Libro Texto - Matemática

María Trinidad

Editorial

© Texto escolar Matemática 6 Gigamátic © Derechos de autor registrados Cipriano Malpartida Bonifacio Estudios realizados en la Pontificia Universidad Católica del Perú: Especialista en Didáctica de Matemática en Educación Primaria Especialista en Política Educativa y Desarrollo Regional © Derechos de edición, arte y diagramación Editorial María Trinidad S. A. C. Jr. Felipe Santiago Salaverry nº 254 Urb. El Pino, distrito de San Luis • Lima - Perú ) 475 7392 - 719 6337 - 719 6336 * ventas@editorialmariatrinidad.com.pe 1 www.editorialmariatrinidad.com.pe 1a Edición 2013 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2012-14341 Proyecto Editorial Nº 31501341200868 ISBN Coordinación de área Equipo pedagógico Editorial María Trinidad Corrección matemática Américo Reyes Pérez Preprensa Elena Aspillaga Ilustraciones Abraham Gonzales Julio Yachachin Juan Velayos Corrección de estilo Juan Paz-Vergara Alarcón Jenie Ríos Ríos Fanny Parra Huamani Impresión QUAD/GRAPHICS PERÚ S. A. Av. Los Frutales 344 - Ate Tiraje: 10 000 ejemplares Prohibida la reproducción total o parcial de la obra sin la autorización expresa del editor.

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU noviembre 2012

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Presentación Vivimos en un mundo donde el conocimiento de las ciencias avanza rápidamente y presenta grandes desafíos que debes aprender a enfrentar.

Matemática 6 está preparado por especialistas en didáctica de la matemática de Educación Primaria. En él se usa el Sistema Internacional de Unidades (SI), lenguaje universal que se aplica en los conceptos matemáticos y que permitirá integrarte a este mundo del conocimiento.

El conocimiento matemático se presenta en forma sencilla y divertida para que te sientas atraído por él. Estoy seguro que lo entenderás con facilidad.

Te deseo mucha suerte y éxitos,

El autor

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Organización de tu libro

Indica el número de la unidad.

Sección de apertura Es una ilustración panorámica que recoge situaciones de diferentes contextos de la realidad.

Preguntas o un texto corto que motive y/o problematice el tema a abordar en el capítulo.

Indicadores de logro más relevantes, redactados en lenguaje adecuado para el estudiante.

Indicadores de logro más relevantes.

Sección de inicio Contiene actividades para el recojo de conocimientos previos, que permitirán establecer un enlace o puente con los aprendizajes a desarrollar.

Sección de proceso Presenta el tema partiendo de un problema de su entorno. Contiene textos y actividades diseñados de manera secuencial, de lo simple a lo complejo, que permiten la construcción de los nuevos conocimientos.

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Sección de cierre Presenta la síntesis e ideas de fuerza sobre los contenidos abordados en la unidad.

Se presenta a manera de resumen con actividades de seguimiento y refuerzo en tres niveles.

En las actividades de cierre hemos considerado mapas conceptuales (como organizadores de los conceptos), pregunta de concursos, páginas web y referencia bibliográfica.

Sección de evaluación Contiene actividades que permiten comprobar lo aprendido, están relacionadas con los indicadores de logro planteados en la unidad.

íconos del libro 2 +3

Trabajo individual 10 + 8

Trabajo en pareja Actividades complementarias Se definen los conceptos más saltantes de la unidad y se presenta la autoevaluación y metacognición.

12+ 15+36

Trabajo colaborativo

Enlace web

Referencia bibliográfica

Personaje del libro Einstein

Evaluación

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índice UN

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1

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2

UN

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Matemática6_U0_001_007.indd 6

Conjunto de números naturales y relaciones en N • Saberes previos • Sistema de numeración decimal • Relaciones en el conjunto de números naturales • Aproximación y redondeo • Adición y sustracción de números naturales • Multiplicación y división de números naturales • Técnicas calculatorias para hallar el cociente • Potenciación de números naturales • Radicación en el conjunto de los números naturales • Algoritmo para hallar la raíz cuadrada de un número natural • Operaciones combinadas • Sucesiones de números naturales • Ley de formación de una sucesión • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

Teoría de números • Saberes previos • Divisores de un número • Número de divisores • Múltiplos de un número • Mínimo común múltiplo (MCM) • Máximo común divisor (MCD) • Divisibilidad • Caso especial • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa Conjunto de números enteros (Z) • Saberes previos • Idea de números enteros (Z) • Adición de números enteros • Sustracción de números enteros • Multiplicación de números enteros • División de números enteros • Potenciación de números enteros • Radicación de números enteros • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

UN

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4

UN

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Números fraccionarios (F) • Saberes previos • Conjunto de números fraccionarios • Simplificación de una fracción • Comparación de fracciones • Común denominador • Suma y resta de fracciones homogéneas • Suma y resta de fracciones heterogéneas • Multiplicación de fracciones • División de fracciones • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

Números decimales (D) • Saberes previos • Lectura y escritura de números decimales • Los números decimales • Redondeo de un número decimal • Suma y resta de números decimales • Algoritmo para sumar o restar decimales • Producto de números decimales • Producto de un decimal por la unidad seguida de ceros • Cociente de números decimales por la unidad seguida de ceros • Cociente de un número decimal por uno natural • Cociente de un número natural por un decimal • Cociente de dos números decimales • Potencia de un número decimal • Raíz de un número decimal • Notación científica • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

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Iniciación al álgebra • Saberes previos • Introducción al álgebra • Ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de números naturales • Ecuaciones de primer grado • Inecuaciones de primer grado con una variable en N • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

UN

Proporcionalidad • Saberes previos • Razón y proporción numérica • Proporción numérica • Clases de proporciones • Magnitudes directamente proporcionales • Regla de tres simple directa • Magnitudes inversamente proporcionales • Regla de tres simple inversa • Interés simple • Porcentaje • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

UN

Geometría • Saberes previos • Elementos básicos de la geometría • Sistema sexagesimal: base 60 • Diferencia de ángulos en el sistema sexagesimal • Relaciones de incidencia • Cuadriláteros • Propiedades de los polígonos regulares • áreas de figuras geométricas planas • Problemas de áreas • Prisma recto • área y volumen de un prisma • área y volumen de la pirámide • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

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9

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10

UN

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Transformaciones de figuras geométricas • Saberes previos • El mundo del movimiento • Módulo de un vector • Función traslación • Simetría central • Simetría axial o reflexión • Homotecias • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

Sistema internacional de unidades • Saberes previos • Sistema internacional de unidades • Unidades de longitud • Unidades de masa • Unidades de superficie • Unidades agrarias • Unidades de volumen • Unidades de capacidad • Unidades de tiempo • Sistema monetario del Perú • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

Estadística y probabilidad • Saberes previos • Recoge y representa datos • Organización de los datos de una muestra • Tabla de distribución de frecuencias • Representación de variables cualitativas • Representación de variables cuantitativas discretas • Medidas de tendencia central • Cálculo de probabilidades • Evento o suceso • Probabilidad de un suceso excluyente • Actividades de seguimiento y refuerzo • Evaluación formativa

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Sección de

1

unidad

APERTURA

Conjunto de números naturales y relaciones en N Tema transversal • Educación para la familia y el hogar Valor • Tolerancia 3000 a. C. - 2500 a. C. Los textos más antiguos proceden de Mesopotamia, con una escritura cuneiforme.

