Matemรกtica
8 Bรกsico
Herramientas para el aprendizaje escolar
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Derechos Reservados Pontificia Universidad Cat贸lica de Chile Inscripci贸n N潞 213.383
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Matemรกtica
8 Bรกsico
Herramientas para el aprendizaje escolar
Proyecto desarrollado por:
3
4
INDICE Introducción al proyecto: ¿Cómo surgió el Proyecto de Estándares para Maipú?.......................................................................
6
Estándares de Aprendizaje de 8° básico en Matemática: Estándares de Números
1. N1....................................................................................................................................... 2. N2....................................................................................................................................... 3. N3....................................................................................................................................... 4. N4....................................................................................................................................... Estándares de Geometría
5. G1...................................................................................................................................... 6. G2.................................................................................................................................... 7. G3.................................................................................................................................... 8. G4.................................................................................................................................... Estándares de Medición
9. M1..................................................................................................................................... 10. M2..................................................................................................................................... Estándares de Álgebra
11. A1....................................................................................................................................... 12. A2....................................................................................................................................... 13. A3...................................................................................................................................... 14. A4...................................................................................................................................... Estándares de Datos y Azar
15. DYA1.................................................................................................................................. 16. DYA2.................................................................................................................................. 17. DYA3.................................................................................................................................. 18. DYA4.................................................................................................................................. 19. DYA5..................................................................................................................................
15 19 23 27 33 37 41 45 51 55 61 65 69 73 79 83 87 91 95
Glosario........................................................................................................................................................ 99 Bibliografía.................................................................................................................................................. 103
5
Introducción al proyecto
INTRODUCCIÓN AL PROYECTO ¿Cómo surgió el Proyecto de Estándares para Maipú?
Los desafíos actuales en términos educativos deman-
central en este sentido contar con metas de aprendiza-
dan a las escuelas y los sostenedores gestionar con
je explícitas para cada nivel escolar y apoyar a los do-
foco en el aprendizaje de todos los estudiantes. En ese
centes para lograrlas. (b) Evaluaciones Comunales, que
contexto, la Corporación Municipal de Educación de
se implementan cada año en todas las escuelas y liceos,
Maipú ha enfatizado el generar herramientas que per-
y que permiten medir los logros de aprendizaje como
mitan liderar y apoyar los procesos centrales de las es-
insumo para mejorar. (c) Fondo Concursable para Pro-
cuelas, relevando el aporte de los docentes en la tarea
fesores Innovadores, que por cinco años consecutivos
de hacer posible el aprendizaje y desarrollo de todos.
ha permitido a los docentes de los colegios municipales
Este reto ha sido asumido por la comuna a través de un
postular proyectos de aula, con foco en mejorar apren-
PROYECTO ESTRATÉGICO 2010-2012, que se basa en
dizajes e instalar buenas prácticas innovadoras en las salas
tres pilares:
de clase.
I.Educación Garantizada. El propósito de este pilar
6
es garantizar aprendizajes a todos los estudiantes prin-
II.Sello Distintivo. Todas las escuelas han definido su
cipalmente a través de: (a) Estándares de Aprendiza-
sello distintivo, aquello en lo cual quieren ser las me-
je, proyecto que surge de la convicción que todos los
jores, e implementan acciones para fortalecerlo en el
estudiantes pueden lograr aprendizajes de calidad en
contexto de su proyecto estratégico. El sello de cada es-
la medida que el sistema escolar los desafía, y que es
cuela se entiende como una variable de competitividad
diferenciadora que se suma a garantizar aprendizajes, y
en Lenguaje y Matemática desde 1° Básico a 4° Me-
que refiere a énfasis artísticos, deportivos, académicos
dio, para cuyos efectos la Corporación Municipal de
u otros, con el fin de promover una educación integral.
Educación de Maipú de Maipú encarga al Programa de Estudios y Desarrollo de Talentos PENTA UC, la realización del proyecto, el cual es desarrollado por un grupo
III.Gestión para el aprendizaje. El propósito de este
de profesionales del Programa, a quienes se incorporan
pilar es orientar la gestión de todas las escuelas al ser-
selectos expertos en las áreas de Matemática y Len-
vicio de los aprendizajes, apoyando la articulación en el
guaje, en conjunto con el equipo de la Corporación
aula. Este pilar se materializa en una planificación por
Municipal de Educación de Maipú.
colegio a partir de objetivos estratégicos para todo el sistema, foco permanente en implementar y desplegar
Junto con dar asesoría y apoyo en Educación de Ta-
lo planificado, un plan de capacitación y un programa
lentos a familias (padres de niños académicamente
de incentivos a la asistencia y resultados SIMCE de cada
talentosos) e instituciones educacionales interesadas
escuela.
en incorporar la Educación de Talentos a sus aulas, el Programa de Estudios y Desarrollo de Talentos PENTA
En este contexto, donde el énfasis transversal del sis-
UC es un programa interdisciplinario que busca gene-
tema educativo es avanzar en calidad, surge la defini-
rar conocimiento científico de trascendencia, nacional
ción e implementación de Estándares de Aprendizaje
e internacional sobre el talento académico; aumentar
7
el interés público en torno a la necesidad de desarrollar
ñados de actividades de aprendizaje y tareas de eva-
el potencial de los niños con talento académico; y pro-
luación que permitirán a los profesores implementar
mover el desarrollo de políticas públicas que favorezcan
un trabajo de aula orientado al logro de las metas de
la oferta de servicios educacionales y psicológicos para
aprendizaje que se propongan, siendo la meta central
los niños y jóvenes talentosos, en especial de sectores
impactar en el aprendizaje de los estudiantes.
socioeconómicos menos favorecidos. La definición de los estándares de aprendizaje, toma Durante 10 años PENTA UC ha desarrollado un modelo
como referencia los instrumentos curriculares vigentes,
de excelencia en gestión de proyectos educacionales,
marco curricular, mapas de progreso y niveles de logro,
lo que le permite explorar ámbitos más allá de la edu-
y funcionan como un elemento articulador para guiar a
cación de talentos, y contribuir, con su experiencia, al
los docentes en su trabajo de aula en función de metas
desarrollo de nuevos modelos de prácticas educativas.
