Cuaderno Matemática 4º Semestre Ciencias Adultos

Autor: Luis . E . Camacho Profesor de Matem谩tica Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

LF 03220025103327 ISBN 980-345-249-5

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 4 to semestre de Ciencias, refleja en forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

1

AGRADECIMIENTOS:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen U.E.N.”Teresa de la Parra U . N . E . O . P . E .M

2

CONTENIDO

.- Sistema de coordenadas en el espacio.............4,5 .- Vectores.............6 .- Operaciones con vectores.............7,8 .- Combinación lineal de vectores..............9,10 .- Vectores linealmente dependientes e independientes............11,12 .- Dimensión y espacio vectorial..............12 .- Producto escalar de vectores.............13 .- Distancia entre dos puntos...............13,14 .- Ecuación de la recta en el espacio..............14,15,16 .- Ecuación del plano en el espacio............16,17 .- Adición y producto de matrices.............17,18 .- Clasificación de matrices.............18,19,20,21 .- Regla de Sarrus................21,22 .- Característica de una matriz..............22,23 .- Teorema Rouche-Frobenius...............23 .- Regla de Cramer..................24,25 .- Cónicas................26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37 .- Probabilidad Estadística. ..............38,39,40,41,42,43,44,45 .- Bibliografía................46

3

Sistema de Coordenadas en el espacio: Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c)/a, b, c;ε R/} donde R es el conjunto de los números reales.

:E

R3 / p

(a, b, c)

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t , donde junto con la función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí, diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x Eje s = eje de las y Eje t = eje de la z

Z (t)

(s)

(r)

y

a x

4

Puntos en el Espacio: Ejemplo:

Dadas las rectas paralelas A1

y A2 . (A1 // A2) y las paralelas

horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son puntos de corte. Representarlo grรกficamente.

A1

A2 a

c

ab = paralelo cd

y

b

d

B1

B2

ac paralelo bd

Ejercicios: 1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.

5

Vector Ligado: Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta  de4 origen a y extremo b. segmento

a

b

Un vector ligado está determinado por: a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.

Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero, vector nulo.

Componentes de un vector ligado: El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( –4,7) ; b = (3,8) ab = ( a2 – a1 , b2 – b1 )

ab = ( 3 – (-4) , 8 – 7) ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios: 1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7)

2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)

4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

6

Vector Libre: Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes ab forman la clase de dicho vector.

Vector Equipolente: Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.

Geométricamente son iguales.

Vector Posición: Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen.

Adición de Vectores: Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de componente igual a la suma de los componentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ;

S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8) e = (-5,-7).

1) a + b

2) a + b + c

3) a + b + d

4) b + c + e

5) a + c + e

6) b + d + e

7) a + d + c

8) b + e

9) b + e + d

7

Sustracción de Vectores: Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a - b = a + (-b) Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)

1) a - b

2) a – c

5) b – d

6) c - d

3) a – d

4) b – c

7) c – a

8) d – b

Producto de un vector por un número real: Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a 3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)}

=

-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} =

(9,-3) (-6,2)

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ; d = (-4/2,-3). Hallar .

1) 3 . a

2) -5 . b

3) 3/6 . c

4) 8 . d

5) –4/5 . b

6)  2 . c

7) –4 . d

8) 7 . a

8

Combinación Lineal: Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen números reales p y q tales que: u = p . a + q . b Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del vector 3 . a + 2 . b 3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6) 2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6) 3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6}

= U = (7,12)

Ejercicios: 1) Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b 2) Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q 3) Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y 4) Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b

Vectores Colineales: Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.

9

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c.

a=p .b + q.c (3,4) = (-p-3q,0 +5q)

(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) =

3 = -p- 3q

despejamos q: 4 = 5q

4 = 0+ 5q

q = 4/5

despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5) 3 = -p –12

-------- p = -12 – 3 =

5

p = -27

5

5

empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c 5

5

Ejercicios: 1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1) 2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5) 3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1) 4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

10

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y – 3 z , x + 3 y – z ,

y + z son

dependientes.

Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos. 1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z ) 1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0 Se asocian los vectores x ,

y,

z , luego se eliminan los vectores x,

y,

z

1 + 2 = 0 1 + 32 + 3 = 0 -31 - 2 + 3 = 0 Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones dadas. 1 = - 2

3 = - 1 - 32

2 = 31 - 33

11

Vectores Linealmente Independientes: Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una solución y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes: 1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y 2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z 3) 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z 4) x - y

- z ,2x + 3y + 2z , x + z

Dimensión y base de un espacio vectorial: Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación linealmente independiente, en caso contrario no forman una base de R 3.

