sucede, por ejemplo, en el caso del violín, podemos hacernos una idea, aunque sea vaga, de las razones de esa peculiaridad tímbrica. Por un lado, todo violinista sabe que no suena lo mismo una nota tocada en una cuerda que esa misma nota tocada en otra cuerda del mismo instrumento. Ocurre que cada cuerda del violín vibra de forma distinta, debido a su grosor, a su constitución material, por estar o no entorchada, etc. Y esa diferente vibración produce un contenido espectral distinto del de las otras cuerdas del mismo instrumento y, por lo tanto, una sonoridad particular. Por otro lado, hay que tener en cuenta que no oímos directamente la vibración de la cuerda de un violín, la cual solo podría poner en movimiento una pequeñísima cantidad de aire; lo que realmente oímos son las vibraciones que la cuerda provoca en la caja de resonancia del instrumento a través del puente, vibraciones que ya son capaces de mover una cantidad de aire suﬁciente como para que llegue con claridad a nuestro oído. Pero esa caja de resonancia tiene sus frecuencias propias de vibración, 252

por lo que resonará más o menos con los diferentes componentes de la cuerda que vibra, amplificando unos y disminuyendo otros, de manera que transforma el contenido espectral original de la cuerda, alterando su jerarquía y dejando en el sonido su propia huella. Las resonancias destacadas de la caja constituyen una característica fundamental de los instrumentos musicales y reciben el nombre de formantes. Igual que en el caso del habla estos formantes son decisivos a la hora de distinguir las diferentes vocales, en el caso de los instrumentos influyen de una manera muy marcada en el color de las notas que emiten. Un ejemplo interesante de la influencia de estos formantes que definen las frecuencias de resonancia de cada instrumento nos la ofrece el vibrato del violín sobre la nota sol5 en el vídeo de la figura 11.5, en torno al segundo 4. Si observamos el vibrato sobre el sol5 vemos que, además de la ondulación característica que muestra la variación de la frecuencia, en la parte más baja del tercer armónico hay como unos puntos de luz casi blanca. Estos puntos indican que en esos instantes se ha producido una amplitud máxima en ese componente. Dicho de otra manera, el vibrato no sólo ha ocasionado una variación de la frecuencia, sino que también ha oscilado el color del sonido, es decir, la mayor o menor prevalencia de unos u otros componentes. Esta oscilación de la cualidad sonora que posee el vibrato del violín es un rasgo característico de este instrumento. Si lo comparamos con el vibrato menos profundo del clarinete que podemos observar también en el mismo espectrograma (o incluso mejor en el de banda alta de la figura 11.6) sobre las notas la4 , en torno al segundo 8, y sib4 , en torno al segundo 13, vemos que en el clarinete no hay cambio de color, sino que la cualidad sonora se mantiene igual a lo largo de toda la emisión de la nota y solo oscila la altura tonal. La explicación física de este rasgo característico del violín reside en las propiedades de su caja de resonancia, que responde de diferente manera a componentes frecuenciales muy próximos. En este caso, el tercer armónico resuena mucho más cuando el vibrato está en la parte baja de su oscilación, debido a que en ese instante su frecuencia coincidirá con la frecuencia de una de las múltiples resonancias naturales de la caja del violín. En consecuencia, el tercer armónico adquiere en esos momentos una función predominante en la jerarquía de los componentes.

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11.2.3. Modificación del contenido espectral por la acción del intérprete Una vez entendido que cada instrumento, por sus propias características físicas, imprime su personalidad en el contenido espectral de los sonidos que produce y, por lo tanto, posee su propia cualidad tímbrica, vamos a atender ahora a las huellas que las acciones del intérprete dejan en la jerarquía espectral de los componentes de cada nota, las cuales se traducen en su particular cualidad sonora. Una parte importante de la formación de un instrumentista consiste en aprender a “fabricar el sonido”. Esto es evidente en el caso de un intérprete de violín, pues pueden pasar años hasta que un violinista consiga obtener un sonido aceptable, pero también es válido en el caso del piano. A pesar de que el sonido del piano parezca estar fabricado de antemano y de que aparentemente el pianista solo deba bajar la tecla, basta escuchar unas pocas notas para distinguir si han sido ejecutadas por un intérprete formado o por un estudiante que está empezando. En efecto, pequeñísimas diferencias en la velocidad de bajada de la tecla —es decir, en el “toque”— se traducen en claras diferencias en la sonoridad y en el color del sonido que se obtiene. Comencemos observando la relación entre el toque del instrumentista y la mayor o menor presencia de armónicos superiores. Volvamos sobre las frases de piano de los dos primeros ejemplos (figuras 11.1 a 11.4). Fijémonos en primer lugar en el segundo ejemplo, el de los vídeos de las figuras 11.3 y 11.4. Apreciamos la diferente cualidad sonora de las notas de la primera frase, que han sido dadas con un toque intermedio y natural, y las de la segunda, donde la misma secuencia de notas se repite con un toque más duro y enérgico. Esa diferencia en la cualidad sonora queda reflejada en el contenido espectral que vemos, sobre todo en la figura 11.4, donde la escala de color ha sido preparada para observar la banda alta. El toque más duro de la segunda repetición se ha traducido en una mayor presencia y relevancia de los armónicos superiores. En efecto, en el piano un ataque más duro produce una nota con mayor volumen sonoro, pero también con un contenido más rico en armónicos superiores. Estos armónicos superiores son los que le proporcionan al sonido un color brillante e incisivo. Escuchemos ahora el primer ejemplo, el de las figuras 11.1 y 11.2. Como hemos visto ya, está formado por tres breves frases, cada una de cuatro notas. La tercera frase es 254

una repetición de la segunda, pero ejecutada con un toque más delicado. Fijémonos en la diferencia de contenido espectral entre ambas. Tanto en el vídeo de la escala de color completa (figura 11.1), como el de la escala de color modificada para resaltar la banda alta (figura 11.2), comprobamos que hay bastante diferencia en el número y la importancia de los armónicos superiores: en la segunda repetición, la que tiene el toque más delicado, el número de armónicos superiores visibles es menor que en la primera y predominan muchos más los armónicos inferiores. Esta hace que el sonido de esta frase sea mucho más dulce. A diferencia del ejemplo de piano anterior, donde todas las notas de la misma frase habían sido ejecutados con un toque homogéneo, aquí cada nota ha tenido su propio toque. El intérprete ha pretendido dar a cada una de ellas un significado propio, una personalidad, como si cada una tuviera que decir algo distinto sólo ya con su sonido. Por no alargar en exceso el comentario, me voy a centrar en una nota que adquiere especial singularidad, el dob4 , en la segunda ejecución, pasado ligeramente el segundo 16. La cualidad sonora de esta nota es distinta de todas las demás. Su sonido es destacadamente suave y conciso. Si observamos el espectrograma en las figuras 11.1 y 11.2 vemos que el primer armónico presenta aquí una relevancia mucho más destacada que en el resto de las notas que la rodean. La interacción entre el instrumento y el toque del pianista ha dejado su marca en esa importancia casi absoluta del componente fundamental. Mediante estos ejemplos hemos podido comprobar que el toque del pianista, es decir, la mayor o menor velocidad con la que baja la tecla, repercute en el contenido espectral y, por lo tanto, en el color del sonido que obtiene. Conforme más duro es el ataque, mayor es el contenido de armónicos superiores que despierta. Esto que hemos visto en el caso del piano es común a la mayor parte de los instrumentos, así como a la voz humana. Una persona gritando producirá un mayor volumen sonoro, pero todos podemos distinguir que una persona está gritando aunque el volumen que oigamos sea muy bajo. Ello se debe a que la cualidad del sonido, el contenido armónico, es diferente: un incremento en el volumen va asociado a un incremento en el número e importancia de los armónicos superiores.

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En el ejemplo de violín de las figuras 11.5 y 11.6 hemos visto que la diferente sonoridad que oímos entre el sol3 , por un lado, y el fa#5 y sol5 , por otro, se debe a la diferencia entre las cuerdas y al hecho de haber sido tocadas al aire o pulsadas con el dedo. Pero otra parte importante de la cualidad sonora peculiar de cada una de estas notas viene dada por la mayor presión o velocidad con la que el arco ha frotado la cuerda en las notas superiores. Dicho de otra forma, el alto contenido armónico en la zona superior del espectro es consecuencia de esa mayor energía del arco que ha empleado el violinista. Por otra parte, en algunos instrumentos el intérprete puede modificar el contenido espectral durante la emisión del sonido. El violinista y el clarinetista, por ejemplo, tienen que aportar energía constantemente para mantener el sonido, por lo que pueden cambiar el volumen sonoro a voluntad. Así mismo, dentro de unos márgenes limitados por la naturaleza del instrumento, pueden también alterar su contenido espectral a lo largo del tiempo que dura la emisión de la nota. Por poner un ejemplo sencillo, en la segunda parte de los vídeos y espectrogramas de las figuras 11.5 y 11.6 podemos apreciar que cuando el clarinetista apaga lentamente la segunda nota de cada pareja, el la4 y el sib4 , se produce una desaparición progresiva de los armónicos superiores. El clarinete sigue, así pues, también la norma general de que el incremento en el volumen va unido a un incremento en el número y prevalencia de los armónicos superiores, y viceversa, como ocurre en este ejemplo. Realmente cuando escuchamos un sonido nuestra imaginación tiende a reconstruir la acción que lo ha producido. Ésta es precisamente una de las formas en las que se transmite la información emotiva del intérprete. Sin necesidad de verlo tocar, nosotros, al oír su música, imaginamos el “gesto” que está haciendo en el instrumento. Por ejemplo, en el teclado de un piano “oímos-vemos” al intérprete acariciando las teclas en los pasajes delicados, golpeando sin piedad en los fortísimos-staccato, pasando con ligereza en los pasajes pianos y ligados, etc. Esta gestualidad nos llega a través de las “marcas” de los sonidos. Entre esas marcas está habitualmente el hecho de que el número de armónicos superiores crezca en función de la energía con la que se ha atacado la tecla, ataque y energía que cambian constantemente a lo largo de una interpretación. Hablando en general, el número y la importancia de los armónicos no es una característica fija propia del sonido de un instrumento, ni siquiera de la misma

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nota del mismo instrumento, sino que en buena medida depende de la voluntad del intérprete.

11.3. Rasgos tímbricos dependientes de la evolución de los parámetros del sonido A continuación vamos a examinar los rasgos tímbricos derivados de la modiﬁcación de los parámetros de amplitud y frecuencia a lo largo del tiempo de emisión de la nota o, dicho de otra manera, vamos a analizar cómo las envolventes, tanto de amplitud como de frecuencia, afectan a la caracterización tímbrica de los sonidos musicales, en particular los sonidos emitidos por instrumentos acústicos y por la voz humana.

11.3.1. Marcas tímbricas y envolvente de amplitud La evolución de la amplitud del sonido en su conjunto tiene especial interés para caracterizar el timbre de cada sonido. Para tener una aproximación a la evolución de la amplitud he elegido un fragmento de la señal de audio de una determinada duración y he calculado el valor medio de su amplitud. La reiteración de este procedimiento, desplazando suavemente esta ventana de observación a lo largo de la duración de toda la nota, nos proporciona una aproximación a la envolvente de amplitud. Como en el caso del espectrograma, también ahora en función de la duración de la ventana de observación elegida obtendremos resultados diferentes: si se elige una ventana muy corta obtendremos una evolución de la amplitud muy accidentada, llena de alteraciones, mientras que si se elige una ventana muy larga, la gráﬁca será más suave, pero el seguimiento temporal de la evolución de la amplitud será menos preciso. En los siguientes ejemplos he optado por hacer un seguimiento intermedio de la evolución temporal, por lo que he elegido para la ventana de observación una duración de 30 milésimas de segundo. Debajo presento dos gráﬁcas en las que se muestra la envolvente de amplitud de las notas sol3 dadas, respectivamente, por el piano y el violín, las mismas que he utilizado

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en el vídeo de la ﬁgura 11.7. Junto a la envolvente se muestra también la forma de la señal en el tiempo.

Figura 11.9: Envolvente de amplitud de una nota de piano.

Figura 11.10: Envolvente de amplitud de una nota de violín.

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En ambas figuras vemos que en un tono azul grisáceo, que se funde casi con el azul del fondo de la gráfica, se ha trazado la señal de audio, es decir, la forma de la vibración de ese sonido. En esta ocasión la representación de la señal de audio no permite apreciar los detalles de la vibración, como sucedía en las representaciones de los osciloscopios simulados que hemos visto en los capítulos anteriores, sino que es el resultado de haber hecho un gran zoom negativo sobre ella, como si observáramos la señal desde muy lejos. Se ha perdido todo el detalle y solamente se aprecia el aspecto global de la evolución de la amplitud, que es precisamente lo que nos interesa ahora. La línea que se destaca en amarillo representa la envolvente de amplitud, la evolución de la amplitud a lo largo del tiempo. Podemos comprobar que, en líneas generales, la gráfica de la envolvente sigue bastante de cerca la forma de la señal de audio comprimida, como si quisiera envolverla. Si escuchamos con atención las notas del vídeo de la figura 11.7 mientras vemos estas gráficas de sus envolventes de amplitud, reconoceremos con facilidad que reflejan lo que oímos. En las dos gráficas observamos al principio y al final unas pequeñísimas oscilaciones de la línea amarilla, que corresponden al ruido de ambiente presente en el lugar en el que se han hecho las grabaciones (ambas han sido grabaciones domésticas realizadas con un micrófono de nivel medio del tipo USB para ordenador). Fijémonos primero en la gráfica de la envolvente del piano (figura 11.9). Podríamos distinguir tres partes en esta gráfica amarilla. La primera parte, que corresponde al ataque inicial, tiene un carácter muy abrupto, pues crece bruscamente desde el inicio de la nota hasta el pico máximo, que en esta gráfica se sitúa aproximadamente en el segundo 1,3. Ahora bien, su crecimiento no es uniforme. Comienza con una línea casi vertical que se queda en torno a un valor de 0,18, sin llegar todavía a su valor máximo, una línea que refleja un cambio casi instantáneo y que se corresponde con el ruido inicial que acompaña al ataque en la nota de piano, como hemos visto al analizar el contenido espectral. Luego la gráfica sigue todavía creciendo de forma rápida, pero ya no tan abrupta, hasta alcanzar en el segundo 1,3 el pico máximo, es decir, una amplitud de aproximadamente 0,34. La segunda parte de la gráfica comienza en este pico máximo, cuando se inicia un declive con bastante pendiente, y dura aproximadamente hasta el segundo 2. Y en la tercera parte, que comienza en este segundo 2, la gráfica continúa descendiendo, pero ahora de una forma mucho más lenta y mantenida, hasta que se produce el levantamiento de la tecla, lo que 259

ocurre poco antes del segundo 5. Esta evolución de la envolvente de amplitud es característica de las notas del piano. En esencia consiste en un ataque muy rápido y una doble amortiguación, la primera relativamente rápida y la segunda muy prolongada y sostenida. Si comparamos la gráfica de la envolvente de amplitud del piano con la de la envolvente de la nota de violín (figura 11.10) nos damos cuenta de que las diferencias son muy grandes. El ataque es ahora suave y va creciendo poco a poco; las formas generales son poco marcadas y más bien redondeadas; la evolución de la amplitud general se aproxima aquí a una forma circular; y, lo que viene a ser el rasgo más característico de la envolvente de amplitud del violín, la línea general de la evolución está constantemente llena de alteraciones, que se corresponden con apreciables oscilaciones en el volumen sonoro de la nota, resultado de la variación de la presión del arco sobre la cuerda. Pero creo que conviene insistir un poco más en la importancia que tiene para nuestra percepción de la cualidad tímbrica de un sonido su envolvente de amplitud. En efecto, si modificamos artificialmente la evolución de la amplitud general de un sonido, el cambio en el timbre que percibiremos será enorme. Voy a poner un ejemplo muy sencillo que servirá para comprobar la decisiva influencia que posee la evolución de la amplitud general en la determinación del timbre. Este ejemplo, de paso, nos ayudará también a entender cómo nuestra percepción auditiva está configurada para colaborar con el resto de los sistemas sensoriales en la tarea de captar la evolución de la realidad externa. He grabado una pequeña frase de piano con ocho notas que alternan los valores de blancas y negras formando un ritmo troqueo constante. Las notas son las siguientes: re4 , do4 , mi4 , fa4 , sol4 , la4 , re4 , la3 . Con ayuda de un editor de audio he copiado la señal y la he pegado a continuación, pero ahora invirtiendo el orden temporal, es decir, haciendo que la señal vaya de atrás a adelante, con lo que el resultado que he obtenido ha sido una señal formada por dos partes iguales simétricas.

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Figura 11.11: Vídeo con el espectrograma de una melodía de piano y su retrogradación.

Como se puede comprobar en el vídeo, las dos partes son totalmente idénticas, a excepción de que la segunda es una repetición de la primera, pero en el orden inverso. Esto resulta también claro si nos ﬁjamos en el orden y en el ritmo de las notas. El ritmo en la segunda parte es una sucesión de yambos, es decir, de negras y blancas. Las notas son las mismas que las de la primera parte, pero en orden inverso: la3 , re4 , la4 , sol4 , fa4 , mi4 , do4 , re4 . El número de componentes armónicos de cada nota y su importancia relativa tiene que ser, por lo tanto, el mismo y, sin embargo, el sonido es totalmente distinto. Cuando escuchamos la segunda parte del vídeo nunca pensaríamos que está sonando un piano. Tal vez, si acaso, una armónica o algún instrumento similar. Para facilitar este efecto he elegido a propósito una frase musical que al ser oída en orden inverso tenga un cierto aire de melodía de película del oeste. Pongo a continuación la gráﬁca de las correspondientes envolventes de amplitud.

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Figura 11.12: Envolvente de amplitud de las melodías, directa y retrógrada, del vídeo de la ﬁgura 11.11.

La gráﬁca de las envolventes explica lo que ha sucedido. Efectivamente, el piano es un instrumento de percusión, por lo que el ataque es muy rápido y la amplitud comienza a decrementarse casi inmediatamente después del inicio. Nadie espera que una nota de piano suba de volumen a lo largo de su emisión, sino que lo que se espera es que se vaya poco a poco apagando. Por el contrario, en la segunda parte del vídeo, al escuchar unas notas que van aumentando su intensidad, hemos imaginado que han sido emitidas por un instrumento cuyos sonidos son capaces de recibir energía después del ataque y, por eso, de aumentar su amplitud con el paso del tiempo, como ocurre, por ejemplo, con la armónica, en la que el instrumentista puede incrementar la intensidad del soplo durante la emisión de las notas e interrumpirlo bruscamente entre nota y nota. Por ello, al invertir el orden temporal de la señal se ha invertido la evolución de la amplitud y el sonido ha dejado de sonar como un piano, pues nunca la amplitud del sonido de una nota del piano evolucionaría así. Esa “deducción” de nuestro cerebro es lo que ha modiﬁcado tan rotundamente nuestra percepción del sonido.

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11.3.2. Marcas tímbricas y envolvente de frecuencia Como ya he comentado al estudiar los rasgos tímbricos que dependen del contenido espectral, la evolución de la frecuencia es una marca tímbrica muy significativa. De hecho, establece la diferencia entre instrumentos de afinación libre, cuya envolvente de frecuencia sigue las intenciones del intérprete, e instrumentos de afinación fija, cuya envolvente de frecuencia es, en general, una línea horizontal. Así mismo, el rango de variación de la envolvente de frecuencia en los instrumentos de afinación libre es muy distinto. Por ejemplo, el violín permite con facilidad portamentos que pueden unir notas muy alejadas, lo que puede dar lugar a envolventes de frecuencia muy extendidas, mientras que las variaciones de frecuencia que permite una flauta durante un soplo mantenido son más bien pequeñas y, por lo tanto, su envolvente de frecuencia es bastante reducida. Por otra parte, los instrumentos de afinación libre permiten que el intérprete fabrique su propio vibrato, un recurso que constituye una parte muy importante en la caracterización de su “sonido”. La diferente profundidad y ritmo del vibrato vienen a ser como una especie de sello de marca del instrumentista, que dibuja su “firma” en la envolvente de frecuencia. A modo de ejemplo, voy a comentar cómo la ejecución de una nota de violín dada con vibrato queda reflejada en su envolvente de frecuencia. Se trata de la nota sol5 del vídeo de la figura 11.5. Es muy sencillo obtener una representación de la envolvente de frecuencia a partir del espectrograma. Puesto que en un sonido armónico la frecuencia de todos los componentes evoluciona en paralelo, basta con determinar en el componente fundamental (o en cualquier otro que nos interese, pero dividiendo su valor por el número de armónico del que se trate) la frecuencia que ha alcanzado la máxima amplitud en cada momento (es decir, la frecuencia del pixel más luminoso) y representar este dato en una nueva gráfica.

