Notas curso de simulacion maestria by marucel

Instituto Tecnológico de Tepic

Departamento de Ingeniería Industrial

SIMULACION DE EVENTOS DISCRETOS

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL M. EN C. HECTOR MARTINEZ RUBIN CELIS

Simulación de eventos discretos

M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis

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CAPITULO 1 I.1 I.2 I.3

Departamento de Ingeniería Industrial

INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS..................4

INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................4 CONCEPTOS Y TERMINOLOGÍA........................................................................................................5 APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN..................................................................................................6 Comunicaciones..............................................................................................................................6 Educación..........................................................................................................................................6 Entretenimiento................................................................................................................................6 Servicios Financieros.....................................................................................................................7 Servicios de Alimentación.............................................................................................................7 Servicios de Salud...........................................................................................................................7 Hoteles y Servicios de Hospedaje...............................................................................................7 Transporte..........................................................................................................................................8 Pronósticos Ambientales, del Tiempo y Ecológicos..............................................................8 Producción y Manufactura:...........................................................................................................8 Cosecha y Extracción de recursos naturales..........................................................................................8 Siembra y Cría de Animales.......................................................................................................................8 Generación de Energía...............................................................................................................................9 Manufactura..................................................................................................................................................9

I.4 FUTURO POTENCIAL DE LA SIMULACIÓN......................................................................................10 I.5 OTROS CONCEPTOS DE SIMULACIÓN...........................................................................................10 I.6 VENTAJAS DE LA SIMULACIÓN........................................................................................................13 I.7 DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN.................................................................................................13 I.8 ERRORES FRECUENTES EN LOS ESTUDIOS DE SIMULACIÓN........................................................13 I.9 ENFOQUE ANALÍTICO VS. ENFOQUE DE SIMULACIÓN..................................................................14 I.10 ETAPAS DE UN PROYECTO DE SIMULACIÓN.............................................................................15 Etapas de una simulación...........................................................................................................15 A nivel de detalle:..................................................................................................................................17

¿Cuándo es adecuado usar la simulación?...........................................................................19 I.12 SISTEMAS..................................................................................................................................19 Clasificación de los sistemas.....................................................................................................22 I.13 CONTROL...................................................................................................................................23 I.14 MOVIENDO LA SIMULACIÓN A TRAVÉS DEL TIEMPO.................................................................24 I.15 MODOS DE ESTADO TRANSITORIO Y ESTACIONARIO...............................................................25 I.16 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS DISCRETOS.................................................................25 I.17 MODELOS...................................................................................................................................28 Clasificación de los modelos...............................................................................................................30 Experimentación de Modelos..............................................................................................................30

EJERCICIOS..............................................................................................................................................31 REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS:.............................................................................................................32 CAPÍTULO 2 II.1

GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS.......................................................34

INTRODUCCIÓN........................................................................................................................34

II.2 EFECTOS DE LA ALEATORIEDAD EN LA SIMULACIÓN...............................................................34 II.3 GENERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS.................................................................................35 II.3.1 Provisión Externa: Tablas RAND................................................................................35 II.3.2 Generación interna a partir de un proceso físico al azar.....................................35 II.3.3 Generación interna de sucesiones dígitos por medio de una relación de recurrencia.......................................................................................................................................35 Propiedades deseables de los generadores de números Pseudoaleatorios:....................................35 II.3.3.1 Método de Centros al Cuadrado.........................................................................................36 II.3.3.2 Método de Congruencia Lineal...........................................................................................37 II.3.3.2.1 Método de congruencia mixta........................................................................................38 II.3.3.2.2 Método de Congruencia Multiplicativa..........................................................................40

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II.3.4 Generadores combinados.............................................................................................41 II.3.5 Otros Generadores..........................................................................................................42 II.4 MÉTODO DE MONTE CARLO.....................................................................................................42 II.4.1 Introducción.................................................................................................................................42 II.4.2 Procedimiento.............................................................................................................................42 II.4.3 Ejemplos......................................................................................................................................44 Ejemplo #1 Aviones de Carga.........................................................................................................44 Ejemplo #2 Vendedor de Periódicos 1...........................................................................................46 Ejemplo #3 La Panadería UNO:.....................................................................................................47 Ejemplo #4 Vendedor de Periódicos 2...........................................................................................48 Ejemplo #5 Tienda de Bicicletas:....................................................................................................49 Ejemplo #6 Vendedor de Artículos.................................................................................................49 Ejemplo #7 Preparación de Tortas.................................................................................................51 Ejemplo #8 Problema de Inversión................................................................................................53 II.4.4 Ejercicios.....................................................................................................................................53

ANEXO......................................................................................................................................................55 Información básica para trabajar el Excel la simulación de Monte Carlo...........................................55

APÉNDICE DE TABLAS.............................................................................................................................60 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:.............................................................................................................61 CAPITULO 3

GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS....................................................62

3.2. SIMULANDO DISTRIBUCIONES CONTINÚAS DE PROBABILIDAD...............................................62 3.2.1 Distribución Uniforme.......................................................................................................62 4.2.2 Distribución Exponencial..............................................................................................64 4.2.3 Distribución Normal........................................................................................................66 3.3.SIMULANDO DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD................................................68 3.3.1 Distribución Bernoulli...................................................................................................68 3.3.2 Distribución Binomial.....................................................................................................69 3.3.3 Distribución Poisson......................................................................................................69 4.3.4 Distribución Geométrica................................................................................................71 PROBLEMAS PROPUESTOS.....................................................................................................................72 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................................................76 6.1 ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN.........................................................................78 6.2 LA IMPORTANCIA DEL ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN.....................................78 6.3 TIPOS DE SIMULACIÓN CON RESPECTO AL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS............................78 6.4 SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA...............................................................................79 6.4.1 Tamaño de la muestra basado en la media de la población................................79 6.4.2 Tamaño de la muestra basado en la proporción....................................................82 6.4.3 Tamaño de la muestra basado en la diferencia de las Medias...........................83 6.5 TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE VARIANZA..................................................................................84 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................................85 7.1 INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................86 7.2 SIMULACIÓN EN HOJA ELECTRÓNICA DE CÁLCULO Y PAQUETES INTEGRADOS....................88 7.4 LENGUAJES DE SIMULACIÓN (LENGUAJES DE PROPÓSITO ESPECIAL).......................89 7.5 SIMULADORES......................................................................................................................91 7.5.1 Introducción......................................................................................................................91 7.5.2 Simulador ProModel........................................................................................................91

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CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS

I.1

Introducción

Si se examinara bibliografía de investigación de operaciones o de las ciencias administrativas, rápidamente se notaria que la simulación es una de las herramientas mas ampliamente utilizadas en el campo de las ciencias administrativas. La simulación ha sido aplicada en producción, control de inventarios, sistemas de transporte, análisis de estrategias de mercado, patrones de crecimiento urbano e industrial, control del medio ambiente y otras numerosas áreas. La simulación sin embargo difiere significativamente de otros modelos y técnicas. Los problemas de investigación de operaciones hasta ahora vistos fueron modelados y resueltos Analíticamente (matemáticamente), pero se hicieron un numero de consideraciones básicas sobre el medio ambiente de los problemas para modelar los mismos. Por ejemplo en problemas de control de inventarios se considera que el costo de escasez o agotamiento es directamente proporcional al numero esperado de unidades escasas; también puede el costo de escasez, ser una función no lineal de la escasez. Muchas de las consideraciones requeridas para modelar problemas tal que pudieran ser resueltos analíticamente no son requeridas en simulación: por esto sistemas más grandes y complejos pueden ser estudiados. En muchas situaciones, la simulación es la única forma viable para el análisis. Por ejemplo, las características operativas de sistemas complejos de colas puede aproximarse usando simulación pero no se puede solucionar utilizando métodos analíticos ( los algoritmos de teoría de colas analizan problemas de una sola fase y simulación de una o múltiples fases). Simulación es imitar una operación de un proceso del mundo real o de un sistema con respecto al tiempo. Ya sea que se realice en forma manual o en una computadora, la simulación involucra la generación de una historia artificial de un sistema, y observar esa historia artificial para realizar inferencias relacionadas con las características operativas del sistema real. El comportamiento de un sistema conforme evoluciona con respecto al tiempo es estudiado a través de desarrollar un modelo de simulación. Estas consideraciones son expresadas en relaciones matemáticas, lógicas o simbólicas entre las entidades, u objetos de interés, del sistema. Una vez desarrollado y validado, un modelo puede ser usado para investigar una amplia variedad de preguntas ¿Qué tal sí? sobre un sistema de la vida real. Los cambios potenciales para un sistema primero pueden ser simulados para predecir su impacto sobre el comportamiento del sistema. La simulación también puede ser usada para estudiar sistemas en la etapa de diseño, antes de que tales sistemas sean construidos. Por esto, la simulación, puede ser usada como una herramienta de análisis para predecir el efecto de los cambios en los sistemas existentes, y como una herramienta de diseño para predecir el comportamiento de nuevos sistemas bajo un conjunto variado de circunstancias. En algunos casos, un modelo puede ser desarrollado, el cual es muy simple de ser resuelto por métodos matemáticos. Tales soluciones pueden se encontradas usando cálculo diferencial, teoría de probabilidad, métodos algebraicos, y otras técnicas matemáticas. Las soluciones usualmente consisten de uno o mas parámetros numéricos los cuales son llamados medidas de desempeño del sistema. Sin embargo, muchos sistemas del mundo real son demasiados complejos que los modelos que los representan son virtualmente imposibles de ser resueltos matemáticamente.

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En estas situaciones, la simulación numérica computacional puede ser usada para imitar el comportamiento del sistema con respecto al tiempo. Partiendo de la simulación se obtienen datos tal como si un sistema de la vida real hubiera sido observado. Los datos generados de la simulación son usados para estimar las medidas de desempeño del sistema. En un sentido amplio, todos usamos la simulación para tomar decisiones todos los días. Previo a tomar una acción, generalmente construye un modelo mental o en algunos casos físicos de su concepción del medio ambiente para ayudar a la toma de decisiones. Entonces se manipula el modelo con diversas configuraciones y varias formas de influencias posibles para generar cierta información que pueda ser usada para tomar decisiones racionales. Por ejemplo, cuando se prepara a tomar el avión, uno puede visualizar (construir un modelo mental) los diversos preparativos que son necesarios, la ruta para ir al aeropuerto, y los retrasos posibles. Para redistribuir la sala (un sistema existente), en lugar de mover muebles pesados alrededor para encontrar el lugar mas apropiado, uno puede dibujar a escala las distribuciones o corta figuras a escala en cartón que imiten los muebles actuales y rápidamente re-arreglar la sala actual. Para diseñar un nuevo edificio (un sistema futuro, no existente), los arquitectos crean maquetas para representar su modelo mental de la apariencia del edificio y para estudiar la distribución de la instalación. Este libro proporciona un trato introductorio de los conceptos y métodos de simular modelo de eventos discretos. El primer capítulo inicialmente discute cuando usar la simulación, sus ventajas y desventajas y sus áreas actuales de aplicación. Después se analizan los conceptos de sistema, modelo y control. Finalmente, indican los pasos que se siguen en la construcción y uso de un modelo de simulación de un sistema. Este proceso de construcción de modelos y experimentación predice resultados de las decisiones para ser implementadas mas tarde. Tan simple como puede parecer. Estos ejemplos tienen mucho en común con la practica técnica de la simulación, que se cubrirá en este libro.

I.2

Conceptos y terminología.

Existe un numero de diferentes definiciones y tipos de simulación. Para propósitos prácticos se definirá simulación como " El proceso del desarrollo de un modelo de un problema y la estimación de medidas del funcionamiento del problema a través de la realización de experimentos sobre el modelo". La simulación de sistemas puede entonces ser definida como: La practica de la construcción de modelos que representan un sistema existente del mundo real o un sistema futuro hipotético, y la experimentación con esos modelos para explicar el comportamiento del sistema, mejorar el desempeño del sistema, o diseñar nuevos sistemas con funcionamiento deseados. Para una mejor comprensión de esta definición se puede examinar la relación entre simulación y los modelos empleados hasta ahora. La simulación difiere significativamente del cuadro de trabajo de solución de modelos enfatizados anteriormente. Hasta ahora se había dado énfasis a la formulación y desarrollo de modelos matemáticos y de la solución analítica o matemática a los modelos. En la mayoría de los casos las soluciones analíticas eran en forma de algoritmos que producían soluciones óptimas. La simulación no enfatiza alguno de estos factores, es un proceso de modelado descriptivo opuesto a un proceso normativo. El proceso de modelado asociado con la Simulación generalmente involucra la obtención de información que describe los factores de insumo y operacionales y que definen la interrelación entre los factores (variables), insumos y otros componentes del problema en estudio.

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El producto del modelo de simulación esta en forma de descriptores del funcionamiento. A través de la ejercitación del modelo, pueden explorarse las características del problema. Debe notarse, que la simulación puede ser empleada para generar soluciones a modelos que son imprácticos de ser resueltos analíticamente. También debe señalarse que aunque el producto de la simulación es descriptivo por naturaleza, una rutina de búsqueda puede ser incluida en el modelo de simulación para proporcionar soluciones óptimas o cercanas al óptimo. Se utiliza el término cerca del óptimo debido a que la solución puede ser óptima en términos del modelo definido, pero esto no garantiza que la solución es un óptimo absoluto. La optimización en simulación por esto puede ser una aproximación de optimalidad que ocurre en programación matemática.

I.3

Aplicaciones de la Simulación Comunicaciones Las aplicaciones e simulación están siendo vitales en la industria de la comunicación. Redes de computadoras de área local y área Amplia Sistemas telefónicos Sistemas de comunicación intercontinental vía satélite Redes de televisión por cable y Sistemas de telefonía celular Son Ejemplos de Sistemas complicados que demandan el poderío de la simulación por computadora para el eficiente diseño y operación. Actualmente existen diversas herramientas comerciales de propósito especial para simulación disponibles para análisis y diseño de sistemas de comunicación.

Educación Estudios concernientes a situaciones relacionadas con: Los efectos en los cambios en el nivel registro, El proceso de inscripción, asignación y calendarización de aulas Planeación del inventario en bibliotecas y cafeterías, y Planeación de la composición y de sistemas de diseño para escuelas y universidades; son algunas de las aplicaciones que pueden ser realizadas por la simulación.

Entretenimiento Las técnicas de simulación son ampliamente usadas en el diseño de la estructura y operación de componentes diversos de parques de diversión Estudios de producción, y sistemas de teatro y cine. Sistemas de venta de boletos, líneas de espera Diseño de estacionamiento para vehículos Diseño de la capacidad y calendarización de paseos y espectáculos Calendarización de personal, equipo y producción de filmaciones Son algunos de los propósitos típicos de aplicaciones de la simulación en la industria del entretenimiento.

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Servicios Financieros Existen muchos reportes de la aplicación de la simulación en compañías bancarias, de seguros y de valores. Análisis de transacciones Análisis de flujos de caja Sistemas de diseño de oficinas Planeación de materiales y abastecimientos Diseño de redes de computación y procesamiento de datos, y Maquinas de atención automática y sistemas de servicios DRIVE IN son algunas de las actividades que pueden ser realizadas por la simulación.

Servicios de Alimentación Sistemas tales como: Restaurantes independientes Restaurantes de comida para llevar Restaurantes de comida rápida Franquicias de restaurantes, y Sistemas de tiendas de autoservicio (Mini Supers ) Pueden ser sujetos a estudios de simulación para propósitos tales como: Planeación del inventario de materiales e insumos Planeación de la distribución Selección de la ubicación Distribución del lugar, y Planeación y calendarización de la mano de obra.

Servicios de Salud Hospitales, servicios de emergencia, laboratorios clínicos, oficinas de médicos y dentistas, y paramédicos son sujetos frecuentemente a estudios de simulación para determinar: La calendarización de cuadrillas de enfermeras y médicos Políticas de inventario de medicinas y alimentos, Planeación de la capacidad de recursos, tales como; camas, áreas de espera, salas de operación, equipo de primeros auxilios, y ambulancias. Planeación de servicios de emergencia Diseño de instalaciones Programación y calendarización de pacientes Análisis Logístico Compra de equipo Flujo Inter-departamental de pacientes Además, estudios epidemiológicos tales como pronósticos de las tasas de propagación de enfermedades, y análisis de alternativas de políticas de control de enfermedades son en forma rutinaria realizadas por la simulación.

Hoteles y Servicios de Hospedaje Sistemas tales como hoteles, moteles, y áreas de descanso pueden ser estudiadas por la simulación para determinar de factores tales como: Capacidades adecuadas Ubicación, administración de políticas de los recursos en inventario Métodos de la planeación y calendarización de la mano de obra, y Sistemas de reservaciones.

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Diseño y Distribución de instalaciones Determinación de la característica y capacidad de equipos y materiales Análisis Logístico Asignación de recursos

Transporte Estos sistemas pueden involucrar uno o más tipos de vehículos ( taxis, autobuses, trenes, aviones, barcos, etc. ), pasajeros, carga y rutas de transporte. El estudio de simulación puede tener objetivos tales como: El diseño de la capacidad de los vehículos Planeación y calendarización de la mano de obra (operadores, cuadrillas de mantenimiento, Etc. ) Planeación de repuestos Planeación del mantenimiento Planeación urbana Rutas de vehículos Diseño de carreteras Diseño de sistemas de control de tráfico aéreo de tierra y aire, y Diseño de estacionamientos y su estructura.

Pronósticos Ambientales, del Tiempo y Ecológicos Los pronósticos del tiempo en forma rutinaria e intensiva utilizan la simulación. Un gran número de variables son manipuladas por los programas de simulación que generalmente son ejecutados en super computadoras para predecir la situación climatológica local o global. Estudios concernientes a: Control de contaminación El Efecto invernadero Contaminación de insectos, y Otros tópicos ecológicos y del medio ambiente también son realizados por simulación en computadora.

Producción y Manufactura: La simulación en producción y en manufactura es también otra clase importante de aplicaciones de la simulación. Algunas industrias típicas de esta clase y su propósito correspondiente para estudios de simulación son: Cosecha y Extracción de recursos naturales. Industrias tales como la minería, cosecha agrícola, perforación de pozos y pesca usan la simulación por computadora para la planeación de actividades relacionadas y la creación de políticas para el control oportuno de recursos costosos, tales como maquinaria (cargadores, palas, elevadores, bandas transportadoras, bulldozers, y barcos). Siembra y Cría de Animales Sistemas ranchos agrícolas pueden ser simulados para él pronostico de la producción, planeación de recursos tales como la tierra, fertilizantes, alimentos para animales, drogas, tractores, y vehículos de transporte, y el estudio y diseño de procedimientos operacionales para determinar factores tales como producción, almacenaje, y distribución.

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Generación de Energía Sistemas de generación de energía basados en fuentes tales como vapor, fósiles, agua, nuclear, sol, o viento son generalmente simulados para: el diseño de la capacidad, configuración, y sistemas de distribución, para el diseño y análisis de sistemas operacionales, los cuales pueden tener situaciones relativas a: Calendarización de Tasas de Generación Calendarización de la Distribución Diseño de Sistemas de Control Calendarización del Mantenimiento, y Control del Impacto Ambiental. Manufactura Todos los tipos de manufactura relativos a plantas de procesamiento químico, plantas automotrices, manufactura de vehículos aerospaciales, muebles, electrónica, herramientas, y otras utilizan la simulación extensivamente en aplicaciones tales como; Planeación estratégica Diseño de distribución de planta Planeación de la producción Políticas de reemplazo y mantenimiento de equipo Planeación y control del inventario Calendarización de la producción Balanceo de líneas de ensamble Almacenamiento y manejo de materiales Diseño de Sistemas de información y Otras aplicaciones relacionadas al diseño, fabricación, ensamble, control de calidad, Empacado, almacenamiento, y distribución. Justo a tiempo Aseguramiento de la calidad Niveles de servicio al cliente Confiabilidad y disponibilidad de productos Consecuentemente a su amplia aplicación existe un considerable número de herramientas de simulación de propósito especial que están disponibles comercialmente para el diseño y análisis de sistemas de manufactura.

La importancia de la Simulación es evidente al considerar el impacto que tuvieron algunos trabajos, como son: 

La Perestroyka: Estudios de simulación efectuados en Rusia en las décadas del 70 y 80 convencieron a los dirigentes de la necesidad de plantear un fuerte cambio en la economía de ese país.



La caída de la bolsa de New York en 1988: La utilización de programas de simulación por parte de los corredores de la bolsa causó una falsa inestabilidad que provocó la caída.



El regreso del Apolo 13: La simulación jugó un rol fundamental en la determinación del plan de emergencia. La nave retornó con éxito a pesar de las graves averías.

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I.4 1.

4. 5.

I.5

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

Los Voyagers: Gracias a la simulación se pudieron establecer los itinerarios óptimos para estas naves con un mínimo consumo de energía aprovechando la atracción gravitacional de los planetas.



Proyecto Monte Carlo: Von Newman y Ulam (1945) emplearon simulación para estudiar reacciones nucleares.



Los modelos del planeta: Algunos plantean la posibilidad de un calentamiento global debido al efecto invernadero. Otros plantean la posibilidad de un enfriamiento y predicen una nueva era glaciar.



Capacitación de tropas: En el operativo “Tormenta del desierto” llevado a cabo en la guerra contra Irak, las tropas de todas las fuerzas estadounidenses que participaron (fuerza aérea, marina y ejército) fueron entrenadas con simuladores.



Capacitación de policías: Se utiliza entornos virtuales para que el policía aprenda a conducirse en situaciones de riesgo.



Simuladores de vuelos: Fue una de las primeras aplicaciones de los simuladores. Actualmente se utilizan para entrenar pilotos de aviones comerciales y de combate.

Futuro Potencial de la Simulación El grado de complejidad de los sistemas Físicos, Biológicos, Sociotécnicos y Socioeconómicos estudiados por los actuales sistemas de diseñadores y analistas prohíben el uso de herramientas Matemáticas clásicas, o aun modernas en la mayoría de los estudios reales. El incremento de la capacidad del Hardware de los sistemas de computación los cuales ofrecen dramáticamente mejores desempeños (principalmente en memoria y velocidad). EL bajo costo de las computadoras y sus periféricos que dan a las empresas pequeñas acceso a las capacidades que ofrece la simulación. La evolución de los sistemas existentes de Software de modelación hacia el ofrecimiento de nuevas capacidades y la emergencia de nuevas herramientas de Software que proveen una capacidad sofisticada y de mas fácil interfase del usuario ha traído a los usuarios con varias disciplinas y habilidades en computación a usar la simulación. EL incremento del conocimiento del poderío de la simulación por parte de los Administradores de varias organizaciones y proyectos, y de la disponibilidad de modernas herramientas de simulación La simulación por computadora esta siendo incorporada a la retícula de varias Universidades e Instituciones de Educación Superior.

Otros Conceptos de Simulación

La simulación es una forma de experimentar con un modelo detallado de un sistema real para determinar como responderá el sistema a cambios en su estructura, medio ambiente o a ciertas consideraciones. System Improvement Using Simulation Charles R. Harrell, Robert E. Bateman, Thomas J. Gogg and, Jack R.A. Mott

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Promodel Corporation., 1996 La simulación es el desarrollo de un modelo lógico-matemático de un sistema, de tal forma que se obtiene una imitación de la operación de un proceso de la vida real o de un sistema a través del tiempo. Mohammad R. Azarang y Eduardo garcía Dunna Mc. Graw-Hill, 1997 Una simulación es imitar la operación de un proceso de la vida real o de un sistema con respecto al tiempo. Discrete-Event Simulation Sytem Jerry Banks, John S. CArson, Barry L. Nelson Prentice Hall, 1984 - Es una técnica de sustituir desarrollos sintetizados (para este caso irreales) por uno real. Altus, David Morris, Simulation As A Feedbacck Machanism In Training Engineering Draftsmen, 1971 - Una técnica numérica para el comportamiento de experimentos en una computadora digital, la cual implica ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos para describir el comportamiento de un negocio o sistema económico sobre extensos períodos de tiempo. H. Maisel y G. Gnugnoli - Inicia con un sistema real, y intentando duplicarlo en papel o en computadoras, por procedimientos que generan datos representativos de la efectividad de varias soluciones alternativas en un costo relativamente bajo y en un corto período de tiempo. Apple, james M., Plant Layout and Material Handling, 1977. - Es una representación dinámica obtenida por la construcción de un modelo y moviéndolo a través del tiempo. Arthur, William, To Simulate or not To Simulate: That Is The Cuestion, Educational Data Processing Newsleteer. - Es la ejecución o manipulación dinámica de un modelo de un sistema objeto para algunos propósitos. Barton, Richard T., A primer on simulation and Gaming, 1970. - Esencialmente una analogía funcional. ....? Chorafas, Dimitris N., Systems and Simulations, 1965. - Técnica para resolver modelos, formulaciones representadas en ecuaciones evaluando una o mas ecuaciones en cuales una o mas variables son seleccionadas aleatoriamente. Cooper Bhat, LeBlancc, Operations Research Models, 1977. - Es un modelo de alguna situación en cual el elemento de la situación son representados por procesos aritméticos y lógicos que pueden ser ejecutados en una computadora a predecir la dinámica propia de la situación. Emshoff, James R. and Sisson, Roger L., Desing and Use of Computer Simulation Models, 1971. - Es un modelo operativo, reproducción o imitación de un fenómeno físico o social, consistiendo de un conjunto de factores o variables interrelacionados cual función conjunta es Esencialmente de la misma manera como el sistema actual o hipotético. Gillispie, Philip H., Learning Through Simulation Games.

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- Es una forma de imitación el cual el problema que necesitamos resolver es representado por un modelo el cual, en efecto reemplaza el problema por un segundo problema que es fácil de resolver. Gordon, Geoffrey, The Aplication of GPSS To Discrete System Simulation, 1975. - Es una prueba-error, la cual permite aproximarnos a describir un problema y aumentar la comprensión de factores complicados por requerir preguntas y descripciones de respuestas. - Es un procedimiento que nos permite solucionar un problema para definirlo y analizarlo como un modelo de sistema. - Es una representación lógica y matemática de un sistema que puede ser fingido de una manera experimental en una computadora digital. - Es el proceso del diseño de un modelo de un sistema real dirigido experimentalmente con el propósito también de entender el comportamiento del sistema o de la evaluación de varias estrategias (dentro de los limites impuestos por un criterio o grupo de criterios) para la operación del sistema. - Estudia la comprensión de un modelo para aprender mas acerca de un sistema particular, un estudio simulado de un sistema o mecanismos requeridos por algunos tipos de modelos los cuales asumen o tienen la apariencia y/o comprensión de un sistema o mecanismo fuera de realidad. - Es el proceso de determinación de la distribución muestral altamente irregular y definida complejamente estadística. - Es la representación de un sistema mediante un mecanismo (como una computadora) que imita el comportamiento del sistema. - La suposición de la apariencia de alguna cosa fuera de su realidad. - Necesariamente implica el uso de expresiones matemáticas y ecuaciones que se aproxima estrechamente a fluctuaciones aleatorias en el sistema simulador, y que es tan complejo como para obtener una solución sin la ayuda de buenas computadoras electrónicas. - Empleando un lenguaje especial para construir un procedimiento modelo que, en algún sentido, se comporte de manera semejante al prototipo. Este procedimiento modelo puede ser implementado en la computadora y hacer pruebas empleando diversos juegos de datos para definir problemas modelando bajo consideración. - Una lógica representación matemática de un concepto, sistema u operación programada para solucionar rápidamente en una computadora electrónica. - La técnica de emplear un modelo dinámico para describir el comportamiento del sistema con respecto al tiempo. - El acto de representar algunos aspectos del mundo real por medio de números o símbolos que pueden ser fácilmente manipulables para facilitar su estudio. - Representación de la realidad. - El uso de un modelo para representar sobre el tiempo características esenciales de un sistema o proceso bajo estudio.

