Cuaderno de Definiciones y Formulas Básicas de Matemática by Prof. Luis Eduardo Camacho

. Profesor de Matem谩tica; Especialista en Planificaci贸n y Evaluaci贸n

Prologo

El cuaderno de Definiciones Básicas de Matemática que utilizarán los alumnos de cualquier nivel de básica, diversificada o educación de adultos, refleja en forma sencilla y objetiva los conceptos básicos y fórmulas básicas de los programas de Matemática. Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante lo objetivo de sus conceptos facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Diciembre del 2001

Agradecimientos

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar conceptos:

Prof. Miguel Carmona Prof. Antonio Marín

Especialmente a: A mi esposa: por su apoyo. A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo. A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión. A los representantes: Por su aceptación y ser críticos justos de mi trabajo. A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen”; U.E.” San Pedro” U.E.N.”Teresa de la Parra”

Contenido .- Números naturales.......................6 .- Números enteros..........................7 .- Números racionales..........7,8,9 .- Circunferencia, elementos de la circunferencia, triángulos, cuadriláteros, nombre de los polígonos áreas, medidas de capacidad, volumen y longitud.....9,10,11,12,13 .- Programación.....14,15,16,17,18,19,20 .- Polígonos......21 .- Poliedros.........22,23,24,25,26 .- Estadística y probabilidad.....26 .- Producto cartesiano de dos conjuntos, gráfico de una relación, dominio y rango de una relación, relación de orden, relación de equivalencia....27,28,29 .- Clasificación de las funciones, función afín............30,31 .- Vectores................32 .- Polinomios...............33,34,35,36 .- Productos Notables..............37,38 .- Factorización.............39,40,41 .- Números Irracionales...........41 .- Números Reales.......41,42,43,44,45 .- Radicales..............46,47 .- Ecuaciones irracionales..............41 .- Números Reales, irracionales, expresiones decimales y generatriz, suma y producto de N° reales..............41,42,43,44,45 .- Radicales..............46,47 .- Intervalos..........47 .- Inecuaciones......48 .- Plano Real.............49 .- Variable...............50 .- Distancia entre dos puntos...........50,51 .- Sistema de Ecuaciones................51,52,53,54 .- Función cuadrática y Ecuación de Segundo Grado.............54 .-Ecuación Irracional.................55 .- Norma del vector, sistema de coordenadas..............56 .- Teorema de Pitágoras y Euclides.......57 .- Rotaciones, sistema sexagesimal.......58 .- Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico.......59,60. .- Reducción a los cuadrantes.................60 .- Funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos..........61,62 .- Razones trigonométricas..................62,63 .- Identidades trigonométricas.............63,64 .- Producto escalar de vectores, norma de un vector............64 .- Combinación lineal..........64

.- Suma y diferencia de ángulos.........65 .- Ángulos dobles y medios.......66,67 .- Ley del seno y coseno........68,69 .- Funciones directas e inversas...........69 .- Sistema cartesiano...............69,70 .- Funciones reales.................70,71 .- Dominio en funciones continuas y discontinuas.................71,72,73 .- Propiedades de la función exponencial..................73,74 .- Función logaritmo, logaritmo decimal y Neperiano..74,75,76,77 .- Antilogaritmo. Cologaritmo. Característica y mantisa.............77,78,79 .- Ecuación exponencial aplicando logaritmos..............79,80 .- Números Complejos..............80 .- Sucesión en R, progresión aritmética y geométrica.............81,82 .- Regla de Ruffini...........83,84 .- Inecuaciones en R.......84,85,86 .- Variación ordinaria, permutaciones ordinarias...........86 .- Combinación ordinaria. Números combinatorios, Triángulo de Tártaglia, Binomio de Newton........................87,88,89,90 .- Espacio vectorial R3.......90,91,92 .- Ecuación de la recta y del plano en el espacio.............93 .- Matrices..............93,94,95,96,97 .- Lugar geométrico. Cónicas........97,98,99,100,101 .- Historia de la Matemática...............102,103,104,105,106 .- Bibliografía..................107

Números Naturales: Llamamos número natural a cada uno de los números que empleamos para contar. Al conjunto de los números naturales le asignamos la letra N, entonces:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Adición en N: La adición en N cumple con las siguientes propiedades: # Conmutativa: a + b = b + a # Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) # Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a # Elementos Regulares: x + a = x + b ↔ a + b Multiplicación en N: La multiplicación en N cumple con las siguientes propiedades: # Conmutativa: a . b = b . a # Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) # Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a # Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0 # Elementos regulares: a . x = b . x ↔ a = b # Distributiva: a . (b + c) = (b + c) . a = ab + ac

Ecuaciones en N: las ecuaciones de la forma x + b = a ( con a ε N y b ε N) sólo tienen solución en N cuando es a ≥ b ; teniéndose que: x + b = a ↔ x = a – b

Guía para resolver problemas con números naturales: x = número

x + 1 = un número más uno.

