- 139 -
4x 2 − 9 2 x + 3 , 11. Dada la función f ( x ) = − 2 a. Determine
3 2 3 si x = − 2 si x ≠ −
lim f ( x )
x→− 3
2
3 lim f ( x ) ≠ f − − 3 x→ 2 2 3 c. ¿es continua la función en x = − ? 2 b. demuestre
2 x − a 12. Sea f ( x ) = ax + 2b b − 5x
si x < −3 si − 3 ≤ x ≤ 3 si x > 3
Determine los valores de a y b tales que la función sea continua en todo R.
- 139 -
- 140 -
LIMITES:
1. Aplique operatoria algebraica convencional y verifique los resultados;
x 2 + 4 x − 21 13. lim = 10 x →3 x−3
1 1. lim 2 = 1 x →1 x 2.
lim (4 x 2 − 5 x ) = 6
14.
lim(x 2 − 4 x + 10) = 7
15.
x →1
4.
5.
5 n 2 + 3n − 5 = 2 n + 3n − 6 6
16.
lim
x 2 + 4 x − 21 = 10 x−3
17.
lim
x2 + 6x + 5 = -7 x2 − 2x − 3
18.
lim
x2 + 6x + 5 = -1 x2 − 2x − 3
lim
x2 − 9 =4 x−3
x →3
6.
x →2
7.
x → −1
8.
x →1
lim
x2 − a2 = 1, x ≠ 0 x 2 + 2ax + a 2
lim
x2 − a2 = 0, x 2 + 2ax + a 2
lim
25 x 3 + 2 = -1 75 x 7 − 2
lim
x2 − 4 =4 x−2
lim
x2 + 2 3 = x+2 2
lim
x2 − 1 =0 x −1
a →0
lim n →0
x2 − a2 x 2 + 2ax + a 2
x →0
x→2
3.
lim
x →a
x →0
x →2
19.
x →2
20.
x → −1
x−3 9. lim 2 = 0 x →3 x −2
x3 + 8 21. lim = 12 x → −2 x + 2
y2 + 5y + 6 10. lim y →2 y+2
x 3 − 64 22. lim = 48 x →4 x−4
=5
y2 − 5y + 6 = -1 11. lim y →2 y−2 12.
lim
x → −3
= -1,
x 2 + 3 x − 10 23. lim =1 x →2 3 x 2 − 5 x − 2
x2 + 4x + 3 = -2 x+3
24.
lim
h → −2
- 140 -
h 3 + 4 h 2 + 4h =0 h2 − h − 6
a≠0
a≠0
- 141 -
25.
lim
3 x3 − a3 =- a 2 2 a −x 2
lim
x 3 − 3 x 2 − 3 x − 4 21 = 4 x2 − 4x
lim
2x 4 − 6x 3 + x 2 + 3 = -8 x −1
x →a
26.
x →4
27.
x →1
2 ( 1 + h) − 1 28. lim =3
29.
h →1
h
lim
3x − 3 =0 2x
x →1
1 1 − 1 30. lim x 2 = x →2 x − 2 4 31.
lim x →2
x 4 − 16 8 = x3 − 8 3
x 2 − 9 x − 3 15 32. lim − 2 = x →1 4 x − 3 x − 9 33.
lim
x3 + x2 − x −1 4 = 3 x2 + x − 2
lim
x3 − x2 + x −1 2 = 3 x2 + x − 2
x →1
34.
x →1
x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 =4 x →3 x−3
35.
lim
36.
lim
37.
x 2 − 2x − 3 4 =− 3 x → −1 3 x +1
x 3 − x 2 − 5x − 3 = 16 x →3 x−3 lim
- 141 -
- 142 -
2. Aplicar criterios de mayor potencia y racionalización según convenga verifique los resultados:
1.
2 x 4 − 3x 2 + 1 1 lim = x →∞ 6 x 4 − x 3 − 3x 3
2.
1 x 2 − 2x + 3 lim = x →∞ 2 x 2 + 5x − 3 2
3.
lim
2x 5 − 4x 2 =0 3 x 7 + x 3 − 10
lim
3 3n 2 − 5n = 2 5n + 2n − 6 5
lim
x 2 − 5x + 1 1 = 3 3x 2 + 7
lim
x 3 + 6 x 2 + 10 x + 2 1 = 2 2 x3 + x2 + 5
x →∞
4.
n →∞
5.
x→∞
6.
x →∞
7.
t +1 1 lim 2 , para t = , h → 0 = 0 t →∞ t + 1 h
8.
n (n + 2) n3 lim − 2 =1 n →∞ n + 1 n +1
9.
lim x − 2
10.
lim
n→4
x →0
11.
