Cuaderno de Matemática 2º Semestre de Ciencias by Prof. Luis Eduardo Camacho

Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

LF 03220025103327 ISBN 980-345-249-5

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos de 2 do de Ciencias, refleja en forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemática de 2 dode Ciencias.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo. A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo. A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión. A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen U.E.N.”Teresa de la Parra U . N . E . O . P . E .M

Contenido

.- Sistema de Coordenadas, función real........4,5 .- Representar puntos en el plano...............5 .- Función real de variable real...................5,6 .- Graficar funciones reales, tipos de funciones reales.........6,7 .- Dominio en funciones continuas y discontinuas...............7,8,9 .- Función exponencial ..............9,10,11 .- Función logaritmo.............11,12,13 .- Logaritmo decimal o Briggs.............13 .- Logaritmo Neperiano................14 .- Propiedades de los logaritmos..............14,15 .- Antilogaritmo, característica y mantisa de los logaritmos...........15,16,17 .- Cologaritmo de un logaritmo............18 .- Ecuaciones exponenciales............19,20 .- Números complejos...............20,,21,22,23,24,25,26 .- Bibliografía..............27

Sistema de Coordenadas: y

Cuando las rectas secantes en el plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se llama rectangular u ortogonal. Se dice que hay relaciĂłn en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas.

LÂ´

L 0

Trazamos por un punto (p) cualquiera recta paralela dada, cuyos puntos de corte son (a y b). b

Lâ&#x20AC;&#x2122;

L 0

Se observa que el par (a,b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a,b) ε R x R.

Representar puntos en el plano: 1) Situar los puntos. a(3,2) ; b(2, -1) ; c(1, -2) y

3 2

1 -1

-1 -2

b c

Función real de variable real: Son las funciones de la forma f: x

R en donde x es un subconjunto de R(x 

R). Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números. A este conjunto de números se le llama dominio de la variable.

En la aplicación f : x

R, como x es un subconjunto de R, llamamos x a

cualquiera de los números del conjunto x, es decir, x es la variable independiente porque se le dan valores arbitrarios.

Graficar funciones reales: Pasos: a) Se calculan las imágenes de los elementos del dominio según la función dada. b) Se calcula los pares y con ellos se elabora una tabla de valores en forma vertical u horizontal, según el número de puntos. c) Se dibuja en un sistema cartesiano ortogonal los pares.

Tipos de funciones reales: a) Funciones algebraicas. b) Funciones trascendentes. c) Funciones directas. d) Funciones inversas.

Representa los puntos en el plano: 1) a(3,6) ; b(-3,()) ; c(-5,-.3) 2) a(2,-4) ; b(4,3) ; c(-2,-5) 3) a(2,1) , b(5,-8) ; c(-2,-4) 4) a(3,9) ; b(5,-3) ; c(-6,4)

Representa las siguientes funciones reales: 1) f(x) = 3x –1

donde x = {-2, -1,0,1,2}

2) f(x) = x2+ 3

donde x = {-2, -1,0,1,2}

3) f(x) = -x –5

donde x = {-2, -1,0,1,2}

2 4) f(x) = x

donde x = {2,4,9,16}

El Dominio en funciones continuas y discontinuas: Cuando las funciones tienen como denominador la variable o una función de ella, es necesario determinar para que valores de x dicho denominador se anula; pues como no está definida la división por cero, estos valores hay que eliminarlos, por lo tanto, para determinar el dominio de dichas funciones se procede así: a) Se iguala a cero el denominador. b) Se resuelve la ecuación resultante. c) Se excluyen las raíces de la ecuación anterior. Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = 2 x +1

x+1=0

donde

x = -1

R – {-1} dominio es todo el campo real menos (- 1)

Calculo del Dominio en una raíz: Cuando las funciones tienen bajo el signo de raíz de índice par a la variable independiente x, es necesario que dicha parte radical sea cero o positiva, para que la función esté definida, por lo tanto, para determinar el dominio de este tipo de funciones, se procede así: 1) Se forma una inecuación con la parte subradical mayor o igual a cero. 2) Se resuelve dicha inecuación. 3) La respuesta de dicha inecuación es el dominio. Ejemplo: Determinar el dominio f(x) =

x+3

 0

x+3

x  -3 -3

-2

-1 0 1

-3,

Determina el dominio de las funciones: 1) f(x) = 3x

2) f(x) = 4x - 2

x2-4

3x – 6

3) f(x) = 3x + 1 2

x +5x+6

4) f(x) = x x2 – 9

Determina el dominio de las raíces:

1) f(x) =

2x-4

2) f(x) =

x–1

3) f(x) =

x2- 4x + 3

4) f(x) =

6x + 12

Definir la función exponencial con exponente real: R

f(x) = a x



R* +



Significa que dado un número   R, obtendremos una imagen   R*+, a través de la expresión f(x) = ax, siendo a  0 y a  1. Como al hacer operaciones con números irracionales los sustituimos por su expresión decimal aproximada, al potenciar con exponentes irracionales, sustituimos el exponente irracional por su expresión decimal aproximada.

