kvantik012020

e-mail: kvantik@mccme.ru

№1

2020

январь

САМОЗАПУСКАЮЩИЙСЯ СИФОН

КАРТИНКИ ВЫЧИСЛЯЮТ БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ

НАИВНАЯ ФИЗИКА

Enter

Издаётся Московским Центром непрерывного математического образования № 1|январь 2020

По традиции к Новому году мы выпустили календарь с интересными задачами-картинками из журнала «Квантик»

« » –

,

! Приобрести календарь можно в интернет-магазинах kvantik.ru, biblio.mccme.ru и других магазинах – подробнее по ссылке kvantik.com/buy

г. Москва, м. Лубянка, м. Китай-город ул. Мясницкая, д. 6/3, стр. 1

8 (495) 781-19-00

www.kvantik.com kvantik@mccme.ru

" « # » + 1, # 2020 /. $ = !( ! (# ( 2012 / ? 1 $ !(H ;# # / ;< : > K B 77-44928 04 ( 2011 . # B # ! & # $ !' ! ($ , #' H ## ? ?# !! ? ) # ) H ( !) # $ ). # %( : . . G % #) & : /. . ! ) # , . . 8 ) , . /. 8 !) , . . ? (, . L. > %) , . /. > !

M & ! ## ) # ? &# ): Yustas /= ! ) : . 8. N , .M. &) : ? &# ) )! / #

u s.r bu glo ioibl

Книги Аудиокниги Антиквариат и предметы коллекционирования Фильмы, музыка, игры, софт Канцелярские и офисные товары Цветы Сувениры

w .b

!

Читательские клубы по интересам Индивидуальное обслуживание Подарочная упаковка Доставка книг из-за рубежа Выставки-продажи

ww

Интернет-магазин www.bgshop.ru Кафе Клубные (дисконтные) карты и акции Подарочные карты Предварительные заказы на книги Встречи с авторами

пн – пт 9:00 - 22:00 сб – вс 10:00 - 21:00 без перерыва на обед

instagram.com/kvantik12 kvantik12.livejournal.com facebook.com/kvantik12

vk.com/kvantik12 twitter.com/kvantik_journal ok.ru/kvantik12

: " ! # $ # % & # # # ' !! # # $ # ( « !) !) * # # # % !) $ # (» : 119002, . !) , + / ! !) ., . 11 .: (499) 795-11-05, e-mail: kvantik@mccme.ru, ! : www.kvantik.com !" # $ # % & : 8 « $ . ; # » # ! « ! % » ( # )! 84252 80478) < #=## ) «> !! !! » ( # )! 11346 11348) ' ( - # ! # ! « ! % » press.rosp.ru

> ! ? $# %# ? & A !( ' # (495) 745-80-31 e-mail: biblio@mccme.ru B 84?108/16 &: 5000 F)$. > ! # % : 05.12.2019 % # ' « GG - H -8» .: (495) 363-48-84 http://capitalpress.ru J ) $ K * # ! # ( ISSN 2227-7986

CМОТРИ!

Картинки вычисляют бесконечные суммы

2

ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Самозапускающийся сифон. А. Панов, Д. Панов

4

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Парадокс укладки Z−тетрамино в квадраты. В. Ковальджи Четвёртый признак равенства треугольников. А. Блинков

8 18

ВЕЛИКИЕ УМЫ

Лайнус Полинг. М. Молчанова

10

УЛЫБНИСЬ

Магнитные цифры на магнитной доске. Г. Гальперин

15

ЧЕТЫРЕ ЗАДАЧИ

Наивная физика. В. Сирота

16

ЗАДАЧИ В КАРТИНКАХ

Перпендикулярные биссектрисы. М. Скопенков, А. Заславский

Перенести стол. М. Прасолов

22 IV с. обложки

ОЛИМПИАДЫ

XLI Турнир городов. Осенний тур, 8 − 9 классы Конкурс по русскому языку Наш конкурс

23 26 32

ОТВЕТЫ

Ответы, указания, решения

28

Материал подготовил Григорий Мерзон

&= /O" PL + 8 " O ; << Как найти сумму нескольких слагаемых? Странный вопрос – бери и складывай одно за другим! Но что делать, если речь идёт о сумме бесконечного числа слагаемых? Оказывается, иногда полезно эту сумму… нарисовать. + + + … (это сумма геометрической прогрессии: каждое следующее слагаемое в 4 раза меньше предыдущего). Возьмём квадрат единичной площади. Закрасим его четверть, потом добавим четверть от четверти… Начнём с суммы

+

+

+

+…=

Видно, что в итоге закрашена ровно 1/3 площади квадрата – жёлтая часть имеет такую же площадь, как и каждая из двух белых частей. + + Можно похожим образом найти суммы + +… и + + + … (поняли, чему эти суммы равны?)

Есть и довольно общий способ подсчитать сумму геометрической прогрессии

+

+

+ … для любого

целого q > 1. Ниже он показан для q = 5 и q = 9.

2

5

5

5

5

5

52

5

9 9 9

9 9

9 9

9 9

Мы начинаем с правильного (q – 1)-угольника, рисуем внутри следующий правильный (q – 1)-угольник, имеющий площадь в q раз меньше предыдущего – то есть такую же, как каждая из (q – 1) примыкающих к нему трапеций, и т.д. Видно, таким образом, что эта сумма равна . Можно геометрически найти и некоторые более сложные суммы. Например, ниже объясняется, что 1 + 2 + 3 + … = (большой квадрат имеет площадь 4).

1•

1• + 2•

1• + 2• + 3•

+…=

Теперь мы знаем, чему равна сумма

+ + +… для q = 4. Быть может, вы придумаете геометрические вычисления таких сумм для других q? Подумайте и про другие суммы – например, + + + +… (если в знаменателе qn, то в числителе стоит сумма всех натуральных чисел от 1 до n).

Художник Алексей Вайнер

…

3

ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ Алексей Панов, Дмитрий Панов

САМОЗАПУСКАЮЩИИЙСЯ СИФОН Брюс Йини – наверняка самый известный учитель физики. Его YouTube-канал «Наука своими руками» (Homemade Science with Bruce Yeany) насчитывает миллионы посещений. В своём предисловии к каналу Йини пишет: … Я понял, что самостоятельное обдумывание эксперимента и изготовление своего Брюс Йини – собственного оборудования научитель физики учили меня больше, чем любой прослушанный мною курс физики. Я надеюсь, что вы последуете за мной на этом пути … Наш текст написан как раз по мотивам одного из последних видео Йини под названием «Сифоны». Рисунок 1 – это прорисовка настенного изображения, датируемого вторым тысячелетием до нашей эры. Он свидетельствует, что египтяне уже тогда активно использовали сифоны в бытовых целях.

Рис. 1. Египтяне, использующие сифоны

Вы, конечно, знаете, что с помощью сифона можно перелить жидкость из высоко стоящего сосуда в низко стоящий. Один из египтян на рисунке держит в правой руке две трубки, через которые жидкость уже переливается. В левой руке он держит трубку, через которую втягивает жидкость из ещё одного верхнего сосуда.

4

Трубку надо обязательно заполнить жидкостью, прежде чем поместить её конец в нижний сосуд, иначе жидкость не потечёт. На рисунке 2 мы демонстрируем другой метод заполнения трубки.

ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Рис. 2. С помощью шприца заполняем трубку, чтобы привести сифон в рабочее состояние

А наше видео по ссылке kvan.tk/siphon показывает одновременно и процесс заполнения сифона, и его работу по переливанию жидкости. Первый учебник по изготовлению и применению различных типов сифонов написал Герон Александрийский, живший в I веке нашей эры. В этой книге под названием «Пневматика», кроме прочего, содержится описание паровой турбины, автомата по продаже Герон воды, механизма автоматически Александрийский открывающихся дверей, а также шприца, аналогичного тому, каким мы закачивали воду в сифон.

Рис. 3. Шприц из «Пневматики»

Среди многочисленных сифонов, описанных в «Пневматике», есть и такие, которые не требуют для своей работы специального наполнения водой. Вот один из них (рис. 4).

5

ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Трубка здесь почти целиком содержится в верхнем сосуде. Только её нижний кончик пронизывает дно сосуда. Пока в сосуде не очень много жидкости, сифон работать не будет. Но как только уровень жидкости станет выше верхнего сгиба сифона, обозначенного буквой , сифон заработает и сосуд опорожнится почти полностью, до уровня конца трубки, обознаРис. 4. Самозапускающийся ченного буквой . Для проведения такого сифон из «Пневматики» эксперимента нам сейчас кроме пластикового стаканчика и пластиковой трубочки ничего и не понадобится (рис. 5).

Рис. 5. Самозапускающийся сифон в момент полного опорожнения; трубка выходит через отверстие в дне стакана

На видео по ссылке kvan.tk/tantalus продемонстрирована работа этого сифона. Похоже, что подобные самозапускающиеся сифоны пользовались большой популярностью в Древнем Риме. В 2012 году в хорватском городе Винковци в ходе археологических раскопок был найден римский клад IV века. Всего было обнаружено 48 предметов. Один из них – большая позолоченная серебряная чаша, в центре которой на выступающем камне сидит человек, с устремлёнными ко дну руками.

6

1

Гомер, «Одиссея» (перевод В.А. Жуковского)

ОПЫТЫ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Художник Мария Усеинова

Археологам удалось разобраться с устройством и назначением этой чаши и отождествить сидящего человека с Танталом. Вот как описывает Одиссей, спустившийся в царство Аида, страдания, наказанРис. 5. Чаша Тантала из Винковци ного богами Тантала. Видел потом я Тантала, казнимого страшною казнью: В озере светлом стоял он по горло в воде и, томимый Жаркою жаждой, напрасно воды захлебнуть порывался. Только что голову к ней он склонял, уповая напиться, С шумом она убегала; внизу ж под ногами являлось Чёрное дно, и его осушал во мгновение демон. 1 Чаша символизирует страдания Тантала. Внутри центрального камня скрыт самозапускающийся сифон. Когда чаша заполняется и жидкость начинает подбираться к рукам Тантала, сифон срабатывает и чаша опустошается – Тантал не может утолить свою жажду. Считается, что на самом деле эта чаша служила римлянам для развлечений. Когда на пиру неосторожный гость наливал в чашу больше положенного, она опорожнялась ему на ноги, и это веселило всех присутствующих. Сейчас подобные керамические поделки продаются повсюду, особенно в Греции. У них есть ещё пара названий – чаша Пифагора и жадная чаша. Чтобы лучше познакомиться с внутренним устройством чаши Тантала, посмотрите видео Pythagorean or Tantalus Сup, где гончар Джон Бритт (John Britt) демонстрирует своё мастерство и создаёт такую чашу, начиная с нуля. Ну а потом зайдите на Homemade Science, отыщите там видео Siphons, посмотрите его, а также другие видео, и убедитесь, насколько был прав Брюс Йини, говоря о преимуществах своего подхода к изучению физики.

7

Владимир Ковальджи

8

Вполне очевидно, что никакой клетчатый квадрат нельзя разрезать по линиям клеточек на фигурки Z-тетрамино весь без остатка. «Зигзаг» – фигурка кривая, неудобная, замостить ею квадрат целиком невозможно. Но сколько именно «лишних» клеток останется в самом лучшем случае? И как это зависит от размеров квадрата? Скорее всего, большинству людей интуиция подскажет, что неизбежно останется «несколько» клеток. Что в очень большом квадрате мы почти по всей площади квадрата уложим наши зигзаги плотно, как паркет, и только где-то по углам мы столкнёмся с неприятными «краевыми эффектами», не позволяющими обойтись без лишних клеток. И что с увеличением размеров квадрата число этих лишних клеток вряд ли сильно вырастет. Углов-то у любого квадрата ровно четыре… Итак, задача: У нас есть клетчатый квадрат 2019 2019. Какое минимальное число лишних клеток может остаться после вырезания из него максимально возможного числа Z-тетрамино? Попробуем для начала квадраты поменьше. В квадрате 3 3 умещается лишь одна фигурка. В квадрате 4 4 – три. В квадрате 5 5, как ни старайся, не получается уместить более четырёх. Что-то многовато лишних клеток остаётся – целых 9, то есть более чем на две фигурки ещё. В квадрате 6 6 запросто умещаются 8 зигзагов, и остаются 4 лишние клетки – результат даже лучше, чем в квадрате 5 5! Впрочем, в квадрате 4 4 тоже осталось меньше, чем в 3 3 – четыре против пяти. Скорее всего, «чётные» квадраты явно удобнее для наших фигурок, и это легко объяснимо. Но главный вопрос – как зависит количество лишних клеток от размеров квадрата вообще (например, если рассматривать только «нечётные» квадраты)?

Возьмём квадрат 7 7. Можно попробовать самые разные варианты укладки, но увы – больше девяти фигурок никак не помещается (то есть 13 клеток остаются лишними). Поскольку перебрать все варианты укладки тут уже затруднительно, необходимо как-то строго доказать, что это действительно предел. Тут приходит на помощь типичный для подобных задач метод раскраски. Если в нечётном квадрате (например, 7 7) покрасить некоторые клетки так, как показано на рисунке, то в любую фигурку Z-тетрамино обязательно попадёт зелёная клетка, и, следовательно, фигурок не может быть больше, чем таких клеток. Пример, когда фигурок ровно столько, сколько зелёных клеток, легко строится (нарисуйте его!). Поскольку такая раскраска подходит для любого нечётного квадрата, можно решить задачу в общем виде. Если сторона квадрата 2n – 1, то зелёных клеток будет (n – 1)2. Из площади квадрата вычтем число зелёных клеток, помноженное на 4, и получим ответ: (2n – 1)2 – 4(n – 1)2 = 4n – 3. И вот тут становится ясно, что интуиция на сей раз нас очень сильно подвела. Оказывается, в квадрате 2019 2019 при разрезании на зигзаги неизбежно останется минимум 4037 лишних клеток! Совершенно неожиданный результат. Кажется невероятным, что такое огромное число клеток – четыре тысячи! – никак не удастся как-нибудь так сгруппировать, чтобы вырезать из них хотя бы ещё одну фигурку… Что касается чётных квадратов со стороной 2n, то легко показать масштабируемую конструкцию, при которой остаётся 2n + 2 либо 2n лишних клеточек (в зависимости от делимости на 4). Что, конечно, экономнее, но всё равно количество лишних клеточек растёт прямо пропорционально стороне квадрата, становясь сколь угодно большим вопреки первоначальному интуитивному предположению. Художник Евгений Паненко

9

ВЕ Л ИКИЕ У МЫ Марина Молчанова

Лайнус Карл Полинг (Linus Carl Pauling) 28.02.1901 – 19.08.1994

Лайнус Полинг (слева). Калтех, 1939 г.

