Cuaderno de Matemática 2º Año Media

Autor: Luis . E. Camacho . S Profesor de Matem谩tica, Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

Deposito Legal lf 03220035101806X

0

Prologo

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2º Año de Media General, refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron muy satisfactorios.

Los Teques, Septiembre del 2003

1

Agradecimientos: Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo: Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora Metodológica Marcos Salas, profesor de computación Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen” Liceo San Pedro de Los Altos U. E. C. “Andrés Bello”

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Contenido .-Producto cartesiano de dos conjuntos........................................................................5 .- Gráfico de una relación.............................................................................................6 .- Dominio y rango de una relación...........................................................................6,7 .- Relación de orden, equivalencias..............................................................................7 .- Propiedades reflexiva y simétrica.............................................................................8 .- Propiedad transitiva, antisimétrica........................................................................8,9 .- Ley de composición interna.....................................................................................10 .- Clasificación de funciones.............................................................................11,12,13 .- Números enteros............................................................................13,14,15,16,17,18 .- Relaciones de orden................................................................................................19 .- Potencia en N.....................................................................................................19,20 .- Números racionales..................................................................21,22,23,24,25,26,27 .- Puntos en el plano cartesiano.................................................................................28 .- Función afín.......................................................................................................29,30 .- Vectores...............................................................................................30,31,32,33,34 .- Traslaciones............................................................................................................35 .- Simetrías.................................................................................................................36 .- Proyecciones......................................................................................................37,38 .- Construir triángulos...............................................................................................38 .- Polinomios............................................................39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49 .- Productos notables..............................................................................49,50,51,52,53 .- Factorización......................................................................................53,54,55,56,57 .- Probabilidad estadística..........................................................................58,59,60,61 .- Estadística........................................................62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73 .- Informática............................................74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87 .- Ejercicios..............................................................88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98 .- Juegos Matemáticos...........99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112, 113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126, 127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140 .- Práctica general...................................141,142,143,144,145,146,147,148

.- Bibliografía..........................................................................................................149

3

Debes recordar que un conjunto estĂĄ compuesto por elementos.

Producto Cartesiano de dos Conjuntos: Dados dos conjuntos no vacĂ­os A y B, se denomina producto cartesiano de A y B al conjunto formado por los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto B. Se anota: A x B

Ejemplo: Dados los conjuntos A= 1,2,3

AxB=

y B= a,b,c

. Hallar A x B.

(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)

Ejercicios: Hallar el producto cartesiano en los siguientes conjuntos: 1.- A = a, b ,c

2.- B = x , y

B = x, y, z

D=

1,2,3

3.- X = a,1,c

4.- A =

a ,x, 5

Y = 1,2,3

B = 1,2,3,4

4

Para que exista una relación, deben existir dos conjuntos.

Gráfico de una Relación: Si entre dos conjuntos A y B se ha definido una relación R, se denomina gráfico de dicha relación al conjunto formado por los pares ordenados que cumplen la relación R.

Dominio de una Relación: Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que cumplen la relación R. Se anota Dom. ( R ).

Rango de una Relación: Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que cumplen la relación R. Se anota Rgo ( R ).

A

B

Dom.(R)

Rgo.(R)



*



*



*



5

Ejemplo: Dados los conjuntos A = 1,2,3

y b = 2,3,4

y la relación R; “no es

igual” definida de A en B, hallar: a.- Imágenes; b.- Pares; c.- Gráfico; d.- Dominio y rango; e.- Representación gráfica sagital y tabular.

Imágenes: 1”no es igual a” 2,3,4

gráfico =

Pares:

2“

“

“

“

3,4

3“

“

“

“

2 ,4

(1,2),(1,3),(1,4) (2,3),(2,4) (3,2),

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4)

(3,4)

Dom.R= 1,2,3

Rgo.R = 2,3,4

Gráfica Sagital

Gráfica Tabular

A

B

B

1

2

4

*

*

2

3

3

*

*

3

4

2

* 1

*

* 2

3

A

Relación de Orden: una relación R definida en un conjunto A, es una relación de orden, si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Relación de Equivalencia: una relación definida sobre un conjunto A, es una relación de equivalencia, si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

6

Propiedad Reflexiva: una relación R, definida en un conjunto A, es reflexiva, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo.

A 1 2 3

Propiedad Simétrica: una relación R, definida en un conjunto A es simétrica, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo y con los otros elementos.

A 2

1

Propiedad Transitiva: una relación R definida en un conjunto A, es transitiva si para cualquier terna de elementos a  A; b  A y c  A se cumple: Si a R b y b R c entonces a R c.

7

A

A 3

1

2

a

b

c

Propiedad Antisimétrica: una relación R definida en un conjunto A, es antisimétrica si para cualquier par de elementos de A; a  A y b  A, diferentes, se cumple la relación R; a R b pero b R a.

A

a

A

b

1

2

c 4

3

8

Revisa este ejemplo.

Ejemplo de Ley de Composici贸n Interna: 1.- Dado A = a, b, c

*

. Hacer la tabla de composici贸n. (a * b)= b

a b c

a a b c b a b c a a b c

Ejercicios: Hacer la tabla de composici贸n a cada conjunto: (a * b)= b

a.- A = 1,2,3

b.- B =

d.- C =

e.- X = 1, q, z

a, x, b, y, r, e

1,2,3,a

c.-

f.-

X = a,1,b,2,c

A=

a ,b, c, d

9

Clasificación de las Funciones: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina función o aplicación de A en B, a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento de B y nada más que uno.

Se anota: f: A

B , y se lee “aplicación o función del conjunto A en el

conjunto B mediante f”.

Función Sobreyectiva: Se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva, cuando el rango y el conjunto de valores(llegada) son iguales, ó también cuando todos los elementos de B tienen una o varias contraimágenes.

A

f

B

1

a

2

b

3

c

4

d

5

Función Inyectiva:Se dice que la función es inyectiva, cuando a elementos diferentes de A le corresponden elementos diferentes de B, o también cuando los elementos de B tienen una o ninguna contraimagen.

10

f

f

A

B

A

B

1

a

1

a

2

b

2

b

3

c

c

Función Biyectiva o Biunívoca: Se dice que la función es biyectiva, cuando es a la vez sobreyectiva e inyectiva, ó también cuando todos los elementos de B tienen nada mas que una contraimagen cada uno. f A

B

1

x

2

y

3

z

11

Ejercicios: Representa en gráfico sagital y determina el tipo de función:

a.- f:

(1,a),(2,b),(3,c)

b.- f:

d.- f: (a,1),(b,2),(c,3),(d,3)

(x,1),(y,2),(z,1)

e.- f:

c.- f: (3,5),(4,6),(5,6)

(x.*),(y,+),(z,&),(r,&)

Debes recordar que los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el cero. + Z = +1,+2,+3,+4,+5,+.....

_ Z

=

* Z = ...-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5,+...

....-5,-4,-3,-2,-1

Z=

0

12

Recuerda que al sumar dos números enteros de distintos signos, se restarán y se colocará el signo de mayor valor absoluto.

Adición de N° Enteros:

a) (2)+(6)+(8)=

b) (3)+(8)+(5)+(4)=

c) (-2)+(-4)+(7)=

d) (-19)+(-5)+(-6)=

e) (4)+(-6)+(-5)=

f) (-2+7)+(5-1)=

Resuelve las propiedades en tu cuaderno.

Propiedades de la Suma en Z:

a) Conmutativa: (a)+(b) = (b)+(a)

Resuelve: a) (3)+(6)= b) (-5)+(-6)= c) (4)+(-9)

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b) Asociativa: (a)+(b + c) = (a + b)+(c)

Resuelve: a) (3)+(7)+(5)= b) (-7)+(-6)+(9)= c) (-4)+(-7)+(-9)= d) (-8)+(4)+(-12)=

c) Elemento Neutro: (a)+(0) = (0)+(a) = a

Resuelve:

a) (3)+(0)=

b) (8)+(0)=

c) (6)+(0)=

e) (5)+(0)=

f) (2)+(0)=

a) (5)+(-5)=

b) (6)+(-6)=

c) (-4)+(4)=

d) (-7)+(7)=

e) (-12)+(12)=

f) (3)+(-3)=

d) (-7)+(0)=

d) Elemento Simétrico: (a)+(-a)= 0 Resuelve:

Sustracción de N° Enteros:

a) (5)-(-4)-(7)= b) (5)-(7)-(9)= c) (4+1)-(3-1)= d) (8-2)-(-3-4)=

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Recuerda que el orden de los factores no altera su producto.

