INSTITUTO PROVINCIAL DE ADULTOS
Departamento de Matemáticas
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Ejercicio nº 1.- Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en R: 2 x 2 + ax si f (x ) = 2 bx + 2 x − 1 si
x ≤1 x >1
Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = 1:
(
)
lím f (x ) = lím− 2 x 2 + ax = 2 + a
2 lím+ f (x ) = lím+ bx + 2 x − 1 = b + 1 x →1 x →1 f (1) = 2 + a x →1−
x →1
(
)
Para que sea continua, ha de ser 2 + a = b + 1, es decir: a = b – 1 • Derivabilidad: - Si x ≠ 1: f (x) es derivable, y su derivada es: 4 x + a f ' (x ) = 2bx + 2
si si
x <1 x >1
- En x = 1: Para que sea derivable, debe ser:
( ) ( )
f ' 1− = 4 + a 4 + a = 2b + 2 → a = 2b − 2 f ' 1+ = 2b + 2
• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que: a = b −1 b − 1 = 2b − 2 → b = 1 → a = 0 a = 2b − 2
1
Ejercicio nº 2.- Halla la derivada de las funciones:
(
)
a) y = x − x e x
b) y =
x2 −1 3x 3 + 2
Solución: 1 a) y ' = 1 − 2 x b) y ' =
(
)
x 1 e + x − x e x = 1 − + x − x e x 2 x
2 x (3 x 3 + 2 ) − ( x 2 − 1) · 9 x 2 6 x 4 + 4 x − 9 x 4 + 9 x 2 − 3 x 4 + 9 x 2 + 4 x = = (3 x 3 + 2 ) 2 (3 x 3 + 2) 2 (3 x 3 + 2 ) 2
Ejercicio nº 3.- Halla la derivada de estas funciones:
(
a) y = 3 x 2 − 4
)
2x b) y = ln 3x + 1
5
Solución:
(
)
4
(
a) y ' = 5 3 x 2 − 4 6 x = 30 x 3 x 2 − 4 b) y ' =
=
)
4
1 2 (3 x + 1) − 2 x · 3 (3 x + 1) 6 x + 2 − 6 x (3 x + 1) · 2 · = · = = 2x 2x (3 x + 1) 2 (3 x + 1) 2 2 x (3 x + 1) 2 3x + 1 1 1 = x (3 x + 1) 3 x 2 + x
Ejercicio nº 4.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 – 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2. Solución: • Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser: f '(x) = 10 x = −1 f ' (x ) = 12 x 2 − 2 = 10 → 12 x 2 = 12 → x 2 = 1 → x = 1
• Ordenadas en los puntos: f (–1) = –1; f (1) = 3 • Ecuaciones de las rectas tangentes: - En x = –1 → y = –1 + 10 (x + 1) → y = 10x + 9 - En x = 1 → y = 3 + 10 (x – 1) → y = 10x – 7
2
Ejercicio nº 5.- Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x –2)2 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. Solución: • Derivada: f '(x) = 2 (x – 2) (x + 1) + (x – 2)2 = (x – 2) [2 (x + 1) + x – 2] = = (x – 2) (2x + 2 + x – 2) = 3x (x – 2) = 3x2 – 6x x = 0 f ' (x ) = 0 → 3 x (x − 2) = 0 → x = 2
• Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (–∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). • Segunda derivada: f ''(x) = 6x – 6 f ''(x) = 0 → 6x – 6 = 0 → x = 1 • Signo de f ''(x):
f (x) es convexa en (–∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).
Ejercicio nº 6.- La función f (x) está definida por: 2 x si x < 0 f (x ) = x 2 + x + 1 si 0 ≤ x < 2 5 si x ≥ 2
Estudia su continuidad y su derivabilidad. Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
3
- En x = 0: lím f (x ) = lím− 2 x = 1
2 lím+ f (x ) = lím+ x + x + 1 = 1 f (x ) es continua en x = 0. x →0 x →0 f (0 ) = 1 x →0 −
x →0
(
)
(
)
- En x = 2: lím f (x ) = lím− x 2 + x + 1 = 7 x →2 f (x ) no es continua en x = 2. lím+ f (x ) = lím+ 5 = 5 x →2 x →2 x →2 −
• Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2 → f (x) es derivable, y su derivada es: 2 x ln 2 f (x ) = 2 x + 1 0
si
x<0
si si
0<x<2 x>2
- En x = 0: Como f '(0–) = ln 2 ≠ f '(0+) = 1, f (x) no es derivable en x = 0. - En x = 2: No es derivable, pues no es continua.