12.
lim
x 2+ x − 2−x x −1
lim
4+h −2 1 = 4 h
lim
=
2
=2
x −1
x →1
14.
1 4
x →1
h →0
13.
x−4
=
x3 − 1 3 = x2 − 1 2
lim 4 x − 4 = 0
27.
x →1
lim
x →∞
- 142 -
x7 − x2 + 1 1 = 7 3 2 x + x + 300 2
- 143 -
15.
(
)
lim 2 x 3 − 11x 2 + 12 x = 2 x →∞
x 3 − 16 x =0 16. lim x →∞ 5 x 4 + x 3 − 5 x 17.
lim
x →∞
18.
lim
x →∞
19.
lim x →1
20.
x −1 1 = x −1 2
34.
lim
x3 + 1 =0 x4 + 2
35.
lim
6 x3 − x 2 + 5 =2 3 x 3 − 100 x + 1
36.
lim
n→∞
lim
x →∞
x4 +1
x →∞
(
lim
( 2x
lim
(x + 1)( x + 2) = 1 (x + 3)( x + 4)
lim
3x 2 + x = 3 x
lim
4x 2 + 2x + 1 2 = 3x 3
x →∞
x→∞
x→∞
lim
x 2 + 2x + 3 + x 2 − 2x + 3 = 2
2
38.
3x
4x 2 + x
lim
x →∞
)
− 2x2 − 6x =
4x 2 + 2x + 1
x→∞
n +1 − n = 0
2 x 2 − 3x − 4
)
lim
x →∞
37.
2
9 x − 3x
45.
46.
=
=
2 3
2 3
x6 − x8 − 3 =0 2x 4
lim
5 − 2x2 2 = − 2 3x + 5 x 5
x →∞
4
2n 2 + n 2 41. lim = n →∞ 5n 2 − 1 5
16 2n − 3 47. lim = x → ∞ 3n + 7 81
- 143 -
3 2 2
lim
x →∞
=2
= 18
x −9
x →81
x 4 + 1066 x 2 − 1492 1 = 2 x 4 − 2001 2
1+ x −1 3 25. lim = x →0 3 1 + x − 1 2
x − 81
lim
31.
1 2a
1 2
x2 + x − x =
x→∞
32.
5x3 + 2 x 24. lim 2 = ∞ x →∞ x + x + 7
40.
lim
lim
x →∞
39.
30.
33.
x →∞
23.
8x 3 − 2 x 2 + 1 4 = 3 6 x 3 + x 2 − 3x
29.
7 x 5 + 5x 4 7 lim =− x→∞ x 3 − 2 x 5 2
6x3 − x =0 2 x10 + 5 x + 8
x →∞
22.
3
x →a
lim
x →∞
21.
3x 2 + x = x
3x − a − x + a = x−a
lim
28.
- 144 -
42.
lim
n →∞
3n 2 + 4n + 5 3 = 7n 2 − 4 7
48.
x →a
4
43.
44.
4n − 2 lim = 16 n →∞ 2n + 3
49.
2n + 1 =2 n +1
50.
lim
n →∞
3x − a − x + a = x−a
lim
lim
n3 + n 1 = 3 2n + 1 2
lim
3
n →∞
n →∞
2n = n +1
3
1 2a
2
3. El costo en millones de dólares para el gobierno de aprehender un x% de cierta droga ilegal, a su entrada por las fronteras, viene dado por:
C=
528 x , 0 ≤ x < 100 100 − x
a. calcular el costo de aprehender el 25% b. Hallar el límite de C cuando x → 100 4. Una partícula cae del reposo bajo la acción de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad instantánea después de
1 1 segundos?. 2
5. Una pelota se arroja verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40cm/seg. La 2
distancia recorrida en cm después de t segundos está dada por s = 40t − 16t . Determine la velocidad instantánea; a. después de un segundo Rp.:8cm/seg b. después de dos segundos Rp.:-24cm/seg 6. En el ejercicio anterior, calcule la velocidad instantánea después de t segundos. a. ¿qué ocurre cuando
t=5 ? 4
b. ¿cuál es la velocidad instantánea cuando
- 144 -
t=5 ? 2
- 145 -
7. Aplique Teorema de L’ Hopital y verifique los resultados: 3
a.
lim
b.
lim
x −1 4 = x −1 3
x →1 4
3
x →1
c.
d.
x →27 3
1− x − 4 1 =x−5 2
lim
x 2 − 16 =8 x−4 x+h − x 1 = h 2 x
lim h →0
1 g.
x+h h
lim h →0
h.
lim x →7
j.
lim
1
−
−1
x =
2x x
2x + 1 − 3
lim
x−2 − 2
x →4
i.
