GEOMETRร A Cuadrilรกteros
CUADRILÁTEROS
Es un polígono de cuatro lados.
Se clasifican según el número de pares de lados opuestos paralelos.
Cuadrados
Rectángulos Paralelogramos Dos pares de lados paralelos
Rombos
Paralelogramos propiamente dicho
CUADRILÁTEROS
Trapecios Al menos un par de lados paralelos
Trapecios isósceles Trapecios escalenos Trapecios Rectángulos
No paralelogramo Romboide Trapezoides Cero par de lados paralelos Trapezoides asimétricos
Caracterización de los Paralelógramos: Cuadrado Es aquel paralelógramo que tiene sus cuatro lados de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos.
D
C
ABCD es un cuadrado:
Si mAB mBC mCD mDA A
B
mA mB mC mD 90º
Rectángulo: es aquel paralelógramo que tiene sus lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores todos rectos. D
C
ABCD es un rectángulo Si mAB mDC
mAD mBC
mA mB mC mD 90º A
B
Rombo: es aquel paralelógramo cuyas medidas de sus lados son iguales y sus ángulos interiores opuestos son congruentes. D
ABCD es un romb o Si mAB mBC mCD mDA A
C
B
mA mC
mB mD
paralelogramo propiamente dicho: es aquel paralelógramo que tiene sus pares de lados opuestos de igual medida y sus ángulos interiores opuestos son congruentes.
D
C
ABCD es un paralelogramo Si m AB m DC m AD m BC mA mC mB mD A
B
Características de los Trapecios Trapecio escaleno Es aquel trapecio que tiene sus cuatro lados de distinta medida y sus ángulos Interiores también de distinta medida. D
ABCD es un trapecio escaleno
C
Si mAB mBC mCD mDA mA mC mB mD
A
B
DC // AB (condiciónde trapecio)
Trapecio isósceles Es aquel trapecio cuyos lados no paralelos tienen la misma medida y los ángulos basales son congruentes. D
ABCD es un trapecio isósceles
C
Si m AD m BC ; m A m B m C m D (ángulos básales)
A
DC
B
║
AB (condición de trapecio)
Trapecio rectángulo Es aquel trapecio en el cual uno de los lados no paralelos forma un ángulo recto con cada lado paralelo. D
ABCD es un trapecio rectángulo
C
m A m D 90º DC ║ AB (condición de trapecio) A
B
Características de los Trapezoides Los trapezoides son aquellos que carecen de los lados opuestos paralelos y se clasifican en: Trapezoides simétricos o Romboide Es aquel trapezoide que tiene dos lados consecutivos de igual medida y un par de ángulos interiores congruentes. D
ABCD es un trapezoidesimétrico Si mAB mDA mBC mDC A
C
mB mD (un par de ángulos interiores congruentes / m B y D )
B
Trapezoides asimétricos Son aquellos trapezoides que corresponden a cuadriláteros cualesquiera que no poseen algunas de las características anteriores. D
C
A
B
Suma de ángulos interiores de un cuadrilátero Los cuadriláteros como polígonos de cuatro lados asumen las propiedades de los polígonos, esto es, la suma de los ángulos interiores es 360º. Propiedades generales de los paralelogramos. Propiedad 1:
AB // CD D
A
AD // BC C
B
Propiedad 2: En todo paralelógramo al trazar una de sus diagonales se forman dos triángulos congruentes. D
C
AC : diagonal ABC CDA A
B
Propiedad 3: En los paralelógramos, los lados opuestos tienen siempre la misma medida.
D
C
mAB mDC A
B
mBC mAD
Propiedad 4: En todo paralelogramo los ángulos interiores opuestos son siempre congruentes D
C
mA mC mB mD
A
B
Propiedad 5: En un paralelogramo, consecutivos son suplementarios.
D
los
ángulos
C
mA mB 180º mB mC 180º mC mD 180º A
B
mD mA 180º
interiores
Propiedad 6: En un paralelógramo, al trazar ambas diagonales, éstas se intersectan siempre en un punto (se dimidian). D
C
m AM mMC mMB m DM ,
M
A
AC DB M
Donde M es punto medio.
B
Propiedad 7: Al trazar una diagonal en un paralelógramo, se forman ángulos alternos internos.
