Cuaderno de Matemática 1º Año Media

Autor: Luis. E. Camacho. S. Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

Deposito Legal lf03220035101806X

Prologo El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos del 1º Año de Media General, refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron muy satisfactorios.

Los Teques, Septiembre del 2003

1

Agradecimientos: Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo: Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática Msc. Milagros Coromoto Camacho, Asesora Metodológica Marcos Salas, Asesor en Computación

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen” Liceo San Pedro de Los Altos U. E. C. “Andrés Bello”

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Contenido .- Números Naturales.....................5 .- Adición en N, multiplicación en N..............5,6 .- Propiedades de la multiplicación en N............7 .- Ecuaciones en N.............8,9 .- N° enteros, adición en Z............10 .- Propiedades de la suma en Z, sustracción en Z............11 .- Multiplicación en Z, propiedades............12,13 .- División en Z............14 .- Relaciones de orden.........15 .- Potencia en N..............15,16 .- N° racionales..........17 .- Adición en Q, propiedades...............17,18 .- Sustracción en Q..............19 .- Multiplicación en Q, propiedades................19,20 .- División en Q..............21 .- Potencia en Q ................21 .- Expresión decimal y científica................21,22 .- Fracción generatriz.................22,23 .- Geometría, circunferencia...............24,25 .- Clasificación de triángulos ..................26,27,28 .- Cuadriláteros...................28,29 .- Polígonos.................29,30,31,32 .- Cálculos de áreas...............32,33 .- Medidas de capacidad y longitud................33,34,35 .- Poliedros..................35,36,37,38,39 .- Ejercicios......................40,41,42 .- Probabilidad estadística.................43,44,45,46 .- Estadística................47,48,49,50,51,52,53,54 .- Informática..................55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67 .- Ejercicios...................68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80 .- Juegos Matemáticos.............81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95 96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113, 114,115,116,117,118,119,120 .- Páginas de resolución de ejercicios...........121,122,123,124,125,126,127 128 .- Bibliografía...............129

3

Números Naturales:

Llamamos número natural a cada uno de los números que

empleamos para contar. Al conjunto de los números naturales le asignamos la letra N, entonces:

N=

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Adición en N: La adición en N cumple con las siguientes propiedades: # Conmutativa: a + b = b + a # Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) # Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a # Elementos Regulares: x + a = x + b ↔ a + b Multiplicación en N: La multiplicación en N cumple con las siguientes propiedades: # Conmutativa: a . b = b . a # Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) # Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a # Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0 # Elementos regulares: a . x = b . x ↔ a = b # Distributiva: a . (b + c) = (b + c) . a = ab + ac

4

1.-Resuelve por propiedad conmutativa: a) 4 + 7 = b) 5 + 8 = c)7+9= d.) 4 + 12 =

2.-Resuelve por propiedad asociativa: a) 2 + 8 + 7 = b) 1 + 8 +6 = c) 3 + 8 +4 = d) 4 + 7 +9 =

3.-Resuelve por elemento neutro: a) 5 + 0 = b) 4 + 0 =

4.- Resuelve por elementos regulares: a) 18 + x = 18 + 83 b) x + 21 = 10 + 21

c) 12 + x = 12 + 5 d) x + 24 = 4 + 24

Aplica las Propiedades de la Multiplicaci贸n:

1.- Resuelve por Conmutativa: a) 5 . 6 = b) 3 . 7 = c) 4 . 8 = d) 8 . 4 = e) 7 . 5 =

5

2.- Resuelve por Asociativa: a) 3 . 8 . 7 = b) 4 . 8 . 3 = c) 9 . 6 . 3 = d) 4 . 7 . 9 =

3.- Resuelve por Elemento Neutro: a) 4 . 0 = b) 3 . 0 = c) 0 . 9 = d) 0 . 7 =

4.-Resuelve por elementos regulares: a) x . 3 = 4 . 3 b) x . 6 = 2 . 6 c) x . 9 = 3 . 9 d) x . 7 = 5 . 7

6

Ecuaciones en N: las ecuaciones de la forma x + b = a ( con a ε N y b ε N) sólo tienen solución en N cuando es a ≥ b ; teniéndose que: x + b = a ↔ x = a – b

Ejemplos:

1) Resuelve: x + 5 = 6

x=6–5

x=1

2)Resuelve: x – 7 = 10

x = 10 + 7

x = 17

3)Resuelve : 2x + 4 = 10

x = 10 – 4 2

4)Resuelve: x + 4 = 5

x = 10 – 8 2

x=

6 2

x=3

x=2

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x +3 = 4

b) x + 3 = 5

c) 2x + 4 = 8

d) 3x – 5 = 10

e) 2x + 3x = 15

f) 4x – x = 20 – 5

g) 3x – 2x = 5

h) x + 2x = 9

i) x – 3 = 6 2

7

En las ecuaciones con N° naturales debes recordar que x es una incógnita que debes hallar.

Guía para resolver problemas con números naturales: x = número

x + 1 = un número más uno.

2x = dos veces un número

x + 2 = un número más dos.

3x = tres veces un número

x + (x +1)= suma de dos N° consecutivos.

x/2 = mitad de un número.

2x + 1 = un número impar.

x + (x +1) = dos N° consecutivos.

2x+(2x+2)= dos N° pares consecutivos.

Los números naturales son un subconjunto de los números enteros N  Z

8

Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el cero. + _ Z = +1,+2,+3,+4,+5,....

Z = -1,-2,-3,-4,-5,.....

* Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5....

