Cuaderno de Matemática 2º Año Ciencias

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

Deposito Legal lf 03220035101806X

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2 do Año de Media General, refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Septiembre del 2003

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Agradecimientos: Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo: Msc. Miguel Carmona, especialista de matemática Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora metodológica Marcos Salas, profesor de computación.

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen” Liceo San Pedro de Los Altos U. E. C. “Andrés Bello”

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CONTENIDO .- Polinomios, tipos de polinomios................5 .- Grado de un polinomio, completar, ordenar polinomios.............6,7 .- Adición de polinomios, propiedades............8,9,10,11,12 .- Sustracción de polinomios..............11,12 .- Multiplicación de polinomios, propiedades................12,13,14,15,16 .- División de polinomios..........16 .- Regla de Ruffini............17,18,19 .- Teorema del Resto...........19,20 .- Teorema de Descartes.............20,21 .- Factorización de polinomios..............22,23,24,25 .- Inecuaciones lineales en R.................26,27,28,29,30,31 .- Variación ordinaria................32,33,34 .- Combinación ordinaria...................35,36 .- Números combinatorios..........37,38 .- Triángulo de Tartaglia................39,40 .- Binomio de Newton.............41,42 .- Sistema de coordenadas en el espacio................41,42 .- Puntos en el plano...............43,44 .- Vectores..............44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54 .- Distancias entre dos puntos en R3............54,55,56 .- Ecuación de la recta en el espacio.............56,57,58 .- Ecuación del plano..............59,60 .- Matrices...............60,61,62,63,64. .- Regla de Sarrus..................65,66,67. .- Teorema Rouche-Frobenius...............68 .- Teorema de Crammer................69 .- Lugar geométrico, secciones cónicas.............70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81, 82,83,84,85,86 .- Estadística...........87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104, 105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119, 120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134, 135,136,137,138. .- Probabilidad estadística..............139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149, 150,151 .- Páginas de resolución de ejercicios.................152,153,154,155,156,157,158,159, 160,161,162 .- Bibliografía............163

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Polinomios: Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An A0 = término independiente. x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio Conozcamos algunos polinomios

Tipos de Polinomios:

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

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Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable. a.- p(x) = 2 + 3x + 5x²

segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9

tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en unidad.

Se pueden ordenar los polinomios creciente y decrecientemente

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

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Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3 P(3) = 2(3)² + 3

= p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3 2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2 3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4 4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3 5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3 6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2

Adición de Polinomios: Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

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Regla para sumar polinomios: 1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera: P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8 Q(x) =

3x² - 4x + 3 5x ³ +7x²-10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3

operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 2/2x2+9/10x+31/12

-3 + 3 = -6+15 = 9 5 2 10 10 4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12

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Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ; h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4 Hallar la suma de los polinomios: 1.- p(x) + q(x)

2.- p(x) + t(x)

3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x)

5.- r(x) + h(x)

6.- s(x) + h(x)

Propiedades de la Adición de Polinomios: a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composición interna. b.- La adición de polinomios es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo. e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x). f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

8

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5 b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7 c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6 d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) =

p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios: a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6 b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6 c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9 d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

9

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Ejercicios: a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6

c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2

b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5

d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8

c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9

d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9

Sustracción de Polinomios: Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico, es decir –q(x).

P(x) – q(x) = p(x) + -q(x)

p(x) = minuendo q(x) = minuendo

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Ejercicios: a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8

c.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8 d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6

Multiplicación de Polinomios: El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los de la otra.

Ejemplo: En forma Entera: Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x) q(x) = x2 - 3x + 5 p(x) =2x2 – 5x + 6 2x4 – 6x3 + 10x2 - 5x3 + 15x2 – 25x 6x2 – 18x + 30 2x4 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30

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Ejemplo: En forma Racional: p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2 q(x) =

2/5x +4/3

operaciones:

4 x3 + 8 x2 – 6 x 15 30 10

8 + 8 = 312 30 9 270

8 x2 + 16 x – 12 9 18 6

- 6 + 16 = 52 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6

Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios: 1.- p(x) = 3x2 + 5x –5

;

q(x) = 4x – 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6

;

q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7 4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4

; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6 6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2 ; q(x) = 4/4x – 6/2 7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x – 7/2 8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

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Propiedades de la Multiplicación de Polinomios: a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo tanto; es una ley de composición interna. b.- Es conmutativa. c.- Es asociativa. d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación. e.- El elemento absorbente es el elemento nulo. f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares. g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios. h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x) a.- p(x) = 2x + 4

; q(x) = 3x – 2

b.- p(x) =4x – 6

; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7 d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

13

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)

=

p(x) . q(x)

. h(x)

a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3 b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1 c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1 d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4

3.- Distributiva: p(x) .

q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2 b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12 c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1 d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

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4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5

b.- q(x) = 6x – 8

d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2

Una operación de división está compuesta por:

División de Polinomios: D(x) = d(x) . c(x) + r(x)

D(x) = dividendo d(x) = divisor c(x) = cociente r(x) = residuo

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Ejercicios: a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3)

e.- Dividir (20x + 10x – 5) : (5x + 5)

b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3)

f.- Dividir (10x + 13x – 2) : (5x – 1)

c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2)

g.- Dividir (4x – 2x – x + 1) : (2x –3)

d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x – x – 1)

h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)

Ruffini, Paolo (1765-1822), físico y matemático italiano.

Nació en Valentano, entonces perteneciente a los Estados Pontificios, estudió en la

Regla de Ruffini:

Universidad de Módena, donde fue profesor de matemáticas y, en 1814, rector.

a) Se descompone el término independiente de la ecuación en sus divisores. b) Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero. c) El número de raíces de un polinomio, es igual al mayor exponente de la incógnita.

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Ejemplo: Resolver x3 + 2x2 – x – 2 = 0 divisores de 2 = (1 , 2)

1 1 1 -1 1 -2 1

2 1 3 -1 2 -2 0

-1 3 2 -2 0

-2 2 0 x1=1 x2=-1 x3=-2

Ejercicios: a) Resolver x4-11x2-18x-8=0 b) Resolver x3-3x2-4x+12=0 c) Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0 d) Resolver x3+ x2-5x+3=0 e) Resolver x3-3x+2=0 f) Resolver 6x4+ x3+ 5x+ x-1=0

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División de un polinomio p(x) entre un binomio (x  a) : Ejemplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4+ 2x3+ x) : (x +1) 1 cambia a –1

1 -1 1

2

0

1

0

cociente: x3+ x2- x + 2

-1

-1

1

-2

residuo: -2

1

-1

2

-2

Ejercicios: a) (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2)

b) (x2+ 4x-8) : (x-6)

c) (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7)

d) (3x2+ 5x-9) : (x + 3)

e) (6x4-6x2-8) : (x + 4)

f) (2x3-8x2+ 5x-7) : (x + 2)

Teorema del Resto: El residuo de una división entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la forma de x  a, es igual al valor numérico del polinomio para x  a.

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Ejemplo: Calcular el resto de la división ( 4x2+ 5x-3) : (x + 1) calculamos el valor numérico para x = -1 p(x) = 4x2+5x-3

p(-1) = 4(-1)2+5.1-3

p(-1) = 4-5-3

resto = -4

Ejercicios: a) (3x2+ 4x-6) : (x + 3)

b) (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)

c) (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3)

d) (6x2-7x+2) : (x-4)

Descartes, René (1596-1650), filósofo, científico y matemático francés, a veces considerado el fundador de la filosofía moderna.

Teorema de Descartes: La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea divisible por x  a es que se anule para x =  a.

Ejemplo: Averiguar sin hacer la división, si el polinomio p(x) = 2x2+ 6x-20 es divisible por x – 2 . p(x) = 2x2+6x-20

p(2) = 2 . 22+ 6 . 2 – 20 p(2) = 8 + 12 – 20 p(2) = 0 si es divisible

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Ejercicios: a) (5x2+ 2x-6) : ( x-2)

b) (4x2-6x+5) : (x-3)

c) (3x2+ 5x+6) : (x-3)

d) (5x2-7x+2) : (x-4)

e) (2x3-5x2+ 4x+5) : (x-1)

f) (4x3-6x2+ 6x-8) : (x-5)

Cálculo de raíces enteras mediante Ruffini: Regla: Se descompone el término independiente en todos sus divisores y después tanteamos con esos divisores positivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que el residuo valga cero es una raíz cuadrada.

Este método se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

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Ejemplo: Resolver la ecuación x3+ 6x2+ 11x+6 = 0 divisores de 6 = (1,2,3,6) 1 -1 1 -2 1 -3

6

11

6

-1

-5

-6

raíces: x1 = -1

5

6

0

x2 = -2

-2

-6

3

0

x3 = -3

-3 1

0

Ejercicios: a) Resolver x3 – 7x – 6 = 0

b) Resolver x4 –5x2 + 4 = 0

c) Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0

d) Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0

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Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini: Regla: a) Aplicamos Ruffini hasta que se pueda. b) El polinomio dado es igual al último cociente que da como residuo cero por cada uno de los binomios de la forma x, menos cada una de las raíces obtenidas.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x4 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0 divisores de 4 =  (1,2,4) 1 -1

4

3

-4

-4

-1

-3

0

4

3

0

-4

0

1

4

4

x1 = -1

4

4

0

x2 = 1

-2

-4

x3 = -2

2

0

x 4 = -2

1 1 1 -2 1 -2

-2 1

0

al factorizar cambiamos de signos las x, y el último cociente va de primero.

