Matemรกtica
7 Bรกsico
Herramientas para el aprendizaje escolar
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Derechos Reservados Pontificia Universidad Cat贸lica de Chile Inscripci贸n N潞 213.383
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Matemรกtica
7 Bรกsico Herramientas para el aprendizaje escolar Proyecto desarrollado por:
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INDICE Introducción al proyecto: ¿Cómo surgió el Proyecto de Estándares para Maipú?.......................................................................
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Estándares de Aprendizaje de 7° básico en Matemática: Estándares de Números
1. N1....................................................................................................................................... 2. N2....................................................................................................................................... 3. N3....................................................................................................................................... 4. N4....................................................................................................................................... 5. N5....................................................................................................................................... 6. N6....................................................................................................................................... 7. N7....................................................................................................................................... 8. N8....................................................................................................................................... Estándares de Geometría
9. G1...................................................................................................................................... 10. G2.................................................................................................................................... 11. G3.................................................................................................................................... 12. G4.................................................................................................................................... Estándares de Medición
13. M1..................................................................................................................................... 14. M2..................................................................................................................................... 15. M3..................................................................................................................................... 16. M4...................................................................................................................................... Estándares de Álgebra
17. A1....................................................................................................................................... 18. A2....................................................................................................................................... 19. A3...................................................................................................................................... Estándares de Datos y Azar
15 19 23 27 31 35 39 43 49 53 57 61 67 71 75 79 85 89 93
99 105 109
20. DYA1.................................................................................................................................. 21. DYA2.................................................................................................................................. 22. DYA3..................................................................................................................................
Glosario........................................................................................................................................................113 Bibliografía................................................................................................................................................117 5
Introducción al proyecto
INTRODUCCIÓN AL PROYECTO ¿Cómo surgió el Proyecto de Estándares para Maipú?
Los desafíos actuales en términos educativos deman-
central en este sentido contar con metas de aprendiza-
dan a las escuelas y los sostenedores gestionar con
je explícitas para cada nivel escolar y apoyar a los do-
foco en el aprendizaje de todos los estudiantes. En ese
centes para lograrlas. (b) Evaluaciones Comunales, que
contexto, la Corporación Municipal de Educación de
se implementan cada año en todas las escuelas y liceos,
Maipú ha enfatizado el generar herramientas que per-
y que permiten medir los logros de aprendizaje como
mitan liderar y apoyar los procesos centrales de las es-
insumo para mejorar. (c) Fondo Concursable para Pro-
cuelas, relevando el aporte de los docentes en la tarea
fesores Innovadores, que por cinco años consecutivos
de hacer posible el aprendizaje y desarrollo de todos.
ha permitido a los docentes de los colegios municipales
Este reto ha sido asumido por la comuna a través de un
postular proyectos de aula, con foco en mejorar apren-
PROYECTO ESTRATÉGICO 2010-2012, que se basa en
dizajes e instalar buenas prácticas innovadoras en las salas
tres pilares:
de clase.
I.Educación Garantizada. El propósito de este pilar
6
es garantizar aprendizajes a todos los estudiantes prin-
II.Sello Distintivo. Todas las escuelas han definido su
cipalmente a través de: (a) Estándares de Aprendiza-
sello distintivo, aquello en lo cual quieren ser las me-
je, proyecto que surge de la convicción que todos los
jores, e implementan acciones para fortalecerlo en el
estudiantes pueden lograr aprendizajes de calidad en
contexto de su proyecto estratégico. El sello de cada es-
la medida que el sistema escolar los desafía, y que es
cuela se entiende como una variable de competitividad
diferenciadora que se suma a garantizar aprendizajes, y
en Lenguaje y Matemática desde 1° Básico a 4° Me-
que refiere a énfasis artísticos, deportivos, académicos
dio, para cuyos efectos la Corporación Municipal de
u otros, con el fin de promover una educación integral.
Educación de Maipú encarga al Programa de Estudios y Desarrollo de Talentos PENTA UC, la realización del proyecto, el cual es desarrollado por un grupo de pro-
III.Gestión para el aprendizaje. El propósito de este
fesionales del Programa, a quienes se incorporan selec-
pilar es orientar la gestión de todas las escuelas al ser-
tos expertos en las áreas de Matemática y Lenguaje, en
vicio de los aprendizajes, apoyando la articulación en el
conjunto con el equipo de la Corporación Municipal de
aula. Este pilar se materializa en una planificación por
Educación de Maipú.
colegio a partir de objetivos estratégicos para todo el sistema, foco permanente en implementar y desplegar
Junto con dar asesoría y apoyo en Educación de Ta-
lo planificado, un plan de capacitación y un programa
lentos a familias (padres de niños académicamente
de incentivos a la asistencia y resultados SIMCE de cada
talentosos) e instituciones educacionales interesadas
escuela.
en incorporar la Educación de Talentos a sus aulas, el Programa de Estudios y Desarrollo de Talentos PENTA
En este contexto, donde el énfasis transversal del sis-
UC es un programa interdisciplinario que busca gene-
tema educativo es avanzar en calidad, surge la defini-
rar conocimiento científico de trascendencia, nacional
ción e implementación de Estándares de Aprendizaje
e internacional sobre el talento académico; aumentar
7
el interés público en torno a la necesidad de desarrollar
ñados de actividades de aprendizaje y tareas de eva-
el potencial de los niños con talento académico; y pro-
luación que permitirán a los profesores implementar
mover el desarrollo de políticas públicas que favorezcan
un trabajo de aula orientado al logro de las metas de
la oferta de servicios educacionales y psicológicos para
aprendizaje que se propongan, siendo la meta central
los niños y jóvenes talentosos, en especial de sectores
impactar en el aprendizaje de los estudiantes.
socioeconómicos menos favorecidos. La definición de los estándares de aprendizaje, toma Durante 10 años PENTA UC ha desarrollado un modelo
como referencia los instrumentos curriculares vigentes,
de excelencia en gestión de proyectos educacionales,
marco curricular, mapas de progreso y niveles de logro,
lo que le permite explorar ámbitos más allá de la edu-
y funcionan como un elemento articulador para guiar a
cación de talentos, y contribuir, con su experiencia, al
los docentes en su trabajo de aula en función de metas
desarrollo de nuevos modelos de prácticas educativas.
comunes para todas las escuelas, las que representan un desafío de aprendizaje tanto para la enseñanza del
El objetivo principal de este proyecto es poder apoyar la
docente como para los estudiantes.
labor de los profesores en el aula, por lo cual incorpora a los docentes de las escuelas tanto en su desarrollo, a
El proyecto de estándares de aprendizaje en Lenguaje
través de instancias de validación, como en su imple-
y Matemática para las escuelas municipales de Maipú,
mentación, donde en una primera etapa los profesores
es una iniciativa innovadora en términos de generar he-
serán acompañados en sus aulas en el uso y despliegue
rramientas concretas que permitan garantizar aprendi-
de los estándares en ambos sectores.
zajes para todos los estudiantes, y desafiar al sistema en términos de sus procesos y resultados. Esta iniciativa
8
La relevancia que tiene la implementación de estánda-
es parte del esfuerzo integral de mejoramiento que la
res de aprendizaje está connotada por la herramienta
Corporación está desarrollando en su proyecto estraté-
de apoyo que se proveerá para trabajar por el logro de
gico, y se suma a las diversas acciones comunales que
estos estándares. Por ello, los estándares van acompa-
ya está implementando.
