Listas1-2 Resueltas by manuelsansano

Ejercicios resueltos de MATEMATICAS EMPRESARIALES Cálculo de una variable

Manuel Antonio Ramírez Sansano

c M. A. Ramírez Sansano

c M. A. RamĂrez Sansano

Dedicado a ... Dolores Filiu y Antonio Sansano (mis abuelos)

Gracias por haberme querido tanto Gracias por darme los mejores aĂąos de mi vida Gracias por estar siempre a mi lado Gracias por hacerme tan feliz Gracias, gracias y mil veces gracias. EstarĂŠ eternamente en deuda con vosotros. Siempre estareis en mi pensamiento. Os quiero.

c M. A. RamĂrez Sansano

“ Los grandes descubrimientos resuelven grandes problemas pero en la resolución de cualquier problema hay un poco de descubrimiento. El problema puede ser modesto, pero si desa…a la curiosidad y pone en juego las facultades inventivas de una persona, y esté lo resuelve por sus propios medios, podrá experimentar el triunfo del descubrimiento ” George Polya

“ El arte de la enseñanza es el arte de ayudar al descubrimiento. Enseñar supone convencer -que no igual que demostrar- y, si somos capaces, entusiasmar. El mejor método será el que enseñe a resolver y, por ello, el que promueva la constante actividad del alumno, ya que las ideas se asumen y dominan sólo cuando se aplican personalmente y con exito ” James Stewart

c M. A. Ramírez Sansano

c M. A. RamĂrez Sansano

Capítulo

FUNCIONES REALES 1.1.

ENUNCIADOS LISTA 1

Ejercicio 1.1 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y tiene pendiente m = 3 b) Determinar la recta que pasa por los puntos (1; 2) y ( 1; 2). c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos.

Ejercicio 1.2 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y es paralela a la recta de ecuación 5x 4y = 7 b) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 2x 1 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos.

Ejercicio 1.3 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 1) y tiene pendiente m = 2 b) Determinar la recta que corta al eje OX en x = 1 y al eje OY en y = 5 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. 7

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Ejercicio 1.4 Expresar analiticamente el conjunto representado en la siguiente …gura

Ejercicio 1.5 Se sabe que las funciones de demanda y de oferta, de un determinado bien, son D(p) = 45 2p ; S(p) = 20 + 3p (a) Determinar, si es que existe, el precio de equilibrio. (b) Representar grá…camente la oferta y la demanda, y comprobar los resultados obtenidos. Ejercicio 1.6 Se sabe que las funciones de demanda y de oferta, de un determinado bien, son D(p) = 29 2p ; S(p) = 24 + 3p (a) Determinar, si es que existe, el precio de equilibrio. (b) Representar grá…camente la oferta y la demanda, y comprobar los resultados obtenidos. Ejercicio 1.7 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (2; 3) y es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y = 5 b) Determinar la recta que pasa por el punto ( 1; 4) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 5x + 2 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. Ejercicio 1.8 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (3; 2) y tiene pendiente m = 4 b) Determinar la recta que corta al eje OX en x = 2 y al eje OY en y = 3 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Ejercicio 1.9 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; C; A0 ; B 0 y C 0 para que las rectas Ax + By + C = 0 ; A0 x + B 0 y + C 0 = 0 a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes Ejercicio 1.10 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; A0 y B 0 para que las rectas y = Ax + B ; y = A0 x + B 0 a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes Ejercicio 1.11 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; C; A0 y B 0 para que las rectas Ax + By + C = 0 ; y = A0 x + B 0 a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes

c M. A. Ramírez Sansano

1.2.

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

RESOLUCIÓN LISTA 1

EJERCICIO 1.1 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y tiene pendiente m = 3 b) Determinar la recta que pasa por los puntos (1; 2) y ( 1; 2). c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, y ¿perpendiculares? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. Resolución a) Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) y tiene pendiente m es y b = m (x a) Dado que (a; b) = (1; 2) y m = 3, se tiene que la recta pedida es y

2 = 3 (x

()

y = 3x

3+2

()

y = 3x

b) Recordemos que para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a; b) y (c; d) hemos de determinar la pendiente de la recta usando la formula m=

resta de las segundas componentes d = resta de las primeras componentes c

b a

y posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente. Así pues, si los puntos son (1; 2) y ( 1; 2) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

0 2 2 = =0 1 1 2

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (1; 2) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

2 = 0 (x

()

y=2

c) Para determinar la intersección de las rectas calculadas anteriormente debemos resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, esto es, el sistema ( y=2 ! 2 = 3x 1 ! x = 1 y = 3x 1 con lo que ambas rectas se cortan en el punto (1; 2) (lo cual es evidente dado que ambas rectas pasan -dado que nos lo dicen- por dicho punto).

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

d) ¿Son paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dado que ( y=2 ! m=0 ! m 6= m0 ! no paralelas y = 3x 1 ! m0 = 3 ¿Son perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Dado que ( y=2 ! m=0 ! m m0 = 0 3 = 0 6= 1 ! no perpendiculares y = 3x 1 ! m0 = 3 e) Procedamos a representar grá…camente ambas rectas. Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (los puntos más faciles de determinar -además de importantes- son los de corte con los ejes). Así pues, y = 3x

x 0 1 3

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

y 1 0

(0; 1) 1 ( ; 0) 3

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 1.2 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y es paralela a la recta de ecuación 5x 4y = 7 b) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 2) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 2x 1 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas. d) ¿Son paralelas?, y ¿perpendiculares? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos.

Resolución a) Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 2) y es paralela a la recta de ecuación 5x 4y = 7. Dado que ambas rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente (por lo que si sabemos la pendiente de una de las rectas, sabremos la pendiente de la otra). Así pues, y dado que 5x

4y = 7 ! 4y = 5x

5 7 ! y= x 4

7 5 ! m= 4 4

podemos asegurar que la recta pedida tiene como pendiente m0 = 54 : Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m0 es y

b = m0 (x

5 Dado que (a; b) = (1; 2) y m0 = , se tiene que la recta pedida es 4 5 5 5 y 2= (x 1) () y = x +2 4 4 4 3 5 () y = x + 4 4 b) Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 2) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 2x 1. Dado que ambas rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes será 1. Así pues, ( 1 y = 2x 1 ! m=2 ! m m0 = 1 , 2 m0 = 1 ! m0 = 0 2 recta pedida ! m luego la recta pedida tiene como pendiente m0 = 21 : Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m0 es y

b = m0 (x

5 Dado que (a; b) = (1; 2) y m0 = , se tiene que la recta pedida es 4 1 1 1 y 2= (x 1) () y = x+ +2 2 2 2 1 5 () y = x+ 2 2 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

c) Para determinar la intersección de las rectas calculadas anteriormente debemos resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, esto es, el sistema 8 ( ( > < y = 5x + 3 4y = 5x + 3 5x 4y = 3 4 4 , , 1 5 > 2y = 1x + 5 x + 2y = 5 : y= x+ 2 2

¿Como resolver este sistema? Si aplicamos el método de eliminación (aprendido en el colegio) resulta (

5x 4y = 3 x + 2y = 5 (

(

5x 4y = 3 ! 5x 10y = 25

14y =

28 ! y = 2 ! x = 1

con lo que ambas rectas se cortan en el punto (1; 2) (lo cual es evidente dado que ambas rectas pasan -dado que nos lo dicen- por dicho punto). d) ¿Son paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dado que 8 > < y = 5x + 3 4 4 1 5 > : y= x+ 2 2

! m0 =

5 4

! m=

1 2

! m 6= m0

podemos asegurar que las rectas no son paralelas. ¿Son perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Dado que 8 > < y = 5x + 3 4 4 5 1 > : y= x+ 2 2

! m0 = ! m=

5 4

1 2

! m m0 =

5 4

1 = 2

5 6= 8

podemos asegurar que las rectas no son perpendiculares. e) Procedamos a representar grá…camente ambas rectas. Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (los puntos más faciles de determinar -además de importantes- son los de corte con los ejes) 5 3 y = x+ 4 4

x 0 3 5

c M. A. Ramírez Sansano

y 3 4 0

3 (0; ) 4 3 ( ; 0) 5

1 5 x+ 2 2

x 0 5

y 5 2 0

5 (0; ) 2 (5; 0)

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.3 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (1; 1) y tiene pendiente m = 2 b) Determinar la recta que corta al eje OX en x = 1 y al eje OY en y = 5 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, y ¿perpendiculares? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos.

Resolución a) Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m es y b = m (x a) Dado que (a; b) = (1; 1) y m = y

2, se tiene que la recta pedida es

2 (x

()

2x + 2 + 1

()

2x + 3

a)Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que corta al eje OX en x = 1 y al eje OY en y = 5. ¿Que hacemos con esto datos? ¿Como podemos calcular la recta?. Tras unos instantes de re‡exión nos damos cuenta de la equivalencia corta al eje OX en x = 1 corta al eje OY en y = 5

() ()

corta en el punto ( 1; 0) corta en el punto (0; 5)

luego nos piden, de forma indirecta, la recta que pasa por los puntos ( 1; 0) y (0; 5). Recordemos que para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a; b) y (c; d) hemos de determinar la pendiente de la recta usando la formula m=

resta de las segundas componentes d = resta de las primeras componentes c

b a

y posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente. Así pues, si los puntos son ( 1; 0) y (0; 5) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

5 5 0 = =5 0+1 1

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = ( 1; 0) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

0 = 5 (x + 1)

()

y = 5x + 5

c) Para determinar la intersección de las rectas calculadas anteriormente debemos resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, esto es, el sistema ( 2 25 y = 2x + 3 ! x= 0:28 ; y = 3:57 7 7 y = 5x + 5 c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

con lo que ambas rectas se cortan en el punto (

2 25 7 ; 7 ).

d) ¿Son paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dado que ( y = 2x + 3 ! m = 2 ! m 6= m0 y = 5x + 5 ! m0 = 5 podemos asegurar que las rectas no son paralelas. ¿Son perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Dado que ( y = 2x + 3 ! m = 2 ! m m0 = 2 5 = 10 6= 1 y = 5x + 5 ! m0 = 5 podemos asegurar que las rectas no son perpendiculares. e) Procedamos a representar grá…camente ambas rectas. Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues, y=

2x + 3

x 0 3 2

y 3 0

y = 5x + 5 (0; 3) 3 ( ; 0) 2

5 0

(0; 5) ( 1; 0)

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.4 Expresar analiticamente el conjunto representado en la siguiente …gura

Resolución Se nos pide que expresemos matematicamente la región representada. Para empezar, nos damos cuenta que la región esta limitada por rectas ¿cuales?

