Metodo de Euler

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS COMPUTACIONALES DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Y SIMULACIÓN DE SISTEMAS LIC. EN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

PROFESORA JACQUELINE DE CHING

PROYECTO N.3

MONOGRAFIA: METODO DE EULER

INTEGRANTES AGRAZAL, CELSO ARAUZ, ANGEL BERNAL, JOY BONILLA, NASHLA MARCIAGA, FERNANDO MIRANDA, ESTEPHANIE MITCHELL, NICOLE RODRIGUEZ, RODRIGO ROSALES, FERNANDO VIVAR, LUIS

GRUPO I-IL-122

6 DE DICIEMBRE DE 2011

Índice de Contenido

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3 LEONHARD EULER ............................................................................................... 4 EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................ 5 PROCEDIMIENTO .................................................................................................. 7 USO EL MÉTODO DE EULER ............................................................................... 9 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER................................. 11 EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER.............................................................. 13 EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ............................................................... 14 CONCLUSIÓN ...................................................................................................... 17 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 18

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Introducción En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.

Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador, ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros puntos importantes.

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Leonhard Euler Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante de Euler-Mascheroni.

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El Método de Euler Es

un

procedimiento

de integración

numérica para

resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera: Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.

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Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).

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Procedimiento A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler:  Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf” en “n” cantidad de subintervalos con ancho “h”; es decir:

 Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:  Ya con la condición inicial

, que representa el punto

y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como:  Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto; por lo tanto:

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 Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.  Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y correspondiente a x1.  Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:

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Uso el Método de Euler Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente:

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso O

bien,

yi+1=yi + φ h

(ecuación 1)

De esta manera, la formula (1), se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución.

La

figura

1,

muestra

el

procedimiento aplicado con la ecuación (1). .

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi. φ = (x, y)

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(xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en

x

i y

yi.

Sustituyendo esta

estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

yi+1 = yi + (xi , yi)h

(ecuación 2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.

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Ventajas y desventajas del Método de Euler Ventajas

Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que dividimos el tamaño del paso h, los errores también se disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño.

Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo que:

Noten que el último término hace referencia al valor que queremos aproximar en esta iteración (

), sin embargo

podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la solución, obteniendo finalmente:

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Desventajas El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente instantánea, es decir, la función f(x,y)

x.

Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del inter

x, para después calcular el promedio de ambas y que actualizaría y.

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El fallo en el Método de Euler El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo x, para después calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.

En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores 1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.

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Ejemplos del método de Euler

Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el Método de Euler para aproximar y3 con tamaño de paso h = 1.

El método de Euler es: Yn+1= yn + h (f(tn,yn)) así que primero tenemos que calcular f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos valores de y. f(y0) = 1

Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el cambio de y dividido por el cambio de t o El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso h. h * f(y0) = 1*1 = 1

Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los cálculos.

Y0+ h * f(y0) = y1 = 1 +1*1 = 2 Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y2 y y3

Y1+ h * f(y1) = y2 = 2 +1*2 = 4 Y2+ h * f(y2) = y3 = 4 +1*4 = 8

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Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser Ăştil para organizar los cĂĄlculos en forma de grafico para evitar errores

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yn

tn

y'(t)

h

dy

yn + 1

1

0

1

1

1

2

2

1

2

1

2

4

4

2

4

1

4

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Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema, y’ = (1+z)z + y, x0=0, y0=1 z’ = (1+x)y +z, z0=1 Solución: La iteración general se escribe,

Xn+1 = xn + h yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn) zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn) para n=0 se tiene que x0 = 0, y0=z0=1 x1 = 0 + h = h y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

Ejemplo #3: Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores aproximados al problema de valor inicial y’=x+y

y(0) = 1

Solución:

Tenemos que h = 0.1 , x0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1 Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22 Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362 Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362

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Conclusión Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método, ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino como Ingenieros en Sistemas.

El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando cada la variable independiente h.

Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora de resolver sistemas matemáticos como este.

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Bibliografía 1. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDOGeo/edo-cap1-geo/node14.html

3. http://www.uaem.mx/posgrado/mcruz/cursos/mn/euler.pdf

4. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm

5. http://euler.us.es/~renato/clases/edo/files/tra-euler.pdf

6. Libro Métodos Numéricos para Ingenieros, Steven C. Chapra, Quinta Edición

7. Libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis Gill, Sexta Edicion

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