Le isometrie nel pianoÂ
ARCHITETTURA I Latini nel linguaggio architettonico hanno tradotto la parola greca con la voce proportio, divenuta poi di uso generale in italiano (come in francese), per esprimere non già un rapporto qualunque tra le misure di due oggetti, bensì un sistema di correlazione, mediante il quale una parte sola indica la misura del tutto, come il tutto indica la misura di ciascuna parte (v. proporzione). La parola proporzione essendo prevalsa su quella di simmetria, quest'ultima voce, secondo l'uso del linguaggio comune, rimase circoscritta a significare solamente il rapporto di un'esatta conformità fra due misure, due oggetti qualunque, due fabbricati, due corpi di uno stesso edificio che si fanno riscontro perfetto. Armonia di misure, dunque, e non similitudine o ripetizione di parti e parallelismo di due metà; concetto cioè assai più atto di quello odierno a passare, come in realtà lo fu, da un valore strettamente matematico, a un più ampio significato estetico.
Simmetria é infatti, con l'ordinazione, disposizione, euritmia, decoro, distribuzione, una delle sei categorie nelle quali si riassume fondamentalmente tutta l'estetica vitruviana, la quale si rifà al sistema che teneva il campo nell'età alessandrina. L'euritmia si fonda sul ritmo, la simmetria sulla misura; ma mentre la proporzione dà il rapporto di grandezza di una parte con l'altra, la simmetria è rappresentata dai rapporti di misura che legano tutte le parti sulla base di una unità fondamentale, chiamata "modulo". Questo sistema modulare, che, partendo da un rapporto di proporzione, giungeva alla "simmetria" di tutte le parti di un'opera, costituiva la chiave di quello che i Greci chiamavano "canone"; canone che dominava nell'architettura come nella statuaria, e che a partire dal secolo IV a. C. fu variamente sviluppato nei trattati dottrinali degli scrittori greci e romani.
Così nell'architettura gotica l'ogiva diventa generatrice di un sistema strutturale e perciò di simmetria, come per i Greci la colonna è punto di partenza della simmetria del monumento. Per i Greci il punto d'appoggio verticale è il principio; nel Medioevo è la vòlta; è essa che impone i punti d'appoggio, la loro forza, la loro sezione. L'architettura medievale non concepisce il suo piano per la base, ma per la vòlta che comanda la simmetria di tutte le parti e la posizione e la forza di questa base. Per il Viollet-le-Duc, la vòlta, l'ogiva, elemento generatore di tutto un sistema di strutture, comanda la simmetria di tutte le parti. Si vede dunque che lo stesso principio viene invocato per
spiegare opere d'arte in un mondo artistico opposto a quello classico. La simmetria, intesa nel senso che si dà generalmente alla parola, cioè di rispondenza speculare di parti rispetto a un asse o a un centro, è elemento di primissimo ordine in architettura. Principio assoluto per l'arte classica, esso viene tramandato attraverso il Medioevo che, pure prediligendo forme asimmetriche più ricche di movimento e di senso pittorico, ci ha lasciato esempî bellissimi di architettura simmetrica, usata soprattutto quando si vuole dare più grandiosità all'edificio e quindi specialmente per l'architettura religiosa. Nel Rinascimento, con lo studio del classico, si torna a prediligere le semplici forme geometriche schiettamente simmetriche e la simmetria, canone assoluto dettato in tutti i trattati, domina attraverso i secoli seguenti. In tutto il grande fiorire dell'architettura barocca, pure così originale e ricca di innovazioni, è sempre la simmetria che dà il carattere; e anche artisti quali un Bernini o un Borromini, la cui arte può sembrare a osservatori superficiali non ligia alle regole canoniche, basavano su di essa le loro personalissime attuazioni artistiche. E in questo periodo l'amore per la simmetria è tale che, quando per ragioni di spazio o esigenze di pianta, essa non può venire applicata, si ricorre ad accorgimenti, quali giuochi di masse, finte prospettive o altri, medianti i quali si riusciva ad avere un effetto di falsa simmetria che mascherava la reale asimmetria.
Questo contrasto di classico e di romantico, di simmetria e di asimmetria, si ritrova in modo particolare nell'architettura del giardino; nel giardino italiano (da cui poi nei secoli XVI e XVII, salvo lievi adattamenti dovuti alla diversità della natura del terreno, derivò il giardino francese) ogni collocazione di motivi è sottoposta a strette regole di simmetria: rigide scacchiere di viali spartenti aiuole regolari, alberi guidati e tagliati ridotti architettonicamente a forme geometriche, giuochi di masse ottenuti alternando viali e boschetti, così come in architettura si giuoca con i vuoti e con i pieni. Già dalla metà del sec. XVII nasce una reazione contro quest'arte che appunto perché troppo "arte" violenta la natura; per opera specialmente dell'inglese William Kent (1684-1748) alla concezione architettonica si viene a sostituire la pittorica in senso strettamente paesaggistico; è questo il giardino detto appunto "all'inglese", imitante la natura e la cui voga fu aiutata dal dilagare delle idee romantiche e rousseauiane.
