MATEMร TICA Equivalente a 7.ยบ
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capítulo
3
Funciones Contenidos 16. Gráficos y tablas. 17. Funciones. 18. Función de proporcionalidad directa. 19. Función de proporcionalidad inversa.
Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la escena y respondan. a. ¿De qué depende la cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto? b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, ¿de qué depende la cantidad que puede comprar? c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, ¿dónde compró? d. ¿Cuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $38 en “Lo de Fermín”? Pueden ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según la cantidad. e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas. 60
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Gráficos y tablas
infoactiva Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y). Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la abscisa y el segundo, la ordenada. y 5 4 3 2 1
y 250 200 150 100 50
c
a b
o 1
0
2
3
4
5
x
temperatura (en °C)
//
10
11
12
1
2
3
4
5
x
p = (1;150) q = (5;200) Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la variación de la temperatura a través de las horas. • En el eje x se representó el tiempo (expresado en horas) y en el eje y, la temperatura (en °C). • A las 13 horas se registró la mayor temperatura y a las 10 horas, la menor. • Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura aumentó y, luego, empezó a descender. • Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura se mantuvo constante.
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
p
0
o = (0;0) es el origen de coordenadas a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4)
Para representar estos puntos conviene tomar unidades distintas en cada eje.
q
13 14 15 16 17 tiempo (en horas)
Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente. Tiempo (en horas)
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Temperatura (en °C)
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test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3? b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas? c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)? 61 Nombre:
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Curso:
Fecha:
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
1. Representen los puntos en el sistema de ejes cartesianos. y
a = (3;1) b = (2;3) c = (6;7) d = (7;0) e = (0;9) f = (0;0) g = (9;5) h = (5;10) i = (1;6)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
2. Escriban las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico. y 8 7 6
d
( b = ( c = ( d = ( e = (
c
a=
5 4 3 2
e
a
1
b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
; ; ; ; ;
) ) ) ) )
3. Representen los datos de la tabla en el sistema de ejes cartesianos. y
x
y
3
5
0
2
0
0
5
1
6
0
7
8
2
8
6
1
8 7 6 5 4 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
4. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen. a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.
(
y
)
a= ; b. La abscisa es 4 y su ordenada el doble.
(
10 9
)
b= ; c. Un punto que se encuentre sobre el eje de ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas.
(
(
)
8 7 6
)
5
c= ; d= ; d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.
(
4 3
)
e= ; e. El punto que cumple la condición anterior si y = 5.
(
f=
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
)
;
x
5. Observen el gráfico y resuelvan. Hora
Temperatura (en °C)
1 16 7:30 24 b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C?
temperatura (en °C)
a. Completen la tabla.
24 22 20 18 16 14 12 10 //
c. ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tiempo (en horas)
Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo. a. ¿Cuántos minutos... • ... tardó en llegar al parque? • ... estuvo en el parque? • ... tardó en regresar a su casa? b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen la respuesta.
distancia (en cuadras)
6. Observen el gráfico y respondan.
60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 tiempo (en minutos)
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Curso:
Fecha:
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ACTIVIDADES Gráficos y tablas
7. Lean atentamente y respondan.
b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesaba 3 kg?
peso (en kg)
Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días. a. ¿Cuánto pesaba India al nacer?
6 5 4
c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cuatro meses?
3 2 1
d. ¿En algún período la perra mantuvo un peso constante? En caso de ser afirmativo, indiquen en qué período.
0
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 edad (en días)
8. Observen y respondan. ingresos (en miles de $)
Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 18 meses.
30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 meses
a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de la empresa en los seis últimos meses. Mes Ingreso (en $) b. ¿En qué mes se registró el mayor ingreso? ¿Y el menor? c. ¿En qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? d. Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empresa aumentaron $2 500 por mes. Mes
22
Ingreso (en $) e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior. f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $22 500 cada mes, ¿el ingreso aumentó o disminuyó con respecto al mes 22? Representen estos datos en la gráfica.
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Funciones
infoactiva y
precio (en $)
precio (en $)
Cada una de las siguientes gráficas representa una relación entre dos variables.
30 24 18 12 6 0
x 1 2 3 4 5 paquetes de salchichas
En el gráfico se relaciona la cantidad de paquetes de salchichas con su precio. Los puntos aparecen aislados porque se usan cantidades enteras (no se fraccionan).
y 32 24 16 8 0
100
x 200 300 400 cantidad de jamón (en g)
En el gráfico se relaciona la cantidad de jamón con su precio. El gráfico está formado por una línea recta porque el jamón se puede vender en distintas cantidades.
Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones.
Una relación es función cuando para todo valor representado sobre el eje x le corresponde un único valor representado sobre el eje y.
Para una determinada cantidad (variable independiente) existe un único precio (variable dependiente). Se dice que el precio depende de la cantidad o que el precio está en función de la cantidad.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ¿se puede decir que es función? b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la variable dependiente, ¿es función? c. ¿El gráfico de una recta siempre es función? d. La variable independiente, ¿se representa en el eje horizontal? 65 Nombre:
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ACTIVIDADES Funciones
9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función.
10. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta. a.
c.
y
e.
y
y
x
b.
x
d.
y
x
f.
y
y
x
x
x
11. Resuelvan. a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro. 3
Lado (en cm) Perímetro (en cm)
5
5
10
b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué? d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué?
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Función de proporcionalidad directa
infoactiva Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante. El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k). El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado. x: lado del cuadrado (en cm)
y: perímetro (en cm)
1
4
4:1=4
2
8
8:2=4
k=4 (constante de proporcionalidad)
• Lenguaje coloquial: el cociente entre dos cantidades correspondientes es igual a 4. • Lenguaje simbólico: y : x = 4, entonces y = 4 . x
perímetro (en cm)
fórmula de la función y 8
y=4.x
4
0
1
2
La representación gráfica de cantidades directamente proporcionales da como resultado un conjunto de puntos alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.
x lado (en cm)
test de comprensión 1. Respondan y expliquen sus respuestas. a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente proporcionales? b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto debe aumentar la otra? c. Si se multiplica por __31 la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa? d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación de proporcionalidad directa? 67 Nombre:
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ACTIVIDADES Función de proporcionalidad directa
12. Escriban tres ejemplos de que sean directamente proporcionales.
13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales. a.
b.
c.
d.
x
y
x
y
x
y
x
y
2
5
3
12
10
5
5
2
4
7
7
28
30
15
10
4
6
9
10
40
40
20
16
6
14. Resuelvan. a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos. x
y 49 14
4
28
5 6 9 b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
El siguiente gráfico representa el precio de un postre helado según su peso. a. Completen la tabla. Precio (en $) 10 1 000
80 70 60 50 40
2 000
1 750
1 500
0
1 250
10 1 000
b. Las variables, ¿se relacionan de forma directamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
20
750
1 750
30
500
60
250
Peso (en gramos)
precio (en $)
15. Observen el gráfico y respondan.
peso del postre (en g)
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Función de proporcionalidad inversa
infoactiva Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).
altura (en cm)
En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de rectángulos de 24 cm2 de área. Base (en cm)
Altura (en cm)
2
12
2 . 12 = 24
3
8
3 . 8 = 24
4
6
4 . 6 = 24
k = 24 (constante de proporcionalidad)
y
El producto entre dos cantidades correspondientes es igual a 24. 24 x . y = 24, entonces y = ___ x.
12 10 8 6 4 2 1
0
2
3
4
x 5 6 base (en cm)
Cuando los valores de una variable aumentan, los de la otra variable disminuyen en la misma proporción. La representación gráfica de variables inversamente proporcionales da como resultado una curva denominada hipérbola.
test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué sucede con la otra? b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados? c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las variables son inversamente proporcionales? d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir que se trata de una relación inversamente proporcional?
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ACTIVIDADES Función de proporcionalidad inversa
16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales.
17. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un sistema de ejes cartesianos. a.
b.
c.
d.
x
y
x
y
x
y
x
y
1
3
2
15
2
63
4
6
3
1
3
10
3
42
7
4
15
5
5
6
9
14
10
2
18. Lean atentamente y respondan. Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8 000, deberá cobrar la entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala. a. Completen la tabla. Cantidad de butacas de la sala Valor de la entrada
125
320 40
b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la constante de proporcionalidad. c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
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capítulo
Integración
COnTEnIDOS
16.17.18.19
19. Representen los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos. a = (2;6) c = (5;18) b = (6;0) d = (7;14)
e = (8;9) f = (12;5)
20. Observen el gráfico y escriban las coorde-
22. Resuelvan. a. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes puntos están bien representados en el sistema de ejes cartesianos. a = (2;1) c = (7;7) e = (7;3) b = (5;6) d = (7;2) f = (8;6)
nadas de cada punto. y y 300
4
d
3
b
100 50
a
1 2
3
4
5
6
x
7
21. Ubiquen el vértice que falta para que se forme la figura indicada en cada caso. a. Cuadrado.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
b. Representen correctamente los puntos mal ubicados.