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Estándares de Matemática
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA 1.Ejes a desarrollar (5): Números Geometría Medición Álgebra Datos y Azar
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EJE DE NÚMEROS
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ESTÁNDAR El alumno conoce los números enteros.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 1. Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales.
CMO: 1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al conjunto de los números enteros y caracterización de estos últimos.
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ESTÁNDAR 1: EJE DE NÚMEROS PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Identifica situaciones numéricas
Ordena en la recta numérica, al-
Crea situaciones representadas
que no son representables por lo
gunos números negativos y los
por números enteros negativos.
números naturales.
relaciona como simétricos de los naturales.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Reconocer situaciones diarias
-Escribir números negativos se-
-Idear situaciones cotidianas en las
de uso de números que no son
cuenciales.
que los resultados son enteros ne-
naturales.
-Identificar los números enteros
gativos.
-Identificar ciertos números en-
negativos con su simétrico.
-Idear situaciones cotidianas en las que los resultados son enteros
teros negativos en situaciones
positivos y negativos y comparar
dadas.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS
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resultados.
-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE
1. Calcular 7-9, 12-15, etc. 2. ¿Cómo es posible plantear un problema de subir en un ascensor de un edificio, que tiene 8 pisos y 2 subterráneos para estacionamiento, si una persona debe bajar desde el 7º piso al segundo estacionamiento todas la mañanas, para ir a su trabajo? 3. Si la temperatura en Junio a las 5 de la mañana es de 5 grados y bajó 7 grados a las 8 de la mañana, ¿cuántos grados hay a las 8 de la mañana?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales mediante ejercicios de planteamiento de ecuaciones que no tiene solución en los reales. Este tipo de evaluaciones ser revisadas por todo el curso en una puesta en común.
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ESTÁNDAR El alumno opera con números enteros.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 2. Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus propiedades y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números, aplicándolas en diversas situaciones.
CMO: 2. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros, empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo, y su aplicación en la resolución de problemas.
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ESTÁNDAR 2: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Identifica la suma y diferencia de
Establece relaciones entre la suma
Resuelve problemas de soluciones
números enteros y calcula suma
de números enteros de igual signo
en el conjunto de los enteros. Dis-
y diferencia de números enteros.
y la diferencia.
crimina acerca de la validez de las
Argumenta sobre la necesidad
soluciones obtenidas en cuanto al
del uso del neutro e inverso adi-
signo de la solución.
tivo y lo aplica a la resolución de problemas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Determinar y conjeturar la suma
-Relacionar suma y diferencia en
-Resolver problemas que implican
y la diferencia de enteros en situa-
los naturales con el resto de los
uso de inversos con operaciones
ciones cotidianas.
enteros.
de enteros.
-Escribir suma y diferencia de en-
-Discriminar acerca de la validez de
teros en término de suma de nú-
las soluciones obtenidas en cuanto
meros.
al signo de la solución.
-Calcular suma de números enteros del mismo signo y de distinto signo. -Relacionar el neutro y el inverso aditivo en problemas dados.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular: 3+4; -3+(-6), -3+7, 6+(-4). 2. Calcular: [-7+(-6)+9]; -7+ [ (-6)+9]; [-7+(-6)] +9. 3. Calcular: (-3) - 4+(-1)+9, (-3) –[ 4+(-1)+9]¸ -3 - 4+[(-1)+9]. 4. Le debo $2500 a mi hermano. Si le pagué $1200 el mes pasado y ahora le pago $700, ¿cuánto me falta por pagarle?
En un nivel 3, se puede pedir a los alumnos determinar un numero entero “x” tal que: a. x-2=-6 b. x+4=-6 c. 3. x = -9
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos calcular sumas y diferencias de números enteros. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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22
ESTÁNDAR El alumno establece relaciones de orden y representa enteros en la recta numérica.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 2. Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus propiedades y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones.
CMO: 3. Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos, considerando comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros positivos y negativos, utilizando la simbología correspondiente.
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ESTÁNDAR 3: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Representa los números enteros
Resuelve problemas que obligan
Ordena operaciones entre en-
en la recta numérica y compren-
a la ordenación de enteros y a
teros, y deduce relaciones de
de la relación de orden y estable-
compararlos.
orden en términos de una ope-
ce relaciones de orden cualquier
ración.
par de números enteros.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Escribir distintos números en-
-Ordenar secuencias de números
-Ordenar operaciones entre ente-
teros
negativos y positivos entre ellos.
ros.
-Resolver problemas que obliguen
-Deducir relaciones de orden en
a ordenar enteros.
términos de una operación.
en la recta observando
especialmente el caso de los negativos. -Representar números enteros en la recta numérica y determinar la relación de orden entre ellos. -Ordenar pares de números negativos y positivos
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Ordena de menor a mayor los siguientes enteros: -12, 3, -4 5, -7 9, 0, -13, -9 6. 2. Ubicados en la recta real , los números a y b, se puede deducir que:
-5 -4 a -1 b a<0, a>b , a<-1 , b<-1 , b>-4, b<a , a>-4. ¿Cuáles de las desigualdades anteriores son ciertas? 3. Poner el signo <, > o = , según corresponda: -2+3 __ -2+5 , -2-3 __ -2-5 , -2+3- 4 __ -2+6 -4 , 3-5-6 __ 3-5+1. 4. Si se sabe que a-4 < b-4, ¿qué se puede deducir en cuanto a la relación entre a y b? 5. Si se sabe que 10-a < 10-b, ¿qué se puede deducir en cuanto a la relación entre a y b?
En un nivel 3, se puede pedir a los alumnos que deduzcan relaciones del tipo: a < b a+c < b+c Comenzar estableciendo la relación para c=1, c=-1, etc. y luego generalizar.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos ubicar los puntos en la recta real, calcular suma y diferencia de números enteros y comparar los resultados. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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ESTÁNDAR El alumno opera con potencias y conjetura sobre propiedades de ellas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 4. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero. Conjeturar y verificar algunas de sus propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas.
CMO: 4. Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural. Establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente. Formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones.
4
27
ESTÁNDAR 4: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Identifica la potencia de expo-
Aplica el producto de potencias
Resuelve problemas de potencias
nente natural en los casos en
a situaciones diversas.
y estima resultados coherentes
que la base es un natural, una
con el contexto de un problema.
fracción o un decimal. Establece y verifica conjeturas al producto y división de potencias.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular potencias de base na-
-Aplicar el producto de potencias
-Estimar resultados coherentes con
tural o fracción o decimal y ex-
en distintas situaciones y con bases
el contexto de un problema.
ponente natural.
de distinto tipo.
