Che cos'è la matematica

Che cos'è la MATEMATICA? Richard Courant e Herbert Robbins Introduzione elementare ai suoi concetti e metodi

Universale Bollati Boringhieri 1971 Ottava impressione settembre1991 Titolo originale What is Mathematics?

An Elementary Approach to Ideas and Methods Oxford University Press, New York 1941 Traduzione di Liliana Ragusa Gilli

PREFAZIONE di Emma Castelnuovo Chi abbia qualche idea, anche soltanto approssimativa, dello sviluppo della matematica negli ultimi trent'anni, sia nel dominio della speculazione pura, sia in quello delle più varie applicazioni tecniche, si chiederà forse se questo libro, appunto dopo trent'anni dalla sua pubblicazione in America, sia ancora atto ad appagare la curiosità dei lettori. Ma scorrendone anche soltanto le prime pagine, sarà certamente preso da un singolare fascino, sia che la matematica entri essenzialmente nella sua cultura professionale specifica (studenti, insegnanti di scuole secondarie, professori universitari) sia che, lontano da questa scienza, voglia semplicemente chiarire a sé stesso perché e come la matematica s'inserisca alla base della seconda rivoluzione industriale.

L'esperienza editoriale ha anzi ampiamente dimostrato che il prestigio dell'opera si mantiene e si rinforza con il passare degli anni, soprattutto in coloro che, lontani dalla matematica, ne avvertono tuttavia il sempre più vasto intervento nella rapida evoluzione tecnologica e vogliono perciò capire "che cosa sia la matematica", non già la matematica elementare che hanno dovuto studiare nella scuola, ma "quell'altra", quella che sta influenzando fortemente il destino dell'uomo. Una nuova edizione italiana, diretta a soddisfare un più largo pubblico, appare dunque ampiamente giustificata.

Cerchiamo di capire le ragioni di questo successo. Uno degli autori, Richard Courant, è un matematico di primo piano. Egli si rifugiò negli Stati Uniti dopo aver lavorato in Germania con David Hilbert (è coautore del famoso trattato Methoden der mathematischen Phisik); e Hilbert fu una delle primissime figure che già alla fine del secolo scorso determinarono una svolta storica nei metodi, nei concetti e nella vita della matematica, dalle più astratte e fini ricerche alle più inaspettate e feconde applicazioni.

Così il Courant, che negli Stati Uniti ha fondato uno dei più importanti centri di ricerca scientifica del mondo - l'Istituto Courant di New York - si trovava in posizione davvero eccezionale per dare un'idea di che cosa sia la matematica oltre il livello elementare.

Il lettore non viene addestrato all'uso meccanico di formule e di regolette ma, al contrario, avvinto dalle motivazioni intuitive con cui gli autori introducono le varie teorie e dall'eleganza e dalla profondità dei ragionamenti, arriva a godere della bellezza dei risultati ottenuti quasi fossero frutto della sua stessa intelligenza. È in questo modo che nell'opera si rivela, attraverso un'esposizione sempre chiarissima e brillante, il carattere affascinante della matematica.

Ho detto all'inizio che il libro si rivolge anche agli insegnanti, ai quali credo possa riuscire particolarmente utile come modello esemplare nel campo della didattica. Perché solo un insegnante come lo preconizzava il Courant trent'anni fa, e non certo la manipolazione di formule e nemmeno l'astrattezza, ugualmente meccanizzante, di alcuni orientamenti didattici attuali tendenti ad isolare la matematica dalla realtà, possono far comprendere "che cosa sia la matematica". Ciò emerge anche dall'ordine degli argomenti trattati, scelti e concatenati con acutezza psicologica, in modo da formare un grande e bel panorama che spazia dalla matematica antica a quella moderna. A ragione gli autori iniziano con un'ampia trattazione della teoria dei numeri naturali, che sono forse gli unici enti matematici di cui l'esistenza, l'astrattezza e l'applicabilità al concreto non sono mai state

messe in dubbio alcuno. Passando poi ordinatamente per le successive generalizzazioni del concetto di numero , gli autori vengono a trattare argomenti classici, famosi per tradizione secolare, cioè i problemi delle costruzioni geometriche con riga e compasso (con cenni ad altri possibili strumenti) e l'algebra degli insiemi.

