Livro Geometria Espacial II by Márcio Feitosa

FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II

autor

ROBSON FERREIRA DA SILVA

1ª edição SESES rio de janeiro 2016

Conselho editorial luis claudio dallier, roberto paes e paola gil de almeida Autor do original robson ferreira da silva Projeto editorial roberto paes Coordenação de produção paola gil de almeida, paula r. de a. machado e aline karina rabello Projeto gráfico paulo vitor bastos Diagramação bfs media Revisão linguística bfs media Revisão de conteúdo celso marquetti Imagem de capa kiselev andrey valerevich | shutterstock.com

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Fundamentos de Geometria II. / Robson Ferreira da Silva.

Rio de Janeiro: SESES, 2016.

160 p: il.

isbn: 978-85-5548-301-1

1. Geometria. I. SESES. II. Estácio. cdd 16.3

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário Prefácio 7 1. Introdução à Geometria Espacial 1.1 Um pouco de história 1.2 Introdução 1.3 Noções primitivas 1.4 Postulados 1.5 Determinação de planos 1.6 Posições de retas e dos planos 1.6.1 Posições relativas entre uma reta e um plano 1.6.2 Reta e planos perpendiculares. 1.7 Posições relativas de dois planos 1.7.1 Planos secantes 1.7.2 Planos perpendiculares 1.7.3 Planos paralelos 1.8 Posições Relativas de duas retas 1.9 Interseção de planos

2. Poliedros 2.1 Um pouco de história 2.2 Introdução 2.2.1 Diedro 2.2.2 Triedros 2.2.3 Poliedros 2.2.4 Poliedro convexo 2.2.5 Congruência 2.2.6 Relação de Euler 2.2.7 Poliedros de Platão 2.2.8 Poliedros regulares

9 10 12 13 14 15 17 17 17 18 18 18 19 20 23

31 32 33 33 37 39 39 40 40 42 43

3. Prisma 3.1 Introdução 3.2 Conceito 3.3 Elementos 3.4 Altura de um prisma 3.5 Secções 3.6 Superfícies 3.7 Classificação 3.8 Natureza de um prisma 3.9 Diagonal de um cubo 3.10 Diagonal de um paralelepípedo 3.11 Área de um cubo 3.12 Área de um paralelogramo 3.13 Volume de um sólido 3.14 Volume do cubo 3.15 Volume do paralelepípedo 3.16 Área lateral e área total de um prisma 3.17 Princípio de Cavalieri

4. Pirâmides

51 52 53 53 54 55 55 55 56 57 58 58 59 59 60 60 62 63

4.1 Introdução – contexto histórico

4.2 Definição 4.3 Elementos 4.4 Altura de uma pirâmide 4.5 Superfícies 4.6 Classificação 4.7 Natureza de uma pirâmide 4.8 Pirâmide regular 4.9 Tetraedro 4.10 Volume da pirâmide 4.11 Área lateral e área total de uma pirâmide

76 77 78 78 78 79 79 80 81 85

5. Corpos redondos: cilindros 5.1 Introdução 5.2 Noções intuitivas de geração de superfícies cilíndricas. 5.3 Definição de um cilindro 5.4 Elementos do cilindro 5.5 Superfícies 5.6 Classificação 5.7 Secção meridiana de um cilindro. 5.8 Áreas 5.8.1 Área lateral 5.9 Área total 5.10 Volume

93 94 96 98 99 99 100 101 102 102 102 103

6. Cones 113 6.1 Introdução 6.2 Noções intuitivas de superfícies cônicas 6.3 Cone circular ilimitado 6.4 Definição de um cone 6.5 Elementos do cone 6.6 Classificação 6.7 Secção meridiana de um cone

114 115 115 116 116 117 118

6.8 Secção transversal de um cone 6.9 Planificações da superfície de um cone reto 6.10 Relações entre os elementos de um cone reto 6.11 Áreas 6.11.1 Área lateral e área total 6.12 Volume 6.13 Tronco de cone circular reto de bases paralelas 6.13.1 Área lateral e área total

119 119 120 120 120 121 123 123

7. Corpos redondos: esferas 7.1 Introdução 7.2 Definição de uma esfera 7.3 Elementos do esfera 7.4 Superfícies 7.5 Secção 7.6 Pólos e a distância polar. 7.7 Área e volume da esfera 7.8 Área da superfície esférica 7.9 Fuso esférico 7.10 Cunha esférica 7.11 Calota esférica 7.12 Inscrição e circunscrição do cubo na esfera

131 132 133 133 134 134 134 135 137 137 138 139 141

Prefácio Prezados(as) alunos(as) É sempre um grande desafio para o autor definir o conteúdo a ser ministrado em uma disciplina da educação básica, em especial geometria espacial. Por isso, depois de analisar alguns livros didáticos e as sugestões mais recentes da secretaria de educação básica (regional referente ao Ministério da Educação), opto pelo seguinte programa: Introdução à geometria espacial, Paralelismo, perpendicularismo, Diedros, Triedros, Poliedros, Prismas, Cilindros, Pirâmides, Cones, Esfera. Ao tratar de alguns assuntos, logo na introdução, procuro apresentar um breve histórico sobre o desenvolvimento das descobertas associadas ao tópico em estudo. Já em alguns capítulos que tratam dos sólidos geométricos é conveniente a utilização de aplicações concretas do nosso cotidiano para que haja aproximação da visão geométrica abstrata. Tive também a preocupação de mostrar as justificativas lógicas das propriedades que vão aparecendo, omitindo apenas demonstrações exageradamente longas, incompatíveis com as abordagens feitas atualmente no ensino médio. Cada nova propriedade é seguida de exemplos e exercícios resolvidos por meio dos quais é explicitada sua utilidade. Quanto às atividades tanto os exercícios quanto os problemas estão organizados em ordem crescente de dificuldade, deixando os exercícios mais complexos e abrangentes para o final de cada capítulo. Bons estudos!

1 Introdução à Geometria Espacial

1. Introdução à Geometria Espacial OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo; • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário; • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apoia a Geometria; • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Conhecer e utilizar as noções e postulados da Geometria Espacial; • Compreender e aplicar os conceitos de paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos.

1.1 Um pouco de história ©© WIKIMEDIA.ORG

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capítulo 1

Nas civilizações egípcias e babilônicas mais antigas, a a Geometria desenvolveu-se quase sempre visando à resolução de problemas de medições, como o cálculo de distâncias, áreas e volumes , os quais estavam diretamente ligados à atividades de subsistência. Os agricultores egípcios cultivavam as terras que ficavam nas margens do rio Nilo, divididas em lotes. Na época das chuvas, o Nilo transbordava alagando a terra e, quando voltava ao nível normal, deixava o solo fertilizado, ideal para a agricultura.

Como as marcas dos lotes eram carregadas a cada cheia, tornava-se necessário refazer as demarcações para que os lotes fossem redistribuídos aos agricultores. Dessa forma, medindo e desenhando terrenos, os egípcios descobriram métodos e adquiriram conhecimentos que, depois, foram aprendidos pelos gregos. Foram os gregos que estudaram e desenvolveram esses conhecimentos, aos quais chamaram de Geometria, que significa “medida da terra” (geo = terra; metria = medida). Usando apenas uma régua não-graduada e um compasso, Euclides fez as primeiras construções gráficas e descobriu muitas relações entre os elementos geométricos. Tais conhecimentos foram publicados em sua obra Elementos (Euclides, geômetra grego, viveu entre os séculos IV e III a. C. por volta de 300 a, C., lecionava em Alexandria, cidade que ficava ao norte da África, no Egito. Sua obra, Os Elementos, é um conjunto de 13 volumes, nos quais sintetizou o conhecimento matemático da Grécia Antiga).

Tales de Mileto (625–558 a.C.) foi comerciante de sal e de azeite de oliva, e enriqueceu como proprietário de prensas de azeitona durante uma safra promissora. Sabe-se que Tales previu um eclipse ocorrido em 585 a.C.

capítulo 1

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Tales foi o primeiro personagem conhecido a quem associam-se descobertas matemáticas. Acredita-se que obteve seus resultados mediante alguns raciocínios lógicos e não apenas por intuição ou experimentação. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales, são: • A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais; • A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais; • A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; • A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos; • Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

1.2 Introdução A importância do estudo da Geometria está na compreensão do mundo real em que vivemos, bem como na ampliação de nossos conhecimentos em Matemática. A maneira ideal de iniciar esse estudo é aprendendo a visualizar o espaço geométrico por meio de modelos que apresentam seus conceitos básicos – chamados noções primitivas e postulados – os quais servirão de suporte para a sua construção.

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capítulo 1

1.3 Noções primitivas • Olhando para o céu estrelado veem-se as estrelas que, intuitivamente, podem ser consideradas como pontos. Em Geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

• Supor que seja possível esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Nessa conjectura, visualizamos o que chamamos de reta. Em Geometria, o conceito de reta, de forma intuitiva, também é uma noção primitiva.

• Considere um tampo liso de uma mesa, sem nenhum tipo de freta ou ondulação.Esse tampo possibilita a visualização concreta de um plano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por indução, ele seja estendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

capítulo 1

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1.4 Postulados Assim como as noções primitivas, há proposições que são aceitas intuitivamente, sem demonstração. Essas proposições, chamadas postulados, relacionam entre si as noções primitivas dadas. Postulado da existência a) Existe reta, e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Existe plano, e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. Postulado da determinação a) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. b) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles. Postulado da inclusão Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida no plano r A

Postulado das paralelas Por um ponto P, situado fora de uma reta r, passa uma única reta paralela à reta dada. Na figura, dada à reta r, temos: P ∈ s, s // r, s é única. s r

Este postulado, conhecido também como “Axioma de Euclides” [300 a.C.], é a propriedade que caracteriza a Geometria Euclidiana.

14 •

capítulo 1

1.5 Determinação de planos Há quatro modos de determinar a posição de um plano no espaço. Vejamos: • Por meio de três pontos não colineares

A C

• Por meio de uma reta e um ponto fora dela

r P

P α

• Por meio de duas retas concorrentes

r α

• Por meio de duas retas paralelas e distintas

r s

No primeiro modo, a unicidade do plano α é garantida pelo postulado da determinação. Já no segundo, terceiro e quarto modo , a unicidade é garantida pelo fato de que existe um único plano que passa pelos pontos P, A e B não colineares.

capítulo 1

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REFLEXÃO Dada uma reta r, quantos são os planos que a contém?

EXEMPLO Vejamos quantos são os planos determinados por três retas, duas a duas concorrentes, todas passando num mesmo ponto. Solução: Sendo a, b e c as retas, há duas possibilidades: ou as retas estão num mesmo plano α [figura A] ou os planos α = (b,c) , β = (a,c) e γ = (a,b) estão determinados. [figura B] .

β c

a b

c b

Logo, as três retas determinam um ou três planos.

ATIVIDADES 01. Quantos são os planos determinados por três retas, duas a duas paralelas entre si? 02. Quantos são os planos determinados por quatro pontos, dois a dois, distintos entre si? 03. Quantos planos distintos são determinados por quatro retas distintas, duas a duas, concorrentes em pontos todos distintos?

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capítulo 1

1.6 Posições de retas e dos planos 1.6.1 Posições relativas entre uma reta e um plano A posição de uma reta em relação a um plano depende exclusivamente do número de pontos que eles tem em comum. • A reta e o plano tem em comum dois pontos distintos; neste caso, conforme o postulado da inclusão, a reta está contida no plano. s α

• A reta e o plano tem em comum um único ponto; neste caso , a reta e o plano são secantes. r P α r ∩ α = {P}

Uma reta e um plano são oblíquos se, e somente se, são concorrentes e não são perpendiculares. 1.6.2 Reta e planos perpendiculares. Definição Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles têm um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam por esse ponto comum. r⊥α

capítulo 1

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Consequência da definição Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano. • A reta e o plano não tem em comum; neste caso, a reta e o plano são paralelos. r

α r∩α=φ

1.7 Posições relativas de dois planos 1.7.1 Planos secantes Dois planos distintos que tem um ponto em comum são chamados de planos secantes.

Quando dois planos são

secantes, a intersecção deles é uma reta denominada intersecção ou traço de um deles no outro.

β α∩β=φ

1.7.2 Planos perpendiculares Definição Um plano α é perpendicular a um plano β se, e somente se α contém uma reta perpendicular a β. A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se na existência de uma reta perpendicular a um plano.

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capítulo 1

Teorema – Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro lado.

1.7.3 Planos paralelos Dois planos são paralelos quando não tem ponto em comum ou são coincidentes.

β α∩β=φ

Teorema da existência de planos paralelos Condição necessária: Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos. Condição necessária e suficiente: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro.

EXEMPLO A única proposição FALSA é: a) no espaço, duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si b) uma reta ortogonal a duas retas de um plano é ortogonal ao plano c) dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelas entre si d) um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este plano e) um plano perpendicular a dois planos que se interceptam é perpendicular à reta de intersecção destes.

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ATIVIDADES 04. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um único plano. c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos. 05. Observe o cubo abaixo. Determine a posição relativa entre: H E

G F

D A

C B

a) Os planos EFG e FGH b) Os planos ADH e CFG c) Os planos ABC e BFE d) O plano CDH e O ponto G.

1.8 Posições Relativas de duas retas Vamos analisar as posições de duas retas observando inicialmente se elas têm ou não ponto comum. • As duas retas têm ponto em comum dois pontos distintos; neste caso, conforme o postulado da determinação, as retas são coincidentes. r=s r∩s=r=s

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capítulo 1

• As duas retas têm ponto em comum um único ponto; neste caso, elas serão concorrentes. r1 I r2

• As duas retas não têm ponto em comum, mas existe um plano que as contém , neste caso elas são paralelas.

s // r

α R∩s=φ

Paralelismo de retas Postulado das paralelas – postulado de Euclides Por um ponto existe uma única reta paralela a uma reta dada. • As duas retas não têm ponto em comum, mas não existe um plano que as contém, neste caso elas são reversas. s

r α r C α; s ∩ α = {P}; r ∩ s = φ

Três retas reversas duas a duas Problemas que se referem a três retas (r, s, t), duas a duas reversas, devem ser analisados em duas hipóteses possíveis: Hipótese 1: Não existe plano paralelo às três retas. O plano conduzido por uma das retas, paralelo a outra delas, não é paralelo à terceira reta. Hipótese 2: Existe plano paralelo às três retas. O plano conduzido por uma das retas, paralelo a outra delas, é paralelo à terceira reta. capítulo 1

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EXEMPLO Num cubo, temos que: 1. As retas EG e FG são concorrentes;

H E F

2. As retas EF e GH são paralelas; D

3. As retas EG e BD são reversas; 4. As retas AE e FH são reversas; 5. As retas AE e GH são reversas.

ATIVIDADES 06. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. ( ) Duas retas ou são coplanares ou são reversas. ( ) Duas retas distintas determinam um plano. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum. ( ) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. ( ) Duas retas concorrentes são coplanares. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes. ( ) Duas retas distintas não paralelas são reversas. ( ) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas. ( ) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. 07. Analise as afirmativas a seguir. ( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas. ( ) Duas retas distintas sempre determinam um plano ( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos. ( ) Três pontos distintos sempre determinam um plano. ( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou concorrentes.

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capítulo 1

C B

08. Considere o cubo da figura a seguir. Das alternativas a seguir, aquela correspondente a pares de vértices que determinam três retas, duas a duas reversas, é: D

a) (A,D); (C,G); (E,H). b) (A,E); (H,G); (B,F).

