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CAP´ITULO III. ´ CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

SECCIONES 1. Derivadas parciales. Derivadas direccionales.

2. Diferenciabilidad.

3. Plano tangente.

4. Derivaci´on de funciones compuestas.

5. Derivadas de orden superior.

6. F´ormula de Taylor.

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1. DERIVADAS PARCIALES. DERIVADAS DIRECCIONALES

Sea f : D ⊂ Rm → Rn . La noci´on de derivada est´a relacionada con la → → → → variaci´on f (− x +− u ) − f (− x ), para valores de − u arbitrariamente peque˜ nos, → − → − donde ahora u indica la direcci´on en la que se mueve el punto x .

Observemos que, a diferencia de las funciones de una variable, ahora no tiene → → → f (− x +− u ) − f (− x) sentido la expresi´on , pues el denominador es un vector. → − u Debemos pues modificar adecuadamente la definici´on de derivada. → → Definici´ on. Si − x ∈ int D y − u ∈ Rm es un vector unitario arbitrario, → → → sea h ∈ R suficientemente peque˜ no para que el segmento [− x, − x + h− u] → est´e contenido en D. Llamamos derivada direccional de f en el punto − x → seg´ un la direcci´on del vector − u a → → → f (− x + h− u ) − f (− x) → → . f 0 (− x,− u ) = l´ım h→0 h → → → f (− x + h− u ) − f (− x) [El cociente representa el promedio de variaci´on de f h → por unidad de distancia seg´ un la direcci´on del vector − u .]

Observemos que, si m = 1, s´olo hay dos vectores unitarios, (1, 0) y (0, 1), que son las dos u ´nicas direcciones posibles en R. Si m = 2, todas las direcciones (o vectores unitarios) pueden escribirse como (cos ϑ, sen ϑ), para cada ϑ ∈ [0, 2π).

Otras notaciones usuales para la derivada direccional son → → → → f 0 (− x,− u ) = D~u f (− x ) = f~u0 (− x ). → = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) sea el k-´esimo vector En el caso particular de que − u k → − − → unitario coordenado, f 0 ( x , uk ) recibe el nombre de derivada parcial k-´esima → de f en − x , o derivada parcial respecto a la k-´esima coordenada xk , y la notaci´on que utilizaremos es ∂ → → → Dk f (− x ) = fk0 (− x) = f (− x ), 1 ≤ k ≤ m. ∂xk En este caso, la definici´on equivale a la definici´on de derivada de una funci´on de una variable, pues basta suponer constantes el resto de las mismas.

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Para los casos m´as comunes de funciones de dos o tres variables u = f (x, y, z) utilizaremos la notaci´on m´as difundida Dx f = fx0 =

∂f , ∂x

Dy f = fy0 =

∂f , ∂y

Dz f = fz0 =

∂f . ∂z

Enunciamos algunas propiedades que se deducen de las definiciones anteriores. → → → → → → (1) Si − v = −− u , entonces f 0 (− x,− v ) = −f 0 (− x,− u ).

A lo largo de direcciones opuestas, las derivadas direccionales toman valores opuestos.

(2) Si descomponemos la funci´ on en sus componentes f = (f1 , . . . , fn ), entonces → → → → ∃f 0 (− x,− u ) ⇐⇒ ∃fj0 (− x,− u ), ∀j = 1, . . . , n.

En este caso,

→ → → → → → f 0 (− x,− u ) = f10 (− x,− u ), . . . , fn0 (− x,− u) .

En particular, las derivadas parciales se obtienen como

→ → → Dk f (− x ) = Dk f1 (− x ), . . . , Dk fn (− x ) , 1 ≤ k ≤ m. → → → → (3) Si F (t) = f (− x + t− u ), entonces F 0 (0) = f 0 (− x,− u ). → → → En general, F 0 (t) = f 0 (− x + t− u,− u ). → − → → → → → → → (4) Si f (− x ) = a− x + b , f 0 (− x,− u ) = a− u , ∀− x,− u.

(De este modo se extiende la f´ormula de la derivada de f (x) = ax + b.) → → → → → → (5) Si f (− x ) = k− x k2 , entonces f 0 (− x,− u ) = 2− x ·− u.

(Esta f´ormula generaliza la f´ormula de la derivada de f (x) = x2 .)

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En algunos de los problemas que siguen mostramos ciertos hechos relevantes, como por ejemplo: Puede haber funciones para las que existen ambas derivadas parciales pero no existe ninguna otra derivada direccional (problema 3.5).

La existencia de derivadas direccionales en cualquier direcci´on no es condici´on suficiente para la continuidad de una funci´on (problema 3.7).

PROBLEMA 3.1

Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = x arc sen(x − y). cos 2tu . t2 + u 2 xyz . (c) f (x, y, z) = 2 x + y2 + z2 Z √xy 2 (d) f (x, y) = e−t dt (x > 0, y > 0).

(b) f (t, u) =

0

Soluci´ on

Para calcular las derivadas parciales de una funci´on, basta aplicar las reglas usuales de derivaci´on de funciones de una variable, manteniendo constantes el resto de las variables. ∂f x (a) = arc sen(x − y) + p , ∂x 1 − (x − y)2 ∂f −x =p . ∂y 1 − (x − y)2 (b)

∂f −2u(t2 + u2 ) sen 2tu − 2t cos 2tu = , ∂t (t2 + u2 )2 ∂f −2t(t2 + u2 ) sen 2tu − 2u cos 2tu = . ∂u (t2 + u2 )2

(c)

∂f yz(−x2 + y 2 + z 2 ) = , ∂x (x2 + y 2 + z 2 )2 100

∂f xz(x2 − y 2 + z 2 ) = , ∂y (x2 + y 2 + z 2 )2 ∂f xy(x2 + y 2 − z 2 ) . = ∂z (x2 + y 2 + z 2 )2 (d) Recordando el teorema fundamental del c´alculo integral, ∂f = e−xy · ∂x ∂f = e−xy · ∂y

y √ , 2 xy x √ .

2 xy

PROBLEMA 3.2 p Siendo f (x, y) = ln x2 y + arc tg(x2 y), comprobar que se verifica la ∂f ∂f (x, y) − 2y (x, y) = 0. igualdad x ∂x ∂y Soluci´ on

Para abreviar los c´ alculos, llamamos z = f (x, y) y t = x2 y + arc tg(x2 y). De √ este modo, z = ln t = (1/2) ln t y ∂z ∂x ∂z ∂y

= =

1 2xy xy 1 2xy + = 1+ ; 2t 1 + x4 y 2 t 1 + x4 y 2

1 x2 x2 1 2 x + = 1+ .

2t 1 + x4 y 2 2t 1 + x4 y 2

Multiplicando por x la primera igualdad y por −2y la segunda, se obtiene inmediatamente la igualdad propuesta.

PROBLEMA 3.3

Encontrar una funci´ on z = f (x, y) que verifique la identidad ∂z x = 2 . ∂x x + y2 Soluci´ on 101

Integrando respecto a x, resulta: Z ∂z 1 f (x, y) = dx = ln(x2 + y 2 ) + g(y), ∂x 2 donde ahora la constante de integraci´on es una funci´on que depende de y (cualquiera de ellas tiene derivada parcial nula respecto a x).

PROBLEMA 3.4

Hallar una funci´ on u = f (x, y, z) tal que (fx0 , fy0 , fz0 ) = F , donde → − − → → − → − F (x, y, z) = yz(2x + y + z) i +xz(x + 2y + z) j +xy(x + y + 2z) k .

Soluci´ on

Por hip´otesis, ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z

= yz(2x + y + z),

(1)

= xz(x + 2y + z),

(2)

= xy(x + y + 2z).

(3)

Integrando respecto a x la primera igualdad, resulta: f (x, y, z) = x2 yz + xy 2 z + xyz 2 + g(y, z).

(4)

Derivamos este resultado respecto a y y lo igualamos con (2): ∂g ∂f = x2 z + 2xyz + xz 2 + = xz(x + 2y + z). ∂y ∂y Esto implica que Dy g = 0; por tanto, g s´olo depende de z, g(y, z) = h(z).

Sustituyendo esta expresi´on en (4) y derivando con respecto a z, obtenemos: ∂f = x2 y + xy 2 + 2xyz + h0 (z). ∂z Al igualar este resultado con (3), se deduce que h0 (z) = 0, o bien h(z) = C. En definitiva: f (x, y, z) = x2 yz + xy 2 z + xyz 2 + C.

102

PROBLEMA 3.5

Hallar las derivadas direccionales de la funci´ on ( x+y si x = 0 ´ o y = 0, f (x, y) = 1 en el resto, en el origen.

Soluci´ on

Por definici´on,

f (0, 0) + h(1, 0) − f (0, 0) l´ım h→0 h f (h, 0) − f (0, 0) h−0 = l´ım = l´ım = 1; h→0 h→0 h h ∂f f (0, k) − f (0, 0) k−0 (0, 0) = l´ım = l´ım = 1. k→0 k→0 ∂y k k ∂f (0, 0) = ∂x

→ Sin embargo, para cualquier otra direcci´on − u = (a, b) (a 6= 0, b 6= 0), la → − → − 1 f (h u ) − f ( O ) = que no tiene l´ımite derivada direccional no existe pues h h cuando h → 0.

PROBLEMA 3.6

Dada la funci´ on ( f (x, y) =

2xy x2 +y 2

si (x, y) 6= (0, 0),

1

si (x, y) = (0, 0),

calcular las derivadas direccionales de f en el origen.

Soluci´ on

→ Elegimos una direcci´on arbitraria mediante el vector unitario − v = (cos ϑ, sen ϑ).

Entonces, si t 6= 0: → Φ(t) = f (t− v ) = f (t cos ϑ, t sen ϑ) = 103

2t2 cos ϑ sen ϑ = sen 2ϑ. t2 (cos2 ϑ + sen2 ϑ)

Como Φ(0) = 1, la funci´on Φ ser´a continua si sen 2ϑ = 1, es decir ϑ = π/4 ´o ϑ = 5π/4. En estos casos, Φ0 (0) = 0. En el resto de valores de ϑ, Φ es discontinua en 0 con lo que Φ0 (0) no existe. → − v

−→ −v

− Otra forma: Si → v = (h, k) es un vector unitario, f (th, tk) − f (0, 0) t 2t2 hk −1 2hk − 1 t2 (h2 +k2 ) = l´ım = l´ım t→0 t→0 t t

D~v f (0, 0) = l´ım

t→0

(observemos que h2 + k 2 = 1).

El l´ımite anterior no existe cuando el numerador es distinto de cero y es cero cuando el numerador se anula. Tenemos por tanto, √ - Si h = k = 1/ 2, entonces D~v f (0, 0) = 0. √ - Si h = k = −1/ 2, entonces D~v f (0, 0) = 0.

- En el resto de direcciones no existe D~v f (0, 0).

104

PROBLEMA 3.7

Hallar las derivadas direccionales de la funci´ on ( 2 yx si (x, y) 6= (0, 0), 2 4 f (x, y) = y +x 0 si (x, y) = (0, 0), en el origen.

Soluci´ on

− Sea → u = (cos ϑ, sen ϑ) un vector unitario arbitrario. Definimos → F (t) = f (t− u)=

t sen ϑ cos2 ϑ . sen2 ϑ + t2 cos4 ϑ

Entonces − → → F (t) − F (0) f 0( O , − u ) = F 0 (0) = l´ım t→0 t ( 2 cos ϑ cotg ϑ sen ϑ cos ϑ = l´ım = t→0 sen2 ϑ + t2 cos4 ϑ 0

si sen ϑ 6= 0, si sen ϑ = 0.

→ → − → As´ı pues, existe f 0 ( O , − u ) para cualquier direcci´on − u . En particular, son nulas ambas derivadas parciales en el origen. Sin embargo, la funci´on no es continua en el origen pues, aunque los l´ımites iterados en el origen son nulos, si nos aproximamos a lo largo de la par´abola y = x2 , tenemos 1 x4 = 6= 0.

4 x→0 2x 2

l´ım f (x, x2 ) = l´ım

x→0

En la gr´afica de la superficie se observa que, a lo largo de la par´abola y = x2 , la funci´on es constante pero toma el valor 1/2, mientras que, a lo largo de los ejes de coordenadas, toma el valor cero.

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PROBLEMA 3.8 ( x−y+1 Sea f (x, y) = y−x−1

si xy ≥ 0 si xy < 0.

(a) Estudiar la continuidad de f . (b) Calcular las derivadas direccionales de f en el origen.

Soluci´ on

(a) Fuera de los ejes x = 0, y = 0, la funci´on es evidentemente continua.

- Veamos si es continua en un punto (0, y0 ) del eje x = 0: ( −y0 + 1 (por un lado del eje) l´ım f (x, y) = (x,y)→(0,y0 ) y0 − 1 (por el otro lado del eje).

Esto indica que la funci´on es continua si −y0 + 1 = y0 − 1, es decir si y0 = 1, y discontinua en los dem´as puntos del eje Y .

- Estudiemos ahora la continuidad en un punto (x0 , 0) del eje y = 0: ( x0 + 1 (por un lado del eje) l´ım f (x, y) = (x,y)→(x0 ,0) −x0 − 1 (por el otro lado del eje).

Si x0 + 1 = −x0 − 1, es decir x0 = −1, la funci´on es continua; en el resto de los puntos del eje X, es discontinua.

106

En definitiva, la funci´on es continua en {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0, y 6= 0} ∪ {(0, 1), (−1, 0)}. (b) Por definici´on de derivadas parciales, ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) h+1−1 = l´ım = 1; h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) −k + 1 − 1 l´ım = l´ım = −1. k→0 k→0 k k l´ım

Esto indica que existen ambas derivadas parciales en el origen. → Para calcular el resto de derivadas direccionales, sea − v = (cos α, sen α) un vector unitario arbitrario, con cos α 6= 0 y sen α 6= 0. Entonces: i) Si sen α · cos α > 0, f (t cos α, t sen α) − f (0, 0) t t cos α − t sen α + 1 − 1 = cos α − sen α. = l´ım t→0 t

D~v f (0, 0) = l´ım

t→0

ii) Si sen α · cos α < 0, f (t cos α, t sen α) − f (0, 0) t→0 t t sen α − t cos α − 1 − 1 = l´ım = ∞. t→0 t

D~v f (0, 0) = l´ım

→ Deducimos de lo anterior que, si el vector − v apunta en la direcci´on del segundo o cuarto cuadrantes, la derivada direccional no existe.

107

PROBLEMA 3.9 x2 +y 2 x+y

si x + y 6= 0

0

si x + y = 0.

(

Sea f :

R2

→ R definida por f (x, y) =

Se

pide: (a) Calcular las derivadas parciales D1 f (0, 0) y D2 f (0, 0). (b) Calcular la derivada de la funci´ on en el punto (0, 0) seg´ un la → direcci´ on del vector − v = (a, b).

Soluci´ on

(a) Aplicando la definici´on de derivadas parciales, tenemos: h f (h, 0) − f (0, 0) = l´ım = 1, h→0 h h→0 h f (0, k) − f (0, 0) k D2 f (0, 0) = l´ım = l´ım = 1. k→0 k→0 k k

D1 f (0, 0) =

l´ım

− (b) Teniendo en cuenta que → v es un vector unitario, es decir a2 + b2 = 1, f (ta, tb) − f (0, 0) = D~v f (0, 0) = l´ım t→0 t

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( a2 +b2 a+b l´ım 0t t→0

1 = a+b =0

si a + b 6= 0, si a + b = 0.

2. DIFERENCIABILIDAD.

Debido a la existencia de funciones que poseen derivadas direccionales en un punto para cualquier direcci´on pero no son continuas en dicho punto, el concepto de derivada direccional no es el adecuado para generalizar el de derivada de funciones de una variable.