Multiplicaci贸n de N掳 Enteros:

Resuelve: a) (9).(7)= b) (5).(4)= c) (-3).(2).(4)= d) (2).(4).(-3).(2)=

Propiedades de la Multiplicaci贸n: a) Conmutativa: (a).(b) = (b).(a)

Resuelve:

a) (4).(5)= b) (-4).(6)= c) (-4).(2)= d) (-6).(-4)=

b) Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)

Resuelve a) (2).(4).(5)= b) (-6).(2)-(-3)= c) (-7).(5).(-4)= d) (3).(8).(6)=

15

c) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

Resuelve: a) (5) . 1 = b) (-9) . 1 = c) (8) . 1 = d) (-5) . 1 =

d) Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0

Resuelve: a) (5) . 0= b) (-9) . 0= c) 0 . (7)= d) 0 . (6)=

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Recuerda que al dividir dos números, debes dividir sus signos también.

División de N° Enteros: Resuelve:

a) (4) : (2)= b) (5+3) : (2)= c) (-2+4) : (2)= d) (7-1) : (5+1)= e) (8-3+4) : (2+1)= f) (5-3).(2-1) : (2)=

g)

(3+6-2)+(2+5) : (4-2)=

h)

(-3+9-2)+(-5+7-1) : (15-10)=

i)

(2+8-4).(-1+3-6) : (9-1)=

j)

(5-2+9)-(-3+4-6) : (14+3)=

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Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”

1) Ordena de menor a mayor (<): a) 5,-3,8,0,-1,6,100 b) -5,-3,0,10,-26,8,-100 c) –7,0,3,7,-20,-13,36 d) 2,-4,-8,0,-1,24,-25

2) Ordena de mayor a menor (>):

a) -3,4,7,-100,-26 b) -5,-12,-15,18,1,0 c) –7,-120.-36,0,-1,8,9,44 d) 20,-1,0,-38,-4,16,2,3

Potenciación: Es una multiplicación reiterada. par

Regla para potenciar:

(+) = + impar

(+) = + par

(-) = + impar

(-) =

-

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Propiedades:

1)

a0 = 1

2)

a1 = a

3)

am . an =a m + n

4)

am . an =am-n (am )n

5)

Ejercicios:

Puedes aprenderte estas propiedades para que se te facilite el objetivo.

= am . n

a) 23 =

b) 2.2.2.2=

c) (-3)2 =

d) (2)2 . (2)3 =

e) a2 =

f) 62 . 63 =

g) 53 . 42 . 52 =

h) 32 . 40 . 33 =

i) (22 . 32 )3 =

j) (52 . 43 )2 . (22 . 33 ) =

2 . 32

k)

(32 . 43 )2 . (52 . 33 ) (32 . 43 . 53 )2

2 2 . 4 . 52 2

=

l)

(23 . 32 )

2

=

2 3 . 32

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Números Racionales: Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada. Un número racional está compuesto por un numerador y un denominador. a = numerador b denominador

m. c .m

Hallar el m .c .m en :

Debes recordar que para hallar el mínimo común múltiplo, se toman los N° comunes y no comunes con su mayor exponente.

a) 2 y 9

b) 5 y 12

c) 3, 2 , 4

d) 8,5,3

e) 2,7,6

f) 5,8,7

Adición de N° Racionales: Resuelve: a) 3 + 4 = 5 2

c) 8 + 9 = 7 3

b) 4 + 8 = 5 6

d) 7 + 6 = 5 2

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Aplica las propiedades de la suma en Q. Propiedades de la suma de N째 Racionales:

Conmutativa: a + c = c + a b d d b

Resuelve:

a) 3/2 + 7/5 =

b) 5/2 + 6/2 =

c) 5/4 + 8/6 =

d) 4/8 + 7/5 =

e) 7/5 + 9/3 =

f) 7/5 + 3/5 =

Asociativa: a + c + e b d f

=

a+c b d

+ e f

Resuelve: a) 4/6 + 7/6 + 9/3 =

b) 7/4 + 1/3 + 6/4 =

c) 5/4 + 8/6 + 9/2 =

d) 7/4 + 9/6 + 8/3 =

e) 7/6 + 9/8 + 2/2 =

f) 7/6 + 9/8 + 5/6 =

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a b b

Resuelve: a) 4/3 + 0 =

b) 5/3 + 0 =

c) 6/2 + 0 =

d) 7/6 + 0 =

e) 6/5 + 0 =

f) 8/5 + 0 =

21

Elemento Simétrico: a + b

Resuelve: a) 5/6 =

-a b

b) 6/3 =

c) 8/3 =

d) 5/8 =

e) 7/5 =

f) 5/8 =

Sustracción de N° Racionales:

Resuelve: a) 6/5 – 8/4 = d) 6/4 – 8/5 =

b) 7/5 – 8/4 =

c) 6/3 – 7/2 =

e) 3/2 – 8/4 =

f) 2/4 – 5/3 =

Problemas Simples: a) Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos. b) Un tanque de agua vacío se llenó de la siguiente manera: el primer día con 2/5 de agua, el segundo día con 2/3 y el tercer día con 1/6.¿ Cual es la capacidad del tanque?.

c) La distancia entre dos ciudades es de 50 Km.; si un carro recorre la distancia entre ambas de la siguiente manera: la 1ra hora recorre 2/8 de la distancia; la 2da recorre 1/9 de la distancia y la 3ra hora recorre 2/5 de la distancia.¿ Cual es la distancia recorrida por el carro?.

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Multiplicaci贸n de N掳 Racionales:

Resuelve: a) 4/5 . 7/6 =

b) 8/3 . 3/5 =

e) 6/5 . 8/6 =

c) 5/3 . 2/6 =

f) 3/5 . 6/4 =

a . c b d

=

Resuelve: a) 6/5 . 5/4 = e) 6/4 . 7/3 =

Asociativa:

a b

.

g) 7/6 . 9/8 . 4/3 =

Copia en tu cuaderno y resuelve estos ejercicios.

Propiedades de la Multiplicaci贸n de N掳 Racionales: Conmutativa:

d) 4/3 . 8/5 =

c . a d b

b) 8/4 . 3/5 =

c) 6/3 . 9/8 =

d) 6/5 . 8/6 =

f) 3/6 . 5/4 =

g) 4/1 . 5/3 =

h) 4/3 . 8/3 =

c . e d f

=

a . c b d

.

e f

Resuelve: a) 7/6 . 6/4 . 4/5 =

b) 6/3 . 9/3 . 5/3 =

c) 3/2 . 8/4 . 2/5 =

d) 5/4 . 7/5 . 8/2 =

e) 2/6 . 5/4 . 8/6 =

f) 8/4 . 3/6 . 4/2 =

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Elemento Neutro:

a b

. 1 = 1 .

Resuelve: a) 6/5 . 1 =

Factor Cero:

a b

. 0=

Resuelve: a) 4/5 . 0 =

Distributividad:

a b

.

a b

b) 5/4 . 1 =

0 .

Resuelve: a) 6/4 . (5/3 + 7/3) = d) 6/3 . (5/3 – 7/5) =

d) 8/5 . 1 =

a b

b) 6/5 . 0 =

c ± e d f

c) 6/4 . 1 =

c) 4/3 . 0 =

d) 6/4 . 0 =

= a . c ± a . e b d b f

b) 5/3 . (2/2 – 5/3) = e) 8/4 . (9/4 – 7/3) =

c) 2/6 . (5/6 +7/3) = f) 3/5 . (3/2 + 1/5) =

División de N° Racionales:

Resuelve: a) 2/4 : 7/9 =

b) 6/2 : 3/5 =

c) (5/4 . 8/6) : 7/3 =

d) (7/2 : 9/3) : 8/4 =

e) (5/3 + 1/5) : 2/3 =

f) 6/4 + (7/3 : 3/2) =

g) (4/5 : 8/2) . 6/4 =

h) 5/2 . (5/4 : 8/3) =

i) (6/5 – 6/3) : 7/3 =

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Para potenciar números racionales, se regirá por las misma reglas que la potencia de números naturales.