A H

c) (A,H); (C,F); (F,H).

d) (A,E); (B,C); (D,H). G

e) (A,D); (C,G); (E,F).

1.9 Interseção de planos Postulado da intersecção Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm pelo menos um outro ponto comum. (α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β) ⇒ (∃ Q I Q ≠ P, Q ∈ α e Q ∈ β) Aplicações Projeção ortogonal sobre um plano Definição Chama-se projeção ortogonal de um ponto sobre um plano ao pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. O plano é dito plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto, r⊥α

P α

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Projeção de uma figura Definição Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano ao conjunto das projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre o plano.

Projeção de uma reta I. Se a reta é perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano. II. Se a reta não é perpendicular ao plano, temos a particular definição seguinte: s

P α

r’

Chama-se projeção ortogonal de uma reta r, não perpendicular a um plano α, sobre esse plano, ao traço em α, do plano β, perpendicular a α, conduzido por r.

Projeção de um segmento de reta Definição Chama-se projeção ortogonal sobre um plano α de um segmento AB, contido numa reta não perpendicular a α, ao segmento A'B' onde A' = proj A e B' = proj B.

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capítulo 1

B A α

B’

A’

ATIVIDADES 09. Considere as proposições: I. Dois planos paralelos a uma mesma reta são paralelos II. Um plano paralelo a duas retas pertencentes a outro plano é paralelo a este III. Um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este IV. Um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a este Nestas condições: a) nenhuma das proposições é verdadeira b) somente as proposições I e III são verdadeiras c) uma única proposição é verdadeira d) todas as proposições são verdadeiras e) uma única proposição é falsa 10. Uma barata resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A barata chegou ao vértice G

a) A D

b) B c) C d) D e) E

C A

capítulo 1

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11. (UFPE) Na questão a seguir escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. ( ) Existem dois planos distintos, passando ambos por um mesmo ponto e perpendiculares a uma reta. ( ) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será paralelo ao outro. ( ) Duas retas paralelas a um plano são paralelas. ( ) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular ao outro. ( ) Uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de um plano é perpendicular a esse plano. 12. (Unesp) Entre todas as retas suportes das arestas de um certo cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a perpendicular comum a r e a s. Então: a) t é a reta suporte de uma das diagonais de uma das faces do cubo. b) t é a reta suporte de uma das diagonais do cubo. c) t é a reta suporte de uma das arestas do cubo. d) t é a reta que passa pelos pontos médios das arestas contidas em r e s. e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos médios. 13. (Fuvest) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um cubo. Um plano ‘, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. A intersecção do plano ‘ com o cubo é um: a) triângulo.

d) pentágono.

b) quadrado.

e) hexágono.

c) retângulo. 14. (Fuvest) Dada uma circunferência de diâmetro åæ, levanta-se por A um segmento åî perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B. a) Prove que as retas BC e DC são perpendiculares. b) Sabendo que AB = AD = 8 e que C é o ponto médio do arco AB, determine a medida do ângulo CDB. 15. (Unicamp) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.

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capítulo 1

16. (Unicamp) Uma esfera de raio 1 é apoiada no plano xy de modo que seu pólo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o pólo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos de "projeção estereográfica" desse outro ponto ao ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera. 17. (Unesp) No espaço tridimensional consideram-se duas retas r e s e os conjuntos: A, de todos os planos por r, B, de todos os planos por s. Descrever o conjunto A ∩ B,, nos seguintes casos: a) r e s são paralelas;

b) r e s são reversas.

18. (Unesp) Sejam α e β dois planos não paralelos distintos. Prove que por todo ponto P ∈ α, P ∉α ∩ β, existe em α uma única reta paralela a β. 19. (Cesgranrio) A é um ponto não-pertencente a um plano P. O número de retas que contêm A e fazem um ângulo de 45° com P é igual a: a) 0.

d) 4.

b) 1.

e) infinito.

c) 2. 20. (Puccamp) Considere as afirmações a seguir. I. Duas retas distintas determinam um plano. II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta do outro. É correto afirmar que: a) apenas II é verdadeira.

d) apenas I e III são verdadeiras.

b) apenas III é verdadeira.

e) I, II e III são verdadeiras.

c) apenas I e II são verdadeiras. 21. Dados um paralelepípedo retângulo, indiquemos por A o conjunto das retas que contêm as arestas desses paralelepípedos e por B o conjunto dos planos que contêm suas faces. Isso posto, qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Quaisquer que sejam os planos α e β de B, a distância de α a β é maior que zero. b) Se r e s pertencem a A e são reversas, a distância de r a s é maior que a medida da maior das arestas do paralelepípedo.

capítulo 1

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c) Todo plano perpendicular a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. d) Toda reta perpendicular a um plano de B é perpendicular a exatamente dois planos de B. e) A intersecção de três planos quaisquer de B é sempre um conjunto vazio. 22. (Faap) Considere as proposições: I. Dois planos paralelos a uma mesma reta são paralelos II. Um plano paralelo a duas retas pertencentes a outro plano é paralelo a este III. Um plano perpendicular a uma reta de outro plano é perpendicular a este IV. Um plano paralelo a uma reta de outro plano é paralelo a este Nestas condições: a) nenhuma das proposições é verdadeira b) somente as proposições I e III são verdadeiras c) uma única proposição é verdadeira d) todas as proposições são verdadeiras e) uma única proposição é falsa 23. (Ufrj) Na figura a seguir, A não pertence ao plano determinado pelos pontos B, C e D. Os pontos E, F, G e H são os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente. A E B

F C

Prove que EFGH é um paralelogramo. 24. (Fatec) Na figura a seguir tem-se: o plano α definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a α em A, com A ∈ c; o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X ∉ α, então a reta s, definida por X e B, b

a) é paralela à reta c. b) é paralela à reta b.

c) está contida no plano ‘. A

d) é perpendicular à reta d. e) é perpendicular à reta b.

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capítulo 1

25. (UFF) Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas são formados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro. a) Um par.

d) Quatro pares.

b) Dois pares.

e) Cinco pares.

c) Três pares.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática, 10: geometria espacial, posição e métrica. 6. ed. São Paulo: Atual, 2005. GARCIA, Antônio Carlos de Almeida; CASTILHO, João Carlos Amarante. Geometria plana e espacial. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. CARVALHO, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial (Coleção Professor de Matemática). SBM. LIMA, E.L. Medida e Forma em Geometria (Coleção Professor de Matemática). SBM.

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capítulo 1

2 Poliedros

2. Poliedros 2.1 Um pouco de história Não se sabe exatamente quando e como começou a se desenvolver o interesse pelos poliedros. O que se conhece de mais antigo na história dele vem de fontes, egípcias, chinesas e babilônicas que continham resolução de problemas relacionados a pirâmides. Existem papiros referentes a construção de pirâmides que nos dão uma ideia de como eram tratados geometricamente esses tipos de sólidos. Problemas relativos ao declive das faces de uma pirâmide são encontrados no papiro de Rhind. ©© WIKIMEDIA.ORG

Nenhum dos antigos papiros egípcios encontrados contém a fórmula do volume de uma pirâmide, mas no papiro de Moscovo é apresentada a fórmula para calcular o volume do tronco de uma pirâmide de base quadrada, as notações eram diferentes das usadas atualmente, mas se chegava ao mesmo resultado que podemos encontrar hoje.

32 •

capítulo 2

Existem ainda tabletes babilônicos contendo problemas de cálculo de volume de alguns tipos de sólidos em formato poliédrico que possivelmente seriam estudados em razão da necessidade de se calcular o volume de pilhas de grãos de cereal.

Após as grandes contribuições dessas antigas civilizações os estudos em relação as pirâmides e demais poliedros são retomados na Grécia, onde são criados teoremas e demonstrações lógicas para as superfícies e sólidos poliédricos.

2.2 Introdução 2.2.1 Diedro Os diedros vêm sendo estudados e aplicados em diversas áreas. Existe um sistema de projeção de figuras no espaço, desenvolvido por Gaspard Monge, chamado de sistema de Projeções Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção, o qual estuda as projeções de um determinado sólido, e diedros, para assim determinar a forma e a posição do objeto no espaço. Veja uma ideia na figura a seguir. 2o diedro PV

PH 3o diedro

4o diedro

Figura 2.1 – Observação de um objeto no espaço por meio de projeções em diedros. Sistema Mongeano.

capítulo 2

• 33

Mas, afinal, o que é um diedro? Pense num plano α e numa reta r contida em α. Como a reta e o plano são infinitos, essa reta divide o plano α em duas partes. Dizemos que r faz uma partição do plano, dividindo-o em dois semiplanos.

Define-se Ângulo diedro ou Diedro como sendo a reunião de dois semiplanos de mesma origem não contidos num mesmo plano.

α e β: faces do diedro r: arestas do diedro

b P

r β

x a

Define-se Secção de um diedro à intersecção do diedro com um plano secante à aresta. α ∩ β = r  P∈r  Pa ⊂ α  = med αr β = x  ⇒ med aPb Pb ⊂ β  Pa ⊥ r   Pb ⊥ r 

( )

(

)

Uma secção de um diedro é um ângulo plano, como observamos na figura abaixo: α⊥π

β M

Secção reta ou normal

34 •

capítulo 2

Podemos chegar a algumas conclusões partindo do fato de que suas seções normais são ângulos. • Um diedro é reto se sua secção normal é um ângulo reto. • Um diedro é agudo, se e somente se, sua secção normal é um ângulo agudo. • Um diedro é obtuso, se e somente se, sua secção normal é um ângulo obtuso. • Dois diedros são adjacentes, se e somente se, as secções normais são ângulos adjacentes. • Dois diedros são opostos pelos vértices, se e somente se, suas secções normais são ângulos opostos pelos vértices. • Dois diedros são congruentes, se e somente se, se suas secções normais são congruentes. • Um semiplano bissetor de um diedro é um semiplano que possui origem na aresta do diedro e o divide em dois diedros adjacentes e congruentes. Em outras palavras, o semiplano bissetor divide o diedro exatamente no meio.

EXEMPLO Se dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e suplementares, então eles formam um diedro reto. Solução: Sendo os diedros e seus respectivos bissetores, num plano perpendicular a reta r (que determina secções retas nos diedros), temos a situação da figura abaixo. Visão da situação no espaço β

β'

a’

Visão na secção reta (τ’)

α'

(α’)

r γ

(β)

(γ) α

a a

(α)

a + a + b + b = 180° ⇒ a + b = 90°

então o diedro (α'β') é reto.

capítulo 2

• 35

ATIVIDADES 01. Dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto mede o Diedro por eles formado? 02. Duas semirretas Or e Os são respectivamente perpendiculares às faces α e β de um diedro. Se o ângulo rÔs mede 50º, quanto mede o diedro αβ? 03. Uma reta Perpendicular a uma face de um diedro forma um ângulo de 50º com o bissetor desse diedro. Quanto mede o diedro? 04. Dois diedros têm faces respectivamente paralelas. Conhecendo a medida de um deles, qual será a mediada do outro? 05. Um diedro mede 120º. Um ponto P do plano bissetor desse diedro dista 10 cm da aresta do diedro. Calcule a distância de P às faces do diedro. 06. A Distância de um ponto M, interior a um diedro, às suas faces é de 5cm. Encontre a distância do ponto M a aresta do diedro se o ângulo formado pelas perpendiculares às faces é de 120º. 07. Um ponto M dista 12 cm de uma face de um diedro reto, e 16 cm da outra face. Encontre a distância deste ponto à aresta do diedro. 08. Um ponto M de uma face de um diedro dista 15 cm da outra face. Encontre a distância M à aresta do diedro, sabendo que a medida do Diedro é de 60º. 09. Seja um diedro αβ. A Distância de dois pontos de α ao plano β são respectivamente 9cm e 12cm. A distância do segundo ponto à aresta do diedro é 20 cm. Encontre a distância do primeiro ponto a aresta do diedro? 10. Um diedro mede 120º. A distância de um ponto interior P às faces é de 10 cm. Ache a distância entre os pés das perpendiculares às faces conduzidas por P.

36 •

capítulo 2

2.2.2 Triedros Como estudamos a intersecção entre dois planos, podemos estudar a interseção entre três planos. Nesse caso, temos os triedros. Antes disso, pense como três planos podem estar relacionados entre si.

Paralelos π1 π1 ∩ π2 ∩ π3 = θ

π2

π3

Dois paralelos e o terceiro secante a eles π

α β

capítulo 2

• 37

Planos se interceptando dois a dois B α

β V

C π

Figura 2.1

Dadas três semirretas não coplanares VA , VB e VC , de mesma origem V, passando pelos pontos A, B e C, respectivamente. Considere três semiespaços: E1, E2 e E3, obtidos a partir da intersecção entre dois a dois os planos que passam pelas semirretas. Chama-se triedro ou ângulo triedral, a intersecção desses semiespaços. Dessa forma, a intersecção dos três planos mostrados na figura 2.1 é um triedro. Notação: V( A, B, C). Elementos de um Triedro Alguns elementos do triedro recebem nome especial. Acompanhe pela figura 2.2. B

F(AB)

F(BC) C

F(AC) Figura 2.2

Vértice (V): é o ponto de intersecção das semirretas;

38 •

capítulo 2

Arestas: são as semirretas VA, VB e VC ; Faces do triedro: são as regiões AVB BVC ; e CVA , chamadas, respectivamente, de F(AB), F(BC) e F(AC). 2.2.3 Poliedros Na geometria plana, você viu as figuras planas mais importantes, entre elas os polígonos (triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, pentágono, hexágono etc.). No espaço, existem figuras geométricas correspondentes aos polígonos, que são os poliedros. Chama-se figura Poliédrica a reunião de um numero finito de polígonos planos de tal forma que: a) A intersecção de dois polígonos ou e um vértice, ou e um dos lados do polígono ou e vazia; b) Dois polígonos, cuja intersecção e um vértice, não são coplanares; c) Os lados de cada polígono não pertencem a mais do que dois polígonos.

2.2.4 Poliedro convexo Definiremos poliedro convexo o sólido geométrico quando: a) Duas a duas das suas faces não são coplanares; b) Cada lado da face poligonal e comum a duas e somente duas faces poligonais; capítulo 2

• 39

c) O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num mesmo semi-espaço.

Elementos de um poliedro: Face (base) Vértice

Vértice Aresta

Aresta

Faces (laterais)

Faces (laterais) Face (base) Face (base)

• Faces: são os polígonos que formam o poliedro; • Arestas: são os lados de cada polígono; • Vértices: são os vértices dos polígonos; • Ângulos: são os ângulos dos polígonos. 2.2.5 Congruência Dois poliedros são congruentes se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus elementos de modo que as faces e os ângulos poliédricos de um sejam ordenadamente congruentes às faces e ângulos poliédricos do outro.

Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação V– A + F=2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.

