Aplicaci贸n de la Derivada
Andreina Pe帽a 25.401.207
Derivadas
Podemos decir; En matemáticas, la derivada de una función es una medida de
la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Derivadas Implícitas Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario
despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Función Cóncava En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.1 Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.
Punto de inflexi贸n Gr谩fico de y = x3 con un punto de inflexi贸n en el punto (0,0).
Máximos y mínimos relativos Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo. Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos. Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos
En la escena están representadas la función f(x)=x4-2x2+1, su derivada f'(x)=4x3-4x y la derivada segunda f''(x)=12x2-4 Para calcular los extremos relativos procederemos: Resolvemos la ecuación: f'(x)=4x3-4x=0 Soluciones: x=-1,x=0,x=-1 Calculamos el signo de la segunda derivada en estos valores Comprueba, cambiando el valor de la x que los resultados son: x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2) x=0, f'(x)=0, f''(x)<0 máximo en (0,-1) x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2)
Consideremos la gráfica de abajo en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera; en ella se observan desniveles en el recorrido, se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube, después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto "subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos sus asociados del eje Y, se observa que si x<y entonces se tendrá que f(x)<f(y). Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X en los que la función "baja" con x<y y obtenemos sus asociados del eje Y, se tiene que debido a la bajada f(x) tiene que ser mayor que f(y).
Determinación de los intervalos de monotonía. La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero
Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero
Teorema 1.Sea f una funci贸n definida en un intervalo entonces: a) Si f es creciente entonces 0 f'. b) Si f es decreciente entonces f' 0. Teorema 2.a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente. b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.