77 ejercicios resueltos de derivadas

INSTITUTO PROVINCIAL DE ADULTOS

Departamento de Matemáticas

EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS Ejercicio nº 1.- Calcula los valores de a y b para que f (x) sea continua y derivable en R: 2 x 2 + ax si f (x ) =  2 bx + 2 x − 1 si 

x ≤1 x >1

Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x = 1:

(

)

lím f (x ) = lím− 2 x 2 + ax = 2 + a

   2 lím+ f (x ) = lím+ bx + 2 x − 1 = b + 1 x →1 x →1   f (1) = 2 + a  x →1−

x →1

(

)

Para que sea continua, ha de ser 2 + a = b + 1, es decir: a = b – 1 • Derivabilidad: - Si x ≠ 1: f (x) es derivable, y su derivada es: 4 x + a f ' (x ) =  2bx + 2

si si

x <1 x >1

- En x = 1: Para que sea derivable, debe ser:

( ) ( )

f ' 1− = 4 + a   4 + a = 2b + 2 → a = 2b − 2 f ' 1+ = 2b + 2

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que: a = b −1   b − 1 = 2b − 2 → b = 1 → a = 0 a = 2b − 2

1

Ejercicio nº 2.- Halla la derivada de las funciones:

(

)

a) y = x − x e x

b) y =

x2 −1 3x 3 + 2

Solución:  1 a) y ' = 1 −  2 x b) y ' =

(

)

 x   1  e + x − x e x = 1 − + x − x  e x   2 x 

2 x (3 x 3 + 2 ) − ( x 2 − 1) · 9 x 2 6 x 4 + 4 x − 9 x 4 + 9 x 2 − 3 x 4 + 9 x 2 + 4 x = = (3 x 3 + 2 ) 2 (3 x 3 + 2) 2 (3 x 3 + 2 ) 2

Ejercicio nº 3.- Halla la derivada de estas funciones:

(

a) y = 3 x 2 − 4

)

 2x  b) y = ln    3x + 1

5

Solución:

(

)

4

(

a) y ' = 5 3 x 2 − 4 6 x = 30 x 3 x 2 − 4 b) y ' =

=

)

4

1 2 (3 x + 1) − 2 x · 3 (3 x + 1) 6 x + 2 − 6 x (3 x + 1) · 2 · = · = = 2x 2x (3 x + 1) 2 (3 x + 1) 2 2 x (3 x + 1) 2 3x + 1 1 1 = x (3 x + 1) 3 x 2 + x

Ejercicio nº 4.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 – 2x + 1 que son paralelas a la recta y = 10x + 2.

Solución: • Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser: f '(x) = 10  x = −1 f ' (x ) = 12 x 2 − 2 = 10 → 12 x 2 = 12 → x 2 = 1 →  x = 1

• Ordenadas en los puntos: f (–1) = –1; f (1) = 3 • Ecuaciones de las rectas tangentes: - En x = –1 → y = –1 + 10 (x + 1) → y = 10x + 9 - En x = 1 → y = 3 + 10 (x – 1) → y = 10x – 7

2

Ejercicio nº 5.- Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x –2)2 (x + 1) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución: • Derivada: f '(x) = 2 (x – 2) (x + 1) + (x – 2)2 = (x – 2) [2 (x + 1) + x – 2] = = (x – 2) (2x + 2 + x – 2) = 3x (x – 2) = 3x2 – 6x x = 0 f ' (x ) = 0 → 3 x (x − 2) = 0 →  x = 2

• Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (–∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 2). Tiene un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).

• Segunda derivada: f ''(x) = 6x – 6 f ''(x) = 0 → 6x – 6 = 0 → x = 1 • Signo de f ''(x):

f (x) es convexa en (–∞, 1); es cócava en (1, +∞). Tiene un punto de inflexión en (1, 2).

Ejercicio nº 6.- La función f (x) está definida por: 2 x si x < 0  f (x ) =  x 2 + x + 1 si 0 ≤ x < 2 5 si x ≥ 2 

Estudia su continuidad y su derivabilidad.

Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

3

- En x = 0: lím f (x ) = lím− 2 x = 1

   2 lím+ f (x ) = lím+ x + x + 1 = 1 f (x ) es continua en x = 0. x →0 x →0   f (0 ) = 1  x →0 −

x →0

(

)

(

)

- En x = 2: lím f (x ) = lím− x 2 + x + 1 = 7  x →2   f (x ) no es continua en x = 2. lím+ f (x ) = lím+ 5 = 5  x →2 x →2  x →2 −

• Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 2 → f (x) es derivable, y su derivada es: 2 x ln 2  f (x ) = 2 x + 1 0 

si

x<0

si si

0<x<2 x>2

- En x = 0: Como f '(0–) = ln 2 ≠ f '(0+) = 1, f (x) no es derivable en x = 0.

- En x = 2: No es derivable, pues no es continua.