Recta vertical x = 0 Recta horizontal y = 0 Recta que pasa por los puntos (2; 2) y (4; 0). Recordemos que para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a; b) y (c; d) hemos de determinar la pendiente de la recta usando la formula m= c M. A. Ramírez Sansano

resta de las segundas componentes resta de las primeras componentes

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

y posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente. Así pues, si los puntos son (2; 2) y (4; 0) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

0 4

2 2 = = 2 2

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (2; 2) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

1 (x

()

x+2+2

x+4

Recta que pasa por los puntos (2; 2) y (0; 1). La pendiente de la recta es m=

1 0

2 = 2

1 1 = 2 2

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (2; 2) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

1 (x 2

() ()

1 2= x 2 1 y = x+1 2 y

1+2

A partir de las rectas anteriores se deduce que la región, llamemosla A, es A = f (x; y) 2 IR = y

x+4; y

1 x+1; x 2

0; y

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.5 Se sabe que las funciones de demanda y de oferta, de un determinado bien, son D(p) = 45

2p ;

S(p) = 20 + 3p

(a) Determinar, si es que existe, el precio de equilibrio. (b) Representar grá…camente la oferta y la demanda, y comprobar los resultados obtenidos. Resolución (a) El precio de equilibrio es aquel para el cual se cumple que la cantidad ofertada y la cantidad demanda son iguales, esto es, se tiene que p precio de equilibrio

S(p ) = D(p ) {z } |

condición de equilibrio

Así pues, si aplicamos la condición de equilibrio a las funciones de demanda y de oferta que se nos da, resulta S(p) = D(p) () 20 + 3p = 45

2p () p = 5

esto es, el precio de equilibrio es p = 5. La oferta y la demanda, a este precio, es Q = S(5) = D(5) = 35 b) Procedamos a representar grá…camente S(p) y D(p). Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues, y=

2x + 45

0 45 45 0 2 con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

y = 3x + 20 (0; 45) 45 ( ; 0) 2

20 20 3

(0; 20) 20 ( ; 0) 3

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 1.6 Se sabe que las funciones de demanda y de oferta, de un determinado bien, son D(p) = 29

2p ;

S(p) = 24 + 3p

(a) Determinar, si es que existe, el precio de equilibrio. (b) Representar grá…camente la oferta y la demanda, y comprobar los resultados obtenidos.

Resolución (a) El precio de equilibrio es aquel para el cual se cumple que la cantidad ofertada y la cantidad demanda son iguales, esto es, se tiene que

p precio de equilibrio

S(p ) = D(p ) {z } |

condición de equilibrio

Así pues, si aplicamos la condición de equilibrio a las funciones de demanda y de oferta que se nos da, resulta

S(p) = D(p) () 24 + 3p = 29

2p () p = 1

esto es, el precio de equilibrio es p = 5. La oferta y la demanda, a este precio, es

Q = S(1) = D(1) = 27

b) Procedamos a representar grá…camente S(p) y D(p). Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues,

2x + 29

0 29 2

29 0

y = 3x + 24 (0; 29) 29 ( ; 0) 2

24 24 3

(0; 24) 24 ( ; 0) 3

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 1.7 Se sabe que las cantidades demandadas y ofertadas de un determinado bien al precio unitario p = 5 son respectivamente D(5) = 100 y S(5) = 60. Se sabe también que por cada unidad de incremento en el precio se dejarán de demandar 4 unidades del bien y se ofertarán 6 unidades adicionales. Se pide: a) Obtenga las funciones de oferta y demanda. (b) Determinar el precio de equilibrio. Resolución (1) Se nos pide que determinemos la función de demanda D(p) = de oferta S(p) = cp + d, sabiendo que

ap + b y la función

Si p = 5 entonces la demanda será D = 100 y la oferta será S = 60. Esto es, nos dicen que la función de demanda pasa por el punto (5; 100) y la de oferta por el punto (5; 60). Si, por contrario, el precio se incrementa en una unidad, esto es, si p = 5 + 1 = 6 entonces la demanda de copas será D = 100 4 = 96 y la oferta será S = 60 + 6 = 66. Esto es, se tiene que la función de demanda pasa por el punto (6; 96) y la oferta por el punto (6; 66). Así pues, se tiene que la función D(p) pasa por los puntos (5; 100)

;

(6; 96)

(5; 60)

;

(6; 66)

y la función S(p) por los puntos

En estos momentos ya conocemos dos puntos tanto de la función de demanda como de la función de oferta. Recordemos que para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a; b) y (c; d) hemos de determinar la pendiente de la recta usando la formula resta de las segundas componentes m= resta de las primeras componentes y posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente y

b = m(x

Demanda D(p) Dado que D(p) pasa por los puntos son (5; 100) y (6; 96) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

resta de las segundas componentes 100 96 = = resta de las primeras componentes 5 6

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (5; 100) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

100 =

4 (x

()

4x + 120

con lo que la función de demanda es D(p) =

4p + 120

Oferta S(p) Dado que S(p) pasa por los puntos son (5; 60) y (6; 66) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

60 5

66 =6 6

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (5; 60) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

60 = 6 (x

()

y = 6x + 30

con lo que la función de oferta es S(p) = 6p + 30 (2) El precio de equilibrio es aquel para el cual se cumple que la cantidad ofertada y la cantidad demanda son iguales, esto es, se tiene que p precio de equilibrio

S(p ) = D(p ) | {z }

condición de equilibrio

Así pues, si aplicamos la condición de equilibrio a las funciones de demanda y de oferta que se nos da, resulta S(p) = D(p) () 6p + 30 =

4p + 120 () p = 9

esto es, el precio de equilibrio es p = 9. La oferta y la demanda, a este precio, es Q = S(9) = D(9) = 84 c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Grá…camente se tiene

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.8 Se sabe que las cantidades demandadas y ofertadas de un determinado bien al precio unitario p = 5 son respectivamente D(5) = 80 y S(5) = 60. Se sabe también que por cada unidad de incremento en el precio se dejarán de demandar 4 unidades del bien y se ofertarán 6 unidades adicionales. Se pide: a) Obtenga las funciones de oferta y demanda. (b) Determinar el precio de equilibrio. Resolución (1) Se nos pide que determinemos la función de demanda D(p) = de oferta S(p) = cp + d, sabiendo que

ap + b y la función

Si p = 5 entonces la demanda será D = 80 y la oferta será S = 60. Esto es, nos dicen que la función de demanda pasa por el punto (5; 80) y la de oferta por el punto (5; 60). Si, por contrario, el precio se incrementa en una unidad, esto es, si p = 5 + 1 = 6 entonces la demanda de copas será D = 80 4 = 76 y la oferta será S = 60 + 6 = 66. Esto es, se tiene que la función de demanda pasa por el punto (6; 76) y la oferta por el punto (6; 66). Así pues, se tiene que la función D(p) pasa por los puntos (5; 80)

;

(6; 76)

(5; 60)

;

(6; 66)

y la función S(p) por los puntos

b = m(x

Demanda D(p) Dado que D(p) pasa por los puntos son (5; 80) y (6; 76) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

resta de las segundas componentes 80 = resta de las primeras componentes 5

c M. A. Ramírez Sansano

76 = 6

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (5; 80) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

80 =

4 (x

()

4x + 100

con lo que la función de demanda es D(p) =

4p + 100

Oferta S(p) Dado que S(p) pasa por los puntos son (5; 60) y (6; 66) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

60 5

66 =6 6

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (5; 60) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

60 = 6 (x

()

y = 6x + 30

S(p ) = D(p ) | {z }

condición de equilibrio

Así pues, si aplicamos la condición de equilibrio a las funciones de demanda y de oferta que se nos da, resulta S(p) = D(p) () 6p + 30 =

4p + 100 () p = 7

esto es, el precio de equilibrio es p = 7. La oferta y la demanda, a este precio, es Q = S(7) = D(7) = 72 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Grá…camente se tiene

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 1.9 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (2; 3) y es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y = 5 b) Determinar la recta que pasa por el punto ( 1; 4) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 5x + 2 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. Resolución a) Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 3) y es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y = 5. Dado que ambas rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente (por lo que si sabemos la pendiente de una de las rectas, sabremos la pendiente de la otra). Así pues, y dado que 3x + 2y = 5 ! 2y =

3x + 5 ! y =

5 3 x+ ! m= 2 2

3 2

podemos asegurar que la recta pedida tiene como pendiente m0 = 32 : Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m0 es y

b = m0 (x

3 , se tiene que la recta pedida es 2 3 3 (x 2) () y 3 = 3 x 2 2 3 () y = x+6 2

Dado que (a; b) = (2; 3) y m0 = y

b) Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 1; 4) y es perpendicular a la recta de ecuación y = 5x + 2. Dado que ambas rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes será 1. Así pues, ( 1 y = 5x + 2 ! m=5 ! m m0 = 1 , 5 m0 = 1 ! m0 = 0 5 recta pedida ! m luego la recta pedida tiene como pendiente m0 = 15 : Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m0 es y

b = m0 (x

1 , se tiene que la recta pedida es 5 1 1 1 (x + 1) () y = x +4 5 5 5 1 19 () y = x+ 5 5

Dado que (a; b) = ( 1; 4) y m0 = y

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

c) Para determinar la intersección de las rectas calculadas (nótese que tienen distinta pendiente por lo que podemos asegurar que son secante, o sea, que se cortan), debemos resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, esto es, el sistema 8 > < y=

( 3 x+6 2y = 2 19 , 1 5y = x+ 5 5

> : y=

3x + 12 , 1x + 19

(

3x + 2y = 12 x + 5y = 19

¿Como resolver este sistema? Si aplicamos el método de eliminación (aprendido en el colegio) resulta (

3x + 2y = 12 , x + 5y = 19( 3)

(

3x + 2y = 12 ! 3x 15y = 57

13y =

22 45 con lo que ambas rectas se cortan en el punto ( 13 ; 13 )

45 ! y =

45 22 !x= 13 13

(1:69; 3:46).

d) ¿Son paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dado que 8 > < y=

3 x+6 2 1 19 x+ 5 5

> : y=

! m0 = ! m=

3 2 1 5

! m 6= m0

podemos asegurar que las rectas no son paralelas. ¿Son perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Dado que 8 > < y= > : y=

3 x+6 2 1 19 x+ 5 5

! m0 = ! m=

3 2 1 5

! m m0 =

1 3 = 6= 5 10

3 2

3 x+6 2

c M. A. Ramírez Sansano

0 4

6 0

y= (0; 6) (4; 0)

