SERIE
práctica
SERIE
práctica HUELLAS
HUELLAS
Carpeta de M AT E M ÁT I C A
2
Cód. 19260
Carpeta de
M AT E M ÁT I C A
2
SERIE
práctica HUELLAS
Carpeta de
M AT E M ÁT I C A
2
Autores Gustavo Romero (coordinador) Susana Crespo Marcela Maradei Maia Starobinsky Editora del Área de Matemática Evelyn Orfano Coordinadora de Diseño Natalia Otranto Gerenta Editorial Judith Rasnosky
Índice Capítulo 1: Números enteros ..................... 5
Capítulo 3: Números racionales ............... 37
Orden y representación ................................. 6
Orden y representación ............................... 38
Sumas y restas ................................................ 8
Sumas y restas .............................................. 40
Multiplicaciones y divisiones.
Multiplicaciones y divisiones ..................... 41
Divisibilidad .................................................... 9
Potencias y raíces. Propiedades ............... 42
Potencias y raíces. Propiedades ............... 10
Notación científica ....................................... 44
Cálculos combinados ................................... 12
Cálculos combinados ................................... 45
Modelización y resolución
Modelización y resolución
de problemas....................................................... 14
de problemas ...................................................... 47
Teoría ................................................................... 17
Teoría ................................................................... 49
Ejercitación ........................................................ 19
Ejercitación ........................................................ 51
Autoevaluación ................................................. 21
Autoevaluación ................................................. 53
Control de respuestas ...................................... 22
Control de respuestas ...................................... 54
Capítulo 2: Geometría I .............................. 23
Capítulo 4: Geometría II .............................. 55
Circunferencia y círculo .............................. 24
Propiedades de los triángulos .................... 56
Mediatriz de un segmento .......................... 25
Propiedades de los cuadriláteros .............. 58
Ángulos. Bisectriz ......................................... 26
Construcciones ............................................. 60
Posiciones relativas entre rectas .............. 28
Criterios de congruencia de triángulos .... 62
Ángulos determinados por dos rectas
Lugar geométrico .......................................... 64
y una transversal .......................................... 29
Teorema de Pitágoras .................................. 65
Teoría ................................................................... 31
Teoría ................................................................... 67
Ejercitación ........................................................ 33
Ejercitación ........................................................ 69
Autoevaluación ................................................. 35
Autoevaluación ................................................. 71
Control de respuestas ...................................... 36
Control de respuestas ...................................... 72
3
Índice Capítulo 5: Funciones .................................. 73
Capítulo 7: Geometría III ........................... 109
Ubicación en el plano .................................. 74
Área y perímetro de figuras planas:
Funciones ....................................................... 75
triángulos ...................................................... 110
Función lineal ................................................ 77
Área y perímetro de figuras planas:
Función de proporcionalidad directa ........ 79
cuadriláteros ................................................ 111
Proporcionalidad inversa ............................ 80
Área y perímetro de figuras planas:
Proporcionalidad .......................................... 81
circunferencia y círculo ............................. 113
Estimaciones ................................................. 82
Área de cuerpos geométricos .................. 115
Modelización ................................................. 83
Volumen de cuerpos geométricos ........... 117
Teoría ................................................................... 85
Secciones planas de cuerpos
Ejercitación ........................................................ 87
geométricos ................................................120
Autoevaluación ................................................. 89
Teoría ................................................................. 121
Control de respuestas ...................................... 90
Ejercitación ...................................................... 123 Autoevaluación ............................................... 125
Capítulo 6: Ecuaciones ................................. 91
Control de respuestas .................................... 126
Introducción a las ecuaciones ................... 92 Ecuaciones de primer grado ...................... 93
Capítulo 8: Probabilidad y estadística ...127
Conjunto solución ......................................... 95
Presentación de datos. Tablas y gráficos ....128
Problemas ...................................................... 96
Medidas de tendencia central: media..... 130
Modelización ............................................... 100
Medidas de tendencia central: mediana... 131
Introducción a las ecuaciones
Medidas de tendencia central: moda...... 132
cuadráticas ................................................ 103
Interpretación y uso
Teoría ................................................................. 104
de los parámetros......................................... 133
Ejercitación ...................................................... 105
Introducción a la combinatoria ................ 134
Autoevaluación ............................................... 107
Fenómenos y experimentos aleatorios.
Control de respuestas .................................... 108
Probabilidades............................................. 136 Teoría ................................................................. 139 Ejercitación ...................................................... 141 Autoevaluación ............................................... 143 Control de respuestas .................................... 144
4
Funciones
1.