-Establecer y verificar conjeturas al producto y división de potencias. -Describir la estrategia utilizada para multiplicar y dividir potencias.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Potencias.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Tengo 5 cajas con 5 estuches, cada uno con 5 lápices, ¿cuántos lápices tengo? 2. Calcular: 28 /7 , ( 3 · 4 )/(9 · 8 ) , (4 · 5 )6 /(20) 3. Escribir los números siguientes usando sólo potencias de números primos: 900 , 1800 , 4356 , 9800 4. Calcular: (2/3) /(4/3)
, [(4/9) :(27/2) ]
En un nivel 3, deducir, por ejemplo alguna propiedad como: a)
b)
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de potencias de base enteros, fracciones o decimales y exponente natural. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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30
ESTÁNDAR El alumno conoce el concepto de raíz cuadrada y las calcula.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 5. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo, calcular o estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos.
CMO: 5. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias de exponente 2 y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos simples o de cálculo, utilizando herramientas tecnológicas, en situaciones que implican la resolución de problemas.
5 31
ESTÁNDAR 5: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Realiza cálculos de potencias de
Calcula mentalmente raíces cua-
Resuelve problemas no rutina-
exponente 2 y lo usa para el cál-
dradas y estima raíces inexactas.
rios cuya solución aparece extra-
culo de raíces cuadradas.
yendo raíz cuadrada.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular por escrito, cuadrados
-Calcular mentalmente raíces de
-Fundamentar el uso de la raíz cua-
de números y deducir la raíz del
números simples que son cuadra-
drada para determinar el valor des-
resultado.
dos perfectos.
conocido en un problema dado.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Raíz cuadrada.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular usando la definición:
2. Calcular usando las propiedades de las raíces:
3.¿Cuál es el valor de la diagonal de un cuadrado cuya área es de 16
cm2?
En un nivel 3 plantear ejercicios como: a.Determinar x en R, si x2=25. b.Determinar entre que números enteros, se ubica .
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos calcular raíces cuyo resultado es un número exacto y ejercicios de aplicación de las propiedades de las raíces. Este tipo de evaluaciones pueden serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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34
ESTÁNDAR El alumno expresa proporciones, las opera y las relaciona con porcentajes.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 3. Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación proporcional en diversos contextos.
CMO: 6. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma proporcional, y su aplicación en diversas situaciones, por ejemplo, en el cálculo de porcentajes.
6
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ESTÁNDAR 6: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Interpretación y uso de razones
Expresa variaciones como pro-
Resuelve problemas de porcen-
expresadas de diferentes mane-
porciones. Deduce las propieda-
tajes como proporciones. Aplica
ras. Identifica diferentes razones
des de las proporciones.
los resultados al reparto propor-
de magnitudes dadas que varían
cional directo.
en forma proporcional. Resuelve problemas de porcentajes como proporciones.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Establecer razones entre partes
-Expresar variaciones como pro-
-Resolver problemas de porcenta-
de una colección u objeto y en-
porciones.
jes como proporciones.
tre una parte y el todo.
-Deducir las propiedades de las
-Conocer y usar el reparto propor-
proporciones.
cional directo a la resolución de
-Interpretar y usar razones expresadas de diferentes maneras
Nivel 3
problemas.
e identificar variaciones proporcionales entre datos. -Interpretar porcentajes como proporciones.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Proporciones y porcentajes.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.Decidir si las razones siguientes forman o no una proporción:
2. Determinar el término que falta en cada proporción:
3. Si 2 bicicletas iguales cuestan $92.000, ¿cuánto costarán 7 bicicletas? 4.Un pantalón que vale $12000, ha sido rebajado en un 20%, ¿de cuánto dinero es la rebaja? ¿cuál será el precio a pagar? En un nivel 3, se pueden plantear problemas del tipo: A una persona se le ha aumentado su sueldo en $35.000, si esto corresponde al 7% de aumento. ¿Cuánto ganaba antes del aumento? ¿Cuánto gana ahora?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de determinación de proporciones, de proporción directa y de porcentajes. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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38
ESTÁNDAR El alumno trabaja con potencias de 10 y las relaciona con los decimales.
OF y CMO ASOCIADOS
OF: 4. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero, conjeturar y verificar algunas de sus propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas.
CMO: 7. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero.
7 39
ESTÁNDAR 7: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Asocia una potencia de base 10
Calcula producto y cociente de
Resuelve problemas que involu-
con exponente positivo o negati-
potencias de base 10.
cran grandes cantidades o canti-
vo a cada posición en el sistema
dades muy pequeñas que deben
de numeración. Aplica las poten-
ser escritas en términos de po-
cias de 10 para representar nú-
tencias de 10.
meros decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular producto de potencias
-Multiplicar y dividir potencias de
-Resolver problemas que involu-
de base 10 y reconocer la rela-
base 10.
cran grandes cantidades o canti-
ción entre los exponentes y la
-Relacionar el cociente de poten-
dades muy pequeñas que deben
cias de base 10 con los decimales.
ser escritas en términos de poten-
cantidad de ceros. -Aplicar las potencias de 10 para
cias de 10.
representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
40
-Potencias de base 10.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.Calcular:
a)105 · 107· 102, b) 10-4 · 10-6· 107, c) 2 · 105 + 4 · 106- 12 · 103. 2.Calcular:
(480.000.000) · (24.000.000) Y expresar el resultado en término de potencias de 10. 3.Escribir los siguientes números como un número decimal con un solo entero:
345.000.000.000; 24500 · 24000.000; 12000 · 120000. 4.Investigar magnitudes que sólo pueden ser escritas como producto de potencias de 10. En un nivel 3, se puede plantear, calcular:
0,000005 x 0,0000024 0,0000025 x 0,0006 x 0,002
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de potencias de 10, escritura de grandes números y de muy pequeños. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase, así como los resultados pueden ser revisados por todo el curso en una puesta en común.
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42
ESTÁNDAR El alumno resuelve problemas que combinan los conceptos aprendidos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 13. Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar las habilidades propias del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, utilizando los contenidos del nivel. Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer la realidad.
CMO: 8. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros, proporciones, potencias y raíces como las estudiadas, enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema.
8 43
ESTÁNDAR 8: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Resuelve problemas en contex-
Evalúa la validez de las estrate-
Idea problemas cuya resolución
tos diversos en que se utilizan
gias planteadas en relación con
obligue a plantear operaciones
adiciones y sustracciones con
la pregunta, los datos y el con-
combinadas de números ente-
números enteros, proporciones,
texto del problema.
ros..
potencias y raíces. Analiza estrategias de resolución de problemas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Sumar y restar números enteros
-Evaluar en diferentes problemas la
-Idear problemas cuya resolución
en diferentes problemas dados.
validez de los datos obtenidos, la
obligue a plantear operaciones
-Resolver problemas que involu-
forma de expresión de éstos y su
combinadas de números enteros.
cran proporciones, potencias y
pertinencia.
raíces de números enteros. -Formular estrategias de resolución para operaciones combinadas de números enteros.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
44
-Números enteros, proporciones y raíces.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Le debo $1.000 a mi hermano y le pagué $350, que es el triple de la deuda. ¿Cuánto le pedí prestado?