comunes para todas las escuelas, las que representan un desafío de aprendizaje tanto para la enseñanza del
El objetivo principal de este proyecto es poder apoyar la
docente como para los estudiantes.
labor de los profesores en el aula, por lo cual incorpora a los docentes de las escuelas tanto en su desarrollo, a
El proyecto de estándares de aprendizaje en Lenguaje
través de instancias de validación, como en su imple-
y Matemática para las escuelas municipales de Maipú,
mentación, donde en una primera etapa los profesores
es una iniciativa innovadora en términos de generar he-
serán acompañados en sus aulas en el uso y despliegue
rramientas concretas que permitan garantizar aprendi-
de los estándares en ambos sectores.
zajes para todos los estudiantes, y desafiar al sistema en términos de sus procesos y resultados. Esta iniciativa
8
La relevancia que tiene la implementación de estánda-
es parte del esfuerzo integral de mejoramiento que la
res de aprendizaje está connotada por la herramienta
Corporación está desarrollando en su proyecto estraté-
de apoyo que se proveerá para trabajar por el logro de
gico, y se suma a las diversas acciones comunales que
estos estándares. Por ello, los estándares van acompa-
ya está implementando.
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Estándares de Matemática
ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA 1.Ejes a desarrollar (5): Números Geometría Medición Álgebra Datos y Azar
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12
EJE DE NÚMEROS
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14
ESTÁNDAR El alumno multiplica números enteros.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.
CMO: 1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.
1 15
ESTÁNDAR 1: EJE DE NÚMEROS PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce y aplica el procedimien-
Reconoce y resuelve problemas
Resuelve problemas, analiza la
to para multiplicar números en-
que incluyen multiplicación de
forma de resolverlos e interpre-
teros.
números enteros.
ta las soluciones en términos del signo de las soluciones halladas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Multiplicar un número natural
-Plantear problemas que incluyen
-Analizar la forma de resolver pro-
por un número entero negativo.
multiplicación de números ente-
blemas.
-Multiplicar números negativos
ros.
-Interpretar las soluciones en tér-
entre ellos.
-Resolver problemas que incluyen
minos del signo de las soluciones
multiplicación de números ente-
halladas.
-Conocer la regla de los signos en la multiplicación.
ros.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS
16
-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE
1. Calcular las siguientes multiplicaciones y comparar los resultados:
2x3= 2 x (-3) = (-2) x 3= (-2) x (-3)= 2. Calcular los productos
(-3) x (-5) = (-2) x 3 x (-5) = (-2) x (-3) x 5 = 3. Encuentra un número, tal que al multiplicarlo por si mismo 6 veces el resultado sea -64. 4.¿Es posible hallar un número, tal que al multiplicarlo por sí mismo 8 veces, el resultado sea -72? Justifica tu respuesta.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de producto de números enteros, este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor.
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18
ESTÁNDAR El alumno divide números enteros.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros.
CMO: 2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo.
2 19
ESTÁNDAR 2: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce el algoritmo de división
Reconoce y resuelve problemas
Analiza la forma de resolver pro-
de números enteros y calcula di-
que incluyen división de números
blemas e interpreta las soluciones
visiones de números enteros.
enteros.
en términos del signo de las soluciones halladas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Dividir un número natural por un
-Plantear problemas que incluyen
-Analizar la forma de resolver pro-
número entero negativo, que sea
división de números enteros.
blemas que incluyen división de
divisor de él.
-Resolver problemas que incluyen
enteros.
división de números enteros.
-Analizar si un problema dado ad-
-Dividir un entero por un número natural que no sea divisor de él. -Dividir un número entero por otro y aplicar el algoritmo de la división para recuperar el dividendo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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mite o no soluciones negativas. -Interpretar las soluciones en términos del signo de las soluciones halladas.
-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular las siguientes divisiones: 12/-4 = 15/-5 = -24/6 = -48/-12 = 2. Calcular las siguientes divisiones, indicar el cuociente y el resto: -12/5 = 27/ -6 = 35/4 = -44/-7 = 3. Calcular las siguientes divisiones y escribe el resultado de acuerdo al algoritmo de división: 12/-4 = 13/-4 = 14 /-4 = 15 /-4 = 16/-4 = De acuerdo a los resultados anteriores, ¿cuáles son todas las posibilidades de escribir un entero en la forma 4n+p? En un nivel avanzado se le puede pedir a los alumnos que determinen si un número entero cualquiera dado, no múltiplo de 5, es de la forma 5n+1, 5n+2, 5n+3 o 5n+4.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales de ejercicios de cálculo escritos de división de números enteros, evaluaciones que serán revisadas por el profesor.
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22
ESTÁNDAR El alumno calcula potencias de exponente entero.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
CMO: 3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural. Determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural. Extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
3 23
ESTÁNDAR 3: EJE DE NÚMEROS PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Determina y aplica las propieda-
Resuelve problemas de cálculo
Establece la forma en que deben
des de la multiplicación y divi-
de potencias de exponente na-
ser resueltos los problemas de
sión de potencias de exponente
tural, y de base entera o fraccio-
potencias, de acuerdo al tipo de
natural y de base entera o frac-
naria o decimal positiva
operación y de potencia. Analiza
cionaria o decimal positiva.
la pertinencia de las soluciones.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Determinar las propiedades de
-Resolver problemas de cálculo de
-Analizar la forma de resolver pro-
la
potencias de exponente natural y
blemas de potencias de base en-
de base entera
tera, considerar la regla a usar si
-Resolver problemas de cálculo de
se trata de multiplicación y/o de
potencias de exponente natural y
división.
de base fraccionaria.
