LAS SITUACIONES DE BROUSSEAU COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA FORMALIZACIÓN DE SIGNIFICADOS ASOCIADOS A PROBABILIDAD Y ALGUNAS TÉCNICAS DE CONTEO WILLIAM REINALDO GONZÁLEZ GONZÁLEZ* M.sc. ANA CECILIA MEDINA MARIÑO** Dir. Proyecto de Aula
Licenciatura en Matema ticas y Estadí stica – UPTC. -Duitama Resumen En el presente artículo se expone el análisis y valoración de la idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza-aprendizaje destinado a 36 estudiantes de grado noveno del colegio Guillermo León Valencia de Duitama, el cual pretendía formalizar significados asociados a nociones de probabilidad y técnicas de conteo, haciendo uso de la metodología didáctica “Situaciones de Brousseau”. En primer lugar se exploran las intuiciones que poseen los estudiantes en relación a probabilidad; seguido de la aplicación de un proceso secuencial de enseñanza para la formalización de estas nociones, y finalmente se valora el proceso mediante los criterios de idoneidad didáctica que ofrece el enfoque Ontosemiótico. Palabras Clave: Enfoque Ontosemiótico, Probabilidad, Situaciones de Brousseau , Enseñanza-Aprendizaje, Idoneidad Didáctica, Abstract This article presents the analysis and evaluation of educational adequacy of the processes of teaching and learning for 36 students from ninth grade school Duitama Guillermo Leon Valencia, which sought to formalize the meanings associated with notions of probability and counting techniques , using teaching methods "Brousseau Situations." First we explore the insights that students have regarding probability, followed by application of a sequential process of learning to formalize these notions, and finally assesses the process by teaching the eligibility criteria provided by the onto-semiotic approach.
*
E-mail: reyngogo yahoo.es ** E-mail: aceciliamedina@gmail.com
INTRODUCCIÓN El informe que se presenta corresponde a la investigación desarrollada en el Proyecto Pedagógico VII, que se cursa en el XI semestre de la Licenciatura en Matemáticas y Estadística de la U. P. T. C, Facultad Seccional
Duitama.
Esta
investigación
de
tipo
exploratorio
(documental), experimental y descriptivo, se lleva a cabo conjugando los diferentes componentes que intervienen en la formación del Licenciado en Matemáticas y Estadística. El informe se realiza dentro del área de la pedagogía, en el campo conceptual de la enseñanza-aprendizaje; desde esta perspectiva, esta investigación se enfocó en un tema que aporta a la formalización de algunos
de
los
conceptos
de
probabilidad,
tema
de
amplia
aplicabilidad en diferentes ámbitos y contextos de la vida diaria, dotando así, al Licenciado en Matemáticas y Estadística de nuevos elementos teóricos para el correcto desarrollo en su área de formación profesional. El informe es presentado a través de tres capítulos. Inicialmente se plantea el proceso de evaluación del aprendizaje y resultados, enseguida y a manera de articulo se reportan los resultados de la investigación en el aula, desde dos perspectivas: los logros alcanzados por los estudiantes y los avances en el desempeño profesional del profesor, allí están contenidos los referentes teóricos que apoyaron el proyecto, la propuesta secuencial de enseñanza, los resultados de la propuesta, con el análisis de algunas situaciones de aprendizaje desarrolladas por los estudiantes presentando evidencias; y finalmente las conclusiones y sugerencias, en donde se exponen las debilidades y fortalezas, acompañada de la bibliografía y los anexos del proyecto de aula.
EL DIAGNÓSTICO El siguiente diagnóstico muestra la primera etapa de un proyecto de investigación en el aula que se desarrolla en la asignatura: Proyecto Pedagógico Matemáticas
VII y
del
onceavo
Estadística,
semestre
de
asignatura
la
que
Licenciatura
contribuye
en
en
el
conocimiento práctico y profesional en la formación de docentes. En él se describen las intuiciones iniciales que presentan los estudiantes del grado noveno (902) del colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama, en relación a los conceptos de probabilidad y algunas técnicas de conteo. La información se ha recolectado a través de la aplicación de un cuestionario diagnostico, el día 26 de abril del año en curso a un total de 37 estudiantes cuyas edades oscilaban entre los 1315 años, quienes cursan el noveno grado de preparación académica. ANÁLISIS DE RESULTADOS DEL CUESTIONARIO INICIAL El siguiente gráfico resume los porcentajes de estudiantes que carecen de intuiciones iniciales para la enseñanza de probabilidad y algunas técnicas de conteo que resultan al resolver un cuestionario diseñado, teniendo en cuenta las diferentes facetas de intuiciones
en los
enteros propuestas por Godino y otros(1996).