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capítulo 2

©© WIKIMEDIA.ORG

2.2.6 Relação de Euler

Demonstração: Vamos utilizar o princípio da indução para provar essa propriedade. Hipótese: dado um poliedro convexo com V vértices, A arestas, e F faces. Tese: V – A + F = 2 1. Vamos provar inicialmente que se a superfície e poliédrica convexa aberta, então, vale a relação V – A + F = 1 Por indução, essa propriedade é válida para uma superfície de uma face, ou seja, F = 1. Neste caso, a superfície se reduz a um polígono de n lados, portanto, possui n arestas (A = n ) e n vértices (V = n). Logo, V – A + F = n – n + 1 = 0 + 1 = 1 Portanto, a propriedade é válida para F = 1. 2. Agora, admitimos que a relação vale para uma superfície de F faces (que possui V vértices e A arestas) e vamos provar que também vale para uma superfícies de F + 1 faces (que possui F + 1 faces, V vértices e A arestas). Por hipótese, para a superfícies de F faces, A arestas e V vértices vale: V–A+F=1 Acrescentando a essa superfície (que é aberta) uma face de p arestas (lados) e considerando que q dessas arestas (lados) coincidem com arestas já existentes, obtemos uma nova superfícies com Fn faces, An arestas e Vn vértices tais que: Fn = F + 1. An = A + p – q ( q arestas coincidiram) Vn = V + p – (q + 1) (q arestas coincidindo, q + 1 vértices coincidem). Formando a expressão Vn – An + Fn e substituindo os valores acima, vem: Vn – An + Fn = V + p –( q + 1) – (A + p – q) + (F + 1) = V + p – q – 1 – A – p + q + F + 1 = V – A + F. Portanto, Vn – An + Fn = V – A + F, ou seja, provamos que essa expressão não se altera se acrescentamos (ou retiramos) uma face da superfície. Como, por hipótese, V – A + F = 1, vem que Vn – An + Fn = 1. O que prova a relação preliminar. Tomemos a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer superficie poliedrica limitada convexa fechada (com V vértices, A arestas e F faces), e dela retiremos uma face. Ficamos, então, com uma superfície aberta (com Vn vértices, An arestas e Fn faces) para a qual vale a relação: Vn – An + Fn = 1 Como Vn = V, An = A e Fn = F – 1, vem V – A + (F – 1) = 1, ou seja: V – A + F = 2.

capítulo 2

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REFLEXÃO Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados poliedros eulerianos. Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo

2.2.7 Poliedros de Platão ©© WIKIMEDIA.ORG

Chama-se poliedro de Platão o poliedro que satisfaz as três seguintes condições: a) Todas as faces tem o mesmo numero (n) de arestas; b) Todos os vértices do poliedro tem o mesmo número (m) de arestas; c) Satisfaz a relação de Euler (V –A + F = 2).

São poliedros de Platão: É possível mostrar cinco e somente cinco, poliedros de Platão. Em um de seus tratados, Platão associava cada poliedro a um dos cinco elementos básicos da natureza: terra, fogo, ar , água e éter. Fogo

Tetraedro regular

Octaedro regular

NOME TETRAEDRO HEXAEDRO DODECAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO

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capítulo 2

Terra

Éter (universo)

Água

Hexaedro regular

Dodecaedro regular

Icosaedro regular

Vejamos alguns exemplos de Poliedros que não são de Platão.

2.2.8 Poliedros regulares Chama-se poliedro regular o poliedro convexo que satisfaz: a) Suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si; b) Todos os ângulos poliédricos são congruentes.

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

RESUMO Estudamos neste capítulo um assunto bem interessante: os poliedros. Fizemos a construção passo a passo de um diedro que tem a mesma noção de ângulo estudado na geometria plana, mas para planos, em seguida, apresentamos a noção de triedro para, então, estarmos aptos a estudar poliedros. Percebemos que os poliedros convexos são sólidos bem especiais, que devem satisfazer certas condições, e chegamos ao estudo de poliedros bem particulares, que são os de Platão, um tipo especial de poliedros convexos. Finalmente, chegamos ao mais especial dos poliedros – os poliedros regulares, que são cinco e, apenas cinco: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Nos poliedros foram estudadas a relação de Euler, que nos dá uma maneira de relacionar os vértices, as arestas e as faces de um poliedro convexo e a relação que nos dá a soma dos ângulos das faces de um poliedro. Iremos fazer estudo de outros tipos especiais de poliedros, que são os prismas, as pirâmides e um estudo especial para o hexaedro, ou cubo, como e comumente chamado.

capítulo 2

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EXEMPLO Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos? Solução: Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2) · 360º Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores, calculamos o número de vértices. Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais formase um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces. Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.

ATIVIDADES 11. Observando a figuras e simplesmente contando, determine o número de faces, arestas e o vértice dos poliedros convexos mostrados. Verifique se satisfazem a relação de Euler. a)  ____ faces  Poliedro 1  ____ arestas → É euleriano ?_____  ____ vértices  b)  ____ faces  Poliedro 2  ____ arestas → É euleriano ?_____  ____ vértices  Poliedro 1

Poliedro 2

12. Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.

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capítulo 2

13. Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas. 14. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices. 15. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado que tem 10 faces triangulares e 2 faces quadrangulares. 16. Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 5 ângulos tetraédricos e 6 ângulos triédricos. 17. Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o número de vértices de 6 unidades. 18. Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 8 ângulos tetraédricos e 1 ângulo hexaédrico? 19. Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas? 20. Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12 faces quadrangulares. 21. Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o número de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares. 22. Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares. 23. Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Determine o número de faces triangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 19 arestas e 11 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces pentagonais. 24. Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine o número de faces de cada gênero.

capítulo 2

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25. Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro

d) dodecaedro

b) hexaedro

e) icosaedro

c) octaedro 26. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? 27. Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2 · 160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas. 28. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. 29. Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? 30. Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais. Qual o número de diagonais deste poliedro? 31. Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo.

O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: a) 8 e 8.

c) 6 e 8.

b) 8 e 6.

d) 8 e 4.

46 •

capítulo 2

e) 6 e 6.

32. Até 1985, as únicas formas conhecidas de organização de cadeias carbônicas puras e estáveis eram o diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma estável de carbono além do diamante e do grafite. Os fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de carbono nos vértices de um poliedro denominado de icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar que o número de vértices do icosaedro truncado é igual a: a) 80

c) 70

b) 60

d) 90

e) 25

33. Um poliedro convexo, com 32 arestas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces quadrangulares e t, o número de faces triangulares, então os valores de q e t são, respectivamente: a) q = 6 e t = 14

d) q = 14 e t = 4

b) q = 16 e t = 4

e) q = 4 e t = 16

c) q = 4 e t = 14 34. Um poliedro convexo tem 25 arestas e todas as suas faces pentagonais. Determine o número de faces e de vértices do poliedro. 35. Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro. 36. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se 2 que o número de faces vale do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces 3 vale. a) 6.

c) 5.

b) 4.

d) 12.

e) 9.

37. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: a) 16

c) 24

b) 18

d) 30

e) 44 8.

capítulo 2

• 47

38. (Ufpe) Unindo-se o centro de cada face de um cubo, por segmentos de reta, aos centros das faces adjacentes, obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas faces tem esse poliedro? 39. (Ufpe) Calcule a oitava potência do comprimento, em m, da aresta de um icosaedro regular, sabendo-se que sua área mede 15 m2. 40. (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a: a) 35

c) 33

b) 34

d) 32

e) 31

41. (Ufrs) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente: a) 34 e 10

c) 34 e 20

b) 19 e 10

d) 12 e 10

e) 19 e 12

42. (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180

c) 540

b) 360

d) 720

e) 900

43. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui: a) 33 vértices e 22 arestas.

d) 11 vértices e 22 arestas.

b) 12 vértices e 11 arestas.

e) 12 vértices e 22 arestas.

c) 22 vértices e 11 arestas. 44. (Puccamp) Sobre as sentenças: I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. É correto afirmar que APENAS. a) I é verdadeira.

d) I e II são verdadeiras.

b) II é verdadeira.

e) II e III são verdadeiras.

c) III é verdadeira.

48 •

capítulo 2

45. (Ita) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: a) 10

c) 20

b) 17

d) 22

e) 23

46. (Uerj) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 1 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da 3 aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras.

Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha. Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: a) 7,0 m

b) 6,3 m

c) 4,9 m

d) 2,1 m

47. (Ufsm) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em radianos, igual a: a) 3°

c) 36 °

b) 12 °

d) 64 °

e) 108 °

48. (Unioeste) Justapondo dois paralelepípedos retangulares de arestas 1, 1 e 2, constróise um "L", conforme representado na figura a seguir. A

E D 1 C

capítulo 2

• 49

A respeito do sólido correspondente ao L, é correto afirmar que: a) tem 6 faces. b) tem 12 vértices. c) tem 18 arestas. d) a distância do vértice A ao vértice B é igual a

14 unidades de comprimento.

e) o plano que passa pelos vértices C, D e E divide o sólido em duas partes tais que a razão 5 entre o volume da parte maior e o volume da parte menor é igual a . 3

49. (Pucpr) Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Quantas arestas tem esse poliedro? a) 8

c) 12

b) 10

d) 14

e) 16

50 •

capítulo 2

3 Prisma

3. Prisma OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo; • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário; • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apóia a Geometria; • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Conhecer e utilizar as noções e postulados da Geometria Espacial; • Compreender e aplicar os conceitos envolvendo áreas e volumes de sólidos com características de prismas.

3.1 Introdução

Os objetos acima são facilmente encontrados em nosso dia a dia. Apresentam características comuns, tais como: • Suas características são constituídas de polígonos; • Cada um tem pelo menos duas faces contidas em planos paralelos;

52 •

capítulo 3

• Os planos que contém as outras faces interceptam-se dois a dois em retas paralelas entre si. Sólidos com essa características são chamados Prismas

3.2 Conceito Considerando dois planos α e β, distintos e paralelos entre si, um polígono convexo P, contido em α, e uma reta r que intercepta α e β conforme a figura abaixo: r β

Por todos os pontos do polígono, tracemos retas paralelas a r, conforme mostrado na figura anterior. A reunião de todos os segmentos obtidos é um sólido chamado Prisma.

3.3 Elementos M’ N’

C’

C A

M’ N’

B Duas bases congruentes (polígonos)

C’

C A

B n faces laterais (paralelogramos)

• 53

capítulo 3

M’

N’

C’

C A

n arestas laterais

C’

B 3n arestas - 2 n vértices

No exemplo da figura acima : Bases congruentes são os hexágonos, 6 faces laterais, 8 faces, 6 arestas laterais, 18 arestas e 12 vértices.

3.4 Altura de um prisma Definiremos a altura de um prisma como sendo a distância h entre os planos das bases. r M’ N’ A’

C’

X’ B’

h (altura) M N α

54 •

capítulo 3

X A

3.5 Secções É a intersecção de um prisma com um plano que intercepta todas as arestas iguais. Secção reta

Secção transversal

Secção inclinada

Secção reta é normal às arestas. É a secção de menor área. Secção transversal é paralela às bases. É uma secção igual às bases. Secção inclinada é inclinada em relação às bases e às arestas. M’

3.6 Superfícies

N’

• Superfície lateral é a reunião das faces laterais. • Superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases.

C’

C A

3.7 Classificação • Prisma reto – arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Suas faces laterais são retângulos • Prisma oblíquo – arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. • Prisma regular – é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. N’

N A Prisma reto

M’

C B Prisma oblíquo

a C’

a a

Prisma regular

capítulo 3

• 55

3.8 Natureza de um prisma Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal etc... conforma a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Hexagonal

Hexagonal M’ N’

Pentagonal a C’

a a

C A

Paralelepípedo e romboedro • Paralelepípedo – prisma cujas bases são paralelogramos; Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos.

Obliquo

• Paralelepípedo reto – prisma reto cujas bases são paralelogramos; Sua superfície total é a reunião de quatro retângulos com dois paralelogramos.

Reto

• Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro– prisma reto cujas bases são retângulos; Sua superfície total é a reunião de seis retângulos.

Reto-retângulo

56 •

capítulo 3

• Cubo – paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. • Romboedro – paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. • Romboedro reto – paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. • Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos (bases). • Romboedro reto retângulo ou cubo–romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos)

(2 losangos e 4 quadrados)

Romboedro reto

Romboedro obliquo

(6 quadrados)

Romboedro ret-retângulo

3.9 Diagonal de um cubo

D α ϕ d α

Medida da diagonal de um cubo cuja aresta mede a. Como d = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = 2 Então D = a2 + d2 ⇒ D = a 3

• 57

capítulo 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8dm e 6dm e a altura mede 4dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta lateral. Solução : A área pedida está sombreada na figura. É um triângulo retângulo com base “d” e altura (cateto) 4dm. A base “d” é a diagonal da base: d = 62 + 82 = Logo a área é A =

100 = 10 .

b ⋅ h (10 ) ⋅ ( 4 ) 401 = = = 20 dm2 . 2 2 2

3.10 Diagonal de um paralelepípedo

D d b a

Diagonal da base ( d ) : d2 = a2 + b2 Diagonal do sólido ( d ) : d2 = a 2 + b2 + c2

3.11 Área de um cubo Área total do cubo cuja aresta mede a A t = 2 ( a ⋅ a + a ⋅ a + a ⋅ a ) → A t = 6a 2

58 •

capítulo 3

3.12 Área de um paralelogramo Área total do cubo cuja aresta mede a c=h

b a

A = (2a · b + 2a · c + 2b · c) = 2 (a · b + a · c + b · c)

ATIVIDADES 01. Determine a diagonal de um paralelepípedo retângulo cujo volume é 96 cm³ e a base é quadrada, de aresta 4 cm. 02. Se a diagonal de um cubo mede 6 mm, calcule aresta do cubo . 03. Sendo P = 20 m o perímetro da base de um cubo, determine a aresta do cubo ?

3.13 Volume de um sólido O volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido de forma que: • Sólidos congruentes tem volumes iguais; • Se um sólido A é a reunião de dois sólidos A1 e A2 que não tem pontos interiores comuns, então o volume de A é a soma dos volumes de A1 com A2. Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Cubo unitário

a cubos

Aresta 1 Volume 1 a cubos a cubos

capítulo 3

• 59

3.14 Volume do cubo Volume: V = a · a · a = a3 a

3.15 Volume do paralelepípedo

Volume: V = a · b · c c b

EXERCÍCIO RESOLVIDO Aumentando-se de 1 m a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164 m2. Então, determine o volume do cubo original. Solução: A área total do cubo menor vale A = 6a2 e a do maior A = 6(a + 1)2. As áreas laterais só contemplam quatro faces, excluindo as bases (superior e inferior). A diferença entre essas áreas laterais é 164 m2. Expressando essa informação, temos:

a+1

a a

a+1

2 A 2 − A1 = 4 ( a + 1) − 4a2 ⇒ 6a2 + 8a + 4 − 4a2 = 164 ⇒ 8a = 160 ⇒ a = 20  A 2 − A1 = 164

60 •

capítulo 3

ATIVIDADES 04. Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo com volume de 8 dm3. De quanto, no mínimo será a folha utilizada. 05. As três dimensões de um paralelepípedo reto retângulo de volume 405 m3, são proporcionais aos números 1, 3 e 5. Encontre a soma do comprimento de todas as suas arestas. 06. Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e 6 dm e a altura mede 4 dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta lateral. 07. Aumentando-se de 1 metro a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164 m2. Então, determine o volume do cubo original em metros cúbicos. 08. Uma caixa d'água em forma de prisma reto tem aresta lateral igual a 6 dm e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. Determine o volume dessa caixa, em litros. 09. Sabe-se que as arestas de um paralelepípedo estão em progressão geométrica, que seu volume é 64 cm3 e a soma de suas dimensões é igual a 21 cm. Encontre o valor da área total do paralelepípedo. 10. Aumentando-se a aresta de um cubo de

3 cm, obtém-se um outro cubo, cuja diagonal

mede 15 m. Calcule a área do cubo primitivo. 11. Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3 m e que tem área total de 80 m2. Determine o lado dessa base quadrada. 12. Dispondo-se de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. Encontre o volume dessa caixa, em cm3. 13. Uma caixa d'água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8 m, 15 dm e 80 cm. Encontre sua capacidade total. 14. Uma paralelepípedo retângulo tem 142 cm2 de área total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados estão em PA, encontre-os.

capítulo 3

• 61

15. Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um indivíduo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075 m. Então, calcule o volume do indivíduo, em m3. 16. A soma dos comprimentos de todas as arestas de um cubo é igual a 60 m. Calcule a diagonal do cubo. 17. Um cubo tem 96 m2 de área total. De quanto deve ser aumentada a sua aresta para que seu volume se torne igual a 216 m3? 18. Quantos cubinhos de madeira de 1 cm de aresta podem ser colocados numa caixa cúbica com tampa. Na qual foram gastos 294 cm2 de material para confeccioná-la? 19. Se um tijolo (paralelepípedo retângulo), dos usados em construção, pesa 4 Kg., então quanto pesará um tijolinho de brinquedo feito do mesmo material, e cujas dimensões sejam 4 vezes menores? 20. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Se o volume desse paralelepípedo é 1920 cm3, encontre sua área total .

