Ejercicio 1 Se va a instalar una tubería desde una refinería hasta los tanques de almacenamiento (como se muestra en la figura). El costo de instalación es de 25 000 dólares por km sobre el pantano y 20000 dólares por km sobre tierra. a. Modele una expresión que permita calcular el costo total de instalación de la tubería en términos de �. b. Determine la derivada de la expresión “costo total de instalación”, con respecto de �. c. Calcule el valor de “�” de modo que el costo total de instalación de la tubería sea el menor posible. Justifique su resultado con la segunda derivada. RESOLUCIÓN: a. La longitud sobre la tierra es
4− X
c t ( x )=2 0000(4− X ) Del mismo modo la longitud sobre el pantano es c p ( x )=25000 √ x2 +16 Por lo tanto: C ( x )=c t + c p C ( x )=2 0000 ( 4−x ) +25000 √ x 2+16 Donde el dominio de la función es [0,4]
C= Costo total CP =Costo sobre el pantano Ct =Costo sobre tierra
√ x2 +16
b. Derivamos la función C para obtener el costo total de instalación. C ( X ) =20000 ( 4−X ) +25000 √ X 2 +16 C ´ ( X ) =−20000+
25000 X √ X 2 +16
c. Igualamos a cero la derivada, para encontrar los puntos críticos.
C ´ ( X ) =0 −20000+
X=
25000 X =0 √ X 2 +16
16 3 Ahora calculamos la segunda derivada:
C' ' ( X ) =
400000 (X +16) √ X 2 +16 2
Al evaluar a la segunda derivada en
X=
16 3
resulta que C’’ (16/3) > 0,
por lo que en X=16/3 hay un mínimo relativo; pero este es el único punto crítico en el intervalo [0,4]. Por lo tanto, en X=16/3 hay un mínimo absoluto.