= 27
x −3
lim
x →4
f.
x − 27
lim
x →5
e.
x 2 − 23 x + 1 1 = 9 ( x − 1)2
=
2 2 3
2 − x − 3 −1 = x 2 − 49 56 x −1
x →1 3
=
x −1
1 6
5 x =5 k. lim x →0 1 x+ x 1+
l.
x3 + 1 =0 x → −1 x 2 + 1 lim
- 145 -
- 146 -
“DERIVADAS”
EJERCICIOS
I- Determinar la primera derivada, usando las operaciones básicas de derivación;
y ' = 3 − 3 x − 21x 2
3.
y = 2 x 3 + 4 x 2 − 5x + 8 3 y = −5 + 3 x − x 2 − 7 x 3 2 4 y = (x − 2)
4.
y = (x 2 + 2 )
y ' = 6 x (x 2 + 2 )
5.
y = ( 4 − x2
1. 2.
6. 7.
y' = 6x 2 + 8x − 5
3
y ' = 4( x − 2 )
3
2
y ' = −20 x (4 − x 2 )
9
)10
(
y = (2 x 2 + 4 x − 5) 1 5 1 3 y= x + x 5 3
6
8.
y = 3x 2 − 4
9.
y = 1− x2
6 4 3 + 2 − 3 x x x 2 3 11. y = x ( x + 1) 10.
y=
12.
y = ( x + 1) ( x − 3)
3
2
y=
17.
y=
18.
y=
2
3
y ' = 3( x + 1) ( x − 3) + 2( x + 1) ( x − 3) 3
3
2
2
y ' = 2( x + 2 ) (2 − x ) − 3( x + 2 ) (2 − x ) 1 x +1 y' = − x − 1 ( x − 1 )2
x 2 + 2x − 3 x2 x2 +1 16. y = 2 x +2 15.
5
2
2
y = ( x + 2 ) (2 − x ) x +1 14. y = x −1 13.
)
y ' = 6 2 x 2 + 4 x − 5 (4 x + 4 ) 1 1 y’= x4 + x2 5 3 2 x 2 x 3x y' = 3x 2 − 4 x y' = − 1− x2 6 8 9 y' = − 2 − 3 + 4 x x x 2 2 y ' = 3 x ( x + 1) + 2 x 3 ( x + 1)
y' =
1
(2 x + 1)3 −1
2x + 2 x2 + 2x − 3 − 2 x2 x3 2x y' = 2 (x + 2)2 6 y' = − (2 x + 1)4 x y' = 3 x2 − 9
(
x2 − 9
)
II.- En los siguientes ejercicios aplicar las propiedades de las derivadas antes mencionadas;
- 146 -
- 147 -
3 − 2x 3 + 2x
y' = −
1.
y=
2.
y = 3 + 4x − x 2
3.
y = 1+ x 1 y' = 4 1+ x
(
4. 5.
)
x
y = sen 2 (3x + 2 ) 1 y = tg x ⋅ sen 2 x 2
y ' = 3 sen(6 x + 4) y ' = sen 2 x
2
6.
y = ln ( x + 3)
7.
y = ln(sen 3x )
8.
y = ln x + 1 + x 2
9.
12 (3 + 2 x ) 2 2−x y' = y
y' =
2 x+3
y ' = 3 cot g 3 x
(
)
1
y' =
1+ x
2
y = x2 ⋅ ex y ' = xe x ( x + 2)
10.
y = e − x ⋅ cos x y ' = −e − x (sen x + cos x )
11.
y = 23 x ⋅ sen x
12.
y = A cos(ωt + φ ) y ' = − Aω 2 sen (ωt + φ )
13.
y = 2 ln ( x − 2 )
14.
y = 2a x −ln
x
y ' = 2a x − ln
x
15.
y' =
2
( )
33 x
2
sen x +
1 cos x 6 x
1 5
2 5( x − 2 )
y' =
, a = cte. 1 ⋅ ln a ⋅ 1 − 2x
2
y' =
y = 2 + 2x
4 x 2+ 2 x 16.
y=
x2 x3 +1
y' = - 147 -
2x − x 4
(x
3
+ 1)
2
- 148 -
3
17.
y = (2 x − 7 )
18.
y = 3(9 x − 4 )
19.
y=
y ' = 6(2 x − 7 ) 4
3
y ' = 108(9 x − 4 )
1 x−2 1
y' = −
( x − 2 )2
2
1 20. y = x − 3
y' = −
3 21. y = 3 x −4 22.
