PPS3 mecanique

PPS3 - Physique Mécanique des actionneurs électromécaniques Marc BACHELIER - marc.bachelier@u-psud.fr

December 10, 2014 Abstract Ce TD propose la découverte des notions élémentaires de mécanique nécessaires à l’étude des systèmes électromécaniques: puissance et énergie, inertie et équation dynamique. Tous les concepts physiques vus dans ce cours seront appliqués concrètement sur le fonctionnement dynamique des moteurs électriques.

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Fiches bilan (obligatoire) A la fin de chacun des 5 chapitres, la rédaction d’une fiche bilan est demandée. Cette fiche Bilan devra être rédigée en dehors des cours, sera ramassée lors de la séance suivante, notée selon un bonus ou malus qui affectera la note d’examen et pourra éventuellement être utilisée comme document autorisé lors de l’examen. Trois niveaux de qualité sont différenciés sur les fiches bilan selon le tableau suivant: Qualité Fiche parfaite Fiche correcte Fiche bâclée

Bonus/Malus +0,5 0 -0,5

Fiche autorisée à l’examen oui oui non

Une fiche bilan est une fiche cartonnée A5 (couleur au choix) répondant aux problématiques posées à la fin de chacun des chapitres.

Une fiche bilan n’est pas une suite d’équations! Le nombre de formules autorisées dans la fiche bilan est spécifié clairement dans les problématiques. Une fiche bilan contient par contre des explications en français et des schémas si cela est nécessaire.

Une fiche bilan n’est pas une compilation des définitions du chapitre mais doit retranscrire dans vos propres mots (en français) les principaux points vus dans le chapitre. Les problématiques sont là pour vous guider, vous aider à cerner les principaux enjeux du chapitre et éviter de passer à côté d’éléments importants. La réponse à ces problématiques ne tiennent pas forcément en une seule ligne! Il est même raisonnable de faire un petit paragraphe par problématique.

Les fiches bilan sont obligatoires. Toute fiche non rendue, rendue avec une séance de retard ou ne respectant pas les consignes données sera considérée comme une fiche bâclée.

Exercices bonus (facultatif) Des exercices bonus sont proposés à la fin de chaque chapitre. Ils ne sont pas à faire en classe et sont proposés comme travail facultatif à faire en dehors des cours. Ils reprennent les points importants du chapitre et sont un bon entrainement pour l’examen. Aucune correction formelle de ces exercices ne sera faite en cours par manque de temps mais il est toujours possible de demander l’avis du professseur sur les méthodes utilisés ou les résultats trouvés dans ces exercices. Ne pas faire ces exercices vous donne une bonne raison de ne pas vous plaindre si vous n’obtenez pas une note satisfaisante à l’examen...

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CONTENTS

Contents 1 Puissance et énergie mécanique 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 En translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 En rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 6 11

2 Inertie des systèmes mécaniques en rotation 2.1 Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour de son axe de symétrie . .

2.2 Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour d’un axe quelconque . . . .

2.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique . . . .

16 16 18 21 23

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3 Equation dynamique 30 3.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Analyse de l’équation mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Utilisation de l’équation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Etude du comportement mécanique d’une éolienne (examen 2012) 4.1 Calcul des caractéristiques mécaniques de l’éolienne . . . . . . . . . .

4.2 Calcul du comportement dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Expression de l’équation dynamique . . . . . . . . . . . . . . .

Résolution générale de l’équation dynamique . . . . . . . . . .

Etude sur les premières rafales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Etude du régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Estimation de l’énergie électrique produite par l’éolienne . . . .

Calcul précis de l’énergie électrique produite par l’éolienne . . .

3

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41 41 46 46 47 47 50 51 51

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PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

Puissance et énergie mécanique ”There is a fact, or if you wish, a law, governing all natural phenomena that are known to date. There is no known exception to this law—it is exact so far as we know. The law is called the conservation of energy. It states that there is a certain quantity, which we call energy, that does not change in manifold changes which nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle; it says that there is a numerical quantity which does not change when something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it is just a strange fact that we can calculate some number and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, it is the same.

The energy has a large number of different forms, and there is a formula for each one. These are: gravitational energy, kinetic energy, heat energy, elastic energy, electrical energy, chemical energy, radiant energy, nuclear energy, mass energy. If we total up the formulas for each of these contributions, it will not change except for energy going in and out.

It is important to realize that in physics today, we have no knowledge of what energy is. However, there are formulas for calculating some numerical quantity, and when we add it all together it gives always the same number. It is an abstract thing in that it does not tell us the mechanism or the reasons for the various formulas.”

Richard Feynman - The Feynman Lectures on Physics (1964)

1.1

Définitions

Definition 1. Energie cinétique L’énergie cinétique est l’énergie emmagasinée par un corps du fait de son mouvement réel. Par exemple, l’énergie cinétique de translation EC d’un corps de masse m est égale au travail nécessaire pour faire passer le dit corps du repos à une vitesse de translation v et s’exprime ainsi: Ec =

1 mv 2 2

4

1.1

Définitions

Definition 2. Energie potentielle mécanique L’énergie potentielle mécanique est l’énergie emmagasinée par un corps du fait de sa position physique dans un champ de forces conservatives. Par exemple, l’énergie potentielle de pesanteur Ep d’un corps de masse m du fait de son élévation d’une hauteur h0 à une hauteur h dans le champ gravitationnel terrestre g = 9, 81m.s−2 s’exprime ainsi: Ep = mg(h − h0 ) Sa valeur est définie à une constante près en fonction de la hauteur h0 choisie correspondant à une énergie potentielle nulle Ep = 0.

Il existe d’autres concepts d’énergie potentielle mécanique comme par exemple l’énergie potentielle élastique (voir exercices bonus).

Definition 3. Energie mécanique totale L’énergie totale d’un corps correspond à la somme des énergies emmagasinées par ce corps. Dans le cas d’un système purement mécanique, l’énergie mécanique totale Em d’un corps est la somme de son énergie cinétique Ec et de son énergie potentielle Ep : Em = Ec + Ep

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1

PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

Definition 4. Puissance mécanique moyenne La puissance mécanique reçue (ou fournie) par un corps correspond à l’augmentation (ou la diminution) d’énergie mécanique subit par ce corps par unité de temps. La puissance mécanique moyenne reçue par un corps ayant subit un variation d’énergie mécanique ∆Em sur un temps ∆t s’exprime ainsi: Pm =

∆Em ∆t

La puissance moyenne fournie est l’opposée de la puissance moyenne reçue.

1.2

En translation

Question: 1. Pour chaque définition de la partie 1.1, indiquer les unités de chaque paramètre intervenant dans les formules.

Réponse: Unités dans la définition 1: • Ec , énergie cinétique exprimée en Joule J • m, masse exprimée en kilogramme kg • v, vitesse exprimée en mètre par seconde m.s−1 Unités dans la définition 2: • Ep , énergie potentielle exprimée en Joule J • m, masse exprimée en kilogramme kg • g, gravité exprimée en mètre par seconde carrée 9, 81m.s−2 • h, hauteur exprimée en mètre m • h0 , hauteur de référence exprimée en mètre m Unités dans la définition 3: • Em , énergie mécanique exprimée en Joule J • Ec , énergie cinétique exprimée en Joule J • Ep , énergie potentielle exprimée en Joule J Unités dans la définition 4: • Pm , puissance mécanique exprimée en Watt W • ∆Em , variation d’énergie mécanique exprimée en Joule J • ∆t, variation de temps exprimée en seconde s Question: 6

1.2

En translation

2. Sur l’illustration de la définition de l’énergie cinétique, compléter le schéma avec l’expression des différentes valeurs des vitesses et énergies cinétiques lorque l’avion part d’une vitesse initiale nulle pour atteindre une vitesse de croisière fixe en notant M la masse de l’avion.

AN: M = 20t, Vf in = 800km.h−1 Réponse: • Vini = 0 • Ecini = 0 • Vf in = 800km.h−1 = 222m.s−1 • ∆V = Vf in − Vini = 222m.s−1 • Ecf in = 21 M Vf2in = 492M J • ∆Ec = Ecf in − Ecini = 492M J Question: 3. Renouveler les calculs lorsque l’avion part d’une vitesse initiale non nulle et reçoit un apport d’énergie cinétique ∆Ec (k) = 12 M k.

AN: M = 20t, Vini = 200km.h−1 , k = 105 km2 .h−2 Réponse: • Vini = 200km.h−1 = 55, 6m.s−1 2 • Ecini = 21 M Vini = 30, 9M J

• ∆Ec = 21 M k = 1GJ

2 + k = 1, 03GJ • Ecf in = Ecini + ∆Ec = 21 M Vini p

2 2 + k = 321m.s−1 • Ecf in = 12 M Vf2in = 12 M Vini + k donc Vf in = Vini p −1 2 +k−V • ∆V = Vf in − Vini = Vini ini = 265m.s Question: 4. Sur l’illustration de la définition de l’énergie potentielle, compléter le schéma avec l’expression des différentes valeurs des hauteurs et énergies potentielles lorque l’avion part d’une altitude initiale donnée pour s’écraser sur le sol en précisant l’altitude h0 choisie comme référence d’énergie potentielle nulle.

AN: M = 20t, hini = 10km Réponse: On choisit comme référence d’énergie potentielle nulle la hauteur h0 = hini = 0. On détermine alors les valeurs suivantes: • hini = 10km = 10000m • Epini = M g(hini − h0 ) = 1, 96GJ • hf in = 0 • ∆h = hf in − hini = −10000m • Epf in = M g(hf in − h0 ) = 0 7

1

PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

• ∆Ep = Epf in − Epini = M g(hf in − hini ) = −1, 96GJ Question: 5. Renouveler les calculs en considérant l’hypothèse plus optimiste pour laquelle l’avion part d’une altitude initiale nulle pour atteindre une altitude de croisière fixe donnée en choisissant une altitude de référence h0 différente de la question précédente.

AN: M = 20t, hf in = 10km Réponse: On choisit comme référence d’énergie potentielle nulle la hauteur h0 = hf in = 10000m. On détermine alors les valeurs suivantes: • hini = 0 • Epini = M g(hini − h0 ) = −1, 96GJ • hf in = 10000m • ∆h = 10000m • Epf in = M g(hf in − h0 ) = 0 • ∆Ep = Epf in − Epini = M g(hf in − hini ) = 1, 96GJ Question: 6. A la lecture du passage du cours de R.Feynman, déduire une caractéristique essentielle de l’énergie mécanique totale d’un corps isolé lors de son évolution dans le temps et dans l’espace. Que représente un corps non isolé?

Que représente la puissance fournie ou reçue par un tel corps?

Réponse: D’après le cours de R.Feynman, l’énergie mécanique d’un corps isolé est conservée lors de son évolution dans le temps et dans l’espace. On peut écrire ∆Em = 0 dans ce cas. Un corps non isolé est un corps qui échange de l’énergie avec l’extérieur. On ne peut alors plus affirmer que son énergie mécanique est nulle. S’il fournit de la puissance à l’extérieur, son énergie mécanique diminuera ∆Em < 0. S’il reçoit de la puissance de l’extérieur, son énergie mécanique augmentera ∆Em > 0.