1 19 x+ 5 5

x 0 19

y 19 5 0

19 ) 5 (19; 0) (0;

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.10 Se pide: a) Determinar la recta que pasa por el punto (3; 2) y tiene pendiente m = 4 b) Determinar la recta que corta al eje OX en x = 2 y al eje OY en y = 3 c) Obtengase, si es que existe, la intersección de las dos rectas anteriores. d) ¿Son paralelas?, ¿perpendiculares? y ¿coincidentes? e) Representar grá…camente ambas rectas, y comprobar los resultados obtenidos. Resolución a) Recordemos que la ecuación de la recta que pasa por el punto (a; b) tiene pendiente m es y b = m (x a) Dado que (a; b) = (3; 2) y m = 4, se tiene que la recta pedida es y

2 = 4 (x

()

y = 4x

12 + 2

()

y = 4x

a) Nos piden que determinemos la ecuación de la recta que corta al eje OX en x = 2 y al eje OY en y = 3. ¿Que hacemos con esto datos? ¿Como podemos calcular la recta?. Tras unos instantes de re‡exión nos damos cuenta de la equivalencia corta al eje OX en x = 2 corta al eje OY en y = 3

() ()

corta en el punto (2; 0) corta en el punto (0; 3)

luego nos piden, de forma indirecta, la recta que pasa por los puntos (2; 0) y (0; 3). Recordemos que para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a; b) y (c; d) hemos de determinar la pendiente de la recta usando la formula m=

resta de las segundas componentes resta de las primeras componentes

y posteriormente aplicamos la ecuación punto-pendiente. Así pues, si los puntos son (2; 0) y (0; 3) se tendrá que la pendiente de la recta es m=

3 0

0 = 2

3 2

con lo que, si tomamos como punto (a; b) = (2; 0) (se puede elegir cualquiera de los dos), se tiene que la recta pedida es y

3 (x 2

()

3 x+3 2

c) Para determinar la intersección de las rectas calculadas anteriormente debemos resolver el sistema formado por ambas ecuaciones, esto es, el sistema 8 < y = 4x 10 26 6 ! x= 2:36 ; y = 0:54 3 : y= 11 11 x+3 2 c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

con lo que ambas rectas se cortan en el punto ( 26 11 ;

6 11 )

(2:36; 0:54).

d) ¿Son paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dado que 8 < y = 4x 10 ! m = 4 3 3 ! m 6= m0 : y= x + 3 ! m0 = 2 2

podemos asegurar que las rectas no son paralelas.

¿Son perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Dado que 8 < y = 4x 10 ! m = 4 3 = 6 6= 1 3 ! m m0 = 4 3 0 : y= 2 x+3 ! m = 2 2 podemos asegurar que las rectas no son perpendiculares.

e) Procedamos a representar grá…camente ambas rectas. Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues, y = 4x

x 0 10 4

y= 10

(0; 10) 10 ( ; 0) 4

3 x+3 2

0 2

3 0

(0; 3) (2; 0)

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.11 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; C; A0 ; B 0 y C 0 para que las rectas A0 x + B 0 y + C 0 = 0

Ax + By + C = 0 ; a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes Resolución

Nos dan dos rectas, y nos piden que determinemos las condiciones para que sean paralelas, recantes, perpendiculares y coincidentes. Para empezar, determinemos la pendiente de cada una de las rectas (recuerda que la pendiente es el número que acompaña a la x si la y esta despejada) 8 A > < Ax + By + C = 0 ! m= B0 0 0 0 > : A x + B y + C = 0 ! m0 = A B0

a) ¿Cuando seran paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Así pues, si se satisface la relación A = B

A0 A A0 ! = B0 B B0

podremos asegurar que las rectas son paralelas. b) ¿Cuando seran secantes? Recordemos que dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente. Así pues, si se satisface la relación A 6= B

A0 B0

podremos asegurar que las rectas son secantes. c) ¿Cuando seran perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Así pues, si se satisface la relación m m0 =

A B

A0 A A0 = = B0 B B0

podremos asegurar que las rectas son perpendiculares. d) ¿Cuando seran coincidentes? Recordemos que dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son totalmente proporcionales. Así pues, si se satisface la relación A B C = 0 = 0 0 A B C podremos asegurar que las rectas son coinciendentes.

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 1.12 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; A0 y B 0 para que las rectas y = Ax + B

;

y = A0 x + B 0

a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes. Resolución Nos dan dos rectas, y nos piden que determinemos las condiciones para que sean paralelas, recantes, perpendiculares y coincidentes. Para empezar, determinemos la pendiente de cada una de las rectas (recuerda que la pendiente es el número que acompaña a la x si la y esta despejada) ( y = Ax + B ! m = A y = A0 x + B 0 ! m0 = A0 a) ¿Cuando seran paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Así pues, si se satisface la relación A = A0 podremos asegurar que las rectas son paralelas. b) ¿Cuando seran secantes? Recordemos que dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente. Así pues, si se satisface la relación A 6= A0 podremos asegurar que las rectas son secantes. c) ¿Cuando seran perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Así pues, si se satisface la relación m m0 = A A0 =

podremos asegurar que las rectas son perpendiculares. d) ¿Cuando seran coincidentes? Recordemos que dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son totalmente proporcionales. Dado que ( ( y = Ax + B Ax y + B = 0 , 0 0 y =Ax+B A0 x y + B 0 = 0 Así pues, si se satisface la relación A 1 B A B = = 0 ! 0 = 0 =1 0 A 1 B A B podremos asegurar que las rectas son coinciendentes.

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.13 Determinar como deben ser los coe…cientes A; B; C; A0 y B 0 para que las rectas Ax + By + C = 0 ;

y = A0 x + B 0

a) Sean paralelas b) Se corten en un punto c) Sean perpendiculares d) Sean coincidentes Resolución Nos dan dos rectas, y nos piden que determinemos las condiciones para que sean paralelas, recantes, perpendiculares y coincidentes. Para empezar, determinemos la pendiente de cada una de las rectas (recuerda que la pendiente es el número que acompaña a la x si la y esta despejada) 8 A < Ax + By + C = 0 ! m= B : y = A0 x + B 0 ! m0 = A0 a) ¿Cuando seran paralelas? Recordemos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Así pues, si se satisface la relación A = A0 B podremos asegurar que las rectas son paralelas. b) ¿Cuando seran secantes? Recordemos que dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente. Así pues, si se satisface la relación A 6= A0 B podremos asegurar que las rectas son secantes. c) ¿Cuando seran perpendiculares? Recordemos que dos rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es 1. Así pues, si se satisface la relación m m0 =

A A0 = B

podremos asegurar que las rectas son perpendiculares. d) ¿Cuando seran coincidentes? Recordemos que dos rectas son coincidentes si sus ecuaciones son totalmente proporcionales. Dado que ( ( Ax + By + C = 0 Ax + By + C = 0 , y = A0 x + B 0 A0 x y + B 0 = 0 c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Así pues, si se satisface la relación A B C = = 0 0 A 1 B podremos asegurar que las rectas son coinciendentes.

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 1.14 Se sabe que las funciones de demanda y de oferta, de un determinado bien, son D(p) = 29

2p ;

S(p) = 24 + 3p

S(p ) = D(p ) {z } |

condición de equilibrio

Así pues, si aplicamos la condición de equilibrio a las funciones de demanda y de oferta que se nos da, resulta S(p) = D(p) () 24 + 3p = 29

2p () p = 1

esto es, el precio de equilibrio es p = 5. La oferta y la demanda, a este precio, es Q = S(1) = D(1) = 27 b) Procedamos a representar grá…camente S(p) y D(p). Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues, y=

2x + 29

0 29 29 0 2 con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

y = 3x + 24 (0; 29) 29 ( ; 0) 2

24 24 3

(0; 24) 24 ( ; 0) 3

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

c M. A. Ramírez Sansano

Capítulo

LÍMITES, CONTINUIDAD y DERIVABILIDAD 2.1.

ENUNCIADOS LISTA 2

Ejercicio 2.1 Calcular el valor del límite p x2 x + 2 lm x!2 x2 + 1 Ejercicio 2.2 Calcular el valor del límite 1

x!1

1 + ex

Ejercicio 2.3 Calcular el valor del límite x x!3 x2 lm

3 9

Ejercicio 2.4 Calcular el valor del límite lm

x 2 x 4

x!4

Ejercicio 2.5 Encuentre la constante c de modo que el límite x2 + x + c x!2 x2 5x + 6 lm

exista. Ejercicio 2.6 Calcular el valor del límite lm

x!+1

x ln(x) x2 1

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Ejercicio 2.7 Obtener el valor del siguiente límite l m xe

x!1

Ejercicio 2.8 Calcular el valor del límite x3 3x + 7 x!1 5x2 + 9x + 6 lm

Ejercicio 2.9 Calcular el valor del límite x x!3 x2 lm

3 9

Ejercicio 2.10 Calcular el valor del límite p x 2 2 lm x!2 x 6 Ejercicio 2.11 Obtener el valor del siguiente límite ex x!+1 2x3 lm

Ejercicio 2.12 Obtener el valor del siguiente límite x3 x!+1 e2x lm

Ejercicio 2.13 Calcular el límite siguiente lm

x!0

sen(x) 2x

Ejercicio 2.14 Calcular el límite siguiente lm

x!0

x cos(x)

Ejercicio 2.15 Calcular el límite siguiente lm

x!1

2x + 5 2x + 3

3x+1

Ejercicio 2.16 Calcular el límite siguiente lm

x!1

x2 + x 1 x2 + 1

x+2

Ejercicio 2.17 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, señalando los tipos de discontinuidad que aparecen ( ( x + 1 si x 0 x2 si x 6= 0 A) f (x) = b) f (x) = x2 si x > 0 1 si x = 0 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Ejercicio 2.18 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, señalando los tipos de discontinuidad que aparecen 8 1 > ( > si x < 0 < x e 1 si x 1 x a) f (x) = b) f (x) = 2 si 0 x 2 > x2 x + 1 si x > 1 > : x2 si x > 2 c)

f (x) =

(

x2 + 1 1

si si

x 6= 1 x=1

8 > < 2(x + 1) f (x) = 4 > : x2 1

si si si

x<3 x=3 x>3

Ejercicio 2.19 Usando la de…nición de derivada, determinar la derivada de las siguientes funciones p a) f (x) = 4x 1 b) f (x) = x c)

f (x) = 3x2 + 2

p f (x) = 2 x

f (x) = x2 + 2x

f (x) =

2 x

Ejercicio 2.20 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f (x) = 3x2 + 1 en el punto x = 4. Ejercicio 2.21 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f (x) = x2 +

1 x

en el punto x = 2. Ejercicio 2.22 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación p f (x) = x en el punto x = 2. Ejercicio 2.23 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = ex

en el punto x = 2. Ejercicio 2.24 Calcular la función derivada de las siguientes funciones a)

x2 + y 2

x2 y 2 + xy

c M. A. Ramírez Sansano

1=0 1=0

x3 + y 3

x + y + xy + y 2 + 2 = 0

1=0

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Ejercicio 2.25 Calcular la función derivada de la función x2

2y 3 + 3x3 y 2 + 2 = 0

Ejercicio 2.26 Encuentre la pendiente de la curva 2x2 = (3x

2y)2

en el punto (2; 1). Ejercicio 2.27 Las siguientes ecuaciones resultan muy difíciles de resolver. Sin embargo, ¿puedes asegurar que tienen solución?. Razona la respuesta indicando los resultados que utilices y comprobando que se cumplen las condiciones de dichos resultados a)

x6 + x4 + x2

f (x) =

1=0

ln(x) + x =0 x

; ln(005) =

x3 + x + 1 =0 x2 + 1

007

Ejercicio 2.28 Las funciones de demanda D(p) y de oferta S(p) de un objeto dependen de su precio p del siguiente modo D(p) = 10

S(p) = 8p (1) Sin resolverlo, prueba que hay un precio que hace que la oferta y la demanda se igualen (precio de equilibrio). (2) Calcula ahora el precio de equilibrio. (3) Represente grá…camente ambas funciones y compruebe los resultados obtenidos.

