Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n
SEMESTRE
LF 03220025103327 ISBN 980-345-249-5
PROLOGO
El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos de 1 ro de Ciencias, refleja en forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemática de 1 ro de Ciencias. Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Los Teques, Mayo del 2003
1
Agradecimientos:
Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y ejercicios:
Prof. Miguel Carmona
Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo. A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo. A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión. A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen U.E.N.”Teresa de la Parra U . N . E . O . P . E .M
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Contenido
.- Vector en el plano..............4 .- Multiplicación de un N° real por un vector..............4 .- Componentes del vector...........4 .- Rotaciones, sistema sexagesimal..................5,6,,7 .- Ejercicios............8 .- Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico...........9,10 .- Funciones trigonométrica circulares para ángulos.......10,11 .- Triángulos rectángulos, ángulos notables........11 .- Reducción al primer cuadrante.....11 .- Funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos......11,12,13 .- Razones trigonométricas...........14 .- Ejercicios..........15,16,17,18 .- Identidades trigonométricas.........18,19,20 .- Producto escalar de vectores..............21,22,23 .- Vector nulo, opuesto, suma de vectores.........23 .- Longitud o norma de un vector............24 .-. Concepto de base y dimensión, combinación lineal.................25,26 .- Suma y diferencia de dos ángulos............27,28,29 .- Ángulos dobles...........29,30 .- Ángulos medios........30,31,32,33 .- Ley del seno y Ley del Coseno..........33,34,35,36,37 .- Funciones directas e inversas...........38,39 .- Sucesiones en R., progresión aritmética y geométrica..........39,40,41,42,43,44,45, 46,47 .- Bibliografía................48
3
Definir Vector en el plano: Denominamos transformaciones en el plano π , a toda aplicación de un subconjunto de puntos de π en otro subconjunto de puntos π. Cuando
las
transformaciones
conservan
las
distancias,
se
denominan
transformaciones métricas isométricas o movimientos rígidos en el plano.
Multiplicación de un N° real por un vector: Dado un vector a = (x,y) y un número real K, llamamos producto del número real por el vector a , a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del vector por el número real. K . a = (k . x , k . y) El vector resultante tiene la misma dirección que a , el mismo sentido cuando K es positivo, y sentido contrario cuando K es negativo. Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 a ; -2 a ; 2/5 a 3 a = { 3 . 3 , 3 . (-1) } = (9,-3) -2 a = { -2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2) 2/5 a ={ 2/5 . 3 , 2/5 . (-1)} = (6/5 , -2/5)
Componentes de un vector: Se llaman componentes de un vector al punto que tiene como abscisa la diferencia de las mismas, y como ordenadas la diferencia de las mismas de los puntos que forman el extremo y el origen. a (xa , ya) y
b (xb , yb)
componentes ab = ( xb – xa , yb – ya)
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Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano. Se llama ángulo de dos semirrectas r y r’ de origen 0, a la rotación que transforma a una de las semirrectas dada, en la otra, por ejemplo r en r´.
r’
α 0
r
El punto 0 se llama vértice y las rectas r’ y r lados.
Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo punto se le hace corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a un punto fijo 0 (cero) llamado centro de rotación, son iguales y las semirrectas 0A y 0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y sentido llamado ángulos de rotación. A’
0
A
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Propiedades de las rotaciones: a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación. b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta. c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.
Establecer los sistemas de medidas para ángulos: Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo en caso contrario. Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el radio. b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número que su ángulo central correspondiente medido en radianes. De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de arco a ángulos.
Sistema Sexagesimal: La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado. Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto. Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo. Ejemplo:
25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)
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Reducción de ángulos del sistema sexagesimal al circular y viceversa: Ejemplos: 1.- Transformar a radianes 26° 180°______________π =3,1416 26°_______________ x
x = 26° . 3,1416 180°
x =0,4537 radianes
2.- Transformar 1,4839 radianes a grados π =3,1416__________180° 1,4839__________ x
x = 1,4839 . 180° 3,1416
x = 85° aprox.
