Los Polinomios
LOS POLINOMIOS
CONTENIDO
Polinomio División de polinomio Regla de Rufini EDITORIAL
Un polinomio es una expresión que se construye por una o más variables, usando solamente las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. Un polinomio es así:
LOS POLINOMIOS
Polinomios un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos
Están hechos de:
constantes (como 3, -20, o ½)
variables (como x e y) exponentes (como el 2 en y2)
+ ×
pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc
sumas, restas y multiplicaciones...
... ¡pero no divisiones!
Que se pueden combinar usando:
¿Son polinomios o no?
Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!
Estos son polinomios: • • •
3x x-2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5
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Y estos no son polinomios •
•
2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,...)
Pero esto sí está permitido: •
•
x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5) también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)
Monomios, binomios, trinomios Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos
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(También existen cuadrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco) .
¿Qué tienen de especial los polinomios?
Muchos términos Los polinomios pueden tener montones de términos, pero no
Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios. Por ejemplo sabemos que: •
•
Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio Si multiplicas polinomios te sale un polinomio
Así que puedes hacer muchas
Grado El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable. Ejemplo:
infinitos términos
El grado es 3 (el mayor exponente de
x)
Para casos más complicados,
LOS POLINOMIOS .
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LOS POLINOMIOS División de un Polinomio por otro Sigue los pasos que tienes más abajo con atención y verás que se trata de una sencilla operación matemática. Vamos a dividir
Paso 4:
Reducimos los términos semejantes y bajamos el siguiente término del dividendo:
Paso 1: El dividendo y divisor deben estar ordenados respecto a la misma letra.
Paso 2:
Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y este resultado se coloca como primer término del cociente:
Paso 3: Este primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y los valores que vas obteniendo los pasas al dividendo cambiando de signo y los escribes debajo de sus semejantes:
LOS POLINOMIOS Paso 5: Dividimos el primer término del nuevo dividendo o del resto obtenido entre el primer término del divisor TENIENDO EN CUENTA LA REGLA DE LOS SIGNOS:
Al dividir – 2a entre a hemos de tener en cuenta que primero dividimos los signos: menos entre más igual a menos y luego 2a : a = 2 Paso 6:
Repetimos el paso 3, es decir, multiplicamos – 2por cada uno de los términos del divisor. Cambiamos de signo a los valores que vamos obteniendo y los pasamos al dividendo colocándolos debajo de los semejantes. Reducimos los términos semejantes:
Se continua el mismo proceso hasta que el resto sea igual a cero o que EL GRADO DEL DIVIDENDO SEA MENOR QUE EL DEL DIVISOR.
Respuesta:
LOS POLINOMIOS
Hemos dividido entre x. Ahora multiplicamos x por cada término del divisor y el resultado de la multiplicación –CAMBIADO DE SIGNO – lo colocamos debajo del dividendo haciendo coincidir los términos semejantes los reducimos y bajamos el término siguiente que es -20: Ahora dividimos 3x entre x teniendo en cuenta la regla de los signos. El nuevo término del cociente será:
Multiplicamos 3 por (x – 4) = 3x – 12 lo cambiamos de signo y lo colocamos debajo del resto haciendo coincidir los términos semejantes y los reducimos:
Nos queda un resto igual a 8. Como el grado del dividendo es cero porque no hay parte literal y Respuesta: el grado del divisor es 1, no podemos continuar la división.
x + 3 de cociente y -8 de resto.
LOS POLINOMIOS Ejercicios de División de Polinomios
Respuesta: m – 4
Respuesta: x + 5
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La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a.
La regla de Ruffini se utiliza para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor. Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las ecuaciones de segundo grado se utiliza otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayor, o dicho de otra forma, para ecuaciones de grado superior a dos, se utiliza el método de Ruffini. Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste
Regla de Ruffini para resolver ecuaciones y factorizar Para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos. Vamos a resolver un explicando paso por paso.
ejemplo
LOS POLINOMIOS TENEMOS LA SIGUIENTE ECUACIÓN: Identificamos los coeficientes de cada término que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:
Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:
LOS POLINOMIOS Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor: En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviéramos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación,
Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a: En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini
LOS POLINOMIOS Empezamos a ejecutar el mĂŠtodo. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:
Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:
Se multiplica el nĂşmero de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:
LOS POLINOMIOS Se realiza la suma de la segunda columna:
Se multiplica el nĂşmero de la 1 izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:
AsĂ sucesivamente hasta completar todas las columnas:
LOS POLINOMIOS El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:
Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso. En el Curso de Polinomios, te enseño el método para que encuentres con facilidad el número para que resulte 0 en la última columna. Además de aprender como hacer Ruffini, tendrás más ejemplos del método de Ruffini y ejercicios explicados paso a paso. Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:
Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación: Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba: Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:
LOS POLINOMIOS Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:
Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:
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El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:
Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado? El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:
Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.
LOS POLINOMIOS El resultado de la factorización de la ecuación por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:
Por tanto, nuestra ecuación será:
Hasta aquí hemos factorizad o la ecuación. Ahora vamos a resolverla: 1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio.
LOS POLINOMIOS Cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0. Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres.
Soluciones (Ya que es una ecuación de tercer grado): Soluciones: -1, -2 y 1