Ejercicio 2.29 Se dice que una función f (x) tiene un punto …jo si existe un valor a de manera que f (a) = a. Relaciona la existencia de punto …jo con alguno de los resultados vistos. Prueba que las siguientes funciones tienen un punto …jo a)

f (x) = x2

f (x) =

x6 + x

f (x) = x2 + 8x + 1

Ejercicio 2.30 Si la función de costes de una empresa viene dada por C = 0:3q 2 + 2q + 850 (1) Determinar el coste medio y el coste marginal. (2) ¿Cuál es el incremento real del coste de producir una unidad adicional a partir de c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

q = 100? (3) ¿Qué estimación se obtiene del incremento del coste, de producir una unidad adicional a partir de q = 100, usando el coste marginal? (4) ¿cómo está cambiando el coste cuando q = 100? ¿Y el coste marginal? Ejercicio 2.31 Las funciones de demanda D(p) y de oferta S(p) de un objeto dependen de su precio p del siguiente modo D(p) = 10

S(p) = 8p (1) Sin resolverlo, prueba que hay un precio que hace que la oferta y la demanda se igualen (precio de equilibrio). (2) Calcula ahora el precio de equilibrio.

c M. A. Ramírez Sansano

2.2.

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

RESOLUCIÓN LISTA 2

EJERCICIO 2.1 Calcular el valor del límite

p x2 x + 2 lm x!2 x2 + 1

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.2 Calcular el valor del límite

x!1

1 + ex

x!1

Tanteo Preliminar

1 1+e

1 x

El límite es directo. No hay indeterminación.

c M. A. Ramírez Sansano

1 1 + e0

1 2

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.3 Calcular el valor del límite lm

x!3

x x2

3 9

x lm 2 x!3 x

3 9

Tanteo Preliminar

0 0

Se nos presenta la indeterminación 00 (es un buen momento para repasar las reglas operativas). La indeterminación la resolveremos aplicando la regla de regla de BernoulliL’Hôpital1 Tanteo 1 1 1 x 3 L’Hôpital = lm = Preliminar = = lm 2 x!3 x!3 x 9 2x 2 3 6

Tras aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital es recomendable, siempre que sea posible, simpli…car antes de volver a tantear. c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.4 Calcular el valor del límite lm

x!4

x 2 x 4

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar (debeis recordar que el “tanteo” es lo primero que se hace en un límite) Ind: p Tanteo x 2 Preliminar 0 lm = x!4 x 4 0 Se nos presenta la indeterminación 00 (es un buen momento para repasar las reglas operativas). La indeterminación la resolveremos aplicando la regla de regla de BernoulliL’Hôpital2 p 1 Tanteo p x 2 L’Hôpital 1 1 1 2 x p = = lm = l m p Preliminar = lm x!4 1 x!4 2 x x!4 x 4 4 2 4

Tras aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital es recomendable, siempre que sea posible, simpli…car antes de volver a tantear. c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.5 Encuentre la constante c de modo que el límite x2 + x + c x!2 x2 5x + 6 lm

exista. Resolución Hemos de determinar el valor de c para que el límite pedido sea un numero real. Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar (debeis recordar que el “tanteo” es lo primero que se hace en un límite) x2 + x + c x!2 x2 5x + 6 lm

Tanteo Preliminar

6+c 0

Se nos plantean dos opciones posibles: Si c =

6 se tendrá que el numerador será cero, con lo que x2 + x 6 lm 2 x!2 x 5x + 6

Ind: Tanteo Preliminar

0 0

luego se nos presenta la indeterminación 00 (es un buen momento para repasar las reglas operativas). La indeterminación la resolveremos aplicando la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital3 x2 + x 6 x!2 x2 5x + 6 lm

Si c 6=

L’Hôpital

2x + 1 x!2 2x 5 lm

Tanteo Preliminar

5 = 1

6 se tendrá que el numerador será un número distinto de cero x2 + x + c = x!2 x2 5x + 6 lm

6+c 0

6= 0 0

con lo que tenemos la situación k0 . En este tipo de situaciones el límite de existir será in…nito, luego no es necesario estudiar esta situación. Por tanto, el valor de c buscado es c =

Tras aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital es recomendable, siempre que sea posible, simpli…car antes de volver a tantear. c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.6 Calcular el valor del límite lm

x!+1

x ln(x) x2 1

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar (debeis recordar que el “tanteo” es lo primero que se hace en un límite) Ind: Tanteo x ln(x) Preliminar +1 lm = x!+1 x2 1 +1 n o +1 Se nos presenta la indeterminación +1 (es un buen momento para repasar las reglas operativas). La indeterminación la resolveremos aplicando la regla de regla de BernoulliL’Hôpital4

Ind:

x ln(x) lm x!+1 x2 1

L’Hôpital

1 + ln(x) lm x!+1 2x

Tanteo Preliminar

+1 +1

L’Hôpital

x!+1

1 x!+1 2x

= lm

1 x

2 Tanteo Preliminar

1 +1

Tras aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital es recomendable, siempre que sea posible, simpli…car antes de volver a tantear. c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.7 Obtener el valor del siguiente límite ex e x 2x x!0 x sen(x) lm

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar ex e x 2x lm x!0 x sen(x) Se nos presenta la indeterminación Bernoulli-L’Hôpital L’Hôpital

0 0

ex + e x 2 lm x!0 1 cos(x)

L’Hôpital

0 0

L’Hôpital

0 0

. La resolveremos aplicando la regla de regla de

se nos presenta, de nuevo, la indeterminación regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital

Otra vez surge la indeterminación Bernoulli-L’Hôpital

Ind: Tanteo Preliminar

0 0

ex e x lm x!0 sen(x)

Ind: Tanteo Preliminar

0 0

por lo que aplicaremos de nuevo la

Ind: Tanteo Preliminar

0 0

, luego volvamos a aplicar la regla de regla de ex + e x x!0 cos(x) lm

Tanteo Preliminar

2 1

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.8 Obtener el valor del siguiente límite l m xe

x!1

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones de la base y del exponente; esto es, realicemos el tanteo preliminar l m xe

Tanteo Preliminar

x!1

f+1 0g

Para deshacer la indeterminación f+1 0g apliquemos la regla producto-cociente, esto es, x x Tanteo n 1 o x = l m xe 2x = l m 1 = l m 2x = l m 2x Preliminar x!1 e x!1 e x!1 x!1 1 e 2x n1o Se nos presenta, ahora, la indeterminación . Aplicando la regla de Bernoulli1 L’Hôpital se obtiene x x!1 e2x lm

c M. A. Ramírez Sansano

L’Hôpital

1 = x!1 2e2x lm

1 +1

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.9 Calcular el valor del límite

ex x 1 x!0 xex x lm

Resolución Empecemos realizando el tanteo preliminar ex x 1 lm x!0 xex x

Ind: Tanteo Preliminar

0 0

Si volvemos a tantear nos sale la indeterminación regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital ex x 1 lm x!0 xex x

L’Hôpital

ex 1 lm x x!0 e + xex 1

. La resolveremos aplicando la

Ind: Tanteo Preliminar

L’Hôpital

0 0 ex 1 = x x x x!0 e + e + xe 2 lm

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.10 Calcular el valor del límite

x3 3x + 7 x!1 5x2 + 9x + 6 lm

Tanteo Preliminar

El límite es directo. No hay indeterminación.

c M. A. Ramírez Sansano

1 3+7 5+9+6

1 4

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.11 Calcular el valor del límite

x x2

x!3

3 9

x lm 2 x!3 x

3 9

Tanteo Preliminar

0 0

Se nos presenta la indeterminación 00 (es un buen momento para repasar las reglas operativas). La indeterminación la resolveremos aplicando la regla de regla de BernoulliL’Hôpital5 Ind:

x lm x!3 x2

3 = 9

0 0

L’Hôpital

1 x!3 2x lm

Tanteo Preliminar

1 6

Tras aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital es recomendable, siempre que sea posible, simpli…car antes de volver a tantear. c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.12 Calcular el valor del límite lm

x!2

x 2 2 x 6

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.13 Calcular el valor del límite

x!0

1 + ex

x!0

Tanteo Preliminar

1 1+e

1 x

1 1

1 + e0

Se nos presenta la indeterminación 01 , por lo que debemos calcular límites laterales. Así pues, ) ( Tanteo 1 1 1 1 Preliminar = = =1 = lm 1 1 1 1+e 1+0 x!0 1 + e x 1 + e0 ( ) Tanteo 1 1 1 1 Preliminar = lm = = =0 1 1 +1 1+e +1 x!0+ 1 + e x 1 + e 0+ Dado que los límites laterales son distintos, el límite no existe.