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- El proceso del comportamiento de experimentos en un modelo de un sistema dentro de 1) experimentación directa con el sistema o, 2) directa solución analítica de algún problema asociado con el sistema.

I.6

Ventajas de la simulación     



I.7

Permite estudiar sistemas reales que no se pueden evaluar analíticamente. En la práctica, la mayoría de los sistemas reales se estudian mediante simulación. De hecho la simulación es la técnica de Investigación de Operaciones más utilizada. Hace posible estimar el comportamiento de un sistema existente si se modifican algunas de las condiciones de funcionamiento actuales. Además para probar si esos cambios producen mejoras, no es necesario interrumpir el funcionamiento del sistema real. Se pueden comparar distintas alternativas de diseño (o de formas de operar de un sistema), antes de construirlo, para ver cual se comporta mejor. Permite estudiar en poco tiempo la evolución de un sistema en un periodo largo de tiempo: se pueden evaluar años de experiencia en el sistema real en unos pocos minutos de simulación. Alternativamente también permite lo contrario: estudiar los trabajos detallados de un sistema en un periodo de tiempo extendido. Se puede utilizar para validar un modelo analítico: para construir un modelo analítico hemos tenido que hacer diversas hipótesis para que sea más simple. Si los resultados no difieren mucho de los obtenidos con simulación (con un modelo más cercano al sistema real), se puede utilizar el modelo analítico porque los resultados no son sensibles a las hipótesis que se han hecho.

Desventajas de la simulación 

  

I.8

No produce resultados exactos, sino estimaciones. Esto hará necesario utilizar las técnicas estadísticas para saber, por ejemplo, cuantas veces hay que ejecutar la simulación (número de muestras), para cada conjunto de datos de entrada y realizar estimaciones fiables de los parámetros de interés. Desarrollar un modelo de simulación suele ser caro y lleva tiempo. Es difícil demostrar la validez del modelo. Si el modelo no es válido, los resultados son poco útiles, ya que la información que estamos obteniendo del modelo de simulación no es representativa del sistema real que nos interesaba estudiar. Es difícil encontrar el óptimo: sólo se puede encontrar el mejor entre varias alternativas. Es habitual que haya muchas alternativas y no se pueden probar todas. Las técnicas estadísticas de diseño de experimentos que ayudan a solucionar el problema no son conocidas por muchas personas que hacen simulaciones.

Errores frecuentes en los estudios de simulación    

No tener bien definidos los objetivos al comienzo del estudio. Elegir un nivel de detalle inapropiado. Tratar un estudio de simulación como si fuera principalmente un problema de programación. Confiar en simuladores que hacen la simulación accesible a “todo el mundo”.

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I.9

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Analizar los datos de salida a partir de una sola ejecución, tratándola como la solución verdadera. Fallar en la comunicación con las personas que conocen realmente el sistema. No modelizar correctamente las distintas fuentes de aleatoriedad del sistema real.

Enfoque Analítico vs. Enfoque de Simulación

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La línea sólida que conecta el bloque al generar la solución usando algoritmo a el bloque "resultados descriptivos" refleja el hecho de que todos los modelos analíticos no necesariamente resulta en una solución óptima.

I.10 Etapas de un Proyecto de simulación

En general el proceso es...

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Definición del Problema Establecer Objetivos y Plan General del Proyecto Conceptualización Recolección de Datos Modelo Construcción del Modelo n o

¿Verificado ? n o

¿Validado ?

n o

Diseño de Experimentos Corridas de Producción / Análisis de Resultados s s i i ¿Más Corridas? Reportes Preliminares, Documentar y Reportes Finales

Etapas de una simulación En el desarrollo de una simulación se pueden distinguir las siguientes etapas (Banks et al., 1996): Definición y formulación del Problema: Define el Problema a ser estudiado, incluyendo una declaración escrita del objetivo. En este paso debe quedar perfectamente establecido el objeto de la simulación. El cliente y el desarrollador deben acordar lo más detalladamente posible los siguientes factores: los resultados que se esperan del simulador, el plan de experimentación, el tiempo disponible, las variables de interés, el tipo de variaciones (alteraciones) a estudiar, el tratamiento estadístico de los resultados, la complejidad de la interfaz del simulador, etc. Se debe establecer si el simulador será operado por el usuario o si el usuario sólo recibirá los resultados. Finalmente, se debe establecer si el usuario solicita un trabajo de simulación o un trabajo de optimización. Conceptualización Modelo: Abstraer el sistema en un modelo describiendo todos sus elementos, sus características y sus interacciones (gráficos).

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Definición del sistema: El sistema a simular debe estar perfectamente definido. El cliente y el desarrollador deben acordar dónde estará la frontera del sistema a estudiar y las interacciones con el medioambiente que serán consideradas. Formulación del modelo: Esta etapa es un arte y será discutida más adelante. La misma comienza con el desarrollo de un modelo simple que captura los aspectos relevantes del sistema real. Los aspectos relevantes del sistema real dependen de la formulación del problema; para un ingeniero de seguridad los aspectos relevantes de un automóvil son diferentes de los aspectos considerados por un ingeniero mecánico para el mismo sistema. Este modelo simple se irá enriqueciendo como resultado de varias iteraciones. Recolección de Datos: Identificar, especificar y recolectar datos en apoyo del modelo. La naturaleza y cantidad de datos necesarios están determinadas por la formulación del problema y del modelo. Los datos pueden ser provistos por registros históricos, experimentos de laboratorios o mediciones realizadas en el sistema real. Los mismos deberán ser procesados adecuadamente para darles el formato exigido por el modelo. Construcción del Modelo: Traducir el modelo conceptualizado utilizando los constructos de algún lenguaje de simulación. Implementación del modelo en la computadora: El modelo es implementado utilizando algún lenguaje de computación. Existen lenguajes específicos de simulación que facilitan esta tarea; también, existen programas que ya cuentan con modelos implementados para casos especiales. Verificación y Validación: Establecer si el modelo ejecuta lo que postula y si existe una concordancia entre el modelo y el sistema real. Verificación: En esta etapa se comprueba que no se hayan cometidos errores durante la implementación del modelo. Para ello, se utilizan las herramientas de Depuración (debugging) provistas por el entorno de programación. Validación: En esta etapa se comprueba la exactitud del modelo desarrollado. Esto se lleva a cabo comparando las predicciones del modelo con: mediciones realizadas en el sistema real, datos históricos o datos de sistemas similares. Como resultado de esta etapa puede surgir la necesidad de modificar el modelo o recolectar datos adicionales. Conducir Experimentos: Hacer corridas de simulación controladas, modificando los niveles de una variable de control y manteniendo el resto exactamente igual. La variación en la salida se atribuye a estos cambios. Diseño de experimentos. En esta etapa se decide las características de los experimentos a realizar: el tiempo de arranque, el tiempo de simulación y el número de simulaciones. No se debe incluir aquí la elaboración del conjunto de alternativas a probar para seleccionar la mejor, la elaboración de esta lista y su manejo es tarea de la optimización y no de la simulación. Debe quedar claro cuando se formula el problema si lo que el cliente desea es un estudio de simulación o de optimización. Experimentación. En esta etapa se realizan las simulaciones de acuerdo el diseño previo. Los resultados obtenidos son debidamente recolectados y procesados. Analizar Resultados: Estudiar los resultados de la simulación para inferir nueva información y hacer recomendaciones para la resolución del problema.

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Interpretación. Se analiza la sensibilidad del modelo con respecto a los parámetros que tienen asociados la mayor incertidumbre. Si es necesario, se deberán recolectar datos adicionales para refinar la estimación de los parámetros críticos. Documentación. Incluye la elaboración de la documentación técnica y manuales de uso. La documentación técnica debe contar con una descripción detallada del modelo y de los datos; también, se debe incluir la evolución histórica de las distintas etapas del desarrollo. Esta documentación será de utilidad para el posterior perfeccionamiento del simulador. Implementación: Implementación: Conviene acompañar al cliente en la etapa de implementación para evitar el mal manejo del simulador o el mal empleo de los resultados del mismo.

A nivel de detalle: Definición del problema • Partir con supuestos adecuados • Trabajar en el Problema Correcto • Manejar expectativas • Preguntar Hábilmente • Escuchar sin Juzgar • Comunicar Abiertamente • Pronosticar la Solución Conceptualización Modelo  Establecer Objetivos  Identificar y priorizar preguntas claves  Salidas requeridas para dar respuesta a preguntas claves  Establecer los límites del modelo y restringir los detalles  Especificar las entradas al modelo Recolección de Datos • Una vez que la propuesta ha sido aceptada, se debería preparar un programa de requerimiento de datos. • La conceptualización del modelo y la recolección de datos son actividades que se realizan en paralelo. • La conceptualización indica el tipo de datos que se requieren y en que forma. Los datos recolectados permiten, a su vez, refinar y reforzar el concepto del modelo. Construcción del Modelo • El Modelo conceptual se traduce a un modelo computacional utilizando lenguajes de propósito general o bien paquetes de aplicación tales como Arena, Promodel, Extend, GPSS y otros. • Se debe tener en cuenta que un paquete de aplicación se ajusta mejor a los requerimientos del sistema real, considerando las particularidades de cada lenguaje de simulación (construir un modelo de simulación aportando “constructos” adecuados al sistema) • Foco en el Problema. Construir el modelo no es la tarea principal; lo es encontrar la solución correcta. • Partir con un Modelo Simple Agregar el detalle; no partir con él • Frenar la complejidad No permitir que el modelo se vuelva complicado compensando un mal diseño, o tan complejo que va más allá de la posibilidad de implantarlo • Mantener Momentum Es mejor muchos hitos intermedios que una fecha límite de término.

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Revisiones. Darse tiempo para realinear el proyecto.

¿Verificado? • Verificación se refiere al modelo operacional. ¿Está funcionando adecuadamente?; esto es, ¿está haciendo lo que se supone que debería hacer? • ¿Los datos son los apropiados?, ¿son razonables?; ¿el modelo computacional refleja con exactitud el modelo conceptual? • No es razonable y altamente no recomendable esperar llegar al final para hacer esta tarea. La construcción del modelo operacional o simulador debe cumplir con todas las especificaciones de aseguramiento de calidad del desarrollo de software. ¿Validado? • En la validación se debe determinar si el modelo conceptual es una representación apropiada del sistema real; esto es, ¿refleja lo que se supone que debe representar?. ¿Puede el modelo sustituir al sistema real para propósitos de experimentación? • Esta actividad en realidad debe ser considerada como un proceso continuo; cada etapa debe verificarse : ¿está el problema claramente definido?; ¿el modelo conceptual es razonable?; ¿son los datos de entrada representativos de la realidad? Diseño de Experimentos • Para cada escenario que se simulará es preciso establecer: El largo de la corrida de simulación, la puesta a punto del simulador (inicialización) y el número de réplicas para cada escenario Corridas de Producción y Análisis • Las Corridas de Producción y su posterior análisis, se utilizan para estimar las medidas de desempeño de los distintos escenarios que se están simulando. ¿Más corridas? • Basado en el análisis de las corridas que se han realizado, se debe determinar si se requieren corridas adicionales o si es necesario estudiar otros escenarios. • Se requieren más corridas, cuando los resultados estadísticos no permiten aceptar o rechazar una hipótesis; • Se requiere estudiar nuevos escenarios, para tener una mayor comprensión del sistema bajo estudio lo que obliga a menudo a estudiar otras situaciones. Documentación y Reportes • La documentación y reportes es necesaria por varias razones obvias. Si el simulador se utilizará otra vez con mayor o menor frecuencia por el mismo u otros analistas es necesario saber qué hace y cómo lo hace. Lo mismo ocurre si el simulador es un prototipo y debe ser modificado en el futuro. • Es importante documentar cada etapa del esfuerzo de simulación junto con su ejecución; con esto se asegura que nada quedará en el tintero. La otra razón es entregar al cliente informes de avance en cada etapa y obtener su aprobación, especialmente en la definición del problema. Conjunto de documentos formales a entregar debe contener a lo menos: • Definición de Objetivos y Metas. • Plan de Trabajo: (Carta Gantt o Pert) • Supuestos para el Modelo • Modelo Conceptual • Registro de Cambios

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Modelo Operacional Datos de Prueba

¿Cuándo es adecuado usar la simulación? Paul Fishwick ("Simulation Model Design and Execution: Building Digital Worlds." PrenticeHall. Estados Unidos, 1995) señala que la simulación es recomendable cuando: 1) El modelo que representa al sistema bajo estudio es muy complejo, posee muchas variables y componentes que interactúan. 2) Las relaciones entre las variables son no lineales. 3) El modelo contiene variables aleatorias. 4) Se requiere una visión animada de los resultados arrojados por el modelo. No obstante que la simulación es por mucho la mejor herramienta para estudiar y observar el comportamiento o la operación de un sistema, es necesario hacer algunas advertencias relativas a su uso:     

En ocasiones los proyectos de simulación consumen mucho tiempo. Por lo general los modelos de simulación requieren de muchos datos. Los resultados pueden ser malinterpretados. Algunos factores técnicos y humanos pueden ser ignorados. La validación de los modelos de simulación suele ser difícil

I.12 Sistemas Un sistema puede ser visto como una sección de la realidad. Por esto, todo puede ser pensado como un sistema; un átomo es un sistema compuesto de protones, neutrones, y electrones; cualquier objeto es un sistema de átomos; el mundo es un sistema de varios objetos dentro y sobre la tierra; el sistema solar es un sistema compuesto del sol, nuestra tierra, y otros planetas; la vía láctea es un sistema compuesto de nuestro sistema solar y muchos otros sistemas de estrellas y sus planetas que las orbitan; y finalmente, el universo es un sistema compuesto de la vía láctea y muchas otras galaxias. Una propiedad común de todos los sistemas físicos es que ellos están formados de componentes que interactúan unos con otros. Como otros sistemas físicos, los sistemas hechos por el hombre están formados de componentes que interactúan unos con otros; un martillo es un sistema que consiste de una cabeza de metal y un mango de madera que transfiere la fuerza muscular humana a la cabeza del martillo; un carro es un sistema que consiste en chasis, motor, transmisión, carrocería y elementos interiores; una computadora es un sistema de procesadores, varias clases de módulos de memoria y dispositivos de entrada/salida. Todos los componentes en estos sistemas interactúan unos con otros, directa o indirectamente. La naturaleza de estas interacciones esta determinada las leyes físicas de la naturaleza así, como también de esquemas de control hechos por el hombres basados en reglas hechas por el hombre. Una característica importante de los sistemas es que pueden ser separados en subsistemas. La forma en que esta separación se realiza en cualquier situación particular dependerá de la naturaleza del sistema que esta siendo estudiado, y además a la extensión a los cuales los detalles son importantes. Para decidir la cantidad de subsistemas en detalle necesitados pueden requerir un análisis profundo del sistema y sus interacciones. Mas general, los flujos entre subsistemas puede referirse a Dinero, Materiales, Energía, Información, decisiones, sugerencias, Ordenes, Demanda, etc. Los diagramas de flujo

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proveen una invaluable herramienta para ayudar a clarificar nuestro pensamiento particular acerca del sistema.

Familias, comunidades, países, y sus complejas organizaciones socio técnicas y socioeconómicas tales como fábricas, bancos, y gobiernos son otras formas de sistemas hechos de muchos componentes que interactúan. Estas interacciones son gobernadas en una gran parte por el comportamiento social, el cual esta basado en normas y valores humanos. Todos estos sistemas pueden ser considerados componentes de otros sistemas de superiores (Supra sistemas). En otras palabras, cada sistema es también un subsistema ( con la posible excepción del universo mismo). Debido a que todos los componentes de un sistema interactúan con los otros, esto conduce al hecho de que cada sistema esta influenciado por otros sistemas. Esto es, ningún sistema en su totalidad esta aislado de fuerzas externas. Un conjunto de subsistemas puede ser identificado como un sistema específico y ser hipotéticamente aislado de otros sistemas solamente si es el foco de un estudio. Estas fronteras de aislamiento, sin embargo, pueden ser dibujadas únicamente con un estudio cuidadoso de las fuerzas externas. Si las influencias externas tienen un gran impacto tal que afectan el comportamiento del sistema en cuestión en muchas formas, entonces las fronteras deben ser expandidas para incluir esos sistemas. Cualquier sistema que influencia a nuestro sistema en su comportamiento debe ser considerado, y se le denomina suprasistema. El sistema forma parte de una jerarquía de los sistemas. Existe usualmente una fuerte interacción entre los varios sistema la cual ocurre al mismo nivel jerárquico y entre sistemas a diferentes niveles jerárquicos. Los sistemas en la cúspide son los mas importantes porque ejercen una influencia considerable sobre los sistemas de inferior jerarquía. El estudio de una intersección de calles donde el tráfico se controla a través de un semáforo. Se desea encontrar la duración óptima de las luces del semáforo para las diferentes calles de la intersección de tal manera que el tiempo de todos los carros que llegan a la intersección sea minimizado. Este sistema depende de otras intersecciones que conducen a esta y de las diferentes situaciones que existan entre estas dos intersecciones (salidas a otras calles, comportamientos diversos debidos a ciertos negocios, escuelas, empresas de gobierno, etc. a diversas horas del día) Un sistema es una parte de la realidad que es el enfoque primario de un estudio y esta formado de componentes que interactúan uno con el otro de acuerdo a ciertas reglas con

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fronteras (restricciones) identificadas con el propósito del estudio. Un sistema puede desarrollar una función que no puede ser desarrollada por sus componentes individuales. Los sistemas tienen objetivos conflictivos. No es una tarea fácil obtener los objetivos correctos de un sistema, pero es la clave para el diseño exitoso del sistema. Qué es mas importante en una empresa: Minimizar los costos de operación Obtener altos estándares de seguridad Maximizar la facilidad de mantenimiento ¿o que? Se podrá escribir una gran lista de objetivos posibles, sin embargo, estos objetivos generalmente tenderán a estar en conflictos uno con el otro. Los sistemas deben ser diseñados para ser capaces de lograr sus objetivos. Lograr los objetivos generales puede ser difícil y complicado, y puede que se requiera análisis, planeación y diseño sobre un largo periodo de tiempo. A continuación se presenta el supra-sistema que influencía el establecimiento de un plan corporativo de una empresa:

Clasificación de los sistemas Los parámetros y las variables son medidas que caracterizan al sistema.

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Instituto Tecnológico de Tepic Parámetros; Variables;

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Son medidas independientes que configuran las condiciones de los datos y la estructura del sistema (son controlables) Ejemplo; peso y longitud del péndulo Son medidas que dependen de los parámetros y de otras variables (medidas que caracterizan al sistema) Ejemplo; Velocidad del rango de oscilación y depende del peso y la longitud del péndulo; el número de partes esperando ser procesadas y su tiempo de espera.

Por ejemplo: La oscilación de un péndulo Un objeto enfriándose Un sistema de tráfico con carros en movimiento El piso de fabricación con partes en movimiento, herramientas y trabajadores El medio ambiente de una oficina con transacciones de documentos Una red de comunicación con transacciones de mensajes Una computadora con transacciones de datos El conjunto de valores de algunas variables en un sistema en cualquier punto en el tiempo son llamadas el estado del sistema en ese punto en el tiempo. Los sistemas se pueden clasificar en estáticos y dinámico. Por definición, un estado estático es aquel que no cambia con respecto al tiempo. El estado dinámico cambia con respecto al tiempo.

Enfoque de sistemas: debido a que los elementos de un sistema son interdependientes, no es posible conocer la respuesta del sistema estudiando aisladamente a cada elemento es por esto que se requiere realizar un enfoque de sistemas pues éste puede ser dividido en su estructura, pero tal vez no en sus funciones. Para poder ver a un sistema como un todo es necesario entender las relaciones causa-efecto así como las de decisión-respuesta.

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I.13 Control El tema del CONTROL es importante para muchos estudios de análisis y diseño de sistemas. Algunos problemas comunes de control son: Control de tráfico Control de contaminación Control de producción e inventario Control de población, etc. En muchos estudios el objetivo es diseñar un mecanismo de control para dichos sistemas que lograran el desempeño deseado por el sistema. Control es un mecanismo dentro de todo sistema biológico y algunos sistemas dinámicos hechos por el hombre que dirigen el sistema hacia un conjunto de metas. Ejemplo: El piloto automático de una avión Un sistema de aire acondicionado El gerente operativo de una compañía, etc. Una bala que ha sido disparada hacia un blanco no tiene mecanismo de control. Un mecanismo de control puede usar información sobre lo que entra, sale del sistema y su estado interno (parámetros de sistema y los valores de sus variables) Un sistema que usa un mecanismo de control generalmente usa FEEDBACK ( Retroceso ) o FEEDFORWARD ( Avance ) o ambos tipos. La información es recibida a través de un componente del mecanismo de control denominado sensor. La información Feedback se refiere al estado actual del sistema. La información Feedforward se refiere al estado actual del medio ambiente dentro del cual el sistema dinámico opera. Los mecanismos de control que están basados no únicamente en información retroalimentada (feedback) comparan con el estado actual del sistema, con la meta fijada y toman las acciones correctivas. En el control FEEDFORWARD las perturbaciones ambientales son medidas antes de que afecten al sistema, y es tomada una acción correctiva por anticipado. El sistema de piloto automático del avión: FEEDBACK: La dirección, altitud, velocidad, etc., son leídas por el mecanismo de control a través de SENSORES (medidores de altitud, velocidad, giroscopios, etc.) y es comparado con los valores de las metas fijadas para esas medidas. La desviación calculada de lo deseado es usada junto con la información FEEDFORWARD sobre el medio ambiente (dirección y velocidad del aire, etc.) para actuar sobre los elementos de control (alerones, ruteadores, etc.) en ciertas direcciones y magnitudes para suavemente alcanzar la meta fijada por el sistema del avión. Los principales elementos de los mecanismos de control son: Sensores Bases del conocimiento Procesadores de información Actuadores

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Estructura de un mecanismo de control combinado feedback/feedforward

El termino CONTROL ÓPTIMO se refiere a las condiciones específicas de control para las que se logra el mejor desempeño del sistema. La medida del desempeño esta generalmente expresada por una relación conocida como FUNCIÓN OBJETIVO. La FUNCIÓN OBJETIVO representa los indicadores generales del desempeño del sistema que nosotros deseamos optimizar. Controles: son los que deciden cómo, cuándo y dónde se realizan las acciones, así como también, determinan la acción cuando se presentan ciertos eventos o condiciones. En el más alto nivel, los controles los podemos encontrar en forma de políticas, planes u horarios, mientras que en un nivel bajo están en forma de procedimientos o programas.

I.14 Moviendo la simulación a través del tiempo Se debe tener cuidado con los diferentes problemas de muestreo Involucrados en la simulación pero también se debe tener cuidado con la necesidad de llevar un seguimiento del tiempo relacionado a todos los eventos (arribos, salidas, fallas, ordenes de clientes, envíos, etc.) que ocurren con el paso del tiempo. En el caso de moto bombas de occidente, por ejemplo se debe llevar un seguimiento de cuando una falla ocurre, de cuando la persona de mantenimiento inicio la reparación de la maquina, y de cuando la reparación ha sido terminada y la maquina esta nuevamente disponible para dar servicio.

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Existen dos enfoques para llevar un seguimiento de los eventos en una simulación; incremento de tiempo fijo (llamado también de tiempo parcial) e incremento de tiempo variable (llamado también de evento secuenciado). En la simulación con incremento de tiempo fijo el reloj del sistema es avanzado un incremento de tiempo fijo. En cada punto sucesivo en el tiempo simulado, el modelo es revisado para determinar si han ocurrido algunos eventos en el incremento de tiempo. Cuando se encuentra que ha ocurrido un evento, el modelo es actualizado; y si no han ocurrido eventos en ese incremento de tiempo, el reloj del sistema se incrementa nuevamente. La principal ventaja del método de incremento fijo es que la secuencia actual de los eventos no necesita ser puesta en memoria ya que la posible ocurrencia de cada evento es revisada en cada incremento de tiempo. La desventaja de este método es que los incrementos de tiempo deben ser cortos en comparación con el tiempo promedio del evento; por esto es necesario eliminar las demasiadas revisiones en que se puede incurrir, ya que durante algunos incrementos de tiempo, nada ha sucedido. En la simulación con incremento de tiempo variable, el reloj del sistema es avanzado al tiempo de ocurrencia del próximo evento, sin importar ser un día o meses en el tiempo simulado. Utilizando el método de incremento variable, un calendario de tiempo debe ser llevado para cada evento, pero esto es computacionalmente más eficiente. La mayoría de las simulaciones emplean el método del incremento del tiempo variable y la mayoría de los lenguajes de simulación son construidos sobre este concepto. En estas notas se cubrirá el incremento de tiempo variable pero se identificara a los lenguajes que emplean ambos métodos.

I.15 Modos de estado Transitorio y Estacionario Se dice que un sistema esta en el modo de estado estacionario cuando cambios en el estado del sistema toman lugar dentro de un rango relativamente fijo. Los cambios el modo de estado transitorio siguen un patrón creciente o decreciente con respecto al tiempo. Los cambios en el sistema durante el independientes del tiempo.

período de estado ESTACIONARIO son

I.16 Características de los Sistemas Discretos Los sistemas discretos difieren de los sistemas continuos en que la fuente de su dinamismo (la instalación física) es en forma disjunta (unidades, carros, gente, etc.) en lugar de en forma conjunta (liquido, gas, calor, etc.) Básicamente, un sistema está compuesto por entidades, actividades, recursos y controles; estos elementos definen quién, qué, dónde, cuándo y cómo acerca del procesamiento del sistema. Cada unidad disjunta de una instalación es una ENTIDAD, por lo que una entidad es una comodidad cuyo movimiento en el sistema causa cambios discretos en el estado del sistema. Los mensajes y señales en un sistema de comunicación, por ejemplo, pueden ser consideradas como entidades.