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EJERCICIOS
Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector: 1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a
2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b
3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x
4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y
5) p = (√5,√4) . Hallar 3 . p
6) a = (√9,4/3) . Hallar –6 . a
Dados los siguientes vectores, hallar su componente: 1) a = (3,6) ; b = (4,-3)
2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)
3) x = (-1,-8) ; y = (2,11)
4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)
5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4)
6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)
Transformar: a) 36° a radianes
b) 57° a radianes
c) 87° a radianes
d) 45,234π a grados
e) 2,4563π a grados
f) 1,2453π
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Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico:
Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una circunferencia (círculo trigonométrico o circunferencia unitaria)
y p(x , y) 1 y
α mx
0
A (1,0)
x
Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la circunferencia, conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar exactamente la posición de p para cualquier valor de α = arc. Ap. Si α es mayor de 2π, el punto p dará mas de una vuelta. Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo central en radianes, podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un punto en la circunferencia. De aquí se definen 3 funciones: Sen α____________ y
y = ordenada de p
Cos α____________x
x = abscisa de p
Tg α_____________y/x
x ≠0
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Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente: Sean:
Sen : R
R
Cos : R
R
Tg : R
R
El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el intervalo {-1,1}, porque en el triángulo rectángulo y
x e y son x
los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El rango de la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.
Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los cuadrantes: Primer cuadrante: 0° < α < 90°
ó 0 < α < π/2
Sen = + ; Cos = + ; Tg = + Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó
π/2 < α < π
Sen = + ; Cos = - ; Tg = Tercer Cuadrante:
180° < α < 270°
ó
π < α < 3 π/2
Sen = - ; Cos = - ; Tg = + Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π Sen = - ; Cos = + ; Tg = -
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Reducción al 1er cuadrante, y cálculo del valor numérico de una expresión trigonométrica dada. Hallar las funciones trigonométricas de 150° 90°
180°
0° 360°
270° Ubicado en el 2do cuadrante
A = 180° - 150°
A = 30°
Sen (180°-150°) = Sen 30° = ½ = 0,5 Cos (180°-150°) =- Cos 30° = -0,866 = -√3/2 Tg (180°-150°) = - Tg 30° = -0,5773= -√3/3
Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos: Y P
α
0
M
X
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Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M
y MP son los catetos y 0P es la
hipotenusa. Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se puede definir las funciones trigonométricas siguientes:
Sen α = ordenada radio
=
PM 0P
= cateto opuesto al ángulo α hipotenusa
Cos α = abscisa radio
=
0M 0P
= cateto adyacente al ángulo α hipotenusa
Tg α = ordenada abscisa
= PM 0M
= cateto opuesto al ángulo α cateto adyacente al ángulo α
Ctg α = abscisa ordenada
= 0M PM
= cateto adyacente al ángulo α cateto opuesto al ángulo α
Sec α = radio abscisa
= 0P 0M
=
hipotenusa cateto adyacente al ángulo α
Csc α = radio ordenada
= 0P PM
=
hipotenusa cateto opuesto al ángulo α
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Resolver problemas aplicando las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos: Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus tres ángulos, área, etc. En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos. Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del ángulo conocido.
Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC
B 50 cm
40° 20´ A
Cálculo de BC
Sen 40° 20’ = 0,6472
C
Sen 40° 20’ = CO H
BC = AB . Sen 40° 20’
AB = 50 cm
BC = 50 cm . 0,6472
Cos 40° 20’ = CA H
AC = AB . Cos 40° 20’
BC = 32,36 cm Cálculo de AC
AC = 50 cm . 0,7623
AC = 38,11
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Razones Trigonométricas:
Sen β = y x
Cos β = x z
Tg β = y x
Sec β = z x
Cotg β = x y
Csc β = z y
Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo β en el triángulo pqr. Donde x=6 ; y=8
r
x
p β
y z
q Aplicamos Pitágoras:
z=
x2 + y2
z=
6 2 + 82
=
100 = z = 10
Sen β = y/z = 8/10 = 4/5
Cos β = x/z = 6/10 = 3/5
Tg β = y/x = 8/6 = 4/3
Sec β = z/x = 10/6 = 5/3
Cotg β = x/y = 6/8 = ¾
Csc β = z/y = 10/8 = 5/4
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Hallar las funciones trigonométricas de: 1) 30°
2) 60°
3) 90°
4) 120°
5) 135°
6) 210°
7) 225°
8) 300°
Resuelve los siguientes triángulos: a)
B Hallar: BC y AC 36 cm
30° 15’ C
b)
A
B
40 cm
Hallar: BC y AC
38° 2’ C
A
15
c) B
Hallar: AB y AC
30 cm
Aplica : Cotg y Csc
40° 26’ A
C
d)
B
Hallar: BC y AB Aplica : Tg y Sec
24° 12’ A
C 16 cm
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En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos indicados en ellos: a)
Z 4 α 5
b) Z β
√3
√5
c)
1
α y √7
17
x d) α 10 12
Identidades Trigonométricas: Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para todos los valores de los ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.