Ejemplos: 1) a2 = a1,41

2) a = a3,1416

Propiedades de la función exponencial mediante su crecimiento o decrecimiento: a) Crecimiento: cuando la función es creciente, o sea que los valores muy grandes, se obtienen valores también grandes de f(x). Se dice que la función es sobreyectiva porque el rango y el conjunto de valores coinciden, es decir, todos los elementos de R*+ tienen contraimagen. Es inyectiva porque a elementos diferentes de R, corresponden elementos diferentes de R*+. Como es sobreyectiva e inyectiva, es biyectiva. y = f(x)

b) Decrecimiento: la función es decreciente, porque para valores positivos muy grandes de x, se obtienen valores muy pequeños de f(x), y para valores negativos muy grandes de x se obtienen valores muy grandes de f(x).

y = f(x)

Resuelve y grafica las funciones exponenciales: 1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4

2) f(x) = (1/2)x donde x = 2,1,0,1

3) f(x) = 3x+1 donde x = 0,1,2,3

4) f(x) = 5 – 1x donde x = 0,1,2,3

5) f(x) = x + 2x donde x =0,1,2,3

6) f(x) = 3x – 3x donde x = 1,2,3,4

Función Logaritmo: R *+

g(x)= lgax

.

g() = lga = 



g() = 

Significa que dado un número   R*+ se obtendrá una imagen   R a través de la expresión g(x)= lgax . Cuando se dan los valores a y  para hallar  estamos en la función logarítmica que se anota:  = a

donde :

 = número a = base  = exponente

lga =  donde:

a = base  = número  = exponente

Ejemplos: a) 25 = 52

lg525 = 2

b) 1000 = 103 =

lg101000 = 3

c) 27 = 33

lg327 = 3

Se deduce que el logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al exponente a que debe elevarse dicha base para encontrar el número. Transformar los siguientes números: a) 36

b) 49

c) 100

d) 121

e) 144

f) 196

g) 256

h) 400

i) 625

Determinar las características de la función logarítmica a través de su representación gráfica: y

1) Los números negativos no tienen logaritmo. 2) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. 3) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo. 4) La función logaritmo es creciente.

Logaritmo Decimal o Briggs: En el caso particular que la base sea 10 los logaritmos se llaman decimales, vulgares o de Briggs, en honor al matemático H. Briggs (1561-1630). Como los logaritmos decimales son los que más se usan, no se anota la base, por lo tanto, lg10x se anota lgx .

Logaritmo Neperiano: Es el de base en particular sea el número е = 2,718281, los logaritmos se llaman naturales o neperianos, en honor al matemático J. Neper (1550-1617). Se anota : lnx

ó Lx

Propiedades de la Función Logaritmo: 1) Cuando a0 = 1

lga1 = 0

El logaritmo de 1 en cualquier base es cero. 2) Cuando a1 = a

lgaa = 1

El logaritmo de la base siempre es uno. 3) lga(m.n)

lgan + lgam

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. 4) lga(m/n)

lgam - lgan

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. 5) lga(mn)

n . lgam

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia. 6) lga n√m

lgam n

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte subradical dividido por el índice de la raíz.

Ejemplo: Hallar lgax en x = ab2 c3 El quebrado se forma en resta: lga(ab2) – lga c3 Lgaa + 2lgab – 3 lgac Ejemplo: Hallar lgax en x = (m2+b).

mb3

Lgax = lga(m2+b) + lgam + 3lgab 4 Aplica logaritmos en: 1) lgax en x = n3. m2. p5

2) lgax en = x2 . y4 + √m3

3) lgax en x =√p . (r3 . p4)2

4) lgax en x = (m2 . n4) + p2. n3

5) lgax en x = a3.p4.t5 - p3.b2

6) lgax en x = {r3.p7+(s2.r6)2}

a2.b3

Definir el Antilogaritmo: Se define antilogaritmo al número que corresponde un logaritmo dado. Lgax = lgaA – lgaB

su antilogaritmo es x = A B

Regla para aplicar antilogaritmos:

Todo número, letra o expresión que esté afectada por lga , se transforma en el

número, letra o expresión.

lga4

se transforma en 4

lgaA

“

“ A

lga (2√b) “

“

“ 2√b

Los signos operatorios se transforman de manera inversa que al aplicar

logaritmos. La suma se transforma en producto. La resta se transforma en división. El producto se transforma en potencia. La división se transforma en Raíz.

