La Geometria Plana. Una aproximación a la Realidad

LA GEOMETRIA PLANA. UNA APROXIMACIÓN A LA REALIDAD

María Alejandra Febres Cordero Colmenárez

LA GEOMETRIA PLANA. UNA APROXIMACIÓN A LA REALIDAD

Sobre la Autora

María Alejandra Febres Cordero Colmenárez (MAFE), Economista (1995) con Magister Scientaie en Economía (1998) en la Universidad de los Andes. Mérida Venezuela.

Desempeño en el área educativa: Docente Ad Honoren en la Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales de la Universidad de los Andes. Escuela de Geografía, Mérida, Venezuela (2005); Facilitadora del Programa de Estudios Abiertos en Desarrollo Social (PEADS) (Módulo Políticas Públicas) en la Facultad de Ciencias Jurídicas y Políticas, Universidad de Los Andes, Mérida Venezuela (2004); Docente contratada (Cátedra Microeconomía) en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida; Venezuela (2003); Profesora Contratada (Administración de Plantas y Operaciones, Matemática Financiera, Estudio de Mercado, Formulación y Evaluación de Proyectos) en el Instituto Tecnológico Universitario “Cristóbal Mendoza”, Mérida, Venezuela (1996-1997).

Desempeño actual: Docente en el Departamento Geomecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes, Mérida estado Mérida y en la Universidad Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Mejoramiento Profesional del Magisterio. Núcleo Académico Mérida.

Desde sus años de estudio en la Universidad de los Andes descubrí que me gustaba escribir textos educativos, lo que me motivo a publicar: Microeconomía: Un Análisis en el Corto Plazo. Anauco Ediciones C.A. Caracas, Venezuela. Mayo 2003; Introducción a la Economía en Teoría y Práctica.

Universidad de Los Andes, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. 1995, y Prácticas de Introducción a la Economía I. Universidad de Los Andes, Facultad de Ciencias Económicas y Sociales. 1994.

Estudiante de la Cohorte 6 del Componente Docente que dicta el Programa de Actualización Docente (PAD) de la Universidad de los Andes, estudios que me fortalecerán mi desempeño como docente pues me permitirá conocer y manejar nuevas estrategias didácticas.

A la memoria de mi padre Rubén, quién desde la eternidad celebra esta nueva meta.

A mi madre Fanny, quién con sus oraciones y consejos me ayuda en todo momento.

A mis hermanos, Hely, Ruben, Jorge, la Negra, Ana, Anabel, Karin y Junior, que esta nueva meta les sirva de estímulos.

A los pequeños y traviesos de las casa, quienes con su inocencia y tremenduras me llenan cada día de alegría A mi tíos, quienes siempre me dan palabras de aliento.

A todos y cada uno de ustedes Dios los bendiga.

CONTENIDO

Introducción

La Geometría

La Geometría. Figuras Geométricas

Referencias

INTRODUCCIÓN

Desde principios de la humanidad hasta hoy en día los estudiantes ven el estudio de la geometría como algo difícil, y en muchos casos fastidioso, debido a la manera como se enseña en las aulas de clases; por tanto es importante dotar al de medios sencillos y agradables que incentiven al estudiante a querer indagar en el tema de la geometría, Hoy en día, tanto en el aula presencial como en el estudio a distancia se emplean diferentes estrategias didácticas que facilitan el estudio de la geometría, aunado a la existencia de material en la web, tales como presentaciones, videos, audios y libros digitales.

La geometría ha sido utilizada a la largo de la humanidad como un mecanismo dar soluciones a los problemas más frecuentes de quienes la han aplicado, con frecuencia observamos en nuestro entorno aplicaciones de la geometría plana. En este sentido, este libro no pretende de ninguna manera agotar el tema tan amplio como lo es el estudio de la geometría plana, sino por el contrario inducir al lector a la comprensión de los elementos fundamentales de la geometría plana de manera secuencial y sencilla, dando a conocer los elementos que permitan identificar y construir figuras geométricas en relación a sus definiciones, formulas y características.

LA

G E O M E T R Í A.

La geometría (geo tierra y metria medida) como una rama de la matemática, es considerada la ciencia más antigua, pues desde inicio de la humanidad, el ser humano necesitó contar y creo los números, quiso realizar cálculos y diseño las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), así fue necesitando de otras herramientas que le permitieran satisfacer sus necesidades por lo que inventó el punto, la recta y las formas, por tanto creó las figuras, accionar éste que con el transcurrir del tiempo denominaron la geometría. Cuenta la historia, que la geometría existe desde el año 323 antes de Cristo, cuando Euclides escribió su primer trabajo de geometría denominado Los Elementos, referido a las nociones de punto, línea y superficie.