Capítulo 5
Las sustancias, en la naturaleza, pueden estar en estado sólido, líquido o gaseoso. Cuando se calientan, la temperatura aumenta, pero al llegar a cierto valor, pasan de estado sólido a líquido (temperatura de fusión) o de estado líquido a gaseoso (temperatura de ebullición). Mientras la sustancia está cambiando de estado, la temperatura no varía hasta que haya pasado de un estado a otro. Matías y Ana pusieron hielo a calentar. Luego, anotaron la temperatura en relación con el tiempo y obtuvieron este gráfico. Observalo y respondé. y: temperatura (en °C)
160 140 120 100 80 60 40 20 –20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x: tiempo (en min)
–40
a. ¿Cuál es la temperatura de fusión del agua? ¿Y la de ebullición?
b. ¿A los 15 minutos, qué había hielo, agua líquida o vapor? ¿Y a los 33 minutos?
c. ¿Luego de cuánto tiempo el agua alcanza una temperatura de 40 °C? ¿Y de 120 °C? ¿Y luego de cuántos minutos la temperatura marca valores sobre cero?
d. ¿Durante cuántos minutos la temperatura se mantiene bajo cero? 73
Funciones
Capítulo 5
Ubicación en el plano
y 5
2.
Resolvé. a. Ubicá los pares ordenados en el sistema de ejes cartesianos. A = (4; 2) B = (–3; –2) C = (–1; 5) D = (3; –1) E = (0; –4) F = (4; –2,5)
L
4
I
3 2 1
G
0 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2
1
2
–3
3
4
5
x
H
–4
J
–5
K
–6
b. Escribí las coordenadas de cada uno de los pares ordenados.
G=
H=
e e
j j
; ;
I=
J=
e e
; ;
j j
K=
L=
e e
j j
; ;
3.
Observá las tablas, elegí las escalas adecuadas para cada eje, representá los puntos indicados y, luego, unilos. a. b. x
y
x
y
–5
–2.000
–2
–3
–3
–1.000
1
0
–1
0
0
1
1
1.000
–1
0
2
1.500
2
–3
y
y
0
74
x
0
x
Funciones
Capítulo 5
Funciones 4.
El gráfico muestra las temperaturas que hubo el día del cumpleaños de Luz. Observalo y respondé.
14
y: temperatura (en °C)
12 10 8 6 4 2 0 –2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 x: hora
–4 –6 –8
a. ¿Cuál fue la temperatura mínima alcanzada? ¿A qué hora se alcanzó? ¿Cuál fue la temperatura máxima alcanzada?
b. ¿Cuál fue la amplitud térmica de ese día?
c. ¿Hubo momentos en los que la temperatura se mantuvo constante?
d. ¿En qué horarios, aproximadamente, la temperatura fue de 4 °C?
e. ¿Cuál fue la temperatura aproximada a las 14.00? ¿Y a las 7.00?
f. ¿A qué hora la temperatura fue de –8 °C?
g. ¿En qué horarios la temperatura se mantuvo debajo de los 0 °C? ¿Y por encima de los 0 °C?
5. a.
Identificá los gráficos que pueden representar la temperatura de un cierto día en función del tiempo. y: temperatura c. y: temperatura y: temperatura b. d. y: temperatura
x: tiempo
x: tiempo
x: tiempo
x: tiempo
75
Capítulo 5
Funciones
6.
El gráfico representa la velocidad a la que se mueve una moto en función del tiempo. Observalo y respondé. a. ¿Qué velocidad tenía al comenzar la medición?
y: velocidad (en m/seg)
15 10 5
b. ¿Qué va ocurriendo con la velocidad a medida que pasan los segundos?
0
x: tiempo (en seg)
10
60
–5
c. ¿A los cuántos segundos su velocidad es de 10 m/seg?
–10
d. ¿A los cuántos segundos su velocidad se redujo a la mitad de la que tenía al principio?
e. ¿Qué ocurre a los 60 segundos?
f. ¿Qué ocurre a partir de ese momento?
g. ¿Qué velocidad tiene a los 80 segundos? ¿Tiene sentido esa velocidad?
7.
En la casa de Agustín, están haciendo un pozo ciego nuevo; él arroja una piedra desde la terraza hasta la excavación. El gráfico muestra la altura a la que se encuentra la piedra durante los primeros diez segundos de haber sido arrojada. a. ¿Desde qué altura es lanzada la piedra?
