Luoghi Geometrici

Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica Marcello Pedone Scuola estiva Mathesis di Perugia 26 luglio 2017

Premessa L’uso dei sistemi dinamici di geometria e algebra sono stati sperimentati dallo scrivente insieme agli allievi di una sua classe, nel progetto internazionale “comenius1-Partenariati scolastici” “ Neuer multimedialer Einsatz in Mathematik” (Nuove applicazioni multimediali in Matematica) La pratica e la ricerca hanno portato i docenti e gli allievi delle nazioni partecipanti ad esprimere un parere unanime nell’utilità dei software di geometria soprattutto per il processo di formulazione di congetture geometriche.

Il software , usato soprattutto dai miei allievi, ha consentito agli studenti di costruire e manipolare enti geometrici e ha permesso di evidenziare relazioni geometriche, dando agli allievi la possibilità di avanzare congetture.

Metodologia Possiamo dire che nel processo di apprendimento intervengono le seguenti fasi: 1.Costruire l’oggetto geometrico 2. Collaudare cioè verificare, se la figura geometrica mantiene le proprietà 3. Scoprire intuitivamente le proprietà dell’oggetto geometrico 4. Giustificare la costruzione dell’oggetto dimostrando le proprietà congetturate 5. Formalizzare convertendo la propria scoperta in modo intuitivo in definizione, enunciato o formula.

Marcello Pedone. Scuola estiva Mathesis di Perugia - 26 luglio 2017

Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Nel seguito mostrerò come con il software GeoGebra si possono trovare e descrivere in maniera molto semplice e immediata i “luoghi geometrici”.

Luogo geometrico Un luogo geometrico, è l'insieme di tutti e soli i punti di uno spazio che godono di una determinata proprietà Se nel piano è definito un riferimento cartesiano la proprietà che descrive il luogo geometrico può essere espressa attraverso una o più equazioni ed il luogo geometrico risulta essere l'insieme di tutti e soli i punti P(x,y) le cui coordinate soddisfano equazioni del tipo f(x,y)=0. La "proprietà" che caratterizza tali luoghi non è espressa in termini geometrici bensì in termini analitici.

Semplici e fondamentali luoghi geometrici sono: 

il circocentro di un triangolo: luogo dei punti equidistanti dai vertici del triangolo,



l'incentro di un triangolo: luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati del triangolo (mediante le 3 bisettrici),



l'asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento,



la bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo,

Le sezioni coniche sono definite significativamente come luoghi del piano: 1. la circonferenza è il luogo dei punti la cui distanza da un punto dato è costante; questo punto è chiamato centro e la distanza è detta raggio della circonferenza; 2. l'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi; 3. la parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola; 4. l'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi I collegamenti ipertestuali si riferiscono al sito: https://it.wikipedia.org/wiki/Luogo_(geometria)

Marcello Pedone. Scuola estiva Mathesis di Perugia - 26 luglio 2017

Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

SCHEDE DI LAVORO Scheda 1. Asse di un segmento 1. Disegna il segmento AB 2. Centro in B, apertura di compasso >maggiore della metĂ di AB, traccia una circonferenza 3. Centro in A, con la stessa apertura di compasso, traccia una circonferenza 4. Trova l'intersezione tra le due circonferenze (C e D) 5. Traccia la retta passante per i punti C e D (asse del segmento) 6. Disegna un punto E sulla retta CD 7. Verifica che AE = BE

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Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Scheda 2. Bisettrice di un angolo 1. Traccia l’angolo AVB 2. Centro in V, apertura del compasso a piacere, traccia un circonferenza 3. Trova l'intersezione tra la circonferenza e i lati dell'angolo (C e D) 4. Centro nei punti C e D, apertura di compasso maggiore della metà di CD, traccia due circonferenze che si intersecano nei punti F e G 5. Traccia una semiretta passante per i punti V e F( Bisettrice dell’angolo) 6. Verifica che la bisettrice in pratica viene trovata come la perpendicolare del punto medio di CD