La geometría se divide en dos partes; la geometría plana (estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y la geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad). Al respecto, existen una gran variedad de definiciones, las cuales entre sí presentan elementos semejantes. A continuación encontrarás algunas de ellas:

El tema central de la unidad curricular Geometría, es el referido a la geometría plana, la cual como su nombre lo dice estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho. Sin embargo, para comprender este tipo de geometría de manera más clara, es importante conocer los elementos

referidos al punto, la recta, el ángulo, las figuras geométricas, el plano y los segmentos; sus axiomas, postulados y teoremas.

Para dar inicio a una discusión teórica acerca de la geometría se pudiera establecer en primer lugar los Axiomas de la Geometría Plana, entendiendo por axioma una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración (Baldor, 1983:8), en tal sentido se tiene:  Primer axioma. Existen unas "cosas" que se llaman puntos.  Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión, en tanto que los planos tienen dos dimensiones, ilimitadas ambas.  Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta.  Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De este axioma se puede deducir directamente que un plano está determinado: a) Por una recta y un punto exterior a la misma, b) por dos rectas que se cortan, y c) por dos rectas paralelas.  Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está toda ella incluida en él. De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puede ocupar varias posiciones:

a)

Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En

este caso decimos que la recta y el plano son paralelos, b)

que la recta tenga un solo punto común con el plano, en este caso, la recta corta al plano, y

c)

Que

la

recta

tenga

dos

puntos en común con el plano y por lo tanto está contenida en él.

d)

Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias.

e)

Si dos rectas no están en el mismo

plano

se

entonces que se cruzan.

dice

 Sexto axioma. Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de tal forma que:

a)

Todo

punto

que

no

pertenece al plano está en

uno

solo

de

los

semiespacios, b)

dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano, y

c)

dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea sin cortar el plano.

Amigo lector, te invito a que tomes papel y lápiz, dibuja un punto, una línea y un plano e intenta explicar los seis axiomas en los que se basa la geometría. No te engañes, no revises las páginas que anteceden a este ejercicio.

Ahora bien, llego la hora de conocer los Postulados de la Geometría Plana.

Al respecto, Euclides planteó cinco postulados, a saber:  Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.

 Cualquier

segmento

A

B

· · · ·

puede

prolongarse de manera continua en cualquier sentido.

 Se

puede

circunferencia

trazar con

una

centro

en

cualquier punto y de cualquier radio.

 Todos los ángulos rectos son congruentes.

 Por un punto exterior a una recta, se

puede

trazar

una

paralela a la recta dada.

única

A

·

· ·

Amigo lector, a fin de poder continuar con la lectura de este pequeño trabajo que dejó a usted, te recomiendo realizar el ejercicio de expresar en papel los postulados de Euclídes.

Tomando en cuenta tanto los axiomas como los postulados, entremos ahora a detallar los elementos que toma en cuenta la geometría plana, ellos son: el punto, la recta y el plano. Si revisamos la literatura matemática o la Web, encontraremos una gran variedad de definiciones de cada uno de los elementos constituyentes de la geometría plana, pero todas y cada una de ellas nos conduce a una definición similar, por lo que a continuación encontrarás de manera muy sencilla, clara y concisa el significado de cada elemento.



El punto: es el elemento

base de la geometría, porque con él determinamos las rectas y los planos. Se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.



El plano: se representa

con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega.



La recta: es una sucesión

ininterrumpida puntos

de

determinan

puntos, dos una

recta,

tienen una dimensión, la longitud.

Se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula.

L A G E O M E T R Í A. FIGUARAS GEOMÉTRICAS.

Para conocer sobre las figuras geométricas empecemos por ubicarnos por ejemplo en el patio de tu escuela, o en una cancha de fútbol o simplemente mira a tu alrededor donde podrás apreciar figuras geométricas. Entonces ¿qué es una figura geométrica?. La respuesta es muy sencilla es un espacio cerrado por líneas o superficies, en otras palabras es un lugar geométrico.

Así pues, las figuras geométricas que poseen lados rectos se denominan polígonos y las figuras que poseen lados curvos se les llama círculo y circunferencia.

Es

importante

recordar

que

las

formas

sólidas

o

tridimensionales corresponden a los cuerpos geométricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro, los cuales son parte de la geometría en el espacio, pues ocupan un lugar.