Ejercicio nº 7.- Deriva las siguientes funciones: a) f (x ) =
4+ x x2 +1
b) f (x ) = e x cos x + ln x
Solución: 1 a) f ' (x ) =
=
2 x
x2 +1
( x 2 + 1) − ( 4 + x ) · 2 x =
( x 2 + 1) 2
2 x
8x + 2x x 1 x 2 + 1 − 16 x x − 4 x 2 = = 2 2 ( x + 1) 2 x ( x 2 + 1) 2 −
− 3 x 2 − 16 x x + 1 2 x ( x 2 + 1) 2
b) f ' (x ) = e x cos x − e x sen x +
1 x
Ejercicio nº 8.- Calcula la derivada de estas funciones: a) f (x ) =
2x x +3
(
b) f (x ) = ln x 3 − 3 x
)
4
Solución: a) f ' (x ) =
1 2
b) f ' (x ) =
·
2x x +3
2 ( x + 3) − 2 x x + 3 2x + 6 − 2 x 6 x+3 = · = = 2 2 ( x + 3) ( x + 3) 2 2x 2 2 x ( x + 3) 2
(
3 x +3 2 x ( x + 3) 2
)
1 3x 2 − 3 2 · 3 x − 3 = x 3 − 3x x 3 − 3x
Ejercicio nº 9.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2 – 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y – 1 = 0. Solución: • Si es paralela a la recta 2 x + 3 y − 1 = 0 → y =
y' =
−2 x + 1 , tendrá la misma pendiente : 3
−2 3
f ' (x ) = 4 x − 3 =
−2 7 7 → 4x = → x= 3 3 12
• Ordenada en el punto: 7 −5 f = 12 72
• Ecuación de la recta tangente: y=
−5 2 7 −2 23 − x − x+ → y= 72 3 12 3 72
Ejercicio nº 10.- Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión: f (x ) =
x4 x3 − − x2 +1 12 9
Solución: • Derivada: f ' (x ) =
x3 x2 − − 2x 3 3
5
f ' (x ) = 0 →
(
)
x 3 − x 2 − 6x x x 2 − x − 6 = =0 3 3
x = 0 x 2 − x − 6 = 0 → x = 1 ± 1 + 24 2
x = 0 x = 3
• Signo de f' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene −7 − 17 un mínimo en − 2, y otro en 3, . Tiene un máximo en (0, 1). 9 4 • Segunda derivada: f ' ' (x ) = x 2 −
2x −2 3
f ' ' (x ) = 0 → 3 x 2 − 2 x − 6 = 0 → x =
2 ± 4 + 72 2 ± 76 x ≈ −1,12 = 6 6 x ≈ 1,79
• Signo de f '' (x):
f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión: (−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99) Ejercicio nº 11.- Dada la función: 2
f (x ) = x − 2
x 2 − 2x − 6
si si si
x <0 0≤x <4 x ≥4
estudia su continuidad y su derivabilidad.
Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = 0:
6
lím f (x ) = lím− 2 = 2
f (x ) no es continua en x = 0. lím+ f (x ) = lím+ (x − 2) = −2 x →0 x →0 x →0 −
x →0
- En x = 4: lím f (x ) = lím− (x − 2) = 2
2 lím+ f (x ) = lím+ x − 2 x − 6 = 2 f (x ) es continua en x = 4. x →4 x →4 f (4 ) = 2 x →4−
x →4
(
)
• Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x) es derivable, y su derivada es: 0 f ' (x ) = 1 2 x − 2
x<0 0<x<4 x>4
si si si
- En x = 0: No es derivable, pues no es continua. - En x = 4: Como f '(4–) = 1 ≠ f '(4+) = 6, f (x) no es derivable en x = 4. Ejercicio nº 12.- Halla la derivada de:
(
)
a) f (x ) = 5 x − 3 e x
b) f (x ) =
2 x ( x + 1) x2 −2
Solución:
(
)
a) f ' (x ) =
5 ex + 5 x − 3 ex = + 5 x − 3 e x 2 x 2 x
b) f (x ) =
2x 2 + 2x x2 − 2
5
f ' (x ) =
=
( 4 x + 2) ( x 2 − 2) − ( 2 x 2 + 2 x ) · 2 x 4 x 3 − 8 x + 2 x 2 − 4 − 4 x 3 − 4 x 2 = = ( x 2 − 2) 2 ( x 2 − 2) 2 − 2x 2 − 8 x − 4 ( x 2 − 2) 2
Ejercicio nº 13.- Deriva estas funciones:
(
a) y = sen 2 x 2 − 3
)
b) y =
4x (3 x + 1)2
7
Solución: a) y ' = 2 sen (x2 – 3) cos (x2 – 3) · 2x = 4x sen (x2 – 3) cos (x2 – 3) b) y ' =
4 (3 x + 1) 2 − 4 x · 2 (3 x + 1) · 3 (3 x + 1) [ 4 (3 x + 1) − 24 x ] 12 x + 4 − 24 x − 12 x + 4 = = = (3 x + 1) 4 (3 x + 1) 4 (3 x + 1) 3 (3 x + 1) 3
Ejercicio nº 14.Dada la función f (x ) = e 3 x abscisa x0 = –1.