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.14 Obtener el valor del siguiente límite ex x!+1 2x3 lm

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar Ind:

Tanteo ex Preliminar +1 lm = x!+1 2x3 +1 n o +1 Se nos presenta la indeterminación +1 . La resolveremos aplicando la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital

Ind:

Tanteo +1 ex Preliminar = = lm 2 x!+1 6x +1 n o se nos presenta, de nuevo, la indeterminación +1 por lo que aplicaremos de nuevo +1 la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital L’Hôpital

L’Hôpital

Otra vez surge la indeterminación Bernoulli-L’Hôpital

+1 +1

c M. A. Ramírez Sansano

Ind: Tanteo Preliminar

+1 +1

o , luego volvamos a aplicar la regla de regla de

L’Hôpital

ex lm x!0 12x

ex x!0 12 lm

Tanteo Preliminar

+1 12

= +1

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.15 Obtener el valor del siguiente límite x3 x!+1 e2x lm

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el tanteo preliminar Ind:

x3 Tanteo +1 l m 2x Preliminar = x!+1 e +1 n o Se nos presenta la indeterminación +1 +1 . La resolveremos aplicando la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital Ind:

Tanteo 3x2 Preliminar +1 = lm = x!+1 2e2x +1 o n por lo que aplicaremos de nuevo se nos presenta, de nuevo, la indeterminación +1 +1 la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital L’Hôpital

Ind: Tanteo 6x Preliminar +1 = lm = x!+1 4e2x +1 o n Otra vez surge la indeterminación +1 +1 , luego volvamos a aplicar la regla de regla de Bernoulli-L’Hôpital L’Hôpital

L’Hôpital

6 x!+1 8e2x lm

Tanteo Preliminar

6 +1

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.16 Calcular el límite siguiente lm

x!0

sen(x) 2x

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el “tanteo preliminar” Ind:

sen(x) lm x!0 2x Se nos presenta la indeterminación L’Hôpital se obtiene sen(x) x!0 2x lm

c M. A. Ramírez Sansano

L’Hôpital

0 0

Tanteo Preliminar

. Aplicando la regla de regla de Bernoulli-

cos(x) x!0 2 lm

0 0

Tanteo Preliminar

cos(0) 2

1 2

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.17 Calcular el límite siguiente sen2 (x) x!0 3x lm

Resolución Antes de nada, digamos que sen2 (x) = [sen(x)]2 con lo que el límite nos queda así [sen(x)]2 x!0 3x lm

Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el “tanteo preliminar” [sen(x)]2 lm x!0 3x Se nos presenta la indeterminación L’Hôpital se obtiene [sen(x)]2 x!0 3x lm

L’Hôpital

0 0

. Aplicando la regla de regla de Bernoulli-

2sen(x) cos(x) x!0 3 lm

Ind: Tanteo Preliminar

Tanteo Preliminar

2 sen(0) cos(0) 3

0 3

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.18 Calcular el límite siguiente lm

x!0

x cos(x)

Resolución Empecemos por analizar la tendencia de las funciones del numerador y del denominador; esto es, realicemos el “tanteo preliminar” Ind:

x!0

x cos(x)

0 0

Se nos presenta la indeterminación L’Hôpital se obtiene lm

x!0

x cos(x)

0 0

. Aplicando la regla de regla de Bernoulli-

L’Hôpital

Tanteo Preliminar

1 x!0 sen(x) lm

Tanteo Preliminar

1 0

Se nos presenta la indeterminación 10 , por lo que debemos calcular límites laterales. Así pues, Tanteo 1 1 1 Preliminar lm = = = 1 sen(0 ) 0 x!0 sen(x) lm

x!0+

Tanteo Preliminar

1 sen(x)

1 sen(0+ )

1 0+

= +1

Dado que los límites laterales son distintos, el límite no existe. NOTA VIP. Recuerda que la grá…ca de la función seno es

con lo que sen(0) = 0

c M. A. Ramírez Sansano

;

sen(0+ ) = 0+

;

sen(0 ) = 0

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.19 Calcular el límite siguiente lm

x!1

2x + 5 2x + 3

3x+1

Resolución Tratemos de calcular directamente el límite como potencia de los límites de la base y el exponente, esto es, empecemos realizando el tanteo preliminar L= lm

x!1

2x + 5 2x + 3

3x+1

Tanteo Preliminar

Ind:

f11 g

Se nos presenta la indeterminación f11 g. La resolveremos aplicando el primer criterio del número e 2x + 5 3x+1 =e L= lm x!1 2x + 3 donde = l m (3x + 1) [ x!1

2x + 5 2x + 3

1] = l m (3x + 1) x!1

2 6x + 2 6 = lm = =3 2x + 3 x!1 2x + 3 2

Por tanto, el límite pedido vale lm

x!1

2x + 5 2x + 3

3x+1

= e3

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.20 Calcular el límite siguiente lm

x!1

2x2 + 4 2x2 + 3

3x2 +5

Resolución Tratemos de calcular directamente el límite como potencia de los límites de la base y el exponente, esto es, empecemos realizando el tanteo preliminar L= lm

x!1

2x2 + 4 2x2 + 3

3x2 +5

Tanteo Preliminar

Ind:

f11 g

Se nos presenta la indeterminación f11 g. La resolveremos aplicando el primer criterio del número e 3x2 +5 2x2 + 4 L= lm =e x!1 2x2 + 3 donde = l m (3x2 + 5) [ x!1

2x2 + 4 2x2 + 3

3x2 + 5 3 = 2 x!1 2x + 3 2

1] = l m

Por tanto, el límite pedido vale lm

x!1

c M. A. Ramírez Sansano

2x2 + 4 2x2 + 3

3x2 +5

= e3=2

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.21 Calcular el límite siguiente lm

x!1

x2 + x 1 x2 + 1

x+2

Resolución Empecemos realizando el tanteo preliminar lm

x!1

x2 + x 1 x2 + 1

x+2

Tanteo Preliminar

f11 g = e

Se nos presenta la indeterminación f11 g. La resolveremos aplicando el primer criterio del número e. Procedamos a calcular el valor de = l m (x + 2) x!1

x2 + x 1 x2 + 1

x2 4 =1 x!1 x2 + 1

= lm

Por tanto, se tiene que el límite planteado vale lm

x!1

x2 + x 1 x2 + 1

x+2

= e1 = e

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.22 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, señalando los tipos de discontinuidad que aparecen ( ( x + 1 si x 0 x2 si x = 6 0 c) f (x) = d) f (x) = 2 x si x > 0 1 si x = 0

Resolución Nótese que las funciones de los apartados c) y d) son funciones de…nidas a trozos (o sea, tienen varias formulas). Recordemos que los pasos a seguir para estudiar la continuidad son: Paso 1.- Debemos decir: “Dado que las expresiones funcionales de f son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Por tanto, tan sólo nos saber lo que ocurre en los puntos x = a, x = b, ... ”. Paso 2.- Por último, debemos estudiar la continuidad en los puntos x = a, x = b, ... de transición entre expresiones funcionales. Recordemos que estudiar la continuidad en un punto x = a consiste en: C1) ¿ La función esta de…nida en x = a? Hemos de calcular f (a): C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 1? Hemos de calcular el límíte en x = a l m f (x) x!a

para lo que deberemos determinar los límites laterales. C3) Por último, debemos comprobar si f (a) = l m f (x) x!a

en cuyo caso f será continua en x = a. (a) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( x + 1 si x 0 f (x) = x2 si x > 0 (Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = x + 1

;

f1 (x) = x2

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

(Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 0. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 0? Evaluemos la función f en el punto x = 0, esto es, f (0) = 1: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 0? Procedamos a determinar el límíte en x = 0. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 0 es f (x) = x + 1 f (x) = x2 ———————————————— + x!0 0 x!0 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!0

l m f (x) =

x!0+

l m x + 1 = f0 + 1g = 1

x!0

l m x2 = f02 g = 0

x!0

con lo que el límite en x = 0 no existe al ser distintos los límites laterales l m f (x) = @

x!0

Luego se tiene que la función f no es continua en x = 0. Dado que los límites laterales son …nitos y distintos, se tiene que la discontinuidad es inevitable de salto …nito. Por tanto, la función f es continua en todo IR

f0g:

(b) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( x2 si x 6= 0 f (x) = 1 si x = 0 (Paso 1) Dado que f sólo tiene una expresión funcional f1 (x) = x2 podemos asegurar que f será continua salvo, a lo sumo, en el punto de transición x = 0. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 0. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 0. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 0? Evaluemos la función f en el punto x = 0, esto es, f (0) = 1: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 0? Procedamos a determinar el límíte en x = 0. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 0 es f (x) = x2 f (x) = x2 ———————————————— + x!0 0 x!0 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!0

l m f (x) =

x!0+

l m x2 = 0

x!0

l m x2 = 0

x!0

con lo que, al ser iguales los límites laterales, podemos a…rmar que el límite en x = 0 existe y vale 0 l m f (x) = 0 x!0

C3) Dado que f (0) 6= l m f (x), se tiene que la función f no es continua en x = 0. Al x!0

existir el límite, la discontinuidad es Evitable. Por tanto, la función f es continua en todo IR

c M. A. Ramírez Sansano

f0g:

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.23 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, señalando que aparecen 8 > ( > < x 3 si x 2 a) f (x) = b) f (x) = > x2 5 si x > 2 > : c)

f (x) =

(

x2 + 1 1

si si

los tipos de discontinuidad 1 x 2 x2

x<0

si si

0 x x>2

x 6= 1 x=1

Resolución a) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( x 3 si x 2 f (x) = x2 5 si x > 2 (Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = x

;

f1 (x) = x2

son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 2. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 2. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 2? Evaluemos la función f en el punto x = 2, esto es, f (2) = 1: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 2? Procedamos a determinar el límíte en x = 2. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 2 es f (x) = x 3 f (x) = x2 5 ———————————————— + x!2 2 x!2 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!2

l m f (x) =

x!2+

lmx

x!2

l m x2

x!2

3 = f2 5 = f22

3g = 5g =

1 1

con lo que el límite en x = 2 es l m f (x) =

x!2

1 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

C3) Dado que f (2) = l m f (x), se tiene que la función f es continua en x = 2. x!2