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Entidades: son los artículos procesados a través del sistema, tales como productos, clientes y documentos. Se pueden clasificar en tres tipos:  Humanos o animados (clientes, pacientes, etc.).  Inanimados (partes, papelería, etc.).  Intangibles (llamadas, correo electrónico, proyectos, etc.). Los sistemas discretos pueden tener variables continuas: La distancia entre entidades carro es una variable continua. Las entidades se pueden transformar en otras entidades con características variadas. También pueden dividirse en un número mayor de entidades y varias entidades pueden combinarse para formar entidades más pequeñas. Los cambios en el estado del sistema son causados por el movimiento de las entidades. A las acciones que consumen tiempo en un sistema discreto (sin considerar la espera en la cola) se llaman ACTIVIDADES. Por lo que en un sistema discreto, el estado del sistema cambia únicamente en tiempos del evento que toman lugar al inicio o al final de las actividades. La actividad representa un periodo de tiempo de longitud específica. Las actividades son las tareas que se realizan en el sistema, tales como llenado, corte, reparación, atención al cliente, etc. Las actividades tiene una duración y por lo general utilizan recursos. Ejemplo: Un banco esta siendo estudiado, los clientes pueden ser una de las entidades, el balance de sus cuentas de cheques puede ser un atributo, y realizar los depósitos podría ser una actividad. Es esencial para el estudio de sistemas discretos reconocer las ENTIDADES y sus rutas, la naturaleza de las ACTIVIDADES, las diversas condiciones del comportamiento que gobierna al sistema, las ocurrencias que conducen a los eventos y el impacto de los eventos sobre el sistema.

Un sistema de transporte puede incluir tanto gente como autobuses que cargan, transportan y descargan gente. La gente puede tener diferentes características tales como su destino deseado y la cantidad de dinero que pueden gastar. Además, los autobuses pueden tener diferentes capacidades, pueden ser asignados a rutas diferentes, y pueden ser de tipo regular o express con boletos de precio diferente. Las ENTIDADES pueden tener diferente tipo de relación con otra. Ejemplo. un autobús-entidad puede llevar varios pasajeros-entidad, y un policía-entidad puede detener al autobús-entidad. Las entidades están caracterizadas por sus ATRIBUTOS. Cada entidad puede tener varios atributos. Una colección de atributos es llamada conjunto de atributos.

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Atributos para un cliente: Nombre, edad, tiempo de arribo, tipo de deposito, etc. Atributos de un autobús: Nombre, tonelaje, tiempo de carga, velocidad, etc. Los atributos de las entidades pueden ser observados únicamente la entidad esta presente. En el curso de las actividades, las entidades pueden algunas veces necesitar usar o soltar ciertos RECURSOS que tienen disponibilidad limitada (las cajeras en un banco). Los RECURSOS son los medios por los cuales se ejecutan las actividades, por ejemplo: personal, equipo, herramientas, energía, tiempo, dinero, etc. Los recursos pueden tener características tales como capacidad, velocidad, tiempo de ciclo y confiabilidad, asimismo, son los que definen quién o qué realiza la actividad y en dónde. El estado de un sistema es definido ser una colección de variables necesarias para describir un sistema en cualquier momento, relativo a los objetivos de estudio. En un banco, las posibles variables de estado son él numero de cajeros, él numero de clientes esperando en línea para ser atendidos, y el tiempo de arribo del próximo cliente. El estado del sistema cambia en ciertos instantes en el tiempo en el cual ocurrencias significantes toman lugar. Estas ocurrencias significativas que resultan en un cambio en el estado del sistema discreto son llamadas EVENTOS. El término endógeno es usado para describir actividades y eventos que ocurren dentro del sistema, y el término exógeno es utilizado para describir actividades y eventos que ocurren en el medio ambiente del sistema. En un banco, el arribo de los clientes es un evento exógeno, y la terminación del servicio es de un cliente es un evento endógeno. Medidas del rendimiento de un sistema: el rendimiento de un sistema se mide por su efectividad y eficiencia en alcanzar los objetivos para los cuales fue diseñado. En muchas situaciones, los objetivos se fijan en función de la efectividad en costos o la utilidad generada por el sistema. Los datos para determinar tales medidas de rendimiento suelen ser: precios, costos, y características cuantitativas del funcionamiento del sistema. Los objetivos del sistema se satisfacen cuando las medidas del rendimiento alcanzan los niveles deseados. VARIABLES GLOBALES: tiempo transcurrido, numero de jugadores, marcador, tamaño de la cola, numero de personas en la cola, etc. Ejemplo: Un banco esta siendo estudiado, los clientes pueden ser una de las entidades, el balance de sus cuentas de cheques puede ser un atributo, y realizar los depósitos podría ser una actividad.

Ejemplos de sistemas y componentes Sistema

Entidades

Atributos

Actividades

Banco

Clientes

Cuenta de cheques Realizar depósitos

Tren Rápido

Viajeros

Origen, Destino

Producción

Máquinas

Velocidad; Soldado, estampado, Capacidad; tasa de fresado, cortado, etc. fallas

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Viajar

Eventos Llegadas o Salidas

Variables de Estado Número e cajeros ocupados; número de clientes esperando

Llegadas a Número de viajeros esperando la estación en cada estación; número en y a su tránsito destino Estado de las máquinas Fallas (Ocupada, Ociosa, o descompuesta)

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Comunicaciones Mensajes

Longitud; Destino

Transmisión

Arribo al destino

Número en espera de ser transmitidos

Inventario

Capacidad

Entradas o Salidas

Demanda

Niveles de inventario; Demanda atrasada

Almacén

RESUMIENDO: Las entidades llevan atributos y toman sobre varias actividades rutas para moverse en el sistema, usan varios recursos, y crean eventos para cambiar el estado del sistema, mientras se mantienen ciertas relaciones lógicas. SISTEMA: Una sección de la realidad en forma de un conjunto de componentes conectados de tal forma que puedan realizar una función no realizable por los componentes de manera individual. PARÁMETROS: Cantidades en el sistema que no cambian a menos que el analista lo desee. VARIABLES: Cantidades en el sistema que son determinadas por la relación funcional y que cambian con respecto al tiempo en sistemas dinámicos. ESTADO DEL SISTEMA: Una fotografía del sistema en cualquier punto en el tiempo caracterizado por los valores de algunas variables del sistema seleccionadas. EVENTOS: Los cambios en el estado de un sistema discreto. ENTIDADES: Objetos en el sistema dinámico cuyo movimiento dentro del sistema puede resultar en la ocurrencia de eventos. ATRIBUTOS: Características y propiedades que describen entidades. RELACIONES: Expresiones de la dependencia entre los elementos como variables, parámetros, y atributos de un sistema. ACTIVIDADES: Elementos que consumen tiempo en un sistema cuyo inicio o termino coinciden con las ocurrencias del evento. RECURSOS: Comodidades limitadas que son usadas, consumidas, o llenadas por las entidades. CONTROL: Un mecanismo que dirige a un sistema dinámico hacia un conjunto de metas. ESTADO TRANSITORIO: Una condición típica que impone dependencia del tiempo y perturbaciones radicales sobre el estado del sistema. ESTADO ESTACIONARIO: Una condición típica en la que los cambios en el estado del sistema están dentro de un rango fijo y son independientes del tiempo.

I.17 Modelos Para analizar un sistema, primero se debe expresar el sistema en una forma de representación. Esta representación es llamada MODELO. Ejemplo: Un poeta puede ver un árbol (sistema) y representarlo en palabras que describen al árbol (Representación verbal). Un pintor puede ver el mismo árbol pero expresarlo a través de una pintura (representación pictórica). Aunque la pintura y el poema son muy diferentes, ellos son modelos del mismo sistema. Los modelos raramente combinan todos los factores acerca del sistema: por lo que son abstracciones del sistema. Ciertas formas de representación, sin embargo, son más eficientes combinando ciertos factores. Lo que identifica a un sistema es el propósito del estudio, y una vez que el sistema es identificado, la fuerza de la representación de las diversas alternativas de modelación puede ser usada para identificar el modelo entre los modelos candidatos.

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Los modelos son necesarios para en análisis de los sistemas. El estudio de los sistemas puede tener como objetivo comprender el comportamiento de los sistemas existentes o de los sistemas hipotéticos futuros.

Identificación basada en el propósito de estudio

En general los estudios requieren experimentación y manipulación que son obviamente imposibles de implementar en los sistemas hipotéticos inexistentes. También, en el caso de los sistemas existentes, esta experimentación y manipulación puede resultar muy costosa de implementar sobre el sistema mismo, debido a que puede involucrar actividades que consumen tiempo y recursos. Estos pueden perturbar la operación actual del sistema, o en algunas ocasiones puede resultar en la destrucción del sistema. Ejemplos: Remodelar una sala. EL mejor tiempo de un semáforo Capacitación, entrenamiento y evaluación de la tripulación de vuelo. EL diseño de una presa. Los ejemplos anteriores sugieren que debe existir una mejor forma de realizar el análisis y diseño de los sistemas que experimentando con el sistema mismo. Hasta el momento se ha encontrado que los modelos sirven para situaciones más atractivas. UN MODELO ES UNA REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA, QUE PUEDE SER EXPERIMENTADO Y MANIPULADO PARA CON PROPÓSITO PRINCIPAL DE ESTUDIAR EL SISTEMA. En esencia, los modelos pueden ser usados para tres cosas: 1.Estudiar los sistemas existentes sin perturbar sus operaciones. 2.Estudiar los sistemas existentes sin destruirlos. 3.Estudiar sistemas futuros no existentes. Clasificación de los modelos Los modelos pueden variar desde ser maquetas físicas aparentemente exactas de un sistema hasta ser una representación matemática abstracta.

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Los modelos de los sistemas pueden ser clasificados como: Físicos Gráficos, o Simbólicos Modelos Físicos: También llamados Icónicos, pueden ser de la misma escala del sistema mismo. El modelo de la cabina de pilotaje de un avión usado para el entrenamiento de pilotos Una planta operacional piloto para estudiar la manufactura de una nueva línea de un producto previa a la producción a gran escala. Los modelos pueden ser de menor escala que el sistema que representan: Las maquetas de estructuras usadas por los arquitectos y maquetas de plantas químicas. Los modelos a escala de sistemas tridimensionales pueden ser bidimensionales como plantillas usadas en la distribución de planta o en la elaboración de los diagramas de flujo. Modelos Gráficos: Estos modelos pueden ser representaciones del sistema en dos o tres dimensiones. Estos pueden ser estáticos, tales como, dibujos sobre papel, o dinámicos, como las películas o gráficas por computadora. Las representaciones gráficas generalmente facilitan las comunicaciones y mejoran el comportamiento de los modelos abstractos. ( Un dibujo vale más que mil palabras.). Por lo esto, muchos modelos simbólicos son soportados por representaciones gráficas e interfaces. Modelos simbólicos: Son representaciones abstractas de los sistemas y como tales no se parecen a los sistemas que representan. En muchas aplicaciones estos modelos son medios más efectivos de representación del sistema debido a la facilidad de su construcción y manipulación. Por ejemplo; una descripción verbal de un sistema es un modelo simbólico que puede expresado en cualquier idioma (inglés, Francés, Español, etc.). Un modelo verbal en ciertas aplicaciones es suficiente y más fácil de construir que un modelo físico del sistema. Los modelos verbales son comunes para ciertas aplicaciones, pero son molestos e ineficientes para usarse cuando la estructura del sistema y la relación dentro del se vuelve compleja y abrumadora. Abstracciones mayores pueden requerir que se exprese mejor la relación dentro del sistema en estudio. Representaciones abstractas y organizadas de los hechos y las reglas dentro del sistema son de la forma procedimientos estructurados en idiomas semi-naturales, relaciones matemáticas y/o programas de computadoras que son formas comúnmente usadas por los modelos simbólicos. (expresiones que usan parámetros, variables, relaciones, etc.) Experimentación de Modelos Recordemos que el propósito de construir un modelo no es únicamente representarlo, si no también experimentar con el modelo las diferentes configuraciones y valores de los parámetros que conduzcan a conclusiones útiles con relación al desempeño del sistema bajo estudio. En este nivel el modelo debería ser evaluado o resuelto para revelar el comportamiento del sistema. En el caso de los modelos Gráfico y Físicos, estas soluciones pueden ser observadas y medidas. En el caso de los sistemas Simbólicos, las soluciones serán ocultas en un modelo de estructura abstracta. Por ejemplo, en una representación gráfica de la demanda pronosticada para una compañía, la crestas de la demanda y sus tiempos de ocurrencia pueden ser fácilmente observadas en la gráfica, pero cuando la misma relación de la

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demanda y el tiempo es representada matemáticamente, el ver la función encontrada no revela mucha información sobre los puntos máximos de la función. En el último de los casos el modelo deberá ser resuelto para obtener la información deseada. Los métodos de solución para los modelos simbólicos son analíticos o experimentales. El método analítico se aplica generalmente a modelos matemáticos como a otras formas de modelos simbólicos. Los métodos analíticos requieren un razonamiento deductivo de las teorías matemáticas que se aplican al problema en cuestión. Este método generalmente resulta en soluciones precisas y rápidas. Las soluciones analíticas son generales, pero los métodos experimentales son específicos y se aplican únicamente a un dado problema. El método experimental para la solución de problemas en general usa enfoques simplificados y a veces enfoques de sentido común, en lugar de teorías matemáticas sofisticadas. El intercambio de esta simplicidad y facilidad de uso, generalmente (no siempre) requiere tiempos de calculo grandes y/o soluciones imprecisas. Sin embargo, como la mayoría de los problemas del mundo real son complejos, los métodos experimentales frecuentemente son las únicas. Un ejemplo de Métodos experimentales son las técnicas de prueba y error (Newton-Rapshon, Bisección, Gauss-Seiddel, técnicas de búsqueda, etc.) otro ejemplo es el uso de la técnica de Monte Carlo que se basa en la generación de muestras aleatorias y que se refiere a problemas estáticos. Siendo racionales, los métodos analíticos son más precisos que los métodos experimentales. Como regla general, cuando se trate con un problema, primero se deberá explorar la posibilidad de usar métodos analíticos. Si en el esfuerzo de encontrar una solución analítica este falla (o una razonable aproximación del problema por uno que conduzca a una solución analítica), entonces un método experimental deberá ser considerado

Ejercicios 1. Para cada uno de los siguientes sistemas identifique dos posibles propósitos de estudios, y para cada porosito identifique influencias externas y sus componentes principales que deberían ser incluidos en las fronteras del sistema: a) Un restaurante; b) Un cruce peatonal; c) Una computadora; d) Un café Internet; e) Un lavado de autos; f)Un centro de computo 2. De un ejemplo de una realidad particular que puede ser vista como un sistema estático por un analista y como uno dinámico por otro. Identifique los propósitos de estudio posibles para cada analista. 3. De un ejemplo de una realidad única que puede ser vista como un sistema discreto por un analista y como uno continuo por otro. Identifique los propósitos de estudio posibles para cada analista. 4. Para cada uno de los siguientes estudios indique como y porque usted clasificaría los correspondientes sistemas como continuo, discreto, o combinado: a) Un estudio de la población de conejos en un laboratorio; b) Un estudio de la población de una ciudad; c) El análisis del desempeño de una máquina forradora de alambre; d)El pronostico de un sistema ecológico; e)El diseño de un área de servicio de una estación de gasolina; f)El control de inventario de una agencia de autos; g) El control de inventario de una gasolinera. 5. Analice el sistema de un CIBER-CAFÉ que ofrece los servicios de Internet, correo electrónico, impresión de documentos y gráficas, cafetería y capacitación en el manejo del Internet. Elabore un esquema ilustrativo de este sistema que contenga a los subsistemas, sus interrelaciones el sistema del que forma parte y en la realización de cierto estudio indique sus entidades, actividades, atributos, eventos recursos y cuales serían los parámetros y cuales las variables. Además indique que

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9. 10.

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información podría obtener como resultado de experimentar sobre este modelo para la mejora del sistema. Analice el sistema de un Centro de FOTOCOPIADO que ofrece los servicios de Fotocopiado, Engargolado, Enmicado y venta de artículos para oficina. Elabore un esquema ilustrativo de este sistema que contenga a los subsistemas, sus interrelaciones el sistema del que forma parte y en la realización de cierto estudio indique sus entidades, actividades, atributos, eventos recursos y cuales serían los parámetros y cuales las variables. Además indique que información podría obtener como resultado de experimentar sobre este modelo para la mejora del sistema Analice el sistema de un Centro de Computo que ofrece los servicios de Reservado de equipo, uso de equipo, y equipo usado para uso de: paquetería, programación, consultas en Internet, impresión y consulta y envíos de e-mails. Elabore un esquema ilustrativo de este sistema que contenga a los subsistemas, sus interrelaciones el sistema del que forma parte y en la realización de cierto estudio indique sus entidades, actividades, atributos, eventos recursos y cuales serían los parámetros y cuales las variables. Además indique que información podría obtener como resultado de experimentar sobre este modelo para la mejora del sistema Extraer de la siguiente descripción las entidades, atributos, eventos, retrasos, colas y actividades del sistema. A un puerto llegan barcos que atracan junto a un muelle, si está disponible; en caso contrario, esperan hasta que se libere uno. Los descargan varias cuadrillas de trabajo cuyos tamaños dependen del tonelaje de la nave. Una bodega contiene una nueva carga para el barco. Se carga el barco y luego se hace a la mar. Sugerir dos eventos exógenos (distintos a las llegadas) que pueda ser necesario tomar en cuenta. Nombre tres o cuatro de las principales entidades, atributos o actividades que debe de considerar si se le pide simular la operación de a) una estación gasolinera, b) una cafetería, c) una peluquería. Extraer de la siguiente descripción las entidades, atributos, eventos, retrasos, colas y actividades del sistema: Considere un banco con cuatro cajas. Las cajas 3 y 4 atienden solamente cuentas empresariales, en tanto que las cajas 1 y 2 atienden cuentas generales. Los clientes arriban al banco a una razón de uno cada 3  1 minuto. Del total de clientes, el 33% son de tipo empresarial. Los clientes escogen aleatoriamente entre las dos cajas disponibles para cada tipo de cuenta. Se supone que se escoge una caja independientemente de la longitud de su cola de espera. Las cuentas empresariales toman 15  10 minutos en ser atendidas y las cuentas generales toman 6  5 minutos para completarse.

Referencias Bibliografícas: Azarang, M. R. y García Dunna, E., (1996), Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos McGrawHill/Interamericana de México, S.A. de C.V., México. Banks, J. y Carson, J.S., (1984), Discrete event system simulation, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.. Bratley, P., Fox, B.L., Schrage, L.E. (1983) A Guide to Simulation. Springer Verlag Concebís B., Discrete Systems Simulation, Mc. Graw Hill Coss Bu Raúl, (2002), Simulación Un enfoque práctico , Limusa Davis y Mc kewon, Modelos Cuantitativos para la Administración , Mc. Graw-Hill Gerez, V. y Grijalva, M., (1980), El Enfoque de Sistemas, Ed. Limusa, México Gottfried, B.S., (1984), Elements of Stochastic Process Simulation, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. Gordon, G., (1989), Simulación de Sistemas, Editorial Diana, México. Hillier, F.S. y Lieberman, G.J., (2003), Introducción a la Investigación de Operaciones, 5ª. Edición, , McGrawHill/Interamericana de México, S.A. de C.V., México.

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Harrell Ch. Ghosh B., Bowden R., , Simulation using PROMODEL w/CD-ROM, promodel.Harrell Charles R., Bateman Robert E., Gogg Thomas J. and, . Mott Jack R.A., System Improvement Using Simulation, Promodel Corporation., 1996. Kelton, W.D., Sadowski, R.P. y Sadowski, D.A., (2002), Simulation with Arena, 2a. Edición, McGrawHill, USA. Law A. y Kelton W. , Simulation Modeling and Análisis, Mc. Graw-Hill Naylor, Balintfy y Burdick, Técnicas de Simulación de computadoras, Limusa. Ross, S., (1997), Simulation, 2a Edición, Academic Press, USA Shdmit y Taylor, Análisis y Simulación de Sistemas Industriales, Trillas. Taha, H.A., (1991), Investigación de Operaciones, 2ª Edición, Alfaomega S.A., México. Thierauf, Investigación de Operaciones , Limusa. Winston, Investigación de Operaciones, Gpo. Editorial Iberoamérica.

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Capítulo 2 II.1

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Generación de Números Aleatorios

Introducción

La vida real raramente es determinística. Muchas de las influencias externas a un sistema bajo estudio (tal como el arribo de las entidades) y el comportamiento de los componentes internos del sistema (tales como la duración del tiempo de servicio) siguen un patrón no determinístico o aleatorio. El arribo de los clientes a una lavandería, el tiempo de uso de una computadora y el tiempo de traslado de tu casa a tu lugar de trabajo, son ejemplos representativos de esta situación. Para construir un modelo de simulación representativo de un sistema bajo estudio es necesario recrear los efectos aleatorios que están presentes en el sistema. En este capítulo se presentan los conceptos de aleatoriedad y pseudo aleatoriedad, algunos métodos numéricos para la generación de números aleatorios, algunos métodos para probar la aleatoriedad de los números generados, el método de Monte Carlo y algunos ejercicios de simulación donde se aplican los conocimientos cubiertos.

II.2

Efectos de la aleatoriedad en la simulación

Un método posible para re-crear los efectos aleatorios que están presentes en el sistema, es el uso del conjunto de datos obtenidos del mundo real y elaborar el modelo sujeto a exactamente a los mismos patrones de datos. Sin embargo, existen algunos problemas con el uso de este tipo de datos. Primero Los datos están limitados generalmente en numero; el numero de datos que pueden ser reunidos es frecuentemente limitado debido al tiempo y al costo asociado con la obtención de datos. Esto limita la longitud de la simulación a la longitud del período de obtención de datos. Segundo Los datos están disponibles solo si los sistemas están actualmente operando. Un papel importante en la simulación es el diseño de sistemas no existentes. Tercero No es posible de realizar fácilmente un análisis de sensibilidad usando datos reales. Cuarto Debido a que los datos obtenidos generalmente no están en forma leíble para la computadora, capturar grandes cantidades de datos en la computadora requiere demasiado tiempo. Idealmente el modelo sujeto a los datos reales debería desempeñarse exactamente que el sistema que simula, y por esto las estadísticas resultantes deberían corresponder cercanamente a las estadísticas obtenidas del desempeño del sistema actual. Es necesario desarrollar un procedimiento para generar datos aleatorios artificialmente de acuerdo a las especificaciones del analista. El procedimiento sigue los pasos siguientes: Paso 1

Obtener datos reales en cantidad suficiente para servir como una fuente confiable de la actual población estadística.

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Instituto Tecnológico de Tepic Paso 2 Paso 3

II.3

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Desarrollar un análisis estadístico de la muestra para identificar la naturaleza (distribución de probabilidad y sus parámetros) de la población estadística de la cual la muestra es tomada. Usar un instrumento como mecanismo que sea capaz de crear un numero ilimitado de variables aleatorias que sea representativo por la población identificada en el paso 2.

Generador de Números Aleatorios

Existen diferentes formas de obtener números aleatorios: 

Provisión externa Tablas de Rand (números aleatorios)



Generación interna a partir de un proceso físico al azar



Generación interna de sucesiones dígitos por medio de una relación de recurrencia

II.3.1 Provisión Externa: Tablas RAND Se tiene la ventaja de que la serie de números obtenida de una tabla es reproducible y se tiene como inconveniente la lentitud para su obtención y que se requiere una gran cantidad de memoria para su almacenamiento. En el apéndice de tablas al final del capítulo se muestra una tabla tomada de la Corporacón Rand, “A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates” (New York: The Free Press, 1955)

II.3.2 Generación interna a partir de un proceso físico al azar. Algunos métodos para crear ciertos resultados aleatorios usan instrumentos físicos (monedas, dados, y ruletas). Algunas técnicas numéricas pueden ser usadas en la generación de números aleatorios, y después estos números aleatorios serán usados para generar las variables aleatorias. Limitaciones de los instrumentos físicos para generan números aleatorios: 1.Los instrumentos físicos no pueden generar números aleatorios verdaderos a menos que sean altamente elaborados técnicamente y caros. 2.Es un proceso de generación caro 3.Los flujos de números aleatorios generados por los instrumentos físicos son no repetitivos. La propiedad de repetibilidad es deseable considerando la necesidad de que varios escenarios de modelación están sujetos al mismo conjunto de efectos aleatorios.

II.3.3 Generación interna de sucesiones dígitos por medio de una relación de recurrencia Las metodologías por software para generar números aleatorios han sido desarrolladas vía técnicas numéricas. A este proceso se le denomina Generación de Números Pseudoaleatorios. La palabra pseudoaleatorio sugiere que los números generados están inte-relacionados a través de relaciones numéricas y realmente no son independientes uno del otro. Propiedades deseables de los generadores de números Pseudoaleatorios: 1.Deben ser uniformemente distribuidos entre el rango continuo de cero a uno. 2.El numero generado debe ser tan independientemente posible de otro numero; idealmente, no debe existir autocorrelación entre ellos.

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El generador debe ser tan rápido y no deberá requerir una excesiva memoria de la computadora. Los números generados deben tener un ciclo largo antes de que la secuencia se repita. Deberá ser posible regenerar el flujo de números aleatorios (son reproducibles) para repetir patrones similares a los varios escenarios de modelación a que se puede estar sujeto. Deberá ser posible generar flujos múltiples de números aleatorios los que deben ser independientes unos de otros. Esta propiedad permite la asignación de flujos de dedicados a ciertos módulos dentro del modelo.

Algunos métodos para generar números pseudoaleatorios son: 

Método de Centros al Cuadrado



Método de Congruencia Lineal Método de Congruencia Mixto Método de Congruencia Multiplicativa



Generadores combinados

II.3.3.1 Método de Centros al Cuadrado Uno de los métodos más simples para la generación de números Pseudoaleatorios es el método de Centros al cuadrado (middle square). Jon von Neumann en 1946 sugirió la generación de números aleatorios realizando operaciones aritméticas en una computadora, elevando al cuadrado el número previo y extrayendo los dígitos centrales. Aunque este método generalmente tiene un pobre desempeño (si un cero aparece en la secuencia, este será eternamente perpetuo), la simplicidad de este algoritmo lo hace apropiado para demostrar el concepto de la generación de los números Pseudoaleatorios. Para obtener los números aleatorios de n-dígitos, el procedimiento de centros al cuadrado es el siguiente: 1.2.3.4.5.-

Seleccione un número de n-dígitos Obtenga el cuadrado del número. Si el numero de dígitos del resultado es menor que 2n, agregue los ceros a la izquierda necesarios para hacer el numero par entre n dígitos o igual de 2n dígitos de longitud. Tome lo n dígitos centrales del numero encontrado en el paso 2. Coloque un punto decimal antes del primer dígito del numero encontrado en el paso 3, el numero fraccional resultante es un numero aleatorio. Sustituya el número encontrado en el paso 3 en el paso 2 y repita el proceso.

