3 cuaderno de matemática 3er año media

Autor: Luis. E. Camacho. S. Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

Deposito Legal

lf 03220035101806X

Prologo

El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos, refleja en forma sencilla y práctica los objetivos del programa de Matemática de 3º Año de Media General.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los alumnos un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del Profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron muy satisfactorios.

Los Teques, Septiembre del 2003

2

Agradecimientos: Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo: Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora Metodológica Marcos Salas, profesor de computación Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen” Liceo San Pedro de Los Altos U. E. C. “Andrés Bello”

3

Contenido .- Conjunto N° Irracionales, números racionales..................6 .- Números reales................7 .- Aproximaciones reales................7 .- Expresiones decimales…...........8 .- Fracción generatriz............8,9,10,11 .- Suma de N° reales...........12 .- Resta de N° reales...............12 .- Representar gráficamente un irracional................13,14 .- Producto de N° reales...............14 .- Propiedades..............15,16 .-Cálculo de raíz cuadrada.....................16,17 .- Ejercicios...............18,19,20,21 .- Radicación en R..............21 .- Simplificar radicales......................21,22 .-Suma y sustracción de radicales.............22 .- Producto de radicales................23,24 .- División de radicales..............24,25 .- Potencia de radicales...............25,26 .- Racionalización.............26,27 .- Intervalos.............27,28,29 .- Inecuaciones..............29 .- Ejercicios....................30,31,32 .- Sistema de coordenadas............33,34 .- Plano real............34,35 .- Puntos en el plano ...............36,37 .- Función afín................37,38 .- Haz de rectas.................39 .- Distancia entre dos puntos.............38,40,41 .- Sistema de inecuaciones...............42,43,44,45,46,47,48,49,50 .- Función cuadrática...........50,51,52 .- Ecuación de segundo grado..........52,53,54 .- Ecuación irracional..............54,55,56 .- Teorema de Pitágoras y Euclides.................56,57,58,59,60,61,62 .- Probabilidad estadística............63,64,65,66 .- Estadística......67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88, 89,90,91,92,93,94,95,96,97

.- Ejercicios...............98,99,100,101,102,103,104 .- Informática........105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118 .- Juegos Matemáticos..............119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130, 131,132,133,134,135,136,137,138,139 .- Páginas de resolución de ejercicios............. 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149 .- Bibliografía............150

4

Conjunto de los N° Irracionales: Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números racionales, son los que corresponden a los números decimales con infinitas cifras no periódicas y que se denominan números irracionales

n

a

 Q , Q∩I=0

Números Irracionales: 3,8 : es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es racional.

5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional. Π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite. √2 = 1,4142135562 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

5

Conjunto de los N° Reales: Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q) y los irracionales (I), y se anota con la letra R. R=QUI y Q∩I=0 Podemos escribir: N  Z  Q  R es decir: los N° naturales son un subconjunto de los enteros, a su vez subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales

Aproximaciones racionales de N° reales: Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras decimales.

Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por defecto o exceso.

Por defecto: aproximación un poco menor de un número.

Ejemplos: a)  2 = (1,4)2 = 1,96 (1,41)2= 1,9881 (1,414)2= 1,999396

6

b)  3= (1,6)2 = 2,56 (1,61)2= 2,5921 (1,616)2= 2,611456

Por exceso: aproximación un poco mayor de un número.

Ejemplo: a)  2 = (1,415)2 = 2,002225 (2,231)2= 4,977361 (2,232)2= 4,981824

Expresiones Decimales: Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no se repite y parte decimal que se repite siempre. El período no comienza en las décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas entre la coma y el período.

Ejemplo: 2,56363

2 = parte entera 5 = ante-período 6363 = período

7

Ejercicios: 5/12 = 0,4166

Parte entera:_____ Ante-período:______ Período. ______

5/6 = 0 ,8 33

Parte entera:____ Ante-período:____ Período:____

Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera cifra decimal. El período viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite.

Ejemplo: 3,4646

Parte entera: 3 Período: 4646

8

Expresión generatriz decimal pura o limitada:

Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción generatriz será la que tenga:

a) Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales, prescindiendo de la coma. b) Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3, 4

10f = 10 x 3,4 = 34, 4 -f = -1 x 3,4 = -3, 4 9f

31 f = 31 9

9

Expresión generatriz mixta o ilimitada: Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción generatriz será la que tenga: a) Como numerador, la parte entera seguida del no-período y del período(prescindiendo de la coma) menos la parte entera seguida del noperíodo (prescindiendo de la como) b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el no-período.

Ejemplo: Calcular la fracción generatriz f = 3,5 21

1000f = 1000 x 3,5 21 = 3521, 21 -10f = -10 x 3,5 21 = 990f

-35, 21 3486

f = 3486 990

10

Suma de números reales: Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada sumando dado por su correspondiente número racional de acuerdo a la mejor aproximación decimal propuesta.

Ejemplo: Sumar: 3/8 +  5 + 8,360 = 0,375 + 2,236 + 8,360 = 10,971

Resta de N° reales: Ejemplos: 1) Resolver 5,34 – 3,24 = 2,10 2) Resolver  6 – 1,3 – 0,3 = 2,44 – 1,3 – 0,3 = 0,84

11

Representación gráfica de un N° irracional: Representar gráficamente el número  2 Como 12 + 12 = (  2)2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1.

Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto cuyos extremos son 0 y 1, la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la hipotenusa 0A igual a  2 .

Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA. El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional  2.

A 2 1 A’ -1

0

1 2

2

12

Ejemplo: Representar x =  13  13 = 22 + 32

x=

x 2 = 22 + 32

=

=

x=

2 2 + 32

x =  13 = 3,6

4+9

 13

0

1

2

3

4

5

6

Producto de N° reales: Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales: a) Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor. b) Se efectúa el producto. c) El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

13

Ejemplos: 1) Resuelve  5 . 1,34 . 1,34 = 2,23 . 1,34 . 1,34 3

2

1,41

3

1,41

1,41

= 0,74 . 0,95 . 0,95 = 0,66

Propiedades de la multiplicación de N° reales:

1) Conmutativa: a . b = b . a

Resuelve: 1) 4,5 . 3,6 =

3)  5 .  3 =

2) 6/4 . 3,5 =

2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c 2)  4 . 6,4 . 7/2 =

Resuelve: 1) 5,4 . 5,3 . 3 =

3) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a Resuelve. 1) 5 .1 =

2) 6 . 1 =

3) 7 .1 =

4) -5 . 1 = 5) -√3 . 1 =

4) Elemento Simétrico: a . 1/a = 1 Resuelve: 1) √11 . 1 = √11

2) - √2 . 1 = -√2

14

5) Distributiva: a . { b  c} = a . b  a . c Resuelve: 1)  3 . { 3,5 + 4}

2) 4/6 . {  6 + 2,5}

Raíz enésima de un N° real: n

a= b

 = signo radical a = cantidad sub-radical n = índice de la raíz b = raíz n-sima de a

Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz enésima de “a” sí cumple que bn = a (a  0 y b  0 cuando “n” es par). n

a = b

bn = a

Cálculo de raíces cuadradas:

Ejemplo: 1) Sea calcular

625

15

a) Formamos grupos de dos cifras, de derecha a izquierda. El último grupo puede tener 1 ó 2 cifras.