20 10
x: tiempo (en seg)
0 –10 –20
b. ¿Cuál es la profundidad del pozo?
–30 –40
c. ¿Durante cuántos segundos la piedra des–50 ciende? –60
76
y: altura (en m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Funciones
Capítulo 5
Función lineal 8.
Dadas las funciones lineales, completá cada una de las tablas y representá en los ejes cartesianos dados. Elegí la escala conveniente en cada caso. y y a. y = x – 0,5 b. y = 3x – 2 x
y
x
0
2
0,25 –0,5
y
1 0
0,75
0
0
x
x
–1
–1
–2
9.
A partir de la información del gráfico de f(x), resolvé. a. Calculá. i. f(–1) = ii. f(2) =
8
y
6 4
f(x)
2
b. ¿Cuánto vale x si f(x) = –4? ¿Y si f(x) = 0?
0 –1 –2
1
2
3
4
5
x
c. Indicá con una X cuál de las fórmulas corresponde al gráfico de f(x). y = –3x + 6 ii. y = –6 – 2x iii. y = 6 – 2x iv. y = 6 + 2x
i.
10. Observá el gráfico e indicá V (Verdadero) o F (Falso). Justificá los casos que sean falsos. 5 4
y
g(x)
3 2
f(x)
1 0 –2 –1 –1
1
2
3
4
5
x
–2
a. Para todo valor de x, f(x) > g(x). b. f(5) < g(5) c. Si x < 3, entonces, g(x) > f(x). d. f(0) < g(0) e. El punto (–1; 2) no pertenece a ninguna de las dos funciones. 77
Funciones
Capítulo 5 11. Resolvé.
a. Representá las funciones A, B y C en un sistema de ejes cartesianos y las funciones D, E y F en otro. A: y = 2x + 3 C: y = 1x + 3 E: y = –3x + 3 B: y = 3x + 3 D: y = –2x + 3 F: y = –1x + 3 y
y
10 8
10 8
6 4
6 4
2
2
0 –1 –2
1
2
3
4 x
0 –1 –2
1
2
3
4 x
b. ¿Qué tienen en común todas las funciones? Escribí en tu carpeta una conclusión. c. Explicá cuáles de las funciones son crecientes y cuáles, decrecientes.
12. Resolvé. a. Representá las funciones A, B y C en un mismo sistema de ejes cartesianos y las funciones D, E y F en otro. A: y = 2x + 2 C: y = 2x – 1 E: y = –3x + 1 B: y = 2x + 1 D: y = –3x + 2 F: y = –3x – 1
y
y
10 8
10 8
6 4
6 4
2
2
0 –1 –2
1
2
3
4 x
0 –1 –2
1
2
3
4 x
b. ¿Qué característica en común puede observarse entre las rectas de cada uno de los sistemas? Escribí una conclusión en tu carpeta.
13. Observá las funciones lineales y resolvé. a. ¿Son crecientes o decrecientes? B
b. Valor de la ordenada al origen y de la raíz. c. Indicá con una X cuál de las fórmulas es la correspondiente a cada función. i. y = –3x + 6 iv. y = – 3 x + 6 4 ii. y = 3 x + 3 v. y = – 3 x + 3 4 4 iii. y = 3x + 6 vi. y = 3x + 3
78
7 6
y A
5 4 3 2 1
0 –3 –2 –1 –1 –2
1
2
3
4
5
x
Funciones
Capítulo 5
Función de proporcionalidad directa 14. En una fábrica de tornillos, está calculado que un 0,5% de la producción resultará defectuosa y habrá que desecharla, el resto se pondrá a la venta. a. Completá la tabla. Tornillos fabricados
Tornillos desechados
Tornillos puestos a la venta
1.000 2.000 30 1 5.600 11.940
b. ¿Hay proporcionalidad directa entre los tornillos defectuosos y los tornillos fabricados? Explicá cómo te diste cuenta. En caso afirmativo, identificá la constante de proporcionalidad y escribí una fórmula que permita calcular la cantidad de tornillos desechados en función de la cantidad de tornillos fabricados.
c. ¿Qué tipo de función es la fórmula obtenida?
d. ¿Hay proporcionalidad directa entre los tornillos puestos a la venta y los tornillos fabricados? Explicá cómo te diste cuenta. En caso afirmativo, identificá la constante de proporcionalidad y escribí una fórmula que permita calcular la cantidad de tornillos en venta en función de la cantidad de tornillos fabricados.