La trattazione geometrica copre un arco molto ampio, che dalla classificazione delle varie teorie geometriche secondo F. Klein (programma di Erlangen, 1972) all'assiomatica, alle geometrie non euclidee, alla geometria proiettiva e alla topologia (alla quale è dedicato un intero capitolo). L'ultima parte del libro tratta in modo agile e brillante gli elementi dell'analisi, includendo in questa argomenti moderni, originali e solitamente estranei ai corsi universitari.

Nella traduzione italiana nulla si perde dello stile del testo originale. Liliana Ragusa Gilli ha saputo mantenere quel discorso così semplice e, insieme, così vivo e stimolante. mi è caro ricordare che mio Padre aveva affidato a lei la traduzione di quest'opera che riteneva fondamentale per far amare la matematica ai più vari lettori italiani.

E. C.

PREFAZIONE DELL'AUTORE alla prima edizione

Per più di duemila anni, una certa familiarità con la matematica è stata considerata parte indispensabile del patrimonio intellettuale di ogni persona colta. Oggi, il posto tradizionale della matematica nell'istruzione è in grave pericolo, e, purtroppo, la responsabilità si deve in parte attribuire ai rappresentanti professionali della matematica. L'insegnamento di tale disciplina ha talvolta degenerato in vuota esercitazione nella risoluzione di problemi, il che può sviluppare un'abilità formale, ma non conduce ad una reale comprensione dei vari argomenti né accresce l'indipendenza intellettuale. La ricerca matematica ha mostrato una tendenza verso l'eccessiva specializzazione e l'astrazione esagerata, e le applicazioni e i rapporti con gli altri campi sono stati trascurati. Tali condizioni, tuttavia, non giustificano affatto una politica di trinceramento; al contrario, la reazione opposta può e deve sorgere proprio da quella parte di coloro che sono consapevoli del valore della disciplina intellettuale. Gli insegnanti, gli studenti e il pubblico colto chiedono riforme costruttive, non rassegnazione lungo la linea di minima resistenza. La meta è una vera comprensione della matematica come un tutto organico e come base per il pensiero e l'azione scientifica.

Alcuni ottimi libri biografici e storici, e alcune stimolanti opere di divulgazione, hanno risvegliato l'interesse generale latente; ma non si può arrivare alla conoscenza soltanto con mezzi indiretti, non si può trasmettere la comprensione della matematica, così come il giornalismo più brillante non può dare un'educazione musicale a coloro che non abbiano mai ascoltato musica con uno sforzo personale e intenso. È necessario un effettivo contatto con il vivo contenuto della matematica, cercando nondimeno di evitare il tecnicismo e le deviazioni, e di presentare la matematica libera tanto da esagerazioni tecniche quanto da un repulsivo dogmatismo, che rifiuti di rivelare i motivi o gli scopi e costituisca uno sleale ostacolo ad ogni sforzo onesto. Si può procedere per via diretta, partendo dai puri elementi, per raggiungere posizioni da cui si possano rilevare la sostanza e le forza conduttrici della matematica moderna.

Questo libro è un tentativo in tale direzione. Esso può essere considerato un libro di divulgazione, tanto più che presuppone solamente le conoscenze che può impartire un buon corso di scuola superiore, ma non è una concessione alla pericolosa tendenza ad evitare ogni sforzo, in quanto richiede una certa maturità intellettuale e la volontà di pensare un po' con la propria testa. Esso è scritto per principianti e studiosi, per studenti e professori, per filosofi e ingegneri, per scuole e biblioteche. Forse l'intenzione è troppo ambiziosa. Sotto la pressione di altri lavori, siamo dovuti arrivare, in un certo senso, ad un compromesso, pubblicando il libro dopo molti anni di preparazione, eppure prima che fosse realmente finito. Critiche e suggerimenti ci giungeranno graditi.

In ogni caso ci assiste la speranza che il libro possa servire ad un utile scopo, come contributo all'istruzione superiore americana da parte di chi è profondamente grato dell'opportunità che questo paese gli ha offerta. Mentre la responsabilità per lo schema e la parte filosofica spetta al sottoscritto, qualunque merito il libro possa avere va diviso con Herbert Robbins, il quale, da quando si è associato al lavoro, ne ha generosamente fatto

sua la causa, e la sua collaborazione ha avuto una parte decisiva nel completamento dell'opera, fino alla forma attuale.