El siguiente ejemplo numérico demuestra este algoritmo para el caso de 4-dígitos. Trabajando con 2n dígitos S0 = Semilla = 5625 S1 = (5625)2 = 31|6406|25 S2 = (6406)2 = 41|0368|36 S3 = (0368)2 = 00|1354|25 S4 = (1354)2 = 01|8333|16 S4= (8333)2 = 69|4388|89 ………………………………

r1=0.6406 r2=0.0368 r3=0.1354 r4=0.8333 r5=0.4388

Trabajando con un valor par menor o igual a 2n dígitos S0 = Semilla = 5625

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Instituto Tecnológico de Tepic S1 = (5625)2 = 31|6406|25 S2 = (6406)2 = 41|0368|36 S3 = (0368)2 = 1|3542|4 S4 = (1354)2 = 12|5457|64 S4= (8333)2 = 29|7788|49 ……………………………….

Departamento de Ingeniería Industrial r1=0.6406 r2=0.0368 r3=0.3542 r4=0.5457 r5=0.7788

A pesar de la simplicidad de este método, este no es generalmente usado debido a su debilidad. Por ejemplo este método puede rápidamente degenerar dependiendo de la elección del numero semilla. Esto se puede demostrar eligiendo una semilla con valor de 500: S0 = Semilla = 5500 S1 = (5500)2 = 30250000 S2 = (2500)2 = 06250000

r1=0.2500 r2=0.2500

Note que los valores subsecuentes de los números aleatorios serán los mismos. Otra debilidad de este método es que si él numero generado es cercano a cero (teniendo varios ceros después del punto decimal), todos los números subsecuentes serán también muy pequeños. El desempeño de todos los métodos numéricos depende del tamaño de la palabra de la computadora que ejecuta las operaciones relativas, debido a que los posibles tamaños de los números mayores y menores son influenciados por el numero de bits que abarca el tamaño de la palabra de la computadora ( usualmente 16 o 32 ).

II.3.3.2 Método de Congruencia Lineal El método de congruencia lineal es la técnica mas ampliamente usada para generar números aleatorios, tal como se describirá mas adelante en detalle. También se reporta una extensión de este método que produce secuencias con periodos largos. Muchos otros métodos han sido propuestos, y estos son revisados en Bratley, Fox y Schrage [1987], Law y Kelton [1991] y Ripley [1987] Los números generados son pseudoaleatorios, cumplen con las pruebas de aleatoriedad, son deterministicos (dirigidos) y son determinados a partir del último número generado. Este método produce una secuencia de números enteros X 1,X2,....... entre cero y m-1 de acuerdo a la siguiente relación recursiva: Xi = ( aXi - 1 + C ) mod m El valor inicial de la semilla X0 se llama semilla, a es la constante multiplicativa, c es el incremento, y m es el modulo.. Si c≠0, se tiene el método de congruencia mixta. Cuando c=0, se tiene el método de congruencia multiplicativa . En los métodos de congruencia la longitud del ciclo de repetición del numero aleatorio es siempre mas pequeño que el parámetro m. Por esto, un valor relativamente grande de m es deseable, Un valor de 2k - 1, donde k es el tamaño de la palabra de la computadora, trabaja bien, como lo es a=2k + 5. Siempre que el parámetro c sea primo relativo a m. Debido a que las herramientas de los lenguajes de programación y de los simuladores están equipadas con rutinas generadoras de números aleatorias pre-probadas, los usuarios raramente tienen necesidad de crear sus propios programas generadores de números aleatorios.

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II.3.3.2.1 Método de congruencia mixta Relación: Xi = ( aXi - 1 + C ) mod m

; ri = Xi /m

(1)

donde X0 es la semilla Xn es igual residuo de dividir lo que esta dentro del parámetro entre m. Los parámetros a, c, y m también como la semilla son enteras no-negativas y deben satisfacer: 0 < m, a< m, c<m y X0 < m Sean X0=1, a=6, c=1, m=25; entonces; X1= (6.1+1) mod 25 X 1= 7 r1=7/25 = .28 X2= (6.7+1) mod 25 X2= 18 r2=18/25 = .72 X3=(6.18 + 1) mod 5 X3= 9 r3= 9/25 = .36 La elección de los parámetros en el método de congruencia lineal, afecta significativamente la calidad de los números aleatorios generados por este método. Por ejemplo si se cambia a de 6 a 5, el primer numero generado será 0.4399, y todos los números generados después de esta serán los mismos (0.2399). Por este método de congruencia cuando los parámetros son seleccionados apropiadamente se tendrá mayor posibilidad de pasar las pruebas de aleatoriedad. m = 2k - 1 a = 2k +5

k= 16 ó 32 bits

c es un numero primo relativo a m k= 16 c=17 k= 32 c=17 k es el números de dígitos binarios en una palabra de la computadora usada. Ejemplo: Método de Congruencia Mixta m 100 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

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A 1

c 43

X0 27

aXn + c 70 113 56 99 142 85 128 71 114 57 100 43 86 129 72 115 58 101

X aXn+c mod m 70 13 56 99 42 85 28 71 14 57 0 43 86 29 72 15 58 1

R 0.7 0.13 0.56 0.99 0.42 0.85 0.28 0.71 0.14 0.57 0 0.43 0.86 0.29 0.72 0.15 0.58 0.01

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Departamento de Ingeniería Industrial 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

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44 87 130 73 116 59 102 45 88 131 74 117 60 103 46 89 132 75 118 61 104 47 90 133 76 119 62 105 48 91 134 77 120 63 106 49 92 135 78 121 64 107 50 93 136 79 122 65 108 51 94 137 80 123 66 109 52 95 138 81 124 67 110 53 96 139 82 125

44 87 30 73 16 59 2 45 88 31 74 17 60 3 46 89 32 75 18 61 4 47 90 33 76 19 62 5 48 91 34 77 20 63 6 49 92 35 78 21 64 7 50 93 36 79 22 65 8 51 94 37 80 23 66 9 52 95 38 81 24 67 10 53 96 39 82 25

0.44 0.87 0.3 0.73 0.16 0.59 0.02 0.45 0.88 0.31 0.74 0.17 0.6 0.03 0.46 0.89 0.32 0.75 0.18 0.61 0.04 0.47 0.9 0.33 0.76 0.19 0.62 0.05 0.48 0.91 0.34 0.77 0.2 0.63 0.06 0.49 0.92 0.35 0.78 0.21 0.64 0.07 0.5 0.93 0.36 0.79 0.22 0.65 0.08 0.51 0.94 0.37 0.8 0.23 0.66 0.09 0.52 0.95 0.38 0.81 0.24 0.67 0.1 0.53 0.96 0.39 0.82 0.25

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Departamento de Ingeniería Industrial 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

68 111 54 97 140 83 126 69 112 55 98 141 84 127 70

68 11 54 97 40 83 26 69 12 55 98 41 84 27 70

0.68 0.11 0.54 0.97 0.4 0.83 0.26 0.69 0.12 0.55 0.98 0.41 0.84 0.27 0.7

II.3.3.2.2 Método de Congruencia Multiplicativa Relación: Xi = aXi - 1 mod m

;ri = Xi /m

(2)

La Tabla 1 muestra la determinación del periodo de un generador congruencial multiplicativo para a = 13, m = 26 = 64, X0 = 1, 2, 3, 4. Se puede ver que el máximo periodo, 16, se alcanza para las semillas impares, y éste es igual al máximo teórico P=m/4 ya que a=5+8k con k = 1. Método de Congruencia Mixta m 64

a 13

c 0

X0 1,2,3, Y 4

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xo=1 1 13 41 21 17 29 57 37 33 45 9 53 49 61 25 5 1

Xo=2 2 26 18 42 34 58 50 10 2

Xo=3 3 39 59 63 51 23 43 47 35 7 27 31 19 55 11 15 3

Xo=4 4 52 36 20 4

En este ejemplo, m=26=64 y c=0. El máximo periodo es por lo tanto P = m/4 = 16. Note que este periodo se logra usando semilla X0=1 y 3 (impares), pero con semillas X0=2 y 4(pares), produce periodos de ocho y cuatro, ambos menores del máximo. Note que a=13 es de la forma 5+8k con k=1, como se requiere para lograr el periodo de máxima longitud. Cuando X0=1, las secuencia generada toma valores del conjunto {1, 5, 9, 13,..., 53, 57, 61}. Los huecos en la secuencia de los números aleatorios generados, R i son bastantes grandes (por ejemplo, el hueco es 5/64-1/64 o 0.0625, densidad insuficiente), el periodo es

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demasiado corto (tal hueco obtenido crea la preocupación acerca de la densidad de la secuencia generada); por lo tanto no se recomienda la utilización de este generador. El generador en este ejemplo no es viable para cualquier aplicación – su periodo es demasiado corto y su densidad es insuficientemente pequeña. Sin embargo, el ejemplo muestra la importancia de la elección correcta de a, c, m y X 0. Un generador bastante utilizado en la práctica tiene los siguientes parámetros a = 75 = 16807, m=231-1 = 2147483647 (un número primo) y c = 0. Estos valores aseguran un periodo P = m-1. Para una semilla igual a 123457, los valores generados son: I X R

0 123457 -------

1 2074941799 0.96622

2 5598721796 0.26071

3 1645864968 0.76641

La velocidad y la eficiencia el uso de un generador en una computadora digital es también una selección a considerar. La velocidad y la eficiencia son apoyados por el uso de un modulo m, el cual esta a la potencia de 2. Ya que la mayoría de las computadoras digitales usan una representación binaria de los números, el modulo, o residuo, operación de la ecuación Xi+1= aXi+c mod m, puede ser realizada eficientemente cuando el modulo esta a la potencia de 2 (por ejemplo, m=2b). Después de realizar aritmética ordinaria se obtienen los valores de aXi+c, Xi+1 es obtenido eliminando el dígito binario mas a la izquierda en aX i+c y después usando los dígitos binarios b mas a la derecha. El siguiente ejemplo muestra, por analogía, esta operación usando m=10b, debido a que la mayoría de lo humanos piensan en representación decimal. Ejemplo Sean m=102 = 100, a=19, c=0 y X0=63, genere una secuencia de números aleatorios enteros usando la ecuación Xi+1= (aXi+c) mod m X0=63 X1= (19)(63) mod 100 = 1197 mod 100 =97 X2= (97)(63) mod 100 = 1843 mod 100 = 43 X3= (43)(63) mod 100 = 817 mod 100 = 12 .... .... Cuando m esta a la potencia de 10, digamos m=10 b, la operación del modulo puede hacerse sin guardar los b dígitos (decimales) mas a la derecha. Por analogía, la operación del modulo es mas eficiente para computadoras binarias cuando m=2 b para cualquier b>0.

II.3.4 Generadores combinados Cuando la aplicación requiere de un periodo mayor al que se puede alcanzar con un generador simple, se recurre a los generadores combinados de congruencia lineal. Para generar la secuencia de Xi y Ri requerida, este generador necesita las salidas Xi,j, j = 1..k, de k diferentes generadores de congruencia multiplicativa cuyos parámetros tienen los valores apropiados para asegurar un periodo mj-1. El generador j produce la salida Xi,j entera uniformemente distribuida de 1 a mj-1. La combinación se calcula mediante las siguientes fórmulas:

æ k ö j -1 X i = ç å ( -1) X ij ÷ mod ( m j - 1) (3) è j =1 ø

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ì Xi ï m , Xi > 0 ï Ri = í 1 (4) ï mi - 1 , X = 0 i ïî m El periodo máximo posible es:

( m1 - 1) ( m2 - 1) .... ( mk - 1) 2k -1

(5)

Para computadoras de 32 bits se sugiere combinar dos generadores k = 2 con m1 = 2147483563, a1 = 40014, m2 = 2147483399 y a2 = 40692. La semilla del primer generador se toma del intervalo [1, 2147483562], y la semilla del segundo generador se toma del intervalo [1, 2147483398]. El periodo es (m1-1) (m2-1)/2 ≈ 2x1018. II.3.5 • • • • •

Otros Generadores

Generadores Paralelos de números aleatorios. Sincronización; reproducibilidad; gasto transición ] Generadores de Fibonacci retardados [ Sincronización; reproducibilidad; gasto transición ] Generadores Comerciales: IMSL Generador congruencial multiplicativo m = 231 – 1,a = 16807; 397204094; 950706376 http://www.stat.cmu.edu/

II.4 II.4.1

Método de Monte Carlo Introducción

La Simulación de Monte Carlo es una técnica que permite realizar un muestreo simulado. Con sólo conocer el comportamiento probabilístico del evento a través de una función de densidad, es posible obtener una cantidad ilimitada de muestras cuya tendencia será muy similar al comportamiento real. El método de Monte Carlo calcula la incertidumbre en el pronóstico de eventos futuros. El nombre de “Monte Carlo” fue acuñado por Nicholas Metropolis (inspirado por el interés en el juego de Stanislaw Ulam quién en 1946 se convirtió en el primer matemático en dignificar este enfoque con un nombre, en honor a un pariente que era propenso al juego; Hoffman 1998, p.239) durante el proyecto Manhattan en la Segunda Guerra Mundial, debido a la similitud de la simulación estadística a los juegos de oportunidad, y también a que la capital de Mónaco (Monte Carlo) era el centro de apuestas y similares situaciones. El método de Monte Carlo es ahora usado de manera rutinaria en diversos campos, desde la simulación de fenómenos físicos complejos tales como Diseño de reactores nucleares, Terapia de radiación para el cáncer, Evolución estelar, Exploración de pozos petroleros, etc. hasta Flujo de tráfico vehicular y aéreo, Pronósticos, portafolio de inversiones, simulación de un juego de Azar, etc.

II.4.2

Procedimiento

En lugar de usar un solo valor para cada variable en un modelo, usa muchos valores. El motor del método de Monte Carlo corre (trabaja) sobre el modelo una y otra vez usando

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diferentes valores para cada una de las variables en el modelo. Cada corrida es llamada “prueba”. Los resultados son tabulados, y después de un gran numero de pruebas, el pronóstico es mostrado como un solo valor, pero como un rango de valores. La selección del valor para la variable de cada prueba es aleatorio. Pero los valores permitidos de la variable no son aleatorios. Estos son cuidadosamente calculados usando el mejor conocimiento de cómo la variable se comporta. Cualquier método que resuelve un problema a través de generar números aleatorios apropiados y de observar que fracción del número cumple cierta propiedad o propiedades. Este método es útil para obtener soluciones numéricas a problemas que son muy complicados para resolverse de forma analítica. El proceso para generar variables aleatorias que se apegan a esa distribución empírica es el siguiente:    



Partiendo de la distribución de probabilidad de la función se elabora la tabla que servirá para generar las variables aleatorias. El comportamiento del evento (E) se coloca en la columna 1, y en la columna 2 su correspondiente probabilidad (P) En la columna 3, se coloca correspondientemente probabilidad acumulada (PA) En la columna 4 se establece correspondientemente el rango de Monte Carlo (RMC) para cada tipo de evento

Este rango se obtiene de la forma siguiente: Probabilidad Evento Probabilidad Rango de Acumulada Ei Pi Monte Carlo (PAi) 1 P1 PA1 0 – PA1 2 P2 PA2 PA1s – PA2 . . . PA2s - ...... . . . . n Pn PAn PA(n-1)s - 1 donde PAis es un valor inmediato superior a PAi . Para generar variables aleatorias se genera un número pseudo aleatorio y se busca en que nivel del rango de Monte Carlo corresponde y la variable será el evento que se encuentre en el nivel encontrado.

Para demostrar el proceso, considere que la distribución de probabilidad (FDP) dada representa las toneladas de basura recolectadas por día por el departamento de limpieza de la ciudad. El objetivo es simular las toneladas de basura recolectadas en un día particular; Toneladas de basura Probabilidad recolectadas por (FDP) día 10 .10 20 .22 30 .25 40 .20 50 .12 60 .07 70 .04

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Para iniciar el proceso se requiere desarrollar una distribución acumulada de probabilidad (FAP). Para esto, se requiere conocer la probabilidad de que las toneladas de basura recolectadas en un dado día sean menores o iguales a un valor dado. Ahora se puede lograr lo anterior sumando las probabilidades iniciando con la recolección de 10 toneladas por día. La tabla siguiente proporciona la distribución de probabilidad original y la distribución de probabilidad asociada. Toneladas de basura recolectadas por día 10 20 30 40 50 60 70

Probabilidad(FDP)

Probabilidad Acumulada (FAP)

Rango de Monte Carlo

.10 .22 .25 .20 .12 .07 .04

.10 .32 .57 .77 .89 .96 1.00

0.0000 – 0.0999 0.1000 – 0.3199 0.3200 – 0.5699 0.5700 – 0.7699 0.7700 – 0.9599 0.8900 – 0.9599 0.9600 – 1.0000

Debido a que cualquier distribución acumulada las probabilidades caerá dentro del rango de 0 a 1, una ocurrencia aleatoria (variación) correspondiente a una dada distribución de probabilidad puede ser generada seleccionando un número aleatorio entre 0 y 1, encontrando un rango en la distribución acumulada dentro del cual el número aleatorio cae, e identificando la variación asociada. Por ejemplo, considere que se genera el número aleatorio .4764; el nivel asociado de la recolección será de 30 toneladas de basura. Si se genera el número aleatorio .8416 el nivel de recolección de basura es de 50. Si se repite el proceso de muestreo para un número grande de veces (iteraciones), esperamos obtener un valor de 30 toneladas para un nivel de recolección del 25% de las veces, un valor de recolección de 50 toneladas 12% de las veces, un valor de recolección de 60 toneladas 7% de las veces, y así sucesivamente. Obtener muestras de una distribución de probabilidad usando el Método de Monte Carlo es un proceso directo una vez que la curva de la probabilidad acumulada (distribución) se desarrolla. En el anexo al final del capítulo se proporciona una Información básica para trabajar

en Excel la simulación de Monte Carlo II.4.3

Ejemplos

Ejemplo #1Aviones de Carga Considere el servicio terminal de una compañía de carga aérea que tiene muchos aviones de carga. Los aviones de carga son programados llegar a la terminal uno al principio del día, para una posible operación de mantenimiento. Cada avión es inspeccionado conforme arriba. Asuma que la duración de la inspección es mínima. Una vez que es inspeccionado, la probabilidad de encontrar un avión con necesidad de servicio de mantenimiento es de 0.5; que es, un promedio del 50% de los aviones tienen necesidad del servicio de mantenimiento. Sí un avión necesita servicio, la operación de mantenimiento puede tomar ya sea 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, o 3 días. La posibilidad de que un avión requiera cualquiera de estos servicios es de 1/6. La compañía de carga generalmente utiliza una instalación de mantenimiento en la terminal. Cada avión en tierra le cuesta a la compañía $5000 por día. El administrador de la compañía esta interesado en investigar el atractivo económico de utilizar una instalación adicional de

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servicio en la terminal. Cada instalación le cuesta a la compañía $2500 por día rentarla y operarla.

Se elabora la tabla de donde se generará la información relativa a la duración del servicio ProbabilidadAcumuladaDuración 1/6 0 0.5 1/6 0.166670 1 1/6 0.333340 1.5 1/6 0.500010 2 1/6 0.666680 2.5 1/6 0.833350 3 Para determinar si un avión al aterrizar requiere o no servicio, se considera por existir dos posibilidades que existe un 50% de probabilidad de que requiera servicio y un 50% de que no requiera. Se analiza en la tabla siguiente el comportamiento de este sistema para una y dos instalaciones de servicio para 100 días de operación. Una Instalación de Servicio Numero Requiere Día Aleatorio Manto. 1 0.2928 Si 2 0.0314 Si 3 0.0043 Si 4 0.2567 Si 5 0.5709 No 6 0.3235 Si 7 0.8838 No 8 0.3805 Si 9 0.7669 No 10 0.5615 No 91 0.4309 Si 92 0.3604 Si 93 0.0181 Si 94 0.9460 No 95 0.2206 Si 96 0.8654 No 97 0.2081 Si 98 0.1012 Si 99 0.8101 No 100 0.6454 No

Numero Aleatorio 0.5678 0.8073 0.9722 0.4721 0.0000 0.1473 0.0000 0.1980 0.0000 0.0000 0.1180 0.2066 0.2703 0.0000 0.6068 0.0000 0.2103 0.2152 0.0000 0.0000 Tiempo Total Ocioso Tiempo Promedio Ocioso Costo Promedio Total

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DDS DIS DTS 2.00 1.00 3 2.50 3.00 5.5 3.00 5.50 8.5 1.50 8.50 10 0.00 0.00 10 0.50 10.00 11 0.00 0.00 11 1.00 10.50 12 0.00 0.00 12 0.00 0.00 12 0.50 94.50 95 1.00 95.00 96 1.00 96.00 97 0.00 0.00 97 2.00 97.00 99 0.00 0.00 99 1.00 99.00 100 1.00 100.00 101 0.00 0.00 101 0.00 0.00 101

NDO 2.00 3.50 5.50 6.00 0.00 4.50 0.00 3.50 0.00 0.00 4.00 4.00 4.00 0.00 4.00 0.00 3.00 3.00 0.00 0.00

Dos Instalaciones DIS DTS1DTS2 1.00 3 0 2.00 3 4.50 3.00 6 4.50 4.50 6 4.50 0.00 6 4.50 6.00 6.5 4.50 0.00 6.5 4.50 8.00 9 4.50 0.00 9 4.50 0.00 9 4.50 91.50 92 93.00 92.00 93 93.00 93.00 94 93.00 0.00 94 93.00 95.00 97 93.00 0.00 97 93.00 97.00 98 93.00 98.00 99 93.00 0.00 99 93.00 0.00 99 93.00

NDO 2.00 1.00 3.00 2.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 2.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00

IN 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

251.00

78.00

2.510

0.780

$15,050.00

$8,900.00

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DDS=Duración de los días de servicio, DIS =Día que inicio del servicio, DTS =Día que termina el servicio, NDO = Numero de días ociosos, DTS1,DTS2 =DTS para la instalación 1 o 2.

A continuación se muestran 10 corridas del sistema y el promedio del análisis del costo con una y dos instalaciones, resultando más conveniente tener dos instalaciones Una Instalación Dos Instalaciones No. de Corridas $11,025.00No. de Corridas $8,750.00 1 14625 1 9175 2 10150 2 9050 4 29950 4 9600 5 16350 5 8325 6 7550 6 8375 7 18075 7 9225 8 8450 8 9025 9 14175 9 9725 10 19375 10 8925 Promedio $14,972.50Promedio $9,017.50 Ejemplo #2Vendedor de Periódicos 1 Un vendedor de periódicos trata de maximizar sus ganancias. El número de periódicos que vende cada día es una variable aleatoria, sin embargo el análisis de los datos del mes pasado muestra la distribución de demanda diaria. Un periódico le cuesta $2.00, y este los vende en $3.00. Los periódicos que no se venden los regresa a la editorial y recibe $1.00 Para toda la demanda no satisfecha se estima un costo de $1.00 en clientela y ganancia perdida. Si la política es pedir una cantidad igual a la demanda del día anterior, determine la ganancia diaria promedio del vendedor mediante la simulación de este sistema. Suponga que la demanda del día anterior fue de 20 unidades. Determine la ganancia promedio si se simulan 7 días de la semana. Probabilidad Demanda por día

.05 30

.15 31

.22 32

Demanda por día

Probabilidad

30 31 32 33 34 35

.05 .15 .22 .38 .14 .06

Día 1 2 3 4 5 6 7

No. Aleatorio .305 .899 .354 .360 .917 .116 .723

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.38 33

Probabilidad Acumulada .05 .20 .42 .80 .94 1.00

Compra Demanda 20 32 34 32 32 34 31

.14 34

32 34 32 32 34 31 33

.06 35 Rango de Monte Carlo .0000 - .0499 .0500 - .0199 .2000 - .4199 .4200 - .7999 .8000 - .9399 .9400 – 1.00

Ingreso

Perdida Ganancia

22 32 32 32 32 31 31

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10 2 2 0 2 3 2

12 30 30 32 30 28 29 $191

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Ganancia diaria promedio = $191 / 7 = $27.285 Ejemplo #3La Panadería UNO: La panadería "UNO" prepara pan fresco de cebolla diariamente. el pan se vende a $4 por pieza y cuesta $2 prepararlo. Al final del día, si quedan por vender algunas piezas de pan, otra panadería las comprará el 70% a $1 la pieza. Se sabe que la demanda diaria (en docena de piezas) de pan fresco de cebolla en la panadería cae en un rango de 3 a 7 piezas apegada a una distribución uniforme. La panadería "UNO" esta considerando producir diariamente 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 docenas. Simula 30 días y compare la ganancia diaria promedio y la desviación estándar bajo estas políticas de orden. Precio Unitario $4 Costo por Unidad $2 Precio/unidad de Sobrantes $1.0 Cantidad preparada 60 Simulación Día 1 2 3 27 28 29 30

No vendidos .7x (Preparadas No.AleatorioDemandaIngresoCosto - demanda) Ganancia 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.40 0.51 60 $240 $120 $0.00 $120.00 0.88 84 $240 $120 $0.00 $120.00 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.40 0.27 48 $192 $120 $8.40 $80.40 0.35 48 $192 $120 $8.40 $80.40 0.77 72 $240 $120 $0.00 $120.00 Promedio $102.84 Desv.Est. $26.88

Producción Diaria Promedio Des.Est. $102.84 $26.88 24 $48.00 $0.00 36 $72.00 $0.00 48 $86.76 $17.04 60 $97.56 $32.36 72 $89.88 $50.40 84 $102.00 $58.21 No. de Simuladas $102.84 1 89.64 2 102.84 3 96.24 4 94.92 5 97.56 6 97.56 7 93.6 8 93.6 9 101.52 10 94.92

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Ejemplo #4Vendedor de Periódicos 2 Un vendedor de periódicos trata de maximizar sus ganancias. En número de periódicos que vende cada día es una variable aleatoria, sin embargo, el análisis de los datos del mes pasado muestra una distribución de la demanda diaria. Un periódico cuesta $2.00 y se vende a $3.00. Los periódicos no vendidos son regresados a la editorial y se le devuelve $1.00 por periódico. Si la política es ordenar una cantidad igual a la demanda del día anterior, determine la ganancia diaria promedio del vendedor mediante la simulación del sistema. Suponga que la demanda del día cero son 22 periódicos. Probabilida d Prob.Acum.Venta/día 0.05 0 30 0.15 0.15 31 0.22 0.2 32 0.38 0.42 33 0.14 0.8 34 0.06 0.94 35 22 Orden Inicial Cantidad Cantidad Cantidad Costo Recupera Ganancia a Ingreso por Día No.Aleatorio Ordenada Vendida devolver Periódicos por venta devolución Total 1 0.146039497 22 30 0 44 66 0 $22.00 2 0.465226909 30 33 0 60 90 0 $30.00 3 0.204796821 33 32 1 66 99 1 $33.00 4 0.520907847 32 33 0 64 96 0 $32.00 5 0.047294516 33 30 3 66 99 3 $33.00 996 0.146151174 33 30 3 66 99 3 $33.00 997 0.562005707 30 33 0 60 90 0 $30.00 998 0.669380273 33 33 0 66 99 0 $33.00 999 0.194992203 33 31 2 66 99 2 $33.00 1000 0.229756047 31 32 0 62 93 0 $31.00 $33.19 Orden Inicial 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

$33.19 $33.25 $33.24 $33.29 $33.26 $33.25 $33.23 $33.22 $33.26 $33.18 $33.25 $33.25

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La cantidad ordenada al inicio no incide en la ganancia promedio final

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Ejemplo #5Tienda de Bicicletas: Un vendedor de una tienda grande de bicicletas obtiene un bono si se venden más de cuatro bicicletas en un día. La probabilidad de vender más de cuatro bicicletas es de sólo 0.40. Si el número de bicicletas que se vende es más de cuatro, la distribución de ventas es la que se muestra a continuación: Bicicletas Vendidas 5 6 7 8 Probabilidad 0.35 0.45 0.15 0.05 La tienda tiene cuatro modelos diferentes de bicicletas. El valor del bono depende del tipo de bicicletas vendidas. El bono para el modelo A es de $100 y de este tipo se vende el 40%. El modelo B constituye el 35% de las ventas y se paga un bono de $150. El bono para el modelo C es de $200, y estas bicicletas constituyen el 20% de las ventas. Por último, el modelo D paga un bono de $250 por cada venta pero si lo constituye el 5% de las ventas. Elabore un modelo de simulación para calcular el bono que puede esperar un vendedor de bicicletas ProbabilidadProb.Acum. 0.35 0.45 0.15 0.05

0 0.35 0.8 0.95

Número Vendido 5 6 7 8

ProbabilidadProb.Acum. 0.4 0 0.6 0.6

Venta > 4 No Si No. de modeloTipo de Tipo Mont ProbabilidadProb.Acum. de vendido o del Bicis A 0.4 0 Día No.Ale No.Ale Vendi No.Alea Modelo 0.35 Venta > 0.4 B Bono atorio 4 atorio das torio 0.2 0.75 C 1 0.4341 No ---------------0.05 0.95 D 5598 0.0571 2 No ------------- ---6015 0.5811 3 No ------------- ---9526 0.1299 4 No ------------- ---6407 0.5884 5 No ------------- ---3679 244 0.2224 No ------------- ---6 2083 244 0.6063 0.4778 0.97438 Si 6 D 250 7 2961 26545 282 244 0.6249 0.7306 0.06091 Si 6 A 100 8 7196 0447 508 244 0.4583 No ------------- ---9 2253 245 0.3968 No ------------- ---0 5564 1493 50 Monto 60.959 Promedio del 18367 Bono

Ejemplo #6Vendedor de Artículos Un vendedor ofrece artículos puerta por puerta ha experimentado los siguientes resultados: La probabilidad de que abran la 0.3

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puerta Si abrieron

: la probabilidad de que sea mujer : la probabilidad de que sea hombre

La probabilidad de venta

0.8 0.2 :Si en mujer 0.15 :Si es hombre 0.25

Cuando se hace la venta, el numero de suscripciones que se ordenan tienen la siguiente distribución: Numero de Probabilidad SuscripcionesHombreMujer 1 0.6 0.1 2 0.3 0.4 3 0.1 0.3 4 0 0.2 La ganancia por cada suscripción vendida es de $200. Simule 25 llamadas a la puerta y determínese la ganancia total.