(1). (x +1).(x-1).(x +2).(x + 2)

22

a) Factorizar -x4 + 8x2 – 16

b) Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0

c) Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0

d) Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0

e) Factorizar x3+ 4x2+ 5x+2 = 0

f) Factorizar x3 +x2-5x+3 = 0

Raíces fraccionarias aplicando Ruffini: x3 – 3x – 2

Ejemplo: Calcular

x3+ 4x2+ 5x+2

factorizamos numerador:

1 -1 1 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

-1

-2

0

-1

2

-2

0

2 1

raíces: x1 = -1

0

0

(x + 1).(x + 1).(x-2)

x2 = -1 x3 = 2

23

factorizamos denominador:

1 -1 1 -1 1 -2

5

2

-1

-3

-2

3

2

0

-1

-2

2

0

-2 1

raíces: x1 = -1

4

0

(x +1).(x + 1).(x + 2)

x2 = -1 x3 = -2

simplificamos:

(x +1).(x +1).(x-2) = (x – 2) (x +1).(x +1).(x +2)

(x + 2)

Ejercicios: a) x3+ x2-5x+3

b) x5-21x3+16x2+108x-144

x3-3x+2

x3+x2-x-1

c) x4+5x3+8x2+7x+3 x3+2x2-x-2

d) -x4 + 8x2 - 16 x3-3x2-4x+12

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Inecuaciones Lineales en R: Propiedades de las desigualdades: 1) a  0 ; mínimo. Raíces reales distintas.

2) a  0 ; mínimo. Raíces dobles.

25

3) a  0; mínimo. Raíces imaginarias conjugadas.

4) a  0. máximo. Raíces reales y distintas.

5) a  0; máximo. Raíces dobles.

26

6) a  0; máximo. Raíces imaginarias

Inecuaciones en una Variable:

Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de las variables.

Ejemplo: Resolver 3x + 2  2 3 3.(3x + 2)  2

9x + 6  2

x2-6 9

x  -4 9

27

-1

0

1

-4 9

Ejercicios: a) 5x – 4  3 – 2

b)

c) 2x + 3x – 5  4 – x 4

4 – 6x – x  4x + 6 3 2

d) 3x – 5 – 2  2x - 4 5

Inecuaciones de segundo grado en una variable: Ejemplo: Representar gráficamente el trinomio y = x2 – 6x – 7

a=1 b = -6 c = -7

aplica la ecuación de segundo grado x = -b 

x= 6

(-6)2 – 4 .(1).(-7) 2.1

b2 – 4 . a . c 2.a

x= 6

36 + 28 2

28

x= 6+

64

x1 = 6 + 8 2

x 1= 7

2

x2 = 6 – 8 2

x2 = -1

factorizamos y = (x-7).(x +1) se calcula el mínimo: y = 4.a.c – b2 4.a y = 4 . 1.(-7) – (-6)2 4.1

y = -28-36 4

x= -b 2.a

x=-6 2

raíces x1 = 7

vértices

x2 = -1

y = -16

x = -3

x=3 y = - 16

29

Representación gráfica: y

x -1

0

-3

-7

-7

-16

Ejercicios: a) Representar y = x2 – 6x + 9

b) Representar y = x2 +3x + 2

c) Representar y = x2 – 4x + 3

d) Representar y = x2 + 5x + 4

e) Representar y = x2 +6x + 5

f) Representar y = x2 – 8x + 7

30

Variación Ordinaria:

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.

Fórmula: Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2) . (m – 3) .......... (m – n + 1)

donde n!

representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por definición.

Ejemplo: Calcular V10,3

m = 10 n=3

V 10,3 = 10 . (10-1). 10(10-2)

V10,3 = 10 . 9 . 8 V 10,3 = 720

Ejercicios:

a) Calcular V7,2

b) Calcular V 8,5

c) Calcular V12,4

d) Calcular V 11,4

e) Calcular V9,6

f) Calcular V8,2

31

Ecuaciones de Variaciones:

Ejemplo: Resolver la ecuación 5Vx,2 = 30 5x2 – 5x = 30

5x(x – 1) = 30

x=5

Ecuación de 2do grado

52 – 4 . 5 . (-30) 2

x=5

5x2 - 5x – 30 = 0

.5

25 + 600

x=5+

10

625 10

x = 5 + 25

x = 30

10

10

x2 = 5 – 25

x2 = -20

10

x1= 3

x2 = - 2 no es solución

10

Ejercicios: a) Resolver 4Vx , 3 = 25

b) Resolver 6Vx , 4 = 12

c) Resolver 8V x , 2 = 10

d) Resolver 10V x , 6 = 20

e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x

f) Resolver 4Vx , 2 +3V x , 3-10Vx,1= 42x

32

Permutaciones Ordinarias:

Una permutación es una variación, cuando m = n, o sea una permutación es una biyección del conjunto α en el conjunto A. Fórmula : Pm = Vm , n = m . (m – 1) . (m – 2)..........(m – m + 1) Ejemplo: Resolver P3,3 m=3

P3,3 = 3.(3-1).(3-2)

n=3

P3,3 = 3.2.1 P3,3 = 6

Ejercicios: a) Resolver P4,2

b) Resolver P6,2

c) Resolver P8,5

d) Resolver P12,4

e) Resolver P9,3

f) Resolver P24,6

33

Combinación Ordinaria: Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinación ordinaria de” n” elementos de A, con n ≤ m, a cualquier subconjunto de A con “n” elementos. Dos combinaciones se consideran igual si y solo si, están formados por los mismos elementos.

Fórmula: Cm,n = Vm,n Pn

Ejemplo: Hallar C8,3 C8,3 = V8,3

=

C8,3 = 8.(8-1).(8-2)

P3 C8,3 = 336

=

C8,3 = 8.7.6

3.(3-1).(3-2)

=

3.2.1

C8,3 = 56

6

Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x Cx,3 = x.(x-1).(x-2) = 2x

=

3.(3-1).(3-2) Cx,3 = x2 – 3x + 2 = 12

Cx,3 = x2 – 2x – x + 2 = 2 6

=

Cx,3 = x2 – 3x – 10 = 0

34

a=1

32 – 4 . 1 .(-10)

x=3±

b = -3

=

x=3±

2.1

9 + 40 2

c = -10 x1 = 3 + 7

=

x1 = 10

2

2

x2 = 3 – 7

= x2 = -4

2

= x1 = 5

= x2 = -2

2

Ejercicios: a) C3,2

b) C8,3

c) C12,5

d) C7,3

e) Cx+ 1,2 = 2x

f) Cx,4 = 3x

g) Cx+ 2,4 = 6

h) Cx-2,6 = 9

Estudiemos los Números Combinatorios Número Combinatorio: a) Dados dos números naturales m ( ≠ 0) y n, tales que m ≥ n ≥ 0, se denomina número combinatorio de m base n y se denota por m n

35

b) Son los números de la forma

m , también se les llama coeficientes binómicos n

“m” es el numerador o base “n” es el orden.

Propiedades de los Números Combinatorios: a) Todo número combinatorio cuyo orden es el número cero es igual a la unidad. m

=1

;

m

0

=m

;

m

1

=1

m

b) Se dice que dos números combinatorios son complementarios cuando tienen el mismo numerador y los ordenes son tales, que sumados dan el numerador común. m

=

n

m m–n

c) La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes consecutivos, es otro número combinatorio cuyo numerador es una unidad mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.

m

+

m

n

m! n!(m-n)!

=

n+1

+

m+1 n+1

m!

=

(n + 1)! (m-(n + 1)!

m! n!(m-n)!

+

m! (n + 1)! (m-n-1)!

36

Ejemplo: Resolver

20

=

3y+3

20 9y-7

(3y + 3) + (9y – 7) = 20 3y + 9y = 20 – 3 + 7

12y = 24 y = 24

=

y=2

12

Ejercicios:

a) Resolver

12

=

x2 - 1

c) Resolver

16 5y – 1

12

b) Resolver

x2 + 5

=

16 2y + 3

7

=

4y + 2

d) Resolver

20 -2y + 6

7 2y – 1

=

20 5y – 1

37

Tartaglia, sobrenombre de Niccolò Fontana (c. 1500-1557), matemático italiano nacido en Brescia, uno de los descubridores de la solución de la ecuación de tercer grado.

Triángulo de Tártaglia:

1

1

0

1

2

2

2

0

1

2

3

3

3

3

0

1

2

3

4

4

4

4

4

0

1

2

3

4

5

5

5

5

5

5

0

1

2

3

4

5

38

Ejemplo: Construir un triángulo con los lados, con números iguales a la unidad.

1 1 1

2

1 1 1 1

3 4

5 6

1 1 3 6

10 15

1 4 1

10 5 1 20

15 6 1

Binomio de Newton:

(a + b) = n a0 b0 0

n

an-1 b

1

n an-2 b2 + ………………

2

De la formula se deduce lo siguiente: a) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los elementos de las filas del triángulo de Pascal. Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos de (x + y)4 son los elementos de la cuarta fila del triángulo de Pascal. b) El número de términos es una unidad mayor que el exponente del binomio. c) Cuando nos movemos de un término al otro de izquierda a derecha, el exponente de x disminuye en 1, mientras que el de y se incrementa en 1.

39

Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5: (x + 1)5 = 5 0

=

5!

x 5 1 0 + 5 x 4 1 1 + 5 x 3 1 2 + 5 x2 1 3 + 5 x 1 1 4 + 5 1 2 3 4 5

x5 +

0!(5-0)!

5!

1!(5-1)!

x4 +

5!

x3 +

2!(5-2)!

5!

3!(5-3)!

x2 + 5!

x +

4!(5-4)!

5!

x0 15

x0

5!(5-5)!

Ejercicios: a) (x – y)3

b) (3x + y)4

c) (1 – x2)5

d) (2 + 2y)4

e) (4x – 2y)5

f) (2 + 3x)3

Sistema de Coordenadas en el espacio: Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c) / a ,b c;ε R/} donde R es el conjunto de los números reales. :E

R3 / p

(a, b, c)

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t, donde junto con la función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se

40

llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí, diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x Eje s = eje de las y Eje t = eje de la z

Z (t)

(s)

(r)

y

a x

41

Puntos en el Espacio: Ejemplo:

Dadas las rectas paralelas A1

y A2 . (A1 // A2) y las paralelas

horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son puntos de corte. Representarlo gráficamente.

A1

A2 a

c

ab = paralelo cd

y

b

d

B1

B2

ac paralelo bd

42

Ejercicios: 1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras, donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c, d, e, f son puntos de corte.

Vector Ligado: Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta  de4 origen a y extremo b. segmento

a

b

43

Un vector ligado está determinado por: a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.

Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero, vector nulo.

