Seqüência 1º. Diz-se que uma seqüência (xn) é de Cauchy se dado ε > 0 existir n0 ∈ N tal que m, n > n0 → x m − x n . < ε
Isto é, para todo m, n suficientemente grandes xm, xn estão tão próximo quanto se queira. Prove que toda seqüência de Cauchy é limitada. Tomando ε =1. Seja n0 ∈N , tal que. m, n > n0 → x m − x n <1. Em particular x m − xn0 −1 < xm − xn0 −1 <1 → xm <1 + xn0 −1 = C 0
{
}
tome c = x1 , x2 ,..., x n0 ,..., C 0 . Assim xm < c, ∀m ∈N
Prove que (xn) é de Cauchy se, e somente se, (xn) é convergente.
) Pelo item ( a) temos que ( xn) é limitada, por Bolzamo-weiertress ( xn) possui uma subseqüência
(←)
convergente. Seja lim
= a.
2º. Seja ( xn) uma seqüência monótona, se ela admite uma subseqüência convergente então ela também é convergente.
3º. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência ( xn ) pondo x1 =
( xn ) é convergente e calcule seu lim ite. x1 =
a , x2 =
a + a , x3 =
a + a + a , xn =
a e xn +1 =
a a + + a .
Afirmação : ( x n ) é crescente, vamos usar indução para pro var . n =1 →x12 = a; x 22 = a + a →x 22 > x12 → x 2 > x1 . Supondo válido para n, ou seja, x n < x n +1 e tentaremos pro var que x n +1 < x n +2 x n +1 =
a a + + a + a → x n2+1 = a + x n < a + x n +1 <
em resumo x n +1 < x n +2 .
a + x n +1 = x n +2
a + xn . Pr ove que
Afirmação : x n ≤ c, ∀ n ∈N , onde c é a raiz positiva de uma equação x 2 − x + a = 0 Usaremos indução x1 =
a <
1 + 1 + 4a =c 2
Supondo válido para n, ou seja, x n ≤ c. a + x n →( x n +1 ) = a + x n ≤ a + c = c 2 → x n +1 ≤ c. 2
x n +1 =
Em resumo x1 ≤ x n ≤ c; ∀ n ∈ N por tan to lim x n = sup{x n } = c, ou seja,
a a + + a + a = c
1
4º. Mostre que lim n n = lim n n = 1. x1 = 1, x 2 = 2 , , x n = n n . Temos que x3 > x 4 > > x n > x n +1 > observe que se for x n > x n +1 1
(1 + n ) 1+n
1
< n n → (n + 1) < n
( n + 1) < n n .n → ( n +n1) n
n
n +1 n
=n
1+
1 n
1
= n.n n n
n
1 n +1 < n → < n → 1 + < n, ∀ n ≥ 3 onde n ∈ N n n
para n = 3 3
64 1 <3 1 + < 3 → 3 27 n
1 Supondo válido para n, ou seja, 1 + < n, e vamos tentar mostrar para n +1 n n +1
n
1 1 1 1 1 + .1 + < n.1 + →1 + n n n n n +1
1 1 + n +1
5º. a n ≥ 0 e
< n +1
n +1
1 < 1 + n
< ( n +1)
a n +1 ≤ c, onde c > 1 então lim a n = 0. an
2
1
1
1
1 Tomemos x 22n = ( 2n ) 2 n = (2n) n = 2 n .n n , log o lim x n = L ≤ 1
1
1
L2 = lim( x 2 n ) 2 = lim 2 n . lim n n = L, por tan to L2 = L → L2 − L = 0 → L( L −1) = 0, ou seja, L = 0 ou L = 1, como L ≥ 1 então L = 1.
1
6º. lim n n! = lim( n!) n = +∞
Sabemos que para a > 1, lim
an = 0, log o dado ε = 1, ∃ n0 ∈ N , tal que n > n0 → n!
1 1 an < 1 → n !> a n → ( n !) n > ( a n ) n = a. n!
Em resumo, dado a > 0, existe n0 ∈ N tal que n > n0 → ( n !) > a, ou seja, lim
an =∞ n!
7º. Uma seqüência ( xn) é dita periódica quando existe p ∈N tal que x n + p = xn , para todo n ∈ N . Prove que to seqüência monótona e convergente e é constante. Seja lim( xn ) = a. Afirmação : ( xn ) = a, ∀ n ∈ N , de fato seja n ∈ N , então x n = xn+ p =x n +2 p = = xn+kp = mas ( x n+kp ) é uma subsequência de xn , então xn = lim( xn+kp ) = a, ou seja, xn = a, ∀ n ∈ N .
8º. a∈ R, é valor de aderência de uma seqüência ( xn) se existir uma subseqüência de ( xn) convergindo para a. dê exemplo de uma seqüência ( xn). cujo o conjunto dos valores de aderência é. a) A = { 1, 2, 3} b) A = N c) A = [0, 1]
xn → a, então qualquer subseqüência de ( xn) converge para a. onde {valor de aderência de ( xn) } = { a}. xn = ( - 1)n = (-1, 1, -1, 1, ...) valor de aderência de ( xn) = (1, -1) A = {1, 2, 3} x3 n +1 =1, x3 n +2 = 2 e x3 n = 3 ∀ n ∈N ( x n ) ={1, 2, 3, 1, 2, 3. .., 1, 2, 3, ...}, então valor de aderêcia de xn ={1, 2, 3}
A=N Seja N = N 1 ∪ N 2 ∪ . ∪ N k ∪
Uma decomposição de N numa reunião infinita de conjuntos infinitos dois a dois disjuntos. Defina a seqüência
xn1 = 1, ∀ n ∈ N 1 xn2 = 2, ∀ n ∈ N 2 x = k, ∀ n ∈ N k nk A= [0,1] Seja {r1 , r2 , ..., rn , ...} uma enumeração dos racionais ≥ 0 e ≤1 , então xn = rn, tal que os valores de aderência. 9º. Se uma seqüência é limitada e tem um único valor de aderência então ela converge. Seja a o único valor de aderência de xn. Afirmação: xn
a
Suponhamos o contrario, ou seja, xn não converge para a. lim x n = a ≅ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N ; n > n0 → x n − a < ε
Ou seja, existe uma subseqüência
tal que
. Como
pelo teorema de Bolzamo-Weiertrass existe uma subseqüência
, sendo
, fazendo
= b se a < b. prove que existe .