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Figura 11.13: Envolvente de frecuencia de una nota de violín con vibrato.

Al reducir la representación de las frecuencias al estrecho margen de la zona en la que se mueve la nota de violín sol5 (en este caso de 776 Hz a 796 Hz), se obtiene mayor claridad. Para evitar que la observación de esta gráfica nos cause una impresión equivocada, debemos tener en cuenta que la variación de la frecuencia a lo largo de los 1,7 segundos aproximados que dura la nota no llega a los 20 Hz y que en su mayor parte no sobrepasa los 14 Hz. En realidad este movimiento que constituye el vibrato es muy sutil y se mueve en la esfera de la microtonalidad. Observamos que el valor medio de la nota se mantiene en torno a 789 Hz. Sin embargo, la frecuencia esperada en función de la afinación de la nota anterior, que es prácticamente la temperada, debería haber sido de 784 Hz. Así pues, este aparente valor medio de la nota en el que se realiza el vibrato está aproximadamente 11 centésimas de semitono por encima. El vibrato permite una mayor flexibilidad en la afinación, pues sus oscilaciones camuflan cualquier posible batido o interferencia y hace, además, que sea más difícil percibir cualquier desafinación. Ello permite al intérprete elegir una frecuencia más alta con una finalidad expresiva sin ningún problema. La profundidad del vibrato es variada. En esta gráfica el caso más extremo corresponde 264

a la oscilación que se produce entre el segundo 0,9 y el 1 y tiene una profundidad que va desde 795 Hz a 782 Hz, o sea, unas 28 centésimas de semitono. Esta gráfica nos muestra con precisión que el violinista toma la nota desde muy abajo, en 777 Hz aproximadamente, luego sube hasta prácticamente rozar los 796 Hz y a partir de ahí comienza a realizar unas oscilaciones centradas aproximadamente en torno a 789 Hz, hasta llegar al final de la nota, cuando de nuevo desciende también en frecuencia. Este tomar desde abajo, subir y mantenerse y volver de nuevo a caer al final es un patrón muy característico para notas mantenidas con vibrato en violín. Podemos ver también en la gráfica que la distancia temporal entre las oscilaciones es aproximadamente de 2 décimas de segundo, lo que se corresponde con 5 oscilaciones por segundo, que es también un ritmo de oscilación muy habitual en la realización del vibrato de violín. Para acabar, solo quiero apuntar que la evolución de la frecuencia, al margen de dejar una marca clara del tipo de instrumento del que se trata, es también un medio muy eficaz para transmitir mediante el propio sonido la gestualidad del intérprete. Y en gran medida es a través de esa gestualidad como el intérprete comunica a quien le escucha una parte importante de su emotividad.

11.4. Conclusión El timbre del sonido es como su sello particular. En este capítulo hemos podido observar que el conjunto de marcas tímbricas dejan su huella principalmente en el contenido espectral de cada sonido musical y en sus envolventes de frecuencia y amplitud. Estas marcas diferencian la sonoridad característica de un tipo de instrumento de la de otro, la de cada instrumento particular, la de las distintas notas que emite cada instrumento, la propia de cada instrumentista e incluso la que posee la misma nota emitida en el mismo instrumento por el mismo instrumentista en los diferentes momentos de su interpretación.

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Capítulo 12 Fisiología de la audición

12.1.

Introducción

El sonido no es solamente un acontecimiento físico, una vibración mecánica, sino también un fenómeno psíquico: la imagen que la vibración acústica produce en nuestra mente. Esa imagen está condicionada por las características de nuestro receptor, el oído. Por ello, para entender la manera en la que escuchamos el sonido musical es necesario conocer cómo es y cómo funciona el oído humano, pues es en el oído donde se transforma la vibración mecánica que llega del exterior en un conjunto de impulsos nerviosos que posteriormente serán enviados al cerebro, donde se elaborará nuestra imagen acústica. En este capítulo vamos a estudiar la morfología y la función de cada una de las partes del oído: las zonas que recogen la vibración sonora del exterior, las que adecúan su presión a los ﬂuidos del oído interno y las que realizan el análisis frecuencial extrayendo los diferentes componentes de la vibración y transformándolos en impulsos eléctricos que llegarán al cerebro mediante el nervio auditivo. Empezaremos con una visión general de la anatomía del oído humano y luego nos detendremos en estudiar cómo es y cómo se comporta la cóclea.

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12.2.

El oído humano

Nuestro oído está formado por tres partes anatómica y funcionalmente diferentes: el oído externo, el oído medio y el oído interno. Veamos un dibujo esquemático de las partes del oído. Es una adaptación de la Figura 1 del capítulo 2 de “Structure and function” del curso Hearing, en Open Learn (The Open University).

Figura 12.1: Sección transversal del oído.

En la ﬁgura vemos las tres partes del oído:

a) El oído externo

En el oído externo el pabellón auditivo concentra, a modo de trompa, las ondas sonoras del exterior y las encauza a través del canal auditivo externo hasta el tímpano, la membrana que separa el oído externo del oído medio. El canal auditivo externo mide aproximadamente 25 mm de longitud y 7 mm de diámetro. 267

La membrana timpánica tiene una forma ligeramente cónica y se mueve hacia dentro y hacia fuera siguiendo las variaciones de la presión del aire que constituyen la vibración sonora y que le llegan por el canal auditivo.

b) El oído medio

El oído medio es una cámara llena de aire en cuyo interior se halla una cadena de huesecillos u osículos, llamados por su forma martillo, yunque y estribo, que sirven para transmitir las vibraciones sonoras desde la membrana timpánica hasta el oído interno. Para lograrlo, el mango del martillo está unido al tímpano, mientras que la base del estribo está en contacto con la membrana de la ventana oval, a través de la cual penetran las vibraciones sonoras en la cóclea, que es la parte del oído interno dedicada a la audición. La principal función del oído medio es posibilitar el incremento de presión necesario para que la energía de la vibración sonora del aire exterior se transmita eficazmente a los fluidos acuosos que llenan el oído interno. En efecto, puesto que el agua tiene mayor impedancia acústica que el aire (es decir, presenta mucha más resistencia a la transmisión de la vibración), si no hubiera un mecanismo que aumentara la presión de las vibraciones, una gran parte de la energía sonora sería absorbida o reflejada por los fluidos acuosos de la cóclea, tal como sucede si tratamos de hablar a una persona que está sumergida en el agua. Este incremento de la presión se logra principalmente porque la superficie del tímpano que vibra (la membrana que está en contacto con el aire exterior) es unas 17 veces mayor que la superficie de la membrana de la ventana oval (la que está en contacto con el líquido acuoso que hay en el interior de la cóclea). De esta manera se consigue un aumento de presión de unas 17 veces. Además, la acción de palanca que ejerce la cadena de huesecillos del oído medio también contribuye al incremento de presión. En su posición habitual, los osículos pueden aumentar 1,3 veces aproximadamente la presión que llega hasta la ventana oval. Así pues, la acción combinada de ambos mecanismos puede lograr un aumento de presión de unas 22 veces, con lo que la membrana de la ventana oval va a ser ya capaz de transmitir de forma eficaz la vibración sonora a los líquidos que están en el interior de la cóclea.

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Otra función muy importante del oído medio es la protección del delicado oído interno frente a sobrepresiones que podrían dañarlo. Cuando la intensidad sonora excede los niveles de tolerancia se activa un mecanismo reﬂejo mediante el cual dos pequeños músculos que actúan sobre el martillo y sobre el estribo (no incluidos en el dibujo) pueden bloquear la articulación de los osículos, limitando en gran medida la transmisión de las vibraciones. El oído medio comunica con el exterior a través de la trompa de Eustaquio, un conducto de unos 4 mm de longitud que termina en la región nasofaríngea. La trompa de Eustaquio, que habitualmente está cerrada, se abre con la deglución y con el bostezo. Tiene la ﬁnalidad de igualar la presión de aire del oído medio con la del exterior y así permitir que el tímpano pueda vibrar libremente en su posición idónea.

c) El oído interno

El oído interno, también llamado laberinto, está formado por una estructura ósea hueca situada en el hueso temporal y consta de diferentes partes delimitadas por configuraciones óseas y membranosas. Su interior está lleno de dos líquidos acuosos: la perilinfa en las zonas exteriores, que están en contacto con el hueso; y la endolinfa en las interiores, rodeadas por membranas. Mientras que la composición de la perilinfa es similar a la de otros fluidos extracelulares del cuerpo humano, como el líquido cefalorraquídeo, la endolinfa es una sustancia específica del oído interno y se caracteriza por contener una cantidad muy elevada de iones positivos de potasio (K+). El oído interno cumple dos funciones. Por un lado, sirve para contribuir al mantenimiento del equilibrio corporal, lo cual se realiza mediante el sistema vestibular o laberinto posterior, que está formado por el vestíbulo y los tres canales semicirculares. Por otro lado, y en lo que a la actividad acústica se refiere, el oído interno sirve para transformar las vibraciones mecánicas que provienen del oído medio en impulsos eléctricos, lo que se produce en el laberinto anterior, llamado por su forma cóclea o caracol. Ambas tareas son llevadas a cabo por células sensoriales pilosas capaces de trasformar los movimientos mecánicos en variaciones de la tensión eléctrica, las cuales son codificadas y transmitidas al cerebro por los nervios vestibular y coclear respectivamente. Estos dos nervios se juntan inmediatamente después del

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oído y forman el nervio vestibulococlear, también llamado VIII par craneal, el cual conduce la información procedente del oído interno al cerebro. Puesto que en este capítulo nos estamos ocupando de la ﬁsiología de la audición, dejaremos de lado lo que concierne al sistema vestibular, el encargado del equilibrio, para dedicarnos a la parte del oído interno en el que se producen los fenómenos relacionados con la audición, es decir, a la cóclea. Pero antes de examinar con más detalle la estructura de la cóclea, veamos un vídeo didáctico que nos explica muy bien el mecanismo mediante el cual las ondas sonoras procedentes del exterior son transmitidas por las distintas partes del oído y transformadas en impulsos eléctricos, fenómeno que se denomina “transducción auditiva”. El vídeo Auditory Transduction ha sido creado por Brandon Pletsch y los subtítulos en español se deben a Hermes Carreño y Oscar Guillermo.

Figura 12.2: Vídeo que muestra un panorama general de la audición.

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12.3.

La cóclea

La cóclea es la parte del oído interno donde se transforma la información auditiva que contiene la vibración sonora en impulsos nerviosos. En primer lugar, la cóclea actúa como un analizador mecánico de frecuencias, descomponiendo mediante resonancias la forma de la vibración sonora en sus componentes sinusoidales; en segundo lugar, transforma esa información frecuencial en señales eléctricas; y, ﬁnalmente, codiﬁca todo ese conjunto de datos en impulsos nerviosos que son transmitidos al cerebro. Para estudiar cómo está constituida la cóclea voy a ir presentando una serie de ilustraciones en las que podremos observarla desde diferentes perspectivas. En ellas iremos avanzando desde una visión general a otra cada vez más detallada. En todas las ilustraciones he utilizado los mismos colores para representar las distintas partes de la cóclea: en color beige están las partes óseas; en color rojizo, las membranosas; en color amarillo, las nerviosas; en azul, las áreas ocupadas por la perilinfa; y en verde, las ocupadas por la endolinfa.

12.3.1. Descripción general de la cóclea La cóclea está formada por un armazón óseo herméticamente cerrado, lleno de fluidos acuosos, que contiene en su interior diversas membranas, células sensoriales y fibras nerviosas. La cóclea comunica con el oído medio a través de dos orificios cerrados por sendas membranas (figura 12.1): la ventana oval, mediante la cual el estribo provoca las variaciones de presión en los fluidos que llenan los canales del interior de la cóclea; y la ventana redonda, mediante la cual se compensan las variaciones de presión que han sido introducidas por el estribo. Veamos dos ilustraciones que presentan el aspecto general de la cóclea. Están basadas en dibujos antiguos, aunque he coloreado cada zona siguiendo los criterios que acabo de mencionar.

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Figura 12.3: Ilustración del aspecto general de la cóclea.

La ilustración de la izquierda representa la parte ósea de la cóclea. Consiste en una especie de cilindro hueco de aproximadamente 2 mm de diámetro que se enrolla sobre sí mismo de manera helicoidal unas dos veces y media en torno a un eje óseo llamado modiolo. Su aspecto recuerda al de la concha de un pequeño caracol (la palabra cóclea procede del término griego kochlías, caracol). La cóclea está incrustada en el hueso temporal. Su anchura en la base es de algo menos de 1 cm y su altura, desde la base hasta el ápex, es de unos 5 mm. La longitud de la cóclea humana desenrollada es de aproximadamente 35 mm. Esta ilustración incluye también la lámina espiral que divide, sin llegar a cerrarlo, el interior de la cóclea en dos conductos principales, el superior y el inferior. En la ilustración de la derecha se representa lo que veríamos si hubiéramos retirado la pared exterior de la cóclea. Ahora podemos distinguir el modiolo, que forma la pared interna de la cóclea; la lámina espiral, que surge del modiolo; la membrana basilar, que completa la división principal del interior de la cóclea; y el borde del ligamento espiral, en color naranja, mediante el cual la membrana basilar queda sujeta a la pared exterior de la cóclea. La membrana basilar sigue todo el recorrido espiral de la cóclea, pero no es igual a lo largo de toda su longitud, sino que es más estrecha en la parte basal —donde mide aproximadamente 0,1 mm de ancho— y más ancha en la parte apical —donde mide unos 0,5 mm. Conforme la membrana basilar gana en anchura, la lámina espiral va 272

haciéndose más estrecha. Además, la membrana basilar es unas 100 veces más rígida en la parte basal que en la apical. El ligamento espiral que sujeta la membrana basilar a la pared externa de la cóclea contribuye a proporcionarle la tensión adecuada que debe tener en cada punto de su longitud. La división del interior de la cóclea en dos canales principales, llenos de ﬂuidos acuosos y separados por una membrana elástica cuya rigidez varía a lo largo de su longitud, explica el comportamiento de la cóclea como analizador mecánico de espectro. Como veremos más adelante, la diferente elasticidad de la membrana basilar en cada punto de su longitud otorga a cada localización espacial una frecuencia natural de resonancia. De esta manera, la membrana basilar resuena en diferentes localizaciones en función de los componentes sinusoidales que están presentes en la vibración sonora que recibe: los componentes graves generan resonancias en la zona de la membrana basilar situada en la parte apical de la cóclea, mientras que los agudos resuenan en la zona basal. Esta propiedad de la membrana basilar se denomina tonotopía (del griego tónos, altura tonal, y tópos, lugar, espacio).

12.3.2. Estructura interna de la cóclea Pero para poder realizar las tareas de transducción mecano-eléctrica y de codiﬁcación neuronal la cóclea necesita tener una estructura más compleja. Veamos ahora un esquema del oído en el que se representa un corte longitudinal de la cóclea como si estuviera desenrollada.

Figura 12.4: Ilustración de un corte longitudinal de la cóclea desenrollada.

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La novedad más destacada que observamos en este dibujo respecto a los anteriores es que ahora en el interior de la cóclea vemos tres canales bien diferenciados. En realidad, el canal superior de la cóclea está subdividido en dos canales independientes: el canal o rampa vestibular y el canal medio o canal coclear.Esta división del canal superior en dos canales se realiza mediante una membrana muy fina, de unos 12 micrómetros de grosor, llamada membrana de Reissner. Vemos también que la membrana basilar recorre casi toda la longitud de la cóclea, hasta llegar a la zona apical, donde existe una abertura, llamada helicotrema, que comunica el canal vestibular con el canal inferior. El canal inferior recibe también el nombre de canal o rampa timpánica. Como se puede ver en la ilustración, los tres canales del interior de la cóclea están llenos de dos tipos de fluidos acuosos de diferentes características electroquímicas: la perilinfa, señalada en color azul, y la endolinfa, en color verde. El canal vestibular y el canal timpánico, contienen perilinfa, mientras que el canal medio tiene en su interior endolinfa, el líquido específico del oído interno, caracterizado por ser muy rico en iones positivos de potasio (K+). El canal vestibular comienza en el vestíbulo del oído interno, desde donde comunica con el oído medio a través de la membrana de la ventana oval. Puesto que la ventana oval está en contacto directo con la base del estribo del oído medio, cuando éste hace oscilar la membrana de la ventana oval, las vibraciones mecánicas ocasionadas por los cambios de presión del aire debidos al sonido son transmitidas inmediatamente a la perilinfa del canal vestibular. Y estas vibraciones son comunicadas, casi instantáneamente, al canal timpánico a través de la membrana basilar. El canal timpánico se comunica con el oído medio a través de la ventana redonda, un orificio en el hueso de la cóclea cerrado por una membrana. A diferencia de la ventana oval, esta membrana es pasiva y solamente sirve para compensar los aumentos y disminuciones de la presión que se producen en el interior de la cóclea como consecuencia de la oscilación de la membrana de la ventana oval, variaciones que llegan al canal timpánico mediante la deformación de la membrana basilar. Cuando la membrana oval penetra en el interior del canal vestibular, la membrana de la ventana redonda se abomba hacia afuera, es decir, hacia el espacio del oído medio; por el contrario, cuando la membrana oval retrocede, la membrana de la ventana redonda penetra en el canal timpánico de la cóclea. Si no existiera esta ventana re274

donda, los fluidos acuosos del interior de la cóclea, al ser incompresibles, no podrían vibrar. El canal medio o conducto coclear es un contenedor de endolinfa. A pesar de la finura de la membrana de Reissner, su impermeabilidad impide a la endolinfa mezclarse con la perilinfa del canal vestibular. Por su diferente constitución electroquímica, entre la endolinfa y la perilinfa existe una diferencia de potencial de unos 80 mV, y gracias a esa diferencia de potencial la cóclea puede realizar la transducción de las señales mecánicas en señales eléctricas, como veremos más adelante. Hay que tener en cuenta, por otra parte que, debido a su finura, la membrana de Reissner no supone obstáculo alguno a la vibración de los fluidos. De esta forma, en lo que concierne a la función de la cóclea como analizador mecánico de espectro, el canal vestibular y el canal medio se comportan como si se tratara de un solo canal, el canal superior del dibujo de la izquierda de la figura 12.3. En la figura 12.4 podemos ver también, ligeramente dibujadas, las fibras nerviosas que salen de la cóclea y que forman el nervio coclear. Este nervio será el encargado de llevar al cerebro la información auditiva convertida ya en impulsos nerviosos. Pero para apreciar mejor cómo se organizan estas estructuras nerviosas, es oportuno observar el interior de la cóclea desde otra perspectiva. Veamos una ilustración que representa las dos vueltas y medio de la cóclea cortada transversalmente. En ella, para mostrar las estructuras nerviosas, se ha prescindido de la pared ósea interior y de la lámina espiral. Los autores son Guy Rebillard y Rémy Pujol y la ilustración procede de Voyage au centre de l’audition.

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Figura 12.5: Ilustración de un corte transversal de la cóclea.

Podemos distinguir en cada vuelta de la cóclea los tres canales que hay en su interior —el canal vestibular, el canal medio y el canal timpánico—, cada uno de ellos pintado en el color que representa el fluido acuoso que contiene. Pero lo más interesante de esta ilustración es que nos permite apreciar cómo es el ganglio espiral, el cual se forma de la reunión de las fibras nerviosas que se conectan al epitelio sensorial de la membrana basilar, el llamado órgano de Corti. Vemos que el ganglio espiral recorre prácticamente toda la longitud de la cóclea y también que de él surge el haz nervioso que forma el nervio coclear. Y para concluir el estudio de la organización interna de la cóclea, examinemos sus partes con un poco más de detalle. Veamos un dibujo esquemático de las áreas que se podrían distinguir en un corte transversal de una sola vuelta de la cóclea. Está basada en un dibujo muy difundido en internet. Lo he modificado para hacer coincidir los colores con los del resto de las ilustraciones de la cóclea y, sobre todo, para delimitar

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con precisión las zonas ocupadas por la endolinfa de aquellas otras ocupadas por la perilinfa, particularmente en la zona inferior del canal medio.