15. Roxana trabaja cuidando piletas de natación. Para mantener la pileta libre de microorganismos, debe agregar cierta cantidad de cloro según la cantidad de litros de agua. Tiene una tabla con las capacidades de las piletas que están a su cuidado y la cantidad de cloro diario que debe agregarles, y una fórmula general para nuevas piletas. a. Completá la tabla de Roxana. Capacidad (en litros)
10.000
33.600
x 1,125
Cloro (en litros)
2,5
5 ∙ 10–5x
b. Realizá en tu carpeta el gráfico correspondiente. Elegí la escala conveniente.
16. Completá a.
las tablas para que las variables resulten directamente proporcionales y escribí la fórmula general correspondiente en cada caso. b. x
y
x
y
19,5
30
–45
–2,4 12 9
Fórmula:
15
3
Fórmula:
18 –4
79
Capítulo 5
Funciones
Proporcionalidad inversa 17. Resolvé. a. Si un auto que va a 100 km/h tarda 5 horas en recorrer cierta distancia, ¿cuánto tardará otro que va a 50 km/h? ¿Y uno que va a 25 km/h?
b. Completá la tabla. Velocidad (en km/h)
100
Tiempo (en horas)
5
50
125 2,5
10
8
c. Explicá los productos de los números de cada columna. ¿Qué tipo de proporcionalidad es? Encontrá la constante de proporcionalidad y explicá qué significado tiene en este problema.
d. Si llamamos x a la velocidad de cada vehículo e y al tiempo que tardan en llegar a destino, escribí una fórmula que permita calcular cuánto tiempo tardará cada uno en función de la velocidad a la que vaya.
e. Representá en tu carpeta los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. f. Si es posible, uní los puntos del gráfico.
18. Leé atentamente y resolvé. a. Completá la tabla que indica cuánto deben medir las diagonales de un rombo teniendo en cuenta que su área es de 10 cm2 y que las diagonales miden x e y cm. x y
2
0,5 4
20
100
1
b. Escribí una fórmula que te permita calcular cuánto debe medir la diagonal y en función de la medida de la diagonal x.
c. Representá en tu carpeta la fórmula obtenida y analizá si es posible unir los puntos. Justificá tu respuesta.
d. ¿Qué sucede con la medida de y a medida que aumenta la medida de x? ¿Y a medida que x se hace cada vez más pequeña?
e. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar x? ¿Y el mínimo? Justificá tu respuesta.
f. ¿Qué valores puede tomar y? ¿La función es creciente o decreciente?
80
Funciones
Capítulo 5
Proporcionalidad
si estas variables se relacionan de forma proporcional. En caso afirmativo, indicá el tipo de proporcionalidad; y en caso negativo, explicá por qué. a. El costo de un viaje en taxi y la distancia recorrida.
19. Analizá
b. El lado de un cuadrado y su perímetro.
c. El lado de un cuadrado y su área.
d. Un ángulo y su complemento.
e. La velocidad de un vehículo y el tiempo que tardará en llegar a destino.
20. Para preparar porcelana fría, deben mezclarse 500 g de cola vinílica con 250 g de fécula de maíz, entre otros ingredientes. Si Martina tiene 410 g de cola vinílica y 215 g de fécula, ¿de cuál de los materiales le va a quedar un sobrante? ¿Cuánto?
21. Para su cumpleaños, Arturo pensaba comprar 18 botellas de 1 14 litro de bebida. Cuan-
do llegó al supermercado, se encontró con una oferta de botellas de 1 1 litro al precio 2 de las que él pensaba comprar. ¿Cuántas botellas menos deberá llevar?
22. Lili fue a comprar a un supermercado mayorista. La cuenta final de su compra fue de $1.240, pero en la caja le explicaron que faltaba recargarle el IVA (Impuesto al Valor Agregado, correspondiente al 21%). ¿Cuánto pagó finalmente Lili por su compra?