Por tanto, la función f es continua en todo IR: b) Procedamos a estudiar la continuidad de la 8 1 > > si < x f (x) = 2 si > > : x2 si

función x<0 0 x x>2

(Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) =

1 x

;

f2 (x) = 2

;

f3 (x) = x2

son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Falta por saber lo que ocurre en los puntos x = 0 y x = 2. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 0. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 0? Evaluemos la función f en el punto x = 0, esto es, f (0) = 2: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 0? Procedamos a determinar el límíte en x = 0. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 0 es 1 f1 (x) = f2 (x) = 2 f3 (x) = x2 x ———————————————— + + x!0 x!2 0 x!0 2 x!2 luego se tiene que los límites laterales son 1 1 =f g= 0 x!0 x x!0 l m f (x) = l m 2 = 2 l m f (x) =

x!0

x!0+

con lo que el límite en x = 0 no existe l m f (x) = @

x!0

luego la función f no es continua en x = 0. Al ser in…nito uno de los límites laterales, la discontinuidad es inevitable de salto in…nito. Estudiemos la continuidad en x = 2. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 2? Evaluemos la función f en el punto x = 2, esto es, f (2) = 2: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 2? Procedamos a determinar el límíte en c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

x = 2. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 2 es 1 f2 (x) = 2 f3 (x) = x2 f1 (x) = x ———————————————— + + x!0 x!2 0 x!0 2 x!2 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!2

l m f (x) =

x!2+

lm2=2

x!2

l m x2 = f22 g = 4

x!2

con lo que el límite en x = 2 no existe. Por ello, se tiene que la función f no es continua en x = 2. Al ser …nitos ambos límites laterales, la discontinuidad es inevitable de salto …nito. Por tanto, la función f es continua en todo IR

f0; 2g

c) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( x2 + 1 si x 6= 1 f (x) = 1 si x = 1 (Paso 1) Dado que f sólo tiene una expresión funcional f1 (x) = x2 + 1 podemos asegurar que f será continua salvo, a lo sumo, en el punto de transición x = 1. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 1. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 1. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 1? Evaluemos la función f en el punto x = 1, esto es, f (1) = 1: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 1? Procedamos a determinar el límíte en x = 1. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 1 es f (x) = x2 + 1 f (x) = x2 + 1 ———————————————— + x!1 1 x!1 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!1

l m f (x) =

x!1+

l m x2 + 1 = 2

x!1

l m x2 + 1 = 2

x!1

con lo que, al ser iguales los límites laterales, podemos a…rmar que el límite en x = 1 existe y vale 2 l m f (x) = 2 x!1

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

C3) Dado que f (1) 6= l m f (x), se tiene que la función f no es continua en x = 1. x!1

existir el límite, la discontinuidad es Evitable. Por tanto, la función f es continua en todo IR

c M. A. Ramírez Sansano

f1g:

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.24 Estudia la continuidad de las siguientes funciones, señalando los tipos de discontinuidad que aparecen ( ( 3x + 2 si x 1 2x + 3 si x < 2 a) f (x) = b) f (x) = 2x + 3 si x > 1 2x + 5 si x 2

8 > < 2(x + 1) f (x) = 4 > : x2 1

si si si

x<3 x=3 x>3

f (x) =

(

ex x2

1 x+1

si si

x 1 x>1

Resolución Nótese que todas las funciones de este ejercicio son funciones de…nidas a trozos (o sea, tienen varias formulas). a) Procedamos a estudiar la continuidad de la función f (x) =

(

3x + 2 2x + 3

si si

x 1 x>1

(Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = 3x + 2

;

f1 (x) = 2x + 3

son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 1. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 1. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 1? Evaluemos la función f en el punto x = 1, esto es, f (1) = 5: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 1? Procedamos a determinar el límíte en x = 1. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 1 es f (x) = 3x + 2 f (x) = 2x + 3 ———————————————— + x!1 1 x!1 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!1

l m f (x) =

x!1+

l m 3x + 2 = f3 1 + 2g = 5

x!1

l m 2x + 3 = f2 1 + 3g = 5

x!1

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

con lo que el límite en x = 1 es l m f (x) = 5

x!1

C3) Dado que f (1) = l m f (x), se tiene que la función f es continua en x = 1. x!1

Por tanto, la función f es continua en todo IR: b) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( 2x + 3 si x < 2 f (x) = 2x + 5 si x 2 (Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = 2x + 3

;

f1 (x) = 2x + 5

son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 2. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 2. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 2? Evaluemos la función f en el punto x = 2, esto es, f (2) = 9: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 2? Procedamos a determinar el límíte en x = 2. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 2 es f (x) = 2x + 3 f (x) = 2x + 5 ———————————————— + x!2 2 x!2 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!2

l m f (x) =

x!2+

l m 2x + 3 = f2 2 + 3g = 7

x!2

l m 2x + 5 = f2 2 + 5g = 9

x!2

con lo que, al ser distintos los límites laterales, podemos a…rmar que el límite en x = 2 no existe l m f (x) = @ x!2

Luego la función f no es continua en x = 2. Al ser …nitos los límites laterales la función f presenta una discontinuidad inevitable de salto …nito. c) Procedamos a estudiar la continuidad de la 8 > < 2(x + 1) f (x) = 4 > : x2 1 c M. A. Ramírez Sansano

función si si si

x<3 x=3 x>3

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

(Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = 2x + 2

;

f2 (x) = 4

;

f3 (x) = x2

son continuas en sus margenes de de…nición, podemos asegurar que f es continua salvo, a lo sumo, en los puntos de transición entre las expresiones funcionales. Falta por saber lo que ocurre en el punto x = 3. (Paso 2) Estudiemos la continuidad en x = 3. C1) ¿ La función esta de…nida en x = 3? Evaluemos la función f en el punto x = 3, esto es, f (3) = 4: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 3? Procedamos a determinar el límíte en x = 3. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 3 es f (x) = 2x + 2 f (x) = x2 1 ———————————————— + x!3 3 x!3 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!3

l m f (x) =

x!3+

l m 2x + 2 = f2 3 + 2g = 8

x!3

l m x2

x!3

1 = f32

1g = 8

con lo que el límite en x = 3 es l m f (x) = 8

C3) Dado que x = 3.

(

x!3

f (3) = 4 son distintos, se tiene que la función f es continua en l m f (x) = 8

x!3

Por tanto, la función f no es continua en x = 3. A existir el límite, la discontinuidad es Evitable. d) Procedamos a estudiar la continuidad de la función ( ex 1 si x 1 f (x) = 2 x x + 1 si x > 1 (Paso 1) Dado que las expresiones funcionales de f f1 (x) = ex

;

f1 (x) = x2

x+1

Qué es la economía

C1) ¿ La función esta de…nida en x = 1? Evaluemos la función f en el punto x = 1, esto es, f (1) = e 1: C2) ¿La función tiene límite en el punto x = 1? Procedamos a determinar el límíte en x = 1. Hemos de calcular los límites laterales. La forma que toma f a ambos lados de x = 1 es f (x) = ex 1 f (x) = x2 x + 1 ———————————————— + x!1 1 x!1 luego se tiene que los límites laterales son l m f (x) =

x!1

l m f (x) =

x!1+

l m ex

1=e

l m x2

x+1=1

x!1

con lo que, al ser distintos los límites laterales, podemos a…rmar que el límite en x = 1 no existe l m f (x) = @ x!1

Luego la función f no es continua en x = 1. Al ser …nitos los límites laterales la función f presenta una discontinuidad inevitable de salto …nito.

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.25 Usando la de…nición de derivada, determinar la derivada de las siguientes funciones a)

f (x) = 4x

f (x) =

1 x

f (x) = 3x2 + 2

f (x) = x2 + 2x

p f (x) = 2 x

f (x) =

2 x

Resolución Recordemos, para empezar, la de…nición de derivada Dada una función f (x), se llama “derivada” de la función f en el punto x, y se representa por f 0 (x), (si existe y es …nito) el límite f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

Pasemos ahora, mis queridos chicos, a calcular las derivadas de las funciones dadas. (a) Dada la función f (x) = 4x ientes pasos:

1, para determinar f 0 (x) debemos seguir los sigu-

[Paso1] Obtengamos f (x + h) f (x) = 4x 1 f (x + h) = 4(x + h) [Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h

f (x + h) h f (x)

1 = 4x + 4h

f (x) (4x + 4h

4x/ + 4h

1) h 1/ h

(4x

4x/ + 1/

4h =4 h

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= lm4=4 h!0

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

(b) Dada la función f (x) = 3x2 +2, para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes pasos: [Paso1] Obtengamos f (x + h)

f (x) = 3x2 + 2 f (x + h) = 3(x + h)2 + 2 = 3(x2 + h2 + 2xh) + 2 = 3x2 + 3h2 + 6xh + 2

[Paso2] Montemos el cociente

f (x + h) h

f (x)

f (x + h) h

f (x)

(3x2 + 3h2 + 6xh + 2) h

3x/2 + 3h2 + 6xh + 2/ h

3h2 + 6xh h

(3x2 + 2) 3x/2

h(3h / + 6x) = 3h + 6x h/

Teneis que llevar mucho, pero mucho, cuidado a la hora de operar y simpli…car. Debeis aplicar el método universal. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= l m 3h + 6x = 6x h!0

(c) Dada la función f (x) = x2 +2x , para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes pasos: [Paso1] Obtengamos f (x + h)

f (x) = x2 + 2x f (x + h) = (x + h)2 + 2(x + h) = x2 + h2 + 2xh + 2x + 2h c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

[Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h

f (x)

f (x + h) h

f (x)

(x2 + h2 + 2xh + 2x + 2h) h

(x2 + 2x)

x/2 + h2 + 2xh + 2x/ + 2h h

h2 + 2xh + 2h h

h(h / + 2x + 2) = h + 2x + 2 h/

x/2

2x/

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f 0 (x) = l m

h!0

f (x + h) h

(d) Dada la función f (x) = pasos:

f (x)

= l m h + 2x + 2 = 2x + 2 h!0

x, para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes

[Paso1] Obtengamos f (x + h) p f (x) = x p f (x + h) = x + h f (x + h) f (x) h p p x+h x f (x) = h p p p p [ x+h x] [ x + h + x] p = p h [ x + h + x]

[Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h

p p ( x + h)2 ( x)2 p p h [ x + h + x]

x/ + h x/ p p h [ x + h + x] h/ p p h/ [ x + h + x]

1 p x+h+ x c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Observa "la idea feliz" que hay que tener para poder resolver este límite: hemos multip p plicado tanto numerador como denominador por la expresión x + h + x (la misma expresión que hay en el numerador pero con más). Tras ello, hemos aplicado la formula: B)(A + B) = A2

conocida como Suma por diferencia es diferencia de cuadrados. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= lm p h!0

1 1 1 p = p p =p x+ x 2 x x+h+ x

p (e) Dada la función f (x) = 2 x, para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes pasos: [Paso1] Obtengamos f (x + h) p f (x) = 2 x p f (x + h) = 2 x + h f (x + h) f (x) h p p f (x) 2 x+h 2 x = h p p p p [2 x + h 2 x] [2 x + h + 2 x] p = p h [2 x + h + 2 x]

[Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h

p p (2 x + h)2 (2 x)2 p p h [2 x + h + 2 x]

p p 22 ( x + h)2 22 ( x)2 p p h [2 x + h + 2 x]

