TRILCE
Capítulo
2
TRIÁNGULOS
Definición :
F B 1. Vértices : A, B, C 2. Lados : AB, BC y AC Elementos 3. Ángulos E
C
A
) A, < ) B, < )C Interiores : < ) ) < < Exteriores : EAB, FBC,<) BCH
H
Notación : ABC , TABC , etc.
Observaciones : * Se denomina región triangular a la reunión de los puntos interiores con el conjunto de puntos de sus lados.
Propiedades Básicas 2.
1.
Bº
Aº
eº2
Cº
Aº + Bº + Cº = 180º
eº1
eº3 eº1 + eº2 + eº3 = 360º
21
Geometría 5.
3. xº = º + º yº = º + º zº = º + º
yº
xº
º
xº
º
zº
4.
º
xº = º + º + º
c
b
a b-c<a<b+c
Líneas Notables en el Triángulo
1.
Mediana
B BM : mediana
A
2.
b
C
b
M
Bisectriz
B B
BI : bisectriz interior º º
L L : bisectriz exterior
A
22
I
C
A
C
TRILCE 3.
Altura
B
A BH : altura
A
4.
AF : altura
C
F
H
C
B
Mediatriz
B L L : mediatriz de AC
A
*
b
C
b
Ceviana
B
B
BE : es ceviana exterior
BF : ceviana interior
A
C
F
A
C
E
Relaciones Angulares 1.
Bº x 90
xº
B 2
2.
Bº x 90
B 2
xº
23
Geometría 3.
xº
Bº
x
B 2
4.
B
x 2
xº
A
H
I BH : altura BI : bisectriz
24
C
TRILCE
Test de aprendizaje preliminar 01. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero, calcule "xº".
04. En el gráfico, calcule (ºº ) .
B
º
120º
80º
º
100º xº
A
C
02. En el gráfico, calcule "xº".
05. En el gráfico, calcule "xº", si : AB = BQ = QF = FC.
A
3x-10
Q 130º
4x
xº
B
F
C
06. En el gráfico, calcule "xº".
03. En el gráfico, calcule "xº".
100º
xº
150º
xº
25
Geometría 07. En el gráfico, AB = DC, calcule "º " .
10. Calcule la m ) BDC.
B
60º
º 5º
D 3º
A
º
C
A
08. En el gráfico mostrado, ¿cuál de los segmentos es el de menor longitud?
C 59º 60º
B
B
61º
D
C
Practiquemos : 11. Calcule el ángulo que forman las perpendiculares trazadas desde el vértice B de un triángulo ABC a las bisectrices interiores de los ángulos A y C, si :
D
63 º
m ) B = 110°.
61º A
60º 61º F
60º
E
12. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en progresión aritmética cuya razón es 10. Calcule la medida de cada ángulo. 09. Calcule "xº".
xº
60º
26
13. En un triángulo ABC (m ) B>90°), se sabe que : BC = 2 cm y AC = 5 cm. Calcule el valor o valores enteros que puede adoptar AB.
TRILCE 14. En un triángulo acutángulo, dos de sus lados suman 30u. Calcule el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado.
19. En un triángulo ABC, la suma de las medidas de los ángulos B y C es 105°. Si la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo B en 4°. Calcule la medida del ángulo C.
15. Los lados de un triángulo isósceles miden 5 u y 13 u. Calcule su perímetro.
20. En el gráfico, NM = NC y CB es bisectriz del ángulo ACN. Calcule la m ) BAC.
N B
16. En un triángulo ABC, m ) A = 2(m ) C), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del ángulo C. Si : DE = 8u. Calcule CE.
17. En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B. Calcule la medida del ángulo B.
40º
A
Problemas propuestos 21. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Calcule la medida de cada ángulo. a) 60°, 80° y 100° c) 30°, 40° y 50° e) 36°, 48° y 60°
18. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC, miden : AB = 16 u, BC = 30 u, se traza la altura BH y las bisectrices BP , y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ.
C
M
b) 40°, 60° y 80° d) 45°, 60° y 75°
22. Calcule la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz que parten del vértice A de un triángulo ABC. Sabiendo que : m ) A + 2(m ) C) = 100°. a) 20° d) 50°
b) 30° e) 60°
c) 40°
23. Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8 u; BC = 15 u. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Calcule PQ. a) 2 u d) 6 u
b) 4 u e) 3 u
c) 5 u
27
Geometría 24. En el gráfico, calcule "xº", si : AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.
