Seqüência

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Seqüência 1º. Diz-se que uma seqüência (xn) é de Cauchy se dado ε > 0 existir n0 ∈ N tal que m, n > n0 → x m − x n . < ε

Isto é, para todo m, n suficientemente grandes xm, xn estão tão próximo quanto se queira. Prove que toda seqüência de Cauchy é limitada. Tomando ε =1. Seja n0 ∈N , tal que. m, n > n0 → x m − x n <1. Em particular x m − xn0 −1 < xm − xn0 −1 <1 → xm <1 + xn0 −1 = C 0

{

}

tome c = x1 , x2 ,..., x n0 ,..., C 0 . Assim xm < c, ∀m ∈N

Prove que (xn) é de Cauchy se, e somente se, (xn) é convergente.

) Pelo item ( a) temos que ( xn) é limitada, por Bolzamo-weiertress ( xn) possui uma subseqüência

(←)

convergente. Seja lim

= a.


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