Componentes de un vector ligado: El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( –4,7) ; b = (3,8) ab = ( a2 – a1 , b2 – b1 )

ab = ( 3 – (-4) , 8 – 7) ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios: 1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7)

2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9)

4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

44

Vector Libre: Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes ab forman la clase de dicho vector.

Vector Equipolente: Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.

Geométricamente son iguales.

Vector Posición: Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen Adición de Vectores: Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de componente igual a la suma de los componentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ;

S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

45

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8) e = (-5,-7).

1) a + b

2) a + b + c

3) a + b + d

4) b + c + e

5) a + c + e

6) b + d + e

7) a + d + c

8) b + e

9) b + e + d

Sustracción de Vectores: Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a - b = a + (-b)

46

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)

1) a - b

2) a –

c

5) b – d

6) c - d

3) a – d

4) b – c

7) c – a

8) d – b

Producto de un vector por un número real: Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a 3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)}

=

-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} =

(9,-3) (-6,2)

47

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ; d = (-4/2,-3). Hallar .

1) 3 . a

2) -5 . b

3) 3/6 . c

4) 8 . d

5) –4/5 . b

6)  2 . c

7) –4 . d

8) 7 . a

Combinación Lineal: Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen números reales p y q tales que: u = p . a + q . b Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del vector 3 . a + 2 . b 3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6) 2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6) 3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6}

= U = (7,12)

48

Ejercicios: 1) Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b 2) Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q 3) Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y 4) Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b

Vectores Colineales: Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c.

49

a=p .b + q.c (3,4) = (-p-3q,0 +5q)

(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) =

3 = -p - 3q

despejamos q: 4 = 5q

4 = 0 + 5q

q = 4/5

despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5) 3 = -p –12

-------- p = -12 – 3 =

5

p = -27

5

5

empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c 5

5

Ejercicios: 1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1) 2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5) 3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1) 4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

50

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y – 3 z , x + 3 y – z ,

y + z son

dependientes.

Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos. 1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z ) 1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0 Se asocian los vectores x ,

y,

z , luego se eliminan los vectores x,

y,

z

1 + 2 = 0 1 + 32 + 3 = 0 -31 - 2 + 3 = 0 Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones dadas. 1 = - 2

3 = - 1 - 32

2 = 31 - 33

51

Vectores Linealmente Independientes: Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una solución y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes: 1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y 2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z 3) 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z 4) x - y

- z ,2x + 3y + 2z , x + z

Dimensión y base de un espacio vectorial: Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación linealmente independiente, en caso contrario no forman una base de R3.

52

Vectores Ortogonales: Se dice que dos vectores no nulos x e y son ortogonales si x . y = 0.

Vectores Unitarios: Un vector x se dice que es unitario si / x / = 1.

Producto escalar o interior de vectores: Sean x = ( x1, x2, x3) e y = (y1, y2,y3) vectores de R3. Definimos como producto escalar de dos vectores x e y , y lo denotamos por x

. y al numero

x . y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Distancia entre dos puntos en R3: Sean p y q dos puntos de R3 si p, tiene coordenadas (x1, y1, z1) y q tiene coordenadas (x2, y2, z2 ) entonces

pq = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) y se define la

distancia entre p y q por: d(p, q) =

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

53

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de: y

2

P1(3,2)

1 P 3(3,0) 0 -1

1

2

x

3

P2(1,-1)

d(P1,P2) =

(1-3)2 + (-1-2)2

=

(-2)2 + (-3)2 =

13

d(P2,P3) =

(3-1)2 + (0+1)2

=

2 2 + 12

=

5

d(P3,P1) =

(3-3)2 + (2-0)2

=

0 2 + 22

=

2

54

Ejercicios: 1) P1(2,4)

P2(2,5) P3(2,5)

2) P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3) P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6)

4) P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5) P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7)

6) P1(5,6) P2(3,5)

P3(-1,4)

Ecuación de la recta en el espacio: Se llama recta que pasa por el punto P0(x0 , y0, z0) y de dirección a = (a1, a2, a3) y se denota por L a (P0) al conjunto.

L a (P0) = { P  R3 / OP = OP +  a , con   R } Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y + 17 = 0 y por el punto (3,4)

3x – 2y = 0

3 3x – 2y = 0

9x – 6y = 0

4x + 3y = -17

2 4x + 3y = -17

8x + 6y = -34 17x

= -34

55

x

=

-34

/17

x = -2 3x – 2y = 0

3(-2) – 2y = 0 y = 6/-3

-6 – 2y = 0 y = -3

Cálculo de la ecuación: y – y1 = y2 – y1 (x – x1) x – x1 x1 = -2 x2 = - 3

y – (-3) = 4 – (-3)

y1 = -3

3 – (-2)

y2 = 4

(x – (-2))

y + 3 = 4 + 3 (x + 2)

y + 3 = 7 (x + 2)

3+2

5

5y + 15 = 7x +14 5y – 7x = 14 – 15 5y – 7x – 1 = 0

56

Ejercicios: a) 2x + y = 4

b)

2x + y = 4

3x + 2y = 1

3x + 2y = -1

c) 2x + 4y = 2

d)

3x – y = 5

x + 2y = 4

2x + y = 10

2) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la intersección de las rectas 2x + y + 2 = 0 y x + 3y + 11 = 0.

2x + y = -2

-2

2x + y = -2

x + 3y = -11

-2x – 6y = 22 -5y = 20 y = 20 = y = -4 -5

2x + y = -2

2x + (-4) = -2

x = -2 + 4 2

x=2

x=1

punto: (1 , -4)

2

57

m=3

y – y1 = m(x – x1)

y – (-4) = 3(x – 1)

x1 = 1

y + 4 = 3x - 3

x2 = - 4

3x – y – 7 = 0

Ecuación del plano en el espacio: El plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0) y tiene vector normal n = (a, b, c) Se denota por π n (P0) y es el conjunto π n (P0) = { P ε R3 : P0P . n = 0 } a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – zo) = 0 ecuación general: ax + by + cz = d d = ax0 + by0 + cz0

Ejemplo: Reducir la ecuación 3x + 4y – 6 = 0 a forma normal.

Ax ±

+

Bx

A 2 + B2

±

32 + 42 = entonces:

A2 + B2

+

C ±

A 2 + B2

25 = 5

3x + 4y - 6 = 0 5

5

5

58

Ejemplo: Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 6 = 0

p= -

C

p=

A 2 + B2

±

p= - 6

-

6 3 2 + 42

p = 6/5

25

Adición y Producto de Matrices: Llamamos matriz rectangular, a un cuadro de números puestos en filas y columnas.

Menor de un Matriz: Son las matrices cuadradas que podemos formar con los elementos de la matriz rectangular desde el orden 1 hasta el máximo orden que permita la matriz.

Las determinantes formadas por un menor más otra fila y otra columna se llaman determinantes “orlados”.

Característica de una Matriz o Rango: Es el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

59

Cálculo: 1) Se eliminan todas las líneas que sean combinación lineal de otras.

2) Se toma la 1ra fila como referencia y se estudia la segunda formada determinantes de segundo orden. Si aparece uno de ellos diferentes de cero se pasa a estudiar la 3ra fila, pero si todos los determinantes que se puedan formar con los elementos de la segunda fila son nulos, esta segunda fila es combinación lineal y se tacha.

3) Se desarrollan determinantes de 3er orden “orlando” el 2do no nulo. Si alguno de los de 3er orden resulta diferente de cero se pasa a estudiar la 4ta fila, pero si todos los de 3er orden son nulos, esta fila es combinación lineal y se tacha.

4) La característica será el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

Matriz Fila: es una matriz de orden 1 x n . O sea de la forma M = (a11,a12...an) Matriz Columna: es una matriz de orden m x 1 . O sea de la forma:

a11 M=

a12

an

60

Matriz Cuadrada: son las que tienen el mismo número de filas y columnas. Son del orden m x n / m = n,0.

Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada, donde aij = 0 para i ≠ j.

1 0 0 M=

0 4 0

matriz diagonal de orden 3.

0 0 -2

Matriz Identidad: es una matriz cuadrada tal que aij = 1 si i = j ; aij = 0 Para i ≠ j.

1 0 0 ....0 0 1 0.....0 I=

0 0 1..... 0

0 0 0

1

Adición de Matrices: Sean las matrices M, N ε Mmxn tales que:

a1 a2 .....an1 M=

a2 a4.....an2

am1 am2 amn

b1 b2…..bn1 N=

b2 b4…..bn2

bm1 bm2 bmn

61

Se define la suma de cada uno de los números de ambas matrices, respetando estrictamente el orden de colocación, fila y columna de ambas matrices.

M+N=

a1 + b1

a2 + b2 ......an1 + bn1

a 2 + b2

a4 + b4.......an2 + bn2

am1 + bm1 am2+bm2

amn + bmn

Ejemplo: Hallar la suma de las matrices.

2 2 2 M=

3

2 1

4 1

M+N=

2 1 2 N=

3

1 3 2 1 1 2

2+2

2+1

2+2

4 3 4

3+1

2+3

1+2

M+N= 4 5 3

4+1

1+1

3+2

5 2 5

62

Ejercicios: Dadas las siguientes matrices: 3 5

-2

A = 2 4 0

D=

-3 6 5 B=

0 2 9

-3 5 7 C=

-2

-2 9

2 7 -1

1 3 9

6 3 0

-4 3 8

0 7 4

-8 5 3

-1 3 -5

F= 9 0 6

9 0 1

1 2 3

7 5 1

E=

5 4 0

Hallar: 1) A + B

2) A + C

3) A + D

4) A + E

5) A + F

6) B + C

7) B + E

8) B + F

9) C + D

10) C + E

11) C + F

12) D + F

63

Regla de Sarrus: Regla: se escriben ordenadamente la primera y segunda fila o columna al lado del determinante dado.

El resultado es igual a la suma algebraica del producto de los elementos de las diagonales principales menos la suma algebraica del producto de las diagonales secundarias.

Ejemplo: Calcular el valor de la determinante.

