FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA
CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE PRIMERA PARTE DEL CURSO
NOMBRE_______________________ ID_________________ SECCIÓN__________________ SALÓN___________
Prof. Evelyn Dávila
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Tabla de contenido TEMA
A. CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................5 REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES .......................................................................11 REGLA PARA LA RESTA DE NÚMEROS REALES .....................................................................11 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES ................................................................................12 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES ............................................................13 ORDEN DE OPERACIONES .........................................................................................................14 FRACCIONES ................................................................................................................................16 Fracciones y Números Mixtos.....................................16 Expresar Una Fraccion Impropia Como Numero Mixto................16 Expresar Un Numero Mixto Como Fraccion Impropia................16 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................17 Simplificar Fracciones..........................................18 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES .............................................................................................19 Denominadores iguales...........................................19 Denominadores distintos.........................................19 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES .........................................................................................21 EXPONENTES ENTEROS ............................................................................................................24 Leyes de exponentes.............................................25 Práctica........................................................26
Respuestas..................................................................28
TEMA A:.....................................................................28
SUMA DE NUMEROS REALES......................................................28
REPASO
TEMA
A :
ENTEROS, FRACCIONES Y ORDEN DE OPERACIONES............29
TEMA B: RADICALES.........................................................31 PROPIEDADES Y OPERACIONES DE RADICALES ...................................................................33 SIMPLIFICAR RADICALES ............................................................................................................36 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................37 SUMA Y RESTA .............................................................................................................................38 MULTIPLICACIÓN..........................................................................................................................38 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................39 RACIONALIZAR EL DENOMINADOR ...........................................................................................39 PRÁCTICA INMEDIATA: Simplifica cada expresión................40 PRÁCTICA – PROPIEDADES Y OPERACIONES CON RADICALES.............41 EXPONENTES RACIONALES ......................................................................................................43
RESPUESTAS TEMA B
REPASO
TEMA
TEMA
C.
B:
RADICALES..............................................44
RADICALES.........................................45
POLINOMIOS.....................................................48
Autora: Prof. Evelyn Dávila
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ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA.....................................................48 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................48
POLINOMIOS..................................................................49 Grado de un polinomio:..........................................49 Práctica........................................................50 El opuesto de un polinomio.....................................50 Práctica:.......................................................50 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................51 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ...............................................................................................51 MULTIPLICACIÓN..........................................................................................................................52 I Monomio x Monomio............................................52 II Monomio x Polinomio.........................................52 III Polinomio x Polinomio.......................................53 MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS ................................................................................................53 PRÁCTICA INMEDIATA.............................................56 DIVISIÓN DE POLINOMIOS ..........................................................................................................57 PRÁCTICA INMEDIATA.............................................58
RESPUESTAS
REPASO
TEMA C: POLINOMIOS.............................................59
TEMA C: Polinomios..............................................60 FACTOR COMÚN .............................................................................................................62 PRÁCTICA INMEDIATA: Factor común................................63 AGRUPACIÓN...................................................................................................................63 PRÁCTICA INMEDIATA..............................................63 CASOS ESPECIALES .......................................................................................................64
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.................................................65 PRÁCTICA: Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos y Diferencias de Cuadrados..................................66 POLINOMIOS DE LA FORMA x bx c ............................................................67 PRÁCTICA: Factorización Forma General...........................68 PRÁCTICA: Factorización.........................................70 2
TEMA
D :
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS......................................72
REPASO TEMA D
-
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS..............................73
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Revisado ENERO 2012
3
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA
TEMAS
A. CONJUNTOS NUMÉRICOS
B. RADICALES
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Revisado ENERO 2012
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TEMA
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
A. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Números Cardinales ("Whole Numbers")
W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Enteros
Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }
Números Racionales
Q = { p/q | p, q son enteros y q 0 }
Ejemplos
Son números racionales: las finitos.
fracciones, los enteros, decimales periódicos, decimales
Importante
El denominador nunca puede ser cero. Números Irracionales
Q'= { Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos } Ejemplos √ Los decimales infinitos no periódicos son irracionales.
Las raíces de números primos son irracionales. Ejemplos √ √ √ √ √ √ √ ,
Números Reales
R = { Todo número racional o irracional } = { Q Q'}
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Números Reales
Números Racionales
Enteros
Números Irracionales
No enteros
Números Cardinales
Números Naturales Un conjunto es una colección de objetos que tienen unas características en común Utilizamos las llaves, {}, para encerrar los elementos de un conjunto. Para nombrar los conjuntos le asignamos una letra mayúscula del alfabeto. Separamos los elementos del conjunto con una coma. Ejemplos
El conjunto de enteros mayor que uno y menor de 10.- { 2,3,4,5,6,7,8,9} El conjunto de los números pares -
{ 2,4 , 6, 8, 10, 12, 14, .....}
Observa que no siempre es posible enumerar o listar todos los elementos de un conjunto. Conjunto finito: conjunto en el que es posible enumerar todos sus elementos. Conjunto infinito: conjunto en el que no es posible enumerar todos sus elementos. Notación de Conjuntos "pertenece a" relaciona a un elemento con el conjunto al que pertenece. Ejemplos "incluído en"
-4 Z
relaciona a conjunto con otro conjunto de tal forma que todo elemento del primer conjunto está incluido en el segundo conjunto, es decir, el primer conjunto se dice subconjunto del segundo. Ejemplos
10 N
{1, 2, 3} Z
N W
Z R
indica que la aseveración no se cumple.
"no incluído en" Ejemplo Autora: Prof. Evelyn Dávila
{0 } Original
N
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Recta Numérica
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
{números negativos } U { cero } U { números positivos } Existe una correspondencia uno a uno entre los puntos en la recta y los números reales. El cero es el medio de la recta y se conoce como el origen. Gráfica punto asociado con un número en particular.
Una coordenada es la localización de un punto. El opuesto de un número es otro número en la recta numérica que se encuentra a igual distancia del cero. Sea a un número real denotamos el opuesto de a de la siguiente forma
Notación
-(a)
El opuesto de 4 es
-4
-(4) = -4
El opuesto de -7 es
7
-(-7) = 7
El valor absoluto de un número es la distancia desde ese número en la recta numérica hasta el cero. El punto de referencia es el cero. Notación: Sea a un número real denotamos el valor absoluto de a de la siguiente manera
|a
Ejemplos El valor absoluto de
5 es 5
|5| = 5
El valor absoluto de 32 es 32
| 32 | = 32
El valor absoluto de -12 es 12
| -12 | = 12
El valor absoluto de -4 es 4
| -4 | = 4
El valor absoluto de
|0| = 0
0 es 0
Definición formal El valor absoluto de un número real a |
lo denotamos | a | y se define como:
|
Autora: Prof. Evelyn Dávila
|
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|
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Es decir;
Sea x un número real, entonces
Ejemplo 1
Ejemplo 2
x x x
si x 10 | x 10 | x 10 si si m3 | m 3 | m 3 si
x 10
si si
x 10
x 10 x 10
m 3 m 3
Distancia entre dos puntos en una misma recta Sea x1 y x2 las coordenadas de dos puntos en la recta; entonces la distancia, d , entre éstos dos puntos es dada por: d = | x2 - x1 | Ejemplos La distancia entre
18 y 45 en la recta es dada por:
d ( 18,45 ) = | 18 – 45 | = | - 27 | = 27 El orden de los números no cambia el resultado puesto que está definida mediante un valor absoluto, es decir; d ( 18,45 ) = | 45 – 18 | = | 27 | = 27 Práctica inmediata : Determina la distancia para los valores indicados 1.
d( -4, 72 )
2.
d ( -36, - 20 )
Propiedad de Comparación o Tricotomía Dados cualquiera dos números reales a y b , exactamente uno de las siguientes relaciones aplica: a = b a > b "a es mayor que b" a < b "a es menor que b" De acuerdo a la propiedad anterior las siguientes aseveraciones son correctas. 1. Si
a > b entonces a - b > 0
2. Si
a < b entonces b - a > 0
3. Si a = b entonces a - b = 0 ¿ Si a > b entonces b - a es positivo o negativo? Autora: Prof. Evelyn Dávila
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Propiedades de las Igualdades Sean a,b y c números reales Propiedad Reflexiva
a = a
Ejemplo
3 = 3
Propiedad de Simetría
Si a = b entonces b = a Ejemplo
Propiedad de Transitividad
Si x = 3 entonces 3 = x
Si a = b y b = c entonces Ejemplo
a = c
Si x = y
y
x = 1 , entonces y=1
Propiedad de Sustitución Si a = b entonces podemos sustituir en cualquier expresión algebraica en la que aparezca la expresión b por la expresión a. Ejemplo 1
x=2
4x -1 = 4(2) -1 = 7
Ejemplo 2
n = 2p
p + 3n = 2 p + 3(2p) =2 7p =2
Ejemplo 3
P = 2a + 2l
(fórmula de perímetro)
p = 75
l = 2a
a=?