6 . 25

b) Se extrae  6 con un error menor que la unidad:  6 = 2 625

2

c) Se eleva al cuadrado el 2 y se resta de 6 : 6 – 4 = 2 6 . 25 2 -4 2 d) Se coloca a la derecha del resto el grupo siguiente al 6(25) y se separa una cifra a partir de la derecha.

6 . 25

2

-4 22.5 e) Se toma el doble de 2 que es 4 y se coloca debajo de él.

6.25 -4

2 4

22.5

f) Se divide 22:4 y el resultado 5 se coloca a la derecha del 2 y del 4.

6.25 -4

25

Se efectúa 45 x 5 y se resta de 225

45 x 5 =225

22.5 - 22.5 0

16

Identifica los números racionales e irracionales: a) 34,3458______

b) 5,3434________

c) 2/7 _______

d) 6/8 _______

e) 56,2 _______

f) 2,02003______

g)  7 ______

h)  3 ______

i) ℮ = 2,71828______

Determina, para cada número real que se especifica, sí la aproximación que se da es por defecto o por exceso:

a) 3,31 de ℮√11 _____

b) 2,3 de √ 5 ______

c) 3,2 de π ________

d) 2,45 de 6,25 _____

e) 3,17 de √10 ______

f) 1,12 de 1,25_______

Resuelve el racional y determina si la expresión decimal es mixta o pura, y sus partes: a) 5/13

b) 81/4

c) 24/5

d) 125/90

e) 20/12

f) 2/7

g) 11/20

h) 10/3

i) 52/99

j) 6/12

17

Calcular la fracción generatriz de los siguientes decimales: a) f=3,456

b) f=44 ,28

c) f= 35,285

d) f= 59,4

e) f= 126,835

f) f= 23,567

g) f= 30,54

h) f=349,34

Suma los siguientes N° reales: a) 5/4 + 3/6 + √3/2

b) √4/3 + 2,36 + √7

c) 7,52 + √6 + 2

d) 6

2

3

+ 1,28 + 0,34

4

Aplica las propiedades de la suma de N° reales: a) Conmutativa 3 + √7

b) Conmutativa √8 + 9

4

2

c) Asociativa 5 + 1,34 + √3 d) Asociativa √8 + 4 + 0,32 2

3

e) Elemento neutro 2,382 + √2 + 3 5

f) Elemento simétrico √2 + 3 =

+0=

7

g) Elemento simétrico 3 + 8 = 5

2

18

Problemas de suma y resta de N° reales: a) Un terreno mide 32.000m2. Se dividirá en 5 partes. La primera 2/5 de la longitud; la segunda ¼; la tercera 2/5; la cuarta 1/5 y la quinta 1/8. ¿ Cuántos metros corresponden a cada parte?

b) Una torta pesa 4 Kg. Se dividirá entre Luis 2/5; Pedro 1/5; Julio 2/7 y Javier 2/9. ¿ Cuanto Kg le tocó a cada uno?

c) La distancia entre dos ciudades es de 356 Km. Si un vehículo parte de una ciudad hacia la otra, y hace el siguiente recorrido: la primera hora recorre 1/9 de la distancia; la segunda hora 2/5; la tercera hora 1/5; y la cuarta hora 2/7. ¿ Qué distancia recorrió el vehículo?

Representa los N° irracionales: a) √25

b) √29

c) √34

d) √45

e) √41

f) √52

g) √58

h) √61

i) √32

j) √74

19

Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números: a) Sea calcular √123

b) Sea calcular √2345

c) Sea calcular √1345

d) Sea calcular √2763

e) Sea calcular √354

f) Sea calcular √276

Radicación en R: La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 ‘o elevados a 3, den el número expuesto en la parte sub.-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz cuadrada, y si es elevado a 3 se llamará raíz cúbica.

Simplificación de radicales: Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte sub.radical por el mismo número.

20

Ejemplo: Simplificar √125

=

125 = 53 6

Ejemplo: Simplificar

4

9a2b2

√53 = 6/3

=

9 = 32

=

4

(3ab)2

√5

=

3ab

Suma y sustracción de radicales semejantes:

Ejemplos: 1) 4 √3 + 5 √3 = 4 + 5 √3 = 9 √3 2) √5 + 3 √5 = 3 + 1 √5 = 4 √5 3) 3 √15 - 2 √15 = 3 –2 √15 = √15 4) 15 √x - 2 √x = 13 √x

21

Multiplicación de radicales del mismo índice: Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se multiplican las partes sub.-radicales.

Ejemplos: 1)

2)

3

5

2

3

.

3a2 .

5

3

2a4 =

3

=

5

6

6a6

Multiplicación de radicales con diferente índice: Regla: a) Se halla el mínimo común índice de todos los índices. b) Se multiplica el índice y el exponente de cada uno de ellos por el cociente que resulta de dividir dicho mínimo por el índice respectivo.

22

Ejemplo: 1)

3

a2 .

6/3

a2 .

b = m.c.i (3,2) = 6

6/2

b

=

6

(a2)2 . b3

6

a4 b3

División de Radicales con igual índice: Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se dividen las partes sub.-radicales.

Ejemplo: 1)

3

6

=

3

6

=

3

2

3 3

2

23

3

2)

4a2b

=

3

4a2b

=

3

2a

2ab 3

2ab

Divisi贸n de radicales con diferente 铆ndice: 3

1)

a2 .

4

12

5

= m.c.i (3,24) = 12

ab2

(a2)4

12

.

56

=

12

a8 . 56 a 3 . b6

12

=

12

56 . a5 b6

(ab2)3

Potencia de radicales: Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte sub-radical a dicha potencia. m

a

n

=

m

an

24

Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual al producto de los índices.

m

n

a

=

m.n

a

Racionalización de expresiones radicales monomias: Se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la del denominador y una parte sub-radical, cuyas letras y números llevan exponentes que sumados con los que ya tiene el denominador, nos de el índice o un múltiplo de él.

Ejemplo: Racionalizar

a 5

5

a 5

a5

a2

=

a

. a3 .

5

a2

=

5

a2

5

a2

=

5

a2

a

25

Racionalización de expresiones radicales binomias: En este caso, generalmente las raíces son cuadradas, por lo tanto se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Ejemplo: Racionalizar

2 2 +

2 (2 -

2 )

(2)2 – (√2)2

= 2(2 -

.

2

2 )

2 -

2

2 -

=

2

= 2(2 -

4–2

=

2 ) =

2 - √2

2

Representar intervalos: Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b . A cada uno de estos números le corresponde un punto de la recta real. a

b

A

B

26

Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en la recta real se interpreta como el segmento comprendido entre los puntos a y b.