Un grato riconoscimento dobbiamo all'aiuto di molti amici. Discussioni con Niel Bohr, Kurt Friedrichs e Otto Neugebauer hanno influenzato l'indirizzo filosofico e storico, mentre ad Edna Kramer dobbiamo una buona critica costruttiva dal punto di vista dell'insegnamento; Davis Gilbarg ha preparato i primi appunti delle conferenze da cui il libro ebbe origine; Ernest Courant, Norman Dadids, Charles de Prima, Alfred Horn, Herbert Mintzer.

Wolfgang Wasow ed altri hanno aiutato nell'interminabile compito di scrivere e riscrivere il manoscritto e hanno contribuito a migliorarne i particolari; Donald Flanders ci ha dato utili suggerimenti e ha riguardato minuziosamente il manoscritto per la stampa; John Knudsen, Hertha von Gu,ppenberg, Irvin Ritter e Otto Neugebauer hanno preparato i disegni; H. Whitney ha collaborato alla raccolta di esercizi dell'appendice. Il General Education Board della Fondazione Rockefeller ha generosamente finanziato lo svolgimento dei corsi e la redazione degli appunti che divennero poi la base del libro.

R. Courant New Rochelle, N. Y., 22 agosto 1941

CHE COS'È LA MATEMATICA Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi fondamentali sono la logica e l'intuizione, l'analisi e la costruzione, la generalità e l'individualità.

Tradizioni diverse potranno mettere in evidenza aspetti diversi, ma è soltanto la reazione di queste forze antitetiche e la lotta per la loro sintesi che costituiscono la vita, l'utilità e il valore supremo della scienza matematica.

Qualunque sviluppo della matematica ha senza dubbio le sue radici psicologiche in esigenze più o meno pratiche, ma, una volta iniziato sotto la pressione della loro necessità, esso inevitabilmente acquista valore in se stesso e trascende i confini dell'utilità immediata. Questo tendere della scienza applicata a quella teorica, si manifesta sia nella storia antica che in molti altri contributi apportati alla matematica moderna da ingegneri e fisici.

I primi documenti matematici si hanno in Oriente, dove, circa 2000 anni a.C., i Babilonesi raccolsero una gran quantità di materiali che oggi usualmente classifichiamo nell'algebra elementare. Come scienza in senso moderno, la matematica sorge soltanto più tardi, su suolo greco, nel V e VI secolo a. C. Il contatto sempre crescente tra l'Oriente e la Grecia, che ebbe inizio ai tempi dell'impero persiano e raggiunse il suo culmine nel periodo che seguì le spedizioni di Alessandro, rese familiari ai Greci le scoperte dei Babilonesi nel campo della matematica e dell'astronomia. La matematica fu presto sottoposta all'indagine filosofica che fioriva nelle città-stato della Grecia, e i pensatori greci divennero consci delle gravi difficoltà inerenti ai concetti matematici di continuità, di moto e di infinito, e al problema di misurare quantità arbitrarie con unità assegnate. Il risultato del mirabile sforzo con cui si affrontò la difficoltà, la teoria di Eudosso del continuo geometrico, è una conquista paragonabile soltanto, a più di duemila anni di distanza, alla moderna teoria dei numeri irrazionali. Il metodo ipotetico-deduttivo nella matematica ebbe origine al tempo di Eudosso e ricevette un'espressione definitiva negli elementi di Euclide.

Tuttavia, mentre la tendenza greca teoretica e deduttiva è rimasta una delle principali caratteristiche della matematica ed ha esercitato sempre una profonda influenza nel suo sviluppo, non si metterà mai abbastanza in rilievo che altrettanta importanza ebbero, nella matematica dell'antichità, l'applicazione e i rapporti con la realtà fisica, e molto spesso si preferì un'esposizione meno rigida di quella di Euclide.

Probabilmente fu la scoperta, a cui essi ben presto arrivarono, delle difficoltà connesse con gli "incommensurabili" a distogliere i Greci dallo sviluppare l'arte del calcolo numerico, a cui prima si era pervenuti in Oriente, e a spingerli invece ad aprirsi a forza la strada nel groviglio della pura geometria assiomatica. Cominciò così una delle strane deviazioni della storia della scienza, e si perdette, forse, una grande occasione. Per circa 2000 anni il peso della tradizione geometrica della Grecia ritardò l'inevitabile evoluzione del concetto di numero e del calcolo algebrico, che formarono più tardi la base della scienza moderna.