Probabilidad Prob.Acum 0.3 0.3 0.7 1.0 Si fue mujer Probabilidad Prob.Acum 0.15 0.15 0.85 1.0

Abren puertas Evento Si No

Evento Venta No venta Suscripciones Para Hombre vendidas

Probabilidad Prob.Acum 0.6 0.6 0.3 0.9 0.1 1.0 0 1

que ordena 1 2 3 4

Si abrieron Probabilidad 0.8 0.2 Si fue hombre Probabilidad 0.25 0.75

Abrió Prob.Acum Evento 0.8 Mujer 1.0 Hombre

Prob.Acum Evento 0.25 Venta 1.0 No venta Suscripciones Para Mujer vendidas

Probabilida d Prob.Acum 0.1 0.1 0.4 0.5 0.3 0.8 0.2 1.0

que ordena 1 2 3 4

Proceso de simulación Cantidad de

Abre Hombre Numero No.aleatorio Abren puerta No.aleatorio

o Mujer

No.aleatorio

Ordena

No.aleatorio Suscripción Ganancia

0.957988658

0.671346311

Mujer

0.503450471 No venta

0.598407559

0.972991209

0.171965066

Mujer

0.080243385

0.281614365

400

0.002724943

0.946003643

Hombre

0.913109616 No venta

0.8608683

0.001200631

0.798898347

Mujer

0.191988174 No venta

0.727183155

0.31786884

0.877091084

Hombre

0.122861998

Venta

0.839007486

800

Venta

0.19713945

0.103850118

Mujer

0.12333433

0.477777513

400

0.971590043

0.464279245

Mujer

0.897796359 No venta

0.469372205

0.637996158

0.915747553

Hombre

0.768040401 No venta

0.136109282

0.944651937

0.940587656

Hombre

0.722701232 No venta

0.860128925

0.767511794

0.537502455

Mujer

0.022940396

0.508953387

600

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Venta

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0.087013154

0.642538015

Mujer

0.577172797 No venta

0.625361709

0.809171743

0.888668162

Hombre

0.821345252 No venta

0.643043523

0.471397805

0.54176344

Mujer

0.870072432 No venta

0.192677656

0.588561254

0.498585231

Mujer

0.81688463

No venta

0.835280134

0.88905175

0.497526706

Mujer

0.421106877 No venta

0.901969637

0.576079597

0.455132777

Mujer

0.070325115

0.874283002

800

0.856161771

0.544688716

Mujer

0.599208821 No venta

0.04115487

0.664661932

0.39330377

Mujer

0.84765087

No venta

0.990521191

0.050448359

0.11994632

Mujer

0.204135723 No venta

0.028264425

0.174100308

0.796248166

Mujer

0.164566243 No venta

0.416400965

0.468482107

0.685203293

Mujer

0.592863837 No venta

0.727067118

0.25936841

0.737488425

Mujer

0.085145292

0.423237478

400

0.838514208

0.826603299

Hombre

0.282322743 No venta

0.902988929

0.905979756

0.465596926

Mujer

0.838735984 No venta

0.437425796

0.301669347

0.170072522

Mujer

0.493564212 No venta

0.505456709

Venta

Promedio

136 262.80537 Desv.Est. 79

Intervalo de confianza de la media

x  ta / 2 ( S /

Mínima

Máxima

800

Límite 32.98224 Inferior 779 Límite 239.0177 Superior 522

Ejemplo #7Preparación de Tortas Un vendedor de Tortas produce 50 tortas diarias a un costo de $10 por torta y las vende en “la Loma” a un precio de $30 por torta. Las tortas que no se venden son tiradas al final del día, sin embargo, el vendedor aún no tiene permiso del ayuntamiento para tirar las tortas sobrantes en el basurero de “La Loma”, por lo que si llegan a descubrirlo tirándolas lo multaran con $300 pesos. La demanda de las tortas se comporta de la manera siguiente: Demanda 10 20 25 30 50 70 100 Probabilidad 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.05 0.05 La probabilidad de que la policía atrape al vendedor tirando las tortas el del 25%. Con base en esta información calcule: a) ¿Cuál el número promedio de tortas no surtidas? b) ¿Cuál es el número promedio de tortas que hay que tirar? c) ¿Cuál es la utilidad promedio por día? d) Si el permiso para tirar las tortas en el basurero cuesta $200 por semana ¿Deberá el vendedor comprar el permiso o seguir tirando las tortas?

Simulación de eventos discretos

M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis

Instituto Tecnológico de Tepic Probabilidad

Día

Departamento de Ingeniería Industrial Tortas demandadas

Prob. Demanda Acum.

0.1

0.2 0.4 0.1 0.1 0.005 0.005

0.1 0.3 0.7 0.8 0.9 0.95

20 25 30 50 70 100

Prob.

Prob. Acum. 0.2500 0.9999

0.0000 0.2501

Atrapan

Costo/torta $8.00 Precio/venta $15.00 Multa por tirar las tortas

No. Aleatorio Prepara Demanda

Vendidas Sobrante

SI NO

$30.00

Ingresos

Costo prepara

Perdida por sobrantes

Multa atrapan tirándolas

0.76289849

$450.00

$400.00

$140.00

$0.00

0.63742287

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

0.34136556

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

0.76253220

$450.00

$400.00

$140.00

$30.00

0.04007758

$150.00

$400.00

$280.00

$0.00

0.81331581

$750.00

$400.00

$0.00

0.78598853

$450.00

$400.00

$140.00

$30.00

0.40472205

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

0.98666716

100

$750.00

$400.00

$0.00

1135

0.29791926

$300.00

$400.00

$210.00

$30.00

1136

0.07646345

$150.00

$400.00

$280.00

$0.00

1137

0.15893823

$300.00

$400.00

$210.00

$0.00

1138

0.14369017

$300.00

$400.00

$210.00

$0.00

1139

0.39254328

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

1140

0.37895823

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

1141

0.96012009

100

$750.00

$400.00

$0.00

1142

0.55081103

$375.00

$400.00

$175.00

$0.00

$476,775.00 $456,800.00 $177,205.00 $6,300.00 Ingresos por $476,775.00 Venta -$456,800.00 Costo Torta $6,300.00 Utilidad

Multa

$26,275.00

Si se desea determinar la cantidad de tortas a elaborar por día, tenemos: Variando la Demanda

Utilidad $28,720.00

79940

143710

161675

143835

119080

92495

56295

Simulación de eventos discretos

Demanda

Utilidad $28,720.00

147774

151238

157327

156546

154865

161839

151803

153752

150601

145695

134249

125367

128051

117505

M. en C.32Héctor Martínez Rubin Celis 130138

Instituto Tecnológico de Tepic

Departamento de Ingeniería Industrial

Ejemplo #8Problema de Inversión Una compañía de inversiones esta considerando una oportunidad de inversión en un proyecto de 4 años. Se estima que el retorno por cada uno de los años esta uniformemente distribuida entre $1000 y $1500. Considere un 10% de tasa de retorno, la compañía esta interesada en encontrar el valor esperado (media) y la varianza del valor presente del proyecto para propósitos de riesgo basado en la simulación del proyecto. Se genera la relación X = 0.91X1+0.82X2+0.75X3+0.68X4 basada en P = F(1+i)^(-n) Prueba Año 1 1 1304.28678 2 1072.06406 3 1011.25743 4 1316.14017 5 1117.49928 96 1237.05108 97 1032.37706 98 1312.66736 99 1142.51156 100 1048.76212

II.4.4

Año 2 Año 3 Año 4 Valor Presente 1123.3312 788.722667792.934452 4009.275097 943.684228 1087.90655937.951717 4041.606555 1153.72127 771.283213885.526081 3821.787995 1062.14633 938.17405 803.843112 4120.303656 821.406615 1089.33864 769.811011 3798.055546 1018.02783 1013.3921 773.440545 4041.911552 1095.95416 871.149568692.832608 3692.313395 1078.91844 845.700583865.571927 4102.858313 1182.4495 826.061729753.881666 3904.904457 958.726802 834.66856 892.320451 3734.477936 Valor presente 3990.931094 promedio

Ejercicios

Ejercicio #1 Una aerolínea usa varias unidades de energía auxiliar que son expuestas a servicios severos. Tres baleros son la fuente del problema. En el pasado, los baleros han sido remplazados conforme fallan. Con un nuevo énfasis en el control de costos y mantenimiento preventivo, el administrador desea evaluar las políticas de a) reemplazar los baleros cuando estos fallen, b) cuando un balero falle reemplazar los tres baleros ; c) cuando un balero falle, reemplácelo junto con cualquier otro balero que haya estado en uso 1700 horas o más. Se proporciona la información siguiente: Tiempo de mecánico: Tasa salarial de mecánico Costo del balero Costo por tiempo ocioso

Simulación de eventos discretos

reemplazar 1 balero 5 horas reemplazar 2 baleros 6 horas reemplazar 3 baleros 7 horas $3000 por hora $5000 $2000 por hora

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La vida actual de servicio de los baleros es como sigue: Vida de Baleros (horas)

Número de Baleros

Probabilidad

1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200

3 10 12 20 27 35 30 25 18 15 4 1

0.015 0.05 0.06 0.1 0.135 0.175 0.15 0.125 0.09 0.075 0.02 0.005

200

Simule 15.000 horas de servicio para cada una de las políticas alternativas con los números aleatorios siguientes: Balero # 1: 841, 584, 157, 599, 436, 255, 982, 525, 265, 247, 383, 288, 517, 883, 10 Balero # 2: 848, 888, 534, 412, 059, 501, 084, 899, 836, 715, 887, 878, 896, 377, 70 Balero # 3: 501, 921, 522, 870, 813, 446, 252, 378, 125, 316, 588, 522, 026, 616, 93 Ejercicio # 2 El hotel de un Aeropuerto tiene 100 cuartos. En una noche dada se reciben hasta 105 reservaciones debido a la posibilidad de que no todos se presenten. Los registros indican que el número de reservaciones diarias se distribuye uniformemente en el intervalo de enteros de 96 a 105. Esto es, cada número entero tiene una probabilidad de ocurrir de 0.1. Los clientes que no llegan se representan por la siguiente distribución: No. Que no se presenta Probabilidad

0 .1

1 .2

2 .25

3 .30

4 .10

5 .05

Elabore un modelo de simulación para determinar el número esperado de cuartos usados por noche y el porcentaje de noches en las que hay clientes para más de 100 cuartos. Ejercicio #3 Un especialista del corazón programa 16 pacientes por día, uno cada 30 min. Iniciando a las 9 a.m. Se espera que los pacientes lleguen a sus citas a las horas programadas: Sin embargo, la experiencia muestra que el 10% de los pacientes llegan 15 min. Antes, 25% llegan 5 min. Antes, 50 % a la hora, 10% llegan tarde y 5% llegan 15 min. Tarde. El tiempo que pasa el especialista varia dependiendo de su problema. Simula la jornada del doctor. Duración Probabilidad

24 .1

27 .2

30 .4

33 .15

36 .1

39 .05

Ejercicio #4 La biblioteca del Tecnológico tiene una copiadora para uso de los estudiantes. Estos llegan a la máquina con una distribución de tiempos entre llegadas como se muestra a continuación

Simulación de eventos discretos

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Tiempo entre llegadas (minutos) Probabilidad

1 .2

2 .25

3 .4

4 .1

5 .05

El tiempo que se tarda en hacer una copia esta distribuido de la manera siguiente Duración (segundos) Probabilidad

2 .1

9 .2

16 .3

21 .2

28 .1

31 .1

Un análisis de los datos acumulados muestra que el número de copias que hace un estudiante al pasar a la máquina se comporta de la manera siguiente Numero de copias Probabilidad

6 .2

7 .25

8 .35

9 .15

10 .05

El bibliotecario cree que con el sistema actual, la cola en la copiadora es demasiado larga y que el tiempo que un estudiante pasa en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio) es demasiado. Construya un modelo de simulación para estimar la duración promedio del tiempo de espera en la cola y el tiempo de espera estimado del sistema. Ejercicio #5 Iniciando con una semilla de 5983 genere 10 números aleatorios de 3 dígitos usando el método de centros al cuadrado. Ejercicio #6 Usando el método de congruencia lineal con parámetros X 0=97, a=62541, c=19, y m=1000, genere 10 números aleatorios de 3 dígitos.

Anexo Información básica para trabajar el Excel la simulación de Monte Carlo. Ejemplo de Función =BUSCARV Esto se pone serio. Vamos a seguir con una de las funciones más útiles que existen de cara al control de una lista de argumentos como podrían ser, por ejemplo, productos de una empresa. Observa la sintaxis de la función =BUSCARV( )

=BUSCARV(Celda;Rango;Columna) Es decir, buscará el valor de una celda en un rango de celdas y retornará el contenido de columnas a su derecha.

Ahora más claro. ¿Qué significa esto? Supongamos que tenemos un listado de productos tal que así: Suponte que es un lista súper larga de artículos en almacén. Observa que en la parte superior hemos preparado tres casillas de color. Estas celdas servirán para nuestro propósito. En la celda C2 colocaremos la fórmula:

=BUSCARV(C1;A7:C15;2)

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¿Para qué servirá esta hoja? Lo que haremos será escribir un código de artículo en la celda C1 (amarilla) y Excel hará que aparezca automáticamente la descripción y la cantidad disponible en las do celdas inferiores. Este tipo de hojas va perfecto para hacer una consulta a un listado. La fórmula mirará lo que hay en la celda C1, y lo buscará en el rango A7:C15. Una vez que lo encuentre, (lo encontrará en la 1ª columna), mostrará lo que hay 2 columnas a su derecha (contándose ella), es decir, la descripción del producto. Observa detenidamente los tres argumentos que nos pide la función =BUSCARV, primero la celda donde estará lo que intentamos buscar (el código), luego el rango donde ha de buscarlo, y por último el número de columna que queremos mostrar. Ahora, escribiremos la fórmula para la celda C3. Básicamente es igual a la anterior, pero ahora el número de columna será el 3, es decir, mostrará la cantidad:

=BUSCARV(C1;A7:C15;3) Ahora sólo faltará comprobar las dos fórmulas escribiendo cualquier código de la lista de artículos en la celda C1. Un detalle importante de la función =BUSCARV( ) es que si la lista o rango donde hay que buscar está desordenada, tendremos que añadir la palabra FALSO al final de la fórmula. Observa este ejemplo:

=BUSCARV(C1;A7:C15;2;FALSO) En nuestro caso no hace falta, pues la lista está alfabéticamente ordenada. Para elaborar una tabla de frecuencia de los valores dados realice los pasos que se describen a continuación: Paso 1: Elabore una columna con los límites superiores C10:C19 Paso 2: Resalte las celdas D10:D19 Paso 3: Entre la formula =frecuencia(B2:C6,C10:C18) y presione la tecla F2 Paso 4: Presione Ctrl-Mayús-Intro

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Usando las funciones BUSCAR

Las tablas Buscar son útiles cuando se desea comparar un valor particular de un conjunto de valores, y dependiendo de donde encuentre el valor, se asigna una dada “respuesta”. Por ejemplo, podemos tener una tabla siguiente de frecuencias en la ocurrencia de una evento Probabilidad

Prob.Acum.

Venta/día

0.05

0.15

0.22

0.2

0.38

0.42

0.14

0.8

0.06

0.94

Para un determinado número aleatorio en B16, cual es la Cantidad vendida en D31. =BUSCAR(B16,C6:D11) Con esta instrucción busca el contenido de la celda B16 en la región comprendida de la celda B6 a la celda D11

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Ejemplo de la Función BUSCARV Suponga que el señor Pérez compra una moto nueva de $20,000, realiza un pago inicial de $5,000, y le es financiado la cantidad restante en 36 meses a una tasa de interés anual del 8.5%. Existen al menos 2 productos que pudieran ser de interés : El pago mensual y el total de intereses pagados. Estos son afectados por al menos 2 insumos: El pago inicial y la tasa de interés anual. Veamos primero el ejemplo de la tabla de datos en un sentido, donde vemos como un solo resultado, el pago mensual, que varía conforme la tasa de interés anual varía. Esto se muestra en la tabla siguiente.

Para crear la tabla anterior: Entra la formula para el resultado en la celda E3. (Debido a que el pago mensual fue calculado con la función PAGO en la celda B7, simplemente entre =B7 en la celda E3.) Iniciando en la celda D4, entre cualquier secuencia de tasas de interés. Seleccione la tabla completa, esto es, el rango D3:E8. Finalmente, use del menú Datos/Tabla y entre B4 como la celda de insumo para la columna. (Si no hay celda de insumo. déjela en blanco.) También se pueden capturar mas de un producto en una tabla de un sólo producto. Como ejemplo, aparece a continuación, donde un sólo insumo es todavía la tasa de interés, pero existen dos productos: pago mensual y total de intereses pagados. Esta tabla esta elaborada exactamente como antes excepto que el rango de la tabla es ahora D3:F8. A continuación se presenta la tabla de pagos mensuales donde se varía el número de meses de 12 a 60 con incrementos de 12.

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Las tablas de dos sentidos permiten variar 2 productos, uno sobre una fila y el otro sobre una columna, y captura un solo producto en el cuerpo de la tabla. La tabla siguiente lo ilustra, donde se varía la tasa de interés anual y el pago inicial. El único producto es el pago mensual.

Para crear la tabla anterior: Entre la formula (=B7) donde un solo producto en la esquina superior izquierda (celda D2) de la tabla de datos. (Nuevamente, podemos colorear esta celda de gris para enfatizar.) Entre cualquier secuencia de pagos iniciales a la derecha de estos y cualquier secuencia de tasas de interés abajo de estos. Finalmente, seleccione la tabla completa datos tabla rango, D2:G7, use del Menú Datos/Tabla, entre B2 como la celda de insumo, y entre B4 como la celda columna de insumo.

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Apéndice de Tablas Tabla de Números Aleatorios 13962 43905 00504 61274 43753

70992 46941 48658 57238 21159

65172 72300 38051 47267 16239

28053 11641 59408 35303 50595

02190 43548 16508 29066 62509

83634 30455 82979 02140 61207

66012 07686 92002 60867 86816

70305 31840 63606 39847 29902

66761 03261 41078 50968 23395

88344 89139 86326 96719 72640

83503 36807 19110 82615 05621

51662 71420 55680 86984 26584

21636 35804 18792 93290 36493

68192 44862 41487 87971 63013

84294 23577 16614 60022 68181

38754 79551 83053 35415 57702

84755 42003 00812 20852 49510

34053 58684 16749 02909 75304

94582 09271 45347 99476 38724

29215 68396 88199 45568 15712

06936 84981 66354 49602 78430

37293 60458 88441 94109 72391

55875 16194 96191 36460 96973

71213 92403 04794 62353 70437

83025 80951 14714 00721 97803

46063 80068 64749 66980 78683

74665 47076 43097 82554 04670

12178 23310 83976 90270 70667

10741 74899 83281 12312 58912

58362 87929 72038 56299 21883

33331 62843 19528 16737 99389

51803 84445 15445 01887 06685

15934 56652 77764 50934 45945

75807 91797 33446 43306 62000

46561 45284 41204 75190 76228

80188 25842 70067 86997 60645

78984 96246 33354 56561 87750

29317 73504 70680 79018 46329

27971 21631 66664 34273 46544

16440 81223 75486 25196 95665

36160 05505 85962 28763 42222

38196 45420 19758 04900 40446

77705 44016 92795 54460 82240

28891 79662 00458 22083 79159

12106 92069 71289 89279 44168

56281 27628 05884 43492 38213

86222 50002 37963 00066 46839

66116 32540 23322 40857 26598

39626 19848 73243 86568 29983

06080 27319 98185 49336 67645

43626 97761 49275 15797 04497

40039 43444 44270 75134 24853

51492 95895 52512 39856 43879

36488 24102 03951 73527 07613

70280 07006 21651 78417 26400

24218 71923 53867 36208 17180

14596 04800 73531 59510 18880

04744 32062 70073 76913 66083

89336 41425 45542 22499 02196

35630 66862 22831 68467 10638

95468 01420 74633 46662 10853

87411 74218 40171 99688 10393

30647 71047 97092 59576 03013

88711 14401 79137 04887 90372

01765 74537 30698 02310 89639

57688 14820 97915 35508 65800

60665 45248 36305 69481 88532

57636 78007 42613 30300 71789

36070 65911 87251 94047 59964

37285 38583 75608 57096 50681

68583 75818 16395 53892 66009

01032 78982 16837 15105 26869

67938 24258 00538 40963 91829

29733 93051 57133 69267 65078

71176 02081 89398 85534 89616

35699 83890 78205 00533 49016

10551 66944 72122 27130 14200

15091 99856 99655 90420 97469

52947 87950 25294 72584 88307

20134 13952 20941 84576 92282

45292 34033 13364 03343 46145

93427 45008 09937 62593 24476

92326 41621 00535 93332 62507

70206 79437 88122 09921 19530

15847 98745 47278 25306 41257

14302 84455 90758 57483 97919

60043 66769 23542 98115 02290

30530 94729 35273 33460 40357

57149 17975 67912 55304 38408

08642 50963 97670 43572 50031

37703 51658 17420 30593 39637 64220 45486 03698 80220 12139 12622 98083 17689 59677 56603 93316 79858 52548 67367 72416 56043 00251 70085 28067 78135 53000 18138 40564 77086 49557 43401 35924 28308 55140 07515 53854 23023 70268 80435 24269 18053 53460 32125 81357 26935 67234 78460 47833 20496 35645 Tomada de la Corporacón Rand, “A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates” (New York: The Free Press, 1955)

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Referencias Bibliográficas: AM Law and WD Kelton. Simulation, Modeling and Analysis. New York: McGraw-Hill, 2nd edition, 1991. Azarang, M. R. y García Dunna, E., (1996), Simulación y Análisis de Modelos Estocásticos McGrawHill/Interamericana de México, S.A. de C.V., México. Banks, J. y Carson, J.S., (1984), Discrete event system simulation, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.. Coss Bu Raúl, (2002), Simulación Un enfoque práctico, Limusa Davis y Mc kewon, Modelos Cuantitativos para la Administración, Mc. Graw-Hill D. H. Lehmer, "Mathematical methods in large-scale computing units," in Proc. 2nd Symposium on D.H. Lehmer. Random number generation on the BRL high-speed computing machines, by M.L. Juncosa. Math. Rev., 15:559, 1954. E. Gentle (Hardcover - July 2003) Large-Scale Digital Calculating Machinery, Cambridge, MA, 1949, pp. 141--146. Fishman, G. S. “Monte Carlo: Concepts, Algorithms and Applications”. Springer. 1997 Rubinstein, Reuven Y. “Simulation and The Monte Carlo Method”. Wiley. 1981 Gottfried, B.S., (1984), Elements of Stochastic Process Simulation, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. Gordon, G., (1989), Simulación de Sistemas, Editorial Diana, México Hammersley, J. M. and D. C. Handscomb, 1964, Monte Carlo Methods, John Wiley & Sons, New Cork Hillier, F.S. y Lieberman, G.J., (2003), Introducción a la Investigación de Operaciones. nd Knuth, D. E. “The art of computer programming” vol 2, “seminumerical algorithms”, 2 ed Addison Wesley, 1981. pp. 9-20. Naylor, Balintfy y Burdick, Técnicas de Simulación de computadoras, Limusa Paul Bratley, Bennett L. Fox, Linus E. Schrage, A Guide to Simulation, Second Edition, Springer-Verlag New York Inc., 1987. Proceedings of the Second International Conference on Operations Research, pp. 50-68. Random Number Generation and Monte Carlo Methods (Statistics and Computing) by James Ripley, B. D. (1987) Stochastic Simulation. Wiley Ross, S., (1997), Simulation, 2a Edición, Academic Press, USA Shdmit y Taylor, Análisis y Simulación de Sistemas Industriales, Trillas Taha, H.A., (1991), Investigación de Operaciones, 2ª Edición, Alfaomega S.A., México. Tocher, K.D. The Art of Simulation. English Universities Press, London, 1963. Tocher, K.D. (1963). The Art of Simulation, Van Nostrand Company, Princeton, NJ. Tocher, K.D. (1966). ``Some Techniques of Model Building,'' Operational Research Quarterly, 16(2), pp. 189-217, June. Tocher, K.D. (1979). Keynote Address, In: Proceedings of the 1979 Winter Simulation Conference, pp. 640-654, San Diego, CA, December 3-5. Tocher, K.D. and Owen, G.D. (1960). ``The Automatic Programming of Simulations,'' In: Winston, Investigación de Operaciones, Gpo. Editorial Iberoamérica http://www.maa.org/mathland/mathland_4_22.html http://stat.fsu.edu/~geo/diehard.html http://www.ing.ula.ve/~hhoeger/curso_sim.html www.cp.eng.chula.ac.th/faculty/ cws/classes/2110301/home.htm http://www.stat.cmu.edu/ http://random.mat.sbg.ac.at/links/monte.html http://www.mat.usach.cl/histmat/html/ia.html www.addlink.es/product/palisade/risk.htm http://www.csm.ornl.gov/ssi-expo/MChist.html http://www.ccs.uky.edu/ http://dmawww.epfl.ch/benarous/Pmmi/interactive/rng0.htm

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CAPITULO 3 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS En esta sección se trataran procedimientos para muestrear una variedad de distribuciones de probabilidad discretas y continuas ampliamente usadas. En el capítulo 1, “introducción a la simulación” se discutió y se mostraron ejemplos de sistemas diversos donde se dejo clara la importancia de las distribuciones estadísticas para modelar actividades que son generalmente impredecibles o inciertas. Por ejemplo, los tiempos entre arribo y los tiempos de servicio en las colas, y la demanda de un producto, son generalmente impredecibles por naturaleza, al menos en cierta extensión. Usualmente tales variables son modeladas como variables aleatorias con una distribución estadística, y los procedimientos estadísticos estándar existen para estimar los parámetros de la distribución hipotética y para probar la validez del modelo estadístico asumido ( como son las pruebas de Ajuste de Bondad ), que se cubrirá en la siguiente sección. Se asume que una distribución ha sido completamente especificada, y se han visto procesos para generar muestras de esta distribución para ser usadas como insumo para un modelo de simulación. El propósito de esta sección es explicar e ilustrar algunas técnicas ampliamente usadas para generar variables aleatorias, y no para llevar a cabo una investigación profunda de las técnicas más eficientes. En la práctica, la mayoría de quién realiza la simulación usará las rutinas existentes en las bibliotecas disponibles en los lenguajes de programación, o en las rutinas de los lenguajes de simulación. Sin embargo, algunos lenguajes de programación no tienen rutinas internas de todas las distribuciones utilizadas. Aunque esto no es muy común, es importante entender como se lleva a cabo la generación de variables aleatorias.