Potenciación de N° Racionales:

Resuelve:

a) 2/5

d)

3

(2/3)

=

3

b) 2/4

2

2

2

. (2/3)

=

=

c) 2/3

.

2/3

2

=

e) (3/5)2 : (3/5) =

3

f)

(2/4)2 . (2/4)3

=

g) (5/2)2 . (5/2)3 . (3/4)2 =

25

Representar N째 Racionales: Representar: 4/7 en grafico de barras y circular:

Representar: a) 2/5 b) 4/6 c) 3/8 d) 4/5 *

26

Representar puntos en el plano cartesiano: Ejemplo: Representar los siguientes puntos: a(3,5) b(1,3) c(-2,-6)

d(-4,2)

e(5,-4)

Y 5

a

4 3 d

b

2 1 -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

X

-1 -2 -3 -4

e

-5 c

-6

Ejercicios: Representar los siguientes puntos: a.- Representar a(2,3) b(-2,4) c (-1,-2) d(4,2) b.- Representar a(2,-3) b(-4,0) c(-2,3) d(-2,-3) c.- Representar a(5,4) b(-2,3) c(-4,0) d(0,-2)

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Función Afín: son las funciones de la forma f: x

R , donde x es un

subconjunto de R (x  R). Su representación es una línea recta.

Ejemplo: Representar y = 2x dónde

x = -2,-1,0,1,2

X

y = 2x

Y

-2

2(-2)

-4

-1

2(-1)

-2

4

0

2(0)

0

3

1

2(1)

2

2

2

2(2)

4

1

y

-2

-1

0

1

2 x

-1 -2 -3 -4

28

Resuelve estas funciones en papel milimetrado.

Ejercicios: Resuelve las siguientes funciones afines: a.- Representar y = 3x – 1

x = -2,-1,0,1,2

b.- Representar y = x + 5

x = -2,-1,0,1,2

c.- Representar y = 2x +3

x = -2,-1,0,1,2

d.- Representar y = 2x – 1

x = -2,-1,0,1,2

e.- Representar y = 2x + 4

x = -2,-1,0,1,2

Vectores: Vector es un segmento orientado. En la matemática moderna vector es una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario de tres dimensiones.

Componentes de un vector en el plano: Es el punto que tiene como abscisas la diferencia de las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen. ab = (b1 – a1 , b2 – a2)

29

Revisa bien este ejemplo.

Ejemplo: Dado a = (5,-6) b = (4,8) . Hallar su componente. ab = ( 4-5,8-(-6))

ab = (-1,14)

x = -1 y = 14 y 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X

-1

1

Ejercicios: Hallar el componente de los siguientes vectores: 1.- a = (3,7) b = (2,-4)

4.- a = (-3,-1)

b = (5,-8)

2.- a = (2,-6) b = (-3,-9)

5.- a = (7,-5)

b = (-5,-9)

3.- a = (-4,7) b = (8,-6)

6.- a = (-5,-8)

b = (1,-4)

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Adici贸n de Vectores: Dados dos vectores, se define como la adici贸n de a con b y se anota a + b es el vector libre s de componentes igual a la suma de las componentes. s = (x1 + x2 , y1 + y2) Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) a + b = ( 3-1,2+3)

b = ( -1,3)

a + b = (2,5)

Ejercicios: Resuelve las siguientes sumas de vectores:

1.- a = (2,4) b = (-3,-7)

4.- a = (5,7) b = (-6,-4)

2.- a = (7,9)

5.- a = (7,11) b.- ( -4,-9)

b = (-6,8)

3.- a = (12,6) b = (-8,-3)

6.- a = (-8,13) b = (5,-5)

Propiedades de la Adici贸n de Vectores: Conmutativa: a = (xa , ya) y b = (xb , yb) d贸nde: a + b = b + a Ejercicios: Aplica la propiedad conmutativa en los vectores: 1.- a = (3,-9) b = (4,7)

3.- a = (-3,-5) b = (3,7)

2.- a = (7,-9) b = (5,8)

4.- a = (6,,5)

b = (-5,-7)

31

Asociativa :

(a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

Ejercicios: Aplica la propiedad asociativa en los vectores: 1.- a = ( 3,-6) b = (4,6) c = (-4,-8)

3.- a = (7,5) b = (7,-4) c = (2,1)

2.- a = (-6,-2) b = (4,7) c = (-4,-8)

4.- a = (5,9) b = (-4,-7) c = (8,4)

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a Ejercicios: Aplica el elemento neutro en los vectores: 1.- a = (3,6)

2.- b = (-6,6)

3.- c = (4,3)

4.- x = (6,-4)

Vector Opuesto: a + ( a ) = (x + (-x) , y + (-y)) = (0,0) = 0 o sea: a + (-a) = 0 Ejercicios: Hallar el vector opuesto en los vectores: 1.- a = (5,7)

2.- a = (-5,4)

3.- x = (-5,-9)

4.- b = (6,-5)

Sustracci贸n de Vectores: Ejemplo: Dados los vectores a = (2,-5) y b = (8,-3). Hallar a - b. a - b = (2-8 , -5-(-3))

=

(-6,-2)

Ejercicios: Hallar la sustracci贸n de los vectores: 1.- a = (7,9)

b = (-5,-8)

3.- b = (4,-6)

c = (5,10)

2.- x = (8,6)

y = (7,-6)

4.- a = (3,6)

b = (-6,-4)

32

Multiplicación de un N° Real por un Vector: Se define la multiplicación de un número real por un vector, como una ley de composición externa de tal manera que si K R y a  V2 entonces K . a  V2.

Dado un vector a = (x , y) y un número real K, llamamos producto del número real (K) por un vector( a ), a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del vector dado por el número real. K . a = ( K . x , K.y).

El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K es positiva (K  0) y sentido contrario cuando K es negativo (K  0)

Ejemplo: Dado el vector a = (-4,3). Hallar -5 . a , 6 . a Ejercicios: Hallar el producto en los vectores: 1.- a = (-4,7) . Hallar : 2 . a 2.- b = (-4,-6) . Hallar : -5 . b 3.- c = (2/3,-4) . Hallar : 3 . c ; 2/3 . c 4.- d = (-5,0) . Hallar : -6 . d 5.- a = (2/5,3/4). Hallar: -5 . a 6.- x = ( 3,-5/2). Hallar : -4 . x ; -3 . x

33

Ahora estudiaremos la geometrĂ­a en el plano.

Traslaciones: EfectĂşa las siguientes traslaciones:

1.-

a

x

b

2.-

c

a d c b

p

3.-

a

y

b

c

d

e

34

Simetrías: Efectúa las siguientes simetrías centrales:

1.-

a

b c

d

c

2.-

*

d

a

b

* c

3.-

d

a

b *

c

d

35

Proyecciones: EfectĂşa las siguientes proyecciones:

1.-

a

b

c

d

x

a 2.b

c

p

d

36

3.-

a

b

c

d

e

y

f

Construir triángulos ABC :

1.- ab = 3cm

2.- ab = 4 cm

3.- ab = 3 cm

ac = 4 cm

ac = 2 cm

ac = 5 cm

bc = 5 cm

bc = 3 cm

bc = 6 cm

4.- ab = 60°

5.- ab = 45°

6.- ab = 80°

ac = 4 cm

ac = 5 cm

ac = 4 cm

bc = 6 cm

bc = 4 cm

bc = 3 cm

37

Estudiaremos los polinomios, sus operaciones y propiedades.

Polinomios: Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An A0 = término independiente. x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

38

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable. a.- p(x) = 2 + 3x + 5x²

segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9

tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en unidad.