10

ЛАЙНУС ПОЛИНГ За всё время существования Нобелевской премии лишь четыре человека получили её дважды. Это биохимик Фредерик Сенгер (см. «Квантик» № 9 за 2019 год), физик Джон Бардин, Мария Кюри и Лайнус Полинг. Правда, вторая Нобелевская премия Полинга была премией мира – то есть, по мнению учёных, не совсем настоящей. Но и она была присуждена Полингу за действительно важную и результативную борьбу. А количество его достижений в химии потянуло бы не на одну, а на несколько премий – трудно уверенно сказать, кто более и кто менее великий, но Полинг был уж точно самым разносторонним химиком XX века. И ещё он единственный, кто получил обе Нобелевские премии единолично, без обычного деления между двумя-тремя лауреатами. Лайнус родился в американском городе Портленде, штат Орегон. Он блестяще учился в школе и очень рано поступил в колледж, где получил высшее образование. Любопытно, что в школе он не успел сдать пару курсов истории, и школьный диплом ему решились выдать уже после Нобелевских премий. После колледжа учился в аспирантуре Калифорнийского технологического института, знаменитого Калтеха, ставшего местом его работы на десятки лет. В конце 20-х годов он съездил в Европу, где как раз начиналось бурное развитие «новой физики» (квантовой) – а значит, и «новой химии». И это определило основное направление его научных интересов на многие годы вперёд. АТОМЫ, СВЯЗИ, МОЛЕКУЛЫ Говорят, что если идеи учёного удостоились строчки в школьном учебнике, то он наверняка гений. Тогда Полинга можно назвать многократным гением, поскольку не одна и не две строчки, а значительная часть школьных учебников по химии – это именно те представления, которые он ввёл в науку. Конечно, тут некоторые подростки захотят Полинга проклясть: школьная химия не слишком популярна, и многие считают её сложноватой. Но могло быть гораздо хуже: скажем, метод молекулярных орбиталей, развитый

СРЕДИ ХИМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ Малликеном для описания молекул, точнее и полнее, но и понять его намного сложнее. Теория Полинга, хотя и основана на квантовых расчётах, оставляет нам возможность пользоваться удобными и привычными для нас моделями молекул – как будто собранными из конструктора.1 Атомы – узлы конструкции, а некоторые пары атомов соединены «стержнями» – химическими связями. Химическая связь между двумя атомами образуется за счёт их электронов: либо один атом отдаёт свой электрон другому (ионная связь), либо каждый из них «вкладывает» по одному электрону и у атомов получается общая пара электронов (ковалентная связь). И вот тут сразу первая важная вещь, введённая Полингом: чисто ионная и чисто ковалентная связи – это крайние случаи, а чаще бывает их смесь, когда образуется общая электронная пара, но один из атомов частично оттягивает общие электроны на себя (ковалентная полярная связь). А вот кто и насколько сильно «тянет одеяло на себя» – это зависит от ещё одной характеристики атомов, которую также определил Полинг: от электроотрицательности. Само понятие, правда, существовало уже давно, но именно Полинг первый придумал для него удобный метод расчёта и создал шкалу, которая используется по сей день. Простейший пример: электроотрицательность кислорода намного больше, чем водорода (3,44 > 2,20), – значит, в молекуле воды H2O именно кислород перетягивает на себя электроны, и на его атоме поэтому формируется отрицательный электрический заряд, а на атомах водорода – положительный. Это определяет многие важные свойства воды. Ещё одна существенная вещь, введённая Полингом, – понятие гибридизации. Атомы углерода способны образовывать четыре совершенно одинаковые химические связи (как в молекуле природного 1

Заметим: даже те цвета, которые многие поколения химиков используют в условных моделях молекул (чёрный для атомов углерода, белый для водорода, красный для кислорода, синий для азота, и так далее), восходят именно к Полингу и его соавторам.

В ЕЛИК ИЕ УМ Ы

Модель молекулы парацетаМ мола – известного лекарства

Ковалентная полярная связь

O Ковалентная полярная связь

Ковалентные полярные связи в молекуле воды

Шкала электроотрицательности по Полингу – чем выше столбик, тем больше электроотрицательность

11

ВЕ Л ИКИЕ У МЫ

ГИБРИДИЗАЦИЯ В РАЗНЫХ МОЛЕКУЛАХ

sp3-гибридизация в метане CH4

sp2-гибридизация в этилене C2H4

sp-гибридизация в ацетилене C2H2

12

ЛАЙНУС ПОЛИНГ газа, метана CH4, изображённой здесь в верхней части рисунка). При этом специалисты по квантовой химии знают, что те четыре электрона, которые атом углерода может «вложить» в образование связей, на самом деле неодинаковы. Но, по Полингу, при образовании химических связей может происходить смешение и усреднение – это и есть гибридизация. Когда в смешении участвуют все четыре электрона (sp3-гибридизация), итоговые связи как будто направлены из центра тетраэдра к его вершинам, когда три (sp2-гибридизация) – как будто из центра правильного треугольника к его вершинам, когда два (sp-гибридизация) – вдоль одной линии в противоположных направлениях. На этой основе мы можем легко предсказывать и наглядно представлять пространственные структуры многих молекул. Концепции Полинга описаны в его книге 1939 года «Природа химической связи». За 80 лет она не утратила своего значения и остаётся, пожалуй, самой знаменитой химической книгой всех времён. КЛЕТКИ В ФОРМЕ ПОЛУМЕСЯЦА Полинга нередко называют и одним из основателей молекулярной биологии. Ведь он первым показал молекулярную природу известной болезни. Серповидноклеточная анемия практически не встречается в России: это болезнь африканцев и выходцев из Африки. И это одна из самых распространённых наследственных болезней в мире. У таких больных уже в возрасте нескольких месяцев возникает не только анемия (малокровие), но и боли, частые инфекции, отёки, воспаления, проблемы с сердцем, лёгкими и суставами. Под микроскопом в крови больных видны красные клетки крови (эритроциты) странной формы: не обычные круглые диски с углублением в середине, а нечто изогнутое, действительно напоминающее серп или полумесяц. Генетическая природа этой болезни была продемонстрирована в 1949 году. И в том же году Полинг с соавторами выяснили, что именно происходит

в организме больных на молекулярном уровне. Оказывается, у людей с серповидноклеточной анемией гемоглобин крови имеет не совсем такие молекулы, как у здоровых людей. Причём люди, имеющие как «нормальный», так и «аномальный» гемоглобин (носители болезни), чувствуют себя хорошо и обычно ни на что не жалуются. А вот если есть только аномальный гемоглобин (такой ребёнок может родиться, если оба родителя являются носителями), то болезнь протекает тяжело. Полинг показал существование разных вариантов гемоглобина с помощью электрофореза – одного из методов, который позволяет разделять разные белки. И впервые стало понятно, что отклонение в строении молекул одного-единственного белка в организме может иметь самые серьёзные последствия. Сейчас мы уже довольно много знаем о серповидноклеточной анемии. Знаем, как именно «ошибка» в синтезе гемоглобина влияет на развитие болезни. Знаем, почему эта болезнь так распространена (оказывается, её носители сравнительно устойчивы к малярии и в условиях тропиков имеют преимущество). Знаем, как облегчить состояние больных – хотя с излечением всё сложно. Но исходным пониманием природы этой болезни мы обязаны Полингу. СВЕРНУТЬ БЕЛОК Главные «рабочие лошадки» в любом живом организме – молекулы белков. Это и основной строительный материал клеток, и регуляторы скорости большинства процессов, и сигнальные и транспортные молекулы. Словом, без белков никуда. Молекула каждого белка включает в себя одну или несколько цепочек из звеньев-аминокислот. И у этих молекул есть удивительное свойство: они могут выполнять свою работу, только если цепочки приняли правильную форму в пространстве. Скажем, молекулы многих белков сворачиваются в клубочек, а некоторые образуют тонкие волокна или трубочки. Нужную форму белки в клетке принимают самостоятельно – а значит, информация о том, как именно

В ЕЛИК ИЕ УМ Ы

Нормальные эритроциты и серповидная клетка

Направление движения при электрофорезе

СРЕДИ ХИМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Старт 1

2

3

Электрофорез гемоглобина 1 – гемоглобин здорового человека, 2 – гемоглобин больного человека, 3 – гемоглобин носителя болезни.