Es sabido que, si f : R → R es derivable en x = c, la funci´on ( f (c+h)−f (c) − f 0 (c) si h 6= 0, h Ec (h) = 0 si h = 0, verifica l´ım Ec (h) = 0. Adem´as h→0

f (c + h) = f (c) + hf 0 (c) + hEc (h) (f´ormula de Taylor de primer orden), de modo que hEc (h) representa el error cometido al aproximar f (c + h) − f (c) por hf 0 (c). Esta misma f´ormula demuestra tambi´en que dicho error hEc (h) es un infinit´esimo de orden superior a h cuando h → 0, es decir l´ım hEc (h)/h = 0. h→0

Por otra parte, como funci´on de h, la expresi´on Tc (h) = h · f 0 (c) es una funci´on lineal.

Teniendo presente lo anterior, se puede dar una definici´on de derivada que extiende a la definici´on an´aloga para funciones de R en R. → Definici´ on. Dada una funci´on f : D ⊂ Rm → Rn y un punto − x ∈ int D, − → decimos que f es diferenciable en x si existe una aplicaci´on lineal T : Rm → x

Rn tal que

→ → → → → → f (− x +− v ) = f (− x ) + Tx (− v ) + k− v k · Ex (− v ), → donde l´ım Ex (− v ) = 0 ´o, lo que equivale a ~v →~0

→ → → → f (− x +− v ) − f (− x ) − Tx (− v) = 0. → − kvk ~v →~0 l´ım

→ La funci´on lineal Tx (− v ) recibe el nombre de derivada total o diferencial total → − → de f en x , y se denota com´ unmente por df~x (− v ).

Las primeras propiedades de la diferencial son las siguientes: (1) Si una funci´ on es diferenciable en un punto, su diferencial total es u ´nica. → → (2) Si f es diferenciable en − x , entonces f es continua en − x.

109

→ (3) Si f es diferenciable en − x , existen las derivadas direccionales de f en → − → → x para cualquier direcci´ on − v (k− v k = 1) y adem´ as → → x ) = df~x (− v ). f~v0 (− (4) Si descomponemos la funci´ on f : Rm → Rn en sus componentes f = (f1 , . . . , fn ), entonces f es diferenciable si y s´ olo si fk es diferenciable, para todo k ∈ {1, . . . , n}. → → (5) Si f es diferenciable en − x y− v = (v , . . . , v ) es un vector arbitrario 1

de Rm , entonces → df~x (− v)=

m X

m

→ Dk f (− x ) · vk .

k=1

En el caso particular de campos escalares, es decir funciones f : Rm → R, un peque˜ no abuso de notaci´on (cuando no hay lugar a confusi´on) permite expresar la diferencial de forma similar a la notaci´on utilizada para funciones de una variable. Para ello, indicamos una direcci´on → arbitraria mediante el vector − v = (dx1 , . . . , dxn ) y escribimos la diferencial como df (x1 , . . . , xn ) =

∂f ∂f · dx1 + · · · + · dxn ∂x1 ∂xn

sin hacer menci´on expl´ıcita de la dependencia de la diferencial con → respecto a − v.

(6) Si llamamos vector gradiente de una funci´on f : Rm → R en un punto → − x a

−→ − → → ∇f (→ x ) = D1 f (− x ), . . . , Dm (− x) , de lo anterior se deduce la f´ormula de Taylor de primer orden −→ → − → → → → → → f (− x +− v ) = f (− x ) + ∇f (− x)·→ v + k− v k · Ex (− v ) con l´ım Ex (− v ) = 0, ~v →~0

para funciones f : Rm → R. (7) Por otra parte, si f : Rm → R, como −→ −→ → → → df~x (− v ) = ∇f (x) · − v = k∇f (x)k · k− v k · cos α, −→ → donde α es el ´angulo entre ∇f (x) y − v , su valor es m´aximo cuando −→ → ∇f (x) tiene la misma direcci´on y sentido que − v (pues cos α = 1) y su valor es m´ınimo cuando tiene sentido contrario (ahora cos α = −1). −→ → → En el primer caso, su valor es df~x (− v ) = k∇f (x)k · k− v k. −→ Adem´as, si ∇f (x) 6= 0, el vector gradiente apunta en la direcci´on de mayor crecimiento de f .

110

(8) (Condici´ on suficiente de diferenciabilidad.) Sea f : Rm → R una funci´ on tal que existen las derivadas parciales Dk f (1 ≤ k ≤ m) y son → → continuas en una bola de centro − x . Entonces f es diferenciable en − x.

El rec´ıproco es falso: en el problema 3.19 encontramos un ejemplo de una funci´on diferenciable pero donde no son continuas las derivadas parciales.

(9) (Forma matricial de la derivada.) Debido a que la diferencial de una funci´on es una aplicaci´on lineal, puede definirse mediante su representaci´on matricial con respecto a las bases can´onicas de Rm y Rn , respectivamente. Se define as´ı la matriz jacobiana de una funci´ on f : Rm → Rn en un punto x0 a   D1 f1 (x0 ) . . . Dm f1 (x0 )   .. ..

Jf (x0 ) = Df (x0 ) =   . .

D1 fn (x0 ) . . .

Dm fn (x0 )

donde fk (1 ≤ k ≤ n) es la k-´esima funci´on componente de f y Dj fk (1 ≤ j ≤ m) la j-´esima derivada parcial de fk .

La fila k-´esima de dicha matriz es D1 fk (x0 ), . . . , Dm fk (x0 ) y coincide precisamente con el vector gradiente de fk en x0 .

(10) (Teorema del valor medio.) Un resultado interesante, que extiende en cierto modo al correspondiente para funciones de una variable, es el teorema del valor medio.

Sea f : Rm → Rn una funci´ on diferenciable en un abierto D ⊂ Rm .

Sean x, y ∈ D dos puntos tales que el segmento que los une [x, y] est´ a contenido en D. Entonces −−→ −−→ → 0 − −−−→ → → ∀− a ∈ Rn , ∃z ∈ [x, y] : − a · f (y) − f (x) = − a · f (→ z , y − x).

En el caso particular de que n = 1, se puede tomar a = 1 y el teorema toma la forma conocida −→ −−−→ −−−→ → → → f (− y ) − f (− x ) = f 0 (− z , y − x) = ∇f (z) · (y − x).

Si n 6= 1, lo anterior puede no ser cierto, como se comprueba con la funci´on f (t) = (cos t, sen t); en este caso, f (2π) − f (0) = (0, 0), pero, para cualquier t ∈ [0, 2π], f 0 (t, 2π) = 2π(− sen t, cos t), que es un vector de longitud 2π y, por tanto, no nulo.

Como corolario del teorema del valor medio, se puede demostrar tambi´en que, si f : Rm → Rn es una funci´on diferenciable en Ω, donde Ω es un abierto y conexo de Rm (o bien convexo), y df (z) = 0, ∀z ∈ Ω, entonces f es constante.

111

(11) (Derivaci´ on bajo el signo integral.) Si una funci´on de dos variables viene definida mediante una integral, para calcular sus derivadas aplicamos el siguiente resultado: Sea f : R2 → R una funci´ on continua en un conjunto compacto D ⊂ R2 ∂f tal que es tambi´en continua en D. ∂x (a) Si definimos b

Z

f (x, y) dy,

F (x) = a

entonces F es derivable y F 0 (x) =

b

Z a

∂f (x, y) dy. ∂x

(b) Si h1 , h2 : R → R son dos funciones derivables, entonces Z

h2 (x)

F (x) =

f (x, y) dy h1 (x)

es tambi´en derivable y Z 0 0 F (x) = f x, h2 (x) ·h2 (x)−f x, h1 (x) ·h1 (x)+ 0

h2 (x)

h1 (x)

∂f (x, y) dy. ∂x

PROBLEMA 3.10

Para las siguientes funciones, hallar la derivada direccional en el punto P y seg´ un la direcci´ on que se indica: (a) f (x, y, z) = x2 y + xzey − xyez , → P = (−2, 3, 0), − v = (1/3, −2/3, 1/3). (b) f (x, y, z) = (x/y)z ,

− P = (1, 1, 1), → v = (2, 1, −1).

Soluci´ on

−→ → → → Aplicaremos en ambos casos la f´ormula f~v0 (− x ) = ∇f (x) · − v /k− v k. −→ (a) ∇f (x, y, z) = (2xy + zey − yez , x2 + xzey − xez , xey − xyez ); 112

p −→ → ∇f (−2, 3, 0) = (−15, 6, −2e3 + 6); k− v k = 2/3; 1 −2 1 −21 − 2e3 1 √ (−15, 6, −2e3 + 6) · , , = . f~v0 (−2, 3, 0) = p 3 3 3 6 2/3

z z−1 −xz z−1 z · (x/y) , 2 · (x/y) , (x/y) ln(x/y) ; y y √ −→ → ∇f (1, 1, 1) = (1, −1, 0); k− v k = 6; 1 1 f~v0 (1, 1, 1) = √ (1, −1, 0) · (2, 1, −1) = √ .

6 6

−→ (b) ∇f (x, y, z) =

PROBLEMA 3.11

Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la funci´ on f : R2 → R definida por ( x sen(4 arc tg y/x) si x 6= 0 f (x, y) = 0 si x = 0.

Soluci´ on

Comprobemos en primer lugar que la funci´on es continua en el origen. Tomamos para ello ε > 0 arbitrario y elegimos δ = ε. Si un punto (x, y) pertenece p a la bola centrada en el origen y de radio δ, es decir x2 + y 2 < δ, entonces p |x sen(4 arc tg y/x)| ≤ |x| ≤ x2 + y 2 < δ = ε.

Calculamos a continuaci´on las derivadas parciales en el origen: ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

h sen(4 arc tg 0) = 0, h→0 h 0 l´ım = 0. k→0 k l´ım

Para que la funci´on sea diferenciable debe ser cero el l´ımite

f (x, y) − f (0, 0) − x · ∂f (0, 0) − y · ∂f (0, 0)

∂x ∂y p l´ım

(x,y)→(0,0)

x2 + y 2

x sen(4 arc tg y/x)

p = l´ım

.

2 2

(x,y)→(0,0)

x +y 113

Ahora bien, si nos acercamos al origen mediante rectas arbitrarias y = mx, el l´ımite anterior queda de la forma:

x l´ım

√ sen(4 arc tg m)

6= 0. x→0 |x| 1 + m2 Deducimos pues que la funci´on no es diferenciable en el origen.

En la gr´afica de las curvas de nivel de la funci´on, la regi´on m´as oscura representa los valores menores de la funci´on y la regi´on m´as clara representa los valores mayores de la funci´on. Se puede observar as´ı la variaci´on de la funci´on en un entorno del origen.

PROBLEMA 3.12

Sea

xy 2 z x3 +y 6 +z 3

si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0

si (x, y, z) = (0, 0, 0).

( f (x, y, z) =

Demostrar que existen las derivadas parciales fx0 , fy0 , fz0 en (0, 0, 0), pero que f no es diferenciable en (0, 0, 0).

Soluci´ on

Las derivadas parciales en el origen valen: ∂f f (h, 0, 0) − f (0, 0, 0) 0 (0, 0, 0) = l´ım = l´ım = 0, h→0 h→0 h ∂x h ∂f f (0, k, 0) − f (0, 0, 0) 0 (0, 0, 0) = l´ım = l´ım = 0, k→0 k→0 k ∂y k ∂f f (0, 0, j) − f (0, 0, 0) 0 (0, 0, 0) = l´ım = l´ım = 0. j→0 j→0 j ∂z j 114

Una condici´on necesaria para que la funci´on sea diferenciable es que sea continua. Veamos que no lo es en el origen.

Observamos en primer lugar que los l´ımites iterados toman todos el valor cero; sin embargo, si calculamos el l´ımite de la funci´on a lo largo de la curva x = y 2 = z, resulta: √ l´ım f (x, x, x) = l´ım

x→0

x→0

x·x·x 1 = , x3 + x3 + x3 3

distinto de cero.

Deducimos de lo anterior que la funci´on no es diferenciable en el origen.

Con este problema y el anterior, hemos comprobado que la existencia de derivadas parciales no es condici´on suficiente para la diferenciabilidad de una funci´on.

PROBLEMA 3.13

Calcular las derivadas parciales en el punto (0, 0) y estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on ( 2 2 x +y si (x, y) 6= (0, 0), 2 4 f (x, y) = x +y 1 si (x, y) = (0, 0).

Soluci´ on

i) La funci´on no es continua en el origen porque, si calculamos el l´ımite a lo largo de las rectas y = mx, obtenemos: 1 + m2 = 1 + m2 , x→0 1 + m4 x2

l´ım f (x, mx) = l´ım

x→0

el cual depende de la pendiente m. Concluimos entonces que la funci´on no es diferenciable en el origen. ii) Las derivadas parciales en el origen son, por definici´on, ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) 1−1 = l´ım = 0, h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) 1/k 2 − 1 l´ım = l´ım = ∞. k→0 k→0 k k l´ım

115

PROBLEMA 3.14

Estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on ( (sen(xz), zexy , 1/z) f (x, y, z) = (0, 0, 0)

si z 6= 0, si z = 0.

Soluci´ on

Descomponemos la funci´on en sus componentes y estudiamos la diferenciabilidad de cada una de ellas. ( sen(xz) si z 6= 0 Por una parte, las funciones f1 (x, y, z) = 0 si z = 0 ( xy ze si z 6= 0 y f2 (x, y, z) = son evidentemente diferenciables en los pun0 si z = 0 tos donde z 6= 0. ( 1/z si z 6= 0 Ahora bien, la funci´on f3 (x, y, z) = no es diferenciable en 0 si z = 0 z = 0 (pues ni siquiera es continua).

Deducimos entonces que la funci´on dada es diferenciable en todo R3 excepto en los puntos del plano z = 0.

116

PROBLEMA 3.15

Estudiar la diferenciabilidad y la continuidad de las derivadas parciales en el origen de la funci´ on   √ xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).

Soluci´ on

i) Debido a la acotaci´on

|xy| p xy

= |y| ≤ x2 + y 2 ,

p

≤

x2 + y 2

|x| deducimos que la funci´on es continua p en el origen (basta hacer δ = ε para que |f (x, y) − f (0, 0)| < ε, si x2 + y 2 < δ). ii) Veamos que existen las derivadas parciales en el origen: ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) 0−0 = l´ım = 0, h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) 0−0 l´ım = l´ım = 0. k→0 k→0 k k l´ım

h→0

iii) A continuaci´on, probaremos que f no es diferenciable en el origen: f (a, b) − f (0, 0) − aD1 f (0, 0) − bD2 f (0, 0) ab √ = l´ım .

2 2 2 (a,b)→(0,0) (a,b)→(0,0) a + b2 a +b l´ım

Este l´ımite no existe pues el resultado var´ıa seg´ un las distintas rectas b = ma.

117

Vemos con este problema que la existencia de derivadas parciales a˜ nadida a la continuidad de una funci´on tampoco es condici´on suficiente de diferenciabilidad.

PROBLEMA 3.16

Sea n un n´ umero natural y f : R2 → R la funci´ on definida por  (x + y)n · sen √ 1 si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0). ¿C´ omo hay que elegir n para que (a) f sea continua en todo R2 ? (b) f sea diferenciable en todo R2 ?

Soluci´ on

(a) Teniendo en cuenta la acotaci´on

1

sen p

≤ 1, ∀(x, y) 6= (0, 0), 2 2

x +y

y que

(x + y)n = 0 si y s´olo si n > 0, deducimos que

l´ım (x,y)→(0,0)

l´ım

f (x, y) = 0 = f (0, 0) ⇐⇒ n > 0.

(x,y)→(0,0)

Por tanto, para cualquier n ∈ N, la funci´on es continua en R2 . (b) Es evidente que la funci´on es diferenciable en todo R2 salvo quiz´as en el origen.