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3 P(3) = 2(3)² + 3

= p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

39

Ejercicios: 1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3 2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2 3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4 4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3 5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3 6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2

Adición de Polinomios: Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

Regla para sumar polinomios: 1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

40

Ejemplo: En forma entera: Recuerda que los polinomios deben estar completos y ordenados.

P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8 Q(x) =

3x² - 4x + 3 5x ³ +7x²-10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3

operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 2/2x+9/10x+31/12

-3 + 3 = -6+15 = 9 5 2 10 10 4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12

Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x4 – 2x3+ 4x2 –2 t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4 Hallar la suma de los polinomios: 1.- p(x) + q(x)

2.- p(x) + t(x)

3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x)

5.- r(x) + h(x)

6.- s(x) + h(x)

41

Propiedades de la Adición de Polinomios: a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composición interna. b.- La adición de polinomios es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo. e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x). f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

Estudiemos ahora las propiedades de la suma de polinomios.

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x) Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5 b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7 c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6 d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6

42

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) =

p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6 b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6 c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9 d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x) Ejercicios: a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6

c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2

b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5

d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x) a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8

c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9

d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9

43

Sustracción de Polinomios: Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico, es decir –q(x).

P(x) – q(x) = p(x) + -q(x)

p(x) = minuendo q(x) = sustraendo

Ejercicios: a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4

c.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8

d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x + 6

Multiplicación de Polinomios: El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los de la otra.

44

Ejemplo: En forma Entera: Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar : p(x) . q(x) q(x) = x2 – 3x + 5 p(x) =2x2 – 5x + 6 2x4 – 6x3 + 10x2 - 5x3 + 15x2 – 25x 6x2 – 18x + 30 2x4 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30

Ejemplo: En forma Racional: p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2 q(x) =

2/5x +4/3

4 x3 + 8 x2 – 6 x 15 30 10 8 x2 + 16 x – 12 9 18 6

operaciones: 8 + 8 = 312 30 9 270 - 6 + 16 = 52 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6

45

Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios: 1.- p(x) = 3x2 + 5x –5

;

q(x) = 4x – 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6

;

q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7 4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4

; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6 6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2

q(x) = 4/4x – 6/2

7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5

q(x) = 3/6x – 7/2

8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2

q(x) = 2/4x + 8/2

Propiedades de la Multiplicación de Polinomios: a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es ; una ley de composición interna. b.- Es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación. e.- El elemento absorbente es el elemento nulo. f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

46

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios. h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x) a.- p(x) = 2x + 4

; q(x) = 3x – 2

b.- p(x) =4x – 6

; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7 d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)

=

p(x) . q(x)

. h(x)

a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3 b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1 c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1 d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4

3.- Distributiva: p(x) .

q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2 b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12 c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1 d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

47

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x) a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 b.- q(x) = 6x – 8

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2

División de Polinomios: D(x) = d(x) . c(x) + r(x)

D(x) = dividendo d(x) = divisor c(x) = cociente r(x) = residuo

Ejercicios: a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3) c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2)

e.- Dividir (20x2 + 10x – 5) : (5x + 5) f.- Dividir (10x2 + 13x – 2) : (5x – 1) g.- Dividir (4x3 – 2x2 – x + 1) : (2x –3)

d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x2 – x – 1) h.- Dividir (5/2x2+ 2/2x – 1/3) : (1/2x+3/5)

Productos Notables: Se denomina productos notables, a determinados productos que cumplen reglas fijas, por lo tanto, su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la multiplicación.

48

Casos: 1.- Cuadrado de una Suma: el cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo: (3a + 2ab)2 = (3a)2 + 2 (3a).(2ab) + (2ab)2 2

9a2 + 12a2 + 4a2 b2

Ejercicios:

a.- (5x2 y + 2a2 x)2 =

c.- (4p4 q5 + 8p2 )2 =

b.- (3x2 + 5y3 )2 =

d.- (7a3 + 9b4 )2=

2.- Cuadrado de una Diferencia: el cuadrado de la diferencia de dos términos, es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a – b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejercicios:

a.-

(a – 2b)2 =

b.- ( 3a2 - 7b4 )2 =

c.-

(2x2 y – y2 x2) =

d.- (4a3 b4 - 7a5 )2 =

49

3.- Suma por Diferencia: la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. (a + b) . (a – b) = a2 – b2

Ejercicios: a.- (4x2 y + 3) . (4x2 y – 3)=

c.- (2a3 b4 + 5p) . (2a3 b4 – 5p)=

b.- (3x3 – 2y) . (3x3 + 2y)=

d.- (6x3 + 8y6 ) . ( 6x3 – 8y6 )=

4.- Producto de la Forma: el resultado es siempre un trinomio cuyas características son: a.- El 1er término es el cuadrado del término común. b.- El 2d0 término es el término común multiplicado por la suma algebraica de los términos no comunes. c.- El 3er término es el producto de los términos no comunes. (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + a . b

50

Ejercicios: a.- (m + 4) . (m-2)=

b.- (a2 - 4) . (a2 – 3)

d.- (a + 7) . (a + 9)=

e.- (b + 5).(b + 8)=

c.- (x + 4) . (x + 6)=

f.- (q + 7).(q + 4)=

5.- Cubo de la Suma de dos Términos: el cubo de la suma de dos términos, es igual al cubo del primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. (a+ b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Ejercicios: a.- (3a + 5b)3 =

b.- (6x3 + 7y)3 =

c.- (4a2 b + 3x)3 =

6.- Cubo de la Diferencia de dos Términos: el cubo de la diferencia de dos términos, es igual al cubo del primero menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 - b3

51

Ejercicios: a.- (3a – 9x5 )3 =

b.- (7a3 – 6x6 )3 =

c.- ( 2a2 - 4y3)3 =

Factorización de Polinomios: Es el proceso que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores.

Casos de Factorización:

Para descubrir que factores intervienen en la formación de un polinomio, se procede por tanteos, por lo tanto, en forma general no es fácil transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores, porque no todos los polinomios son factorizables, sin embargo, cuando el polinomio presenta una determinada forma, se puede factorizar con ayuda de un conjunto de reglas:

a.- Factor común. b.- Binomios en forma de diferencia de cuadrados. c.- Trinomio cuadrado perfecto. d.- Trinomios de la forma x2 + a x + b. e.- Por agrupación de términos semejantes.

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a.- Factor Común: Es el polinomio donde todos sus términos tienen el mismo factor. Este factor común, puede ser un número, una letra, o la composición de números y letras.

Cuando un polinomio tiene factor común, se puede factorizar así: se escribe el factor común multiplicando a un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes que resultan de dividir cada término entre el factor común.

Ejemplo: factorizar 3x4 + 6x3 + 2x

f.c=x

x(3x3 + 6x2 + 2)

Ejercicios: a.- 3x4 + 7x3 – 7x2 + 8x

b.- 5a3 + 7a2 – 9a

c.- 3a5 b4 + 2 a4 b3

d.- 6x3 y3 + x2 y – 9xy

e.- 4a6 b5 + 6a5 b4 – 8a3 b2

b.- Factorización en forma de Diferencia de Cuadrados:

Cuando un binomio está formado por una diferencia de cuadrados; es decir, que cada término tiene raíz cuadrada, su factorización es igual al producto de dos paréntesis formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces.

Ejemplo: Factorizar 4a2 - b2

4 raíz = 2 a2 = a

(2a + b) . (2a – b)

b2 = b

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Ejercicios: a.- 1 – 36x2 y6

b.- 36 – x2

c.- 25x2 – 64b2 x6

d.- 1 – 4x6

e.- 1 - 9b2 x6 4 25

f.- 16a2 - 1 100 4

c.- Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos: Se denomina trinomio cuadrados perfectos al que se origina de elevar al cuadrado un binomio.

Regla para factorizar trinomios: a.- Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que el primero y el tercer término tengan el mismo signo y tengan raíz. b.- Se obtienen las raíces del 1er y 3er término. c.- Se escriben estas raíces separadas por el signo del 2 do

término dentro de un

paréntesis elevado al cuadrado. d.- Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raíces sea igual al segundo término.

