CONSULTADO EN: HTTP://WWW.DSPACE.ESPOL.EDU.EC/BITSTREAM/123456789/781 /3/1487.PDF REFERENCIA: MOISÉS VILLENA MUÑOZ. CÓNICAS
MAGUIMAGUITOS
(ARTÍCULO #2)
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LA CIRCUNFERENCIA
Cónicas
Moisés Villena Muñoz
3 3.1 3.2 3.3 3.4
Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola
Objetivos.
Se persigue que el estudiante: • Identifique, grafique y determine los elementos de una cónica conociendo su ecuación general. • Dado elementos de una cónica encuentre su ecuación. • Resuelva problemas de aplicación empleando teoría de cónicas
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Las cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuando un doble cono se interseca con planos.
No estamos interesados en los lugares geométricos de \ , 2 estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en \ . Se obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano. 3
Descubriremos que la ecuación de una cónica, tiene la forma: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + Exy + F = 0 Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos, y E = 0 .
3.1. Circunferencia 3.1.1. Definición. Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a O es igual a “ r ”. Es decir:
Circunferencia = { P ( x, y ) / d ( P, O) = r} Al punto “ O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia.
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3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia Supongamos que O tiene coordenadas ( h, k ) y
P (x, y )
r
O(h, k )
x
La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto
C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 , entonces, tenemos:
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2
Ecuación canónica de una circunferencia. Para r 2 > 0 .
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:
x2 + y2 = r 2 Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen: y
y = x2 − r 2
O (0,0 )
x
r
y = − x2 − r 2
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Despejando y , obtenemos las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior. Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O ( 4, 2 ) y radio 3 SOLUCIÓN: Reemplazando en ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 tenemos: ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 32 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 9
La ecuación canónica pedida.
Ahora,
en
la ecuación canónica del ejemplo anterior ( x − 4) + ( y − 2) = 3 , al elevar al cuadrado y reducir términos semejantes se obtiene: 2
2
2
x 2 − 4 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 = 9 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 16 + 11 = 0 Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá la forma:
x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0 O también:
Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0 Esta última ecuación es llamada CIRCUNFERENCIA.
ECUACIÓN GENERAL DE UNA
Por tanto si nuestra intensión fuese dibujar la circunferencia o descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios cuadrados perfectos.
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Ejemplo Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 Solución La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados
(x
2
) (
)
− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9
( x − 2) + ( y + 3) = 25 2
2
Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)
r =5 C (2,−3)
No toda ecuación de la forma representará una circunferencia.
Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2 = 0 , es 2 2 decir resulta ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h, k ) . ¿Por qué? Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué? Ejemplo Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 2 ) ,
( 3, 0 ) y ( 3 +
3,3
)
Solución: Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso empleamos la ecuación general x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0 . Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:
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Moisés Villena Muñoz ⎧2 2 ⎪1 + 2 + C´(1) + D (´2 ) + F´= 0 ⎪ 2 2 ⎨3 + 0 + C´( 3) + D´( 0 ) + F´= 0 ⎪ 2 ⎪ 3 + 3 + 32 + C´ 3 + 3 + D´( 3) + F´= 0 ⎩
(
)
(
)
Resolviendo simultáneamente el sistema: ⎧ ⎪C´+2 D + F´= −5 ⎪ ⎨3C´ + F´= −9 ⎪ 2 ⎪ 3 + 3 C´+3D´+ F´= − 3 + 3 − 9 ⎩ En la segunda ecuación se obtiene F ´= −9 − 3C´ Reemplazando en la primera: C´+2 D´+ F ´= −5 C´+2 D´−9 − 3C´= −5 −2C´+2 D´= 4
(
)
(
)
D´= 2 + C´ Reemplazando D´ y F ´ en la tercera ecuación:
(3 + 3 ) C´+3D´+ F´= − ( 3 + 3 ) − 9 (3 + 3 ) C´+3 ( 2 + C´) + ( −9 − 3C´) = − (3 + 3 ) 2
2
−9
3C´+ 3C´+6 + 3C´−9 − 3C´= −9 − 6 3 − 3 − 9
(
3C´+3C´= −18 − 6 3
)
(
3 + 3 C´= −6 3 + 3
)
C´= −6
Entonces: D´= 2 + C´ = 2−6
F ´= −9 − 3C´ = −9 − 3 ( −6 )
y
D´= −4
F ´= 9
Por tanto, la ecuación general de la circunferencia sería: x2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 = 0
Agrupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica: x2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 = 0
(x
2
− 6 x + 9 ) + ( y 2 − 4 y + 4 ) = −9 + 9 + 4
( x − 3)
2
+ ( y − 2) = 4 2
Ejercicios Propuestos 3.1 1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: a.
x2 + y 2 − 2x − 4 y + 1 = 0
b. 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y + 9 = 0
b. c. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 17 = 0 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 13 = 0 2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 . Resp. (x + 3)2 + ( y − 2 )2 = 25
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3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2 x − 3 y + 5 = 0 , y está centrada en el punto (−1,−2) Resp. 13x 2 + 13 y 2 + 26 x + 52 y − 16 = 0 4. La intersección de las rectas L1 : 2 x − y + 3 = 0 y L2 : 4 x + y − 2 = 0 es el centro de una circunferencia que es tangente a la recta L3 : x − y + 1 = 0 . Determine la ecuación de la
(
Resp. x +
circunferencia.
) + (y − 83 )2 = 121 72
1 2 6
5. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación x 2 + y 2 − 6 x − 14 y − 111 = 0 conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas
(172 , 72 ) .
Resp.
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6. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene los puntos ( 0,0 ) , (1, −1) y
( 9, −1) .
Resp. ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 41 2
2
7. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones y = x y
x + y = 1 y que contiene al punto ( 2, 2 ) .
Resp. ( x − 52 ) + ( y + 12 ) = 2
2
9 2
3.2. Parábola 3.2.1. Definición Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como el conjunto de puntos P ( x, y ) tal que su distancia al punto F es igual a su distancia a la recta l . Es decir: Parábola = {P ( x, y ) / d ( P, F ) = d ( p, l )}
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le denomina directriz de la parábola.
3.2.2 Ecuación canónica Supongamos que F tiene coordenadas ecuación y = − p con p > 0 . Observe la gráfica:
(0, p )
y la recta l tiene
y
d ( p, F )
P ( x, y )
F (0, p) p
d ( p, l ) x
V (0,0) −p
l
y = −p
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