D
C
AC diagonal mCAB mDCA A
B
ángulos alternos internos
mDAC mACB
El conjunto de los paralelógramos considera al cuadrado, al rectángulo, al rombo y al paralelogramo; cada uno de estos cuadriláteros cumple las siete propiedades señaladas anteriormente y a su vez, cada uno de ellos, cumple además otras propiedades que le son propias.
Propiedades del Cuadrado Propiedad 1: El cuadrado es equiángulo, cada ángulo interior mide 90º (todos los ángulos interiores son congruentes) Propiedad 2: El cuadrado es equilátero, esto es sus cuatro lados tienen la misma medida.
Propiedad 3: Sus diagonales se intersectan en el punto medio formando ángulos rectos, es decir, en un cuadrado las diagonales se bisecan perpendicularmente. Propiedad 4: Al trazar las diagonales, se forman cuatro triángulos rectángulos congruentes. Propiedad 5: Cada una de las diagonales del cuadrado es bisectriz de los ángulos interiores opuestos, esto es al trazar ambas diagonales se forman 8 ángulos congruentes de 45º. Propiedad 6:La medida de la diagonal de un cuadrado es igual al lado del cuadrado por raíz de dos.
Propiedades del Rectángulo. Propiedad 1: El rectángulo es equiángulo, esto es, tiene sus ángulos interiores congruentes, cada uno de ellos es recto. Propiedad 2: Las diagonales de un rectángulo son siempre congruentes. Esto es, tienen siempre la misma medida. Propiedad 3: Cada una de las diagonales de un rectángulo forman, en la región interior, dos triángulos congruentes.
Propiedad 4: La diagonal de un rectángulo se establece a través de la aplicación del teorema de Pitágoras.
Propiedades del Rombo Propiedad 1: El rombo es un paralelรณgramo equilรกtero, es decir sus lados son congruentes.
Propiedad 2: Las diagonales en un rombo se dimidian perpendicularmente, esto es que se intersectan en el punto medio de cada una. Propiedad 3: Las diagonales de un rombo forman cuatro triรกngulos congruentes Propiedad 4: Las diagonales de un rombo son bisectrices de los รกngulos interiores.
Paralelogramo propiamente dicho
El paralelogramo propiamente dicho no tiene propiedades especiales, sino que s贸lo las comunes de todo paralel贸gramo.
CUADRADO
RECTÁNGULO
ROMBO
PARALELOGRAMO
Lados opuestos paralelos
X
X
X
X
Lados opuestos de igual medida () Ángulos opuestos de igual medida () Ángulos consecutivos suplementarios
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Diagonales forman congruentes ()
triángulos
X
X
X
X
Diagonales que se cortan al medio de cada una de ellas
X
X
X
X
Ángulos alternos congruentes
X
X
X
X
4 ángulos interiores rectos
X
X
4 lados congruentes
X
Diagonales congruentes
X
Diagonales perpendiculares
X
X
Diagonales son bisectrices
X
X
Forman 4 triángulos congruentes
X
X
PROPIEDADES
2
internos
X X
Trapecios: son aquellos cuadrilĂĄteros que tienen solo un par de lados paralelos D
C
M
ABCD es trapecio, AB // CD
N h
A
E
B
- En un trapecio los lados paralelos son llamados bases del trapecio. En la figura AB ďƒ™ CD son las bases del trapecio. -
La altura de un trapecio corresponde a la perpendicular bajada desde un punto de una base a la otra base. En la figura el trazo DE corresponde a la altura del trapecio.
- Mediana de un trapecio estĂĄ definida como el trazo que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio. En la figura M y N son los puntos medios de los lados no paralelos, el trazo MN corresponde a la mediana.
La medida de una mediana en el trapecio queda determinada por la semisuma de las bases. En la figura m MN : medida de la mediana.
mMN
mAB mDC 2
Los ángulos formados en una base son llamados ángulos D C básales. M
En la figura son ángulos básales: DAB ABC
N h
A
E
B
ADC DCB
Por otra parte es posible señalar que los ángulos interiores, que tienen un lado común no paralelo del trapecio son suplementarios, esto es: mDAB mADC 180º mDCB mABC 180º
Paralelogramo
CONVIVIMOS CON ELLOS…
M贸nica Marenzi