Z= 0

Recuerda que en la suma de N° enteros, los números de igual signo se suman y se coloca el mismo signo, y los de diferentes signos se restan y se coloca el signo de mayor valor absoluto.

Adición de N° Enteros:

a) (2)+(6)+(8)=

b) (3)+(8)+(5)+(4)=

c) (-2)+(-4)+(7)=

d) (-19)+(-5)+(-6)=

e) (4)+(-6)+(-5)=

f) (-2+7)+(5-1)=

Propiedades de la suma en Z:

a)Conmutativa: (a) + (b) = (b) + (a)

Resuelve:

a) (3) + (6)= b) (-5) +(-6)= c) (4) + (-9) =

9

b)Asociativa: (a) +(b + c) = (a + b) +( c)

Resuelve:

a) (3)+(7)+(5)= b) (-7)+(-6)+(9)= c) (-4)+(-7)+(-9)= d) (-8)+(4)+(-12)=

c)Elemento Neutro: (a) + (0) = (0) + (a) = a Resuelve:

a) (3)+(0)=

c) (6)+(0)=

b) (7)+(0)=

d) (-8)+(0)=

d) Elemento Simétrico: (a)+(-a) = 0

Resuelve:

a) b) c) d)

(5) + (-5)= (6) + (-6)= (-4) + (4)= (-7) + (7)=

Sustracción de N° Enteros: Resuelve: a) (5)-(-4)= b) (5)-(7)-(9)= c) (4+1)-(3-1)= d) (8-2) – (-3-4) =

10

Multiplicaci贸n de N掳 Enteros: Resuelve: a) (9).(7)= b) (5).(4)= c) (-3).(2).(4)= d) (2).(4).(-3).(2)=

Propiedades de la Multiplicaci贸n:

Conmutativa. (a).(b) = (b).(a) Resuelve: a) (3).(4)=(4).(3)

b) (5).(-4) =(-4).(5)

d) (-6).(5)=(5).(-6)

c) (-9).(-6) = (-6).(-9)

e) (5).(8)=(8).(5)

El orden de los factores no altera el producto

11

Asociativa: (a).(b . c) = (a . b).(c) Resuelve: a) (2).(4).(5)=

d) (3).(8).(4).(5)=

b) (-6).(2).(-3)=

e) (-4).(6).(2)=

c) (-7).(5).(-4)=

f) (-4).(9).(3) =

Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

Resuelve: a) (5).1= b) (-6).1= c) (8).1= d) (-5).1=

Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0 Resuelve: a) (5) . 0 = b) (-9) . 0 = c) 0 . (-7) = d) 0 . (6) =

12

Al dividir N° enteros, recuerda dividir los signos también.

División de N° Enteros: Resuelve: a) (4) : ( 2) = b) (5+3) : (2) =

Resuelve éstos ejercicios

c) (-2+4) : (2) =

d) (7-1) : (5+ 1) = e) (8-3+4) : (2+1)= f)

(5-3).(2-1) : (2) =

g)

(3+6-2) : (2+5) : (4-2) =

h) (-3+9-2) + (-5+7-1) : (15-10) =

i)

(2+8-4) . (-1+3-6) : (9-1) =

j)

(5-2+9) – (-3+4-6)

: (14+3) =

13

Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”:

1) Ordena de menor a mayor (<) a) 5,-3,8,0,-1,6,100 b) -5,-3,0,10,-26,8,-20 c) -7,0,3,7,-20,-13,36 d) 2,-4,-8,0,-1,24,-25

2) Ordena de mayor a menor (>): a) -3,4,7,-100,-26 b) -5,-12,-15,18,1,0 c) -7,-120,-36,0,-1,8,9,44 d) 20,-1,0,-38,-4,16,2,3

Potenciación: Es una multiplicación reiterada.

par

Regla para potenciar:

(+)

=+ impar

(+)

=+

par

(- )

=+

impar

(-)

=-

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Puedes aprenderte estas propiedades, para que se te facilite el objetivo.

0

Propiedades: 1) a = 1 1

2) a = a m

n

m +n

3) a . a = a m

n

4) a : a

m-n

= a

m n

m.n

5) (a ) = a

Realiza estos ejercicios en tu cuaderno.

Ejercicios: a) 2³ =

b) 2.2.2.2 =

c) ( -3)2 =

d) (2)2 . (2)3 =

e) a² =

f) 6 ². 6 ³=

g) 53 . 42 . 52 =

h) 32 . 40 . 33

i) ( 22 . 32)3 =

j) (52 . 43 )2 . (23 . 3 ) =

2 . 32 2 2 . 4 . 52 k) (32 . 43 . )2 . (52 . 3)2 = (32 . 43 . 52 )2

l)

(2 3 . 32 )2

2

=

2 3 . 32

15

3.- Números Racionales: Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada. Un número racional está compuesto por un numerador y un denominador.

