1° sistemas de ecuaciones con plantilla by marcela gutierrez

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Detección de un terremoto Al producirse un terremoto se libera una cantidad muy elevada de energía sísmica que se propaga en todas direcciones a través de la Tierra bajo la forma de ondas elásticas. Se conocen varios tipos de ondas pero las principales son las ondas P y las ondas S. Las primeras, también llamadas primarias (P) o compresionales, hacen que las partículas del terreno se desplacen en la dirección de propagación produciendo compresión y dilatación del terreno. Son las más veloces de todas las ondas sísmicas y, por ende, son siempre las primeras en llegar a cualquier punto, ser sentidas y registradas en los sismogramas. Las segundas, denominadas también secundarias (S), ondas de corte o de cizalla, permiten que las partículas del terreno se desplacen en forma perpendicular a la dirección de propagación.

La figura ilustra un sismograma obtenido en cercanías del foco sísmico (epicentro). Se observan las llegadas de las ondas P y S.

A partir de un sismograma es posible conocer los tiempos de llegada, TP y TS , de las ondas P y S respectivamente. De la diferencia (TP - TS) es posible, haciendo uso de las tablas de Jeffrey, estimar las velocidades de propagación de las ondas, VP y VS. Si se acepta el modelo de un terreno homogéneo en el que las velocidades de las ondas sísmicas son constantes es posible plantear un sistema de ecuaciones que permitirá calcular la distancia “d” a la que se produjo el sismo desde el observatorio y la hora “T0” en que se produjo:

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales se obtiene: T0 (momento en que tuvo lugar el sismo) y d (a qué distancia del observatorio sísmico). El lugar donde se produjo el sismo, se denomina foco, y el sitio, ubicado sobre la superficie de la tierra, perpendicular al foco, se denomina epicentro.

Nota: Cómo la energía sísmica se propaga en toda dirección, no es posible establecer con certeza la posición geográfica del foco sísmico. La distancia “d” se interpreta entonces como el radio de una circunferencia en cuyo centro se halla el observatorio y cualquiera de los puntos situados sobre dicha circunferencia podría ser el lugar dónde se produjo el sismo. Ejemplo: En una estación de observación se obtiene un sismograma donde puede leerse que a las 10hs 23min 37seg, han llegado las ondas P de un sismo. A las 10hs 24min 22seg, se observa la presencia de las ondas S. Las velocidades estimadas por las tablas de Jeffrey son: Vp = 7,2 km/seg y Vs = 4,15 km/seg. Calcular distancia del epicentro y hora en que el sismo tuvo lugar.

El sistema de ecuaciones con estos datos nos queda:

Si despejamos T0 de ambas ecuaciones obtenemos T0 =

y T0 =

Como T0 es el mismo para ambas ecuaciones, podemos igualar las expresiones y nos queda: .

(

)

d.0,1020seg/km = 45seg→d = 45:0,1020seg.km/seg d = 441, 17 km Entonces T0 = 37417seg – 441,17km:7,2 km/seg = = 37355,72639seg = 10hs 22min 35,726seg

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Ecuación Lineal: Conocemos muchos tipos de ecuaciones: √ Una ecuación lineal o de primer grado en n incógnitas x1, x2, ... , xn es una expresión de la forma:

a1 x1  a2 x2    an xn  b

(1)

donde las incógnitas tienen exponente igual a uno y no están multiplicadas entre sí, los coeficientes de la ecuación, es decir, a1, a2, ... an son números reales y b, llamado término independiente, también es un número real.

Ejemplos 1) 2x + 5 = 7 ecuación lineal de una incógnita 2) 2x + y = -3 ecuación lineal de dos incógnitas 3) 3x + 2y – z = 1 ecuación lineal de 3 incógnitas Se llama solución de la ecuación de n incógnitas a toda n – upla (k1, k2, ... , kn) de números reales que reemplazados ordenadamente en lugar de las incógnitas x1, x2, ... xn convierten a la expresión (1) en una identidad. Se dice que k1, k2, ... , kn satisfacen la ecuación. Ejemplos Consideremos las ecuaciones dadas en los ejemplos anteriores: 1) x = 1 es solución de la primer ecuación pues 2. 1 + 5 = 7 2) (0, -3); (1, -5) son soluciones de la segunda ecuación pues 2.0 + (-3) = -3