54

Ejemplo: Factorizar x2 + 14xy + 49y2 Raíz del primero: x2 = x Raíz del tercero : 49y2 = 7y Doble producto de las raíces: 2.x.7y = 14xy Resultado = ( x + 7y)2

Ejercicios: a.- x2 - 6x + 9 d.- 16a2 + 4a + 4

b.- -x2 + 6x – 9 e.- x2 + y2 – x y

c.- 12x2 + x4 + 36 f.- x2 + 10x + 25

d.- Factorización Trinomio de la Forma x2 + ax +b

Características: a.- El coeficiente del 1er término es 1. b.- El 1er término está formado por una letra o varias, elevadas a una potencia par. c.- El 2do término está formado por el producto de un número que multiplica la raíz del 1ro. d.- El 3er término es un número.

Ejemplo: Factorizar x2 + 7x + 10

x . x = x2 2+5=7

(x + 2) . (x + 5)

2 . 5 = 10

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Ejercicios: a.- x2 + 10x – 24

b.- a2 – 5a - 24

c.- x2 + 11x – 12

d.- y2 + 15y + 36

e.- a2 - 6a - 40

f.- a2 + 11a + 24-

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Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.

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Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +

58

p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

P = CF CP

casos favorables casos posibles

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1

lo que significa

0,5 x 100% = 50%

2

59

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que: a) Al lanzar dos dados salga el N째 4 y el N째 6. b) Al lanzar dos monedas salga cara y sello. c) Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde, salga una azul y una roja. d) Al lanzar una moneda y un dado salga sello y el N째 3.

60

Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Historia : Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa.

61

Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.

Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar,

con

gran

exactitud,

utilizando

determinadas

distribuciones

probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

62

Métodos estadísticos : La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos

63

vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro.

Tabulación y presentación de los datos:

Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3; 5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista, que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la máxima y la mínima es 7.

En un diagrama de frecuencia acumulada, como el de la figura 1, las notas aparecen en el eje horizontal y el número de alumnos en el eje vertical izquierdo, con el correspondiente porcentaje a la derecha. Cada punto representa el número total de estudiantes que han obtenido una calificación menor o igual que el valor dado. Por ejemplo, el punto A corresponde a 7,2, y según el eje vertical, hay 12 alumnos, o un 40%, con calificaciones menores o iguales que 7,2.

64

Para analizar las calificaciones obtenidas por 10 clases de 30 alumnos cada una en cuatro exámenes distintos (un total de 1.200 calificaciones), hay que tener en cuenta que la cantidad de datos es demasiado grande para representarlos como en la figura 1. El estadístico tiene que separar los datos en grupos elegidos previamente denominados intervalos. Por ejemplo, se pueden utilizar 10 intervalos para tabular las 1.200 calificaciones, que se muestran en la columna (a) de la tabla de distribución de datos adjunta; el número de calificaciones por cada intervalo, llamado frecuencia del intervalo, se muestra en la columna (c). Los números que definen el rango de un intervalo se denominan límites. Es conveniente elegir los límites de manera que los rangos de todos los intervalos sean iguales y que los puntos medios sean números sencillos. Una calificación de 8,7 se cuenta en el intervalo entre 8 y 9; una calificación igual a un límite de intervalo, como 9, se puede asignar a cualquiera de los dos intervalos, aunque se debe hacer de la misma manera a lo largo de toda la muestra. La frecuencia relativa, columna (d), es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos. La frecuencia acumulada, columna (e), es el número de estudiantes con calificaciones iguales o menores que el rango de cada intervalo sucesivo. Así, el número de

65

estudiantes con calificaciones menores o iguales a 3 se calcula sumando las frecuencias de la columna (c) de los tres primeros intervalos, dando 53. La frecuencia acumulada relativa, columna (f), es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número total de notas.

Los datos de una tabla de distribución de frecuencias se pueden representar gráficamente utilizando un histograma o diagrama de barras (como en la figura 2), o como un polígono de frecuencias acumuladas (como en la figura 3). El histograma es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos y con área proporcional a sus frecuencias. El polígono de la figura 3 se obtiene conectando los puntos medios de cada intervalo de un histograma de frecuencias acumuladas con segmentos rectilíneos.

66

En los periódicos y otros medios de comunicación los datos se representan gráficamente utilizando símbolos de diferente longitud o tamaño que representan las distintas frecuencias.

Valores de la tendencia central: Una vez que los datos han sido reunidos y tabulados, comienza el análisis con el objeto de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Dado que por lo general la frecuencia de los intervalos centrales es mayor que el resto, este número se suele denominar valor o medida de la tendencia central.

Sean x1, x2, …, xn los datos de un estudio estadístico. El valor utilizado más a menudo es la media aritmética o promedio aritmético que se escribe x, y que es igual a la suma de todos los valores dividida por n:

67

El símbolo S, o sumatorio, denota la suma de todos los datos. Si las x se agrupan en k intervalos, con puntos medios m1, m2, …, mk y frecuencias f1, f2, …, fk, la media aritmética viene dada por

donde i = 1, 2, …, k.

La mediana y la moda son otros dos valores de la tendencia central. Si las x se ordenan según sus valores numéricos, si n es impar la mediana es la x que ocupa la posición central y si n es par la mediana es la media o promedio de las dos x centrales. La moda es la x que aparece con mayor frecuencia. Si dos o más x aparecen con igual máxima frecuencia, se dice que el conjunto de las x no tiene moda, o es bimodal, siendo la moda las dos x que aparecen con más frecuencia, o es trimodal, con modas las tres x más frecuentes.

Tipos de Gráficos:

1) Gráfico de Barras:

45 kg 40 kg 35 kg pesos 30 kg 25 kg

1

2

3

4

5

6

68

2) Gráfico Circular:

25 % 30 %

20 %

25 %

2) Gráfico de Líneas:

20 15 notas

10 05 01

5

10

15

20

25

69

3) Gráfico de puntos:

5000

*

4000

*

3000

*

Bolívares 2000 1000

* *

01

05

10

15

20

Compradores

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos

frecuencia clase

frecuencia acumulada

01 - 05

6

6

06 - 10

8

14

11 - 15

4

18

16 - 20

5

23

70

8 7 6 frecuencia

5 4 3 2 1

01

05

10

15

20

intervalos

Ejercicio: Con la siguiente distribuci贸n de frecuencias, hacer un gr谩fico circular.

Clases

frecuencias

punto medio

frecuencia acum..

01 - 05

5

3

5

06 - 10

6

8

11

11 - 15

4

13

15

16 - 20

7

18

22

71

Ejercicio: Con los siguientes datos, hacer un grรกfico de barras:

Intervalos

frecuencias

01 - 02

6

02 - 04

8

05 - 06

7

07 - 08

4

punto medio

p. m x f

72

Nociones elementales de Informática:

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.

b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones. d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras, capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una escritura.

73

e) Formas de procesamiento de datos: .- Medios perforados. .- Soportes perforados: tarjetas perforadas. cintas perforadas.

.- Medios magnéticos: tambor magnético. soporte magnético. cintas magnéticas. disco magnético. .- Medios ópticos. .- Terminales de teclado-pantalla. .- Impresora.

74

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, estรก formada por: a) Monitor o pantalla. b) Teclado. c) C .P.U d) Impresora. e) Mouse. f) Fax. g) Scanner.

75

76

Partes de un Computador

Unidad de Entrada

Unidad de Memoria

Traduce palabras y números lenguaje a lenguaje de máquinas.

Almacena datos e instrucciones

Unidad de Salida Traduce el lenguaje de máquina a palabras y números

Unidad de Control Controla los cálculos y el orden de las instrucciones

Unidad Aritmética Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

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Características de los computadores: a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo: .- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos. .- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por medio de lenguajes de programación. b) Tienen gran velocidad de cálculo. c) Tienen gran capacidad de almacenamiento. d) Tienen gran precisión. e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos Tópicos. f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores: Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.