La Simmetria in biologia La forma di quasi tutti gli organismi viventi può essere descritta ricorrendo a modelli di simmetria, anche se questa può talvolta riguardare soltanto parti dell'organismo (per esempio la struttura esterna ma non tutti gli organi interni, in particolare nei Vertebrati) o essere mascherata da una asimmetria secondaria. I modelli di simmetria ai quali si fa comunemente ricorso sono quattro: La simmetria sferica descrive il corpo sviluppato teoricamente in modo equivalente in tutte le direzioni; gli antimeri (le parti contrapposte e simmetriche) sono virtualmente infiniti, anche se la presenza di determinate strutture permette in genere di identificarne un numero discreto; è caratteristica di alcuni Protozoi Radiolarie degli Eliozoi.
La simmetria raggiata è caratteristica degli organismi il cui corpo si sviluppa intorno a un asse polare (asse oro-aborale) per il quale passa un certo numero di piani ciascuno dei quali divide il corpo in due parti opposte e simmetriche; le coppie di antimeri sono quindi in numero corrispondente a quello dei piani di simmetria; fra gli organismi vegetali si riscontra in molte tallofite e in alcuni organi, come i corpi fruttiferi di molti funghi, nei fiori, nei frutti ecc.; fra gli animali è caratteristica dei Celenteratie di molti Echinodermi.
La simmetria bilaterale semplice, o bilaterale, è di gran lunga la più comune fra gli animali ed è caratterizzata da un solo piano di simmetria che divide il corpo in due parti speculari (destra e sinistra). La forma del corpo degli organismi viventi non rispecchia fedelmente il modello teorico di simmetria cui viene riferita; nei Vertebrati, per esempio, la simmetria bilaterale è rispettata dalla forma esteriore, dalla disposizione degli elementi scheletrici e, parzialmente, da alcuni organi (per esempio i reni e i polmoni, che tuttavia presentano in genere sviluppo diverso) ma non da tutti gli organi interni (fanno eccezione, per esempio, il cuore, i grossi tronchi del sistema vasale, l'intestino ecc.).
Fra gli animali, il tipo di simmetria è relativo al grado di evoluzione degli organismi (sferica, raggiata o biraggiata nei più primitivi, bilaterale nei più evoluti) ma può anche riflettere le interazioni degli animali con l'ambiente, assumendo significato adattativo; in questo caso, le simmetrie sferica e raggiata caratterizzano forme sessili o poco mobili, per le quali è vantaggioso interagire con l'ambiente in modo equivalente in tutte le direzioni.
Trasformazioni geometriche Si chiama trasformazione geometrica ogni corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano
Essa viene determinata assegnando una legge (una funzione) che indica il modo in cui i punti si corrispondono.
Per indicare che un elemento a’ è il corrispondente di un elemento a in una trasformazione geometrica si scrive: a’ = f(a)
Si dice invariante di una trasformazione geometrica qualunque caratteristica che si conserva nella trasformazione. Esempio: Nella seguente trasformazione si conservano le ampiezze degli angoli
Si dicono elementi uniti di una trasformazione geometrica gli elementi del piano che hanno per
trasformati se stessi. Esempio: Nella seguente trasformazione i punti della retta tratteggiata, sono elementi uniti.
Se tutti i punti sono uniti la trasformazione prende il nome di identitĂ .
Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica, cioè una trasformazione che, applicata due volte, fa tornare ogni elemento su se stesso.
Le isometrie nel piano Si dice isometria la trasformazione geometrica che ad ogni coppia di punti A e B di un piano associa i punti A’ e B’ dello stesso piano in modo che il segmento AB sia congruente al segmento A’B’. Un’isometria conserva l’allineamento dei punti Un’isometria conserva il parallelismo Un’isometria conserva l’ampiezza degli angoli
Due figure isometriche sono congruenti e, viceversa, se due figure sono congruenti esiste un’isometria nella quale le due figure si corrispondono.
La simmetria assiale Si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad ogni punto P del piano il suo simmetrico rispetto a r.
Esempi: Per trovare la simmetrica di una retta a basta trasformare due punti di a e disegnare la retta a’ che passa per i punti trasformati.
Per trovare il simmetrico di un angolo basta trovare i simmetrici di due punti, uno su ciascun lato dell’angolo, e del vertice.
Per trovare il simmetrico di un triangolo, basta trovare i simmetrici dei suoi vertici.
La simmetria assiale, come tutte le trasformazioni, è una funzione e si indica con il simbolo σr dove r è l’asse di simmetria. Per indicare che un elemento G del piano è associato a un elemento G’ nella simmetria di asse r scriveremo G = σr (G)
La simmetria assiale gode di tutte le proprietà delle isometrie e in più: •i punti che appartengono all’asse di simmetria sono punti uniti perché hanno per trasformati se stessi.