3 5 1 2 6 2 1 3 2 3 5 1 3 5 2 6 2 2 6 1 3 2 1 3

= 3.6.2+5.2.1+1.2.3– {1.6.1+2.3.3+ 5 . 2 . 2} = 36 + 10 + 6 – (6 + 18 +20) = 52 – 44 = 8

64

Ejercicios. Calcular el valor de las siguientes determinantes: 1)

4)

2 4

-3

2)

-1 2 8

3)

-4 5 8

2 1 0

9 4 2

0 3 -3

4 9 1

7 1 4

4 2 1

-1 2 7

5)

4 9 0

6)

-2

-6 7

2 4 7

2 0 1

9

4 7

6 8 2

2 1 6

6

8

2

Característica de una Matriz:

1 1 2

-1 2

3 1 -1

3 1 0 3

referencia primera fila: (1 1 -1 2) 1er orden estudiamos 2da fila.

1 1 =3–2=1≠0 2 3

2do orden diferente de cero, pasamos a la 3ra fila.

65

1 1 -1

se aplica Sarrus:

1 1

-1 1 1

2 3 1

2 3 1 2 3

3 1 0

3 1 0 3 1

=

(1 . 3 . 0 + 1 . 1 . 3 – 1 . 2 . 1) – (-1 . 3 . 3 + 1 . 1 .1 + 1 . 2 .0)= 0 + 3 – 2 – (- 9 + 1 + 0) = 1 + 9 – 1 + 0 = 9 ≠ 0 Como no se puede formar de 4to orden la característica es 3.

Ejercicios: Hallar la características de las Matrices: 1)

6 0 3

5

-1 8

-3 1 2

8

2 4

-5 2 6

2 5 7

-5 8 2

0 7 1

4) 1 2 7 2

2)

5)

7 1 -5

3)

6)

0 6 3

9 1 0

-4 5

0 2 7

2 5 1

2 6 -1

9 -2 2

0

6 1

66

Teorema Rouche-Frobenius: La condición necesaria y suficiente para que un sistema formado por “n” ecuaciones lineales (de primer grado) con “m” incógnitas sea compatible es que la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los términos independientes tengan la misma característica. .- Cuando las características de las matrices son iguales el sistema es compatible. .- Si las características son iguales y coinciden con el número de incógnitas es determinado. .- Si las características son iguales pero menores que el número de incógnitas es indeterminado. .- Si las características ampliada es mayor que la de los coeficientes es incompatible.

Teorema de Cramer: Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de los elementos de una de sus líneas por sus adjuntos respectivos. El adjunto de un elemento es el menor complementario de dicho elemento afectado del signo más o menos según la suma de los números que indican la fila y la columna sean par o impar.

67

Ejemplo: Desarrollar el siguiente determinante por los adjuntos de la primera columna.

3

1 3 1

2 -1 2

-1

2 -1 2

2

-1 2 3

4 5 2

3

4 5 2

1 3 1

(3)

-1 2 3

+ (2)

2

-1 2

1 3 1 + (- 1) -

-1 2

3

4 5 2 1 3 1 + (3) -

2 -1 2

4 5 2

=

-1 2 3

3{-3 + 4 –6 – (1 + 18 + 4)} = 3(-62) + (18) + 2(14) – 3(-28) = -186 +18 + 28 + 84 = - 56

1)

4)

4 2 4 1

2)

1 2 6 0

3)

2 4 8 0

-1 2 6 7

0

-4 6 4

-3 7 1 5

3 2 0 1

3 2 0 1

3 2 0 1

1 6 -2 8

1 6 -2 8

1 6 -2 8

2

-1 6 7

0

3 1 4

5)

0 5 1 9 0

3 1 4

6)

-3 9 0 5 0

3 1 4

1 3 5 3

8 1

2 8

1 9 0 1

-7 2 7 1

-7 2 7 1

-7 2 7 1

68

Lugar Geométrico: Sea f(x , y) una función de dos variables definida en un sistema de coordenadas XY. Se ha de comprobar que al resolver la ecuación f(x, y) = 0 se obtiene un conjunto de puntos del plano que definen una curva en el mismo.

El conjunto de los puntos del plano que satisfacen la ecuación f(x, y) = 0, recibe el nombre de lugar geométrico y a la ecuación f(x, y) = 0 se le denomina ecuación del lugar geométrico.

Secciones Cónicas: Se llama sección cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano como un cono de revolución de dos mantos.

L

α

69

a.- Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es un punto o una circunferencia según el plano pase o no pase por el vértice del cono.

L

Circunferencia

b.- Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a todas las generatrices, la intersección es una elipse.

L

Elipse

70

c.- Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás generatrices, la intersección es una parábola.

L

Parábola

d.- Si el plano corta a los dos mantos del cono y no pasa por el vértice, la intersección es una hipérbola.

L

Hipérbola

71

La Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia “r” de otro punto dado C . r es el radio de la circunferencia y el punto C es el centro de la misma.

y

P(x , y) r

C(h ,k) X

dcp =

(x – h)2 + (y – k)2

Esta distancia es igual a r:

r=

(x – h)2 + (y – k)2

Elevando al cuadrado obtenemos:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

72

Ejercicios: Dibuja la gráfica de la ecuación. a.- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 y

r=3 2

* (3,2)

1 3

Las coordenadas del centro son (3,2) y el radio es r =

x

 9

=3

73

b.- x2 + (y + 1)2 – 7 = 0

y

r = 7

(0,-1)

x

74

La Elipse La Elipse, en geometría, se define como una curva cerrada formada por un plano que corta a todos y cada uno de los elementos de un cono circular; es una de las cónicas. Una circunferencia, formada cuando el plano es perpendicular al eje del cono, es un caso particular de elipse.

Una elipse se puede también definir como el lugar geométrico de todos los puntos P, para los que la suma de sus distancias d 1 y d2 a dos puntos fijos es constante.

Los dos puntos fijos que definen la elipse se conocen como focos y aparecen como F y F’ en la figura 1. Esta propiedad de la elipse se puede utilizar para dibujarla. Si se colocan dos alfileres en la superficie del dibujo en la posición de los dos focos, y se ata un hilo a ambos, la punta que mantenga al hilo tenso dibuja la elipse al moverla.

La elipse es simétrica con respecto a su eje mayor, la línea recta que pasa por los dos focos y que corta a la curva en los extremos. La elipse es también simétrica con respecto al eje menor, la recta perpendicular al eje mayor que equidista de los focos. En la circunferencia, los dos focos son un mismo punto, y los ejes mayor y menor son iguales.

75

La excentricidad de una elipse, esto es, la relación entre la distancia focal —la distancia entre los focos— y la longitud del eje mayor, es siempre menor que 1. La excentricidad de la circunferencia es 0.

La elipse es una de las curvas más importantes de la física. En astronomía, las órbitas de la Tierra y de los otros planetas alrededor del Sol son elípticas. Se utiliza bastante en ingeniería, como en el arco de ciertos puentes y en el diseño de engranajes para determinadas máquinas, como las perforadoras .

a.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 , determina sus vértices, sus focos, la 9 4 longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

A2 = 9

a = ±3

b2 = 4

b = ±2

Los vértices son A(3,0) ; A’ (-3,0) ; B(0,b) y B’(0,-b) a2 – c2 = b2

donde

c 2 = a2 – b2

o sea c2 = 9 – 4

c=± 5

los focos son F(  5 , 0) y F´ ( -  5 , 0) La excentricidad es

e= c = a

 5 3

76

y

B(0,2)

A(-3,0)

F’

F

A(3,0)

x

B(0,-2)

77

b.- La ecuación de una elipse es: 9y2 + 25x2 = 225 y2 + x2 = 1 9 25

A(0,5)

A´ (0,-5)

B(3,0)

B´(-3,0)

y

A(0,5)

B´(-3,0)

B(3,0)

x

A´(0,-5)

78

La Hipérbola : La Hipérbola, es una curva plana, una de las cónicas, formada por un plano que corta las dos hojas de un cono circular recto pero que no pasa por el vértice del cono. La hipérbola está formada por dos ramas en forma de U que no se cortan; ambas tienen idéntica forma, con las aberturas en sentidos opuestos. Los dos lados de cada rama se separan al alejarse.

La hipérbola se define también como el lugar geométrico de todos los puntos para los que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Cada rama contiene uno de los focos en su interior; la línea recta que une los focos corta a cada una de las ramas en un punto denominado vértice. La recta que pasa por los dos vértices y los focos se denomina eje mayor. La recta perpendicular al eje mayor y equidistante de los vértices es el eje menor. Los ejes se cortan en el centro de la hipérbola. La hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes y al centro.

79

La hipérbola tiene dos asíntotas que pasan por su centro; una asíntota a una curva es una línea recta con la propiedad de que la distancia entre ella y la curva tiende hacia cero cuando la curva se aleja hacia infinito. Una hipérbola es rectangular o equilátera si las asíntotas son perpendiculares entre sí.

La hipérbola tiene varias propiedades útiles e importantes. En especial, el ángulo formado en un punto de la hipérbola por las rectas que unen el punto con los focos es bisecado por la tangente a la hipérbola en dicho punto. En astronomía, algunas órbitas tienen forma hiperbólica. Por ejemplo, ciertos cometas con suficiente masa y velocidad para no ser atrapados por el campo gravitatorio solar, se mueven en órbitas hiperbólicas. Un moderno aparato de ayuda a la navegación llamado loran utiliza también hipérbolas.

Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 2 y sus vértices son V(0,4) y V´(0,-4). La ecuación de la hipérbola es de la forma: y2 – x2 = 1 a2 b2

b= a 2

y2 – x2 = 1 16 4

donde: c2 = 16+4 = 20

b = 4/2

b=2 c = ±  20

c = ±2  5

80

Focos:

F(0, 2  5 )

F´(0, -2  5) y

Y = 2x V

a=4

b=2

x

V´

y = -2x

81

La Parábola: La Parábola , es una

curva plana, una de las cónicas, formada por la

intersección de un cono con un plano paralelo a una recta de la superficie de éste.

Cada uno de los puntos de la curva equidista de un punto fijo, llamado foco, y de una recta, conocida como directriz. La parábola es simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. La ecuación matemática de una parábola simétrica con respecto al eje de abscisas y con su 2

vértice en el origen de coordenadas cartesianas es y = 2 px, en donde p es la distancia del foco a la directriz.