Pitágoras (582 a. C. - 500 a. C.) estudió la relación entre la música y las matemáticas.

1600 a. C. El Papiro de Rhind es el principal texto matemático egipcio.

Euclides (330 a. C. - 275 a. C.) es considerado el Padre de la Geometría.

Indicadores de logro Resolución de problemas • Resuelve problemas que involucran las operaciones de adición y sustracción con números naturales, con resultados de hasta seis cifras.

• Resuelve problemas que involucran las operaciones de multiplicación y división con números naturales, con resultados de hasta seis cifras.

• Resuelve ejercicios con las cuatro operaciones, con números naturales.

8

ocho

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Mira, lee y comenta.

• ¿Cuántos años han transcurrido desde que se exhibieran los textos cuneiformes?

• ¿Qué significa cuneiforme?

• Averigua qué contiene el Papiro de Rhind.

• ¿Para qué sirve la Criba de Eratóstenes?

• ¿Qué hechos matemáticos puedes describir antes de Cristo?

• ¿Crees que la ciencia y la tecnología seguirán avanzando? ¿Por qué?

1642 El matemático Blaise Pascal construye la primera máquina de calcular, conocida como la Pascalina.

1400 Los quipus eran sistemas de cuerdas de distintos colores y nudos, donde los funcionarios del Imperio inca recogían datos, como el número de nacimientos o muertes.

250 a. C. La criba de Eratóstenes es utilizada para determinar números primos.

Comunicación matemática • Utiliza los números naturales hasta las centenas de millón para representar cantidades que maneja con letras o símbolos.

Razonamiento y demostración • Reconoce o señala el número que continúa en una sucesión.

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nueve

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Sección de

INICIO

Saberes previos

Resuelve en tu cuaderno 1. ¿Cuántas centenas simples hay en cada caso?

a) 849

b) 1 469

c) 12 405

d) 1 200 900

2. Utilizando cifras escribe los siguientes números:

a) Dos millones cien mil

b) Un millón quinientos mil

c) Tres millones dos mil

d) Cuatro millones dos mil

3. Utilizando palabras escribe los siguientes números:

a) 15 910

b) 2 400 100

c) 28 901

d) 6 500 009

3

6. Si a = 23 y b = 38, resuelve:

a) ¿Cuál es el valor de 3ab?

b) 10 3ab

7. Halla el valor de x.

a) 2x = 16

b) x2 = 16

8. Daniel desea comprar un DVD que cuesta S/.96,00. Si dispone de un billete de S/.200,00, ¿cuánto es el vuelto que recibirá?

9. La edad de José es 46 años. ¿Cuál será su edad dentro de 5 años?

4. Si 381 = 9, halla lo indicado:

a) ¿Cuál es valor de 3381?

b) 23381

5. En 24 decenas de millar.

10

10. Observa las siguientes equivalencias, luego escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) 10 D = 100 U

b) 400 = 40 C

a) ¿Cuántas centenas hay?

c) 1 x 0 = 1

b) ¿Cuántas unidades de millar hay?

d) 1 000 : 1 = 1 000

e) 0 : 2 = 2 x 0

diez

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Sección de

Proceso

Sistema de numeración decimal Sus principales características son: a) Es un sistema en base 10. Esto quiere decir que el principio de agrupamiento es de diez en diez, cada 10 unidades se forma otra de carácter superior y viceversa. b) Posee 10 dígitos. Estos son el 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, y con sus combinaciones se pueden formar infinitos números. c) Valor posicional y relativo de cada dígito. Esto quiere decir que, dependiendo de la posición donde se ubique, cada dígito tendrá un valor.

Por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 8 245 no es el mismo que en 8 332, esto es debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base.

Así tenemos que en el número 8 245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será 2 x 102, es decir, 200. Sin embargo, en el número 8 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2 x 10, es decir, 2; ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades.

Tablero de valor posicional 4o orden millares de millones C. de millar D. de millar U. de millar de millón de millón de millón

109

3er orden millones C. de millón

108

D. de millón

107

2o orden millares U. de millón

106

1er orden unidades

C. de millar

D. de millar

U. de millar

CM

DM

UM

105

104

103

Centenas Decenas Unidades (C) (D) (U)

102

101

100

Recordemos las equivalencias en el 1er orden: 10 unidades es igual a una decena (10 U = 1 D), 10 decenas es igual a una centena (10 D = 1 C) y 10 centenas es igual a una unidad de millar (10 C = 1 UM).

Equivalencias en el 2º orden 10 UM = 1 DM

10 DM = 1 CM

10 CM = 1 U de M

10 D de M = 1 C de M

10 C de M = 1 UM de M

Equivalencias en el 3er orden 10 U de M = 1 D de M

Lectura y escritura de números naturales Para escribir correctamente los números naturales se agrupan de tres en tres, partiendo de las unidades. miles

130 210 801 millones

unidades

250 800 005 Matemática 6

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Se lee: 130 millones 210 mil 801 unidades.

Se lee: doscientos cincuenta millones ochocientos mil cinco unidades. once

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Relaciones en el conjunto de números naturales Relación “es menor que” Si a < b, al número a le corresponde un lugar anterior al número b en la sucesión de los números naturales, por lo tanto le corresponde un punto a la izquierda de b en la recta numérica.

0

a

b

Yo soy menor que tú.

N

Definición “a es menor que b” y escribimos a < b, si y solo si existe un número natural n, tal que a + n = b.

Simbólicamente a<b sii ∃ne N/a+n=b

Propiedades • Propiedad transitiva Si un número es menor que otro, y este es menor que un tercero, el primero es menor que el tercero.

Si 300 < 500 y 500 < 900, entonces 300 < 900.

Si a

Si b

c

entonces

Relación “es mayor que” Para todo a e N, b e N, se dice que a es mayor que b si y solo si b es menor que a

Yo soy mayor que tú.

Equivalentemente a > b si y solo si b < a

12

doce

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Tenemos los mismos derechos.

Relación “es igual a” en N Si n es un número natural cualquiera, n es igual a sí mismo. ∀neN n=n Propiedades a) Reflexiva Todo número natural es igual a sí mismo.

∀ a e N, a = a a Ejemplo de aplicación Sea A = {1; 10; 100} Vamos a construir el diagrama sagital de la relación “es igual a” en A. b) Simétrica Mira lo que ocurre.

Decir 7 + 6 = 8 + 5 es lo mismo que 8 + 5 = 7 + 6.

Luego: si a = b, entonces b = a.

A 1 • 100 •

Si

•8+5

entonces

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•1+1

entonces

Si

Definición Sea A un conjunto.

Una relación en A es transitiva si y solo si a = b y b = c, entonces a = c

A

Si •b entonces

2• 2 + 0 •

Definición Sea A un conjunto.