-Analizar la pertinencia de las so-
-Resolver problemas de cálculo de
luciones de acuerdo al problema
potencias de exponente natural y
planteado y al contexto en que las
de base decimal positiva.
soluciones aparecen.
multiplicación de potencias
de exponente natural y de base entera o fraccionaria o decimal positiva. -Determinar las propiedades de la división de potencias de exponente natural y de base entera o fraccionaria o decimal positiva. -Aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias de exponente natural para relacionar aquellas en que la base es fraccionaria con aquellas en que la base es decimal.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
24
-Números enteros.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular:
4 -5 (-4)
5
, (-4)
-5
-4
,5
(-5) , 4 (-5)
,
-4
2. Calcular: 2
3
24
2n
2n + 1
(-a) , (-a) , (-a) , (-a)
, (-a)
3. Calcular: -2
(5) , (-5)
-2
-1 -2
-1 -2
,(5 ) ,((-5) )
4. Calcular:
6 2 x 5 -2 x 6 -4 x 5 3 x 55 x 6 6 5. Calcular: 5 2- 4 (2 - 4) 5 , 2+4 (2 + 4) 5
(
)
Comparar los resultados. En un nivel 3, pedir el cálculo de expresiones como:
(( 5 ) ( ) ( ) )
6. -2
2
x
-4 15
-2
x
5 8
3
-1
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que se pida a los alumnos calcular distintas operatorias de potencias de base entera. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
25
26
ESTÁNDAR El alumno resuelve problemas con enteros y potencias.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
CMO: 4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.
4
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ESTÁNDAR 4: EJE DE NÚMEROS
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Resuelve problemas simples que
Calcula mentalmente operacio-
Resuelve problemas no rutina-
involucran las 4 operaciones arit-
nes con potencias y realiza análi-
rios y analiza la pertinencia de
méticas con números enteros y
sis críticos de la resolución.
las soluciones.
con potencias de base entera.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Resolver problemas que involu-
-Aplicar el producto de potencias
-Describir la estrategia utilizada
cran las 4 operaciones aritméti-
en distintas situaciones y con bases
para resolver problemas no ruti-
cas en potencias de base natural.
de distinto tipo.
narios.
-Analizar los tipos de procedimien-
-Analizar
tos de resolución de problemas en
coherentes con el contexto de un
función del planteamiento y de los
problema.
-Resolver problemas que involucran las 4 operaciones aritméticas en potencias de base entera. -Resolver problemas que involu-
resultados
tipos de potencias.
cran las 4 operaciones aritméticas en potencias de base fraccionaria o decimal positiva.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Números enteros y potencias.
obtenidos
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular y expresar en términos de potencias de 3: a) b)
( (3 2- 3 ) + 2
-3 9
3 27 2 x (-3) x 3 4
3
2
X
)
2
36
2. Calcular: 2
2
((-7) + 5) x ((-7) - 5) y comparar con ((-7) - 5 ) 2
2
3. ¿Hay algún número entero a, tal que: 4 x (a-2) - (-2) = 0 ? 4. ¿Cuál es el valor de x, si: 2
3
((-3) x (-3) ) = 3 3
x
En un nivel 3, plantear a los alumnos ejercicios del tipo: determinar x en cada caso, si existe, tal que: 3
2
x
a) (-3) x (3) x (-3) = 243 5
4
3
x
b) (-2) x (2) x (-2) x (2) =256 5
4
-3
x
c) (-2) x (2) x (2) x (2) =256
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de operatoria de enteros Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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30
EJE DE GEOMETRÍA
31
32
ESTÁNDAR El alumno conoce de transformaciones isométricas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 5.- Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones.
CMO: 10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones.
1 33
ESTÁNDAR 1: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Realiza traslaciones, reflexiones y
Infiere acerca de las invariantes
Conjetura acerca de la forma en
rotaciones de figuras geométri-
que se generan al realizar tras-
que las teselaciones aparecen
cas planas con regla y compas y
laciones, reflexiones y rotaciones
vía traslaciones y cuáles son los
usando tecnología, construcción
de figuras geométricas planas.
únicos polígonos regulares que
de teselaciones regulares y semi-
teselan por si mismos el plano.
regulares.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Realizar traslaciones, reflexiones
-Inferir acerca de los resultados
-Relacionar teselaciones con trasla-
y rotaciones de figuras geométri-
que se obtienen al combinar tras-
ciones de figuras planas.
cas planas con regla y compas y
laciones, rotaciones y reflexiones
-Combinar
sobre una figura plana
regulares de forma de concluir
usando tecnología, comparar los resultados. -Construir teselaciones regulares con polígonos regulares. -Construir teselaciones semirregulares con diferentes combina-
distintos
polígonos
cuales son combinaciones los que permiten embaldosar completamente el plano. -Concluir acerca de cuáles son los únicos polígonos regulares que teselan por si mismos el plano.
ciones de polígonos regulares.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
34
-Transformaciones isométricas. Teselaciones.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Dada las siguientes traslaciones, reflexiones y rotaciones, determina las medidas de los lados, el perímetro y el área. ¿Se mantienen iguales?
2. Construye una teselación regular usando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. 3. Construye una teselación: 4,8,8 y busca alguna otra teselación semirregular.
En un nivel 3, pedir a los alumnos construir algunas de las teselaciones semiregulares, como por ejemplo:
Los alumnos deberán indicar qué combinaciones de polígonos son.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales de construcciones teselaciones y de análisis de las variables. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
35
36
ESTÁNDAR El alumno resuelve problemas de circunferencia, círculo, cilindros y conos.
OF y CMO ASOCIADOS
OF: 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
CMO: 12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.
2 37
ESTÁNDAR 2: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce la definición de circun-
Dada la ecuación de la circun-
Resuelve problemas que combi-
ferencia y círculo. Identifica los
ferencia, encuentra el centro y
nan los elementos de la circun-
elementos de la circunferencia y
el radio. Determina relaciones
ferencia.
el círculo.
entre los elementos de la circunferencia.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer la ecuación de la cir-
-Determinar centro y radio de una
-Resolver problemas que combi-
cunferencia como lugar geomé-
circunferencia dada su ecuación.
nan los elementos de la circunfe-
trico.
-Determinar relaciones entre los
rencia.
elementos de la circunferencia.