Dopo un periodo di lenta preparazione, la rivoluzione nel campo della matematica e nella scienza in generale entrò in una fase attiva nel XVII secolo, con la geometria analitica e il calcolo differenziale e integrale. Nei secoli XVII e XVIII la geometria greca conservò la sua posizione importante, ma sparirono gli ideali greci di cristallizzazione assiomatica e di deduzione sistematica. I nuovi pionieri della scienza matematica non consideravano

essenziale il ragionamento logicamente esatto, con alla base definizioni chiare e non contraddittorie ed assiomi "evidenti". In una vera e propria orgia di congetture intuitive, di stringenti ragionamenti intrecciati con un assurdo misticismo, e con una cieca confidenza nel sovrumano potere dei procedimenti formali, essi giunsero alla conquista di un mondo matematico di immensa ricchezza. Gradualmente lo stato di euforia che aveva accompagnato i rapidi progressi cedette il campo ad uno spirito di autocontrollo critico.

Nel XIX secolo questo bisogno immanente di consolidamento e il desiderio di una maggiore sicurezza, nell'estendersi della cultura superiore a seguito della Rivoluzione francese, ricondusse inevitabilmente ad una revisione dei fondamenti della nuova matematica e, in particolare, del calcolo differenziale ed integrale e del concetto di limite che è alla base di questi. Così il XIX secolo non soltanto divenne il periodo di nuovi progressi,ma fu anche caratterizzato da un ritorno, coronato da pieno successo, all'ideale classico della precisione e delle dimostrazioni rigorose. A questo riguardo, anzi, si arrivò a superare il modello della scienza greca.

Una volta di più la bilancia pendeva dalla parte della purezza logica e dell'astrazione.

Attualmente sembra che ci si trovi ancora in tale periodo, ma c'è da augurarsi che la sfortunata separazione che ne è risultata, tra la matematica pura e le sue applicazioni pratiche, che è forse inevitabile in periodi di revisione critica, sia ora seguita da un'era di più stretta unità. Oggi che la forza interna è riconquistata e, soprattutto, che una più chiara comprensione ha condotto ad una semplificazione enorme, è diventato possibile svolgere la teoria della matematica senza perderne di vista le applicazioni. Il compito principale di questa scienza nell'immediato futuro può ben essere quello di stabilire una volta di più un'unione organica tra la scienza pura e quella applicata, e un perfetto equilibrio tra l'astratta generalità e l'individualità piena di significato.

Non è questo il luogo per un'analisi filosofica o psicologica dettagliata della matematica; metteremo soltanto in rilievo qualche punto. Sembra che il prevalere del carattere ipotetico-deduttivo della matematica presenti un grave pericolo; e invero, per quanto l'invenzione costruttiva e l'intuizione che guida e spinge ad agire siano elementi che sfuggono a una formulazione filosofica semplice, essi tuttavia rimangono il nocciolo di ogni conquista matematica, anche nei campi più astratti. Se la forma deduttiva cristallizzata è la meta, l'intuizione e la costruzione sono per lo meno le forze conduttrici. Una seria minaccia a quella che è proprio la parte vitale della scienza è implicita nell'affermazione che la matematica sia soltanto un sistema di conclusioni tratte da un certo numero di definizioni e postulati soggetti alla sola condizione di non essere contraddittori, ma, per il resto, creati dalla libera volontà del matematico. Se questo fosse esatto, la matematica non potrebbe attrarre nessuna persona intelligente: essa consisterebbe in una specie di giuoco, con definizioni, regole e sillogismi, senza motivo e senza scopo. Dire che l'intelletto può creare a suo piacimento sistemi di postulati aventi un significato, è dire una mezza verità che può trarre in inganno. La mente libera può raggiungere risultati che abbiano un valore scientifico soltanto sotto la disciplina imposta dalla responsabilità di un complesso organico e sotto la guida di una necessità intrinseca.

La tendenza contemplativa dell'analisi logica, però, pur non rappresentando tutta la matematica, ha condotto ad una comprensione più profonda delle sue proprietà e della interdipendenza di queste, ed ha chiarito l'essenza dei concetti matematici. Ne è derivato un punto di vista moderno, che è tipicamente un atteggiamento scientifico universale.