Figura 12.6: Ilustración de un corte transversal de una vuelta de la cóclea.

En la ﬁgura reconocemos las partes de la cóclea que hemos visto en los dibujos anteriores, si bien ahora, al ser representadas desde otra perspectiva, podemos apreciarlas mejor. Así, reconocemos la cóclea ósea, con la pared exterior, el modiolo y la lámina espiral que sale de él; la membrana basilar, de la cual ahora podemos ver con claridad que completa la división del interior del cilindro coclear en los dos canales principales; los tres canales llenos de líquido del interior de la cóclea, el canal vestibular, el canal medio y el canal timpánico; el ligamento espiral, que sujeta la membrana basilar a la pared exterior de la cóclea; y el ganglio espiral, situado en el interior del modiolo, que va a converger en el nervio coclear. Pero además, esta ilustración nos muestra otras estructuras que hasta ahora o no habían sido representadas o no lo habían sido con suﬁciente claridad. Vemos la estría vascular, el epitelio que recubre el ligamento espiral y que cierra el recinto del canal medio por la parte externa, encargándose de dotar de abundantes iones positivos de potasio a la endolinfa de ese canal. También podemos ver con claridad el epitelio sensorial situado sobre la membrana basilar, el órgano de Corti, en el que pode277

mos identificar las células pilosas externas e internas, así como los espacios llenos de perilinfa que hay entre ellas. Así mismo, ahora está dibujada la membrana tectorial, una estructura gelatinosa contra la que chocan las vellosidades las células pilosas del órgano de Corti. Y, finalmente, podemos apreciar las terminaciones nerviosas que conectan las células sensoriales del órgano de Corti y que forman el ganglio espiral. Por otra parte, este dibujo es muy útil para determinar con precisión qué zonas del interior de la cóclea están ocupadas por perilinfa y cuáles otras están ocupadas por la endolinfa. En efecto, ahora podemos apreciar con más exactitud los límites del canal medio, en el que está encerrado el fluido endolinfático, lo cual es muy importante para entender cómo se realiza la transducción mecano-eléctrica. Podemos distinguir sin dificultad los límites del canal medio por la zona superior y por la exterior: por un lado, la membrana de Reissner separa por arriba el canal medio del canal vestibular y, por el otro, la estría vascular delimita el canal medio por la zona exterior de la cóclea. Y ahora podemos delimitar con más claridad los bordes inferiores del canal medio, en la zona donde está ubicada la membrana basilar y el órgano de Corti. En el dibujo este límite inferior aparece delineado en color rojo. En líneas generales, se puede decir que ese límite está formado por la parte superior del epitelio sensorial que recubre la membrana basilar. Pero, si nos fijamos un poco, podemos apreciar que no es todo el epitelio sensorial, sino que las vellosidades de las células sensitivas del órgano de Corti están dentro del canal medio y, por lo tanto, están bañadas en endolinfa, mientras que el cuerpo de esas células ya permanece fuera del canal medio, en contacto directo o indirecto con la perilinfa que proviene del canal timpánico. Pero esto lo veremos con más detalle a continuación, al estudiar el órgano de Corti.

12.3.3. El órgano de Corti El órgano de Corti es un epitelio sensorial que está situado sobre la membrana basilar a lo largo de todo su recorrido, por lo que vibra solidariamente con ella. El órgano de Corti es el encargado de transformar los movimientos vibratorios resonantes de la membrana basilar en variaciones de la tensión eléctrica, las cuales posteriormente 278

serán codiﬁcadas por las neuronas del ganglio espiral y convertidas en impulsos nerviosos. Para entender cómo se produce la transducción mecano-eléctrica es conveniente estudiar antes, con un poco de detenimiento, cómo está organizado el órgano de Corti. Veamos una ilustración de un pequeño segmento del órgano de Corti, creada por Robert Jackler y Christine Gralapp, que se encuentra en la página Ear Anatomy, Stanford School of Medicine. He cambiado algunos colores para adecuarlos a los ilustraciones anteriores.

Figura 12.7: Ilustración de un segmento del órgano de Corti.

A la izquierda del dibujo tendríamos el modiolo, como podemos deducir por la presencia del ganglio espiral, mientras que a la derecha se encontraría la pared exterior de la cóclea. En el órgano de Corti hay dos tipos de células: las células sensitivas, llamadas por su aspecto células pilosas, y otros tipos de células que les sirven de aislamiento, de soporte y de relleno. 279

Las células pilosas son las células mediante las cuales propiamente se realiza la transducción mecano-eléctrica. En todo el epitelio sensorial hay unas 15.000 o 16.000 células pilosas. La longitud media de estas células es de unos 50 micrómetros. Su diámetro es inferior a los 10 micrómetros. De la membrana de la parte superior de cada una de las células pilosas salen una especie de vellosidades rígidas, llamados estereocilios. En cada célula pilosa hay aproximadamente un centenar de estereocilios, unidos entre sí y agrupados en un ramillete. Los estereocilios de cada ramillete tienen distinta longitud (los más largos miden unos 6 micrómetros) y están ordenados por su altura, de tal modo que el estereocilio más largo está hacia el exterior de la cóclea y los más cortos hacia el interior. Por su forma y su función se distinguen dos tipos de células pilosas: las células pilosas internas, más próximas a la pared interna de la cóclea, y las células pilosas externas, más próximas a la pared externa. Las células pilosas internas son células exclusivamente sensoriales. Tienen una forma bulbosa, similar a la de una pera, y se disponen en una sola hilera. En total hay unas 3.500 células pilosas internas dispuestas a lo largo de la membrana basilar. Su tamaño no presenta muchas variaciones. Están rodeadas por otras células no sensoriales que les sirven de soporte y de aislamiento. Hacia la parte exterior se encuentran las células pilares que forman el túnel de Corti, un hueco que está lleno de perilinfa. Por su parte, las células pilosas externas tienen un cuerpo cilíndrico. Se agrupan en ﬁlas de tres o de cuatro células y también se disponen en hileras. Hay unas 12.000 células pilosas externas, distribuidas a lo largo de la membrana basilar. Las células pilosas externas están ancladas en otras células que las soportan. Entre ellas hay espacios llenos de perilinfa, los llamados espacios de Nuel. La altura de las células pilosas externas varía de la zona basal a la apical de la cóclea: en la zona basal miden unos 30 micrómetros, mientras que en la apical llegan a tener hasta los 70 micrómetros. La característica de las células pilosas externas es que son células contráctiles: no solamente captan mediante sus estereocilios el estímulo mecánico que reciben, sino que también reaccionan, acortándose o alargándose, en respuesta al estímulo recibido, de modo que retroalimentan el movimiento mecánico de la membrana basilar en la localización exacta en la que se hallan. Con ello logran que la resonancia en ese punto sea más acentuada. 280

Tanto en las células pilosas externas como en las internas, los estereocilios están separados del cuerpo de la célula a la que pertenecen por una especie de pletina. Esta pletina está unida estrechamente a la superﬁcie de las células que bordean cada célula sensorial y que la aíslan de sus vecinas. Mediante esa estrecha unión se crea una lámina impermeabilizadora capaz de cerrar el canal medio por su parte inferior, impidiendo a la endolinfa de ese conducto mezclarse con la perilinfa que llena las lagunas que existen entre las células del órgano de Corti, es decir, el túnel de Corti y los espacios de Nuel. De estas manera, mientras que los estereocilios de cada célula pilosa están dentro del canal medio y están bañados por el líquido endolinfático de éste, el cuerpo de la célula está en contacto directo o indirecto con la perilinfa que procede del canal timpánico. Como veremos cuando estudiemos la transducción mecano-eléctrica, esta lámina impermeable hace que los iones positivos de Potasio (k+) que abundan en la endolinfa solamente puedan pasar al otro lado a través del cuerpo de las células pilosas. La ﬂexión de los estereocilios al chocar contra la membrana tectorial, como consecuencia de la vibración de la membrana basilar, abrirá o cerrará los canales iónicos, permitiendo o impidiendo el establecimiento de una corriente eléctrica entre la endolinfa y la perilinfa. Para hacernos una idea de la disposición de los estereocilios de las células pilosas internas y externas, veamos una fotografía realizada con microscopio electrónico de la parte superior del órgano de Corti, en la que se ha retirado la membrana tectorial. Está obtenida de la galería de imágenes de Yale Medical Cell Biology.

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Figura 12.8: Fotografía de las células pilosas del órgano de Corti vistas desde arriba.

Vemos la parte superior de las células pilosas y de las células de soporte, así como la película impermeabilizadora que forman. Observamos que los estereocilios de las células sensoriales internas están dispuestos casi en hilera. Y también que los estereocilios de las células externas tienen una forma casi de uve doble. Aunque ni en esta fotografía ni en la ilustración anterior están representados, los estereocilios están unidos entre sí por unos enlaces ﬂexibles situados aproximadamente en el medio de su longitud, mediante los cuales están agrupados unos con otros formando un ramillete. Además, los estereocilios poseen en su extremo superior unas pequeñas aberturas cuya puerta, por así decir, está unida mediante un microﬁlamento proteínico, el tip link, al estereocilio contiguo más alto. Estas aberturas son los canales iónicos y se abren o se cierran en función de la mayor o menor separación de los estereocilios según el momento de la oscilación, permitiendo o impidiendo el paso de los iones positivos al interior del cuerpo celular.

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Figura 12.9: Ilustración de la apertura y cierre de los canales iónicos de los estereocilios.

Se podría considerar que las células pilosas son los micrófonos de nuestro sistema auditivo. De algún modo, podríamos decir que nuestro membrana basilar está equipada con unos 15.000 micrófonos colocados sobre ella, capaces de recoger y transformar en señales eléctricas las vibraciones de cada una de las localizaciones de esta membrana. Las células pilosas internas están dispuestas de tal modo que forman algo así como una hilera de 3.500 micrófonos situados sobre la membrana basilar y son la principal y más directa fuente de información del movimiento de oscilación de cada zona de esta membrana. Teniendo en cuenta que la longitud media de la membrana basilar es de 35 mm, la separación entre las células pilosas internas es de unas 10 micras, una separación ligeramente superior al diámetro de cada célula. Así pues, podríamos decir que cada 10 micras una célula sensorial recoge, a modo de micrófono, el movimiento resonante de esa zona de la membrana basilar.

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12.3.4. El ganglio espiral Para terminar la descripción de la cóclea, antes de pasar a analizar las funciones que realiza, nos queda el estudio de su sistema nervioso. El ganglio espiral o coclear recorre el interior de la cóclea por un orificio situado dentro del modiolo llamado el canal de Rosenthal, a la altura de la división creada por la lámina espiral y la membrana basilar, como hemos podido ver en las figuras 11.5, 11.6, y 11.7. El ganglio espiral es el encargado de codificar las señales eléctricas que provienen de las células pilosas del órgano de Corti y de regular su actividad. Está formado por los cuerpos de unas 50.000 neuronas. Las dendritas de estas neuronas establecen sinapsis con las células pilosas, mientras que sus axones constituyen el nervio auditivo o coclear. El conjunto de dendritas y axones forman las fibras nerviosas que comunican el órgano de Corti con los primeros núcleos del cerebro especializados en la audición. Las fibras nerviosas que salen del ganglio espiral pueden ser imaginadas como líneas de comunicación entre la cóclea y la parte del cerebro dedicada a procesar la información auditiva. Veamos una hermosa ilustración, realizada por Andréa Zariwny.

Figura 12.10: Ilustración del ganglio espiral.

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En esta ilustración podemos apreciar el ganglio coclear, con las dendritas que salen de él a lo largo de todo su recorrido espiral y los axones que, reunidos en forma de haz, constituyen el nervio coclear. Las neuronas aferentes del ganglio espiral codifican las señales eléctricas recibidas de las células sensoriales del órgano de Corti y transmiten la información hacia los núcleos auditivos del cerebro, en concreto, hacia el núcleo coclear. Por su parte, las neuronas eferentes reciben información desde el complejo olivar superior y la comunican a las células pilosas. En el ganglio espiral existen dos tipos de neuronas que se diferencian por su morfología y su constitución: las llamadas neuronas cocleares de tipo I, bipolares, caracterizadas por tener una dendrita y un axón, ambos gruesos y mielinizados; y las neuronas cocleares de tipo II, unipolares, con un axón delgado y sin mielina dividido en dos ramas, una de las cuales cumple la función de dendrita. Debido a ello, mientras las neuronas de tipo I dan lugar a fibras de conducción rápida, las fibras de las neuronas de tipo II son más lentas. El 90 % de las neuronas del ganglio espiral son del tipo I. Las neuronas eferentes son todas del tipo II, pero las aferentes pueden ser tanto del tipo I como del tipo II. La inervación de las células pilosas del órgano de Corti es diferente según sean internas o externas. Cada célula pilosa interna es inervada por entre 10 y 15 fibras nerviosas aferentes del tipo I. Además, cada una de estas fibras está conectada solamente con una célula sensorial interna. De esa manera, para transmitir la información que ha generado, cada célula sensorial interna dispone de entre 10 ó 15 líneas de comunicación independientes y rápidas. Esto explica el gran porcentaje de neuronas del tipo I que hay en el ganglio espiral. Por su parte, cada célula pilosa externa se conecta a unas 6 fibras nerviosas aferentes. Pero la célula tiene que compartir cada fibra con unas 10 ó 20 células pilosas externas más y, además, las fibras nerviosas aferentes son ahora neuronas del tipo II. Por ello la información que transmiten las fibras nerviosas que proceden de las células sensoriales externas es mucho más lenta y mucho menos especializada que la enviada por las fibras nerviosas que proceden de las células sensoriales internas.

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Tanto las células pilosas externas como las internas tienen conexiones con neuronas eferentes, todas ellas del tipo II. En las células pilosas internas la conexión no se establece directamente con la célula sensorial, sino con alguna fibra nerviosa a la que está unida. En ese caso la finalidad de estas fibras eferentes parece ser el control de las sinapsis aferentes. En las células pilosas externas, que son contráctiles, parece que la función de las neuronas eferentes es el control de su motilidad. Veamos un sencillo esquema de las conexiones de las células sensoriales del órgano de Corti con las neuronas del ganglio espiral donde se procesa la información auditiva.

Figura 12.11: Esquema de las conexiones neuronales del órgano de Corti.

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12.4.

La cóclea como analizador mecánico de frecuencias

El análisis espectral es la primera de las tres tareas que debe realizar la cóclea para transformar en impulsos nerviosos la información sonora contenida en la vibración mecánica. Para llevar a cabo este trabajo la cóclea cuenta con la membrana basilar y con los fluidos acuosos que llenan sus canales. Este análisis da lugar a que la información frecuencial que contiene la señal en el tiempo se traduzca en información espacial, dando como resultado una organización tonotópica de la membrana basilar. En cierto sentido, el comportamiento de la cóclea como analizador mecánico de frecuencias se asemeja al del piano imaginario de miles de cuerdas utilizado para explicar la descomposición espectral en el capítulo “Análisis espectral de los sonidos musicales”. En ambos casos, la detección de los componentes frecuenciales que constituyen la vibración sonora se logra mediante un sistema mecánico de resonancias: en el caso del piano ideal entran en resonancia las cuerdas que están afinadas a la frecuencia de los componentes sinusoidales presentes en el sonido analizado; en el caso de la cóclea resuenan aquellas pequeñas secciones de la membrana basilar cuyas frecuencias naturales de vibración coinciden con las de los componentes de la onda sonora que penetra en el canal vestibular por la ventana oval. Ahora bien, a diferencia de las cuerdas del piano, la membrana basilar es un continuo. Su frecuencia de resonancia en cada punto a lo largo de su longitud (la afinación de ese punto, por decirlo así) depende tanto de la elasticidad de la membrana en esa localización concreta, como de su distancia respecto a la ventana oval. Así mismo, las frecuencias de resonancia de la membrana basilar no se distribuyen linealmente como en nuestro piano ideal, sino logarítmicamente. De hecho, si tomamos como inicio la zona apical de la membrana basilar, cada 3,5 mm aproximadamente se dobla la frecuencia, es decir, se aumenta una octava.

12.4.1. Tonotopía de la membrana basilar La cuestión que hay que explicar ahora es: ¿Cómo es posible que un sistema formado por dos canales llenos de ﬂuido acuoso y separados por una membrana elástica de 287

rigidez variable pueda resonar en diferentes localizaciones en función de los componentes frecuenciales de la señal de entrada? Recordemos que, en lo que concierne a la transmisión de la vibración mecánica, el canal vestibular y el canal medio funcionan como si se tratara de uno solo, ya que la membrana de Reissner, debido a su finura, no supone obstáculo alguno a la transmisión de las vibraciones entre los fluidos acuosos. Mi exposición va a seguir el planteamiento propuesto por Jan Schnupp, Israel Nelken y Andrew King en su libro Auditory Neuroscience, Making Sense of Sound (The MIT Press, 2011), según el cual la vibración sonora se propaga por el fluido del canal superior y pasa al canal inferior a través de la membrana basilar justamente en aquellas localizaciones cuya frecuencia natural de vibración coincide con la de los componentes frecuenciales presentes en el sonido analizado. Veamos, así pues, las razones por las que la membrana basilar resuena en distintas localizaciones según la frecuencia de la vibración que recibe. Como todo movimiento ondulatorio, la vibración sonora tiende a buscar el camino más fácil, aquél que presenta un obstáculo menor. En la cóclea, la transmisión de la onda desde el canal superior al inferior se ve afectada por dos fuerzas cuyos gradientes van en sentido contrario. Por un lado, la rigidez de la membrana basilar disminuye conforme se aleja de la ventana oval ofreciendo menos resistencia a la vibración. Por otro, la inercia de los líquidos que llenan los canales es mayor conforme la zona está más alejada de la ventana oval, pues la cantidad de líquido que la vibración tendrá que mover será mayor. Así mismo, el obstáculo que supone la inercia depende de la frecuencia de la vibración: cuanto mayor sea la frecuencia, más difícil le resultará a la vibración mover los líquidos que llenan los canales de la cóclea. Para entender esto último nos basta recurrir a una sencilla experiencia: si tratamos de desplazar en vaivén el líquido de una botella a medio llenar comprobaremos que, conforme más rápido lo queramos hacer oscilar, más nos costará. Por todo ello, para una frecuencia determinada de la onda vibratoria, el punto en el que la inercia de los fluidos y la rigidez de la membrana basilar se compensan será el punto en el que ésta se deformará más, oscilando en re-

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sonancia con esa frecuencia y transmitiendo la vibración al líquido del canal inferior. El hecho de que cada componente frecuencial de la vibración encuentre su propio camino para transmitirse desde el conducto superior al conducto inferior hace que las ondas sonoras se dispersen, produciéndose la descomposición de la señal en sus componentes sinusoidales. De este modo se realiza el análisis espectral. Este fenómeno es similar al que ocurre con un rayo de luz al que se le hace pasar a través de un prisma de cristal. En ese caso, cuando las ondas lumínicas se dispersan buscando el camino más eficaz para cada componente frecuencial —es decir, para cada color— surge el arco iris. En el caso del sonido, la dispersión que se produce en la cóclea permite que se cree una especie de mapa de frecuencias en la membrana basilar. Al transmitirse las vibraciones por diferentes zonas de la membrana según su frecuencia, los componentes sinusoidales que están presentes en la señal sonora quedan registrados en diferentes localizaciones espaciales. Esta organización tonotópica va a estar presente a lo largo de todo el camino que lleva la información sonora al cerebro. Para ayudar a entender todo esto de una manera intuitiva, he fabricado un vídeo en el que se simula el comportamiento de un analizador mecánico de frecuencias con una estructura parecida a la de la cóclea. Se trata de un cilindro que contiene en su interior dos canales llenos de líquido, separados por una membrana elástica de rigidez variable. Ambos canales están comunicados por una abertura que simula el helicotrema. Los colores con los que está pintada la membrana siguen la escala del arcoiris, de manera que los rojos representan las zonas que vibran en resonancia con las frecuencias bajas y los azules las que vibran con las altas. Por la ventana superior, que se comporta como la ventana oval, penetra la vibración mecánica producida por la onda sonora. La ventana inferior, que imita la ventana redonda, sirve para compensar los aumentos y disminuciones de presión que se crean en el interior del cilindro. El aumento y disminución de la cantidad de partículas que flotan en el líquido simboliza el aumento y la disminución de la presión de los fluidos. El vídeo simula cuatro situaciones vibratorias diferentes, cada una de ellas con un solo componente sinusoidal: la primera es una vibración cuya frecuencia pertenece a la zona de los infrasonidos, en torno a los 16 Hz; la segunda tiene una frecuencia 289

de 220 Hz, un la3 en la aﬁnación convencional; la frecuencia de la tercera es de 880 Hz, un la5 ; y la de la última, 3.520 Hz, un la7 . El vídeo está ralentizado 440 veces. El sonido es solamente ilustrativo.