Aplicando la propiedad de sustitución tenemos Simplificamos
75 = 2a + 2(2a)
75 = 2a + 4a
Aplicamos la propiedad reflexiva Simplificamos 6a = 75
2a + 4a = 75
a = 75 /6
a = 12.5
Propiedades en el Conjunto de los Números Reales Sean a, b y c números reales: Clausura Observa que al sumar cualesquiera dos números reales la suma es también un número real. Esta propiedad también ocurre para la multiplicación. Suma a + b es un número real
12 + 15 = 27
-10 + 14 = 4
Multiplicación a x b es un número real 15 x 4 = 60 -8 x 5 = 40 ¿Existe la propiedad de clausura en los reales para la división? Autora: Prof. Evelyn Dávila
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Conmutativa Suma
a+b=b+a 20 + 3 = 23 -5 + 12 = 7
Multiplicación
3 + 20 = 23 12 + -5 = 7
axb= bxa
- 4 x 12 = -48
12 x -4 = -48
Asociativa Suma
(a+b)+c= a+(b+c)
3 + 12 + 20 = 15 + 20 = 3 + 32 = 35 45 + 15 + -10 = 60 + -10 = 45 + 5 = 50 Multiplicación
(axb)xc = ax(bxc)
5 x 12 x 3 = 60 x 3 = 5 x 36 = 180 -2 x 10 x -3 = -20 x -3 = -2 x -30 = 60 Distributiva
a x (b + c ) = a x b + a x c -2 x ( 5 + 3 ) = -10 + -6 = -16
m(p + 2 ) = mp + 2m
Identidad Suma
a+0 = a
Multiplicación a x 1 = a
El elemento identidad para la suma es el cero. El elemento identidad para la multiplicación es el uno.
Inversa Suma
a + - a = 0 La suma de un número y su opuesto es siempre cero.
a
Multiplicación uno. Multiplicación por cero
1 1 a El producto de un número real y su recíproco es siempre
ab 0 si y solo si a 0 o b 0
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REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES Números con signos iguales si
no
Sumar sus valores absolutos
Hallar la diferencia de sus valores absolutos
El signo de la suma sera el mismo de sus sumandos
El signo de la suma corresponde al signo del sumando cuyo valor absoluto sea mayor.
Ejemplos 1. 18 + 5 = 23
Práctica 1. -33 + 57 =
2. -14 + - 7 = -21
2. -25 +- 12 =
3. -110 + - 40 = -150
3. - 75 + 30 =
4. 55 + - 15 = 40
4. -5 + 5 =
5. - 20 + 15 = -5
5. 24 + - 80 =
REGLA PARA LA RESTA DE NÚMEROS REALES
a b a (b) Ejemplos
Práctica
1. -1-5 = -1 + (-5) = -6
1. -14 – 32 =
2. 2 – 16 =
2. 15 - 75 =
2 + (-16) = -14
3. -9 – (- 21 ) =
3. -7-(-12) = -7 + 12 = 5
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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES
Reglas para la multiplicación de enteros. Positivo x Positivo = Positivo
15 x 2 = 30
Negativo x Negativo = Positivo
- 4 x -5 = 20
Positivo x Negativo = Negativo
7 x -3 = -21
Negativo x Positivo = Negativo
-12 x 3 = -36
Práctica 1.
-2 x -40 =
2.
-6 x -4 =
3.
-1 x 8 =
4.
120 x -5 =
5.
-15 x 3 =
6.
-7 x 5 =
7.
-2 |-16 | =
8.
| -4 x -3 | =
9.
| -5 x 2 | =
10.
-|3 x -4 | =
11.
-2 x -3 x -5 =
12.
-3 x 4 x -10 =
13.
5 x -7 x -2 x 3 =
14.
-2 x 2 x -2 x 2 =
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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Reglas para la división de enteros. Positivo
Positivo = Positivo
12 4
Negativo Negativo = Positivo
= 3
-30 -3 = 10
Negativo = Negativo
60 -20 = -3
Negativo Positivo = Negativo
-40 8 = -5
Positivo
Práctica 1.
-125 5 =
2.
-48 -6 =
3.
35 -7 =
4.
-50 -10 =
5.
-120 40 =
6.
|45 | -3 =
7.
-|100 | 20 =
8.
|-32 | | -4 | =
9.
| -48 -12 | =
10.
- | 35 -7 | =
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ORDEN DE OPERACIONES
Las operaciones aritméticas en un problema se simplifican o evalúan en el siguiente orden: #1
Se resuelven las expresiones que se encuentren dentro de un símbolo de agrupación,
como: { }, [ ] , ( ) . #2
Aplica los exponentes en la expresión.
#3
Multiplica o divide según el orden en que aparezcan de izquierda a derecha.
#4
Suma o resta según el orden en que aparezcan de izquierda a derecha.
Resuelve cada expression
1.
12 5 x 2
2. 6 2 x3 3. 4 x3 2 x5 4. 15 25 5 5. 3 9 2
6. 4 3(2 3) 2 3
2 9 22 20 7.5 3 -6 Original
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Respuestas
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
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PRÁCTICA INMEDIATA 1. | -2 x 5 | =
2. -4 x |-10 | =
3. 5 + | 2 x 4 | = 4. 54 9 x6 5. 17 - (-13) =
6. | -15 - (-3) | = 7. 2 x 3 - 15 3 =
8. ( 3 + 4 ) x 3 + 4 = 9. 3 2 - 5 x 6 3 = 10. ( 8 +26 x 2 ) 5 =
11. - 35 + 12 =
12. 42 - (- 34) = 13. 2 5[3 (2 4)] 14. 10 2 x5 3x4 15. 1 3(4 8 2)
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Revisado ENERO 2012
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DESTREZAS BÁSICAS DE MATEMÁTICAS FRACCIONES Fracciones propias a 1, Por lo tanto b 2 , 5
18 , 25
Fracciones impropias a 1, Por lo tanto b
ab
1 2
12 , 5
8 , 3
10 , 2
ab
7 7
Fracciones y Números Mixtos Toda fracción impropia se puede expresar como número mixto. Un número mixto consta de un entero y parte de otro. EJEMPLO
La parte sombreada de esta figura corresponde a:
fracción
5 4
número mixto 1
1 4
Expresar Una Fraccion Impropia Como Numero Mixto Para expresar una fracción impropia como número mixto llevamos a cabo la operación implícita de división que presenta la fracción. 7 3 2 37
2
1 3
33 5 4 7 7 40 1 13 3 3
El cociente es el entero del número mixto
6 1
El residuo es el numerador de la fracción propia
Expresar Un Numero Mixto Como Fraccion Impropia
3 Ejemplos
1 5 x3 1 16 5 5 5
7
3 4 x7 3 31 4 4 4
El procedimiento para hallar el numerador de la fracción impropia consiste en multiplicar el denominador por el entero y luego sumarle el numerador. El denominador será el correspondiente a laDávila fracción del númeroENERO mixto dado. Autora: Prof. Evelyn Original 2008 Revisado ENERO 2012
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PRÁCTICA INMEDIATA I Simplifica las siguientes fracciones
1.
9 21
5.
18 21
9.
30 45
2.
20 40
12 15
3.
6.
50 100
15 7. 18
10.
8 21
4.
12 48
24 25
8.
II Expresa las siguientes fracciones impropias en su número mixto.
19 1. 12
6
5.
16 3. 7
32 2. 10
1 2
13 6. 5
27 4. 12
90 7. 20
8.
17 3
III Expresa los siguientes números mixtos en fracciones impropias.
1.
5.
1
5 12
4
2.
12 15
6.
4
2 3
2
3.
13 15
Autora: Prof. Evelyn Dávila
5
7.
Original
1 7
12
4.
9 10
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8.
5
2 5
9
1 3
Revisado ENERO 2012
17
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Simplificar Fracciones
Toda fracción se debe expresar en la forma más simple, esto se conoce como su expresión mínima. Una fracción está en su expresión mínima si entre el numerador y el denominador no hay factores comunes excepto por el 1. Para simplificar una fracción debemos identificar el factor común del numerador y el denominador y luego aplicar la regla de la cancelación. Esta regla nos dice que todo factor común del numerador y el denominador se pueden cancelar.
Regla de cancelación
ac a c a a x x1 bc b c b b
; donde b, c 0
Factoriza el numerador y el denominador, busca el máximo común divisor de ambos, y cancela los factores comunes.
Procedimiento para simplificar fracciones: Se factoriza el numerador
Ejemplo 1
Ejemplo 2
y el denominador y se cancelan los factores comunes.