4(x + h) 4x p p h [2 x + h + 2 x]

4x/ + 4h 4x/ p p h [2 x + h + 2 x] 4h/ p p h/ [2 x + h + 2 x]

= c M. A. Ramírez Sansano

4 p p 2 x+h+2 x

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Observa "la idea feliz" que hay que tener para poder resolver este límite: hemos multip p plicado tanto numerador como denominador por la expresión 2 x + h+2 x (la misma expresión que hay en el numerador pero con más). Tras ello, hemos aplicado la formula: B)(A + B) = A2

conocida como Suma por diferencia es diferencia de cuadrados. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

(f) Dada la función f (x) = pasos:

4 4 4 1 p = p =p = lm p p = p h!0 2 x + h + 2 x 2 x+2 x 4 x x 2, para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes

[Paso1] Obtengamos f (x + h) p f (x) = x 2 p f (x + h) = x + h [Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h

f (x)

f (x + h) f (x) h p p x+h 2 x 2 h p p p p x 2] [ x + h 2 + x [ x+h 2 p p h [ x + h 2 + x 2]

p p ( x + h 2)2 ( x 2)2 p p h [ x + h 2 + x 2]

(x + h 2) (x 2) p p h [ x + h 2 + x 2]

x/ + h 2/ x/ + 2/ p p h [ x + h 2 + x 2] p h/ [ x + h

x+h

h/ 2+

1 p 2+ x

Observa "la idea feliz" que hay que tener para poder resolver este límite: hemos multip p plicado tanto numerador como denominador por la expresión x + h 2 + x 2 (la misma expresión que hay en el numerador pero con más). Tras ello, hemos aplicado la formula: (A B)(A + B) = A2 B 2 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

conocida como Suma por diferencia es diferencia de cuadrados. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= lm p h!0

1 p 2+ x

x+h

1 p 2+ x

1 = p 2 2 x

1 (g) Dada la función f (x) = , para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes x pasos: [Paso1] Obtengamos f (x + h) 1 x f (x + h) = f (x) =

[Paso2] Montemos el cociente

f (x + h) h

f (x + h) h f (x)

1 x+h

f (x)

1 x+h h

1 x

x/ x/ h x(x + h) h

h x(x + h) h 1

h/ 1 = x(x + h)h/ x(x + h)

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

1 1 1 = = 2 h!0 x(x + h) x(x + 0) x

= lm

2 (g) Dada la función f (x) = , para determinar f 0 (x) debemos seguir los siguientes x pasos: [Paso1] Obtengamos f (x + h) 2 x f (x + h) = f (x) =

c M. A. Ramírez Sansano

2 x+h

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

[Paso2] Montemos el cociente

f (x + h) h

f (x + h) h f (x)

f (x)

2 x+h h

2 x

2x/ 2x/ 2h x(x + h) h

2h x(x + h) h 1

2h/ 2 = x(x + h)h/ x(x + h)

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f 0 (x) = l m

h!0

f (x + h) h

f (x)

= lm

h!0

2 2 2 = = 2 x(x + h) x(x + 0) x

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.26 Usando la de…nición de derivada, determinar la derivada de las siguientes funciones a)

f (x) = 3x2

x+2

f (x) = f (x) =

Resolución (a) Dada la función f (x) = 3x2 siguientes pasos:

x + 2, para determinar f 0 (x) debemos seguir los

[Paso1] Obtengamos f (x + h) f (x) = 3x2

x + 2f (x + h) = 4(x + h) f (x + h) h

[Paso2] Montemos el cociente f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

1 = 4x + 4h

f (x) [3(x + h)2

h!0

(x + h) + 2] h

h(6x + 3h h!0 h

l m 6x + 3h

h!0

(3x2

x + 2)

Ind

6xh + 3h2 lm h!0 h

0 0

1 = 6x

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= lm4=4 h!0

Se tiene que f (x + h) h!0 h

f 0 (x) = l m

f (x)

= = c M. A. Ramírez Sansano

[3(x + h)2

h!0

(x + h) + 2] h Ind

6xh + 3h2 lm h!0 h

h(6x + 3h h

h!0

l m 6x + 3h

h!0

0 0

1 = 6x

(3x2

x + 2)

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

(b) Dada la función f (x) = ientes pasos:

2, para determinar f 0 (x) debemos seguir los sigu-

[Paso1] Obtengamos f (x + h) f (x) = 4x 1 f (x + h) = 4(x + h) [Paso2] Montemos el cociente f (x + h) f 0 (x) = l m h!0 h

f (x)

f (x + h) h =

1 = 4x + 4h

f (x) p

3x + 3h

h!0

p [ 3x + 3h

h!0

2 h

Ind

lm p

3x + 3h

3 2 3x p

0 0

p p p 2 3x 2] [ 3x + 3h 2 + 3x p p h [ 3x + 3h 2 + 3x 2]

3h p p h [ 3x + 3h 2 + 3x

h!0

3 p 2 + 3x

Teneis que llevar mucho cuidado a la hora de operar y simpli…car. Mucho ojo con los parentesis. [Paso3] Por último, calculemos el límite del cociente anterior cuando h ! 0 f (x + h) h!0 h

f (x)

f 0 (x) = l m

= lm4=4 h!0

Se tiene que f 0 (x)

f (x + h) = lm h!0 h

f (x)

3x + 3h

h!0

p [ 3x + 3h

h!0

2 h

Ind

3h p p h!0 h [ 3x + 3h 2 + 3x

lm p

3 p 2 3x

3x + 3h

0 0

p p p 2 3x 2] [ 3x + 3h 2 + 3x p p h [ 3x + 3h 2 + 3x 2]

h!0

3 p 2 + 3x

2 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.27 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f (x) = 3x2 + 1 en el punto x = 4. Resolución Recordemos que la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = f (x) en el punto x = a es ( b = f (a) y b = m (x a) siendo m = f 0 (a) Ahora bien: ¿Que datos nos dan? Dado que nos piden la recta tangente en x = 4, se tiene que a=4 ¿Que datos nos faltan? Nos falta saber los valores de b y m (la pendiente). Así pues, b = f (4) = 3 42 + 1 = 49 f 0 (x) = 6x

m = f 0 (4) = 6 4 = 24

con lo que, tras sustituir, nos queda la recta tangente y

49 = 24 (x

4) =

()

y = 24x

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.28 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f (x) = x2 +

1 x

en el punto x = 2. Resolución Recordemos que la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = f (x) en el punto x = a es ( b = f (a) y b = m (x a) siendo m = f 0 (a) Ahora bien: ¿Que datos nos dan? Dado que nos piden la recta tangente en x = 2, se tiene que a=2 ¿Que datos nos faltan? Nos falta saber los valores de b y m (la pendiente). Así pues, b = f (2) = 22 +

1 9 = 2 2

1 ! m = f 0 (2) = 2 2 x2 con lo que, tras sustituir, nos queda la recta tangente

1 15 = 2 2 4

f 0 (x) = 2x

15 9 = (x 2 4

() ()

c M. A. Ramírez Sansano

15 x 4 15 y= x 4

15 9 + 2 2 3

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.29 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f (x) =

en el punto x = 2.

Resolución Recordemos que la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = f (x) en el punto x = a es

b = m (x

a) siendo

(

b = f (a) m = f 0 (a)

Ahora bien: ¿Que datos nos dan? Dado que nos piden la recta tangente en x = 2, se tiene que a=2 ¿Que datos nos faltan? Nos falta saber los valores de b y m (la pendiente). Así pues,

b = f (2) =

1 f 0 (x) = p 2 x

1 m = f 0 (2) = p 2 2

con lo que, tras sustituir, nos queda la recta tangente

1 2 = p (x 2 2

()

1 y= p x 2 2

p 1 2/ p + 2 2/ 2

()

1 y= p x 2 2

p 1 p + 2 2

()

1 1 y = p x+ p 2 2 2 c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Grá…camente, se tiene

Esta grá…ca no es necesario dibujarla. Tan sólo la pongo para que podais “ver” que la recta calculada es realmente tangente a la función dada.

c M. A. Ramírez Sansano

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.30 Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y = ex

(2x

= e0 = 1

m = f 0 (2) = e0 (4

2) = 2

con lo que, tras sustituir, nos queda la recta tangente y

1 = 2 (x

()

y = 2x

4+1

()

y = 2x

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.31 Calcular la función derivada de la función x2

2y 3 + 3x3 y 2 + 2 = 0

Resolución Dado que nos pide la derivada de una ecuación en la que estan mezcladas las variables x e y, debemos derivar implícitamente. Procedamos a seguir los siguientes pasos: [Paso1] Para empezar, debemos sustituir y por y(x), con lo que la ecuación dada queda así x2 2[y(x)]3 + 3x3 [y(x)]2 + 2 = 0 [Paso2] Ahora, debemos derivar respecto a x teniendo presente que y(x) es una función de x, y que la derivada de y(x) se denota por y 0 (x) 2x

2 3[y(x)]2 y 0 (x) + 9x2 [y(x)]2 + 2y(x)y 0 (x)3x3

0=0

[Paso3] Por último, debemos despejar y 0 (x). Para ello, debemos agrupar en el primer miembro de la igualdad todas las expresiones que contengan y 0 (x) y tras ello sacar factor común de y 0 (x). El resto de expresiones las debemos pasar al segundo lado de la igualdad. Procediendo así, resulta 2x

6[y(x)]2 y 0 (x) + 9x2 [y(x)]2 + 6x3 y(x) y 0 (x) = 0

y 0 (x) [ 6[y(x)]2 + 6x3 y(x)] + 2x + 9x2 [y(x)]2 = 0 y 0 (x) =

2x 9x2 [y(x)]2 6[y(x)]2 + 6x3 y(x)

y0 =

c M. A. Ramírez Sansano

2x + 9x2 y 2 6y 2 6x3 y

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.32 Calcular la función derivada de la función y2 =

x 1 x+1

Resolución Dado que nos pide la derivada de una ecuación en la que estan mezcladas las variables x e y, debemos derivar implícitamente. Procedamos a seguir los siguientes pasos: [Paso1] Para empezar, debemos sustituir y por y(x), con lo que la ecuación dada queda así x 1 y(x)2 = x+1 [Paso2] Ahora, debemos derivar respecto a x teniendo presente que y(x) es una función de x, y que la derivada de y(x) se denota por y 0 (x) 2y(x)y 0 (x) =