Para que f sea diferenciable en el origen, es necesario que existan ambas derivadas parciales. Ahora bien, hn sen(1/|h|) = l´ım hn−1 sen(1/|h|) = 0 h→0 h→0 h

D1 f (0, 0) = l´ım

siempre que n − 1 > 0 pero no existe cuando n = 1. An´alogamente, D2 f (0, 0) = 0 si n > 1. Debemos, pues, suponer por el momento que n ≥ 2.

118

Por otra parte, para que f sea diferenciable, debe ser 0=

l´ım (h,k)→(0,0)

f (h, k) − f (0, 0) − hD1 f (0, 0) − kD2 f (0, 0) √ . h2 + k 2

En nuestra situaci´on, (h + k)n sen[(h2 + k 2 )−1/2 ] √ (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h + k)n (h + k)2 √ √ ⇐⇒ 0 = l´ım ⇐⇒ 0 = l´ım · (h + k)n−2 .

2 2 2 2 (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h +k h +k 0 =

l´ım

Como n − 2 ≥ 0, f ser´a diferenciable si se anula el l´ımite del cociente (h + k)2 √ . h2 + k 2 Ahora bien, si tenemos en cuenta las siguientes acotaciones: p p (h + k)2 h2 + k 2 2hk h2 + k 2 0≤ √ =√ +√ ≤ h2 + k 2 + √ = 2 h2 + k 2 , h2 + k 2 h2 + k 2 h2 + k 2 h2 + k 2 deducimos que, en efecto,

(h + k)2 √ = 0. Por tanto, f es di(h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

ferenciable si n ≥ 2.

PROBLEMA 3.17 x3 −y 3 x−y

si x 6= y

x+y

si x = y.

(

Se considera la funci´ on f (x, y) =

(a) Estudiar la continuidad de f en los puntos de la recta x = y . (b) Calcular las derivadas parciales de f en el origen. (c) ¿Es f diferenciable en el origen?

Soluci´ on

(a) Veamos si f es continua en los puntos de la forma (a, a). En primer lugar es evidente que f (a, a) = 2a. Adem´as

x3 − y 3 x3 − a3 l´ım l´ım = l´ım = l´ım (x2 + ax + a2 ) = 3a2 . x→a x − a x→a x→a y→a x − y De aqu´ı se concluye que la funci´on es discontinua en el punto (a, a) cuando 2a 6= 3a2 , es decir cuando a 6= 0 y a 6= 2/3. En los puntos (0, 0) y (2/3, 2/3) es continua (basta calcular los l´ımites).

119

(b) Por definici´on, las derivadas parciales son: ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) h2 − 0 = l´ım = 0; h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) k2 − 0 l´ım = l´ım = 0. k→0 k→0 k k l´ım

(c) Para ver si f es diferenciable, debemos calcular el siguiente l´ımite: L=

f (h, k) − f (0, 0) − hfx0 (0, 0) − kfy0 (0, 0) √ . (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

Distinguiremos dos casos: - Si h 6= k, h3 −k3 √ h−k l´ım (h,k)→(0,0) h2 + k 2

h2 + hk + k 2 √ (h,k)→(0,0) h2 + k 2 p hk √ = l´ım h2 + k 2 + l´ım (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 k p = l´ım = 0, (h,k)→(0,0) 1 + (k/h)2

L =

=

l´ım

pues el denominador es mayor que 1.

- Si h = k, L=

l´ım (h,k)→(0,0)

√

√ h+k 2h = l´ım √ = ± 2. h2 + k 2 h→0 2h2

Deducimos por tanto que el l´ımite L no existe y, en consecuencia, f no es diferenciable en el origen.

PROBLEMA 3.18

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funci´ on ( y 2 + x2 sen(1/x) si x 6= 0, f (x, y) = y si x = 0.

120

Soluci´ on (a) En el conjunto {(x, y) : x 6= 0} la funci´on es evidentemente continua.

Estudiemos la continuidad en un punto (0, y0 ). Como

l´ım y 2 + x2 sen(1/x) = y02 , (x,y)→(0,y0 )

f (0, y0 ) = y0 , la funci´on ser´a continua en (0, y0 ) cuando y0 = y02 , es decir cuando y0 = 0 ´o y0 = 1. En los puntos (0, y0 ), con y0 6= 0 e y0 6= 1, la funci´on es discontinua. (b) En el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} la funci´on es diferenciable (observar que, en este conjunto, la funci´on es suma de dos funciones de una variable, ambas derivables).

Como la funci´on no es continua en los puntos (0, y0 ), con y0 6= 0, y0 6= 1, tampoco es diferenciable en dichos puntos. Estudiemos por separado la diferenciabilidad de la funci´on en los puntos (0, 0) y (0, 1).

- En (0, 0): Como f (h, 0) − f (0, 0) h2 sen(1/h) = l´ım = 0, h→0 h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) k D2 f (0, 0) = l´ım = l´ım = 1, k→0 k→0 k k D1 f (0, 0) =

l´ım

entonces f (h, k) − f (0, 0) − hD1 f (0, 0) − kD2 f (0, 0) √ (h,k)→(0,0) h2 + k 2 2 2 k + h sen(1/h) − k √ = l´ım (h,k)→(0,0) h2 + k 2 k2 − k h2 sen(1/h) √ √ = l´ım + l´ım . (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

El primer l´ımite no existe (como se puede comprobar calculando el l´ımite a lo largo de cualquier trayectoria de la forma k = mh) y el segundo l´ımite es cero. Se deduce por tanto que el l´ımite anterior no existe, de modo que la funci´on no es diferenciable en el origen.

- En (0, 1): Como f (h, 1) − f (0, 1) h2 sen(1/h) = l´ım = 0, h→0 h→0 h h f (0, 1 + k) − f (0, 1) 1+k−1 D2 f (0, 1) = l´ım = l´ım = 1, k→0 k→0 k k

D1 f (0, 1) =

l´ım

121

entonces f (h, 1 + k) − f (0, 1) − hD1 f (0, 1) − kD2 f (0, 1) √ h2 + k 2 2 2 (1 + k) + h sen(1/h) − (1 + k) √ = l´ım (h,k)→(0,0) h2 + k 2 k(1 + k) h2 sen(1/h) √ √ = l´ım + l´ım . (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

(h,k)→(0,0)

Al igual que en el caso anterior, dicho l´ımite no existe, por lo que la funci´on tampoco es diferenciable en el punto (0, 1).

PROBLEMA 3.19

Se considera la funci´ on ( 1 (x2 + y 2 ) sen x2 +y 2 f (x, y) = 0

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0).

(a) Estudiar su continuidad en el origen. (b) Calcular la derivada direccional de f en el origen seg´ un la di→ − recci´ on del vector unitario v = (a, b). Deducir de ah´ı las derivadas parciales de f en el origen. (c) ¿Es fx0 continua en (0, 0)? (d) ¿Es f diferenciable en el origen?

Soluci´ on (a) Como sen(x2 +y 2 )−1 es una funci´on acotada si (x, y) 6= (0, 0) y x2 +y 2 → 0 cuando (x, y) → (0, 0), entonces l´ım

f (x, y) = 0 = f (0, 0),

(x,y)→(0,0)

de modo que f es continua en el origen. (b) Aplicando la definici´on, h2 (a2 + b2 ) · sen h2 (a21+b2 ) f (ha, hb) − f (0, 0) D~v f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0. h→0 h→0 h h La derivada en el origen es cero en cualquier direcci´on. En particular, las derivadas parciales son tambi´en cero.

122

(c) Aplicando las reglas usuales de derivaci´on, obtenemos: 1 −2x ∂f 1 + (x2 + y 2 ) · cos 2 · 2 (x, y) = 2x · sen 2 2 2 ∂x x +y x + y (x + y 2 )2 1 2x 1 = 2x sen 2 − 2 cos 2 .

2 2 x +y x +y x + y2 Entonces

∂f 1 2x 1 l´ım . (x, y) = l´ım 2x sen 2 − cos 2 x + y 2 x2 + y 2 x + y2 (x,y)→(0,0) ∂x (x,y)→(0,0) Como

2x = 0 y sen[1/(x2 + y 2 )] est´a acotada, el primer

l´ım (x,y)→(0,0)

sumando tiene l´ımite cero.

Ahora bien, como l´ım l´ım x→0

2x 2 y→0 x + y 2

= ∞, el segundo sumando no

tiene l´ımite.

En definitiva, la derivada parcial de f respecto a x no es continua en el origen. (d) Teniendo en cuenta que las derivadas parciales en el origen son ambas nulas, para que la funci´on sea diferenciable, debe anularse el l´ımite L=

f (x, y) − f (0, 0) p . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Ahora bien, como L=

l´ım

p

x2 + y 2 · sen

(x,y)→(0,0)

x2

1 , + y2

y la funci´on trigonom´etrica est´a acotada, es evidente que dicho l´ımite es cero.

Observemos que este problema proporciona un contraejemplo al rec´ıproco de la condici´on suficiente de diferenciabilidad (propiedad (8) del resumen te´orico): una funci´ on puede ser diferenciable en un punto donde alguna de las derivadas parciales no es continua.

PROBLEMA 3.20

Sea f : Rn → R una funci´ on diferenciable en un punto P y supon−→ → gamos que k∇f (P )k 6= 0. Probar que existe un vector unitario − v n de R y uno s´ olo tal que −→ D~v f (P ) = k∇f (P )k,

y que ´ este es el vector unitario para el cual D~v f (P ) alcanza su m´ aximo.

123

Soluci´ on

Como

−→ −→ → D~v f (P ) = ∇f (P ) · − v = k∇f (P )k · cos α, → el m´aximo se alcanza cuando cos α = 1, es decir cuando − v tiene la direcci´on −→ de ∇f (P ) y su valor es precisamente −→ D~v f (P ) = k∇f (P )k.

PROBLEMA 3.21

Hallar la derivada de la funci´ on f (x, y, z) = x2 − 3yz − 5 en el punto M (1, 2, −1) en la direcci´ on en que esta derivada sea m´ axima.

Soluci´ on

En primer lugar, calculamos el vector gradiente: −→ −→ ∇f (x, y, z) = (2x, −3z, −3y) =⇒ ∇f (M ) = (2, 3, −6).

Por tanto, tal como se deduce del problema anterior, √ −−−−−→ k∇f (M )k = 4 + 9 + 36 = 7 es el valor de la derivada en la direcci´on donde esta es m´axima.

PROBLEMA 3.22

Determinar los valores de los par´ ametros a, b y c para que la derivada direccional de la funci´ on f (x, y, z) = ax2 z + byz 3 + cx2 y 2

alcance el valor m´ aximo de 25 en el punto P = (1, 1, 2) seg´ un una direcci´ on paralela al eje OX .

Soluci´ on

El vector unitario en la direcci´on donde la derivada direccional es m´axima → es − v = (1, 0, 0). Por hip´otesis, 25 = D~v f (P ).

124

Calculamos en primer lugar el gradiente de la funci´on en el punto P : −→ ∇f (x, y, z) = (2axz + 2cxy 2 , bz 3 + 2cx2 y, ax2 + 3byz 2 ), −→ ∇f (P ) = (4a + 2c, 8b + 2c, a + 12b). → −→ −→ → v y 25 = ∇f (P ) · − v , y obtenemos Aplicamos ahora las condiciones ∇f (P ) − el sistema de ecuaciones 8b + 2c

=

0

a + 12b = 0 4a + 2c

=

25.

La soluci´on de este sistema est´a dada por los valores a = 75/14, b = −25/56 y c = 25/14.

PROBLEMA 3.23

¿En qu´ e direcci´ on la derivada de z = (1, 2) es m´ınima y cu´ al es su valor?

p

25 − x2 − y 2 en el punto

Soluci´ on

El gradiente de la funci´on es: −→ ∇z =

−x p

25 − x2 − y 2

!

,p

−y 25 − x2 − y 2

−1 −2 −→ =⇒ ∇z(1, 2) = √ , √ .

20 20

−→ La derivada es m´axima en la direcci´on de un vector paralelo a ∇z(1, 2), por → ejemplo − v = (−1, −2), y ser´a m´ınima en la direcci´on del vector opuesto −→ −v = (1, 2). Su valor es p −→ 0 z−~ v (1, 2) = −k∇z(1, 2)k = − 5/20 = −1/2.

125

En la gr´afica se muestra la curva de nivel z = f (1, 2) y el campo de gradientes (los valores del vector gradiente en cada uno de los puntos). En el punto (1, 2), el gradiente es paralelo al vector (1, 2) pero de sentido contrario.

PROBLEMA 3.24

¿En qu´ e direcci´ on es nula la derivada de f (x, y) =

x2 − y 2 en el x2 + y 2

punto (1, 1)?

Soluci´ on

El gradiente de la funci´on dada es: −→ ∇f (x, y) =

4xy 2 −4x2 y , (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

−→ =⇒ ∇f (1, 1) = (1, −1).

− Si → v = (cos α, sen α), entonces f~v0 (1, 1) = (1, −1) · (cos α, sen α) = cos α − sen α y ser´a f~v0 (1, 1) = 0 cuando cos α = sen α, es decir cuando α√= π/4√ ´o α = → 5π/4. En√consecuencia, en la direcci´on de los vectores − v1 = ( 2/2, 2/2) y √ → − v2 = (− 2/2, − 2/2) la derivada direccional se anula.

En la gr´afica adjunta se ilustra el campo de gradientes sobre una represen→ → taci´on de las curvas de nivel. En el punto (1, 1), los vectores − v1 y − v2 son perpendiculares al gradiente.

126

PROBLEMA 3.25 p Hallar la derivada de la funci´ on u = 1/ x2 + y 2 + z 2 en la direcci´ on de r = p on de su gradiente (expresar la respuesta en funci´ x2 + y 2 + z 2 ).

Soluci´ on

−→ − Como ∇u = (−x/r3 , −y/r3 , −z/r3 ), si llamamos → v al vector unitario en la direcci´on del gradiente, entonces p −→ u~v0 (x, y, z) = k∇uk = r2 /r6 =

1 1 = 2. x2 + y 2 + z 2 r

PROBLEMA 3.26

Dada la funci´ on f (x, y, z) = ln(x2 + y 2 ) + ez y los puntos P (0, 1, 0), 0 P (−4, 2, 3), hallar D~v f (P ), donde → (a) − v es un vector unitario en la direcci´ on P P 0 . − (b) → v es un vector unitario tal que D~v f (P ) es un m´ aximo.

Soluci´ on

El gradiente de la funci´on en el punto P es:

−→ −→ 2x 2y z ∇f (x, y, z) = , , e =⇒ ∇f (P ) = (0, 2, 1).

2 2 2 2 x +y x +y (a) El vector unitario en la direcci´on P P 0 es: PP0 (−4, 1, 3) 1 − → v = =√ = √ (−4, 1, 3). kP P 0 k 16 + 1 + 9 26 La derivada direccional se calcula entonces como sigue: −−−−→ → 1 5 D~v f (P ) = ∇f (P ) · − v = √ (0, 2, 1) · (−4, 1, 3) = √ .

26 26 127

(b) Si D~v f (P ) es m´axima, entonces √ √ −→ D~v f (P ) = k∇f (P )k = 4 + 1 = 5 −→ ∇f (P ) 1 → − y v = −→ = √ (0, 2, 1).

5 k∇f (P )k

PROBLEMA 3.27 → → Sea f una funci´ on real definida en Rn por f (− x ) = k− x k4 . → (a) Calcular f 0 (− x ). ~v

0 (b) Si n = 2, hallar todos los (x, y) para los que f(x,y) (2, 3) = 6.