-Resolver problemas en que da-
-Identificar la ecuación del cír-
dos los elementos, se determina la
culo en base a la ecuación de la
ecuación de la circunferencia.
circunferencia. -Identificar los elementos de la circunferencia y el círculo.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
38
-Circunferencia.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Determina el centro y el radio de la circunferencia de ecuación:
x 2+ y 2 = 25 x 2 + y 2 -1 = 15 2. La circunferencia dada tiene centro O: T
B
A
D O C
Determina cuál es la recta tangente, el arco BDC, un diámetro, dos cuerdas. Si la circunferencia anterior tiene ecuación x2+y 2 = 25 y A (-2,0), ¿cuál podría ser el punto C? 3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2? ¿Y si el radio es 5? En un nivel 3, pedir a los alumnos identificar el centro y el radio de una circunferencia de la forma: (x-2)2 +(y+3)2 =25
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos ubicar elementos de una circunferencia; determinar el centro y el radio, dada la ecuación. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor.
39
40
ESTÁNDAR El alumno trabaja con perímetros y áreas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos. Utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
CMO: 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
3 41
ESTÁNDAR 3: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce la longitud de la circun-
Resuelve problemas en los que
Analiza estrategias y razona-
ferencia y el área del círculo y re-
debe conocer la longitud de una
miento usado en resolver pro-
suelve problemas simples que los
circunferencia y/o el área del cír-
blemas que incluyen relaciones
involucran.
culo para resolverlos.
entre distintas circunferencias.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Resolver problemas simples que
-Resolver problemas que invo-
-Analizar para resolver problemas
involucran determinar la longi-
lucran determinar el radio y/o el
que incluyen relaciones entre dis-
tud de la circunferencia y el área
diámetro a partir de la longitud
tintas circunferencias.
de la circunferencia y/o el área del
-Crear situaciones en que mezcla
círculo.
longitudes de circunferencias y/o
-Resolver problemas que involu-
área de círculos.
del círculo. -Resolver problemas que involucran determinar la longitud de la circunferencia y el área del círculo en términos de aumento o diminución del radio.
cran determinar el radio y/o el diámetro de una circunferencia a partir de datos de otra circunferencia relacionada.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
42
-Áreas, perímetros.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Si una rueda tiene longitud, ¿cuánto se ha recorrido cuándo la rueda ha dado 50 vueltas? 2. Un círculo tiene diámetro de 14 cm, ¿cuál es el área? 3. Un círculo de área 36P cm2, si se construye otro círculo cuyo radio es la mitad del anterior, ¿en cuánto disminuye su área? Y si el radio es un cuarto del anterior, ¿en cuánto disminuye ahora el área? 4. Una circunferencia de diámetro 24 cm, está inscrita en un cuadrado 1 y circunscrita a un cuadrado 2: ¿Cuál es la diferencia entre las áreas del cuadrado 1 con el cuadrado 2?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo de perímetros de una circunferencia y de áreas de un círculo, y de determinación del radio, dado el diámetro, el perímetro o el área. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
43
44
ESTÁNDAR El alumno trabaja con superficies y volúmenes.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
CMO: 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono.
4
45
ESTÁNDAR 4: EJE DE GEOMETRÍA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce la superficie del cilindro,
Resuelve problemas en que se
Relaciona superficies con áreas
cono y pirámides y el volumen
involucran superficies y volúme-
basales. Calcula volúmenes y/o
del cilindro y del cono. Resuelve
nes y resuelve problemas de su-
superficies de cuerpos genera-
problemas simples de superficies
perficie de pirámides.
dos al combinar cilindros, conos
y volúmenes.
y pirámides.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Deducir la forma en que se ob-
-Resolver problemas que relacio-
-Relacionar superficies con áreas
tienen las superficies y volúme-
nan superficies y volúmenes.
basales.
nes.
-Resolver problemas que involu-
-Calcular volúmenes y/o superfi-
cran superficie de pirámides de
cies de cuerpos generados al com-
base cuadrada y triangular.
binar cilindros, conos y pirámides.
-Resolver problemas simples de superficies. -Resolver problemas simples de volúmenes.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
46
-Superficies y volúmenes.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Calcular el volumen de un cilindro de altura 20cm y radio 4cm. ¿Cuál es el volumen del cono con las mismas medidas? ¿Cuál es la superficie del cilindro? 2. Calcular el volumen de una pirámide de base un rectángulo de medidas 6 y 8cm y apotema 5cm. 3. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado, que es base de una pirámide de volumen 12 cm2, si la altura de ésta es 4cm? ¿Cuál es la medida de la superficie? En un nivel 3, plantear problemas como: Un cilindro y un cono tienen ambos la misma altura h y el mismo radio r, si la altura aumenta al triple y el radio al doble, ¿cómo varían en ambos casos la superficie y el volumen?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales de ejercicios de cálculo de superficies y volúmenes. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos con todo el curso en una puesta en común.
47
48
EJE DE MEDICIÓN
49
50
ESTÁNDAR El alumno conoce el número pi y lo relaciona con la circunferencia.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utiliza los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
CMO: 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.
1 51
ESTÁNDAR 1: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Conoce la definición del número
Estima el área del círculo por me-
Formula conjeturas acerca de
pi y su relación con el diámetro
dio de polígonos regulares inscri-
la longitud de circunferencias y
y la longitud de una circunferen-
tos en la circunferencia.
áreas de círculo obtenidos al va-
cia. Calcula la longitud de una
riar el radio de una circunferen-
circunferencia.
cia dada.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer la definición del núme-
-Conocer la relación entre el lado,
-Formular conjeturas acerca de la
ro pi y su relación con el diáme-
la apotema y el número de lados
longitud de circunferencias y áreas
tro y la longitud de una circun-
del polígono regular.
de círculo obtenidos al variar el ra-
-Inscribir polígonos de 4,6 y 8 la-
dio de una circunferencia dada.
ferencia. -Calcular la longitud de una circunferencia el área de un círculo en términos del número pi.
dos en una circunferencia y estimar el área de éstos, observar como a mayor número de lados mejor es la aproximación.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
52
-Circunferencia.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Mediante herramientas tecnológicas: a) Construir una circunferencia, medir su perímetro y su diámetro, dividir el perímetro por el diámetro y anotar el resultado, repetir varias veces la experiencia. ¿Se repite el valor del cuociente? b) Construir un círculo, medir su área y su radio, dividir el área por el radio y anotar el resultado, repetir varias veces la experiencia. ¿Se repite el valor del cuociente? c) Construir una circunferencia de radio una unidad, e inscribir polígonos de 4, 6, 8, y 10 lados, calcular el áreas de éstos y estimar el área de la circunferencia. En un nivel 3, plantear problemas como: Construir una circunferencia y trazar un diámetro AB cualquiera, medir AB, luego extender el diámetro hacia ambos extremos en una cantidad igual al radio y llamar por P y Q a los extremos. Media PQ. Trazar la circunferencia concéntrica con la anterior y que tiene por diámetro P y Q, mediante herramientas tecnológicas determinar las áreas y los perímetros de ambas circunferencias, relacionar las medidas de los radios, con los perímetros y las áreas. ¿Qué razones se obtienen?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales y usando tecnología mediante estimar los valores de pi, del perímetro de la circunferencia y del área del círculo. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por todo el curso en una puesta en común.