2. Calcular: 2 4 4 -3 (-3) x (-3) (-5) (-5) -2
5
(-3) x (-3)
-3
(-5)
:
6
(-5)
[-4 + (-3) 2 ]
X
[-4-(-3) 2 ]
3. Resolver las operaciones siguientes, primero resolviendo dentro del paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva, comparar los resultados y determinar qué estrategia es más simple:
a) (-5) X [(-2)+14] b) b) (-3) X [6+(-3)] 4. Calcular:
(2 - 3) 2 X (1+ 3) X (3 + 3 )2, ( 5 +1) X ( 5 -1) : (5 + 5)2 En un nivel 3, plantear ejercicios como: 1. Si un triángulo rectángulo tiene área igual a 8 el otro cateto? 2. ¿Cuál es la media proporcional entre 1 y 4?
3 cm2
y si la hipotenusa mide el doble de un cateto, ¿cuánto mide
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de operaciones combinadas de números enteros. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos por todo el curso en una puesta en común.
45
46
EJE DE GEOMETRÍA
47
48
ESTÁNDAR El alumno construye ángulos y elementos asociados a éstos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 7.- Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares, en forma manual y usando procesadores geométricos.
CMO: 12. Transporte de segmentos y ángulos, construcción de ángulos y bisectrices de ángulos, construcción de rectas paralelas y perpendiculares, mediante regla y compás o un procesador geométrico.
1 49
ESTÁNDAR 1: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Construye segmentos y ángulos
Comprueba propiedades de án-
Idea problemas de bisectrices y
y bisectrices de ángulos. Cons-
gulos y bisectrices.
de rectas paralelas.
truye rectas paralelas y perpendiculares.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Construir segmentos y ángulos
-Comprobar propiedades de án-
-Idear problemas de bisectrices y
con un rayo en el segmento.
gulos y bisectrices.
de rectas paralelas.
-Construir bisectrices de ángu-
-Comprobar propiedades de rec-
los.
tas paralelas y perpendiculares.
-Construir rectas paralelas y perpendiculares.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
50
-Ángulos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Dado el ángulo que se muestra, construir usando regla y transportador, un ángulo que tenga la misma medida y luego construir dos rectas que se corten formando un ángulo de 30 °.
30 2. Construir la bisectriz del ángulo dado, comprueba con el transportador que el ángulo quedó dividido en dos partes iguales. 45 3. Construye dos recta paralelas cortadas por una transversal, como se muestra, mide todos los ángulos y marca con colores los que tiene la misma medida.
4. Construye un triángulo rectángulo, traza las bisectrices de sus ángulos y observa en que punto se cortan. x En un nivel avanzado, pedir a los alumnos:
1.Construir un ángulo
XOY, como se muestra:
0
y
2.Trazar la circunferencia de centro X y que pasa por O, y luego la circunferencia de centro Y y que pasa por O, llamar por P al punto de intersección. Trazar el rayo OP , demostrar que OP es la bisectriz del ángulo XOY.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios construcción de ángulos. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos por todo el curso en una puesta en común.
51
52
ESTÁNDAR El alumno conoce sobre construcciones de triángulos, condiciones de existencia y formas de construirlos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 7. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares, en forma manual y usando procesadores geométricos.
CMO: 13. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos. Determinación del punto de intersección de las alturas, transversales de gravedad, bisectrices y simetrales en un triángulo, mediante construcciones con regla y compás o un procesador geométrico.
2 53
ESTÁNDAR 2: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce las condiciones necesa-
Determina bajo qué condiciones
Determina para casos simples,
rias para construir un triángulo
no es posible construir un trián-
condiciones para las cuáles hay
a partir de las medidas de sus
gulo a partir de las medidas de
más de una solución y en cuáles
lados y de sus ángulos, conoce
sus lados y de sus ángulos.
hay única solución.
los elementos secundarios del triángulo. Determina puntos de intersección de las alturas, transversales de gravedad, bisectrices y simetrales en un triángulo.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
de
-Conocer la desigualdad triangular
-Determinar condiciones para las
triángulos conocidos lados y án-
como condición básica para cons-
cuáles hay más de una solución.
gulos.
truir triángulos.
-Determinar condiciones para las
-Construir triángulos y determinar
cuáles hay única construcción.
-Conocer
construcciones
-Conocer los elementos secundarios del triángulo y sus características básicas.
los puntos de intersección de sus elementos secundarios.
-Determinar puntos de intersección de las alturas, transversales de gravedad, bisectrices y simetrales en un triángulo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
54
-Triángulos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Construir un triángulo ABC, dadas las medidas AB, BC y AC. Si AB=BC, ¿qué tipo de triángulo resulta? 2. Construir un triangulo isósceles usando una circunferencia. 3. Si quisieras construir un triángulo ABC, dadas la medidas AB y BC, ¿qué condición debe tener el lado AC? 4. Construir un triángulo ABC, dadas la medidas AB, BC y ABC, ¿qué condiciones debe tener el ángulo para se pueda determinar el ABC, ¿hay alguna condición para que la construcción no sea única?
ABC
5. Determinar cuáles serían las mínimas condiciones para construir un triángulo rectángulo. En un nivel 3, se puede pedir a los alumnos determinar las condiciones para construir un triángulo dada una altura, la base correspondiente y un ángulo basal.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales de construcciones de triángulos de forma de crear discusiones de la cantidad de soluciones y la manera de construirlos. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas por todo el curso en una puesta en común.
55
56
ESTÁNDAR El alumno conoce el teorema de Pitágoras, el teorema recíproco de Pitágoras y los aplica.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 8. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.
CMO: 14. Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras, del teorema recíproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos.
3 57
ESTÁNDAR 3: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce el teorema de Pitágoras,
Aplica el teorema de Pitágoras y
Crea problemas que utilizan el
el teorema recíproco de Pitágo-
el recíproco de Pitágoras a situa-
teorema de Pitágoras o el recí-
ras y su aplicación.
ciones concretas.
proco de Pitágoras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer el teorema de Pitá-
-Aplicar el teorema de Pitágoras a
-Crear problemas que utilizan el
goras y comprobarlos en casos
situaciones concretas de búsqueda
teorema de Pitágoras o el recípro-
dados.
de la hipotenusa o de un cateto.
co de Pitágoras.
-Conocer el teorema recíproco de Pitágoras y comprobarlos en casos dados.