Question: 7. On reprend la question 4 en considérant que l’avion est un corps isolé. Donner l’expression des valeurs des vitesses Vini , Vf in , ∆V , des énergies cinétiques Ecini , Ecf in , ∆Ec et des énergies mécaniques Emini , Emf in , ∆Em sachant que la vitesse initiale de l’avion est nulle.

AN: M = 20t Réponse: On conserve la référence d’énergie potentielle nulle à la hauteur h0 = 0. On détermine alors les valeurs suivantes: • Vini = 0 2 =0 • Ecini = 21 M Vini

• Emini = Ecini + Epini = 1, 96GJ • Comme vu à la question précédente ∆Em = 0 donc Emf in = Emini = 1, 96GJ 8

1.2

En translation

• Ecf in = Emf in − Epf in = 1, 96GJ q q p 2Ecf in 2Epini = = 2g(hini − h0 ) = 442m.s−1 • Vf in = M M • ∆V = Vf in − Vini = 442m.s−1 Question: 8. On reprend la question 5 en considérant qu’une puissance mécanique moyenne Pm est fournie à l’avion. Donner l’expression du temps nécessaire à l’avion pour atteindre son altitude de croisière (à vitesse nulle) avec une telle puissance mécanique fournie.

AN: Pm = 1M W , hf in = 10km Réponse: Au décollage de l’avion, sa vitesse est nulle Vini = 0 et sa hauteur est égale à la hauteur de référence hini = h0 = 0. L’énergie mécanique au décollage est donc nulle Emini = Ecini + Epini = 0. Arrivé à l’altitude de croisière, la vitesse est toujours nulle Vf in = 0 mais la hauteur est de hf in = 10000m. L’énergie mécanique à l’altitude de croisière est donc de Emf in = Ecf in + Epf in = 1, 96GJ. Sachant que la puissance mécanique fournie par les moteurs est de Pm = 1M W , on peut en déduire le temps nécessaire pour fournir une énergie ∆Em = Emf in − Emini : ∆Em = 1960s = 32, 7min ∆t = P Question: 9. On reprend les questions 2-3 pour lesquelles l’avion reste à une altitude fixe et vole à une vitesse initiale non nulle, en considérant qu’une puissance mécanique moyenne Pm est fournie à l’avion pendant un temps tacc .

Donner l’expression de la vitesse finale atteinte par l’avion au bout de ce temps d’accélération en fonction entre autre de sa vitesse initiale.

AN: M = 20t , tacc = 1min, Pm = 1M W , Vini = 200km.h−1 Réponse: La variation d’énergie mécanique pendant le temps tacc vaut: ∆Em = Pm tacc = 60M W L’avion ne changeant pas d’altitude, son énergie potentielle est constante. L’intégralité de la variation d’énergie mécanique vient donc de la variation d’énergie cinétique. On peut ainsi écrire: ∆Em = ∆Ec = Ecf in − Ecini = r ⇐⇒ Vf in =

1 1 1 2 2 M Vf2in − M Vini = M Vf2in − Vini 2 2 2

2Pm tacc 2 = 235m.s−1 + Vini M

Question: 10. Calculer la vitesse atteinte par un avion deux fois plus léger recevant la même puissance mécanique sur une même durée. Justifier alors le terme ”inertie” employé pour la masse d’un corps en translation.

AN: M = 20t , tacc = 1min, Pm = 1M W , Vini = 200km.h−1 9

1

PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

Réponse: Pour un avion deux fois plus léger, nous aurions obtenu la vitesse finale suivante pour la même puissance fournie: r 4Pm tacc 2 = 247m.s−1 + Vini Vf in = M On constate donc qu’il est plus difficile de mettre en mouvement de translation un objet lourd, d’où le terme ”inertie” employé pour la masse d’un corps en translation.

Question: 1. En déduire que l’énergie cinétique stockée par un corps en mouvement de translation est proportionnelle à l’inertie de ce corps.

Réponse: L’énergie cinétique stockée par un corps de masse m en mouvement de translation à une vitesse v s’écrit Ec = 12 v 2 × m. On constate donc bien que l’énergie cinétique est proportionnel à la masse du corps en mouvement de translation, c’est-à-dire à son inertie.

Question: 2. En s’inspirant de la définition de la puissance mécanique moyenne, indiquer l’expression de la puissance mécanique instantanée reçue par un corps non isolé subissant une variation d’énergie mécanique infinitésimale pendant un temps infinitésimal.

Réponse: Si on note dEm la variation d’énergie mécanique infinitésimale pendant un temps infinitésimal dt, on peut écrire la puissance mécanique instantanée: dEm p(t) = dt Question: 3. A partir de la formule précédente et des formules de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur d’un corps, indiquer: • l’expression de la puissance mécanique instantanée dérivant de l’énergie cinétique lorsque le corps se déplace horizontalement à une hauteur constante • l’expression de la puissance mécanique instantanée dérivant de l’énergie potentielle lorsque le corps chute verticalement à une vitesse constante.

En déduire une formule générale de la puissance mécanique reçue par un corps en translation en fonction de sa vitesse linéaire v(t) et des forces extérieures F (t) qu’il subit. Indiquer les unités de chaque paramètre intervenant dans la formule.

Réponse: Intéressons nous tout d’abord à la puissance mécanique instantanée dérivant de l’énergie cinétique. Lorsque dE le corps se déplace à une hauteur constante, son énergie potentielle est constante dtp = 0. On peut donc écrire :

dEc d 1 1 dv 2 dv 2 = mv = m = m v(t) pc (t) = dt dt 2 2 dt dt 10

1.3

En rotation

Si on prend en compte le fait que les forces extérieures sont liées à l’accélération a du corps F (t) = ma(t) = m dv dt , on en déduit une expression pour la puissance mécanique instantanée dérivant de l’énergie cinétique fournie au corps: pc (t) = F (t) × v(t) la force F s’exprimant en Newton N et la vitesse en mètre par seconde m.s−1 .

Intéressons nous maintenant à la puissance mécanique instantanée dérivant de l’énergie potentielle. Lorsque c le corps chute à une vitesse constante, son énergie cinétique est constante dE dt = 0. On peut donc écrire: pp (t) =

dEp d dh = (mg(h − h0 )) = mg dt dt dt

Dans le cas d’un corps en chute, on remarquera que mg correspond à son poids P exprimé en Newton N et −1 que dh . Si on note V = dh dt correspond à sa vitesse de chute constante exprimée en mètre par seconde m.s dt la vitesse de chute constante du corps et on remarque que le poids P correspond à la force F constante subie par le corps, on en déduit une expression pour la puissance mécanique dérivant de l’énergie potentielle fournie au corps: pp (t) = F × V On remarque ainsi qu’il existe une formule générale liant la puissance mécanique fournie ou reçue par un corps en mouvement à la force appliquée à celui-ci et à sa vitesse de déplacement. On notera globalement cette formule: P =F ×V

1.3

En rotation

Question: 1. Donner l’expression de la vitesse linéaire VL de la Lune dans l’espace en fonction de la distance R entre le centre de la Terre et celui de la Lune, et de la vitesse de rotation de la Lune autour de la Terre ΩL . Indiquer 11

1

PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

les unités de chaque paramètre intervenant dans la formule.

AN: R = 384400km, ΩL → 1tour/27j − 7h − 43min Réponse: La vitesse de rotation de la lune est de: ΩL =

2π = 2, 66.10−6 rad.s−1 43 × 60 + 7 × 3600 + 27 × 24 × 3600

La vitesse linéaire de la lune VL s’écrit alors: VL = R × ΩL = 1020m.s−1 Question: 2. En faisant l’hypothèse que la Lune peut se réduire à un simple point, déduire de la question précédente l’expression de l’énergie cinétique de la Lune en rotation autour de la Terre Ec en fonction de la masse de la Lune ML , de la distance R entre le centre de la Terre et celui de la Lune, et de la vitesse de rotation de la Lune autour de la Terre ΩL .

AN: ML = 7, 35.1022 kg, R = 384400km, ΩL → 1tour/27j − 7h − 43min Réponse: L’énergie cinétique de la lune s’écrit: Ec =

1 1 ML VL2 = ML R2 Ω2L = 3, 85.1028 J 2 2

Question: 3. Par analogie avec le travail fait sur les corps en translation dans la partie 1.2, déduire de l’expression précédente l’expression du moment d’inertie de rotation de la lune notée IL et indiquer son unité.

AN: ML = 7, 35.1022 kg, R = 384400km Réponse: On peut réécrire l’expression de l’énergie cinétique de la lune de la manière suivante: Ec =

1 ML R2 Ω2L 2 | {z } IL

Par analogie avec l’inertie d’un corps en translation, on en déduit l’expression du moment d’inertie de la lune en rotation autour de la Terre: IL = ML R2 = 1, 09.1034 kg.m2 Question: 4. Quelle différence majeure peut-on constater entre l’inertie d’un corps en translation et le moment d’inertie d’un corps en rotation?

Réponse: On constate que le moment d’inertie d’un corps en rotation ne dépend pas que de sa masse mais aussi de sa distance par rapport à son axe de rotation. On constate même que cette distance impacte plus lourdement le moment d’inertie que la masse elle-même.

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1.3

En rotation

Question: 5. Exprimer le moment d’une force C en fonction de la force F appliquée à une distance d de l’axe. Puis, exprimer la vitesse de rotation Ω en fonction de la vitesse linéaire V du corps situé à une distance d de l’axe de rotation. A partir de la formule générale de la puissance mécanique d’un corps en translation établie dans la partie 1.2, donner alors la formule générale de la puissance mécanique reçue par un corps en rotation en fonction de sa vitesse de rotation Ω et des couples extérieurs C qu’il subit.

Réponse: On sait qu’une force F appliquée à une distance d d’un axe provoque sur cet axe un couple C = F × d. De même on sait qu’une vitesse de rotation Ω appliquée à un solide situé à une distance d de l’axe de rotation provoque sur celui-ci une vitesse linéaire de V = d × Ω. A partir de ces deux éléments et de l’expression de la puissance mécanique dans le cas de la translation, on peut retrouver l’expression de la puissance mécanique dans le cas d’une rotation: C ×d×Ω=C ×Ω Pm = F × V = d

Fiche bilan La fiche bilan à rédiger pour ce chapitre doit répondre aux problématiques suivantes: • Qu’est-ce que l’énergie et la puissance? Dans le cas de la mécanique, que représentent-elles?

• Comment évoluent l’énergie et la puissance d’un système mécanique au cours du temps?

• Quelle différence existe-t-il entre un mouvement en translation et un mouvement en rotation en terme d’énergie et de puissance?

2 formules sont autorisées sur la fiche

Exercices bonus Exercise 1. Energie potentielle élastique et raideur d’un ressort Soit un solide de masse m = 10kg posé sur un ressort vertical de raideur k selon le schéma suivant:

On constate alors un affaissement du ressort d’un longueur x = 1cm. On rappelle que la force appliquée au solide par le ressort en fonction de la contraction de celui-ci est F = −kx.