Vectores Ortogonales: Se dice que dos vectores no nulos x e y son ortogonales si x . y = 0.

Vectores Unitarios: Un vector x se dice que es unitario si / x / = 1.

12

Producto escalar o interior de vectores: Sean x = ( x1, x2, x3) e y = (y1, y2,y3) vectores de R3. Definimos como producto escalar de dos vectores x

e

y , y lo denotamos por x . y

al numero

x . y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Distancia entre dos puntos en R3: Sean p y q dos puntos de R3 si p, tiene coordenadas (x1, y1, z1) y q tiene coordenadas (x2, y2, z2 ) entonces

pq = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) y se define la

distancia entre p y q por: (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

d(p, q) =

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de: y

2

P 1(3,2)

1 P 3(3,0) 0 -1

d(P1,P2) =

(1-3)2 + (-1-2)2

1

2

3

x

P2(1,-1)

=

(-2)2 + (-3)2 =

13

13

d(P2,P3) =

(3-1)2 + (0+1)2

=

2 2 + 12

=

d(P3,P1) =

(3-3)2 + (2-0)2

=

0 2 + 22

=

5

2

Ejercicios: 1) P1(2,4)

P2(2,5) P3(2,5)

2) P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3) P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6)

4) P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5) P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7)

6) P1(5,6) P2(3,5)

P3(-1,4)

Ecuación de la recta en el espacio: Se llama recta que pasa por el punto P0(x0 , y0, z0) y de dirección a = (a1, a2, a3) y se denota por L a (P0) al conjunto.

L a (P0) = { P  R3 / OP = OP +  a , con   R } Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y + 17 = 0 y por el punto (3,4)

3x – 2y = 0

3 3x – 2y = 0

9x – 6y = 0

4x + 3y = -17

2 4x + 3y = -17

8x + 6y = -34 17x x

= -34 = -34/17 x = -2

14

3x – 2y = 0

3(-2) – 2y = 0 y = 6/-2

-6 – 2y = 0 y = -3

Cálculo de la ecuación: y – y1 = y2 – y1 (x – x1) x – x1 x1 = -2 x2 = - 3

y – (-3) = 4 – (-3)

y1 = -3

3 – (-2)

y2 = 4

(x – (-2))

y + 3 = 4 + 3 (x + 2)

y + 3 = 7 (x + 2)

3+2

5

5y + 15 = 7x +14 5y – 7x = 14 – 15 5y – 7x – 1 = 0

Ejercicios: a) 2x + y = 4

b)

3x + 2y = 1

c) 2x + 4y = 2 x + 2y = 4

2x + y = 4 3x + 2y = -1

d)

3x – y = 5 2x + y = 10

15

2) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la intersección de las rectas 2x + y + 2 = 0 y x + 3y + 11 = 0.

2x + y = -2

-2

2x + y = -2

x + 3y = -11

-2x – 6y = 22 -5y = 20 y = 20 = y = -4 -5

2x + y = -2

2x + (-4) = -2

x = -2 + 4 2

x=2

x=1

punto: (1 , -4)

2

m=3

y – y1 = m(x – x1)

y – (-4) = 3(x – 1)

x1 = 1

y + 4 = 3x - 3

x2 = - 4

3x – y – 7 = 0

Ecuación del plano en el espacio: El plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0) y tiene vector normal n = (a, b, c) Se denota por π

n

(P0) y es el conjunto π

n

(P0) = { P ε R3 : P0P . n = 0 }

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – zo) = 0 ecuación general: ax + by + cz = d d = ax0 + by0 + cz0

16

Ejemplo: Reducir la ecuación 3x + 4y – 6 = 0 a forma normal.

Ax ±

+

Bx

A 2 + B2

±

3 2 + 42 = entonces:

+

A2 + B2

C ±

A 2 + B2

25 = 5

3x + 4y - 6 = 0 5

5

5

Ejemplo: Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 6 = 0

p= -

C

p=

A 2 + B2

±

p= - 6

-

6 3 2 + 42

p = 6/5

25

Adición y Producto de Matrices: Llamamos matriz rectangular, a un cuadro de números puestos en filas y columnas.

Menor de un Matriz: Son las matrices cuadradas que podemos formar con los elementos de la matriz rectangular desde el orden 1 hasta el máximo orden que permita la matriz.