3.2. Simulando Distribuciones Continúas de Probabilidad En la simulación de procesos se emplean valores discretos para tiempo entre fallas, arribos, etc. Realmente se esta aproximando estos valores de tiempo, dado que en la práctica estos tiempos pueden tomar cualquier valor, no únicamente valores discretos. Un número de variables discretas de esta naturaleza existe en la realidad, por ejemplo; el tiempo entre llamadas recibidas; el tiempo entre el inicio del servicio y el termino del mismo en una ventanilla de servicio bancario ; el tiempo entre salida de aviones en un aeropuerto. Se puede usar un enfoque para simular estas ocurrencias; sin embargo en esencia, para representar variables aleatorias continuas, será necesario usar una distribución continua en el análisis. Muchas funciones de densidad de probabilidad tienen parámetros que controlan sus características de forma y escala. Dos de las mas comunes son el parámetro α (alfa) que define la forma de la distribución y el parámetro β (beta) que describe los valores de escala de en el rango de la distribución. La media y la desviación estándar son definidas en términos de los parámetros α y β. Una de las ventajas de emplear distribuciones continuas es que se puede desarrollar una ecuación matemática para servir como un proceso generador.

3.2.1 Distribución Uniforme Una distribución Uniforme sobre el rango de 0 a 1 es la base para generar valores de distribuciones de probabilidad estándar. Una aplicación común es para representar el tiempo

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de duración de una actividad cuando se tiene una mínima información de la duración de la actividad. Algunas veces el tiempo para completar se considera que varía aleatoria y uniformemente entre dos valores. Dadas estas condiciones, la distribución Uniforme es una buena estimación preliminar para la duración de una actividad La función de densidad de la distribución Uniforme de probabilidad es definida como sigue:

ì 1 ; para a £ x £ b ï f ( x) = í b - a ï 0 para cualquier otro caso î ab Media: 2 2 Varianza: (b - a ) / 12 f(x) 1/(b-a) x a

Distribución Uniforme de probabilidad para el intervalo (a,b) Para obtener la distribución acumulada de probabilidad, usando la distribución original de probabilidad y a través del cálculo, así;

P ( x) =



p ( x )dx

substituyendo p(x)=1/(b-a), entonces

F ( x) = 

x 1 1 1 dx = dx = ( x - a)  a (b - a) (b - a) (b - a )

por lo que,

ì ï ï ï F ( x) = í ï ï ïî

X -a b-a 1

; para

x<a

; para a £ x £ b ; para

x>b

Usando el procedimiento de transformación inversa involucra establecer una variable aleatoria uniforme R (donde R se encuentra entre cero y uno ) igual a F(x) y resolver para x. Así , X = a + R(b - a)

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Ejemplo El tiempo requerido para lavar un auto esta uniformemente distribuido con un tiempo mínimo de 8 minutos y un máximo de 12 minutos. Simule el tiempo de servicio para procesar 10 automóviles. Use un proceso generador uniforme en su análisis. ¿Cuál es el tiempo promedio para los 10 autos que se procesan? Sea x = Tiempo de servicio Así;

F ( x) =

X -a X -8 X -8 = = b - a 12 - 8 4

Como x = a + R . (b-a) , entonces x = 8 + 4R Carro 1 2 3 4

No. Aleatorio .4764 .8416 .9434 .3420

x 9.9056 11.3664 11.7736 9.368

5 6 7 8 9 10

.6827 .8521 .1129 .5806 .9285 .6955

10.7308 11.4084 8.4516 10.3224 11.714 10.7820

x =105.8228/10=105823 tiempo esperado µ=10 Tiempo promedio

x =10.5823

105.8228

4.2.2 Distribución Exponencial Es usada extensivamente en modelos de colas. Es la única distribución continua con la propiedad de perdida de memoria: recordar el tiempo desde el ultimo evento no ayuda a predecir el tiempo hasta el próximo evento. Es usada para modelar el tiempo entre eventos sucesivos, por ejemplo:  

El tiempo entre llegadas. El tiempo entre fallas.

Un proceso generador uniforme para esta distribución puede ser desarrollado con el uso de la técnica de transformación inversa. La función de densidad de la distribución Exponencial de probabilidad es la siguiente:

f ( x) = l e - l x , para 0 < x < ; 0 para x<0 Media: λ Varianza: λ2

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1 0.9 0.8 0.7

λ=1

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

λ=5

0.1

22.5

19.5

16.5

13.5

10.5

7.5

4.5

1.5

donde λ es la tasa de servicio o el número de unidades servidas por unidad de tiempo. Para desarrollar el proceso generador, se debe encontrar primeramente la función de densidad acumulada de probabilidad: x

F ( x) =  f ( x) dx =  l e - l x dx = -e - l x |0x = -e - l x  1 así : -λx P(x) = 1 - e Ahora entrando la variable aleatoria R, igual a F(x) , y resolviendo para x

R = F ( x) = 1 - e - l x e- l x = 1 - R -λx = 1n(1 - R) entonces,

X =-

1 Ln(1 - R ) l

y esta expresión puede ser reemplazada por

X =-

1 Ln( R) l

Ejemplo 1 El tiempo entre fallas para una operación particular de manufactura puede ser descrito por una distribución exponencial con una media de 100 horas. Simule el tiempo de 5 fallas. Use el proceso generador exponencial en su análisis. 1/100 = .01 hora x= tiempo entre fallas

p ( x ) = .01e -.01x X = - (1/λ) Ln (R) λ =.01 X = - (1/.01) Ln (R) = -100 Ln (R)

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Falta 1 2 3 4 5

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No. Aleatorio .4466 .6427 .5902 .0318 .5901

x 80.6 44.2 52.7 344.8 52.7

Ejemplo 2 El tiempo entre arribos de los clientes que entran a una tienda puede ser descrita por una distribución exponencial con media de 8 minutos. Simule el arribo de 10 clientes a la tienda. Use un proceso generador exponencial en su análisis. 60/8 =7.5 clientes/hora como f ( x) = l e - l x para

λ=7.5 clientes por hora, entonces,

f ( x ) = 7.5e -7.5 x

x=-(1/ λ) . ln(R) x=(-1/7.5) . ln (R) = -8 Ln (R) Cliente

No. Aleatorio

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.6279 .8234 .5273 .1820 .6383 .1471 .3208 .8224 .6331 .5482

.062 horas = 3.72 min. .026 horas = 1.56 min. .085 horas = 5.1 min. 2.27 horas = 13.62 min. .060 horas = 3.60 min. .256 horas = 15.36 min. .152 horas = 9.12 min. .026 horas = 1.56 min. .061 horas = 3.66 min. .080 horas = 4.80 min.

4.2.3 Distribución Normal La distribución Normal es una función de distribución de probabilidad muy popular.

f ( x) =

1 2ps

1 æ x-m ö - ç ÷ 2è s ø

, para -  < x < ; s > 0

Media: m Varianza: s2 Debido a su estructura complicada, la función de la distribución Normal no tiene una representación inversa. Consecuentemente, la técnica de transformación inversa no puede ser directamente aplicada para muestrear de una distribución Normal. El método de convolución para generar variables normales toma ventaja del Teorema de Limite Central, el cual asegura que la suma de n variables aleatorias idénticamente distribuidas U(0,1) e independientes Y1, Y2, .....,Yn con media nm y varianza nσ2 esta aproximadamente distribuida normalmente con media m y varianza s2.

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Si tomamos n números aleatorios para representar las anteriores variables aleatorias, entonces, debido a que los números aleatorios tienen una distribución Uniforme cuyo rango varia de 0 a 1 con m =0.5 y s2 = 1/12 , la variables es definida como : n

x = å Ri i =1

esta aproximadamente distribuida normalmente con media 0.5n y varianza de n/12. Esto sigue que la variable Z esta definida como Z =

x-m , entonces s

Z =

å R - 0.5n i =1

(n / 12)1 / 2

esta aproximadamente distribuida normalmente con media cero y varianza 1. La aproximación en este método mejora conforme n crece. Pero entre mayor sea n, mas tiempo se requiere para generar la muestra. Un valor n que es suficientemente grande para proveer una exactitud razonable y simplificar los cálculos es 12. Esto produce la siguiente ecuación : 12

Z = å Ri - 6 i =1

Ahora, la variable Z puede ser usada para generar aproximadamente, variables aleatorias normales con mediam y desviación estándar s usando la ecuación siguiente: 12

x = m  (å Ri - 6)s i =1

Entonces, para generar cada muestra distribuida normalmente usando este método se deben generar 12 números aleatorios para ser utilizados en la ecuación anterior. Un procedimiento más sencillo para generar variables aleatorias Normales estándar independientes partiendo de 2 números aleatorios independientes es el siguiente método directo: El Método de Box-Muller partiendo de dos números aleatorios uniformes R i y Ri+1 calcula dos variables aleatorias Normales independientes N(µ,σ ) usando

X 1 = éë( -2 Ln(1 - Ri ))Cos(2p Ri 1 ) ùû s  m 12 X 2 = éë( -2 Ln(1 - Ri )) Sin(2p Ri 1 ) ùû s  m 13 Una desventaja del método de Box-Muller es su poca eficiente en el calculo del seno y el coseno. Otra forma de generar variables aleatorias es el generador de Scheimer que de la distribución aproximada a la normal estándar

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R 0.135 - (1 - R)0.135 0.1975

donde X=µ+Zσ

3.3.-

Simulando Distribuciones Discretas de Probabilidad

Existe un número de distribuciones discretas teóricas de probabilidad; las distribuciones discretas mas frecuentemente usadas en la simulación de modelos son la Bernoulli, Binomial, Poisson , Geométrica, Pascal y Uniforme discreta. Por lo tanto limitaremos nuestro análisis a estas distribuciones. El proceso generador puede ser desarrollado para distribuciones discretas de probabilidad usando el método de transformación inversa. Pero un enfoque simple es utilizar un proceso de conteo conocido como el método de composición.

3.3.1

Distribución Bernoulli

Esta es la más simple de las distribuciones discretas. Toma solo dos valores que se denotan como fracaso (x = 0) o éxito (x = 1), con probabilidades 1-p y p respectivamente. Se usa para modelar la probabilidad de que un resultado sea de una clase específica o tenga una característica específica.  Un sistema de computación esta funcionando o no.  Un paquete en una red llego a su destino o no. Esta distribución junto con sus derivadas, se puede usar solo si los ensayos son independientes e idénticamente distribuidos de forma tal que la probabilidad de éxito en cada ensayo sea p y no sea afectada por el resultado en ensayos anteriores.

si x = 0 ì1 - p ïï f (x) = í p si x = 1 ï ïî 0 en otro caso 1

Bernoulli(0.6)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

Generación: Use transformación inversa. Genere R ~ U(0,1). Si R £ p retorne 1, de otra forma retorne 0.

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3.3.2 Distribución Binomial La función de masa de probabilidad, que es e modelo matemático para la distribución Binomial, se expresa como sigue:

n! p x (1 - p ) n - x x!( n - x)! Media: np Varianza: np(1-p) p( x) =

Donde, n= es el número de pruebas independientes p= es la probabilidad de éxito en cualquier prueba x= es la variable aleatoria que representa el número de éxitos en n pruebas. 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 20

0 0

Binomial(0.6,20)

Dados los parámetros n y p, el proceso generador Binomial simplemente implica muestrear n veces y calcular el número x de éxitos. En cada prueba una variable aleatoria uniforme R es generada y comparada con la probabilidad de éxito p. Si R es menor que (<) p , la prueba es considerada un éxito y contabilizada ; si es mayor que (>) que p, la prueba es considerada una falla. Después de n pruebas el número de éxitos es el valor de la variable aleatoria Binominal.

3.3.3 Distribución Poisson Se usa extensivamente en modelos de colas para modelar el número de llegadas en cierto intervalo:  Número de consultas a un servidor en un intervalo t.  Número de fallas en componentes por unidad de tiempo.  Número de consultas a una base de datos en t segundos.  Número de errores de tipeo por forma. Si los datos son obtenidos en la forma d el número de arribos por unidad de tiempo, entonces los datos pueden ser descritos por una distribución Poisson. La función de masa de probabilidad para la distribución Poisson se define como sigue:

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p( x) =

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(lT ) x e - lT x!

, para 0 < x < a

Media: l. Varianza: l. donde,

l T= al número de arribos por período de tiempo T x =al número de arribos en el intervalo de tiempo 0.3 0.25 0.2

Poisson(5) 0.15 0.1 0.05

Si el número de arribos por período de tiempo puede ser descrito por la distribución Poisson, entonces el tiempo entre arribos puede ser descrito por la distribución exponencial. Utilizando esta relación se simula el tiempo de arribo utilizando el proceso generador exponencial y se cuenta el número de arribos que ocurren en el período de tiempo (T). El método de composición para generar variables aleatoria Poisson es el siguiente: Paso 1 Identifique la longitud del período T. Inicialice a cero “el contador de arribos”, n y “el contador de intervalo de tiempo” t. Paso 2 Genere el intervalo de tiempo para un arribo utilizando el generador de proceso exponencial. Paso 3 Sume el tiempo entre arribos en el paso 2 a t; sume 1 al contador de número de arribo n. Paso 4 si t>T en el paso 3, entonces deseche el ultimo arribo y reste 1 del contador de número de arribos, n, y vaya a el paso 5 de otra forma vaya al paso 2. Paso 5 El valor de n es la variable aleatoria para la distribución Poisson. Problema El número de clientes que llegan a un banco está descrita por una distribución poisson con una media de 4 arribos cada ½ hora. Simule el arribo de los clientes sobre un período de 1 hora. (Recordar la relación reciproca entre el tiempo entre arribos (dist. Exponencial) y el No. de arribos por período de tiempo (Dist. Poisson)). l = 4 / ½ horas = 8/hora ; por lo que el tiempo entre arribos = 7.5 min. x = - (1/l ) Ln (R) n R Tiempo entre arribos Tiempo transcurrido 1 .5582 .0729 .0729 2 .4459 0876 .1605 3 .1824 .2126 .3731 4 .7041 .0439 .4170

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.3555 .9717 .5571 .4674 .8461 .1838 .1834

.1293 .0036 .0731 .0951 .0209 .2117 .2120

.5463 .5499 .6230 .7181 .7390 .9507 1.1627

10 arribos/ hora tiempo de entre arribo = 6 min. Cuando λ ≥ 15, la técnica de aceptación-rechazo se convierte en algo caro ( por la cantidad de cálculos que se realizan ), pero afortunadamente se usa una técnica para aproximar basada en la distribución Normal que trabaja bastante bien. Cuando λ , es grande,

N -l l

Tiene una distribución aproximadamente Normal con media cero y varianza 1, lo cuál sugiere ser una técnica de aproximación. Primero genere una variable Normal estándar Z, usando la ecuación

é( -2 Ln( Ri )) Sin(2p Ri 1 ) ù o é( -2 Ln( Ri ))Cos (2p Ri 1 ) ù ë û ë û (Usadas en la generación de variables aleatorias Normales entonces genere la variable Poisson requerida, N , usando N= l 

12 y13 )

l ( Z - 0.5) 20

donde 0.5 es una función de redondeo ( Si l  l Z - 0.5 < 0, entonces N=0 ) el término “0.5” usado en la formula hace que la función de redondeo se convierta en una función de redondeo cercana al entero más próximo. La ecuación 36 no es una técnica de aceptaciónrechazo, pero puede ser usada como una alternativa de este método, que provee un método algo eficiente para generar variables Poisson con media grande.

4.3.4 Distribución Geométrica El número de ensayos hasta e incluyendo el primer éxito en una secuencia Bernoulli es una Geométrica. Es la equivalente discreta de la exponencial en cuanto a la propiedad de perdida de memoria: recordar el pasado no ayuda a predecir el futuro.

p ( x) = p (1 - p) x , x = 0,1, 2,.... Media: 1/p

1- p 2 Varianza: p donde 0<p<1, representa el número de fracasos hasta que se produce el primer éxito en un experimento de Bernouilli de parámetro p.

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Su función de Densidad Acumulada FDA esta dada por

F ( x) = 1 - (1 - p) x , x = 0,1, 2,...

La variable geométrica se puede relacionar fácilmente con la variables exponencial: Sea.

Y = exp ( l ) , FY ( y ) = 1 - e - l y , y ³ 0

Sea x>0, entonces

P( x < Y £ x  1) = FY ( x  1) - FY ( x ) = 1 - e - l ( x 1) - (1 - e - l x )

= - e - l X - l  e - l x = (e - l ) x ( 1 - e - l )

Como

e - l Î ( 0,1) , tomemos λ tal que 1 - e - l = p para conseguir la expresión de

probabilidad puntual de una distribución G(p). Basta tomar λ = -Ln(1-p). Después se toma un valor y según una Exp[ - Ln(1 - p )] y se toma x=[y]. Ya se vio que para ello hay que hacer

y=-

LnR LnR , con R≡ U(0,1), por lo que se concluye que x = - Ln(1 - p ) Ln(1 - p)

Donde [x] denota el menor entero mayor o igual a x. Problema Genere tres valores para una distribución Geométrica en el rango (X≥1) con media 2. La

1 = -1.443 y usando los números Ln(1 - p )

media es 1/p por lo que p=2. Calculando aleatorios 0.932, 0.105, y 0.687, tenemos X1=-1.443Ln(0.932) = 0.10169 X2=-1.443Ln(0.105) = 3.2522 X3=-1.443Ln(0.687) = 0.541732

Como X denota el menor entero mayor o igual a x, entonces X1=1 X2=4 y X3=1

Problemas Propuestos 1. En un proceso de producción de chips microprocesadores el 2% de los mismos salen defectuosos. Cada día se toma una muestra aleatoria de 50 unidades. Si la muestra contienen más de 2 defectuosos, el proceso debe ser parado. Determinar la probabilidad de que el proceso sea parado por el esquema de muestreo. 2. Un autobús llega cada 20 minutos a una parada determinada comenzando su servicio a las 6:40 AM y terminando a las 8:40 AM. Un pasajero determinado no conoce la planificación pero llega de forma uniformemente distribuida entre las 7:00 AM y las 7:30 AM cada mañana. ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero espere más de 5 minutos por el bus?. 3. Supongamos que la vida de una lámpara industrial en miles de horas se encuentra distribuida exponencialmente con una razón λ=1/3 (esto es, se produce un fallo cada 3000 horas). Calcular la probabilidad de que la lámpara dure más de 3000 horas. Calcular la probabilidad de que una lámpara dure entre 2000 y 3000 horas. Calcular la probabilidad de que dure otras 1000 horas si ha estado funcionando durante 2500 horas.

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4. El profesor de un colegio se va a casa durante el verano, pero desea dejar una luz encendida en el colegio para desanimar a los ladrones. Para ello instala un dispositivo de dos bombillas, de tal modo que se encienda la segunda caso de fallar la primera. La caja en la que vienen las bombillas pone: "vida media de 1000 horas, exponencialmente distribuida". El profesor vuelve al cabo de 90 días (2160 horas). ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre una bombilla encendida?. 5. Un determinado examen médico es llevado a cabo en tres etapas por un médico. Cada etapa dura un tiempo exponencialmente distribuido con una media de tiempo de servicio de 20 minutos. Encontrar la probabilidad de que el examen dure 50 minutos o menos. Además, determinar la duración media del examen. 6. El tiempo que se permanece en la cola de un autoservicio se ha visto que sigue una distribución N(10,9). ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere entre 9 y 12 minutos?. 7. El tiempo perdido desde la demanda de un determinado artículo X se puede aproximar por una distribución normal con un valor medio de 25 días y una varianza de 9. Se desea conocer un valor de tiempo perdido tal que sea sólo excedido un 5% de las veces que se formule un pedido. 8. Se sabe que el tiempo que tarda en fallar un componente electrónico viene dado por una distribución Weibull con ν=0, α=1/3 y β=200 horas. Calcular: a) la vida media (o tiempo medio que tarda en fallar el componente); b) la probabilidad de que un componente falle antes de 2000 horas. 9. Un sensor electrónico determina la calidad de chips semiconductores, rechazando aquéllos que fallan. Bajo demanda, el sensor dará el máximo y mínimo número de rechazos durante cada hora de producción durante las últimas 24 horas. También da la media. Sin información adicional, el departamento de control de calidad ha asumido que el número de chips rechazados viene dado aproximadamente por una distribución triangular. El volcado de datos actual indica que el número mínimo de chips rechazados por hora fue 0, el máximo 10 y la media 4. Calcular: a) la moda; b) la mediana; c) un número de chips tal que sólo el 5% de las veces el número de chips rechazados por hora sea superior a él. 10. Un avión tiene sistemas hidráulicos duplicados. El avión conmuta automáticamente al sistema de reserva si falla el sistema primario. Si ambos sistemas fallan, el avión puede sufrir un accidente. Supóngase que la vida del sistema hidráulico está distribuida exponencialmente con una media de 2000 horas de vuelo. a) Si los sistemas hidráulicos son inspeccionados cada 2500 horas ¿cuál es la probabilidad de que el avión sufra un accidente antes de ese tiempo?. b) ¿Qué probabilidad de peligro puede esperarse si la inspección se hace cada 3000 horas en lugar de cada 2500 horas?. c) Si se quiere reducir la posibilidad de accidente a 2%, ¿cada cuántas horas de vuelo hay que revisar el sistema hidráulico?. 11. Un cartero tiene una ruta consistente en 5 segmentos y el tiempo que tarda en cubrir cada segmento está normalmente distribuido con una media y varianza tales como las que se detalla: segmento A: N(38,16); segmento B: N(99,29); segmento C: N(85,25); segmento D: N(73,20); y segmento E: N(52,12). Además de los recorridos, el cartero necesita organizar el correo en la oficina, lo que requiere un tiempo N(90,25). Llegar al punto de partida de la ruta requiere un tiempo N(10,4), y volver requiere un tiempo N(15,4). El cartero finalmente debe hacer tareas administrativas que le llevan un tiempo N(30,9). a) ¿Cuál es el tiempo de trabajo esperado para el cartero en un día?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar más de 8 horas durante un día?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje más de 8 horas 2 o

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más días en una semana de 6 días?. d)¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera la ruta sea completada en 8h±24 minutos? 12. A una oficina de expedición de licencias llegan los clientes aleatoriamente a un ritmo de =50 clientes por hora. Hay 20 funcionarios, cada uno de los cuales despacha µ=5 clientes por hora en promedio. a) ¿Qué porcentaje de tiempo está cada funcionario ocupado?. b) ¿Cuál es el número medio de funcionarios ocupados?. c) El jefe de la oficina se pregunta si puede disminuir el número de funcionarios, en caso de poderse hacer ¿cuál es el número mínimo que se precisa para que puedan ser atendidos todos los clientes? 13. Hay dos personas compitiendo para obtener un empleo. Abel dice que es más rápido despachando que Benito, pero Benito dice que él es mucho más uniforme en su trabajo. Las llegadas llegan de acuerdo con un proceso de Poisson con una razón de 2 por hora (1/30 por minuto). Las estadísticas de Abel dan un tiempo medio de servicio de 24 minutos con una desviación estándar de 20 minutos. Las estadísticas de Benito dan un tiempo medio de 25 minutos, con una desviación estándar de tan sólo 2 minutos. Si la longitud promedio de la cola es el criterio de selección ¿qué trabajador debería ser seleccionado?. 14. Los tiempos de llegada así como los tiempos de servicio en una peluquería se ha visto que están distribuidos exponencialmente. Llegan 2 clientes por hora y son atendidos 3 clientes por hora. Calcular la probabilidad de encontrar 0, 1, 2, 3, y 4 o más clientes en el sistema. Calcular la probabilidad de que el peluquero esté ocupado, el número medio de clientes en el sistema, el tiempo medio consumido por cliente en ese sistema, el tiempo medio que un cliente se pasa esperando en la cola y el número medio de clientes que hay en la cola. 15. Supóngase que los mecánicos de un gran taller, con muchos mecánicos, llegan aleatoriamente a un almacén de herramientas con una razón de Poisson de 10 por hora. Se sabe que hay un sólo dependiente en ese almacén que atiende a cada mecánico en un tiempo medio de 4 minutos y una desviación estándar de aproximadamente 2 minutos. Se sabe que los tiempos de servicio siguen una distribución de Erlang de orden k. Un mecánico produce 1500 Pesos/hora cuando está trabajando. ¿Cuánto cuesta la espera en la cola por la visita de un mecánico al almacén y cuál es el costo medio por hora por ese concepto para el conjunto de todos los mecánicos? 16. Las llegadas a un aeropuerto van todas ellas a la misma pista de aterrizaje. En un determinado momento del día estas llegadas siguen una distribución de Poisson a razón de 30 por hora. El tiempo que tarda un avión en tomar tierra es constante, 90 segundos. a) Calcúlese longitud media de la cola, tiempo de espera medio en la cola, ocupación del sistema y tiempo medio de respuesta para este aeropuerto. b) Si un aterrizaje retrasado cuesta 50,000 pesos de combustible por hora en promedio, calcúlese el costo promedio por hora de la espera de los aviones para aterrizar y el costo promedio por avión. 17. La peluquería descrita en el problema 14 puede sólo alojar 3 clientes, uno en servicio y 2 esperando. Los clientes restantes deben darse la vuelta si encuentran la peluquería llena. Establecer las medias de rendimiento para este sistema. 18. Considérese el problema 15 de los mecánicos que van al almacén de herramientas. Supongamos que las llegadas son un proceso de Poisson a razón de 2 mecánicos por minuto y con tiempos de servicio con una media de 40 segundos distribuidos