78

Tareas administrativas del computador: a) Gestión de personal. b) Proceso de nóminas. c) Control de inventarios. d) Gestión de almacén. e) Facturación y contabilidad. f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio. g) Información de productores, partes y materiales. h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales: a) Control de procesos industriales. b) Robótica industrial. c) Diseño. d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico: a) Predicciones meteorológicas. b) Control ambiental. c) Control de comunicación satelital. d) Programas de simulación (vuelos). e) Otros.

79

Aplicaciones médicas: a) Control clínico del paciente. b) Mantenimiento de hospitales. c) Tomografía computarizada. d) Otros.

Concepto de algoritmo: El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

80

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso

salida - entrada

Operación Manual

decisión

Inicio-fin

introducción manual magnetic-tape

documento

punched card

81

Representación gráfica de algoritmos : 1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada con llave?

si

buscar la Llave

introducir la llave en la cerradura

darle vuelta a la llave

dar vuelta al pomo

salir

no

¿ Se abrió la puerta

abrir completamente la puerta

fin

82

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0) 2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N) 4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N=0 SUM = 0

N=N+1

SUM = SUM + N

Si

¿ Es N < 20

No

Imprima SUM

fin

83

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2) 3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X) 5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir

Comienzo

N=0 X=0 SUM = 0

X=X+2

N=N+1

SUM = SUM + X

Si

¿ Es N < 20 ?

No

Imprima

84

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4) Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos 5) Leer los N° enteros positivos A y B 6) Asignar a las variables PROD y N el valor 0 7) Sumar a PROD el valor en A 8) Aumentar a N en 1.

9) Si N < B pasar a instrucción3.

10) Imprimir: PROD

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) 2) 3) 4) 5) 6)

Leer los N° enteros positivos A y B. Asignar a las variable COC el valor 0.

Efectuar A – B y asignarlo a A. Aumentar a COC en 1.

Asignar a RES el valor A. Imprimir: COC y RES

85

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B. 2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3)Intercambiar valores de A y B. 2) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R. 3) Si R = 0 pasar a instrucción 7 4) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R. 5) Imprimir; MCD (A , B) = B

86

Dados los conjuntos: A =

D=

a, b,1,2

1,2,3,4

B = a,2,c, d

C = 2,3,4

E = a,0,1

1) Hallar la relación “es igual a” de A 2) Hallar la relación “le sigue a” de A

B C

3) Hallar la relación “ no es igual a” B

D

4) Hallar la relación “le antecede a”

E

D

Hallar el producto cartesiano de los conjuntos: 1) A = 1,2,3,a

2) B = a ,b, c, d

4) A =

5) C = + , a , b

#,*

3) C = x, a,1,7

6) B = x, y ,z

87

Dados los siguientes conjuntos, hallar la representaci贸n gr谩fica , el tipo de funci贸n, dominio y rango:

A = 1,2,3,4

B=

a, b, c

C = 1, f, e, x

D = 1,x, f, r

E=

a,*,+,1

F = z ,r, t

B

f:

(1,a),(2,b),(3,c)

1) A

f

2) A

f

C

f:

(1,1),(2,f),(3,e),(4,x)

3) B

f

D

f:

(a,1),(b, x),(c, f),(c, r)

f:

(1,a),(x,*),(f,+),(r,+)

4) D

f

E

5) E

f

F

f:

(a, z),(*,r),(+,t),(1,t)

88

Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones. a) â&#x20AC;&#x201C;4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)= b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}= c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}= d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=

Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones: a) (15+1):8= d) (23-11) : (-6)=

b) 20 : (7+3)=

c) (-36) : (6-12)=

e) 45 : (14-5)=

f) (-80) : (15+5)=

Efectuar cada una de las siguientes expresiones: a) 32.34.35 =

b) 23.34.25.310 =

3.36

3.22.2.35

c) a3.b2a.b3 = a2.b3

89

Hallar el m. c. m de los siguientes nĂşmeros: a) 20 y 4

b) 30 y 6

c) 5 y 7

d) 15 y 25

e)21 y 34

f)12,3,15

g) 24,12,30

h) 4,8,9

i) 9,10,7

j) 5,9,16

Determinar el M. C. D de los siguientes nĂşmeros: a) 72 y 90

b) 140 y 35

c) 24 y 56

d) 14 y 8

e) 12 y 34

f) 25 y 46

g) 14 y 28

h) 35 y 42

i) 28 y 35

j) 21 y 30

Efectuar cada una de las siguientes adiciones: a) 2/6 + 7/4 =

b) 5/3 + 6/5 =

c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =

d) 5/2 + 7/5 =

e) 4/3 + 8/6 + 9/4 =

f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =

g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 =

i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =

90

Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como una fracción irreducible: a) ( 3/4 ) . (-5/3)=

b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) =

d) (4/6) . (5/6) . (5/2) =

c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =

e) (7/6) . (4/5) . (3/6) =

f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando la respuesta lo mas simplificado posible:

a) (3/4 + 2/5) : 2/3 =

b) (5/2 – 1/5) : 2/4 =

d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) =

c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =

e) (5/6 : 4/3) : 6/4 =

g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) =

f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =

h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

Efectuar cada una de las siguientes potencias: a) (2/3)4 . (2/3)3 =

b) (-1/3)2: (-2/3)4 =

d) (3/4)2 . (6/5) =

e) (2/3)4 . (1/5)

g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2

3

=

4

c) (3/5) . (3/5)4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =

=

h) (4/2)3 . (5/2)3

5

: (4/2)

91

Hallar el valor numérico de los polinomios: 1) p(x) = 2x + 3

donde x = 2

2) q(x) = x2 – 1 donde x = 3 3) t(x) = 2x + 3 x donde x = -1 4) s(x) = 3 – x3

donde x = 2

5) p(x) = x3 + 4x – 2 donde x = 3 6) q(x) = 4x – x + 5

donde x = 2

Dados los polinomios : p(x) = 9x3 + 6x2 – 2x + 1 q(x) = 5x4 – 5x3 + 4x2 – 8x + 3 ; t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/3 x2 – 4/2 x + 3/3

; s(x) = 3/2 x2 + 5/2 x – 2/2

h(x) = 3/5 x2 + 2/5 x – 7/4 ; z(x) = 2 x2 + 3 x - 7 Hallar la suma de los polinomios: 1) p(x) + q(x)

2) p(x) + t(x)

3) q(x) + t(x)

4) r(x) + s(x)

5) r(x) + h(x)

6) s(x) + h(x)

7) Conmutativa: p(x) + q(x)

8) Conmutativa: p(x) + t(x)

9) Asociativa: p(x) + q(x) + z(x)

10) Elemento neutro p(x) + 0

11) Elemento neutro q(x) + 0

11) Elemento simétrico de p(x)

92

Dados los polinomios: p(x) = 2x2 + 3x – 6 t(x) = 3x3 – 5x2 + 7x – 6

;

;

q(x) = 4x2 – 5x + 9

s(x) = 6x2 – 7x + 5

Hallar la sustracción de los polinomios: 1) p(x) – q(x)

2) p(x) – t(x)

3) p(x) – s(x)

4) q(x) – t(x)

5) q(x) – s(x)

6) t(x) – s(x)

Dados los polinomios. p(x) = 2x + 7 h(x) = 5x – 9

;

; q(x) = 4x – 5

t(x) = 2x2 – 5x + 2 ; s(x) = 3x2 + 7x + 4

Hallar: 1) p(x)

.

q(x)

2) p(x)

.

h(x)

4) q(x)

.

t(x)

5) h(x)

.

s(x)

7) Conmutativa: p(x)

.

q(x)

9) Elemento neutro: p(x)

.

1

3) p(x) 6) p(x)

8) Asociativa: p(x)

.