Intervalo cerrado: cuando los extremos se incluyen.

a,b ó a≤x≤b

Intervalo abierto: cuando los extremos se excluyen. a , b ó a < x < b

Ejemplos Representar gráficamente

1)

3,6

∩ -5 , 8

-5

-4

entonces

2)

-3 , 5

∩

-3

-2

-1

0

1 2

3 4 5

6

7

8

3,6

2,

27

-3

entonces

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2,5

Inecuaciones: Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la transforma en una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una inecuación es una semirrecta.

Ejemplo: Resolver la inecuación 3x + 2 ≥ 14 x ≥ 14 – 2

=

x ≥ 12

3

=x≥ 4

3

0

1

2

3

4

5

5,

28

Simplificar las siguientes expresiones radicales:

1)

4)

10

243

2)

5

32a10b15

5)

6

4

8a3 b3

3)

256x8y4z12

6)

4

3

9a2 + 6ab + b2

216a3b6c15

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:

1) 5 √a + 3 √a

2) 6√x + 3√x

3) 14 √6 + 2 √6

4) 10 √5 - 2 √5

5) 8 √c - 4 √c

6) 4 √3 + 2 √3 - √3

Efectúa los productos de radicales:

1)

3)

5)

3

5

3

x2 .

3

x3

3a2b3c .

4a2b3x .

5

2)

4

2x3y2 .

4

a2b3

4)

6

4a2b3x .

6

6)

4

2x2y3

a2b2x2

.

3x2 6

5

a2b2x2

3x3

29

Resuelve las divisiones de radicales:

1)

4)

4

2x2

4

2x

3

3x2y4

2)

3

6a2b3

3

2ab2

3)

2x2y4

5)

.

3

5

10a3b4c8

5

5a2b2

a2x3

6)

4

x2y3

4

6 x3y4

3

a2y2

3xy

Resuelve las siguientes potencias: 3 4

1)

a2 b

2 3

2)

2a2b

3) 3a2

3

ab2

2

c2

4)

5

3

a2

5)

5

3

6)

3

a

4

b

â&#x2C6;&#x161;a

30

Racionalizar las siguientes expresiones: x5

1) 3

2)

x2

5)

4

5 5 +

ab

6) 5

3)

a3 b

2 3

4)

2ab2

2

a2 b c

7)

3-

3

2 +

2

5-

3 2

Representa gráficamente los siguientes intervalos:

1)

-2,3

3)

-4,6

∩

2,6

∩ -2,4

2)

4)

-1,3 ∩ 0,2

0,7

∩

5,8

31

Resuelve las siguientes inecuaciones: 1) 3x + 6 ≤ 4

2) 4x – 2x +3 ≤ 7

3) x + 3x – 5 ≥ 7

2

4) x + x – 4 ≤ 2 2

5) 3x + 6 ≥ 18

6) 4(x + 3) – 5 ≥ -1

Sistema de Coordenadas.

Definiciones: a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones. b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos.

Cuando se dan dos puntos sobre la recta:

* a

* b

Se anota: ab recta “ab” c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una recta es un subconjunto del plano que las contiene.

32

Sistema de Coordenadas Y II

I

X III

IV

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro subconjuntos llamados cuadrantes.

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de coordenadas rectangulares.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas dadas.

Ejemplo: 

L’

0

L

33

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte son (a y b) Lâ&#x20AC;&#x2122; b

0

p

a

L

Se observa que el par (a , b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a, b) Îľ R x R. Los nĂşmeros reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

34

Representar puntos en el plano: a.- Situar los puntos a(2,5) ; b(2,1) ; c(-1,-4) ; d(3,-5) y 5 4 3 2 1 x -2

-1

0

1

2

-1 -2 -3 -4

35

Ejercicios: Representar los siguientes puntos: 1.- a(2,-6) ; b(-2,-6) ; c(8,-3) ; d(5,9) 2.- a(-4,7) ; b(-2,4) ; c(1,6) ; d(-5,8) 3.- a(6,7) ; b(-8,2) ; c(-4,8) ; d(3,-9) 4.- a(-4,-7) ; b(7,12) ; c(-7,0) ; d(-3,5) 5.- a(-4,-7) ; b(7,3) ; c(-4,7) ; d(-6,0) 6.- a(12,4) ; b(4,9) ; c(-3,7) d(9,5) 7.- a(12,4) , b(-5,-6) ; c(6,8) ; d(-9,-3) 8.- a(3,4) ; b(2,-7) ; c(-1,1) ; d(4,9)

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x

R en donde x es un subconjunto de R(x 

R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

36

Ejemplo: Representar y = 2x donde x = -2,-1,0,1,2 y x = -2--------- y = 2(-2) = -4 x = -1---------y = 2(-1) = -2

4

x = 0---------y = 2(0) = 0

3

x = 1---------y = 2(1) = 2

2

x = 2---------y = 2(2) = 4

1 x -2

-1

0 1

2

-1 -2 -3 -4

Ejercicios: Representar gráficamente las siguientes funciones: donde: x =-2,-1,0,1,2 1.- y = 2 –x

2.- y = 3x – 2

3.- y = 4x + 5

4.- y = 5 – 2x

5.- y = x + 4 2

6.- y = 6x - 2

7.- y = 2x + x

8.- y = 5x + 2

9.- y = 4x -1

37

Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al conjunto formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama haz de rectas. a

.

Calcular la distancia entre dos puntos.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son congruentes.

Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son diferentes.

Para hallar la distancia “d” del punto P 1 a P2

utilizamos el Teorema de

Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son : (x2 – x1) y (y2 – y1) .

38

y y2

P2=(x2,y2)

y1 P1(x1,y1)

x2 – x1

x1

Formula: d(P1,P2) =

x2

x

(x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de : P1(3,2)

P2(1,-1)

P3(3,0)

d(P1,P2) =

(1-3)² + (-1-2)²

=

d(P2,P3) =

(3-1)² + (0+1)² =

d(P3,P1) =

(3-3)² + (2-0)²

=

(-2)² + (-3)²

2² + 1²

=

0² + 2² =

=

4+9 =

4+1 =

4 =

13

5

2

39

y

P 1(3,2) 2 1 0

1

2

3

-1

x P3(3,0)

P 2(1,-1)

Ejercicios: Representa los siguientes puntos: 1.- P1(2,4)

P2(-2,5)

P3(2,5)

2.- P1(3,-2)

P2(-2,4)

P3(-1,2)

3.- P1(-3,6) P2(2,1)

P3(-3,6)

4.- P1(-4,7)

P2(-4,8)

P3(2,4)

5.- P1(5,8)

P3(-4,7)

6.- P1(5,6)

P2(3,5)

P3(-1,4)

P2(1,2)

40

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.

Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman en una identidad.