Las determinantes formadas por un menor más otra fila y otra columna se llaman determinantes “orlados”.

17

Característica de una Matriz o Rango: Es el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

Cálculo: 1) Se eliminan todas las líneas que sean combinación lineal de otras.

2) Se toma la 1ra fila como referencia y se estudia la segunda formada determinantes de segundo orden. Si aparece uno de ellos diferentes de cero se pasa a estudiar la 3ra fila, pero si todos los determinantes que se puedan formar con los elementos de la segunda fila son nulos, esta segunda fila es combinación lineal y se tacha.

3) Se desarrollan determinantes de 3er orden “orlando” el 2do no nulo. Si alguno de los de 3er orden resulta diferente de cero se pasa a estudiar la 4ta fila, pero si todos los de 3er orden son nulos, esta fila es combinación lineal y se tacha.

4) La característica será el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

Matriz Fila: es una matriz de orden 1 x n . O sea de la forma M = (a11,a12...an) Matriz Columna: es una matriz de orden m x 1 . O sea de la forma:

a11 M=

a12

an

18

Matriz Cuadrada: son las que tienen el mismo número de filas y columnas. Son del orden m x n / m = n,0.

Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada, donde aij = 0 para i ≠ j.

1 0 0 M=

0 4 0

matriz diagonal de orden 3.

0 0 -2

Matriz Identidad: es una matriz cuadrada tal que aij = 1 si i = j ; aij = 0 Para i ≠ j.

1 0 0 ....0 0 1 0.....0 I=

0 0 1..... 0

0 0 0

1

Adición de Matrices: Sean las matrices M, N ε Mmxn tales que:

a1 a2 .....an1 M=

a2 a4.....an2

am1 am2 amn

b1 b2…..bn1 N=

b2 b4…..bn2

bm1 bm2 bmn

19

Se define la suma de cada uno de los n煤meros de ambas matrices, respetando estrictamente el orden de colocaci贸n, fila y columna de ambas matrices.

M+N=

a 1 + b1

a2 + b2 ......an1 + bn1

a 2 + b2

a4 + b4.......an2 + bn2

am1 + bm1 am2+bm2

amn + bmn

Ejemplo: Hallar la suma de las matrices.

2 2 2 M=

2 1 2

3 2 1 4 1

M+N=

N=

3

1 3 2 1 1 2

2+2

2+1

2+2

4 3 4

3+1

2+3

1+2

M+N= 4 5 3

4+1

1+1

3+2

5 2 5

Ejercicios: Dadas las siguientes matrices: 3 5

-2

A = 2 4 0

D=

-3 6 5 B=

0 2 9

-3 5 7 C=

-2

-2 9

2 7 -1

1 3 9

6 3 0

-4 3 8

0 7 4

-8 5 3

-1 3 -5

F= 9 0 6

7 5 1 5 4 0

E=

9 0 1

1 2 3

20

Hallar: 1) A + B

2) A + C

3) A + D

4) A + E

5) A + F

6) B + C

7) B + E

8) B + F

9) C + D

10) C + E

11) C + F

12) D + F

Regla de Sarrus: Regla: se escriben ordenadamente la primera y segunda fila o columna al lado del determinante dado.

El resultado es igual a la suma algebraica del producto de los elementos de las diagonales principales menos la suma algebraica del producto de las diagonales secundarias.

Ejemplo: Calcular el valor de la determinante.

3 5 1 2 6 2 1 3 2 3 5 1 3 5 2 6 2 2 6 1 3 2 1 3

= 3.6.2+5.2.1+1.2.3– {1.6.1+2.3.3+ 5 . 2 . 2} = 36 + 10 + 6 – (6 + 18 +20) = 52 – 44 = 8

21

Ejercicios. Calcular el valor de las siguientes determinantes: 1)

4)

2 4

-3

2)

-1 2 8

3)

-4 5 8

2 1 0

9 4 2

0 3 -3

4 9 1

7 1 4

4 2 1

-1 2 7

5)

4 9 0

6)

-2

-6 7

2 4 7

2 0 1

9

4 7

6 8 2

2 1 6

6

8

2

Característica de una Matriz:

1 1 2

-1 2

3 1 -1

referencia primera fila: (1 1 -1 2) 1er orden estudiamos 2da fila.

3 1 0 3

1 1 =3–2=1≠0 2 3

2do orden diferente de cero, pasamos a la 3ra fila.