Una relación en A es simétrica si y solo si a = b, entonces b = a

a•

Fórmulas: 1=1 10 = 10 100 = 100

10 •

c) Transitiva Mira lo siguiente: Como 2 = 1 + 1 y 1 + 1 = 2 + 0, entonces 2 = 2 + 0.

Luego: si a = b y b = c, entonces a = c.

Si

7+6•

=

Si a•

Si •b

•c

entonces trece

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Aproximación y redondeo En ocasiones no es necesario expresar una cantidad de manera exacta si puede ser útil darla aproximadamente, de manera que esta cantidad sea más fácil de retener. A este procedimiento llamamos aproximación y se lleva a cabo mediante el redondeo, que puede hacerse por exceso (cuando damos un valor mayor que el exacto) o por defecto (cuando el valor que damos es menor que el exacto). Además, para redondear debemos decidir qué grado de precisión es apropiado. Por ejemplo, una cantidad podemos redondearla a las decenas o a las unidades de millar, según el grado de precisión que nos interese.

A 4 000 m hay una tienda.

2 +3

Resuelve en tu cuaderno 1. Sea A = {200; 300; 400} y R:”es menor que” definida en A.

a) Construye el diagrama sagital.

a) 19 536

b) Construye una tabla de doble entrada.

c) 12 438 677

c) Construye un diagrama cartesiano.

d) Halla el grafo de la relación.

5. Escribe en números las siguientes cantidades:

b) 248 035 d) 20 791 614

2. Sea B = {199; 299; 399} y R: “es mayor que” definida en B.

a) Dos millones dos mil unidades

b) Tres millones doscientos mil unidades

a) Haz el diagrama sagital.

c) Cinco millones seis unidades

b) Haz una tabla de doble entrada.

d) Ocho millones ciento cuarenta unidades

c) Haz un diagrama cartesiano.

d) Halla el grafo de la relación.

3. Escribe los nombres de los siguientes números:

14

4. ¿Cuántas centenas de millar hay en cada número?

6. Si 4 692 = 4 000 + 600 + 90 + 2 se llama notación desarrollada, halla la notación desarrollada de:

a) 2 405 100

b) 4 100 200

a) 7 893

b) 9 742

c) 5 190 010

d) 8 209 107

c) 26 443

d) 89 991

catorce

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Adición y sustracción de números naturales Hanna tenía ahorrado S/.14 000,00. Si gana S/.10 000,00 y ahorra S/.3 500,00, ¿cuánto dinero tiene ahorrado? y ¿cuánto dinero no ha ahorrado?

Resolución 1) Ahorrado: 14 000 2) Gana : 10 000

3 500 Ahorra : 3 500 Total ahorrado: 14 000 + Total : 10 000 –

3 500

3 500

17 500

6 500 Respuesta. Tiene ahorrado S/.17 500,00 y no ha ahorrado S/.6 500,00.

Sustracción en N

Adición en N Si a dos números naturales a y b hacemos corresponder otro número natural a + b, este nuevo número es denominado suma. (a ; b) a + b

Si a dos números naturales a y b hacemos corresponder otro número natural a – b, este nuevo número es denominado diferencia.

(a ; b) a – b

Definición

Definición

La adición es una relación que tiene como conjunto de partida al conjunto de todos los pares ordenados de números naturales y como conjunto de llegada al conjunto de números naturales.

La suma es el resultado de la relación cruz (+) denominada adición.

Conjunto de partida: N x N. Conjunto de llegada: N.

La sustracción es una relación de N x N hacia N. Tiene como conjunto de partida al conjunto N x N y como conjunto de llegada al conjunto N. NxN – N (a ; b) – (a ; b) = a – b = c e N donde a > b (3 ; 1) – (3 ; 1) = 3 – 1 = 2 e N minuendo sustraendo

NxN

+

N NxN

(a ; b) •

conjunto de partida

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a+b •

conjunto de llegada

diferencia –

(a ; b) •

N c •

a>b quince

15 26/11/12 11:05

Resuelvo problemas María tiene S/.250,00, Elisa S/.10,00 más que María, y Rita tiene tanto como María y Elisa juntas. ¿Cuánto tiene Rita? a) S/.150,00 b) S/.550,00 c) S/.410,00 d) S/.510,00 e) S/.610,00

a) Comprensión del problema Datos M: 250 E: 250 + 10 R: 250 + 260 b) Concepción de un plan Hay que hallar lo que tiene Elisa, luego lo que tiene Rita. c) Ejecución del plan • E = 250 + 10

E = 260 • R=M+E R = 250 + 260

R = 510

d) Respuesta Rita tiene S/.510,00.

10 + 8

Resuelve en tu cuaderno 1. Aldo tenía S/.1 400,00. Después de gastar en alimentos se queda con S/.395,00. ¿Cuántos nuevos soles ha gastado?

5. Luis tiene S/.1 900,00 y Nancy S/.978,00. ¿Cuántos nuevos soles le faltan a Nancy para tener lo mismo que Luis?

2. Noé ha ganado 1 796 canicas y ahora tiene 2 007. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?

6. Haydeé tiene S/.18 900,00 y Pilar S/.7 900,00. ¿Cuántos nuevos soles tiene que gastar Haydeé para tener la misma cantidad que Pilar?

3. Martha gana S/.2 500,00. Si ahorra S/.799,00, ¿con cuántos nuevos soles se queda?

4. Joel posee una granja con 1 700 gallinas. Si tiene 500 gallinas menos que la granja de mi tío, ¿cuántas gallinas hay en la granja de mi tío?

16

dieciséis

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7. Fredy ha cosechado 8 500 kg de naranjas.

Si hubiera cosechado 736 kg más, tendría la misma cantidad que Norma. ¿Cuántos kilogramos tiene Norma?

8. Marco tiene 12 años más que Paolo, quien tiene 8 años, y Daniel tiene 5 años más que Pedro. Si la suma de sus edades es 41, ¿cuál es la edad de Daniel?

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Multiplicación y división de números naturales María Flor tiene 4 conejitas y cada una ha parido una camada de 8 crías. Si gasta S/.100,00 mensuales para alimentar a sus 4 conejitas, ¿cuántos nuevos soles gasta por cada una? y ¿cuántas crías hay en total?

Resolución a) Comprensión del problema Número de conejitas: 4 Una camada: 8 crías Gasta: 100

c) Ejecución del plan 100 4 – 8 25 20 –20 0

4 x 8 mitad 2 16 doble mitad 1 32 doble

b) Concepción de un plan 4 x 8 = 32 • Hallamos el cociente de 100 : 4 para saber cuánto se d) Respuesta gasta en cada una.

Gasta S/.25 mensuales por • Hallamos el producto de 4 x 8 cada conejita y hay 32 crías. para saber el número de crías.

Multiplicación en N

División en N

Definición Se denomina multiplicación de números naturales a la operación que hace corresponder a cada par ordenado de números naturales con su producto.

x

N xN

N

(a ; b) •

c •

conjunto de partida

conjunto de llegada

Definición Se denomina división de números naturales a la operación que hace corresponder a cada par ordenado de números naturales con su cociente.