32 8 x 4 4 40 8 x5 5
Factor común 8 ; se cancela.
75 3 x 25 3 125 25x5 5 Factor común 25 ; se cancela.
Ejemplo 3
126 18x 7 7 180 10 x18 10 Factor común 18 ; se cancela.
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18
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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Denominadores iguales En las fracciones sólo podemos sumar si éstas tienen un mismo denominador, es decir, un denominador común. A estas fracciones se les conoce como homogéneas. El resultado debe expresarse en su forma más simple, por lo tanto, debemos verificar luego de sumar si hay factores comunes entre el numerador y el denominador. EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
15 17 32 24 24 24 Simplificar el resultado: cancelar factorescomunes. 32 4 1 1 24 3 3
REGLA DE LA RESTA
a b a (b) 12 5 12 5 8 8 8 8 12 ( 5) 7 8 8
Denominadores distintos Las fracciones que tienen distintos denominadores se les llama heterogéneas. REGLA
a c ad bc ad bc b d bd bd bd
b 0, d 0
a c ad bc ad bc b d bd bd bd b 0, d 0
Esta regla es útil cuando los denominadores no tienen factores comunes. EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
2 5 2 x7 5 x3 3 7 3 x7 3 x7 14 15 14 15 29 8 1 21 21 21 21 21
8 2 8 x3 2x15 15 3 15x3 15x3 24 30 24 30 54 6 1 1 45 45 45 45 5 5
Si uno de los denominadores es múltiplo de los otros, entonces lo mejor es utilizar éste como denominador común. EJEMPLO 3
12 3 25 75 12 x3 3 36 3 36 3 39 75 75 75 75 75 75
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PRÁCTICA INMEDIATA
15 1 6. 11 9 18 7. 11 33
3 8 1. 5 9
12 7 2. 30 15
19 21 8. 12 18 11 8 3. 12 15 1 1 9. 3 5 10 4 4. 7 9 27 10 10. 6 12
12 1 5. 13
3 1 15. 5 30
PRÁCTICA ASIGNADA
1 2 11. 25 3
60 7 16. 15 4
18 7 12. 30 15
25 1 17. 32 2
2 18 13. 5 13
32 5 18. 60 12
29 51 3 14. 4
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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Al multiplicar dos o más fracciones, se multiplica el numerador de una fracción por el numerador de la otra y se multiplica el denominador de una fracción por el denominador de la otra.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
3 5 3x5 15 x 8 7 8 x7 48
Factor común 3
9 5 9 x5 45 15 7 x 8 2 12 2 x12 24 8 8
Podemos aplicar la regla de cancelación antes de efectuar la operación de multiplicación. Factoriza el numerador y el denominador, lo ideal es buscar un máximo común divisor de ambos, cancela los factores comunes y multiplica los factores que quedan.
9 5 9 x5 3x3x5 3x5 15 7 x 8 2 12 2 x12 2 x3x4 2 x4 8 8 Al multiplicar fracciones y números mixtos: Se convierten los números mixtos en fracciones impropias Se procede a multiplicar según aprendido Factor común 7
Ejemplo 3
1 3 21 3 21x3 9 4 x x 5 7 5 7 5 x7 5
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
21
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA: MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Multiplica
1.
3 2 5 7
2.
5 21 9 15
3.
24
7 9
4.
4 3 11 48
5.
16 8 5 3
6.
12 45 25 18
7.
3 5 8 7
8.
30 28 4 9
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
22
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
DIVISIÓN DE FRACCIONES Al dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción.
a c a d x b d b c
Ejemplos 3 7 3 2 6 x 5 2 5 7 35 1.
6 21 6 5 6x5 2x5 10 x 7 21 7x21 7x7 49 2. 7 5 Solo se puede simplificar en la multiplicación.
3.
1 12 1 5 1 5 5 2 5 2 12 2 12 24
7 7 1 7 1 7 4 10 4 10 4 40 4. 10
PRÁCTICA: DIVISIÓN DE FRACCIONES
1.
2.
1 1 2 3 12
4 5
3.
10 3 3 5
4.
21 9 15 5
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
5.
3 14 24 24
6.
12 3 15
7.
4 9 7 14
8.
2 18 27 45
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
23
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
EXPONENTES ENTEROS Notación exponencial:
23 2 2 2 8
Ejemplos
32 3 3 9 (5) 2 (5)( 5) 25
(2) 4 (2)( 2)( 2)( 2) 16 (3) 3 (3)( 3)( 3) 27
El signo de la base afecta el resultado. Contesta la siguiente tabla y llega a tus propias conclusions. Ejercicio
Resultado
Expresar en notación exponencial
-1 x -1 =
1
(-1)2 = 1
-1 x -1 x -1 =
-1
(-1)3 = -1
-1 x -1 x -1 x -1 = -1 x-1 x -1 x -1 x -1 = -1 x -1 x -1 x -1x -1 x -1 = -1 x -1 x -1 x -1x -1 x -1x -1 = ¿Observas algún patrón en los signos de las potencias obtenidas en la tabla anterior?
¿Este patrón tiene alguna relación con el exponente? Evalúa 1. (-2)3 = 2. -23 = 3. (-3)2 = 4. (-5)3 = 5. 4 3 = 6. (-1)99 = Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
24
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Leyes de exponentes
Producto
Regla
Ejemplos
a n a m a nm ;
23 25 = 28
52 53 = 55
x3 x7 = x10
Potencia
( a n ) m a n m
Cociente
an nm a am
x2 y4 y3 x5 = x7 y7
(23)2 = 26 ;
(x3)4 = x12
(55)0 = 50 = 1
(72)3 = 76
510/56= 5 10-6 = 5 4
m6/m6 =m 6 - 6 = m0
x8/x5 = x8-5 = x 3
p3/p13 =p 3 - 13 = p -10
(2x ) 3 = 8x3
(ab) a b n
n
(x2 z 3 )2 x4 z 6
n
(n2m)5 = n10m5 (2/3)2 = 22/32 = 4/9
n
an a n b ; b
(x2/y)5 = x10/y5 2 zy 3 x
3
23 z 3 y 9 x3
150 = 1
b0 = 1;
b n
1 bn
Autora: Prof. Evelyn Dávila
2
2
9 3 4 2
5
a2 h3 3 2 h a 2 2 p5 5 p
b0
Original
z0 = 1
1 1 32 9
32
2 3
(2xf )0= 1
ENERO 2008
5
h15 10 a
Revisado ENERO 2012
25
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Práctica 5 3 0 1. (5 x y )
0 3 2. 3 3
3 2 3. 5 5
2 3 4. (2 3)
2 3 2 5. (3x y z )( 5 xy )
2 6. (5 x)
2 7. (3 y )
5 3 2 8. ( a b )
2 3 3 9. (a b )
2
(a 5 b 3 ) 8 7 10. a b 2 3 2 11. (6m n )
3 7 3 12. ( x y )( x y )
5 12 0 2 13. (a b ) (a b)
2 14. 3 3
3 15. ( 2 3 )
2 2 16. 2 7
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
26
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
(2 x 3 y) 2 2 5 17. ( x y )
18. (-1)99 + (-1)27 =
19. (-2)3 + 32 =
20. 52 + (-1)3 =
(2 1) 2 3 21.
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
27
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
Respuestas TEMA A: SUMA DE NUMEROS REALES
Práctica 1. 24 2. -37 3. -45 4. 0 5. -56 RESTA DE NUMEROS REALES 1. -46 2. -60 3. 12 MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES Práctica 1. 80 2. 24 3. -8 4. -600 5. -45 6. -35 7. -32 8. 12 9. 10 10. -12 11. -30 12. 120 13. 210 14. 16 15. -3 DIVISIÓN DE NUMEROS REALES Práctica 1. -25 2. 8 3. -5 4. 5 5. -3 6. -15 7. -5 8. 8 9. 4 10. -5
ORDEN DE OPERACIONES 1. 10 2. -40 3. 13 4. 36 5. 30 6. 12 7. 1 8. 25 9. -1 10. 12 11. -23 12. 76 13. 23 14. 37 15. 25 Fracciones Simplificar 1. 3/7 2. ½ 3. 4/5 4. ¼ 5. 6/7 6. ½ 7. 5/6 8. Na 9. 2/3 10. Na Expresar como número mixto 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
1 7/12 3 1/5 2 2/7 2¼ Na 2 3/5 4½ 5 2/3
Autora: Prof. Evelyn Dávila
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Expresar como fracción impropia 1. 17/12 2. 14/3 3. 36/7 4. 27/5 5. 24/5 6. 43/15 7. 129/10 8. 28/3
División 1. 3/2 = 1 ½ 2. 15 3. 5 5/9 4. 7/9 5. 3/14 6. 4/15 7. 8/9 8. 5/27
Suma y resta 1. 1 22/45 2. 13/15 3. 29/20 = 1 9/20 4. 118/63= 1 55/63 5. 25/13 = 1 12/13 6. 4/11 7. 3/11 8. 5/12 9. 2/15 10. 11/3 = 3 2/3 11. 53/75 12. 1 1/15 13. 116/65 = 1 51/65 14. 291/12 = 24 ¼ 15. 17/30 16. 2 ¼ 17. 9/32 18. 7/60 Multiplicación 1. 6/35 2. 7/9 3. 56/3=18 2/3 4. 1/44 5. 128/15= 8 8/15 6. 6/5 = 1 1/5 7. 15/56 8. 23 1/3
Original
ENERO 2008
Leyes de exponentes 1. 1
2. 3. 4. 5. 6. 7.