Ejercicio nº 7.- Deriva las siguientes funciones: a) f (x ) =

4+ x x2 +1

b) f (x ) = e x cos x + ln x

Solución: 1 a) f ' (x ) =

=

2 x

x2 +1

( x 2 + 1) − ( 4 + x ) · 2 x =

( x 2 + 1) 2

2 x

8x + 2x x 1 x 2 + 1 − 16 x x − 4 x 2 = = 2 2 ( x + 1) 2 x ( x 2 + 1) 2 −

− 3 x 2 − 16 x x + 1 2 x ( x 2 + 1) 2

b) f ' (x ) = e x cos x − e x sen x +

1 x

Ejercicio nº 8.- Calcula la derivada de estas funciones: a) f (x ) =

2x x +3

(

b) f (x ) = ln x 3 − 3 x

)

4

Solución: a) f ' (x ) =

1 2

b) f ' (x ) =

·

2x x +3

2 ( x + 3) − 2 x x + 3 2x + 6 − 2 x 6 x+3 = · = = 2 2 ( x + 3) ( x + 3) 2 2x 2 2 x ( x + 3) 2

(

3 x +3 2 x ( x + 3) 2

)

1 3x 2 − 3 2 · 3 x − 3 = x 3 − 3x x 3 − 3x

Ejercicio nº 9.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2 – 3x + 1, que es paralela a la recta 2x + 3y – 1 = 0.

Solución: • Si es paralela a la recta 2 x + 3 y − 1 = 0 → y =

y' =

−2 x + 1 , tendrá la misma pendiente : 3

−2 3

f ' (x ) = 4 x − 3 =

−2 7 7 → 4x = → x= 3 3 12

• Ordenada en el punto:  7  −5 f  =  12  72

• Ecuación de la recta tangente: y=

−5 2  7  −2 23 − x − x+  → y= 72 3  12  3 72

Ejercicio nº 10.- Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión: f (x ) =

x4 x3 − − x2 +1 12 9

Solución: • Derivada: f ' (x ) =

x3 x2 − − 2x 3 3

5

f ' (x ) = 0 →

(

)

x 3 − x 2 − 6x x x 2 − x − 6 = =0 3 3

x = 0    x 2 − x − 6 = 0 → x = 1 ± 1 + 24 2 

x = 0  x = 3

• Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (0, 3); es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +∞). Tiene −7   − 17  un mínimo en  − 2,  y otro en  3, . Tiene un máximo en (0, 1).

9  4    • Segunda derivada: f ' ' (x ) = x 2 −

2x −2 3

f ' ' (x ) = 0 → 3 x 2 − 2 x − 6 = 0 → x =

2 ± 4 + 72 2 ± 76  x ≈ −1,12 =  6 6  x ≈ 1,79

• Signo de f '' (x):

f (x) es decreciente en (−∞; −1,12) ∪ (1,79; +∞); es convexa en (−1,12; 1,79). Tiene dos puntos de inflexión: (−1,12; 0,03) y (1,79, −1,99) Ejercicio nº 11.- Dada la función: 2

 f (x ) =  x − 2

x 2 − 2x − 6 

si si si

x <0 0≤x <4 x ≥4

estudia su continuidad y su derivabilidad.

Solución: • Continuidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x = 0:

6

lím f (x ) = lím− 2 = 2

   f (x ) no es continua en x = 0. lím+ f (x ) = lím+ (x − 2) = −2 x →0 x →0  x →0 −

x →0

- En x = 4: lím f (x ) = lím− (x − 2) = 2

   2 lím+ f (x ) = lím+ x − 2 x − 6 = 2 f (x ) es continua en x = 4. x →4 x →4    f (4 ) = 2 x →4−

x →4

(

)

• Derivabilidad: - Si x ≠ 0 y x ≠ 4: f (x) es derivable, y su derivada es: 0  f ' (x ) = 1 2 x − 2 

x<0 0<x<4 x>4

si si si

- En x = 0: No es derivable, pues no es continua.

- En x = 4: Como f '(4–) = 1 ≠ f '(4+) = 6, f (x) no es derivable en x = 4.

Ejercicio nº 12.- Halla la derivada de:

(

)

a) f (x ) = 5 x − 3 e x

b) f (x ) =

2 x ( x + 1) x2 −2

Solución:

(

)

a) f ' (x ) =

 5  ex + 5 x − 3 ex =  + 5 x − 3 e x   2 x 2 x 

b) f (x ) =

2x 2 + 2x x2 − 2

5

f ' (x ) =

=

( 4 x + 2) ( x 2 − 2) − ( 2 x 2 + 2 x ) · 2 x 4 x 3 − 8 x + 2 x 2 − 4 − 4 x 3 − 4 x 2 = = ( x 2 − 2) 2 ( x 2 − 2) 2 − 2x 2 − 8 x − 4 ( x 2 − 2) 2

Ejercicio nº 13.- Deriva estas funciones:

(

a) y = sen 2 x 2 − 3

)

b) y =

4x (3 x + 1)2

7

Solución: a) y ' = 2 sen (x2 – 3) cos (x2 – 3) · 2x = 4x sen (x2 – 3) cos (x2 – 3) b) y ' =

4 (3 x + 1) 2 − 4 x · 2 (3 x + 1) · 3 (3 x + 1) [ 4 (3 x + 1) − 24 x ] 12 x + 4 − 24 x − 12 x + 4 = = = (3 x + 1) 4 (3 x + 1) 4 (3 x + 1) 3 (3 x + 1) 3

Ejercicio nº 14.Dada la función f (x ) = e 3 x abscisa x0 = –1.