Resolver gráficamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema: 3x – 2y = -1

x =(1,3)

2x + y = 4

x =(0,-1)

Despejamos y: 3x – 2y = -1 y = 3x + 1 2

Sustituimos x por 1: y = 3(1) + 1 2

y=3+1 2

y=4 2

y= 2

A(1,2) Sustituimos x por 3:

y = 3(3) + 1 2

y=9+1 2

y = 10 2

y=5

B(3,5)

41

Despejamos y en la otra ecuación:

2x + y = 4

y = 4 – 2x

Sustituimos x por 0: y = 4 – 2(0)

y = 4 –0

y=4

C(0,4)

y=4+2

y=6

D(-1,6)

Sustituimos x por –1 y = 4 – 2(-1)

y 6 C 5 4

B D

3 2 A 1

-1

0

1

2

3

x

Ejercicios: Resolver gráficamente los sistemas: 1.-

2x + y = 4 3x + 2y=-1

2.-

2x – 7y = 6 4x – 3y = 2

3.-

2x – 3y = 1 3x + 4y =10

42

Analizar la solución de Sistemas de Ecuaciones mediante interpretación geométrica.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

y

L L’

x

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes.

43

La representación gráfica de este sistema es una línea recta. y

x

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya una solución común.

La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

y

L

L’

x

44

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción:

Este método es algebraico y consiste en hacer las

transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos apoyamos en las siguientes propiedades: a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación equivalente(tiene las mismas soluciones). a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación equivalente a estas.

Ejemplo: Resolver

x + 2y = 8

-2

x + 2y = 8

2x + y = 7

1

2x + y = 7

-2x – 4y = -16 2x + y =

7

-3y =

-9

y = -9/-3

Calculamos x en cualquier ecuación: y=3

x + 2y = 8

45

x + 2(3) = 8 x+6=8

x=8–6

x=2

Ejercicios: 1.-

3x – y = 5

2.-

2x + y =10

4.-

5x – 2y = -2 x – 2y = 2

2x – 2y = 10

3.-

3x + 2y = 10

5.-

2x + y = -2 x + 3y = -11

4x + y = -12 2x – 3y = 1

6.-

3x – 2y = 2 3x + 4y =22

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

Ejemplo:

Resolver

x – 5y = 8 -7x + 8y = 25

despejamos x:

x – 5y = 8 x = 8 +5y

46

Sustituimos en la otra ecuación -7x + 8y = 25

-7(8 + 5y) + 8y = 25 -56 – 35y + 8y = 25 -35y + 8y = 25 + 56 -27y = 81 y = 81/-27 = y = -3

encontramos el valor de x: x = 8 + 5y

x = 8 + 5(-3) x = 8 – 15

Ejercicios:

1. - 2x + y = 3

2.-

x+y=8

4.-

5x – y = 0 2x + y = 1

x+y=1

3.-

x–y=1

5.-

4x – 5y = 3 3x – 3y = -3

5x + 2y = 3 2x + 3y =-1

6.-

2x – 2y = 10 3x + 2y = 10

47

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.

Ejemplo:

Resolver:

2x + 1 = y 5 4

4(2x + 1) = 5y 8x + 4 = 5y

2x – 3y = -8 8x – 5y = -4

sustituimos la x en las dos ecuaciones:

igualamos los valores de x:

8x – 5y = -4 =

x = -4 + 5y 8

2x – 3y = -8 =

x = -8 + 3y 2

-4 + 5y = -8 + 3y 8 2

= 2(-4 + 5y) = 8(-8 + 3y) -8 + 10y = -64 + 24y 10y – 24y = -64 + 8 -14y = -56 y = -56/-14 y=4

48

sustituimos y en la segunda ecuación:

2x – 3y =-8

2x –3(4) = -8 2x – 12 = -8 x = -8 +12 2 x = 4/2 = x = 2

Ejercicios:

1.-

2x + y = 3

2.-

x+y=5

4x + 4y = 8

4.-

3.-

x–y=0

2x - y = -6

5.-

4x - y = -6

5x + 2y = 3

x+y=1

2x – 7y = 10

2x + 3y =-1

6.-

8x – 4y = 9 6x + 2y = 7

Función Cuadrática: se llama función cuadrática a toda función real de variable real, definida de la siguiente manera: f(x) = Ax2 + B x + C, donde A ,B, C sin números reales y A ≠ 0. Es decir: F:R

R

x

f(x) = Ax2 + Bx + C

49

Ejemplo: Dado f(x) = 3x2 d贸nde x = -2,-1,0,1,2

x

f(x) = 3x2

y

-2

3(-2)2= 3. 4

12

-1

3(-1)2 = 3 .1

3

0

3(0)2 = 3 . 0

0

1

3(1)2 = 3 . 1

3

2

3(2)2 = 3 .4

12

Representaci贸n gr谩fica:

f(x) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-2

-1

0

1

2

x

50

Ejercicios: Todos estos ejercicios con los valores: x = - 2 , -1 , 0 , 1 , 2 a) f(x)= 3 + x2

b) f(x)= x2 + 2

c) f(x)= 2x2 – 1

d) f(x)= 6x2 – 2

e) f(x)= 2 + x2

f) f(x)= 10 – x2

3 g)f(x) = x2 + 6

h) f(x)= 4x2 – x

i) f(x)= x2 + 5x

2

Ecuación de Segundo Grado: Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma: Ax2 + Bx + C = 0 ; A ≠ 0 Resolución de la ecuación de segundo grado: Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la ecuación de segundo grado.

Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la función o raíces de la ecuación.

En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo tanto una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo transforman en una identidad.

51

Fórmula:

b2 – 4 . a . c

x =-b ±

2.a

La formula se llama resolvente de una ecuación de 2do grado, la cual permite hallar directamente las raíces de la ecuación, sin más que sustituir en dicha resolvente los valores de A, B y C..

Ejemplo: Resolver x2 – 5x + 6 = 0

donde:

a=1 b = -5 c= 6

x = -(- 5) ±

(-5)2 – 4 . 1 . 6

x=5 ±

2.1

x1 = 5 +

1

2

x1 = 5 + 1

2 x2 = 5 – 1 2

25 - 24

x1 = 6

2 x2 = 4

x1 = 3

2 x2 = 2

2

52

Ejercicios: 1) x2 + 3x – 10 = 0

2) - x2 + x + 12 = 0

3) 2x2 + 5x – 3 = 0

4) 3x2 – x – 2 = 0

5) 6x2 + x – 1 = 0

6) –4x2 + 5x + 6 = 0

7) x2 + 4x + 3 = 0

8) x2 – 5x + 4 = 0

9) 2x2 + 0x – 8 = 0

Ecuación Irracional: Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación, para destruir la raíz.