-Aplicar el teorema recíproco de Pitágoras a situaciones concretas poder concluir que un triángulo es rectángulo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
58
-Teorema de Pitágoras.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y un cateto mide 9 cm, ¿cuánto mide el otro cateto? 2. En un triángulo sus lados miden 5cm, 12 cm y 13 cm, ¿el triángulo es rectángulo? 3. ¿Cuánto mide al área de un rectángulo si una diagonal mide 17cm y un lado mide 8cm? 4. Un triángulo equilátero tiene 8 cm de lado. Calcular su área. En un nivel 3, pedir a los alumnos determinar en cada caso el valor de x.
17
x
8
x 12
5
125
2x
x
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios aplicación del teorema de Pitágoras y del recíproco de Pitágoras. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
59
60
ESTÁNDAR El alumno conoce los prismas rectos, las pirámides y sus volúmenes.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 9. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativos a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
CMO: 15. Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides, y, aplicación a situaciones significativas.
4
61
ESTÁNDAR 4: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce prismas rectos de base
Obtiene el volumen de sólidos
Aplica los volúmenes conocidos
rectangular o triangular y aplica
que son combinaciones de pris-
a situaciones especiales de cuer-
el volumen a situaciones signifi-
mas de base rectangular o trian-
pos que son combinaciones de
cativas.
gular.
prismas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Formar prismas de base rectan-
-Obtener el volumen de sólidos
-Aplicar los volúmenes conocidos
gular o triangular.
que son combinaciones de prismas
a situaciones especiales de cuer-
-Calcular volumen de prismas
de base rectangular o triangular.
pos que son combinaciones de
rectos de base rectangular o
prismas.
triangular. -Aplicar el volumen de prismas rectos a problemas significativos.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
62
-Prismas rectos y pirámides.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. ¿Cuántos cubos de 1cm3 se deben utilizar para formar un prisma de base rectangular de 5cm por 4cm y de altura 7cm? 2. Un prisma triangular, tiene altura 10cm y base un triángulo rectángulo de hipotenusa 13cm y un cateto de 5 cm, calcular su volumen. 3. Un prisma rectangular se corta en dos partes a los largo, de donde se forma dos prismas triangulares de base un triángulo rectángulo de área 12cm2, si el volumen del prisma triangular es 36cm3, ¿cuál es el volumen del prisma rectangular? 4. Calcular el volumen de una pirámide de base cuadrada de 4cm de lado y altura 6cm. En un nivel 3, pedir a los alumnos, calcular el volumen de una pirámide, sabiendo que la base es cuadrada de 8cm y las caras son triángulo de altura 17 cm.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales mediante ejercicios de cálculo de volúmenes de prismas. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos por todo el curso en una puesta en común.
63
64
EJE DE MEDICIÓN
65
66
ESTÁNDAR El alumno usa la desigualdad triangular para discutir sobre la creación de triángulos en base a sus medidas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 7. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares, en forma manual y usando procesadores geométricos.
CMO: 13. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos.
1 67
ESTÁNDAR 1: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce las condiciones necesa-
Analiza las relaciones de medi-
Establece medidas de lados y de
rias para construir un triángulo a
das de los lados y de las relacio-
ángulos de forma de construir
partir de las medidas de sus la-
nes de medidas de los ángulos
un triángulo.
dos y de sus ángulos.
para los cuáles no hay construcción posible.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Usar la desigualdad triangular y
-Formular condiciones sobre las
-Crear situaciones en las cuales
la suma de los ángulos interiores
medidas de los lados en las cuales
no hay posibles construcciones de
de un triángulo, para construir
no es posible construir un triángu-
triángulos.
lo.
-Crear situaciones en las cuales
-Formular condiciones sobre las
si hay posibles construcciones de
medidas de los ángulos en las
triángulos y analizar la cantidad de
cuales no es posible construir un
soluciones.
triángulos. -Realizar construcciones considerando dos medidas de lados fijas y una tercera variable.
triángulo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
68
-Triángulos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Construir el triángulo ABC, dadas la medidas AB=7 cm, BC=9 cm y AC=4cm. 2. Construir ahora el triángulo ABC, dadas la medidas AB=7 cm, BC=9 cm y AC=7cm. ¿Qué tipo de triángulo resulta? 3. Si quisieras construir el triángulo ABC, dadas la medidas AB=5 cm, BC=9 cm y AC=4cm. ¿Qué dificultad tienes? 4. Construir el triángulo ABC, dadas la medidas AB=7 cm, BC=9 cm y ABC=30°. Si AB=BC, ¿qué otro ángulo del triángulo ABC es igual al ABC? En un nivel 3 se puede pedir a los alumnos construir un triángulo dada una altura, la base correspondiente y un ángulo basal.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de construcciones de triángulos. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
69
70
ESTÁNDAR El alumno usa el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras, para aplicarlos en problemas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 8. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas.
CMO: 14. Verificación, en casos particulares, en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras, del teorema recíproco de Pitágoras.
2 71
ESTÁNDAR 2: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Mide los lados de un triángulo
Resuelve problemas que involu-
Resuelve problemas que invo-
rectángulo y verifica el teorema
cran el cálculo de la hipotenusa
lucran el teorema recíproco de
de Pitágoras.
y/o de algún cateto.
Pitágoras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Medir longitudes catetos e hi-
-Resolver problemas que involu-
-Resolver problemas no rutinarios
potenusa y establecer el resulta-
cran el cálculo de la hipotenusa y/o
que involucran el teorema recípro-
do del teorema de Pitágoras.
de algún cateto.
co de Pitágoras.
-Establecer condiciones sobre las medidas de los lados de un triángulo de modo que éste resulte rectángulo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
72
-Teorema de Pitágoras.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Usando regla y escuadra, verifica que si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13cm y un cateto mide 5cm, entonces el otro cateto mide 12cm. 2. Usando regla y escuadra, verifica que si en un triángulo rectángulo un cateto mide 12cm y el otro cateto mide 16cm, entonces la hipotenusa mide 20cm. 3. Construye un rectángulo de largo 16cm y ancho 15cm, inscribe un triangulo en el rectángulo de forma que la base coincida con el largo, calcula la medida de la altura del triángulo. Calcula el área del rectángulo y el área del triángulo, ¿qué relación hay entre ellas? 4. Construye un triángulo de medidas 25cm, 24cm y 7cm, ¿Qué tipo de triángulo se forma? ¿Es válido el teorema de Pitágoras? En un nivel 3, decidir usando las medidas si distintos
ABC son o no rectángulos.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras y del recíproco de Pitágoras. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
73
74
ESTÁNDAR El alumno conoce las unidades de medidas de volumen y las aplica al calcular volúmenes de cuerpos geométricos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 9. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
CMO: 15. Cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros, centímetros y metros cúbicos; y aplicación a situaciones significativas.
3 75
ESTÁNDAR 3: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce las unidades de medidas
Calcula el volumen de cuerpos
Resuelve problemas no rutina-
de cuerpos geométricos.
geométricos y expresa el resul-
rios que involucran cálculos de
tado en las unidades correspon-
nuevos volúmenes a partir de
dientes.
volúmenes dados.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer las unidades de medi-
-Calcular el volumen de cuerpos
-Resolver problemas no rutinarios
das de cuerpos geométricos.
geométricos y expresar el resulta-
que involucran cálculos de nuevos
do en las unidades correspondien-
volúmenes a partir de volúmenes
tes.
dados.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
76
-Cuerpos geométricos.