3.16 Área lateral e área total de um prisma

1 a

2

4

Secção reta

A área lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais. A l = a ⋅ l1 + a ⋅ l2 + a ⋅ l3 + a ⋅ l4 + a ⋅ l5 + a ⋅ l6 ... =

A l = a ( l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 .... ) =

Como l1 + l2 + l3 + l4 + l5 + l6 ... = perímetro do polígono A l = ( 2p ) a

62 •

capítulo 3

Polígono da base

Face lateral

Polígono da base

A área total é a soma das áreas das faces laterais com as áreas dos polígonos da base. At = Al + 2 · Abase

3.17 Princípio de Cavalieri

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Contexto histórico Boaventura Francesco Cavalieri nasceu em Milão, na Itália no ano de 1598. Ainda menino tornou-se membro da ordem religiosa dos Jesuati, sendo, posteriormente, em 1616, transferido para o mosteiro da referida ordem. Lá aprendeu matemática e conheceu os trabalhos de Euclides que estimularam seu interesse pela matemática. Ainda no mosteiro, Cavalieri foi discípulo de Galileo.

Obviamente que os volumes serão os mesmos, independentemente da geometria obtida pela deformação na segunda pilha de moedas, uma vez que são utilizadas moedas do mesmo formato e quantidades iguais para cada pilha.

capítulo 3

• 63

Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como: • Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais. • Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais. De acordo com o Princípio de Cavalieri se considerarmos dois sólidos quaisquer que possuem a mesma altura e seccionarmos estes sólidos a uma mesma altura qualquer, se as secções possuírem sempre a mesma área, concluímos que o volume destes sólidos são iguais. s1

α ∩ s1

α ∩ s2

Área (α ∩ s1) = Área(α ∩ s2) => Vs1 = Vs2

64 •

capítulo 3

Volume do prisma O Volume de um prisma qualquer é dado pelo produto da sua altura pela área de sua base.

A’

• Considere um prisma de altura h e área da base A. Seja β o plano no qual a base se apoia. • Considere um paralelepípedo reto retângulo de altura h, área da base e A e que também se apoia em β. • Seja α o plano paralelo a β que secciona os sólidos a uma altura h0 de β. • O plano α produz as secções A’ e A’’. • O paralelepípedo também é um prisma e toda secção feita em prisma paralela à sua base, produz uma figura congruente a base. • Portanto, A = A’, A = A’’ e A’ = A’’. • Portanto, pelo Princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume. VPRISMA = VPARALELEPIPEDO = a · b · h = Abase · h Obs: A área da base dependerá das características do polígono da base.

ATIVIDADES 21. Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros. a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 decímetro cúbico).

capítulo 3

• 65

22. Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. Calcule o volume desse prisma. 23. Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários: a) 40 min

c) 400 min

b) 240 min

d) 480 min.

24. Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva ser igual ao volume do orifício. Encontre o valor "L" do lado da base quadrada do prisma reto. 80 cm

80 cm

Bloco vazado

80 cm

Vista aérea

25. (UFRGS) A figura a seguir representa a planificação de um cubo cujas faces foram numeradas de 1 a 6. O produto dos números que estão nas faces adjacentes à face de número 1 é: a) 120. b) 144. c) 180. d) 240. e) 360.

1 2

3 4

5 6

26. Deseja-se construir um prédio para armazenamento de grãos em forma de um prisma regular de base triangular, cuja aresta da base meça 8 m e altura do prisma tenha 10 m. Determine o volume desse armazém.

66 •

capítulo 3

27. (Ufrrj 2006) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é: a) 12 cm.

d) 5 cm.

b) 11 cm.

e) 6 cm.

c) 10 cm. Figura 2

Figura 1

40 cm

20 cm

6 cm

x cm

10 cm 40 cm

10 cm 20 cm

28. A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm. Calcule o volume do prisma.

10 cm

A’

5 cm

29. Uma caixa d'água tem o formato de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede 14 m e cujas medidas dos lados são números inteiros consecutivos. Determine a capacidade dessa caixa d'água, em litros. a) 2.000 b) 3.000 c) 4.000

d) 6.000

capítulo 3

• 67

30. A figura adiante mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe-se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5 m, BC = 1,2 m, EF = 4,0 m, FG = 0,8 m, HG = 3,5 m e AH = 6,0 m. Qual a área dessa sala em metros quadrados? A

a) 37,2.

B 2,5 m

b) 38,2.

1,2 m

c) 40,2.

6,0 m

d) 41,2. 3,5 m

e) 42,2.

0,8 m F

4,0 m

31. Dada a figura a seguir e sabendo-se que os dois quadrados possuem lados iguais a 4cm, sendo O o centro de um deles, quanto vale a área da parte preenchida? a) 100.

c) 5.

b) 20.

d) 10.

e) 14.

32. Uma placa de cerâmica com uma decoração simétrica, cujo desenho está na figura a seguir, é usada para revestir a parede de um banheiro. Sabendo-se que cada placa é um quadrado de 30 cm de lado, a área da região hachurada é: a) 900 – 125π b) 900 (4 – π) c) 500π – 900 d) 500π – 225 e) 225 (4 – π) 5 cm 5 cm

33. Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é dobrada como indicado na figura 2. Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, em cm2, é igual a: a) 112

b) 88 E

c) 64

d) 24 D

C Figura 1

68 •

capítulo 3

C Figura 2

34. Após utilizar 192 litros de água de uma caixa cúbica que estava completamente cheia, o nível diminuiu 30 cm. Então a capacidade total dessa caixa, em litros, é: a) 216

c) 343

b) 288

d) 512

35. Dona Margarida comprou terra adubada para sua nova jardineira, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são: 1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura. Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 1,7 dm3. Nesse caso, para encher totalmente a jardineira, a quantidade de terra que Dona Margarida deverá utilizar é, aproximadamente, a) 85,0 kg.

c) 29,4 kg.

b) 8,50 kg.

d) 294,1 kg.

36. Dobrando-se a planificação abaixo, reconstruímos o cubo que a originou. A letra que fica na face oposta à que tem um X é: a) V

b) O

c) B

d) K

C X

37. Um prisma reto tem por base um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 m e 4 m. Se a altura deste prisma é igual à hipotenusa do triângulo da base, então seu volume, em m3, é igual a: a) 60

c) 24

b) 30

d) 12

38. A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume deste sólido é: a) 20 3

4 3

b) 75

c) 50 3

d) 100 5

e) 100 3

4 3

capítulo 3

• 69

39. Um prisma reto é tal que sua base é um triângulo equilátero cujo lado mede 4 3 cm e o seu volume é igual ao volume de um cubo de aresta medindo 4 3 cm. A área total desse prisma, em centímetros quadrados, é: a) 24 3

c) 204 3

b) 192 3

d) 216 3

e) 228 3

40. Considere uma barraca de lona projetada de acordo com as indicações da figura a seguir. Ela deve medir 4 m de comprimento 3 m de largura. As faces laterais devem ter 2 m de altura e a altura total da barraca deve ser 3 m. O piso da barraca também é feito de lona. Nessa barraca, a superfície total da lona utilizada será: a) (39 + 2 10 ) m2 b) (43 + 2 10 ) m2 c) (43 + 4 13 ) m2 d) (45 +

3 ) m2

e) (47 + 2 13 ) m2

4m 3m

41. Na figura, cada cubo tem aresta de 2 cm. Qual é o volume da pilha?

42. Na figura, cada cubo tem aresta de 2 cm. Qual é o volume da pilha?

70 •

capítulo 3

43. Na construção da varanda da casa do professor Robson, foram utilizadas quatro barras de sustentação, conforme o desenho abaixo: Dados das barras: Colunas (barras verticais): Prisma reto de alX tura 3x com base quadrada de lado . 6 Barra horizontal: Prisma reto de comprimento 5x com faces laterais Considerando x = 2 m, a quantidade Q de concreto necessária para fazer essas barras é de: a) Q < 2 m3 b) 2 m3 < Q < 3 m3 c) Q > 4 m3 d) 3 m3 < Q < 4 m3 44. A figura abaixo representa uma caixa de papelão, na qual é preciso colocar um fio de barbante ligando dois vértices no sentido da diagonal que passa pelo centro do prisma. Esse fio deverá medir, em função de x: a) 10 x2 x

b) x 11

c) 0x + x 2

x 1 + 100x2

45. Num prisma regular de base hexagonal, a área lateral mede 36 m2 e a altura é 3 m. A aresta da base é: a) 2 m

b) 4m

c) 6m

d) 8 m

46. Um cubo tem 96 m2 de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta para que seu volume se torne igual a 216 m3? a) 1 m

b) 2 m

c) 3 m

d) 4 m

47. Um prisma de altura h = 1,2 m tem por base um triângulo equilátero de lado 40 cm. O volume desse prisma, medido em litros, é: a) 48

c) 36 3

b) 96 3

d) 24 3

capítulo 3

• 71

48. Um prisma reto tem por base um hexágono regular de lado 6 cm. Cada face lateral tem área igual a

3 vezes a área da base. Sua altura, em cm, é:

a) 15

c) 27

b) 18

d) 34

49. Um tanque em forma de paralelepípedo tem por base um retângulo de lados 0,8 m por 1,2 m e está parcialmente cheio de água. Um objeto maciço, de formato indeterminado, ao ser mergulhado completamente no tanque, faz o nível da água subir 7,5 cm. Determine, em m³, o volume desse objeto. 50. Uma barra de chocolate tem a forma de um prisma quadrangular reto de 12 cm de altura. A base tem a forma de um trapézio isósceles na qual os lados paralelos medem 2,5 cm e 1,5 cm e os lados não paralelos medem, cada um, 2 cm. Qual o volume do chocolate?

72 •

capítulo 3

4 PirĂ˘mides

4. Pirâmides OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo; • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário; • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apóia a Geometria; • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Compreender e aplicar os conceitos envolvendo áreas e volumes de sólidos com características de pirâmides.

4.1 Introdução – contexto histórico As Pirâmides de Gizé são estruturas monumentais construídas em pedra. Possuem uma base retangular e quatro faces triangulares (por vezes trapezoidais) que convergem para um vértice. Estas três majestosas pirâmides foram construídas como tumbas reais para os reis Kufu (ou Quéops), Quéfren, e Menkaure (ou Miquerinos) – pai, filho e neto. A maior delas, com 160 m de altura (49 andares), é chamada Grande Pirâmide, e foi construída cerca de 2550 a.C. para Kufu, no auge do antigo reinado do Egito e estão localizadas na cidade de Gizé, que integra o Cairo, no Egito. Elas são as únicas das antigas maravilhas que sobreviveram ao tempo.

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capítulo 4

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As grandes pirâmides de Gizé: Quéops, Quéfren e Miquerinos. Foram construídas há cerca de 2.700 anos a.C., desde o início do antigo reinado até perto do período ptolomaico. A época em que atingiram o seu apogeu, o período das pirâmides por excelência, começou com a III dinastia e terminou na VI dinastia (2686–2345 a.C.). As pirâmides de Gizé são um dos monumentos mais famosos do mundo. Como todas as pirâmides, cada uma faz parte de um importante complexo que compreende um templo, uma rampa, um templo funerário e as pirâmides menores das rainhas, todo cercado de túmulos (mastabas) dos sacerdotes e pessoas do governo, uma autêntica cidade para os mortos. Para os egípcios, a pirâmide representava os raios do Sol, brilhando em direção à Terra. Todas as pirâmides do Egito foram construídas na margem oeste do Nilo, na direção do sol poente. Os egípcios acreditavam que, enterrando seu rei numa pirâmide, ele se elevaria e se juntaria ao sol, tomando o seu lugar de direito com os deuses. As Pirâmides de Gizé não eram consideradas estruturas isoladas mas integradas num complexo arquitetônico. Foram encontradas cerca de 100 pirâmides no Egito, mas a maior parte delas estão reduzidas a pequenos montes de terra. Para se colocar em pé as três pirâmides, calcula-se que cerca de 30 mil egípcios trabalharam durante 20 anos, e a cada três meses havia uma troca de homens. Uma grande parte trabalhava no corte e transporte de blocos de pedras. Porém, não havia somente trabalhadores braçais, mas também arquitetos, médicos, padeiros e cervejeiros, pois se acredita que os homens que ali trabalhavam eram pagos com cerveja e alimentos, apesar das várias polêmicas existentes. capítulo 4

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A Pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide, é o monumento mais pesado que já foi construído pelo homem. Aproximadamente possui 2,3 milhões de blocos de rocha, cada um pesa em torno de 2,5 toneladas. Com mais de 146 metros de altura. Quéops foi um faraó do Antigo Império do Egito antigo. Ele reinou por volta de 2551 a.C. a 2528 a.C.. Foi o segundo faraó da Quarta dinastia. Quéops foi filho do Rei Snefru e, ao contrário de seu pai, foi lembrado como um faraó cruel e sem piedade. Quéops teve diversos filhos, um dos quais, Djedefré, foi seu sucessor imediato. Ele teve uma filha chamada Rainha Hetepheres II.

4.2 Definição Consideremos uma região poligonal plano-convexa definida como A1..., An com n lados e um ponto V que não pertence ao plano onde está a região . Uma pirâmide ilimitada convexa é o lugar geométrico formado pela reunião das semi-retas de origem V que passam pelos pontos que definem a região poligonal plano-convexa dada. No caso em que a região poligonal plano-convexa seja côncava, a pirâmide ilimitada resulta côncava.

76 •

capítulo 4

Face A4

Aresta A1 A2

V h A4

A1 A2

Consideremos um polígono convexo de vértices A1, A2, ... An situado em um plano é um ponto V não pertencente a α. Chama-se de pirâmide a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra em um ponto do polígono. O ponto V é chamado vértice da pirâmide e o polígono A1A2... An é a base da pirâmide.