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1

PUISSANCE ET ÉNERGIE MÉCANIQUE

1. Donner l’expression de la puissance mécanique élastique reçue par le ressort lorsque la masse compresse le ressort à une vitesse V = x. ˙ 2. En déduire l’énergie potentielle élastique stockée dans le ressort pendant cette compression. En déduire l’unité de la raideur k d’un ressort.

3. Donner l’expression de l’énergie potentielle perdue par la masse dont la hauteur a diminué de x. Qu’est devenue cette énergie?

4. En déduire qu’il est possible de calculer la raideur d’un ressort k si on connait la masse m du solide et la longueur de contraction du ressort x. Calculer alors la raideur du ressort dans ce cas.

Exercise 2. Energie cinétique et moment d’inertie d’une roue à aube d’un moulin à eau Soit un moulin à eau dont la roue est entrainé à une vitesse Ω = 2tour.min−1 grâce à une chute d’eau tombant d’une hauteur H = 5m avec un débit D = 100l.s−1 . Le schéma suivant représente ce système:

On rappelle la masse volumique de l’eau ρeau = 1kg.l−1 1. Donner l’expression de l’énergie mécanique fournie à la roue du moulin par la chute d’eau en approximant que l’eau rejoint la rivière au bas de la roue à une vitesse nulle.

2. En déduire qu’il est possible de calculer le moment d’inertie I de cette roue en fonction des paramètres donnés dans l’énoncé. Calculer alors l’inertie de la roue dans ce cas.

Exercise 3. Energie potentielle d’une cabine d’ascenseur 14

1.3

En rotation

Soit un ascenseur constitué d’une cabine et d’un contre-poids fonctionnant autour d’une poulie selon le schéma suivant:

Ce système est caractérisé par les valeurs suivantes: • Masse de la cabine: Mc = 100kg • Masse du contre-poids: Mp = 400kg • Masse maximum dans la cabine: Mu = 600kg 1. On considère tout d’abord que la cabine est vide et qu’un utilisateur appelle l’ascenseur trois étages plus haut.

La cabine doit donc monter d’une hauteur h = 10m. Quelle est la variation d’énergie potentielle du système complet? En déduire quelle devrait être la vitesse de la cabine à son arrivée si le système était isolé.

2. A quoi sert le moteur dans ce cas précis? Calculer la valeur de l’énergie mécanique reçue par le moteur pendant la montée de l’ascenseur.

3. On considère maintenant que la cabine est pleine et que le poids maximum est atteint. Les utilisateurs décident également de monter 3 étages soit une hauteur h = 10m. Quelle est la variation d’énergie potentielle du système complet?

4. A quoi sert le moteur dans ce cas précis? Calculer la valeur de l’énergie mécanique fournie par le moteur pendant la montée de l’ascenseur.

5. On se place maintenant dans le cas où les utilisateurs ne demandent plus à l’ascenseur de monter mais de descendre. Réitérer les calculs fait dans les deux situations précédentes avec cette nouvelle information.

6. Enfin on considère le même système mais sans contre-poids. Réitérer les quatre calculs faits précédemment.

En déduire l’intérêt d’utiliser un contre-poids dans un ascenseur.

15

2

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

Inertie des systèmes mécaniques en rotation

2.1

Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour de son axe de symétrie

On cherche à calculer le moment d’inertie de l’arbre d’un moteur modélisé par un cylindre massif de volume V , de rayon R, de hauteur H et de masse volumique ρV en rotation à une vitesse Ω autour de son axe de symétrie ∆.

Question: 1. Quelle approximation faite lors du calcul du moment d’inertie de la Lune ne peut plus être faite dans ce cas?

Réponse: Dans le cas de la Lune, on considérait que le diamètre de celle-ci était négligeable par rapport à sa distance par rapport à la Terre. On pouvait donc approximer celle-ci par un point. Dans le cas présent, le cylindre tourne autour de son propre axe de symétrie, on ne peut donc plus faire cette approximation.

Question: 2. Pour calculer le moment d’inertie de ce cylindre, on considère un élément du cylindre de masse infinitésimal dm situé à une distance r de l’axe ∆. Par analogie avec le résultat obtenu dans la partie 1.3, donner l’expression du moment d’inertie dI∆ de cet élément.

Réponse: D’après ce qui a été vu dans le chapitre précédent, le moment d’inertie de l’élément infinitésimal en rotation autour de l’axe ∆ peut s’écrire: dI∆ = r2 dm Question: 3. Pour obtenir le moment d’inertie total I∆ du cylindre, il faut ajouter l’inertie de tous les éléments du cylindre.

Ce nombre d’élément étant infini, on réalisera une somme infinie, c’est-à-dire une intégrale. Après avoir établi le lien entre la masse d’un élément dm, son volume dV et sa masse volumique ρV , donner l’expression 16

2.1

Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour de son axe de symétrie

de l’intégrale volumique permettant de calculer le moment d’inertie total du cylindre avec les coordonnées polaires.

Réponse: On sait que dm = ρV dV . On peut alors écrire l’intégrale volumique permettant d’écrire l’expression de l’inertie totale du cylindre: ‹V ‹V 2 I∆ = r dm = ρV r2 dV soit en coordonnées polaires:

ˆH ˆ2πˆR r3 dr.dθ.dh

I ∆ = ρV 0

0

0

Question: 4. Résoudre directement l’intégrale ou utiliser une astuce pour passer d’une intégrale volumique complexe à une intégrale sur le rayon du cylindre bien plus simple. Pour cela, on pourra par exemple dériver le volume du cylindre V par rapport à son rayon r.

Réponse: On sait que le volume du cylindre s’écrit V = πr2 H. Si on dérive cette expression par rapport à r, on obtient: dV = 2πrH ⇐⇒ dV = 2πrH.dr dr En remplaçant cette expression dans l’intégrale volumique, on obtient tout simplement: ‹V I∆ =

ˆR 2

r3 dr

ρV r dV = 2πHρV 0

Question: 5. Calculer l’expression du moment d’inertie total du cylindre en résolvant l’intégrale ainsi obtenue. Exprimer le résultat en fonction de la masse totale du cylindre notée MT .

AN: MT = 1kg, R = 2cm.

Réponse: On résoud donc l’intégrale précédente: ˆR r3 dr =

I∆ = 2πHρV

R 1 πHρV r4 0 2

0

On en déduit l’expression et la valeur du moment d’inertie total du cylindre: I∆ =

ρV × πR2 H × R2 ρV × V × R 2 MT × R 2 = = = 2.10−4 kg.m2 2 2 2 17

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

Question: 6. En s’inspirant des réponses de la partie 1.2, expliquer qualitativement l’impact énergétique d’une charge de forte inertie sur le démarrage et l’arrêt du moteur l’entraînant.

Réponse: Au démarrage du moteur, si celui-ci doit mettre en mouvement une charge de forte inertie, il faudra qu’il lui fournisse beaucoup d’énergie. A puissance fournie constante, il faudra donc plus de temps pour atteindre une vitesse de rotation donnée.

Lors de l’arrêt du moteur, beaucoup d’énergie aura été stockée dans la charge de forte inertie. A puissance dissipée constante, il faudra donc plus de temps pour arrêter le moteur.

Definition 5. moment d’inertie d’un solide en rotation Le moment d’inertie I∆ (souvent abrégé ”inertie”) d’un solide S en rotation autour d’un axe ∆ influe sur la quantité d’énergie à fournir à ce solide pour le mettre en rotation à une vitesse donnée, quantité qu’il faudra dissiper pour le mettre à l’arrêt. Le moment d’inertie dépend de l’axe de rotation autour duquel le solide pivote, et peut se calculer de la manière suivante: ˚ r2 ρdV

I∆ =

où r représente la distance entre l’axe de rotation ∆ et chaque élément de volume infinitésimal dV du solide S, et ρ est la masse volumique du solide.

2.2

Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour d’un axe quelconque

On cherche à calculer le moment d’inertie d’une barre idéale considérée comme infiniement fine de longueur 2R et de masse linéique ρL en rotation à une vitesse Ω autour d’un axe ∆0 éloigné d’une distance d de son axe de symétrie ∆.

Question: 1. En s’inspirant du calcul fait dans la partie 2.1, calculer le moment d’inertie I∆ de la barre en rotation autour de l’axe ∆ en fonction de sa masse linéique ρL et de la longueur R, puis de sa masse totale notée MT .

Réponse: 18

2.2

Calcul d’inertie d’un corps massif en rotation autour d’un axe quelconque

On commence par déterminer le moment d’inertie dI∆ d’un morceau infinitésimale de la barre de longueur dx: dI∆ = x2 dm = x2 ρL dx On intègre ensuite cette expression sur toute la barre pour obtenir la valeur de l’inertie totale: ˆR I∆ = ρL

x2 dx =

1 MT R 2 ρL 3 R x −R = ρL × 2R × R2 = 3 3 3

−R

Question: 2. Comme dans la partie 2.1, on considère un élément de la barre de masse infinitésimale dm situé à une position x de la barre. Donner l’expression de la distance x0 entre cet élément et l’axe ∆0 . En déduire l’expression du moment d’inertie dI∆0 de cet élément en rotation autour de l’axe ∆0 en fonction de x et d.

Réponse: Dans le cas présenté dans la question, l’élément de masse dm sera à une distance x0 = |x − d| de l’axe ∆0 . Le 2 moment d’inertie de cet élément en rotation autour de ∆0 sera donc dI∆0 = x20 dm = (x − d) dm.

Question: 3. A nouveau comme dans la partie 2.1, pour obtenir le moment d’inertie total de la barre en rotation autour de l’axe ∆0 , il va falloir sommer l’inertie de l’infinité d’éléments constituant la barre. Donner l’expression du moment d’inertie total de la barre sous la forme d’une somme de trois intégrales.

Réponse: Pour répondre à cette question, on peut reprendre la réponse de la première question de cette partie:  R  ˆR ˆR ˆ ˆR ˆR I∆0 = ρL x20 dx = ρL (x − d)2 dx = ρL  x2 dx − (2x.d)dx + d2 dx −R

−R

−R

−R

−R

On constate en effet que I∆0 est la somme de trois intégrales.

Question: 4. Parmi ces trois intégrales, identifier l’expression du moment d’inertie I∆ de la barre en rotation autour de l’axe ∆, une intégrale nulle et un troisième terme qui sera exprimé en fonction de la masse totale de la barre MT et de la distance d entre les deux axes ∆ et ∆0 .

Réponse: Pour plus de clarté, traitons les trois intégrales précédentes séparément:  ´R 2  L −R x dx = I∆  ρ R ´R (2x.d)dx = d x2 −R = 0 −R  ´  R ρL −R d2 dx = ρL × 2R × d2 = MT d2 Question: 19

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

5. En déduire l’expression du moment d’inertie de la barre en rotation autour de l’axe ∆0 notée I∆0 en fonction de I∆ , MT et d. L’inertie de la barre augmente-t-elle ou diminue-t-elle lorsque l’axe de rotation s’éloigne de l’axe de symétrie? Cela confirme-t-il l’intuition que l’on pourrait avoir? Pourquoi?

AN: MT = 1kg, R = 1m, d = 50cm.