2
y' = −
y = x 2 (x − 2)
2 (x − 3)3
9x2
(x
3
−4
)
2
4 3
y ' = 2 x ( x − 2 ) )3x − 2) 23.
y = 1− x
y' = −
24.
y = x 2 + 2x − 1
y' =
25.
y = 3 9x 2 + 4
y' =
26.
y = 2 4 − x2
27.
y = (9 − x 2 )
2
28.
y=
y = x 1− x2
30.
y=
x 2 + 2x − 1
6x
(9 x
y' = −
1 x+2
29.
( x + 1)
y' = −
3
y' = −
y' =
x
y' =
x2 +1
- 148 -
1 2 1− x
2
2
+ 4) 2x
4 − x2
4x 3(9 − x 2 )
1
1 2( x + 2 )
1 − 2x 2 1 − 2x 2
1
(
3
x2 +1
)
3
3
2
3
- 149 -
3x + 2 x −1
31.
y=
32.
1 y = x 2 − cos x 2
33.
y=
34.
y = 4 x + 3 cos x
y' = −
5
( x − 1)2
1 y ' = 2 x + sen x 2
1 − 3 sen x x
y' = −
1 − 3 cos x x2
2 − 3 sen x x
y' =
III.- Aplicar las fórmulas de derivación de funciones trigonométricas; 1.
y = 5 sen x
2.
y = 7 cos x
3.
y = 2 tg x
4.
y = −6c tg x
5.
y = 3 sec x
6.
y = 5 csc x
7.
y = x 2 ⋅ sen x
8.
y = x 3 ⋅ sec x
9.
y = x 3 sen x
10.
y = tg x − x
12.
y = tg 2
14.
y = sen 3 2 x
11.
y = − c tg x − x
x
13.
y = sen 2 3x
15.
y = sen 3 x
17.
y = cos 3 4 x
18.
y = x 2 ⋅ sen 5 3 x
19.
y = sen 5 (3x + 2 )
20.
y = sen (3 x + 2 )
21.
y = sen x − x cos x
22.
y = sen x ⋅ tg x
23.
y = 3 csc x + 2c tg x
24.
y = 2 x sen x + 2 cos x − x 2 cos x
25.
y = 2 x cos x − 2 sen x + x 2 sen x
26.
y = x 2 sen 5 2 x
16.
y = x − sen x ⋅ cos x csc x 29. y = x 1 − sen x 31. y = cos x
y = cos 3x ⋅ sen 4 x
5
y = sen 2 x 1 + sen x 30. y = cos x 1 + 3 sec x 32. y = tg x
27.
28.
- 149 -
- 150 -
Respuestas: 1. y ' = 5 cos x 2.
y ' = −7 sen x
3.
y ' = 2 sec 2 x
4.
7.
y ' = 6 cos ec 2 x y ' = 3 sec xtanx y ' = −5 cos ecx cot anx y ' = x(2 sen x + x cos x)
8.
y ' = x 2 sec x(3 + xtanx)
9.
y ' = x 2 (3 sen x + x cos x)
10.
y ' = tan 2 x
11.
y ' = cot an 2 x
5. 6.
16.
1 + tan 2 x y ' = tan x x y ' = 6 sen 3 x cos 3 x y ' = 6 sen 2 2 x cos 2 x y ' = 3 sen 2 x cos x y ' = −3 sen 3 x sen 4 x + 4 cos 3 x cos 4 x
17.
y ' = −12 cos 2 4 x sen 4 x
18.
y ' = 2 x sen 5 3 x + 15 x 2 sen 4 3 x cos 3 x
19.
y ' = 15 sen 4 (3 x + 2 ) cos(3 x + 2 )
12. 13. 14. 15.
(
5
)
y ' = 15 cos(3 x + 2 ) (3 x + 2 ) 21. y ' = x sen x 20.
4
22.
y ' = cos xtanx + sen x sec 2 x
23.
y ' = −3 cos ecx cot anx − 2 − 2 cot an 2 x
24.
y ' = x 2 sen x
25.
y ' = 4 cos x − 4 x sen x − x 2 cos x
26.
y ' = 2 x sen 5 2 x + 10 x 2 sen 4 2 x cos 2 x
y ' = 2 sen 2 x 28. y ' = 2 cos 2 x
27.
cot anx 1 cos ecx − 2 x x3 1 + sen x 30. y ' = 1 + sen x cos 2 x 1 − sen x 31. y ' = −1 + sen x cos 2 x 1 + 3 sec x 32. y ' = 3 sec x − 1 + tan 2 x tan 2 x 29.
y ' = − cos ecx
(
) - 150 -