27 5
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
12 125 53
-2 1 24
Revisado ENERO 2012
28
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
REPASO TEMA A :
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
ENTEROS, FRACCIONES Y ORDEN DE OPERACIONES
I Contesta para cada aseveración si es CIERTA o FALSA. ______1. 327 es un número primo. ______2. 15 es múltiplo de 30. ______3. El opuesto de un número es un número negativo. ______4. El producto de dos enteros negativos es siempre un entero negativo. ______5. 18 es producto de 2 y 6. ______6. 21 es múltiplo de 3. ______7. -(-1) 6 = -1 ______8. 4 y 15 no tienen máximo común divisor. ______9. Los divisores de 18 son { 2,3,6,9 }. ______10. Todos los números primos son impares. ______11. El medio de la recta numérica se le llama origen y en él encontramos al cero. ______12. | 3 - 5 | = 2 ______13. |-5| - |5| = 0 ______14. Los múltiplos de 40 son: { 1,2,4,5,8,10,20,40} ______15. En la siguiente división 39 13 = 3 , 3 es el cociente
II Lleva cabo la operación indicada y simplifica.
2 6 1. 7 7 1 3 2. 3 5
3.
12 5 20 6
4.
5 18 3 5 Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
29
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
5.
2 15 5 40
6.
9 3 24 8
7.
4 17 9 7
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
III Simplifica 1. -14 - (-18) = 2. (-2)² - (-5)² = 3. 3( 3 - 7 ) 6 - 2 = 4. 16 4² + 5(4 - 11) = 5. 14.
( 8 - 12 ) x 10 ( 17 - 4 x 3 ) = Simplifica
(1 3) 3
3 15. Simplifica 5 IV 1.
3.
2
Resuelve las siguientes expresiones y simplifica tu respuesta ( 3 puntos cada uno )
(2 x 3 ) 4
2.
x 7 x0 x 4
4.
7 x0 y 4
x 2 y 4
x y 4
5.
2
;
x 0, y 0
(5a 2 b 7 c) 3 =
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
30
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
TEMA B: RADICALES La raíz cuadrada de cuatro es dos;
4 2 ¿Por qué?
Para entender esta respuesta es necesario conocer la definición de una raíz cuadrada.
La raíz cuadrada de a es b si b2 = a.
Definición:
Es decir para el ejemplo anterior tenemos que " la raíz cuadrada de 4 es 2 porque 22 es 4 ". el único número que cumple con esa definición Veamos principal.
¿Ese es
(2) 2 4 , por tanto -2 cumple también con la definición, Sin embargo 2 es la raíz Usa tu calculadora para comprobarlo.
Ejemplo
16 ??? 4 x 4 16 (4)(4) 16 ¿Existe algún número real que cumpla la definición? En este ejemplo el radicando es negativo por lo que es imposible encontrar un número real que al multiplicarse por si mismo el producto sea un número negativo.
Recuerda que según la regla para la multiplicación de enteros el producto de dos números es negativo solo si los factores tienen signos diferentes. Respuesta al ejemplo 3
16 no existe ( no está definida) en el conjunto de los números reales.
n
NOTACION de los RADICALES
a b bn a
Se lee " la raíz enésima de a es b" ; donde n es el índice del radical, a es el radicando y b es la raíz enésima de a.
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
31
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
De los ejemplos anteriores podemos observar las siguientes conclusiones:
Cuando el índice es PAR , ( Por ejemplo las raíces cuadradas) n
a b , donde b > 0, si bn = a .
Si a > 0 entonces
n Si a < 0 entonces a , no existe en el conjunto de los números reales. En tal caso la raíz es un número imaginario.
Ejemplos
64 8
4
81 3
16
no existe en el conjunto de los números reales
Cuando el índice es IMPAR , Si a > 0 entonces Si a < 0 entonces
n
a b , donde b > 0, si bn = a .
3
27 3
n
a b , donde b < 0, si bn = a .
3
27 3
√
Ejemplos
√
Número Imaginario Definición:
i 2 1 .
1 i , eso implica que
Esto no es posible en los números reales. 16 16 1 4i 49 7i
25 5i
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
32
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PROPIEDADES Y OPERACIONES DE RADICALES I Índice es igual al exponente
√
Regla
| |
{
}
Ejemplos 22 2
1. 3
73 7
3
27 3 33 3
5
x5 x
2. 3. 4. 5.
√
6.
√
Práctica 1. √ = 2. √ II Multiplicación de radicales
Regla
n
a n b n ab
Ejemplos 1.
3 12 36 6
2.
32 2 64 8
3.
3
4. √ 5. √
25 3 5 3 125 3 53 5 √ √
√ √
Práctica 1. √ 2.
√
√ √
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
33
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
III
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
División de radicales
√ Ejemplos
1.
2.
√
√
√ √
√
√
√
√
Práctica √
1.
√
√
2.
√
√
3.
√
Simplificar expresiones con radicales: Utilizamos las operaciones anteriores para simplificar expresiones con bases iguales. En algunos casos debemos factorizar la exptresión para obtener bases iguales o potencias que correspondan al índice del radical IV
Utilizar la regla de multiplicación para simplificar radicales. √
√
√
Ejemplos
27 9 3 9 3 3 3
1. 2. 3.
3
√
40 3 8 5 3 8 3 5 23 5 √
√
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
34
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Procedimiento: Hallar una factorización de tal manera que uno de los factores se pueda evaluar en el radical.
Práctica 1. √
2. √
V
Utilizar la regla de división para simplificar radicales. √
√ √
Ejemplos √
1. √
√
2.
√
√ √
Práctica 1. √
2. √
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
35
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
SIMPLIFICAR RADICALES Caso 1 Exponente igual al índice (Propiedad I) {
√
| |
}
√
Caso 2 Exponente menor al índice No se puede simplificar
√ No se puede simplificar puesto que necesito que el índice y el exponente sean al menos iguales para que se cancele el radical y salga la base.
Caso 3 El exponente es mayor que el índice Ejemplo √
√
1
Expandido √
√
Si dividimos el exponent entre el índice , encontramos el exponente de la forma simplificada
Ejemplo 2 √
√
Expandido √
√
√
Si dividimos el exponent entre el índice , encontramos la forma de presenter el radical simplificado.
El entero del número mixto me indica cuántas veces sale la base del radical y el numerador me indica cuántas veces se queda adentro. Observa
√
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
36
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Ejemplo 3 √
Procedimiento utilizando una fracción La base sale dos veces y se queda en el radical tres veces. √
√
Ejemplos adicionales
8x 9
3
1. 2. √ 3.
√
√
Práctica 3
8q 5
5
x5 y 7 z 2
1. 2.
27 x 2 y 3
3.
PRÁCTICA INMEDIATA 300
1.
4.
3
32n h 7
6.
3
128
7.
27 x 2 y 3
5
3x 7 8.
a 3b 4 a 2b 2
Autora: Prof. Evelyn Dávila
2nh 3
9.
8q 5
45
2. 3.
9k 2
5.
y3
Original
ENERO 2008
25x 2
10. 2
11.
10x 3
5
Revisado ENERO 2012
37
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
SUMA Y RESTA Sólo se pueden sumar radicales iguales, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. n n n 1. 5 a 3 a 8 a
2. 2 3 7 3 5 3
3 22 3 3 3 2
3. 4. √
√
Cuando las raíces son distintas, se simplifica cada término de la suma en busca de raíces iguales. 1.
27 12 9 3 4 3 3 3 2 3 5 3
2.
8 72 4 2 36 2 2 2 6 2 8 2
3. 2 8 3 18 2(2 2 ) 3(3 2 ) 4 2 9 2 13 2 4. 3 75 4 48 3(5 3 ) 4(4 3 ) 15 3 16 3 31 3 √
√
5.
√
( √ )
√
√
( √ )
√
√
Práctica 1. 3 5 2 45 12 5 2. 3 27 4 75 3 2
MULTIPLICACIÓN Sólo se pueden multiplicar radicales con índices iguales, en ese caso se multiplican los radicandos 1.