Soluci´ on → → → → Por definici´on, f (− x ) = k− x k4 = (− x ·− x )2 = (x21 + · · · + x2n )2 . Entonces −→ − → → ∇f (→ x ) = (4x1 k− x k2 , . . . , 4xn k− x k2 ). −→ → → → (a) Si − v = (v , . . . , v ), como f 0 (− x ) = ∇f (x) · − v , resulta 1

n

~v

→ → x ) = 4k− x k2 f~v0 (−

n X

→ → → xi vi = 4k− x k2 · (− x ·− v ).

i=1

(b) Aplicando el resultado anterior, ser´a

0 f(x,y) (2, 3) = 4k(2, 3)k2 (2, 3) · (x, y) = 4 · 13 · (2x + 3y) = 6 si y s´olo si 2x + 3y = 3/26.

PROBLEMA 3.28

Una funci´ on diferenciable tiene en el punto P = (1, 2) las derivadas direccionales 2 en direcci´ on al punto P1 = (2, 2) y −2 en direcci´ on al punto P2 = (1, 1), respectivamente. Determinar el vector gradiente en P y calcular la derivada direccional en direcci´ on al punto Q = (4, 6).

Soluci´ on −−→ −−→ −−→ − − − Llamaremos → v1 = P P1 = (1, 0), → v2 = P P2 = (0, −1) y → v = PQ = (3, 4).

128

−→ Si llamamos ∇f (1, 2) = (a, b), tenemos: −→ → 2 = fv0~1 (1, 2) = ∇f (1, 2) · − v1 = a, − → → −2 = f 0 (1, 2) = ∇f (1, 2) · − v = −b.

2

v~2

−→ De aqu´ı deducimos que ∇f (1, 2) = (2, 2) y − → −→ v 1 14 f~v0 (1, 2) = ∇f (1, 2) · − = (2, 2) · (3, 4) = . → 5 5 kvk

PROBLEMA 3.29

Sea f : R2 → R una funci´ on continua en un compacto D ⊂ R2 tal ∂f que tambi´ en es continua en D. Si definimos ∂x Z x F (x) = f (x, y) dy , probar que 0

F 0 (x) = f (x, x) +

Z 0

x

∂f (x, y) dy. ∂x

Soluci´ on

Elegimos arbitrariamente un punto x0 . Entonces Z x0 Z x F (x) = f (x, y) dy + f (x, y) dy, 0

x0

de donde, Z F (x) − F (x0 ) =

x0

Z

x

Z

x0

f (x, y) dy − f (x0 , y) dy 0 x0 0 Z x0 Z x = [f (x, y) − f (x0 , y)] dy + f (x, y) dy. f (x, y) dy +

0

x0

Aplicando el teorema del valor medio, resulta Z x0 Z x F (x) − F (x0 ) f (x, y) − f (x0 , y) 1 = dy + f (x, y) dy x − x0 x − x0 x − x0 x0 0 Z x0 ∂ f (t1 , y) dy + f (x, t2 ), = ∂x 0 donde t1 y t2 son dos valores comprendidos entre x0 y x.

129

Basta calcular el l´ımite cuando x tiende a x0 para obtener: F (x) − F (x0 ) = F (x0 ) = l´ım x→x0 x − x0 0

Z 0

x0

∂ f (x0 , y) dy + f (x0 , x0 ). ∂x

PROBLEMA 3.30 Z

x+1

Dada la funci´ on F (x) = x−1

sen(xy) dy , hallar F 0 (x). y

Soluci´ on

De acuerdo al resultado enunciado en (11) del resumen te´orico, como la funci´on sen(xy)/y es continua, la derivada de F viene dada por la f´ormula: 0

F (x) = =

Z x+1 sen(x2 + x) sen(x2 − x) − + cos(xy) dy x+1 x−1 x−1 sen(x2 + x) sen(x2 − x) sen(x2 + x) sen(x2 − x) − + − . x+1 x−1 x x

PROBLEMA 3.31

Sea f una funci´ on continua y definimos Z t h(t) = sen(t − z)f (z) dz.

0

Comprobar que se verifica h00 (t) + h(t) = f (t) h(0) = h0 (0) = 0.

Soluci´ on

De acuerdo con el resultado general probado en el problema 3.29, tene130

mos: Z

0

h (t) = sen(t − t)f (t) + 0

t

∂ sen(t − z)f (z) dz = ∂t ∂ cos(t − z)f (z) dz ∂t

Z

t

cos(t − z)f (z) dz; 0

Z t h00 (t) = cos(t − t)f (t) + 0 Z t = f (t) − sen(t − z)f (z) dz = f (t) − h(t), 0

como quer´ıamos probar. Las condiciones iniciales h(0) = h0 (0) = 0 son evidentes.

131

3. PLANO TANGENTE.

En esta secci´on se da la interpretaci´on geom´etrica de la diferencial, para lo cual consideraremos el caso particular de funciones f : R2 → R. Si f es diferenciable en un punto (x0 , y0 ) y llamamos z0 = f (x0 , y0 ), sabemos que z − z0 = D1 f (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 ) · (y − y0 ) + E(x − x0 , y − y0 ), donde E es un infinit´esimo de orden superior a k(x − x0 , y − y0 )k.

El plano de ecuaci´on z − z0 = D1 f (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 ) · (y − y0 ) contiene a las rectas tangentes a las curvas que son la intersecci´on de la superficie con los planos x = x0 e y = y0 (pues el producto escalar de su vector tangente (D1 f (x0 , y0 ), D2 f (x0 , y0 ), −1) por los vectores directores de dichas tangentes, (0, 1, D2 f (x0 , y0 )) y (1, 0, D1 f (x0 , y0 )), es nulo).

Dicho plano contiene adem´as a la tangente en el punto (x0 , y0 , z0 ) a cualquier curva de la superficie que pase por (x0 , y0 , z0 ). Por esta raz´on, el plano citado recibe el nombre de plano tangente a la superficie en el punto (x0 , y0 , z0 ). La recta perpendicular a dicho plano por el punto (x0 , y0 , z0 ) se llama recta normal a la superficie. La ecuaci´on de la recta normal es, pues, x − x0 y − y0 z − z0 = = .

D1 f (x0 , y0 ) D2 f (x0 , y0 ) −1 En general, si una superficie S ⊂ R3 es la superficie de nivel de una funci´on f : R3 → R, es decir S tiene por ecuaci´on f (x, y, z) = k, la ecuaci´on del plano tangente a dicha superficie en un punto (x0 , y0 , z0 ) es −→ ∇f (x0 , y0 , z0 ) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0, 132

lo que significa que el vector gradiente es perpendicular al plano tangente a dicha superficie.

PROBLEMA 3.32

Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado: (a) z = x2 + 4y 2 , P = (2, −1, 8). (b) x = e2y−z , P = (1, 1, 2).

Soluci´ on

(a) Las derivadas parciales de la funci´on son ∂z = 2x, ∂x

∂z = 8y, ∂y

de modo que, al sustituirlas en el punto dado, nos da el vector normal → al plano tangente − v = (4, −8, −1). La ecuaci´on de dicho plano es, por tanto, z − 8 = 4(x − 2) − 8(y + 1) o bien 4x − 8y − z = 8.

(b) En este caso derivamos x con respecto a las variables y y z: ∂x ∂x ∂x ∂x = 2e2y−z , = −e2y−z =⇒ (P ) = 2, (P ) = −1. ∂y ∂z ∂y ∂z → Un vector normal al plano tangente es ahora − v = (−1, 2, −1) y la ecuaci´on de este plano es (x − 1) = 2(y − 1) − (z − 2), es decir x − 2y + z = 1.

133

PROBLEMA 3.33

Probar que las superficies 3x2 + 2y 2 − 2z = 1, x2 + y 2 + z 2 − 4y − 2z + 2 = 0

son perpendiculares en el punto (1, 1, 2).

Soluci´ on

Para que dos superficies sean perpendiculares, basta que lo sean los vectores directores de sus planos tangentes. Si llamamos f1 (x, y, z) = 3x2 +2y 2 −2z−1 y f2 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4y − 2z + 2, sus respectivos gradientes son −−→ −−→ ∇f1 (x, y, z) = (6x, 4y, −2) , ∇f2 (x, y, z) = (2x, 2y − 4, 2z − 2).

Por tanto, −−→ −−→ ∇f1 (1, 1, 2) = (6, 4, −2) , ∇f2 (1, 1, 2) = (2, −2, 2).

El producto escalar de estos vectores es 0, lo que significa que son perpendiculares.

134

PROBLEMA 3.34

Hallar una constante C para que, en todo punto de la intersecci´ on de las esferas (x − C)2 + y 2 + z 2 = 3; x2 + (y − 1)2 + z 2 = 1,

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares.

Soluci´ on

Llamamos (x0 , y0 , z0 ) a un punto de intersecci´on de ambas esferas. El plano tangente a cada una de las esferas tiene vector normal el gradiente de la funci´on de tres variables que tiene por superficie de nivel dicha esfera. Estos vectores son, respectivamente: − → v = (2(x0 − C), 2y0 , 2z0 ) ,

− → w = (2x0 , 2(y0 − 1), 2z0 ).

Para que sean perpendiculares los planos tangentes, el producto escalar de estos vectores debe ser nulo. Construimos pues el sistema de ecuaciones (teniendo en cuenta que ambas superficies pasan por el punto (x0 , y0 , z0 )): 4x0 (x0 − C) + 4y0 (y0 − 1) + 4z02 = 0 (x0 − C)2 + y02 + z02 = 3 x20 + (y0 − 1)2 + z02 = 1. √ Eliminando variables, obtenemos las dos posibles soluciones C = ± 3.

PROBLEMA 3.35

Encontrar la ecuaci´ on del plano que pasa por (2, 1, −2) y es paralelo al plano tangente a la superficie x2 +y 2 +z 2 = 12 en (2, −2, 2).

Soluci´ on

→ Si definimos la funci´on f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 12, entonces el vector − v = −→ ∇f (x0 , y0 , z0 ) = (2x0 , 2y0 , 2z0 ) es normal al plano tangente a la superficie 135

− por un punto arbitrario (x0 , y0 , z0 ); en el punto dado, dicho vector es → v = (4, −4, 4).

De este modo, el plano que pasa por el punto (2, 1, −2) y es paralelo al plano anterior tiene por ecuaci´on 4(x − 2) − 4(y − 1) + 4(z + 2) = 0

o bien

x − y + z = −1.

PROBLEMA 3.36

Encontrar la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva de intersecci´ on del plano 6x + 3y + 2z = 5 con el cono z 2 = 4x2 + 9y 2 por el punto (2, 1, −5).

Soluci´ on p −6x − 3y + 5 y g(x, y) = − 4x2 + 9y 2 2 que representan al plano y al cono, respectivamente (observar el signo “−” de la ra´ız debido a la posici´on del punto de intersecci´on de las superficies).

Construimos las funciones f (x, y) =

Las derivadas parciales de ambas funciones en el punto dado son: fx0 (x, y) = −3 , fy0 (x, y) = −3/2; 4x 9y gx0 (x, y) = , gy0 (x, y) = =⇒ gx0 (2, 1) = −8/5, gy0 (2, 1) = −9/5. g(x, y) g(x, y) → → De aqu´ı deducimos que los vectores − v = (−3, −3/2, −1) y − v = (−8/5, −9/5, −1) 1

2

son perpendiculares al plano y al cono, respectivamente. Un vector tangente a la curva intersecci´on de ambos es

− →

− → −

→ i j k 3

7 → − → → v =− v1 × − v2 =

−3 −3/2 −1

= − , − , 3 .

10 5

−8/5 −9/5 −1

En definitiva, la recta tangente a la curva citada tiene por ecuaci´on

7t 3t r(t) = 2 − , 1 − , −5 + 3t .

10 5

PROBLEMA 3.37

Demostrar que la suma de los cuadrados de las intersecciones con los ejes coordenados de todo plano tangente a la superficie x2/3 + y 2/3 + z 2/3 = a2/3 es constante.

136

Soluci´ on

Podemos considerar la superficie dada como una superficie de nivel de la funci´on g(x, y, z) = x2/3 + y 2/3 + z 2/3 . El gradiente de dicha funci´on en un punto (x0 , y0 , z0 ) de la superficie es −→ 2 −1/3 −1/3 −1/3 ∇g(x0 , y0 , z0 ) = (x0 , y0 , z0 ).

3 Como dicho vector es perpendicular a la superficie, la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto citado es −1/3

x0 2/3

−1/3

(x − x0 ) + y0

2/3

2/3

donde x0 +y0 +z0

−1/3

(y − y0 ) + z0

(z − z0 ) = 0,

= a2/3 (pues el punto pertenece a la superficie).

Los puntos de intersecci´on de este plano con los ejes coordenados son 1/3

1/3

1/3

(x0 a2/3 , 0, 0), (0, y0 a2/3 , 0), (0, 0, z0 a2/3 ).

La suma de los cuadrados de dichas intersecciones vale: 2/3

x2 + y 2 + z 2 = a4/3 (x0

2/3

+ y0

2/3

+ z0 ) = a2 ,

resultado que no depende del punto de tangencia.

PROBLEMA 3.38

Probar que toda recta normal al cono x2 = 2y 2 + 2z 2 corta al eje X. Soluci´ on

Calculamos en primer lugar el vector gradiente de la funci´on de tres variables f (x, y, z) = x2 − 2y 2 − 2z 2 : −→ ∇f (x, y, z) = (2x, −4y, −4z). −→ El vector ∇f (x0 , y0 , z0 ) es el vector director de la recta normal al cono en un punto (x0 , y0 , z0 ). La ecuaci´on de la recta se escribe entonces como x − x0 y − y0 z − z0 = = .

2x0 −4y0 −4z0 137

Para que dicha recta corte al eje X, debe ser compatible el sistema x−x0 2x0 x−x0 2x0

= =

−y0 −4y0 −z0 −4z0

que resulta de hacer y = 0 y z = 0.

En efecto, ambas ecuaciones dan la misma soluci´on x = 3x0 /2, lo que prueba que la recta corta al eje X en el punto (3x0 /2, 0, 0).

En la gr´afica se muestran algunas rectas normales al cono en puntos de la circunferencia x20 = 2y 2 + 2z 2 , x = x0 y se observa que todas ellas cortan al eje X en el punto (3x0 /2, 0, 0).

138

´ DE FUNCIONES COMPUESTAS. 4. DERIVACION

Las reglas de derivaci´on para la suma, resta, producto y cociente de funciones de una variable se extienden sin hip´otesis adicionales al caso de funciones de varias variables.

El siguiente resultado general especifica las condiciones para la diferenciabilidad de una funci´on compuesta. → ∈ int ∆ Regla de la cadena. Sean g : ∆ ⊂ Rm → Rn diferenciable en − x 0 → − − → y f : D ⊂ Rn → Rp diferenciable en y0 = g(x0 ) ∈ int D. Entonces f ◦ g es →y diferenciable en − x 0

→) = df (− → →). d(f ◦ g)(− x y0 ) ◦ dg(− x 0 0 Como la matriz asociada a la composici´on de aplicaciones lineales es el producto de las matrices asociadas a cada una de las funciones, de la f´ormula anterior deducimos la llamada forma matricial de la regla de la cadena: −−→ →). →) = Df − g(x0 ) · Dg(− x D(f ◦ g)(− x 0 0 Desarrollando el producto de estas matrices, podemos expresar el elemento de la fila j-´esima y columna i-´esima de la matriz D(f ◦ g) como: →) = Di (f ◦ g)j (− x 0

n X

−−−→ →), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p, Dk fj g(x0 ) · Di gk (− x 0

k=1

es decir, −−−→ n →) X ∂fj g(x0 ) ∂gk (− ∂(f ◦ g)j − x 0 → · (x0 ) = , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p. ∂xi ∂yk ∂xi k=1

Escribimos a continuaci´on algunos casos particulares.