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exponencialmente. ¿Cuántos dependientes hacen falta para que el sistema sea estable?. Analícese el rendimiento del sistema con el mínimo número de dependientes necesario. 19. Hay 2 trabajadores encargados de 10 máquinas en una fábrica. Las máquinas funcionan durante un tiempo medio de 20 minutos y entonces requieren un tiempo de servicio medio de 5 minutos; ambos tiempos se hallan distribuidos exponencialmente. Determinar las diversas medidas de rendimiento de este sistema. 20. Un almacén de madera es servido por una flota de 10 camiones. Hay una grúa disponible para descargar los troncos de los camiones. Tarda un promedio de 1 hora en descargar un camión. Después de la descarga cada camión tarda un promedio de 3 horas en volver al almacén con la siguiente carga de troncos. a) Es necesario realizar ciertas suposiciones sobre las distribuciones de tiempos para poder analizar este problema de acuerdo con los modelos estudiados. Háganse y justifíquense. b) Con una grúa, ¿cuál es el número promedio de camiones esperando a ser descargados?¿cuántos camiones llegarán por término medio al almacén cada hora?¿qué porcentaje de camiones encuentran al llegar la grúa ocupada?¿es éste el mismo que la proporción de tiempo que la grúa está ocupada?. c) Supóngase que se instala una segunda grúa en el almacén. Responda a las mismas preguntas que en el apartado b). Haga una tabla comparando el resultado para una o 2 grúas. d) Si el valor de los troncos que llegan al almacén es de 20.000 pesos por camión y la grúa cuesta 5000 pesos/hora (esté trabajando o no), establezca cuál es el número óptimo de grúas sobre la base del costo por hora. e) Además de los costos supuestos en el apartado d), si la dirección decide considerar el costo de los camiones parados y sus conductores ¿cuál es el número óptimo de grúas? Un camión y su conductor tienen un costo estimado en 4.000 pesos por hora y se considera que están parados mientras están esperando en la cola para ser descargados. 21. Supóngase que se han recogido 100 tiempos de reparación de una máquina. Esos datos aparecen en la tabla siguiente en términos del número de observaciones para los diferentes intervalos. Intervalo (horas)

Frecuencia

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada

0 x 0.5 0.5 x 1.0 1.0 x 1.5 1.5 x 2.0

31 10 25 34

0.31 0.10 0.25 0.34

0.31 0.41 0.66 1.00

Supóngase además que todas las reparaciones duran más de 15 minutos. Establecer el mecanismo para generar valores de una variable aleatoria que tenga su misma distribución. 23. Una firma de ventas por catálogo envía sus encargos a un almacén central. Los encargos son agrupados en cestas que van recorriendo el almacén en un vehículo. Las cestas entran en el área de empaquetado en grupos de 10. Los empaquetadores pueden ver fácilmente cuántos encargos hay en la cola. Se está haciendo una simulación del área de empaquetado. Parece existir una relación entre la longitud de la cola y la velocidad de empaquetado. Si eso ocurre, la velocidad de servicio puede cambiar como una función de la longitud de la cola. Se ha realizado un estudio de la operación, obteniéndose los resultados de la tabla siguiente: Observación i Longitud de la cola x

1 2 3 4 20 30 30 50

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5 30

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 40 60 30 20 40 40 50 20 40

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Velocidad de (paquetes en 20 24 29 24 27 33 31 39 23 18 34 32 36 21 30 Empaquetado 10 minutos) Encontrar la relación entre la velocidad de empaquetado y la longitud de la cola. 24. Los camiones llegan a un gran almacén en una forma totalmente aleatoria la cual puede ser modelada como un proceso de Poisson con razón de llegada de λ=10 camiones por hora. El controlador de la entrada envía los camiones alternativamente hacia las terminales norte o sur. Un analista ha desarrollado un modelo para estudiar el proceso de carga/descarga en la terminal sur, y necesita un modelo del proceso de llegada a esa terminal. Establézcase el esquema para generar tiempo entre llegadas. 25. Los tiempos de servicio en la ventanilla de un cajero se hallan normalmente distribuidos con una media de µ=7.3 minutos y varianza 2=11.7 minutos . Generar 10 tiempos de servicio. 26. Generar tres valores de una variable de Poisson con λ=0.2. 27. El autobús llega a una parada determinada según un proceso de Poisson con una media de un bus cada 15 minutos. Generar una variable aleatoria, N, que represente el número de llegadas de autobús durante un intervalo de tiempo de 1 hora. 28. Los tiempos de parada para una máquina de hacer caramelos se ha comprobado que vienen dados por una variable aleatoria de distribución gamma con una media de 2.2 minutos y una varianza de 2.10 minutos2. Genérese una secuencia de tiempos de parada que se ajuste a esa distribución. 29. Un espía trata de determinar el número de tanques que tiene el ejército enemigo. El enemigo marca cada tanque con un número. Sabe que el número más bajo es 100 y los tanques están numerados secuencialmente desde 100 hasta algún número desconocido dado por 100+b. El espía se coloca en un cruce de carreteras durante un día, observa los tanques que pasan y anota sus números, obteniendo lo siguiente: 1783, 1522, 920, 587, 3653, 146, 2937, 1492, 736, 372, 3104, 3535. ¿Cuántos tanques se puede estimar que tiene el ejército enemigo?.

Referencias Bibliográficas Bratley, P., L. Box, Y L.E. Scharge [1987], A Guide to Simulation, 2nd ed., Springer-Verlag, New York. Box, G.E.P., Y M-F.Muller [1958], “A Note to Generation of Random Normal Deviates, ”Annals of Mathematical Statisticas, Vol. 29, pag. 610-11. Cheng, R.C.H. [1977], The Generation of gamma variables,” Applied Statistician, Vol. 26, No. 1, pag. 71-75. Dagpunar, John [1988], Principles od random Variate Generation, Claredon Press, Oxford. Devroye, Luc [1986], Non-Uniform Random Variate Generation, Springer-Verlag, New Cork. Fishman, George S. [1978], Principles of Discrete Event Simulation, wiley, New Cork. Law, A.M., Y W.D. Kelton [1991], Simulation Modeling & Análisis, 2nd ed., McGraw-hill, New York. Ripley, Brand D. [1978], Stochastic Simulation, Wiley, New York. Schmeiser, Bruce W. [1979], “Approximations to the inverse Cummulative Normal Function for use on Hand Calculators”, Applied Statistics, Vol. 28, pag. 175-176.

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Schmeiser, Bruce W. [1980], Random variate generation: A Survey”, in Simulation with Discrete Models: A State of de Art View, T.I Oren, C.M. Shub, and P.F. Roth, eds., IEEE. SCHMIDT, J.W., Y R.E. TAYLOR [1970], Simulation and Análisis of Industrial Systems, Irwin, Homewood,Ill. www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/ manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html

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CAPITULO 6

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SELECCION DEL TAMAÑO DE LA

MUESTRA 6.1

Análisis de resultados de la simulación

La mayoría de los sistemas estudiados a través de la simulación tienen un comportamiento estocástico en sus datos iniciales (ejemplo: el proceso de arribo de la entidades) y en algunos de sus componentes internos (ejemplo: tiempos de servicio en las instalaciones). La relación entre los varios componentes internos de un sistema pueden estar también sujeto a cambio (ejemplo: la probabilidad de que una entidad siga una cierta ruta) Los modelos de simulación convierten las influencia estadísticas que ellos reciben en la forma de insumos y procesos internos, en datos estadísticos lo cual constituye sus resultados. Desde el punto de vista del análisis de los resultados, la simulación es simplemente otro método de muestreo y análisis estadístico. El objetivo de este capítulo es la de proveer conceptos rudimentarios relacionados con el papel del análisis estadístico en la simulación y demostrar las aplicaciones de esos conceptos a través de ejemplos numéricos.

6.2

La importancia del Análisis de resultados de la simulación

Los estudios de simulación pueden realizarse por alguno de los siguientes propósitos: 1. Para determinar las características (media, varianza, mínimo, máximo, etc.) de ciertas variables para condiciones iniciales dadas., valor de los parámetros, y configuraciones del modelo para analizar y comprender el comportamiento de un sistema existente o para predecir el comportamiento de un sistema futuro en la etapa de diseño del sistema. 2. Para comparar las características (media, varianza, mínimo, máximo, etc.) de ciertas variables bajo varias condiciones de datos iniciales, valor de los parámetros, y configuración del modelo. La manipulación de estos factores y la comparación de sus efectos para cada escenario simulado puede resultar en determinar las condiciones bajo las cuales el sistema opera satisfactoriamente. El último intento del analista puede ser mejorar el desempeño de un sistema existente o diseñar un sistema futuro. La mayoría de los sistemas estudiados con la simulación son estocásticos. La simulación por naturaleza es, por lo tanto, un proceso de muestreo estadístico, un proceso de estimación y un proceso de análisis. Como en el caso de un estudio analítico, la elección del tiempo de muestreo y el tamaño de la muestra afectan a la calidad de las estimaciones de los parámetros de la población para la cual la muestra es tomada. Contradictoriamente, para decidir sobre el tamaño de la muestra, es necesario tener algún conocimiento acerca de los parámetros. Un análisis sistemático de los resultados de la simulación es un componente esencial para cualquier estudio de simulación. Es por los resultados, después de todo, que son construidos los modelos de simulación. Muchos usuarios de la simulación, sin embargo, tienden a ignorar la importancia de analizar apropiadamente el resultado de los programas de simulación. De hecho, muchos usuarios de la simulación sacan conclusiones de sus estudios de simulación basado en el resultado únicamente de una sola corrida de simulación con una longitud de tiempo de corrida arbitraria.

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6.3

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Tipos de simulación con respecto al análisis de los

resultados Sistemas que no terminan: Son aquellos que su operación no tienen un fin durante un horizonte de tiempo razonable. Algunos ejemplo de sistemas que no terminan son; una red de comunicación, el cuarto de emergencias de un hospital, un centro de computo, una intersección vial, etc. Además, algunos sistemas que aparentemente si terminan actualmente no los son. Una fabrica, por ejemplo, que cierra al final de cada día y abre el próximo día puede ser correctamente visto como un sistema que no termina, siempre que se considere el flujo y la posición de las partes de los diversos inventarios implicados, ya que la condición inicial cada día, es la condición final del día anterior. La mayoría de los sistemas que no terminan no siempre alcanzan el estado estacionario. El comportamiento del estado estacionario es típicamente el interés de la mayoría de los estudios de los sistemas que no terminan. Sistemas que terminan: Son aquellos que típicamente inician de un estado inactivo o vació y terminan con algunas de estas dos condiciones. La terminación de tales sistemas ocurre ya sea después de cierto lapso de tiempo o en el tiempo de ocurrencia de cierto evento. Un banco que inicia sus operaciones en la mañana con un estado vació cierra después de 8 horas es un ejemplo de un sistema que termina que es controlado por el tiempo Algunos ejemplos de sistemas que terminan cuya operación termina cuando un evento acontece son;:una compañía constructora que ha ganado un contrato para construir un hospital, una armadora de camiones que ha recibido una orden para construir 5 autobuses, la falla de un instrumento complicado, una batalla entre dos grupos, etc. Los sistemas que terminan pueden o no alcanzar el estado estacionario (si tienen alguno) antes de que su operación termine. Si tienen estado estacionario, entonces en ciertas situaciones deben ser tratados como sistemas que no terminan. Por ejemplo, si estamos interesados en encontrar el numero de asientos que se requieren en un área de espera de una estética, estaremos interesados en conocer si el sistema tiene estado estacionario para basar nuestra decisión del estado del sistema. Es probable que ocurra que la estética no alcance el estado estacionario antes de que llegue la hora de cerrar. En este caso se puede extender la simulación mas allá del fin natural de la operación del sistema con el fin de obtener datos suficientes para propósitos de estimación En muchas ocasiones, especialmente cuando su terminación es controlada por un evento, los sistemas que terminan no alcanzan el estado estacionario antes de su terminación. En tales casos se deben de realizar varias corridas independientes. El método de replicas independientes, puede ser aplicado para analizar estadísticamente este tipo de sistemas que terminan.

6.4

Selección del tamaño de la muestra

La elección del tamaño de la muestra depende del grado de precisión que se espere del resultado. Este grado de precisión esta representado por el intervalo de confianza, esto es, la característica de un intervalo de confianza deseado puede conducir a la determinación del propio tamaño. Paradójicamente, para encontrar los parámetros de la población necesarios para el tamaño de la muestra, el modelo debe ser primero simulado. En otras palabras, para encontrar el tamaño de la muestra (que afecta la longitud de la simulación) dados el deseado intervalo y nivel de confianza, primero se debe simular el modelo para una longitud de corrida arbitraria para estimar la desviación estándar de la variable aleatoria. El valor de la desviación estándar es requerido en la relación del intervalo de confianza. El valor del

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tamaño de la muestra es entonces calculado usando estas estimaciones iniciales de la desviación estándar y la amplitud deseada del intervalo de confianza.

6.4.1 Tamaño de la muestra basado en la media de la población Dado un intervalo de confianza para la media de una cierta variable en el sistema que esta siendo simulada, un analista pudiera desear encontrar el tamaño apropiado del tamaño de la muestra para realizar un experimento de simulación que produce las características de los intervalos de confianza. Si se denota a d como la mitad del ancho del tamaño del intervalo de confianza (ejemplo; la mitad del ancho de la diferencia entre los límites inferior y superior), entonces de acuerdo a la definición de los intervalos de confianza tenemos

P  x - d £ m £ x + d  = 1 -a La anterior ecuación asume que el intervalo de confianza es simétrico alrededor de la media. Comparando esta ecuación con la ecuación de los intervalos de confianza para la media, la siguiente relación es obtenida:

d = Z a /2

S n

Ahora podemos derivar el tamaño de la muestra de la ecuación anterior

(

S Z a /2 ) 2 d

Note que la desviación estándar de la población debe de ser conocida para determinar el tamaño de la muestra: En raros ocasiones y para ciertas variables en el modelo la información sobre la desviación estándar puede ser obtenida usando datos históricos. En la mayoría de las ocasiones, sin embargo, no hay datos históricos aplicables disponibles. Como se menciono previamente, la alternativa es correr el modelo para una muestra de tamaño arbitrario elegida. El producto de esta simulación piloto puede proveer un estimado (tal ves uno burdo) de el valor de la desviación estándar para la variable en cuestión. Este estimado puede entonces ser usado en la ecuación anterior para él cálculo del tamaño de la muestra Debe ser notado que el tamaño de la muestra puede ser estimado independientemente de la desviación estándar de la población si el tamaño del intervalo de confianza es expresado en términos del número de la desviación estándar de la población de la variable aleatoria. Por ejemplo, si se desea que d sea 2/10 de la desviación estándar de la población, entonces substituyendo el valor de d en la ecuación del tamaño de la muestra produce lo siguiente; 2 ( S Z a /2 ) n= ( 2S /10 ) 2

n = 25Z 2a / 2

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Note que los cálculos del tamaño de la muestra anterior requieren únicamente el valor de la variable estándar normal para un dado nivel de confianza. Sin embargo, debido a que d esta expresado en términos de una desviación estándar desconocida, el tamaño actual del intervalo de confianza no es conocido en este caso. Ejemplo #5 Basado en el problema #1, suponga que una estación de gasolina esta localizada en la autopista que conecta dos ciudades A y B. El administrador de la estación ordena de gasolina desde las dos ciudades. El intervalo de tiempo entre las órdenes a la ciudad A se distribuye uniformemente entre 5 y 9 horas. El intervalo entre órdenes a la ciudad B esta uniformemente distribuido entre 10 y 14 horas. El tiempo del viaje de los camiones de gasolina desde la ciudad A se distribuye normalmente con media de 7 horas y una desviación estándar de .5 de hora. El tiempo del viaje de los camiones de gasolina desde la cuidad B se distribuye normalmente con media de 12 horas y una desviación estándar de 2 horas. Asuma que inmediatamente después de que se realiza la orden de gasolina, un camión es enviado a la estación de gasolina. Se desea estimar el tiempo promedio entre arribos de los camiones a la estación de gasolina tal que la probabilidad sea 0.95 de que nuestras estimaciones este dentro de .1 hora de la media de la población. Para obtener una estimación para la desviación estándar de la población usada en la formula del tamaño de la muestra, se tomará el resultado de una simulación realizada como una prueba piloto con una muestra de 100, como se especificó es este ejemplo. De acuerdo al resultado de la simulación piloto, se obtuvo un a desviación estándar del tiempo del sistema de 2.39 horas.

 (2.39) (1.96)2 = 2194 (0.1 ) 2

Ejemplo #6 Tomando como base el ejemplo #2 de la estética de Maricó, se desea estimar el numero de replicas n´’ necesarias para ser capaz de acertar con un 95% de confianza de que la media de la muestra

x que se calcule este fuera por a lo máximo 2.0 cortes de pelo (

d=2.0) de la verdadera media µ. Basado en muestra inicial de 12 observaciones, se sabe que S=4.21 cortes. Ahora se calcula n’ como sigue: Dado que: P= nivel de confianza =0.95 α= nivel de significancia =0.05 d= 2.0 S= 4.21 cortes De la última fila de la tabla t-student, se encuentra que

Z 0.025 = t ,0.025 =1.96. Usando la

’

ecuación previa para n se obtiene que;

é ( t ) s ù é ( 1.96 ) 4.21ù n = ê 0.025 ú = ê ú = 17.02 observaciones d 2.0 ë û ë û 2

Dado que ya se tienen 12 observaciones, el experimento requiere 6 corridas adicionales para obtener las observaciones necesarias.

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Se ha expresado la cantidad de error objetivo e en el punto de estimación

x como un valor

absoluto (d=ma). En el ejemplo de la estética, se selecciono un valor absoluto de d=2.0 cortes como el valor objetivo. Sin embargo, algunas veces en mas conveniente trabajar en términos de la desviación relativa (error relativo dr) donde ma = dr |µ|. Esto permite hablar del porcentaje de error en nuestro punto de estimación en lugar del error absoluto. El porcentaje de error es la desviación relativa (el error relativo) multiplicada por 100 ( esto es, 100*dr por ciento). Para aproximar el numero de repeticiones necesarias para obtener un punto de estimación

x con cierto porcentaje de error, se requiere únicamente cambiar el

denominador de la ecuación n’ usada anteriormente. Obteniéndose la siguiente ecuación

é ù ê (Z )s ú n´ = ê a / 2 __ ú ê dr x ú êë (1  dr ) úû

donde dr denota la desviación relativa (error relativo). La parte dr/(1+dr) del denominador es un ajuste requerido para obtener el valor deseado dr debido que se usa

x para estimar µ.

( ver el capítulo 6 de Law y Kelton para detalles). Lo interesante de este enfoque es que podemos seleccionar un porcentaje deseado sin tener conocimiento previo de la magnitud del valor de µ. Como un ejemplo, digamos que después de registrar el numero de cortes de pelo en la estética en 12 sábados (n=12 repeticiones del experimento), se desea determinar el numero aproximado requerido para estimar el numero promedio de cortes de pelo realizados por día con un porcentaje de desviación (error) de 17.24 por ciento y un nivel de confianza del 95%. Se aplica la ecuación usando una la media y la desviación estándar de la muestra de la tabla dada Dado que: P= nivel de confianza =0.95 α= nivel de significancia =0.05 Zα2/n = Z0.025 =1.96 de la tabla de la distribución normal dr = 0.1714 __

x =13.67 cortes

S= 4.21 cortes 2

é ù é ù ê ú ê ú Z s 1.96 4.21 ( ) ( ) n´ = ê a / 2 __ ú = ê ú = 17.02 observaciones ê dr x ú ê 0.1714 13.67 ú êë (1  dr ) úû êë (1  0.1714) úû Por esto n’ ≈ 18 observaciones La única ventaje real de estimar el numero de repeticiones por adelantado es que puede ahorrar tiempo con respecto al enfoque de prueba y error de verificar de forma repetida el mitad del ancho y volver a realizar repeticiones hasta que el nivel de confianza requerido es alcanzado.

6.4.2 Tamaño de la muestra basado en la proporción Dado un intervalo de confianza deseado para la proporción de una cierta ocurrencia en el sistema que esta siendo simulado, un analista puede desear encontrar un tamaño de

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muestra apropiado para realizar un experimento de simulación que produzca las características de ese intervalo de confianza. Considerando que el intervalo de confianza es simétrico alrededor de la proporción de la población, y denotando un medio del tamaño del intervalo de confianza por d, entonces de acuerdo a la definición de los intervalos de confianza tenemos;

P  p - d £ p £ p + d  = 1-a

d = Z a /2

p( 1- p ) n

Resolviendo la ecuación anterior para n produce la siguiente formula para el tamaño de muestra;

n= Z

a /2

p( 1- p ) d

Note que en la anterior ecuación debe ser conocida p promedio para calcular el tamaño de la muestra. Una corrida de simulación piloto de una longitud arbitraria puede proveer de nueva cuenta una estimación para este parámetro. Un enfoque más confiable, sin embargo, es tomar ventaja del hecho de que valor máximo posible de este termino en el tamaño de:

p( 1- p )

es 0.25, cuando p promedio es igual a 0.5. Sustituyendo el máximo valor de este término en el tamaño de la muestra provee la siguiente ecuación, la cual generalmente produce un tamaño de muestra que es mayor de lo necesario; 2

n = Z a 2/2 4d

La ventaja principal de la ecuación anterior es que es independiente de los parámetros de la población; por lo que libera al usuario de realizar la corrida de simulación piloto. Ejemplo #7 Basado en el ejemplo #1 para una red de actividades la cual representa las actividades requeridas para hacer una unidad de un producto, considere que se desea determinar la proporción de productos que son producidos en 15 días o menos tal que la probabilidad es 0.95 que la estimación este dentro de 0.03 de la actual proporción de las unidades del producto.

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( 1.96 )2 = 1067 4( 0.03 ) 2

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Este calculo indica que al menos 1067 entidades deben ser especificadas para reunir las especificaciones para los intervalos de confianza sobre la proporción de las unidades de los productos.

6.4.3 Tamaño de la muestra basado en la diferencia de las Medias Dados los intervalos de confianza deseados y un nivel de significancia para las diferencias entre las dos medias de cierta variable, donde cada media esta asociada con una diferente condición del modelo, se desea encontrar el tamaño de muestra apropiado para realizar un experimento de simulación que produzca las características deseadas de los intervalos de confianza. Considere que los intervalos de confianza son simétricos alrededor de las diferencias en las medias de la población, y denote un medio del intervalo de confianza por d, tenemos;





P ( x - y ) - d £ m x - m y £ ( x + y )+ d = 1 - a

Comparando la anterior relación con la de la de los intervalos de confianza para la diferencia entre medias, se obtiene la ecuación siguiente;

n = Z a /2

S x+S y nx ny

Usando el mismo tamaño en ambas muestras, se obtiene la siguiente ecuación para la simulación del tamaño de muestra;

a /2

(S d

2 x 2

)

Por lo anterior, la simulación para uno de los dos escenarios de modelación debería generar estimaciones de las medias basados en el anterior tamaño de muestra que resulta de las características deseadas del intervalo de confianza. Como se discutió en el caso del intervalo de confianza para diferencias entre medias, usar la misma corriente de números aleatorios y el mismo tamaño de muestra para las corridas de la simulación piloto de los dos escenarios (se intenta proveer estimaciones para las desviaciones estándar) es preferible en el anterior proceso. Ejemplo #8 Basado en el ejemplo #3, suponga que se desea determinar el tamaño de la muestra para los dos escenarios de simulación para el problema que a continuación se describe. Asúmase que el tamaño de la muestra será tan grande que permita un intervalo de confianza de un 95% con una amplitud de 0.5 de año (d=0.25) para la diferencia entre las dos medias

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de la vida del instrumento. Dados los valores de la desviación estándar para una corrida piloto, la cual se baso en 100 observaciones para cada uno de los dos escenarios, así; La desviación estándar de la primer media es igual a 3.74 y La desviación estándar de la segunda media es igual a 4.18 y fueron obtenidas en una simulación piloto. 2

(1.96 ) [( 3.74 ) + (4.18 ) ] = 503 (0.25 )2

Esto significa que cada escenario debe ser al menos simulado 503 repeticiones para proveer la amplitud deseada para el intervalo de confianza sobre la diferencia entre la vida de las medias.

6.5

Técnicas de reducción de varianza

Generalmente, conforme el tamaño de la muestra estadística crece, la varianza de la muestra decrece. Como se mostró en las formulas del intervalo de confianza, la precisión de la estimación depende de la varianza de la muestra ( el cuadrado de la desviación estándar). No es muy deseable tomar tamaños de muestra grandes en la simulación de sistemas de gran escala, sin embargo, debido a que puede tomar muchas horas para su ejecución en el estudio de varios escenarios del modelo. Las técnicas de reducción de varianza son recomendadas para reducir el tamaño requerido de muestra y aún lograr una varianza relativamente pequeña. Estas técnicas fueron especialmente populares cuando las computadoras eran lentas y caras. Para un dado tamaño de muestra, el uso de los resultados de las técnicas de reducción de varianza es lograr una mejor precisión en la estimación. Dicho de otra manera, dada una requerida precisión en la estimación, los analistas requieren un tamaño de muestra menor si ellos usan una técnica de reducción de varianza en sus estudios de simulación. Métodos como muestreo estratificado, muestreo correlacionado, variantes anti-éticas, y la ruleta Rusa han sido desarrollados para la reducción de varianza. Debe de ser mencionado que las técnicas de reducción de varianza, cuando se usan de forma incorrecta, pueden generar resultados con efectos adversos (ejemplo: pudieran incrementar la varianza). Estas técnicas no tienen mucha utilidad para modelos pequeños y sencillos para los cuales el tamaño de muestra grande generalmente no toma mucho tiempo para ser ejecutados, y para modelos de gran escala es difícil usarlos apropiadamente. Debido a estos inconvenientes, y debido al incremento en la velocidad y disponibilidad de las computadoras, en la actualidad las técnicas de reducción de varianza no son muy usadas. ( Para lecturas futuras sobre este tema de la reducción de varianza en la simulación ver Law and Kelton, 1991; Moy, 1971, Pristker, 1986; Wilson, 1984.)