Procedimiento: a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en función de ángulos sencillos. b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas respectivas. c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso cambiar todas las funciones a senos y cosenos.
Primer Método: Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones correspondientes hasta que el miembro en que se opera sea igual al otro.
18
Segundo Método: Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma independiente hasta que los miembros sean iguales. Identidad fundamental: Sen x + Cos x = 1
Transformaciones de miembros:
1) 1 – Senx = Cos2x
2) Cos2x + Sen2x = 1
3) (Cos2x – Sen2x) = 2Cosx
4) Tgx = Senx Cosx
5) Secx = 1 Cosx
6) Cscx = 1 Senx
7) Cotgx = Cosx Senx
8) Cosx = Senx Cotgx
Ejemplo: Demostrar que Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) es una identidad. (1 + Senx) . (1 – Senx) = 1 – Sen2 x Cos2x = 1 – Sen2x Cos2x = Cos2x
19
Realiza las siguientes demostraciones:
a) Demostrar que Cos4x â&#x20AC;&#x201C; Sen4x = Cos2A b) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen c) Demostrar que Senx + Cosx = 1 Cscx Secx c) Demostrar que Tgx = Secx Senx d) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1 e) Demostrar que Senx . Secx = Tgx f) Demostrar que
Cscx = Cosx Tgx + Ctgx
g) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx Tgx + Cscx h) Demostrar que Tgx + Cotgx =
1 Senx . Cosx
20
Definir el producto escalar de vectores:
Definimos el producto escalar de los vectores a y b, como el producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Ejemplo: El producto escalar de dos vectores a y b es igual a 20, sabemos que / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el valor del ángulo que forman los vectores. a . b = 20 /a/=5
Cos α = a . b
/b/=8
Cos α = 20
/ a/./b/
→ 0,5 → 1/2
40
α=x
Ejemplo: Dados los puntos a(2,3) ; b(5,8) y c(-6,2) representar los vectores ab, cb y ac, hallar sus componentes y módulos. Componentes: ab = (5-2,8-3) = (3,5)
cb = {5-(-6),8-2} = (11,6)
ac = (-6-2,2-3) = (-8,-1) Módulos:
/ab/ =
/cb/ =
/ac/ =
3 2 + 52 =
34
112+62 =
(-8)2+(-1)2
157
=
65
21
Representación Gráfica:
y
8 7 6 5 4 3 2 1 x -6
0
2
5
Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de vectores: 1) a . b = 32
2) a . b = 54
/a/=6
/a/=8
/b/=7
/ b / = 10
α=x
α= x
3) a . b = x
4) a . b = x
/a/=4
/a/=9
/b/=7
/b/=3
α = 45°
α = 30°
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Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y representación gráfica: 1) a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5) 2) a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2) 3) a(-4,2) , b(5,7) , c(3,-7) 4) a(-1,4) , b(6,5) , c(-2,-4) 5) a(-1,-2) , b(4,7) , c(-3,5) 6) a(6,4) , b(-3,-5) , c(2,6)
Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es decir: 0 = (0,0). Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas componentes son (-ax,ay). El vector opuesto de a se denota por -a.