13

ВЕ Л ИКИЕ У МЫ

-спираль

-слои

Жёлтым цветом обозначены водородные связи, которые стабилизируют структуру

-спираль

Миоглобин

-слои

ЛАЙНУС ПОЛИНГ свернётся цепочка в условиях живой клетки, уже «зашита» в самой последовательности аминокислот. Задача о пространственной укладке молекул белков не полностью решена до сих пор. Однако Полингу с соавторами удалось сделать первый и, может быть, наиболее значительный шаг. Они нашли способы, которыми укладываются в пространстве отдельные кусочки белковых цепей – и оказалось, что эти способы встречаются в огромном количестве самых разных белков. Во-первых, некоторые фрагменты белковой цепи скручиваются в спираль определённого вида – биохимики называют её -спиралью. Так, например, в молекуле мышечного белка миоглобина есть восемь -спиральных участков. Во-вторых, цепь белковой молекулы может быть уложена слоями, взаимодействующими между собой; они называются -слоями. На рисунке изображены -спирали в миоглобине и -слои в молекуле фиброина – это белок шёлка и паутины.2 Идеи -спирали и -слоёв существовали ещё до Полинга. Но он впервые построил точные и корректные модели. Говорят, что моделирование -спирали он проводил в 1948 году во время сильной простуды, от нечего делать рисуя молекулы на листе бумаги. Потом оставалось совершенствовать расчёты и уточнять детали, и главная статья о структуре белков была опубликована в 1951 году в день его пятидесятилетия. Сразу после успеха с белками Полинг взялся за ДНК. Но здесь его модель оказалась неверной – к огромному облегчению всех, кто занимался структурой ДНК в те же годы. Говорят, что Уотсон и Крик (будущие открыватели двойной спирали), узнав об ошибке Полинга, на радостях пошли в бар и пропустили по стаканчику: теперь у них был шанс успеть первыми. И действительно, до их основополагающего открытия оставались считанные месяцы.

2 Может быть, вы слышали про необычную болезнь «коровье бешенство». При этой болезни (и родственных ей) некоторые белки организма приобретают аномальную пространственную структуру – например, -спирали превращаются в -слои – и не могут функционировать.

Фиброин

Окончание в следующем номере

14

Имеется магнитная доска и мешок магнитных цифр и двух магнитных знаков «+» и «=». Магнитные цифры и эти два знака можно прикреплять («примагничивать») к магнитной доске на пустые места. а) Учительница составила на доске неверное равенство: 22 + 1 = 33. Как переставить две цифры в этом равенстве, чтобы оно стало верным? б) Учительница достала из мешка ещё одну тройку и составилa новое неверное равенство: 22 + 1 = 333. Как переставить в нём три цифры так, чтобы оно стало верным? в) Наконец, учительница высыпала все остальные магнитные цифры из мешка. Всегда ли удастся, используя предыдущие шесть цифр (одну единицу, две двойки и три тройки) и все новые (неизвестные) цифры, составить какое-нибудь верное равенство на магнитной доске?

Художник Елена Цветаева

Автор Григорий Гальперин

НАИВНАЯ

Валерия Сирота

1. Почему вокруг деревьев снег в конце зимы протаивает быстрее?

2. Бревно легче воды, а монетка тяжелее воды. Значит, монетка тяжелее бревна?

16

ФИЗИКА 3. Почему в космическом корабле нельзя открыть окно? А что же делать, если надо выйти наружу? Где на Земле применяется тот же принцип?

4. К лампочке всегда ведёт двойной провод (рядом две проволочки, разделённые изоляцией). Зачем?

Художник Мария Усеинова

17

Александр Блинков

B В любом школьном учебнике геометрии вы найдёте три признака равенства треугольников. А верен ли четвёртый признак: по двум сторонам и углу, лежащему напротив одной из них? Не обязательно! Вот простой при- A C D мер. Возьмём равнобедренный треРис. 1 угольник АВС. На его основании АС, но не посередине, отметим точку D (рис. 1). Тогда в треугольниках ABD и CBD сторона BD общая, AB = CB и ВAD = = BСD, а треугольники не равны, так как AD ≠ СD. Но иногда признак работает, а если и нет, то между треугольниками есть связь. Чтобы в этом разобраться, решим задачу: восстановить треугольник АВС, если АВ = с, ВС = а и ВАС = < 90°. Строим угол А, равный , откладываем на одной из его сторон отрезок АВ длины с и проводим окружность с центром В и радиусом а. Далее возможны три случая: 1) Окружность не пересекаB ет другую сторону угла. Тогда a задача решений не имеет, и этот c случай нам неинтересен.

2) Окружность касается дру гой стороны угла, тогда задача A Рис. 2 имеет единственное решение. Но и этот случай неинтересен, так как искомый треугольник – B прямоугольный, а признак раc a венства прямоугольных треугольников по гипотенузе и

C A острому углу хорошо известен. Рис. 3 3) Окружность пересекает прямую, содержащую сторону угла, в двух точках (рис. 4, а, б).

B Если окружность пересекает именно сторону угла, c a a как на рисунке 4, а, мы получим два неравных треуголь A C2 C1 ника, удовлетворяющих усРис. 4,а

18

ловию задачи: АВС1 и АВС2 (и признак не работает). Но отметим, что в этих треугольниках сумма углов С1 и С2 равна 180 (так как углы АС1В и С2С1В смежные, а угол С2С1В равен углу С1С2В). Если же окружность пересекает продолжение стороны угла, как на рисунке 4, б, задача имеет единB ственное решение: условию a a удовлетворяет только треc

угольник АВС2 (и признак C C2 1 A работает). Рис. 4,б Итак, мы доказали утверждение: пусть две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и равны углы напротив каких-то двух равных из этих сторон; тогда либо треугольники равны, либо сумма углов напротив двух других равных сторон равна 180 . Чтобы различить эти два случая, заметим, что а < c на рисунке 4, а и а > c на рисунке 4, б. Теперь можно сформулировать четвёртый признак равенства треугольников: если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и равны углы против больших из этих сторон, то такие треугольники равны. Упражнение 1. а) Объясните, почему можно не рассматривать случай а = с. б) Рассмотрите случай, когда ≥ 90°. Упражнение 2. Угол BAC треугольника ABC равен 15 . Можно ли однозначно определить сторону AC, если а) AB = 3, BC = 4; б) AB = 4, BC = 3? Ответ обоснуйте. Применим полученные знания на практике. Пример 1. Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, и равны C высоты, проведённые к одной паре равных сторон. Обязательно ли эти треугольники равны? Ответ: не обязательно.

H Решение. Рассмотрим остроугольA B ный треугольник АВС и его высоту ВН. На продолжении стороны АС за вершину А отметим точку D так, что AD = AC (рис. 5). Тогда в треугольниD

Рис. 5

19

ках АВС и ABD сторона АВ общая, AC = AD и к этим сторонам проведена общая высота. Но эти треугольники не равны, так как ABD – тупоугольный треугольник. Упражнение 3. Изменится ли ответ, если равные высоты проведены к третьим сторонам? Пример 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы А и С и стороны АВ и CD. Обязательно ли ABCD – параллелограмм?