N xN

a.b=c factores

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producto

N

(a ; b) •

c •

conjunto de partida

conjunto de llegada

(a ; b) (a ; b)

:

dividendo (D) divisor (d)

a a : b = = c e N b cociente (C)

No siempre existe el cociente en N. diecisiete

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Propiedades de la multiplicación La multiplicación tiene propiedades que facilitan la resolución de problemas, tales como: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento absorbente. a) Conmutativa Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el orden de los factores.

2

4 4 2x4=4x2 8 = 8

2

El orden de los factores no altera el producto.

En general x N xN → N x (a ; b)  a . b x b.a (b ; a)  a.b=b.a

b) Asociativa Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin considerar cómo se agrupen los factores.

(2 x 3) 4 = 2 (3 x 4) 6 x 4

24

2 x 12

En general Si a, b, c e N (a . b) c = a (b . c)

24

c) Propiedad del elemento neutro El producto de cualquier número por uno es el mismo número.

(9 ; 1) x 9x1=9 Uno (1) es el elemento neutro en la multiplicación.

En general ∀ aeN a.1=1.a=a

Todo número natural multiplicado por uno (1) es igual al mismo número. d) Elemento absorbente (20 ; 0) x 20 x 0 = 0 Cero es el elemento absorbente en la multiplicación.

En general ∀ aeN a.0=0.a=0

Todo número natural multiplicado por cero es igual a cero.

18

dieciocho

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División euclidiana Se llama división euclidiana a la división inexacta por defecto.

Una división inexacta por defecto siempre existe en N.

R<d El residuo es siempre menor que el divisor.

:

(D ; d) → D : d = C y residuo D = dC + R El dividendo (D) es igual al producto del divisor (d) con el cociente (C) más el residuo (R).

Luisa tiene 35 peras. Si las reparte entre sus 3 hermanos, ¿cuánto recibe cada uno?

D U

D

3 –

R

5

3 11

3 0

5

–

3

d C

2

D = C x d + R 35 = 11 x 3 + 2 35 = 33 + 2 35 = 35 Respuesta. Cada uno recibe 11 peras.

Propiedades de la división de números naturales a) No es una operación interna.

El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.

4:8 E N b) No es conmutativa. a:b≠b:a 6:2≠2:6 c) Cero dividido entre cualquier número da cero.

0:5=0 d) No se puede dividir por 0.

NxN

:

(4 ; 8) •

N

4:8 • No existe en N

NxN

:

N

(0 ; 1) (0 ; 2)

0

(0 ; 4)

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diecinueve

19 26/11/12 11:06

Técnicas calculatorias para hallar el cociente

Un empresario tiene que pagar por igual la quincena a sus 43 empleados. Si dispone de S/.21 887, ¿cuánto gana cada uno?

Repartimos 218 centenas (C) entre 43, correspondiendo 5 C. Sobran 3 C = 30 D.

CM DM UM C D U –

30 D + 8 D = 38 D No podemos repartir 38 D entre 43.

Escribimos un cero en las decenas del cociente y seguimos dividiendo.

38 D = 380 U 380 U + 7 U = 387 U

2

1

8

2

1

5

–

8

7

43

C D U

3

8

7

3

8

7

5

0

9

cociente

R= 0

Comprobación 21 887 = 509 x 43 + 0

Repartimos 387 U entre 43, correspondiendo 9 U. Sobra 0 de residuo.

Respuesta. Cada uno gana S/.509,00.

2 +3

Resuelve en tu cuaderno

20

1. Efectúa las siguientes divisiones:

2. Halla el cociente y el residuo de:

a) 21 424 : 16

h) 32 410 : 35

a) 12 647 : 8

h) 271 780 : 2 542

b) 22 321 : 221

i) 10 241 : 49

b) 17 482 : 74

i) 30 257 : 2 056

c) 23 460 : 230

j) 19 038 : 38

c) 11 345 : 290

j) 10 250 : 2 578

d) 13 923 : 21

k) 21 887 : 45

d) 79 710 : 2 658

k) 125 836 : 6 256

e) 17 424 : 18

l) 25 893 : 63

e) 90 452 : 4 900

l) 72 689 : 64 341

f) 12 436 : 25

m) 38 450 : 124

f) 10 558 : 422

m) 26 546 : 344

g) 48 632 : 35

n) 58 760 : 130

g) 51 832 : 102

n) 75 870 : 84

veinte

Matemática6_U1_020_029.indd 20

Matemática 6

26/11/12 10:45

Resuelvo problemas Una empresa agroexportadora cosechó 870 toneladas de cacao el año 2010 y lo vendió a US$3 856 la tonelada. ¿Cuánto recaudó por dicha venta? a) US$3 365 720 b) US$3 354 720

a) Comprensión del problema

c) US$3 444 720

Cosechó: 870 t

d) US$3 353 620

Precio por tonelada: US$ 3 856

e) US$3 559 620

b) Concepción de un plan

d) Respuesta La empresa agroexportadora recaudó US$3 354 720.

Si por una tonelada se paga US$ 3 856, por 870 t se pagará 870 veces más. c) Ejecución del plan 3 856 x 870 = 3 354 720

12+ 15+36

Aplico lo aprendido 1. Un camión transporta 15 cajas de gaseosas RK y 18 cajas de gaseosas RI. Si cada caja contiene 24 unidades, ¿cuántas botellas lleva en total?

2. Un comerciante compró en el mercado 385 kg de pollo a 9 nuevos soles el kilogramo y 245 paquetes de arroz a 4 nuevos soles cada paquete. ¿Cuántos nuevos soles pagó por dicha compra?

3. En la casa de Jéssica dejaron una ruma de ladrillos. Su esposo John los llevó a la azotea, cargando 9 ladrillos en cada uno de sus 34 viajes, quedando aún 11 en la puerta. ¿Cuántos ladrillos había en dicha ruma?

Matemática 6

Matemática6_U1_020_029.indd 21

4. Un ganadero vende 438 porcinos. Si el valor de cada porcino es S/.96,00, ¿cuánto es el monto de venta?

5. Una fábrica de juguetes ha producido 15 060 unidades en el semestre del año pasado. ¿Cuántos juguetes ha producido cada mes?

6. Un terreno rectangular mide 90 m de largo y 42 m de ancho. Se desea cercar con una alambrada sostenida por postes colocados cada 6 m. Si cada poste cuesta S/.10,00 y cada metro de alambrada cuesta S/.2,00, ¿cuánto costará el cercado?

veintiuno

21 26/11/12 10:45

Potenciación de números naturales La potenciación es una relación de N x N hacia N. Tiene como conjunto de partida a N x N y como conjunto de llegada al conjunto N. ↑

N x N → N

↑

NxN

↑

N

b

(a ; b)  a↑b = a = c e N

(4 ; 2)  4↑2 = 42 = 16

↑

(a ; b) •

16 es la potencia.

4 es la base.

2 es el exponente.

42 es la potencia indicada.

42 se lee cuatro elevado al cuadrado.

c •

exponente

Definición Se llama potenciación de números naturales a la operación que hace corresponder a cada par ordenado de N x N con su potencia.

ab = c potencia base

La potenciación transforma un par ordenado de números naturales en otro número natural que se llama potencia.