53

Ejemplo: Resolver x +

25 – x2 = 7

Pasamos al otro miembro la x

:

25 – x2 = 7 – x

Elevamos al cuadrado los dos miembros : (

25 – x2 )2 = (7 – x)2

Producto notable: 25 – x2 = 49 – 14x + x2

donde: a2 – 2ab + b2

2x2 – 14x + 24 = 0 ecuación de segundo grado : (14)2 – 4 . 2 . 24

x = -(-14) ±

x1 = 14 ±

2.2

x1 = 14 + 2

196 - 192 4

x1 = 4

4

x2 = 14 – 2

x2 = 3

4

Ejercicios: a)

c) x +

4x – 3 -

x+6 =

26 – x2 = 6

x–3

b) x +

d) x +

40 – x2 = 8

65 – x2 = 9

54

e) x +

g) x +

16 – x2 = 4

20 – x2 = 6

f)

3+

x–8

=

14 – x

h)

4 +

x–7

=

13 – x

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

B

Los puntos A, B, y C del plano determinan un triángulo rectángulo y sus lados están formados por los vectores AB= a y AC = b . La diferencia de estos vectores es el vector CB = a – b .

A

C

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

55

Ejemplo: Los catetos de un triรกngulo rectรกngulo miden respectivamente 3 m y 4 m.

Hallar el valor de la hipotenusa. / CB / 2 = / BA /2 + / CA /2

B

x 2 = (4m)2 + (3m)2 4m

x2 = 16m2 + 9m2

x

x=

25 m 2

x=5m A

3 m

C

Primer Teorema de Euclides: En un triรกngulo rectรกngulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la proyecciรณn de dicho cateto sobre ella. / AB /2 = / AC / . / AD / .

56

Segundo Teorema de Euclides: En un triรกngulo rectรกngulo el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Ejemplos: 1) En el triรกngulo rectรกngulo B, BD es la perpendicular a la hipotenusa AC. Se conocen AB = 8m y AD = 2m, se pide el valor de la hipotenusa AC. B

A

D

C

Aplicamos el 1er Teorema: / AB /2 = AD . AC

AC = AB2 AD

/ AC / = ( 8m)2 2m

AC = 64m2

AC = 32 m

2m

57

2) Los puntos ABC determinan un triรกngulo rectรกngulo en B

y

BD

es la

perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AD = 4m y DC = 8 m. Hallar el valor de BD. B

A

Aplicamos el segundo Teorema.

D

C

/ BD /2 = AD . DC

=

/ BD / =

=

32m

/ BD / = 2 5m

=

4

4m . 8m 2m

58

Ejercicios: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, aplicando el Teorema correspondiente: 1) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 m y uno de sus catetos 6 m. Hallar el valor del otro cateto.

B 10 m

solución: 8 m

X

A

6m

C

2) ABC es un triángulo rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa AC . Se conocen AD = 3m , DC = 6m . Hallar AB.

B Solución: 3

A

D

3

C

59

2) El triángulo ABC es rectángulo en B y BD es la perpendicular a la hipotenusa. Se conocen AB = 10 m y AD = 5 m . Hallar: BC. B

x

solución:

300

10 m

A

5m

C

3) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A Solución: x 1= -5 x+ 1

B

x

x+2

x2 = 1

C

60

4) Resuelve el siguiente triángulo rectángulo:

A

5 2 solución: x = 1

C

x

B

6) Dado el triángulo rectángulo, calcular: AD y DC.

B

solución: DC = 2,49 m AD = 1,12 m

2m

A

3m

D

C

61

Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de

62

ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.

Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,

63

…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

P= CF CP

casos favorables casos posibles

Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1 2

lo que significa 0,5 x 100% = 50%

64

2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N째 5.

P= 1 6

lo que significa 0,16 x 100% = 16,6%

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que: a.- Al lanzar dos dados salga el N째 4 y 6. b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello. c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde, salga una azul y una roja. d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

65

Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Historia: Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey

66

Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar,

con

gran

exactitud,

utilizando

determinadas

distribuciones

probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Métodos estadísticos: La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

67

El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la

68

tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro.

Tipos de Gráficos: 1.- Gráfico de Barras:

45kg pesos

40kg 35kg 30kg 25kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alumnos

69

2.- Gráfico Circular:

3.- Gráfico de Líneas:

20 15 notas

10 05 01 5

10

15

20

alumnos

70

4.- Gráfico de puntos: 5000

*

4000 Bolívares

*

3000

*

2000 1000

* *

01 05 10 15 20 Compradores

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos

frecuencia clase

frecuencia acumulada

01

- 05

6

6

06

- 10

8

14

11

- 15

4

18

16

- 20

5

23

71

y 8 7 6 5 Frecuencia

4 3 2 1 01

05

10

15

20

Intervalos

72

Ejemplo: Con la siguiente distribuciรณn de frecuencias, hacer un grรกfico circular

Clases

frecuencias

punto medio

frecuencia acumulada

01-05

5

3

5

06-10

6

8

11

11-15

4

13

15

16-20

7

18

22

Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un grรกfico de barras

Intervalos

frecuencias

001-002

6

003-004

8

005-006

7

007-008

4

Punto medio

P.mx f

73

La parte de la estadística que trata de describir y analizar los datos sin sacar conclusiones se llama estadística descriptiva. La parte de la estadística que trata de dar soluciones y conclusiones para los cuales son válidos, se llama estadística inductiva o inferencial.

Población: Es una colección de datos con características especiales (cualidad) de un grupo de individuos o de un grupo de objetos.

Ejemplos: 1.- Conjunto de cadetes de la Guardia Nacional.

2.- Número de docentes del Estado Miranda.

3.- Investigación de los sueldos mensuales de los médicos de un hospital.

Muestra: Es una parte de la población que se elige con el fin de investigar las propiedades de la población de donde fue recolectada.

Ejemplos: 1.- Cadetes del 2do año de la Guardia Nacional.

2.- Número de docentes del Municipio Guaicaipuro.

3.- Sueldos mensuales de los médicos de la unidad de pediatría.

Elemento

Característica

Alumno

Estatura, sexo, edad, calificaciones.

Docente

Salario, estado civil.

Hogar

Gastos.

74

División de la Estadística: La estadística puede dividirse fundamentalmente en dos partes: Estadística Descriptiva y Estadística Inferencial.

Estadística Descriptiva:

Esta se ocupa de la recolección, clasificación, ordenación, tabulaciones y representaciones gráficas de los datos estadísticos que se deriven de la medición de las características objeto de estudio.

Estadística Inferencial: Esta se propone obtener conclusiones válidas de la población en estudio, a partir del análisis de subconjuntos representativos llamados muestras.

Razones, Proporciones y Porcentajes: Razón: Es un cociente que indica la relación existente entre dos cantidades, una como numerador con otra como denominador, pero el numerador no debe estar contenido en el denominador; por tanto la razón puede ser un número mayor que la unidad.