23. Lean atentamente y respondan.
y d
10 6
Una enfermera registró la temperatura de un paciente en el siguiente cuadro.
c
a
2 0
d
2
a 1
f
b
5
200 150
c
6
c
250
0
e
7
e
1
2
3
4
5
6
7
8
x
b. Romboide.
Hora
Temperatura (en °C)
7:00
38
8:00
37
9:00
37
10:00
38
11:00
39
12:00
38,5
13:00
39
y
a. Representen los valores de la tabla en los ejes cartesianos. b. ¿La relación es función? Expliquen la respuesta. c. ¿Se pueden unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?
d
7
c
5
a
3 1 0
24. Escriban ejemplos según la condición. 0,5
2
4
x
c. ¿Las soluciones son únicas? Si no lo son, indiquen otra posibilidad.
a. Dos relaciones directamente proporcionales. b. Dos relaciones inversamente proporcionales. c. Dos relaciones no proporcionales. 71
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25. Resuelvan.
28. Resuelvan.
a. Completen la tabla para que sea una función de proporcionalidad directa. Indiquen la constante de proporcionalidad. Peso (en kg)
2
Precio (en $)
7
5
9
10
24,50
b. Representen los datos en un gráfico cartesiano.
26. Lean atentamente y resuelvan. Para el cumpleaños de Julia, su mamá está preparando un gran bizcochuelo y necesita tres sobres de preparación.
po r
cada sobre de prepar ación
Héctor, el dueño de una estancia, se irá de vacaciones por 14 días y deja a Úrsula a cargo de sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada por el veterinario, la cantidad de alimento que le deja alcanza para esas dos semanas. a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos más, pero no agrega comida, ¿para cuántos días alcanzará? b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar con la misma cantidad de comida, ¿para cuántos días alcanzará el alimento? c. ¿La relación es una función de proporcionalidad directa o inversa? d. Completen la siguiente tabla de acuerdo con la información anterior. Caballos 1 2
3 cucharadas de leche tibia. 2 huevos. 5 cucharadas de agua. 200 g de manteca derretida.
a. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita la mamá de Julia? b. Las variables ¿se relacionan en forma directamente proporcional? Si es así, indiquen cuál es su constante.
Días para alimentarlos
5
14
7 5 e. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
29. Indiquen si las siguientes relaciones son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o no proporcionales (nP). a. La cantidad de harina y de pizzas que se
27. Resuelvan. Gabriel compró las entradas para él y sus cinco amigos, para asistir a un recital. a. Si pagó $900 por las seis entradas, ¿cuánto dinero le tiene que dar cada amigo? b. Completan la tabla. que se debe Cantidad de entradas Dinero abonar 2 450
b. La cantidad de agua para regar una planta y su crecimiento. c. La cantidad de agua que arroja una manguera por minuto y el tiempo que tarda en llenar una piscina. d. La superficie representada de una provincia en el mapa y los kilómetros cuadrados que
5 6
pueden hacer con ella.
900
c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? d. Representen la información en un gráfico.
abarca dicha provincia dentro del territorio nacional.
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3 capítulo
Autoevaluación 30. Observen el gráfico y respondan.
Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo.
distancia (en km)
a. ¿Cuántas horas estuvo fuera del hotel? 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
b. ¿Cuánto tiempo estuvo en las termas? c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las termas de Cacheuta? d. ¿Realizaron alguna parada en el camino? ¿A la ida o a la 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tiempo (en h)
vuelta? e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso?
31. Resuelvan. Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho, pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm. a. ¿La altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? ¿Por qué? b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? c. Completen la siguiente tabla y luego representen la información en un sistema de ejes cartesianos. 40
Altura de la pecera (en cm)
70 40 000
Volumen de la pecera (en cm ) 3
48 000
32. Piensen y resuelvan. En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración del frente. El costo de la reforma es de $2 100 y será dividido entre todos los propietarios. a. Si en total son 14 los propietarios, ¿cuánto dinero deberá abonar cada uno? ¿Y si fueran 30 propietarios? b. Las variables, ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporcional? Indiquen la constante de proporcionalidad. c. Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos. Cantidad de propietarios Monto a pagar (en $)
14
30 100
75 73
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