Caso de una sola variable dependiente. (a) p = 1, m > 1: Si z = f (y1 , . . . , yn ) es una funci´on diferenciable de los argumentos y1 , . . . , yn , que son a su vez funciones diferenciables de las m variables independientes x1 , . . . , xm , yi = gi (x1 , . . . , xm ), 1 ≤ i ≤ n, las derivadas parciales de la funci´on compuesta se calculan con la f´ormula: n X ∂f −−−→ ∂gi − ∂(f ◦ g) − →) = →), 1 ≤ k ≤ m. (x g(x0 ) · (x 0 0 ∂xk ∂yi ∂xk i=1

139

Veamos un ejemplo concreto bastante com´ un: Si z es una funci´on compuesta de varias variables independientes, por ejemplo z = f (u, v), donde u = φ(x, y), v = ψ(x, y) (x e y son variables independientes), φ y ψ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a x e y se expresan as´ı: ∂z ∂x ∂z ∂y

= =

∂z ∂u ∂z ∂u

∂u ∂z ∂v + · ∂x ∂v ∂x ∂u ∂z ∂v · + · . ∂y ∂v ∂y ·

(b) p = 1, m = 1: Si z = f (y1 , . . . , yn ) es una funci´on diferenciable de los argumentos y1 , . . . , yn , que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente x, yi = gi (x), 1 ≤ i ≤ n, la derivada de la funci´on compuesta se puede calcular por la f´ormula: (f ◦ g)0 (x0 ) =

n X −→ −−−→ ∂f −−−→ 0 g(x0 ) · gi (x0 ) = ∇f g(x0 ) · Dg(x0 ). ∂yi i=1

En el caso particular de que x coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con yk , la derivada total de la funci´on f con respecto a x ser´a: n dz ∂f X ∂f dyi = + · . dx ∂x ∂yi dx i=1 i6=k

PROBLEMA 3.39

Calcular

∂z ∂z , , si z = f (u, v), u = exy , v = x2 − y 2 . ∂x ∂y

Soluci´ on

Basta aplicar directamente la regla de derivaci´on de una funci´on compuesta: ∂z ∂x ∂z ∂y

= =

∂z ∂u ∂z ∂u

∂u ∂z ∂v ∂z + · = · yexy + ∂x ∂v ∂x ∂u ∂u ∂z ∂v ∂z · + · = · xexy − ∂y ∂v ∂y ∂u ·

140

∂z · 2x ∂v ∂z · 2y. ∂v

PROBLEMA 3.40 ∂w Sea w = f (u, v) con u(x, y, z) = x/y , v(x, y, z) = y/z . Calcular , ∂x ∂w ∂w , . ∂y ∂z Soluci´ on

Procedemos de forma completamente an´aloga al problema anterior: ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z

= = =

∂f ∂u ∂f ∂u ∂f ∂u

∂u ∂f ∂v ∂f 1 + · = · ∂x ∂v ∂x ∂u y ∂u ∂f ∂v ∂f −x ∂f 1 · + · = · + · ∂y ∂v ∂y ∂u y 2 ∂v z ∂u ∂f ∂v ∂f −y · + · = · . ∂z ∂v ∂z ∂v z 2 ·

PROBLEMA 3.41

Dadas las funciones f (x, y) = x1/3 y 1/3 , g(x) = (x, x), estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on compuesta f ◦ g .

Soluci´ on

Por definici´on, (f ◦ g)(x) = f (x, x) = x2/3 , la cual es una funci´on de una variable que sabemos no es diferenciable en el origen. Observemos sin embargo que existen las derivadas parciales de f en el origen, f (h, 0) − f (0, 0) = 0, h→0 h f (0, k) − f (0, 0) fy0 (0, 0) = l´ım = 0, k→0 k

fx0 (0, 0) =

l´ım

y que la funci´on g es derivable en x = 0.

141

Este ejemplo prueba que la existencia de derivadas parciales no es condici´on suficiente para que sea v´alida la regla de la cadena.

PROBLEMA 3.42

Siendo z = ln(x/y) − arc sen(y/x), x = e2t + 1, y = e−2t + 1, hallar la derivada dz/dt.

Soluci´ on

Las derivadas parciales de z son, respectivamente, ∂z ∂x

=

∂z ∂y

=

1/y −y/x2 1 y −p ; = + p x/y x x x2 − y 2 1 − y 2 /x2 −x/y 2 1/x 1 1 −p =− −p . x/y y 1 − y 2 /x2 x2 − y 2

Por la regla de derivaci´on de la funci´on compuesta tenemos que dz dt

∂z dx ∂z dy · + · ∂x dt ∂y dt " # " # y 1 2t 1 −2t 1 = 2e + p + 2e +p . x x x2 − y 2 y x2 − y 2 =

142

PROBLEMA 3.43

Calcular

d(f ◦ h) en los siguientes casos: du

(a) f (x, y) = exy cos(xy 2 ), h(u) = (cos u, sen u). (b) f (x, y, z) = xz + yz + xy , h(u) = (eu , cos u, sen u), cuando u = 1.

Soluci´ on

(a) Por la f´ormula de la derivada de la funci´on compuesta, tenemos: d(f ◦ h) du

= Df (x, y) · h0 (u) =

yexy cos(xy 2 ) − y 2 exy sen(xy 2 ), xexy cos(xy 2 ) − 2xyexy sen(xy 2 )

− sen u · cos u

= −yexy cos(xy 2 ) sen u + y 2 exy sen(xy 2 ) sen u +xexy cos(xy 2 ) cos u − 2xyexy sen(xy 2 ) cos u = (x2 − y 2 )exy cos(xy 2 ) + y(y 2 − 2x2 )exy sen(xy 2 ) (observemos que x = cos u, y = sen u). (b) Cuando u = 1, h(1) = (x(1), y(1), z(1)) = (e, cos 1, sen 1). Por tanto,   eu d(f ◦ h) = Df (x, y, z) · h0 (u) = (z + y, z + x, x + y) · − sen u du cos u u = (z + y)e − (z + x) sen u + (x + y) cos u. d(f ◦ h) =⇒ (1) = e · (sen 1 + cos 1) − (e + sen 1) · sen 1 + (e + cos 1) · cos 1 du = 2e cos 1 + cos 2.

PROBLEMA 3.44

Se consideran las funciones f (t) = (t, t2 , et ) y g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .

Calcular las derivadas de las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f .

143

Soluci´ on

(a) Como g◦f es una funci´on real de una variable real, si llamamos x(t) = t, y(t) = t2 , z(t) = et , su derivada es (g◦f )0 (t) =

∂g 0 ∂g ∂g ·x (t)+ ·y 0 (t)+ ·z 0 (t) = 2x+4yt+2zet = 2t+4t3 +2e2t . ∂x ∂y ∂z

(b) En este caso, tenemos f ◦ g : R3 → R3 . Por tanto, si llamamos f1 (t) = t, f2 (t) = t2 y f3 (t) = et a las componentes de la funci´on f , su matriz jacobiana se obtiene con el siguiente producto:  0  f1 (t)

D(f ◦ g)(x, y, z) = f20 (t) · Dx g Dy g Dz g f30 (t)     1 2x 2y 2z

= 2t · 2x 2y 2z =  4xt 4yt 4zt  , et 2xet 2yet 2zet donde t = x2 + y 2 + z 2 .

PROBLEMA 3.45

Sean f y g las siguientes funciones: f (x, y) =

ex+2y , sen(y + 2x) ,

g(u, v, w) = (u + 2v 2 + 3w3 , 2v − u2 ).

Calcular D(f ◦ g)(1, −1, 1).

Soluci´ on

Calculamos por separado las derivadas de ambas funciones:

ex+2y 2ex+2y 1 4v 9w2 Df (x, y) = , Dg(u, v, w) = .

2 cos(y + 2x) cos(y + 2x) −2u 2 0 Teniendo en cuenta que g(1, −1, 1) = (6, −3), si aplicamos la regla de la cadena, obtenemos: D(f ◦ g)(1, −1, 1) = Df (6, −3) · Dg(1, −1, 1)

1 2 1 −4 9 = · 2 cos 9 cos 9 −2 2 0

−3 0 9 = .

0 −6 cos 9 18 cos 9 144

PROBLEMA 3.46

Demostrar que la funci´ on z = φ(x2 + y 2 ) satisface la ecuaci´ on ∂z ∂z y −x = 0. ∂x ∂y Soluci´ on

Si llamamos t = x2 +y 2 , la funci´on φ depende de x e y a trav´es del argumento intermedio t, por lo cual ∂z ∂x ∂z ∂y

= =

dz dt dz dt

∂t = φ0 (x2 + y 2 ) · 2x ∂x ∂t · = φ0 (x2 + y 2 ) · 2y, ∂y ·

de donde efectivamente ∂z ∂z y −x = yφ0 (x2 + y 2 ) · 2x − xφ0 (x2 + y 2 ) · 2y = 0. ∂x ∂y

PROBLEMA 3.47

Si u(x, y, z) = xn · ϕ(y/xα , z/xβ ), donde ϕ es una funci´ on diferenciable, comprobar que x·

∂u ∂u ∂u + αy · + βz · = n · u. ∂x ∂y ∂z

Soluci´ on

Utilizaremos las variables auxiliares v = y/xα , w = z/xβ . Por la regla de la cadena y la f´ormula de la derivada del producto,

∂ϕ ∂w ∂u ∂ϕ ∂v = nxn−1 · ϕ(v, w) + xn · · + · ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂ϕ ∂ϕ = nxn−1 · ϕ(v, w) − αyxn−α−1 − βzxn−β−1 , ∂w

∂v ∂u ∂ϕ ∂v ∂ϕ ∂w ∂ϕ = xn · · + · = xn−α , ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂v

∂ϕ ∂w ∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂v = xn · · + · = xn−β . ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z ∂w 145

Con estos datos, basta sustituir en la expresi´on que se indica en el enunciado para obtener la igualdad propuesta.

PROBLEMA 3.48

Si z =

f (x − y) ∂z ∂z , probar que z + y +y = 0. y ∂x ∂y

Soluci´ on

Si llamamos u = x − y, las derivadas parciales de z son: ∂z ∂x ∂z ∂y

= =

1 0 ∂u 1 · f (u) · = · f 0 (x − y); y ∂x y 0 y · f (u) · (∂u/∂y) − f (u) −yf 0 (x − y) − f (x − y) = . y2 y2

De aqu´ı deducimos que

∂z ∂z −f (x − y) −z + = = , lo que equivale a la 2 ∂x ∂y y y

igualdad buscada.

PROBLEMA 3.49

Dada la funci´ on u(x, y) = xyf trar que x2

x + y xy

, siendo f arbitraria, demos-

∂u ∂u − y2 = (x − y) · u. ∂x ∂y

Soluci´ on

Aplicamos la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales. Si x+y , obtenemos: utilizamos la variable auxiliar z = xy ∂u ∂x ∂u ∂y

∂z xy − y(x + y) = yf (z) + xyf 0 (z) · , ∂x x2 y 2 ∂z xy − x(x + y) = xf (z) + xyf 0 (z) · = xf (z) + xyf 0 (z) · . ∂y x2 y 2 = yf (z) + xyf 0 (z) ·

146

Por tanto, x2

∂u ∂u − y2 ∂x ∂y

= x2 yf (z) − xy 2 f (z) − xyf 0 (z) + xyf 0 (z) = (x − y) · xy · f (z) = (x − y) · u.

PROBLEMA 3.50

Sea Ω = f (u, v, w) una funci´ on diferenciable, con u3 = x3 + y 3 + z 3 , v 2 = x2 + y 2 + z 2 , w = x + y + z.

Demostrar que x

∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f +y +z =u +v +w . ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w

Soluci´ on

Calculamos las derivadas parciales de f aplicando la regla de la cadena.

Teniendo en cuenta que p p u = 3 x3 + y 3 + z 3 , v = x2 + y 2 + z 2 , w = x + y + z, obtenemos ∂u 3x2 ∂u 3y 2 ∂u 3z 2 p p = p , = , = , ∂x 3 3 (x3 + y 3 + z 3 )2 ∂y 3 3 (x3 + y 3 + z 3 )2 ∂z 3 3 (x3 + y 3 + z 3 )2 ∂v 2x ∂v 2y ∂v 2z = p = p = p , , , ∂x 2 x2 + y 2 + z 2 ∂y 2 x2 + y 2 + z 2 ∂z 2 x2 + y 2 + z 2 ∂w ∂w ∂w = 1, = 1, = 1. ∂x ∂y ∂z Resulta as´ı: ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z

= = =

∂f ∂u ∂f ∂u ∂f ∂u

∂u ∂f ∂v ∂f + · + ∂x ∂v ∂x ∂w ∂u ∂f ∂v ∂f · + · + ∂y ∂v ∂y ∂w ∂u ∂f ∂v ∂f · + · + ∂z ∂v ∂z ∂w ·

∂w ∂f 3x2 ∂f 2x ∂f = · 2+ · + ∂x ∂u 3u ∂v 2v ∂w ∂w ∂f 3y 2 ∂f 2y ∂f · = · + · + ∂y ∂u 3u2 ∂v 2v ∂w ∂w ∂f 3z 2 ∂f 2z ∂f · = · 2+ · + . ∂z ∂u 3u ∂v 2v ∂w ·

147

Basta ahora sustituir este resultado en la expresi´on x obtener directamente u

∂f ∂f ∂f +y +z y ∂x ∂y ∂z

∂f ∂f ∂f +v +w . ∂u ∂v ∂w

PROBLEMA 3.51

Una funci´ on z = f (x1 , . . . , xn ) se dice homog´enea de grado p si f (λx1 , . . . , λxn ) = λp f (x1 , . . . , xn ),

para todo punto (x1 , . . . , xn ) ∈ D y todo λ > 0 tales que (λx1 , . . . , λxn ) ∈ D. Probar el teorema de Euler sobre funciones homog´ eneas: Una funci´ on z = f (x1 , . . . , xn ) es homog´enea de grado p si y s´ olo si ∂z ∂z ∂z x1 + x2 + · · · + xn = pz. ∂x1 ∂x2 ∂xn

Soluci´ on

Por simplicidad en la notaci´on supondremos n = 2. Probaremos en primer ∂z ∂z +y = pf (x, y), si f es homog´enea de grado p. lugar que x ∂x ∂y Si llamamos u = λx, v = λy, por ser f homog´enea podemos escribir f (λx, λy) = f (u, v) = λp f (x, y).

Si derivamos f (u, v) respecto a λ, obtenemos: ∂f ∂u ∂f ∂v · + · ∂u ∂λ ∂v ∂λ ∂f ∂f =⇒ pλp−1 f (x, y) = x (u, v) + y (u, v). ∂u ∂v En particular, haciendo λ = 1, resulta u = x, v = y y obtenemos la f´ormula deseada. pλp−1 f (x, y) =

Rec´ıprocamente, si xfx0 (x, y) + yfy0 (x, y) = pf (x, y), definimos φ(λ) =

f (λx, λy) , λ > 0. λp

Entonces, φ0 (λ) = =

λp [xfx0 (λx, λy) + yfy0 (λx, λy)] − pλp−1 f (λx, λy) λ2p 0 0 λxfx (λx, λy) + λyfy (λx, λy) − pf (λx, λy) . λp+1 148

Si llamamos x0 = λx, y 0 = λy, entonces la hip´otesis se puede escribir como pf (x0 , y 0 ) = x0 D1 f (x0 , y 0 ) + y 0 D2 f (x0 , y 0 ), o bien pf (λx, λy) = λxD1 f (λx, λy) + λyD2 f (λx, λy).

Esto significa que φ0 (λ) = 0, y φ es una funci´on constante. Entonces, ∀λ > 0, φ(λ) = φ(1) y, debido a que φ(1) = f (x, y), deducimos que f es homog´enea de grado p.

PROBLEMA 3.52

Ver si la funci´ on p y 4 arc sen 1 − x2 /y 2 p f (x, y) = p x x2 + y 2 − y x2 − y 2

es homog´ enea y hallar su grado en caso afirmativo.