R=

a

R = razón

b

a = dato que posee la característica b = dato que no posee la característica

75

Ejemplo : En una escuela hay 500 alumnos, de los cuales 300 son varones y 200 son hembras. La razón de varones con respecto a las hembras es: R = 300 varones = 3 200 hembras 2 Proporción: Es un cociente que indica la relación existente entre una cantidad y el total de las unidades consideradas. La proporción se calcula mediante la ecuación: P= a n

a = cantidad n = unidades consideradas

Ejemplo: Se aplicó un test a un grupo de 40 personas, de los cuales 25 son mujeres y 15 son hombres. La proporción de mujeres es: P = 25

= 0,625

40 La proporción de hombres es:

P = 15

= 0,375

40

76

Porcentaje: Son proporciones que se han multiplicado por cien.

P % = P . 100

P % = Porcentaje P = Proporción

Medidas de Tendencia Central:

Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.

La Media Aritmética:

Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .

Media Aritmética Simple:

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación: X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ X n n

77

Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14, 16, 18, 14

X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8 10 10

Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:

Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.

Pasos para calcularla: 1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.

2.- Se suman estos productos.

3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir: X= ∑f.X n

78

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas: 2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4 6 7 7 Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias simple:

N° de Hijos

N° de Personas

X

f.X

f

0

2

0

2

3

6

4

7

28

6

4

24

7

4

28

∑

20

86

X= ∑f.X n

= 86 = 4,3 20

79

Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos: Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de la siguiente manera: 1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.

2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.

3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de la muestra:

X = ∑ f . Mc n

80

Ejemplo: La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una evaluación: Calificaciones

N° de alumnos

Mc

f . Mc

X

f

5 - 7

4

6

24

8 - 10

6

9

54

11 - 13

8

12

96

14 - 16

7

15

105

17 - 19

5

18

90

∑

n=30

369

La calificación promedio o media del grupo es: X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos n 30

81

Media Aritmética Ponderada: Pasos para calcularla: 1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.

2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.

X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑w

Ejemplo: La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de Administración de Recursos Humanos en un semestre:

Asignatura

Calificación

Unidad Crédito

Nómina

7

3

A. R. H

8

2

Registro y Control

5

3

Evaluación y Eficiencia

9

4

Calcular su rendimiento promedio en el semestre.

X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 12

= 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33 12 12

El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.

82

La Media Aritmética de Varias Medias: Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede hacer usando la media ponderada.

Ejemplo: Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron: X1 = 60 ;

X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ;

n2=60 ;

n3=30

Calcular la media aritmética de los grupos combinados.

X = n 1 . X 1 + n2 . X 2 + n3 . X 3 n1 + n2 + n3

= 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 = 10 + 60 + 30

X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos 100

100

83

La Mediana: Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.

Mediana para Datos no Agrupados:

a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19 El término central es Md =15 puntos. b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18

La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos 2 Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples: Pasos:

1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.

2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.

3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/ 2 o la inmediata superior.

84

Ejemplo: La siguiente distribuciĂłn representa las calificaciones de un grupo de alumnos:

Calificaciones X 13 14 15 16 17 18 19 20 â&#x2C6;&#x2018;

Alumnos f 1 4 8 10 6 2 3 2 n=36

fa 1 5 13 23 29 31 34 36

La mediana anterior se calcula: 1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18 2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a 18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego Md=16 puntos.

El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que 16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

85

Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través de los siguientes pasos: 1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/ 2.

2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.

3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada anterior a la que contiene.

4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:

Md = Lri +

n

- fa (anterior)

. C

2

f Md = Mediana Lri= Límite real inferior del intervalo medianal. n/2 = Posición de la mediana. f = frecuencia medianal.

C = Amplitud del intervalo medianal.

Lri = 10 + 11 = 10,5 2

86

Ejemplo: Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones: Calificaciones

N° de Alumnos

X

f

fa

5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

17 - 19

5

30

∑

n = 30

Solución: Calculamos n/2 = 30/2 = 15 El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es decir fa= 18; luego la mediana está en el intervalo

11 – 13

De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3 Aplicando la ecuación: Md = 10,5 +

15 – 10 8

. 3 = 10,5 + (0,625) . 3

10,5 + 1,875 = 12,375 Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15, menos de 12,375 puntos.

87

Calculo de la Mediana en forma GrĂĄfica: Pasos: 1.- Se grafica un polĂ­gono de frecuencias acumuladas u ojiva.

2.- Se determina el orden de la mediana.

3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.

4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de la ( fa).

5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.

6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.

Ojiva (fa) A

30

l

25

u

20

m

15

n

10

o

5

s

0 4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

Calificaciones

M d = 12,375

88

La Moda: Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza : Mo. Moda para Datos Agrupados:

Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es: Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).

Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es: Mo= no tiene, ya que ninguna calificaci贸n se repite.

Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20, 18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

89

Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pesos

Frecuencias

X

f

46

1

47

4

48

5

49

3

50

2

51

3

52

2

â&#x2C6;&#x2018;

n=20

La moda de esta distribuciĂłn es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor frecuencia.

90

Moda para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con mayor frecuencia Calificaciones

N° de alumnos

X

Mc

f

5 - 7

4

6

8 - 10

6

9

11 - 13

8

12

14 - 16

7

15

17 - 19

5

18

∑

n=30

Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.

Relación entre las Medidas de Tendencia Central: Se cumple la relación empírica de Pearson: Media – Moda = 3.(Media – Mediana).

Moda = 3 Mediana – 2 Media.

Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.

Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular la media a partir de la mediana y la moda.

91

Medidas de Posición: Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.

Percentiles:

Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.

Cuartíles: Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P25, P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .

Deciles: Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.

De lo anterior podemos deducir:

P25 Q1

P50 D5= Q2 = Md

P75 Q3

92

Calculo de las Medidas de Posici贸n para Datos no Agrupados:

Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.

1.- Cuando n es par: Dx = x . n 10

Qx = x . n 4

Px = x . n 100

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en una evaluaci贸n de Matem谩tica: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.

Calcular: D4, Q3 y P25 Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20 D4 = 4 . 8 10

= 3,2 ;

Q3 = 3 . 8 = 6 4

; P25 = 25 . 8 = 2 100

2.- Cuando n es impar: Dx= x . (n + 1) 10

;

Qx= x . (n + 1) 4

;

Px= x . (n + 1) 100

93

Ejemplo: Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19, 22, 19 y 23 años.

Calcular: D7, Q3 y P50 Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23 D7 = 7 . 8 = 5,6 10

;

Q3 = 3 . 8 = 6 4

;

P50= 50 . 8 = 4 100

Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos: Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.

P = Lri +

P - fa (anterior)

. C

f P = Valor que representa la posición de la medida.

Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada. fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.

C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.

94

Ejemplo: En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60 Calificaciones

N° de Alumnos

X

fa

f

5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

18 - 19

5

30

∑

n = 30

Calculamos Q1: Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5 4 4 Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10 De donde: Lri = 7,5

; P = 7,5

; fa(anterior)= 4

Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 6

; f=6 ; C=3

. 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos

Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores que 9,24 puntos.

Calculamos el D5 Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15 10 10

95

El D5 está en el intervalo 11 – 13 De donde: lri = 10,5 D5 = 10,5 +

; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3

15 – 10 8

. 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375

Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5 100 100 El P75 está en el intervalo 14 – 16 De donde: Lri = 13,5

; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3

P75 = 13,5 + 22,5 – 18 7

. 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426

96

Hallar la probabilidad de que: a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara. b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5. c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello. d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas. e) En el siguiente cuadro numÊrico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de Acierte el N° 4.