B Ответ: не обязательно.

C Решение. На рисунке 6 вы видите четырёхугольник, который получен из треугольника, изображённого на рисунке 1: мы «отрезали» треуголь- A D ник BCD и приставили его к стороне Рис. 6 BD в «перевёрнутом» виде. Тогда в четырёхугольнике ABCD имеем: А = С и АВ = CD, но параллелограммом он не является, так как ВС ≠ AD. Пример 3. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка K так, что AKB = BKC. Докажите, что прямая BK проходит через середину стороны АС.

B Решение. Так как BK – общая сторона треугольников AKB и СKВ, из условия задачи следует, что либо эти треугольники равны, либо KАB + KСB = K = 180 (рис. 7). Но второй случай C A противоречит теореме о сумме Рис. 7 углов треугольника. Из равенства треугольников AKB и СKВ следует, что луч BK – биссектриса угла АВС, тогда прямая BK содержит медиану треугольника АВС, то есть пересекает сторону АС в её середине. Пример 4 (Т. Казицына, B Московская математическая олимпиада, 2003 год, 8 класс). В треугольнике ABC на сторонах AC и BC отмечены такие Y точки X и Y, что ABX= YAC, AYB = BXC, XC = YB. НайA C X дите углы треугольника ABC. Рис. 8

20

Решение. Так как углы BXC и AYB внешние для треугольников ABX и CAY соответственно, то BAX= = BXC – ABX = AYB – YAC = YCA (рис. 8). Следовательно, треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. В треугольниках XBC и YAB имеем: XC = YB, BC = AB и BXC = AYB. Кроме того, YВ < BC = AB, значит, XC < BC. Так как равные углы лежат напротив больших из рассматриваемых сторон, то эти треугольники равны (по четвёртому признаку). Следовательно, BCX = ABY, тогда АВ = АС. Таким образом, треугольник АВС – равносторонний, значит, каждый его угол равен 60 . Обосновать, что из полученных равенств следует именно равенство треугольников, а не случай, когда XBC + YAB = 180°, можно иначе: XBC + YAB < ABC + CAB = 180 – ACB < 180°. Ответ: три угла по 60 . Предлагаем несколько задач для самостоятельного решения. Часть из них можно решить, не используя фактов и приёмов, рассмотренных выше. Но если их использовать, решения будут наиболее короткими. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. На равных сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Е и D соответственно так, что AD = CE. Обязательно ли равны отрезки АЕ и CD? 2. В треугольниках АВС и A1B1C1: АB = А1B1, BC = B1C1 и C + C1 = 180 . Верно ли, что А = А1?

3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка P так, что AP = AB. На стороне AB отмечена точка Q так, что PQ = PB. Докажите, что AQ = CP. 4. На стороне BC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AC за точку C – точка N, причём AM = MN. Докажите, что BM = CN. 5 (Е. Бакаев, Московская математическая олимпиада, 2019 год, 8 класс). Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что AB =BC = CK и KAC = 30 . Найдите угол AKB. Художник Алексей Вайнер

21

Художник Артём Костюкевич ич

Дан многоугольник, у которого любые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

Эта задача предлагалась старшеше классникам на базовом туре XLI Турнира Городов; у неё есть несколько коротких и красивых решений. Рисунок мы привели для примера

22

A

(зелёным показаны биссектриссы вершин, не дружных с вершиной A), нужно найти решение для всех случаев. Попробуйте! Авторы Михаил Скопенков, Алексей Заславский

XLI ТУРНИР ГОРОДОВ,

ОСЕННИЙ ТУР, 8 – 9 КЛАССЫ

олимпиады

13 и 27 октября 2019 года состоялся осенний тур XLI Турнира Городов – международного математического соревнования для школьников. Приводим базовый и сложный варианты для 8 – 9 классов. В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за её полное решение. При подведении итогов у каждого участника учитываются три задачи, по которым он набрал больше всего баллов (баллы за пункты одной задачи суммируются).

Базовый вариант 1 (4 балла). Фокусник выложил в ряд колоду из 52 карт (рубашками вверх) и объявил, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по счёту с края карту надо выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту. При каких начальных положениях тройки треф фокусник может гарантировать успех фокуса? (Где лежит тройка треф, фокусник знает.) Алексей Воропаев 2 (4 балла). Дана окружность с центром O и две её различные точки A и C. Для любой другой точки P на отметим середины X и Y отрезков AP и CP и построим точку H пересечения высот треугольника OXY. Докажите, что положение точки H не зависит от выбора точки P. Артемий Соколов 3 (4 балла). В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? Егор Бакаев

23

XLI ТУРНИР ГОРОДОВ,

олимпиады

ОСЕННИЙ ТУР, 8 – 9 КЛАССЫ

4 (5 баллов). Даны целые числа a1, a2,..., a1000. По кругу записаны их квадраты a12, a22,..., a21000. Сумма любых 41 подряд идущих чисел на круге делится на 412. Верно ли, что каждое из чисел a1, a2,..., a1000 делится на 41? Борис Френкин 5 (6 баллов). У Васи есть неограниченный запас брусков 1 1 3 и уголков из трёх кубиков 1 1 1. Вася целиком заполнил ими коробку m n k, где m, n и k – целые числа, большие чем 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками. Михаил Евдокимов

Сложный вариант 1. Назовём сложностью целого числа n > 1 количество сомножителей в его разложении на простые (например, сложность чисел 4 и 6 равна 2). Для каких n все числа между n и 2n имеют сложность а) (2 балла) не больше, чем у n; б) (2 балла) меньше, чем у n? Борис Френкин 2 (7 баллов). Два остроугольных треугольника ABC и A1B1C1 таковы, что точки B1 и C1 лежат на стороне BC, а точка A1 лежит внутри треугольника ABC. Пусть S и S1 – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что >

.

Наири Седракян, Илья Богданов 3 (7 баллов). Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные – по 2 грамма, медные – по 1 грамму. Как на чашечных весах без гирек гарантированно определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание? Владислав Новиков

24

XLI ТУРНИР ГОРОДОВ,

ОСЕННИЙ ТУР, 8 – 9 КЛАССЫ

олимпиады

4 (7 баллов). Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB и AB. Артемий Соколов 5 (8 баллов). Назовём пару (m, n) различных натуральных чисел m и n хорошей, если числа mn и (m + 1)•(n + 1) – точные квадраты. Докажите, что для каждого натурального m существует хотя бы одно такое натуральное n > m, что пара (m, n) хорошая. Юрий Маркелов 6 (8 баллов). У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя к этому моменту потратить на книги хотя бы 5 тысяч рублей? Татьяна Казицына 7 (10 баллов). На одной стороне плоской деревянной пластинки нарисован клетчатый квадрат, в нём 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя пластинку как печать, 100 раз приложил её к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101 101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные? Александр Грибалко Художник Сергей Чуб

25

олимпиады

КОНКУРС

ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ

В этом номере мы подводим итоги прошлогоднего конкурса по русскому языку. ПОБЕДИТЕЛЯМИ СТАЛИ

Костиков Владислав Ларионова Елена Степина Алиса Сухих Эдуард

Самара Калининград Москва Сочи

гимназия № 2 гимназия № 32 школа № 548 школа № 78

4 кл.

5 кл.

6 кл.

8 кл.