Notas ↑

N

NxN → N

NxN

5 4

↑

a) ∀ x e N; (x ; n)  xn = x.x.x... x

3

n factores ↑

n

↑

0

2 1

b) Si n > 1; (0 ; n)  0 = 0 c) Si n > 1; (n ; 0)  n = 1

↑

0

1

2

3

4

5

22 = 4

↑

d) Si n = 0; (0 ; 0)  00 = No definido ↑

n

e) ∀ n e N; (1 ; n)  1 = 1

• 0

N

• 1

• 2

• 3

• 4

N

• 5

• 6

http://es.scribd.com/doc/7694487/EJERCICIOS-MATEMATICA6-PRIMARIA

22

veintidós

Matemática6_U1_020_029.indd 22

Matemática 6

26/11/12 10:45

2 +3

Propiedades de la potenciación

Resuelve en tu cuaderno

a) Distributiva respecto al producto Sean a, b, n números naturales.

Resuelve. a) (2 x 6)2

e) (5 x 3)2

b) (4 x 5)2

f) (1 x 7)3

Ejemplo:

c) (2 x 3)4

g) (2 x 9)2

(3 x 4)2 = 32 x 42 = 9 x 16 = 144

d) (6 x 1)3

h) (3 x 2)3

b) Distributiva respecto al cociente Sean a, b, n números naturales, donde b ≠ 0.

Resuelve.

n

n

n

(a . b) = a . b

a) (40 : 2)2

e) (10 : 5)3

b) (80 : 4)3

f) (60 : 12)3

c) (10 : 5)2

g) (40 : 8)2

Ejemplo:

d) (90 : 3)2

h) (70 : 10)3

6 2 = 62 = 36 = 9 ( ) 2 22 4

Resuelve.

a n = an ≡ ( ) b bn

n

n

n

(a : b) = a : b

c) Producto de potencias de igual base

m

n

m+n

a .a =a

Ejemplo:

a) 23 x 24

e) 32 x 33

b) 60 x 62

f) 5 x 53

c) 71 x 72

g) 82 x 8

d) 92 x 91

h) 43 x 40

22 x 23 = 22+3 = 25 = 32 Resuelve. d) Cociente de potencia de igual base Sean a, m, n números naturales, m  n.

m

n

m–n

a :a =a

Ejemplo:

a) 410 : 48

e) 510 : 58

b) 520 : 517

f) 920 : 917

c) 10100 : 1098

g) 128 : 128

d) 2081 : 2079

h) 3030 : 3028

56 : 54 = 56 – 4 = 52 = 25 e) Potencia de potencia Para todo a, m, n números naturales.

m n

m.n

(a ) = a

Ejemplo:

(23)2 = 23 x 2 = 26 = 64 Matemática 6

Matemática6_U1_020_029.indd 23

Resuelve. a) (99x)0

e) (22)4

b) (23)2 : (22)3

f) (33)2 : (32)2

c) (102)5 : (104)2

g) (46)2 : (42)6

d) (2 ↑ 3) ↑ 2 : (2 ↑ 4)↑1 h) (84)2 : (80)4 (Ver glosario pág. 35). veintitrés

23 26/11/12 10:45

Radicación en el conjunto de los números naturales El área de un cuadrado es de 100 m2. ¿Cuánto mide su lado?

2

l=?

100 m

A = l2 A = 100 m2 l2 = 100 m2 l = 3100 m2 l = 10 m

índice

raíz 2

3100 m2 = 10 m

radicando

La radicación en N es una relación de N x N hacia N. Tiene como conjunto de partida al conjunto N x N y como conjunto de llegada al conjunto N.

índice

raíz a

3b = c

3 NxN→ N

radicando

a

(a ; b)  3 (a ; b) = 3b = c e N Cuando a = 2 se llama raíz cuadrada, que es materia de nuestro estudio.

a

ca = b ⇔ 3b = c

2 +3

Propiedades de la radicación

Resuelve en tu cuaderno

a) Cancelativa

a) n2 = 36 ⇒ n = 336 = 6

34 = 3a ⇒ 4 = a En general n n 3a = 3b ⇒ a = b

b) x2 = 49 ⇒ x = c) x2 = 81 ⇒ x = d) y2 = 100 ⇒ y = 3

3

4

4

e) 3a = 38 ⇒ a = b) Raíz de un producto 34 x 9 = 34 x 39

h) 325 x 36

=

6

i) 34 x 36

=

j) 316 x 36

=

k) 3625 x 4

=

l) 316 x 144

=

En general n

n

3ab = 3a 3b

24

veinticuatro

Matemática6_U1_020_029.indd 24

g) a3 = 8 ⇒ a =

2x3

n

f) 3x = 3y ⇒ x =

Matemática 6

26/11/12 10:45

2 +3

Raíz de un cociente

Resuelve en tu cuaderno

3 164

1. Halla el valor de a:

= 316 = 4 = 2 34 2

3 n

2 2

a) 3316

8 1

b) 3326

3 3

a) a = En general

3

n

a = 3a , b ≠ 0 n b 3b

2. Resuelve:

b) a =

3

3

c) 33 8 327–1

c) a = 3364 3

d) 2 2 (32)

3 2

d) a = 3364

Raíz de raíz 3

3

3364 = 38 = 2 3x2

6

6

64 = 364 = 326 = 2

6

m p

33a =

mp

a

2

f) a =

En general

e) 5 + 325 – 5

e) a = 364

3

f) 34 x 2 + 38 x 2

325 5

g) 9 + 336 – 11 39

3

g) a = 38 34 4

h) 30 – 24 + 381

2

h) a = 34 x 4

Raíz de una potencia 4

164 = 16 2

162 = 256 n

m

3am = a n

5

3

i) a = 3 39 + 6

j) a = 325x4 + 325 + 34

k) a =

Reducción de índice y exponente 3

3

3/3

34 = 4

4 n n 3a = a porque 3an = a n = a

i) 332 – 2 + 25

2

34 2

k) 33144 – 52

+ 42 – 4 20

10

24 j) 316 + 2

2

10

10

l) a = 3210 3420 + (34)

l) 3364 + 3384

n

n

4

3

m) a = 381 + 3729

m) 3100 + 10 – 42

n

(3a)n = a n

3

3

n) a = 638 + 4327

n) 6325 – 5336

n

3an = (3a)n = a 4

5

ñ) a =33100 + 33100 Matemática 6

Matemática6_U1_020_029.indd 25

3

3

4

ñ) 38 + 327 + 381 veinticinco

25 26/11/12 10:45

Algoritmo para hallar la raíz cuadrada de un número natural 2 +3

Sea A el conjunto de los números impares.

A = {1; 3; 5; 7; 9; ...}

Resuelve en tu cuaderno

Para hallar la raíz cuadrada de un número natural, restamos sucesivamente números impares. La raíz cuadrada es el número de veces que se restan.

1. Halla la raíz cuadrada usando esta técnica.

• Hallamos la raíz cuadrada de 4.

34 = 2

resto 1 → –1

3 2 veces

resto 3 → –3

0

a) 316

d) 349

b) 325

e) 364

c) 336

f) 381

2. Efectúa: a) 734 x 639

c) (381 : 39) 349

b) 4325 + 100

d) 5364 + 805

Raíz cuadrada de números mayores que 100 • Hallamos 3121. o o Se forman periodos de dos cifras, 1 2 121 de derecha a izquierda.