2x = dos veces un número

x + 2 = un número más dos.

3x = tres veces un número

x + (x+1)= suma de dos N° consecutivos.

x/2 = mitad de un número.

2x + 1 = un número impar.

x + (x+1) = dos N° consecutivos.

2x+(2x+2)= dos N° pares consecutivos.

Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el cero. + _ Z = +1,+2,+3,+4,+5,.... Z = -1,-2,-3,-4,-5,.....

* Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5....

Z= 0

Potenciación: Es una multiplicación reiterada.

par

Regla para potenciar:

(+)

=+ impar

(+)

par

(-)

impar

(-)

Puedes aprenderte estas propiedades, para que se te facilite el objetivo.

Propiedades: 1) a = 1 1

2) a = a m

m+n

3) a . a = a m

4) a : a

m-n

= a

m n

m.n

5) (a ) = a

Números Racionales: Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada. Un número racional está compuesto por un numerador y un denominador.

Debes recordar que para hallar el mínimo común múltiplo, se toman los N° comunes y no comunes con su mayor exponente.

a numerador b denominador

m .c .m

Propiedades de la Suma de N° Racionales:

Conmutativa: a + c = c + a b d d b

Asociativa: a + b

c + e d f

a + c b d

+ e f

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a b

Elemento Simétrico: a

-a +

Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales: Conmutativa: a . c

c . a =

b d

Asociativa:

a . c . e = a . c . e b

Elemento Neutro:

. 1 = 1.

Factor Cero :

a b

a . 0

0 .

Distributividad

c + e ‫־‬ d f

a . c + a . e = ‫־‬ b d b f

A= unidad B= décima C= centésima D= milésima E= décima de mil Etc.......

1 0,1 0,01 0,001 0,0001

Fracción Generatriz: A,BCDE.....

Geometría : Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del centro.

Elementos de la Circunferencia: a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. b) Arco: es la porciรณn de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos. c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. d) Diรกmetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio

Cuerda

Arco

Diรกmetro

Fรณrmula de la Circunferencia: C=2.ฯ .r

Triángulos: Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados, vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.

Clasificación de los triángulos: Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo a

Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Paralelogramo a

Rectángulo b

Rombo

v d

Trapecio Isósceles

Trapecio rectángulo

Trapecio escaleno i

Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal cerrada y sus puntos interiores. Polígono regular

Polígono irregular b

b a

c c

Nombre de los Polígonos: 3 lados : triángulo 4 lados: cuadrilátero 5 Lados: pentágono 6 lados: exágono 7 lados: heptágono 8 lados: octógono 9 lados: eneágono 10 lados: decágono

Cálculo de Areas: a.- A (triángulo) = b . h 2

b.- A(rectángulo) = b . h

d.- A(paralelogramo) = b . h

e.- A(trapecio)= B + B . h 1

c.- A(cuadrado)= L²

2 f.- A(rombo) = D . D 1

Médidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es el litro.

Kl-hl-dal-l-dl-cl-ml

Kl= kilo-litro

hl= hecto-litro

dal= decalitro

Cl= centrilitro

l= litro

dl= decilitro

ml= mililitro

Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos. Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos. Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³

Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre dos cuerpos. Km-hm-dam-m-dm-cm-mm Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro cm= centímetro Nociones elementales de Informática:

mm= milímetro

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado. b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos: 1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso. 2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las transacciones.

d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras, capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una escritura. e) Formas de procesamiento de datos: .- Medios perforados. .- Soportes perforados: tarjetas perforadas. cintas perforadas.

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético. cintas magnéticas. disco magnético. .- Medios ópticos. .- Terminales de teclado-pantalla. .- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por: a) Monitor o pantalla. b) Teclado. c) C .P.U d) Impresora. e) Mouse. f) Fax. g) Escanner.

Características de los computadores: a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo: .- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos. .- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por medio de lenguajes de programación. b) Tienen gran velocidad de cálculo. c) Tienen gran capacidad de almacenamiento. d) Tienen gran precisión. e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos Tópicos. f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente. Aplicaciones de los computadores: Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática. Tareas administrativas del computador: a) Gestión de personal. b) Proceso de nóminas. c) Control de inventarios. d) Gestión de almacén. e) Facturación y contabilidad. f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio. g) Información de productores, partes y materiales. h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales: a) Control de procesos industriales. b) Robótica industrial. c) Diseño. d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico: a) Predicciones meteorológicas. b) Control ambiental. c) Control de comunicación satelital. d) Programas de simulación (vuelos). e) Otros.