2.1 + (-5) = -3

En cambio el par (1, 2) no es solución pues 2.1 + 2  -3 Sin embargo, estos dos pares no son las únicas soluciones para esta ecuación, serán solución todos los pares de la forma (x, -3 – 2x). Veamos distintas maneras de expresar el mismo conjunto solución: S = ( x,3  2 x) / x  R S = ( x, y) / y  3  2 x

x, y  R

  3  y   , y  / y  R   2 

S = 

 

S = ( x, y ) / x 

3 y 2

 x, y  R 

3) (0, 0, -1), (1, 0, 2) son soluciones de la tercera ecuación. Pero esta ecuación tiene infinitas ternas que son solución. Veamos cómo hallarlas:

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología 

Si despejamos z , z = 3x + 2y – 1 entonces

S  ( x, y, 3x  2 y 1) / x, y  R ó S  ( x, y, z) / z  3x  2 y 1 x, y  R 

Si despejamos y , y =

1  z  3x entonces 2

 1  z  3x   1  z  3x  S   x, , z  / x, z  R ó S  ( x, y, z ) / y  2 2     

Si despejamos x, x =

 x, z  R 

1 z  2y entonces 3

 1  z  2 y  1 z  2y   S   , y , z  / y, z  R ó S  ( x, y, z ) / x  3 3    

 y, z  R  

Se llama sistema de m ecuaciones con n incógnitas x1, x2,…, xn a un conjunto finito de m ecuaciones lineales. Esto es:

a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2 (1)       a m1 x1  a m 2 x2    a mn xn  bm donde los aij son números reales y se llaman coeficientes y los bi también son números reales llamados términos independientes. 

Si b1 = b2 =…= bm=0 entonces el sistema se dice homogéneo.

Ejemplos:

 2x  z  1 2 z  y  3  1)  2 y  z  7  x  y  5

sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas, no homogéneo pues b10

 2x  3y  w  0 sistema de 2 ecuaciones y 4 incógnitas, homogéneo pues b1=b2=0  x  y  z  3w  0

2) 

x  2  3 y  0  3)  z  2 x  0   1  3z  0 

sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas, no homogéneo, pues b1 y b3 no son cero ya que b1 = 2 y b3= 1.

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Se llama solución de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas a toda n-úpla (k1, k2, ... , kn) de números reales que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.

Ejemplos: 1)

2 x  3 y  z  1   yz 3

z  3  2x  0  2) 1  x  z  0  x  4 z  0 

(-4, 3, 0) es solución del sistema, pues verifica las dos ecuaciones. (0, 0, 1) verifica sólo la primer ecuación . Por lo tanto no es solución.

x

4 1 z   es la única solución del segundo sistema. 3 3

Puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución, en ese caso se dice que el sistema es incompatible. Si tiene solución se dice compatible, pudiendo ser compatible determinado si la solución es única o compatible indeterminado si tiene más de una solución. Ejemplos Veamos los siguientes sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: a)

2 x  y  3  x  2 y  4

Despejamos y = 3-2x en la primer ecuación y reemplazamos en la segunda: x -2(3-2x) = 4 despejando x = 2. Si x = 2 entonces y = -1 Luego el sistema es compatible determinado y su única solución es (2,-1).

2 x  y  3  b)  1  x  2 y  5

De la primer ecuación y = 3 –2x y de la segunda y = 10-2x. Igualando: 32x = 10-2x entonces -2x +2x= 7 no existe x. Luego el sistema no tiene solución, es decir, es incompatible.

 x  y  2  0 c)  2 x  2 y  4  0

De la primer ecuación y = x + 2 y de la segunda y 

 2x  4 entonces 2

x + 2 = x + 2, es decir 0x = 0 para todo número real x. Luego el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Se simboliza:

S  ( x, x  2);x  R

En el caso de los ejemplos anteriores (dos ecuaciones con dos incógnitas) podemos interpretarlos geométricamente de la siguiente manera:

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-1

-2

Incompatible ( I )

Compatible determinado (CD) Ejemplo

Compatible indeterminado (CI )

¿Qué puede suceder con un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas gráficamente? L1