Antes de identificar las diferentes figuras geométricas, es importante tener una noción del término ángulo. Dicho término se define como la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común. Está formado por:

Amplitud: es la abertura que hay entre los lados. Los ángulos se miden mediante el uso del transportador de ángulos Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas

Bisectriz de un Ángulo: es la semirrecta, que pasando por el vértice, divide el ángulo en otros dos ángulos iguales.

Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas

Según la amplitud o abertura de los lados, los ángulos se clasifican en:  Ángulo recto: su amplitud es de 90º.

 Ángulo llano: su amplitud es de 180º.

 Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º.

 Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º.

 Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º.

 Ángulo completo: su amplitud es de 360º.  Ángulo nulo: su amplitud es 0º.  Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º.  Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º.

 Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º.

 Ángulos

adyacentes:

dos

ángulos

son

adyacentes

cuando

son

consecutivos y suplementarios a la vez.  Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común.

Qué te parece amigo lector, si nos detenemos unos minutos para resolver estos ejercicios 1.

Si un ángulo mide 60º y otro 30º, cómo definimos el ángulo si sumamos sus

amplitudes.

2.

Dibuja

dos ángulos cuya

suma

se

corresponda

con

un

ángulo

suplementario.

Bueno amigo lector, llego la hora de revisar las figuras geométricas. Recuerda que este tema lo conoces desde que eras niño. Comencemos por el triángulo.

El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará a analizar los polígonos de más lados.

Es decir: Según sus lados: Equilátero: tres lados iguales, Isósceles: dos lados iguales y el tercero con otra medida, y Escaleno: tres lados con distinta medida.

Según sus ángulos: Rectángulo: un ángulo recto, Acutángulo: tres ángulos agudos, y Obtusángulo: un ángulo obtuso.

Sigamos, con otra figura geométrica, como lo son los cuadriláteros, los cuales se definen como un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. En estos tipos

de polígonos se puede observar que dos de sus lados son opuestos (no tienen ningún vértice en común) y los otros lados son consecutivos (tienen un vértice en común). Recuerdas lo que es un vértice…..Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales, por lo tanto tienen cuatros ángulos internos y cuatro externos. Dado que tienen cuatros lados, los cuales pueden tener o no la misma longitud, se dice que los cuadriláteros se clasifican en:

1. Paralelogramas, cuadrilátero en el que todos sus lados enfrentados son paralelos; es decir, sus lados son paralelos dos a dos. Se clasifican en:

 Cuadrado: tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos son rectos.

 Rectángulo: tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos

 Rombo: tiene los cuatro lados iguales

 Romboide: tiene lados iguales dos a dos.

2. Trapecios: cuadrilátero en que dos de sus lados son paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

 Trapecio rectángulo: tiene un ángulo recto.

 Trapecio isósceles: tiene dos lados no paralelos iguales.

 Trapecio

escaleno:

no

tiene

ningún lado igual ni ángulo recto.

3. Trapezoide, no tiene lados paralelos ni iguales.  Trapezoide simétrico: posee dos pares de lados iguales pero no paralelos.

 Trapezoide

asimétrico:

cuatro

lados desiguales.

En esta parte de la lectura, haremos una pausa para reflexionar acerca de los triángulos y los cuadriláteros. Elabora un cuadro comparativo señalando las semejanzas y diferencias entre estos dos tipos de figuras geométricas.

Y finalmente, encontramos la Circunferencia que no es otra cosa que una línea curva, plana y cerrada; también se le conoce como el conjunto de todos los puntos de un plano que son equidistante de otro punto fijo llamado centro. El término EQUIDISTANTE significa que todos los puntos están a la misma distancia. Se caracteriza por poseer: un Centro, que es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; el Radio, es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; el Diámetro, que es un segmento mayor que une dos puntos de la circunferencia, y que necesariamente pasa por el centro; la Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia que no pasa

por el centro; la Recta Secante, es el segmento que corta a la circunferencia en dos puntos; la Recta Tangente, es el segmento que toca a la circunferencia en un sólo punto; y el Arco, que es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

Amigo lector te invito a dibujar una circunferencia señalando en ella cada una de sus características

A manera de conclusión, se puede decir que la geometría está presente en cada momento de nuestra vida, pero resulta que no nos damos cuenta, pues todo lo que está a nuestro alrededor es una figura geométrica: la hoja de papel, las luces del semáforo, el rayado de las calle y la señalización de las vías entre otras,

Referencias

Baldor, J. A. (1983). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Publicaciones Culturales S.A. http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Figuras_geometricas.htm http://www.euclides.org/menu/articles/historiadelageometria.htm http://geometriatrigonometria.blogspot.es/1266284999/ http://www.culturageneral.net/matematicas/definicion_geometria.htm