1 1 -1

se aplica Sarrus:

1 1

-1 1 1

2 3 1

2 3 1 2

3

3 1 0

3 1 0 3 1

=

(1 . 3 . 0 + 1 . 1 . 3 – 1 . 2 . 1) – (-1 . 3 . 3 + 1 . 1 .1 + 1 . 2 .0)= 0 + 3 – 2 – (- 9 + 1 + 0) = 1 + 9 – 1 + 0 = 9 ≠ 0 Como no se puede formar de 4to orden la característica es 3.

22

Ejercicios: Hallar la características de las Matrices: 1)

6 0 3

5

-1 8

-3 1 2

8

2 4

-5 2 6

2 5 7

-5 8 2

0 7 1

4) 1 2 7 2

2)

5)

7 1 -5

3)

6)

0 6 3

9 1 0

-4 5

0 2 7

2 5 1

2 6 -1

9 -2 2

0

6 1

Teorema Rouche-Frobenius: La condición necesaria y suficiente para que un sistema formado por “n” ecuaciones lineales (de primer grado) con “m” incógnitas sea compatible es que la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los términos independientes tengan la misma característica. .- Cuando las características de las matrices son iguales el sistema es compatible. .- Si las características son iguales y coinciden con el número de incógnitas es determinado. .- Si las características son iguales pero menores que el número de incógnitas es indeterminado. .- Si las características ampliada es mayor que la de los coeficientes es incompatible.

23

Teorema de Cramer: Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de los elementos de una de sus líneas por sus adjuntos respectivos. El adjunto de un elemento es el menor complementario de dicho elemento afectado del signo más o menos según la suma de los números que indican la fila y la columna sean par o impar.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente determinante por los adjuntos de la primera columna.

3

1 3 1

2 -1 2

-1

2 -1 2

2

-1 2 3

4 5 2

3

4 5 2

1 3 1

(3)

+ (2)

-1 2 3

2

-1 2

1 3 1 + (- 1) -

-1 2

3

4 5 2 1 3 1 + (3) -

4 5 2

2 -1 2

=

-1 2 3

3{-3 + 4 –6 – (1 + 18 + 4)} = 3(-62) + (18) + 2(14) – 3(-28) = -186 +18 + 28 + 84 = - 56

24

Ejercicios: 1)

4)

4 2 4 1

2)

1 2 6 0

-1 2 6 7

0

3 2 0 1

3 2 0 1

1 6 -2 8

1 6 -2 8

2

-1 6 7

0

3 1 4

5)

-4 6 4

0 5 1 9 0

3)

3 1 4

2 4 8 0 -3 7 1 5 3

2 0 1

1 6 -2 8

6)

-3 9 0 5 0

3 1 4

1 3 5 3

8 1

2 8

1 9 0 1

-7 2 7 1

-7 2 7 1

-7 2 7 1

25

Lugar Geométrico: Sea f(x , y) una función de dos variables definida en un sistema de coordenadas XY. Se ha de comprobar que al resolver la ecuación f(x , y) = 0 se obtiene un conjunto de puntos del plano que definen una curva en el mismo.

El conjunto de los puntos del plano que satisfacen la ecuación f(x , y) = 0, recibe el nombre de lugar geométrico y a la ecuación f(x , y) = 0 se le denomina ecuación del lugar geométrico.

Secciones Cónicas: Se llama sección cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano como un cono de revolución de dos mantos.

L

α P

26

a.- Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersecci贸n es un punto o una circunferencia seg煤n el plano pase o no pase por el v茅rtice del cono.

L

Circunferencia

b.- Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a todas las generatrices, la intersecci贸n es una elipse.

L

Elipse

27

c.- Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás generatrices, la intersección es una parábola.

L

Parábola

d.- Si el plano corta a los dos mantos del cono y no pasa por el vértice, la intersección es una hipérbola.

L

Hipérbola

28

La Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia “r” de otro punto dado C . r es el radio de la circunferencia y el punto C es el centro de la misma. y

P(x,y) r

C(h,k) X

dcp =

r=

(x – h)2 + (y – k)2

(x – h)2 + (y – k)2

Esta distancia es igual a r:

Elevando al cuadrado obtenemos:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

29

Ejercicios: Dibuja la gráfica de la ecuación. a.- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 y

r=3 2

* (3,2)

1 3

Las coordenadas del centro son (3,2) y el radio es r =

x

9

=3

30

b.- x2 + (y + 1)2 – 7 = 0

y

r= 7

(0,-1)

x

31

La Elipse: La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de las distancias a dos puntos dados de dicho plano, llamados focos, es constante.