Se procede a restar impares de izquierda a derecha.

3121 = –1 0

veintiseis

Matemática6_U1_020_029.indd 26

1. Efectúa las operaciones. 2. Halla la raíz de: a) 4325

b) 3169

b) 31000

c) 3196

c) 538 – 39

d) 3225

d) 349 . 3225

3121 = 1

e) 23144 + 33169

e) 4(3225)

–1 1 vez 021

f) 342 + 3332

f) 10 (325 + 336)

g) 10342 + 3225

g) 3625 + 3529

h) 3256 + 3225

h) 2(3625 – 102)

i) 39 (3256 – 34)

i) 31024

j) 3289 + 102 – 5 x 10

j) 32704

A la última cifra que resté 3121 = 11 le sumo 1, queda 2. A esta –1 1 vez +1 021 cifra le acompaño con el 1 vez –21 primer impar y formo 21, 0 que es el número que se resta.

26

Resuelve en tu cuaderno

a) 3144

A cero (0) no se le puede quitar otro impar. ¿Cuántas veces he restado en este periodo? ¡Una vez!

Esta cifra es la primera cifra de la raíz.

Se bajan las cifras del siguiente periodo.

2 +3

3

3

Matemática 6

26/11/12 10:45

Operaciones combinadas Sabías que...

Para resolver operaciones combinadas con signos de agrupación, se efectúan primero las operaciones indicadas dentro del signo de agrupación, si las hubiera.

Analí, Jesús e Irene han vendido boletos de rifa para ir de excursión. Analí vendió 25, Jesús 10 más que Analí e Irene 5 menos que Analí. ¿Cuánto ha sido la recaudación total si cada boleto costó S/. 3,00?

Resolución a) Datos b) Concepción del plan c) Ejecución del plan Analí: 25 3A + 3J + 3I 3 x 25 + 3 (25 + 10) + 3 (25 – 5) Jesús: 25 + 10

75 + 3 x 35 + 3 x 20 Irene: 25 – 5 75 + 105 + 60 3 (25) + 3 (25 + 10) + 3 (25 – 5) RT = ?

180 + 60 c/b = S/.3,00

240 Respuesta. La recaudación total ha sido S/.240,00.

12+ 15+36

Aplico lo aprendido Resuelve en tu cuaderno. a) 24 +3 (16 – 5)

k) 3 {4 [8 + 5 (5 x 3 – 10)] – 2 (40 – 10)}

b) 74 + 5 – (72 : 9) + 16

l) 6 x 3 + [6 + 3 (23 : 4 + 4 x 3) – 7]

c) 4 x 2 + 15 + 6 – 2

m) 2 x 34 + (2 + 6 – 3) – 3 x 1

d) 9 x 5 + (5 + 6 – 8) – 14 : 7

n) 6 {325 x 60 – [4 x 2 + (5 x 6)]}

e) 3 + 8 (2 x 4)2 – 10

ñ) 300 + [(120 : 5) – 32] + 3381

f) 445 – [30 + 4 (21 – 12)]

o) 23 + 92 : [6 + (3 x 2 + 7) : (30 – 11)]

g) [60 : 5] +[2 + (15 : 3) – 6] – 4

p) 400 – [200 : (9 + 5 – 3 x 4) – (4 x 8) : 16]

h) (20 x 3 + 1) – (16 : 4 +10) + 40

q) 3(6 + 4)2 – [(5 – 1)2 : 22 – 1]

i) 1 000 – (3 x 5 + 18 : 6 – 1)

r) [(100 : 25 + 1) – 3] + [100 x 25 + 3]

j) 642 – 3 (22 + 4 x 6 – 5)

s) (32 : 3 + 4 : 2) x (53 : 52 + 6 – 5) + 3144

Matemática 6

Matemática6_U1_020_029.indd 27

veintisiete

27 26/11/12 10:45

Sucesiones de números naturales Paul ahorra en el banco “Gana Plata”. El día lunes depositó S/.10,00, el martes S/.15,00, el miércoles S/.20,00. Siguiendo este patrón, ¿cuánto depositará el día sábado? ?

10; 15; 20; ...

Concepto de sucesión Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro, de acuerdo a una ley (patrón) de formación.

Notación Sn: a1; a2; a3; ...; an a1; a2; a3; ...

Son los términos de la sucesión.

Subíndice (1; 2; 3; ...)

Indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

Ejercicios resueltos 1. Encontremos el número que sigue.

2. Hallemos el valor de (x + y) en la sucesión.

Sn: 10; 15; 20; 25; 30; ...

Sn: 1; 8; 15; 22; x; y

+5

+5

+5

+5

+7 +7 +7 +7 +7

• El número que sigue es 35.

• Sn es una sucesión aritmética (se suma 5).

3. Hallemos el término que falta.

Sn: 1; 2; 4; 8; ...

• 22 + 7 = x x = 29 • 29 + 7 = y y = 36 \ x + y = 29 + 36 = 65 Respuesta. El valor de x + y = 65.

4. Hallemos el valor de 5x en la sucesión.

x2 x2 x2

• El número que falta es 16.

• Sn es una sucesión geométrica (se multiplica por 2).

2 +3

Sn: 64; 128; 256; 512; x x2

x2

x2

x2

• x = 1 024 5x = 5 (1 024)

= 5 120 Respuesta. El valor de 5x = 5 120.

Resuelve en tu cuaderno Halla el valor del número que falta.

28

a) Sn: 1; 4; 7; 10; 13; ...

f) Sn: 11; 15; 19; 23; ...

b) Sn: 5; 11; 17; 23; ...

g) Sn: 15; 23; 31; 39; 47; ...

c) Sn: 4; 12; 36; 108; ...

h) Sn: 5; 10; 20; 40; 80; ...

d) Sn: 5; 9; 13; 17; 21; ...

i) Sn: 1; 3; 9; 27; 81; ...

e) Sn: 8; 10; 16; 26; 40; ...

j) Sn: 98; 88; 80; 74; 70; ...

veintiocho

Matemática6_U1_020_029.indd 28

Matemática 6

26/11/12 10:45

Ley de formación de una sucesión Vamos hallar el décimo quinto término de la sucesión.

Sn: 5; 8; 11; 14; 17; ... an donde: a1 = 5; a = 3 ; n = 15 Por inducción: a1 = 5 = 5 + 3 (1 – 1) a2 = 8 = 5 + 3 (2 – 1) a3 = 11 = 5 + 3 (3 – 1) a4 = 14 = 5 + 3 (4 – 1) ...

