Moto in letti fissi

ovviamente, è legato al livello di impacchettamento del letto. Quantitativamente, il parametro cui si fa comunemente riferimento è il cosiddetto grado di vuoto:

MOTO IN LETTI FISSI Si consideri un condotto, per esempio un tubo a sezione circolare, che venga riempito con particelle solide. In generale le particelle non riempiranno completamente tutto il volume a disposizione. Anche in condizioni di massimo impacchettamento (ad esempio, per particelle sferiche tutte uguali il massimo volume occupato dal solido sarebbe il 74% del totale) esistono sempre degli interstizi vuoti tra particella e particella. Se quindi forziamo un fluido ad attraversare questo sistema, esso riuscirà a fluire muovendosi intorno alle particelle proprio attraverso i vuoti lasciati dalle stesse. Ad un sistema di questo tipo si dà il nome di letto fisso.

I letti fissi hanno applicazioni in numerosi campi dell’ingegneria chimica. Si pensi, ad esempio, ai reattori chimici catalitici, in cui il catalizzatore viene deposto sulla superficie delle particelle, oppure ai sistemi di filtrazione, nei quali il riempimento (cioè la fase particellare) è in grado di trattenere, mediante interazioni chimiche e/o fisiche, sostanze disciolte o disperse nel fluido, permettendone così la depurazione.

Il più delle volte il letto è costituito da particelle di forma irregolare, caratterizzate inoltre da una distribuzione di dimensioni. Vi sono inoltre altri sistemi il cui comportamento è sostanzialmente riconducibile a quello dei letti fissi. In generale, tutti i cosiddetti mezzi porosi, cioè sistemi nei quali il flusso avviene attraverso canali (appunto pori) presenti al loro interno, obbediscono alle stesse leggi generali di flusso. Esempi in questo campo sono i filtri (di carta, ceramici, ecc) i setacci, insomma tutti quei mezzi nei quali il fluido deve farsi strada attraverso degli ostacoli di forma più o meno regolare.

LETTO FISSO DI PARTICELLE SFERICHE Si consideri un condotto, per esempio un tubo a sezione circolare, che venga riempito con particelle sferiche tutte uguali di diametro Dp. E’ ovvio che tale letto fisso è quasi sempre solo una idealizzazione di quanto accade nella realtà, ma le conclusioni che verranno tratte possono essere facilmente estese a mezzi letti o mezzi porosi di struttura più complessa. Lo schema del letto è riportato nella Fig.1 come un tubo di lunghezza L e diametro D. Il tubo è alimentato da un fluido di densità ρ è viscosità µ con portata volumetrica Q. Ciò significa che, in assenza di particelle, la velocità media del fluido sarebbe data dal rapporto tra portata e sezione:

v∞ =

Q 4Q = A π D2

(1)

La velocità v∞, definita dalla (1), viene detta velocità superficiale.

Un altro parametro rilevante del letto fisso è il rapporto tra il volume a disposizione del fluido e quello a disposizione delle particelle. Questo,

ε=

Vvuoto Vtot − V p = Vtot Vtot

(2)

Nella (2) Vvuoto è il volume a disposizione del fluido, Vp quello occupato dalle particelle. La loro somma, Vtot, è ovviamente il volume totale del tubo.

Figura 1 Tipicamente, il problema del moto in letti fissi richiede la determinazione del legame tra la portata di fluido e la perdita di carico, o differenza di pressione tra monte e valle del letto. Siccome valgono, ovviamente, molte delle considerazioni già fatte per il moto in tubi, la forza spingente effettiva per il flusso è data dalla differenza di pressione ridotta tra imbocco ed uscita del letto, cioè:

Δ℘ = ( p1 + ρ gh1 ) − ( p2 + ρ gh2 )

(3)

Dove h è, al solito, la quota della sezione rispetto ad un piano orizzontale di riferimento e i pedici 1 e 2 si riferiscono alle due sezioni di ingresso ed uscita.

L’analisi dimensionale permette di individuare i seguenti parametri indipendenti: 1. La caduta di pressione ridotta per unità di lunghezza,

Δ℘ ; L

2. La viscosità del fluido, µ; 3. La densità, ρ 4. Il diametro del condotto D 5. Il diametro della particella, Dp; 6. La velocità superficiale, v∞; 7. Il grado di vuoto, ε.

Con 7 parametri e 3 dimensioni (lunghezza, massa e tempo) indipendenti, il teorema di Buckingham informa che il problema può essere ridotto a quattro gruppi adimensionali indipendenti. Alcune considerazioni fisiche, tuttavia, possono permettere di ridurre tale numero.