Réponse: On déduit des expressions précédentes l’expression du moment d’inertie de la barre en rotation autour de l’axe ∆0 en fonction de son moment d’inertie lorsqu’elle est en rotation autour de l’axe ∆ espacé d’une distance d par rapport à l’axe ∆0 : I ∆0 = I ∆ + M T d 2 On constate aisément que le moment d’inertie de la barre augmente lorsque l’axe de rotation s’éloigne de l’axe de symétrie. Cela est conforme à l’intuition que l’on pourrait avoir. En effet, lorsque l’on souhaite faire tourner une barre autour de ses doigts, il est plus facile de le faire en la tenant en son centre qu’à ses extrémités.

Question: 6. En généralisant le calcul d’inertie fait pour la barre, donner la définition du théorème de Huygens permettant de calculer le moment d’inertie d’un corps en rotation autour d’un axe différent de son axe de symétrie si on connait sa masse, la valeur de son inertie de rotation autour de son axe de symétrie et la distance entre son axe de rotation et son axe de symétrie. La définition de doit pas se limiter à une formule mais doit expliquer le cadre d’utilisation de celle-ci et être illustrée par un dessin explicatif portant par exemple sur l’axe d’un moteur.

Réponse: Soit un moteur dont le moment d’inertie du rotor vaut Im , entrainant une charge de masse Mc et de moment d’inertie Ic excentrée autour d’un axe ∆ par rapport à l’axe du moteur ∆0 d’une distance r comme indiqué dans le schéma ci-après:

Il est possible de calculer le moment d’inertie total It du système par rapport à l’axe de rotation ∆0 grâce au théorème de Huygens: It = Im + Ic + Mc r2 20

2.3

Définitions

Question: 7. L’expression du moment d’inertie d’une boule en rotation autour d’un de ses axes de symétrie ∆ est la suivante: I∆ = 25 M R2 où M est la masse de la boule et R son rayon. A l’aide de cette formule et du théorème de Huygens, déterminer le moment d’inertie IT de la Lune en rotation autour de la Terre en considérant celle-ci comme une boule de masse ML , de rayon RL située à une distance d de la Terre. Comparer (intelligemment et en détail) ce résultat à celui trouvé dans la partie 1.3.

AN: ML = 7, 35.1022 kg, d = 384400km, RL = 1737km Réponse: D’après le théorème de Huygens, on peut déduire le moment d’inertie de la Lune en rotation autour de la Terre à partir de son moment d’inertie en rotation sur elle-même d’après la formule suivante:

2 2R + d2 = 1, 09.1034 kg.m2 IT = I∆ + ML d2 = ML 5 On remarque que la valeur du moment d’inertie trouvée ici en considérant la Lune comme une boule est identique aux arrondis près à son moment d’inertie lorsqu’on la considère comme un point. L’hypothèse faite 2 dans la partie 1.3 semble donc tout à fait valable. En effet si on considère le terme 2R = 1, 21.106 , on 5 2 11 remarque qu’il est très inférieur au terme d = 1, 48.10 , on constate donc que la distance entre la Terre et la Lune influe beaucoup plus sur son moment d’inertie que sa forme sphérique.

2.3

Définitions

Definition 6. Chaine de transmission mécanique L’énergie mécanique créée par un moteur est rarement utilisée directement en sortie de ce moteur. Il existe très souvent une chaine de transmission mécanique permettant de transformer le mouvement et le faire parvenir à l’endroit où cette énergie mécanique va être utilisée. Ces chaines de transmission sont constituées d’éléments de transmissions tels que des engrenages, des poulies, des courroies, des vis sans fin... Ces éléments s’entrainent les uns les autres jusqu’à l’extrémité de la chaine de transmission, on parle d’éléments entrainants qui transmettent le mouvement à un autre élément et d’éléments entrainés subissant le mouvement imposé par un élément entrainant. Un élément entrainant peut bien entendu lui même devenir un élément entrainé. Par exemple dans une voiture, l’énergie mécanique du moteur est transformée dans la boite de vitesse qui contient plusieurs éléments (engrenages) puis transportée jusqu’au roue par un arbre de transmission.

Definition 7. Rapport de réduction d’une chaine de transmission mécanique Le rapport de réduction d’une chaine de transmission est une caractéristique dépendant des éléments entrainants et entrainés de cette chaine et permettant de calculer la vitesse en sortie en fonction de la vitesse en entrée de cette chaine. Dans le cas d’un train d’engrenages constitués de roues dentées ayant un nombre de dents N pouvant différer pour chaque roue, ce rapport de réduction s’exprime de la manière suivante: Q Nentrainantes r= Q Nentrain´ees

21

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

Definition 8. Rendement d’une chaine de transmission mécanique Le rendement η d’une chaine de transmission mécanique correspond au pourcentage de puissance transitant entre l’entrée et la sortie d’une chaine de transmission. Il est donc définit comme le rapport entre la puissance Ps en sortie de la chaine de transmission et la puissance Pe en entrée de cette chaine. Ce rendement est forcément compris entre 0 et 1.

Ps ≤1 0≤η= Pe

Question: 1. Indiquer l’intérêt des entrainements par engrenage à dentures coniques par rapport aux entrainements à dentures droites.

Réponse: Les engrenages à dentures coniques permettent de transmettre un mouvement de rotation selon des axes perpendicualires, contrairement aux engrenages à dentures droites où le mouvement est transmis selon des axes parallèles.

Question: 2. Indiquer l’intérêt des entrainements par poulie/courroie par rapport aux entrainements à dentures droites.

Réponse: Les entrainements par poulie/courroie permettent de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes relativement éloignés, là où l’engrenage à dentures droites ne peut le faire que pour des axes proches.

Question: 22

2.4

Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique

3. Indiquer l’intérêt des entrainements par roue/vis sans fin par rapport aux entrainements à dentures droites.

Réponse: Les entrainements par roue/vis sans fin permettent de transmettre un mouvement de rotation selon des axes perpendiculaires avec des rapports de réduction très grands. En effet, un tour de vis complet provoque la rotation selon une seule dent de la roue.

2.4

Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique

Dans le cas d’une chaine de transmission, le moment d’inertie ”ressenti” par le moteur en amont de cette chaine correpond à la somme des inerties de chaque partie de cette chaine de transmission ”rapportée” au moteur. Cette partie propose un cheminement pour calculer cette inertie rapportée.

On considère le cas très simple d’une transmission de l’énergie mécanique via deux engrenages à denture droite.

La roue 1 constituée de N1 dent est entrainée par le moteur à une vitesse de rotation notée ω1 . Cette roue 1 entraine par engrenage la roue 2 constituée de N2 dents à une vitesse notée ω2 . On considère le rayon des roues 1 et 2 noté R1 et R2 comme proportionnel aux nombre de dents N1 et N2 . On cherche à calculer le moment d’inertie ”ressenti” par le moteur.

Question: 1. D’après ce qui a été vu dans les parties précédentes, indiquer pour quelle raison l’inertie d’un système mécanique joue un rôle primordial sur le fonctionnement de ce système en terme d’énergie. Donner un exemple de problème de conception pour lequel il serait nécessaire de connaitre le moment d’inertie ”ressenti” par le moteur.

Réponse: L’inertie est un facteur primordial pour connaître l’énergie à fournir au système pour le mettre en mouvement ou pour l’arrêter. En effet, plus l’inertie du système est grande, plus il faudra d’énergie pour le mettre en mouvement. Ainsi, si l’on souhaite qu’un système de forte inertie se mette en mouvement rapidement, il faut choisir un actionneur de forte puissance afin qu’il puisse fournir beaucoup d’énergie en peu de temps au système.

Par exemple, si on veut dimensionner un moteur pour une grue, l’évaluation de l’inertie moyenne est indispensable pour cela. En effet, il faut s’assurer que la grue sera capable de s’arrêter rapidement en cas de problème, et cela quelle que soit l’inertie causées par les masses transportées.

23

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

Question: 2. Exprimer le nombre de tour que fait la roue 2 lorsque la roue 1 fait un tour complet en fonction des nombres de dents des roues N1 et N2 . En déduire l’expression de la vitesse de rotation de la roue 2 notée ω2 en fonction de la vitesse de la roue 1 ω1 et des nombres de dents des roues N1 et N2 . Donner alors l’expression du rapport de réduction dans ce cas très simple et compléter la définition du rapport de réduction de la partie 2.3 en indiquant l’expression du rapport de réduction en fonction des vitesses de rotation d’entrée ωe et de sortie ωs .

Réponse: N2 = 1 tours. Or si la Pour faire un tour complet la roue 2 doit avancer de N2 ”crans”, elle aura donc fait N 2 roue 1 fait un tour complet, elle fait avancer la roue 2 seulement de N1 ”crans”. On en déduit que dans ce cas, N1 tours. Si on généralise pour plusieurs tours de roue, on comprends que la vitesse de la la roue 2 aura fait N 2 N1 ω1 roue 2 dépendra de celle de la roue 1 selon la formule ω2 = N 2

En généralisant cela comme dans la définition 2.3, on peut noter la relation entrée/sortie entre deux engrenages de cette manière: ωs = rωe e où r = N Ns , le rapport de réduction, correspond au rapport du nombre de dents de la roue d’entrée sur le nombre de dents de la roue de sortie.

Question: 3. En écrivant la perte de puissance due au rendement de la chaine de transmission entre la roue 1 et la roue 2, puis en utilisant la formule générale de la puissance mécanique d’un système en rotation établie dans la partie 1.3, et enfin en utilisant le résultat de la question précédente, établir l’expression du couple C2 exercé en bout de chaine de transmission en fonction du couple C1 appliqué par le moteur en début de chaine, du rendement η de la chaine de transmission et du nombre de dents des roues N1 et N2 . Compléter la définition du rapport de réduction de la partie 2.3 en indiquant l’expression du rapport de réduction en fonction des couples d’entrée Ce et de sortie Cs .

Réponse: La perte de puissance entre les roues 1 et 2 dûe au rendement η peut s’écrire: P2 = ηP1 De plus dans la partie 1.3, nous avons établi que l’expression de la puissance reçue par un système mécanique en rotation s’écrit P = Cω où C est le couple appliqué sur le système et ω sa vitesse de rotation.

En combinant ces deux expressions avec celle trouvée dans la question précédente, on peut obtenir la relation liant le couple de sortie au couple d’entrée: P2 = ηP1 ⇐⇒ C2 ω2 = ηC1 ω1 ω1 ⇐⇒ C2 = η C1 ω2 η ⇐⇒ C2 = C1 r En généralisant cette expression et en considérant un rendement de 100%, on obtient l’expression suivante: Cs = où est r est le rapport de réduction du système.

24

1 Ce r

2.4

Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique

Question: 4. Indiquer comment évoluent (augmentation ou diminution) les vitesses de rotation et les couples entre l’entrée et la sortie de la chaine de transmission en fonction du nombre de dents des roues en sortie de la chaine.

Analyser de manière critique l’utilisation du terme ”rapport de réduction”.

AN: N1 = 20, N2 = 10 − 40, η = 100% Réponse: On constate évidemment que: • Pour un nombre de dents de la roue de sortie supérieur au nombre de dents de la roue d’entrée, N2 > N1 , la vitesse de rotation en sortie sera inférieur à la vitesse de rotation en entrée, par contre le couple en sortie sera plus important que celui en entrée. Par exemple, pour N1 = 20 et N2 = 40, le rapport de réduction est de r = 12 , la roue 2 tournera donc deux fois plus lentement que la roue 1 mais avec un couple deux fois plus important.