2
−3
, escribe la ecuación de su recta tangente en el punto de
Solución: • Ordenada en el punto: f (–1) = 1 • Pendiente de la recta: f ' (x ) = e 3 x
2
−3
· 6x
f (–1) = –6 • Ecuación de la recta tangente: y = 1 – 6 (x + 1) → y = –6x – 5 Ejercicio nº 15.- Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: f (x ) =
x 2 − 2x + 2 x −1
Solución: • Dominio = R − {1} • Derivada: f ' (x ) =
(2 x − 2 ) (x − 1) − (x 2 − 2 x + 2) = 2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − x 2 + 2 x − 2 = x 2 − 2 x (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2
f ' (x ) = 0
x = 0 → x 2 − 2 x = 0 → x (x − 2 ) = 0 x = 2
• Signo de f' (x).
f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).
8
Ejercicio nº 16.- Halla los valores de m y n para que la siguiente función sea continua y derivable en R: x 2 + 3 x + m f (x ) = 2 x − nx
si si
x ≤ −1 x > −1
Solución: • Continuidad: - Si x ≠ −1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. - En x = −1:
(
)
lím f (x ) = lím− x 2 + 3 x + m = m − 2 x → −1 lím+ f (x ) = lím+ x 2 − nx = n + 1 x → −1 x → −1 f (− 1) = m − 2 x → −1−
(
)
Para que sea continua, ha de ser m – 2 = n + 1, es decir: m = n + 3 • Derivabilidad: - Si x ≠ −1: f (x) es derivable, y su derivada es: 2 x + 3 f ' (x ) = 2 x − n
si
x < −1
si
x > −1
- En x = −1: f '(–1–) = 1; f '(–1+) = –2 –n Para que sea derivable, ha de ser 1 = –2 – n, es decir: n = –3 • Uniendo las dos condiciones anteriores: m = n + 3 m = 0 n = −3 n = −3
(En este caso quedaría f (x) = x2 + 3x para todo x). Ejercicio nº 17.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f (x ) = 3 x 2 + x 2 sen x
b) f (x ) =
2x 2 − 3x ex
Solución: a) f ' (x ) =
2 3
3 x
+ 2 x sen x + x 2 cos x
9
b) f ' (x ) =
( 4 x − 3 ) e x − (2 x 2 − 3 x ) e x e x ( 4 x − 3 − 2 x 2 + 3 x ) − 2 x 2 + 7 x − 3 = = (e x ) 2 (e x ) 2 ex
Ejercicio nº 18.- Obtén la derivada de estas funciones:
(
a) f (x ) = log 2 3 x 2 − 2
)
(
b) f (x ) = e x + 3 x 3
)
2
Solución: a) f ' (x ) =
1
1 6x · 6x = 2 ln 2 3x − 2 (3 x − 2) ln 2 ·
2
b) f '(x) = 2 (ex + 3x3) · (ex + 9x2)
Ejercicio nº 19. Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva y =
x −2 en el punto de corte con el x +1
eje de absisas. Solución: • Punto de corte con el eje X: y =0 →
x−2 → x − 2 = 0 → x = 2 → Punto (2, 0 ) x +1
• Pendiente de la recta: y'=
x + 1 − ( x − 2) x + 1 − x + 2 3 = = 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2
y ' (2) =
3 1 = 9 3
• Ecuación de la recta tangente: y=
1 (x − 2) → y = 1 x − 2 3 3 3
Ejercicio nº 20.- Considera la función: f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión. Solución: a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12
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f '(x) = 0 → 6 (x2 + 3x + 2) = 0 x=
x = −1 −3 ± 9 −8 −3 ±1 = → 2 2 x = −2
• Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (–∞, –2) ∪ (–1, +∞); es decreciente en (–2, –1). Tiene un máximo en (–2, –3) y un mínimo en (–1, –4). b) f ''(x) = 12x +18 f ' ' (x ) = 0 → 12 x + 18 = 0 → x =
−18 −3 = 12 2
• Signo de f ''(x):
−3 −3 f (x ) es convexa en − ∞, , + ∞ . Tiene un punto de ; es cóncava en 2 2 −3 −7 inflexión en , . 2 2
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