La prima considerazione riguarda le condizioni di flusso che si instaurano nel letto fisso. Tale flusso può considerarsi un “ibrido” tra il moto in condotti e quello intorno ad oggetto sommerso. In realtà, in tutte le applicazioni pratiche le

dimensioni delle particelle e il loro grado di vuoto sono tali che la superficie complessiva bagnata dal fluido sia in massima parte costituita da quella delle particelle, e solo in minima parte dalla superficie laterale del tubo. Ciò significa che il contributo alle perdite di carico proveniente dall’attrito viscoso tra fluido e pareti del condotto può considerarsi marginale rispetto a quello determinato dall’attrito tra fluido e particelle. Ciò consente di eliminare le dimensioni del tubo, e quindi il suo diametro D, dall’elenco dei parametri indipendenti.

Ci si riduce in questo modo a tre gruppi adimensionali indipendenti che, in analogia con il moto in tubi, possono essere scelti come: − Il grado di vuoto, ε − Un numero di Reynolds riferito alla velocità superficiale e al diametro della particella:

valutato facilmente osservando che, nel suo moto all’interno del letto, il fluido ha a disposizione una sezione ridotta rispetto a quella complessiva. Se A è la superficie complessiva della sezione, è facile verificare che la sezione realmente a disposizione del fluido vale Aeff=εA. La velocità caratteristica del fluido nel letto vale quindi:

Re =

Deq = 4

−

ρ v∞ D p μ

(4)

Un fattore di attrito relativo anch’esso alla velocità superficiale e al diametro della particella:

f =

Δ℘D p L ρ v∞2

(5)

Quindi, con questa definizione dei gruppi adimensionali, il problema del moto in letti fissi può essere descritto da una relazione del tipo:

f = f ( Re, ε )

(6)

La (6), tuttavia non rappresenta la soluzione più soddisfacente del problema. In primo luogo, essa rappresenta una relazione fra tre parametri indipendenti: ciò significa che, anche fissato il numero di Reynolds, il fattore di attrito non è univocamente determinato, ma continua a dipendere dal valore del grado di vuoto.

In secondo luogo, nella (6) i parametri adimensionali sono costruiti a partire da grandezze che non rappresentano in maniera del tutto significativa il problema.

Infatti, in particolare, la velocità superficiale non rappresenta la effettiva velocità caratteristica del flusso, che risulta più elevata in quanto il fluido è costretto a muoversi in una sezione più piccola a causa della presenza delle particelle del letto. Inoltre, anche il diametro della particella non rappresenta effettivamente la dimensione significativa del problema, in quanto il flusso avviene negli interstizi tra particella e particella, quindi in canali tortuosi le cui dimensioni medie dipendono anche dal grado di vuoto del sistema.

In considerazione di quanto detto si possono modificare le (4)-(6) cercando di introdurre i valori caratteristici dei parametri che effettivamente descrivono il problema.

L’ordine di grandezza della velocità affettiva del fluido nel letto fisso può essere

v=

Q Q v∞ = = Aeff ε A ε

(7)

Per quanto riguarda la dimensione caratteristica del flusso, si consideri come già detto che il fluido si muove negli interstizi tra le particelle. Volendo approssimare tale flusso a quello attraverso un canale, ovviamente a sezione non circolare, è possibile definire un diametro equivalente medio come:

V fluido

(8)

Abagnata

Nella (8) Vfluido è il volume effettivamente a disposizione del fluido, mentre Abagnata è la superficie bagnata dal fluido, che è proprio pari alla superficie complessiva di tutte le particelle. Entrambi questi termini possono essere espressi in funzione delle caratteristiche delle particelle e del grado di vuoto.

Infatti, il volume di fluido può essere scritto come:

V fluido = V p

Vf Vp

= Vp

Vt − V p Vp

= Vp

ε 1− ε

= Np

π D p3 ε 6 1− ε

(9)

Dove Np è il numero totale di particelle nel letto. La superficie bagnata, invece, può essere scritta come:

Abagnata = N pπ D p2

(10)

Inserendo le (9) e (10) nella (8) si ottiene infine:

Deq = 4

V fluido Abagnata

=4

Np

π D 3p ε

6 1− ε = 2 ε D p N pπ D p2 3 1− ε

(11)

Avendo definito la velocità caratteristica con la (7) e il diametro caratteristico del canale di flusso con la (11), è possibile riaggiornare i gruppi adimensionali (4) e (5) nel seguente modo (i fattori numerici sono omessi):

Re p =

ρ v∞ D p μ (1 − ε )

(12)

e

fp =

Δ℘D pε 3

L ρ v∞2 (1 − ε )

(13)

Si noti che nelle (12) e (13) è presente adesso esplicitamente il grado di vuoto del letto. Ciò fa pensare che la correlazione tra i gruppi adimensionali Rep e fp sia di fatto univoca, e non più dipendente parametricamente dal terzo parametro adimensionale ε. Questa affermazione è confermata dalla Figura 2, nella quale il fattore di attrito (13) è riportato in funzione del Numero di Reynolds (12) per un elevato numero di esperimenti condotti a diversi valori del grado di vuoto. Si può notare come tutti i dati sperimentali cadano su una stessa curva indipendentemente dal valore del grado di vuoto, a conferma che i due parametri adimensionali espressi dalle (12)-(13) sono sufficienti a rappresentare correttamente il flusso nel letto fisso.