Soluci´ on

Si suponemos λ > 0, entonces f (λx, λy) = =

p λ4 y 4 arc sen 1 − λ2 x2 /λ2 y 2 p p λx λ2 (x2 + y 2 ) − λy λ2 (x2 − y 2 ) p λ4 y 4 arc sen 1 − x2 /y 2 p p = λ2 f (x, y).

2 2 2 2 2 λ (x x + y − y x − y )

Esto significa que la funci´on es homog´enea de grado 2.

PROBLEMA 3.53

Comprobar que f (x, y) = cos x

2x + y verifica la identidad 2x − y

∂f ∂f (x, y) + y (x, y) = 0. ∂x ∂y

Soluci´ on 149

Puesto que f (λx, λy) = f (x, y) = λ0 f (x, y), la funci´on es homog´enea de grado cero. La identidad buscada se deduce pues del teorema de Euler.

PROBLEMA 3.54

Dada la funci´ on z=

hallar x

x5 + y 5 x + y y/x arc tg e , x+y x−y

∂z ∂z +y . ∂x ∂y

Soluci´ on

Si llamamos f (x, y) = z entonces f (λx, λy) =

λ5 (x5 + y 5 ) λ(x + y) λy/λx arc tg e = λ4 f (x, y), λ(x + y) λ(x − y)

lo que quiere decir que f es homog´enea de grado 4. Por tanto, x

PROBLEMA 3.55 h Si la funci´ on w = f x

∂z ∂z +y = 4z. ∂x ∂y

xy i es diferenciable, comprobar que x2 + y 2

∂w ∂w +y = 0. ∂x ∂y

Soluci´ on

Si llamamos u = ∂w ∂x ∂w ∂y

x2

xy , entonces: + y2

∂u y(x2 + y 2 ) − 2x2 y y 3 − x2 y 0 = f 0 (u) · = f (u) · , ∂x (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 ∂u x(x2 + y 2 ) − 2xy 2 x3 − xy 2 0 = f 0 (u) · = f 0 (u) · = f (u) · . ∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 = f 0 (u) ·

150

Basta multiplicar la primera igualdad por x y la segunda por y para obtener la identidad propuesta.

Otro m´etodo consiste en observar que la funci´on dada es homog´enea de grado cero, por lo que basta aplicar el teorema de Euler demostrado en el problema 3.49.

PROBLEMA 3.56

Si f (x, y) es una funci´ on homog´ enea de grado p, probar que la funci´ on F (x, y) = f (f (x, y), f (x, y)) es homog´ enea de grado p2 .

Soluci´ on

Aplicando repetidamente la hip´otesis f (λx, λy) = λp f (x, y), obtenemos: F (λx, λy) = f (λp f (x, y), λp f (x, y)) = λp f (λp−1 f (x, y), λp−1 f (x, y)) = λ2p f (λp−2 f (x, y), λp−2 f (x, y)) = . . .

2

= λp·p f (f (x, y), f (x, y)) = λp F (x, y), lo que demuestra que F es homog´enea de grado p2 .

Otro m´etodo posible ser´ıa utilizar el teorema de Euler, lo cual proponemos como ejercicio.

PROBLEMA 3.57

Se considera la superficie dada por las ecuaciones   F (u, v) = 0 u√= xy S:  v = x2 + z 2 . √ Hallar un vector normal a S en el punto P (1, 1, 3), sabiendo que D1 F (1, 2) = 1, D2 F (1, 2) = 2.

Soluci´ on √ Si definimos la funci´on √ G(x, y, z) = F (xy, x2 + z 2 ) (composici´on de F con la funci´on (u, v) = (xy, x2 + z 2 )), la superficie dada es la superficie de nivel 151

cero de la funci´on G. Por tanto, un vector normal a la superficie en el punto

→ P es el gradiente de G, − v = D1 G(P ), D2 G(P ), D3 G(P ) . Aplicamos pues la regla de la cadena: ∂F ∂u ∂F D2 G(x, y, z) = ∂u ∂F D3 G(x, y, z) = ∂u √ Sustituyendo en el punto P (1, 1, 3), D1 G(x, y, z) =

∂F x , ·√ 2 ∂v x + z2 ∂F ·x+ · 0, ∂v ∂F z . ·0+ ·√ 2 ∂v x + z2 ·y+

obtenemos:

√ D1 G(1, 1, 3) =

∂F ∂F 1 (1, 2) · 1 + (1, 2) · = 2, ∂u ∂v 2 √ ∂F D2 G(1, 1, 3) = (1, 2) · 1 = 1, ∂u √ √ 3 √ ∂F D3 G(1, 1, 3) = (1, 2) · = 3. ∂v 2 √ → Un vector normal a la superficie es entonces − v = (2, 1, 3).

PROBLEMA 3.58

Si una superficie tiene por ecuaci´ on z = xf (x/y), con f diferenciable, demostrar que todos los planos tangentes tienen un punto en com´ un.

Soluci´ on

−→ x x2 Debido a que ∇z = f (x/y) + f 0 (x/y), − 2 f 0 (x/y) , la ecuaci´on del play y no tangente en un punto arbitrario (x0 , y0 , z0 ) de la superficie (es decir, donde z0 = x0 f (x0 /y0 )), es la siguiente:

x x x0 x0 0 x0 x2 0 0 z − x0 · f = f + ·f · (x − x0 ) − 20 · f 0 · (y − y0 ) y0 y0 y0 y0 y0 y0

x x2 x x0 x0 0 x0 0 0 = f ·f + · x − x0 · f − 0 · f0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 x x x2 x2 0 0 − 20 · f 0 · y + 0 · f0 y0 y0 y0 y0

x x0 x0 0 x0 x2 0 =⇒ z = f + ·f · x − 20 · f 0 · y, y0 y0 y0 y0 y0 152

lo que significa que todos los planos tangentes pasan por el origen.

153

5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Dada f : Rm → R, cada una de las derivadas parciales es, a su vez, una funci´on Dk f : Rm → R, (k = 1, . . . , m), definida en alg´ un subconjunto de m R . Estas funciones se llaman derivadas parciales de primer orden de f . A su vez, para cada una de ellas se pueden definir las correspondientes derivadas parciales, que llamaremos derivadas parciales de segundo orden de f , y para las que usaremos indistintamente cualquiera de las siguientes notaciones: ∂2f Di (Dk f ) = Dki f = = fki , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ m. ∂xk ∂xi En el caso particular de i = k, utilizamos la notaci´on an´aloga (Dk )2 f = Dkk f =

∂2f = fkk , (k = 1, . . . , m). ∂x2k

El proceso de derivaci´on puede repetirse de forma sucesiva y de este modo definir las derivadas parciales de orden p de f como ∂pf ∂xi1 . . . ∂xip para cualquier permutaci´on de los ´ındices i1 , . . . , ip ∈ {1, . . . , m}.

Un problema interesante es averiguar bajo qu´e condiciones existen y son iguales las derivadas cruzadas (aquellas en donde s´olo se cambia el orden de la permutaci´on). La respuesta la proporciona el siguiente teorema de Schwarz.

Teorema (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas.) Sea f : D ⊂ Rm → R, donde D es un conjunto abierto. Si existen las derivadas parciales de →, r) ⊂ D y primer orden ∂f /∂xk , ∀k ∈ {1, . . . , m}, en alguna bola B(− x 0 2 2f ∂ f ∂ →, entonces existe tambi´en existe y es continua en − x y 0 ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi 2 ∂2f − →) = ∂ f (− →). (x x 0 0 ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj

Diremos que una funci´on es de clase C (p) en un conjunto D ⊂ Rm , denotado como f ∈ C (p) (D), cuando existen y son continuas todas las derivadas parciales de orden p de f en D. En particular, C (0) es la clase de funciones continuas y C (∞) representa la clase de funciones con derivadas continuas de cualquier orden. As´ı por ejemplo, como ya indicamos en la secci´on 2, una funci´on de clase C (1) es diferenciable. Es f´acil tambi´en probar que C (p) (D) ⊂ C (p−1) (D), ∀p > 0.

154

Del teorema anterior, es evidente que, si f ∈ C (2) (D), entonces tambi´en se verifica la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.

An´alogamente, se prueba que, si f ∈ C (k) (D), son iguales todas las derivadas cruzadas de orden k, es decir ∂kf ∂kf = , ∂xi1 . . . ∂xik ∂xip(1) . . . ∂xip(k) donde {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . . , m} y {p(1), . . . , p(k)} es cualquier permutaci´on de {i1 , . . . , ik }.

PROBLEMA 3.59 k Dada la funci´ on f (x1 , . . . , xn ) = p 2 (k ∈ R), hallar (x1 + · · · + x2n )n−2 el valor de ∂2f − ∂2f − → → (→ x ), con − x = (x1 , . . . , xn ). ( x ) + · · · + 2 2 ∂xn ∂x1 Soluci´ on

Para cualquier i ∈ {1, . . . , n}, las derivadas parciales de primer orden son: −k · ∂f − (→ x) = ∂xi

n−2 2 2 −1 i=1 xi Pn

2 n−2 i=1 xi

n−2 2

Pn

· 2xi

= −k(n − 2) · P n

xi

2 i=1 xi

n/2 .

Derivando nuevamente, obtenemos: ∂2f − (→ x ) = −k(n − 2) ∂x2i

2 n/2 i=1 xi

Pn

" = −k(n − 2)

n X

#n/2 x2i

i=1

Pn

= −k(n −

Pn

2 (n/2)−1 · 2x i i=1 xi n 2 i=1 xi Pn

2 −1 1 − nx2i i=1 xi

Pn 2 n i=1 xi − xi (n/2) Pn

x2 − nx2 2) Pi=1 i (n/2)+1i n 2 i=1 xi

2

k(n − 2) = − P x1 + · · · + (1 − n)x2i + · · · + x2n .

(n/2)+1 n 2 i=1 xi 155

La suma pedida vale entonces

k(n − 2) (1 − n)(x21 + · · · + x2n ) + (n − 1)(x21 + · · · + x2n ) = 0.

(n/2)+1 n 2 i=1 xi

S = − P

PROBLEMA 3.60

Dada la funci´ on u = u(r, s) de clase C (2) , si x = 2r − s, y = r + 2s, ∂2u averiguar el valor de en funci´ on de las derivadas con respecto ∂y∂x a r y s.

Soluci´ on

2x + y 2y − x ,s= , 5 5 luego ∂r/∂x = 2/5, ∂s/∂x = −1/5, ∂r/∂y = 1/5, ∂s/∂y = 2/5. Por tanto,

Despejando r y s en funci´on de x e y, tenemos que r =

∂u ∂y 2 ∂ u ∂y∂x

u1 =

∂u ∂r ∂u ∂s 1 ∂u 2 ∂u · + · = · + · , ∂r ∂y ∂s ∂y 5 ∂r 5 ∂s ∂u1 ∂u1 ∂r ∂u1 ∂s = = · + · ∂x ∂r ∂x ∂s ∂x

1 ∂2u 2 ∂2u 2 1 ∂2u 2 ∂2u −1 = · + · · + · + · · 5 ∂r2 5 ∂s∂r 5 5 ∂r∂s 5 ∂s2 5 2

2 2 1 ∂ u ∂ u ∂ u = 2 2 +3 −2 2 , 25 ∂r ∂r∂s ∂s =

pues, debido a que u ∈ C (2) ,

∂2u ∂2u = . ∂r∂s ∂s∂r

Dejamos como ejercicio comprobar que

∂2u ∂2u = . ∂y∂x ∂x∂y

PROBLEMA 3.61

Dada f (x, y) = y n e−x

2 /4y

, hallar n para que se verifique

∂f 1 ∂ 2 ∂f = 2· x . ∂y x ∂x ∂x

156

Soluci´ on Calculamos las derivadas parciales de la funci´on: −xy n−1 −x2 /4y ·e 2

x2 2 = y n−1 e−x /4y n + .

4y

∂f ∂x ∂f ∂y

=

Como adem´as n−1

−y 1 x2 xy n−1 x ∂2f −x2 /4y n−1 −x2 /4y = ·e =y ·e · − + , + · ∂x2 2 2 2y 2 4y deducimos que

∂ ∂f ∂f ∂2f x2 = 2x · + x2 · ∂x ∂x ∂x ∂x2 2 n−1

= −x y

−x2 /4y

2 n−1

·e

−x2 /4y

+x y ·e

3 x2 2 n−1 −x2 /4y = x y ·e · − + .

2 4y

1 x2 · − + 2 4y

En definitiva, como 1 ∂ · x2 ∂x

∂f x ∂x 2

2 /4y

= y n−1 e−x

−

3 x2 + , 2 4y

basta hacer n = −3/2 para obtener la igualdad propuesta.

PROBLEMA 3.62

Dada la funci´ on u(x, y) = f (x − y) + g(x − y), donde f y g son fun∂2u ∂2u ciones reales diferenciables, comprobar la ecuaci´ on − 2 = 0. ∂x2 ∂y Soluci´ on

Por las reglas de derivaci´on de funciones compuestas, tenemos: ∂u = f 0 (x − y) + g 0 (x − y) =⇒ ∂x ∂u = −f 0 (x − y) − g 0 (x − y) =⇒ ∂y 157

∂2u = f 00 (x − y) + g 00 (x − y) ∂x2 ∂2u = f 00 (x − y) + g 00 (x − y). ∂y 2

Es evidente pues la igualdad propuesta.

PROBLEMA 3.63 ( y 2 sen(x/y) si y 6= 0 ∂2f Dada la funci´ on f (x, y) = , calcular (0, 0) ∂x∂y 0 si y = 0 ∂2f y (0, 0). ¿A qu´ e se debe el resultado? ∂y∂x

Soluci´ on

Las derivadas parciales de primer orden se calculan como sigue: ∂f (0, 0) ∂x ∂f (0, 0) ∂y ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, y) ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) =0 h→0 h f (0, k) − f (0, 0) = l´ım =0 k→0 k

=

l´ım

= y 2 · cos(x/y) · (1/y) = y · cos(x/y)

si y 6= 0

= 2y · sen(x/y) + y 2 · cos(x/y) · (−x/y 2 )

= 2y · sen(x/y) − x · cos(x/y) si y 6= 0 2 ∂f f (x, k) − f (x, 0) k sen(x/k) (x, 0) = l´ım = l´ım = 0. k→0 k→0 ∂y k k Con los resultados anteriores, calculamos las derivadas parciales de segundo orden: ∂2f (0, 0) = ∂x∂y ∂2f (0, 0) = ∂y∂x

∂ ∂f (0, 0) = l´ım k→0 ∂y ∂x

∂ ∂f (0, 0) = l´ım h→0 ∂x ∂y

∂f ∂x (0, k)

− k

∂f ∂x (0, 0)

∂f ∂y (h, 0)

−

∂f ∂y (0, 0)

h

k · cos 0 − 0 =1 k→0 k

= l´ım

0−0 = 0. h→0 k

= l´ım

Las derivadas de segundo orden cruzadas no son iguales en este problema ∂2f debido a que la funci´on no es continua en el origen (dejamos como ∂x∂y ejercicio la comprobaci´on de esta afirmaci´on).