Figura 12.12: Vídeo con una simulación de la resonancia en la cóclea.

En el vídeo podemos observar que las vibraciones que penetran en el cilindro pasan del canal superior al inferior por una u otra zona en función de su frecuencia, haciendo resonar la membrana en diferentes localizaciones, a excepción del primer caso donde la transmisión de la vibración se realiza por la abertura del ﬁnal que simula el helicotrema, de modo que la membrana no se ve afectada. Al estar el vídeo muy ralentizado, podemos apreciar cómo la vibración introducida a través de la ventana elástica superior se compensa mediante la ventana elástica inferior. Vemos que cada vez que, como consecuencia del movimiento vibratorio, la ventana superior penetra en el cilindro, el aumento de la presión que se crea en su interior hace que la ventana inferior se mueva hacia fuera; y, a la inversa, cada vez que la ventana superior sale hacia fuera, la ventana inferior se mueve hacia dentro. El inicio del vídeo muestra una situación en la que la frecuencia de la vibración real estaría por debajo del rango de los sonidos audibles, es decir, sería menor de 20 Hz. 290

Dado que se trata de una frecuencia muy baja, el obstáculo que supone la inercia del líquido es escaso, por lo que el camino elegido por la vibración para pasar del conducto superior al inferior es la abertura del final. En esta situación la membrana no sufre ninguna deformación y, por lo tanto, tampoco hay ninguna percepción de sonido. El segundo caso ilustra lo que sucede con una frecuencia vibratoria de 220 Hz. Ahora la inercia del fluido ya supone cierto obstáculo, un obstáculo lo suficientemente importante como para que la vibración prefiera vencer la rigidez de la membrana elástica y pasar a través de ella al canal inferior. Esa zona en la que vemos oscilar la membrana es la que posee una frecuencia natural de resonancia de 220 Hz, resultado de la conjunción de las dos fuerzas que crecen o decrecen en sentido opuesto: la inercia de los fluidos en esa zona para esa frecuencia y la rigidez de la membrana en ese punto. El tercer caso se corresponde con un sonido dos octavas más agudo, de 880 Hz, por lo que el movimiento oscilatorio que vemos en el vídeo es cuatro veces más rápido que en el caso anterior. Ahora la oscilación es tan rápida que el obstáculo que presenta la inercia del líquido es mucho más importante, por lo que a la onda vibratoria le resulta más eficaz pasar al canal inferior en una localización más próxima a la entrada de la vibración, pues, a pesar de que en ese punto la membrana presenta ya una resistencia bastante grande, la cantidad de líquido que debe mover es mucho menor. El cuarto caso presenta la situación correspondiente a un sonido de 3.520 Hz, es decir, un sonido cuya frecuencia de vibración es cuatro veces mayor que la del caso anterior y dieciséis veces mayor que el segundo caso del vídeo. Al ser la vibración muy rápida, el obstáculo derivado de la inercia de los líquidos es muy grande, por lo que la onda vibratoria elige un punto donde tiene que mover menos cantidad de líquido, aunque ahora la resistencia de la membrana sea ya muy grande. Este vídeo nos ayuda a entender por qué cada localización de la membrana basilar a lo largo de su longitud posee una frecuencia natural de resonancia, lo cual explica la capacidad de la cóclea para transformar los componentes sinusoidales presentes en la vibración en localizaciones espaciales. A esto es a lo que llamamos la tonotopía de la membrana basilar.

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12.4.2. Comportamiento de la membrana basilar ante un sonido complejo Una vez entendido el fenómeno de la resonancia en la membrana basilar, nos interesa examinar cómo vibra esa membrana ante un sonido complejo, es decir, ante un sonido que consta de varios componentes sinusoidales (recordemos que todo sonido, sea o no musical, puede ser descompuesto en componentes sinusoidales). En primer lugar, hay que tener en cuenta que las zonas de la membrana basilar que resuenen ante los distintos componentes frecuenciales vibrarán siempre —al menos de forma ideal— con un movimiento armónico simple, oscilando de arriba a abajo con una amplitud que, en principio, será proporcional a la del componente que la ha hecho resonar. Así mismo, como ocurre en el caso de las cuerdas del piano ideal del capítulo “Análisis espectral de los sonidos musicales”, no solamente resonará el lugar especíﬁco de la membrana basilar cuya frecuencia natural coincida con la del componente presente en la vibración de entrada, sino también las zonas próximas. Ahora bien, como sucede en toda vibración provocada, cada una de las localizaciones de la membrana basilar que entre en resonancia oscilará siempre a la frecuencia del componente que la hace resonar, con independencia de cuál sea la frecuencia natural de resonancia de esa localización concreta. Es decir, si en la onda vibratoria está presente, pongamos por caso, un componente de 220 Hz, resonará la localización de la membrana cuya frecuencia natural sea de 220 Hz, pero también se verán afectadas y resonarán, aunque en menor medida, las localizaciones vecinas, aquellas que posean una frecuencia natural próxima, por ejemplo, las que estén entre 200 Hz y 240 Hz. Ahora bien, todas ellas oscilarán siempre a la frecuencia excitadora —es decir, a 220 Hz— y no a la suya propia. Y, ﬁnalmente, los oscilaciones sinusoidales de las distintas localizaciones de la membrana que entren en resonancia conservarán también las diferencias de fase relativas que puedan existir entre los componentes sinusoidales de la onda vibratoria. Así pues, el análisis espectral que realiza la membrana basilar no sólo conserva la amplitud de cada componente, sino también sus diferencias de fase. Esto explica que, en la medida en la que esta información sea recogida y procesada por nuestro cerebro, podamos ser sensibles a fenómenos tales como los batidos de segundo orden.

292

Para ilustrar la manera en la que vibra la membrana basilar ante un sonido formado por varios componentes sinusoidales, he creado un vídeo en el que se simula su movimiento oscilatorio ante una onda vibratoria que se va haciendo progresivamente más compleja. Se trata de la nota la3 , de 220 Hz, en la que se van introduciendo nuevos componentes armónicos, con amplitudes y fases diferentes. El vídeo está ralentizado y el sonido es solamente ilustrativo.

Figura 12.13: Vídeo que simula la tonotopía de la membrana basilar.

Debemos tener presente que en la realidad los desplazamientos oscilatorios de cada zona de la membrana basilar son muy pequeños (en un sonido de intensidad media del orden de nanómetros, es decir, de millonésimas de milímetro). Por ello, en este vídeo la longitud de la membrana se corresponde con los 35 milímetros que viene a medir la membrana basilar, mientras que el desplazamiento vertical de cada zona que resuena representa solamente unos pocos nanómetros. Podemos ver que cada localización de la membrana oscila de forma sinusoidal. Y también que lo hace solamente a la frecuencia de los componentes presentes en la señal de entrada. Apreciamos también que en cada zona de resonancia no oscila solamente un único punto de la membrana —el que tiene la misma frecuencia natural 293

de resonancia que el componente de entrada—, sino que también oscilan, a la misma frecuencia, los puntos vecinos, creándose pequeños montículos y hondonadas. Como el vídeo está también ralentizado 440 veces, podemos apreciar que cuando el componente de 220 Hz, el más grave, hace una oscilación completa han transcurrido dos segundos, y cuando el siguiente componente, el de 440 Hz, realiza una oscilación completa ha transcurrido uno, y así sucesivamente. El principio del vídeo ilustra la vibración de la membrana basilar cuando el sonido está formado por un solo componente, el de 220 Hz. Luego, al entrar el segundo componente, el de 440 Hz, la membrana basilar resuena además en una nueva localización, más próxima a la zona basal, donde oscila con el doble de frecuencia que en la primera. Y cuando entra el tercer componente se crea una nueva zona de resonancia, aún más próxima a la zona basal, y su frecuencia de oscilación es el triple de la primera. Lo mismo sucede cuando entran el cuarto y el quinto componente, cuyas frecuencias de oscilación son cuatro y cinco veces la de la primera. Por otra parte, en el vídeo podemos observar que las oscilaciones de las diferentes zonas de la membrana basilar conservan la información de la fase relativa que tenían los componentes que constituyen la onda vibratoria. Si paramos el vídeo en el momento en el que el componente más grave alcanza su desplazamiento máximo, podremos apreciar los desfases con los demás componentes. Estos desfases estaban presentes en la señal de entrada que he fabricado.

12.4.3. Retroalimentación de las células pilosas externas sobre la membrana basilar Como se estudia en el capítulo dedicado al análisis espectral, para que un analizador de frecuencias sea capaz de discriminar componentes próximos presentes en la señal de entrada, es necesario que la respuesta sea lo suﬁcientemente picuda, es decir, que la anchura de la banda de frecuencias afectada por el derrame espectral sea pequeña. Sin embargo, el análisis mecánico que resulta del movimiento resonante de la membrana basilar está lejos de lograr esa buena respuesta.

294

Pero la cóclea dispone de un sistema de retroalimentación que le permite reducir el derrame espectral y mejorar significativamente la respuesta puramente mecánica que le proporciona la simple resonancia de la membrana basilar: el movimiento de las células pilosas externas del órgano de Corti. Como hemos visto, estas células sensoriales no se limitan a enviar a las terminaciones nerviosas con las que están conectadas información sobre la zona de la membrana basilar afectada por la resonancia, sino que, al ser contráctiles, pueden alargarse y encogerse cuando son excitadas por el movimiento de la membrana basilar o de la membrana tectorial, con las que están en contacto directo. En efecto, cuando un ramillete de células pilosas externas son afectadas por la vibración del punto de la membrana basilar sobre el que se sitúan, chocan contra la membrana tectorial, de modo que el cuerpo de estas células se contrae y se dilata, y lo hace siguiendo el ritmo de la oscilación en ese punto. Así, estas células actúan como pequeños motores que refuerzan el movimiento de la membrana basilar en un punto, incrementando notablemente la amplitud de la resonancia en la localización exacta sobre la que se hallan y logrando, por lo tanto, una respuesta más picuda. Esta función de retroalimentación es particularmente importante en las señales débiles, donde pueden llegar a multiplicar por 100 veces la amplitud de la oscilación de un punto de la membrana basilar. Este mecanismo de retroalimentación explica, por una parte, el importante margen perceptivo de la intensidad sonora que poseemos (aproximadamente de 120 dB) y, por otra, que la anchura de la banda de frecuencias en la que dos componentes no interfieren entre sí sea los suficientemente amplia como para que seamos capaces de distinguir individualmente seis o siete armónicos de un sonido compuesto (recordemos que los armónicos superiores, aunque no sean individualizables por nuestra percepción, contribuyen también a la cualidad del sonido).

12.5.

Transducción mecano-eléctrica en la cóclea

A continuación vamos a estudiar cómo los movimientos oscilatorios de cada una de las posiciones de la membrana basilar se transforman en variaciones de la tensión eléctrica, las cuales reproducen analógicamente esas oscilaciones. 295

Esta transformación se realiza gracias a dos tareas complementarias que llevan a cabo las células sensoriales del órgano de Corti: en primer lugar, se produce una transformación exclusivamente mecánica, mediante la cual los movimientos ascendentes y descendentes de una localización concreta de la membrana basilar se convierten en movimientos transversales de los estereocilios de las células pilosas que están sobre ella; en segundo lugar, se origina la transformación eléctrica propiamente dicha, mediante la cual los movimientos de izquierda y derecha de los estereocilios sirven para modular la corriente que circula a través del cuerpo de las células sensoriales. La primera parte, la conversión de los desplazamientos verticales de la membrana basilar en movimientos transversales de los estereocilios, se produce como consecuencia de la fuerza ejercida sobre ellos por la membrana tectorial. Esta membrana pivota ligeramente arriba y abajo, pero su pivote es independiente de la membrana basilar, de modo que cuando ésta asciende, la membrana tectorial crea una fuerza de cizalladura sobre los estereocilios que los obliga a inclinarse hacia el lado externo de la cóclea —es decir, hacia el estereocilio más alto—, mientras que cuando la membrana basilar desciende, los hace inclinarse hacia el lado interno. Veamos un diagrama esquemático de este movimiento en una imagen obtenida del curso Hearing en OpenLearn Works, de la que solamente he traducido los nombres.

Figura 12.14: Esquema del movimiento de cizalladura de los estereocilios.

296

El dibujo presenta las tres situaciones características del movimiento derivado de las fuerzas de cizalladura en una sola célula pilosa. En la posición de equilibrio (b), vemos que la zona de la membrana basilar donde se encuentra la célula sensorial mantiene su horizontalidad y que los estereocilios de esa célula están en vertical. Cuando esa zona de la membrana basilar asciende (a), desplazándose hacia el canal vestibular, los estereocilios empujan hacia arriba la membrana tectorial, que, al pivotar ligeramente en el sentido contrario al de las agujas del reloj, se desplaza un poco también hacia arriba, con lo que provoca una fuerza de cizalladura sobre los estereocilios que los hace inclinarse en el sentido del estereocilio más alto, es decir, hacia el exterior de la cóclea (en el dibujo hacia la derecha). Aunque en el esquema no se puede apreciar, hay que pensar que, al inclinarse en este sentido los estereocilios, se separan ligeramente unos de otros, de modo que los ﬁlamentos que unen la puerta del canal iónico de cada uno de ellos con su correspondiente estereocilio adyacente se abre más. Cuando esa zona de la membrana basilar desciende (c), la membrana tectorial pivota ligeramente en el sentido de las agujas del reloj, desplazándose hacia abajo, de modo que ahora la fuerza de cizalladura sobre los estereocilios se produce en sentido inverso, es decir, hacia el interior de la cóclea (en el dibujo hacia la izquierda). Entonces los estereocilios se juntan unos con otros, cerrándose las puertas de los canales iónicos. Así pues, estas deﬂecciones de los estereocilios siguen el ritmo y la amplitud de los movimientos oscilatorios de la membrana basilar donde se asientan. Hay que tener en cuenta que, conforme mayor sea la amplitud del movimiento de ascenso o descenso de una determinada localización de la membrana basilar, mayor será también la amplitud del movimiento transversal de los estereocilios. Por otra parte, aunque este desplazamiento de los estereocilios es muy pequeño (en un sonido muy intenso el desplazamiento máximo en la parte superior del estereocilio más alto es del orden 100 nm), basta que se desplacen menos de un nanómetro para que percibamos sonido. La segunda parte, la transformación eléctrica a partir del movimiento transversal de los estereocilios, es posible gracias a la diferencia de potencial (de 297

unos 80 mV) que existe entre el líquido endolinfático del canal medio, muy rico en iones positivos de potasio (K+), y el líquido perilinfático del canal timpánico, cuyo contenido en iones positivos de potasio es muy escaso. Debido a que los estereocilios de las células pilosas están dentro de la endolinfa, mientras que el cuerpo de estas células está en contacto directo o indirecto con la perilinfa y, al ser totalmente impermeable la lámina que separa ambos líquidos, la única forma en la que se puede establecer una corriente eléctrica entre estos fluidos es a través del interior de las células sensoriales, cuyos canales iónicos abiertos en sus estereocilios permiten que penetre un mayor o menor número de iones positivos. En efecto, los iones positivos de la endolinfa son atraídos por la mayor negatividad del cuerpo de las células pilosas. Cuando el cuerpo celular recibe estos iones se positiviza y, en consecuencia, los iones positivos son atraídos por las cargas negativas del líquido semejante a la perilinfa que llena las lagunas del órgano de Corti. Finalmente, los iones positivos son asimilados por la perilinfa del canal timpánico, debido a la permeabilidad de la membrana basilar al paso de los iones. Y mientras tanto, la estría vascular se encarga de suministrar constantemente nuevos iones positivos de potasio a la endolinfa, reponiendo los que va perdiendo. Pero esa corriente eléctrica no es constante, sino que varía según el movimiento de los estereocilios de las células sensoriales. El movimiento de vaivén de los estereocilios, producido como consecuencia de la oscilación de la localización de la membrana basilar donde se encuentra la célula sensorial, abre más o menos los canales iónicos, como acabamos de ver, modulando de ese modo el paso de la corriente desde la endolinfa a la perilinfa. Cuando esa localización de la membrana basilar está en una posición de equilibrio y los estereocilios están en vertical, el flujo de iones de potasio que penetra a través de sus canales iónicos es reducido, con lo que la corriente eléctrica que atraviese el cuerpo de la célula será moderada. Cuando esa zona asciende hacia el canal vestibular, abriéndose más los canales iónicos en los estereocilios, penetran por ellos muchos más iones de potasio positivos, aumentando la corriente eléctrica. Y, por el contrario, cuando esa zona de la membrana basilar se desplaza hacia abajo y se tienden a cerrar los canales iónicos, penetran por ellos una cantidad más reducida de iones positivos, quedando entonces el flujo de la corriente muy atenuado. De este modo, el

298

movimiento transversal de carácter mecánico de los estereocilios se transforma en variaciones de la corriente eléctrica. Así pues, el resultado de la transducción mecano-eléctrica es que las variaciones de la corriente eléctrica que atraviesa el cuerpo de cada célula sensorial son capaces de reproducir de manera analógica los movimientos oscilatorios de la membrana basilar en la posición en la que se encuentra la célula. La vibración de ese punto es transformada en una señal eléctrica analógica, de manera similar a lo que hace un micrófono respecto a las variaciones de la presión del aire en el lugar en el que está situado. Finalmente, conviene insistir en que el movimiento de la oscilación de los estereocilios que va a dar lugar a las oscilaciones de la tensión eléctrica ya no reproduce la forma de la onda vibratoria que ha llegado a la cóclea a través del estribo, la cual es una señal en el tiempo, sino la forma de la oscilación que resuena en cada localización de la membrana basilar. Idealmente esta forma es una señal sinusoidal, con sus propios parámetros de frecuencia, amplitud y fase, resultado de la descomposición de la señal en el tiempo que ha realizado la membrana basilar para ese componente concreto.

12.6.