• A l’inverse, pour un nombre de dents de la roue de sortie inférieur au nombre de dents de la roue d’entrée, N2 < N1 , la vitesse de rotation en sortie sera supérieur à la vitesse de rotation en entrée, par contre le couple en sortie sera moins important que celui en entrée.Par exemple, pour N1 = 20 et N2 = 10, le rapport de réduction est de r = 2, la roue 2 tournera donc deux fois plus rapidement que la roue 1 mais avec un couple deux fois moins important.

On remarque que le terme ”rapport de réduction” est discutable. En effet, si la vitesse de rotation entre la sortie et l’entrée est réduite alors le couple est lui augmenté et vice-versa.

Question: 5. On place au centre de la roue 2 un arbre dont le moment d’inertie vaut I2 . En réutilisant les notions vues dans la partie 1.3, donner l’expression de l’énergie cinétique de rotation de cet arbre Ec2 en fonction de I2 et ω2 , puis en fonction de I2 , r et ω1 .

Réponse: On a vu dans la partie 1.3 que l’énergie cinétique de la roue 2 d’inertie I2 en rotation autour de son axe s’écrit: Ec2 =

1 1 1 I2 ω22 = I2 (rω1 )2 = I2 r2 ω12 2 2 2

Question: 1. Par analogie avec le travail fait dans les parties 1.2 et 1.3, déduire de l’expression précédente l’expression du moment d’inertie de l’arbre de la roue 2 rapportée au moteur. Analyser de manière critique l’utilisation du terme ”inertie rapportée”.

Réponse: On constate que, rapportée à la vitesseω1 , l’inertie de l’arbre associé à la roue 2 s’écrit alors I1 = I2 r2 .

Le terme ”inertie rapportée” semble cohérent. En effet, cet inertie est l’inertie de la roue 2 telle qu’elle est réellement ressentie par le moteur.

Question: 25

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

2. En généralisant le calcul d’inertie rapportée fait pour cette chaine de transmission simple à une chaine de transmission contenant une cascade d’engrenages, donner la définition de l’inertie rapportée permettant de calculer le moment d’inertie ressenti par un moteur en fonction de l’inertie des éléments de la chaine de transmission qu’il entraîne. La définition de doit pas se limiter à une formule mais doit expliquer le cadre d’utilisation de celle-ci et être illustrée par un dessin explicatif.

Réponse: Soit un train d’engrenages constitué de n engrenages, de rapport de réduction r et permettant de transmettre un mouvement entre un moteur de moment d’inertie Im et une charge de moment d’inertie IC . Si chaque engrenage i possède un moment d’inertie Ii et des rapports de réduction deux à deux ri/i−1 , alors on peut calculer l’inertie totale IT ressentie par le moteur:  !2  n i X Y  IT = Im + ri/i−1 Ii  + r2 Ic 1

i=1

Par exemple pour le train d’engrenage suivant où le moteur est situé au niveau de l’engrenage 1 et la charge au niveau de l’engrenage 2:

Dans ce cas de figure le rapport de réduction entre chaque engrenage vaut: • entre l’engrenage 1 et 2, r2/1 = • entre l’engrenage 2 et 3 r3/2 =

30 15 = 2, 36 12 = 3,

• entre le moteur et la charge r = r2/1 × r3/2 =

30×36 15×12

= 6.

On peut donc calculer l’inertie totale IT ressentie par le moteur: 2 IT = Im + I1 + r2/1 I2 + r2/1 × r3/2

2

I3 + r2 I3

⇐⇒ IT = Im + I1 + 4I2 + 36I3 + 36I3 26

2.4

Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique

Fiche bilan La fiche bilan à rédiger pour ce chapitre doit répondre aux problématiques suivantes: • Que représente l’inertie d’un système mécanique? A quoi est-elle liée? Quelle est son impact sur le fonctionnement du système?

• Quelles méthodes peut-on utiliser pour calculer le moment d’inertie d’un solide en rotation autour d’un axe?

Dans quels cas les utilise-t-on?

• Pourquoi a-t-on parfois besoin d’utiliser des engrenages pour transmettre un mouvement? Quel impact cela a-t-il sur le mouvement et la force engendrée?

• Quel impact en terme d’inertie ont ces transmissions par engrenages? Pourquoi est-il important de le prendre en compte pour choisir une motorisation?

2 formules sont autorisées sur la fiche

Exercices bonus Exercise 4. Calcul du moment d’inertie d’une roue à aubes On reprend le système du moulin à eau étudié dans l’exercice 2, et on cherche à calculer l’inertie de la roue à aubes cette fois-ci à partir de sa structure. Pour cela, on décide de simplifier l’étude en considérant que la roue à aubes peut-être représentée de la manière suivante (le dessin n’est pas à l’échelle):

On considère donc que la roue à aubes est constituée d’un moyeu en métal d’où partent 6 rayons en bois tenant la roue en bois également. On donne les informations suivantes sur les caractéristiques de la roue: 27

2

INERTIE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES EN ROTATION

• épaisseur de la roue h = 1m • masse volumique du bois ρbois = 500kg.m3 • masse volumique du métal ρm´etal = 8000kg.m3 • largeur d’un rayon e = 20cm • rayon du moyeu r1 = 30cm • rayon intérieur de la roue r2 = 1, 5m • rayon extérieur de la roue r3 = 2m 1. Calculer la valeur du moment d’inertie du moyeu autour de son axe de rotation, en considérant celui-ci comme un cylindre.

2. Calculer la valeur du moment d’inertie des aubes autour de leur axe de rotation, en considérant l’ensemble de celle-ci comme un cylindre évidé.

3. On cherche maintenant à calculer le moment d’inertie des rayons. Montrer que chaque rayon peut être considérer comme un pavé dont on précisera les dimensions. Indiquer un axe de symétrie de ce pavé qui soit perpendiculaire au plan dans lequel est dessiné le schéma ci-dessus.

4. On commence par calculer le moment d’inertie d’un seul rayon. Calculer le moment d’inertie d’un élément de volume infinitésimal d’un rayon en rotation autour de l’axe de symétrie déterminé précédemment.

5. En intégrant ce moment d’inertie infinitésimal, calculer le moment d’inertie total d’un rayon de la roue autour de son axe de symétrie.

6. A l’aide du théorème de Huygens, en déduire le moment d’inertie apporté par un rayon à la roue lorsque celle ci tourne autour de son axe.

7. En comparant la valeur des moments d’inertie du moyeu, des aubes et des rayons, indiquer quels sont les éléments jouant le plus grand rôle dans l’inertie de cette roue à aubes.

8. En sommant l’ensemble des inerties calculées précédemment, déterminer le moment d’inertie total de cette roue à aube et la comparer à la valeur trouvée dans l’exercice 2.

Exercise 5. Inertie rapportée au moteur d’un ascenseur On reprend le système de l’ascenseur étudié dans l’exercice 3 et on cherche à étudier l’inertie ressentie par le moteur entrainant la poulie.

Ce système est caractérisé par les valeurs suivantes: • Rapport de réduction du moteur: k = 10 • Diamètre de la poulie: D = 30cm • Masse de la cabine: Mc = 100kg • Masse du contre-poids: Mp = 400kg 28

2.4

Calcul des inerties rapportées dans une chaine de transmission mécanique

• Masse maximum dans la cabine: Mu = 600kg • Inertie du treuil et de la poulie: IT = 0, 1kg.m2 1. Calculer le moment d’inertie ressenti au niveau de la poulie et causé par les deux masses en translation que sont la cabine et le contre-poids.

2. En déduire la valeur du moment d’inertie du système complet rapporté au moteur.

29

3

3

EQUATION DYNAMIQUE

Equation dynamique

3.1

Mise en équation

On souhaite connaître l’évolution dynamique du moteur à courant continu à aimants permanents dont la documentation constructeur est fournie.

Question: 1. Sur le document constructeur, relever la valeur de la puissance nominale PN , de la vitesse de rotation nominale ΩN , du couple nominal CN , de l’inertie du rotor J, de la constante de couple K et du courant circulant dans le moteur fonctionnant à vide Iv . On veillera à choisir les unités des différentes valeurs dans le système international. Ces valeurs numériques pourront être utilisées dans toute la suite de ce chapitre pour effectuer les calculs après avoir déterminé les expressions littérales.

Réponse: On relève sur le document constructeur les valeurs suivantes pour le moteur référencé 221: • Puissance: PN = 115W • Vitesse de rotation nominale: ΩN = 3150tr.min−1 ' 330rad.s−1 • Couple nominal: CN = 350mN m = 0, 35N m • Inertie du rotor: J = 850g.cm2 = 85.10−6 kg.m2 • Constante de couple: K = 54mN m.A−1 = 54.10−3 N m.A−1 • Courant à vide: Iv = 1, 3A Question: 2. Vérifier que la puissance mécanique du moteur correspond bien à celle annoncée par le constructeur.

Réponse: 30

3.1

Mise en équation

Comme vu dans la partie 1.3, la puissance du moteur peut s’écrire P = Cω. Vérifions que la puissance indiquée correspond bien à cela: PN = CN ωN = 330 × 0, 35 ' 115W La valeur trouvée correspond bien à la puissance nominale indiquée dans le document constructeur.

Question: 3. Réécrire l’expression de la puissance et de l’énergie d’un solide en rotation. A partir de ces deux équations et en rappelant le lien entre puissance et énergie, retrouver l’expression de l’équation dynamique du moteur régissant l’évolution de la vitesse de rotation Ω en fonction du couple C. On remarquera que cette équation dynamique est une équation différentielle du premier ordre dépendant de l’inertie du moteur J. Réponse: On a vu dans la partie 1.1 que la puissance dérivait de l’énergie P = dE dt et dans la partie 1.3 que la puissance d’un solide en rotation s’écrivait P = CΩ et son énergie Ec = 12 JΩ2 . En combinant ces trois expressions, on obtient: dEc P = dt

d 1 2 ⇐⇒ CΩ = JΩ dt 2 ⇐⇒ CΩ = JΩ

dΩ dt

dΩ =C dt On constate en effet que l’équation dynamique est une équation différentielle dépendant de l’inertie du moteur J. ⇐⇒ J

Question: 4. Dans le cas d’un actionneur électromécanique, on fera intervenir trois composantes du couple: le couple fourni par le moteur Cm , le couple résistant imposé par la charge à mettre en rotation Cr et le couple résistant issu de divers frottements mécaniques Cf . Réécrire l’équation dynamique en faisant intervenir ces trois couples avec les bons signes.

Réponse: Sur ces trois couples, on remarque que: • Le couple moteur Cm participe à la mise en mouvement de celui-ci, il fait donc augmenter la vitesse de rotation du moteur.

• Le couple résistant Cr s’oppose à la mise en mouvement du moteur, il a donc tendance à faire diminuer la vitesse de rotation du moteur.

• Le couple de frottement Cf s’oppose à la mise en mouvement du moteur, il a donc tendance à faire diminuer la vitesse de rotation du moteur.