4.3 Elementos

Altura

• Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide. • Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide. • Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. • Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base. • Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. • Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. • Apótema: É a altura de cada face lateral. • Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais. Vértice • Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base. Face Aresta

Base

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capítulo 4

4.4 Altura de uma pirâmide A altura de uma pirâmide é a distância entre o vértice e o plano da base.

4.5 Superfícies • Superfície lateral é a reunião das faces laterais da pirâmide. A área dessa região é denominada área lateral e denotada por Al • Superfície total é a reunião da superfície lateral com superfície da base da pirâmide. A área dessa superfície é denominada área total da pirâmide.

D C

E F

A b

4.6 Classificação Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em: • Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base. • Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da base. • Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da base. • Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.

78 •

capítulo 4

No tocante à inclinação da base, as pirâmides são classificadas em pirâmides retas, que formam um ângulo de 90°, ou pirâmides oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90°. V

V’

V’ ≡ O

Pirâmide obliqua

Pirâmide reta Projeção do vértice coincide com o centro da base

Projeção do vértice não coincide com o centro da base

4.7 Natureza de uma pirâmide Uma pirâmide poderá ser triangular, quadrangular, pentagonal etc, conforme a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc.

4.8 Pirâmide regular Pirâmide regular é uma pirâmide cuja base é um polígono regular e as arestas laterais são congruentes entre si. Polígono regular, não custa lembrar, é aquele que possui todos os lados e todos os ângulos iguais. Uma característica bem interessante das pirâmides regulares é que, se a virmos de cima, o seu vértice fica bem no meio do polígono que forma a sua base. Resulta disso que a altura h da pirâmide, que faz um ângulo de 90º com o plano em que está o polígono da base, passa exatamente pelo centro deste polígono.

Pirâmide triângular (tetraedro)

Pirâmide quadrangular

Pirâmide pentagonal

Pirâmide hexagonal

capítulo 4

• 79

4.9 Tetraedro São denominados de tetraedro todos os sólidos que possuem quatro faces. O sufixo edroderiva de hédrai, que, em grego, significa "faces". E tetra, na mesma língua, quer dizer "quatro". Quando um tetraedro possui as quatro faces e os quatro bicos iguais (também chamados ângulos poliédricos), temos um tetraedro regular. A pirâmide de base triangular é um exemplo. Entretanto, há também os tetraedros irregulares, como as pirâmides cujas faces não possuem somente triângulos regulares.

a h a

O a B

O Tetraedro é uma pirâmide triangular e quando esses triângulos são equiláteros denominamos Tetraedro regular

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular a medida da altura de um tetraedro regular sabendo que o perímetro da base mede 9 cm. Solução: O tetraedro regular é a pirâmide triangu3

los equiláteros. O apótema, g, da pirâmide é

h 3 3

80 •

capítulo 4

lar regular com todas as faces sendo triângua altura do triângulo equilátero e o apótema da base, ap, é a terça parte da altura da base

ap 3

(também mediana). Utilizando esses dados, temos:

 l 3 3 3 = g = 2 2  2 2   3 3  3 27 3 24 1 l 3 l 3 3 3 3  − ⇒h= = 6 cm = = ⇒ h2 =   =  =  −  ap = ⋅  4 4 4 3 2 6 6 2 2 2         2 2 2 h = g + ap 

4.10 Volume da pirâmide Considere uma pirâmide de base triangular ABC, vértice V e altura H, seccionada por um Plano paralelo a base e a uma distância h do vértice V. • Mostremos que os triângulos ABC e DEF são semelhantes. • VAB ∼ VDE, pois AB // DE e AVB = DVE

V h D

F E

C B

• Portanto VA VB AB = = =k VD VE DE • Aplicando o mesmo raciocínio às outras duas faces da pirâmide, temos: VB VC BC = = =k VE VF EF VA VC AC = = =k VD VF DF VA VB AB = = = k (1 ) VD VE DE VB VC BC = = = k (2) VE VF EF VA VC AC = = = k (3) VD VF DF capítulo 4

• 81

• De (1), (2), (3), temos: AB BC AC = = =k DE EF DF Encontremos k em função de H e h. • Consideremos os pontos Y na secção e X na base, ambos sobre a perpendicular baixada pelo vértice V. • VXB ∼ VXE. Portanto,

V h D

VX XB VB = = = k VY XE VE

Y E

X B

• Sendo VXB retângulo em X, segue-se que VX = H. Pelo mesmo motivo, VY = h. Daí, k=

H h

Vejamos a relação entre as áreas da base e da seção. • Seja H1 a altura do triângulo. • ABC com respeito ao lado BC. • Seja h1 a altura do triângulo. • DEF com respeito ao lado EF. H H • Então, 1 = k = . K h1 • Além disso, 1 A ABC = BC ⋅ H1 2

1 A DEF = EF ⋅ h1 2

• Daí, A ABC  H  =  A DEF  h 

82 •

capítulo 4

Teorema: Duas pirâmides de mesma base e mesma altura possuem o mesmo volume. V1

V2 h

S2 H

• Pelo que vimos anteriormente, 2

A ABC  H  A ABC  H  =  , =  S1 S2 h h

• Portanto, S1 = S2 e pelo Princípio de Cavalieri, V1 = V2.

REFLEXÃO Portanto, o vértice de uma pirâmide pode deslocar-se sobre um plano paralelo a sua base e seu volume não será alterado!

Teorema A’

O Volume de uma pirâmide triangular é um terço do produto de sua altura pela área de sua base. • Considere um prisma triangular de base ABC e altura h. O volume deste prisma é dado por V = AABC · h

C’ B’

C B

capítulo 4

• 83

Este prisma pode ser dividido em três pirâmides triangulares, conforme a figura abaixo: A’

A’

C’

C’ B’

B’ h A

C B

B C’

A’

V1 V2

B’

C B

• Observe que AABC = AA’B’C’ • Portanto, V1 = V3. • V1 = V2, pois AAA’C’ = AACC’ e considerando B’ como vértice, as pirâmides têm a mesma altura. 1 • Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3:V3, isto é,V3 = VPIRAMIDE = AABC · h. 3 • Basta observar que qualquer pirâmide pode ser dividida em pirâmides de base triangular. • 2 Seja h a altura e suponha que a base pode ser divida em n triângulos. Então, 1 1 1 V = A1 ⋅ h + A 2 ⋅ h + ... + A N ⋅ h 3 3 3 1 1 V = ( A1 + A 2 + ... + ) ⋅ h = A ⋅ h 3 3

h A3 A1

84 •

capítulo 4

4.11 Área lateral e área total de uma pirâmide A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais.

A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área da base. E

C B

EXERCÍCIO RESOLVIDO Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2 cm de aresta. Calcule: a) a área lateral da pirâmide; b) a área total da pirâmide; Solução:

Observando a figura e seus elementos, 2 cm

temos:

a) h = 2 cm 2 2 a =1 cm ⇒ g = 2 + 1 = 5 cm  p

2 cm

( )

 (2 ) ⋅ 5   = 4 5 cm2 Al = 4 ⋅    2  

2 cm

b) Ab = ( 2 )2 = 4 cm2 ⇒ A t = 4 1 + 5 cm2  2 Al = 4 5 cm

(

)

capítulo 4

• 85

ATIVIDADES 01. Uma pirâmide quadrangular regular possui a base circunscrita a um círculo de 10π m2 de área e a altura é igual ao apótema da base. Encontre a área lateral do sólido. 02. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais e a área da base igual a 16 cm2. Qual é a sua altura? 03. Calcule a área de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. 04. Qual a altura de uma pirâmide hexagonal regular de volume unitário e raio da base

EXERCÍCIO RESOLVIDO A base de uma pirâmide regular de altura 3r é um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r. Calcule o volume dessa pirâmide.

3R R

R I=R

Solução: O lado do hexágono inscrito possui a mesma medida do raio. A área é o sêxtuplo da área do triângulo equilátero.   l2 3   r2 3  Ab = 6 ⋅   = 4 ⋅     4   2  ⇒ V=  Ab ⋅ (h )  Vpir mide = 3 

86 •

capítulo 4

 r2 + 3  3   2 2   = 3r + 3 2 3

ATIVIDADES 05. (UFPR) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 10 m de apótema. Determine seu volume. 06. (UECE) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular é 6 cm e sua altura, 8 cm. Determine o volume dessa pirâmide. 07. (UF OURO PRETO) Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero de lado 2 dm e cuja altura mede 3 dm. 08. (ITA - SP) Encontre a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64 m2. 09. (UEPG - PR) Calcule a área de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. 10. (CEFET - PR) Determine a área total de um tetraedro regular de aresta a 3 . 11. Calcule a altura de um tetraedro de 6 cm de aresta. 12. Determinar a área lateral e total de uma pirâmide triangular regular de 7cm de apótema, sendo 2 cm o raio do círculo circunscrito à base. 13. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 144 m³ e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide. 14. A base de uma pirâmide tem 225 cm² de área. Uma secção paralela à base, feita a 3 cm do vértice, tem 36 cm² de área. Determine a altura da pirâmide. 15. Uma pirâmide regular de base quadrada tem lado da base medindo 8 cm e área lateral 5 igual a da área total. Calcular a altura e a área lateral desta pirâmide. 3 16. Sendo 192 m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3 2 o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.

capítulo 4

• 87

17. Se a altura de uma pirâmide hexagonal regular tem medida igual a aresta da base, a, calcule o seu volume. 18. Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 cm e 10 cm. 19. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são triângulos equiláteros de lado 4, em centímetros quadrados. 20. As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M 1 da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a do volume do outro sólido 3 em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a: a)

3 AB 4

1 AB 3

2 AB 3

1 AB 6

3 AB 5

21. (VUNESP) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à aresta OA. Se “a” expressa a medida de MN, determine o volume da pirâmide em função de “a”. 22. (VUNESP) Na figura, os planos α e β são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C, e D com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q, em β, o ponto sobre o qual cairia P se o plano α girasse de 90° em torno de r, no sentido indicado na figura, até coincidir com β. Se AB = 2 3 , calcule o volume do tetraedro APDQ. 23. (VUNESP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H.

88 •

capítulo 4

E D’

C’

A’

B’

h D

C 3 cm

6 cm

Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determine o volume da pirâmide EA'B'C'D'. 24. (UNICAMP) Dado um cubo de aresta L, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo? 25. (UNICAMP) A figura mostrada é um cubo cuja aresta mede 2 cm. a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1 b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1. 26. (FUVEST) A base de uma pirâmide regular é um quadrado ABCD de lado 6 cm e diagonais AC e BD. A distância de seu vértice E ao plano que contém a base é 4 cm. a) Determine o volume do tetraedro ABDE. b) Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE. 27. (FUVEST) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8 m e base quadrada de lado 6 m. Apoiada na base encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8 m e base quadrada com lado 6m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h ≤ 8). Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, O ≤ h ≤ 8.

capítulo 4

• 89

28. (FUVEST) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD, respectivamente. Então , determine o valor de EF . D F C A E B

29. (FUVEST) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado L e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, calcule o volume da pirâmide. V

g A

60º x L E

L B

30. (PUC) A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8 2 . Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é: a) 520.

d) 750.

b) 640.

e) 780.

c) 680. 31. (Unesp) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida. Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um 1 ponto M da aresta AB. Para que o tetraedro MBQR tenha volume igual a do volume do 3 outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter BM igual a: 3 a) BA 4 b)

2 BA 3

90 •

capítulo 4

3 BA 5

1 BA 3

1 BA 6

A C

B R

32. (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é: E

a) 1

b) 1,5 c) 2 e) 3

d) 2,5 A

33. (Ufrs) Na figura abaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular. Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD a) 25 b) 25 3 c) 75

d) 50 3 e) 100

34. (Ufpe) Calcule o quadrado do volume do octaedro regular, cujas arestas medem 3

3 unidades de comprimento.

capítulo 4

• 91

35. (Fei) São dados dois planos paralelos distantes de 5 cm. Considere em um dos planos um triângulo ABC de área 30 cm2 e no outro plano um ponto qualquer O. O volume do tetraedro ABCO é: a) 10 cm3

d) 40 cm3

b) 20 cm

e) 50 cm3

c) 30 cm3

92 •

capítulo 4

5 Corpos redondos: cilindros

5. Corpos redondos: cilindros OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo. • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário. • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apoia a Geometria. • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Compreender e aplicar os conceitos envolvendo áreas e volumes de sólidos com características dos corpos redondos, de forma mais específica: Cilindro.

5.1 Introdução A roda é talvez uma das invenções principais na trajetória de desenvolvimento tecnológico do ser humano. Com ela, os povos primitivos tornaram o transporte mais rápido e fácil, além de contribuir para transformar as primeiras aglomerações humanas em cidades maiores. A prova mais antiga de seu uso data de cerca de 3500 a.C., e vem de um esboço em uma placa de argila encontrada na região da antiga Suméria, na Mesopotâmia (atual Iraque), mas é certo que sua utilização venha de períodos muito mais remotos. As rodas mais antigas encontradas em explorações arqueológicas são de cerca de 3000 a 2000 a.C. e estavam em túmulos na mesma Mesopotâmia. Eram compostas de três tábuas presas por suportes em forma de cruz, e a tábua central possuía um furo natural no nó da madeira. A madeira em volta do nó costuma ser bastante resistente, por isso, acredita-se que esta girava em torno de um eixo fixo, apesar do restante do veículo à qual estas rodas pertencessem não

94 •

capítulo 5

tenha sido conservado o bastante para identificar se era assim mesmo que o conjunto funcionava. O primeiro aperfeiçoamento em relação aos modelos originais foi provavelmente a colocação de um aro de madeira, o que permitia um desgaste uniforme da roda em toda sua superfície. Tal aro podia ser uma peça única, feita de madeira curvada com o auxílio de vapor, ou então, de vários segmentos emendados. Quinhentos anos mais tarde surgiriam os primeiros aros de metal.

A roda com raios surge na Mesopotâmia ou na atual Turquia, e é utilizada em carros de guerra. Em torno de 1500 a.C., os egípcios dominam a tecnologia, com a construção de rodas de quatro raios, bastante leves. O ramo da Geometria espacial exerce importância fundamental sobre a Arquitetura e o Urbanismo (presumo que Le Corbusier, um dos grandes arquitetos e urbanistas, que influenciou Oscar Niemeyer, tenha ensinado essa matéria em alguma escola perdida no mapa), por ser um instrumento auxiliar, através do qual se pode determinar a funcionalidade (ou não, é só ver os grandes prédios espelhados do Centro, verdadeiras fornalhas) da construção em questão. Este é o prédio do Clube da Aeronáutica, localizado no centro da cidade. Como podemos observar esta construção arquitetônica possui a forma de um cilindro reto, já estudado por nós durante nosso curso. É interessante notar que este tipo de construção difere bastante das construções mais tradicionais (prismas) por não apresentar quinas (arestas). Esta ausência de quinas (arestas) viabiliza a circulação do ar, já que este não encontra barreiras que o “quebre” diretamente. Tal circulação de ar torna-se fundamental em um ambiente urbano “verticalizado”, como o Centro do Rio de Janeiro, as correntes de ar ajudam a dissipar a poluição e o consequente calor que esta ajuda a provocar.

capítulo 5

• 95

©© WIKIMEDIA.ORG

Este é o prédio do Centro Cultural dos Correios, no Centro, localizado mais especificamente na Rua Visconde de Itaboraí. Este prédio fora construído inicialmente para abrigar uma escola, e possui um estilo eclético com uma fachada composta por linhas sóbrias. O que é notável nesta construção é a composição entre hemisfério e cilindro, formando uma bonita cúpula. É muito interessante notar que este conjunto, hemisfério e cilindro, pode ser visto como uma esfera semi-embutida em um cilindro.