La parábola es la curva que describe la trayectoria de un proyectil, como una bala o pelota, en ausencia de fricción con el aire. Debido a la fricción, la curva descrita por un proyectil sólo se aproxima a una verdadera parábola. Los espejos parabólicos son reflectores que tienen la forma de una parábola rotada alrededor de su eje de simetría. Los espejos parabólicos reflejan los rayos luminosos de una fuente de luz situada en el foco como rayos paralelos entre sí. Estos reflectores se usan en los faros de los coches y en cualquier otro tipo de proyectores. Los espejos parabólicos también concentran rayos paralelos de luz en el foco sin producir aberración esférica. Este tipo de reflector es por tanto de gran utilidad en telescopios astronómicos. Se utilizan también como antenas en radioastronomía, radar y televisión por satélite.

82

Ejercicio: Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones dadas. a) Vértice en el origen y foco en F(3,0) b) Vértice en el origen y directriz y – 1 = 0 a) y2 = 4 . 3x

x

1

y ±2 √ 3

y2 = 12x

2

la ecuación de la directriz es y = -3

3

± 2 √6 ± 6

83

y 8 7 y2 = 12x

6 5 4 3 2 1

F(3,0)

y =3

84

b.- Calculo de la directriz: p=-1

y=1 x2 = 4py

F(0,-1)

y

-1

-2

-3

-4

x

±2

±2 √ 2

±2√3

±4

x2 = -4y

y

y=1

x -1

F(0,-1)

-2 -3

x2 = -4y

85

Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.

Historia : Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad

86

de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar,

con

gran

exactitud,

utilizando

determinadas

distribuciones

probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.

Métodos estadísticos : La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

87

El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo, en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en el futuro.

Tabulación y presentación de los datos :

Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e

88

interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3; 5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista, que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la máxima y la mínima es 7.

En un diagrama de frecuencia acumulada, como el de la figura 1, las notas aparecen en el eje horizontal y el número de alumnos en el eje vertical izquierdo, con el correspondiente porcentaje a la derecha. Cada punto representa el número total de estudiantes que han obtenido una calificación menor o igual que el valor dado. Por ejemplo, el punto A corresponde a 7,2, y según el eje vertical, hay 12 alumnos, o un 40%, con calificaciones menores o iguales que 7,2.

Para analizar las calificaciones obtenidas por 10 clases de 30 alumnos cada una en cuatro exámenes distintos (un total de 1.200 calificaciones), hay que tener en cuenta que la cantidad de datos es demasiado grande para representarlos como en la figura 1. El estadístico tiene que separar los datos en grupos elegidos previamente denominados intervalos. Por ejemplo, se pueden utilizar 10 intervalos

89

para tabular las 1.200 calificaciones, que se muestran en la columna (a) de la tabla de distribución de datos adjunta; el número de calificaciones por cada intervalo, llamado frecuencia del intervalo, se muestra en la columna (c). Los números que definen el rango de un intervalo se denominan límites. Es conveniente elegir los límites de manera que los rangos de todos los intervalos sean iguales y que los puntos medios sean números sencillos. Una calificación de 8,7 se cuenta en el intervalo entre 8 y 9; una calificación igual a un límite de intervalo, como 9, se puede asignar a cualquiera de los dos intervalos, aunque se debe hacer de la misma manera a lo largo de toda la muestra. La frecuencia relativa, columna (d), es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos. La frecuencia acumulada, columna (e), es el número de estudiantes con calificaciones iguales o menores que el rango de cada intervalo sucesivo. Así, el número de estudiantes con calificaciones menores o iguales a 3 se calcula sumando las frecuencias de la columna (c) de los tres primeros intervalos, dando 53. La frecuencia acumulada relativa, columna (f), es el cociente entre la frecuencia acumulada y el número total de notas.

Los datos de una tabla de distribución de frecuencias se pueden representar gráficamente utilizando un histograma o diagrama de barras (como en la figura 2), o como un polígono de frecuencias acumuladas (como en la figura 3). El

90

histograma es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos y con área proporcional a sus frecuencias. El polígono de la figura 3 se obtiene conectando los puntos medios de cada intervalo de un histograma de frecuencias acumuladas con segmentos rectilíneos.

En los periódicos y otros medios de comunicación los datos se representan gráficamente utilizando símbolos de diferente longitud o tamaño que representan las distintas frecuencias.

Valores de la tendencia central : Una vez que los datos han sido reunidos y tabulados, comienza el análisis con el objeto de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Dado que por lo general la frecuencia de los intervalos centrales es mayor que el resto, este número se suele denominar valor o medida de la tendencia central.

Sean x1, x2, …, xn los datos de un estudio estadístico. El valor utilizado más a menudo es la media aritmética o promedio aritmético que se escribe x, y que es igual a la suma de todos los valores dividida por n:

91

El símbolo S, o sumatorio, denota la suma de todos los datos. Si las x se agrupan en k intervalos, con puntos medios m1, m2, …, mk y frecuencias f1, f2, …, fk, la media aritmética viene dada por

donde i = 1, 2, …, k.

La mediana y la moda son otros dos valores de la tendencia central. Si las x se ordenan según sus valores numéricos, si n es impar la mediana es la x que ocupa la posición central y si n es par la mediana es la media o promedio de las dos x centrales. La moda es la x que aparece con mayor frecuencia. Si dos o más x aparecen con igual máxima frecuencia, se dice que el conjunto de las x no tiene moda, o es bimodal, siendo la moda las dos x que aparecen con más frecuencia, o es trimodal, con modas las tres x más frecuentes.

Medidas de la dispersión: Normalmente la estadística también se ocupa de la dispersión de la distribución, es decir, si los datos aparecen sobre todo alrededor de la media o si están distribuidos por todo el rango. Una medida de la dispersión es la diferencia entre dos percentiles, por lo general entre el 25 y el 75. El percentil p es un número tal que un p por ciento de los datos son menores o iguales que p. En particular, los percentiles 25 y 75 se denominan cuartiles inferior y superior respectivamente. La desviación típica es otra medida de la dispersión, pero más útil que los percentiles, pues está definida en términos aritméticos como se explica a continuación. La desviación de un elemento del conjunto es su diferencia con respecto a la media; por ejemplo, en la sucesión x1, x2, …, xn la desviación de x1 es x1 - x, y el cuadrado de la desviación es (x1 - x)2. La varianza es la media del cuadrado de las desviaciones. Por último, la desviación típica, representada por la letra griega sigma (s), es la raíz cuadrada de la varianza, y se calcula de la siguiente manera:

92

Si la desviación típica es pequeña, los datos están agrupados cerca de la media; si es grande, están muy dispersos.

Correlación : Cuando dos fenómenos sociales, físicos o biológicos crecen o decrecen de forma simultánea y proporcional debido a factores externos, se dice que los dos fenómenos están positivamente correlados. Si uno crece en la misma proporción que el otro decrece, los dos fenómenos están negativamente correlados. El grado de correlación se calcula aplicando un coeficiente de correlación a los datos de ambos fenómenos. El coeficiente de correlación más utilizado es

donde x es la desviación de una variable con respecto a su media, e y es la desviación de la otra variable con su media; N es el número total de casos en las series. Una correlación positiva perfecta tiene un coeficiente +1, y para una correlación negativa perfecta es -1. La ausencia de correlación da como coeficiente 0. Por ejemplo, el coeficiente 0,89 indica una correlación positiva grande, -0,76 es una correlación negativa grande y 0,13 es una correlación positiva pequeña.

Modelos matemáticos : Un modelo matemático es una representación ideal (en la forma de un sistema, proposición, fórmula o ecuación) de un fenómeno físico, biológico o social. Así, un dado teórico perfectamente equilibrado, que se puede lanzar de forma aleatoria, es un modelo matemático de un dado real. La probabilidad de que en n lanzamientos de un dado matemático se obtenga k veces un 6 es

93

donde (‚) es la representación de un número combinatorio

El estadístico que utiliza un dado real debe diseñar un experimento, como lanzar el dado un gran número de veces, para determinar, a partir de los resultados obtenidos, la posibilidad de que el dado esté perfectamente equilibrado y de que el lanzamiento sea aleatorio.

Muchos conjuntos de medidas experimentales presentan el mismo tipo de distribución de frecuencias que se pueden representar con un modelo matemático único. Por ejemplo, el número de veces que sale un 6 al lanzar un dado n veces, el peso de N garbanzos tomados al azar de una bolsa o las presiones atmosféricas medidas por distintos estudiantes sucesivamente en el mismo barómetro. En todos los casos los valores presentan patrones de frecuencia muy similares. Los estadísticos adoptan un modelo que es un prototipo o idealización matemática de todos esos patrones o distribuciones. Una forma de modelo matemático puede ser una ecuación de la distribución de frecuencias, en la que el número de medidas o valores se considera infinito:

donde e es la base de los logaritmos neperianos, e y representa la frecuencia del valor x. La gráfica de esta fórmula (figura 4) es una curva en forma de campana llamada curva de probabilidad normal o gaussiana:

94

Distribución de Frecuencias Simples: Cuando se dispone de gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada clase, que es la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los datos en clases, reunidas la clases y con las frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.

Pesos X

Frecuencias f

46

1

47

4

48

5

49

3

50

2

51

3

52

2

∑

n = 20

95

Frecuencias Acumuladas:

Pesos X

Frecuencias f

Frecuencias Acumuladas fa

46

1

1

47

4

5

48

5

10

49

3

13

50

2

15

51

3

18

52

2

20

∑

n = 20

Frecuencia Relativa: fr = f n

fr = frecuencia relativa f = frecuencia n = total de datos de la muestra.

Ejemplo: la proporción de alumnos con 50 kg de peso es: fr = 3 = 0,15 20 frecuencia Porcentual: fp = 2 . 100 = 0,1 . 100 = 10% 20

96

Pesos X

Frecuencias f

fa

fr

fp

46

1

1

0,05

5

47

4

5

0,20

20

48

5

10

0,25

25

49

3

13

0,15

15

50

2

15

0,10

10

51

3

18

0,15

15

52

2

20

0,10

10

∑

n = 20

1

100%

Distribución de Frecuencias para datos agrupados en intervalos: Regla: 1.- Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encintrar el rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).