23. Una verdulería ofrece bolsas de 3 kg de papas por $25 o bolsitas de 1 kg a $9. a. ¿Cuánto costarán 12 kg de papas? ¿Y 14 kg? b. Santiago afirma que el precio de las papas es directamente proporcional al peso. ¿Es cierto? Justificá tu respuesta.
c. Completá la tabla. 9
Papas (en kg) Precio (en $)
25
10 125
18
7 93
81
Capítulo 5
Funciones
Estimaciones
24. Francisco tiene en su cuenta $7.500 ahorrados para sus vacaciones. Decide que va a gastar $500 por día. a. Completá la tabla y realizá en tu carpeta el gráfico que represente cuánto dinero le quedará en el banco en función de los días que pasará de vacaciones. Días transcurridos Dinero que le queda (en $)
b. ¿Es una relación de proporcionalidad directa o inversa? Justificá tu respuesta. En caso afirmativo, indicá la constante de proporcionalidad.
c. ¿Para cuántos días de vacaciones le alcanzará el dinero que tiene? ¿Cómo lo identificás en el gráfico?
d. ¿Qué significado tiene lo que continúa luego de ese momento en el gráfico?
25. Ana está pintando figuras con el formato que se muestra. a. Dibujá en tu carpeta la figura 6. ¿Es cierto que tiene el doble de cuadraditos pintados que la figura 3? Figura 1
Figura 2
Figura 3
b. ¿Cuántos cuadraditos pintados tendrá la figura 5? ¿Y cuántos, la figura que tiene 12 cuadraditos blancos?
c. ¿Puede haber una figura con 72 cuadraditos pintados? ¿Y una con 80? ¿Cuáles?
d. Ana encontró algunas fórmulas que le permitirían calcular la cantidad de cuadraditos pintados en cada figura. Marcá con una X las que consideres correctas si n representa el número de figura. i. (n + 2)2 – n + 2 iii. n 2 – n ii. (n + 2)2 – (n + 2) iv. (n + 1) · (n + 2) e. Utilizando alguna de las fórmulas seleccionadas, calculá la cantidad de cuadraditos pintados que tendría la figura 40.
f. Ana dice que, mirando una de las fórmulas que marcó, puede saber con facilidad cuál es la figura que tiene 110 cuadraditos pintados. ¿Qué figura es y cuál es la fórmula que la ayudó a deducirlo?
82
Funciones
Capítulo 5
Modelización
26. A partir de la información de la tabla y de los gráficos en los que se indican las temperaturas de una sustancia que se va calentando a medida que pasa el tiempo, nombrá de qué sustancia se trata en cada caso. Sustancia
Temperatura de fusión
Temperatura de ebullición
Mercurio
–39 °C
357 °C
Azufre
115 °C
445 °C
Sodio
98 °C
890 °C
a.
b.
y: temperatura
c.
y: temperatura
500 400
400 300 200
300 200
100
100 0
y: temperatura
Sustancia:
x: tiempo
0
100 0
Sustancia:
x: tiempo
x: tiempo
Sustancia:
27. El gráfico representa las velocidades de dos vehículos, el A y el B, en función del tiempo. Observá el gráfico y respondé. y: velocidad (en km/h)
80
A
20 B 1
2
x: tiempo (en h)
a. ¿Qué velocidad tenía el vehículo A en el instante x = 0? ¿Qué irá ocurriendo a medida que transcurre la primera hora? ¿Y luego?
b. Describí la velocidad del vehículo B en las dos primeras horas.
c. ¿Qué significa el punto en que se cruzan las dos gráficas? ¿Cuándo ocurre y qué velocidad tiene cada vehículo en ese momento?
83
Capítulo 5
Funciones
28. Alma empezó a ahorrar para llevarse dinero en sus próximas vacaciones. Decidió guardar $60 la primera semana e ir aumentando el monto de tal manera que, cada semana, guarda $15 pesos más que la semana anterior. a. Completá la tabla que muestra el dinero que debe ahorrar a medida que pasan las semanas. N.° de semana
1
3
8 120
Dinero
135
b. Si x es la cantidad de semanas transcurridas e y la cantidad de dinero que debe ahorrar esa semana, escribí una fórmula que te permita calcular la cantidad de dinero que debe ahorrar en función de las semanas transcurridas.
c. Representá en tu carpeta la fórmula obtenida y decidí si es posible unir los puntos. Justificá tu respuesta. d. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado luego de 5 semanas?
e. ¿Es cierto que, en la semana 6, tendrá ahorrado el doble de dinero que en la semana tres? Justificá tu respuesta.
f. ¿Existe una relación proporcional entre el número de semanas transcurridas y el dinero que debe ahorrar cada semana? Justificá tu respuesta.