5.2 Noções intuitivas de geração de superfícies cilíndricas. Superfícies regradas desenvolvíveis cilíndricas são geradas por uma reta, que será chamada de geratriz, e que se mantém paralela a uma reta dada r (direção) e percorre os pontos de uma linha dada d, chamada de diretriz.

96 •

capítulo 5

r g // r

Se a diretriz é uma circunferência cujo o plano concorre com r, a superfície cilíndrica gerada é uma superfície cilíndrica circular. E, ainda, se o plano da circunferência é perpendicular a r, temos uma superfície cilíndrica circular reta. r

Plano

B Faixa de plano

Superfície prismática

Superfície cilíndrica circular

• Superfície cilíndrica em revolução é uma superfície gerada pela rotação de uma reta r em torno de uma outra reta s, fixa, sendo r paralela a s.

Geratriz Superfície cilíndrica

capítulo 5

• 97

Chama-se cilindro circular ilimitado ou cilindro circular indefinido à reunião das retas paralelas a s e que passam pelos pontos do círculo ou região circular de raio r e centro O, não paralela nem contida no plano do círculo. s

5.3 Definição de um cilindro Consideremos um círculo de centro O e raio r num plano, e um segmento de reta, cuja reta suporte intercepta em Q. Temos segmentos de reta paralelos e congruentes a, cada um deles com uma das extremidades num ponto do círculo e a outra extremidade num mesmo semiespaço dos determinados por ele. A reunião de todos esses segmentos é um sólido chamado cilindro.

98 •

capítulo 5

5.4 Elementos do cilindro Considere o cilindro abaixo: Base O’ Geratriz (g) Altura (h) Eixo O Base Raio da base (r)

• Eixo do cilindro: segmento de reta OO’, que passa no centro das bases. • Base: regiões circulares. • Geratrizes: segmentos com extremos na circunferência das bases e paralelos ao eixo. • Secção meridiana: intersecção do plano que contém o eixo com o cilindro. • Altura: distância entre os planos das bases

5.5 Superfícies • Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa região é denominada área lateral e denotada por Al • Superfície total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície é denominada área total do cilindro e denotada por At . r

r h

h 2π r r

capítulo 5

• 99

5.6 Classificação

h g=h

Cilindro circular oblíquo As geratrizes são oblíquas aos planos das bases

O’

Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases

O’ h

Cilindro de revolução Cilindro gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.

100 •

capítulo 5

5.7 Secção meridiana de um cilindro.

B h

Secção meridina

A secção meridiana é a intersecção do cilindro com o plano que contém a reta BC determinada pelos centros das bases. • A secção meridiana de um cilindro oblíquo é um paralelogramo

Secção meridiana

• A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo

h = 2r

O cilindro é classificado equilátero se sua secção meridiana é um quadrado.

h = 2r

Cilindro equilátero Secção meridiana

• 101

capítulo 5

5.8 Áreas 5.8.1 Área lateral Raio da base r

a Altura

Perímetro do círculo da base do cilindro. 2π r

Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões: 2πr e h. Assim, a área lateral do cilindro será equivalente à área do retângulo: AL = 2πr · h

5.9 Área total r Raio da base r

a Altura

Perímetro do círculo da base do cilindro.

2π r

Como a área total de um cilindro é a soma da área lateral com a área das bases então: AL = 2πr · h + 2πr2 = 2πr(h + r)

102 •

capítulo 5

5.10 Volume Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo ao plano α, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: 1

α α // β e A1 = A2 ⇒ V1 = V2

Se o sólido 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh. Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura: Vcilindro = área da base · altura = área do circúlo da base · altura = πr2 · h Vcilindro = πr2 · h

EXERCÍCIO RESOLVIDO O diâmetro da base de um cilindro reto é 12 cm e a altura é 5 cm. Calcule sua área total. r

Superfície lateral

2π r

capítulo 5

• 103

Solução: Se o diâmetro vale 12 cm, então o raio mede 6 cm. A área total será a soma da área lateral com as áreas das bases. i.

Área lateral: 2πr · h = 2 · π · 6 · 5 = 60π.

ii. Área de uma base: πr2 = π · (6)2 = 36π. (há 2 bases) Logo a área total será: At = π(60 + 2 x 36) = 132π cm2. Se for adotado π = 3,14 teremos: At = 414,48 cm2. Um cilindro equilátero tem 54π cm3 de volume. Calcule a sua área lateral. Solução: O volume de um cilindro equilátero será V = πr2 · h = πr2(2r) = 2πr3. Substituindo nos dados do problema, vem: V = 2πr3 = 54π. Cancelando π e dividindo ambos os lados por 2, temos: r3 = 27. Logo r = 3. Calcula-se a área lateral utilizando os valores: h = 2r = 6. Al = (2πr) · h = (2) · (3,14) · (3) · (6) = 113,04 cm2.

ATIVIDADES 01. Calcule a área lateral de um cilindro de raio da base igual a 10 m e cuja altura é o raio da base. 02. Determine a área lateral e o volume de um cilindro equilátero cuja secção meridiana tem 400 m2 de área. 03. Encontre a área total de um cilindro equilátero, cuja secção meridiana tem área 4. 04. Um cubo inscrito num cilindro circular reto tem volume igual a 16 m3. Determine em m2 a área total deste cilindro. 05. Determine o volume do cilindro equilátero, cujo comprimento do círculo da base é 2π. 06. Um cubo de lado 8 cm é inscrito num cilindro de mesma altura. Calcule a área lateral desse cilindro. 07. Um cubo de lado 2 cm é inscrito em um cilindro. Encontre a área lateral do cilindro.

104 •

capítulo 5

08. Um cilindro de revolução está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo. Se representarmos por V1 o volume do cilindro e por V2 o volume do paralelepípedo, podemos escrever que: a)

π V2 = 4 V1

b) 4V2 = πV1 c)

π V1 = V2

d) V1 = πV2 e) V2 = 2 πV1 09. (ITA-SP) Num cilindro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números x, h, r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6 . Encontre o valor da área total desse cilindro. 10. (FATEC-SP) Um cilindro reto tem volume igual a 64 de 3 e área lateral de 400 cm2. Encontre o valor do raio da base. 11. (MACK-SP) A área total de um cilindro vale 48 m2 e a soma das medidas do raio da base e da altura são iguais a 8 m. Então, em m3, Calcule o volume do sólido. 12. (MACK-SP) Um cilindro de revolução tem 16 m2 de área total. Sabendo que o raio é a Terça parte da altura, calcule sua área lateral . 13. (UFRN) Se um cilindro equilátero mede 12 m de altura, então determine o seu volume em m3. 14. Um cilindro circular reto tem raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Encontre o valor da área de sua superfície lateral. 15. (UFPA) O reservatório "tubinho de tinta" de uma caneta esferográfica tem 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento. Se você gasta 5 mm3 de tinta por dia, calcule o tempo que a tinta de sua esferográfica durará.

capítulo 5

• 105

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm.

1cm 2cm

Solução: Observando a figura formada na base do cilindro, vemos um círculo inscrito no quadrado de lado 2 cm. O raio do círculo vale a metade do lado, isto é, r = 1cm. A altura do cilindro coincide com a aresta vertical do cubo. Logo temos os cálculos: I. Área da base: π(1)2 = π cm2 II. Volume: (π) · (2) = 2π cm3 = 2 · (3,14) cm3 = 6,28 cm3.

ATIVIDADES 16. (UERJ) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: a) 10 2 b) 10 3 2 c) 10 12 d) 10 3 12 17. A embalagem de certo produto era uma lata cilíndrica de 4 cm de altura e 12 cm de diâmetro de base. O fabricante substituiu essa embalagem por outra lata cilíndrica do mesmo material e com o mesmo volume da antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 6 cm, calcule sua altura.

106 •

capítulo 5

18. A superfície de uma esfera pode ser calculada através da fórmula 4 · π · R2, onde R é o raio da esfera. Sabe-se que

1 3 da superfície do Planeta Terra são cobertos por água e da 3 4

superfície restante é coberto por desertos. Considere o Planeta Terra esférico, com seu raio de 6.400 km e use π igual a 3. A área dos desertos, em milhões de quilômetros quadrados, é igual a: a) 122,88

c) 61,44

b) 81,92

d) 40,96

e) 20,86

19. (PUC) Seja E uma esfera de raio 1 metro. Considere dois cubos, um contido em E, de maior volume possível e outro que contém E, de menor volume possível. Ache a razão entre os volumes dos dois cubos. 20. (UFPE) Uma piscina circular tem 5 m de diâmetro. Um produto químico deve ser misturado a água, na razão de 25 g por 500 litros de água. Se a piscina tem 1,6 m de profundidade esta totalmente cheia, quanto do produto deve ser misturado a água? (Use π = 3.1) a) 1,45 kg

c) 1,65 kg

b) 1,55 kg

d) 1,75 kg

e) 1,85 kg

21. (EFOMM) Um cone foi formado a partir de uma chapa de aço, no formato de um setor de 12cm de raio e ângulo central de 120º. Então, a altura do cone é: a) 2 2

c) 6 2

b) 4 2

d) 8 2

e) 12 2

22. (UNEB) A razão entre o volume de um cubo e o volume de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo e igual a: a)

4 ≠

2 ≠

1 2≠

1 4≠

1 ≠

23. (Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%. O número que expressa a capacidade desse tonel, em litros é: a) 200

c) 400

b) 300

d) 500.

e) 800.

capítulo 5

• 107

24. (Ufrs) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, e água. a) ultrapassa o meio do cano.

d) enche o cano até a borda.

b) transborda.

e) atinge exatamente o meio do cano.

c) não chega ao meio do cano. 25. (Uel) Dois recipientes cilíndricos têm altura de 40 cm e raios da base medindo 10 cm e 1 5 cm. O maior deles contém água até de sua capacidade. 5

Essa água é despejada no recipiente menor, alcançando a altura h, de: a) 32 cm

d) 12 cm

b) 24 cm

e) 10 cm

c) 16 cm 26. (Ufrn) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm. Após

gelo

derreter

completamente,

a altura do nível da água no copo será de aproximadamente: a) 8,5 cm. b) 8,0 cm. c) 7,5 cm. d) 9,0 cm.

108 •

capítulo 5

27. (Uerj) Em um supermercado, podemos encontrar manteiga em dois tipos de embalagens de forma cilíndrica: • a menor tem raio da base medindo 4 cm, altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75; • a maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual a 8 cm e custa R$ 4,00. Supondo que a densidade da manteiga seja constante, determine: a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na embalagem maior; b) a embalagem que apresenta o menor preço por unidade de medida. 28. (Uerj) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura. Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a: a) 10,6 b) 12,4 c) 14,5 d) 25,0

29. Se a área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100 cm2, qual é o volume, em cm3, deste sólido? 30. Qual a capacidade, em mililitros, de uma lata em forma de cilindro reto, com 10 cm de diâmetro da base e 20 cm de altura? 5 do raio da base. Determine a área da base desse cilindro, 3 2 sendo 64π cm sua área lateral. 31. A altura de um cilindro é

32. Determine a área total de um cilindro, sabendo que a área lateral é igual a 80 cm2 e a sua seção meridiana é um quadrado.

capítulo 5

• 109

33. Um cilindro circular reto tem raio igual a 3 cm e altura 3 cm. Determine o volume. 34. Qual a altura do cilindro, sendo r = 150 m e 900π m2 sua área lateral? 35. Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio r. 36. (Ufg) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas? 37. (Ufrj) Uma pizzaria vende pizzas grandes e pequenas no tradicional formato circular. As grandes têm 40 cm de diâmetro e custam R$ 18,00; as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$ 6,00. Todas têm a mesma espessura. a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo, cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma pizza grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas. Qual dessas opções permite que elas comam mais? b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas. Determine de quantas outras formas eles poderiam, nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em pizzas.

EXERCÍCIO RESOLVIDO (UF-AL) Na figura abaixo aparecem duas vistas de um tanque para peixes, construídas em uma praça pública. Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com altura de 1,2 m e raio da base com medidas 3 m e 4 m. Se, no momento, a água no interior do tanque está alcan3 22 çando de sua altura, quantos litros de água há no momento? (Use π = ). 4 7 4 3

110 •

capítulo 5

1,2

Solução: O volume pedido está entre os cilindros e a área da base é a da coroa circular. Aplicando a fórmula do volume considerando a altura da água informada, temos:

(

)

3  22   22   , ) = 0, 9 m V =   • 42 − 32 • ( 0, 9 ) =   • ( 7) • ( 0, 9 ) ⇒ h = (12 4 ⇒  7   7   V = π (r 2 − r 2 ) •(h) 3 3 , m dm ⇒ 19 8 = 19800 = 19800 (l) 1 2 

capítulo 5

• 111

112 •

capítulo 5

6 Cones

6. Cones OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo; • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário; • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apoia a Geometria; • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Compreender e aplicar os conceitos envolvendo áreas e volumes de sólidos com características dos corpos redondos, de forma mais específica: Cone.

6.1 Introdução Os objetos a seguir podem ser encontrados no nosso dia a dia. Todos têm a forma geométrica chamada cone.

114 •

capítulo 6

6.2 Noções intuitivas de superfícies cônicas Superfícies cônicas são superfícies geradas por uma reta g que passa por um ponto V e percorre os pontos de uma linha dada d (diretriz) com V fora de d. g d Uma folha V

Outra folha

6.3 Cone circular ilimitado Consideremos um círculo de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado à reunião das semiretas de origem em V e que passam pelos pontos do círculo. V

capítulo 6

• 115

6.4 Definição de um cone Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região. Denomina-se cone reto, ou de revolução, o sólido obtido quando giramos, em torno de uma reta, uma região triangular. r

Eixo

6.5 Elementos do cone Podemos identificar, no cone, vários elementos: • Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta. • Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

Altura

Vértice

Geratriz

Base Eixo

• Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

116 •

capítulo 6

• Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. • Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base. • Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. • Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. • Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo.

6.6 Classificação Os cones, dependendo da posição do eixo em relação à base, são classificados em: • Cone Reto: No cone reto, o eixo é perpendicular à base, ou seja, a altura e o centro da base do cone formam um ângulo de 90°, donde todas as geratrizes são congruentes entre si e, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se a relação: g² = h² + r². O cone reto é também chamado de “cone de revolução” obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos.

V g

Cone reto

• Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é perpendicular à base da figura. Observe que o chamado “cone elíptico” possui base elíptica e pode ser reto ou oblíquo. Para compreender melhor a classificação dos cones, observe a figura ao lado:

Cone oblíquo

capítulo 6

• 117

6.7 Secção meridiana de um cone

Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo. v

g g Secção meridiana

o 2R

Observação: Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero. Se um cone é equilátero, então sua secção meridiana é uma triângulo equilátero.

g = 2r

118 •

capítulo 6

6.8 Secção transversal de um cone Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice. Secção transversal α Círculo

6.9 Planificações da superfície de um cone reto g

g g

α1

2πr1

h1 r1

α2

α3

2πr2

2πr3

g h2

h3 r2

• 119

capítulo 6

6.10 Relações entre os elementos de um cone reto

g v

α g

r α = 360º g

h2 + r2 = g2 r

2πr

Planificação da superfície lateral do cone

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. Solução: O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2πr. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙ π ∙ 5 π C = 10π ⇒ C ≈ 31,4. Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm. Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim: 132 = h2 + 52 Portanto, a altura do cone é 12 cm.