4

5

8

9

1

0

3

12

4

7

10

23

13

43

32

89

45

54

78

98

46

27

37

4

60

100 48

41

96

3

12 76

1

52

0

97

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras, uno de líneas y uno circular.

Clases

frecuencias

00-06

5

07-13

7

14-20

4

21-27

8

punto medio

f. acumulada

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y uno de puntos: Intervalos

frecuencias

1 – 10

5

11 - 20

8

21 – 30

6

31 - 40

9

punto medio

p .m x f

98

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades, mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.

Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine: Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y Varianza.

Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.

Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165 140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140

El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda, desviación típica y varianza.

Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16, 13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y varianza.

99

Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribuci贸n: X

f

36 37 38 39 40 41 42 43 44

2 1 3 4 5 4 2 3 1

Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados en una evaluaci贸n de matem谩tica: XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.

XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.

Calcule la media aritm茅tica de los grupos combinados

100

Calcule la media de las medias en: ___

___

___

X1 = 60

X2 = 40

X3 = 50

__ X4 = 12

__ X5 = 30

__ X6 = 60

Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio del carro. ___

Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es ¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?

101

Dada la distribución de frecuencias: Peso (kg)

Alumnos f

50-52 53-55 56-58 59-61 62-64 ∑

6 11 7 9 7 n=40

Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2

Dada la distribución: Bs 201-230 231-260 261-290 291-320 321-350 351-380 ∑

f 8 10 16 14 10 7 n=65

Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

102

Dada la distribución: Puntajes

Alumnos f

7-11 12-16 17-21 22-26 27-31

2 7 12 7 2

∑

n=30

Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2

La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distribución: Antigüedad (años) 1- 5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 10 ∑

Docentes f 12 22 35 46 46 29 n=200

Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1, P60, Q, S, S 2

103

Nociones elementales de Informática:

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado. b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos: 1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones. d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras, capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una escritura. e) Formas de procesamiento de datos: .- Medios perforados. .- Soportes perforados: tarjetas perforadas. cintas perforadas.

104

.- Medios magnéticos: tambor magnético. soporte magnético. cintas magnéticas. disco magnético. .- Medios ópticos. .- Terminales de teclado-pantalla. .- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por: a) Monitor o pantalla. b) Teclado. c) C .P.U d) Impresora. e) Mouse. f) Fax. g) Scanner.

105

106

107

Partes de un Computador

Unidad de Entrada

Unidad de Memoria

Traduce palabras y números lenguaje a lenguaje de máquinas.

Almacena datos e instrucciones

Unidad de Salida Traduce el lenguaje de máquina a palabras y números

Unidad de Control Controla los cálculos y el orden de las instrucciones

Unidad Aritmética Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

108

Características de los computadores: a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo: .- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos. .- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por medio de lenguajes de programación. b) Tienen gran velocidad de cálculo. c) Tienen gran capacidad de almacenamiento. d) Tienen gran precisión. e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos Tópicos. f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores: Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.

109

Tareas administrativas del computador: a) Gestión de personal. b) Proceso de nóminas. c) Control de inventarios. d) Gestión de almacén. e) Facturación y contabilidad. f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio. g) Información de productores, partes y materiales. h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales: a) Control de procesos industriales. b) Robótica industrial. c) Diseño. d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico: a) Predicciones meteorológicas. b) Control ambiental. c) Control de comunicación satelital. d) Programas de simulación (vuelos). e) Otros.

110

Aplicaciones médicas: a) Control clínico del paciente. b) Mantenimiento de hospitales. c) Tomografía computarizada. d) Otros.

Concepto de algoritmo: El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

111

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso

salida - entrada

Operación Manual

decisión

Inicio-fin

introducción manual magnetic-tape

documento

punched card

112

Representación gráfica de algoritmos : 1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada con llave?

si

buscar la Llave

introducir la llave en la cerradura

darle vuelta a la llave

dar vuelta al pomo

salir

no

¿ Se abrió la puerta

abrir completamente la puerta

fin

113

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0) 2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N) 4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N=0 SUM = 0

N=N+1

SUM = SUM + N

Si ¿ Es N < 20

No Imprima SUM

fin

114

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo: 1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2) 3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1) 4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X) 5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir Comienzo

N=0 X=0 SUM = 0

X=X+2

N=N+1

SUM = SUM + X

Si

¿ Es N < 20 ?

No

Imprima

fin

115

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4) Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Leer los N° enteros positivos A y B Asignar a las variables PROD y N el valor 0 Sumar a PROD el valor en A Aumentar a N en 1.

Si N < B pasar a instrucción3.

Imprimir: PROD

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) 2) 1) 2) 3) 4)

Leer los N° enteros positivos A y B. Asignar a las variable COC el valor 0.

Efectuar A – B y asignarlo a A. Aumentar a COC en 1.

Asignar a RES el valor A. Imprimir: COC y RES

116

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B. 2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3) Intercambiar valores de A y B. 4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R. 5) Si R = 0 pasar a instrucción 7 6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R. 7) Imprimir; MCD (A , B) = B

117

118

Laberinto de los Números Reales y Radicales Descripción: Consta de un tablero de cartulina en el que se dibuja un laberinto. Este laberinto en su trayectoria tiene 20 preguntas identificadas como identificadas como 1

¿1?

y 20 respuestas

.

Además en la ruta el jugador encontrará observaciones como : “avanza espacios” ; “pierdes un turno” ; “retrocede

espacios” ; “avanza siguiente

pregunta” ; “vuelve a lanzar”.

Se utilizará un dado convencional por tablero. Se elaborarán 4 fichas de color: rojo, verde, azul, amarillo.

Regla del Juego: 1.- Se podrá jugar de 2, 3 ó 4 jugadores.

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se rifará el salidor, lanzando el dado y quien saque el mayor número saldrá primero.

4.- El jugador al ir avanzando respetará las observaciones en la ruta. Al caer en una estrella de pregunta, tendrá que contestarla y si lo hace correctamente ganará un (1) punto. Si no la contesta se le restará 0,5 puntos a lo que lleve acumulado.

5.- Ganará el jugador que al llegar a la meta, tenga el mayor puntaje.

6.- El docente estará pendiente de cada tablero y llevará las anotaciones correspondientes.

Objetivo Terminal: Con el juego se busca lograr la comprensión y desarrollo de los objetivos de los Números Reales, Irracionales y Radicales, mediante una interacción entre compañeros y profesor.