158

PROBLEMA 3.64

Sea f (x, y) = ex sen(xy), donde x = g(s, t), y = h(s, t). Si llamamos

∂2k k a la funci´ on compuesta k(s, t) = f g(s, t), h(s, t) , calcular . ∂s∂t

Soluci´ on

Aplicando la regla de la cadena, ∂g ∂g ∂h x ∂h ∂k = D1 f · +D2 f · = e sen(xy)+yex cos(xy) · +xex cos(xy)· . ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s Denotaremos por comodidad F1 (x, y) = D1 f (x, y) = ex sen(xy)+yex cos(xy) y F2 (x, y) = D2 f (x, y) = xex cos(xy). Si derivamos con respecto a t el resultado anterior, obtenemos: ∂2k ∂s∂t

∂F1 ∂g ∂F1 ∂h ∂g ∂2g = · + · · + F1 (x, y) · ∂x ∂t ∂y ∂t ∂s ∂s∂t

∂h ∂2h ∂F2 ∂g ∂F2 ∂h · + · · + F2 (x, y) · + ∂x ∂t ∂y ∂t ∂s ∂s∂t x

∂g ∂g = e sen(xy) + 2yex cos(xy) − y 2 ex sen(xy) · ∂t ∂s ∂h ∂g + [xex cos(xy) + ex cos(xy) − xyex sen(xy)] · ∂t ∂s ∂g ∂h + [ex cos(xy) + xex cos(xy) − xyex sen(xy)] · · ∂t ∂s ∂h ∂h −x2 ex sen(xy) · · ∂t ∂s

∂2g ∂2h + ex sen(xy) + yex cos(xy) · + xex cos(xy) · . ∂s∂t ∂s∂t

PROBLEMA 3.65

Sea f una funci´ on homog´ enea de grado p. Probar que x2

2 ∂2f ∂2f 2 ∂ f + 2xy + y = p(p − 1)f. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

159

Soluci´ on

A partir de la f´ormula de Euler xD1 f + yD2 f = pf, calculamos las derivadas parciales y obtenemos: xD11 f + D1 f + yD21 f

= pD1 f

xD12 f + D2 f + yD22 f

= pD2 f.

Multiplicamos la primera igualdad por x y la segunda por y, y sumamos ambas expresiones. Se obtiene as´ı: x2 D11 f + xD1 f + 2xyD12 f + yD2 f + y 2 D22 f 2

2

=⇒ x D11 f + 2xyD12 f + y D22 f

= pxD1 f + pyD2 f = x(p − 1)D1 f + y(p − 1)D2 f = (p − 1) · p · f,

despu´es de aplicar nuevamente la f´ormula de Euler.

PROBLEMA 3.66

Sean f, g : R → R dos funciones con derivadas segundas continuas.

Definimos F (x, y) = f x + g(y) . Verificar si es cierta la igualdad D1 F · D12 F = D2 F · D11 F. Soluci´ on

Definimos la variable auxiliar u = x + g(y). Por las reglas de derivaci´on de la funci´on compuesta, tenemos: D1 F D11 F

∂u ∂u = f 0 (u), D2 F = f 0 (u) · = f 0 (u) · g 0 (y); ∂x ∂y ∂u ∂u = f 00 (u) · = f 00 (u), D12 F = f 00 (u) · = f 00 (u) · g 0 (y). ∂x ∂y = f 0 (u) ·

De lo anterior se deduce que la igualdad propuesta es cierta.

160

PROBLEMA 3.67

Si f y g son funciones reales de una variable real que tienen derivadas de orden 2 continuas, se define y(x, t) = f (x + at) + g(x − at).

Probar que y verifica la “ecuaci´ on de la cuerda vibrante” 2 ∂2y 2 ∂ y = a . ∂t2 ∂x2

Soluci´ on

Utilizando las variables auxiliares u = x + at, v = x − at, podemos escribir y = f (u) + g(v). Las derivadas parciales valen entonces ∂y ∂t ∂y ∂x

= =

∂y ∂u ∂y ∂u

∂u ∂y ∂v + · = af 0 (u) − ag 0 (v); ∂t ∂v ∂t ∂u ∂y ∂v · + · = f 0 (u) + g 0 (v). ∂x ∂v ∂x ·

Derivando por segunda vez, si denotamos por y1 = ∂y/∂t e y2 = ∂y/∂x, se tiene: ∂2y ∂t2 ∂2y ∂x2

= =

∂y1 ∂y1 ∂u ∂y1 ∂v = · + · = a2 f 00 (u) + a2 g 00 (v); ∂t ∂u ∂t ∂v ∂t ∂y2 ∂y2 ∂u ∂y2 ∂v = · + · = f 00 (u) + g 00 (v). ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

Del resultado anterior se deduce de forma inmediata la ecuaci´on propuesta.

PROBLEMA 3.68

Dada la funci´ on f (x, y) =

( xy

x2 −y 2 x2 +y 2

si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0),

0

estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales de primer orden y diferenciabilidad de la misma. Comprobar adem´ as que D12 f (0, 0) 6= D21 f (0, 0).

161

Soluci´ on

(a) Teniendo en cuenta que −(x2 + y 2 ) ≤ 2xy ≤ x2 + y 2 , deducimos que

x2 − y 2

x2 − y 2 |x2 | + |y 2 |

≤

0 ≤ xy 2 . ≤ x + y2

2

2 Debido a que el l´ımite de las funciones en ambos extremos de la desigualdad es cero cuando (x, y) → (0, 0), tambi´en debe ser cero el l´ımite de f (x, y). Esto prueba la continuidad de f en R2 . (b) Por definici´on, ∂f (0, 0) = ∂x ∂f (0, 0) = ∂y

f (h, 0) − f (0, 0) 0−0 = l´ım = 0, h→0 h h f (0, k) − f (0, 0) 0−0 l´ım = l´ım = 0. k→0 k→0 k k l´ım

h→0

Esto prueba que existen ambas derivadas parciales de primer orden. (c) Para que la funci´on sea diferenciable en el origen, debe anularse el l´ımite |f (x, y) − f (0, 0) − x · fx0 (0, 0) − y · fy0 (0, 0)| p (x,y)→(0,0) x2 + y 2

x2 −y2

xy x2 +y2

|xy(x2 − y 2 )| p = l´ım = l´ım . (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) (x2 + y 2 )3/2 x2 + y 2

L =

l´ım

Aplicaremos la acotaci´on ya utilizada en el apartado (a) |xy| ≤ x2 + y 2 y las siguientes desigualdades: 0≤ Como

p |xy(x2 − y 2 )| |x2 − y 2 | x2 + y 2 ≤ ≤ = x2 + y 2 . (x2 + y 2 )3/2 (x2 + y 2 )1/2 (x2 + y 2 )1/2 l´ım

p x2 + y 2 = 0, entonces L = 0 y la funci´on es diferen-

(x,y)→(0,0)

ciable. (d) Las derivadas de primer orden en un punto distinto del origen son: (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − 2x(x3 y − xy 3 ) (x2 + y 2 )2 3 2 (x − 3xy )(x2 + y 2 ) − 2y(x3 y − xy 3 ) D2 f (x, y) = (x2 + y 2 )2

D1 f (x, y) =

162

=⇒ D1 f (0, k) = −k; =⇒ D2 f (h, 0) = h.

Aplicamos ahora la definici´on para calcular las derivadas de segundo orden en el origen. Recordando adem´as el resultado del apartado (b), resulta: D1 f (0, k) − D1 f (0, 0) −k = l´ım = −1, k→0 k→0 k k h D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0) = l´ım = 1, D21 f (0, 0) = l´ım h→0 h h→0 h

D12 f (0, 0) =

l´ım

y se deduce que, efectivamente, D12 f (0, 0) 6= D21 f (0, 0).

Como sabemos, esto es debido a que alguna de las derivadas cruzadas de segundo orden no es continua en el origen.

PROBLEMA 3.69

Sea F : R2 → R2 definida por F (x, y) = f (x, y), g(x, y) , donde ( y 2 · sen(x/y) si y 6= 0 f (x, y) = 0 si y = 0,

y g es diferenciable en el origen. Supongamos adem´ as que g(0, 0) = → → 0, D~u g(0, 0) = 1 y D~v g(0, 0) = 0, siendo − u y− v los vectores (1, 1) y (−1, 1), respectivamente. Se pide: −→ (a) Calcular ∇g(0, 0). (b) Estudiar la diferenciabilidad de F en (0, 0). (c) Calcular dF (0, 0). (d) Probar que D12 f (0, 0) 6= D21 f (0, 0).

Soluci´ on

(a) Por definici´on,

− → −→ u 1 ∂g ∂g √ D~u g(0, 0) = ∇g(0, 0) · − = · (0, 0) + (0, 0) = 1, ∂x ∂y k→ uk 2

− → −→ v 1 ∂g ∂g D~v g(0, 0) = ∇g(0, 0) · − = √ · − (0, 0) + (0, 0) = 0. → ∂x ∂y kvk 2 Al resolver el sistema, se obtiene la soluci´on ∂g √2 √2 −→ ∂g (0, 0), (0, 0) = , ∇g(0, 0) = . ∂x ∂y 2 2 163

(b) La funci´on F es diferenciable en el origen si y s´olo si lo son las funciones f y g. Esta u ´ltima lo es por hip´otesis y comprobaremos que f tiene derivadas parciales de primer orden continuas en (0, 0). Utilizando la definici´on de derivada parcial y las reglas usuales de derivaci´on, obtenemos: ∂f (x, y) ∂x ∂f (x, 0) ∂x ∂f (x, y) ∂y ∂f (x, 0) ∂y

si y 6= 0

= y cos(x/y) =

f (x + h, 0) − f (x, 0) = 0; h→0 h l´ım

= 2y sen(x/y) − x cos(x/y) =

si y 6= 0

f (x, k) − f (x, 0) = l´ım k sen(x/k) = 0. k→0 k→0 k l´ım

Es f´acil comprobar que, tanto

∂f ∂f como , son continuas en el origen. ∂x ∂y

(c) Por definici´on, dF (0, 0) = (df (0, 0), dg(0, 0)). Utilizando los resultados de los apartados (a) y (b), obtenemos: df (0, 0) = dg(0, 0) =

∂f (0, 0) · dx + ∂x ∂g (0, 0) · dx + ∂x

∂f (0, 0) · dy = 0, ∂y √ ∂g (0, 0) · dy = ( 2/2) · (dx + dy). ∂y

(d) Por definici´on, D1 f (0, k) − D1 f (0, 0) k−0 = l´ım = 1, k→0 k→0 k k D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0) 0−0 D21 f (0, 0) = l´ım = l´ım = 0, h→0 h→0 h h D12 f (0, 0) =

l´ım

lo que prueba el enunciado.

164

´ 6. FORMULA DE TAYLOR. →. Por definici´on de Sea f : Rm → R una funci´on diferenciable en un punto − x 0 diferenciabilidad, podemos escribir → →) + Df (− →) · (− → →) + R (− → − → f (− x ) = f (− x x x −− x 0 0 0 1 x , x0 ), donde l´ım

x→x0

→ →) R1 (− x,− x 0 − − → → → →k = 0 y, si llamamos x − x0 = (h1 , . . . , hm ), podemos k− x −− x 0

escribir →) · (− → →) = Df (− x x −− x 0 0

m X ∂f − →) · h . (x 0 i ∂xi i=1

La f´ormula → →) + f (− x ) = f (− x 0

m X ∂f − →) · h + R (− → − → (x 0 i 1 x , x0 ), ∂xi i=1

recibe el nombre de f´ormula de Taylor de primer orden de la funci´on f en →. el punto − x 0 Una extensi´on de esta f´ormula puede obtenerse mediante derivadas de orden superior. En particular, si f : Rm → R es una funci´on de clase C (2) → (lo que significa que existen y son continuas las derivaen un punto − x 0 das parciales de segundo orden de la funci´on en dicho punto), entonces la → es la f´ormula de Taylor de segundo orden de la funci´on f en el punto − x 0 siguiente: → →) + f (− x ) = f (− x 0

m m X m X X ∂f − ∂2f − →) · h + 1 →) · h · h + R (− → − → (x (x 0 i 0 i j 2 x , x0 ), ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1

con l´ım

x→x0

i=1 j=1

→ →) R2 (− x,− x 0 − − → → → →k2 = 0 y x − x0 = (h1 , . . . , hm ). k− x −− x 0

Una f´ormula expl´ıcita para el error puede obtenerse en el caso de que la →; en concreto, funci´on sea de clase C (3) en un entorno del punto − x 0 m

m

m

XXX ∂3f − →) = 1 → (− c ) · h i · hj · hk , R2 (→ x,− x 0 3! ∂xi ∂xj ∂xk i=1 j=1 k=1

−c es alg´ → con → − donde → un punto contenido en el segmento que une − x x.

0 → como Si definimos la matriz hessiana de f en el punto − x 0

→) = Hf (− x 0

∂2f ∂xi ∂xj 165

, i,j=1,...,m

la f´ormula de Taylor de segundo orden se puede escribir como â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)+â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)+ 1 (â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)·Hf (â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)·(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)T +R (â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; f (â&#x2C6;&#x2019; x ) = f (â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2021;f (x0 )·(â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x x x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x 0 0 0 0 0 2 x , x0 ), 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)T a la matriz columna formada por las comdonde denotamos por (â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x 0 â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;. ponentes del vector â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; x 0

PROBLEMA 3.70

Escribir el desarrollo de Taylor de segundo orden de las funciones: (a) f (x, y) = â&#x2C6;&#x2019;x2 + 2xy + 3y 2 â&#x2C6;&#x2019; 6x â&#x2C6;&#x2019; 2y â&#x2C6;&#x2019; 4 en el punto (â&#x2C6;&#x2019;2, 1). (b) f (x, y) = eâ&#x2C6;&#x2019;x

2 â&#x2C6;&#x2019;y 2

· cos(x + y) en el punto (0, 0).

(c) f (x, y) = xy en el punto (1, 1). (d) f (x, y) = ex+y en el punto (0, 0).

Soluci´ on

Calcularemos en todos los casos el vector gradiente y la matriz hessiana en el punto correspondiente. (a) Si f (x, y) = â&#x2C6;&#x2019;x2 + 2xy + 3y 2 â&#x2C6;&#x2019; 6x â&#x2C6;&#x2019; 2y â&#x2C6;&#x2019; 4, entonces f (â&#x2C6;&#x2019;2, 1) = 1.

Adem´as,

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; D1 f (x, y) = â&#x2C6;&#x2019;2x + 2y â&#x2C6;&#x2019; 6 =â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;f (â&#x2C6;&#x2019;2, 1) = (0, 0); D2 f (x, y) = 2x + 6y â&#x2C6;&#x2019; 2

D11 f (x, y) = â&#x2C6;&#x2019;2, D12 f (x, y) = 2, â&#x2C6;&#x2019;2 2 . =â&#x2021;&#x2019; Hf (â&#x2C6;&#x2019;2, 1) = D21 f (x, y) = 2, D22 f (x, y) = 6 2 6 As´ı pues, f (x, y) = f (â&#x2C6;&#x2019;2, 1) + (0, 0) · (x + 2, y â&#x2C6;&#x2019; 1)

1 â&#x2C6;&#x2019;2 2 x+2 + (x + 2, y â&#x2C6;&#x2019; 1) + R2 (x, y) 2 6 yâ&#x2C6;&#x2019;1 2 = 1 â&#x2C6;&#x2019; (x + 2)2 + 2(x + 2)(y â&#x2C6;&#x2019; 1) + 3(y â&#x2C6;&#x2019; 1)2 + R2 (x, y).

Observemos en este caso que R2 (x, y) = 0, es decir el polinomio de Taylor de segundo orden coincide con la funci´on al ser ´esta ya un polinomio de segundo grado.

166

(b) Como f (x, y) = eâ&#x2C6;&#x2019;x parte,

2 â&#x2C6;&#x2019;y 2

¡ cos(x + y), entonces f (0, 0) = 1. Por otra

) 2 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; D1 f (x, y) = eâ&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019;y â&#x2C6;&#x2019;2x cos(x + y) â&#x2C6;&#x2019; sen(x + y) =â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;f (0, 0) = (0, 0).