L2 L3

L1 L2 L1=L2=L3

x I

x y

L1=L2

x CD

Resolución de sistemas de m ecuaciones con n incógnitas Dado un sistema de ecuaciones lineales se plantean dos problemas: 1) Analizarlo: determinar si tiene solución y el número de soluciones. 2) Hallar la solución: encontrar las n-úplas, si las tiene, que satisfagan todas las ecuaciones del sistema. Representación matricial Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en forma matricial de dos maneras: 1) Por una ecuación matricial: AX = B donde

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 a11 A    a m1

a12  am2

 a1n     que es la matriz de los coeficientes  a mn 

 x1  x  X   2  que es la matriz de las incógnitas     xn   b1  b  2 B    que es la matriz de los términos independientes     bm   a11 a12  a1n   x1   b1                pues AX = B se escribe  a m1 a m 2  a mn   xn  bm   a11 x1  a12 x 2    a1n xn   b1   a11 x1    a1n x n  b1                    a m1 x1  a m 2 x 2    a mn x n  bm  a m1 x1    a mn xn  bm 2) Por la matriz ampliada: es la matriz de los coeficientes ampliada con los términos independientes.

 a11  A    a m1

a12 

 a1n 



a m 2  a mn

b1    bm 

Ejemplo:

3x1  2 x 2  4  Si el sistema es  2 x1  x 2  3 entonces  x x 6 2  1  3 2  4  x1      la forma matricial es 2 1    3   x   2 1 1  6   X A

3 2  y la matriz ampliada es 2 1 1 1

4  3  A 6

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Método de eliminación de Gauss ó de triangulación Definición: dos sistemas S1 y S2 de ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, el objetivo es determinar un sistema equivalente al dado que nos permita hallar la solución completa del sistema. Para obtener un sistema equivalente se aplican las operaciones elementales que son: 1) Intercambiar dos ecuaciones entre sí del sistema. 2) Multiplicar una ecuación del sistema por un escalar k distinto de cero. 3) Reemplazar una ecuación del sistema por la suma de ella más otra cualquiera multiplicada por un escalar. El método de Gauss consiste en que mediante la aplicación de las operaciones elementales a las ecuaciones del sistema, se obtenga un sistema equivalente en el que la primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda n – 1 incógnitas y así sucesivamente hasta que la n-ésima ecuación tenga una incógnita. Se utiliza el valor conocido de la última incógnita y se va haciendo la sustitución en la ecuación anterior, es decir, primero se conoce xn, luego xn-1 y así hasta x1 siempre que el sistema sea compatible. Método práctico Al aplicar el método de eliminación de Gauss lo único que modificamos son los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes del sistema, por eso se trabaja con la matriz ampliada del sistema y buscamos una matriz reducida aplicando las operaciones elementales para matrices: 1) Intercambiar dos filas entre sí del sistema. 2) Multiplicar una fila por un escalar k distinto de cero. 3) Reemplazar una fila por la suma de ella más otra cualquiera multiplicada por un escalar. Es decir, se considera la matriz ampliada del sistema y se aplican las operaciones elementales para transformarla en una matriz escalonada (los elementos que están por debajo de la diagonal son ceros). Ejemplos: 1)

3x  2 y  z  1 3 2 1    A  1 0 1  xz 0  y  2z  1 0 1 2  

F1 ( 3)  F3  F3

1 0 1 1   0  3 2 1 F1  F2 0 1 2 1

1 0 1  0 1 2 0 2  2

1 0 1 0   1   0 1 2 F2  F3 3 2 1 1

1 0 1 0   1  0 1 2 F2 ( 2 )  F3  F3  0 0  6 1

0  1  1

0  1 1

Tenemos igual cantidad de incógnitas que ecuaciones, entonces el sistema es CD, es decir

 6 z  1  z 

1 6

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología y  2z  1  y  1  2z  1 

2 2  6 3

 1 2 1 , ,   6 3 6

Por lo tanto, S   

x  z  0  x  z  

1 6

2 x  y  z  1 2 1  1   1 1 1 x yz 2  A   3 2 0  3x  2 y  3   x  2 z  1 1 0  2  1  0  3  2 1  0  0  0