29. Felipe
debe hacer varios viajes en estos días. Sabe que un taxi A cobra $20,20 al momento de partir y $2,02 por cada 200 m de recorrido y que otro taxi B cobra $12 el kilómetro (si el trayecto es menor a 1 km, cobra $12). Para ver cuál le conviene en cada viaje, decide representar en un mismo gráfico cartesiano las dos opciones. a. Completá la tabla y representá en tu carpeta ambas situaciones en un mismo gráfico cartesiano. Kilómetros recorridos
0,2
1
5
12
Precio del taxi A (en $) Precio del taxi B (en $)
b. ¿Cuál de los dos taxis le conviene para hacer recorridos cortos? ¿A partir de cuántos kilómetros, aproximadamente, le conviene el otro?
c. Escribí una función para cada uno de los dos precios. En el caso del taxi B, hacelo para recorridos mayores de un kilómetro.
84
Teoría ı Capítulo 5 Ubicación en el plano
y: eje de coordenadas
Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares. El eje horizontal es el eje x, llamado eje de las abscisas, y el eje vertical es el eje y, llamado eje de las ordenadas. Cada eje respeta una escala que no tiene que ser la misma entre ellos, necesariamente. Los ejes, al cortarse, dividen el plano en cuatro cuadrantes. Todo punto del plano queda determinado por un par de valores: el primero es el valor de x y el segundo es el de y.
Representación gráfica 1.000
Segundo cuadrante B
8
Primer cuadrante
4 2 –4 –3 –2 –1
Origen de –2 coordenadas –4 C –6
A = (2; 6) B = (–4; 5) C = (–3; –6) D = (2; –4) E = (0; 0)
A
6
E 0 1
2
3
4
5
x: eje de absisas D
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
y: posición (en m)
Los gráficos permiten organizar la información de 800 una situación particular. Por ejemplo: Santino todas las mañanas sale de su 600 casa y va hacia la escuela. Al salir de la escuela, 400 su abuela lo pasa a buscar, almuerzan juntos y 200 x: tiempo (en h) finalmente vuelve a su hogar. El gráfico muestra la posición de Santino respecto de su casa a medida 0 1 2 3 4 5 6 que pasa el tiempo. –200 • El eje x representa el tiempo trascurrido en horas. • El eje y representa la posición de Santino. –400 A partir de observar el gráfico, se pueden obtener –600 distintas informaciones: • Santino tardó quince minutos en trasladarse de su hogar a la escuela y permaneció allí cuatro horas. • Desde que salió de su casa hasta que volvió, pasaron seis horas. • La escuela queda a 800 m de la casa de Santino. • La casa de la abuela queda a 500 m de la casa de Santino y a 1.300 m de la escuela. • Santino tarda 30 minutos en trasladarse de la escuela a la casa de su abuela.
Función lineal
12
Una función lineal es una función que puede expresarse mediante la fórmula y = a · x + b, en la cual a y b representan números y a ≠ 0. El gráfico de una función lineal es una recta. Por ejemplo: y = –4x + 3 (a = –4 y b = 3). x
–2
–1
0
1
y
11
7
3
–1
• Si el valor de b = 0, su fórmula será y = a · x que coincide con la fórmula de proporcionalidad directa. La función de proporcionalidad directa es un caso particular de la función lineal.
y
10 8 6 4 2 –3 –2 –1 0 –2 –4
1 2
3
x
85
Teoría ı Capítulo 5 Proporcionalidad Proporcionalidad directa Dos variables se relacionan en forma directamente proporcional cuando el cociente entre sus cantidades es la constante de proporcionalidad (k): k = xy . La fórmula general de una función de proporcionalidad directa es: y = k · x, y su representación es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Por ejemplo: En una carnicería, el kilogramo de carne picada cuesta $96. El gráfico muestra los precios en función de la cantidad de kilogramos. y: precio (en $) Peso (en kg) Precio (en $)
288 240
∙ 1,5
192 144
∙2
96 48 0
1
96
1,5
144
2
192
2,75
264
3
288
∙ 1,5
∙2
k = 144 : 1,5 = 96 y = 96 ∙ x
3 x: peso (en kg)
2
1
• En la proporcionalidad directa, si una variable aumenta, la otra también lo hace en la misma proporción; y si una variable disminuye, la otra también lo hace en la misma proporción. Por ejemplo: si una variable se triplica, la otra también se triplica; o si una variable se reduce a la mitad, la otra también lo hace.