...

an = a15 = 5 + 3 (15 – 1)

= 5 + 3 (14)

= 47 \an = a1 + a (n – 1) Otras formas • Por la forma general: an = a . n + b donde a = razón

n = término enésimo

b = se halla por evaluación a15 = 3 x 15 + 2 = 45 + 2 = 47

a1 = 3 x 1 + b 5=3+b 2=b

• a0; a1; a2; a3; a4; a5; ...; an 2; 5; 8; 11; 14; 17; ...; an +3 +3 +3 +3 +3

an = 3n + 2 a15 = 3 (15) + 2 = 45 + 2 = 47

a0 = a1 – a =5–3 =2

10 + 8

Aplico lo aprendido 1. Halla la ley de formación de cada sucesión. a) Sn: 2; 4; 6; 8; 10; 12 b) Sn: 1; 101; 201; 301; 401 c) Sn: 11; 30; 49; 68; 87 d) Sn: 110; 120; 130; 140 e) Sn: 600; 500; 400; 300 f) Sn: 1; 11; 21; 31; 41 g) Sn: 99; 93; 87; 81;75 Matemática 6

Matemática6_U1_020_029.indd 29

2. Sea la Sn = 80; 85; 90; 95; ...; an a) Halla la ley de formación. b) Halla los términos a5 y a20.

3. Sea Sn = 15; 22; 29; 36; ...; an a) Halla la ley de formación. b) Halla los términos a15 y a40.

4. Sea Sn = 35; 56; 77; 98; 119; ...; an a) Halla la ley de formación. b) Halla los términos a30 y a90.

5. Sea Sn = 300; 380; 460; 540; 620; ...; an a) Halla la ley de formación. b) Halla los términos a11 y a120. veintinueve

29 26/11/12 10:45

Sección de

CIERRE

Actividades de seguimiento y refuerzo 12+ 15+36

Nivel básico

Resuelve en tu cuaderno 1. Escribe en números las siguientes cantidades:

5 3

8. Si M = (3315)30,

¿cuál es valor de M2 + 1?

a) Tres millones ciento dos b) Cinco millones tres

9. Si P = 310100 x (34)16,

c) Seis millones nueve mil

50

8

halla 2P – 100.

d) Nueve millones quince mil ocho 10. Halla el valor de m + n, si 2. Escribe los nombres de los siguientes números: a) 3 001 012

mn = 144 y 11n = 121.

11. Halla el valor de E,

b) 4 100 001

25

13

3550 x 3339 . si E =

75

c) 5 090 010 d) 8 196 009

3

12. Si 331 = x, encuentra el valor 3. Calcula el valor de N,

si N =

72 x 79 7

8

.

3 3 108+2 – 3216, 13. Si E = (349 + 38)3 +

107

4. Si P = (84)2 : 86, ¿cuál es el valor de P? 102+5

5. Si N =

102 x 104

30

3

3

33312 + 3326

treinta

Matemática6_U1_030_035.indd 30

halla E + 100.

3

, ¿cuál es el valor de N?

82+x = 84 , halla el valor de x.

6. Si 3

8 7. Resuelve:

de x2 + 2x – 1.

14. Si N = [(3144)2 : 12]2 – 3216,

halla (N + 1)2.

15. Nelly vendió 30 m de tela a S/.360,00.

Si ha ganado S/.60,00 por dicha venta, ¿cuántos nuevos soles ganará si vende 80 m de la misma tela?

Matemática 6

26/11/12 10:45

12+ 15+36

Nivel intermedio

Resuelve en tu cuaderno 1. La tienda de Saúl se llama “Mi Mica”.

Si Saúl vende una camisa a S/.35,00 ganando S/.5,00, ¿cuántas docenas de camisa se podrán comprar con S/.5 400,00?

6. Daniel tiene una deuda en el quiosco de su institución educativa. él se compromete a pagarla en tres semanas. La primera semana da 8 nuevos soles, la segunda semana 6 nuevos soles, y la tercera semana tanto como en la segunda más un nuevo sol. ¿Cuánto es su deuda en nuevos soles?

2. Eduardo tiene 15 años, Paul 3 años menos que Eduardo, y María la suma de las edades de Eduardo y Paul juntos disminuida en 5. ¿Cuántos años suman en total?

3. Joel practica para las olimpiadas de atletismo. El primer día recorre 5 km, el segundo día 2 km menos que el primer día y el tercer día 2 km más que el segundo día. Si aún le faltan 3 km para completar su meta, ¿cuántos kilómetros recorrerá?

4. Julia tiene un ciento de naranjas, Elsa un cuarto de ciento más que Julia y Rocío la suma de lo que tienen Julia y Elsa. ¿Cuántas naranjas tiene Rocío?

5. En la institución educativa “M.T.” hay 40 estudiantes en primer grado, en segundo grado 5 más que en primer grado y en tercer grado 2 más que en primer grado. ¿Cuántos estudiantes hay en total?

7. Carlos se propone practicar matemática diariamente. El primer día resuelve 3 problemas, el segundo día 8 problemas, el tercer día 15 problemas y el cuarto día 24 problemas. Si continúa con este patrón, ¿cuántos problemas resolverá el quinto día?

8. Un agricultor de páprika cosechó 1 895 kg, pero tuvo que quemar 35 kg por estar contaminados con hongos, y el resto de la cosecha lo guardó en cajas de 15 kg. ¿Cuánta cajas utilizó?

9. Un mayorista vende 50 m de tela a S/.1 750,00 ganando S/.4,00 por un par de metros. Si vende 300 m a una empresa, ¿cuántos nuevos soles ganará por esa venta?

10. Laura compra una docena de camisas a S/.336,00 y la vende por unidad a S/.40,00.

Si ganó S/.8 064,00, ¿cuántas camisas tuvo que vender?

Matemática 6

Matemática6_U1_030_035.indd 31

treinta y uno

31 26/11/12 10:45

12+ 15+36

Nivel avanzado

Resuelve en tu cuaderno 1. Isaac, Rudy y Paulo quieren comprar una computadora como regalo para su padre. Isaac aporta S/.148,00, Rudy S/.435,00 más de lo que aportó Isaac, y Paulo tanto como Isaac y Rudy juntos. ¿Cuánto costó la computadora?

2. Una empresa tiene 3 socios y un capital de S/.35 995,00. Si Franco aportó S/.8 595,00 e Iván S/.1 500,00 menos que Franco, ¿cuánto aportó el tercer socio?

3. Un carro puede llevar hasta 400 kg de masa. Si Noé tiene 95 kg, Jair 110 kg, Neil 56 kg y Leo 75 kg, ¿cuántos kilogramos puede pesar, como máximo, otro pasajero?

4. En una granja había 26 500 pollitos.

Si el lunes se vendió 990 pollitos y el martes 90 menos que el lunes, ¿cuánto se vendió el miércoles si solo quedan 10 000 pollitos?

5. El Estadio Nacional tiene una capacidad para 80 000 personas. Un día antes del partido se había vendido 48 595 entradas. ¿Cuántos boletos se vendió el último día si quedan 1 500 asientos vacíos?

32

treinta y dos

Matemática6_U1_030_035.indd 32

6. La constructora "Las Casas" tiene 456 trabajadores, de los cuales 87 son ingenieros. Si cada uno de estos gana mensualmente S/.7 896,00 y los obreros S/.1 679,00 cada uno, ¿a cuántos nuevos soles asciende la planilla mensual de esa constructora?

7. En una colecta pública por la lucha contra el sida participan 27 colegios con 16 jóvenes cada uno. Al cabo de la jornada cada joven recolectó 79 nuevos soles. ¿Cuántos nuevos soles fue el total recaudado?