Todo número, letra o expresión que no esté afectado de lg a, se transforma a

elevado a dicho número, letra o expresión. lga3 se transforma en a3 lgaA se transforma en aA lgab se transforma en ab 4) Al aplicar antilogaritmo los términos positivos de la expresión logarítmica pertenecen al numerador y los términos negativos al denominador de la expresión final.

Calcular logaritmos decimales exactos:

Cuando se dispone de una calculadora, que permita obtener los cálculos en forma rápida y precisa, no hace falta la tabla de valores logarítmicas de los números.

1) Hallar el logaritmo decimal de 48,7 1,6875

característica = 1

mantisa = 6875

2) Hallar el logaritmo decimal de 0,04 -1,3979

característica = -1

mantisa = 3979

Definir la Característica:

Es la parte entera del logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10.

Valor de la Característica:

1) La característica del logaritmo de un N° mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos el número de cifras enteras del número. 2) La característica del logaritmo de un N° comprendido en 1 y 10 es cero. 3) La característica de un N° menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1 más el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa decimal.

Definir la Mantisa:

Es la parte decimal del logaritmo. La mantisa siempre es positiva y se calcula con la ayuda de las tablas de logaritmos.

Cologaritmo de un Logaritmo:

1) Se calcula el logaritmo del número. 2) A la característica del número se le suma una unidad positiva y al resultado obtenido se le cambia de signo. 3) A cada una de las cifras de la mantisa se le resta 9 empezando por la izquierda, menos la última cifra significativa que se resta de 10. 4) Para comprobar los cálculos sumamos el logaritmo con su cologaritmo y el resultado tiene que dar cero.

Ejemplos: 1) Calcular el cologaritmo del logaritmo 4,252 Característica: 4 + 1 = 5 Mantisa: 252

9-2 = 7 9-5 = 4 10-2 = 8

cologaritmo = 5 , 748

comprobación: 4,252 5,748 0

Calcular los cologaritmos de los siguientes logaritmos: 1) 3,263

2) 2,8603

3) 0.087

4) 1,460

5) 16,253

6) 14,073

7) 4,001

8) 0,005

9) 3,7564

Ecuaciones Exponenciales aplicando logaritmos:

Son las ecuaciones que tienen la incógnita en forma de exponente. Se resuelven aplicando logaritmos o por artificio de cálculo. Ejemplo: Resolver 5x+3 = 7x-1 aplicamos logaritmos

(x + 3) lg5 = (x-1) lg7

igualamos a un solo miembro x + 3 = lg7 x–1

lg5

calculamos logaritmos y sustituimos valores

x + 3 = 0,8451 x–1

0,6990

x + 3 = 1,20

lg7 = 0,8451 ;

lg5 = 0,6990

= x + 3 = 1,20(x – 1)

x–1 x + 3 = 1,20x – 1,20

x – 1,20x = - 1,20 –3

-0,2x = - 4,40

x = - 4,20 -

x = 21

0,20

Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 3x-2 = 52x+1

2) 2x+1.33x+2= 44x+3

3) 2x-5 = 0,003

4) 0,005x-3 = 0,04

5) 62x+9 = 7x-6

6) 0,45x+5 = 84x+2

Ecuaciones Exponenciales:

Se llaman ecuaciones binómias a las que solamente tienen dos términos y para resolverlos se procede así: 1) Se hacen las transformaciones algebraicas necesarias hasta que las bases sean iguales. 2) Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante. Ejemplo: Resolver la ecuación 2x = 32 32 = 52

donde 2x = 25

igualamos exponentes x = 5

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x-5 = 27 27 = 33

donde 3x-5 = 33

igualamos exponentes x – 5 = 3 x =5 + 3 x=8

Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 5x = 125

2) 6x = 36

4) 0,32x-8 = 0,0081

5) (1/2)x-3 = 1/32

3) 5x= 25 6) 25x-10 = 1

Definir el conjunto de los N° Complejos:

Un número complejo es un par ordenado (a , b) de números reales. Este par de números pertenece al producto cartesiano: R x R = R2

(a , b)  R2

Representar Números Complejos:

Ejemplo: Representar los N° complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ; Z3 = (3,-2) y 4 3

2 1

-2

-1

-1 -2

Z2 Z3

Suma de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1) Z1 + Z2 = (3+4) + (-4,1) = 3 + (-4), 4 + 1 = (-1,5) Resta de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3) Z1 – Z2 = (4,0) – (-1,3) = { 4 – (- 1) , 0 – 3 } = (5,-3)

Producto de Números Complejos:

Dados Z1 = (a1,b1) ; Z2 = (a2,b2) Fórmula: Z1 . Z2 = (a1 . a2 – b1 . b2 , a1 . b2 + b1 . a2 ) Ejemplo: Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2) ; Z2 = (-3,1) Z1 . Z2 = (4,2) . (-3,1) = { 4 . (-3) – 2 . 1 , 4 .1 + 2 . (-3)} = (-12 –2 , 4 – 6) =

(-14,-2)

División de Números Complejos:

Ejemplo. Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2 Z1 = (a1 , b1) = Z2

a22 + b22

(a2 , b2)

= (2,4)

(1,0)

a1 . a2 – b1 . b2 , b1 . a2 –a1 . b2

2 . 1 + (-3) . 4 , -3 . 2 – (-1) . 4 1 2 + 02

a22 + b22

12 + 02

( 2,4)

Efectúa las siguientes sumas: 1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,5)

2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,8)

3) Z1 = (-4,8) ; Z2 = (-4,7)

4) Z1 = (4,7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,1)

6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

Efectúa las siguientes sustracciones: 1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,-5)

2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,4)

3) Z1 = (-4,2) ; Z2 = (-4-,7)

4) Z1 = (4,-7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,-5)

6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

Efectúa los siguientes productos: 1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8)

2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2)

4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

Efectúa las siguientes divisiones: 1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8)

2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2)

4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

Números Complejos en forma binómica:

Ejemplo: Efectuar (2+ 3i) + (3 - 2i) – (-4+ i)

2 + 3i + 3 – 2i + 4 – i = 9

Ejemplo: Efectuar (3 + 4i) . (2 – 3i) 6 – 9i + 8i – 12i2 = 6 – i + 12 = 18 – i

sabemos que: i = i i2 = 1

Ejemplo: Efectuar

3 + 2i 4 – 3i

3 + 2i . 3 + 2i 4 – 3i

4 – 3i

= 12 + 9i + 8i + 6i2 (4)2 – (3i)2

= 12 + 17i – 6

= 6 + 17i

16 – 9

Efectúa las siguientes operaciones: 1) (3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i)

2) (7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)

3) (4 + 3i) . (6 – 2i)

4) (7 – 2i) . (9 – 5i)

5) 3i

6) 4 + 5i

1-i

8) 4i + 2

3 – 2i

Transformación de un N° complejo a forma polar o trigonométrica: Ejemplo: Dado el N° complejo Z = 3 + 3i 32 + 32

= r=

 = arc. tg 3

9+3

 = 30°

Z = a + bi = r(Cos  + I Sen )= r Cis 

3 Z = 3 + 3i = 23 (Cos 30° + I Sen 30°) = 23 Cis 30°

Transformar a forma trigonométrica: 1) Z = 4 + 2i

2) Z = 5 + 3i

3) Z = 7 + 7i

4) Z = 2 + 6i

5) Z = 5

( Resp. 5Cis0°)

6) Z = 2i (Resp. 2Cis 90°)

Transformación de un número complejo en forma trigonométrica a forma binómica:

Ejemplo: Transformar Z = 2 Cis 60° Z = 2 Cis 60° = 2(Cos 60° + i Sen 60°) = 2 (1/2 + 3i/2) = 1 + 3i

Transformar a forma binómica: 1) Z = 1/3 Cis 150°

2) Z = 2 Cis 300°

3) Z = 5 Cis 45°

4) Z = 6 Cis 30°

5) Z = 7 Cis 60°

6) Z = 8 Cis 90°

BIBLIOGRAFÍA

NAVARRO, E..................................................Matemática para Cuarto Año. Libro de Práctica. Distribuidora Zacarías. Caracas. Venezuela.

GONZALEZ, Reinaldo.

Matemática. Primer Año. Educación Media Diversificada y Profesional. Editorial Obelisco. Caracas. Venezuela 1991.