119

Avanza a 4

Atrás 4

Pierde

espacios

1 turno

Vuelve a lanzar

Avanza a

Avanza 1 espacio

Vuelve a lanzar

14

Vuelve a lanzar

Avanza a6

Avanza a

19

Atrás 4 Avanza 5 espacios

espacios

Atrás 3

Pierde

espacios

1 turno Pierde Atrás 1

Avanza

1 turno

espacios Avanza 1 espacio

11

Atrás 2

Pierde Avanza a2

a

espacios

1 turno

Vuelve a

Avanza

lanzar

a

8

Atrás 2 espacios

Avanza

Pierde 1 turno

a 16 16

120

Preguntas

Respuestas

Cara Posterior

Cara Posterior

Preguntas:

1

2

Define Número Irracional

El conjunto de los N° Reales es:

3

4 Las expresiones decimales se clasifican en:

El decimal 3,8 es un N°:

5 En 0,4166 ¿Cuál es la parte entera, ante periodo y periodo

6 Calcular la fracción generatriz f = 3,4

121

7 Suma los Reales 5/2 + 2 + 0,36 =

8

Representar 2

9

En a = b n=? =? b=?

10

n

Simplificar

11 Sumar los radicales 43 + 53 + 3 =

13 Multiplicar 3

125

12 Multiplicar 4

3a2 . 42a

14 Dividir

a2 . b

4a2b = 3 2ab

15 Dividir

16 Resuelve la potencia

3

a2 . 5 4 ab2

3

( 4a2b)3 =

122

17 Racionalizar ... a.....

5 a3

18 Restar 5x - 2x =

19 Racionalizar .... 2......

2 + 2

20 Resuelve la potencia 5

 3a =

Respuestas:

1 Son los N° decimales que no podemos expresar exactamente por N° racionales.

2 Es el conjunto formado por la unión de los Q e I. Se anota como R.

3

4

Irracional, porque es una expresión decimal limitada

a) Decimal mixta b) Decimal pura

123

5 Parte entera: 0 Ante periodo: 41 Periodo: 66

6 10f = 10 . 3,4 = 34,4 -f = -1 . 3,4 = - 3,4 9f = 31 f = 31 9

7

8

4,274

9  = signo radical n = índice de la raíz a = cantidad subradical b = raíz n-sima de a

2

10 6

53 = 6/35 = 5

11

103

2 2

12 4

6a3

124

13

14 3

6/3

(a2)2 . 6/3b3 = 6a4b3

4a2b = 32a 2ab

15 12

12

16

(a ) . 5 = 12 (ab2)3 2 4

12

a8.56 = a3.b6

12

6

4

(a2b)3 = 4a6b3 = aa2b3

56.a5 b6

17

18

...a... . 5a2 = a 5a2 = 5 5 a3 a2 a

3x

5

a2

19 2 . 2-2 = 2(2-2) 2+2 2-2 22 – (2)2 2(2-2) = 2 - 2 4-2

20 15

a

125

Ludo del Sistema de Coordenadas Rectangulares

Descripción: Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.

El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con el sistema de coordenadas rectangulares, sistema de ecuaciones y función afín.

Regla del Juego: 1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la casilla de llegada.

4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.

5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.

Objetivo Terminal:

El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales del sistema de coordenadas de coordenadas, sistemas de ecuaciones y función afín.

126

127

Subiendo y bajando la escalera (Estadística) Descripción: Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de colores diferentes para identificar los jugadores .

Regla del juego: 1.- Constará de 24 escalones enumerados.

2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.

3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.

4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.

5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con los ejercicios.

6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.

7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.

8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y librarse de la caída de la casilla 13.

Objetivo terminal: El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.

128

13 12 11 10 9 8 7 6

14 15 16 17 18 19 20

5

21 22

4 3

23

2

24

1 Vuelve a empezar

129

Tarjetas de Preguntas Posterior

1

2

Define Estadística

¿ Qué significa % ?

3 Toma una tarjeta de inmunidad

4

5 ¿Este es un gráfico? frecuencia rojo

Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 4

6 ¿ Que es la probabilidad ?

verde azul amarillo morado

130

7

8

Lanza dos monedas y halla la probabilidad de que salga cara y sello

Toma una tarjeta de inmunidad

9

10

¿Qué significa fr ?

Toma una tarjeta de inmunidad

11

12

¿ Este es un gráfico de?

Avanza 2 escalones

100 80 60 40 20 0 1er trim.

2do trim.

3er trim.

4to trim.

13

14

Define población

Toma una tarjeta de inmunidad

131

15

16

Define muestra

¿ Cuál es la moda en?

3,4,5,2,1,3,6,8,3

17

18

Toma una tarjeta de inmunidad

Retrocede 4 escalones

19

20

Grafica el siguiente cuadro: Intervalos 00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 – 20

Frecuencia 1 4 6 2

21

Toma una tarjeta de inmunidad

22 Calcular la media en:

Define la mediana

5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

132

23 Âż QuĂŠ porcentaje es 350 de 1000?

24 Calcular la mediana en: 1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

Tarjetas de Inmunidad

133

Respuestas

1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fen贸menos que han ocurrido

2.- Significa porcentaje

3.-

4.- La probabilidad es

P = 1/6

5.- Gr谩fico circular

6.- Es el estudio de fen贸menos ocurridos al azar 7.- P = 2/4

8.-

9.- Frecuencia relativa

10.-

134

11.- Gr谩fico de barras

12.- Avanza 2 escalones 13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigaci贸n 14.-

15.- Es un subconjunto de la poblaci贸n

16.- La moda es: 3 17.-

18.- Retrocede 4 escalones 19.6 4 2 0 00 - 05

06 - 10

11 - 15

16 - 20

135

20.-

21.- La mediana es el valor central de una distribuci贸n.

22.- x = 42 7

x=6

23.- 35%

24.- es 5

136

Crucigrama Matemática (Teorema de Pitágoras y Euclides) 10

1 8 2

4

3 9 6

5

7

Verticales: 1.-

este triángulo se denomina

3.- Este triángulo se llama 4.- Este triángulo se llama 8.- Esta fórmula corresponde al teorema /CB/2 = /BA/2 + /CA/2 10.- En 4m

x

x es igual a

3m Horizontales: 1.- El rectángulo tiene ángulos

7.- x

2.-

9.- Nació en Siracusa en 287-212 a de J .C

se denomina

este cateto se llama

5.- Figura formada por dos líneas que parten de un mismo punto.

6.- los lados de un triángulo se llaman

137

Crucigrama Matemático:

1

5

2

3

6

7 4

8

10 11

9

10

12

Horizontal:

Vertical:

1.- Suma de 3 + 4

1.- se define + como

2.- Se llama

3.- 8 se escribe

4.-

. se escribe

5.- 3 se escribe

6.- Siete en ingles

7.- 21 – 1 es igual

8.- 2 + 3 es igual

9.- x en x = 5 – 1 es igual

10.- 13 se escribe

11.-

se conoce como

12.- + se escribe

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………..Matemática 9 no Grado. Distribuidora Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 9no Grado. Ediciones CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

PULIDO, Jesús………………………….Estadística General. Caracas I.U.M.P.M 1986.

MICROSSOF ENCARTA 99

149