Codificación de la información sonora en impulsos eléctricos

A continuación vamos a estudiar cómo el conjunto de señales analógicas que nos proporcionan las células sensoriales son codificadas por las neuronas y transformadas en impulsos nerviosos. Gracias a esta codificación nuestro cerebro extraerá e interpretará la información pertinente a nuestra audición, es decir, los componentes frecuenciales que están presentes en la vibración de entrada y su correspondiente amplitud, e incluso la fase relativa entre ellos. Podríamos pensar que, de algún modo, la codificación que realizan las neuronas en el ganglio espiral supone la transformación de una información analógica en una información de tipo digital. Mientras las variaciones de la corriente eléctrica que pasa a través de las células sensoriales del órgano de Corti reproducen analógicamente las oscilaciones de la zona de la membrana basilar correspondiente, las neuronas del 299

sistema auditivo se comportan, como todas las demás neuronas, de una manera que podríamos calificar de discontinua o digital. En efecto, las neuronas siempre siguen la ley de todo o nada, es decir, disparan un impulso o no lo disparan. Los medios de los que dispone cada una de las neuronas del sistema auditivo para codificar la información que proporcionan las células sensoriales y transmitirla a otras neuronas ubicadas en sus respectivos centros de proceso son básicamente dos: el número de veces que cada neurona se excita por segundo, es decir, su tasa de disparos; y el momento preciso en el que lo hace, es decir, la circunstancia concreta en la que dispara el impulso, como por ejemplo, cuando la oscilación de la corriente eléctrica en la célula sensorial con la que está conectada alcanza un máximo. Junto a estos medios individuales, hay otro muy importante en el que están implicadas todo el conjunto de neuronas que se comunican con las células sensoriales del órgano de Corti: la disposición tonotópica de las neuronas del sistema auditivo. En efecto, estas neuronas mantienen a lo largo de su recorrido, hasta llegar a la capa exterior del cortex auditivo, la organización tonotópica que posee la membrana basilar. Dicho de otra manera, cada neurona va asociada a una determinada frecuencia de resonancia de la membrana basilar y esta asociación se mantiene de neurona en neurona, dando lugar a una especie de mapa de frecuencias en la zona del cerebro especializada en la audición. Puesto que cada célula pilosa interna transmite su información a unas 10 o 12 fibras nerviosas aferentes que son exclusivas para esa célula concreta, la tonotopía por sí sola podría explicar nuestra capacidad para apreciar los componentes frecuenciales. Teniendo en cuenta que el rango de frecuencias que distinguimos los humanos va desde 20 Hz a 20.000 Hz (es decir, prácticamente 10 octavas ó 120 semitonos) y puesto que contamos con una hilera de aproximadamente 3.500 células pilosas internas, podemos deducir que la separación interválica entre las células sensoriales internas se corresponde aproximadamente a unas tres centésimas de semitono (120/3500 = 0,0343). Este margen viene a coincidir con las mediciones psicoacústicas sobre nuestra capacidad para apreciar las diferencias mínimas entre intervalos sucesivos. Además, la información sobre la frecuencia también lleva consigo la información sobre la amplitud. Una parte importante de esas 10 ó 12 neuronas que hacen sinapsis con cada célula pilosa interna transmiten la información de la amplitud mediante 300

su tasa de disparos. Cuando la amplitud de la oscilación eléctrica en el cuerpo de la célula sensorial es grande, el número de disparos por segundo de cada neurona es elevado, mientras que si la amplitud es pequeña hay un reducido número de disparos por segundo (el número máximo de disparos que es capaz de efectuar una neurona está en torno a los 500 disparos por segundo). Así mismo, el número de neuronas pertenecientes a cada célula sensorial que resultan activadas es mayor cuanto mayor sea la amplitud de la oscilación eléctrica. La combinación de estos dos medios, tonotopía y tasa de disparos de las neuronas, pueden constituir los mecanismos básicos por los que se codifica la frecuencia y la amplitud. Sin embargo, no son suﬁcientes para explicar fenómenos psicoacústicos, tales como la detección de la fase relativa entre los componentes, como ocurre, por ejemplo, cuando oímos los batidos de segundo orden. El elevado número de conexiones neuronales por cada célula sensorial interna invita a pensar que pudieran existir otros mecanismos complementarios que refuercen y precisen esa codiﬁcación. Por un lado, parece ser que alguna de las neuronas a las que están conectadas las células pilosas están especializadas en dispararse cuando la oscilación eléctrica de la célula pasa por un máximo. Y esto, en principio, ocurre de forma periódica, pues cada célula que transmite la resonancia de la membrana basilar debe oscilar con un movimiento armónico simple. Esto implica que si la frecuencia de oscilación eléctrica es baja, la neurona tendrá tiempo para rearmarse y disparará un impulso por cada máximo, pero si la frecuencia de la oscilación es alta, no podrá rearmarse y disparará cada dos, cada tres o cada más máximos. El resultado será un tren de impulsos que, aunque tenga lagunas, será predominantemente periódico. Estas lagunas podrán ser completadas por otras neuronas de esa célula especializadas en este mecanismo, actuando en su conjunto como si estuvieran jugando un partido de voleibol. Así pues, el disparo de estas neuronas no tendría que ver con la amplitud, sino con la fase de la oscilación, es decir, con un estado de la oscilación, el punto en el que se alcanza el máximo. Este mecanismo, que se denomina bloqueo de fase, serviría para reforzar la codificación de la frecuencia y también para trasmitir la información de fase relativa entre los componentes de una señal.

301

Hay que tener en cuenta que, aunque como consecuencia del derrame espectral las células pilosas internas vecinas también oscilarán, lo harán no a su frecuencia natural de resonancia, sino a la del componente frecuencial presente en la señal de entrada. Por ello, el tren de impulsos enviado por las neuronas vecinas especializadas en este mecanismo de bloqueo de fase tendrá siempre la misma frecuencia, lo que explicaría, entre otras cosas, la percepción de los batidos de segundo orden. Por otra parte, en lo que concierne a la codificación de la amplitud, contamos con dos medios complementarios. El primero es la mayor o menor extensión de la zona afectada por el derrame espectral, es decir, el número de células vecinas estimuladas por la presencia de un determinado componente frecuencial presente en la señal de entrada. Conforme mayor sea la amplitud del componente, mayor número de células vecinas se verán afectadas. El segundo es que la información que transmite la neurona aferente conectada a un pequeño grupo de células pilosas externas contribuye a codificar la mayor o menor amplitud de la pequeña zona en la que están ubicadas. Dado que estas células pilosas externas son las encargadas de retroalimentar los movimientos resonantes de la membrana basilar, la mayor o menor tasa de disparos de la neurona a la que están conectadas contribuirá a informar sobre la mayor o menor amplitud de la oscilación en esa zona. Así pues, la forma en la que se realiza la codificación de la información auditiva explica que, a pesar de que nuestra audición es esencialmente frecuencial (es decir, procede del análisis espectral realizado mecánicamente por la membrana basilar), haya tanta coincidencia, como hemos podido comprobar en otros capítulos, entre lo que vemos en la forma temporal de la vibración sonora y el sonido que percibimos. Todo este conjunto de mecanismos neuronales que sirven para codificar las señales analógicas provenientes de las células pilosas del órgano de Corti suministran la base sobre la cual se realizan complejos algoritmos de procesamiento de la información auditiva, a lo largo de los diversos centros cerebrales por los que atraviesa. Pero el funcionamiento preciso de todo ello no es todavía suficientemente conocido y se escapa del objetivo de este capítulo.

302

12.7.

Conclusión

Podemos concluir que nuestra percepción del sonido se fundamenta en el análisis frecuencial que se realiza en la membrana basilar en el interior de la cóclea. La evidente aﬁnidad entre la forma de la vibración y nuestra percepción auditiva se debe a que el analizador mecánico de la cóclea conserva una gran parte de la información que se encuentra en la señal en el tiempo, pues no sólo recoge y transmite la amplitud de cada componente presente en la señal, sino que también atiende en cierta medida a la fase. La gran densidad de información frecuencial que llega a nuestro cerebro le permite recuperar una parte importante del contenido temporal de la señal sonora.

303

Capítulo 13 Psicoacústica musical

13.1.

Introducción

A pesar de que la información musical llega hasta nuestros oídos totalmente mezclada en la vibración mecánica sobre la que viaja, nuestro sistema auditivo es capaz de determinar los sonidos musicales que contiene. De la misma manera que en la visión tenemos la capacidad de distinguir la figura del fondo e individualizar los múltiples objetos que ocupan la escena visual, en la percepción auditiva podemos aislar cada una de las entidades sonoras del entorno acústico en el que están inmersas, así como recuperar la unidad de los sonidos musicales dados por la voz o los instrumentos, los cuales, debido a la propia fisiología de nuestro oído, han sido previamente divididos en sus componentes frecuenciales. Este capítulo estudia la capacidad de nuestra percepción para reconocer objetos musicales en un contexto sonoro y para reconstruir su unidad. Si bien en cierta medida esta capacidad está condicionada por las características fisiológicas de nuestra audición, el proceso mediante el cual percibimos el sonido musical es de orden superior. En efecto, nuestra percepción musical es el resultado de la manera en la que nuestro cerebro procesa los impulsos nerviosos producidos por la cóclea al codificar la vibración sonora. A día de hoy sólo tenemos ideas de carácter muy general sobre el proceso que realizan los diferentes núcleos cerebrales relacionados con la audición. Pero, aunque conociéramos con detenimiento los mecanismos neurológicos 304

mediante los cuales se procesa la información acústica en el cerebro, lo que nos interesaría siempre conocer es la imagen psicoacústica que construimos a partir de esa información. Examinaremos, en primer lugar, las limitaciones para la percepción del objeto sonoro que vienen dadas por la ﬁsiología de nuestro oído, tales como las que afectan a la identiﬁcación de un sonido simple en un ambiente ruidoso o, dicho de otra manera, el enmascaramiento al que da lugar la coexistencia de diversos componentes en zonas próximas del espectro. En segundo lugar, veremos que nuestra capacidad para recuperar la unidad del objeto sonoro musical viene dada por nuestra predisposición natural para el reconocimiento del patrón armónico. Y en tercer lugar estudiaremos cómo el reconocimiento de un patrón armónico, o de una estructura que lo recuerde, explica la percepción de la consonancia entre sonidos armónicos compuestos y cómo también en las consonancias musicales podemos seguir percibiendo la individualidad de cada uno de los sonidos que forman parte de la mezcla gracias a nuestra capacidad para detectar las marcas tímbricas que los individualizan. Vamos a dejar al margen las cuestiones relacionadas con la percepción de la espacialidad y con todo lo que se deriva del hecho de que tengamos dos oídos. La capacidad de nuestro sistema auditivo para localizar la procedencia de la fuente sonora es un tema de interés para la tecnología musical, en especial para lograr una reproducción sonora que nos devuelva el sonido de la forma más natural posible. Pero, dado que esta cuestión no es determinante para comprender los fundamentos psicoacústicos del lenguaje musical, vamos a prescindir en este capítulo de ella. Finalmente, hay que tener en cuenta que la capacidad de reconocimiento del sonido musical depende, en buena medida, del entrenamiento del oyente, es decir, de su mayor o menor dedicación a la música.

13.2.

Limitaciones en la percepción del objeto sonoro debidas a la fisiología del oído

Debido a la constitución de nuestro sistema auditivo, la presencia de otros componentes frecuenciales en zonas del espectro próximas al sonido que tratamos de perci305

bir nos dificulta o incluso nos impide su reconocimiento. Como ya pudimos ver en el capítulo dedicado a la interferencia entre sonidos simples, nuestro oído requiere que exista cierta separación entre los componentes frecuenciales para poder distinguir nítidamente los sonidos. La anchura de la banda crítica es la distancia mínima que sirve de límite para que dos componentes sinusoidales puedan ser distinguidos con claridad. Esta distancia mínima está en relación directa con el hecho de que la resonancia de la membrana basilar en un punto afecta también a los puntos que están próximos, tal como hemos visto en el capítulo dedicado a la fisiología de la audición. Para permitir experimentar este fenómeno voy a presentar, a modo de ejemplo, un vídeo con el caso más sencillo de distinción de fondo y figura en el paisaje sonoro: la percepción de un sonido simple en un entorno ruidoso. Ahora nos interesa solamente comprobar que la percepción de un sonido simple con una determinada intensidad mantenida se facilita de forma significativa cuando se encuentra en una zona libre de otros componentes. Este caso, realizado con sonidos de laboratorio, nos servirá para entender la manera en la que nuestra percepción está condicionada por la fisiología de nuestro oído. Para evitar que los otros componentes puedan provocar efectos de batidos e interferencias que obstaculizarían nuestra percepción del fenómeno, he elegido como elemento perturbador una banda de ruido. En este ejemplo el fondo consiste precisamente en esta banda de ruido, mientras que la figura está formada por dos sonidos simples que a lo largo de todo el vídeo mantienen la misma amplitud y, por lo tanto, la misma intensidad. Se trata de un la4 (440 Hz) cuya amplitud es de 0,005 (en unidades arbitrarias normalizadas como siempre entre 0 y 1) y de un la6 (1.760 Hz) cuya amplitud es de 0,3. La diferencia entre la intensidad de ambas señales es de 36 dB. La banda de ruido se extiende durante los seis primeros segundos unos 1.000 Hz arriba y abajo del componente agudo. A partir del segundo 6 se abre un hueco en esta banda de ruido que va progresivamente separándose del componente agudo. Al disminuir la anchura de banda del ruido, disminuye también su intensidad. Si el objetivo de este vídeo fuera ser utilizado como un test para ver en qué condiciones es posible identificar un componente —es decir, medir la anchura de la banda crítica—, la intensidad del ruido debería haberse mantenido constante, aunque disminuyera la anchura de su banda. Pero nuestro objetivo ahora es simplemente ilustrar la diferencia 306

entre la percepción que se produce en una banda ocupada y en otra sin ocupar. Que la intensidad del ruido no se adapte a la disminución de su anchura de banda nos facilita esta tarea.

Figura 13.1: Vídeo que permite experimentar la percepción de sonidos simples en presencia de ruido.

Durante los primeros 6 segundos del vídeo podemos comprobar que el componente de 440 Hz (la nota la4 que en el espectrograma corresponde a la línea horizontal inferior que casi no se ve) se oye con toda claridad, acompañada de un ruido de carácter más agudo; sin embargo, no somos capaces de oír el componente de 1.760 Hz, a pesar de que en el espectrograma lo podemos ver sin diﬁcultad en medio de la banda ruidosa. A partir del segundo 6 el carácter del ruido va cambiando: en el espectrograma vemos que en medio del ruido va abriéndose un hueco que se va ensanchando progresivamente para dejar libre las bandas próximas al componente de 1.760 Hz. Por ello el componente de 440 Hz siguen oyéndose con el mismo volumen sonoro que antes, pero hasta pasado el segundo 10 no empezamos a percibir ligeramente el componente agudo de 1.760 Hz, el corrrespondiente a la nota la6 (dependiendo del volumen de nuestro reproductor y de la atención que prestemos a su aparición podemos oírlo un poco antes o un poco después). Nuestra percepción del componente agudo llega a ser cada vez más clara, hasta que, en un momento determinado, 307

ya no cambia y al ﬁnal percibimos con claridad los dos componentes individuales, manteniendo cada uno de ellos su propio volumen sonoro. Este efecto se aprecia más claramente conforme va disminuyendo la intensidad del ruido y reduciéndose la anchura de su banda. Este fenómeno psicoacústico del enmascaramiento es utilizado por los compresores de sonido para disminuir la codiﬁcación necesaria en función de nuestras capacidades para distinguir los componentes próximos.

13.3.

El reconocimiento del patrón armónico

En la naturaleza hay muchos sonidos que surgen en condiciones estacionarias, por ejemplo, las cuerdas que vibran, las columnas de aire que resuenan en cavidades, los ruidos emitidos por muchos animales, el viento que silba en las grutas, etc. Por ello el sonido armónico es tan abundante en la naturaleza. Entre los humanos, el sonido armónico no sólo constituye el material con el que se construye la música, sino que también sirve de soporte para la articulación del lenguaje hablado, como es el caso de las vocales. Esta familiaridad con un entorno sonoro armónico explica de algún modo nuestra predisposición natural para reconocerlo. A nuestro cerebro llega, a través del nervio auditivo, la descomposición espectral de la vibración mecánica que ha realizado el oído interno y es nuestro cerebro el que lleva a cabo la tarea de reunir todos esos componentes dispersos para recuperar la unidad del objeto sonoro armónico. En nuestra mente se realizan una serie de procesos psicoacústicos encaminados al reconocimiento del patrón armónico de cada objeto musical mediante el cual agrupamos los componentes e identificamos las notas. Hay que tener en cuenta que identificar una nota musical, o el intervalo que forma con otra, no significa darle un nombre concreto; es un proceso inconsciente para la mayor parte de las personas, pero que nos permite entender y recordar una melodía. Por ejemplo, si se cambia una nota por otra en una canción conocida casi todos los oyentes se darán cuenta; y eso ocurrirá con independencia de que sepan o no música, ni de que sean capaces o no de nombrar la nota o las notas que esperaban escuchar.

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La identificación de un sonido armónico no se debe a que percibamos su periodicidad en la forma de la vibración resultante, sino a que la estructura de sus componentes frecuenciales se corresponde con una estructura armónica. Así pues, el reconocimiento del patrón armónico se produce por los intentos de nuestro sistema perceptivo por organizar en estructuras armónicas todo el material sonoro que recibe. En líneas generales, el reconocimiento del patrón armónico obedece a las leyes de la Gestalt en su aplicación al material sonoro. Vamos a ver a continuación que La ley de la completitud de la ﬁgura explica cómo reconstruimos un patrón armónico en un sonido en el que hay muchos huecos dentro de la serie armónica. Voy a presentar dos vídeos que nos van a permitir observar la manera en la que nuestra percepción auditiva organiza el material sonoro según la serie armónica, completando los huecos que el sonido musical pudiera tener. En el primero mostraré cómo reconocemos una nota musical en un sonido en el que faltan un buen número de los primeros componentes. En el segundo veremos que seguimos identiﬁcando la misma nota incluso cuando se le quitan sus primeros armónicos. En el primer vídeo tenemos el espectrograma de la nota más grave de un sonido de piano, el la0 , cuya frecuencia es de 27,5 Hz. El sonido procede de una grabación doméstica realizada con un piano vertical, donde el número e importancia de los componentes graves es considerablemente menor que en un piano de gran cola. El espectrograma ha sido realizado con una ventana de larga duración (0,2 segundos), pues aquí nos interesa observar la frecuencia de los componentes, más que su evolución temporal.

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Figura 13.2: Vídeo con el espectrograma de la nota la0 de un piano.

Todos reconoceríamos aquí un la0 , la nota más grave del piano, con lo que, en principio, deberíamos ver en el espectrograma su primer armónico, es decir, el componente de 27,5 Hz. Sin embargo, el armónico más grave que aparece en el espectrograma es el cuarto, con una frecuencia de 110 Hz; luego el quinto, el sexto y el séptimo, separados aproximadamente por una distancia de 27,5 Hz. El octavo armónico no está, pero desde el noveno hasta el decimosexto vemos que son todos consecutivos. Si seguimos hacia la parte alta del espectro observamos una considerable cantidad de componentes armónicos, todos ellos separados entre sí, salvo en los casos en los que hay huecos, por una distancia de 27,5 Hz o un poco más (hay que tener en cuenta que la ligera inarmonicidad del piano hace que se vayan separando progresivamente). En cuanto a la energía que aporta cada armónico al sonido y que afecta a su timbre, podemos apreciar que el duodécimo es el que tiene mayor amplitud y, por lo tanto, mayor intensidad. Ahora bien, a pesar de las importantes lagunas en la estructura armónica de esta nota la0 e incluso de la ausencia de los primeros armónicos, nuestro sistema perceptivo ha apreciado varios rasgos que le han ayudado en la tarea de su reconstrucción y en la recuperación de la unidad de esa nota la0 . Ha reconocido que la distancia que más abunda entre los diferentes componentes es de unos 27,5 Hz. También ha apreciado los rasgos comunes que hay entre los componentes de la nota la0 : coincidencia en el 310

tiempo del ataque, forma similar en el ataque, horizontalidad, atenuación exponencial, etc. Y a partir de todo ello ha reconocido que todos esos componentes forman parte de la nota de piano la0 , con independencia de que sepamos nombrarla o no. Gracias a esta capacidad de nuestra percepción auditiva podemos oír las notas graves de cualquier obra musical en un reproductor de música de no muy buena calidad, a pesar de que, en líneas generales, éstos no acostumbran a reproducir frecuencias más bajas de 50 Hz. En el segundo vídeo he elegido un ejemplo diferente. Empezamos oyendo la nota la2 del piano (110 Hz), pero en los sucesivos ataques le he ido quitando de forma artiﬁcial diferentes componentes de la estructura armónica. La duración de la ventana de análisis ha sido en esta ocasión 0,08 segundos, pues he pensado que, al estar los componentes más separados, esta duración era ya suﬁciente para apreciar con claridad la estructura armónica (insisto en que ahora nos interesa ver los componentes frecuenciales de la estructura, no su evolución temporal).

Figura 13.3: Vídeo con el espectrograma de la nota la2 de un piano a la que se le quitan progresivamente sucesivos armónicos.