30. Calcule "xº".
B
xº
130º
D 60º
xº
20º A
C
a) 130° d) 70°
b) 100° e) 110°
a) 15° d) 30°
c) 120°
b) 20° e) 50°
c) 25°
31. En el gráfico, calcule "xº". 25. Calcule la medida de los ángulos de un triángulo ABC, si: 3(m ) B) = 2(m ) A) y 3(m ) C) = 7(m ) A). a) 20°, 30°, 130° c) 48°, 32°, 100° e) 60°, 40°, 80°
b) 45°, 30°, 105° d) 51°, 34°, 195°
xº
xº
26. Dado el triángulo ABC; si por el vértice C se traza CH perpendicular a AB y también la bisectriz exterior del ángulo C y la diferencia de las medidas de los ángulos A y B es 26°. Calcule la medida del ángulo que forma la bisectriz y la perpendicular. a) 110° d) 77°
b) 123° e) 96°
b) 150° e) 130°
a) 12° d) 36°
b) 18° e) 60°
c) 24°
32. En un triángulo ABC, m ) A = 2m ) C, AB = 4 u. Calcule el máximo y mínimo valor entero que puede tomar el lado BC .
c) 103°
27. En el triángulo ABC, AD es la altura correspondiente al lado BC y BE es la bisectriz del ángulo B, las cuales se cortan en F. Si : m ) A = 64° y m ) C = 42°. Calcule la medida del ángulo AFB. a) 127° d) 132°
a) 8 u y 7 u d) 7u y 6 u
b) 5 u y 4 u e) 5 u y 3 u
c) 5 u y 2 u
33. Si dos lados de un triángulo son 15 u y 18 u, el tercer lado puede ser :
c) 170° a) 1 u d) 35 u
b) 2 u e) 3 u
c) 12 u
28. Calcule "x°". 34. El ángulo CAD es igual a tres veces el ángulo CAB y el ángulo BCA es mayor al ángulo CBA. El mayor lado del triángulo ABC es :
B 80º
C
A a) 140° d) 110°
xº b) 130° e) 125°
C c) 120°
29. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de A y B. Calcule BD, si además : AC = 12 u y BC = 16 u. a) 14 u d) 4 u 28
b) 10 u e) 6 u
c) 8 u
B
D A
a) BC b) AB c) AC d) Puede ser AC o BC dependiendo de la forma del triángulo. e) No se puede determinar los datos.
TRILCE 39. En el gráfico, calcule la suma de las medidas de los ángulos señalados.
35. Calcule " º " .
60º
50º
a) 110° d) 55°
b) 110° e) 60°
a) 405° d) 450°
c) 90°
b) 180° e) 360°
c) 390°
40. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : AB = AT, BC = AC. Calcule el máximo valor entero de la m ) CBT..
36. Calcule : º º º .
70º
a) 36° d) 45°
c) 30°
41. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule "xº".
º
º
b) 35° e) 44°
B
º
xº
a) 70° d) 140°
b) 100° e) 130°
c) 110°
70º
A
37. En el triángulo ABC, m ) A = 80°, m ) B = 60°. Si :
AN y BM son alturas, calcule : "xº".
C
a) 10° d) 72°
b) 45° e) 30°
c) 36°
42. En el gráfico, AB = BC, BC DE y el ángulo BEC mide 35°. Calcule "º " .
B
D C
N xº A
C
A
M a) 40° d) 50°
b) 140° e) 60°
b) 120°
38. Calcule el número de triángulos escalenos que tienen todos los lados enteros y de perímetro 22 cm. a) 5 c) 7
b) 6 e) 8
c) 4
a) 32° 30' d) 20° 15'
º B b) 30° 30' e) 20° 5'
E c) 27° 30'
43. Sea el triángulo ABC en el cual se cumple que : m ) ABC = 64°, m ) ACB = 72° y BM y CP bisectrices de los ángulo ABC y ACB respectivamente; dichas bisectrices se intersectan en el punto I (incentro). Además, se traza la altura BH . Calcule la medida de los ángulos BIC y MBH. a) 112° y 16° d) 110° y 12°
b) 120° y 12° e) 112° y 14°
c) 11° y 14°
29
Geometría 44. En el gráfico, BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC. Calcule "xº".