Ejercicios: a.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 , determina sus vértices, sus focos, la 9 4 longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

A2 = 9

a = ±3

b2 = 4

b = ±2

Los vértices son A(3,0) ; A’ (-3,0) ; B(0,b) y B’(0,-b) a2 – c2 = b2

donde

c 2 = a2 – b2

los focos son F( 5 , 0) y F´ ( La excentricidad es

e= c = a

o sea c2 = 9 – 4

c=±

5

5 , 0)

5 3 y

B(0,2)

A(-3,0)

F’

F

A(3,0)

x

B(0,-2)

32

b.- La ecuación de una elipse es: 9y2 + 25x2 = 225 y2 + x2 = 1 9 25

A(0,5)

A´ (0,-5)

B(3,0)

B´(-3,0)

y

A(0,5)

B´(-3,0)

B(3,0)

x

A´(0,-5)

33

La Hipérbola : La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplan con la condición de que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F´, llamados focos de la hipérbola, es una constante positiva.

Ejercicio: Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 2 y sus vértices son V(0,4) y V´(0,-4). La ecuación de la hipérbola es de la forma: y2 – x2 = 1 a2 b2

b= a 2

y2 – x2 = 1 16 4

donde: c2 = 16+4 = 20

Focos:

F(0, 2 5 )

b = 4/2

F´(0, -2

b=2

c=±

20

c = ±2

5

5) y

Y = 2x V

a=4

b=2

x

V´

y = -2x

34

La Parábola: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una misma distancia de un punto dado F llamado foco y de una recta dada L llamada directriz.

Ejercicio: Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones dadas. a) Vértice en el origen y foco en F(3,0) b) Vértice en el origen y directriz y – 1 = 0 .

a) y2 = 4 . 3x

x

1

y ±2√3

y2 = 12x

2

la ecuación de la directriz es y = -3

3

± 2 √6 ± 6

35

y 8 7 y2 = 12x

6 5 4 3 2 1

F(3,0)

y =3

36

b.- Calculo de la directriz: p=-1

y=1 x2 = 4py

F(0,-1)

y

-1

-2

-3

-4

x

±2

±2√2

±2√3

±4

x2 = -4y

y

y=1

x -1

F(0,-1)

-2 -3

x2 = -4y

37

Probabilidad Estadística:

1.-

Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20

azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:

a.- Naranja: p(N) = 15 75

p(N)= 0,20

b.- No sea roja o azul: p ( R )

p R =

ó

p(N)= 20%

p(A)

10 75

p(A)= 20 75

c.- No Azul:

p

R

p(A) = 20

ó p(A) = 10 + 20 75

=

30 75

= 40%

= 0,26 = 26.6%

75 d.- Blanca :

p(B) = 30 75

e.- Roja, blanca o azul :

=

p(B) = 40%

p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60 75

38

Distribución Binomial:

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen verdadero o falso?

x ≥ 6

p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(contestar) = 6 ---------60%

p= 0,60

P( no contestar) = 4 ---- 40%

q= 0,40

n = 10

n–x =4

P(x=6) = (10/6) . (0,60)6 . (0,40)4 C10,6

=

10!

C 10,6

= 10! 9! 8! 7! 6! 5!

6! 4!

C10,6

=

6! 5! 4! 3! 2! 1!

= 210

p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256) p(x=6) = 0,2508226

p(x=7) = C10,7

. (0,70)7 . (0,30)3

p = 7----0,70 q= 3-----0,30

C10,7

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4!

7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=7) = 120. (0,70)7 .(0,30)3 P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027)

= 120

= P(x=7)= 0,2668279

39

P(x= 8) = C10,8

P = 8----0,80

. (0,80)8 . (0,20)2

C10,8

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3!

q=2----0,20

= 45

8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=8) = 45 . (0,167772)8 . (0,04)2 P(x=8) =0,3019896

P(x=9)= C10,9

.(0,90)9 . (0,10)1

p=9---0,90 q=1---0,10

C10,9

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2!

= 10

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10) P(x=9) = 0,387420 . (1)10 . (1)0

P(x=10)= C10,10 C10,10

= V10,10 = 1

p(x=10) = 1 . 1 .1

p10 p(x=10) = 1

p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+ 0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207

40

3.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un lanzamiento de 6 monedas.

a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2) p(x=2)= C12,2

. (0,16)2 . (0,84)10

p=2--- 0,16 q=10---0,84

C 12,2

= 12! 11!