Aplicaciones médicas: a) Control clínico del paciente. b) Mantenimiento de hospitales. c) Tomografía computarizada. d) Otros.

Concepto de algoritmo: El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso

salida - entrada

Operación Manual

decisión

Inicio-fin

introducción manual magnetic-tape

documento

punched card

Representación gráfica de algoritmos : 1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada con llave?

buscar la Llave

introducir la llave en la cerradura

darle vuelta a la llave

dar vuelta al pomo

salir

¿ Se abrió la puerta?

abrir completamente la puerta

fin

PolĂgonos inscritos: son los que tienen todos sus vĂŠrtices sobre la misma circunferencia. a

d c

PolĂgonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma circunferencia.

Identificar Poliedros:

Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.

Cubo

Paralelopípedo

Prisma

Tetraedro

Bipirámide

Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan. Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras. Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o los puntos de intersección de sus aristas. Calcular el volumen de poliedros: 1) Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado 2.

Fórmula: V = (lado)3

2) Volumen del paralelopipedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale: A = largo x ancho.

a Fórmula: V = l . a . h h

l = largo a = ancho h = altura

3) Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C =  . r2

Fórmula: V =  . r2 . h r = radio h

h = altura

4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura. Fórmula: V = p . a . h 2

5) Volumen de la esfera:

fórmula. V = 4 .  . r3 3

5) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura y el resultado se divide por tres. Fórmula:

V=b . h 3

6) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su altura y el resultado se divide por tres. Fórmula: V =  . r2 . h 3

Probabilidad Estadística: Cuando un fenómeno se produce al azar y desconocemos las causas que lo producen y tampoco se puede predecir los resultados obtenidos, dichos fenómenos los llamamos aleatorios o se dice que suceden al azar. Esto se conoce con el nombre de probabilidad.

P= CF CP

casos favorables casos posibles

Estadística: Es la ciencia en la que se ordenan y clasifican experiencias sobre fenómenos que han ocurrido, para hacer un estudio sobre ellos y predecir el probable desarrollo de acontecimientos futuros.

Producto Cartesiano de dos Conjuntos: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina producto cartesiano de A y B al conjunto formado por los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto B. Se anota: A x B

Gráfico de una Relación: Si entre dos conjuntos A y B se ha definido una relación R, se denomina gráfico de dicha relación al conjunto formado por los pares ordenados que cumplen la relación R. Dominio de una Relación: Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que cumplen la relación R. Se anota Dom. ( R ).

Rango de una Relación: Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que cumplen la relación R. Se anota Rgo ( R ). A

Dom.(R)

Rgo.(R)



Gráfica Sagital

Gráfica Tabular

* 1

* 2

Relación de Orden: una relación R definida en un conjunto A, es una relación de orden, si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Relación de Equivalencia: una relación definida sobre un conjunto A, es una relación de equivalencia, si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Propiedad Reflexiva: una relación R, definida en un conjunto A, es reflexiva, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo.

A 1

2 3

Propiedad Simétrica: una relación R, definida en un conjunto A es simétrica, si todo elemento de A está relacionado consigo mismo y con los otros elementos.

A 2

Propiedad Transitiva: una relación R definida en un conjunto A, es transitiva si para cualquier terna de elementos a  A; b  A y c  A se cumple: Si a R b y b R c entonces a R c.

A 3

Propiedad Antisimétrica: una relación R definida en un conjunto A, es antisimétrica si para cualquier par de elementos de A; a  A y b  A, diferentes, se cumple la relación R; a R b pero b R a.

c 4

Clasificación de las Funciones: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina función o aplicación de A en B, a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento de B y nada más que uno. Se anota: f:A

B , y se lee “aplicación o función del conjunto A en el

conjunto B mediante f”. Función Sobreyectiva: Se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva, cuando el rango y el conjunto de valores(llegada) son iguales, ó también cuando todos los elementos de B tienen una o varias contraimágenes.

Función Inyectiva: Se dice que la función es inyectiva, cuando a elementos diferentes de A le corresponden elementos diferentes de B, o también cuando los elementos de B tienen una o ninguna contraimagen.

Función Biyectiva o Biunívoca: Se dice que la función es biyectiva, cuando es a la vez sobreyectiva e inyectiva, ó también cuando todos los elementos de B tienen nada mas que una contraimagen cada uno.