53
54
ESTÁNDAR El alumno usa resultados de áreas y volúmenes, para aplicarlos en problemas.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utiliza los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
CMO: 14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico.
2 55
ESTÁNDAR 2: EJE DE MEDICIÓN
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Calcula manualmente el volu-
Calcula mediante el uso de un
Formula conjeturas relacionadas
men de conos y cilindros y cal-
procesador geométrico, volúme-
con las medidas de los volúme-
cula superficies de cilindros y de
nes y superficies de conos y cilin-
nes y las superficies de cuerpos
conos en casos particulares.
dros y compara con los cálculos
obtenidos al variar alturas y ra-
manuales.
dios.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Calcular volúmenes de cilindros
-Calcular mediante el uso de un
-Formular conjeturas relacionadas
y conos dadas las medidas que
procesador geométrico, volúme-
con las medidas de los volúmenes
los involucran.
nes y superficies de conos y cilin-
y las superficies de cuerpos obteni-
dros y compara con los cálculos
dos al variar alturas y radios.
manuales.
-Establecer alguna de las medidas
-Calcular superficies de cilindros y conos dadas las medidas que los involucran.
lineales dada la variación del volumen y/o superficie manteniendo la otra medida lineal fija.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
56
-Áreas y volúmenes.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Mediante herramientas tecnológicas: a) Construir un cilindro y un cono inscrito en él, medir las superficies, luego medir los volúmenes. Dividir el volumen del cilindro por el volumen del cono y anotar el resultado, repetir varias veces la experiencia. ¿Se repite el valor del cuociente? b) Construir a pirámide de base triangular, medir la longitud de sus lados, calcular la altura, calcular el área basal, y con esto, calcular el volumen y la superficie. c) Construir a pirámide de base cuadrada, medir la longitud de sus lados, calcular la altura, calcular el área basal, y con esto, calcular el volumen y la superficie. En un nivel 3, pedir a los alumnos: Construir una pirámide 1, de base rectangular, con una altura fija, y en que el largo del rectángulo basal es el doble del ancho, digamos, “a”. Luego, construir una pirámide 2, de base cuadrada de medida “a”. Calcular el área basal de ambas pirámides y, con esto, calcular el volumen y la superficie. Comparar los resultados obtenidos.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales y usando tecnología calcular superficies y volúmenes de cilindros y conos. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por todo el curso en una puesta en común.
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58
EJE DE ÁLGEBRA
59
60
ESTÁNDAR El alumno plantea situaciones relacionadas con ecuaciones.
OF y CMO ASOCIADOS
OF: 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas.
CMO: 5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos.
1 61
ESTÁNDAR 1: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Plantea ecuaciones que repre-
Conjetura acerca del tipo de va-
Crea problemas que presenten
sentan la relación entre dos va-
riación que presentan las varia-
distintos tipos de variaciones,
riables y analiza la forma en que
bles.
presentadas en forma de tablas
éstas varían.
y gráficos. Reconoce problemas de variaciones no lineales.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Plantear ecuaciones que relacio-
-Presentadas las variables en forma
-Crear problemas que presen-
nen entre dos variables.
de tablas y de gráficos, conjeturar
ten distintos tipos de variaciones,
-Analizar la forma en que varía
el tipo de variación que presentan.
presentadas en forma de tablas y
una variable en función de la otra.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
62
gráficos. -Reconocer problemas de variaciones lineales y no lineales.
-Ecuaciones lineales.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Determinar cuáles de los siguientes gráficos representa una dependencia lineal entre las variables.
2. Las tablas siguientes muestran la variación de una variable Y a medida que se modifica la variable X. Decidir si a mayor valor de X, es mayor o menor el valor de Y. ¿En qué caso(s) la dependencia es lineal?
En un nivel 3, pedir a los alumnos indicar, dadas las tablas y los gráficos: ¿En qué casos hay o no dependencia lineal? ¿En cuáles la forma de relación entre las variables es directa? ¿En cuáles es inversa?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios geométricos en que se visualice si la dependencia entre variables es o no lineal. Este tipo de evaluaciones pueden ser dadas por el profesor como trabajo en grupo y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
63
64
ESTÁNDAR El alumno conoce y utiliza funciones reales.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas.
CMO: 6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos; distinción entre variables dependientes e independientes en ellas; e, identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones.
2 65
ESTÁNDAR 2: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Reconoce funciones en diversos
Resuelve problemas de determi-
Resuelve problemas de determi-
contextos, reconoce la notación
nar imágenes y dominio de una
nar imágenes y dominio de una
de función. Distingue variable
función.
función. Conjetura acerca del
independiente y dependiente.
recorrido de una función y es
Identifica dominio y recorrido.
capaz de calcular recorridos de funciones simples.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Reconocer funciones y aplicar la
-Determinar imágenes de elemen-
-Conjeturar acerca del recorrido de
notación en elementos.
tos dados aplicando una función.
una función dada la imagen.