ПОЗДРАВЛЯЕМ ПРИЗЁРОВ КОНКУРСА

Еремеева Софья Линиченко Дарья Олейникова Ульяна Рябова Мария Советкин Глеб Тужик Ольга Тюков Даниил Юлов Василий

Петрозаводск Москва Черкесск Москва Москва Москва п. Новый Свет, Ленинградская обл. Санкт-Петербург

Державинский лицей 9 кл. школа № 1543 8 кл. школа № 3 4 кл. школа № 192 7 кл. школа № 1210 6 кл. школа № 179 11 кл. «Пригородная школа» 9 кл. лицей № 150

6 кл.

КРОМЕ ТОГО, МЫ ОТМЕЧАЕМ СЛЕДУЮЩИХ УЧАСТНИКОВ

Виденичева Марьяна Нехаева Екатерина Черкашин Лев

Санкт-Петербург Москва Омск

школа № 137 школа № 179 школа № 107

4 кл.

7 кл.

5 кл.

И БЛАГОДАРИМ ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ УЧАСТНИКОВ КОНКУРСА! СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРЕМИЕЙ ЗА ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ IV ТУРА НАГРАЖДАЕТСЯ

Сухих Эдуард

Сочи

школа № 78

8 кл.

Мы начинаем конкурс 2020 года! Победителей ждут призы. Предусмотрены специальные премии за лучшее решение отдельных туров. Решения I тура отправляйте по адресу ruskonkurs@kvantik.org не позднее 1 марта. В письме кроме имени и фамилии укажите ваш город, а также школу и класс, где вы учитесь. Предлагайте на конкурс задачи собственного сочинения – лучшие будут опубликованы. Желаем успеха!

I ТУР

1. Какой предмет, необходимый многим людям для лучшего восприятия окружающего мира, в некоторых севернорусских говорах называют близнецами? С. В. Дьяченко

26

КОНКУРС

ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ

олимпиады Материал подготовил И М Илья И Иткин

2. Из названия страны Боливия можно, отбросив две первые буквы, получить название другой страны – Ливия*. Разумеется, тем же свойством обладают и прилагательные, образованные от названий этих стран: боливийский – ливийский. Найдите названия двух стран такие, что: – прилагательные, образованные от этих названий, обладают тем же свойством; – сами названия стран этим свойством не обладают. И. Б. Иткин

5. Если понимать значение этого прилагательного буквально, можно сказать, что люди обычно становятся ТАКИМИ к концу первого года жизни. В действительности некоторые люди, к сожалению, не становятся по-настоящему ТАКИМИ никогда. Какое прилагательное мы заменили на ТАКОЙ? С. И. Переверзева * См. «Квантик», № 6, 2015, с. 27.

27

Художник Николай Крутиков

3. Одну пожилую женщину её родные называли Бари на. Как было её настоящее имя? Кто из членов семьи первым стал так её называть? Л. З. Иткина

4. – Мне на день рождения деревянную АЛЬФУ подарили! – похвастался Вовочка своей подруге Машеньке.

– Как это так: «деревянную АЛЬФУ»?! – рассмеялась Машенька. – Если АЛЬФУ, значит, уж точно не деревянную! Вовочка сказал правду, хотя, если подумать, удивление Машеньки можно понять. Какое сочетание из двух слов мы заменили на «АЛЬФА»? К. В. Литвинцева

КОНКУРС ПО РУССКОМУ ЯЗЫКУ, IV ТУР («Квантик»№ 10, 2019)

16. После одного примечательного случая разбойник Мерзавио очень полюбил игру слов. «Не буду-ка я больше спрашивать "Кошелёк или жизнь?", – решил он однажды. – Буду лучше спрашивать "АЛЬФА или БЕТА?": смысл, в общем, тот же самый, зато как красиво – слова отличаются только последней буквой». Как стал звучать вопрос Мерзавио? Вопрос «Кошелёк или жизнь?» означает нечто вроде «Отдавай деньги, или мы отправим тебя на тот свет!» Полюбив игру слов, находчивый Мерзавио заменил этот вопрос вопросом «Казна или казнь?»: смысл, действительно, получался примерно тот же самый. Добавим, что участники конкурса предложили свой вариант вопроса, мало чем уступающий варианту Мерзавио: «Гроб или грош?»

17. В написанной в начале XVII века «Грамматике» Мелетия Смотрицкого о знаменитом византийском церковном деятеле Николае Студите говорится: «От юныя версты предаста его родителя учитися книгам». Что здесь означает слово «верста»? Какое слово современного русского языка вы можете привести в подтверждение? Кратко поясните ответ. Приведённая фраза, очевидно, значит «С юного ... родители отдали его учиться книгам (то есть грамоте)». По контексту понятно, что слово верста имеет здесь значение «возраст». Подтверждением этой догадки может служить слово сверстник – «человек (примерно) одного возраста с кем-то».

18. Первоначальное значение каждого из этих слов можно передать примерно как «Ходил столько-то раз». Напишите любое из этих слов. Эти слова – наречия дважды, трижды, четырежды; в древнерусском языке они выглядели как дъвашьды и т.д. Часть -шьды происходит от корня -шед- со значением «ходить» (ср. шедший).

19. «Почему по-русски, когда хотят наотрез отказаться от какого-нибудь предложения, говорят "______________!"? Это же означает "Даю больше, добавляю!"!» – с удивлением спросил иностранец Джон, не очень давно начавший учить русский язык. Заполните пропуск. Джона удивило выражение «Вот ещё!». Это выражение действительно может значить «Даю

28

больше, добавляю!» (– Ты уже съел весь мёд и всё сгущённое молоко? Не огорчайся, вот ещё!), но куда чаще оно используется в качестве не слишком вежливого способа выразить категорический отказ: – Хочешь пойти со мной на олимпиаду по математике? – Вот ещё!

20. Один маленький мальчик рассказывает: «Заглавные – это такие маленькие-маленькие послушные буковки...»

– Почему же ты думаешь, что заглавные буквы – маленькие и послушные?

– Ну как же: заглавные буквы – это такие, которые идут... Закончите объяснение мальчика двумя словами. Как нередко бывает в случае детских «этимологических гипотез», герой задачи рассуждал по-своему вполне логично: «Заглавные – это такие маленькие-маленькие послушные буковки, которые идут за главной» (подходят также ответы «...за главным» и «...за главными»). НАШ КОНКУРС, III ТУР («Квантик»№ 11, 2019)

11. Семь камней весом 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 тонн можно перевезти в нескольких грузовиках одинаковой грузоподъёмности. Хватит ли для перевозки четырёх таких грузовиков? Ответ: да. Камень в 7 тонн помещается в грузовике, поэтому грузоподъёмность каждого грузовика – хотя бы 7 тонн. Поместим в 1-й грузовик камни в 1 и 6 тонн, во 2-й – 2 и 5 тонн, в 3-й – 3 и 4 тонны, а в 4-й – один камень в 7 тонн.

12. Петя и Вася тренируются на кольцевом велотреке: одновременно стартовали из одной и той же точки и едут с постоянными скоростями. Петя едет быстрее Васи. Когда Петя прошёл 16 кругов, он встретил в точке старта Васю. А когда Вася прошёл 16 кругов, он встретил в точке старта Петю. Верно ли, что Вася после каждого круга встречал в точке старта Петю? Ответ: да. Пусть за 16 кругов Пети Вася прошёл a кругов, а за 16 кругов Васи Петя прошёл b кругов. Отношение их скоростей равно 16/a = b/16, то есть ab = 16•16 = 28, откуда оба числа a и b – степени двойки. Петя едет быстрее Васи, поэтому b > 16. Значит, b делится на 16. Пока Вася проезжает 1 круг, Петя проезжает b/16 кругов и оказывается в точке старта.