Qualunque possa essere il nostro principio filosofico, per quanto riguarda l'osservazione scientifica un oggetto si esaurisce nella totalità delle relazioni possibili con il soggetto o con lo strumento che lo percepiscono. Naturalmente, la sola percezione non costituisce conoscenza e indagine; essa deve essere coordinata e interpretata in rapporto ad una certa entità sottostante, a una "cosa in sé", che non è oggetto di osservazione fisica diretta, ma appartiene alla metafisica. Nel procedimento scientifico gli elementi di carattere metafisico vanno messi da parte, e si devono sempre considerare i fatti osservabili come la fonte ultima delle nozioni e delle costruzioni. La rinuncia a comprendere la "cosa in sé", a conoscere la "verità ultima", a svelare la più riposta essenza del mondo, sarà forse psicologicamente ardua per gli ingenui entusiasti, ma è in realtà uno degli atteggiamenti più fruttuosi del pensiero moderno.

La coraggiosa determinazione di eliminare la metafisica ha valso come premio la scoperta di alcuni dei più importanti risultati della fisica. Quando Einstein cercò di ridurre la nozione di "fatti simultanei, occorrenti in luoghi diversi" a fenomeni osservabili e smascherò come un pregiudizio metafisico l'opinione che questo concetto debba avere un significato scientifico in sé, trovò la chiave della sua teoria della relatività. Quando Niels Bohr e i suoi allievi analizzarono il fatto che ogni osservazione fisica deve essere accompagnata da un effetto dello strumento osservante sull'oggetto osservato, apparve chiaro che non è possibile, in senso fisico, fissare in modo netto la posizione e la velocità di una particella. Le conseguenze di grande portata di questa scoperta, incorporate nelle moderna teoria della meccanica quantistica, sono ora familiari ad ogni fisico. Nel XIX secolo prevalse l'idea che le forze meccaniche e i moti delle particelle nello spazio siano cose in sé, mentre l'elettricità, la luce e il magnetismo dovessero essere ridotti a fenomeni meccanici o "spiegati" come tali, esattamente come era stato fatto con il calore. Fu così inventato l'"etere", come un ipotetico mezzo capace di moti meccanici, non interamente spiegati, che ci appaiono come luce o elettricità. Lentamente ci si rese conto che l'etere è necessariamente non osservabile; che esso appartiene alla metafisica e non alla fisica.

Talora con dispiacere, talora con sollievo, tutte le spiegazioni meccaniche della luce e dell'elettricità, e con esse l'etere, furono definitivamente abbandonate.

Un'analoga situazione, forse anche più accentuata esiste in matematica. Attraverso i secoli i matematici hanno considerato gli oggetti del loro studio, quali ad esempio, numeri, punti, ecc., come cose esistenti di per sé. Poiché questi enti hanno sempre sfidato ogni tentativo di un'adeguata descrizione, lentamente sorse nei matematici del XIX secolo l'idea che la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha un senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche affermazioni rilevanti che li riguardavano non si riferiscono alla realtà sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli "oggetti matematicamente non definiti" e le regole che governano le operazioni con essi. Nel campo della scienza della matematica, non si può e non si deve discutere ciò che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò che importa e ciò che corrisponde a fatti "verificabili" sono la struttura e le relazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si combinano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc.

Uno dei più importanti e fruttuosi risultati dello sviluppo postulazionale moderno è stata una chiara indagine della necessità di rendere astratti i concetti della matematica elementare.

Fortunatamente, la mente creatrice dimentica le opinioni filosofiche dogmatiche ogni volta che esse ostacolerebbero le scoperte costruttive. Cosi per gli studiosi come per i profani , non è la filosofia ma l'esperienza attiva che sola può rispondere alla domanda: Che cos'è la matematica?

COME SI USA QUESTO LIBRO …..

Gli insegnanti delle scuole superiori potranno trovare materiale utile per esercitazioni o seminari di studenti nei capitoli sulle costruzioni geometriche e sui massimi e minimi.

Noi speriamo che questo libro sia utile sia agli studenti delle scuole, dai principianti ai laureati, sia ai professionisti sinceramente interessati della scienza. Esso può inoltre servire come base per i corsi, di tipo non convenzionale, sui concetti fondamentali della matematica. …..

Inoltre, ci auguriamo che lo studioso trovi interesse in qualche particolare ed in certe trattazioni elementari che contengono il germe di più ampi sviluppi.