TAREAS DE APRENDIZAJE Un prisma de base rectangular tiene como medidas: 10,5dm, 12,8dm y 30,0dm, ¿cuál es su volumen? 1. Construir un prisma de base rectangular de medidas 10cm, 12cm y 25cm. Calcula el volumen del prisma. Expresa el resultado en mm3, dm3 y cm3. 2. Construir una pirámide de base cuadrada de lado 4cm, con caras laterales que son triángulos equiláteros. ¿cuál es el volumen de la pirámide? En un nivel 3, pedir a los alumnos: Construir una pirámide de base cuadrada de lado 10cm, con caras laterales que son triángulos isósceles de altura 12cm, calcular el volumen. Cortar ahora la pirámide por un plano paralelo a la base, a la altura de 4cm desde la cúspide, el cuerpo obtenido se llama troco de cono, determinar su volumen.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales que permitan determinar la forma de medir los volúmenes de cuerpos geométricos. Este tipo de evaluaciones serán discutidas por todo el curso.
77
78
ESTÁNDAR El alumno calcula el volumen y el perímetro de cuerpos geométricos y formula conjeturas sobre éstos al variar las medidas de sus elementos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 9. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
CMO: 16. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos, al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales, y verificación en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.
4
79
ESTÁNDAR 4: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Calcula el volumen y el períme-
Calcula perímetros y volúmenes
Resuelve problemas que involu-
tro de cuerpos geométricos y ex-
y compara el resultado con el
cran variaciones de las magnitu-
presa el resultado en las unida-
obtenido al variar las medidas.
des para obtener nuevos períme-
des correspondientes. Relaciona
tros y volúmenes.
perímetro y volumen.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular el volumen de cuerpos
-Calcular perímetros y volúmenes y
-Resolver problemas que involu-
geométricos y expresar el resul-
comparar el resultado con el obte-
cran variaciones de las magnitudes
tado en las unidades correspon-
nido al variar las medidas.
para obtener nuevos perímetros y
dientes.
volúmenes.
-Calcular el perímetro dado el volumen y viceversa.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
80
-Polígonos. Cuerpos geométricos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Un prisma tiene base cuadrada de 16cm y altura 10cm, determinar el perímetro y el volumen. 2. Si un prisma tiene altura de 10cm y base triangular dada por triángulos equiláteros de lado 4cm, determinar su volumen. 3. Construir un prisma de base rectangular de medidas 10cm, 12cm y 25cm. Calcula el volumen del prisma. Si cada medida se aumenta en 2cm, ¿en cuánto aumenta el volumen? Disminuye ahora cada medida original en 3cm, ¿en cuánto disminuye el volumen? 4. Construir una pirámide de base cuadrada de 5cm de apotema, y que tiene lado de la base de 6cm, calcular su perímetro y su volumen. En un nivel 3, pedir a los alumnos calcular el volumen de un “cono de helado”, dado por un cono y una semicircunferencia de radio 4 cm y altura del cono 8 cm.
4 8
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculos de perímetros y volúmenes de cuerpos geométricos. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
81
82
EJE DE ÁLGEBRA
83
84
ESTÁNDAR El alumno trabaja sobre la operatoria algebraica.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros, fracciones o decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias para su reducción.
CMO: 9. Caracterización de expresiones semejantes, reconocimiento de ellas en distintos contextos y establecimiento de estrategias para reducirlas considerando la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones.
1 85
ESTÁNDAR 1: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Caracteriza expresiones seme-
Combina expresiones semejan-
Opera con expresiones en las
jantes.
tes y las reduce para simplificar-
cuales se deba considerar las
las.
propiedades de las operaciones.
Reconoce
expresiones
semejantes en distintos contextos y establece estrategias para
Conjetura sobre la forma más
reducir expresiones semejantes
simple de operar con expresio-
considerando la eliminación de
nes semejantes.
paréntesis y las propiedades de las operaciones.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer expresiones semejan-
-Combinar expresiones semejan-
-Operar con expresiones en las
tes.
tes y reducirlas para simplificarlas.
cuales se deba considerar las pro-
-Reconocer en distintas operatorias las expresiones que resultan semejantes. -Operar con expresiones en las
piedades de las operaciones. -Conjeturar sobre la forma más simple de operar con expresiones semejantes.
cuales se deba eliminar paréntesis.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
86
-Operatoria algebraica.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.Reducir las siguientes expresiones:
a) ( 2x2 – 5x + 6 ) – 2 (x2 – 3x + 3 ) , b ) (x 2 – 1 ) – x (x – 1 ) , c) 2 X (x – 3 )+ 3 (x – 3 )+ 9 – 3 x . 2.Factorizar en cada caso y luego simplificar: a) 6X + 8X 2 3X + 4X 2
, b) 6X 3+ 8X 2 3X 3+ X 2
, c) a2b - a2b2 ab2- a2b2
3.Usando el desarrollo del cuadrado del binomio, escribe como una expresión al cuadrado los términos dados:
a)X2 -4x+4 , b) 4x2 +12x+9 , c) 36-24x+4x2 4.Calcule los siguientes productos:
a) ( x-3 )(x+3)(x2 +9) , b) (2 -x )(x 2 -4 x +2 ) , c) (x -1 )(x +3 ) + (x +5 )(x -1 ) En un nivel 3, planear a los alumnos reducir expresiones combinadas de la forma:
(3+a+b)(a +d)-(3 +a +b )(c-d )-(3 +a +b )(1 +c)+(3 +a +b )
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de operatoria de expresiones algebraicas. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor.
87
88
ESTÁNDAR El alumno conoce y utiliza el lenguaje simbólico.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros, fracciones o decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias para su reducción.
CMO: 10. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.
2 89
ESTÁNDAR 2: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce el lenguaje simbólico de
Traduce el lenguaje simbólico al
Crea
proposiciones, conectivo y cuan-
lenguaje natural y viceversa.
proposiciones compuestas que
tificadores.
proposiciones
usando
combinan conectivos y cuantificadores.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer la definición y uso de
-Traducir el lenguaje natural al len-
-Crear proposiciones usando pro-
proposiciones.
guaje simbólico.
posiciones compuestas que com-
-Conocer los conectivos y cuan-
-Traducir el lenguaje simbólico al
binan conectivos y cuantificadores.
tificadores.
lenguaje natural.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
90
-Simbología matemática.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Si p y q denotan las proposiciones p: 3 es número primo y q: 3 es múltiplo de 9, exprese en español los enunciados:
a) p
q,
b) ¬ p
q,
c)~p
q,
d)~p
~q.