1(x + 1) 1(x (x + 1)2

x/ + 1 x/ + 1 2 = 2 (x + 1) (x + 1)2

2 (x + 1)2

y 0 (x) =

2 2y(x)(x + 1)2

y 0 (x) =

1 y(x)(x + 1)2

y0 =

1 y(x + 1)2

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.33 Dada la ecuación implícita q Calcular las derivadas

p = ln(q)

ln(p)

dp dq y . dq dp

Resolución (1) Nos pide la derivada

dp = p0 de la ecuación q dq y0 =

dy dx

ln(p). Recordemos que

nombre función nombre variable

con que, tras renombrar la variables (q x

p = ln(q)

y = ln(x)

xyp

y) nos queda

ln(y)

dy ¿ = y0? dx

Procedamos a seguir los siguientes pasos: [Paso1] Para empezar, debemos sustituir y por y(x), con lo que la ecuación dada queda así x y(x) = ln(x) ln(y(x)) [Paso2] Ahora, debemos derivar respecto a x teniendo presente que y(x) es una función de x, y que la derivada de y(x) se denota por y 0 (x) 1

y 0 (x) =

1 x

1 0 y (x) y(x)

1 y(x)

y 0 (x)

c M. A. Ramírez Sansano

y 0 (x) =

1) =

1 x

1 1 x = 1 1 y(x) 1 x = 1 y

1 1

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

Tan sólo nos falta renombrar, de nuevo las variables, con lo que 1 q p0 = 1 p (2) Nos pide la derivada

1 1

dq = q 0 de la ecuación q dp y0 =

ln(p). Recordemos que

nombre función nombre variable

dy dx

con que, tras renombrar la variables (q y

p = ln(q)

x = ln(y)

yyp

x) nos queda

ln(x)

dy ¿ = y0? dx

Procedamos a seguir los siguientes pasos: [Paso1] Para empezar, debemos sustituir y por y(x), con lo que la ecuación dada queda así y(x) x = ln(y(x)) ln(x) [Paso2] Ahora, debemos derivar respecto a x teniendo presente que y(x) es una función de x, y que la derivada de y(x) se denota por y 0 (x) y 0 (x)

1 0 y (x) y(x)

1 x

y 0 (x) y 0 (x)(1

y 0 (x)

1 )=1 y(x) 1 = 1

1 = 1

1 x 1 x

1 x 1 y(x) 1 x 1 y c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

Tan sólo nos falta renombrar, de nuevo las variables, con lo que 1 q0 = 1

c M. A. Ramírez Sansano

1 p 1 q

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

EJERCICIO 2.34 Las siguientes ecuaciones resultan muy difíciles de resolver. Sin embargo, ¿puedes asegurar que tienen solución?. Razona la respuesta indicando los resultados que utilices y comprobando que se cumplen las condiciones de dichos resultados a)

x6 + x4 + x2

f (x) =

1=0

ln(x) + x =0 x

; ln(005) =

x3 + x + 1 =0 x2 + 1

007

Resolución Esta resuelto en clase. Mirar COMPLEMENTO DEL TEMA 3: Teorema de Bolzano.

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.35 Las funciones de demanda D(p) y de oferta S(p) de un objeto dependen de su precio p del siguiente modo D(p) = 10 2p S(p) = 8p (1) Sin resolverlo, prueba que hay un precio que hace que la oferta y la demanda se igualen (precio de equilibrio). (2) Calcula ahora el precio de equilibrio. (3) Represente grá…camente ambas funciones y compruebe los resultados obtenidos. Resolución (1) Hemos de probar, sin resolver, que hay un precio que hace que la oferta y la demanda se igualen (precio de equilibrio), esto es, que existe un precio p tal que D(p) = S(p)

2p = 8p , 10

10p = 0

esto es que la ecuación 10

10x = 0

tiene solución. La existencia de soluciones de la ecuación f (x) = 0 en un intervalo abierto ]a; b[ se puede realizar utilizando el teorema de Bolzano, esto es, debemos comprobar que se cumplen las siguientes condiciones: [Condición1] Hemos de probar que la función f es continua en [a; b] [Condición2] Hemos de comprobar que f (a) y f (b) son de distinto signo Si se cumplen ambas, podemos asegurar que la ecuación f (x) = 0 tiene, al menos, una solución x = c en el intervalo ]a; b[. En nuestro caso, se tiene que la función f (x) es f (x) = 10 10x. El intervalo ]a; b[ donde de se encuentra la solución lo debemos buscar con la condición de que f (a) y f (b) sean de distinto signo. Tras un poco de tanteo, deducimos que un intervalo valido es ]0; 2[. Analicemos las condiciones: Condición1: ¿f es continua en el intervalo [0; 2]? Dado que la función f es un polinomio se tiene que dom f = IR con lo que, al ser elemental, será continua en toda la recta real. Así pues, f será continua en [0; 2]: Condición2: ¿f (0) y f (2) son de distinto signo? Calculemos los valores de f (0) y f (2) f (0) = 10 > 0 c M. A. Ramírez Sansano

;

f (2) =

10 < 0

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

como se puede ver, son de distinto signo CONCLUSIÓN. Dado que se cumplen las condiciones de teorema de Bolzano, podemos asegurar que la ecuación f (x) = 0 tiene, al menos, una solución x = c en el intervalo ]0; 2[. (2) Procedamos a calcular el precio de equilibrio. Tan sólo debemos resolver la ecuación 10

10p = 0 ! p = 1

esto es, el precio de equilibrio es p = 1. La oferta y la demanda, a este precio, es Q = S(1) = D(1) = 8

(3) Procedamos a representar grá…camente S(p) y D(p). Para dibujar una recta tan sólo debemos montar una tabla de valores con el objetivo de determinar dos puntos de la recta (en concreto los puntos de corte con los ejes). Así pues, y=

2x + 10

0 5

10 0

y = 8x (0; 10) (5; 0)

0 0:5

0 4

(0; 0) (0:5; 4)

con lo que se tiene el grá…co

c M. A. Ramírez Sansano

Qué es la economía

EJERCICIO 2.36 Se dice que una función f (x) tiene un punto …jo si existe un valor a de manera que f (a) = a. Relaciona la existencia de punto …jo con alguno de los resultados vistos. Prueba que las siguientes funciones tienen un punto …jo a)

f (x) = x2

f (x) =

x6 + x

f (x) = x2 + 8x + 1

Resolución Esta resuelto en clase. Mirar COMPLEMENTO DEL TEMA 3: Teorema de Bolzano. Hagamos el apartado (c). Una función f (x) tiene un punto …jo si existe un valor x = a de manera que f (x) = x lo equivale a decir que la ecuación f (x)

x = 0 ! tiene solución x = a

En nuestro caso, hemos de probar, sin resolver, que la ecuación p p x6 + x x = x , x6 + x 2x = 0

p tiene solución. En nuestro caso, se tiene que la función f (x) es f (x) = x6 + x 2x. El intervalo ]a; b[ donde de se encuentra la solución lo debemos buscar con la condición de que f (a) y f (b) sean de distinto signo. Tras un poco de tanteo, deducimos que un intervalo valido es ]1; 2[. Analicemos las condiciones: Condición1: ¿f es continua en el intervalo [1; 2]? Dado que f es elemental será continua en su dominio, por lo que necesitamos saber el dominio de f (para poder determinar donde será continua f ). Así pues, calculemos el dominio de f . Se tiene que dom f = f x = x6 + x

Para resolver la inecuación x6 + x 0, basta descomponer el polinomio x6 + x en factores irreducibles y estudiar el signo de cada uno de los factores mediante un cuadro de signos. Puesto que ( x=0 6 5 x + x = 0 ! x(x + 1) = 0 ! x5 + 1 = 0 con lo que x5 + 1 = 0 ! x5 = c M. A. Ramírez Sansano

1!x=

p 5

1!x=

100

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA

tenemos que x6 + x = x(x5 + 1) de donde resulta el siguiente cuadro de signos valores de x

( 1; 1[

signo de x signo de x5 + 1 signo de x(x5 + 1)

]

0 0

1; 0[

0 + 0

]0; +1) + + +

luego el dominio de f es dom f = ( 1; 1] [ [0; +1) Nótese que f será continua en su dominio, o sea, en ( 1; 1][[0; +1). Para que puedas p "ver" (y entender) los calculos realizados veamos la grá…ca de f (x) = x6 + x 2x

Como se puede ver, la gra…ca no existe entre ]

1; 0[.

Condición2: ¿f (1) y f (2) son de distinto signo? Calculemos los valores de f (1) y f (2) p f (1) = 16 + 1 2 1 = 0:58 > 0

como se puede ver, son de distinto signo

;

f (2) =

26 + 2

2 2 = 4:12 < 0

CONCLUSIÓN. Dado que se cumplen las condiciones de teorema de Bolzano, podemos asegurar que la ecuación f (x) = 0 tiene, al menos, una solución x = c en el intervalo ]1; 2[.

c M. A. Ramírez Sansano

101

Qué es la economía

EJERCICIO 2.37 Si la función de costes de una empresa viene dada por C = 00 3q 2 + 2q + 850 (1) Determinar el coste medio y el coste marginal. (2) ¿Cuál es el incremento real del coste de producir una unidad adicional a partir de q = 100? (3) ¿Qué estimación se obtiene del incremento del coste, de producir una unidad adicional a partir de q = 100, usando el coste marginal? Resolución (1) Determinar el coste medio y el coste marginal. Nos dicen que la función de costes, de una determinada empresa, de producir q unidades de un determinado bien viene dada por C(q) = 00 3q 2 + 2q + 850 El coste medio (coste por unidad) es CM (q) =

C(q) 00 3q 2 + 2q + 850 = q q

El coste marginal (derivada) es cm(q) = C 0 (q) = 00 6q + 2 (2) ¿Cuál es el incremento real del coste de producir una unidad adicional a partir de q = 100? Para determinar el incremento del coste al producir una unidad adicional a partir de q = 100 (o sea, cuando se produce q = 101) debemos realizar la resta C(101) C(101). Empecemos calculando C(101) y C(101) ( C(100) = 00 3 1002 + 2 100 + 850 = 4050 C(101) = 00 3 1012 + 2 101 + 850 = 41120 3 luego se tiene que el coste real será C(101)

C(101) = 4112:3

4050 = 620 3

(3) ¿Qué estimación se obtiene del incremento del coste, de producir una unidad adicional a partir de q = 100, usando el coste marginal? Recordemos que el coste marginal evaluado en q = a, C 0 (a) ,nos proporciona el incremento aproximado de producir una unidad adicional a partir de q = a. Así pues, C 0 (q) = 00 6q + 2

c M. A. Ramírez Sansano

C 0 (100) = 00 6 100 + 2 = 62