Debes recordar que para hallar el mínimo común múltiplo, se toman los N° comunes y no comunes con su mayor exponente.

a numerador b denominador

Hallar el m. c. m en : a) 2 y 8

b) 4 y 9

c) 5 y 12

d) 3,2,4

e) 8,5,3

f) 2,7,6

g) 3,9,14

h) 5,8,7

Adición de N° Racionales:

Resuelve: a) 2 + 3 5

4

=

b) 4 + 7 = 3

5

c) 5 + 8 = 3

2

16

Propiedades de la Suma de N° Racionales:

Conmutativa: a + c = c + a b d d b

Resuelve: a) 2/3 + 5/3 =

Asociativa: a + b

c + e d f

=

b) 3/2 + 5/4 =

a + c b d

Resuelve: a) 4/5 + 3/6 + 3/2 =

c) 5/6 + 7/5 =

+ e f

b) 4/2 + 2/3 + 7/2 =

c) 4/6 + 7/8 + 3/5 =

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a b

b

Resuelve: a) 4/3 + 0

Elemento SimĂŠtrico: a

b) 5/3 + 0

c) 6/2 + 0

d) 5/2 + 0

e) 2/5 + 0

-a +

b

b

Resuelve: a) 5/6 = b) 6/8 = c) 4/9 = d ) 3/5 = e) 7/9 = f) 8/5 =

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Sustracción de Números Racionales:

Resuelve: a) 5/6 – 8/6 = b) 5/6 – 5/3 =

c) 6/8 – 9/6 = d) 5/6 – 3/2 =

Problemas Simples:

a) Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos. b) Un tanque de agua vacío se llenó de la siguiente manera: el primer día con ½ de agua, el segundo día con 2/3 de aguay el tercer día con ¾ de agua. ¿ Cuál es la capacidad del tanque?

Multiplicación de N° Racionales:

a) 6/4 . 5/3 =

b) 5/4 . 2/4 = c) 7/6 . 4/5 = d) 6/3 . 5/2 = e) 6/4 . 4/3 =

Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales: Conmutativa: a . c

c . a =

b d

d

b

Resuelve: a) 5/4 . 7/6 = b) 5/3 . 6/5 = c) 4/3 . 7/2 = d) 6/2 . 9/5 =

18

Asociativa: a . c . e = a . c . e b

d

f

b

d

f

Resuelve: a) 7/4 . 6/5 . 3/2 = b) 3/2 . 4/2 . 6/5 = c) 4/3 . 7/5 . 4/1 =

Elemento Neutro:

a

. 1 = 1.

a

b

b

=

a b

Resuelve : a) 4/5 . 1 = b) 4/7 . 1 = c) 3/5 . 1 = d) 2/5 . 1 = e) 6/4 . 1 =

Factor Cero :

a

a . 0

=

0 .

b

b

Resuelve: a) 5/3 . 0 = b) 4/2 . 0 = c) 3/6 . 0 = d) 2/5 . 0 = e) 3/8 . 0 =

Distributividad

a b

.

c + e ‫־‬ d f

=

a . c + a . e ‫־‬ b d b f

Resuelve: a) 6/4 . ( 5/3 + 7/3 ) = b) 5/3 . ( 2/2 – 5/3 ) =

c) 2/6 . ( 5/6 + 7/3 ) =

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División de N° Racionales: Ejemplo : 2 : 3

2 . 7

14

= 4

7

= 4

3

Resuelve: a) 2/4 : 7/9 =

12

b) 6/2 : 3/5 =

c) ( 5/4 . 8/6 ) : 7/3 =

d) (7/2 : 9/3) : 8/4 = e) (5/3 + 1/5) : 2/3 =

f) 6/4 + ( 7/3 : 3/2) =

Potenciación de N° Racionales :

Resuelve :

a) 2/5 ³

b) 2/4 ²

e) 3/5 ³ : 3/5

c) 2/3 .

f)

2/3 ²

d)

2/3 ³ . 2/3 ²

²

2/4 ² . 2/4 ³ ³

Expresión Decimal y Científica:

Calcula: a) 4 = 0,4 10

b) 8 = 100

c)

486 = 1000

d) 5789 = 10

e) 44,567 = 100

20

Escribe en Notación Científica:

Calcula: a) 1.600.000 = 1,6 x 106

d) 0,00083 =

e) 0,3478 =

b) 1.470.000 =

f) 172 =

c) 45.200.000.000 =

g) 12,347 =

h) 0,0789=

Escribe en forma decimal: Calcula: a) 3,2 x 104 = 3,2 x 10.000 = 32.000 d) 3,55 x 10-6 =

e) 45 x 10-1 =

b) 1,3 x 103 = c) 1,26 10-4 = f) 1,26 x 10-2 =

g) 684 x 102 =

Observa la estructura de un N° decimal

Fracción Generatriz: A,BCDE.....

A= unidad B= décima C= centésima D= milésima E= décima de mil Etc.......

1 0,1 0,01 0,001 0,0001

21

Dado el decimal: 8,3 5

dĂłnde:

8 es la parte entera 3 es el ante perĂ­odo 5 es el perĂ­odo

a) Dado f: 3,4 5

100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5 -10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5 90f

=

311

f= 311 90

Resolver: a) 4,3 4

f) 7,4 4

b) 6,57 8 =

c) 9,4 32 =

d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =

g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546

22

Geometría :

Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del centro.

Elementos de la Circunferencia:

a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. b) Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. d) Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio

.

Arco

23

Cuerda

Diámetro

Fórmula de la Circunferencia: C=2.π.r

Calcular: a) C = x r = 4 cm

b) C = x r = 3 cm

c) C = x r = 2 cm

d) C = x r = 6 cm

Construir circunferencias de:

a) 5 cm de diámetro. b) 2.5 cm de diámetro. c) 4 cm de radio. d) 3 cm de radio e) 20 mm de radio. f) 30 mm de diámetro.

24

Triángulos:

Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados,

vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.