2. Escriba usando símbolos lógicos las proposiciones siguientes y determine el valor de verdad: - Todos los números naturales son mayores que 1. - Si un número natural es mayor que 5, su sucesor es mayor que 6. - Hay números menores que 0. - Todo número entero es par o múltiplo de 6. 3. Si la proposición p es verdadera y q es falsa, determine el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
a) p q ,
b) ~p
q ,
c) ~p
q,
d) ~(p
~q) ,
e) ~p
q,
f) p
~(p q)
En un nivel 3, se puede plantear algún problema como: se define el conectivo como:
p
q
p
q
a) Determinar la tabla de verdad de p q. b) Si p es falsa y p q es verdadera, ¿cuál es el valor de verdad de q?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de traducir el lenguaje natural al lenguaje simbólico. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
91
92
ESTÁNDAR El alumno escribe resuelve y analiza ecuaciones de primer grado.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros, fracciones o decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias para su reducción.
CMO: 11. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita; interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto.
3 93
ESTÁNDAR 3: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Resuelve problemas que impli-
Reconoce cuando una ecuación
Resuelve problemas que derivan
can el planteamiento de una
no admite solución y resuelve
en una ecuación de primero gra-
ecuación de primer grado con
problemas no triviales de ecua-
do. Analiza los valores que no
una incógnita e interpreta
ciones de primer grado.
están considerados en la solu-
la
ción.
ecuación como la representación matemática del problema y la solución en cuanto al contexto.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Resolver ecuaciones de primer
-Reconocer cuando una ecuación
-Resolver problemas que derivan
grado.
no admite solución.
en una ecuación de primer grado.
-Analizar la ecuación y su ade-
-Resolver problemas no triviales de
-Analizar los valores que no están
ecuaciones de primer grado.
considerados en la solución.
cuación al problema dado.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
94
-Ecuaciones de primer grado.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.Nicolás tiene 4 años más que su hermano, si la suma de sus edades es 28, ¿qué edad tiene Nicolás? 2.Resolver la ecuación:
x+4 3
x-3 3x - 7 = 2 4
3.Claudia tiene 2 años más que su hermana Teresa, que a su vez tiene dos años más que su hermana Susana, si la suma de las edades de las tres hermanas es 42, ¿qué edad tiene cada una? 4. Dada la ecuación:
2x x+4 = x-1 2x + 6
Determinar qué valores de x, no están considerados en la solución y luego resolver.
En un nivel 3, pedir a los alumnos resolver ecuaciones de la forma: 1. Un rectángulo tiene 20 cm de largo y 15 cm de ancho, si la quitamos a cada lado la misma cantidad, obtenemos un rectángulo de área 150 cm2, ¿cuánto se le quitó a cada lado? 2.Plantear una ecuación de la forma: x 2x - 2
+
1 x-1
=
1 + 2x 4x - 4
(que no tiene solución)
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos por todo el curso en una puesta en común.
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EJE DE DATOS Y AZAR
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ESTร NDAR El alumno representa datos utilizando distintos tipos de tablas y grรกficos analizando la mejor competencia de รฉstos.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 10. Analizar informaciรณn presente en diversos tipos de tablas y grรกficos y seleccionar formas de organizaciรณn y representaciรณn de acuerdo con la informaciรณn que se quiere analizar.
CMO: 17. Anรกlisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y grรกficos, argumentando en cada caso acerca de sus ventajas y desventajas en relaciรณn con las variables representadas, la relaciรณn de dependencia entre estas variables, la informaciรณn a comunicar y el tipo de datos involucrado. 18. Establecimiento y aplicaciรณn de criterios para la selecciรณn del tipo de tablas o grรกficos a emplear para organizar y comunicar informaciรณn obtenida desde diversas fuentes, y construcciรณn de dichas representaciones mediante herramientas tecnolรณgicas.
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ESTÁNDAR 1: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Construye tablas y gráficos sim-
Considera un grupo de datos y
Resuelve problemas de comuni-
ples y analiza ventajas. Establece
representarlos en formas dife-
car información y resultados de
el mejor criterio de presentación
rentes en base a al menos un par
variables representadas en dis-
de la información de acuerdo a
de criterios establecidos.
tintas formas.
los datos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer distintos formas de
-Considerar un grupo de datos y
-Considerar un variable a evaluar
representar la información, de
representarlos en formas diferen-
y extraer resultados de acuerdo a
acuerdo a los datos.
tes en base a al menos un par de
su representación en tabla o en
criterios establecidos.
gráficos.
-Analizar la facilidad o dificultad
-Resolver problemas que significan
de extraer información de algún
usar información extraída de varia-
criterio preestablecido, en función
bles tabuladas.
-Representar datos de distintas formas y analizar sus ventajas, para cada situación.
de la forma de presentación de los datos.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Tablas y gráficos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.El gráfico siguiente muestra la cantidad de personas que pertenecen al grupo sanguíneo A, B, AB ó 0.
Personas 100 90 80 70 60
Personas
50 40 30 20 10
0
BA
A
BO
Observando el gráfico ¿puedes indicar a qué grupo sanguíneo pertenece la mayoría de las personas? ¿y a qué grupo pertenece la menor cantidad de personas? Si conoces los valores, puedes indicar cuántas personas pertenecen a cada grupo. 2.Se hace una encuesta al 7° acerca del medio de transporte en que se movilizan al liceo, los resultados se muestran en el siguiente gráfico circular:
Caminando Bus Escolar
Auto
Transporte público
De acuerdo al gráfico determinar: Cuál es el medio más utilizado, cuál el menos utilizado. Si quisieras saber la cantidad de alumnos que usa cada medio, ¿cuál sería la dificultad?
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TAREAS DE APRENDIZAJES
3.Realizar un estudio acerca de cuántas horas usan internet tus compañeros, tabular la información y mostrar los resultados usando distintos grupos de gráficos, indicar las ventajas y desventajas de cada forma de presentación de los datos.
En un nivel avanzado, planear algún problema como: Los gráficos siguientes muestra la cantidad de alumnos de un curso, de 40 alumnos, que practican o no algún deporte. N° alumnos 16 14 12 10 8
N° alumnos
6 4 2 0 Atletismo
Futbol B
ásquetbol O
tros N
N Alumnos
Atletismo Futbol Básquetbol Otros No practica
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o practica
De acuerdo a los gráficos: a)¿En cuál de ellos aparece más clara la cantidad de alumnos? b)¿En cuál de ellos es más fácil ver que deporte es el que más se practica? c)¿Cuántos alumnos no practican ningún deporte? ¿Qué gráfico lo muestra más claramente? d)¿Cuántos alumnos, practican al menos un deporte? ¿Qué gráfico permite calcularlo?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante trabajos de recolección de información y representación de la información. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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ESTÁNDAR El alumno conoce, discute y compara los distintos tamaños y formas de muestras.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 11. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población.
CMO: 19. Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. 20. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra, el método de selección y el tamaño de ella afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a una población.