L’équation dynamique écrite en différenciant ces trois couples s’écrit donc: J

dΩ = Cm − Cr − Cf dt 31

3

EQUATION DYNAMIQUE

Question: 5. On considère que le couple de frottement est lui-même composé d’un frottement sec Cs qui reste constant au cours du temps et d’un frottement visqueux dont la valeur est proportionnelle à la vitesse de rotation du moteur selon un coefficient de proportionnalité Cv . Réécrire l’équation dynamique en prenant en compte la décomposition du frottement et constater que cette équation peut-être vue comme un équation différentielle du premier ordre en Ω.

Réponse: En considérant les deux composantes de frottement, sec et visqueux, on peut écrire l’équation dynamique de la manière suivante: dΩ = Cm − Cr − Cs − Cv Ω J dt Cette équation peut en effet être vue comme une équation différentielle du premier ordre en Ω.

Question: 6. Il sera démontré dans le cours de SEMI que l’on peut obtenir le couple de frottement Cf en mesurant le courant dans le moteur tournant à vide et en appliquant la formule Cf = KIv . Déterminer la valeur du couple de frottement du moteur étudié en régime permanent.

Réponse: D’après les valeurs données dans le document constructeur, on peut calculer le couple de frottement du moteur en régime permanent: Cf = KIv = 70, 2mN m Definition 9. Equation dynamique Soit un moteur ayant un rotor d’inertie J, entrainant une charge opposant au mouvement un couple résistant Cr et subissant des frottement mécaniques Cf . La relation mécanique liant l’évolution du couple moteur Cm à sa vitesse de rotation Ω est appelée équation dynamique et s’écrit: J

dΩ = Cm − Cr − Cf dt

Le couple de frottement peut se modéliser comme la somme de trois types de frottements: • un frottement constant, le frottement sec Cs qui est prépondérant.

• un frottement proportionnel à la vitesse de rotation, le frottement visqueux Cv .

• un frottement intervenant dans certains cas particuliers (les systèmes brassant des fluides par exemple) et proportionnel au carré de la vitesse de rotation, le frottement aéraulique Ca .

Le couple de frottement s’écrit alors:

Cf = Cs + Cv Ω + Ca Ω2

32

3.2

3.2

Analyse de l’équation mécanique

Analyse de l’équation mécanique

Dans toute cette partie, on considérera que le couple de frottement est constitué de frottement sec et de frottement visqueux.

Question: 1. En se référant au cours de mathématiques sur les équations différentielles du premier ordre, donner l’expression de la constante de temps mécanique du système.

Réponse: On peut réécrire l’équation dynamique sous la forme suivante: Cm − Cs dΩ Cv + Ω= dt J J La solution d’une telle équation différentielle sera de la forme:

t Ω(t) = K 1 − e− τ où τ est la constante de temps du système. Dans notre cas précis, la valeur de la constante de temps sera τ = CJv .

Question: 2. Quel sera donc l’impact d’une inertie forte de la charge entrainée par le moteur sur la solution de l’équation dynamique? Comparer avec l’analyse faite dans la partie 2.1 au sujet de l’impact énergétique d’une forte inertie.

Réponse: On constate qu’une inertie forte de la charge entrainera une constante de temps forte. En effet, nous avons vu dans la partie 2.1 qu’une grande inertie implique un grand apport d’énergie pour mettre en mouvement la charge. A puissance constante, il faudra donc plus de temps pour fournir suffisamment d’énergie pour que le moteur atteigne sa vitesse nominale.

Question: 3. On considère le fonctionnement du moteur en régime permanent pour une vitesse de rotation fixe. Réécrire l’équation dynamique en prenant en compte ce paramètre. Quelle est alors l’utilité du couple fourni par le moteur?

Réponse: En régime permanent, le moteur tourne à une vitesse constante donc dynamique: 0 = Cm − Cr − Cf

dΩ dt

= 0. On peut ainsi réécrire l’équation

⇐⇒ Cm = Cr + Cf On constate ainsi qu’en régime permanent, le rôle du couple moteur n’est plus de mettre en mouvement le moteur mais de maintenir celui-ci à une vitesse de rotation donné en compensant le couple résistant et le couple de frottement.

Question: 33

3

EQUATION DYNAMIQUE

4. En déduire la valeur du couple résistant que peut entrainer ce moteur en régime permanent. On considérera les valeurs nominales de couple et de vitesse de rotation du moteur.

Réponse: On peut donc en déduire la valeur du couple résistant entrainé: 0 = Cm − Cr − Cf ⇐⇒ Cr = Cm − Cf ' 0, 28N m Question: 5. On considère un couple résistant Cr négatif. Que cela représente-t-il concrètement? Quel est l’impact sur l’équation dynamique et donc sur le fonctionnement du moteur? Justifier alors le terme de couple entrainant plutôt que couple résistant dans ce cas précis.

Réponse: Si le couple résistant Cr est négatif, cela signifie qu’il participe à la mise en mouvement du moteur au même titre que le couple moteur Cm : il permet une augmentation de la vitesse de rotation. Le terme de couple résistant n’est alors plus adapté, on parle plutôt de couple entrainant.

3.3

Utilisation de l’équation dynamique

Question: 1. En intégrant l’équation dynamique, étudier l’évolution de la vitesse du moteur lancé à une vitesse Ω0 et brusquement arrêté (c’est-à-dire Cm = 0) dans le cas d’un fonctionnement à vide et avec un frottement dû à un couple de frottement sec constant Cs uniquement. Tracer l’évolution temporelle de la vitesse de rotation du moteur.

AN: Cs = 70mN m, Ω0 = ΩN Réponse: D’après les informations données dans la question, l’équation dynamique dans ce cas précis peut s’écrire: J

dΩ = −Cs dt

Cette équation est facilement résolu en intégrant de part et d’autre de l’équation: Ω(t) = −

Cs t + Ω0 J

où Ω0 est la constante d’intégration que l’on détermine grâce aux conditions initiales du système, à savoir Ω(0) = Ω0 . En faisant l’application numérique, on trouve l’équation suivante: Ω(t) = −820t + 330 ce qui correspond à l’évolution de la vitesse de rotation du moteur suivante: 34

3.3

Utilisation de l’équation dynamique

Question: 2. Donner alors l’expression du temps nécessaire tf au moteur pour s’arrêter complètement.

AN Réponse: Pour que le moteur soit arrêté, il faut atteindre Ω(tf ) = 0 soit: 0 = −820tf + 330 tf ' 400ms Question: 3. En intégrant l’équation dynamique, étudier l’évolution de la vitesse du moteur lancé à une vitesse Ω0 et brusquement arrêté dans le cas d’un fonctionnement à vide et avec un frottement dû à un couple de frottement visqueux variant avec la vitesse Cr = Cv Ω uniquement. Tracer l’évolution temporelle de la vitesse de rotation du moteur.

AN: Cv = 10−3 N m.s, Ω0 = ΩN Réponse: D’après les informations données dans la question, l’équation dynamique dans ce cas précis peut s’écrire: J

dΩ = −Cv Ω dt

En résolvant cette équation différentielle du premier ordre, on trouve: Ω(t) = Ke− 35

Cv J

t

3

EQUATION DYNAMIQUE

où Ω0 représente la constante d’intégration du système que l’on peut déterminer grâce aux conditions initiales, à savoir Ω(0) = Ω0 . En faisant l’application numérique, on trouve l’équation suivante: Ω(t) = 330e−11,8t ce qui correspond à l’évolution de la vitesse de rotation du moteur suivante:

Question: 4. Dans les deux cas précédents, expliquer l’influence du moment d’inertie. Retrouve-t-on ce qui a été indiqué dans la partie précédente?

Réponse: Dans le premier cas, on remarque que pour des valeurs plus grandes d’inertie, la pente de la droite sera plus faible et donc la vitesse décroîtra plus lentement. Dans le deuxième cas, c’est le coefficient de l’exponentielle qui sera plus petit et l’exponentielle décroîtra également plus lentement. Cela est consistant avec ce qui a été vu précédemment: si l’inertie est plus grande, le moteur aura stockée plus d’énergie cinétique et mettra plus de temps à évacuer cette énergie.

Question: 5. On considère maintenant le moteur à l’arrêt (Ω = 0, Cm = 0) et n’entrainant aucune charge. On applique brusquement le couple nominal au moteur (Cm = CN ), en intégrant l’équation dynamique, étudier l’évolution de la vitesse du moteur sachant qu’il subit le couple de frottement sec et de frottement visqueux des questions précédentes. Tracer l’évolution temporelle de la vitesse de rotation du moteur.

AN: Cs = 70mN m, Cv = 10−3 N m.s Réponse: 36

3.3

Utilisation de l’équation dynamique

D’après les informations données dans la question, l’équation dynamique dans ce cas précis peut s’écrire: J

dΩ = Cm − Cs − Cv Ω dt

Cette équation est un peu plus complexe à résoudre que les deux précédentes car il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre avec second membre. Il faut donc chercher la solution générale Ωg (t) et la solution particulière Ωp (t). La solution générale ayant déjà été trouvée dans une question précédente, on cherche un solution particulière constante, c’est-à-dire telle que dΩ dt = 0: 0 = Cm − Cs − Cv Ωp Cm − Cs Cv

⇐⇒ Ωp =

En combinant solution générale et solution particulière, on trouve alors la solution complète: Ω(t) = Ωg (t) + Ωp

⇐⇒ Ω(t) = Ke−

Cv J

t

+

Cm − Cs Cv

Il ne reste plus alors qu’à trouver la constante d’intégration K grâce aux conditions initiales Ω(0) = 0: 0=K+

Cm − Cs Cv

⇐⇒ K = −

Cm − Cs Cv

Il en ressort ainsi l’expression de l’évolution de la vitesse de rotation du moteur au cours du démarrage: Ω(t) =

Cv Cm − Cs 1 − e− J t Cv

En faisant l’application numérique, on trouve l’équation suivante: Ω(t) =

Cm − Cs 1 − e−11,8t Cv

ce qui correspond à l’évolution de la vitesse de rotation du moteur suivante: 37

3

EQUATION DYNAMIQUE

Question: 6. Donner alors l’expression du temps nécessaire tf au moteur pour atteindre une vitesse de rotation Ω = 100rad.s−1 .

AN Réponse: On cherche la valeur de tf tel que:

Cv Cm − Cs 1 − e − J tf Cv

J Cv Ω(tf ) ⇐⇒ tf = − ln 1 − ' 37, 6ms Cv Cm − Cs Ω(tf ) =

Le moteur atteindra donc une vitesse de 100rad.s−1 en 37, 6ms au démarrage.

Fiche bilan La fiche bilan à rédiger pour ce chapitre doit répondre aux problématiques suivantes: • Que représente l’équation dynamique d’un système?

• Quelle démarche doit-on suivre pour établir l’équation dynamique d’un système?

• En quoi cette équation dynamique peut-elle être utile? Que peut-elle permettre de déterminer?

• Quelle démarche doit-on suivre pour résoudre l’équation dynamique d’un système?