48. En el gráfico, calcule "xº".
xº
B
xº 3 º
A
3 H
a) 2 d) 2 / 3
D
º
º
3º
xº
C
c) / 2
b)
a) 60° d) 72°
e) / 3
45. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de . Si : x° + y° + z° > 300°.
b) 45° e) 30°
c) 36°
49. En el gráfico, calcule "xº". Si : a b 50 .
3º
2ºº xº
xº
yº
a
zº
6º a) 22° d) 25°
b) 23° e) 26°
b
c) 24°
46. En el gráfico, las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC están dadas en grados sexagesimales. Calcule el menor valor entero (en grados sexagesimales) que puede tomar "bº".
B
a) 62° d) 64°
b) 66° e) 65°
c) 63°
50. En el gráfico : x+y+z = 240° y a+b+c = 170°. Calcule : º º º .
2bº-aº x
º
c
A
aº+bº
a) 45° d) 35°
aº-bº
b) 46° e) 36°
a) 60° d) 140°
4xº
a) 18° d) 25° 30
b) 20° e) 30°
c) 22°
z b
y
c) 40°
47. Calcule "xº".
xº
º a
C
º
b) 80° e) 50°
c) 100°
51. La bisectriz de uno de los ángulos de un triángulo escaleno, forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre sí como 7 es a 13. Calcule el menor de los ángulos del triángulo asumiendo que la medida que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor que 80º. a) 24º d) 27º
b) 25º e) 28º
c) 26º
TRILCE 56. En el gráfico, calcule "xº", AB = BC, EF = FD.
52. Calcule "xº", si ; AM = NC. B
F
60º
C M
58º
A
xº
20º
80º
N
a) 40° d) 90°
b) 60° e) 70°
94º
c) 80°
B a) 20° d) 18°
60º
b) 15° e) 25°
2 R
2
A 3
xº
b) 60° e) 75°
a) 6 u d) 3 u
º
a) 115° d) 14°
º º
b) 125° e) 140°
xº º º
c) 135°
55. Dado un triángulo ABC equilátero, se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento BD intersecta al lado AC . Si m ) ADC > 90°, AD = 8u y CD = 15u. Calcule el menor perímetro entero del triángulo ABC. a) 52 u d) 46 u
b) 24 u e) 48 u
Q
C
b) 5 u e) 7 u
c) 4 u
58. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM , si : m ) ACB = º, m ) CAB º º y la medida del ángulo exterior del ángulo A es "" , donde : AB = 8u, MC =3u. Calcule BC.
º
º º
P
c) 30°
54. En el gráfico, calcule "xº".
40º
c) 30°
57. En el gráfico : PA = 2 u y BR - RC = 3 u. Calcule PQ. B
2
a) 45° d) 90°
D
C
53. En el gráfico, calcule "x° ".
E
xº
A
a) 10 u d) 13 u
b) 11 u e) 14 u
c) 12 u
59. En un triángulo ABC se traza la ceviana BP , si : AB = PC. m ) BAC = 10 º, m ) BCA = 2 º. m ) CBP = º. Calcule " º". a) 5º d) 10º
b) 8º e) 12º
c) 9º
60. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BT , si : BC = AT y m ) BAC = 60º - 2xº ; m ) CBT = xº, m ) BCA = 2xº. Calcule la m ) CBT..
c) 22 u a) 5º d) 12º
b) 8º e) 15º
c) 10º
31
GeometrĂa
Claves
32
21.
d
41.
a
22.
c
42.
a
23.
a
43.
e
24.
d
44.
b
25.
b
45.
c
26.
c
46.
b
27.
c
47.
b
28.
a
48.
d
29.
a
49.
e
30.
c
50.
e
31.
d
51.
b
32.
c
52.
c
33.
d
53.
b
34.
e
54.
b
35.
b
55.
a
36.
d
56.
d
37.
a
57.
b
38.
a
58.
b
39.
d
59.
d
40.
c
60.
c