.

t(x)

.

q(x)

s(x)

.

h(x)

10) Distributiva: p(x) . {q(x) ± h(x)}

93

Hallar la división de los polinomios: 1) (4x2 – 6x + 8) : (2x + 2)

2) (8x2 – 2x + 10) : (2x – 4)

3) (10x2 + 5x + 5) : (5x – 5)

4) (9x2 – 6x + 8) : (3x – 6)

Resolver los siguientes productos notables: 1) (2x3 + 4p6)2

2) (5ab2 + 8 c5)2

3) (6q4 + 7 t5)2

4) (3a3 – 5c4)2

5) (6b5 – 9g6)2

6) (6x3 – 7y8)2

7) (3a + b).(3a – b)

8) (3x2 + 2y).(3x2 – 2y)

9) (4p3 + 8q).(4p3 – 8q)

10) (x + 4).(x + 8)

11) (a + 9).(a + 5)

12) (p + 6).(p + 3)

13) (x + 6q)3

14) (2a2 + 6x5)3

15) (6p4 – 9r6)3

94

Factorizar los siguientes polinomios: 1) 3x4 + 6x3 + 2x

2) 4b5 – 8b4 + 6b3

3) 2x5y6 + 7x4y5 – 6x3y4

4) 9x4 – 4p8

5) 25a6 – 16y10

6) 36q2r4 – 49y12

7) - x2 + 6x – 9

8) 20ax – 25x2 + 4a2

9) x6 – 2x3 + 1

10) x2 + 10x – 24

11) a2 – 5a – 24

13) ax – bx + ay – by 14) a2 + 2ab + b2

12) b2 – 9b + 18 15) x2 + 5x + 6 + 3a

95

Hallar la probabilidad de que: a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara. b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5. c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello. d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas. e) En el siguiente cuadro numĂŠrico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de que acierte:

4

5

8

9

1

0

3

12

4

7

10

23

13

43

32

89

45

54

78

98

46

27

37

4

60

100 48

41

96

3

12 76

1

52

0

96

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras, uno de líneas y otro circular: Clases

frecuencias

00-06

5

07-13

7

14-20

4

21-27

8

punto medio

f. acumulada

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y uno de puntos:

Intervalos

frecuencias

1 – 10

5

11 - 20

8

21 – 30

6

31 - 40

9

punto medio

p.mxf

97

98

Ludo de los Números Enteros

Descripción: Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.

El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con los números enteros.

Regla del Juego: 1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la casilla de llegada.

4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.

5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.

Objetivo Terminal: El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales de los números enteros.

99

100

Memoria de los Números Enteros

Descripción: Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doblefax, donde un lado estará con un número, palabra o signo, relacionado con el tema de los números enteros (preferiblemente en colores), y el otro lado en blanco.

Regla del juego: 1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.

2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.

3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una vez que coincidan se anexarán al jugador.

4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.

Objetivo Terminal: Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números negativos, los positivos y el cero como números enteros.

Conocer que los números enteros se escriben como Z. Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números enteros.

101

102

NZ

NZ





103

|

104

Juguemos con los Dados Suma de Fracciones Descripción del juego: Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3 equipos).

Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los alumnos dirán que pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para comenzar la competencia entre ellos.

Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y los que lo hagan en menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y competirá con la otra pareja.

La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y así sucesivamente.

Al final competirán entre sí los ganadores de los seis equipos, y se irán eliminando hasta quedar un (1) ganador. El profesor recogerá el record de todos los competidores, asignándole desde 0,25 puntos hasta 2 puntos a los ganadores (dependiendo de las veces que haya ganado).

Propósito: .- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores. .- Compartir conocimientos. Solidaridad. .- Ser críticos.

Objetivo terminal: Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.

105

Caras de los Dados Primer Dado:

1 2

2 3

1 4

3 4

2 5

3 6

Segundo Dado:

2 7

4 6

3 5

5 2

4 6

6 4

106

El Tablero de los Vectores Descripción: Consiste en un tablero contentivo de 20 combinaciones, que se pueden definir de los lanzamientos de los dados. Cada combinación tiene un número ( 1 al 20) que identifica una pregunta específica , además se tendrá también 20 tarjetas con las respuestas.

Regla del Juego: 1.- Podrán jugar 2, 4 ó 6 jugadores por tablero.

2.- Se colocarán en grupos en una mesa o piso.

3.- Utilizarán dos dados , se rifará el salidor de la partida.

4.- Al lanzar los dados, saldrá una combinación a la que le corresponde una pregunta. Se le formulará al jugador, quien deberá responder para ganar el punto.

5.- Hay combinaciones en las que aparecerá lo siguiente: “vuelve a lanzar”, “pierdes 1 punto”, “ganas 1 ó 2 puntos”.

6.- Ganará el jugador que acumule mas puntos.

Objetivo Terminal: Se logrará cumplir con el objetivo, cuando los alumnos logren responder todas las preguntas correctamente sobre el tema de los vectores.

107

Define Vector

Componente de

Sumar los vecto-

Haler el compo-

un vector se ano-

res a = (3 , 2) y

nente del vector

ta.

b = (4 , 5)

a =(3, 4) b = (1,6)

El sistema de coor- Un par ordenado denada rectangu- se denota: lar se dibuja

ยก SORPRESA!

El par ordenado (-1,5) se grafica:

Se define ยก SUERTE! S = (x 1+x2,y1+y2) como:

Esta propiedad :

a - b se define:

a + b= b + a es:

LO LAMENTO Resuelve a - b

Esta propiedad es

a = (2,3) b = (-4,5) ( a + b) + c =

ยก SORPRESA!

a + ( b + c)

Dado a = (2,-4)

Aplica propiedad

Hallar: 3 . a

conmutativa

ยก SUERTE!

Esta propiedad es: a + 0=0 + a

a = (2,-3) b = (4,6)

108

Tarjetas de Respuestas Posterior

1

2

Vector es un segmento orientado

ab

3

4

a + b = (3+4,2+5)

a b = (1 â&#x20AC;&#x201C;3, 6-4) = (-2,-2)

(7 , 7)

5

6

( a , b)

109

7

8

Ganas 1 punto

Adici贸n de Vectores

9

10

Vuelve a lanzar los dados

11

12 Sustracci贸n de Vectores

Conmutativa

13

14

Pierdes 1 punto a - b = (2-(-4),3-5) = ( 6,-2)

15

16

Asociativa

Vuelve a lanzar los dados

110

17

18

3(2,-4) = (6,-12)

a + b = (2+4,-3+6) = (6,3)

19

20

Ganas 2 puntos

Elemento Neutro

111

Juego de Dardos de los Conjuntos y Funciones Descripción: El juego consiste en doce circunferencias dibujadas en degradación, enumeradas de adentro hacia fuera de la siguiente forma: 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.

Cada número en la circunferencia tiene una pregunta y una respuesta (teoría y ejercicios). El valor en puntos es el mismo al número representado.

Se dibujarán las circunferencias en una cartulina, se enumerarán y forrará con papel engomado transparente.

Regla del juego: 1.- Se colocará la lámina pegada en una pared.

2.- Se dispondrá de plastilina, y se harán varias pelotitas de varios colores.

3.- Jugará un alumno a la vez, haciendo 5 lanzamientos cada uno hacia la lamina, a una distancia cercana.

4.- Las pelotitas acertadas en los números correspondientes tienen sus preguntas, que deben ser respondidas por el jugador.

5.-

El juego contiene una tabla de 12 preguntas y 12 tarjetas en forma de

circunferencias que son las respuestas.

6.- Las preguntas acertadas tendrán el mismo valor en puntos, que el número de la pregunta.

7.- Ganará el alumno que acumule más puntos.

Objetivo Terminal: Se dará por cumplido el objetivo, cuando el alumno conozca o domine los ítem de este juego.

112

7

113

Tabla de Preguntas

1.- Define el Conjunto

2.- Este conjunto es A = { }

3.- El Producto Cartesiano de dos conjuntos se denota:

4.- Dibuja la relaci贸n de dos conjuntos

5.- Hallar: f: { (a , x) ; (b , y) ; (c , z) }

6.- Este gr谩fico de denomina:

. . . . . .