13. У Саши есть два клетчатых квадрата 7 7. Ему нужно разрезать их по линиям сет-

ки на части так, чтобы частей получилось не более пяти и их можно было уложить в один слой в коробку 10 10. Есть ли способ выполнить это задание? Ответ: да, см. рисунок. Решите ту же задачу, чтобы получилось 4 части.

14. Квантик и Ноутик загадали по натуральному числу и сказали их Серёже. Серёжа в ответ назвал число 2020 и сказал, что это либо сумма, либо произведение услышанных им чисел. Ноутик подумал и сказал, что не знает, какое число загадал Квантик. Квантик услышал это, но всё равно не смог узнать, какое число загадал Ноутик. Какое число загадал Квантик? Ответ: 1010. Числа, загаданные Квантиком и Ноутиком – делители 2020, иначе было бы понятно, что 2020 – это сумма, а не произведение, и по одному загаданному числу можно было бы восстановить другое. Также ясно, что ни у кого число не равно 2020, а значит, оба числа не превышают 1010 (они в целое число раз меньше 2020, то есть хотя бы в 2 раза меньше). Квантик всё это мог установить по ответу Ноутика, но всё равно не определил число Ноутика. Значит, он не знал, 2020 – сумма или произведение загаданных чисел. Но 2020 могло быть суммой загаданных чисел, только если оба равны 1010, так что число Квантика равно 1010.

15. На каждой из сторон треугольника ABC выбраны красная и синяя точки так, что красная точка делит сторону в отношении 2:1, а синяя – в отношении 1:2 (если обходить треугольник по часовой стрелке). Через красные точки провели окружность, и через синие – тоже. Докажите, что отрезок, соединяющий центры этих окружностей, проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC. Пусть M – точка пересечения медиан ABC. Докажем, что точки на сторонах ABC разбиваются на пары «красная – синяя», где точки в паре симметричны относительно М. В итоге «красный» треугольник (с красB ными вершинами на сторонах ABC) будет симметричен «сиM Р нему» относительно М, а тогQ да симметричны и окружC ности, и их центры.

A

Итак, рассмотрим одну пару – точки P и Q на рисунке (остальные случаи аналогичны). Каждая делит свою сторону в отношении 2:1, считая от вершины B, но и M делит медиану, выходящую из B, в том же отношении. По обратной теореме Фалеса прямые PM и QM параллельны AC, откуда P, M и Q лежат на одной прямой. Кроме того, отрезки PM и MQ оба в 1,5 раза меньше половины AC, то есть равны. Это и значит, что P и Q симметричны относительно M. ТРИ ШАХМАТНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ («Квантик»№ 12, 2019)

Семь шагов короля. Один из возможных ответов дан справа. Мат ставится так: 1. Кр а3-b3+ Кр a1-b1 2. Кр b3-c3+ Кр b1-c1 ...

7. Kp g3-h3 Белый король прогуливается по третьей горизонтали, а несчастный чёрный король обречённо плетётся за ним, прячась в его «тени» от неумолимых шахов. И так до рокового финала… Все на одного! Один из ответов см. справа. Ферзь и король поменялись местами не случайно – это необходимо в случае первого хода белых пешкой на f7. В итоге любой ход белых приводит к пату. Ищи «вторую половинку». Фраза оканчивается так: «... а потому не следует их поощрять». КОРЗИНА ГРИБОВ («Квантик»№ 12, 2019)

ВЕЛОСИПЕДНЫЕ ЗВЁЗДОЧКИ

(«Квантик»№ 12, 2019)

На рисунке схематически изображены звёздочки велосипеда. На педали они увеличиваются слева направо (верхняя часть рисунка), а на колесе – справа налево (нижняя часть). Так сделано, чтобы любую передачу (скорость) можно было включить, не перекашивая цепь. Скажем, две самые левые звёздочки (маленькая у педали и большая у колеса) – едем очень медленно, две самые правые – едем очень быстро. Эти и близкие к ним варианты отмечены зелёным. А красные варианты не нужны – тот же эффект даёт один из «зелёных» способов.

29

Рекомендуемые передачи 123 123 123

1–8

1–8

1–8

Нерекомендуемые передачи 123 123 123

1–8

1–8

1–8

Но если бы возрастание звёздочек на педали и колесе шло в одну сторону, то для установки некоторых скоростей пришлось бы перекашивать цепь, и она бы больше изнашивалась и слетала. МАГНИТНЫЕ ЦИФРЫ НА МАГНИТНОЙ ДОСКЕ а) 23 +1 = 32. б) 23 + 13 = 32. в) Да: надо взять равенство из пункта б) и все оставшиеся цифры поставить за тройкой в показателе степени у 1. НАИВНАЯ ФИЗИКА 1. Тёмные стволы деревьев быстрее нагреваются на солнце, чем белый снег, и начинают греть то, что вокруг них (уже не излучением, а просто теплообменом). А почему стволы быстрее нагреваются? Потому что любая тёмная поверхность поглощает бо+льшую часть всех падающих на неё лучей – оттого она и кажется нам тёмной. Идеально чёрная поверхность поглощала бы все лучи, ничего бы не отражала, и нам в глаза от неё ни один лучик света не попадал бы. А белая поверхность, в том числе и снег, – наоборот, отражает почти все лучи. Посветишь на неё жёлтым цветом – она покажется жёлтой, посветишь красным – красной… Это свойство всё отражать мы и называем: белый цвет.

2. Бревно легче не вообще какой-то воды, а такого количества воды, которое занимает одинаковый с ним объём. (Поэтому оно не тонет: оно погружается в воду настолько, чтобы вытесненная им вода весила столько же, сколько всё бревно.) А монетка тяжелее такого количества воды, которое помещается в её объёме, то есть гораздо меньшего. Так что всё в порядке. Чтобы не возиться с объёмами, нужно сравнивать не вес, а плотность, то есть массу в единице объёма. Когда говорят «бревно легче воды», это как раз значит, что плотность у него меньше плотности воды. А у монетки – больше.

3. Если открыть окно, воздух из корабля тут же улетучится наружу – ведь снаружи нет воздуха; внутри давление атмосферное, а снаружи – ноль. Поэтому вместо окон – намертво запаянные, прочные иллюминаторы. А вместо

30

двери – шлюз: две герметично закрывающиеся двери на небольшом расстоянии друг от друга. Когда нужно выйти (или войти), сначала открывают одну дверь, выходят в отсек между дверьми и первую дверь запирают. Потом уже открывают вторую. На Земле так устроены шлюзы на судоходных реках: в местах, где большой перепад высот, в обход перекатов строят канал с двумя воротами. Когда открыты верхние ворота, уровень воды в канале высокий, и в него заходят суда, идущие сверху вниз по течению. Затем верхние ворота закрывают, воду из канала сливают через небольшое отверстие – уровень воды падает, и тогда открывают нижние ворота, корабль плывёт дальше. А в сельских домах давным-давно помогали беречь тепло «шлюзы» – сени и двойные двери.