-Distinguir de una función dada
-Determinar dominio de una fun-
-Calcular recorridos simples.
la variable dependiente e inde-
ción, dada la imagen.
pendiente. -Dada la función, identificar el dominio y el recorrido.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
66
-Funciones reales.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. La función f(x) está definida por f(x)= 2x-3, calcular: f(2), f(5), determinar además para que valor(es) de x en R, f(x)=0. 2
2. Determinar el dominio y el recorrido de f(x)= x +3, calcular f(2) y f(-2). 3. Una persona compra una planta de interior de 20 cm de alto y observa que a las 2 semanas la planta crece 1 cm. Si el crecimiento es proporcional al crecimiento, determina la función que determinar la altura de la planta en términos del tiempo (en semanas). Graficar. En un nivel 3, plantear problemas como: a) Si el dominio de f(x)=3x-1, es [3,5], determinar el recorrido. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x)=x2 + 1, si el dominio es R? ¿Y si el dominio es [2,5]? ¿Y si es [-1,3]?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo imágenes de un elemento por una función dada, de dominio y recorrido. Este tipo de evaluaciones deben ser revisadas por el profesor y discutidos luego por todos los alumnos.
67
68
ESTÁNDAR El alumno conoce de proporciones.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
CMO: 7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional.
3 69
ESTÁNDAR 3: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Reconoce las relaciones de pro-
Argumenta acerca de la forma
Infiere acerca de la forma en que
porcionalidad directa e inversa
en que difieren las relaciones
las variables se relacionan.
en términos de una función y re-
de proporcionalidad versus las
presenta gráficamente funciones
de no proporcionalidad y crear
en estos casos y compara la for-
problemas que representen ti-
ma de relación de proporciona-
pos de proporcionalidad directa
lidad con la de variables relacio-
e inversa.
nadas en forma no proporcional.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Reconocer la proporcionalidad
-Argumentar acerca de la forma
-Inferir acerca de la forma en que
directa e inversa y las representa
en que difieren las relaciones de
las variables se relacionan en los
gráficamente.
proporcionalidad versus las de no
casos proporcionales y no propor-
proporcionalidad.
cionales.
-Comparar la forma de relación de las variables en términos de su proporcionalidad.
-Crear problemas que representen tipos de proporcionalidad directa e inversa.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
70
-Proporcionalidad.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Un pintor pinta una pared en 2 horas, si la función f(x)= ax+1, representa el número de pintores que se necesitan y f(x) el tiempo (en horas) que demoran en pintar la pared. Determinar el valor de “a”, analizar el resultado, graficar la función y calcular f(6). 2. Un pintor pinta un poste en 2 horas. Si la función f(x)= ax representa el número de postes pintados y f(x) el tiempo (en horas) que se demoran en pintarlos, determinar el valor de “a”, analizar el resultado, graficar la función y calcular f(6). Comparar con el caso anterior. 3. Graficar la función f(x)=ax+b, para algunos valores específicos de “b”, en los casos a>0 y a<0. Determinar el tipo de relación entre las variables. En un nivel 3, se puede pedir a los alumnos diseñar al menos un problema de proporcionalidad directa y uno de proporcionalidad inversa y resolver algún problema de reparto proporcional, por ejemplo: Se deben repartir $500000 entre 3 empleados. Si el primero trabajó 2 días, el segundo trabajó 3 días y el tercero trabajó 5 días, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos calcular proporciones y variables dadas mediante proporcionalidad. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
71
72
ESTÁNDAR El alumno escribe resuelve y analiza problemas de proporcionalidad.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
CMO: 8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. 9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático.
4
73
ESTÁNDAR 4: EJE DE ÁLGEBRA
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Analiza situaciones con magni-
Elabora estrategias de cálculo
Resuelve problemas que involu-
tudes proporcionales como no
mental para el cálculo de una
cran plantear las variables y apli-
proporcionales, mediante el uso
variable dada la proporcionali-
car la proporcionalidad.
de software gráfico. Resuelva
dad con otra.
problemas simples en que aplica la relación de proporcionalidad.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Analizar situaciones con mag-
-Elaborar estrategias de cálculo
-Resolver problemas que involu-
nitudes proporcionales como no
mental para el cálculo de una va-
cran plantear las variables y aplicar
proporcionales, mediante el uso
riable dada la proporcionalidad
la proporcionalidad.
con otra.
-Conjeturar en problemas dados
de software gráfico. -Resolver
problemas
simples
para aplicar la relación de pro-
la forma en que se modifican las variables.
porcionalidad.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
74
-Proporcionalidad.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Las variables X e Y son proporcionales, completa la tabla e indica en qué forma están relacionadas las variables. X 2 3 5 8 12 Y 14 35 77 2. Si dos variables dos kilos de tomates cuestan $1100, ¿cuántos kilos se pueden comprar con $3850? 3. En una fiesta hay 80 dulces para 20 personas, si hay 2 personas que no asisten a la fiesta, ¿cuántos dulces debería sobrar, si la proporción de dulces por persona se mantiene? En un nivel 3, resolver algún problema como: Si la variable Y es siempre el doble de X, entonces, si Y aumenta al doble, ¿en cuánto aumenta X? ¿Y si Y es el triple de X?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de cálculo escritos en que pida a los alumnos determinar la constante de proporcionalidad o usar el valor de la constante para determinar resultados. Este tipo de evaluaciones pueden serán revisadas por el profesor y sus resultados discutidos por todo el curso en una puesta en común.
75
76
EJE DE DATOS Y AZAR
77
78
ESTÁNDAR El alumno interpreta datos agrupados.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes.
CMO: 16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas.
1 79
ESTÁNDAR 1: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Resuelve problemas con infor-
Relaciona la forma de presen-
Crea problemas ideando distin-
mación extraída de tablas de fre-
tación de la información con la
tas tablas de frecuencias que
cuencias con datos agrupados
forma de recolección de ésta.
representen alguna situación a analizar.
en intervalos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Resolver problemas con infor-
-Relacionar la forma de presenta-
-Crear problemas ideando distintas
mación extraída de tablas de fre-
ción de la información con la for-
tablas de frecuencias que repre-
cuencias con datos agrupados
ma de recolección de ésta.
senten alguna situación a analizar.
en intervalos.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
80
-Tablas y gráficos.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. La siguiente tabla de frecuencia muestra la estatura de 100 alumnos de 4° medio: Estatura (metros) fi 1.60 - 1.64 5 1.65- 1.69 12 1.70 – 1.74 48 1.75 – 1.79 29 1.80 – 1.84 6 Completar la tabla con las frecuencias acumuladas y responder: • ¿Cuántos alumnos miden menos de 1,70 m? • ¿Cuántos alumnos miden más de 1,75 m? • ¿Cuántos alumnos miden más de 1,69 m, pero menos de 1,80m? • ¿Cuántos alumnos miden menos de 1,80 m? En un nivel 3, pedir a los alumnos que a partir de una tabla de frecuencias relativas, puedan graficar la información y obtener las frecuencias acumuladas.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de interpretación de valores en tablas de frecuencias. Este tipo de evaluaciones son revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común. 81
82
ESTÁNDAR El alumno tabula información.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos.