3
2 3 4 3 2 4 3 8 2
2. ( √ )(
√ )
√
3.
2 ( 5 18 2 5 2 18 10 36 10 6
4.
7 (3 4 7 ) 3 7 4 7 7 3 7 4 7 3 7 28
5. (√
)(√
)
Autora: Prof. Evelyn Dávila
√ (√
)
Original
(√
)
ENERO 2008
√
√
Revisado ENERO 2012
√
38
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA
1.
5 (1 10 )
2.
3 (5 2 3 )
3. (1 2 ) (3 7 ) 4. (2 3 ) (1 2 ) 5. (1 2 ) (1 2 )
2 (2 7 )
6.
RACIONALIZAR EL DENOMINADOR No podemos dividir por un número irracional por tanto el divisor que se encuentra en el denominador se debe racionalizar, es decir, eliminar el radical del denominador. Se utilizará la n
siguiente propiedad 1 2
1. 2.
3.
4.
2 2 √
√
√
2
2
√
2
√
√
√
√ √
√
√
3
2
3 6. 1 2
3
2 3 22
√
√
√
6 3 22
2 2
√
√
6
5.
1 2
n
a a’
3
6 3 22 3
23
1 2
1 2 1 2
Autora: Prof. Evelyn Dávila
6 3 22 3 3 4 2
3(1 2 ) 1 2
2
3(1 2 ) 3(1 2 ) 1 2
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
39
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA: Simplifica cada expresión. 8 6
1.
32
2.
8
3.
27 49 1
6
4.
2 32
5.
10 2
5
6. 1
7.
3
8.
3
2
3x 27 x
1 9.
5y
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
40
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA – PROPIEDADES Y OPERACIONES CON RADICALES Simplifica cada expresión:
3
1
73
2
8.
2.
8 32
6 3
9.
24 6
3.
3
10. 1 5 3
4.
16 3 54
11. 5.
3
128 3 125
3 12 48
8 98 2
12. 6.
45 20
5
7.
5
13.
5 20
14.
144 25
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
41
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
15.
3
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
64
75
21.
22.
17.
2 18
23.
18.
6 12
24.
3
16.
25.
19. 3 10 +4 90 - 5 40 =
20.
5
p6
m3
5
x5 y 7 z 2
3
8x 9
2 5 3 125
26. 3 45 2 20
x5
Autora: Prof. Evelyn Dávila
3
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
42
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
EXPONENTES RACIONALES 1 n
a n a Ejemplos 1 2
4 4 2
i)
1 3
8 3 82
ii)
1 2
5 5
iii)
El numerador representa al exponente e el exponente.
m n
a a n
m
El denominador es el índice del radical.
Ejemplos 3 2
3
2 2 23 8 2 2
i)
2 5
x 5 x
ii)
2
Escribe la siguiente expresión exponencial con el radical correspondiente y simplifica: 1 2 1. 50 3 2
2. 2 3.
5 2
p
Escribe el siguiente radical en notación exponencial
3
1. 2. 3. 4. 5.
2
53
3
y5
4
m12
6
x2
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Revisado ENERO 2012
43
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
RESPUESTAS TEMA B PRACTICA INMEDIATA – PROPIEDADES DE LOS RADICALES
√ √
1. 2. 3. 4. 5.
√
8. 9. 10.
√
11. No se puedes simplificar
Práctica Inmediata Multiplicación de radicales 1. √
√
2. √ √
3.
√
4.
√
√
√
√
5. -1 Práctica inmediata Simplifica 1. 2. 3. 4. 5. 6.
√
√
√
√
8.
√
y
1. 7 2. √ 3. √ 4. √ 5. √ 6. √
√
7.
7.
Práctica: Propiedades operaciones
√
6.
RADICALES
9.
√ √
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
7. √ 8. √ 9.
√
10. √ 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
√
Eliminado el 12 Eliminado el 13 10 60 -4 5 √
19. √ 20. √ 21. X 22. 23. √ 24. √ 25. 26.
√
27. √
√ √
√
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Revisado ENERO 2012
44
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
REPASO TEMA B:
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
RADICALES
1- Simplifica:
a) 81
b)
d ) 49
e) 3 64
f ) 3 72
g ) 24
h) 3 24
i ) 100
48
c)
72
2- Identifica como un número racional o irracional:
a)
3
b)
36
c)
12
3- Simplifica:
a)
m2
c)
( x 4) 2
d ) 48
e)
64 x 2
f)
32 x 2 y 3
g)
y5
h)
75 y 15
j)
9 32
i)
k)
b)
9 16
100x 3
l)
25x 3
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49t 2
1 8
Revisado ENERO 2012
45
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
REFLEXIÓN
APRENDÍ………..
Lo mas que me gustó fue ….
No me gustó >>>>
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46
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA
TEMAS
C.
POLINOMIOS
D. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
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CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
TEMA C.
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
POLINOMIOS
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA Algebra es el estudio de ecuaciones y de métodos para resolverlas. Una expresión algebraíca es una expresión con letras y números reunidos por operaciones aritméticas. Ejemplos
3ab , 5xy3 3x + 2y 2a - 1 b+3
Una variable es una letra del alfabeto que utilizamos para representar una cantidad desconocida, es decir una letra que representa a un número. Una constante es un símbolo que representa una cantidad fija o constante, Ejemplos
3, ' , e
Evaluar una expresión algebraica consiste en asignarle algún valor a cada variable de la expresión. Al evaluar una expresión algebraica obtenemos como resultado un valor real. Ejemplos Evalúa 5x -2 en x = 3. Sustituimos la x por el 3: Simplificamos Resultado
3 p 2 5q en:
Evalúa 5(3)-2 15 – 2 13
a) p 2; q 3
3(2) 2 5(3) 3(4) 15 12 15 3 b) p 1;
q0
3(1) 5(0) 3(1) 0 3 2
PRÁCTICA INMEDIATA Evalúa la expresión 2a - 3b , en los valores indicados: a. a = 4
b= 2
b. a = -1 b = 3
c. a = 0
b = -3
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
POLINOMIOS Los polinomios consisten en una suma de términos en los que los exponentes de sus variables son enteros no negativos. Pueden constar de una variable o de varias. 8a2b3 + 4a3b2
Ejemplos
7p2 - 3p + 2
5x3 + 6x2 -2x – 10
Forma general de un polinomio a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .... + an-1xn-1 + anxn donde x es la variable; a0 ,a1 ,a2 ,....,an son números reales y los llamamos coeficientes de los términos; y los exponentes son enteros no negativos. ( Suma de términos)
Un término es una expresión algebraica que envuelve las operaciones aritméticas de multiplicación y división. Por ejemplo la siguiente expresión algebraica consta de tres términos;
12ab² - 9ba + 5a
Dos términos son semejantes si constan de las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Ejemplos
3xy2z3 , 4xy2z3
-2y3z4 , 5z4y3
12ab2c , 8b2ac
Observa que los siguientes términos no son semejantes ya que aunque tienen las mismas variables sus exponentes son distintos: 12m2n3 -3mn3
Nombramos a los polinomios por el número de términos que éstos tienen: monomio- consta de un término, binomio- consta de dos términos, trinomio – consta de tres términos. Monomio 15x6
Binomio 3x -2y 5x + 2
Trinomio 3x2 + 5x -4
Grado de un polinomio: El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las variables de ese término. Ejemplos
-5x3 -z
grado 3 grado 1
8
2x2y3 grado 5 grado 0 Este es un término constante
El grado de un polinomio corresponde al grado mayor de los términos del polinomio. Ejemplos
3x4 + 2x3 - 3x2 + 5x - 11 grado 4
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7x2 - 3x5 + 8x4 - 8 grado 5
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
El polinomio 5x3 + 3x2 - 7x + 8 es de grado 3 y tiene 4 términos. Observemos en detalle: 3
término de grado tres es 5x
término principal es el de grado mayor es 5x3 y el coeficiente principal es 5
término de grado dos es 3x
término de grado uno es - 7x y el coeficiente correspondiente es -7; escribimos
el término constante es 8 ; escribimos
2
a3 5
y el coeficiente correspondiente es 5; escribimos
y el coeficiente correspondiente es 3; escribimos
a2 3 a1 7
a0 8
Observación importante: Ya que un polinomio está definido como una suma de términos, cuando aparece una resta en él implica que el coeficiente de ese término es negativo. Práctica
4
3
2
6y - 8y + 10y - 5
Grado (n )
Cantidad de términos
4
Término principal
Término constante
an x n
a0
4
4
6y
-5
9x4 + 5x3 - 3x2 + 7x + 12
3 p3 2 p2 9 p 1 7 x 4 5x 2 9 x 2x3 - 4x2 +11 3x3 - 4x + 8
El opuesto de un polinomio . El opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo del coeficiente de cada uno de sus términos por su opuesto. El opuesto de . 4y4 - 8y3 + 10y2 - 5 es - (4y4 - 8y3 +10y2 - 5) = - 4y4 + 8y3 - 10y2 + 5 El opuesto de x - 5 es -x +5 que es igual a 5-x’ Observa que el opuesto de un polinomio se obtiene cambiando el signo de todos y cada uno de los términos.