Proporcionalidad inversa Dos variables se relacionan en forma inversamente proporcional cuando el producto entre sus cantidades es constante (k): k = y · x. La fórmula general de una función de proporcionalidad inversa es y = kx , y su representación es una hipérbola. Por ejemplo: El gráfico muestra el tiempo que un micro de larga distancia demora en llegar a destino en función de la velocidad a la que se desplaza. y: velocidad (en km/h) 280 240 200
Tiempo (en h)
Velocidad (en km/h)
2
280
4
140
∙2
160
∙ 2,5
120 80 40 0
2
4
6
8
10
12
14
8
70
10
56
14
40
k = 4 ∙ 140 = 560 y = 560 x
x: tiempo (en h)
• En la proporcionalidad inversa, si una variable aumenta, la otra variable se reduce en la misma proporción. Por ejemplo: si una variable se duplica, la otra se reduce a la mitad.
86
:2 : 2,5
Ejercitación 1.
Ricardo se va de viaje con su familia. Sale de su casa con su esposa y su hija hacia la casa de su cuñada; una vez allí, emprenden el viaje hacia Bahía Blanca. Al poco tiempo de partir, pinchan un neumático y se detienen para arreglarlo. Luego, continúan; al pasar unas horas, se detienen a almorzar. Finalmente, siguen el viaje hasta llegar a destino. El gráfico representa la situación. Observalo y respondé.
3.
ı Capítulo 5
Explicá si los gráficos cartesianos son correctos y si los puntos indicados corresponden a las tablas. En los casos incorrectos, explicá el error. a. 75
y x
y
5
15
10
30
20
60
25
75
x
y
2 3 4
1
12
2
6
6
3
4
6
2
60 45 30 15 0
b.
5 10 15 20 25 x
y: posición (en km) 600 500 400 300 200 100
12
0 –100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
x: tiempo (en horas)
a. Si se fueron de la casa a las 8 de la mañana, ¿a qué hora llegaron a destino? b. ¿Cuánto tiempo demoraron en cambiar el neumático? c. ¿A qué hora se detuvieron para almorzar? d. ¿Cuál es la distancia entre la casa de Ricardo y la casa de su cuñada? e. ¿Qué significa la posición negativa en el gráfico? f. ¿Cuántos kilómetros recorrieron en total? g. ¿En qué trayecto circulan a mayor velocidad: desde que arreglan el neumático hasta que se detienen a almorzar o desde que almuerzan hasta que llegan a destino?
2.
Dada la función lineal y = 5x – 3, completá la tabla y representala. x
–4
–2
0
6
4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15
Observá la tabla y decidí cuál es la fórmula correspondiente. x
–5
7
–1
11
y
–6
18
2
26
a. y = 2,75x + 7,75 b. y = 3x + 9
5.
c. y = 4 + 2x d. y = x – 1
Indicá V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Justificá los casos que sean falsos. a. El área de los rectángulos de base 8 cm y su correspondiente altura son directamente proporcionales. b. Si dadas dos magnitudes cuando una aumenta la otra disminuye, podemos afirmar que son inversamente proporcionales. c. Si en una función lineal f(x) = ax + b se verifica que f(0) = 0, la función es directamente proporcional.
8
y
87 Control de respuestas, página 90.
Ejercitación 6.
7.
8.
9.
ı Capítulo 5
Respondé teniendo en cuenta la secuencia de números: 12; 7; 2; –3; –8;… a. ¿Qué valor tendrá el décimo término de la secuencia? b. ¿Qué posición ocupará el número –28 en la secuencia? c. Si llamamos x al número de posición e y al valor del término en esa posición, escribí una fórmula que permita calcular el valor de y en función de x. Para pintar una habitación de 90 m2, se necesitan 11,25 litros de pintura. ¿Cuánta pintura más será necesaria para pintar una superficie de 136 m2? Una rueda de bicicleta da aproximadamente 1.647 vueltas para recorrer 3 km. ¿Cuántas vueltas dará para hacer 2,5 km? ¿Cuál es el diámetro de esta rueda? Dos engranajes giran juntos, uno tiene 72 dientes y el otro 96. Cuando el más pequeño dio 20 vueltas completas, ¿cuántas dio el otro?
10. Un tren de alta velocidad que se desplaza a una velocidad constante de 280 km/h tarda 2,5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer esa misma distancia si su velocidad disminuye 30 km/h?
11. Cecilia
está estudiando para su examen de Geografía. Observa en un mapa que la distancia entre dos ciudades es de aproximadamente 2,6 cm. Si la escala utilizada en ese mapa es de 0,5 cm : 125 km, ¿cuál es la distancia entre ambas ciudades?