Clasificación de los triángulos: Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo

a

b

e

c

d

f

Ángulos Internos: A

α A + α B + α C = 180°

25

Ejercicios: 1) Dado :

Hallar : x

2) Dado

Hallar : x

Ángulos Externos : A +  B +  C = 360°

B

C A

1.- Dado

120°

Hallar: X X

80°

26

X 2.- Dado Hallar: X 100° 120°

Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Paralelogramo a

Rectángulo b

Rombo

e

f

g

h

s

v d

c

t

u Trapecio Isósceles

Trapecio Rectángulo

27

Trapecio Escaleno i e

m

n

:

Construir los siguientes cuadriláteros: 1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.

2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.

3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.

4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en ‘el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.

Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal cerrada y sus puntos interiores.

Polígono regular

Polígono irregular b

b a

c c

e

d

a

e

d

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Nombre de los Polígonos: 3 lados : triángulo 4 lados: cuadrilátero 5 Lados: pentágono 6 lados: hexágono 7 lados: heptágono 8 lados: octógono 9 lados: eneágono 10 lados: decágono Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia.

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide: a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm. b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm. c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm. d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

29

PolĂ­gonos inscritos: son los que tienen todos sus vĂŠrtices sobre la misma circunferencia a

b

e

d c PolĂ­gonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la

misma

circunferencia.

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Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide: a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm. b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm. c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm. d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

Cálculo de Áreas: a.- A (triángulo) = b . h 2

b.- A(rectángulo) = b . h

d.- A(paralelogramo) = b . h

e.- A(trapecio)= B1 + B2

c.- A(cuadrado)= L²

.h

2

f.- A(rombo) = D1 . D2 2

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Ejercicios: a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm. b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la altura 2 cm.

c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm. d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5 cm. e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra diagonal mide 4 cm.

Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es el litro.

Kl- hl – dal -l- dl – cl - ml

Kl= kilo-litro

hl= hecto-litro Cl= centrilitro

dal= decalitro

l= litro

dl= decilitro

ml= mililitro

Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

32

Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 3.- Transformar 1280 cl a dal

2.- Transformar 267 l a cl 4.- Transformar 34 dl a hl

Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma.

De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³

Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 5.- Transformar 12345 mm³ a km³

2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³

Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre dos cuerpos.

Km-hm-dam-m-dm-cm-mm Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro cm= centímetro

mm= milímetro

33

Transformar: a.) 3,4m a cm d.) 28 dam a dm

b.) 0,456 dam a mm e.) 24546 mm a cm

c.) 4876 m a hm f.) 7463 h a Km

Identificar Poliedros:

Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.

Cubo

Paralelepípedo

Prisma

Tetraedro

34

Vi pirámide

Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan.

Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.

Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o los puntos de intersección de sus aristas.

Calcular el volumen de poliedros: 1) Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado2.

Fórmula: V = (lado) 3

35

2) Volumen del paralelepípedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale: A = largo x ancho.

a Fórmula: V = l . a . h h

l = largo a = ancho h = altura

l

3) Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C =  . r2

Fórmula: V =  . r2 . h r = radio h

h = altura

36

4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura.

FĂłrmula: V = p . a . h 2

5) Volumen de la esfera:

fĂłrmula. V = 4 . ď ° . r3 3

r

37

5) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula:

V=b . h 3

6) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V =  . r2 . h 3

h r

38

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen: a) 3,4 m3 a cm3

b) 0,042 dam3 a mm3

c) 4876 m3 a hm3

d) 0,086 cm3 a dam3

e) 4 km3 a mm3

f) 18742 cm3 a dam3

Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son: a) l = 6 m

b) l = 5 cm

c) l = 3 cm

d) l = 7 m

e) l = 4 m

f) l = 8 cm

Calcular el volumen de un paralelepĂ­pedo, cuyos datos son: a) l = 3 m

b) l = 4 m

c) l = 5 cm

a = 2,5 m

a=3m

a = 3 cm

h = 1,8 m

h=2m

h = 6 cm

d) l = 5 m

e) l = 6 cm

f) l = 7 m

a=4m

a = 4,5 cm

a=8m

h=8m

h = 7 cm

h = 10 m

39

Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son: a) r = 12 cm

b) r = 10 m

c) r = 8 cm

h = 45 cm

h=7m

h = 5 cm

 = 3,14

 = 3,14

 = 3,14

d) r = 23 cm

e) r = 14 m

f) r = 9 cm

h = 30 cm

h = 14 m

h = 14 cm

 = 3,14

 = 3,14

 = 3,14

Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son: 1) b = 240 cm2

2) b = 124 cm2

h = 14 cm

h = 16 cm

3) b = 24 m2

4) b = 45 cm2

h=6m

h = 5 cm

Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son: 1) r = 3 cm  = 3,14

2) r = 4 m

3) r = 5 cm

 = 3,14

 = 3,14

40

Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son: 1) r = 6 m

2) r = 8 cm

3) r = 7 m

h=4m

h = 6 cm

h=5m

 = 3,14

 = 3,14

 = 3,14

41

Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades. Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de

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posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no.

Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra. Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v 1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una

43

persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6.

El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico.

Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

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P = CF CP

casos favorables casos posibles

Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1 2

lo que significa 0,5 x 100% = 50%

2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N째 5.

P= 1 6

lo que significa 0,16 x 100% = 16,6%

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que: a.- Al lanzar dos dados salga el N째 4 y 6. b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello. c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde, salga una azul y una roja. d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

45

Estadística: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Historia: Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a

46

principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Tipos de Gráficos: 1.- Gráfico de Barras: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Este Oeste Norte

1er trim.

2do trim.

3er trim.

4to trim.