spingente che, nel caso del moto in mezzi porosi, è costituita dalla perdita di carico per unità di lunghezza. Inoltre, in tali condizioni, la velocità risulta essere anche inversamente proporzionale alla viscosità del fluido. Detto in altri termini, in condizioni di flusso puramente viscoso (numeri di Reynolds sufficientemente bassi), vale la seguente relazione di proporzionalità:

v∝

1 Δ℘ μ L

(15)

La (15) non è ovviamente una relazione strettamente quantitativa, ma esprime un comportamento fisico di validità generale. I coefficienti numerici che trasformano tale relazione in una vera e propria equazione quantitativa dipenderanno ovviamente volta per volta dalle effettive condizioni di flusso. Ad esempio, nel caso del letto fisso di particelle sferiche esaminato in precedenza, il comportamento limite in regime viscoso è dato da:

fp =

150 Re p

(16)

Sostituendo nella (16) le espressioni (12) e (13) per il numero di Reynolds e il fattore di attrito si ottiene:

v∞ = Figura 2 La linea continua che interpola ottimamente i dati sperimentali (appena visibile al di sotto dei dati stessi) è una relazione empirica della forma:

fp =

150 + 1.75 Re p

(14)

La (14) è la cosiddetta Equazione di Ergun, e rappresenta appunto una buona correlazione per il moto in letti fissi di particelle sferiche FLUSSO IN MEZZI POROSI. LEGGE DI DARCY Come oramai ci si può attendere per tutte le condizioni di flusso dominate dalle forze viscose, anche per il moto in letti fissi il comportamento a bassi numeri di Reynolds è ben descritto da una legge di proporzionalità inversa tra il fattore di attrito e il numero di Reynolds. Tale comportamento può in generale essere esteso al flusso in mezzi porosi diversi dal caso specifico sopra considerato (letto di particelle sferiche tutte uguali). In realtà, come è facile verificare, qualunque, relazione di proporzionalità inversa tra un fattore di attrito ed un numero di Reynolds determina una dipendenza lineare tra la velocità del fluido e la forza

D p2ε 3 150 (1 − ε )

2

1 Δ℘ μ L

(17)

La (17), per il caso di letti fissi di particelle sferiche, mette in relazione nella forma generale della (15) la velocità superficiale alla perdita di carico per unità di lunghezza e alla viscosità del fluido.

Quando si abbia a che fare con geometrie diverse e/o non regolari delle particelle, o con mezzi porosi analoghi ai letti fissi (come filtri o membrane), la proporzionalità indicata dalla (15) continua a valere. Tutta l’”ignoranza” sui dettagli delle condizioni di flusso viene allora inglobata nel coefficiente di proporzionalità, che andrà di volta in volta valutato. Tutto ciò si traduce nella usatissima legge di Darcy:

v∞ = κ

1 Δ℘ μ L

(18)

Dove il coefficiente κ prende il nome di permeabilità del letto fisso o del mezzo poroso.

L’analisi dimensionale della (18) indica che la permeabilità ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato. Per ragioni storiche la permeabilità viene spesso tabellata in unità di misura “ibride”, utilizzando cioè i cm/s per la velocità superficiale, i centipoise (cP, 1cP=10-2 Poise) per la viscosità e i bar/cm per la perdita di carico per unità di lunghezza. Quando espressa in questi termini, l’unità di misura della permeabilità prende il nome di Darcy. In altri termini, la

permeabilità di 1 Darcy è quella di un letto di lunghezza 1 cm nel quale un fluido di viscosità 1 cP (per esempio l’acqua), sotto l’azione di una differenza di pressione di 1 bar, sviluppa una velocità superficiale di 1 cm/s. Per passare dal Darcy alle unità di misura del sistema cgs o del sistema S.I. sono utili le seguenti equivalenze:

1 Darcy = 10−8 cm 2 = 10−12 m 2

(19) Come già detto detto la permeabilità è un parametro che dipende dalle caratteristiche del mezzo. Nel caso del letto fisso di particelle sferiche, ad esempio, la (17) indica che la permeabilità vale:

κ=

D p2ε 3 150 (1 − ε )

2

(20)

Valori di permeabilità per altre tipologie di letti fissi sono reperibili in letteratura o sui manuali. Inoltre, nel caso di filtri, membrane o altri mezzi porosi, la permeabilità è uno dei dati tecnici più rilevanti. Esso viene generalmente fornito direttamente dal produttore ed è reperibile nella documentazione tecnica di accompagnamento del prodotto.