4. Лампочка горит потому, что через неё проходит электрический ток (то есть заряженные частицы). Вот и нужно два провода: по одному ток втекает, по другому – вытекает! На самом деле всё сложнее. В электросети в домах – и в розетках, и в лампочках – ток не постоянный, а переменный. Это значит, что заряженные частицы (электроны) не «бегут» всё время в одну сторону по проводу, а «дёргаются» туда-сюда. Сто раз в секунду (буквально!) ток меняет направление движения на противоположное. Но всё равно, чтобы ток в каждый момент куда-то тёк, нужен перепад напряжения на двух концах нити накаливания – как перепад высот в реке нужен, чтобы вода в ней текла, а не стояла на месте. Между двумя проводами, ведущими к лампочке, всегда есть этот перепад. Он и заставляет ток течь через лампочку. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ БИССЕКТРИСЫ Решение 1. Расположим многоугольник так, чтобы его стороны были горизонтальны и вертикальны. Все вершины многоугольника делятся на 4 типа: , , , . Докажем, что суммарное число вершин типа 2 и 3 чётно (и 1 и 4 тоже). Отсюда будет следовать утверждение задачи: можно считать, что нам дана вершина A типа 1, а тогда не дружные с ней – вершины типа 2 и 3. Пусть вертикальных сторон k, тогда горизонтальных сторон тоже k. У любой горизонтальной стороны правый конец может быть только типа 2 или 4. Всего левых вершин у горизонтальных сторон столько же, сколько самих сторон, то есть k, откуда суммарное число вершин

типа 2 и 4 равно k. Пусть вершин типа 2 всего x, тогда вершин типа 4 всего k – x. Рассматривая нижние концы вертикальных сторон, получаем аналогично, что вершин типа 3 и 4 всего k, откуда вершин типа 3 всего k – (k – x), то есть x. Но тогда вершин типа 2 и 3 всего 2x (чётное число), а это и есть вершины, которые не дружны с A. Решение 2. Расположим многоугольник так, чтобы биссектриса l данной вершины A была горизонтальна. Пусть некая точка движется по периметру многоугольника с постоянной скоростью, начав и закончив в вершине A. Тогда её проекция на l также движется с постоянной скоростью, причём проекция меняет направление движения ровно в те моменты, когда точка проходит через вершину, дружную с A, или через саму A. Учитывая, что всего вершин чётное чисl A ло, получаем требуемое. ЧЕТВЁРТЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Упражнение 1. В обоих пунктах треугольник определяется однозначно, так как: а) для равенства равнобедренных треугольников достаточно равенства боковых сторон и любой пары соответствующих углов; б) угол, равный , заведомо лежит напротив большей стороны треугольника. Упражнение 2. Ответ: а) да; б) нет. а) Все треугольники со сторонами 3 и 4 и углом 15 , лежащим напротив большей из данных сторон, между собой равны. б) Заданный угол лежит напротив меньшей из данных сторон, поэтому есть два неравных треугольника, удовлетворяющих условию. Упражнение 3. Ответ не изменится. Например, можно на рисунке 2, а провести из вершины В общую высоту треугольников АВС1 и АВС2. Задачи для самостоятельного решения B 1. Ответ: нет. Рассмотрим, наE пример, равносторонний треK L D угольник АВС и проведём его высоты AK и CL (см. рисунок).

C На отрезках BL и CK отметим A точки Е и D соответственно так, что EL = DK. Тогда прямоугольные треугольники AKD и CLE равны (по двум катетам), поэтому AD = CE. Но АЕ больше половины боковой стороны треугольника, а CD – меньше, то есть АЕ > CD.

B = B1 2. Ответ: верно. Приложим данные треугольники друг C = C1 A1 к другу так, чтобы A совпали вершины В и В1, С и С1, а вершины А и А1 оказались в разных полуплоскостях относительно прямой ВС (см. рисунок). Так как C + C1 = 180 , точки А, С и А1 лежат на одной прямой. Значит, получился равнобедренный треугольник АВА1, в котором углы А и А1 при основании равны. Доказанное утверждение в каком-то смысле обратно к общему утверждению из статьи.

3. Из условия следует, что ВС = АВ = АР и ВСА = ВАС (см. рисунок). Докажем равенство треугольников AQP и СРВ, из которого и будет следовать, что AQ = CP. В этих треугольниках АР = ВС и QР = PB. Так как QAP = = РCВ, то либо треугольники AQP и СРВ равны, либо AQP + CPВ = 180 . Но второй случай невозможен, поскольку AQP > 90 как внешний угол при основании BQ равнобедренного треугольника BPQ, а CPВ > 90 как внешний B угол при осноQ вании BP равнобедренного тре- A C P угольника BAP. A 4. Через точку М проведём прямую, параллельную АС, которая пересечёт АВ в точке K (см. рисунок). Тогда тре- K угольник BMK тоже равноC сторонний, откуда AKM= B M N = 120 = MCN. Кроме того, AM = MN и AK = AB – BK= AC – BM = MC. Так как углы AKM и MCN – тупые, то треугольники AKM и MCN равны по четвёртому признаку. Следовательно, BM = CN. 5. Ответ: 150 . Пусть ВМ – B высота и медиана треугольO ника АВС, которая пересеK кает прямую AK в точке О M C (см. рисунок). Треугольник A АОС также равнобедренный, поэтому МОC = = МОА = 60 . Значит, ВОC = 120 = KОC, откуда треугольники ВОC и KОC равны (по четвёртому признаку). Значит, ОВ = OK, тогда OKB = OBK = 30 и AKB = 150 . Отметим, что K обязана лежать между А и О – иначе угол СКВ был бы тупым, а это угол при основании равнобедренного треугольника.

31

олимпиады

наш

КОНКУРС

Приглашаем всех попробовать свои силы в нашем

заочном математическом конкурсе. Высылайте решения задач V тура, с которыми справитесь, не позднее 1 февраля в систему проверки konkurs.kvantik.com (инструкция: kvan.tk/matkonkurs), либо электронной почтой по адресу matkonkurs@kvantik.com, либо обычной почтой по адресу 119002, Москва, Б. Власьевский пер., д. 11, журнал «Квантик». В письме кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. В конкурсе также могут участвовать команды: в этом случае присылается одна работа со списком участников. Итоги среди команд подводятся отдельно. Задачи конкурса печатаются в каждом номере, а также публикуются на сайте www.kvantik.com. Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квантик» и призы. Желаем успеха!

V ТУР 21. Барон Мюнхгаузен огородил свои владения забором в форме шестиугольника. Он утверждает, что каждый внутренний угол этого шестиугольника либо меньше 10 , либо больше 350 . Может ли барон быть прав?

22. Вася написал на листке 10 цифр (среди них могут быть равные) так, чтобы сумма любых трёх написанных цифр не превосходила 14. Какова наибольшая возможная сумма всех 10 цифр? (Приведите пример и докажите, что большую сумму получить нельзя.)

32

наш

КОНКУРС

олимпиады

Авторы: Александр Перепечко (21), Павел Кожевников (22), Николай Авилов (23), Григорий Мерзон (24), Николай Чернятьев (25)

23. Ёлочку на рисунке слева разрежьте на четыре части и сложите из них две одинаковые ёлочки, как на рисунке справа.

24. Вычислите сумму +

+

+…+

.

25. Квантик и Ноутик по очереди закрашивают клетки на доске 8 8, по одной клетке за ход, начинает Квантик. Первый ход можно сделать куда угодно. Каждый следующий ход должен быть таким, что новая клетка граничит по стороне ровно с одной закрашенной клеткой. Кто не может сделать ход, проиграл. Кто может обеспечить себе победу? Художник Николай Крутиков

Справа изображён фрагмент плана квартиры (сторона клетки 0,5 м). Как пронести из коридора в комнату стол с ножками длины 1 м и столешницей 1 м 1,5 м, если проход в комнату чуть у+же 1 м? Все двери распахиваются до конца.

Автор Максим Прасолов

Художник Ольга Демидова