8. El mayor de cuatro hermanos tiene 10 años y los otros tres tienen 9, 5 y 4 años menos que el mayor, respectivamente. ¿Cuánto sumará las edades de los cuatro hermanos dentro de 3 años?

9. Lucio desea comprar un tren eléctrico que cuesta S/.820,00. él tiene ahorrado S/.240,00. Además, su mamá le da S/.125,00 y su tío Tito le regala S/.175,00.

Si su papá le da la diferencia que le falta, ¿cuántos nuevos soles aportará su papá?

Matemática 6

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Hagamos un mapa conceptual.

Números naturales sus elementos son N = {0; 1; 2; 3; 4; ...} sirven para operar en

adición

sustracción

multiplicación

Me divierto con las matemáticas

Instrucciones • Juegan dos estudiantes.

• Coloca 30 chapas en una mesa.

• Realiza un sorteo para iniciar el juego.

• Se juega alternadamente.

TIC • Usa tu calculadora para hallar el cociente.

división

potenciación

radicación

Reglas del juego • El primero saca una o dos chapas, luego sigue el segundo quien saca una o dos chapas, así alternadamente.

• Gana el que retira las últimas chapas.

226 644 : 2 244 = ______ 446 622 : 4 422 = ______ 117 766 : 1 166 = ______

101 x 6 611 = ______ 101 x 3 344 = ______

44 844 : 101 = ______ 33 633 : 101 = ______ 22 422 : 101 = ______

111 x 101 = ______ 555 x 101 = ______

Calcula mentalmente.

VI Concurso Regional Escolar de Matemática (CREM-2010)

Referencia bibliográfica

1. Un gerente ahorra S/.4 800,00 al año, esta cantidad es mayor en S/.120,00 de lo que ahorra anualmente su ayudante. ¿Cuántos nuevos soles ahorra mensualmente el ayudante?

• Planeta de Agostini (2006). El aula en casa.

Aritmética y álgebra. Lima, Perú: Empresa Editora El Comercio. 175 págs.

• Lexus (2010). La biblia de las matemáticas.

Barcelona, España: Editorial Grafos. 1032 págs.

• Schoroeder, Joachim (2000). El universo de los números. Lima, Perú: Ministerio de Educación.

98 págs.

a) 380

b) 390

c) 410

d) 450

2. Si Leticia tiene 15 años y su madre le lleva 20 años, ¿cuánto suman las edades de ambas?

a) 35

b) 45

c) 50

d) 55

Matemática 6

Matemática6_U1_030_035.indd 33

Enlace web • http://20874.tudocente.com/wp-content/ uploads/2010/10/PRUEBA-DE-MATEMATICAPRIMARIA-2010.pdf • www.geolay.com/modulos_primero/mat_regnumericas.doc (Patrones aditivos y multiplicativos). treinta y tres

33 26/11/12 10:45

Sección de

EVALUACIón

Evaluación formativa Resuelve en tu cuaderno 1. Si E = 39 x 32 – [43 : (42 – 4 x 2)], halla E + 100.

2. En una granja había 25 690 gallinas. Si han muerto por enfermedad 7 509 y el doble de esa cantidad se ha vendido, ¿cuántas gallinas quedan en la granja?

3. Los dinosaurios aparecieron hace doscientos cincuenta millones de años en la Tierra. ¿Cómo se escribe este número usando cifras?

7. Lorena compra un televisor a crédito para pagarlo en 12 cuotas iguales. Si el costo total a pagar es S/.1 980,00, y sabemos que ya ha pagado 7 cuotas, ¿cuántos nuevos soles debe?

8. El producto de dos números es 576 y el cociente es 9. Si la edad de John es representada por el número menor, ¿cuántos años tiene John?

9. Las figuras siguen un patrón de formación. ¿Cuántos elementos tiene la figura a20?

Sn: 10; 12; 14; 16; ...; a20

10. Edgar y sus cinco hermanos festejaron el cumpleaños de su mamá. Gastaron S/.570,00 en comida y S/.55,00 la hora de alquiler de un equipo de sonido. Si la fiesta duró 6 horas y los gastos los asumieron en partes iguales, ¿cuánto pagó cada uno?

treinta y cuatro

Matemática6_U1_030_035.indd 34

a1

? a20

4. Halla a20 en la sucesión.

5. Arturo y su hermano compran un radio a S/.195,00 y un televisor que cuesta S/.450,00 más que el radio. Si pagaron con cinco billetes de S/.200,00, ¿cuántos nuevos soles recibieron de vuelto?

34

6. Marco tiene 12 años más que Pedro, quien tiene 8 años, y Daniel tiene 5 años más que Marco. Si la suma de sus tres edades es 53 años, ¿cuál es la edad de Daniel?

a2

a3 ...

Matemática 6

26/11/12 10:45

Glosario matemático Producto cartesiano. Se llama producto cartesiano de N por N al conjunto de todos los pares ordenados (a ; b), tal que a e N y b e N, y lo denotamos N x N. N x N = {(a ; b) / a e N y b e N} Operación Adición

Símbolo +

Definición + N NxN→ +

(a ; b)  a + b = c e N Siempre existe c.

–

Multiplicación

x

(a ; b)  a . b = c e N Siempre existe c.

División

:

(a ; b)  a : b = c No siempre existe c.

x

Radicación

3

→

→

→

:

Potenciación

(a ; b)  a b = a

3

a

(a ; b)  3b

2

b

(1 ; 2)

(3 ; 2)

1 0

– (a ; b)  a–b=ceN ' c sii a > b

Sustracción

N

1 (1 ; 0)

2

Elementos 100 + 200 300 800 – 100 700 400 x 9 3600

Propiedades

sumandos suma minuendo sustraendo diferencia multiplicando multiplicador producto

dividendo 100 2 residuo 0 50

N

3

divisor cociente

exponente 1002 = 10 000 potencia base índice 3 31 000 = 10 raíz radicando

Elemento neutro es 0.

2M = M + S + D Elemento neutro es 1. Elemento absorbente es 0. n no existe 0 (a. b)n = an . bn n

n

n

3ab = 3a . 3b m p mp 33a = 3a

Autoevaluación Evaluación Como estudiante seré capaz de: formativa Resolver problemas que involucran las operaciones de adición y 2; 10; 5; 6; 7 sustracción con números naturales, con resultados de hasta seis cifras.

Resolver problemas que involucran las operaciones de multiplicación y 2; 10; 5; 7; 8 división con números naturales, con resultados de hasta seis cifras.

Resolver ejercicios con las cuatro operaciones, con números naturales.

1 Utilizar los números naturales hasta las centenas de millón para 3 representar cantidades que manejo con letras o símbolos.

Reconocer o señalar el número que continúa en una sucesión.

4; 9

Metacognición 1. ¿Qué operación te resultó más fácil de comprender?

2. ¿Qué operación te resultó difícil de entender?

3. ¿Crees que es necesario utilizar la calculadora para resolver problemas? ¿Por qué?

Matemática 6

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treinta y cinco

35 26/11/12 10:45

wwww. edi t or i al mar i at r i ni dad. c om. pe