6.11 Áreas 6.11.1 Área lateral e área total A superfície lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2πr. Podemos afirmar que a superfície lateral de um cone de revolução desenvolvida num plano é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e comprimento do arco 2πr.

120 •

capítulo 6

2πr

Com isso, para que possamos calcular a área da superfície lateral, devemos calcular a área do setor circular. Dessa forma, temos que utilizar uma regra de três simples: Comprimento do arco Área do setor 2πg πg² 2πr Alateral 2πg πg 2 = → A lateral = πrg 2πr A lateral Sendo assim, para encontrarmos a área total, basta somarmos as duas áreas. A b = πr 2 A l = πrg A T = A b + A l = πr 2 + πrg = πr ( g + r ) A T = πr ( g + r )

6.12 Volume Teorema: o volume de um cone e um terço do produto de sua altura pela área de sua base.

h A1 A

capítulo 6

• 121

• Dado um cone de altura H, consideremos uma pirâmide qualquer também de altura H e com área da base igual a área da base do cone. Considere ambos sobre um mesmo plano. • Se um plano paralelo ao que contém as bases intersectar os sólidos a uma altura h dos vértices, obtemos as figuras de áreas A1 e A2. • As regiões A e A2 são circunferências de raio R e r respectivamente. H R • Traçando a perpendicular VB do cone, temos VBC ∼ VDE , isto é, = h r 2

• Em relação as áreas, temos:

A πR 2  R   H  = =  =  A 2 πr 2  r   h 

A H • Com relação a pirâmide, já tínhamos visto que =  A1  h  • Portanto, A1 = A2. • Pelo Princípio de Cavalieri, o volume do 1 • Cone é igual ao volume da pirâmide, isto é, A · h 3

h a

Assim, o volume do cone será : V =

1 2 πr · h. 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo π =3, se a área total do cubo é 54, então calcule o volume do cone. Solução: A base é um quadrado e o raio do círculo inscrito vale a metade da aresta do cubo. A altura do cone é equivalente a aresta do cubo. Utilizando as fórmulas correspondentes, temos: A T −cubo = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3  A T −cubo = 54

( )

2 h = a = 3 3 π • r 2h ( 3) • 2 ( 3) 27  = =  a 3 ⇒ Vcone = 3 3 4 r = 2 = 2

122 •

capítulo 6

6.13 Tronco de cone circular reto de bases paralelas V

Consideremos um cone circular reto de vértice V e altura h, a uma distância d do vértice, traçando um plano paralelo às bases, obtemos uma secção transversal do cone. Consideremos, agora, o sólido constituído pela reunião dos seguintes conjuntos.

d h

• Base do cone; • Secção transversal; • Pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal. r

Esse sólido é denominado tronco de cone de bases paralelas, em que destacamos: • As bases do tronco são a base do cone e a secção; • A distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é expressa por k. 6.13.1 Área lateral e área total

R–r

capítulo 6

• 123

• r é o raio da base menor; • R é o raio da base maior; • h é a altura do tronco de cone; • g é a geratriz do tronco de cone; • o trapézio isósceles de bases 2r e 2R e altura h é a secção meridiana do tronco de cone; • o triângulo retângulo hachurado tem catetos h e R – r e hipotenusa g e, portanto: g2 = h2 + (R – r)2; • a área da base menor é: Ab = πr2; • a área da base maior é: AB = πR2; • a área lateral é: A = πg (R + r); • a área total é: At = AB + Ab + Al; • o volume é: V =

(

)

h AB + Ab + AB Ab ; 3

• lembrando que Ab = πr2 e AB = πR2 pode-se também escrever: V=

π h 2 2 R + r + Rr 3

(

)

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular a área total do tronco de cone de bases paralelas cuja geratriz mede 5 cm. Os raios das bases desse tronco medem 5 cm e 2 cm. Solução: 2

2 5

h 5

h 2

5 h=4 3

At = AL + AB + Ab = πg(R + r) + R2 + πr2 = π · 5(5 + 2) + π · 52 + π · 22 = 35 π + 29 π = 64π cm2

124 •

capítulo 6

ATIVIDADES 01. O volume de um cone circular reto é de π dm3 e a altura é de 9 dm. Encontre a medida do raio da base. 02. Um cone equilátero tem área lateral igual a 18π dm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume. 03. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, qual o valor da área total ? 04. (UEMA) Determine o volume de um cone equilátero, que tem como área da base S = 12π m2. 05. Dois cones retos tem a mesma base, e a altura de um é o triplo da altura do outro. Então, encontre a relação entre os volumes do menor e maior. 06. (FEMPAR - PR) Se a base de um cone de revolução de raio igual a 2 cm for equivalente a secção meridiana, calcule a sua altura, em cm. 07. (CEFET - PR) A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de sua base. Se a geratriz mede 15 cm, determine o seu volume, em cm2. 08. (PUC - PR) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3π cm, gira em torno de um de seus catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado? 09. (UFPR) A geratriz de um cone mede 13 cm e o diâmetro de sua base 10 cm. Encontre o volume do cone em cm3. 10. (UFOP-MG) Se o raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua secção meridiana mede 16 cm, então determine seu volume, em cm3. 11. (MACK-SP) A planificação da superfície lateral de um cone é um semicírculo de raio 10π. Calcule o volume do cone. 12. (ITA-SP) Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e 15π dm2 de área lateral, encontre o valor de seu volume em dm3 .

capítulo 6

• 125

13. (PUC-RS) Num cone de revolução, a área da base é 36π m2 e a área total 96π m2. Calcule a altura do cone, em m. 14. (UFOP-MG) Um cone circular reto tem por base uma circunferência de comprimento 2 igual a 6π cm e sua altura é do diâmetro da base. Posto isto, determine sua área lateral. 3 15. (UFPA) Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da base a 6π cm e de geratriz 5 cm ? 16. A geratriz de um cone de revolução mede 6 cm e o ângulo da geratriz com a altura do cone é de 30º. O volume desse cone, em cm3, é: a) 9 π

b) 3 π 3

c) 9 π 3

d) 27 π 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO (UFRN) Um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho ao lado, no qual o tronco do cone foi obtido de um cone de altura igual a 18cm. Qual o volume desse recipiente, em cm3? Solução: Utilizando a fórmula do volume do tronco de cone, temos: Vtronco =

hπ 2 (12) π 2 [R + Rr + r 2 ] = [6 + (6) •(2) + 22 ] = 4π [36 + 12 + 4] = 4π [52] = 208π cm3 3 3

ATIVIDADES 17. (Mackenzie) No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = O volume desse sólido é: 5( π) a) 2 b)

4 ( π) 3

c) 4 π d) 5 π

e) 3 π

126 •

capítulo 6

10 .

18. (Ufscar) A figura representa um galheteiro para a colocação de azeite e vinagre em compartimentos diferentes, sendo um cone no interior de um cilindro. Considerando h como a altura máxima de líquido que o galheteiro comporta e a razão entre a capacidade total de azeite e vinagre igual a 5, o valor de h é: a) 7 cm b) 8 cm c) 10 cm

Vinagre

d) 12 cm

e) 15 cm

Azeite

5cm

10cm

19. (Unesp) Um recipiente, na forma de um cilindro circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um cone circular reto, contém uma substância química que forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2). Raio R Raio r

32 cm

27 cm Água

Figura 1

Figura 2 (substância química)

Mistura

Figura 3

3 ) r, determine o volume da água no cilindro e o volume da substância 2 química no cone, em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação = 3).

a) Sabendo que R = (

b) A substância química do cone é despejada no cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3). Determine a concentração (porcentagem) da substância química na mistura e a altura h atingida pela mistura no cilindro. 20. (Fuvest) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é: a) 144°

c) 240°

b) 192°

d) 288°

e) 336°

capítulo 6

• 127

21. (Fuvest) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser: 3 a) 8 cm 3 b) 6 cm c) 4 cm

d) 4 3 cm

e) 4 3 4 cm

22. (Faap) Um copo de chope é um cone (oco), cuja altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe desde que o copo está cheio até o nível da bebida fica exatamente na metade da altura do copo, a fração do volume total que deixou de ser consumida é: a)

3 4

2 3

1 2

3 8

1 8

23. (Cesgranrio) Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade do tanque é de 1.200 l, então a quantidade de água nele existente é de: a) 600 l.

c) 300 l.

b) 450 l.

d) 200 l.

e) 150 l.

24. (Ufrj) Dois cones circulares retos têm bases tangentes e situadas no mesmo plano, como mostra a figura. Sabe-se que ambos têm o mesmo volume e que a reta que suporta uma das geratrizes de um passa pelo vértice do outro. Sendo r o menor dentre os raios das bases, s r o maior e x = , determine x. s

128 •

capítulo 6

25. (Ufrj) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml. Determine o volume de líquido quando o nível h está em . 2

26. (Uel) Um cone circular tem volume V. Interceptando-o na metade de sua altura por um plano paralelo à base, obtém-se um novo cone, cujo volume, é: V V V a) c) e) 16 4 2 b)

V 3

V 8

27. (Fuvest-GV) Um cálice com a forma de cone contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma esférica com diâmetro de 2 cm

4 cm

é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone, determinar o valor de V.

28. (Ufrrj) Considerando um lustre de forma-

0,25 m

to cônico com altura e raio da base igual a

H (distância)

0,25 m, a distância do chão (H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25π, é de: a) 12 m.

c) 8 m.

b) 10 m.

d) 6 m.

e) 5 m.

capítulo 6

• 129

130 •

capítulo 6

7 Corpos redondos: esferas

7. Corpos redondos: esferas OBJETIVOS • Estudar as propriedades das figuras geométricas Euclidianas espaciais com rigor matemático, aperfeiçoando a visão tridimensional de objetos geométricos e preparando o futuro professor à prática docente de tal conteúdo; • Identificar a conexão da Geometria com as outras vertentes da Matemática e de outras áreas de conhecimento, bem como suas aplicações no cotidiano, sabendo utilizá-la, quando se fizer necessário; • Dar continuidade ao estudo de Geometria Euclidiana Plana sob o ponto de vista axiomático, apresentando as principais definições, teoremas e suas demonstrações com rigor matemático, consolidando o raciocínio lógico-dedutivo no qual se apoia a Geometria; • Compreender a importância da Geometria e aplicar sua teoria na resolução de problemas. • Compreender e aplicar os conceitos envolvendo áreas e volumes de sólidos com características dos corpos redondos, de forma mais específica: Esfera; • Calcular o volume de uma esfera e a área de uma superfície; • Reconhecer um fuso esférico e calcular sua área; • Reconhecer uma cunha esférica e calcular o seu volume.

7.1 Introdução Há vários corpos esféricos que convivem no nosso cotidiano e que nos favorece o entendimento de determinadas propriedades

Litografia "Autorretrato no Espelho Esférico" (1950): mostra "O Mundo Mágico de Escher" exibe os trabalhos mais conhecidos do mestre ilusionista no Brasil.

132 •

capítulo 7

7.2 Definição de uma esfera A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum" é tida também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor ou igual a r. A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um segmento em torno de um eixo que contém o diâmetro.

7.3 Elementos do esfera Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: Pólo Paralelo

Meridiano

Equador Pólo

• Pólos são as interseções da superfície com o eixo; • Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície; • Paralelo é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo; • Meridiano é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

capítulo 7

• 133

7.4 Superfícies Chama-se superfície de uma esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual a r. Podemos afirmar que a superfície da esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo. A

7.5 Secção Toda seção plana de uma esfera é um círculo.

r d A

O R

Sendo R o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e r o raio da seção, vale a relação: R2 = d2 + r2

7.6 Pólos e a distância polar. Distância polar é a distância de um ponto qualquer de um paralelo ao polo.

134 •

capítulo 7

Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas distâncias polares P1A e P2A. P1

Pólo Norte

Esfera celeste

Solsticio de verão

Sol Ponto vernal γ

Eclíptica

Equador celeste

Terra

εo

Ω Ponto libra

Pólo Sul

Solsticio de verão Meridiano do astro

7.7 Área e volume da esfera Teorema A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 4πr.2 Experimentalmente, pode-se constatar que uma esfera tem o exato “peso” de quatro círculos cujo raio é o mesmo que gerou a esfera, sendo do

r2 r

mesmo material. Consideremos um cilindro de raio da base r (a altura é 2r) e tendo como S o ponto médio do eixo do cilindro.

h = 2r

Cilindro equilátero

Cilindro equilátero e os dois cones

Reunião dos dois cones

Sólido X, cilindro menos os dois cones

capítulo 7

• 135

Tomemos dois cones, tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum (a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra). Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima. 2r

Q u

h – 2r

t Área: π(r2 – d2)

Área: π(r2 – d2) s

d r

Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semiespaço dos determinados por α. Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera (e do vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos, portanto: • Área da secção na esfera = πs² = π(r² – d²) círculo • Área da secção no sólido X = πr² – πd² = π(r² – d²) coroa circular As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais. Então, pelo Princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais. Vesfera = Vsólido X Mas: 2≠r 3 4≠r 3 r Vsólido X = Vcilindro – 2Vcone = πr² · 2r – 2 · (π r² . ) = πr² · 2r – = 3 3 3

136 •

capítulo 7

Conclusão: 4≠R 3 O volume de uma esfera de raio r : V = 3

7.8 Área da superfície esférica Observe a decomposição da esfera em n pirâmides, cada uma com vértice no centro da esfera e tendo como altura o raio da esfera. Repare que a superfície da esfera fica dividida em áreas das bases das pirâmides A1, A2, ...,An cuja soma será a área da esfera. Da mesma forma a soma dos volumes das pirâmides será aproximadamente o volume da esfera.

h–r Ai

Vesfera = V1 + V2 + V3 + ... + Vn A h A h A h Vesfera = 1 + 2 + ... + n → (h = r ) 3 3 3 A r A r A r Vesfera = 1 + 2 + ... + n 3 3 3 3 r ( A1 + A 2 + ... + A n ) 4πr = 3 3

(

)

3 4πr 3 4πr 3 r A esfera = ⇒ A esfera = = 4πR 2 3 3 3r

7.9 Fuso esférico É superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência que gira α graus em torno do eixo que contém o diâmetro (0° < α ≤ 360°). Se o ângulo α = 360° o fuso transforma-se na superfície da esfera. De modo geral a área do fuso pode ser calculada por uma regra de três.

capítulo 7

• 137

e r ⇒ α em graus

360º → 4.π.r3 αº

→ Afuso

2π → 4.π.r 2 α em radianos  → A fuso α Área do fuso esférico rad → 2 R 2 α graus →

π R3 α 90

7.10 Cunha esférica É o sólido gerado pela rotação de um semicírculo que gira α graus em torno de um eixo que contém seu diâmetro (0° < α ≤ 360°). No caso de α = 360° o volume da cunha será o volume da esfera. Analogamente uma regra de três resolvem a maioria dos problemas. e r o α

O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples:

138 •

capítulo 7

4 4   0 3 3 2π → π r 360 → π r α em graus  ou α em radianos  3 3 α α → Vcunha → Vcunha α 3  graus → 270 R α V= rad → 2 R 3 α  3 OBS: Área da cunha: Acunha = Afuso + Acírculo máximo

REFLEXÃO

O pedaço limitado por esses cortes lembra uma cunha esférica, e a casca contida nesse pedaço dá a ideia de fuso esférico. da esfera. Analogame

7.11 Calota esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Define-se como a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

Calota esférica R

• passa pelo centro da circunferência que contém o arco; • passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; • é coplanar com o arco. capítulo 7

• 139

Área da calota esférica:

α r

Acalota = 2 · π · R · hcalota Área da zona esférica :

R h

Azona = 2 · π · R · hzona

140 •

capítulo 7

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o volume da cunha esférica de 600, contido numa superfície esférica de raio 4 cm. Solução: Calcular o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º. A v

π R3 α 128π 270 Volcunha = cm3 3 9 π 4 60 = 270

Volcunha = P

60º

α s

Volcunha

7.12 Inscrição e circunscrição do cubo na esfera

2r = a → r =

a 2

    a 3  2R = a 3 → R = 2    

capítulo 7

• 141

Inscrição da esfera no cilindro r

a 2r = a → r = h 2r = h → r = 2 2 R=r

ATIVIDADES 01. A razão entre o volume e a área de uma mesma esfera é igual a 3. Pode-se dizer, então, que esta esfera: a) tem o volume duas vezes maior que a área b) tem o volume igual a 2916 c) tem área de 324 d) tem o circulo máximo com área de 8π e) tem raio de 3 02. Considere os dois sólidos: I. Uma esfera de diâmetro 10 dm II. Um cilindro de diâmetro 10 dm e altura 8 dm. A respeito deles, é correto afirmar que: a) possuem a mesma capacidade volumétrica em litros b) o volume da esfera é maior que o volume do cilindro c) a área da superfície esférica é igual a área lateral do cilindro d) o volume da esfera é menor que o volume do cilindro e) possuem a mesma superfície externa 03. ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16 cm. Determine o número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa.