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Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Scheda 3. COSTRUZIONE DELLA PARABOLA 1) traccia una retta d (direttrice) 2)traccia una retta r perpendicolare alla direttrice in un suo punto A 3)Fissa un Punto F(fuoco) fuori delle due rette 4)traccia l'asse del segmento AF 5)Indica con P l'intersezione dell'asse con la retta r 6)Il luogo descritto da P al variare di A su d, è la parabola

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Scheda 4. COSTRUZIONE DELL'ELLISSE 1) disegna due punti F1 eF2 2)disegna un segmento AB> F1F2 3)Fissa un punto P su AB 4) costruisci la circonferenza di centro F1 e raggio AP 5) costruisci la circonferenza di centro F2 e raggio PB 6) determina l'intersezione tra le due circonferenze C e D 7)Traccia i luoghi dei punti C eD, al variare di P su AB

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Scheda 5. COSTRUZIONE DELL'IPERBOLE 1)Disegna due punti F_1 e F_2 (fuochi) e un punto A tra essi 2)Traccia la retta r per F_1 e A 3)Traccia la circonferenza di centro F_1 e raggio F_1A 4) traccia l'asse a del segmento AF_2 5)Indica con P l'intersezione tra a e r 6) disegna il luogo tracciato da P al variare di A sulla circonferenza

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Scheda 6. COSTRUZIONE dell' ’asteroide e la rosa a quattro foglie.

L’asteroide e la rosa a quattro foglie.

1.

Tracciamo una circonferenza e indichiamo con P un suo punto

2.

Tracciamo due diametri ortogonali AC e BD .

3.

Proiettiamo il punto P sui due diametri e chiamiamo con H e K le proiezioni.

4.

Tracciamo il segmento KH e la perpendicolare ad esso per il punto P

5.

indichiamo con E l’intersezione

Tracciamo il luogo descritto dal punto E al variare di P sulla circonferenza.

Il luogo descritto da E al variare di P sulla circonferenza si chiama Asteroide. Se la perpendicolare al segmento KH viene fatta passare per il punto O anziché il punto P , il luogo descritto dal punto d’intersezione F, della perpendicolare con il segmento KH, al variare di P sulla circonferenza, viene detta rosa quattro foglie.

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Scheda 7 . COSTRUZIONE della trisettrice

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Scheda 8. COSTRUZIONE della Curva annodata

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Scheda 9. COSTRUZIONE della Cardioide

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Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Scheda 10. COSTRUZIONE della cicloide 1.

Su di una semiretta di origine A scegliamo un punto a piacere P

2.

Misuriamo la distanza di P da A

3.

Tracciamo la retta per P perpendicolare alla semiretta AP

4.

Scegliamo un punto O su tale retta

5.

Costruiamo la circonferenza di centro O e raggio OP

6.

Costruiamo il punto Q, tale che l’arco QP abbia lunghezza pari a quella del segmento AP

Tracciamo il luogo descritto dal punto Q al variare di P sulla semiretta usando il comando Luogo.

Il luogo ottenuto è la curva detta cicloide

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Luoghi geometrici con i software di Geometria dinamica

Come utilizzare questo programma nell’insegnamento della matematica?

Rimane aperta la questione di come utilizzare questo software nell’insegnamento della matematica e in particolare della geometria analitica. Certamente possiamo usarlo per produrre delle congetture, ma occorre sempre farle seguire da una verifica analitica. La costruzione di figure geometriche sul computer apporta una nuova dimensione rispetto alle costruzioni classiche, la figura geometrica può essere liberamente manipolata e la costruzione si modifica istantaneamente, permettendo di osservare proprietà varianti e invarianti. Gli allievi possono scoprire, in modo interattivo, le proprietà geometriche di una figura e gli insegnanti possono presentare, in modo efficace, le lezioni di geometria e le attività di laboratorio.

Ogni innovazione comporta un inevitabile processo di assestamento fra i nuovi metodi e i vecchi.

Sarebbe sbagliato accettare senza critica le nuove metodologie e cancellare le vecchie.Occorre trovare un giusto equilibrio tra le nuove tecnologie e le vecchie , tra le nuove metodologie e le vecchie, combinando le une con le altre, per una proficua ricerca didattica.

Marcello Pedone. Scuola estiva Mathesis di Perugia - 26 luglio 2017