= 66

2! 1!

P(x=2)= 66 . (0,0256). (071490) P(x=2)= 0,29551

P(x=3) = C12,3

. (0,25)3 . (0,75)9

C 12,3

= 12! 11! 10!

= 220

3! 2! 1! p(x=3) = 0,25808

P(x=4)= C12,4 p=4---0,33 q=8---0,67

. (0,33)4 . (0,67)8

C12,4

= 12! 11! 10! 9!

4! 3! 2! 1!

= 495

P(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060) P(x=4) = 0,23833

41

P(x=5)= C12,5

. (0,42)5 . (0,58)7

p=5---0,42 q=7---0,58

p(x=5)= 792 . (0,01306) . (0,02207) p(x=5)= 0,22828

p(x=6)= C12,6

. (0,50)5 . (0,50)7

p=6---0,50 q=6---0,50

p(x=6)= 924 . (0,015625) . (0.015625) p(x=6)= 0,22558

p(x=7)= C 12,7

. (0,58)7 .(0,42)5

p(x=7)= 792 . (0,02207) . (0,01306)

p=7---0,58 q=5---0,42

p(x=7)= 0,22828 p(x=8)= C12,8

. (0,66)8 . (0,34)4

p(x=8)= 495 . (0,03600) . (0,01336) p(x=8)= 0,23813

P(x=9)= C 12,9

. (0,75)9 . (0,25)3

p(x=9)= 220 . (0,07508) . (0,015625) p(x=9)= 0,25808

42

P(x=10)= C12,10 . ( 0,83)10 . (0,17)2 p(x=10)= 66 . (0,15516) . (0,0289) p(x=10)= 0,29595 . (0,92)11 . (0,08)1

p(x=11)= C12,11

p(x=11)= 12 . (0,39963) . (0,08) p(x=11)= 0,38364

P(x=12)= C12,0

. ( 1)12 . (0)0

p(x=12)= 1 . 1 .0 p(x=12)= 0

p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+ p(x=10)+p(x=11)+p(x=12) p(x ≼ 12) = 2,649

b.- Menos de 4 caras: p(x=4)= C12,4

p(x < 4)

. (0,33)4 . (0,67)8

p(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060) p(x=4)= 0,23833

43

p(x=3)= C 12,3

. (0,25)3 . ( 0,75)9

p(x=3)= 220 . (0,015625) . (0,07508) p(x=3)= 0,25808

p(x=2)= C12,2

. (0,16)2 . (0,84)10

p(x=2)= 66 . (0,0256) . (0,17490) p(x=2)= 0,29551

p(x=1)= C12,1

. (0,08)1 . (0,92)11

p(x=1)= 12 . (0.08) . (0,39963) p(x=1) = 0,38365

p(x=4)+p(x=3)+p(x=2)+p(x=1) = 0,23833+0,25808+0,29551+0,38365 = 1,17

4.- El 30% de piezas producidas por una mรกquina presentan defectos.

Halle la probabilidad de que 5 piezas elegidas al azar:

a.- 1

p(x=1)= C5,1

. (0,30)1 . (0,70)4

n =5 p(defectuosos)= 30%---p

C

= 5!

5,1!

= 5

p(no defectuosos)=70%--q

44

P(x =1)= 5 . (0,30) . (0,2401) P(x =1)= 0,3601 b.- Ninguna: p(x =0)= 1 . (0)0 . (1)5 p =0 q=5 n=5

p(x =0)= 1.0.1

p(defectuosas)=0---0%

p(x=0)= 0

p(no defectuosas)=5---1%

c.- A lo sumo 2 piezas defectuosas: p(x=2)+p(x=1)+p(x=0) . (0,40)2 . (0,60)3

p(x=2)= C 5,2 C = 5! 4!

5,2 2! 1!

= 10

P(x=2)= 10 . (0,16) .(0,216) P(x=2)= 0,3456

P(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5 P(x=0)= 0

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BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………….900 Problemas Resueltos para 5to Año Distribuidora Zacarias. Caracas.

Venezuela. 1980.

FIGUERA YIBIRIN, Júpiter.........................Matemática 2do Diversificado.

Ediciones CO-BO. Caracas.

Venezuela. 1996

46