142 •

capítulo 7

04. (UEL-PR) Uma esfera tem centro O Uma plano π, contendo O intercepta a esfera. A intersecção é um circulo de área 16 cm2. Calcule o volume da esfera, em centímetros cúbicos. 05. (FUVEST-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. Encontre o valor do raio dessa circunferência em cm. 06. (UFMG) A região delimitada por uma esfera é interceptada por uma plano a 3 cm do centro dessa esfera. Se a área dessa intersecção é de 9 π cm2, Calcule o volume da região delimitada pela esfera. 07. (CEFET-PR) Se aumentarmos em 3 cm o raio de uma esfera, seu volume aumentará 252 cm3. Determine o raio da esfera original. 08. Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes. Se o raio da esfera e o raio da base do cilindro tem medida 1, Qual o valor da área lateral desse cilindro ? 09. Um cilindro equilátero de altura 2π m está inscrito numa esfera. Qual o volume dessa esfera? 10. (UEPG-PR) Duas bolas de chumbo, com diâmetro de 3 cm e 6 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto de 3,24 cm de altura. Determine o raio desse cilindro. 11. Parte de uma esfera limitada por uma calota esférica e por sua base é: a) cunha esférica b) anel esférico c) setor esférico d) segmento esférico de duas esferas e) segmento esférico de uma base X 12. CEFET-PR ) Um cone e um cilindro equilátero circunscrevem a mesma esfera. Se a área total do cilindro medir 150π cm2 , encontre o volume do cone.

capítulo 7

• 143

EXERCÍCIO RESOLVIDO Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém-se uma secção de área 72 π m2, determine o volume dessa esfera. Solução: Aplicando as fórmulas de área e relação de Pitágoras no triângulo formado pelos raios da secção e da esfera, temos; 2 A sec ª o = πr ⇒ πr 2 = 72π ⇒ r 2 = 72 ⇒ r = 72 = 6 2m  A = 72π

(

R2 = ( 3) + 6 2 2

)

= 9 + 72 = 81⇒ R = 81 = 9m

4πR 4π( 9) 4π(729) = = = 4π(243) = 972πcm3 3 3 3

ATIVIDADES 13. Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da base mede 3 3. 14. Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12 cm e ângulo central de 60º. 15. Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144 m2. 16. Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3 m do seu centro, obtém-se uma secção de área ,determine o volume dessa esfera. 17. Considerando uma esfera cuja superfície tenha área 676 m2. A que distância do seu centro deve-se traçar um plano de corte para que a secção assim determinada tenha área de 25 m2? 18. (Ufrj) Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na figura a seguir.

144 •

capítulo 7

y r x

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos. Justifique. 19. (Ufrs) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água do copo recubra exatamente a esfera. Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era: a)

27 cm 8

19 cm 6

18 cm 5

10 cm 3

7 cm 2

20. (Puc-SP) A tira seguinte mostra o Cebolinha tentando levantar um haltere, que é um aparelho feito de ferro, composto de duas esferas acopladas a um bastão cilíndrico.

capítulo 7

• 145

Suponha que cada esfera tenha 10,5 cm de diâmetro e que o bastão tenha 50 cm de comprimento e diâmetro da base medindo 1,4 cm. Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, quantos 22 quilogramas, aproximadamente, o Cebolinha tentava levantar? (Use: π = ) 7 a) 18 c) 15 e) 10 b) 16

d) 12

1 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera 8 B mede 10, então o raio da esfera A mede: 21. (Ufrs) O volume de uma esfera A é a) 5.

c) 2,5.

b) 4.

d) 2.

e) 1,25.

22. (Puc-PR) Tem-se um recipiente cilíndrico, de raio 3 cm, com água. Se mergulharmos inteiramente uma bolinha esférica nesse recipiente, o nível da água sobe cerca de 1,2 cm. Sabe-se, então, que o raio da bolinha vale aproximadamente: a) 1 cm

c) 2 cm

b) 1, 5 cm

d) 2,5 cm

e) 3 cm

23. (Ufpe) Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não houve perda de ouro durante o derretimento. a) 3

c) 18

b) 9

d) 21

e) 27

24. (Ufrs) No desenho abaixo, em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cubo. A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e o volume do cubo é:

146 •

capítulo 7

≠ 6

≠ 3

≠ 5

≠ 2

≠ 4

25. (Ufrrj) Na famosa cidade de Sucupira, foi feito um monumento de concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 5 m, em homenagem ao anti-herói "Zeca Diabo". O cidadão "Nézinho do Jegue" foi informado de que, apesar de o preço do metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um superfaturamento: a) menor que 50 mil reais.

d) entre 300 e 400 mil reais.

b) entre 50 e 200 mil reais.

e) acima de 400 mil reais.

c) entre 200 e 300 mil reais. 26. Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes (mesmo volume). Se o raio da esfera e o raio de base do cilindro tem medida 1, calcule a área lateral desse cilindro. 1 de 4 seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, 2 mL, do perfume, qual será o maior 27. Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de 4 cm, contém perfume em período de tempo de duração do perfume . 28. (ITA) Um cone circular reto tem altura 12 cm e raio da base 5 cm. Quanto mede o raio da esfera inscrita nesse cone, em centímetros? 29. (MACK) Qual a razão entre a área lateral do cilindro equilátero e a superfície esférica nele inscrita? 30. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é 16 cm. Determine o número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se podem obter com toda a massa.

capítulo 7

• 147

GIOVANI, José Ruy, Matemática fundamental: uma nova abordagem: ensino médio: volume único / José Ruy Giovani, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovani Jr. 712p. São Paulo: FTD, 2002.

GABARITO Capítulo 1 01. 03 02. Sejam A, B, C, D os pontos A, B, C, D colineares ⇒ Não determinam um plano Se A, B, C, D são coplanares ⇒ Determinam um único plano ABC, ABD, ACD, BCD são quatro planos (3 pontos não colineares sempre determinam um plano) ⇒ 4 planos 03. 04 04. F - F - V - V - F 05. a) Coincidentes b) Paralelos c) Perpendiculares d) Ponto G pertencente ao plano 06. F - V - F - V - V - F - V - F - F - F - F - F 07. F - F - V - F - V 08. E 09. C 10. E 11. F - F - F - F - V 12. C 13. E 14. a)

AD _|_ AB

C≠B Tese: BC _|_ DC Demonstração: Seja α o plano determinado por AB e pelo ponto C. Seja β o plano determinado por AD e pelo ponto C.

148 •

capítulo 7

θ= 30°

15. Mesas com três pernas não balançam, pois três pontos não colineares determinam um único plano (Postulado da Determinação de Plano). 16. Círculo de Raio = 2, com centro na origem do plano. 17. a) Se as retas r e s são paralelas distintas existe um único plano passando por r e s; portanto AºB é um conjunto unitário. Se as retas são paralelas coincidentes, então A º B = A = B. b) Se r e s são retas reversas não existe um plano passando por r e s. Logo A ºB = { } 18. Consideremos z a reta que é a itersecção dos planos alfa e beta. Seja P ∈ α, P ∉ z. Então α é o plano determinado por P e z. Por P é possível traçar, no plano α, uma reta r paralela à reta z. Já que z ⊂ β, temos que r é paralela ao plano β. Suponha que, por absurdo, exista r' ≠ r, passando por P, r' paralela a β. Como r e r'são concorrentes e estão contidas em α, então o plano α é determinado por elas. Como a reta r é paralela a β e r' é paralela a β, temos α paralelo a β, o que contraria a hipótese. Está provado que r é única. 19. E 20. B 21. D 22. C

BD 23. Notemos que: no triângulo ABD, HE é paralelo a BD e HE= ; no triângulo CBD, GF 2 BD é paralelo a BD e GF = . Portanto os segmentos HE e GF são paralelos e iguais, logo o 2 quadrilátero EFGH é um paralelogramo. 24. D 25. C

Capítulo 2 11. a) 19, 37, 20 – sim b) 16, 27, 13 – sim 12. octaedro 13. 10 14. 1.440º

capítulo 7

• 149

15. 2.520º 16. 10 17. 8 18. 12 19. 10 20. 48 21. 6 22. 1 23. 4 24. 8 triangulares e 4 quadrangulares 25. a) 720 b) 2.160 c) 1.440 d) 6.480 e) 3.600 26. 7 faces triangulares e 5 heptagonais 27. 6 faces triangulares e 3 quadrangulares 28. 9,27 e 19 29. 60 átomos e 90 arestas 30. 141 31. B 32. B 33. E 34. 10 e 17 35. 20 36. B 37. A 38. 8 39. 9 40. D 41. B 42. D 43. E 44. E 45. C

150 •

capítulo 7

46. B 47. E 48. F – V – V – V – V 49. C

Capítulo 3 01. d = 2 17 cm 02. a = 2 3 mm 03. a = 5m 04. 2.400 cm2 05. 108 m 06. 20 dm2 X 07. 8.000 08. 210.000 09. 168 cm2 X 10. 288 m2 X 11. 4 m X 12. 3.808 13. 2.160 L 14. 3, 5, 7 15. 0,072 16. 5 3 17. 2 m 18. 343 19. 62,5 g 20. 992 21. a) a = 8 dm b) V = 512 litros. 22. V = 54 3 23. C 24. B 25. C 26. 160 3 27. A

capítulo 7

• 151

28. 375 3 29. D 30. E 31. E 32. E 33. C 34. D 35. C 36. B 37. B 38. B 39. D 40. C 41. 22 cubos x 8 = 176 cm3 42. 15 cubos x 8 = 120 cm3 43. B 44. B 45. A 46. B 47. A 48. C 49. 0,072 m3 50. 46,35 cm3

Capítulo 4 01. 400 2 02. 2 2 03. 16 3 3 04. 2 9 05. 384 m3 06. 4 07.

08. 64 2 09. 16 3

152 •

capítulo 7

10. 3 3 11. 2 6 12. 21 3 cm3 13. 24 3 cm3 14. 7,5 cm 15. 2 5 cm 16. 4 2 m 17.

a‡ 3 2

18. 120 cm3 19.

32 2 cm 3

20. 120 cm 21. 2a 3 22.

3 cm

23. 4/3 cm 24. L3/6 25. a) b)

4 cm 3 2 cm

26. 24 cm3 e 4,8 cm  3 ( 8 − h)3  + 36h − 96  m3 27.   16  a 2 28. 2 29.

L3 3 16

30. B 31. A 32. B 33. A 34. 2

capítulo 7

• 153

35. E

Capítulo 5 01. 200π m2 02. 400π e 2 000π 03. 6π 04. 8π (1 +

05. 2 π 06. 6 π 2 07. 4 π 2 08. A 09. 30π3 10. 32 dm 11. 45 π 12. 12 π 13. 432π 14. 12π 15. 80 dias 16. D 17. 16 cm 18. D

3 9 20. B 19.

21. D 22. A 23. C 24. A 25. A 26. A 27. a) 500 g b) O custo de 200 g na embalagem maior é de R$ 1,60. Na embalagem menor, o custo dos mesmos 200 g é de R$ 1,75. Logo, a embalagem maior apresenta o menor preço por unidade de medida. 28. C

154 •

capítulo 7

29. 785 cm3. 30. 1.570 ml. 31. 60,288 cm2. 32. 120 cm2. 33. 84,78 cm3. 34. 3m. 35. 2r. 4 36. cm ≠ 37. a) Observando que o volume de uma pizza grande é 400π h cm3 e o volume de três pequenas é 300π h cm3, onde h representa a espessura da pizza, pode-se concluir que a sugestão de Raquel é a que proporciona maior ingestão de pizza. b) Três outras formas diferentes: I. 1 · 18 + 7 · 6 = R$ 60,00, isto é, uma grande e sete pequenas; II. 2 · 18 + 4 · 6 = R$ 60,00, isto é, duas grandes e quatro pequenas; III. 3 · 18 + 1 · 6 = R$ 60,00, isto é, três grandes e uma pequena.

Capítulo 6 01. 3 dm 02. 9 π 3 03. 36 π 04. 24 π 1 05. 3 06. 2 π 07. 90 π 5 08. 9 π 09. 100 π 10. 12 π 11. 375 π 12. 12 π 13. 8 14. 15 π 15. 12 π 16. C 17. E

capítulo 7

• 155

18. C 19. a) volume da água no cilindro: 108r2 cm¤; volume da substância química na mistura: 27r2 cm¤. b) C = 20% (concentração) ; h = 20 cm 20. D 21. E 22. E 23. E 24. x =

( −1 + 5 )

2 25. V = 50 ml 26. D 27.

4 ( π) 3

cm¤

28. E

Capítulo 7 01. D 02. D 03. 150 256≠ 04. 3 05. 5 06. 72π 2 07. 3 8≠ 08. 3 09.

32≠ 3

5 2 2 11. E 10.

12. 375π 13. 288π cm3 14. 384π cm2 e 240π cm2 15. 288π cm3 16. 972π cm3 17. 12 m

156 •

capítulo 7

18. O volume é 2  π • y2 • x y Vcilindro = π   • x = 4 2   3  3  y   4π • y3 π • y3 V π •   = = =  − semi esferas  24 6  4  2   

lido

2 π • y2 • x π • y 3 π • y ( 3x − 2y ) − = 4 6 12

19. D 20. E 21. A 22. C 23. E 24. A 25. D 8≠ 26. 3 27. 32 dias 10 28. cm 3 29. 1 30. 150

capítulo 7

• 157

ANOTAÇÕES

158 •

capítulo 7

ANOTAÇÕES

capítulo 7

• 159

ANOTAÇÕES

160 •

capítulo 7