1 formule est autorisée sur la fiche 38

3.3

Utilisation de l’équation dynamique

Exercices bonus Exercise 6. Fonctionnement d’un ascenseur (extrait examen 2011) On reprend le système de l’ascenseur étudié dans l’exercice 3 et on cherche à étudier son comportement dynamique au cours du temps. On rappelle les informations suivantes: • Rapport de réduction du moteur: k = 10 • Diamètre de la poulie: D = 30cm • Masse de la cabine: Mc = 100kg • Masse du contre-poids: Mp = 400kg • Masse maximum dans la cabine: Mu = 600kg • Inertie du treuil et de la poulie: IT = 0, 1kg.m2 • Rendement du réducteur η = 100% On considère que lors du déplacement entre deux étages la cabine se déplace selon le profil de vitesse suivant:

1. Pendant la phase 2 du déplacement, en considérant la cabine pleine, calculer les valeurs suivantes: • la vitesse de rotation de la poulie Ω2 • Le couple résistant ressenti par la poulie Cr2 • La puissance développée au niveau de la poulie P2 • La puissance fournie par le moteur P1 • La vitesse de rotation du moteur Ω1 • Le couple que doit fournir le moteur à la poulie Cm1 2. On considère que tous les frottements sont négligeables, seul le couple résistant lié au poids de la cabine et du contre-poids intervient. Donner l’équation de la dynamique au niveau du moteur. Pendant les phases 1 et 3, quelles sont les valeurs des couples fournis par le moteur? Justifier ces valeurs.

39

3

EQUATION DYNAMIQUE

3. Au 10ème étage de l’immeuble, à 30 mètres d’altitude, la réunion des consommateurs invétérés de fast-food se termine et les différents participants décident de prendre l’ascenseur, atteignant tous ensemble le poids de 800kg. Le réducteur cède, désolidarisant le moteur de la poulie et l’ascenseur débute sa chute inévitable vers le rez-de-chaussée. On considère que les frottements de la poulie peuvent être modélisés par un coefficient de frottement sec Cs = 10N m et un coefficient de frottement visqueux Cv = 0, 1N m.s tel que le frottement total se note Cf = Cs + Cv Ω. Combien de temps reste-t-il à vivre aux mangeurs de burgers ?

40

4

Etude du comportement mécanique d’une éolienne (examen 2012)

On s’intéresse au fonctionnement d’une éolienne de moyenne puissance dont le schéma de fonctionnement est le suivant:

Le vent fait tourner les trois pales de l’éolienne transmettant un mouvement de rotation au multiplicateur. Ce multiplicateur augmente cette vitesse de rotation d’un facteur k = 100 afin de fournir une vitesse suffisamment importante à la génératrice pour que celle-ci produise de l’énergie électrique. Attention le diamètre des deux engrenages sur le schéma est trompeur!

La vitesse de rotation maximum des pales de l’éolienne est NM ax = 20tr.min−1 .

4.1

Calcul des caractéristiques mécaniques de l’éolienne

Les trois pales de l’éolienne sont espacées angulairement de ϕ = 120°. On modélise les pales comme des plaques infiniement fines de dimension L×l = 10m×1m. La masse surfacique de ces pales simplifiées est de ρS = 100kg.m−2 .

La base de chaque pale est placée à e = 1m de l’axe de rotation ∆ de l’éolienne. On considère que l’inertie du reste des éléments tournants de l’éolienne sont négligeables par rapport à l’inertie des pales. Toutes ces informations sont résumées dans le schéma suivant: 41

4

ETUDE DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE D’UNE ÉOLIENNE (EXAMEN 2012)

Question: 1. Calculer la valeur de l’inertie IP d’une seule pale en rotation autour de son propre axe de symétrie.

Réponse: Soit un élément infinitésimal de surface de la pale dS, de masse dm et positionné à une distance r du centre de la pale noté O. Cette situation est représenté dans la figure suivante:

L’inertie dI de cet élément peut s’écrire de la manière suivante: dI = r2 dm = r2 ρS dS = ρS (x2 + y 2 )dx.dy Pour obtenir l’inertie totale de la pale, il faut intégrer cet inertie infinitésimale sur l’ensemble de la surface de 42

4.1

la pale:

L/2 ˆ l/2 ˆ

‹ IP =

Calcul des caractéristiques mécaniques de l’éolienne

2

ρS (x2 + y 2 )dy.dx

r ρS dS = −L/2 −l/2

L/2ˆ l/2 ˆ IP = 4ρS (x2 + y 2 )dy.dx 0

0

L/2 l/2 ˆ y3 2 ⇐⇒ IP = 4ρS dx (x y + ) 3 0 0

l/2 iL/2 4ρS h 3 ⇐⇒ IP = (x y + y 3 x) 0 3 0 5 1, 01.10 ρS (L3 l + l3 L) = ' 8420kg.m2 ⇐⇒ IP = 3×4 12 L’inertie d’une des pales en rotation autour de son propre axe de symétrie est donc IP = 8420kg.m2 .

Question: 2. En déduire la valeur de l’inertie totale des trois pales (et donc de l’éolienne) IE par rapport à l’axe de rotation ∆ de l’éolienne.

Réponse: Pour calculer l’inertie de l’ensemble des pales, il faut commencer par calculer l’inertie d’une pale en rotation autour de l’axe de l’éolienne I∆ . Pour cela, on peut utiliser le théorème de Huygens:

2 L I ∆ = I P + MP e + 2

2 L ⇐⇒ I∆ = IP + ρS Ll e + = 44, 4.103 kg.m2 2 L’inertie d’une pale en rotation autour de l’axe de l’éolienne est donc de I∆ . Pour obtenir l’inertie totale, il faut prendre en compte les 3 pales de l’éolienne, c’est-à-dire: IE = 3I∆ ' 133.103 kg.m2 Question: 3. En déduire la valeur de l’énergie cinétique maximale stockée dans l’éolienne ECmax lorsque celle-ci tourne à sa vitesse maximum.

Réponse: La vitesse de rotation maximum de l’éolienne est de NM ax = 20tr.min−1 ' 2, 09rad.s−1 . On en déduit ainsi l’énergie cinétique stockée dans l’éolienne lorsqu’elle tourne à cette vitesse: ECmax =

1 2 IE NM ax ' 290kJ 2 43

4

ETUDE DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE D’UNE ÉOLIENNE (EXAMEN 2012)

Question: 4. Lorsque le vent s’arrête brusquement alors que l’éolienne tourne à pleine vitesse, la génératrice a besoin d’un temps T0 = 1s pour absorber la totalité de l’énergie cinétique stockée dans l’éolienne et donc pour que celle-ci soit à l’arrêt. Si l’éolienne a un rendement η = 100%, calculer la valeur de la puissance mécanique moyenne Pm fournie à la génératrice par l’éolienne pendant ce temps T0 .

Réponse: Dans ce cas de figure, l’éolienne fourni une énergie de ECmax = 290kJ en T0 = 1s, il est donc évident que la puissance mécanique moyenne fournie pendant ce temps est: Pm =

ECmax = 290kW T0

Question: 5. Toujours en considérant un fonctionnement à vitesse maximum, calculer la valeur de la vitesse de rotation de la génératrice ΩG et la valeur de l’inertie de l’éolienne rapportée à la génératrice IG .

Réponse: La génératrice tournant 100 fois plus vite que les pales, on en déduit la vitesse de rotation au niveau de la génératrice: ΩG = kNM ax = 209rad.s−1 De même, on peut calculer l’inertie de l’éolienne rapportée au niveau de la génératrice sachant que l’énergie cinétique ressentie par la génératrice vaut: 1 1 2 IG Ω2G = IE NM ax 2 2 ⇐⇒ IG =

IE ' 13, 3kg.m2 k2

Question: 6. On considère dans un premier temps que la génératrice doit opposer un couple résistant constant CrG pour transformer l’énergie mécanique de l’éolienne en énergie électrique. A l’aide de l’équation dynamique et des résultats précédents, déduire la valeur de ce couple résistant CrG dû à la génératrice permettant à l’éolienne de s’arrêter au bout du temps T0 = 1s lorsqu’elle tourne à sa vitesse maximum NM ax et que le vent s’arrête brusquement.

Réponse: Lorsque le vent ne souffle plus, aucun couple moteur n’est fourni à l’éolienne, seul le couple résistant de la génératrice intervient. Si on écrit l’équation dynamique exprimée au niveau de la génératrice, on a: IG

dΩG = −CrG dt

En intégrant cette équation différentielle, on obtient l’expression de l’évolution de ΩG (t) au cours du temps: ΩG (t) = − 44

CrG t + ΩG0 IG

4.1

Calcul des caractéristiques mécaniques de l’éolienne

où ΩG0 représente la vitesse de rotation à t = 0, c’est-à-dire ΩG0 = kNM ax . On souhaite savoir quel doit être le couple résistant CrG afin que l’éolienne s’arrête au bout d’un temps t = T0 = 1s, il faut donc résoudre l’équation suivante: CrG × T0 + kNM ax = 0 ΩG (T0 ) = − IG kNM ax IG ⇐⇒ CrG = = 2, 78kN m T0 On en déduit qu’un couple résistant au niveau de la génératrice d’une valeur de CrG = 2, 78kN m permet d’arrêter l’éolienne lancée à pleine vitesse en un temps T0 = 1s.

Question: 7. En déduire la valeur du couple résistant CrP que le vent doit vaincre au niveau des pales.

Réponse: La vitesse au niveau des pales étant 100 fois inférieure à celle au niveau de la génératrice, le couple sera lui 100 fois supérieur: CrP = kCrG = 278kN m Question: 8. En déduire la valeur du couple entrainant CV ent que le vent doit fournir au niveau des pales pour maintenir l’éolienne en mouvement.

Réponse: Pour maintenir l’éolienne en mouvement, le vent doit donc vaincre ce couple résistant, sans quoi la vitesse diminuerait. Il faut donc que le vent applique le couple moteur suivant au niveau des pales: CV ent = CrP = 278kN m Question: 9. On considère que lorsque le vent souffle, la masse d’air traversant la surface S balayée par les pales perd la moitié de sa vitesse. La masse volumuque de l’air étant de ρair = 1, 225kg.m−3 , calculer la vitesse du vent vair permettant de maintenir l’éolienne en mouvement à sa vitesse maximum quand la génératrice impose le couple résistant CrG .

Réponse: Commençons par calculer la surface S balayée par les pales de l’éolienne: S = π(L + e)2 Ensuite, on considère que l’intégralité de l’énergie cinétique perdue par le vent en traversant la surface des pales est transmise à l’éolienne. Nous avons vu qu’en l’absence totale de vent, l’éolienne s’arrête en une seconde, c’est-à-dire que l’intégralité de l’énergie cinétique stockée est depensée en une seconde. Pour compenser cette perte d’énergie, il faut donc que le vent fournisse une énergie comparable pendant une seconde. Si on note ∆ECV ent la perte d’énergie cinétique du vent lorsqu’il traverse les pales, on peut donc écrire la condition pour que l’éolienne soit maintenue en mouvement de cette manière: ∆ECV ent = ECmax 45

4

ETUDE DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE D’UNE ÉOLIENNE (EXAMEN 2012)

v 2 1 air 2 ⇐⇒ Mair vair − = ECmax 2 2 3 2 ρair Vair vair = ECmax 8 où Mair représente la masse de l’air traversant les pales en une seconde et Vair représente le volume d’air traversant les pales en une seconde. Ce volume est calculé simplement comme étant un cylindre de surface S et dont la hauteur est la distance parcourue par le vent en une seconde, soit H = vair × t = vair . Ce volume vaut donc: Vair = S × H = π(L + e)2 × vair ⇐⇒

En remplaçant tout cela dans l’expression précédente, on peut ainsi déterminer la valeur de vair : 3 3 ρair π(L + e)2 vair = ECmax 8 s ⇐⇒ vair =

3

ECmax 3 8 ρair π(L +

e)2

' 11, 8m.s−1 ' 42, 6km.h−1

Ainsi, pour maintenir l’éolienne à sa vitesse maximum malgré le couple résistant de la génératrice, il est nécessaire que le vent souffle à une vitesse minimum de 42, 6km.h−1 .