Función Afín: son las funciones de la forma f: x

R , donde x es un

subconjunto de R (x  R). Su representación es una línea recta. Vectores: Vector es un segmento orientado. En la matemática moderna vector es una generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario de tres dimensiones.

Componentes de un vector en el plano: Es el punto que tiene como abscisas la diferencia de las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el origen. ab = (b1 – a1 , b2 – a2)

Adición de Vectores: Dados dos vectores, se define como la adición de a con b y se anota a + b es el vector libre s de componentes igual a la suma de las componentes. s = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Propiedades de la Adición de Vectores: Conmutativa: a = (xa , ya ) y b = (xb , yb ) dónde: a + b = b + a Asociativa :

(a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a

Vector Opuesto: a + ( a ) = (x + (-x) , y + (-y)) = (0,0) = 0 o sea: a + (-a) = 0

Multiplicación de un N° Real por un Vector: Se define la multiplicación de un número real por un vector, como una ley de composición externa de tal manera que si K R y a  V2 entonces K . a  V2. Dado un vector a = (x , y) y un número real K, llamamos producto del número real (K) por un vector ( a ), a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del vector dado por el número real. K . a = ( K . x , K.y). El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K es positiva (K  0) y sentido contrario cuando K es negativo (K  0).

Polinomios: Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² + A3x³......An A0 = término independiente. x = variable. A0 , A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos. Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término independiente. Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de ellos. Binomio: polinomio que consta de dos términos. Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de la variable. Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el término independiente. Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad en unidad. Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor. Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Adición de Polinomios: Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+). Regla para sumar polinomios: 1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se completa con ceros. 2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Propiedades de la Adición de Polinomios:

a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una ley de composición interna. b.- La adición de polinomios es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.

e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).

f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) =

p(x) + q(x) + h(x)

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

Sustracción de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico,

es decir –q(x).

P(x) – q(x) = p(x + -q(x)

p(x) = minuendo

q(x) = sustraendo

Multiplicación de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por todos los de la otra. Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:

a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es ; una ley de composición interna.

b.- Es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.

e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.

f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.

h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)

3.- Distributiva: p(x) .

p(x) . q(x)

. h(x)

q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

División de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x)

D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

Productos Notables:

Se denomina productos notables, a determinados productos que cumplen reglas fijas, por lo tanto, su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la multiplicación.

Casos:

1.- Cuadrado de una Suma: el cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2.- Cuadrado de una Diferencia: el cuadrado de la diferencia de dos términos, es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a – b)2 = a2 - 2ab + b2

3.- Suma por Diferencia: la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término. (a + b) . (a – b) = a2 – b2

4.- Producto de la Forma: el resultado es siempre un trinomio cuyas características son: a.- El 1er término es el cuadrado del término común. b.- El 2do término es el término común multiplicado por la suma algebraica de los términos no comunes. c.- El 3er término es el producto de los términos no comunes. (x + a) . (x + b) = x2 + (a+b)x + a.b

5.- Cubo de la Suma de dos Términos: el cubo de la suma de dos términos, es igual al cubo del primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. (a+b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

6.- Cubo de la Diferencia de dos Términos: el cubo de la diferencia de dos términos, es igual al cubo del primero menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 - b3

Factorización de Polinomios:

Es el proceso que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores.

Casos de Factorización:

Para descubrir que factores intervienen en la formación de un polinomio, se procede por tanteos, por lo tanto, en forma general no es fácil transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores, porque no todos los polinomios son factorizables, sin embargo, cuando el polinomio presenta una determinada forma, se puede factorizar con ayuda de un conjunto de reglas:

a.- Factor común.

b.- Binomios en forma de diferencia de cuadrados.

c.- Trinomio cuadrado perfecto. d.- Trinomios de la forma x2 + ax + b.

e.- Por agrupación de términos semejantes.

a.- Factor Común:

Es el polinomio donde todos sus términos tienen el mismo factor. Este factor común, puede ser un número, una letra, o la composición de números y letras. Cuando un polinomio tiene factor común, se puede factorizar así: se escribe el factor común multiplicando a un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes que resultan de dividir cada término entre el factor común

b.- Factorización en forma de Diferencia de Cuadrados:

Cuando un binomio está formado por una diferencia de cuadrados; es decir, que cada término tiene raíz cuadrada, su factorización es igual al producto de dos paréntesis formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces.

c.- Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos:

Se denomina trinomio cuadrados perfectos al que se origina de elevar al cuadrado un binomio.