Práctica: Escribe el opuesto de los siguientes polinomios. a. 3x4 + 2x3 - 3x2 + 5x - 11 b. 3x2 + 5x - 4
______________________
_______________________
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA 1. Contesta las siguientes preguntas con el polinomio:
3x4 - 2x3 + 5x – 8
a. ¿Cuál es el grado del polinomio? __________ b. ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio?________ c. Escribe el término constante._____________ d. Escribe el coeficiente del término de grado tres________ e. Escribe el coeficiente del término de grado dos________ f. Escribe el opuesto del polinomio dado ___________________
2. Evalúa la expresión algebraica 4a - 3b + 1 en a = -2 y b = 0.
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS En la suma o resta de polinomios solo podemos sumar o restar términos semejantes. SUMA Ejemplos a. (5x3 + 3x2 - 7x + 8) + (2x3 - 4x2 +11) = (5x3 + 2x3 ) + (3x2 - 4x2 )+(- 7x )+ (8+11) = 7x3 - x2 - 7x + 19 Se suman los coeficientes de los términos semejantes. b.
(14x5 - 3x2 + 9) + (6x2 - 5x - 12) = 14x5 + 3x2 - 5x - 3
Práctica c.
(12y4 + 5y2 - y + 8) + (4y4 - 8y3 - 7y2 - 5) = ____________________
¿Observa alguna regla o patrón que relacione el grado de los polinomios sumados y el grado del polinomio que se obtiene de la suma?
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
RESTA Recuerda utilizar la regla de la resta
a - b = a + (-b)
Al restar aplicamos la regla de la resta y sumamos el primer polinomio con el opuesto del segundo polinomio. (15x2+4x+10) - (3x2+12x+4)
Ejemplo
=
(15x2+4x+10) + (- 3x2-12x - 4) = 12x2 - 8x + 6
Antes de restar dos polinomios debemos sustituir al segundo polinomio por su opuesto Práctica a. (9x4 + 5x3 - 3x2 + 7x + 12) - (3x3 - 4x + 8) = _______________________________________ d. (4x3-10x2+5x+8) - (12x2-9x-1)= _________________________________________________
MULTIPLICACIÓN I Monomio x Monomio Al multiplicar dos monomios se aplica la ley del producto de los exponentes; al multiplicar bases iguales se suman los exponentes. Recuerda multiplicar primero los coeficientes de cada monomio. (3x 4)(-5x 6)= -15x10
(4x2y3)(6x5y2)= ____________
II Monomio x Polinomio Al multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva .
Ley distributiva a ( b + c ) = ab + ac Ejemplos a. x ( x + y + z ) = x2 + xy + xz
b. c ( 2a - 3b) = 2ac - 3bc
c. 2x3 ( 4x2 - 5x + 3 ) = 2x3( 4x2) + 2x3 (- 5x ) + 2x3 ( 3 ) = 8x5 - 10x4 + 6x3
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Práctica 1. 3xy (x2y3 + 4x3y - xy2) = ________________________ 2.
a3 (a2 - a3 - 5a7 + 2 ) = ________________________
III Polinomio x Polinomio En este caso aplicaremos la ley distributiva repetidas veces, una por cada término del primer polinomio. Ejemplos a. (2x - 3y)(5x + y) = 2x( 5x + y) + (-3y)(5x + y) = 10x2 + 2xy -15xy -3y2 =
10x2 - 13xy -3y2
b. (5y2 - 2y)( y3 - 4y2 + 3y - 6 ) = se multiplica cada término del binomio con cada término del segundo polinomio 5y2 (y3 - 4y2 + 3y - 6) + (- 2y)(y3 - 4y2 + 3y - 6) = 5y5 - 20y4 + 15y3 - 30y2 + -2y4 + 8y3 - 6y2 + 12y = Se reúnen los términos semejantes y se suman 5y5- 20y4 -2y4 + 15y3+ 8y3 - 30y2 - 6y2 + 12y = 5y 5 – 22 y 4 + 23 y 3 – 36 y 2 + 12y
MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS Podemos utilizar la siguiente regla para multiplicar binomios:
(a b)(c d ) ac (bc ad ) bd Observa: El primer término es
ac y se obtiene multiplicando el primer término de ambos binomios. término es (bc ad ) y se obtiene sumando el producto de los términos externos con
El segundo los términos internos, de la siguiente manera:
(a b)(c d )
bc ad El tercer término es
bd
y se obtiene multiplicando el segundo término de ambos binomios.
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(2 x 3)(x 5)
EJEMPLO 1 Observa:
El primer término se obtiene multiplicando el primer termino de ambos binomios 2 x x 2 x El segundo término se obtiene multiplicando los términos externos y los términos internos y luego se 2
suman
3x 10x 13x (2 x 3)(x 5)
3x 2x 5 10x El tercer término se obtiene multiplicando el segundo termino de ambos binomios Resultado
3 5 15
(2 x 3)( x 5) 2 x 2 13 x 15
(3x 1)(2 x 1)
EJEMPLO 2 Observa:
3x 2 x 6 x 2 término es 2 x 3x x
El primer término es El segundo
(3x 1)(2 x 1) 2x 3x 1 3x El tercer término es binomios Resultado
1 1 1 y se obtiene multiplicando el segundo término de ambos
(3x 1)( 2 x 1) 6 x 2 x 1
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA 1. ( 7 + 3x ) ( 9 - 4x ) = 2.
(x + 3) ( x + 1) =
3. ( y + 5 )( y - 5 ) =
PRÁCTICA Lleva a cabo la operación indicada . Simplifica 1. ( 3p2q5 )( -5pq3 ) = _________________
2. ( 2x + 1 ) ( x - 7 ) = _________________ 3. 8p5m3 = _________________ p2m 2 4. (2r 1)( r 3r 5) ______________________________________ 2 5. (5 h)( h 3h 7) _______________________________________
6. (2x + 1)( 3x - 4 ) =__________________________________________ CASOS ESPECIALES Importante (a + b )2 = ( a + b )( a + b )
Multiplica (Halla la expansión correspondiente) 1. ( a + b )2 = 2. ( a - b )2 = 3. ( a + b )( a - b ) = 4. ( a + b )( a2 - ab + b2 )= 5. ( a - b )( a2 + ab + b2 )=
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA I Utiliza las reglas de los productos especiales:
1. ( x – 5 )2=
Tipo de polinomio del producto Trinomio cuadrado perfecto
a
b
Término del medio
Producto
x
5
2ab = 2(x)(5)=10x
X2 – 10x + 52= X2 – 10x +25
2. ( 2x - 1)2 = 3. ( p + 4 )2= 4. ( 3x + 2 )2= 5. ( x – 2 )( x + 2) = 6. (5x - 3) (5x + 3) =
II Multiplicación de binomios
1. ( 7 + 3x ) ( 9 - 4x ) =
2. (x + 3) ( x + 1) =
3. ( y + 5 )( y - 5 ) =
4. (2x + 1)( 3x - 4 ) =
5.
(3 x 1) 2
6. (2 x 1) 2
III Multiplicación de polinomios 2 7. (r 3r 5)( 2r 1)
2 8. (5 h)( h 3h 7)
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios requiere que ambos polinomios estén organizados de forma estándar, es decir, sus términos en orden descendente según el grado de los términos. El primer polinomio es el dividendo y el segundo el divisor. El polinomio en el dividendo debe incluir todos los términos, si falta alguno se sustituye por un cero. Cuando dividimos un polinomio por otro, obtenemos un cociente y un residuo. Si el residuo es igual a cero, entonces el divisor es un factor del dividendo. Ejemplos: 1)
Divide
x2 6x 9 por
x -3 .
x3 x 3 x 6x 9
El cociente es x-3 , el residuo es cero por lo tanto 2 x-3 es divisor de x 6 x 9
2
( x 2 3x) 0 3 x 9 ( 3 x 9 ) 0 2)
2 Divide x 16
x4
por
x4 .
x4 x 0 x 16 2
( x 2 4 x)
El término de grado uno falta en el polinomio del dividendo por lo tanto se sustituye por 0x.
0 4 x 16 (4 x 16) 0
3) Divide
x 4 81 por
x2 - 3x 10
x2 3x -1 .
x2 3x -1
Los términos que faltan en el dividendo se sustituyen por cero. .