ESTADO DEINTUICIONES LAS INTUICIONES DE LOS ESTUDIANTES ESTADO DE LAS DE LOS ESTUDIANTES CON RESPECTO CON RESPECTO A LAS NOCIÓNES DE PROBABILIDAD A LAS NOCIÓNES DE PROBABILIDAD
FACETAS
La intuición del azar
53%
La intuición de la frecuencia relativa
15%
38%
La estimación de probabilidades
31%
Operaciones combinatorias
35% 7%
43% 0
20
32%
PRIMARIO SECUNDARIO
62% 12%
40
27%
BAJO
45% 60
80
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES
100
La carencia de la intuición en cada una de las categorías es mayor al 25%, una explicación a estos resultados, son las adquisiciones cognitivas que se derivan directamente de la experiencia, sin necesidad de ninguna instrucción sistemática. Ejemplo de ellas son las instituciones espaciales elementales, o la apreciación de que al lanzar un dado todas las caras tienen la probabilidad de salir, categorizada por Fishcbein(1975) como intuiciones primarias.
Protocolo A
Al proponer al estudiante definir algunos términos probabilísticas como: azar y experimento, el significado personal que le es dado a “experimento” por algunos estudiantes no se alejan del significado implementado por la comunidad científica como se puede observar en los Protocolo A y B, sin embargo un 32% de los estudiantes define la palabra azar con simples expresiones como la que es presentada en el protocolo C y otras tantas como: “a la suerte”, “que no se sabe cual sea su resultado”, “juego donde nunca se sabe que va a salir”,… entre otras, deja al descubierto Protocolo C
que se
carece de una formalización por la educación científica, donde según Fishcbein(1975) se forme una intuición secundaria, ya que una de las dificultades
de
la
en
la
estimación
probabilística se debe a la imprecisión del lenguaje ordinario, categorizada por Godino y otros (1996) como uno de los sesgos en la estimación de probabilidades referidos al lenguaje. Esto pudo apreciarse de manera detallada
Protocolo D
Protocolo B
cuando al grupo de estudiantes se le pidió asignar un número entre O y 1 a algunas expresiones probabilísticas, según el grado de probabilidad que consideraba implicaban (Protocolo D), allí las respuestas dadas por el grupo de estudiantes, fueron bastante heterogéneas, se evidencio la afirmación realizada por Godino y otros (1996): “a una misma expresión, relativa a fenómenos pueden o no ocurrir personas diferentes suelen atribuir distintos grados de probabilidad” Hope y Kelly (1983) opinan que es necesario que el profesor ayude al alumno a distinguir entre aquellas situaciones que exigen una descripción precisa de probabilidades y las que no. Son muy pocos los estudiantes que cuentan con las construcciones mentales que globalmente anticipan la solución a un problema antes de que se hayan encontrado los pasos detallados de la misma (intuiciones anticipatorias), por Protocolo E
ejemplo al proponerle al estudiante la situación: “Un individuo debe seleccionar comités a partir de un grupo de 10 personas (cada persona puede formar parte de más de un comité).” Y pedirle que escogiera entre tres diferentes afirmaciones la
estimación
de
donde
la
probabilidades, respuesta
correcta
afirmación
es
Protocolo F
para
la c,los
estudiantestienden a responder b porque lesparece más difícil encontrar comités de 8 así lo afirma
Godino, Batanero, &
Castellanos(1996). Sin embargo una cantidad de estudiantes responden correctamente (Protocolo F), argumentando con expresiones donde son vinculados algunos términos como orden, repetición, entre otros.
Piaget e Inhelder afirman que, durante la etapa de las operaciones formales, el niño adquiere la capacidad de usar procedimientos
Protocolo G
Protocolo H
Protocolo I
sistemáticos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, de un conjunto dado de elementos, situación evidenciada tras las respuestas a la formulación “¿de cuantas formas puede combinar una persona 4 camisas y 5 pantalones?”un 55% de los estudiantes utilizan diferentes recursos gráficos para encontrar una solución, como se aprecia en los protocolos G, H, I, obteniendo una respuesta correcta sin embargo, la investigación de Fishcbein ha demostrado, que esto es solo una potencialidad para la mayoría de los sujetos(Godino, Batanero, & Castellanos, 1996). Bajo su punto de vista, sería más preciso afirmar que estos estudiantes son capaces de asimilar procesos combinatorios con la ayuda de la instrucción, esto se evidencio con una minoría no despreciable de estudiantes (45%) quienes responden a este interrogante con algunas respuestas como: “de muchas formas”,… sin dar un número exacto o no responder, lo cual conduce a una carencia significativa de la faceta: intuición de las operaciones combinatorias categorizada así por Godino, Batanero, & Castellanos(1996)
3. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El cálculo de probabilidades es en la actualidad una rama de extraordinaria vitalidad dentro de la matemática por sus muchas aplicaciones y por el grado de formalización que ha alcanzado (Godino, Batanero, & Castellanos, 1996), La intuición probabilística no se desarrolla espontáneamente, la comprensión interpretación evaluación y predicción de fenómenos probabilísticos no pueden ser confiados a intuiciones primarias que han sido despreciadas, olvidadas y en un estado rudimentario de desarrollo bajo la presión de esquemas operacionales que no pueden articularse con ellas. Este problema amerita el diseño e implementación de secuencias didácticas amparadas bajo una propuesta didáctica, encaminada a favorecer los procesos de enseñanza-aprendizaje para formalizar los significados asociados a la probabilidad y algunas técnicas de conteo de los estudiantes de grado noveno del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ¿El uso de las situaciones de Brousseau como herramienta didáctica facilitará la formalización de significados asociados a la probabilidad y a algunas técnicas de conteo?