Regla para factorizar trinomios:

a.- Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que el primero y el tercer término tengan el mismo signo y tengan raíz. b.- Se obtienen las raíces del 1er y 3er término. c.- Se escriben estas raíces separadas por el signo del 2 do término dentro de un paréntesis elevado al cuadrado.

d.- Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raíces sea igual al segundo término.

d.- Factorización Trinomio de la Forma x2 + ax +b

Características: a.- El coeficiente del 1er término es 1. b.- El 1er término está formado por una letra o varias, elevadas a una potencia par. c.- El 2do término está formado por el producto de un número que multiplica la raíz del 1ro. d.- El 3er término es un número.

Conjunto de los N° Irracionales: Los números decimales que no podemos expresar exactamente por números racionales, son los que corresponden a los números decimales con infinitas cifras no periódicas y que se denominan números irracionales n√ a  Q , Q ∩ I = Ø

Números Irracionales: 3,8 . es una expresión decimal limitada, por lo tanto es un N° irracional, no es racional. 5,4343 : es una expresión decimal periódica, por lo tanto es un N° racional. Π = 3,141592654 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repite. √2 = 1,4142135562 : es irracional, pues no tiene parte decimal que se repita.

Conjunto de los N° Reales: Los números Reales es el conjunto formado por la unión de los N° racionales (Q) y los irracionales (I), y se anota con la letra R.

R=QUI y Q∩I ≠ 0 Podemos escribir: N  Z  Q  R es decir: los N° naturales son un subconjunto de los enteros, a su vez subconjunto de los racionales, a su vez subconjunto de los reales.

Aproximaciones racionales de N° reales: Cuando se trabaja con N° reales, no siempre se utilizan todas las cifras decimales. Por lo tanto, utilizamos algunas de ellas para dar una mejor aproximación por defecto o exceso.

Por defecto: aproximación un poco menor de un número. Ejemplos: a)  2 = (1,4)2 = 1,96 (1,41)2= 1,9881 (1,414)2= 1,999396 b)  3= (1,6)2 = 2,56 (1,61)2= 2,5921 (1,616)2= 2,611456

Por exceso: aproximación un poco mayor de un número. Ejemplo: a)  2 = (1,415)2 = 2,002225 (2,231)2= 4,977361 (2,232)2= 4,981824

Expresiones Decimales:

Decimal Mixta: en una expresión decimal periódica mixta, hay parte decimal que no se repite y parte decimal que se repite siempre. El período no comienza en las décimas. El no período lo forman las cifras comprendidas entre la coma y el período. Ejemplo: 2,56363

2 = parte entera 5 = anteperíodo 6363 = período

Decimal Pura: en una expresión decimal pura el período empieza en la primera cifra decimal. El período viene dado por el grupo de cifras que siempre se repite. Ejemplo: 3,4646

Parte entera: 3 Período: 4646

Expresión generatriz decimal pura o limitada: Si tenemos un N° decimal con número limitado de cifras decimales, su fracción generatriz será la que tenga: a) Como numerador, la parte entera seguida de las cifras decimales, prescindiendo de la coma. b) Como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.

Expresión generatríz mixta o ilimitada: Si tenemos un N° decimal con infinitas cifras, periódico mixto, su fracción generatriz será la que tenga: a) Como numerador, la parte entera seguida del no período y del período(prescindiendo de la coma) menos la parte entera seguida del no período (prescindiendo de la como) b) Como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el no período.

Suma de números reales: Para efectuar cualquier adición de números reales, basta sustituir cada sumando dado por su correspondiente número racional de acuerdo a la mejor aproximación decimal propuesta.

Representación gráfica de un N° irracional: Representar gráficamente el número  2 Como 12 + 12 = (  2)2, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, podemos construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1. Para ello, trazaremos una recta “L” y sobre ella tomamos como base un cateto cuyos extremos son 0 y 1, la altura es el otro cateto de longitud 1. Se traza la hipotenusa 0A igual a  2 . Luego, con abertura de compás igual a 0A y centro en 0 se traza el arco AA. El punto de intersección A’ del arco con la recta representa el irracional  2.

A 2 1 A’

-1

1 2

Producto de N° reales: Para multiplicar N° reales con una aproximación de “n” cifras decimales: a) Se escribe la mejor aproximación con “n” cifras decimales de cada factor. b) Se efectúa el producto. c) El resultado se da solamente con “n” cifras decimales.

Propiedades de la multiplicación de N° reales:

1) Conmutativa: a . b = b . a

2) Asociativa: a . b . c = a . (b . c) = (a . b) . c 3) Distributiva: a . { b  c} = a . b  a . c

Raíz enésima de un N° real: n

a= b

 = signo radical a = cantidad subradical n = índice de la raíz b = raíz n-sima de a

Si a y b son números reales y “n” un número natural, se dice que “b” es la raíz enésima de “a” si cumple que bn = a (a  0 y b  0 cuando “n” es par ). n

a = b

bn = a

Radicación en R: La radicación consiste en hallar números que elevados a 2 ‘o elevados a 3, den el número expuesto en la parte sub-radical. Si es elevado a 2 se llamará raíz cuadrada, y si es elevado a 3 se llamará raíz cúbica.