El cociente es
x 2 3x 10
33x 71 x 2 3x 1
x 4 0x3 0x2 0x 81 x 4 3x3 x2 _____ __________ ____ 3x3 x2 3x3 9x2 3x _____ __________ ____ 10x2 3x 81 10x2 30x 10 _____ __________ _____ - 33x - 71
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA Divide 1)
( x 2 8 x 16 ) ( x 4)
2)
( x 2 3x 4) ( x 1)
3)
(6 x 2 x 2) (2 x 1)
4)
(2 x 2 13 x 15 ) ( x 5)
5)
( x 2 7 x 10 ) ( x 5)
6)
( x 3 2 x 2 8) ( x 2)
7)
( x 3 4 x 1) ( x 2)
8)
( x 3 27 ) ( x 3)
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Revisado ENERO 2012
58
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FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
RESPUESTAS TEMA C: POLINOMIOS Práctica inmediata a. b. c.
Multiplicación de binomios
2 -11 9
1. 2. 3.
Tabla Columna Grado 4 , 4, 3, 4, 3, 3 Columna Cantidad de términos 4, 5, ,4,3,3,3 Columna Término principal
3x 4 2 x3 3x 2 5x 11 2
3x 5 x 4
7. 8.
PRÁCTICA INMEDIATA 1. a. b. c. d. e.
4 4 -8 -2 0
f.
3x 4 2 x 3 3x 2 5 x 8
4 x2 4 x 1
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Práctica opuestos b.
6.
PRÁCTICA INMEDIATA- Divide
Columna Término constante -5,12,-1,0,11,8
a.
5.
6 x 5x 4 9 x2 6 x 1
4.
6 y 4 ,9 x 4 ,3 p 3,7 x 4 ,2 x 3,3x 3
63 x 12 x 2 x2 4 x 3 y 2 25 2
2. -7 SUMA de polinomios c. 16 y 4 8 y 3 2 y 2 y 3 RESTA de polinomios a ) 9 x 4 2 x 3 3x 2 11x 4 b) 4 x 3 22 x 2 14 x 9
Tipo de polinomio del producto
a
b
Término del medio
Trinomio cuadrado perfecto
x
5
2ab = 2(x)(5)=10x
Trinomio cuadrado perfecto
2x
1
4x
4 x2 4 x 1
Trinomio cuadrado perfecto
p
4
8p
p 2 8 p 16
10. ( 3x + 2 ) =
Trinomio cuadrado perfecto
3x
2
12x
9 x 2 12 x 4
11. ( x – 2 )( x + 2) = 12. (5x - 3) (5x + 3) =
Diferencia de cuadrado
x
2
No aplica
Diferencia de cuadrado
5x
3
No aplica
x2 4 25 x 2 9
PRACTICA INMEDIATA 2
7. ( x – 5 ) = 2
8. ( 2x - 1) = 2
9. ( p + 4 ) = 2
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Producto
Revisado ENERO 2012
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CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
REPASO TEMA C: Polinomios 1. Contesta utilizando el siguiente polinomio 5x3 - 7x2 + 2x4 + 3x + 9 : a. El grado del polinomio es: _____________ b. Este polinomio tiene ________ términos c. El término principal es _____________ d. El coeficiente del término de grado 2 es : ________ e. Organiza el polinomio en orden ascendente _______________ f.
Halla el opuesto de este polinomio ________________________
Contesta en lápiz e incluye el procedimiento algebraico correspondiente. 2. Lleva a cabo las operaciones indicadas:
a.
(5x3 – 2x2 + 3x – 4) – (x3 + 3x2 – x – 2) =
b.
(4x3 – 5x 2 + 4x – 2) – ( 2x3 – 3x2 + 4x – 6)=
c. (-2x3 + 5x2 + 4x + 2) + ( 6x3 + x2 + 2x – 6) = d. 3x2(5x3 – 2x2 + x – 3) = e. -2( 3a2 + 7a -1) + 5( 2a2 - 3a + 8) =
f.
( -2 xy2)(8x5 y– 5x4 y3+ 4x3 y– 6x2 )=
g. (4x + 3)(3x – 5)= h. (x+3)( x2 – 2x + 5)=
i.
(2x-1)(3x+5)=
j.
(x+4)(x+4)=
k. (r+9)(r+9)=
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60
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
l.
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
(3x-1)(3x-1)=
m. (2m-1)(2m-1)=
n. (y-7)(y+7)=
o. (h+1)(h-1)=
p. (5m+2)(5m-2)=
3. Divide a. (2x3 – 3x2 – x + 12) ÷ (2x + 3) =
b.
(5x3 + 2x2 + 9x + 15) ÷ ( x + 1) =
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Revisado ENERO 2012
61
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
Factorizar por uno de los siguientes métodos: FACTOR COMÚN Siempre debemos verificar si es posible obtener un factor común en todos los términos del polinomi
7 p 21
EJEMPLO 1
2 y 2 x 3 16 yx 2 30 y 2 x 4
EJEMPLO 4
Factor común de 7 y 21 es 7;
Identificar los factores comunes 2,
Al sacar al 7 como factor común en
y, x 2
2 Al sacar 2 yx como factor de cada término debemos
ambos términos queda 7( p 3) . ¿Cómo sabemos qué nos queda?
determinar que nos queda en cada uno de ellos.
Dividimos cada término de la expresión
¿Cómo sabemos qué nos queda? Dividimos cada
dada por el factor común.
término de la expresión dada entre los factores comunes, vea a continuación
4 xy 24 x
EJEMPLO 2
¿Cómo sabemos qué nos queda?
2 y 2 x 3 16 yx 2 30 y 2 x 4 2 y 2 x 3 16 yx 2 30 y 2 x 4 2 yx 2 2 yx 2 2 yx 2 2 yx 2
Dividimos cada término de la expresión
Simplificas utilizando las leyes de exponentes y el
Factor común de ambos términos 4x;
2 resultado es ( yx 8 15 yx )
dada por el factor común;
4 xy 24 x y6 4x 4x
Resultado
2 yx 2 ( yx 8 15 yx 2 )
Factorización 4 x( y 6) EJEMPLO 3
2a 3 14a 2 10a 4
2 Identificar los factores comunes: 2a
EJEMPLO 5
5 x( x 2) 3( x 2) ( x 2)(5 x 3)
** Se escoge el exponente menor 2 Al sacar 2a como factor de cada
término debemos determinar que nos queda en cada uno de ellos. ¿Cómo sabemos qué nos queda? Dividimos cada término de la expresión dada entre el factor común,
2a 3 14 a 2 10 a 4 a 7 5a 2 2 2 2 2a 2a 2a Factorización
2 a 2 ( a 7 5a 2 )
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
62
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA INMEDIATA: Factor común 1. 2 x 10
4.
6 x 2 y 9 xy 2
5.
5 y 2 x 3 z 2 15 y 3 x 2 30 y 2 x 4 z
3 2 2. 12x 4 x 60x
2 2 3. 3a ( x y ) 5b ( x y )
AGRUPACIÓN
6 x 2 12x 10x 20 Agrupa dos términos que tengan factores
ax 2ay 2bx 4by a( x 2 y) 2b( x 2 y)
comunes. (6 x 12 x) (10 x 20 ) 2
( x 2 y)(a 2b)
Identifica los factores comunes de cada grupo y aplicas el procedimiento de factor común
(6 x 2 12 x) 6 x( x 2) ; (10x 20) 10( x 2)
2 x 3 21 7 x 2 6 x
6 x( x 2) 10( x 2)
2 x 3 7 x 2 6 x 21
Observamos que nos quedan dos términos y
x 2 (2 x 7) 3(2 x 7)
que ambos tienen a (x+2) como factor común
(2 x 7)(x 2 3)
por lo tanto factorizamos.
6 x( x 2) 10( x 2) ( x 2)(6 x 10) PRÁCTICA INMEDIATA 1.
2m 8mn 5m 20n 2
Autora: Prof. Evelyn Dávila
2.