Suma de Vectores: Ejemplo: Dados los vectores a = (-4,7) ; b = (5,8). Hallar 2 a + 3 b 2 a = {2 .( –4),2 . 7} = (-8,14)
3 b = (3 . 5,3 . 8) = (15,24)
a + 3 b = (-8+15,14+24) = (7,38)
23
Longitud o Norma de un vector: Se llama longitud o norma de un vector a = (ax,ay) ε V2, y se denota // a //, a la raíz cuadrada no negativa del producto ax2 + ay2
escalar de a por sí mismo. Es decir: // a // =
Ejemplo: Hallar la norma del vector a = (√6 , √30) // a // =
(√6)2 + (√30)2 =
6+30
=
36
= // a // = 6
Hallar la suma de los siguientes vectores: 2 a + 3 b 1) a = (3,5) , b = (-3,-6)
2) a = (9,0) , b = (-1,-2)
3) a = (6,5) , b = (-4,8)
4) a = (-5,-8) , b =(-4,-3)
5) a = (-5,-3) , b =(1,5)
6) a = (6,-9) , b =(3,7)
Hallar el modulo de los vectores siguientes: 1) a = ( 3/√13,2/√13)
2) a = (3,9)
3) a = (5,0)
4) a = (√15,1)
5) a = (0,7)
6) a = (10,√144)
7) a = (4/2,6/3)
8) a = (√4,5)
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Establecer el concepto de base: Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores no colineales, decimos que un par de vectores no colineales constituyen una base del conjunto de los vectores de dicho plano. Establecer el concepto de dimensión: Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo cual se dice que el plano tiene dimensión dos.
Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores: En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b, si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.
Vectores colineales: Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales , es decir, uno es combinación lineal del otro. Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y C = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c. a=p.b+q.c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) (3,4) = (-p-3q,0+ 5q)
(3,4) =( -p,0) + (-3q,5q) 3 = -p-3q 4 = 0+ 5q
25
Despejamos q:
4 = 5q
Despejamos p:
3 = -p-3q
q = 4/5 3 = -p-3(4/5) 3 = -p-12/5 p = -3-12/5 p = -12-15 = p =-27/5 5
a = -27/5 b + 4/5 c
Expresar el vector a como combinación lineal de los otros vectores: 1) a = (2,4) combinación lineal de b = (1,2) , c = (-1,3) 2) a = (1,5) combinación lineal de b = (2,4) ; c = (-2,-4) 3) a = (1,-1) combinación lineal de b = (-2,4) ; c = (5,-2) 4) a = (-2,0) combinación lineal de b = (1,0) ; c = (3,6) 5) a = (3,2) combinación lineal de b = (-3,-2) ; c = (3,4)
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Suma y diferencia de Ángulos: Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°. Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a Π = 180°.
Formulas: Sen(A + B) = Sen A . Cos B + Cos A . Sen B Sen(A+B) = Sen A . Cos B – Cos B . Sen B Cos(A+B) = Cos A . Cos B – Sen A . Sen B Cos(A-B) = Cos A . Cos B + Sen A . Sen B Tg(A+B) = Tg A + Tg B 1 – Tg A . Tg B Tg(A-B) = TgA + TgB 1 + TgA . TgB
Formulas auxiliares:
SenB =
1 – Cos2B
CosA =
1 – Sen2A
SenA =
TgA 1+ Tg 2A
27
CosA =
1
TgA =
1 + Tg2A
1 – Cos2A CosA
Ejemplo: Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante), calcular Sen(30°+A)
CosA = 1 – Sen2A
CosA =
25-9 25
CosA =
= CosA =
16
1 – (3/5)2
= CosA = -4/5
25
Sen 30° = 1/2 Cos 30° = √3/3
Sen(30°+ A) = 1/2 . (-4/5) + √3/2 . 3/5
Sen(30° + A) = -4 + 3√3 10
28
1) Dado SenA = 3/5 y CosB = 5/6 ; Calcular Cos(A-B), sabiendo que A y B son agudos .
2) Dado TgA = ¾ . Hallar Sen(A+B).
3) Dado CosA = 1/2 (A en el I cuadrante) . Hallar : Tg(A-60°)
4) Dado SenA = 2/3 y CosB = ¾ ; Calcular Cos(A+B), sabiendo que A y B son agudos.