Simplificación de radicales: Para simplificar radicales, se divide su índice y el exponente de la parte subradical por el mismo número.

Multiplicación de radicales del mismo índice: Para multiplicar radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se multiplican las partes sub-radicales.

Multiplicación de radicales con diferente índice: Regla: a) Se halla el mínimo común índice de todos los índices. b) Se multiplica el índice y el exponente de cada uno de ellos por el cociente que resulta de dividir dicho mínimo por el índice respectivo.

División de Radicales con igual índice: Para dividir radicales del mismo índice, se escribe el índice común y se dividen las partes sub-radicales.

Potencia de radicales: Potencia de un radical: para elevar un radical a una potencia, se eleva la parte sub-radical a dicha potencia. m

Raíz de un radical: se halla la raíz de la misma parte sub-radical con índice igual al producto de los índices. m

m.n

Racionalización de expresiones radicales monomias: Se multiplica el numerador y el denominador por una raíz del mismo índice que la del denominador y una parte sub-radical, cuyas letras y números llevan exponentes que sumados con los que ya tiene el denominadr, nos de el índice o un múltiplo de él.

Racionalización de expresiones radicales binomias: En este caso, generalmente las raíces son cuadradas, por lo tanto se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador.

Representar intervalos: Sean a y b dos números reales cualesquiera tales que a < b . A cada uno de estos números le corresponde un punto de la recta real. a

Al conjunto de los números comprendidos en a y b se le llama intervalo, que en la recta real se interpreta como el segmento comprendido entre los puntos a y b. Intervalo cerrado: cuando los extremos se incluyen.

a,b ó a≤x≤b

Intervalo abierto: cuando los extremos se excluyen. a , b ó a < x < b

Inecuaciones: Una inecuación es todo valor que sustituido en lugar de la incógnita, la transforma en una desigualdad del mismo sentido. Generalmente la solución de una inecuación es una semirrecta.

Sistema de Coordenadas. Definiciones: a.- Un punto: es un ente matemático que no tiene dimensiones. b.- Una recta: es un ente matemático que solamente tiene longitud y está formado por infinitos puntos, por lo tanto, una recta es un conjunto de puntos. Cuando se dan dos puntos sobre la recta:

* a

* b

Se anota: ab recta “ab” c.- Plano: es un ente matemático que solamente tiene longitud y anchura, y está formado por infinitos puntos, por lo tanto, un plano es un conjunto de puntos, y una recta es un subconjunto del plano que las contiene. Sistema de Coordenadas Y II

X III

Los ejes de coordenadas se llaman OX y OY y dividen el plano en cuatro subconjuntos llamados cuadrantes.

Definir el plano real como una biyección entre el conjunto R y el sistema de coordenadas rectangulares. Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos puntos de dos rectas dadas. Ejemplo: 

L’

Trazamos por un punto (p) cualquiera, rectas paralelas dadas, cuyos puntos de corte son (a y b)

L’ b

Se observa que el par (a,b) representan rectas reales del mismo origen, entonces (a,b) ε R x R. Los números reales (a y b) se llaman coordenadas de punto (p).

Representar gráficamente la función afín.

Son las funciones de la forma f: x

R en donde x es un subconjunto de R(x 

R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos de un conjunto de números. A este conjunto se le llama dominio de la variable.

Haz de Rectas: por un punto de un plano se pueden trazar infinitas rectas. Al conjunto formado por estas infinitas rectas que pasan por el mismo punto se le llama haz de rectas. a

Calcular la distancia entre dos puntos. Cuando al medir dos segmentos obtenemos el mismo número, los segmentos son congruentes. Cuando al medir dos segmentos obtenemos números diferentes, los segmentos son diferentes. Para hallar la distancia “d” del punto P1 a P2 utilizamos el Teorema de Pitágoras; ya que la d(P1,P2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son : (x2 – x1 ) y (y2 – y1 ) .

y y2

P2=(x2,y2)

y1 P 1(x1,y1)

x2 – x 1

x x1

Formula: d(P1,P2) =

(x2 – x1)² + (y2 – y1)²

Establecer el concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales y solución del sistema.