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ESTÁNDAR 2: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Caracteriza la representatividad
Discute y conjetura acerca de la
Deduce acerca de la injerencia
de una muestra, a partir del ta-
influencia del tipo de muestra,
entre la naturaleza de la mues-
maño y los criterios en que esta
en la validez o no de conclusio-
tra, la forma de seleccionarla y
ha sido seleccionada desde una
nes acerca de la población.
el tamaño de ésta en cuanto a
población. Discusión acerca de
las conclusiones relativas a una
cómo la forma de escoger una
población.
muestra y de que la forma de seleccionarla afectan los dato y las conclusiones acerca de la población.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer acerca de la represen-
-Discutir y conjeturar acerca de
-Comparar distintos tipos y tama-
tatividad de una muestra depen-
la influencia del tipo de muestra,
ños de muestra para una pobla-
diendo del tamaño y la selección.
en la validez o no de conclusiones
ción dada.
acerca de la población.
-Comparar muestras aleatorias, es-
-Comparar muestras que son o no sesgadas. -Comparar formas de selección
tratificadas, sesgadas en términos de los resultados de la población.
de muestras.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Muestra aleatoria.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. En una escuela hay 500 alumnos, y se quiere instalar un kiosco de comida natural. Se encuesta a 20 personas de 2° básico, para que den su opinión. ¿Es esta muestra representativa de la población? ¿Por qué? 2. Determina 2 ejemplos de muestras extraídas con reposición y sin reposición. 3. Determina dos ejemplos de muestras aleatorias y no aleatorias. 4. Se quiere hacer un sondeo acerca de si son las mujeres o los hombres los que tiene más accidentes automovilísticos, se establecen para esto los siguientes criterios: a) Encuestar a la misma cantidad de hombres que de mujeres. b) Encuestar a más hombres que mujeres, ya que hay más hombres que manejan. ¿Es alguno de los sistemas mejor que el otro? ¿Cuál sería el mejor sistema?
En un nivel 3, se puede pedir a los alumnos que indiquen cómo extraerían una muestra aleatoria para, por ejemplo conocer: a) Qué opinión tienen sus compañeros acerca de algún programa musical. b) Qué opinión tienen los alumnos de 7° básico acerca del mismo grupo. c) Qué opinión tienen los jóvenes en general acerca de este grupo.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice trabajos grupales de encuestas en la que los alumnos deban indagar sobre las formas de extraer muestras y que luego la apliquen. Estos trabajos serán revisados por todo el curso creando una discusión del mejor método de elegir muestras.
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ESTÁNDAR El alumno calcula probabilidades y calcula frecuencias relativas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 12. Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados de experimentos aleatorios simples.
CMO: 21. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal, como fracción y porcentual.
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ESTÁNDAR 3: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Repite experimentos aleatorios,
Calcula la probabilidad de ocu-
Deduce las propiedades básicas
de forma de estimar la probabi-
rrencia de un evento en térmi-
de las probabilidades en térmi-
lidad de ocurrencia de un suce-
nos de la frecuencia relativa.
nos de los resultados de las fre-
so. Calcula la frecuencia relativa
Conjetura acerca de los valores
cuencias relativas.
asociada al evento e interpreta
posibles de la probabilidad de un
la frecuencia a partir de sus for-
evento.
matos decimal, como fracción y porcentual.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular la probabilidad de ocu-
-Calcular la probabilidad de ocu-
-Deducir las propiedades básicas
rrencia de sucesos asociados a
rrencia de un evento en términos
de las probabilidades en términos
diferentes experimentos aleato-
de la frecuencia relativa.
de los resultados de las frecuencias
-Conjeturar acerca de los valores
relativas.
rios. -Calcular
frecuencias relativas
de sucesos asociados a diferen-
Nivel 3
posibles de la probabilidad de un evento.
tes experimentos aleatorios. -Interpretar los valores obtenidos de frecuencias relativas dependiendo del contexto y del formato.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Probabilidades.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Se lanza una moneda 10 veces y se anota el número de veces que sale cara, se repite el experimento 20 veces y nuevamente se anota el número de veces que sale cara. Calcular en cada caso la frecuencia y la frecuencia relativa. ¿Cuál es el valor asociado a la probabilidad de que salga cara? 2. Lanzar un dado 30 veces y anota la cantidad de veces que aparece cada número, repetir la experiencia 50 veces, ¿a qué valor tienden las frecuencias relativas? 3. Elegir una carta con reposición de un mazo de 52 cartas y anotar el número y la pinta que aparece, repetir el experimento y calcular las frecuencias relativas, ¿a qué número se espera que tiendan los sucesos anteriores? En un nivel 3 se puede pedir a los alumnos, deducir las propiedades básicas de las probabilidades en términos de las frecuencias relativas, por ejemplo que p( )=0, que p(A)=1-P(Ac ).
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice experiencias grupales para el cálculo de frecuencias relativas, de forma de aproximarse a la probabilidad del evento. Este tipo de experiencias pueden ser revisadas tanto por el profesor como por la clase en su conjunto.
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GLOSARIO
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Aprendizaje mecánico: Incorporación de conocimientos sin integración a la estructura cognitiva del estudiante. Es básicamente una adquisición memorística sin significado. Aplicar: Implica poner en práctica un conocimiento a fin de obtener un determinado efecto. Incluye las habilidades de implementar, seleccionar, representar, modelar y resolver problemas haciendo uso de conocimientos, herramientas matemáticas, datos e información. Aprendizaje significativo: Supone la incorporación del conocimiento a la estructura cognitiva del estudiante pasando a formar parte de su memoria comprensiva. Este aprendizaje se produce en estudiantes motivados mediante las conexiones y relaciones que se establecen entre los conocimientos previos y el nuevo conocimiento.
Contenido: Elemento del currículo que constituye el objeto directo de aprendizaje para los estudiantes. Es el medio para conseguir el desarrollo de capacidades. Los contenidos tienen tres dimensiones: Concepto, procedimiento y actitud. Saber: Integra las habilidades de recordar, reconocer, recuperar información, clasificar, ordenar, calcular y medir. Estas habilidades son aplicadas a los ámbitos de la información, conceptos y procedimientos. Razonar: Supone ordenar ideas para llegar a una conclusión que se observa en las habilidades de analizar, generalizar, sintetizar, integrar y resolver problemas no rutinarios. El razonamiento matemático supone el pensamiento inductivo, deductivo, lógico y sistemático.
Capacidad: Aptitud, talento, cualidad que dispone a alguien para el buen ejercicio de algo. Las capacidades pueden ser cognitivas o intelectuales, psicomotrices, afectivas, de interrelación u otras. Concepto: Representación de ideas generales abstractas que se obtienen a partir de la consideración de determinados aspectos de los objetos, hechos, símbolos, fenómenos, etc., que poseen ciertas características comunes. Permiten, por tanto, organizar la realidad y poder predecirla.
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BIBLIOGRAFÍA
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Diccionario Educacional, Franklin V. Sovero Hinostroza. Diccionario Real Academia Española, www.rae.es. Glosario de términos educativos: www.profes.net.
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M谩s informaci贸n: www.codeduc.cl/estandaresdeaprendizaje
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