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos dobles: Fórmulas:
Sen2A = 2SenA . CosA
Tg2A = 2 tg A
Cos2A = Cos 2A – Sen2A
SenA =
1 – Tg2a
CosA =
1 – Cos2A 2
1 + Cos2A 2
TgA =
1 – Cos2A 1 + Cos2A
29
Ejemplo: Dado SenA = 1/3, calcular Cos2A. Cos2A = 2 . Sen2A = 1 – Cos2A
Cos2A = 1 – 2Sen2A
Cos2A = 1 – 2(1/3)2
= Cos2A = 1 – 2
=
Cos2A = 1 – 2(1/9)
9
Cos2A = 9 – 2
=
Cos2A = 7/9
9
Dadas las siguientes funciones, hallar sus ángulos dobles: 1) Dado SenA = 4/5. Calcular Tg 2A. 2) Dado SenA = 3/5 y CosA = ½. Hallar Sen2A. 3) Dado CosA = 2/3 y SenA = 2/4. Hallar Cos2A. 4) Dado TgA = 3/5. Hallar Tg2A. 5) Dado Cos2A = 4/6 y SenA = ¼. Hallar Cos2A. 6) Dado CosA = 4/7 y SenA =6/8 . Hallar Sen2A.
Deducir las funciones trigonométricas de ángulos medios:
Fórmulas:
CosA/2 =
1 – Sen2A/2
TgA/2 = SenA/2 CosA/2
TgA/2 =
1 – CosA 1 + CosA
Tg2A =
1 Ctg2A
30
Sen2A =
Tg2A
Cos2A =
1 + Tg22A
Cos2A =
1 1 + Tg22A
1 – Sen22A
SenA =
1 – Cos2A 2
CosA =
1 + Cos2A
SenA/2 =
1 - CosA
2
2
Resuelve los siguientes ejercicios: 1) Dado SenA/2 = 1/3 . Calcular Cos A/2 y TgA/2 Resp. CosA/2 = 2√2
; TgA/2 = √2
3
4
2) Dado TgA/2 = √3 . Calcular SenA, CosA y TgA. Resp. CosA = -1/2 , SenA = √3/2 ; TgA = - √3
3) Dado Sen2A = ½ . Calcular SenA.
Resp. Cos2/A = √3/2 ; SenA =
2 - √3 4
31
4) Dado SenA/2 = 2/5. Hallar Cos A/2. 5) Dado Sen A/2 = 6 y Cos A/2 = 5. Hallar Tg A/2 6) Dado Cos A = 6/7. Hallar Tg A/2. 7) Dado Ctg 2A = 4/6 . Hallar Tg 2A. 8) Dado Tg 2A = 2/3. Hallar Sen 2A. 9) Dado Sen 2A = 1/3. Hallar Cos 2A. 10) Dado Cos A = 2/4. Hallar Sen A/2.
Simplificar las expresiones trigonométricas:
1) Simplificar la expresión Sen arc sen √3 2
α = arc sen √3/2 Entonces sen α = √3/2
Sen arc sen √3
= Sen α = √3/2
2
Expresiones de ayuda: Cos2α = 1 – Sen2α
Ctgα = Cosα Sen α
32
Simplificar las expresiones siguientes: 1) Simplificar la expresión Cos arc sen 7/8
2) Simplificar la expresión Ctg
arc cos 1/2
3) Simplificar la expresión Sen arc cos √3/2
4) Simplificar la expresión Cos
arc sen √3/2
Deducir la Ley del Seno a partir del producto escalar de vectores:
Ley del Seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Fórmula General:
a
=
SenA
b = a . SenB SenA
SenB = b . SenA SenB
b SenB
SenC = c . SenA a
c = a . SenC SenA
=
c SenC
SenA = a . SenB b
a = b . SenA SenB
33
c = b . SenC SenB
a = c . SenA
b = c . SenB
SenC
SenC
SenA = a . SenC c
Ejemplo: En el triángulo se cumple: a = 10m b = 5 √2 m
a
C
b
α B = 30° Hallar: α A
B
A c
SenA = a . SenB B
SenA = 10 m 2
SenA = 10m . Sen30° 5√2m
SenA = 1
= SenA = 10m . 1/2 5√2m
= 0,7071067 equivale a 45°
√2
5√2m
34
Resuelve aplicando la ley del Seno:
1) a = 20 m
2) αA = 80° 30’
b = 50 m
αB = 40° 40’
α = 68° 20’
a = 250 m
Calcular αB y αC
Hallar b
3) a = 34 m
4) c = 34 m
b = 25 m
αA = 23° 12’
αB = 23°56’
αC = 34° 45’
Hallar SenA
Hallar: a
Deducir la Ley del Coseno a partir del producto escalar de vectores:
Fórmulas:
a . b = / a / . / b / . Cos α
Cos α = a . b /a/./b/
b=
a2 + c2 – 2ac . Cos β
Cos A = b2 + c2 – a2 2.b.c
Cos B = a2 + c2 – b2 2.a.c
35
Ejemplo: Calcular a . b = 30°, sabiendo que c . d = 120°; / a / = 3; / b / = 4
/ d / = 2; / c / = 5
a . b = / a / . / b / . Cos α
/ a / . / b / . 30° = 3 . 4 . √3/2
= 12 . √3/2 = 6 √3
c . d = / c / . / d / . Cos 180° - 120°
c . d = -5 . 2 . 1/2
=
c . d = -5
Cos 60° = 1/2
( por sentido contrario)
Resuelve los siguientes ejercicios:
1) Hallar el producto a . b, dónde : / a / = 4 ; / b / = 5 , dirección inclinada 60° con la horizontal y sentido ascendente hacia la derecha.
2) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo que forman los vectores.
3) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c . d = 90° ; / a / = 5 /b/=6 ; /d/=4 ; /c/=5
36
4) En el triángulo se conocen: α B = 82° 30’ c = 40 m
c
A
a = 80 m
b B
Hallar : b
C a
5) En el triangulo conocemos que : a = 10 m ; b = 40 m y c = 70 m. Calcular el ángulo de A. b c
A B
C a
6) En el triángulo conocemos: a = 64 m b = 48 m c = 80 m Calcular: α A y α B
a b
C A
B c
37
Funciones Directas: las funciones trigonométricas directas son uniformes ( tienen un solo valor).
Funciones Inversas:
las funciones trigonométricas inversas son multiformes
(tienen varios valores). Ejemplos: 1) Tg x = √3
inversa = x = arc, tg √3
ó x = Tg -1√3
inversa = x = arc, Cos √2/2 ó x = Cos-1√2/2
2) Cos x = √2/2
Resolver las ecuaciones trigonométricas inversas:
1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90° x1 = arc, Cos 1/2 =
x1 = Cos 1/2 = Inv.Cos-1 = x1 = 60°
2) Resolver Sen x = 1/2 x1 = arc,Sen1/2
=
x1 = Sen 0,5 = inv. Sen-1 = x1= 30°
x2 = 150°
150°
30°
38
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando inversa: 1) Resolver Cos x = √2/2
0° < x < 90°
2) Resolver Sen x = √3/2
0° < x < 90°
3) Resolver Tg x = 1
0° < x < 360°
4) Resolver 2 Sen x + 1 = 0
0° < x < 360°
5) Resolver √2 Cos x – 1 = 0
0° < x < 360°
Sucesión en R: Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N en R.. (f:N
R)
Determinar los elementos de una Sucesión: f1, f2, f3............fn
f1 = primer término f2 = segundo término f3 = tercer término fn = término general
Término general de una Sucesión: Para calcular cada uno de los términos de la sucesión, se sustituye en la expresión el término general “n” por 0, 1, 2, etc; y así se obtiene el primero, segundo, etc, términos de la sucesión.
39
Progresión Aritmética: Una progresión aritmética es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma, sumando algebraicamente una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una progresión aritmética: Cantidad constante = r razón Términos = a1, a2, a3,.......an a1 = primer término
n = N° de términos
an = último término
Progresión Geométrica como una función sucesión: Una progresión geométrica es una sucesión de N° reales, tales que cada término se forma multiplicando por una cantidad constante al término anterior.
