Seqüência

Seqüência 1º. Diz-se que uma seqüência (xn) é de Cauchy se dado ε > 0 existir n0 ∈ N tal que m, n > n0 → x m − x n . < ε

Isto é, para todo m, n suficientemente grandes xm, xn estão tão próximo quanto se queira.

Prove que toda seqüência de Cauchy é limitada.

Tomando ε =1. Seja n0 ∈N , tal que. m, n > n0 → x m − x n <1. Em particular x m − xn0 −1 < xm − xn0 −1 <1 → xm <1 + xn0 −1 = C 0

{

}

tome c = x1 , x2 ,..., x n0 ,..., C 0 . Assim xm < c, ∀m ∈N

Prove que (xn) é de Cauchy se, e somente se, (xn) é convergente.

) Pelo item ( a) temos que ( xn) é limitada, por Bolzamo-weiertress ( xn) possui uma subseqüência

(←)

convergente. Seja lim

= a.

2º. Seja ( xn) uma seqüência monótona, se ela admite uma subseqüência convergente então ela também é convergente.

3º. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência ( xn ) pondo x1 =

( xn ) é convergente e calcule seu lim ite. x1 =

a , x2 =

a + a , x3 =

a + a + a , xn =

a e xn +1 =

a a + + a .

Afirmação : ( x n ) é crescente, vamos usar indução para pro var . n =1 →x12 = a; x 22 = a + a →x 22 > x12 → x 2 > x1 .

Supondo válido para n, ou seja, x n < x n +1 e tentaremos pro var que x n +1 < x n +2 x n +1 =

a a + + a + a → x n2+1 = a + x n < a + x n +1 <

em resumo x n +1 < x n +2 .

a + x n +1 = x n +2

a + xn . Pr ove que

Afirmação : x n ≤ c, ∀ n ∈N , onde c é a raiz positiva de uma equação x 2 − x + a = 0 Usaremos indução x1 =

a <

1 + 1 + 4a =c 2

Supondo válido para n, ou seja, x n ≤ c. a + x n →( x n +1 ) = a + x n ≤ a + c = c 2 → x n +1 ≤ c.

2

x n +1 =

Em resumo x1 ≤ x n ≤ c; ∀ n ∈ N por tan to lim x n = sup{x n } = c, ou seja,

a a + + a + a = c

1

4º. Mostre que lim n n = lim n n = 1. x1 = 1, x 2 = 2 ,  , x n = n n . Temos que x3 > x 4 >  > x n > x n +1 >  observe que se for x n > x n +1 1

(1 + n ) 1+n

1

< n n → (n + 1) < n

( n + 1) < n n .n → ( n +n1) n

n

n +1 n

=n

1+

1 n

1

= n.n n n

n

1  n +1  < n →  < n → 1 +  < n, ∀ n ≥ 3 onde n ∈ N n  n  

para n = 3 3

64  1 <3 1 +  < 3 → 3 27   n

1  Supondo válido para n, ou seja, 1 +  < n, e vamos tentar mostrar para n +1 n  n +1

n

1  1 1 1    1 + .1 +  < n.1 +  →1 +  n  n n n    n +1

1   1 +  n +1  

5º. a n ≥ 0 e

< n +1

n +1

1  < 1 +  n 

< ( n +1)

a n +1 ≤ c, onde c > 1 então lim a n = 0. an

2

1

1

1

1   Tomemos x 22n = ( 2n ) 2 n  = (2n) n = 2 n .n n , log o lim x n = L ≤ 1  

1

1

L2 = lim( x 2 n ) 2 = lim 2 n . lim n n = L, por tan to L2 = L → L2 − L = 0 → L( L −1) = 0, ou seja, L = 0 ou L = 1, como L ≥ 1 então L = 1.

1

6º. lim n n! = lim( n!) n = +∞

Sabemos que para a > 1, lim

an = 0, log o dado ε = 1, ∃ n0 ∈ N , tal que n > n0 → n!

1 1 an < 1 → n !> a n → ( n !) n > ( a n ) n = a. n!

Em resumo, dado a > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 → ( n !) > a, ou seja, lim

an =∞ n!

7º. Uma seqüência ( xn) é dita periódica quando existe p ∈N tal que x n + p = xn , para todo n ∈ N . Prove que to seqüência monótona e convergente e é constante.

Seja lim( xn ) = a.

Afirmação : ( xn ) = a, ∀ n ∈ N , de fato seja n ∈ N , então x n = xn+ p =x n +2 p =  = xn+kp =  mas ( x n+kp ) é uma subsequência de xn , então xn = lim( xn+kp ) = a, ou seja, xn = a, ∀ n ∈ N .

8º. a∈ R, é valor de aderência de uma seqüência ( xn) se existir uma subseqüência de ( xn) convergindo para a. dê exemplo de uma seqüência ( xn). cujo o conjunto dos valores de aderência é. a) A = { 1, 2, 3} b) A = N c) A = [0, 1]

xn → a, então qualquer subseqüência de ( xn) converge para a. onde {valor de aderência de ( xn) } = { a}. xn = ( - 1)n = (-1, 1, -1, 1, ...) valor de aderência de ( xn) = (1, -1) A = {1, 2, 3} x3 n +1 =1, x3 n +2 = 2 e x3 n = 3 ∀ n ∈N ( x n ) ={1, 2, 3, 1, 2, 3. .., 1, 2, 3, ...}, então valor de aderêcia de xn ={1, 2, 3}

A=N Seja N = N 1 ∪ N 2 ∪ . ∪ N k ∪ 

Uma decomposição de N numa reunião infinita de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos. Defina a seqüência

 xn1 = 1, ∀ n ∈ N 1   xn2 = 2, ∀ n ∈ N 2    x = k, ∀ n ∈ N k  nk   A= [0,1] Seja {r1 , r2 , ..., rn , ...} uma enumeração dos racionais ≥ 0 e ≤1 , então xn = rn, tal que os valores de aderência.