0 2 1

1

0 2 1

1  0  F2 ( 1)  F4  F4 0  0

1 1   2 1   3 F1 F4 3   1  2

0 2 1

1

1  1   3 0  3  F1 ( 3) F3  F3 0   3  2 1  1   3 0  6  F2 ( 2) F3  F3 0   3  0 0 2 1

 1  2  3  F1 ( 1) F2  F2  1 

0 2 1

1

0 2 1

 1  3  6  F1 ( 2) F4  F4  1   1  3  0  3 

 1  3 0  0 

Nos queda un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, es decir

y  3z  3  y  3  3z

x  2z  1  x  1  2 z Por lo tanto S   1  2 z,3  3z, z  , z  R es la solución general pues el sistema es CI. Soluciones particulares son (-1, 3, 0); (1, 0, 1); .... 3)

2 x  y  z  1  x yz 2  3x  2 y  1 

2 1  1 1  1 1 1 2       A  1 1 1 2  2 1  1 1  F2  F1 F1 ( 2 )  F2  F2 3 2 0 1 3 2 0 1

1 1 1   0  1  3 3 2 0

1 1 2 1    3  0 1  3 F1 ( 3)  F3  F3  0  1  3 1

1 1 2 1    3  0 1  3 F2 ( 1)  F3  F3  0 0  5 0

2   3  2

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología es decir 0 z  2 . Por lo tanto no existen valores de z que satisfagan esta ecuación. Luego, el sistema es Incompatible. Conclusión: después de aplicar Gauss, si la matriz reducida:



  tiene una fila del tipo  0 0 0  0

   b  0, el sistema es Incompatible. b



representa un sistema con igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado.



representa un sistema con menos cantidad de ecuaciones que de incógnitas, el sistema es Compatible Indeterminado.

Sistemas Lineales Homogéneos Recordemos que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas se dice que es homogéneo si todos sus términos independientes son cero. Es decir,

 a11 x1  a12 x 2    a1n x n  0 a x  a x    a x  0  21 1 22 2 2n n     a m1 x1  a m 2 x 2   a mn x n  0 Una solución evidente de cualquier sistema homogéneo es x1  x2  ...  x n  0 . Esta solución se llama solución trivial. Si se conoce otra solución no trivial del sistema, entonces se conocen infinitas soluciones. Por lo tanto, nunca hay sistemas homogéneos incompatibles, o tienen una solución o tienen infinitas soluciones. En consecuencia, un sistema homogéneo siempre es compatible. Ejemplo:

1 0 1 0  2 x1  3x 2  x3  0 2 3  1 0     F    F2 2 3  1 0 F1 ( 2 )  F2  F2 1 0 1 0 x1  x3  0 1      1 0 1  0 3  3 entonces x1  x3

1 0 1 0 0     0 F2  1  0 1  1 0 3  0  x1   x3

x2  x3  0  x2  x3

Por lo tanto la solución general es S   x3 , x3 , x3  x3  R .

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Resolución de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas Existen otros métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales para sistemas de la forma AX=B donde A es una matriz cuadrada con determinante distinto de cero Método de Cramer Podemos utilizar este método para resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Según el método, la solución del sistema es:

x1 

det( An ) det( A1 ) det( A2 ) ; x2  ;  ; xn  det( A) det( A) det( A)

donde A j es la matriz que se obtiene al reemplazar los elementos de la j-ésima columna de A por la columna de los términos independientes, es decir la matriz B.

Ejemplo:

3x  2 y  z  1 3 2 1      x  z  0  A  1 0 1  y  2z  1 0 1 2 

A  6

1 2 1 A1 1 A1  0 0 1  x1   A 6 1 1 0 3 1 1  A2 2 A2  1 0 1   x 2   A 3 0 1 2 3 2 1  A3 1 A3  1 0 0  x3   A 6 0 1 1  1 2 1 S   , ,  el sistema es CD  6 3 6 El método de Cramer nos permite analizar la compatibilidad del sistema. Si A  0 entonces es CD. Si A = 0 entonces: - si A j  0 j es CI. -si A j  0 para algún j es I.

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Si el sistema es homogéneo y A  0 es CD donde S = (0, 0, ..., 0). Si el sistema es homogéneo y A  0 es CI . Ejemplo:

2 x  y  z  1  x yz 2  3x  2 y  1 

2 A  1 3 1 1 A1  2 1 1 2 2 A2  1 3 2 A3  1 3

1  1 1 1   A  0 , luego es CI ó I. 2 0   1 1   A1  4 0 

1  1 2 1   A2  6 1 0  1 1 1 2  A3  2 2 1

Luego, el sistema es Incompatible.