Referencias Bibliográficas A. M. Law and D. W. Kelton. Simulation Modeling and Analysis. Industrial Engineering and Management Science. McGraw-Hill Inc., 2nd edition, 1991. B. Concebís, “Discrete Systems Simulation”, Mc Graw-Hill, 1994 Banks, J., Carson, J.S., II, and Goldsman, D., "Discrete-Event Computer Simulation," Handbook of Statistical Methods for Engineers and Physical Scientists, 2nd ed., (H.M. Wadsworth, Ed.), McGraw-Hill, New York, 1998. J. Banks, J. S. Carson, and B. L. Nelson. Discrete-event system simulation. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 2nd edition, 1996.

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Christos Alexopoulos, Andrew F. Seila, “Advanced Methods for Simulation Output Analysis”, Proceedings of the 1998 Winter Simulation Conference,D.J. Medeiros, E.F. Watson, J.S. Carson and M.S. Manivannan, eds Ch. Harrel,B. Ghosh, yR. Borden,”Simulation using ProModel”,Mc Graw-Hill, 2003 Second edition Law, A.M., y W.D. Kelton [1991], Simulation Modeling & Análisis, 2nd ed., McGraw-hill, New York. Lawrence Leemis,” Simulation Input Modeling,”Proceedings of the 1999 Winter Simulation ConferenceP. A. Farrington, H. B. Nembhard, D. T. Sturrock, and G. W. Evans, eds. S. Ross, “Simulación, Pearson”, 1999 segunda edición.

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Capítulo 7

Lenguajes de propósito General, lenguajes de Simulación y Simuladores 7.1

Introducción

La masiva utilización de la informática en la enseñanza y en el entorno industrial , la sorprendente y revolucionaria evolución de los computadoras personales en cuanto a tamaño, costo, velocidad, softwares, etc.. han ayudado sin lugar a dudas a que la simulación digital o simulación por computadora sea hoy en día la herramienta más utilizada para realizar experimentos de simulación de sistemas. Un programa de simulación de computadora se puede definir como una secuencia de instrucciones que el usuario define para resolver un problema que puede estar plasmado en unas ecuaciones que describen a un sistema que previamente hemos modelizado mediante dichas ecuaciones. La construcción de un modelo de simulación ha pasado, de ser una labor reservada a especialistas en programación, de difícil y costosa realización, basada en procesos de lotes y en una interpretación en general elaborada a partir del procesado de tediosos listados, a ser un ejercicio estructurado alrededor de la utilización de entornos cada vez mas amables y flexibles que permiten aprovechar la característica mas destacable de la simulación : la posibilidad de estudiar la evolución dinámica de los sistemas a lo largo del tiempo. Hoy en día al ingeniero se le abren un amplio abanico de posibilidades para resolver estos problemas y para programas estas operaciones necesarias para realizar la simulación. El abanico corresponde a los distintos lenguajes que podemos utilizar para traducir nuestros modelos en un computadora y posteriormente resolverlos para obtener la simulación del comportamiento del sistema modelado. Podemos utilizar lenguajes de programación general, lenguajes específicos para simulación (Lenguajes de propósito especial) o paquetes de software de simulación especialmente preparados para la misma. Aunque se han utilizado para realizar el ejercicio de la simulación ciertas herramientas como el EXCELL y Paquetes Integrados de Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones, estos la limitan en su alcance. A la hora de elegir una herramienta u otra hay que tener en cuenta primeramente la velocidad de ejecución de los programas y la utilización de recursos necesaria (memoria, coprocesadores, etc...). Hay distintos niveles de lenguajes, en el más bajo nivel se encuentra el lenguaje máquina cuyas instrucciones se escriben en la notación binaria que corresponden directamente con las funciones u operaciones elementales. Este lenguaje es sin duda el más tedioso y menos práctico de utilizar. En un nivel superior se encuentran el lenguaje ensamblador que utiliza símbolos (caracteres) nemónicos para representar dichas funciones. Los lenguajes de alto nivel o lenguajes de propósito general tales como C, Fortran, Basic, Cobol, Lisp , Algol, Pascal ,etc. normalmente alejan al programador de las tareas de bajo nivel de la computadora y suelen ir apoyados en un conjunto de librerías que en el caso de la simulación facilitan mucho la tarea de modelizar los sistemas y reducen normalmente el tiempo de ejecución del programa. En los años sesenta se realizaban estudios de simulación cuyos costos se medían en añoshombre y su duración en meses. En los setenta aparecieron diversos lenguajes específicamente orientados a la simulación tales como SIMSCRIPT, etc. La década de los ochenta supuso la adaptación sobre PC de productos ya existentes y la aparición de nuevos productos como SIMAN. Los noventa han protagonizado hasta ahora una auténtica explosión de nuevos productos de

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manejo más intuitivo bajo entornos gráficos como Windows. Es el caso de Simfactory, ProModel, Witness, Arena, Taylor II o Simvox, por ejemplo. La evolución de los computadoras y del software comercial se dirige hacia sistemas que puedan ser manejados por personas no-especialistas, con máquinas cada vez más potentes a menor coste. Las técnicas orientadas al objeto conducen a programas de utilización más intuitiva. Todo ello nos sugiere un incremento considerable de la aplicación de las técnicas de simulación. Sin embargo, a pesar de todo, se estima que en el mercado norteamericano, que es el más desarrollado, sólo se tiene en cuenta la aplicación de técnicas de simulación en un 30% de los casos en los que podría aplicarse , y de este porcentaje , sólo en el 10% de los casos se utiliza regularmente. En Europa las cifras son menores, situándose en torno al 3%, a excepción de Inglaterra donde dicho porcentaje se eleva al 15%. En el caso de utilizarse un lenguaje específico de simulación, la limitación está en que no permite desarrollar más allá de para lo que está pensado y diseñado el software, pero como contrapartida está que el usuario sólo precisa disponer de los conocimientos de programación relativos al producto. Los productos de modelización visual permiten realizar prototipos en tiempos récord siempre que los objetos a utilizar coincidan exactamente con los disponibles en el producto. En la medida que se requieran objetos específicos hay que recurrir a la programación. La Simulación Visual Interactiva, que puede definirse como aquella que posibilita la creación gráfica de modelos de simulación, permite mostrar por pantalla dinámicamente el sistema simulado, así como la interacción entre el usuario y el programa en ejecución. La interacción implica que o bien se detiene la simulación y solicita información al usuario, o bien que éste puede parar la simulación a su voluntad e interaccionar con el mencionado programa ; esto último se puede realizar ”off-line” o “on-line”, es decir sin interrumpir la simulación, e introduciendo las variaciones oportunas tanto en los modelos, como en los valores de las variables en el siguiente ciclo de scan del proceso de ejecución del programa en la computadora que para esto debe tener una estructura multitarea que permita este tipo de operaciones. Algunos productos del mercado son: SIMFACTORY DE CACI Inc., PROMODEL de ProModel Corporation , ARENA de Rockwell Software Inc., WITNESS de ATT & Istel , o FACTOR/AIM de Pritsker Corporation , FIX DEMACS de Intellution (FisherRosemount). Todos ellos son productos orientados primordialmente a la utilización de la simulación para la resolución de problemas en el ámbito de la producción. Utilizables desde entorno Windows, y ejecutables sobre computadoras personales o sobre plataformas mas potentes como Estaciones de trabajo (Workstations). Estos permiten construir modelos complejos de manera incremental, a partir de la selección de componentes del sistema de entre un repertorio limitado a la extensión de las librerías que contienen unas entidades predefinidas, si bien las ultimas tendencias añaden a estos paquetes editores para crear nuevas plantillas con características a gusto del consumidor, introduciendo además utilidades de todo tipo incluidas las gestiones de configuración y control de las comunicaciones con un sistema de control real al que se puede conectar el equipo. Ventajas:  Sirven para comunicar la esencia del modelo de simulación a los directivos.  Puede ayudar a corregir errores del programa de simulación, o a mostrar que el modelo no es válido.  Puede ayudar a entender el comportamiento dinámico del sistema. Inconvenientes:  No puede sustituir a un cuidadoso análisis estadístico de los resultados.

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Sólo una parte de la lógica del modelo de simulación puede verse en la animación, y no se puede concluir a partir de ese corto periodo de tiempo que el modelo está bien definido. Aumenta el tiempo para desarrollar el programa de simulación. Muy lenta la animación en directo.

Otro enfoque se puede derivar de los lenguajes de simulación y de los simuladores es el de los Sistemas Híbridos que combinan la flexibilidad de un lenguaje de simulación con la facilidad de uso de un simulador como lo son el ARENA y el QUEST.

7.2

Simulación en Hoja Electrónica de cálculo y Paquetes Integrados.

La hoja electrónica es una plataforma de modelación viable pero tiene sus limitaciones, en amplitud del conocimiento técnico requerido y en el tamaño de los modelos aceptados. Los usuario expertos pueden extender de forma significativa las capacidades de la hoja electrónica (como Excel) con un lenguaje de programación de propósito general (como Visual Basic VBA), pero tales tópicos generalmente caen fuera del alcance del los cursos cuantitativos. Generalmente en un curso el estudiante permanece novicio en las herramientas cualitativas para la administración. Por esto, un curso de reconocimiento deberá proveer el conocimiento básico del rango de técnicas, una comprensión suficiente de las características mas relevantes de la técnica y lo mas importante, una apreciación de que es aún no familiar con respecto a la técnica. La simulación analítica cae en dos categorías:  Muestreo o Simulación de Monte Carlo, y  La simulación de procesos (o simulación de eventos discretos). Evans (2001) describe estos como simulación de Monte Carlo o simulación con riesgo y sistemas de simulación, respectivamente. Las aplicaciones del Monte Carlo en simulación son perfectas para simularse en una hoja electrónica, son usadas para examinar el riesgo o incertidumbre asociada con modelos estáticos o simulaciones que incluyen enfoques de búsqueda de actividades. Pueden ser analizados en la hoja electrónica algunos modelos típicos como son: modelos de inversión, modelos de inventarios, modelos sencillos de líneas de espera.(Ragsdale, 2001; Camm y Evans, 1996). LA hoja electrónica fácilmente recalcula un modelo, sus funciones proveen generadores de números aleatorios , y tiene capacidad plena de grabar y analizar los datos generados de la simulación. Cercanamente todos los textos incluyen un capítulo sobre la simulación, un capítulo generalmente enfocado a la simulación de Monte Carlo. Adiciones como @Risk y Crystal Ball, io_jensen_excel, y MS Courseware de Hillier y Lieberman incrementan significativamente la habilidad del usuario para conducir, y enseñar método de Monte Carlo en simulación, también como realizar análisis de riesgo en estudios de simulación o proyectos estudiantiles y tésis. La simulación de procesos no son del todo aplicables para las hojas electrónicas. La simulación de procesos es usada para capturar cambios de estado de los sistemas complejos con respecto al tiempo, particularmente cuando los cambios de estado son definidos poe eventos dentro del sistema. Las interacciones dinámicas y el orden incierto de los eventos dificultan para capturar un modelo en una hoja electrónica sin de alguna manera aumentar las capacidades de la misma. Ejemplos típicos pueden incluir operaciones de mantenimiento incluyendo demandas

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sobre recursos limitados y eventos no predecibles de falla, procesos de producción incluyendo los ciclos dentro de estaciones de trabajo en una instalación, o aún modelos complejos de combate con sistemas interactivos múltiples envueltos en un conflicto. Estas aplicaciones más complicadas y con frecuencia mas realistas de la simulación no son discutidas o muy brevemente mencionadas cuando se hace referencia a paquetes de simulación mas sofisticados. Excepciones se incluyen Camm y Evans (1996), Evans y Olsen (1998), y Laurence y Pasternack (1998) cuyos trabajos incluyen versiones estudiantiles de esos poderosos paquetes. Estas excepciones son, sin embargo admitidamente limitadas en el tiempo y espacio dedicado a discutir como usar esos poderosos paquetes de simulación. Un visión de fracaso de la simulación debido a las limitaciones de la hoja electrónica se observa cuando se tiene una completa apreciación del poder y los beneficios de la simulación como una técnica cuantitativa. Para subsanar esta limitación, existen algunos paquetes como el SimQuick. SimQuick (Hartvigsen, 2001) es un paquete de simulación orientado al proceso para excel. SimQuick no es una adición para Excel (tal como un archivo .xla ), en su lugar es una plantilla de hoja electrónica en la cual el usuario especifica los elementos de una simulación, la parametrización de estos elementos, y la conexión entre los elementos. Estas especificaciones son indicadas a el SimQuick via tablas de una hoja electrónica particular cuyo acceso esta controlado vía menús del VBA dentro de la hoja electrónica del SimQuick, el SimQuick puede ser descrito como un paquete de primera generación, repleto de limitaciones importantes cuando es comparado con paquetes maduros de propósito especial (simuladores) tales como Extend, Witness, Taylor Ed, ProModel, o Arena. Si embargo, encontramos que el SimQuick, a pesar de sus limitaciones, es muy adecuado para proveer una herramienta de hoja electrónica con la cual enfocarse en las características de salida del proceso de simulación, además de proveer una cobertura completa de la simulación como una técnica cuantitativa. Algunos paquetes de métodos Cuantitativos para la toma de decisiones incorporan módulos en sus menús para resolver problemas de poca complejidad que requieren el uso de la simulación. Entre estos tenemos el SIMNET II incluido en el TORA del libro de Investigación de Operaciones, Hamdy A. Taha, Editorial Mcmillan y el QSIM incluido en el WinQSB, Versión 2.0 por Yih-Long Chang, Kiran Desai, editorial Wiley. Página de la cual puedes bajar el WinWSB http://personalpuntocom.tripod.com.pe/winqsb.html SIMNET II SimTec, Inc., P.O. Box 2492, Fayettville, AR 72702 Phone:(479)756-6146 FAX:(479)75-7446 email: hat@engr.uark.edu http://web.ineg.uark.edu/Fsimnet/Fsimnet.htm

7.4

LENGUAJES DE SIMULACIÓN (Lenguajes de propósito especial)

7.4.1 Introducción Los lenguajes de simulación facilitan enormemente el desarrollo y ejecución de simulaciones de sistemas complejos del mundo real. Los lenguajes de simulación son similares a los lenguajes de programación de alto nivel pero están especialmente preparados para determinadas aplicaciones de la simulación. Así suelen venir acompañados de una

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metodología de programación apoyada por un sistema de símbolos propios para la descripción del modelo por ejemplo mediante diagramas de flujo u otras herramientas que simplifican notablemente la modelización y facilitan la posterior depuración del modelo. Características de los lenguajes de simulación:  Los lenguajes de simulación proporcionan automáticamente las características necesarias para la programación de un modelo de simulación, lo que redunda en una reducción significativa del esfuerzo requerido para programar el modelo.  Proporcionan un marco de trabajo natural para el uso de modelos de simulación. Los bloques básicos de construcción del lenguaje son mucho más afines a los propósitos de la simulación que los de un lenguaje de tipo general.  Los modelos de simulación son mucho más fácilmente modificables.  Proporcionan muchos de ellos una asignación dinámica de memoria durante la ejecución,.  Facilitan una mejor detección de los errores.  Los paquetes de software especialmente diseñados para simulación contienen aplicaciones diversas que facilitan al simulador las tareas de comunicaciones, la depuración de errores sintácticos y de otro tipo de errores, la generación de escenarios, la manipulación “on-line” de los modelos, etc.  Son muy conocidos y en uso actualmente  Aprendizaje lleva cierto tiempo  Simuladores de alto nivel  Muy fáciles de usar por su interfase gráfica  Restringidos a las áreas de manufactura y comunicaciones  Flexibilidad restringida puede afectar la validez del modelo Entre estos lenguajes específicos podemos nombrar los siguientes : MIDAS, DYSAC, DSL , GASP, MIMIC, DYNAMO, GPSS, SIMULA, CSSL( Continuous System Simulation Language) , CSMP, ACSL ( Advanced Conrinuous Simulation Language), DARE-P and DARE-Interactive, C-Simscript, SLAM, SIMAN, SIMNON, SIMSCRIPT-II-5, ADA, GASP IV, SDL. Muchos de estos lenguajes dependen fuertemente de los lenguajes de propósito general como es el caso de SLAM o SIMAN que dependen de Fortran para las subrutinas. Por otro lado, el GPSS es un caso especial de un lenguaje de simulación de propósito especial, altamente estructurado que esta orientado a la transacción, un caso especial de una orientación basada en procesos más general. El GPSS fue diseñado para la simulación simple de sistemas de colas tales como trabajos de taller. A diferencia de los otros lenguajes de simulación, GPSS tiene varias implementaciones incluyendo GPSS/H y GPSS/PC, ambos de los cuales serán discutidos mas adelante. El SIMAN V, SIMSCRIPT II.5, y el SLAM son lenguajes de simulación de alto nivel que tienen constructor especialmente diseñados para facilitar la construcción de modelos. Estos lenguajes proveen al analista de simulación con una opción orientación basada en procesos o basada en eventos, o un modelo usando una mezcla de las dos orientaciones. A diferencia del FORTRAN, estos tres lenguajes proveen la administración de la lista de eventos futuros, generador interno de variables aleatorias, y rutinas internas para la obtención de estadísticas (estas características para las implementaciones del GPSS mencionadas previamente.) Se pueden lograr calculo complejos en ambas implementaciones del GPSS y estos tres lenguajes. El SIMAN, SIMSCRIPT II.5, y el SLAMSYSTEM proveen la capacidad de realizar simulación continua ( esto es, para modelar sistemas que tengan continuamente cambios en sus variables de estado) pero este tema no esta dentro del alance de este libro.

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El SIMAN esta escrito en C, aunque las primeras versiones del lenguaje fue escrito en FORTRAN. El SIMAN V puede ser accesado directamente, o a través del medio ambiente del ARENA. El SLAMSYSTEM contiene al lenguaje de simulación SLAM II. El SLAM II esta basado en el FORTRAN y contiene al lenguaje GASP como un subconjunto. El GASP es un conjunto de subrutinas en FORTRAN para facilitar las simulaciones orientadas al objeto escritas en FORTRAN. El SIMSCRIPT II.5 por otro lado, contiene un subconjunto de un completo lenguaje científico de simulación comparable con el FORTRAN, C o C++. El MODSIM III es un descendiente del lenguaje que la compañía de productos CACI originalmente diseñado por la armada de los Estados Unidos. Hereda mucha de su sintaxis del MODULA-2 y del ADA, ciertas características del ADA y sus conceptos de simulación del SIMSCRIPT y el SIMULA. Algunas de las características de la simulación orientada al objeto fueron originalmente vistas en el SIMULA y el SMALLTALK

7.5

SIMULADORES

7.5.1 Introducción Son paquetes que permiten simular algunos tipos de sistemas con poca o ninguna necesidad de programar. Los sistemas se seleccionan a base de menús y de gráficos.  Ventaja: Ahorran tiempo de programación  Inconveniente: Están limitados a modelizar solamente las configuraciones de sistemas que permite el simulador. Tienen por tanto poca flexibilidad. Si nuestro sistema real no se adapta a ninguna de las configuraciones que tenga programadas el simulador, no deberíamos utilizarlo. Las ejecuciones son más lentas por lo comentado en el apartado anterior.

7.5.2 Simulador ProModel ProModel es una herramienta de simulación que funciona en computadoras personales en un ambiente Windows. Mediante una combinación ideal de facilidad de uso, flexibilidad y potencia, permite diseñar y analizar sistemas de producción y servicios de todo tipo y tamaño y modelar prácticamente toda situación, en forma casi real, mediante sus capacidades gráficas y de animación. ProModel fue concebido como una herramienta para ingenieros y gerentes que desean lograr reducciones de costos, mejoras en la productividad e incrementar las ventajas estratégicas en la producción de bienes y servicios. En resumen, con la simulación se tiene la habilidad para determinar el uso de los recursos disponibles – personal, equipo e instalaciones – mas eficiente y productivamente. No se necesita que el ingeniero o modelador tenga una gran habilidad para programar. Mediante su interfase gráfica y el uso de pequeños modelos preconstruidos, permite modelar sistemas complejos de producción y servicios en forma fácil y rápida. ProModel por otra parte, se puede utilizar como un medio muy efectivo para probar y generar nuevas ideas de diseño y mejoramiento, antes de realizar las inversiones y/o modificaciones necesarias para construir o mejorar estos sistemas. En la misma forma sirve para identificar cuellos de botella, seleccionar la alternativa que ofrezcan la mejor relación beneficio-costo y hacer Análisis de Sensibilidad (¿Qué pasaría sí?).

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Como un simulador de eventos discretos, ProModel esta concebido para modelar sistemas de manufactura discreta (unidad por unidad), sin embargo, muchos sistemas de manufactura continua pueden ser modelados convirtiendo unidades a granel en unidades discretas tales como galones o barriles. Adicionalmente se puede adaptar fácilmente para modelar sistemas de servicios de salud (Centros de atención medica) o procesos financieros entre otros. Algunas aplicaciones típicas de ProModel son las siguientes:          

Líneas de ensamble Sistemas de manufactura flexible Producción por lotes Justo a tiempo (JAT) y Sistemas de producción KANBAN. Sistemas de colas. (Para servicios o manufactura tales como líneas de empaque). Optimización de la distribución en planta y el manejo de materiales. Servicio Financieros Logística Reingeniería de Negocios Evaluación, planeación y re-diseño de sistemas de servicios

ProModel es capaz de modelar aún los sistemas más complejos. Debido a que el ProModel provee un enfoque directo e intuitivo a la modelación, es atractivo a profesores de programas en ingeniería y administración quienes están interesados en enseñar los conceptos de modelación y análisis sin tener que enseñar programación. Mientras que la mayoría de los sistemas pueden ser modelados al seleccionar un conjunto completo de elementos del ProModel (ejem. Recursos, tiempos muertos, locaciones, entidades, etc.) y modificar los parámetros apropiados, se provee también una capacidad completa de programación si es necesaria para modelar situaciones especiales. Funciones predefinidas incluyen funciones lógicas if-then-else, expresiones Booleanas, variables, atributos, arreglos y además acceso a hojas electrónicas y archivos de texto externos. Para aquellos que prefieren códigos lógicos complejos usando un lenguaje de programación tal como C++ o Visual Basic, se pueden encadenar dinámicamente subrutinas externas a el modelo y llamarlas desde cualquier parte del modelo al momento de su ejecución. El ProModel también puede ser controlado como un objeto COM, y ejecutarse directamente desde aplicaciones externas tales como Microsoft Excel o PowerPoint, o desde una interfase VB. De esta forma, ProModel permite a todos los miembros del equipo de toma de decisiones usar las herramientas con las que se siente mas a gusto, proveyéndoles una flexibilidad total. El ProModel también provee varias funciones de distribución predefinidas, las cuales junto con secuencias de números aleatorios, proporciona valores aleatorios de acuerdo a la distribución estadística. Para ayudar al usuario en la selección de la distribución de probabilidad apropiada para un conjunto de datos, el programa Stat:Fit es incluido en el ProModel. El Stat:Fit es un software de ajuste de datos que ajusta distribuciones analíticas a los datos del usuario. El desarrollo del modelo es completamente gráfico y orientado a objetos. A su máxima extensión posible, todos los datos son dados gráficamente con información agrupada por tipo de objeto y representada en forma de tabla para un acceso rápido e intuitivo. Por ejemplo, cuando el modelador define una máquina el modelador también define el icono de la máquina, su capacidad, características de tiempos muertos, reglas de entrada y salida de datos, estadísticas deseadas, etc.

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El ProModel compila con los estándares GUI (Graphical User Interface), el cual significa individuos familiarizados con otros programas de Windows tales como procesadores de datos y hojas electrónicas no tengan problema aprendiendo como usar el ProModel. Esta forma de suministrar los datos minimiza la curva de aprendizaje para principiantes y maximiza la eficiencia para modificar modelos grandes y complejos. Una característica única en el ProModel es la habilidad de invocar menús tipo Popup, dependiendo del contexto actual, este facilita al usuario en definir cualquier estatuto o expresión. Este constructor lógico permite que pueda darse cualquier estatuto o expresión usando el mouse. Además elimina la necesidad de recordar el nombre de una variable o de otro elemento que el usuario desee hacer referencia, a través de seleccionar su nombre de una lista contenida en un recuadro. Proporciona documentación conveniente en línea a través del sistema de ayuda integrada del ProModel y un tutorial en línea. El sistema de ayuda usa el sistema de ayuda del Windows que permite máxima flexibilidad para buscar cualquier cosa desde la sintaxis del comando hasta la descripción de la construcción del modelo. El ProModel también provee tutoriales que contienen lecciones rápidas sobre como construir el modelo, como ejecutarlos, como tener acceso a reportes, y como modelar varias aplicaciones con el Software. Para reducciones futuras del tiempo de desarrollo, el ProModel provee capacidades de fusión de modelos que permiten a varios modelos individuales trabajar de forma separada en diferentes secciones de un modelo mayor. Adicionalmente, celdas que son comúnmente definidas o usadas en decisiones lógicas pueden ser almacenadas como plantillas de submodelos las cuales eliminan la necesidad de “re-inventar la rueda” con cada modelo. Estas plantillas pueden ser tener parámetros especialmente diseñados que pueden ser cambiados por el usuario. El desarrollo de la animación es integrado con la definición del modelo. Un inconveniente de muchos softwares de simulación es que su desarrollo de animación depende del desarrollo del modelo de simulación. Esto hace que sea lento e inconveniente para los ingenieros al usar la animación como una herramienta de validación/verificación. ProModel integra el desarrollo de la definición sistema y animación en un proceso. Mientras que defina la ruta de las entidades por las locaciones, transportadores, rutas de VGA (Vehículos guiados automáticamente) y otros elementos, el usuario desarrolla esencialmente la distribución de forma animada.. La pantalla de la distribución puede ser cambiada en su escala para representar la distribución actual de la fábrica. Los resultados de la simulación son informativos y pueden ser mostrados en forma tabular y gráfica. Muchos otros softwares de simulación requieren comandos especiales para generar estadísticas que son difíciles de interpretar para usuarios no familiarizados con la simulación. ProModel permite la selección rápida y conveniente de los reportes de todas las medidas de desempeño del sistema. Los reportes de resultados de varias corridas de simulación pueden ser comparadas en una sola gráfica. EL ProModel se puede correr en cualquier computadora Pentium estándar o más rápida con sistema operativo Windows 95, Windows 98, Windows NT, Windows 2000, Windows Milenium,, o Windows XP. Las licencias están disponibles tanto para plataformas de un usuario como cómo para plataforma de redes. El ProModel no requiere ningún tarjeta gráfica especial o monitores especiales, haciendo conveniente y de costo efectivo para las compañías e instituciones académicas usando PC´s estándar. PROMODEL Corporation 1875 S. State Street, Suite 3400 Orem, UT 84097 Phone: (801) 223-4600 Fax: (801) 226-6046

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