Podemos comprobar que, aunque vayan cambiando las cualidades sonoras de la nota, en las tres ocasiones escuchamos un la2 . En el primer caso, tenemos la nota emiti311

da por el piano sin modificación alguna. La estructura armónica está completa: se aprecian claramente los primeros doce armónicos, se insinúan el decimotercero y el decimocuarto, y el decimoquinto aparece con claridad, aunque de forma intermitente. En el segundo caso he eliminado el primero y el segundo armónico, pero los cambios producidos en el sonido han sido escasos: una cierta pérdida de graves en la cualidad sonora que solamente será apreciada en un reproductor con suficiente calidad. En el tercer caso he eliminado los cinco primeros armónicos. Apreciamos ahora que el cambio en la cualidad sonora ha sido muy importante, casi no parece una nota de piano, pero la identificación de la altura tonal de la nota como un la2 no ha sufrido en absoluto. Así pues, con estos dos ejemplos hemos podido experimentar cómo actúa nuestra percepción auditiva para reconocer la estructura del objeto, incluso cuando la serie armónica presenta numerosas lagunas, e identificar de esta manera las notas musicales.

13.4.

Percepción de la consonancia entre sonidos musicales

El concepto de consonancia del que voy a ocuparme a continuación no tiene nada que ver con la consonancia entendida como eufonía, es decir, con el hecho de que dos o más sonidos emitidos simultáneamente nos suenen mejor o peor. Hay disonancias claramente eufónicas. Por poner un ejemplo, en mi opinión, el acorde de séptima disminuida suena deliciosamente bien y es un auténtico paradigma de la disonancia. Por otra parte, no voy a tratar aquí de las convenciones que en cada momento histórico del desarrollo de nuestro lenguaje musical han considerado consonantes o disonantes determinados intervalos musicales, o unas u otras agrupaciones de sonidos. Por ejemplo, en unos contextos armónicos el intervalo de cuarta es tratado como disonante y exige resolución, mientras que en otros es considerado como consonante. Aquí vamos a atender a los fundamentos acústicos y psicoacústicos de la consonancia entre sonidos musicales, es decir, tanto lo que concierne a su propia constitución física como a las características de nuestra percepción musical que permiten que reconozcamos la consonancia, con total independencia de los criterios estéticos de cada 312

época o de las apreciaciones subjetivas de un número mayor o menor de oyentes. Nos interesa ahora atender a los sonidos reales, es decir, a sonidos individualizados complejos y distintos, tal como surgen de la voz y de los instrumentos, cada uno con su propia marca tímbrica. Cuando dos notas suenan a la vez puede ocurrir, o bien que permanezcan independientes una de la otra, o bien que se acoplen y produzcan una mezcla consonante. En el capítulo 6 vimos que la consonancia entre sonidos simples se debe a que la mezcla resultante tiene una periodicidad que nuestro sistema auditivo es capaz de reconocer y que esa periodicidad viene dada por la conmensurabilidad próxima entre sus frecuencias. Pero en la mayor parte de las ocasiones los sonidos musicales son compuestos, es decir, están formados por un buen número de componentes cuyas frecuencias forman entre sí una estructura armónica. En estos casos, la percepción de la consonancia está en relación directa con la posibilidad de organizar los componentes de la mezcla resultante en una nueva estructura armónica más o menos completa. Dicho de otra manera, la combinación de los componentes de los sonidos musicales que intervienen en la mezcla ha de formar una estructura lo suﬁcientemente armónica como para que nuestra mente sea capaz de reconocerla, completando los elementos que faltan si es necesario. Cuando eso sucede nosotros percibimos la mezcla resultante como una entidad musical a la que llamamos consonancia. En este sentido podemos decir que la consonancia se produce cuando al mezclarse dos o más sonidos musicales se crea una nueva estructura armónica o casi armónica. Pero la mezcla consonante no es una combinación de componentes simples en la que cada uno de ellos se disuelve y desaparece, como hemos visto que ocurre cuando se combinan componentes sinusoidales para formar el sonido armónico compuesto. Las marcas tímbricas que caracterizan a cada sonido impiden que la mezcla se comporte como una mera suma de componentes sinusoidales que daría lugar a un nuevo y único sonido. Por el contrario, cuando se unen sonidos consonantes, cada uno de ellos sigue estando presente en el sonido resultante, de modo que, si prestamos atención, podemos seguir distinguiendo cada uno de los sonidos que se mezclan. Salvo cuando los intérpretes pretenden anular las individualidades y fundirlas en una masa coral, como ocurre con las diferentes secciones de cuerda de una orquesta, el timbre

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de cada sonido de algún modo permanece y deja su huella en la textura de la mezcla consonante. En realidad, éste es el sentido preciso del concepto de “armonía”, concepto que se fundamenta en la consonancia natural y que tanto ha inﬂuido en el pensamiento de Occidente. La armonía es la buena mezcla, la mezcla hecha de tal modo que resulta una nueva entidad más rica y compleja, un conjunto bien trabado, pero un conjunto en el que las partes no se disuelven, sino que siguen manteniendo su individualidad. Para comprender en qué consiste la consonancia entendida como mezcla, así como para observar los diversos tipos de consonancias naturales, voy a presentar varios vídeos en los que los sonidos van acompañados de su correspondiente espectrograma. En los ejemplos suena primero cada una de las dos notas por separado y luego el sonido resultante de su “emisión simultánea”. Esta “emisón simultánea” ha sido simulada mezclando las dos notas con ayuda de un editor de sonido, con la ﬁnalidad de que las notas presentes en la combinación sean exactamente las mismas que las que han sido emitidas por separado.

13.4.1. Consonancia y disonancia En primer lugar voy explicar la diferencia entre consonancia y disonancia, para lo que voy a poner un ejemplo de cada una de ellas. Como consonancia he elegido el unísono, la más perfecta de las consonancias, y como disonancia, una séptima menor. En ambos casos he combinado la misma nota de piano, el sol3 , con otra nota de violín; en el ejemplo de la consonancia, con otro sol3 , y en el de la disonancia, con un fa4 . Comencemos con el ejemplo de la consonancia.

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Figura 13.4: Vídeo con el espectrograma de una nota de piano y otra de violín al unísono.

Oigamos cómo suenan y paremos luego el vídeo en cualquier momento para ver el espectrograma. La columna izquierda del espectrograma corresponde al sol3 del piano, la columna del medio al sol3 del violín y la de la derecha a la emisión simultánea de ambas notas. En el espectrograma observamos que el número y la estructura de los componentes frecuenciales de las dos notas simultáneas (los armónicos de la columna de la derecha) vienen a ser el resultado de la combinación de los componentes de las dos notas emitidas por separado (los de las columnas de la izquierda y del medio). Enseguida entendemos por qué las dos notas se han mezclado tan bien. En efecto, comprobamos que ambas notas comparten un buen número de sus componentes frecuenciales, lo que era de esperar al tratarse de un unísono. Observamos, además, que la combinación resultante también posee un patrón armónico. En una primera ojeada, y especialmente si atendemos solo a los siete primeros componentes, podríamos pensar que estamos ante un único sonido individual, pues en la estructura frecuencial no encontramos nada de particular diferente de la que posee un único sonido armónico compuesto. La capacidad de nuestra percepción musical para reconocer el patrón armónico ha funcionado también aquí: ha reuniﬁcado los componentes frecuenciales y ha reconstruido una nueva unidad. Ahora bien, la cosa no es tan sencilla. Con esto queda explicada solamente la parte unitaria de la mezcla consonante, el hecho de que estos sonidos se mezclen bien y 315

den como resultado una nueva unidad; pero nos falta entender por qué en la mezcla se sigue reconociendo el sonido de las dos notas, la de piano y la de violín, es decir, por qué, a pesar de esa buena mezcla, se conservan los elementos individuales. En efecto, si volvemos a escuchar el ejemplo, nos damos cuenta de que en la emisión simultánea también podemos seguir oyendo con claridad cada una de las dos notas: en función de sus propias dinámicas hay momentos en los que el piano se destaca más (como por ejemplo, en el ataque) y hay otros en los que es el violín el que domina (como sucede cuando el volumen de la nota de violín se mantiene elevado mientras la nota de piano se encuentra ya muy amortiguada). Tendremos que fijarnos con más detenimiento en el espectrograma para entender por qué se siguen oyendo las dos notas individuales. En muchos componentes de la columna de la derecha (la de las dos notas simultáneas) reconocemos las mismas marcas tímbricas específicas del piano o del violín que están en los respectivos componentes de las notas dadas por separado (las columnas izquierda y central). Por ejemplo, vemos que ese punto luminoso que destaca en el primer componente de la nota de piano sola o esa línea vertical que señala el ruido inicial del ataque aparecen de nuevo en los componentes del sonido mezclado; y también que ese dibujo de la nota de violín solo, que indica que se está manteniendo la amplitud sin amortiguación, se repite en los componentes de las dos notas mezcladas, igual que se repite el elevado número de componentes armónicos superiores y su permanencia en el tiempo. Podemos concluir, así pues, que en la mezcla consonante se conservan buena parte de los rasgos tímbricos de cada uno de los sonidos individuales que la componen, lo que explica que percibamos una nota de piano y otra de violín dadas simultáneamente y no un único sonido con otro timbre diferente. Pero hay también otros elementos que se pueden observar en la mezcla y que no están en los sonidos individuales. Podríamos decir que son algo así como los efectos colaterales de la mezcla. En el armónico sexto y en otros superiores podemos observar unas discontinuidades —que en el oído se traducen en la percepción de pequeños batidos—, las cuales son el resultado de la inarmonicidad de los componentes del piano interactuando con la armonicidad casi total de los componentes de violín. En efecto, la progresiva “desafinación” de los componentes superiores del piano choca con la afinación casi perfecta del violín y provoca esas interferencias. Este abrirse de los componentes frecuenciales de las notas del piano, que contribuye a mantener la 316

individualidad de cada una de las notas emitidas, llega a plasmarse en los armónicos superiores en las dos líneas distintas y próximas que se aprecian en la columna derecha del espectrograma. Así pues, hasta aquí hemos podido comprobar que la consonancia consiste en la combinación de dos condiciones aparentemente opuestas. Por un lado, la posibilidad de que dos sonidos distintos emitidos simultáneamente sean reconocidos como uno solo: al compartir un buen número de componentes frecuenciales y al poseer un patrón armónico, el resultado de la combinación de dos sonidos consonantes es una nueva entidad sonora unitaria. Y, por otro, la pervivencia en la mezcla, en esa nueva entidad sonora que ha surgido, de ciertos rasgos propios de cada uno de los sonidos individuales, lo que impiden la disolución total de las partes. Todo esto explica que haya instrumentos que se amalgamen más o menos, que empasten entre sí mejor o peor. Y también que la combinación de piano y violín, en la que se mantiene muy bien la individualidad de los sonidos, haya obtenido un amplio reconocimiento en la literatura musical clásica. Veamos el caso opuesto, aquél en el que las notas no se mezclan y se produce la disonancia. Utilizo la misma combinación de piano y violín.

Figura 13.5: Vídeo con el espectrograma de una nota de piano y otra de violín formando un intervalo de séptima menor.

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Comprobamos en el espectrograma que ambos sonidos no comparten apenas material sonoro. Además, ahora no se puede distinguir en el sonido compuesto un único patrón armónico. Por el contrario, en este sencillo caso es perfectamente posible reconocer los dos patrones armónicos de cada nota por separado. Los dos sonidos se producen simultáneamente, pero sus componentes no se mezclan prácticamente nada. Si comparamos las columas de la izquierda (la nota del piano) y del medio (la nota de violín) con la columna de la derecha del espectrograma (las dos notas simultáneas) podemos apreciar con claridad a qué instrumento pertenece cada componente de esta última columna. Tenemos en este caso dos notas que suenan perfectamente bien al ser emitidas simultáneamente, pero que no son para nada consonantes, pues no se han mezclado en absoluto. En resumen, la consonancia supone la mezcla de dos o más sonidos, mientras que en la disonancia existe solamente una reunión simultánea, pues los sonidos permanecen sin mezclarse. Para que exista consonancia se han de producir dos condiciones: 1) que los dos sonidos compartan buena parte de su material sonoro, es decir, que tengan en común la mayor parte de sus componentes; 2) que la mezcla resultante guarde un patrón armónico. Pero la consonancia es una categoría relativa: unas mezclas son más consonantes que otras. Existe, por decirlo de algún modo, una cierta degradación en los niveles de consonancia, una creciente imperfección de la mezcla, desde el unísono hasta la disonancia. Conforme las dos notas compartan mayor número de componentes y conforme el patrón armónico del sonido resultante sea más completo, sin huecos en su estructura, mayor será el grado de su consonancia. Lo que hace que dos notas sean más o menos consonantes es el grado de conmensurabilidad entre sus frecuencias: cuanto más próxima, más consonante es la mezcla. La progresión es la siguiente: unísono 1:1 (igual); octava 2:1 (doble); octava y quinta 3:1 (triple); doble octava 4:1 (cuádruple); quinta 3:2 (sesquiáltera); y cuarta 4:3 (sesquitercia). Más allá de estas razones la consonacia desaparece. Los nombres de los intervalos consonantes proceden de su orden en la escala de referencia que fue ya formulada por los teóricos musicales griegos.

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13.4.2. Consonancia de octava, de quinta y de cuarta Veamos ahora algunas situaciones en las que las mezclas de dos sonidos, aun siendo consonantes, no son tan perfectas como el unísono. Me voy a limitar a analizar los intervalos consonantes que no superan el marco de la octava. Estos son, en orden de mayor a menor grado de integración de sus sonidos, los siguientes: la octava, la quinta y la cuarta. La frecuencia de una nota que está a una octava superior es el doble de la frecuencia de la nota inferior; la de una quinta es 3:2 veces la de la nota inferior, y la de la cuarta es de 4:3. Comienzo con el intervalo de octava. Veamos, así pues, un ejemplo en el que he juntado la nota sol3 del violín anterior y la nota sol4 dada ahora por un clarinete en sib. Las notas no están perfectamente aﬁnadas. La frecuencia de la nota de violín es de 195,9 Hz y la de la nota de clarinete es de 394,5 Hz. Por eso el primer armónico de la nota de clarinete (394,5 Hz) está ligeramente más alto que el segundo armónico de la nota de violín (195,9 x 2 = 391,8 Hz). Pero estas diferencias no son signiﬁcativas y lo que nos interesa es experimentar lo que ocurre cuando se mezclan sonidos reales, como sucede de ordinario en la música, no situaciones teóricas de laboratorio.

Figura 13.6: Vídeo con el espectrograma de una nota de violín y otra de clarinete formando un intervalo de octava.

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Los componentes de una nota que está a un intervalo de octava superior tienen todos la frecuencia doble del componente equivalente de la nota que está una octava baja. Lo podemos verificar fácilmente al observar la estructura de los componentes correspondiente a la nota de clarinete emitida sola. Recordemos también que el sonido del clarinete se caracteriza, en general, por el predominio de los armónicos impares, como también podemos observar en este espectrograma. No obstante, en la estructura de los componentes correspondiente a las dos notas emitidas simultáneamente también vemos con claridad la presencia de un patrón armónico. En principio podríamos decir que se trata de un solo sonido armónico. El primer armónico pasa casi totalmente desapercibido, pues también pasa desapercibido en la nota aislada de violín y el clarinete no puede añadir nada, ya que su espectro no forma parte de la composición de esa nota que está a octava superior. Pero el resto de los componentes sí están presentes, con mayor o menor importancia. Esa estructura armónica hace que nuestra percepción reconozca allí una unidad sonora, un sonido armónico. El grado de integración de los componentes es también muy elevado, casi equiparable al del unísono. Y también observamos ahora la permanencia de las marcas tímbricas individuales de cada uno de los sonidos. Así, por ejemplo, podemos fijarnos en el predominio de los componentes impares, propio de la sonoridad del clarinete, o en la riqueza de los armónicos superiores característica de la nota de violín. Por otra parte, surgen también una serie de fenómenos nuevos resultantes de la mezcla, como la aparición de esas intermitencias en numerosos componentes que son el resultado de las ligeras diferencias en afinación entre los dos instrumentos, como hemos visto al estudiar los batidos. Resumiendo, podemos decir aquí algo muy similar a lo que dijimos acerca del unísono: se reconoce claramente un patrón armónico que explica la fusión y se mantienen a la vez ciertas peculiaridades tímbricas que justifican la permanencia de la individualidad de cada uno de los sonidos constitutivos de la mezcla. La relación de octava —es decir, la relación 2 a 1, que es una conmensurabilidad muy cercana— da lugar a un intervalo claramente consonante. Veamos ahora lo que sucede en el caso de intervalos cuya conmensurabilidad no es ya tan inmediata. Los ejemplos que voy a presentar a continuación tienen como característica común que los sonidos que constituyen el intervalo consonante proceden del mismo instrumento, un piano. En el primer ejemplo examinaremos lo que sucede en un intervalo de quinta, donde la relación entre sus frecuencias es de 3:2 (relación 320

sesquiáltera); y en el segundo ejemplo analizaremos cómo se comporta un intervalo de cuarta, cuyas frecuencias están en la relación 4:3 (sesquitercia). Para facilitar la observación he elegido unas notas del registro medio-agudo, donde el número de componentes por nota es ya relativamente bajo.

Figura 13.7: Vídeo con el espectrograma de dos notas de piano formando un intervalo de quinta.

En el espectrograma podemos comprobar que tres componentes de la nota la4 , en la columna de la izquierda, se corresponden con dos componentes de la nota mi5 , en la columna del medio. En efecto, la frecuencia del componente fundamental de la nota mi5 (659,3 Hz) está casi en una relación de 3 a 2 respecto a a la frecuencia fundamental de la nota la4 (440 Hz). En el sonido resultante de la mezcla, en la columna de la derecha, es posible percibir una cierta aproximación a un patrón armónico, si bien imperfecto. Este patrón armónico tendría como fundamental un supuesto primer armónico, cuya frecuencia sería la mitad de la del primer armónico de la nota la4 y la tercera parte de la de la nota mi5 , pues el componente fundamental del sonido mezclado habrá de ser el máximo común divisor de los fundamentales de las dos notas que han intervenido en la mezcla (es decir, con independencia del margen debido al temperamento, 220 Hz). En la descomposición espectral del sonido mezclado —el de columna derecha— no aparece como es lógico ese supuesto primer 321

armónico, pero podemos deducirlo de la estructura armónica, en la cual podemos observar que los componentes se corresponden con los de las notas sin mezclar: el segundo armónico coincide con el primer armónico de la nota aislada la4 ; el tercer armónico es el mismo que el primer armónico de la nota mi5 ; el cuarto armónico es el segundo armónico de la nota la4 ; el quinto armónico está ausente, ya que no podría corresponder a ningún componente armónico de ninguno de los dos sonidos aislados; el sexto armónico es el resultado de la aportación de ambos sonidos originales (el tercer armónico de la4 y el segundo de mi5 ); y así sucesivamente. Es decir, es posible detectar un cierto patrón armónico, pero lleno de huecos. Si a esta deficiencia en la estructura armónica del sonido mezclado unimos la fuerte pervivencia de las marcas individuales de cada uno de los sonidos emitidos (entre otras, el ataque individual, claramente destacado, de cada uno de las notas aisladas que queda reflejado en las correspondientes marcas luminosas iniciales), el resultado es la prevalencia de la percepción individualizada de los sonidos. En efecto, en el vídeo podemos apreciar que las notas se mezclan, pero su integración sonora es mucho menor que la de la consonancia de octava. Ello se debe, sobre todo, a que la estructura armónica está llena de huecos. Las marcas tímbricas individuales, al pertenecer al mismo instrumento e incluso al mismo registro y estar dadas con el mismo tipo de ataque, son menores, pero son lo suficientemente significativas como para mantener la individualidad de los sonidos. Hay que añadir también una circunstancia que pertenece a nuestro sistema cognitivo: sabemos cómo suena una nota aislada de piano, por lo que ese doble ataque que oímos en el sonido mezclado no nos confunde, sino que percibimos dos sonidos emitidos simultáneamente y no uno solo. Algo similar, pero con un menor grado de integración todavía, ocurre en el caso de la consonancia de cuarta, aquella que se establece entre dos sonidos cuyas frecuencias están en una relación 4:3.

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Figura 13.8: Vídeo con el espectrograma de dos notas de piano formando un intervalo de cuarta.