Elementos de una Progresión Geométrica: Formula: an = a1 . rn-1
an = ultimo término a 1 = primer término r = razón n = N° de términos
40
Ejemplo de Sucesiones: Calcular la Sucesión fn = 2n n+1
f0 = 2 . 0
f0 = 0
0+1
f1 = 2 . 1
f1 = 1
1+1
f2 = 2 . 2
f2 = 4/3
fn = 0, 1, 4/3, ……. 2n
2+1
n+1
Formulas y despejes: Término enésimo: 1) an = a1 + (n-1) . r
2) n = an – a1 + 1 r
3) r = an – a1
4) an = a1 . rn-1
n-1
5) a1 = an rn-1
6) r =
n-1
an a1
7) n = lgan – lga1 + 1 lgr
41
Ejemplos:
1) Calcular el quinto término de una P. A de razón 2 que empieza en 3. an = x
an = 3 + (5-1) . 2
a1 = 3
an = 3 +( 4 . 2)
n=5
an = 3 + 8
r=2
an = 11
an = a1 + (n-1) . r
2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 5, termina en 83 y la razón es 3. n=x a1 = 5 an = 83 r=3
n = an – a 1 + 1 r n = 83 – 5 + 1 =
n = 78 + 1
3
= n = 26+1
3
n = 27
4) Calcular la razón de una P. A que empieza en 8, termina en 40 y tiene 17 términos. r=x a1 = 8
r = an – a 1 n-1
=
r = 40 – 8 = r = 32 = r = 2 17-1
16
an = 40 n = 17
5) Calcular el cuarto termino de una P. G de razón 1/2 que empieza en 8. n=4
an = a1 . rn-1
an = 8 . (1/2)4-1
an = 8 . 1/8
an = 1
an = 8 . (1/2)3
an = x r = 1/2 a1 = 8
42
5) Calcular la razón de una P. G de cuatro términos que empieza en 3 y termine en 81. r=x
r=
n-1
n=4
an
r = 4-1
an
81 3
a1 = 3 an = 81
r=
3
27
r=3
6) Calcular el ultimo término de una P. G de 5 términos, que empieza en 1/16 y la razón es 2. an = x
an = a1 . rn-1
an = 1/16 . 25-1
an = 1/16 . 16
an = 1
an = 1/16 . 24
r=2 n=5 a1 = 1/16
7) Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20. a1 = 5 an = 20
r = an – a 1 r-1
r = 20 – 5 6–1
r = 15
r=3
5
n = 4+2 = 6 r=x
a1 = 5 a 2 = a1 + r = 5 + 3 = 8 a3 = a2 + r = 8 + 3 = 11 a4 = a3 + r = 11 + 3 = 14 a5 = a4 + r = 14 + 3 = 17 a6 = a5 + r = 17 + 3 = 20
43
8) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 64 a1 = 2
r=
n-1
an
an = 64
6-1
r=
a1
64 2
n = 4+2 = 6 r=x
r=
5
32
r=2
a1 = 2 a 2 = r . a1 = 2 . 2 = 4 a3 = 2 . 4 = 8 a4 = 2 . 8 = 16 a5 = 2 . 16 = 32 a6 = 2 .32 = 64 9) Calcular la suma de los términos de una P. G de razón ½ que empieza en 2/5 y termina en 50. S=x r=½
S = an . r – a 1 r –1
S = 50 . (1/2) – (2/5) (1/2) - 1
a1 = 2/5 an = 50
S =50/2 – 2/5 1 –2
S = 123/5
S = - 246/5
-1/2
2
44
10) Calcular el término central de una P. G que empieza en √2 y termina en 200√2. a1 = √2
ac =
a 1 . an
ac =
√2 . 200√2
an = 200√2 ac = x
ac =
400
ac = 20
Calcular las siguientes sucesiones: 1) fn = 3n – 1
2) fn = n + 4
3) fn = 3n + 2
4) fn = 3n –0
n
5) fn = 5 + 3n
6) fn = n2 + 2
2
1) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza en 4.
2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7, termina en 23 y la razón es 2.
3) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en 25 y tiene 16 términos.
45
1) Calcular el quinto término de una P. G de razón 6 que empieza en 3.
2) Calcular la razón de una P. G de seis términos que empieza en 5 termina en 56.
3) Calcular el último termino de una P. G de 3 términos, que empieza en 6 y la razón es 5.
1) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25.
2) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.
3) Interpolar 6 medios aritméticos entre los números 6 y 30.
1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54.
2) Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.
3) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40.
46
1) Calcular el término central de una P. G que empieza en 4 y termina en 12.
2) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P. A que empieza en ½ y termina en 2/5.
3) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4 , termina en 100 y la suma vale 520.
47
BIBLIOGRAFÍA
NAVARRO, E..................................................Matemática para Cuarto Año. Libro de Práctica. Distribuidora Zacarías. Caracas. Venezuela.
GONZALEZ, Reinaldo....................................Matemática. Primer Año. Educación Media Diversificada y Profesional . Editorial Obelisco. Caracas. Venezuela 1991.
48