Tome c
R, tal que
11º.
Se
.
12º. .
de
tal que
. Em particular b
isso é um absurdo pois a, b são valores de aderência.
10º. Sejam
é limitada,
a,
.
13º. Se o numero real a não é o limite da seqüência limitada ( xn), prove que alguma subseqüência de ( xn) converge para um limite b
.
Como ( xn) não converge para a, seja
.
14º. Prove que toda seqüência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência. . →
Se
←
Como
.
15º. Quais são os valores de aderência da seqüência
tal que
Os valores de aderência de Seja
, uma decomposição de N numa reunião infinita de
conjuntos infinitos dois a dois disjuntos. Defina a subseqüência
por
x2m1 − 1 = 1, ∀ m1 ∈ N1 x2m2 − 1 = 3, ∀ m2 ∈ N 2 A = N x = 1, ∀ m ∈ N k k 2 mk − 1 E o valor de aderência x 2 m =
1 , é 0. logo xm não converge. m
16º. Prove que para todo p ∈N , tem-se lim n +p n =1 . 1
m+ p m , logo Sabemos que lim n n = 1 . Tomando a subseqüência x m =
lim
m +p
m =1 .
17º. Se existem ε > 0 e k ∈ N , tais que ε ≤ x n ≤ n k , para todo n suficientemente grande, prove que lim n x n = 1 .Use o fato para calcular
lim n n + k , lim n n + n
,
lim n log(n) e lim n n log(n) .
Como
1≤
1 xnn
ε ≤ x n ≤ n →ε k
1 n
≤x
1 n n
( )
≤ n
k
1 n
→ε
≤ 1k = 1 , pelo teorema do sanduíche
• n > k → 2n > n + k 1 < n + k < 2n < n k , n > 2 → n + k → 1
1 n
≤x
1 n n
1n ≤ n
limxn →1 .
k
→
quando
n → ∞ tem-se
• 1 < n + n < 2 n < n 2 , n > 2 → n n + n →1
log(n) → 0, log(n) < n, ∀ n > n0 n log(n) 1< < n 2 , n > 10 n •
18º. Dados k ∈ N e a > 0 determine o lim
lim
ann ! n k a n n! .n → e lim nn nn
n! , supondo a ≠0 e a ≠ e , calcule n .a n k
∞. n!
n!
n!
Sabemos que n k ≤ a n ≤ n!≤ n n , logo n k .a n > a n .a n = 2 n . Como (a )
( n + 1)!( a 2 ) n lim ( a 2 ) n .n!
• lim
lim
(n + 1)n!(a 2 ) n n +1 n! = lim = lim 2 = ∞ então lim k n = ∞ 2 n 2 ( a ) ( a n!) a n a
a n n! nn
a n +1 (n +1)! n n a n a ( n +1)n! n n an n = lim = lim = (n +1) n +1 a n n! ( n +1) n ( n +1)a n n! ( n +1) n
1 n lim a = lim 1 n +1 1 + n n
n
n a a = lim1 a = . n e 1 lim1 + n
n k a n n! a n n! • lim , x n = n . Como demonstrado anteriormente, se nn n
a< e
lim x n = a e se a > e → lim x n = ∞ . Logo k
lim
k
(n + 1) k x n +1 n k a n n! 1 x a n + 1 x n +1 k = lim n x → lim = lim = lim1 + n +1 = n n k k xn e n n xn n xn
se a < e → lim n k x n = 0 se a > e → lim n k x n = ∞
19º. Dadas as seqüências ( xn) e ( yn), defina ( zn) pondo z 2n-1 = xn e z 2n = yn. se lim xn = lim y n = a . Prove que lim z n = a . lim x n = a → ∃ n1 ∈ N ; n > n1 → x n − a < ε lim y n = a → ∃ n 2 ∈ N ; n > n 2 → y n − a < ε seja n0 = max{ 2n1 − 1, 2n 2 } n > n0 → x n − a < ε e y n − a < ε se n = 2k então n > n0 → k > n1 → z n − a = x n − a < ε se n = 2 z − 1 então n > n0 → k > n 2 → z n − a = y n − a < ε por tan to lim z n = a
20º. A fim de que o número real a seja valor de aderência de ( xn) é necessário e suficiente que, →
∀ε > e todo k ∈N dados, exista n > k tal que x n − a < ε .
( ) é uma subseqüência
( )
a é valor de aderência de ( xn) → lim x nk = a onde xn k
( )
de ( xn). como lim x nk = a → ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ; n > n0 → x n − a < ε . ←
como
k
∀ε > e todo k ∈N dados, exista n > k tal que x n − a < ε ,
lim xn = a logo a é valor de aderência de xn.
ou seja,