47

2.- Gráfico Circular: C ir c u la r

3.- Gráfico de Polígono:

Polígono de Frecuencias N° 10 5 0 1 - 2

3-4 5-6 7 - 8 9-10 - 10 10101 7 Calificaciones

48

4.- Grรกfico de Ojiva: O jiv a 9 8 7

Alu m n o s

6 5 4 3 2 1 0 1 -3

4 -6

7 -9

10 - 12

13 - 15

Ca lifica cio n e s

49

5.- Grรกfico de Columnas: C o lu m n a s 8 7

A lu m n o s

6 5 4 3 2 1 0 1 C a l i fi c a c i o n e s

6.- Grรกfico de ร reas:

Areas

Alumnos

8 6 4 2 0

1-3

4-6

7-9

10 -12

13 -15

Calificaciones

50

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribuci贸n, hacer el gr谩fico de barras:

Intervalos

frecuencia clase

frecuencia acumulada

01

- 05

6

6

06

- 10

8

14

11

- 15

4

18

16

- 20

5

23

8 7 6 5 Frecuencia

4 3 2 1 01

05

10

15

20

Intervalos

51

Ejemplo: Con la siguiente distribuciรณn de frecuencias, hacer un grรกfico circular

Realiza el grรกfico.

Correspondiente.

Clases

frecuencias

punto medio

frecuencia acumulada

01-05

5

3

5

06-10

6

8

11

11-15

4

13

15

16-20

7

18

22

52

Completa el cuadro y realiza el grรกfico. correspondientes Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un grรกfico de barras

Intervalos

frecuencias

001-002

6

003-004

8

005-006

7

007-008

4

Punto medio

P.mx f

53

Nociones elementales de Informática:

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado. b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos: 1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones. d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras, capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una escritura. e) Formas de procesamiento de datos: .- Medios perforados. .- Soportes perforados: tarjetas perforadas. cintas perforadas.

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.- Medios magnéticos: tambor magnético. soporte magnético. cintas magnéticas. disco magnético .- Medios ópticos. .- Terminales de teclado-pantalla. .- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por: a) Monitor o pantalla. b) Teclado. c) C .P.U d) Impresora. e) Mouse. f) Fax. g) Scanner.

55

56

Partes de un Computador

Unidad de Entrada

Unidad de Memoria

Traduce palabras y números a lenguaje de máquinas

Almacena datos e instrucciones

Unidad de Salida Traduce el lenguaje de máquina a palabras y números

Unidad de Control Controla los cálculos y el orden de las instrucciones

Unidad Aritmética Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

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Características de los computadores: a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo: .- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos. .- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por medio de lenguajes de programación. a) Tienen gran velocidad de cálculo. b) Tienen gran capacidad de almacenamiento. c) Tienen gran precisión. d) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos Tópicos. e) Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores: Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.

Tareas administrativas del computador: a) Gestión de personal. b) Proceso de nóminas. c) Control de inventarios.

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d) Gestión de almacén. e) Facturación y contabilidad. f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio. g) Información de productores, partes y materiales. h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales: a) Control de procesos industriales. b) Robótica industrial. c) Diseño. d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico: a) Predicciones meteorológicas. b) Control ambiental. c) Control de comunicación satelital. d) Programas de simulación (vuelos). e) Otros.

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Aplicaciones médicas: a) Control clínico del paciente. b) Mantenimiento de hospitales. c) Tomografía computarizada. d) Otros.

Concepto de algoritmo: El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

60

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso

salida - entrada

Operación Manual

decisión

Inicio-fin

introducción manual magnetic-tape

documento

punched card

61

Representación gráfica de algoritmos : Problema N° 1: Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada con llave?

si

buscar la Llave

introducir la llave en la cerradura

darle vuelta a la llave

dar vuelta al pomo

salir

no

¿ Se abrió la puerta

abrir completamente la puerta

fin

62

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0) 2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N) 4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N=0 SUM = 0

N=N+1

SUM = SUM + N

Si ¿ Es N < 20

No Imprima SUM

fin

63

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2) 3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X) 5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir

Comienzo

N=0 X=0 SUM = 0

X=X+2

N=N+1

SUM = SUM + X

Si

¿ Es N < 20 ?

No

Imprima SUM

fin

64

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4)Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Leer los N° enteros positivos A y B Asignar a las variables PROD y N el valor 0 Sumar a PROD el valor en A Aumentar a N en 1.

Si N < B pasar a instrucción 3.

Imprimir: PROD

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Leer los N° enteros positivos A y B. Asignar a las variable COC el valor 0.

Efectuar A – B y asignarlo a A. Aumentar a COC en 1.

Asignar a RES el valor A. Imprimir: COC y RES

65

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B. 2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3)Intercambiar valores de A y B. 4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R. 5) Si R = 0 pasar a instrucción 7 6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R. 7) Imprimir; MCD (A , B) = B