CMO: 17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos.
2 83
ESTÁNDAR 2: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Construye tablas de frecuencia
Construye en forma manual ta-
Compara los valores de la me-
con datos agrupados en interva-
blas de frecuencias con datos
dia y la moda considerando los
los y determina mediante herra-
agrupados en intervalos y calcula
datos agrupados en distintos in-
mientas tecnológicas y calcula la
la media y la moda.
tervalos.
media aritmética y la moda.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Construir mediante herramien-
-Construir en forma manual tablas
-Calcular la media para un grupo
tas tecnológicas tablas de fre-
de frecuencia con datos agrupa-
de datos, considerando distinta
cuencia con datos agrupados en
dos en intervalos.
cantidad de intervalos.
-Calcular en forma manual la me-
-Calcular la moda para un grupo
dia aritmética y la moda de datos
de datos, considerando distinta
agrupados.
cantidad de intervalos.
intervalos. -Calcular mediante herramientas tecnológicas la media aritmética y la moda de datos agrupados.
-Comparar los valores de la media y la moda en términos de la cantidad de intervalos.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
84
-Tablas de frecuencia.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. La siguiente tabla de frecuencia muestra la estatura de 100 alumnos de 4° medio: Estatura (metros) f i 1.60 - 1.64 5
1.65 1.70 1.75 1.80
- 1.69 - 1.74 - 1.79 - 1.84
12 48 29 6
Calcular la media y la moda de los datos agrupados. 2. Los datos siguientes corresponden a las notas de 30 alumnos de 8° básico en Matemáticas: 2.3, 5.5, 4.5, 3, 4, 3.5,3.2,5.2,6,6.8,6.7,4.5,4.8,4.9,6.8,6.9,7,6.2,4.5,3.8,5.4,5.6,6.2,6.1,3.3 ,6,4,5,5.1,6.7 Ordenar las notas considerando 6 intervalos, calcular la media y la moda. Ordenar las notas considerando 5 intervalos, calcular la media y la moda, y comparar con los datos obtenidos anteriormente. En un nivel 3, pedir a los alumnos, por ejemplo, cuál debe es el valor de la media para f=15, f=25, f=35 en que la tabla de frecuencias es: Intervalo Frecuencia 50-55 12 56-61 18 62-67 f 68-73 5 ¿Cómo varía en cada caso la media? ¿Y la mediana?
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones individuales mediante ejercicios de de la media y la moda de datos agrupados en tablas de distinto número de intervalos. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común. 85
86
ESTÁNDAR El alumno conoce de muestras aleatorias.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan.
CMO: 18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos. 19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan.
3 87
ESTÁNDAR 3: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Calcula valores de medidas de
Analiza el comportamiento de
Argumenta acerca de la forma
tendencia central en muestras
una muestra de datos, reconoce
en que comporta una población
aleatorias. Reconoce caracterís-
comportamientos de la pobla-
en términos de los resultados de
ticas de la población a partir de
ción de donde fueron extraídos.
muestras extraídas de ella.
muestras extraídas de ella.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Considerar distintas muestras
-Analizar el comportamiento de
-Inferir resultados de la población
aleatorias de una población y
una muestra de datos en cuanto
a partir de los resultados de las
calcular las medidas de tenden-
a los valores de las medidas de
muestras.
cia central. -Comparar los valores obtenidos de distintas medidas para las distintas muestras, de forma de conjeturar acerca de los valores de3 la población.
tendencia central y a los rangos de variación de éstos. -Reconocer comportamientos de la población de donde fueron extraídas las muestras a partir de los datos de éstas.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
88
Nivel 3
-Muestras aleatorias. Medidas de tendencia central.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Recopilar información acerca de las temperaturas mínima en la ciudad de Santiago, en el mes de Junio, en los últimos 5 años. Ordenar los datos marcando con un color distinto para cada año. Elegir varias muestras al azar de 50 datos y calcular las medidas de tendencia central. Comparar los resultados. Calcular las medidas de tendencia central para los datos de los 5 años. ¿Se mantiene la media? Determinar si con sólo los valores obtenidos en las muestras se puede establecer la temperatura mínima de un “año normal”. 2. ¿Qué sucede con la moda de las muestras en relación con la de todos los datos en conjunto? ¿Es similar la variación a la media? En un nivel 3, dar por ejemplo 10 muestras extraídas de una población, cuyas medias fluctúen entre 3,5 y 3,7 y analizar entre que valores posibles fluctúa la media de la población. Luego dar 20 muestras cuyas medias tengan la misma fluctuación y analizar la variación de la media de la población.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice evaluaciones grupales en que los alumnos deban recopilar información, extraer muestras y calcular las medidas de tendencia central. Este tipo de evaluaciones pueden ser revisadas tanto por el profesor como por compañeros de clase y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
89
90
ESTร NDAR El alumno conoce de sucesos equiprobables.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 10. Determinar teรณricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.
CMO: 20. Anรกlisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulaciรณn de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnolรณgicas.