Método de la matriz inversa En la representación matricial de un sistema

A. X  B

si | A| 0 multiplicamos por A 1 a izquierda

A1. A. X  A1.B I . X  A 1 .B X  A 1 .B La matriz columna solución se obtiene multiplicando la inversa de la matriz de los coeficientes A por la matriz columna B de los términos independientes. Veamos en el ejemplo anterior sobre minerales en rocas metamórficas. Volviendo al ejemplo de matrices de rocas metamórficas, establecida la asociación mineral presente es posible determinar la petrogénesis de la roca, es decir en qué condiciones de temperatura y presión se formó. Más aun, no solamente es posible describir al sistema en función de los tres óxidos fundamentales, sino que es posible determinar la composición de cada uno de los minerales constituyentes en función de la composición química de otros minerales considerados, pertenecientes a la misma serie. En otras palabras, es posible elegir un cierto número de minerales de la serie, considerarlos como elementos formadores de otros minerales de la misma serie y calcular en qué proporción participan de su formación.

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Ejemplo: Si se consideran los siguientes minerales: Forsterita: 1 SiO2 + 2 MgO + 0 H2O Brucita: 0 SiO2 + 1 MgO + 1 H2O Talco: 4 SiO2 + 3 MgO + 1 H2O y se organiza en forma de tabla la información que se obtiene de la anterior operación matricial:

Forsterita Brucita Talco Enstatita Antofilita Cuarzo Periclasa Antigorita Fluído Fo Brc Tlc En Ath Qtz Per Atg FL Qtz (SiO2)

Per 2 (MgO) FL 0 (H2O)

Es posible obtener la composición de la Antofilita (8 SiO2 + 7 MgO + 1 H2O) en función de los tres minerales elegidos. Para simplificar la escritura se puede escribir: SiO2 = v1 ; MgO = v2 ; H2O = v3 ; y además: Fo = w1; Brc = w2; Tlc = w3; De acuerdo a la tabla de arriba la Antofilita, ahora, quedará como: Ath = 8 v1 + 7 v2 + 1 v3 (1) y en términos de Fo, Brc y Tlc quedará como: Ath = β1 w1 + β2 w2 + β3 w3

(2)

donde β1, β2 y β3 son los coeficientes a calcular y que indican en qué proporción los tres minerales participan en la formación de la Antofilita. Siempre según la tabla, es posible relacionar a los tres minerales escogidos con sus respectivas composiciones químicas: w1 = 1 v1 + 2 v2 + 0 v3 (Fo) w2 = 0 v1 + 1 v2 + 1 v3 (Brc) w3 = 4 v1 + 3 v2 + 1 v3 (Tlc) Si se las reemplaza en (2): Ath = β1(1 v1 + 2 v2 + 0 v3) + β2(0 v1 + 1 v2 + 1 v3) + β3(4 v1 + 3 v2 + 1 v3 Multiplicando y factoreando se obtiene:

Matemática I 2013 Lic. en Geología | Lic. en Paleontología Ath = (1β1 + 0β2 + 4β3) v1 + (2β1 + 1β2 + 3β3)v2 + (0β1 + 1β2 + 1β3)v3

(3)

De las tres ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene: 1β1 + 0β2 + 4β3 = 8 2β1 + 1β2 + 3β3 = 7 0β1 + 1β2 + 1β3 = 1 Lo mismo en forma matricial será: β1 β2 β3

104 213 . 011

8 7 1

Cálculo de la matriz inversa 1 0 4 2 1 3 0 1 1

-1/3 2/3 -1/3 1/6 1/3 -1/6

-2/3 1/6 1/6

-1/3 2/3 -2/3 -1/3 1/6 1/6 1/3 -1/6 1/6

A-1 =

8 7 = 1

β1 β2 β3

4/3 -2/3 5/3

La fórmula de la Antofilita será entonces: Ath = 4/3 Fo – 2/3 Brc + 5/3 Tlc

≡

4 Fo – 2 Brc + 5 Tlc = 3Ath

EJERCITACIÓN: Completa la tabla siguiente calculando los coeficientes de las fórmulas correspondientes de la Enstatita; Periclasa y Antigorita.

Brc

Tlc

Brc

Tlc

Ath

Qtz

-1

-4

-2

-1

Per

Atg