7.- Define la relaci贸n de orden

8.- Se cumple la propiedad:

9.- Dado A = { a , b , c }. Hacer la tabla de composici贸n ( a * b) = b

10.- Este es un conjunto B = { 1 }

114

11.- Las funciones se clasifican:

12.- Se cumple la propiedad:

Tarjetas: (posterior)

115

Tarjetas de Respuestas ( anterior)

116

117

Juego de Dominó en la Geometría Descripción: El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida en dos recuadros iguales. Cada recuadro expresa una relación.

El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras geométricas y

cuerpos geométricos. El juego consiste en empatar la figura,

fórmula o cálculo del extremo de una ficha, con una relación de su misma clase, perteneciente a otra ficha:

Regla del Juego: Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando pupitres en una aula normal. Para una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará 6 ó 8 juegos semejantes.

El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se revuelven las fichas boca abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente suyo.

118

El jugador irรก colocando las fichas dependiendo de la relaciรณn que exista al momento de jugar. Ganarรก el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo sumarรก un (1) punto cada vez que llegue primero uno del equipo.

Se jugarรกn 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo ganador.

FICHAS

119

120

121

El Fichero de los Polinomios Descripción: El juego consiste en un fichero construido en cartón grueso o una pequeña caja forrada con papel bond. Se le dejará un abertura circular lo suficientemente grande para que se pueda introducir una mano.

Se introducirán fichas previamente elaboradas en forma circular de distintos colores. Cada color representará una pregunta o ejercicio. El jugador contestará la pregunta o realizará el ejercicio en una hoja blanca de anotaciones que llevará el docente.

Regla del Juego: 1.- Se introducirán las fichas dentro del fichero.

2.- Se jugará de 2,3 ó 4 jugadores por fichero.

3.- Al sacar cualquier ficha, el jugador la mostrará al docente, quien le formulará la pregunta o ejercicio dependiendo del color.

4.- Si contesta la pregunta se le anotará 2 puntos y se retirará la ficha. Si no contesta se volverá a introducir la ficha y no ganará puntos.

5.- Los puntos y colores de las fichas se llevará en una hoja de anotaciones.

6.- Ganará el jugador que acumule más puntos en la suma final.

Objetivo Terminal: La finalidad de este juego es la de integrar al alumno de 8 vo grado de una manera simple y divertida, al análisis de los conceptos y desarrollo de los ejercicios básicos de los polinomios.

122

Hoja de Anotaciones:

Jugador

Colores (preguntas contestadas)

Puntos Suma total

1) 2) 3) 4)

FICHAS PREGUNTAS Define polinomios

RESPUESTAS Se define polinomios a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

Define polinomio nulo

Es el que tiene todos los coeficientes Nulos.

Define polinomio constante

Es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente.

123

Define grado de un polinomio Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable.

Cuando un polinomio es

Cuando los exponentes de la variable

completo.

se suceden de unidad en unidad, desde el término de mayor grado hasta el térno independiente.

Define valor numérico de un

Es el número que se obtiene cuando se

polinomio.

sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Enumera las propiedades de la Conmutativa, Asociativa, Elemento suma de polinomios.

Resuelve p(x) = 5x – x dónde x = -2

Neutro, Elemento Simétrico

p(-2) = 5(-2) – (-2) p(-2) = - 10 + 2 = -8

124

Sumar p(x) = 5x2 + 4x + 6

p(x) = 5x2 + 4x + 6

q(x) = 2x2 – 3x + 2

q(x) = 2x2 – 3x + 2 p(x)+q(x)= 7x 2 + x + 8

Aplicar Conmutativa

p(x) = 3x + 6

q(x) = 4x - 2

p(x) = 3x + 6 ; q(x) = 4x – 2

q(x) = 4x – 2

p(x) = 3x + 6

7x + 4

Restar p(x) = 5x2 – 4x – 2 q(x) = - 2x2 – 3x + 7

7x + 4

p(x) = 5x2 – 4x – 2 -q(x) = 2x2 + 3x – 7 7x 2 – x – 9

Multiplicar p(x) = 4x2 – 3x + 5

p(x) = 4x2 – 3x + 5

q(x) =

q(x) =

6x – 3

6x – 3

12x2 + 9x – 15 24x3 – 18x2 + 30x.........

24x 3 – 6x2 + 39x – 15

125

Dividir (6x2 – 4x + 3) : ( 2x + 4)

6x 2 – 4x + 3 -6x2 – 12x

2x + 4 3x – 8

-16x + 3 16x + 32 35

126

Subiendo y bajando la escalera (Estadística) Descripción: Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de colores diferentes para identificar los jugadores .

Regla del juego: 1.- Constará de 24 escalones enumerados.

2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.

3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.

4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.

5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con los ejercicios.

6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.

7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.

8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y librarse de la caída de la casilla 13.

Objetivo terminal: El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.

127

13 12 11 10 9 8 7 6

14 15 16 17 18 19 20 21

5 4

22 23

3

24

2 1 Vuelve a empezar

128

Tarjetas de Preguntas Posterior

1

2

Define Estadística

¿ Qué significa % ?

3 Toma una tarjeta de inmunidad

4

5 ¿Este es un gráfico? frecuencia rojo

Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 4

6 ¿ Que es la probabilidad ?

verde azul amarillo morado

129

7

8

Lanza dos monedas y halla la probabilidad de que salga cara y sello

Toma una tarjeta de inmunidad

9

10

¿Qué significa fr ?

Toma una tarjeta de inmunidad

11

12

¿ Este es un gráfico de?

Avanza 2 escalones

100 80 60 40 20 0 1er trim.

2do trim.

3er trim.

4to trim.

13

14

Define población

Toma una tarjeta de inmunidad

130

15

16

Define muestra

¿ Cuál es la moda en?

3,4,5,2,1,3,6,8,3

17

18

Toma una tarjeta de inmunidad

Retrocede 4 escalones

19

20

Grafica el siguiente cuadro: Intervalos 00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 – 20

Frecuencia 1 4 6 2

21

Toma una tarjeta de inmunidad

22 Calcular la media en:

Define la mediana

5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

131

23 Âż QuĂŠ porcentaje es 350 de 1000?

24 Calcular la mediana en: 1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

Tarjetas de Inmunidad

132

Respuestas

1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fen贸menos que han ocurrido

2.- Significa porcentaje

3.-

4.- La probabilidad es

P = 1/6

5.- Gr谩fico circular

6.- Es el estudio de fen贸menos ocurridos al azar 7.- P = 2/4

8.-

9.- Frecuencia relativa

10.-

133

11.- Gr谩fico de barras

12.- Avanza 2 escalones 13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigaci贸n 14.-

15.- Es un subconjunto de la poblaci贸n

16.- La moda es: 3 17.-

18.- Retrocede 4 escalones 19.6 4 2 0 00 - 05

06 - 10

11 - 15

16 - 20

134

20.-

21.- La mediana es el valor central de una distribuci贸n.

22.- x = 42 7

x=6

23.- 35%

24.- es 5

135

Crucigrama Matemático:

1

5

2

3

6

7 4

8

10 11

9

10

12

Horizontal:

Vertical:

1.- Suma de 3 + 4

1.- se define + como

2.- Se llama

3.- 8 se escribe

4.-

. se escribe

5.- 3 se escribe

6.- Siete en ingles

7.- 21 – 1 es igual

8.- 2 + 3 es igual

9.- x en x = 5 – 1 es igual

10.- 13 se escribe

11.-

se conoce como

12.- + se escribe

136

Bingo Geométrico El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás.

Este consta de 7 cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.

Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar hasta 7 jugadores.

137

CARTONES

Memoria Geométrica

138

Memoria Geométrica El juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de los participantes designado por el profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o los corrigen.

Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.

Número de: Triángulos:_____ Cuadrados:____ Hexágonos:____ Círculos.____ Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:____ Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____ Círculos pequeños:_____ Círculos grandes:____

139

140

141

142

143

144

145

146

147

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E…………………………………Matemática 8vo Grado. Distribuidora Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 7mo Grado. Ediciones CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993 PANTOJA, Héctor.................................... Matemática. Educación Básica 8 vo Grado Evaluación Diagnóstica. Ediciones ENEVA Caracas. Venezuela 1992.

MICROSSOF ENCARTA 99

148