12. Magalí
dibujó figuras geométricas para la clase de Matemática; entre ellas, un triángulo cuyos lados miden 8 cm, 12 cm y 18 cm. Realizó una fotocopia del triángulo con una reducción de manera que el lado de 12 cm tiene una longitud de 9 cm. a. ¿Cuánto miden los otros dos lados? b. ¿Cuál es la escala utilizada?
13. Analizá cada una de las tablas e indicá si hay una relación proporcional entre sus variables. En caso afirmativo, encontrá el valor de la constante de proporcionalidad e indica su fórmula correspondiente.
a.
b.
c.
x
14
70
–7
–0,07
y
–2,5
–0,5
5
500
x
5,8
35
12
–1
y
18,56
112
–38,4
3,2
x
4
–3,2
20
–6,8
y
–10
8
–50
17
14. Sin graficar ni hacer una tabla, indicá cuáles de estas funciones son decrecientes. a. y = 53 x – 4 b. y = 8 – 2x c. y = –0,4x + 6,5 d. y = –7 + 5x e. y = – 2 x + 8 5
15. Entre estas rectas, hay dos que son paralelas. Sin graficar, indicá cuáles son. a. y = 53 x – 4 b. y = 8 – 53 x c. y = –0,4x + 6,5 d. y = –7 – 25 x e. y = 2 x + 8 5
88 Control de respuestas, página 90.
Autoevaluación ı 1.
Capítulo 5
Dadas estas funciones lineales, leé atentamente e indicá lo pedido en cada caso. y = 2x – 5 y = 6 – 3x 3 5 y = –1x + 2 y = 2 + 2x 5
3
a. Dos funciones cuya gráfica sean rectas paralelas. b. Dos funciones cuya gráfica corte el eje de las ordenadas en el mismo punto. c. Dos funciones cuya gráfica corte el eje de las abscisas en el mismo punto. d. Una función creciente. e. Una función decreciente. f. Graficá las funciones.
y 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1 –5
1
2
3
x
4
–3 –4
2.
Si una pileta se llena usando 10 canillas iguales en 30 horas, ¿cuánto tardará en llenarse si se usa el triple de las canillas? ¿Y si se usan 4 canillas menos?
3.
Marcá con una X el gráfico correspondiente a una función de proporcionalidad inversa.
a.
b.
y
x
c.
y
x
d.
y
x
e.
y
x
y
x
89 Control de respuestas, página 90.
Control de respuestas ı Ejercitación
Capítulo 5 10. 2,8 horas = 2 horas 48 minutos
1. a. Llegaron a las 18.00. b. Demoraron media hora. c. Se detuvieron a las 14.00. d. 50 km. e. Significa que está para el lado contrario a Bahía Blanca en la ruta respecto de su casa. f. En total recorrieron 700 km. g. En el trayecto desde
11. La distancia es de 650 km. 12. Los lados miden 6 cm y 13,5 cm. La escala utilizada fue 1 cm : 1,3 cm. 13. a. Proporcionalidad inversa. k = –35; y = – 35 x
b. No hay proporcionalidad. c. Proporcionalidad
que arreglan el neumático hasta que se detie-
directa. k = –2,5; y = –2,5x
nen a almorzar. 2.
x
–4
–2
0
6
8
y
–23
–13
–3
27
37
14. b, c y e. 15. c y d.
y
Autoevaluación 1. a. y = 2 x – 5; y = 2 + 2 x b. y = – 1 x + 2;
4
3
3
5
3
y = 2 + 2x
2
d. y = 2 x – 5 e. y = – 1 x + 2
3
5
3
1 –4 –3 –2 –1
c. y = – 1 x + 2; y = 6 – 3 x 5
f. 1
2
3
4
5
y
x
y = 6 – 3x 5
y = 2 + 2x 3
–3
6 y = –1x + 2 5
y = 2x – 5 3
x
–5 –13 3. a. Correcto. b. Incorrecto. En el eje de las ordenadas, los números están ordenados en forma decreciente. 4. La opción correcta es la c. 5. a. V b. F. Deben hacerlo en la misma proporción. c. V 6. a. –33 b. La novena posición. c. Por ejemplo, 17 – 5x o 12 – 5 · (x – 1). 7. Se necesitarán 17 litros de pintura, es decir, 5,75 litros más. 8. Dará 1.372,5 vueltas. Tiene 58 cm de diámetro. 9. El otro dio 15 vueltas.
90
2. Tardará 10 horas. Tardará 50 horas. 3. c