4
91
ESTÁNDAR 4: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Mediante herramientas tecnoló-
Construye problemas en los cua-
Construye sucesos que no son
gicas simula experimentos alea-
les aparecen sucesos equiproba-
equiprobables,
torios e identifica sucesos que
bles.
cuáles tienen más probabilidad
son equiprobables.
determinando
de ocurrencia.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Conocer el concepto de equi-
-Construir problemas en los cuales
-Construir sucesos que no son
probable e identificar situaciones
aparecen sucesos equiprobables.
equiprobables. -Determinar en sucesos no equi-
en que éstos aparecen.
probables, cuáles tienen más pro-
-Mediante herramientas tecno-
babilidad de ocurrencia.
lógicas, simular experimentos aleatorios e identificar sucesos que son equiprobables.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
92
-Probabilidades.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1. Lanzar un dado no cargado 50 veces y observar la cara superior que aparece, anotar el número de veces que aparecen el 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Hay números que hayan salido con mayor frecuencia? ¿Y con menor? 2. Simula la extracción de una bola, de una caja que tiene 4 bolas rojas, 4 bolas verdes y 4 bolas amarillas, todas del mismo tamaño. Se extrae al azar una bola y se anota el color que aparece y luego se devuelve a la caja, repite la experiencia 60 veces. ¿Hay algún color que aparezca más veces? ¿Y menos veces? 3. Compara el resultado anterior, con el mismo experimento, pero esta vez en la caja hay 8 bolas rojas, 3 bolas verdes y 1 bolas amarillas. ¿Hay algún color que aparezca más veces? ¿Y menos veces? En un nivel 3, simular algún experimento. Por ejemplo, la extracción de una carta de una baraja de 52 cartas. Repetir varias veces el experimento y anotar qué pinta tiene la carta elegida. Analizar si hay alguna pinta que aparece más veces y conjeturar cuál es el valor de la probabilidad de obtener una pinta cualquiera.
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Simular experimentos aleatorios y evaluar el trabajo grupal. Este tipo de evaluaciones serán revisadas por el profesor y sus resultados revisados por todo el curso en una puesta en común.
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ESTÁNDAR El alumno calcula probabilidades.
OF y CMO ASOCIADOS OF: 10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.
CMO: 21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. 22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.
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ESTÁNDAR 5: EJE DE DATOS Y AZAR
PROGRESIÓN DEL ESTÁNDAR Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Determina el espacio muestral
Resuelve problemas en que debe
Conjetura la forma de la función
de un suceso y su cardinalidad.
determinar la probabilidad de
de probabilidades para distintos
Calcula el número de resultados
ocurrencia de varios sucesos y
sucesos.
posibles y usa el modelo de La-
compara los resultados de las
place para calcular probabilida-
probabilidades obtenidas.
des.
INDICADORES DE DESEMPEÑO Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
El alumno es capaz de:
-Determinar el espacio muestral
-Resolver problemas en que debe
-Conjeturar la forma de la función
de un suceso y su cardinalidad.
determinar la probabilidad de ocu-
de probabilidades para distintos
-Calcular el número de resulta-
rrencia de varios sucesos.
sucesos de un experimento dado.
dos posibles de un suceso dado. -Usar el modelo de Laplace para calcular probabilidades de un suceso dado.
-Comparar los resultados de las probabilidades de ocurrencia de distintos sucesos, que tienen misma y distinta probabilidad.
CONTENIDOS DISCIPLINARIOS ASOCIADOS AL EJE
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-Probabilidades.
TAREAS DE APRENDIZAJE 1.Se lanzan dos dados una vez y se observa los números que aparecen. -Determinar el espacio muestral. -Calcular la probabilidad de que: a)El primer dado sea un 1. b)En ambas dados salga un 6. c)En ambos dados salga el mismo número. d)El primer dado sea un 3 y la suma de los dos sea menor que 4. e)La suma de ambos dados sea un 4. -Compara los resultados en los casos b) y c). 2.Considerando el resultado anterior, determinar la probabilidad de que la suma de las caras sea 2, 3, 4,...,12.
En un nivel 3, plantear un problema como: En una caja hay 3 bolas rojas, 4 blancas y 6 azules. Se extrae una bola al azar, determinar la probabilidad de que la bola elegida sea. a) Blanca b) Roja c) Azul d) No sea roja e) Sea roja, si ya se sacó una bola roja f) Sea roja, si ya se sacó una bola azul
ORIENTACIONES EVALUATIVAS Realice primero evaluaciones grupales que sean discutidas por todo el curso, y luego realice evaluaciones individuales que serán revisadas por el profesor.
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GLOSARIO
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Aprendizaje mecánico: Incorporación de conoci-
Contenido: Elemento del currículo que constituye el
mientos sin integración a la estructura cognitiva del estudiante. Es básicamente una adquisición memorística sin significado.
objeto directo de aprendizaje para los estudiantes. Es el medio para conseguir el desarrollo de capacidades. Los contenidos tienen tres dimensiones: Concepto, procedimiento y actitud.
Aplicar: Implica poner en práctica un conocimiento a fin de obtener un determinado efecto. Incluye las habilidades de implementar, seleccionar, representar, modelar y resolver problemas haciendo uso de conocimientos, herramientas matemáticas, datos e información. Aprendizaje significativo: Supone la incorporación del conocimiento a la estructura cognitiva del estudiante pasando a formar parte de su memoria comprensiva. Este aprendizaje se produce en estudiantes motivados mediante las conexiones y relaciones que se establecen entre los conocimientos previos y el nuevo conocimiento.
Saber: Integra las habilidades de recordar, reconocer, recuperar información, clasificar, ordenar, calcular y medir. Estas habilidades son aplicadas a los ámbitos de la información, conceptos y procedimientos. Razonar: Supone ordenar ideas para llegar a una conclusión que se observa en las habilidades de analizar, generalizar, sintetizar, integrar y resolver problemas no rutinarios. El razonamiento matemático supone el pensamiento inductivo, deductivo, lógico y sistemático.
Capacidad: Aptitud, talento, cualidad que dispone a alguien para el buen ejercicio de algo. Las capacidades pueden ser cognitivas o intelectuales, psicomotrices, afectivas, de interrelación u otras. Concepto: Representación de ideas generales abstractas que se obtienen a partir de la consideración de determinados aspectos de los objetos, hechos, símbolos, fenómenos, etc., que poseen ciertas características comunes. Permiten, por tanto, organizar la realidad y poder predecirla.
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BIBLIOGRAFÍA
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Diccionario Educacional, Franklin V. Sovero Hinostroza. Diccionario Real Academia Española, www.rae.es. Glosario de términos educativos: www.profes.net.
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M谩s informaci贸n: www.codeduc.cl/estandaresdeaprendizaje
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