66

Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones. a) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)= b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}= c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}= d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) x + 8 = 18

b) x – 4 = 10

c) 10 + x = 30

d) 20 + x = 70

e) 82 – x = 68

f) 5x + 10 = 15

g) x + 20 = 34

h) x – 25 = 50

i) 4x = 124

j) 5x + 103 = 153

k) 42x – 84 = 126

l) 1200 = 90 + 111x

67

Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones: a) (15+1):8= d) (23-11) : (-6)=

b) 20 : (7+3)=

c) (-36) : (6-12)=

e) 45 : (14-5)=

f) (-80) : (15+5)=

Efectuar cada una de las siguientes expresiones: a) 32.34.35 =

b) 23.34.25.310 =

3.36

3.22.2.35

c) a3.b2a.b3 = a2.b3

Hallar el m .c .m de los siguientes nĂşmeros: a) 20 y 4

b) 30 y 6

c) 5 y 7

d) 15 y 25

e)21 y 34

f)12,3,15

g) 24,12,30

h) 4,8,9

i) 9,10,7

j) 5,9,16

Determinar el M .C .D de los siguientes nĂşmeros: a) 72 y 90

b) 140 y 35

c) 24 y 56

d) 14 y 8

e) 12 y 34

f) 25 y 46

g) 14 y 28

h) 35 y 42

i) 28 y 35

j) 21 y 30

68

Efectuar cada una de las siguientes adiciones: a) 2/6 + 7/4 =

b) 5/3 + 6/5 =

c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =

d) 5/2 + 7/5 =

e) 4/3 + 8/6 + 9/4 =

f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =

g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 =

i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =

Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como una fracción irreducible: a) ( 3/4 ) . (-5/3)=

b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) =

d) (4/6) . (5/6) . (5/2) =

c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =

e) (7/6) . (4/5) . (3/6) =

f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando la respuesta lo más simplificado posible:

a) (3/4 + 2/5) : 2/3 =

b) (5/2 – 1/5) : 2/4 =

c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =

d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) =

e) (5/6 : 4/3) : 6/4 =

g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) =

h) (1/5 . 2/4) + (5/4) =

f) (4/6 – 8/4) . 6/3 = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

69

Efectuar cada una de las siguientes potencias: a) (2/3)4 . (2/3)3 =

b) (-1/3)2: (-2/3)4 =

d) (3/4)2 . (6/5) =

e) (2/3)4 . (1/5)

g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2

3

4

c) (3/5) . (3/5)4 =

h) (4/2)3 . (5/2)3

=

f) (6/4)3 : (6/4)2 =

= 5

: (4/2) .(5/2)2 =

Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de las siguientes fracciones: a) 4/10 = f) 34,2/10 = j) 78/1000 =

b) 8/100 = c) 486/1000 = g) 2,45/100 = k) 24537/10 =

d) 39/10.000 =

h) 0,0078/1000 =

e) 765/100 = i) 8765/100 =

l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =

Determinar la fracci贸n generatriz de cada uno de los siguientes n煤meros decimales: a) 2, 35 = f) 5, 7 6 5 =

b) 34, 24

=

c) 4, 786 =

d) 76, 345 = e) 54, 8976 =

g) 45,9 87 = h) 876,98 65 =

i) 9,567 87 =

70

Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:

a) r = 2 cm

b) r = 6 cm

c) r = 2,4 cm

d) r = 10 cm

e) r = 3,5 cm

f) r = 34 mm

g) r = 45 mm

h) r = 5 m.

Dibujar los triรกngulos cuyos lados se dan a continuaciรณn: a) ab = 2 cm

b) ab = 19 mm

c) ab = 23 mm

d) ab = 4 cm

ac = 2,2 cm

ac = 20 mm

ac = 20 mm

ac = 6 cm

bc = 2 cm

bc = 23 mm

bc = 26 mm

bc = 7 cm

Construir circunferencias de : a) 3 cm de radio

b) 23 mm de radio

c) 5,3 cm de diรกmetro

d) 45 mm de diรกmetro

e) 3,3 cm de radio

f) 8 cm de diรกmetro

71

Construir los siguientes cuadrilรกteros: a) Un paralelogramo: ab = 4 cm ; ad = 2 cm b) Un rectรกngulo: ab = 6 cm ; ad = 2 cm c) Un rombo: diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm d) Un trapecio isรณsceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm e) Un trapecio rectรกngulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm f) Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm

Construir polรญgonos, cuyas circunferencias son: a) Un triรกngulo, en una circunferencia de 5 cm de diรกmetro. b) Un cuadrilรกtero, en una circunferencia de 4 cm de diรกmetro. c) Un pentรกgono, en una circunferencia de 6 cm de diรกmetro. d) Un hexรกgono, en una circunferencia de 7 cm de diรกmetro.

72

Calcular las siguientes áreas: a) De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm b) De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm c) De un cuadrado: l = 3 cm d) De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm e) De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm f) De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm

Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a continuación: a) αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm b) αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm c) αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm d) αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm e) αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm

73

Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:

a)

75° x

b) 45° x 52°

c)

56° x 52°

82°

74

En cada una de las siguientes figuras calcular el รกrea sabiendo que: a) En esta figura cada cuadrado tiene un รกrea de 1 m2. b) En esta figura cada cuadrado tiene un รกrea de 1 cm2. c) En esta figura cada cuadrado tiene un รกrea de 1 km2.

a)

b)

c)

75

Calcular el รกrea de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas) a) Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm. b) Un triรกngulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm. c) Un rectรกngulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm. d) Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm. e) Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm. f) Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen: a) 2,6 m3 a ml3

b) 0,0003 hl3 a cl3

d) 3,53678 dal3 a ml3 e) 1234,65 kl3 a dl3

c) 456,74 l3 a mm3 f) 2,4 x 102 dal3 a hl3

76

Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud: a) 45 km a hm e) 984 dam a dm

b) 456,3 m a km

c) 1,245 mm a m

d) 0,786 m a km

f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m

77

Hallar la probabilidad de que: a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara. b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5. c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello. d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas. e) En el siguiente cuadro numÊrico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de Acierte el N° 4.