2.- Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño. Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a aminorar el llamado error de agrupamiento, en los análisis matemáticos posteriores. Sin embargo, los límites reales de clase no coincidirán con los datos observados.

3.- Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase.

Ejemplo: 5 8 11 12 14 17 6 9 1 13 15 17 6 10 11 13 15 18 7 10 12 14 16 18 8 10 12 14 16 19

97

Rango: es la diferencia entre el valor máximo de la serie y el valor mínimo., R = V M – Vm Entonces:

R = 19 – 5 = 14 , nuestro rango es R = 14

Intervalos: se toma atendiendo la postura del investigador, en nuestro caso tomaremos arbitrariamente m = 5.

Amplitud de Intervalos: M

C= R 5

C = 14 = 2,8

Aproximamos para que sea un número entero: C = 3 Vm + (C-1) = 5 + (3-1) = 5+2 = 7 , entonces el primer intervalo es 5 – 7 Calificaciones X 5 - 7 8

- 10

11

- 13

14

- 16

17-

19 ∑

Ahora la tabla nos quedará: Calificaciones

N° de Alumnos

fa

X 5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

17 - 19

5

30

∑

n = 30

98

Marcas de Clase o Puntos Medios de los Intervalos:

Mc = Li + Ls 2 Mc = 5 + 7 = 6 2

Mc = 11 + 13 = 12 2

Calificaciones

Mc = 17 + 19 = 18 2

N° de Alumnos

fa

Mc

X 5 -

7

4

4

6

8 -

10

6

10

9

11 -

13

8

18

12

14 - 16

7

25

15

18 - 19

5

30

18

∑

n = 30

Limites Reales o Verdaderos: vienen dados por la suma del límite superior de un intervalo más el límite inferior del intervalo siguiente dividido por dos: 7 + 8 = 7,5 ; 10 + 11 = 10,5 ; 13 + 14 = 13,5 ; 16 + 17 = 16,5 2 2 2 2

Calificaciones

N° de Alumnos

fa

Mc

Limites Reales

X 5 -

7

4

4

6

4,5 - 7,5

8 - 10

6

10

9

7,5 - 10,5

11 - 13

8

18

12

10,5 - 13,5

14 - 16

7

25

15

13,5 - 16,5

17- 19

5

30

18

16,5 - 19,5

∑

n = 30

99

Representación Gráfica de Datos: Existen tres métodos comunes de representar gráficamente una distribución de frecuencias: el histograma de frecuencias, el polígono de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas.

Histograma de Frecuencias: Son una serie de rectángulos paralelos y pegados, cuya base representa un intervalo y su altura la magnitud de la frecuencia respectiva.

Pasos para la elaboración de un histograma: 1.- se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares: eje de las abscisas (eje X) y el eje de las ordenadas (eje Y).

2.- Se colocan en el eje X los límites reales de los intervalos y en el eje Y las magnitudes de cada frecuencia.

3.- Se levantan perpendiculares por los límites reales de cada intervalo, siendo la altura de estas perpendiculares igual a la frecuencia del intervalo respectivo.

4.- Se unen las dos perpendiculares.

Histograma de frecuencias

N° Alumnos

10 8 6 N° de Alumnos

4 2 0 5 - 7

8 11 14 17 - 10 - 13 - 16 - 19 Calificaciones

100

Polígono de Frecuencias: El polígono de frecuencias es un conjunto de puntos unidos mediante segmentos de recta .

Pasos para la elaboración del polígono: 1.- Se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares.

2.- Se colocan sobre el eje de las abscisas las marcas de clase y en el eje de las ordenadas sus respectivas frecuencias.

3.- Para cada marca de clase corresponderá un valor de la frecuencia, señalado en el sistema de coordenadas rectangulares por un punto.

4.- se unen los puntos mediante segmentos de recta.

5.- Cuando de elabora el polígono de frecuencias se deben dejar en blanco dos marcas de clase, una por la izquierda y otra por la derecha, con frecuencia cero para cerrar el polígono.

N° Alum nos

P olígono de Frecuencias 10 5 0 5 - 7

8 10

11 13

14 16

17 19

Ca lifica cione s

101

Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojiva: La ojiva indica las frecuencias acumuladas que corresponden a cada uno de los intervalos.

Pasos para elaborar la ojiva: 1.- Se trazan dos ejes de coordenadas.

2.- Se colocan sobre las abscisas los límites reales de los intervalos y sobre las ordenadas las frecuencias acumuladas.

3.- Se ubican los puntos en el plano cartesiano.

4.- Se unen los puntos, partiendo del límite real inferior del primer intervalo.

O jiv a 9 8 7

Alu m n o s

6 5 4 3 2 1 0 1 -3

4 -6

7 -9

10 - 12

13 - 15

Ca lifica cio n e s

102

Otros tipos de Graficas:

C o lu m n a s 8 7

A lu m n o s

6 5 4 3 2 1 0 1 C a l i fi c a c i o n e s

103

C ir c u la r

A re a s

8 6 4 2 C 1

0 1 - 3

4 - 6

7 - 9

10 12

13 15

A lu m n o s

C a lific a c io n e s

104

A n illo s

1 3 8

1 - 3 4 - 6 7 - 9 5

10 - 12 13 - 15

7

C ilin d r o s

8

8

7

7

6 5 4 3 2 1 0

5 3 1

1 3

4 6

C a l i fi c a c i o n e s

7 9

C1 10 12

A lu m n o s

13 15

105

P ir a m id a l

8

8

7

7

6 5 4 3 2 1 0

5 3 1 1 3

4 6

C a l i fi c a c i o n e s

7 9

C1 10 12

A lu m n o s

13 15

106

GUIA DE EJERCICIOS:

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades eran las siguientes: 32, 28, 32, 28, 40, 32, 21, 30, 32 y 25 años. Elabore una distribución de frecuencias simple.

Las edades de un grupo de niños son: 8, 3,5, 4, 6, 8, 3, 4, 7, 7, 5, 6, 3, 4 , 6 ,6,7 y 5 años. Elabore una distribución de frecuencia simple.

Se aplicó una prueba a 12 alumnos y las calificaciones fueron: 12, 10, 14, 17, 12, 9, 10, 16, 17,11, 13 y 15 puntos. Elabore una distribución de frecuencias simple.

Las contribuciones, en Bs. de 30 alumnos para una campaña de limpieza en la escuela, fueron las siguientes: 85

90

75

65

90 115

75

100

80

55

110

75

60

80

90 100

100

80

45

90

120

80

60

5

120 110

75

65

85

60

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 6 intervalos y luego grafica: histograma, polígono y la ojiva.

107

Los resultados de una evaluación de geografía, aplicada a 30 alumnos fueron: 10

16

8

18

5

17

1

12

16

17

6

5

14

13 19

18

15

11

8

6

12

7

15

14

10

17

10 13 14

9

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y luego grafica: histograma, polígono y ojiva.

El peso en kg de un grupo de 40 estudiantes resultó ser: 52

57

55

57

61

59

55

53

56

58

61

63

54

57

52

64

54

50

58

54

51

60

59

54

52

62

64

50

64

60

62

60

55

60

55

60

58

53

55

62

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y luego grafique: barras, polígono y ojiva.

La matricula de una escuela durante el período 1997-1998-1999-2000-20012002 fue:

Años Alumnos inscritos

1997

1998

1999 2000

2001

2002

250

340

400

580

700

450

Elabore una gráfica de líneas y una gráfica de barras

108

Dada la siguiente tabla:

Sexo Rendimiento

Masculino

Femenino

Excelente

20

10

Bueno

60

50

Regular

40

25

Deficiente

15

12

Elabore una gráfica de barras dobles.

Se realizó una encuesta a 7500 alumnos para conocer la preferencia hacia ciertos sabores de un determinado refresco del mercado. Los resultados fueron:

Sabor

N° de Alumnos

Uva

1875

Manzana

1125

Pera

3000

Durazno

1500

Elabore una grafica circular o de sectores.

109

Medidas de Tendencia Central:

Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.

La Media Aritmética:

Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .

Media Aritmética Simple:

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación: X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ X n n Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14, 16, 18, 14

X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8 10 10

Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple: Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.

Pasos para calcularla: 1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.

2.- Se suman estos productos.

3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir: X= ∑f.X n

110

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas: 2 0 2 4 4 6 6 4 6 7 4 4 7 4 2 0 4

6 7 7

Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias simple:

N° de Hijos

N° de Personas

X

f.X

f

0

2

0

2

3

6

4

7

28

6

4

24

7

4

28

∑

20

86

X= ∑f.X n

= 86 = 4,3 20

Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos: Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de la siguiente manera: 1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.

2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.

3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de la muestra: X = ∑ f . Mc n

111

Ejemplo: La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una evaluación: Calificaciones

N° de alumnos

Mc

f . Mc

X

f

5 - 7

4

6

24

8 - 10

6

9

54

11 - 13

8

12

96

14 - 16

7

15

105

17 - 19

5

18

90

∑

n=30

369

La calificación promedio o media del grupo es: X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos n 30

Media Aritmética Ponderada: Pasos para calcularla: 1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.

2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.

X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑w

112

Ejemplo: La siguiente tabla representa las

asignaturas cursadas por un alumno de

Administración de Recursos Humanos en un semestre:

Asignatura

Calificación

Unidad Crédito

Nómina

7

3

A .R .H

8

2

Registro y Control

5

3

Evaluación y Eficiencia

9

4

Calcular su rendimiento promedio en el semestre.

X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 12

= 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33 12 12

El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.

La Media Aritmética de Varias Medias: Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede hacer usando la media ponderada.

Ejemplo: Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron: X1 = 60 ;

X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ;

n2=60 ;

n3=30

Calcular la media aritmética de los grupos combinados.

X = n 1 . X 1 + n2 . X 2 + n3 . X 3 n1 + n2 + n3

= 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 = 10 + 60 + 30

113

X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos 100

100

La Mediana: Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.

Mediana para Datos no Agrupados: a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19 El término central es Md= 15 puntos. b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18 La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos 2 Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples: Pasos: 1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.

2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/ 2.

3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/ 2 o la inmediata superior.