Se llama solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, al conjunto formado por los pares de valores de las incógnitas que sustituidas en la ecuación la transforman en una identidad.

a.- Sistema Incompatible: se dice que el sistema es incompatible cuando entre todas las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, no hay solución común. La representación gráfica de este sistema son dos rectas paralelas.

L’

b.- Sistema Indeterminado: se dice que el sistema es indeterminado ya que todas las soluciones de la primera ecuación sean exactamente iguales a todas las soluciones de la segunda, o sea las ecuaciones son equivalentes. La representación gráfica de este sistema es una línea recta. y

c.- Sistema Determinado: se dice que el sistema es determinado, ya que entre todas las soluciones de la primera ecuación y todas las soluciones de la segunda, solamente haya una solución común. La representación gráfica de este sistema son dos rectas que se cortan.

L’

Resolver analíticamente Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

a.- Método de Reducción:

Este método es algebraico y consiste en hacer las

transformaciones necesarias para que el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se transforman en una ecuación con una incógnita para lo cual nos apoyamos en las siguientes propiedades: a.1.- Si una ecuación la multiplicamos o dividimos por un número resulta una ecuación equivalente(tiene las mismas soluciones). a.2.- Si sumamos o restamos miembro a miembro dos ecuaciones resulta una ecuación equivalente a estas.

b.- Método de Sustitución: También es algebraico y consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuación.

c.- Método de Igualación: también es algebraico y consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones para después igualar sus valores.

Función Cuadrática: se llama función cuadrática a toda función real de variable real, definida de la siguiente manera: f(x) = Ax2 + Bx + C, donde A,B,C son números reales y A ≠ 0. Es decir: F:R

f(x) = Ax2 + Bx + C

Ecuación de Segundo Grado: Una ecuación de segundo grado y variable x es una igualdad de la forma: 2

Ax + Bx + C = 0 ; A ≠ 0 Resolución de la ecuación de segundo grado: Hallar los ceros o raíces de una función cuadrática equivale a resolver la ecuación de segundo grado. Los valores de “x” que anulan a la función cuadrática, se llaman ceros de la función o raíces de la ecuación. En las gráficas cuando la función es cero, la curva corta al eje de las “x”, por lo tanto una ecuación de segundo grado puede tener dos raíces, una o ninguna. Resolver una ecuación de segundo grado es hallar él o los valores de”x “ que lo transforman en una identidad.

Fórmula:

x =-b ±

b2 – 4 . a . c 2.a

La formula se llama resolvente de una ecuación de 2do grado, la cual permite hallar directamente las raíces de la ecuación, sin más que sustituir en dicha resolvente los valores de A, B y C..

Ecuación Irracional: Son aquellas en que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se aísla su raíz, pasando al otro miembro la “x”, y finalmente se eleva al cuadrado los dos miembros de la ecuación, para destruir la raíz.

Concepto de Base: Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores no colineales constituyen una base del conjunto de los vectores de dicho plano. El par ordenado (1,0) y (0,1) generalmente se llama base canónica de V 2, y se denominan: i = (1,0) y

j = (0,1).

Ejemplo: sea a = (x,y) x . i = x (1,0) = (x , 0) y . j = y (0,1) = (0 , y) sumando expresiones: x . i + y . j = (x , 0) + (0 , y) = (x , y) entonces: a = xi + yj Concepto de Dimensión: Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo cual se dice que el plano tiene dimensión dos.

Vector combinación lineal de otros vectores: En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b , si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b Vectores colinelaes: Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales, es decir, uno es combinación lineal del otro.

Vector Ortogonal: son aquellos cuyas rectas soportes son perpendiculares.

Independencia lineal de vectores: cualquier vector puede expresarse como una combinaci贸n lineal de dos vectores no colineales.

Dependencia lineal de vectores: son donde existe una relaci贸n directa entre dos vectores dados inicialmente.

Longitud o norma de un vector: M贸dulo: / a / =

x2 + y2

Establecer el Sistema de Coordenadas Rectangulares: Cuando las rectas secantes del plano son perpendiculares, el sistema cartesiano se llama rectangular u ortogonal. y

Los ejes de coordenadas se llaman 0X y 0Y y dividen al plano en cuatro subconjuntos llamados cuadrantes. La recta 0X se llama ejes de las abscisas.

La recta 0Y se llama ejes de las ordenadas.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Los puntos A, B, y C del plano determinan un triángulo rectángulo y sus lados están formados por los vectores AB= a y AC = b . La diferencia de estos vectores es el vector CB = a – b .

El producto escalar es CB . CB = ( a – b ) . ( a – b )

Primer Teorema de Euclides: En un triángulo rectángulo, la longitud de un cateto al cuadrado, es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella. / AB /2 = / AC / . / AD / .