4

5

8

9

1

0

3

12

4

7

10

23

13

43

32

89

45

54

78

98

46

27

37

4

60

100 48

41

96

3

12 76

1

52

0

78

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras, uno líneas y uno de puntos: Clases

frecuencias

00-06

5

07-13

7

14-20

4

21-27

8

punto medio

f. acumulada

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras uno de puntos.

Intervalos

frecuencias

1 – 10

5

11 - 20

8

21 – 30

6

31 - 40

9

punto medio

p. m x f

79

80

Ludo de los Números Naturales

Descripción: Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.

El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con los números naturales.

Regla del Juego: 1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la casilla de llegada.

4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.

5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.

Objetivo Terminal: El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales de los números naturales.

81

82

Relaciónate con los Números Naturales

Descripción: Consta de 55 piezas rectangulares, elaboradas en cartulina doble-fax, donde cada lado consta de relaciones de dos números, donde se pueden sumar o multiplicar según el objetivo que se quiera lograr. La relación viene dada d todas las combinaciones de los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Se elaborarán 17 circunferencias en cartulina de 20 cm ó 30 cm de diámetro, cada una enumerada del 1 al 17.

Regla del juego: 1.- Se debe repartir 11 piezas a cada alumno en grupos de cinco (5), en una meza o el piso.

2.- Se dispondrá de las 17 circunferencias ya recortadas en medio de los jugadores (suma) y 35 circunferencias para el (producto).

3.- Se les indicará a los alumnos que introduzcan las 11 fichas de cada combinación, dependiendo de la suma o el producto de los números en la circunferencia correspondiente.

4.- Ganará el que termine de relacionar las fichas dentro de las circunferencias en forma correcta.

Objetivo Terminal: El alumno conocerá mediante el juego , los números naturales, las relaciones entre ellos, además de sumar y multiplicar en N.

83

SUMA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

84

PRODUCTO

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

8

3

5

6

7

12

21

18

15

24

20

28

27

45

32

63

36

42

85

72

48

35

54

56

40

14

PIEZAS

86

87

88

89

90

Memoria de los Números Enteros

Descripción: Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doble-fax, donde un lado estará con un número, palabra o signo, relacionado con el tema de los números enteros (preferiblemente en colores), y el otro lado en blanco.

Regla del juego: 1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.

2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.

3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una vez que coincidan se anexarán al jugador.

4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.

Objetivo Terminal: Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números negativos, los positivos y el cero como números enteros.

Conocer que los números enteros se escriben como Z. Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números enteros.

91

92

NZ

NZ





93

|

94

Juguemos con los Dados Suma de Fracciones Descripción del juego: Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3 equipos).

Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los alumnos dirán que pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para comenzar la competencia entre ellos.

Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y los que lo hagan en menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y competirá con la otra pareja.

La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y así sucesivamente.

Al final competirán entre sí los ganadores de los seis equipos, y se irán eliminando hasta quedar un (1) ganador. El profesor recogerá el record de todos los competidores, asignándole desde 0,25 puntos hasta 2 puntos a los ganadores (dependiendo de las veces que haya ganado).

Propósito: .- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores. .- Compartir conocimientos. Solidaridad. .- Ser críticos.

Objetivo terminal: Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.

95

Caras de los Dados Primer Dado:

1 2

2 3

1 4

3 4

2 5

3 6

Segundo Dado:

2 7

4 6

3 5

5 2

4 6

6 4

96

Carrera Geométrica Descripción: El juego consiste de un tablero de cartulina doble-fax, construido por los alumnos, conteniendo cuadros sucesivos en los que hay preguntas, observaciones y respuestas que el jugador debe acatar.

Se jugará con cuatro alumnos en el piso o una mesa. Se utilizará un dado por juego.

Ganará el alumno que logre salvar todos los obstáculos y llegue primero. Consta de 26 tarjetas de preguntas y 26 tarjetas de respuestas.

Regla: 1.- Se sorteará el salidor, lanzando el dado.

2.- Cuando caiga en

?

se deberá levantar la tarjeta de arriba y leer la pregunta al

jugador. Si coincide con la tarjeta de respuesta podrá volver a lanzar el dado.

3.- Cuando caiga en “avanzar”, “ pierdes turno, “retrocede espacios”, debes cumplir con lo escrito.

4.- Los espacios con figuras geométricas son neutros.

5.- El jugador que llegue primero, será el ganador.

Objetivo Terminal: Se cumplirá el objetivo, si los alumnos responden satisfactoriamente todas las preguntas en los que ha caído el alumno.

El juego persigue estimular al alumno en el conocimiento teórico y práctico de la geometría de 7mo grado.

Parte posterior

.

Parte anterior

1- Pregunta

1.- Respuesta

97

98

Preguntas

1.- ¿La Geometría estudia?

2.-¿ La circunferencia es?

3.-¿ Radio es?

4.- ¿El arco es?

5.- ¿Define la Cuerda?

6.- ¿ El Diámetro es?

7.- ¿ La fórmula C = 2. . r es para calcular la?

8.- ¿ El segmento de la figura es?

10.-Qué triángulo es?

11.- ¿ Qué triángulo es?

12.- ¡Los ángulos de la figura son?

14.- ¿ Qué triángulo es?

15.- La figura representa un:

17.- La figura representa un:

18.-Los ángulos de la figura son:

13.- ¿ Un cuadrilátero es?

16.- ¿ Un polígono es?

9.- ¿ Un triángulo es?