2 â&#x2C6;&#x2019;y 2 â&#x2C6;&#x2019;x D2 f (x, y) = e â&#x2C6;&#x2019;2y cos(x + y) â&#x2C6;&#x2019; sen(x + y)

Como adem´as Hf (0, 0) =

â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;1 , la f´ormula de Taylor nos da la â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3

igualdad

1 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;1 x f (x, y) = f (0, 0) + ¡ (x, y) + R2 (x, y) â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;3 y 2 3 3 = 1 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019; xy â&#x2C6;&#x2019; y 2 + R2 (x, y).

2 2 En la gr´afica se observa el grado de aproximaci´on en un entorno del origen de la superficie que representa la funci´on (por encima) y la gr´afica del polinomio de segundo grado que representa el polinomio de Taylor de segundo orden (por debajo).

(c) De f (x, y) = xy , deducimos que f (1, 1) = 1. Adem´as,

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; D1 f (x, y) = yxyâ&#x2C6;&#x2019;1 =â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;f (1, 1) = (1, 0); D2 f (x, y) = xy ln x 

D11 f (x, y) = y(y â&#x2C6;&#x2019; 1)xyâ&#x2C6;&#x2019;2  0 1 yâ&#x2C6;&#x2019;1 D12 f (x, y) = x (1 + y ln x) =â&#x2021;&#x2019; Hf (1, 1) = .

1 0  yâ&#x2C6;&#x2019;1 y 2 D21 f (x, y) = x (1 + y ln x) D22 f (x, y) = x (ln x) Sustituyendo en la f´ormula de Taylor, obtenemos: f (x, y) = f (1, 1) + (1, 0) ¡ (x â&#x2C6;&#x2019; 1, y â&#x2C6;&#x2019; 1)

1 0 1 xâ&#x2C6;&#x2019;1 + ¡ (x â&#x2C6;&#x2019; 1, y â&#x2C6;&#x2019; 1) + R2 (x, y) 1 0 yâ&#x2C6;&#x2019;1 2 = 1 â&#x2C6;&#x2019; y + xy + R2 (x, y).

167

(d) Como f (x, y) = ex+y , f (0, 0) = 1. Por otra parte,

−→ −→ ∇f (x, y) = ex+y , ex+y =⇒ ∇f (0, 0) = (1, 1); x+y x+y

e e 1 1 Hf (x, y) = x+y x+y =⇒ Hf (0, 0) = . e e 1 1 Obtenemos entonces que

1 1 1 x + R2 (x, y) f (x, y) = f (0, 0) + (1, 1) · (x, y) + · (x, y) 1 1 y 2 = 1 + (x + y) +

(x + y)2 + R2 (x, y).

2

PROBLEMA 3.71

Sea la funci´ on 2

f (x, y) = eax+y + b · sen(x2 + y 2 ).

Determinar los valores de a y b para que el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el origen sea horizontal y el polinomio de Taylor de segundo orden centrado en el origen tome el valor 6 en el punto (1, 2).

Soluci´ on

Para que el plano tangente sea horizontal, deben anularse las dos derivadas parciales de primer orden. As´ı pues, como ∂f ∂x ∂f ∂y

2

= aeax+y + 2bx cos(x2 + y 2 ) 2

= 2yeax+y + 2by cos(x2 + y 2 ),

deducimos que ∂f ∂f (0, 0) = a y (0, 0) = 0. ∂x ∂y Basta hacer a = 0 para que ambas derivadas parciales se anulen.

Sustituyendo en la funci´on, resulta 2

f (x, y) = ey + b sen(x2 + y 2 ).

168

Para escribir el polinomio de Taylor, calculemos las derivadas parciales de segundo orden: ∂2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y 2

= 2b cos(x2 + y 2 ) − 4bx2 sen(x2 + y 2 ), = −4bxy sen(x2 + y 2 ), 2

= (2 + 4y 2 )ey + 2b cos(x2 + y 2 ) − 4by 2 sen(x2 + y 2 ).

Sustituyendo en el punto (0, 0), obtenemos la matriz hessiana

2b 0 Hf (0, 0) = .

0 2 + 2b El polinomio de Taylor en el origen tiene la forma

1 x = 1 + bx2 + (1 + b)y 2 .

P2 f (x, y) = f (0, 0) + (x, y) · Hf (0, 0) · y 2 Teniendo en cuenta el enunciado del problema, hacemos 6 = P2 f (1, 2). Resulta as´ı: 6 = 1 + b + 4(1 + b) =⇒ b = 1/5.

169

7. PROBLEMAS PROPUESTOS.

1.- Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones: p (a) f (x, y) = x2 + y 2 .

2

(b) f (x, y) = x(y ) .

(c) f (x, y) = ln sen(y/x) .

(d) f (x, y, z) = exyz sen(xy) cos(2xz).

2.- Comprobar las siguientes igualdades para las funciones que se indican: ∂z ∂z (a) x +y = 0 si z = ln(y/x). ∂x ∂y

(b)

∂u ∂u ∂u x−y + + = 1 si u = x + . ∂x ∂y ∂z y−z

(c) x · zx0 + y · zy0 = z si z =

x2 + y 2 . x+y

3.- Dada la funci´ on ( x/y f (x, y) = 0

si y 6= 0 si y = 0,

calcular sus derivadas direccionales en el origen y comprobar que f no es continua en el origen.

4.- Calcular las derivadas direccionales de la funci´ on ( 0 si xy = 0 f (x, y) = 1 si xy 6= 0

en el origen.

5.- Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas direccionales de la funci´ on ( 2 xy si x 6= 0, 2 4 f (x, y) = x +y 0 si x = 0,

en el origen.

170

6.- Se define una funci´ on f : R2 → R por ( 2 2 x +y si (x, y) 6= (0, 0) 2 2 f (x, y) = x −y 0 si (x, y) = (0, 0).

(a) ¿El dominio de la funci´ on es abierto o cerrado? (b) Determinar si f es continua o no en el origen. → → − − → → (c) Calcular f 0 ( O , − y ), donde O = (0, 0), − y = (a, b) es un vector unitario cualquiera, y deducir las derivadas parciales en el origen.

7.- Calcular las derivadas parciales en(el punto (0, 0) y estudiar la difexy si (x, y) 6= (0, 0), 2 2 renciabilidad de la funci´ on f (x, y) = x +y 0 si (x, y) = (0, 0).

8.- Sea f (x, y) = (x2 + y 2 ) sen √

1 , x2 +y 2

si (x, y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0.

Probar que f es diferenciable y, sin embargo, fx0 no es continua en (0, 0).

9.- Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales de primer orden y diferenciabilidad de la funci´ on   √ x|y| si (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)

en el punto (0, 0).

10.- Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funci´ on ( x3 si (x, y) 6= (0, −1) x2 +(y+1)2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, −1).

11.- Sea f (x, y) = x2 − 3x + |ay|, con a ∈ R.

(a) ¿Para qu´ e valores de a es f continua en (1, 0)? (b) ¿Para qu´ e valores de a es f diferenciable en (1, 0)?

12.- Dada la funci´ on f : R2 → R definida por ( xa y b si (x, y) 6= (0, 0) 4 +x2 y 2 +y 4 x f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0), 171

siendo a y b n´ umeros reales positivos, se pide: (a) Hallar las condiciones para que f (x, y) sea continua en el punto (0, 0). (b) Si a = 3, b = 2, ¿es f diferenciable en (0, 0)?

13.- Estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on (

ex+y , sen(x − y), x2 sen(1/x) f (x, y) = (ey , − sen y, 0)

si x 6= 0 si x = 0.

14.- Sea f : R2 → R una funci´ on con las siguientes caracter´ısticas:

i) f es diferenciable en (x0 , y0 ). ii) df(x0 ,y0 ) (3, 2) = 5. iii) Dx f (x0 , y0 ) = Dy f (x0 , y0 ).

Calcular Dx f (x0 , y0 ).

15.- Sabiendo que la derivada direccional de la funci´ on z√ = f (x, y) en el punto (1, 2) en la direcci´ on hacia el punto (2, 3) es 2 2 y en la direcci´ on hacia (1, 0) es −3, ¿cu´ anto vale en direcci´ on al origen?

16.- Hallar la derivada direccional de la funci´ on que se indica en el punto dado y seg´ un la direcci´ on del vector (cos β, sen β). Hallar tambi´ en el valor de β para que la derivada sea m´ axima en ese punto.

(a) f (x, y) = arc tg(x/y), P = (3, 4). (b) f (x, y) = ex sen y , P = (0, π/6). (c) f (x, y) = sen(xy), P = (2, π/4).

17.- Hallar la direcci´ on en la que la derivada direccional de la funci´ on 1 z = e−y sen x + e−3y sen(3x) 3 en el origen alcanza el valor m´ aximo.

18.- ¿En qu´ e direcci´ on se debe mover un punto que parte de (1, 1, 16) para que la funci´ on f (x, y) = (x + y − 2)2 + (3x − y − 6)2 disminuya del modo m´ as r´ apido posible?

172

19.- Hallar la derivada direccional de la funci´ on f (x, y, z) = x cos y + y cos z + z cos x −−→ en el punto P = (2, 1, 0) seg´ un la direcci´ on del vector P P 0 , donde P 0 = (1, 4, 2). Adem´ as hallar el valor de dicha derivada en P seg´ un → − → − la direcci´ on del vector v , donde v es un vector unitario tal que D~v f es un m´ aximo.

20.- La temperatura T de una placa de metal en un punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia al origen. Si suponemos que en el punto P (3, 4) la temperatura es 100◦ C , calcular la raz´ on de cam→ − − → bio de T en P en la direcci´ on del vector i + j . ¿En qu´ e direcci´ on aumenta m´ as r´ apidamente T en P ? ¿En qu´ e direcci´ on se anula la tasa de variaci´ on?

21.- Hallar F 0 (y) sabiendo que F (y) =

Z

y2

e−x

2y

dx.

y

Z 22.- Sabiendo que 0

b

dx 1 b = arc tg , calcular 2 2 a +x a a

Z 0

b

(a2

dx . + x2 )2

23.- Hallar el vector gradiente de la funci´ on f en el punto dado:

(a) f (x, y) = ln(x + y − 1) + e2xy , P = (0, 2). (b) f (x, y, z) = xzexy + yzexz + xyeyz , P = (−1, 2, 1).

24.- Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado:

(a) f (x, y) = xy , (2, 1, 2). (b) f (x, y) =

ex , P = (1, 1, e/2). x2 + y 2

25.- Representar la gr´ afica de la superficie z = ln(x2 + y 2 ) y el plano tangente en el punto (−2, 0, ln 4).

26.- Trazar los planos tangentes a la superficie x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21 que son paralelos al plano x + 4y + 6z = 0.

27.- Hallar los puntos de la superficie x2 +2xy−y 2 +3z 2 −2x+2y−6z−2 = 0 donde el plano tangente es paralelo al plano Y Z .

173

28.- Probar que todo plano tangente al cono z 2 = x2 + y 2 pasa por el origen.

29.- Sean f, g : R2 → R funciones de clase C (1) (R2 ) tales que f (1, 1) = 2, g(1, 1) = 3, fx0 (x, y) = gx0 (x, y) = 2xy . Calcular Fx0 (1, 1) si F (x, y) = ef (x,y)+g(x,y) . x2 y si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0, x2 + y 2 y g(x) = (x, x), estudiar la diferenciabilidad de la funci´ on compuesta (f ◦ g)(0).

30.- Dadas las funciones f (x, y) =

du si: dt √ √ (a) u = ln sen(x/ y) , x = 3t2 , y = t2 + 1.

31.- Calcular

(b) u = xyz , x = t2 + 1, y = ln t, z = tg t. (c) u = ln(x/y) + xy , x = tg t, y = 1/ sen t. ∂h 32.- Escribir la f´ ormula de para las siguientes funciones: ∂x

(a) h(x, y) = f x, u(x, y) .

(b) h(x) = f x, u(x), v(x) .

(c) h(x, y, z) = f u(x, y, z), v(x, y), w(x) .

33.- Sea z(x, y) = x · f (2y/x) + xy · g(3x − y, x2 − y 2 ), con f ∈ C (1) (R) y g ∈ C (1) (R2 ). Suponiendo que f (2) = 2, f 0 (2) = −1, g(2, 0) = 0, ∂z ∂z g10 (2, 0) = 1 y g20 (2, 0) = −1, calcular (1, 1) y (1, 1). ∂x ∂y 34.- Dadas las funciones f (r, s, t) = (r + s + t, r − 2s + 3t, 2r + s − t) y g(x, y, z) = x + 2yz , calcular las derivadas parciales de la funci´ on compuesta g ◦ f . ∂z ∂z y2 − xy + y 2 = 0 si z = + ϕ(xy), siendo ∂x ∂y 3x ϕ una funci´ on derivable.

35.- Demostrar que x2 ·

2

2

36.- Sea z = ey Φ(yex /2y ), donde Φ es una funci´ on derivable. Comprobar que (x2 − y 2 )zx0 + xyzy0 = xyz.

174

37.- Sean f : R2 → R y F (r, ϑ) = f (r cos ϑ, r sen ϑ). Probar que −→ 1 k∇f (r cos ϑ, r sen ϑ)k2 = [D1 F (r, ϑ)]2 + 2 [D2 F (r, ϑ)]2 . r 38.- Si z = f (x, y) es diferenciable y homog´ enea de grado p, probar que fx0 y fy0 son homog´ eneas de grado p − 1.

39.- Sea z(x, y) = x·f (x/y)+y·g(y/x), para x, y 6= 0, donde f, g ∈ C (1) (R).

Probar que x · zx0 + y · zy0 = z .

1 . Suponiendo que f (x − y, y) f (−1, 3) = −1, f10 (−1, 3) = 2, f20 (−1, 3) = −3, calcular, caso de ser posible, dg(2, 3).

40.- Sea f ∈ C (1) (R2 ) y se define g(x, y) =

41.- Dada la funci´ on f (x, y, z) = zexy + x2 yz 3 , comprobar que fxyz = fzyx .

42.- Sea f (x, y) = arc tg(y/x), x = x(t), y = y(t). Calcular f 0 (t), f 00 (t).

43.- Dada la ecuaci´ on [F (x) + G(y)]2 ez(x,y) = 2F 0 (x)G0 (y),

comprobar que D21 z 6= 0.

44.- La sustituci´ on u = x + y , v = xy 2 transforma la funci´ on f (u, v) en ∂2F en funci´ on de las derivadas parciales la funci´ on F (x, y). Expresar ∂x∂y de f .

45.- Si w(x, y) = f (x+y)+g(x−y), comprobar que

∂2w ∂2w = = f 00 (u) + g 00 (v), ∂x2 ∂y 2

donde u = x + y , v = x − y .

46.- Comprobar en cada uno de los casos la ecuaci´ on

(a) u(x, y) = ex sen y . (b) u(x, y) = ln(x2 + y 2 ).

175

∂2u ∂2u + 2 = 0: ∂x2 ∂y

47.- Si w = sen(x + ct) + cos(2x + 2ct), comprobar que

2 ∂2w 2 ∂ w = c . ∂t2 ∂x2

48.- Escribir el desarrollo de Taylor de segundo orden para las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = ex cos y en el punto (0, 0). (b) f (x, y) = sen(x + 2y) en el punto (0, π/2). (c) f (x, y) = cos(x · y) en el punto (π/2, 0). (d) f (x, y) = ex

2 +y 2 +xy

en el punto (0, 0).

49.- Contestar verdadero o falso justificando la respuesta:

(a) Si f es diferenciable, posee derivadas parciales de primer orden continuas. (b) Si f es continua, posee derivadas parciales de primer orden. → → → (c) Sea f : Rm → R. Si f~v0 (− x ) = 0, para todo − x ∈ Br (− a ) y para todo → − → − vector unitario v , entonces f es constante en B ( a ). r

−−−−→ −→ −→ (d) ∇(f g) = f · ∇g + g · ∇f .

(e) Para cualquier funci´ on f con derivadas parciales segundas se ve∂2f ∂2f rifica = . ∂x∂y ∂y∂x

176