9º. Se uma seqüência é limitada e tem um único valor de aderência então ela converge.

Seja a o único valor de aderência de xn.

Afirmação: xn

a

Suponhamos o contrario, ou seja, xn não converge para a. lim x n = a ≅ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; n > n0 → x n − a < ε

Ou seja, existe uma subseqüência

tal que

. Como

pelo teorema de Bolzamo-Weiertrass existe uma subseqüência

, sendo

, fazendo

= b se a < b. prove que existe .

Tome c

R, tal que

11º.

Se

.

12º. .

de

tal que

. Em particular b

isso é um absurdo pois a, b são valores de aderência.

10º. Sejam

é limitada,

a,

.

13º. Se o numero real a não é o limite da seqüência limitada ( xn), prove que alguma subseqüência de ( xn) converge para um limite b

.

Como ( xn) não converge para a, seja

.

14º. Prove que toda seqüência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência. . →

Se

←

Como

.

15º. Quais são os valores de aderência da seqüência

tal que

Os valores de aderência de Seja

, uma decomposição de N numa reunião infinita de

conjuntos infinitos dois a dois disjuntos. Defina a subseqüência

por

 x2m1 − 1 = 1, ∀ m1 ∈ N1   x2m2 − 1 = 3, ∀ m2 ∈ N 2  A = N   x = 1, ∀ m ∈ N k k  2 mk − 1   E o valor de aderência x 2 m =

1 , é 0. logo xm não converge. m

16º. Prove que para todo p ∈N , tem-se lim n +p n =1 .

1

m+ p m , logo Sabemos que lim n n = 1 . Tomando a subseqüência x m =

lim

m +p

m =1 .

17º. Se existem ε > 0 e k ∈ N , tais que ε ≤ x n ≤ n k , para todo n suficientemente grande, prove que lim n x n = 1 .Use o fato para calcular

lim n n + k , lim n n + n

,

lim n log(n) e lim n n log(n) .

Como

1≤

1 xnn

ε ≤ x n ≤ n →ε k

1 n

≤x

1 n n

( )

≤ n

k

1 n

→ε

≤ 1k = 1 , pelo teorema do sanduíche

• n > k → 2n > n + k 1 < n + k < 2n < n k , n > 2 → n + k → 1

1 n

≤x

1 n n

 1n ≤ n 

limxn →1 .

k

  →  

quando

n → ∞ tem-se

• 1 < n + n < 2 n < n 2 , n > 2 → n n + n →1

log(n) → 0, log(n) < n, ∀ n > n0 n log(n) 1< < n 2 , n > 10 n •

18º. Dados k ∈ N e a > 0 determine o lim

lim

ann ! n k a n n! .n → e lim nn nn

n! , supondo a ≠0 e a ≠ e , calcule n .a n k

∞. n!

n!

n!

Sabemos que n k ≤ a n ≤ n!≤ n n , logo n k .a n > a n .a n = 2 n . Como (a )

( n + 1)!( a 2 ) n lim ( a 2 ) n .n!

• lim

lim

(n + 1)n!(a 2 ) n n +1 n! = lim = lim 2 = ∞ então lim k n = ∞ 2 n 2 ( a ) ( a n!) a n a

a n n! nn

a n +1 (n +1)! n n a n a ( n +1)n! n n an n = lim = lim = (n +1) n +1 a n n! ( n +1) n ( n +1)a n n! ( n +1) n

  1  n  lim  a = lim 1   n +1  1 + n  n

n

  n a  a = lim1 a = . n e  1   lim1 +   n 

n k a n n! a n n!

• lim , x n = n . Como demonstrado anteriormente, se nn n

a< e

lim x n = a e se a > e → lim x n = ∞ . Logo k

lim

k

(n + 1) k x n +1 n k a n n!

1 x a  n + 1  x n +1  k = lim n x → lim = lim = lim1 +  n +1 =  n n k k  xn e n n xn  n  xn 

se a < e → lim n k x n = 0 se a > e → lim n k x n = ∞

19º. Dadas as seqüências ( xn) e ( yn), defina ( zn) pondo z 2n-1 = xn e z 2n = yn. se lim xn = lim y n = a . Prove que lim z n = a . lim x n = a → ∃ n1 ∈ N ; n > n1 → x n − a < ε lim y n = a → ∃ n 2 ∈ N ; n > n 2 → y n − a < ε seja n0 = max{ 2n1 − 1, 2n 2 } n > n0 → x n − a < ε e y n − a < ε se n = 2k então n > n0 → k > n1 → z n − a = x n − a < ε se n = 2 z − 1 então n > n0 → k > n 2 → z n − a = y n − a < ε por tan to lim z n = a

20º. A fim de que o número real a seja valor de aderência de ( xn) é necessário e suficiente que, →

∀ε > e todo k ∈N dados, exista n > k tal que x n − a < ε .

( ) é uma subseqüência

( )

a é valor de aderência de ( xn) → lim x nk = a onde xn k

( )

de ( xn). como lim x nk = a → ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ; n > n0 → x n − a < ε . ←

como

k

∀ε > e todo k ∈N dados, exista n > k tal que x n − a < ε ,

lim xn = a logo a é valor de aderência de xn.

ou seja,