99

19.- La figura representa un:

22.-En la fórmula: At = b . h 2 b=? h=?

20.- La figura representa un:

21.- ¿Un polígono de 6 lados se llama?

23.- ¿ La notación Kl se llama?

25.-¿ La figura es un?

24.-¿ La unidad para medir la longitud es?

26.- La figura es un?

Respuestas

1.- Estudia el espacio y las formas, figuras y cuerpos que se imaginen.

2.- Es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del centro.

3.-Es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto.

4.- Es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

5.- Es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

6.- Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

100

7.- Circunferencia

8.- Radio

9.- Un triángulo es un polígono de tres lados.

10.- Equilátero

11.- Rectángulo

12.- Internos

13.- Es un polígono de cuatro lados

14.- Isósceles

16.- Llamamos polígono a la figura representada por una línea poligonal.

19.- Un polígono regular

15.- Paralelogramo

17.- Rectángulo

18.- Externos

20.- Rombo

21.- Hexágono

101

22.- b = base h = altura

23.- Kilolitro

25.- Cubo

24.- Metro

26.- Cilindro

102

Juego de Dominó en la Geometría Descripción: El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida en dos recuadros iguales. Cada recuadro expresa una relación.

El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras geométricas y cuerpos geométricos. El juego consiste en empatar la figura, fórmula o cálculo del extremo de una ficha, con una relación de su misma clase, perteneciente a otra ficha:

Regla del Juego: Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando pupitres en una aula normal. Para una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará 6 ó 8 juegos semejantes.

El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se revuelven las fichas boca abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente suyo.

El jugador irá colocando las fichas dependiendo de la relación que exista al momento de jugar. Ganará el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo sumará un (1) punto cada vez que llegue primero uno del equipo.

103

Se jugarรกn 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo ganador.

FICHAS

104

105

106

Subiendo y bajando la escalera (Estadística) Descripción: Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de colores diferentes para identificar los jugadores .

Regla del juego: 1.- Constará de 24 escalones enumerados.

2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.

3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.

4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.

5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con los ejercicios.

6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.

7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.

8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y librarse de la caída de la casilla 13.

Objetivo terminal: El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.

107

13 12 11 10 9 8 7 6

14 15 16 17 18 19 20

5

21

4

22

3

23

2

24

1 Vuelve a empezar

108

Tarjetas de Preguntas Posterior

1

2

Define Estadística

¿ Qué significa % ?

3 Toma una tarjeta de inmunidad

4

5 ¿Este es un gráfico? frecuencia rojo

Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 4

6 ¿ Que es la probabilidad ?

verde azul amarillo morado

109

7

8

Lanza dos monedas y halla la probabilidad de que salga cara y sello

Toma una tarjeta de inmunidad

9

10

¿Qué significa fr ?

Toma una tarjeta de inmunidad

11

12

¿ Este es un gráfico de?

Avanza 2 escalones

100 80 60 40 20 0 1er trim.

2do trim.

3er trim.

4to trim.

13

14

Define población

Toma una tarjeta de inmunidad

110

15

16

Define muestra

¿ Cuál es la moda en?

3,4,5,2,1,3,6,8,3

17

18

Toma una tarjeta de inmunidad

Retrocede 4 escalones

19

20

Grafica el siguiente cuadro: Intervalos 00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 – 20

Frecuencia 1 4 6 2

21

Toma una tarjeta de inmunidad

22 Calcular la media en:

Define la mediana

5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

111

23 Âż QuĂŠ porcentaje es 350 de 1000?

24 Calcular la mediana en: 1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

Tarjetas de Inmunidad

112

Respuestas

1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fen贸menos que han ocurrido

2.- Significa porcentaje

3.-

4.- La probabilidad es

P = 1/6

5.- Gr谩fico circular

6.- Es el estudio de fen贸menos ocurridos al azar 7.- P = 2/4

8.-

9.- Frecuencia relativa

10.-

113

11.- Gr谩fico de barras

12.- Avanza 2 escalones 13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigaci贸n 14.-

15.- Es un subconjunto de la poblaci贸n

16.- La moda es: 3 17.-

18.- Retrocede 4 escalones 19.6 4 2 0 00 - 05

06 - 10

11 - 15

16 - 20

114

20.-

21.- La mediana es el valor central de una distribuci贸n.

22.- x = 42 7

x=6

23.- 35%

24.- es 5

115

Crucigrama Matemático:

1

5

2

3

6

7 4

8

10 11

9

10

12

Horizontal:

Vertical:

1.- Suma de 3 + 4

1.- se define + como

2.- Se llama

3.- 8 se escribe

4.-

. se escribe

5.- 3 se escribe

6.- Siete en ingles

7.- 21 – 1 es igual

8.- 2 + 3 es igual

9.- x en x = 5 – 1 es igual

10.- 13 se escribe

11.-

se conoce como

12.- + se escribe

116

Bingo Geométrico El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás. Este consta de 7 cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.

Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar hasta 7 jugadores.

117

CARTONES

118

Memoria Geométrica El juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de los participantes designado por el profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o los corrigen.

Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.

Número de: Triángulos:_____

Cuadrados:_____ Hexágonos:____ Círculos.____

Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:_____ Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____ Círculos pequeños:_____ Círculos grandes:____

119

120

121

122

123

124

125

126

127

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E……………………………..Matemática 7mo Grado. Distribuidora Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, F........ Matemática 7mo Grado. Ediciones CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

MICROSSOF ENCARTA 99

128