Original
ENERO 2008
28a 2 x 15b 12bx 35a 2
Revisado ENERO 2012
63
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
CASOS ESPECIALES; trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados, suma de cubos, diferencia de cubos. Memoriza estas reglas.
a 2 2ab b 2 (a b) 2
Trinomio cuadrado perfecto
a 2 2ab b 2 (a b) 2
Trinomio cuadrado perfecto
a 2 b 2 (a b)( a b)
Diferencia de cuadrados
a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 ) Suma de cubos a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 ) Diferencia de cubos Procedimiento: a. Identificar
a
y b
b. Determinar el tipo de polinomio y cuál regla se le aplicará c. Sustituir en la regla
I
II
4 x 12 x 9
64 y 80 y 25
2
Identificar
a 4x 2 =2x
a
b 9 3
y b
4
III 2
100z 80zw 16w2 2
Verificar : en el caso de los trinomios de grado par si el
2ab 2( 2 x )( 3) 12 x
término del medio es 2ab Determinar el tipo de polinomio y cuál regla se le aplicará
Trinomio cuadrado perfecto
a 2 2ab b 2 (a b) 2
Factorizar según la
( a b) 2
regla
(2 x 3) 2
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
64
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Identificar
a
IV
V
VI
4a 2 1
64 x 2 9 y 2
32z 2 50
y b
Determinar el tipo de polinomio y cuál regla se le aplicará Sustituir en la regla Simplificar
Identificar
a
VII
VIII
IX
8a 3 1
64 y 3 27
z 3 125
y b
Determinar el tipo de polinomio y cuál regla se le aplicará Sustituir en la regla Simplificar
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
65
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA: Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos y Diferencias de Cuadrados
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
66
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
x 2 bx c
POLINOMIOS DE LA FORMA Buscar dos factores de Ejemplo 1 b = 3
c
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
cuya suma sea igual a b
x 2 3x 10
Ejemplo 2 b = 9
c = -10
Factores de c
Suma de los factores de c
2 y -5
2+-5= -3
-2 y 5
x 2 9 x 14 c = 14
Factores de c
Suma de los factores de c
-2 + 5 =3
2y7
2+7 = 9
10 y -1
10+-1=9
14 y 1
14 + 1 = 15
-10 y 1
-10+1= -9
Factores a utilizar -2 y 5
Factores a utilizar 2 y 7
(x-2)(x+5)
(x+2)(x+7)
Ejemplo 3
y 2 7 y 12
b = -7
Ejemplo 4
c = 12
b = -1
x 2 x 20 c = -20
Factores de c
2y6
Suma de los factores de c 2+6= 8
2 y -10
Suma de los factores de c 2 + -10 = -8
-2 y -6
-2 + -6 = -8
-2 y 10
-2 + 10 = 8
4 y 3
4 + 3=7
5 y -4
5 + -4 = 1
-4 y -3
-4 + -3 = -7
-5 y 4
-5 + 4 = -1
-12 y -1
-12 + -1 = -13
20 y -1
20 + -1 = 19
12 y 1
12 + 1 = 13
-20 y 1
-20 + 1 = -19
Factores de c
Factores a utilizar -4 y -3
Factores a utilizar -5 y 4
( y 4)( y 3)
( x 5)(x 4)
PRÁCTICA INMEDIATA 1. 2.
x 2 6x 8
y 2 7 y 18
2 3. m 8m 15
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
67
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
PRÁCTICA: Factorización Forma General
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
68
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
POLINOMIOS DE LA FORMA
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
ax 2 bx c
1. Multiplica ac 2. Busca dos factores de ac cuya suma sea b . Selecciona esa combinación de factores. 3. Sustituye el término bx por dos términos correspondientes a los números encontrados en el paso 2. 4. Agrupa los términos y simplifica EJEMPLO 1 Polinomio
EJEMPLO 2
2 x 2 5x 3
a =2
c=
Factores de ac 2 y 3 y 6 y 1 y
-3 -2 -1 -6
-3
Polinomio ac = -6
6 y 2 y 15
a= 6
Suma de los factores b= 5 2+ -3 = -1 3+-2=1 6+-1=5* 1+-6=-5
c=-15
ac= -90
Suma de los factores b= -1
Factores de ac 9 y -10
9 + -10 = -1
-9 y 10
-9 + 10 = 1
* seleccionamos la combinación de factores cuya suma sea igual a b Sustituir bx por la suma de dos términos 5x = 6x + -1x
Sustituir bx por la suma de dos términos
2 x 6 x (1x) 3
y 9 y 10 y
2
6 y 2 y 15 6 y 2 9 y 10 y 15 Agrupar
2 x 2 6 x (1x) 3 6 y 2 9 y 10 y 15
[2 x 6 x] [( 1x) 3] 2
[6 y 2 9 y] [10 y 15] 3 y(2 y 3) 5(2 y 3)
Sacar factor común de cada grupo
[2 x 2 6 x]
factor comun 2 x
Agrupar (2 y 3)(3 y 5)
2 x 6 x 2 x[ x 3] 2
[( 1x) 3] factor comu n (1) [( 1x) 3] (1)[ x 3] Simplificar - sacar factor común
2 x[ x 3] (1)[ x 3] ( x 3)( 2 x 1) Respuesta ( x + 3 )( 2x – 1 )
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Respuesta (2 y 3)(3 y 5)
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
69
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
EJEMPLO 3 Polinomio
EJEMPLO 4
18x 2 3x 1
a = 18
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
c = -1
Factores de ac
Polinomio ac = -18
Suma de los factores b= -3
6y2 7 y 2
a = 6
c= 2
Factores de ac
9 y -2
ac = 12
Suma de los factores b=
4 y 3
6 y -3
9 + -2 = 7 -9 + 2 = -7 6 + -3 = 3
-6 y 3
-6 + 3 = -3
-2 y 9
-4 y -3 6y 2 -6 y -2
4 + 3 = 7 -4 + -3 = -7 6 + 2 = 8 -6 + -2 = -8
3 x 6 x 3 x
7 y 4 y 3 y
18 x 2 6 x 3 x 1
6 y 2 4 y 3 y 2
6 x(3 x 1) (3 x 1)
2 y (3 y 2) (1)(3 y 2)
(3 x 1)(6 x 1)
(3 y 2)(2 y 1)
PRÁCTICA: Factorización Indica la regla que le aplica y factoriza: 1.
2.
3.
4.
5.
3x 2 y 3 18 x 3 y 5 12 x 4 y 3
x 3 4 x 2 5 x 20
3 x 2 xy 12 xy 4 y 2 3x 2 4 x 7
y 2 9 y 10
6.
x 2 8x 9
7.
8 x 3 27
8.
x 2 64
9.
4 x 2 20 x 25
10.
x 2 8x 9 Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
70
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO 11.
9x 2 6x 1
12.
x 4 81
13.
14.
15.
16.
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
y 2 49 x 2 4x 3 0
75 x 2 27 y 2 y 2 7 y 10
17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
71
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
TEMA D : FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS PRÁCTICAPRACTICA INMEDIATA FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN FORMA GENERAL
PRÁCTICAFACTORIZACIÓN 1.
1. 2. 3. 4. 5.
2.
PRÁCTICA INMEDIATA – AGRUPACIÓN 1. 2. FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Y DIFERENCIAS DE CUADRADOS TCP -Trinomio cuadrado perfecto DC - Diferencia de cuadrado 1. Fasctorizxación por factor común 2. TCP 3. TCP 4. No es trinomio cuadrado perfecto 5. DC 6. DC 7. DC 8. TCP 9. No es Diferencia de cuadrado – no factoriza 10. No es trinomio cuadrado perfecto – 11. No es trinomio perfecto- 2ab 12. No es trinomio perfecto – 2ab
cuadrado
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
3. 4. 5. No factor iza 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
cuadrado
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
72
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
REPASO TEMA D - FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
I Halla el factor común en los siguientes polinomios: 1. 6y3 x2+ 12y2 x3 + 3yx4 = _______________________ 2. -18ab3 z2 – 22ab2 z – 48ab = _____________________ 3. 5x2 – 100= _____________________ 4. 6x3 + 4x2 – 9x – 6 = _____________________
II Indica para cada uno de los siguientes polinomios las reglas de factorización que les aplica. Utiliza la siguiente clave para contestar en la columna correspondiente: 1- factor común 2- agrupación 3- trinomio cuadrado perfecto 4- trinomio cuadrado perfecto 5- diferencia de cuadrados 6- 4- trinomio cuadrático tipo x2 – bx + c 7- trinomio cuadrático tipo ax2 – bx + c
8- diferencia de cubos 9- suma de cubos Polinomio
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
25x2 - 9y2 y4 – 81 4x2 - 20x + 25 6ax + 2ab + 9bx + 3b2 x2 + x – 12 x3 + 64y3 x2 + 14xy + 49y2 9x2 + 81 4x2 + 12x + 9 ax + bx - ay – by 2y4 – 32 27x3 + 81y3 x2 - 2x + 3 3x3 - 19x2 + 6x
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Reglas aplicables para factorizar
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
73
CUADERNO DE TRABAJO PARA EL CURSO
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA-GEMA 1200
III
Factoriza completamente cada polinomio
1.
12 x 2 y 8 xy 20 xy 2 =
2 2. m 8m 16
2 3. 3x 24 x 48
4.
x 2 x 12
5.
p 2 25
6.
81y 4 16m4
7.
50 x 2 18 y 2
8.
x 2 2x 1
Autora: Prof. Evelyn Dávila
Original
ENERO 2008
Revisado ENERO 2012
74