2

−3

, escribe la ecuación de su recta tangente en el punto de

Solución: • Ordenada en el punto: f (–1) = 1 • Pendiente de la recta: f ' (x ) = e 3 x

2

−3

· 6x

f (–1) = –6 • Ecuación de la recta tangente: y = 1 – 6 (x + 1) → y = –6x – 5 Ejercicio nº 15.- Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: f (x ) =

x 2 − 2x + 2 x −1

Solución: • Dominio = R − {1} • Derivada: f ' (x ) =

(2 x − 2 ) (x − 1) − (x 2 − 2 x + 2) = 2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − x 2 + 2 x − 2 = x 2 − 2 x (x − 1)2 (x − 1)2 (x − 1)2

f ' (x ) = 0

x = 0 → x 2 − 2 x = 0 → x (x − 2 ) = 0  x = 2

• Signo de f' (x).

f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, −2) y un mínimo en (2, 2).

8

Ejercicio nº 16.- Halla los valores de m y n para que la siguiente función sea continua y derivable en R: x 2 + 3 x + m f (x ) =  2  x − nx

si si

x ≤ −1 x > −1

Solución: • Continuidad: - Si x ≠ −1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

- En x = −1:

(

)

lím f (x ) = lím− x 2 + 3 x + m = m − 2 x → −1   lím+ f (x ) = lím+ x 2 − nx = n + 1  x → −1 x → −1   f (− 1) = m − 2  x → −1−

(

)

Para que sea continua, ha de ser m – 2 = n + 1, es decir: m = n + 3 • Derivabilidad: - Si x ≠ −1: f (x) es derivable, y su derivada es: 2 x + 3 f ' (x ) =  2 x − n

si

x < −1

si

x > −1

- En x = −1: f '(–1–) = 1; f '(–1+) = –2 –n Para que sea derivable, ha de ser 1 = –2 – n, es decir: n = –3 • Uniendo las dos condiciones anteriores: m = n + 3 m = 0  n = −3  n = −3

(En este caso quedaría f (x) = x2 + 3x para todo x).

Ejercicio nº 17.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f (x ) = 3 x 2 + x 2 sen x

b) f (x ) =

2x 2 − 3x ex

Solución: a) f ' (x ) =

2 3

3 x

+ 2 x sen x + x 2 cos x

9

b) f ' (x ) =

( 4 x − 3 ) e x − (2 x 2 − 3 x ) e x e x ( 4 x − 3 − 2 x 2 + 3 x ) − 2 x 2 + 7 x − 3 = = (e x ) 2 (e x ) 2 ex

Ejercicio nº 18.- Obtén la derivada de estas funciones:

(

a) f (x ) = log 2 3 x 2 − 2

)

(

b) f (x ) = e x + 3 x 3

)

2

Solución: a) f ' (x ) =

1

1 6x · 6x = 2 ln 2 3x − 2 (3 x − 2) ln 2 ·

2

b) f '(x) = 2 (ex + 3x3) · (ex + 9x2)

Ejercicio nº 19.

Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva y =

x −2 en el punto de corte con el x +1

eje de absisas.

Solución: • Punto de corte con el eje X: y =0 →

x−2 → x − 2 = 0 → x = 2 → Punto (2, 0 ) x +1

• Pendiente de la recta: y'=

x + 1 − ( x − 2) x + 1 − x + 2 3 = = 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2

y ' (2) =

3 1 = 9 3

• Ecuación de la recta tangente: y=

1 (x − 2) → y = 1 x − 2 3 3 3

Ejercicio nº 20.- Considera la función: f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución: a) f '(x) = 6x2 + 18x + 12

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f '(x) = 0 → 6 (x2 + 3x + 2) = 0 x=

 x = −1 −3 ± 9 −8 −3 ±1 = →  2 2  x = −2

• Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (–∞, –2) ∪ (–1, +∞); es decreciente en (–2, –1). Tiene un máximo en (–2, –3) y un mínimo en (–1, –4). b) f ''(x) = 12x +18 f ' ' (x ) = 0 → 12 x + 18 = 0 → x =

−18 −3 = 12 2

• Signo de f ''(x):

−3  −3  f (x ) es convexa en  − ∞, , + ∞  . Tiene un punto de  ; es cóncava en  2    2  −3 −7 inflexión en  , .

2   2

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