Segundo Teorema de Euclides: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la altura correspondiente a la hipotenusa, es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. / BD /2 = / AD / . / DC /.

Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo punto se le hace corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a un punto fijo 0 (cero) llamado centro de rotación, son iguales y las semirrectas 0A y 0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y sentido llamado ángulos de rotación. A’

Propiedades de las rotaciones:

a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación. b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta. c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.

Establecer los sistemas de medidas para ángulos: Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo en caso contrario. Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual al radio. a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el radio. b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número que su ángulo central correspondiente medido en radianes.

De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de arco a ángulos.

Sistema Sexagesimal: La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado. Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto. Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo. Ejemplo:

25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)

Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico:

Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una circunferencia (círculo trigonométrico o circunferencia unitaria)

y p(x,y) 1 y

(1,0)

Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la circunferencia, conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar exactamente la posición de p para cualquier valor de α = arc. Ap. Si α es mayor de 2π, el punto p dará mas de una vuelta.

Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo central en radianes, podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un punto en la circunferencia. De aquí se definen 3 funciones: Sen α____________ y

y = ordenada de p

Cos α____________x

x = abscisa de p

Tg α_____________y/x

x ≠0

Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente: Sean:

Sen : R

Cos : R

Tg : R

El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el intervalo {-1,1}, porque en el triángulo rectángulo y x e y son

x los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El rango de la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.

Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los cuadrantes: Primer cuadrante: 0° < α < 90°

ó 0 < α < π/2

Sen = + ; Cos = + ; Tg = + Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó

π/2 < α < π

Sen = + ; Cos = - ; Tg = Tercer Cuadrante:

180° < α < 270°

π < α < 3 π/2

Sen = - ; Cos = - ; Tg = + Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π Sen = - ; Cos = + ; Tg = -

Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos: Y P

α 0

Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M

y MP son los catetos y 0P es la

hipotenusa. Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se puede definir las funciones trigonométricas siguientes:

Sen α = ordenada

radio

Cos α = abscisa radio

Tg α = ordenada abscisa

Ctg α = abscisa ordenada

= cateto opuesto al ángulo α

hipotenusa

= cateto adyacente al ángulo α

hipotenusa

= PM

= cateto opuesto al ángulo α

cateto adyacente al ángulo α

= 0M

= cateto adyacente al ángulo α

cateto opuesto al ángulo α

Sec α = radio

= 0P

abscisa

Csc α = radio

= 0P

ordenada

hipotenusa cateto adyacente al ángulo α

hipotenusa cateto opuesto al ángulo α

Resolver problemas aplicando las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos: Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus tres ángulos, área, etc. En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos. Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del ángulo conocido.

Razones Trigonométricas:

Sen β = y

Cos β = x

Tg β = y

Sec β = z

Cotg β = x

Csc β = z

β y z

Identidades Trigonométricas: Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para todos los valores de los ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.

Procedimiento: a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar dichas funciones en función de ángulos sencillos. b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas respectivas. c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso cambiar todas las funciones a senos y cosenos.

Primer Método: Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones correspondientes hasta que el miembro en que se opera sea igual al otro.

Segundo Método: Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma independiente hasta que los miembros sean iguales. Identidad fundamental: Sen x + Cos x = 1

Transformaciones de miembros: 1) 1 – Senx = Cos2x

2) Cos2x + Sen2x = 1

3) (Cos2x – Sen2x) = 2Cosx

4) Tgx = Senx Cosx

5) Secx = 1

6) Cscx = 1

Cosx

7) Cotgx = Cosx Senx

Senx

8) Cosx = Senx Cotgx

Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es decir: 0 = (0,0). Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas componentes son (-ax,ay). El vector opuesto de a se denota por -a. Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por lo cual se dice que el plano tiene dimensión dos.

Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores: En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b, si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.

Vectores colineales: Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son proporcionales , es decir, uno es combinación lineal del otro.

Suma y diferencia de Angulos: Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°. Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a Π = 180°.

Fórmulas: Sen(A+B) = SenA . CosB + CosA . SenB Sen(A+B) = SenA . CosB – CosB . SenB Cos(A+B) = CosA . CosB – SenA . SenB Cos(A-B) = Cosa . CosB + SenA . SenB Tg(A+B) = TgA + TgB 1 – TgA . TgB Tg(A-B) = TgA + TgB 1 + TgA . TgB

Formulas auxiliares:

SenB =

1 – Cos2B

CosA =

1 – Sen2A

SenA =

TgA 1+ Tg 2A

CosA =

1 1 + Tg2A

TgA =

1 – Cos2A

CosA