114

Ejemplo: La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:

Calificaciones X 13 14 15 16 17 18 19 20 ∑

Alumnos f 1 4 8 10 6 2 3 2 n=36

fa 1 5 13 23 29 31 34 36

La mediana anterior se calcula: 1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18 2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a 18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego Md=16 puntos.

El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que 16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

115

Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través de los siguientes pasos: 1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/ 2.

2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.

3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada anterior a la que contiene.

4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:

Md = Lri +

n

- fa (anterior)

. C

2

f Md = Mediana Lri= Límite real inferior del intervalo medianal. n/2 = Posición de la mediana. f = frecuencia medianal.

C = Amplitud del intervalo medianal.

Lri = 10 + 11 = 10,5 2

116

Ejemplo: Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones: Calificaciones

N° de Alumnos

X

f

fa

5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

19 - 19

5

30

∑

n = 30

Solución: Calculamos n/2 = 30/2 = 15 El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es decir fa=18; luego la mediana está en el intervalo

11 – 13

De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3 Aplicando la ecuación: Md = 10,5 +

15 – 10 8

. 3 = 10,5 + (0,625) . 3

10,5 + 1,875 = 12,375 Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15, menos de 12,375 puntos.

Calculo de la Mediana en forma Gráfica: Pasos: 1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.

2.- Se determina el orden de la mediana.

3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.

117

4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de la ( fa).

5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.

6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.

Ojiva (fa) A

30

l

25

u

20

m

15

n

10

o

5

s

0 4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

Calificaciones

M d = 12,375

La Moda: Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza : Mo. Moda para Datos Agrupados: Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es: Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).

Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es: Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.

Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20, 18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

118

Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pesos

Frecuencias

X

f

46

1

47

4

48

5

49

3

50

2

51

3

52

2

∑

n=20

La moda de esta distribución es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor frecuencia.

Moda para Datos Agrupados en Intervalos: Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con mayor frecuencia Calificaciones

N° de alumnos

X

f

Mc

5 - 7

4

6

8 - 10

6

9

11 - 13

8

12

14 - 16

7

15

17 - 19

5

18

∑

n=30

Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.

119

Relación entre las Medidas de Tendencia Central: Se cumple la relación empírica de Pearson: Media – Moda = 3.(Media – Mediana).

Moda = 3 Mediana – 2 Media.

Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.

Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular la media a partir de la mediana y la moda.

Asimetría: Una distribución es simétrica cuando X = Md = Mo Ejemplo: Si un docente aplica una prueba y en los resultados las calificaciones altas es casi igual a las calificaciones bajas, la distribución está balanceada uniformemente alrededor del centro de la distribución.

Distribución Simétrica A L U M N O S

X – Md – Mo Calificaciones

120

Distribución Asimétrica Positiva A L U M N O S

+

Mo

Md

X

Calificaciones

Distribución Asimétrica Negativa A L U M N O S

X

Md

Mo

Calificaciones

121

Medidas de Posición:

Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.

Percentiles:

Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.

Cuartíles: Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P 25, P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .

Deciles: Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.

De lo anterior podemos deducir:

P25

P50

P75

Q1

D5= Q2 = Md

Q3

122

Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:

Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.

1.- Cuando n es par: Dx = x . n 10

Qx = x . n 4

Px = x . n 100

Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.

Calcular: D4, Q3 y P25 Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20 D4 = 4 . 8 10

= 3,2 ;

Q3 = 3 . 8 = 6 4

; P25 = 25 . 8 = 2 100

2.- Cuando n es impar: Dx= x . (n + 1) 10

;

Qx= x . (n + 1) 4

;

Px= x . (n + 1) 100

Ejemplo: Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19, 22, 19 y 23 años.

Calcular: D7, Q3 y P50 Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23 D7 = 7 . 8 = 5,6 10

;

Q3 = 3 . 8 = 6 4

;

P50= 50 . 8 = 4 100

123

Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:

Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.

P = Lri +

P - fa (anterior)

. C

f P = Valor que representa la posición de la medida.

Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada. fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.

C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.

Ejemplo: En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60 Calificaciones

N° de Alumnos

X

f

fa

5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

20 - 19

5

30

∑

n = 30

Calculamos Q1: Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5 4 4 Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10 De donde: Lri = 7,5

; P = 7,5

; fa(anterior)= 4

Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 6

; f=6 ; C=3

. 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos

124

Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores que 9,24 puntos.

Calculamos el D5 Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15 10 10 El D5 está en el intervalo 11 – 13 De donde: Lri = 10,5

; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3

D5 = 10,5 +

. 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375

15 – 10 8

Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5 100 100

El P75 está en el intervalo 14 – 16 De donde: Lri = 13,5

; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3

P75 = 13,5 + 22,5 – 18 7

. 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426

Medidas de Dispersión:

Las medidas de tendencia central no son suficientes para caracterizar una distribución. Dos distribuciones pueden tener la misma media y ser muy diferentes.

Para poder caracterizar una distribución se necesita otra medida que indique la dispersión o variabilidad de los datos.

Ejemplo: Dos alumnos A y B han obtenido las siguientes calificaciones en un lapso en la asignatura Matemática: Alumno A: 12, 18, 16, 4 , 2 , 20, 6, 18. Su media es 12 puntos.

Alumno B: 12, 12, 14, 12, 12, 10, 12, 12. Su media es 12 puntos.

125

La media de los dos alumnos es igual. Sin embargo las calificaciones que han obtenido son muy distintas, las del alumno B se concentran alrededor de la media y las del alumno A se separan mucho de la media.

En conclusión, las medidas de dispersión se emplean para determinar el grado de homogeneidad o heterogeneidad de un conjunto de datos con respecto a una medida de tendencia central.

Medidas de Variabilidad o Dispersión: El Rango o Amplitud Total: Se define como la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una distribución. Su ecuación es: R = VM – Vm. Es la medida de variabilidad más fácil de calcular y la menos estable, ya que los cambios en unos cuantos valores de la serie de datos pueden afectar considerablemente su valor.

La utilidad del rango se presenta cuando: 1.- Se quiere una comparación rápida entre dos distribuciones.

2.- Los datos son muy escasos o demasiado dispersos.

Ejemplo: En dos grupos A y B con las siguientes calificaciones: Grupo A: 14, 12, 18, 11, 15 Grupo B: 14, 15, 13, 13, 15 La media de ambos grupos es 14 puntos.

El rango del grupo A es RA = 18 – 11 = 7 puntos.

El rango del grupo B es RB = 15 – 13 = 2 puntos.

Como el rango del primer grupo es mayor que el rango del segundo grupo, se puede decir que el primer grupo de calificaciones es más viable, es decir, más heterogéneo.

126

Desviación Semi-intercuartilar: Se simboliza con Q y se define como la mitad de la distancia entre el Q 1 y el Q3, o sea entre el P25 y el P75. Se calcula con la ecuación: Q = Q3 – Q1 2 Entre el Q3 y Q1 existe siempre el 50% de las observaciones.

Si los datos se concentran en el centro de la distribución los Q1 y Q3 estarán cerca y el valor de Q será pequeño; cuando los datos están dispersos, Q será grande.

25%

Q1

25%

25%

Q2

25%

50%

Q3

25%

75%

Si Q3 – Q2 = Q2 – Q1 la distribución es simétrica.

Si

Q3 – Q2

>

Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.

Si Q3 – Q2 < Q2 – Q1 la distribución es asimétrica negativa.

La utilidad de la desviación semi-intercuartilar se presenta cuando: 1.- La medida de tendencia central es la mediana.

2.- Los datos de distribución están muy dispersos.

Ejemplo: En la siguiente distribución:

Calificaciones x

N° de Alumnos

fa

f

5 -

7

4

4

8 -

10

6

10

11 -

13

8

18

14 - 16

7

25

21 - 19

5

30

∑

n = 30

127

Calcule la desviación semi – intercuartil y el tipo de asimetría Calculamos Q1 y Q3, ya conocemos estos valores anteriormente.

Q = 22,5 – 9,24 = 6,63 2 Q3 – Q2 = 22,5 – 12,375 = 10,125 Q2 – Q1 = 12,375 – 9,24 = 3,135 Como Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.

La Desviación Típica o Estándar:

Es la medida de dispersión más usada y la mas estable, ya que depende de todos los datos de la distribución.

Mide la desviación promedio de cada dato respecto a la media aritmética.

Permite la comparación de dos o más distribuciones, cuando están dadas las mismas unidades de medidas, para determinar cual de ellas presenta mayor o menor grado de variabilidad absoluta.

La desviación típica representa la dispersión de los datos, de una curva de frecuencias asimétrica centrada sobre la media, llamada Curva Normal.

Desviación Típica para Datos no Agrupados:

S=

∑ x2 - x 2 n

128

Ejemplo:

Calcular la desviación típica para el siguiente grupo de calificaciones: 10, 12, 14, 11, 13 X2

Calificaciones X 10 12 14 11 13

100 144 196 121 169

60

730

Primero calculamos la media: X = 60 = 12 5

S=

∑ x2 - x 2

S=

n

S = √2

730 - 122

S=

146 – 144

5

= 1,41

Este resultado significa que en promedio cada calificación se desvía de la media en 1,41 puntos .

Desviación Típica para Datos Agrupados en una Distribución de Frecuencias Simple:

S=

∑ f . X 2 - X2 n

129

Ejemplo: Calcular la desviación típica para la siguiente distribución de calificaciones:

Calificaciones X

Alumnos f

X2

f . X2

12 14 16 18

2 3 4 1

144 196 256 324

288 588 102 324

∑

n =10

2224

Primero calculamos la media de la distribución: X = 148 = 14,8 10 S=

2224 - (14,8)2 10

S=

222,4 – 219,04

S=

3,36

= 1,83

Este resultado significa que , en promedio cada calificación se desvía de la media en 1,83 puntos.

Desviación Típica para Datos Agrupados en Intervalos:

S=

∑ f . Mc2 - X2 n

130

Ejemplo: Calcular la desviación típica de la distribución de calificaciones:

Calificaciones X

N° de Alumnos f Mc Mc2

f . Mc2

5 -

7

4

6

36

144

8 -

10

6

9

81

486

11 -

13

8

12

144

1152

14 - 16

7

15

225

1575

22 - 19

5

18

324

1620

∑

n = 30

4977

Primero calculamos la media: X = 369 = 12,3 30

S=

4977 – (12,3)2 30

S=

165,9 – 151,29 =

14,61 = 3,822

Este resultado significa que, en promedio cada calificación se desvía de la media en 3,822 puntos.