•una retta a incidente in un punto Q all’asse di simmetria e che forma un angolo α con tale asse ha per trasformata una retta a’ che passa ancora per Q e che forma con l’asse di simmetria un angolo congruente ad α.
•una retta a perpendicolare all’asse di simmetria ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita; non è però retta di punti uniti.
è una trasformazione involutoria
•non conserva l’ordinamento dei punti.
Una figura F possiede un asse di simmetria r se è unita rispetto alla simmetria di asse r.
•angolo (asse: bisettrice)
•triangolo isoscele (asse: bisettrice angolo al vertice)
•striscia (asse: retta parallela ad a e b equidistante da a e b)
La simmetria centrale Si dice simmetria centrale di centro O la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P’ rispetto ad O.
Esempi: •Costruiamo la simmetrica di una retta r rispetto al centro O.
•Costruiamo il simmetrico di un poligono rispetto al centro O.
La simmetria centrale si indica con il simbolo σO dove O è il centro di simmetria; per indicare che un elemento G’ del piano è associato ad un elemento G nella simmetria di centro O scriveremo G’ = σO(G)
Proprietà della simmetria centrale •Due segmenti o due rette corrispondenti sono paralleli
•L’unico punto unito è il centro di simmetria
•È una trasformazione involutoria
•Conserva l’ordinamento dei punti
Una figura F ha un centro di simmetria se è unita nella simmetria che ha centro
in
quel
Figure con centro di simmetria: •segmento (centro: punto medio)
•striscia (centro: qualunque punto dell’asse di simmetria)
cerchio (il centro è centro di simmetria)
punto
La traslazione Proprietà della traslazione Si dice traslazione di vettore v la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il suo traslato P’ mediante vettore v.
Esempi •Figura traslata di un segmento
•Figura traslata di una retta
•Figura traslata di un triangolo
La traslazione si indica con il simbolo τv, scrivendo in basso a destra del simbolo τ il vettore v di traslazione. Per indicare che una figura G’ è associata ad una figura G nella traslazione di vettore v scriveremo G’ = τv (G)
La traslazione è un’isometria. Proprietà della traslazione •conserva il parallelismo •non ci sono punti uniti
•le rette che hanno la stessa direzione del vettore di traslazione sono unite
•conserva l’ordinamento dei punti
La rotazione Un angolo può essere orientato in senso orario o antiorario
Si dice rotazione di centro O e ampiezza α la trasformazione che ad ogni punto P del piano associa il punto P’ ruotato di P rispetto ad O di un angolo orientato α.
La rotazione di centro O e ampiezza α si indica con il simbolo ρO,α scrivendo come indici in basso a destra del simbolo ρ il centro e l’angolo di rotazione; per indicare che una figura G’ è asociata ad una figura G nella rotazione di centro O e ampiezza α scriveremo G’ = ρO,α(G)
La rotazione è un’isometria. Proprietà della rotazione La rotazione gode di tutte le proprietà delle isometrie e in più: •l’unico punto unito è il centro di rotazione •le uniche rette unite sono quelle che si corrispondono in una rotazione di ampiezza pari ad un angolo piatto o ad un suo multiplo e che passano per il centro di rotazione.
•la rotazione di ampiezza pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identica.
Il prodotto di trasformazioni Applicando in successione due isometrie si ottiene ancora un’isometria, in particolare: Applicando in successione due isometrie si ottiene ancora un’isometria, in particolare: •Il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari è una simmetria centrale avente centro nel punto di intersezione con gli assi.
•Il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi paralleli è una traslazione di vettore doppio della distanza fra i due assi e direzione e verso dal primo al secondo asse.
•Il prodotto di due simmetrie assiali con gli assi incidenti è una rotazione di ampiezza uguale al doppio dell’angolo formato dai due assi, centro nel punto di intersezione degli assi e verso dal primo al secondo asse.
•Il prodotto di due simmetrie centrali è una traslazione di vettore doppio della distanza fra i centri e direzione e verso dal primo al secondo centro.
•Il prodotto di due rotazioni di ampiezza α e β e aventi lo stesso centro è una rotazione dello stesso centro e di ampiezza α + β.
Le isometrie nel piano https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CD4QFjAD&url=h ttp%3A%2F%2Fmatematica.atlaslive.it%2Fmateriale%2Fppt%2Fgeometria%2FLe%2520isometri e%2520nel%2520piano.ppt&ei=B2m5U7vaN8uQ4gSHs4DoDw&usg=AFQjCNFAf7zBiVrjli85jZLsO ZZiCclH_w&sig2=wvzLvzObKY62uCgVR7lSHg
Simmetria http://it.wikipedia.org/wiki/Simmetria
La simmetria in biologia http://www.sapere.it/enciclopedia/simmetr%C3%ACa+(biologia).html Immagine di copertina. Escher, Sempre più piccolo, 1956 Immagine da http://www.mcescher.com/
Simmetria in architettura http://www.treccani.it/enciclopedia/simmetria_res-2def3690-8bb7-11dc-8e9d0016357eee51_(Enciclopedia-Italiana)/