Ahora podemos apreciar en el espectrograma que por cada cuatro componentes de la nota la4 hay tres de la nota re5 . En el sonido resultante de la emisión simultánea de las dos notas es más difícil distinguir un único patrón armónico. Tendríamos que suponer la existencia de un componente fundamental que fuera la tercera parte del componente primero de la nota la4 y la cuarta parte del componente primero de la nota re5 . Esa supuesta estructura armónica del sonido mezclado tendría el primer y segundo armónico ausentes; el tercero y el cuarto corresponderían al primero y segundo de los respectivos sonidos aislados; necesariamente el quinto, séptimo, undécimo y duodécimo componentes estarían ausentes. Podemos darnos cuenta de que si bien aun es posible distinguir un cierto patrón integrador, su debilidad es maniﬁesta, dado el número y relevancia de sus lagunas. Así mismo, las marcas individuales de cada sonido perviven claramente. El resultado es que nosotros oímos un sonido compuesto, que en cierto modo parece mezclarse algo, pero en el que predomina por completo la individualidad de los componentes. Pienso que, en lo que concierne a la reunión de solamente dos sonidos simultáneos, el límite perceptivo de la mezcla está en la relación de conmensurabilidad 4:3, la del intervalo de cuarta, pues incluso aquí es dudosa la plena integración de dos sonidos en uno solo. Esta carácter ambiguo de la cuarta explica que haya sido considerada como consonancia o como disonancia en función de otras categorías propias de cada idioma musical. 323

Como conclusión podríamos decir que para que se produzca la consonancia es necesario el reconocimiento de un patrón armónico en el sonido resultante de la mezcla, el mismo que constituye necesariamente todo sonido musical, todo sonido que tiene una frecuencia determinada y que es percibido por nuestro sistema cognitivo como una nota. De ese modo percibiremos la mezcla como una unidad. Nuestro cerebro ha “aprendido” a reconocer el patrón de la serie armónica (de uno u otro modo, ya sea porque la serie armónica está presente en todos los ámbitos de la naturaleza, ya porque culturalmente estamos desde nada más nacer inmersos en la música que ha sido compuesta mediante la serie armónica). Por lo tanto, hay una tendencia a entender como uniﬁcador todo aquello que tenga que ver con ese patrón de la serie armónica. La percepción de una mezcla de sonidos consonantes se asemeja hasta cierto punto a la percepción unitaria de un solo sonido armónico compuesto de componenetes frecuenciales, pues, en tanto que se mezclan bien, percibimos como unidades aquellos sonidos cuyas frecuencias son múltiples o conmensurables próximas. Pero, a la vez, en la percepción de la consonancia hay un reconocimiento de la individualidad de cada sonido, de cada voz, que la diferencia de la percepción de un sonido compuesto, donde no se aprecia ninguna parte constituyente. Si ese reconocimiento de la individualidad no se produce estaremos más próximos a hablar de un sonido coral, es decir, de un conjunto de sonidos individuales fundidos en una sola voz, la voz del coro.

13.5.

Conclusión

En este capítulo hemos estudiado cómo percibimos el sonido musical en un entorno acústico, identificándolo por sus marcas tímbricas y reconstruyendo su patrón armónico, con los límites que nuestro sistema auditivo tiene para distinguir componentes próximos. Así mismo hemos podido experimentar que reconocemos dos sonidos musicales como consonantes cuando su estructura armónica posee suficientes elementos en común como para que nuestra percepción auditiva sea capaz de percibir una nueva estructura lo suficientemente armónica, a la vez que seguimos reconociendo su individualidad gracias a sus marcas tímbricas.

324

Capítulo 14 La voz musical

14.1.

Introducción

La tarea de la percepción musical no acaba con la identificación de los sonidos, sino que exige también la asignación de cada uno de ellos a un sujeto, a una voz. En efecto, la música requiere la organización en voces de todo el material sonoro. Para ello se sirve tanto de las marcas tímbricas que cada sonido posee, como de las leyes sintácticas del lenguaje musical, que son las que establecen los criterios de continuidad. Esta es la razón por la que para los antiguos teóricos musicales la voz era la primera categoría musical, de tal modo que los sonidos eran definidos a continuación como las partes más pequeñas de la voz musical. En ese mismo sentido, este capítulo pretende servir de puente entre la acústica y la teoría musical, cerrando, por un lado, el conjunto de nociones acerca del sonido que, a mi juicio, debería conocer un músico, e iniciando, por otro, el primer tema propiamente musical, la naturaleza específica de la voz musical y su origen en la prosodia del habla. La voz musical se diferencia de la del habla en que mantiene las alturas tonales durante el tiempo suficiente como para que seamos capaces de percibir las notas y, en lugar de discurrir de forma continua, va a saltos a través de intervalos. A lo largo de este capítulo voy a mostrar que nuestro lenguaje musical es el resultado de la aplicación de números al movimiento continuo de la voz del habla, o dicho de otra manera, que la voz musical se origina a partir de la discretización de la prosodia del habla. 325

Para ilustrar el concepto de voz musical y para poder entender con claridad en qué sentido la música surge al establecer números sobre el movimiento de la voz, he elegido cuatro ejemplos que, debido a las características del instrumento y de la interpretación, muestran una progresión clara desde el movimiento totalmente continuo de la voz en el habla (ejemplo 1) hasta la estabilidad de las alturas tonales en el piano (ejemplo 4). Por otra parte, para permitir apreciar cómo es la voz en cada caso he realizado mediante Matlab un tipo de representación gráfica que dibuja el movimiento de la voz, a la que podríamos llamar “melograma” (del griego mélos, melodía, y grámma, dibujo), y que atiende especialmente a nuestra cognición musical. Si el espectrograma se asemeja a la manera en la que nuestro sistema auditivo descompone el sonido, como hemos visto en el capítulo dedicado a la fisiología de la audición, esta forma de representación va a integrar de nuevo el objeto musical armónico y va a mostrar la evolución de sus parámetros a lo largo del tiempo. Como en el espectrograma, también en el melograma la coordenada horizontal representará el tiempo, la vertical la frecuencia (traducida ahora a altura tonal y por ello expresada en cents) y la escala de color la mayor o menor intensidad, ahora vista como volumen sonoro. La transformación en altura tonal y en volumen sonoro de la frecuencia y la intensidad utilizará la escala logarítmica que vimos en el capítulo 5. Tomaré como punto de partida la nota la0 a la que asignaré 0 cents y desde allí el número de cents irá incrementándose. Así, por ejemplo, 1.200 cents corresponderá a la1 , 2.400 a la2 , y así sucesivamente. Para mayor claridad, a la izquierda del número de cents figurará el nombre de la nota correspondiente en nuestra escala temperada. Respecto al volumen sonoro será el resultado de la traducción de la intensidad sonora a decibelios, expresados utilizando la misma escala de color, habitual ya en los espectrogramas. Tenemos también que tener presente que el melograma sólo representa aquellos momentos en los que la voz está constituida por sonidos armónicos, es decir, en los que es posible definir una frecuencia y en consecuencia percibimos una altura tonal, mientras que aquellas partes en las que domina el ruido no están representadas, como es el caso de la mayoría de las consonantes o el del ataque inicial de las notas de piano.

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14.2.

El concepto de voz musical

Dos son las razones que justifican que el concepto de voz sea el fundamento de nuestra teoría musical. La primera y más importante es que el discurrir de la voz, y no los sonidos aislados, es la realidad más inmediata con la que nos encontramos en la música. La segunda es que el modelo sobre el que se ha construido nuestro lenguaje musical es la voz humana en el habla. En nuestra música hablamos de voz o voces para referirnos a las diferentes estructuras melódicas que conviven en el desarrollo de una pieza musical, pero que mantienen su identidad y su sentido. Y se llaman voz o voces precisamente porque su referencia es la voz humana en el habla, con toda su expresividad, emotividad y matices retóricos. En efecto, la asignación de voces es la forma inicial en la que organizamos el material sonoro con la finalidad de hacerlo inteligible. Por naturaleza nuestra percepción busca siempre distinguir voces en medio del fondo sonoro, de la misma manera que busca figuras en las imágenes visuales. Es la manera de poner orden en el complejo sonoro que llega a nuestros oídos, de darle forma y dotarlo de significación. Si prestamos atención al ruido de tráfico de una carretera, por ejemplo, lo primero que nos surgen son “voces” en medio del ruido: la “voz” de la motocicleta, la “voz” del camión, etc. Organizamos cualquier material sonoro diverso en voces, es decir, en protagonistas, en “personajes”. Encontramos, así pues, que la voz lleva asociada la idea de identidad, la de individualidad. La voz posee una marca, un distintivo, lo que hoy llamamos, precisamente por eso, un timbre, algo que le da una personalidad propia capaz de ser distinguida en medio de otras voces o de un ruido confuso. La palabra “voz” nos trae a la mente que hay un sujeto que está detrás, que hay un “alguien” que dice algo o, en música, que canta algo. Entre todas las informaciones que transmite la voz, hay una de especial relevancia: es su propio auto-identificador. La voz está diciendo constantemente “quién es”, y esto lo hace de múltiples maneras, de las cuales el timbre es quizás la más evidente. Por ejemplo, la voz del contralto puede ascender por encima de la del tiple y la del tiple, obviamente, descender por debajo de la del contralto, pero la voz del contralto seguirá siendo la del contralto y la del tiple la del tiple y el oyente no tiene ningún problema, incluso aunque se mezclen unas con otras, en reconocer cada una de esas voces. 327

En medio de una partitura, con sonidos simultáneos que suben y bajan y se entrelazan en todas las direcciones, podemos distinguir el desarrollo de cada una de las voces. No en vano “cantar las voces” es uno de los objetivos más importantes de todo instrumentista, muchas veces lo que diferencia al buen intérprete del mediocre. Por ejemplo, cualquiera que está aprendiendo a tocar el piano lo primero con lo que se encuentra es con la dificultad de dar las notas. Solo más tarde esas notas pasan a formar parte de “ideas musicales”, y todavía mucho más tarde, y después de mucho esfuerzo, surge en él la capacidad de entender y de contar la multiplicidad de “ideas” que laten en medio de la maraña de una partitura compleja y que se ponen de manifiesto en el juego de las diferentes voces. En efecto, estas ideas habitan la partitura de mil formas: unas veces en las voces intermedias, donde pasan casi desapercibidas; otras, perfiladas por notas que a veces están distanciadas entre sí por compases enteros; otras entre los extremos de los arpegios que acompañan muchas veces a las melodías; etc. Entonces es cuando la partitura comienza a tomar vida y deja de ser una amalgama de sonidos incomprensibles y mecánicamente ejecutados, para pasar a ser un conjunto de voces trabadas en el que cada una cumple su función y dice sus ideas. Esto, que puede parecer propio solo de los instrumentos capaces de dar notas simultáneas como el piano, se da también en instrumentos tan aparentemente poco dotados para la polifonía como el violín. ¡Cuántas veces hemos oído alabar la interpretación de un violinista diciendo que parecía un dueto! ¿Cómo podemos oír en un simple violín una fuga a tres voces? La música es cosa de voces y la tarea del instrumentista es “decir” las voces y expresar mediante ellas emociones y sentimientos. Algo parecido podríamos haber dicho del que aprende a escuchar música, porque aprender a escuchar música no es otra cosa que aprender a oír voces y a distinguir las ideas musicales que ellas van diciendo. Así es como cobra su pleno sentido la emoción de la música. Dejando ya los aspectos cognitivos que justifican el carácter primigenio del concepto de voz en música, pasaré ahora a explicar en qué sentido digo que la voz humana ha sido el modelo sobre el que se ha construido nuestro sistema musical. La voz ha sido nuestra principal herramienta de comunicación con el mundo, en un proceso evolutivo que probablemente ha ido desde los primeros gruñidos, gritos y demás ruidos inarticulados, hasta las construcciones más elaboradas del habla y de la música.

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En el habla la voz ha codificado principalmente tipos de ruidos distintos (las diferentes consonantes) y posiciones distintas de resonancias del órgano vocal (las diferentes vocales). Mediante combinaciones de ambos elementos hemos ido adquiriendo la capacidad de nombrar las cosas y de contar nuestras experiencias. Por ejemplo, si decimos la frase “quiero esto”, estamos utilizando el ruido “k” para empezar, luego el ruido “r”, después la especie de silbido “s”, y por último el ruido “t”. Para ayudarnos a articular estos ruidos, especialmente aquellos de muy corta duración, nos servimos de unos sonidos vocálicos, los cuales, a diferencia de los ruidos de las consonantes, sí poseen una altura tonal y tienen una duración suficiente. No obstante, no diferenciamos estos sonidos vocálicos por su altura tonal, sino por la manera en la que los hacemos resonar variando la posición de nuestro aparato fonador. En este ejemplo hemos utilizado tres conjuntos de resonancias vocálicas distintas: las propias de la “i”, las de la “e” y las de la “o”. No es posible explicar aquí qué son las resonancias específicas de cada vocal, ni cómo son ni en qué consisten las articulaciones de los sonidos que constituyen la cadena hablada; ahora nos interesa atender sólo a aquellos aspectos del habla que van a tener mayor repercusión en la música, en concreto, la altura tonal de los sonidos vocálicos. Así pues, la voz hablada no consta sólo de ruidos, sino también de sonidos vocálicos que, aunque se distinguen por la forma de su resonancia (los denominados formantes propios de cada vocal) poseen una altura tonal. Pero en el habla la altura tonal en la mayoría de las lenguas no está prácticamente codificada y no lleva, por lo tanto, una parte importante de significación léxica. Aunque sí posee otra función muy importante: la altura tonal es la que organiza las palabras y las frases y, sobre todo, permite unir a la expresión de los conceptos los matices emotivos del hablante. La altura tonal, junto con la intensidad sonora y la duración temporal de las sílabas, constituyen los aspectos más importantes de lo que en general se denomina prosodia del habla. En el caso de la música occidental el modelo sobre el que se ha construido el lenguaje musical ha sido la voz humana en el habla. Con esto no quiero decir que todo lenguaje musical tenga que surgir necesariamente ligado al habla, sino sólo que nuestro sistema musical lo ha hecho así: ha nacido en íntima relación con los aspectos prosódicos del griego antiguo, tanto en lo que concierne a las alturas tonales como a las duraciones. Los elementos de nuestro lenguaje musical (sonidos, intervalos, escalas, tiempos, compases) son el resultado de una abstracción de los aspectos prosódicos de 329

la voz hablada, es decir, de aquellos aspectos que, como su nombre indica, son afines al canto (“prosodia” viene de ōdē, canto), los cuales son precisamente los que llevan en mayor medida la significación emotiva. Esta abstracción ha consistido en fijar numéricamente las alturas tonales y las duraciones, y en establecer entre ellas un sistema de proporciones. Con independencia de su evolución histórica, esta abstracción es un proceso lógico que ha dado lugar a un sistema de codificaciones capaz de expresar y transmitir una significación emotiva. Así pues, la voz musical, a diferencia de la voz del habla, es el resultado de la codificación de las alturas tonales de los sonidos y de sus duraciones.

14.3.

El movimiento de la voz en el recitado de la primera estrofa de la Oda a la flor de Gnido de Garcilaso de la Vega

Comencemos examinando cómo es el movimiento de la voz en el habla. Veámoslo en la declamación de la primera estrofa del poema de Garcilaso de la Vega, Oda a la ﬂor de Gnido. He elegido este poema como homenaje al instrumento sobre el que se basó la construcción de nuestro sistema musical, la lira. Garcilaso, además, es de los primeros poetas castellanos que vuelven su mirada al mundo antiguo, como queda reﬂejado claramente en el poema, y es el inventor de esta estrofa, la lira, en la que se combinan los versos endecasílabos, muy ligados al habla natural, con los de siete sílabas. Los versos son: Si de mi baja lira tanto pudiese el son que en un momento aplacase la ira del animoso viento y la furia del mar y el movimiento,

Veamos en primer lugar un vídeo con el espectrograma del recitado de la estrofa entera.

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Figura 14.1: Vídeo con el espectrograma de la primera estrofa de la Oda a la ﬂor de Gnido de Garcilaso de la Vega.

La declamación es más lenta que lo habitual en un poema y las pausas entre versos son también muy exageradas, pues he pretendido principalmente mostrar con claridad cómo discurre el movimiento de la voz hablada. Pero hemos de tener en cuenta que la prosodia de la voz recitada ya tiene algo de musical: las palabras del poema han sido elegidas por el poeta teniendo en cuenta su sonoridad, su entonación y el ritmo que se deriva de la ordenación de los acentos (por eso se valora la musicalidad de una poesía). Así mismo, en un poema la rima establece la periodicidad del verso, sin necesidad de interrumpir de una manera tan grande como se ha hecho aquí la cadena hablada. Nada de esto se produce en el habla ordinaria, por lo que si hubiera elegido un fragmento del habla común, este tipo de formas que aquí apreciamos con claridad quedarían algo desdibujadas. En el espectrograma vemos claramente separados los cinco versos de la estrofa y podemos distinguir también las diferentes sílabas, tal como han sido pronunciadas. Si nos ﬁjamos, por ejemplo, en el primer armónico, en el componente más grave, podemos también hacernos una idea aproximada del movimiento de la voz. Pero un espectrograma no es la forma de representación idónea para el movimiento de la voz, pues contiene mucha información que nos complica su observación. Ciertamente podemos apreciar que hay una relación clara entre lo que vemos y lo 331

que oímos, pero a la hora de recuperar el mensaje sonoro nuestro cerebro da un paso más que no está recogido en el espectrograma. Como hemos visto en el módulo acerca de la percepción del sonido musical, nuestra mente integra el conjunto de armónicos para recuperar la unidad del sonido y seguir la evolución en el tiempo de los parámetros de ese sonido. Por eso nos viene muy bien utilizar el melograma, una forma de representación gráfica más apropiada para el movimiento de la voz, que reproduzca, aunque sea de manera aproximada, la evolución de los parámetros sonoros que realiza el intérprete y su recuperación por parte de nuestro cerebro. En el vídeo que presento a continuación se muestra el melograma del primer verso de este recitado. Al tratarse de un fragmento de escasa duración podemos apreciar con claridad los detalles del movimiento de la voz. Recordemos que los huecos de la gráfica se corresponden con los sonidos consonánticos que carecen de una altura tonal definida.

Figura 14.2: Vídeo con el melograma de la recitación del primer verso de la Oda a la ﬂor de Gnido de Garcilaso de la Vega.

Pasemos ahora a analizar las características del movimiento de la voz en el habla que se pueden observar en el espectrograma y en el melograma del recitado de estos versos de Garcilaso, atendiendo especialmente a aquellas que poseen cierta validez general. 332

La primera y más destacada es la continuidad del movimiento de la voz en el habla. Si nos pidieran que a partir de estas gráficas precisáramos las notas que se han dado y cuándo, veríamos que esto es algo realmente imposible, pues la voz sube y baja continuamente sin detenerse nunca en ninguna altura determinada. Y eso que estamos ante un recitado, que si fuera en el habla cotidiana esta continuidad sería todavía más exagerada. Por otra parte, el rango tonal del movimiento de la voz en el habla es reducido. En los vídeos vemos que incluso tratándose de un poema recitado, el rango total de la voz en el habla no excede de una octava. La altura tonal más aguda corresponde a la sílaba “fu” de “furia”, que vendría a ser un re3 , y la más grave a la sílaba “ra” de “lira”, que en su punto más grave sería un re2 . Desde la perspectiva musical nos interesa este dato porque es otro elemento a tener en cuenta a la hora de justificar la importancia del intervalo de octava y, especialmente, la importancia de las formas escalares de octava. Sin embargo, si atendemos solamente a cada sintagma, que en este caso coincide con cada verso (a excepción del segundo verso donde hay dos sintagmas), vemos que el rango es más reducido, situándose en torno a una cuarta o una quinta aproximadamente. Así mismo, observamos que cada sintagma se encuentra definido prosódicamente por una fórmula cadencial descendente, es decir, la voz puede iniciarse en el punto más grave o en el medio, sube o baja, pero siempre termina en el punto más grave, habiendo abarcado un intervalo aproximado de cuarta o quinta. El modelo de cadencia descendente en torno a un intervalo de cuarta o quinta es de especial importancia, como se puede ver en el estudio de la teoría musical, para entender la construcción de nuestro sistema musical. El último verso, sin embargo, parece ser una excepción a este modelo. Encontramos que allí no se produce esta fórmula cadencial, sino que, por el contrario, la prosodia termina arriba. Esta ausencia de fórmula cadencial nos informa de que el sentido de la frase queda abierto, que la prosodia exige una continuación. En efecto, la estrofa entera constituye el antecedente de una oración condicional que va a reposar dos estrofas más allá. Observamos también que, en general, el acento supone una elevación de la altura tonal respecto a la sílaba siguiente, junto a un incremento de la intensidad y una mayor duración de la sílaba. En castellano el acento es significativo a la hora de distinguir entre palabras distintas (por ejemplo, “público”, “publico” y “publicó”). 333

Pero este acento se encuentra siempre supeditado e integrado dentro de la fórmula cadencial que organiza los sintagmas.