La Varianza: La varianza se define como el cuadrado de la desviación típica. Se simboliza con S 2.

Ejemplo I: Media de una distribución: X = 148 = 14,8 10 S=

2224 - (14,8)2 10

S=

222,4 – 219,04

S=

3,36

= 1,83

La varianza será S = ( 1,83)2 = S 2 =3,35 puntos.

131

Ejemplo : Una universidad A paga en promedio Bs. 6.300 por hora de clase dictada con una desviación típica de Bs. 260 y la universidad B paga en promedio Bs. 7.200 con una desviación típica de Bs. 280.¿ En cual de las universidades el pago de las horas de clase presenta mayor variabilidad absoluta?

SA2= 260 2 = 67.600

y

SB 2= 280 2 = 78.400

La varianza de B es mayor que la de A, por lo tanto en la universidad B hay una mayor variabilidad en el pago de las horas clase.

Coeficiente de Variación: Se expresa en porcentaje y es el cociente entre la desviación típica y la media aritmética de los datos.

Ecuación:

C . V = S . 100 X Se emplea cuando se desea comparar dos o más distribuciones, con el fin de

determinar cual de ellas tiene menor o mayor variabilidad relativa.

Ejemplo: La estatura media de los varones en Inglaterra es 75 pulgadas con desviación típica de 2 pulgadas y la media de la estatura en Venezuela es 160 cm y su desviación típica 10 cm. ¿ Cual país presenta menor variabilidad en las estaturas ?.

Como las medidas son distintas, unas en pulgadas y las otras en centímetros, no se pueden comparar las varianzas, ni las desviaciones típicas. Por tanto, se aplicará el coeficiente de variación.

C.V = 2 . 100 = 2,6 % Inglaterra 75 C.V = 10 . 100 = 6,2 % Venezuela 160

132

GUIA DE EJERCICIOS

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades, mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.

Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine: Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y Varianza.

Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.

Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165 140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140

El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda, desviación típica y varianza.

Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16, 13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y varianza.

133

Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución: X

f

36 37 38 39 40 41 42 43 44

2 1 3 4 5 4 2 3 1

Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados en una evaluación de matemática: XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.

XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.

Calcule la media aritmética de los grupos combinados

Calcule la media de las medias en: ___

___

___

X1 = 60

X2 = 40

X3 = 50

__ X4 = 12

__ X5 = 30

__ X6 = 60

Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio del carro.

134

___

Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es ¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?

Dada la distribución de frecuencias: Peso (Kg.)

Alumnos f

50-52 53-55 56-58 59-61 62-64

6 11 7 9 7

∑

n=40

Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2

Dada la distribución: Bs

f

201-230 231-260 261-290 291-320 321-350 351-380

8 10 16 14 10 7

∑

n=65

Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

135

Dada la distribución: Puntajes

Alumnos f

7-11 12-16 17-21 22-26 27-31

2 7 12 7 2

∑

n=30

Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2

La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distribución: Antigüedad (años)

Docentes f

1- 5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 10

12 22 35 46 46 29

∑

n=200

Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1, P60, Q, S, S 2

136

Los pesos y estaturas de los alumnos de una clase presentan las siguientes medidas: ___

X = 68 Kg. con S = 8 kg ___

X = 1,7 m con S = 0,61 m ¿ En cual de los dos variables es más homogénea la clase?

En una prueba final de matemática, la puntuación de un grupo de 150 Estudiantes fue de 78 con desviación típica de 8. En física la media del grupo fue 73 con desviación de 7,6.¿ En que asignatura hubo mayor dispersión absoluta?. ¿ En que asignatura hubo mayor dispersión relativa?

137

Probabilidad Estadística: La Probabilidad, también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian

138

acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.

Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los

139

sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

140

1.-

Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20

azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:

a.- Naranja: p(N) = 15 75

p(N)= 0,20

b.- No sea roja o azul: p ( R )

ó

p R =

p(N)= 20%

p(A)

10 75

p(A)= 20 75

p

R

ó p(A) = 10 + 20 75

c.- No Azul:

p(A) = 20

= 0,26 = 26.6%

=

30 75

= 40%

75 d.- Blanca :

p(B) = 30 75

e.- Roja, blanca o azul :

=

p(B) = 40%

p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60 75

141

Distribución Binomial:

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10 preguntas de un examen verdadero o falso?

x ≥ 6

p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(contestar) = 6 ---------60% P( no contestar) = 4 ---- 40%

p= 0,60 q= 0,40

n = 10

n–x =4

= 10! 9! 8! 7! 6! 5!

=

P(x=6) = (10/6) . (0,60)6 . (0,40)4 C10,6

=

10!

C 10,6

6! 4!

C10,6

6! 5! 4! 3! 2! 1!

= 210

p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256) p(x=6) = 0,2508226

p(x=7) = C10,7

. (0,70)7 . (0,30)3

p = 7----0,70 q= 3-----0,30

C10,7

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4!

7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

= 120

P(x=7) = 120. (0,70)7 .(0,30)3

142

P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027) P(x=7)= 0,2668279

P(x= 8) = C10,8 p=8----0,80 q=2----0,20

C10,8

. (0,80)8 . (0,20)2

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3!

8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

= 45

P(x=8) = 45 . (0,167772)8 . (0,04)2 P(x=8) =0,3019896

P(x=9)= C10,9

.(0,90)9 . (0,10)1

p=9---0,90 q=1---0,10

C10,9

= 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2!

= 10

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10) P(x=9) = 0,387420

143

. (1)10 . (1)0

P(x=10)= C10,10 C10,10

= V10,10 = 1

p(x=10) = 1 . 1 .1

p10 p(x=10) = 1

p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+ 0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207

3.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un lanzamiento de 6 monedas. a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2) p(x=2)= C12,2

. (0,16)2 . (0,84)10

p=2--- 0,16 q=10---0,84

C 12,2

= 12! 11!

= 66

2! 1!

P(x=2)= 66 . (0,0256). (071490) P(x=2)= 0,29551

144

P(x=3) = C12,3

. (0,25)3 . (0,75)9

C 12,3

= 12! 11! 10!

= 220

3! 2! 1! p(x=3) = 0,25808

P(x=4)= C12,4 p=4---0,33 q=8---0,67

. (0,33)4 . (0,67)8

C12,4

= 12! 11! 10! 9!

4! 3! 2! 1!

= 495

P(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060) P(x=4) = 0,23833

P(x=5)= C12,5

. (0,42)5 . (0,58)7

p=5---0,42 q=7---0,58

p(x=5)= 792 . (0,01306) . (0,02207) p(x=5)= 0,22828

p(x=6)= C12,6

. (0,50)5 . (0,50)7

p=6---0,50 q=6---0,50

145

p(x=6)= 924 . (0,015625) . (0.015625) p(x=6)= 0,22558

. (0,58)7 .(0,42)5

p(x=7)= C 12,7

p(x=7)= 792 . (0,02207) . (0,01306)

p=7---0,58 q=5---0,42

p(x=7)= 0,22828 p(x=8)= C12,8

. (0,66)8 . (0,34)4

p(x=8)= 495 . (0,03600) . (0,01336) p(x=8)= 0,23813

P(x=9)= C 12,9

. (0,75)9 . (0,25)3

p(x=9)= 220 . (0,07508) . (0,015625) p(x=9)= 0,25808 P(x=10)= C12,10 . ( 0,83)10 . (0,17)2 p(x=10)= 66 . (0,15516) . (0,0289) p(x=10)= 0,29595 p(x=11)= C12,11

. (0,92)11 . (0,08)1

p(x=11)= 12 . (0,39963) . (0,08) p(x=11)= 0,38364

146

. ( 1)12 . (0)0

P(x=12)= C12,0 p(x=12)= 1 . 1 .0 p(x=12)= 0

p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+ p(x=10)+p(x=11)+p(x=12) p(x ≥ 12) = 2,649

b.- Menos de 4 caras: p(x=4)= C12,4

p(x < 4)

. (0,33)4 . (0,67)8

p(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060) p(x=4)= 0,23833

p(x=3)= C 12,3

. (0,25)3 . ( 0,75)9

p(x=3)= 220 . (0,015625) . (0,07508) p(x=3)= 0,25808

147

p(x=2)= C12,2

. (0,16)2 . (0,84)10

p(x=2)= 66 . (0,0256) . (0,17490) p(x=2)= 0,29551

p(x=1)= C12,1

. (0,08)1 . (0,92)11

p(x=1)= 12 . (0.08) . (0,39963) p(x=1) = 0,38365

p(x=4)+p(x=3)+p(x=2)+p(x=1) = 0,23833+0,25808+0,29551+0,38365 = 1,17

148

4.- El 30% de piezas producidas por una máquina presentan defectos.

Halle la probabilidad de que 5 piezas elegidas al azar:

a.- 1

p(x=1)= C5,1

. (0,30)1 . (0,70)4

n =5 p(defectuosos)= 30%---p

C

= 5!

5,1!

= 5

p(no defectuosos)=70%--q

P(x =1)= 5 . (0,30) . (0,2401) P(x =1)= 0,3601

b.- Ninguna:

p(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5

p =0 q=5 n =5

p(x =0)= 1.0.1

p(defectuosas)=0---0%

p(x =0)= 0

p(no defectuosas)=5---1%

c.- A lo sumo 2 piezas defectuosas: p(x=2)+p(x=1)+p(x=0) . (0,40)2 . (0,60)3

p(x=2)= C 5,2 C = 5! 4!

5,2 2! 1!

= 10

149

P(x=2)= 10 . (0,16) .(0,216) P(x=2)= 0,3456

P(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5 P(x=0)= 0

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BIBLIOGRAFIA NAVARRO, E………………………………….900 Problemas Resueltos para 5to Año Distribuidora Zacarías. Caracas.

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MICROSSOF ENCARTA 99

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