Pour la suite, on donne les résultats suivants: • IE = 105 kg.m2 • Cvent = CrP = 200kN m

4.2

Calcul du comportement dynamique

On considère maintenant que le couple résistant imposé par la génératrice pour produire de l’énergie électrique est également constitué d’une composante proportionnelle à la vitesse. On peut donc écrire ce couple résistant de la manière suivante CG = CrG +CvG ΩG où ΩG est la vitesse de rotation de l’axe de la génératrice et CvG = 10N m.s−1 est le coefficient de frottement visqueux au niveau de la génératrice. On considère également que le vent souffle en rafale de manière périodique. Il souffle pendant T1 = 2s, appliquant à l’éolienne un couple entrainant Craf ale = 2 × Cvent deux fois supérieur au couple nécessaire au maintien de la vitesse de l’éolienne calculé dans la partie précédente, puis s’arrète brusquement Craf ale = 0 pendant un temps T2 = 0.5s.

Question: Tracer l’évolution de la vitesse de rotation des pales de l’éolienne pendant une rafale et déterminer l’énergie électrique totale produite par la génératrice pendant un temps τ = 1h.

Expression de l’équation dynamique Commençons par faire un bilan des forces subies par la génératrice.

Deux forces s’applique à ce niveau: le couple résistant CG et le couple moteur Cm fourni par les rafales et ramené C ale à la génératrice, c’est-à-dire Cm = raf . On peut donc écrire l’équation dynamique de l’éolienne au niveau de la k génératrice: dΩG Craf ale IG = − CG dt k

2Cvent G − (CrG + CvG ΩG ) IG dΩ dt = k ⇐⇒ dΩG IG dt = − (CrG + CvG ΩG ) 46

4.2

Calcul du comportement dynamique

La première équation décrivant l’équation dynamique lorsque le vent souffle et la seconde lorsque le vent ne souffle plus. On peut réécrire ces deux équations différentielles sous la même forme: IG

⇐⇒

avec Cglobal =

2Cvent k

dΩG + CvG ΩG = Cglobal dt

CvG Cglobal dΩG + ΩG = dt IG IG

− CrG > 0 quand le vent souffle et Cglobal = −CrG < 0 quand le vent ne souffle plus.

Résolution générale de l’équation dynamique On peut alors résoudre cette équation différentielle sous sa forme global et on s’intéressera par la suite au deux différents cas de figure. On cherche tout d’abord la solution générale sans second membre: −

ΩG (t) = Ke

CvG IG

t

à laquelle on ajoute la solution particulière, trouvée en cherchant une valeur de ΩG constante, c’est-à-dire pour C G laquelle dΩ = 0. Il vient évidemment que cette solution particulière est ΩG = Cglobal . L’expression de ΩG dt vG complète est donc: −

ΩG (t) = Ke

CvG IG

t

+

Cglobal CvG

où K est la constante d’intégration qui dépendra des conditions initiales à chaque nouvelle rafale.

Etude sur les premières rafales Lors de la première rafale, on sait que l’éolienne est à l’arrêt (ΩG0 = 0) et le C couple Cglobal = 2Cvent − CrG . On trouve donc facilement K = ΩG0 − Cglobal et donc l’expression de ΩG (t) pendant k vG cette première rafale:

ΩG (t) =

ΩG0 −

2Cvent − kCrG kCvG

⇐⇒ ΩG (t) =

e

−

2Cvent − kCrG kCvG

CvG IG

t

+

2Cvent − kCrG kCvG

C − vG t 1 − e IG

En traçant l’évolution de cette vitesse de rotation sur la durée de la rafale, on obtient la figure suivante: 47

(4.1)

4

ETUDE DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE D’UNE ÉOLIENNE (EXAMEN 2012)

On peut également calculer la valeur de la vitesse de rotation de la génératrice à la fin de la rafale (T1 = 2s):

ΩG (2) =

2Cvent − kCrG kCvG

1−e

−

CvG IG

T1

' 173rad.s−1

Pendant la phase suivant la rafale, le vent ne souffle plus. L’expression de la vitesse de rotation de la génératrice sera alors: −

ΩG (t) = Ke

CvG IG

t

−

CrG CvG

Sachant qu’au début de l’arrêt de la rafale (t = 0), la vitesse de rotation de la génératrice est de ΩG1 = 173rad.s−1 , CrG on peut en déduire la valeur de la constante d’intégration K = ΩG0 + C . On peut ainsi écrire l’expression complète vG de la vitesse de rotation de la génératrice pendant cette phase:

ΩG (t) =

CrG ΩG1 + CvG

e

−

CvG IG

t

−

CrG CvG

(4.2)

En traçant l’évolution de cette vitesse de rotation sur la durée d’arrêt de la rafale, on obtient la figure suivante: 48

4.2

Calcul du comportement dynamique

On peut également calculer la valeur de la vitesse de rotation de la génératrice au début de la prochaine rafale (T2 = 0, 5s):

ΩG (t) =

ΩG1 +

CrG CvG

e

−

CvG IG

T2

−

CrG ' 26, 2rad.s−1 CvG

Sachant que la vitesse des pales de l’éolienne est 100 fois plus faible que celle de la génératrice, on peut tracer l’évolution pendant la première rafale complète de ΩP (t) = ΩGk(t) : En effectuant à nouveau les calculs pour les 4 rafales suivantes, on remarque que l’éolienne finit par atteindre un régime permanent périodique: 49

4

ETUDE DU COMPORTEMENT MÉCANIQUE D’UNE ÉOLIENNE (EXAMEN 2012)

Etude du régime permanent On constate donc qu’après quelques rafales, l’évolution de la vitesse de rotation suit un comportement périodique. Considérons une période de fonctionnement en régime permanent. Notons ΩGini la vitesse de la génératrice au début de la rafale, ΩGint la vitesse de la génératrice après les 2s de rafale et ΩGf in la vitesse de la génératrice à la fin de la période de fonctionnment. Comme le fonctionnement est périodique la vitesse de la génératrice à la fin d’une période est la même qu’au début ΩGini = ΩGf in . Réécrivons les équations 4.1 et 4.2 décrivant le comportement de la vitesse de la génératrice pendant les deux temps d’une période: 

C t −kCrG  ΩG (t) = ΩG0 − 2Cvent −kCrG e− IvG G + 2Cvent kCvG kCvG

CvG  Ω (t) = Ω + CrG e− IG t − CrG G G1 CvG CvG En écrivant la première équation au temps T1 = 2s et la seconde équation au temps T2 = 0, 5s, on obtient un système de deux équations dont les deux inconnues sont ΩGint et ΩGf in : 

C T1 −kCrG  ΩG (T1 ) = ΩGint = ΩGf in − 2Cvent −kCrG e− IvG G + 2Cvent kCvG kCvG

CvG − I T1 CrG CrG  Ω (T ) = Ω G −C G 2 Gf in = ΩGint + CvG e vG En résolvant ce système d’équation, on trouve les vitesses extremums de la génératrice en régime permanent:  ! C !

C C − vG T1 − vG T2 − vG T2 2Cvent −kCrG C   1−e IG e IG − CrG 1−e IG kCvG  vG  ΩGf in = ' 28, 5rad.s−1 C − vG (tf in +tint ) I G 1−e 

C   T1 −kCrG  ΩGint = ΩGf in − 2Cvent −kCrG e− IvG G + 2Cvent ' 177rad.s−1 kCvG kCvG Et on en déduit celle de l’éolienne:

Ω in ΩEf in = Gf ' 0, 285rad.s−1 = 2, 72tour.min−1 k ΩGint ΩEint = k ' 1, 77rad.s−1 = 16, 9tour.min−1 50

4.2

Calcul du comportement dynamique

Estimation de l’énergie électrique produite par l’éolienne On considère que l’intégralité de l’énergie mécanique reçue du vent par l’éolienne est transformée en énergie électrique par la génératrice.

On sait que la puissance mécanique transmise à la génératrice s’écrit P = CG (t)ΩG (t) = CrG ΩG (t) + CvG Ω2G (t).

Commençons par estimer une valeur moyenne de cette puissance pour avoir une idée approximative de l’énergie produite. Pour simplifier, on approximera les exponentielles des courbes précédentes par des droites: Pm ' CrG

Ω2Gint − Ω2Gf in ΩGint − ΩGf in + CvG = 300kW 2 2

Soit une énergie produite pendant une heure de l’ordre de: Etot = 300kW.h = 1GJ Gardons cet ordre de grandeur en tête pour comparer avec le calcul précis de l’énergie produite qui suit.

Calcul précis de l’énergie électrique produite par l’éolienne On sait que la puissance mécanique transmise à la génératrice s’écrit P = CG (t)ΩG (t) = CrG ΩG (t) + CvG Ω2G (t). On peut intégrer la puissance sur une heure de fonctionnement afin de connaitre l’énergie pendant cette heure-là: Etot

ˆ2,5 = 24 × 60 × CrG ΩG (t) + CvG Ω2G (t)dt 0

Cependant, ce calcul fait au niveau de la génératrice est (relativement) complexe et il peut être plus simple de calculer l’énergie fournie par le vent au niveau de l’éolienne. Dans ce cas, l’énergie totale fournie par le vent pendant une heure s’écrit: ˆ2 Etot = 24 × 60 × 2Cvent ΩE (t)dt 0

ˆ2 ⇐⇒ Etot = 2880 × Cvent

ΩG (t) dt k

0

⇐⇒ Etot

Cvent = 2880 × k

ˆ2

2Cvent − kCrG ΩGf in − kCvG

e

−

CvG IG

t

2Cvent − kCrG + dt kCvG

0

C 2 Cvent IG 2Cvent − kCrG 2Cvent − kCrG − vG t − ΩGf in − e IG + t k CvG kCvG kCvG 0

C 2 Cvent IG 2Cvent − kCrG 2Cvent − kCrG − vG t = 2880 × − ΩGf in − e IG + t k CvG kCvG kCvG 0

⇐⇒ Etot = 2880 × ⇐⇒ Etot

⇐⇒ Etot ' 1, 45GJ L’énergie produite par l’éolienne pendant une heure est donc d’environ Etot = 1, 45GJ. On constate ainsi que l’approximation faite précédemment, bien que correcte sur l’ordre de grandeur, est assez peu précise sur la valeur exacte.

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