14.4.

El movimiento de la voz en los compases iniciales del Lamento de Ariadna de Monteverdi

El siguiente ejemplo lo constituyen los seis primeros compases del Lamento de Ariadna de Claudio Monteverdi, compositor representativo de la nueva corriente musical que en la frontera de los siglos XVI y XVII intenta recuperar la música griega antigua y, en especial, el teatro musical griego. Podemos observar los rasgos de este intento en el carácter homófono de esta nueva forma de hacer música, caracterizada por una voz sola acompañada de un bajo continuo que lleva el soporte armónico y por el cromatismo intenso que intenta imitar los géneros cromático y enarmónico que se atribuían a la tragedia griega. La razón principal por la que he elegido este fragmento es por su proximidad a la prosodia del habla. En efecto, se trata de voz cantada, pero, al ser un lamento, es casi un recitativo: el tempo es lento, y el ritmo y la modulación de la voz son muy ﬂexibles. Veamos primero la partitura y luego un espectrograma del fragmento entero y un melograma en el que podremos apreciar el detalle del movimiento de la voz de la segunda frase.

Figura 14.3: Partitura de los compases iniciales del Lamento de Ariadna de Monteverdi.

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Figura 14.4: Vídeo con el espectrograma de los compases iniciales del Lamento de Ariadna de Monteverdi.

Figura 14.5: Vídeo con el movimiento de la voz de la segunda frase del Lamento de Ariadna de Monteverdi.

Comenzaré por lo más evidente que podemos ver en ambas representaciones. El registro en el que se sitúa es mucho más alto que el recitado del poema de Garcilaso. Evidentemente la diferencia de altura tonal entre una voz de hombre y una de mujer es grande, aproximadamente una octava, pero la altura en la que se mueve este 335

lamento es ya muy elevada para una voz hablada. Simplemente, si oyéramos hablar a alguien con una entonación en este registro nos resultaría como mínimo sorprendente. Así mismo, el ámbito de esta idea musical es también superior al de la prosodia: a pesar de su austeridad, aquí recorre la octava entera con agilidad. Por otra parte, los saltos de altura tonal entre sílabas o palabras son impensables en la prosodia del habla (entre sib4 y fa4 , entre mi4 y si4 , y entre re5 y fa4 ). Solamente estos rasgos establecerían ya una diferencia clara entre este pasaje y el de la voz hablada. Pero vamos ahora ya a lo que más nos interesa, el tipo de movimiento de la voz. Si nos fijamos en el melograma de la figura 14.5 vemos que la voz sigue teniendo un cierto carácter continuo, y de hecho no permanece fija prácticamente nunca. No obstante, hay una considerable diferencia con el movimiento de la voz en la declamación del poema anterior: en general, la voz tiende a mantener ahora unas líneas más o menos horizontales. El lenguaje musical ha construido estas “líneas” y ha definido las alturas tonales precisas sobre las que la voz se ha de mantener, o ha de girar en torno, durante un espacio de tiempo lo suficientemente prolongado para ser reconocidas como notas. En este ejemplo, esta tendencia a la horizontalidad parece clara, hasta el extremo de que podríamos aventurar en el melograma las notas que constituyen la melodía. Ahora bien, su altura tonal se modifica a lo largo de la emisión, bien ascendiendo o descendiendo ligeramente, bien oscilando en torno a un valor medio. En la interpretación de estas notas vemos que, por un lado, la cantante ha tendido a imitar la continuidad de la prosodia hablada, deslizando la voz, pero, por otro, ha utilizado un recurso específicamente musical, un vibrato muy rápido y muy amplio. Resumiendo, en la comparación de este fragmento cantado con la declamación anterior, vemos que hay acontecimientos definidos y, en general, separados, que nos permiten identificar como notas musicales cada una de los dibujos del melograma. Podemos también establecer un cierto valor medio en la altura tonal de las notas, pero las libertades expresivas de la interpretación hacen que la determinación precisa de la altura tonal no sea posible en todos los casos.

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14.5.

El movimiento de la voz en el inicio del Adagio de la Sonata I para violín solo (BWV 1001) de J. S. Bach

El ejemplo siguiente corresponde al inicio del Adagio de la Sonata I para violín solo de J. S. Bach, BWV 1001. El violín —y lo mismo podríamos decir de los demás miembros de su familia— es el instrumento que más se asemeja en posibilidades expresivas a la voz humana. No en vano su desarrollo está muy ligado al estilo homofónico que triunfa a partir de 1600 (la seconda prattica que he mencionado a propósito del fragmento de Monteverdi). En efecto, al carecer de trastes, el violín puede dar cualquier altura tonal intermedia dentro de su tesitura (la primera dificultad a la que se enfrenta el violinista es la de afinar bien) y el intérprete puede modificarla con toda libertad a lo largo de su emisión, deslizando la voz de nota en nota o haciéndola oscilar a voluntad. También, al igual que en el canto, puede modificar libremente a lo largo de la emisión la intensidad del sonido e incluso la cualidad sonora, aumentando o disminuyendo el número de sus armónicos. Veamos, igual que en el ejemplo anterior, la partitura, un vídeo con el espectrograma del fragmento entero y otro con el melograma en el que vemos el movimiento de la voz principal de la primera parte de la frase inicial. Como ahora el espectrograma es un poco más complicado, me ha parecido oportuno etiquetar las notas de la melodía.

Figura 14.6: Partitura de la primera frase del Adagio de la Sonata I para violín solo (BWV 1001) de J. S. Bach.

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Figura 14.7: Vídeo con el espectrograma de la primera frase del Adagio de la Sonata I para violín solo (BWV 1001) de J. S. Bach.

Figura 14.8: Vídeo con el melograma que representa el movimiento de la voz del inicio de la primera frase del Adagio de la Sonata I para violín solo (BWV 1001) de J. S. Bach.

Una comparación superﬁcial de este ejemplo con el anterior nos muestra ahora una definición más clara de las alturas tonales y de las duraciones. Así mismo, salvo alguna pequeña excepción en notas muy rápidas y seguidas, el movimiento de la voz es interválico, es decir, la voz va a saltos. La voz se establece con claridad en una 338

altura tonal determinada y procede a intervalos, de modo que resulta imperceptible la transición de una altura a otra, a excepción de la bordadura sib4 -la4 -sib4 donde la ejecución es ligada. En este ejemplo estaríamos ya mucho más cerca de poder definir unas alturas tonales relativamente estables. Esto no se puede atribuir a un rasgo específico del instrumento, sino que ha sido la partitura elegida la que ha condicionado una interpretación más definida en las altura tonales. En lo que concierne a la duración de las notas, vemos también que mantienen un claro patrón de espaciamiento, es decir, una cierta regularidad rítmica. El hecho de que en el espectrograma algunas notas a veces parezcan superponerse a las siguientes es debido a la resonancia de la sala o, en su caso, a la posible reverberación añadida en la grabación. No obstante, un examen más minucioso del espectrograma y del melograma nos permite observar varias características que contravienen esa aparente regularidad y que recuerdan al ejemplo anterior. En primer lugar, la altura de las notas que llevan el mismo nombre no siempre es exactamente la misma. En ocasiones el instrumentista tiende a aproximarse más a la nota inferior o a la superior, alejándose de la afinación temperada, para destacar más la atracción de las notas próximas. A modo de ejemplo, el segundo de los dos fa#4 es casi un cuarto de tono más alto que el primero, lo que podríamos haber apreciado con más claridad que en el espectrograma si hubiera extendido un poco más la duración del movimiento de la voz en el melograma. Así mismo, en las notas cuya duración es más larga se aprecia con claridad una oscilación rápida de su altura tonal, que es el resultado del vibrato producido por el violinista, si bien este vibrato es mucho menos amplio que el que vimos en algunas notas del Lamento de Ariadna. El vibrato tiene principalmente dos finalidades: por un lado, dulcifica la aspereza de la cualidad sonora y, por otro, facilita la afinación, al posibilitar una cierta indeterminación de la altura tonal.

14.6.

El movimiento de la voz en el inicio del Nocturno op.9, nº 1 de Fr. Chopin

Como último ejemplo he elegido un pasaje muy cantabile, el inicio del Nocturno op. 9 nº 1 de Fr. Chopin. Presento en primer lugar la partitura y luego el espectrograma y la representación del movimiento melódico en el melograma. 339

Figura 14.9: Partitura del inicio del Nocturno op. 9 nº 1 de Fr. Chopin.

Figura 14.10: Vídeo con el espectrograma del inicio del Nocturno op. 9 nº 1 de Fr. Chopin.

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Figura 14.11: Vídeo con el melograma del inicio del Nocturno op. 9 nº 1 de Fr. Chopin.

Las imágenes de ambos vídeos presentan unas características muy distintas de todo lo que hemos visto hasta ahora. En el espectrograma vemos que predomina la líneas horizontales, y en el melograma vemos con total claridad un conjunto de líneas horizontales que precisamente se superponen a la retícula que define las alturas tonales de nuestras notas del sistema temperado en el diapasón estándar. Esta horizontalidad en este caso vienen determinada por la naturaleza del instrumento. El piano es un instrumento de afinación fija, en el que el principal parámetro sobre el que puede actuar el pianista es la velocidad de ataque, es decir, la rapidez con la que baja la tecla. Una vez que el macillo queda libre de la tecla mediante el mecanismo de escape ya no hay posibilidad alguna de modificar el sonido (salvo apagarlo antes o después al soltar la tecla y liberar el apagador). Por ello, la mayor parte de la información que el intérprete aporta queda condensada en las milésimas iniciales de su ataque. Si en este ejemplo se nos pidiera de nuevo precisar las alturas tonales del movimiento de la voz utilizando solamente el espectrograma, la respuesta no plantearía ninguna dificultad. En el caso del espectrograma nos bastaría con trazar líneas horizontales que pasaran por el medio de cada figura o mancha de luz. En el melograma la respuesta sería todavía más evidente. Observamos, además, que, como es lógico, todas las notas con el mismo nombre están ahora a la misma altura tonal. Efectivamente, las alturas tonales están ahora totalmente definidas. Así pues, en este ejemplo podríamos 341

asignar un número preciso a cada nota, su altura tonal expresada en cents. De hecho, realmente es al revés: es esta posibilidad de tener alturas tonales fijas, expresables numéricamente, la que nos permite dar nombre a las notas. Podríamos observar también algunas pequeñas diferencias respecto al modelo ideal de líneas horizontales. Por ejemplo, las líneas correspondientes a las notas más agudas parecen estar ligeramente por encima de la retícula que marca la afinación temperada estándar (con el la4 a 440 Hz). Esto se debe a la inarmonicidad del piano que hace que la afinación de las notas superiores se vaya estirando un poco. Podríamos también apreciar algunas ligeras indecisiones en la afinación de algunas notas que parecen incluso oscilar ligeramente. Ello es debido al problema del derrame espectral que unido al ruido que acompaña el ataque de cada nota provoca una cierta indeterminación en la precisión del reconocimiento de la frecuencia. Y todavía más, dejando al margen estas cuestiones, incluso las notas de un piano, en una escala minúscula cierto es, presentan también una cierta evolución en la frecuencia. Pero no es momento de tratar estas cuestiones ahora. Lo que nos interesa es que aquí si que vemos ya los elementos del lenguaje musical: las alturas tonales definidas con claridad que determinan las notas y que constituyen la referencia que se crea en nuestra mente musical y que nos permite entender y dar sentido incluso a los movimientos de la voz musicales que se alejan de este modelo y se acercan más al del habla. Por otra parte, resulta también claro que aquí nos sería muy fácil especificar con toda seguridad la duración de cada nota (teniendo en cuenta, claro está, que lo que debemos medir es la distancia entre sucesivos ataques). Ya he explicado en el ejemplo del violín a qué se debe la superposición de algunas notas en el espectrograma. Aquí, en este ejemplo, la utilización del pedal hace que las notas tiendan a superponerse más que en el caso del violín. Pero también podría haber sucedido lo contrario, y la ejecución de las notas haber sido más picada. Ahora bien, desde el punto de vista métrico ambas situaciones son irrelevantes: afectan sólo al carácter de las notas, a la expresión, pero no al ritmo, es decir, no alteran la codificación métrica. Así mismo, resulta aquí también más clara todavía la existencia de una repetición de determinadas duraciones. Dar un paso más y ver que esas duraciones guardan entre sí las proporciones sencillas de doble, triple, etc., requeriría simplemente el uso de la regla. Es importante destacar que en este ejemplo, en el que las altura tonales son claramente estables y definidas numéricamente, debemos seguir hablando de movimiento de la 342

voz. Aunque sea a saltos, aunque ya estemos muy lejos de los rasgos de la prosodia, aunque no tengamos la versatilidad de la voz cantada, ni su imitación como hace la voz en el violín, también aquí hay un movimiento de la voz. El intérprete de piano tiene que hacer todo lo posible para que el instrumento “cante”. Sin el movimiento de la voz no existiría música en su sentido pleno, sino solamente una sucesión de sonidos carentes de significación. El piano es, de algún modo, el instrumento de referencia de nuestro sistema musical y en ese sentido tiene un papel equivalente al que tenía la lira en la Antigüedad. Así pues, si volvemos al ejemplo del recitado del poema, donde la voz discurre sin solución de continuidad y la comparamos con el movimiento puramente interválico de la voz en un instrumento de afinación fija como es el piano, podemos ver cómo nuestro lenguaje musical es el resultado de la cuantificación de la altura tonal y, a partir de ella, de la duración.

14.7.

El “espacio” de la significación musical

Para concluir este capítulo, y con ello este curso, voy hacer ahora una breve reflexión sobre lo que hemos observado en todas estas gráficas de los distintos tipos de movimiento de la voz. Los melogramas nos han permitido intuir una noción muy próxima a la realidad sonora: el “espacio musical”, es decir, el “lugar” en el que se produce la significación de la música. El movimiento de la voz o de las voces discurre a lo largo del tiempo en un espacio sonoro que va del grave al agudo. Nuestro sistema notacional, nuestra partitura, representa de algún modo esta noción de espacio musical: el tiempo con la dimensión horizontal y la altura tonal con la dimensión vertical. Pero lo que tenemos en una partitura es la “obra musical”, la “idea musical”, una elaboración mental, no es su realización física, sonora, no es su interpretación. En el melograma, sin embargo, “vemos” el espacio de la música sonando, interpretada, hecha sonido. Además, ese espacio musical, tal como queda representado en el melograma, es el espacio de nuestra sensación auditiva, no el del hecho físico, no es la vibración sonora. La música debe muchas de sus propiedades a la física del sonido, pero su verdadero punto de partida es nuestra sensación, la manera en la que nosotros percibimos 343

los acontecimientos sonoros. El movimiento de la voz que hemos visto en todos los melogramas es movimiento respecto a nuestra percepción, es decir, es la variación dentro de una escala temporal adecuada a nuestra percepción de uno de los parámetros característicos del sonido: la frecuencia instantánea. Al margen de que desde el punto de vista físico el sonido sea movimiento —más exactamente movimiento vibratorio—, el movimiento que interesa a la música es el movimiento de la voz que percibimos, es decir, la variación en el tiempo de su altura tonal. El melograma nos ha permitido también ilustrar con imágenes el proceso de abstracción que conduce desde la prosodia de la voz hablada hasta la constitución del sistema musical. La permanencia de la voz en alturas tonales determinadas permite establecer medidas y proporciones entre ellas. Estos números son los que codifican las alturas tonales y determinan un conjunto de intervalos a los que el sistema musical dará significación, organizando las escalas. El lenguaje musical se crea a partir del espíritu de la voz humana en el habla, pero adquiere su ordenación precisa —es decir, se codifica, se hace propiamente “sistema” (escala)— mediante un instrumento de afinación fija que permite precisar las alturas tonales. En el caso de su creación histórica, este instrumento fue la lira; hoy es el piano del que podemos considerar, en este sentido, que la lira fue un antecedente. Por otra parte, hemos visto en el ejemplo del poema recitado dos características de la voz hablada que van a tener muchas consecuencias en la creación de nuestro sistema musical: una es el reducido ámbito tonal en el que se mueve la entonación de cada unidad sintagmática en el habla, un ámbito de aproximadamente una cuarta o una quinta; otra, la fórmula cadencial descendente con la que se delimitan estas unidades. Por las noticias que nos han llegado de los teóricos musicales y de los gramáticos antiguos, estas características se daban también en el griego antiguo, lengua que sirvió de fundamento a la construcción de nuestro sistema musical. La primera explicará en parte la importancia del tetracordio y de la consonancia de cuarta en las primeras formas escalares antiguas. La segunda se reflejará en el carácter descendente de todas las resoluciones: las cadencias descendentes van a dominar por completo el lenguaje musical de Occidente hasta la aparición de los primeros atisbos de la sensible ascendente en la música de los trovadores. Pero las consecuencias de esta cuestión pertenecen ya al estudio de la teoría musical.

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Así mismo, estos ejemplos nos han permitido acercarnos mejor a un asunto que tiene que ver con la interpretación. Consideramos que una cualidad del intérprete es hacer hablar al instrumento. Mediante los melogramas hemos podido comprobar hasta qué punto esto es literal: hacer hablar al instrumento es acercarse a la prosodia del habla, es decir, alterar las alturas tonales o las duraciones de las notas que corresponderían al patrón escalar o rítmico, bien a través de inflexiones o desviaciones de la voz, bien a través de modificaciones de los tiempos (rubato, ritandando, etc.), para aproximarnos a la naturalidad del movimiento de la voz en el habla, adquiriendo mediante este pequeño alejamiento del código musical una alta significación emotiva.

14.8.

Conclusión

Este capítulo ha tratado de mostrar que la música es esencialmente una cuestión de voz o de voces —entendiendo la palabra voz en su sentido más amplio— y que lo específico de nuestro lenguaje musical consiste en establecer números y medidas sobre ese movimiento de la voz. Al hacerlo así, al detenerse la voz durante algún tiempo en algún lugar del espacio sonoro, en alguna altura tonal concreta, surge el sonido musical, definido por los antiguos precisamente como la parte más pequeña de la voz melódica. El estudio de las relaciones entre esos sonidos —tanto las leyes que rigen su sucesión en cada una de las voces, como las de su reunión simultánea en los acordes— compete ya al estudio propio de la Teoría Musical. Como dije al empezar, la finalidad de este curso ha sido proporcionar los fundamentos acústicos y psicoacústicos sobre los que se ha creado nuestro lenguaje musical. Por ello hemos ido examinando todos los aspectos que conciernen al sonido musical, desde su constitución física —como un movimiento mecánico que se transmite por un medio elástico cuyos parámetros frecuenciales cumplen unas características que las hacen adecuados para ser percibidos por el oído humano—, hasta su cualidad de ser el primer elemento de la melodía, el que se pone de manifiesto cuando el movimiento de la voz musical se detiene en un determinado punto del espacio sonoro. También hemos conocido, aunque haya sido someramente, cómo es y cómo actúa nuestro sistema auditivo a la hora de reconocer el sonido musical o armónico. Y de 345

paso hemos aprendido a observar unas representaciones gráﬁcas del sonido, el espectrograma y el melograma, que pueden ser de gran utilidad al músico y al musicólogo para realizar el análisis sonoro de una interpretación musical. Aquí nos quedamos, pues, a las puertas del estudio de la Teoría Musical, que debe dar cuenta del lenguaje que permite dotar de sentido a los sonidos de la música.

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