JUSTIFICACIÓN La realización del proyecto de aula permite al educador matemático en formación, asumir los roles del docente en una institución y por otro lado vivenciar la ejecución de un proceso de enseñanzaaprendizaje, detectando, y, en lo posible corrigiendo los errores más relevantes que presentan los estudiantes, así mismo su ejecución es importante para los estudiantes; ya que permitirá formalizar o
construir las intuiciones de probabilidad, contribuyendo a que las debilidades se conviertan en fortalezas, y a la vez desarrollando competencias y actitudes positivas frente a las matemáticas.
OBJETIVOS GENERAL
Implementar las situaciones de Brousseau como herramienta didáctica para la formalización de las nociones de probabilidad y algunas técnicas de conteo en estudiantes de grado noveno del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama. ESPECÍFICOS Identificar a través de los instrumentos de diagnostico las intuiciones iniciales de los estudiantes de grado noveno acerca de las nociones de probabilidad y algunas técnicas de conteo. Revisar la literatura acerca de las propuestas de enseñanza proporcionadas por la comunidad científica para la enseñanza de la probabilidad y algunas técnicas de conteo Diseñar e implementar
la propuesta secuencial de enseñanza
enmarcada en la propuesta didáctica elegida para la realización del proyecto. Analizar y evaluar la secuencia didáctica desde su pertinencia y grado de idoneidad didáctica.
MARCO TEÓRICO A continuación se presentan desde diferentes perspectivas las nociones teóricas que guían el desarrollo del proyecto de aula con los estudiantes del grado noveno del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama en relación a las nociones de probabilidad y técnicas de conteo. Inicialmente se expone la perspectiva histórica, en donde se exhibe un análisis histórico del concepto de probabilidad tomado de Godino y otros (1996), seguido de una configuración epistémica del mismo
concepto;
luego
desde
una
perspectiva
cognitiva,
se
consideran: las nociones que en el diagnóstico preliminar, permitieron identificar las intuiciones de los estudiantes asociadas al concepto de probabilidad, allí, se presenta una síntesis de la investigación del desarrollo psicológico de la intuición probabilística en el niño, tomado de Godino y otros (1996) quienes resumen los principales resultados hallados en la bibliografía acerca de la génesis de la idea de azar y probabilidad desde la infancia a la adolescencia según Fishcbein(1975), además se consideran la noción de intuición ( y sus distinciones) propuesta por Fishcbein (1975) , las diferentes facetas intuitivas con respecto a las nociones de probabilidad y técnicas de conteo del adolecente únicamente en el periodo de las operaciones formales(de acuerdo a las características de la población a trabajar) analizadas por Godino y otros (1996) y por último la noción de aprendizaje (Godino J. , 2011). Y desde una perspectiva didáctica, se muestran algunas de las propuestas elaboradas por la comunidad científica para la enseñanza de la probabilidad, haciendo énfasis en la que se va a elegir para el desarrollo del proyecto de aula.
PERSPECTIVA HISTÓRICA El siguiente análisis histórico son apartes del análisis realizado por Godino y otros (1996), en el libro: “Azar y Probabilidad” perteneciente a la colección Síntesis. Según David (1978), citado por Godino y otros (1996), la matemática es esencialmente una expresión del pensamiento que construimos sobre el esfuerzo mental de nuestros antepasados, y la probabilidad no es una excepción a esta regla. Origen de los juegos de azar En Grecia y Roma se practicaban juegos de azar usando el hueso denominado astrágalo se practicaban con verdadero celo y pasión. Homero (900 a.C.) cuenta que cuando Patroclo era pequeño, se enfado tanto con un oponente jugando con el astrágalo que casi le mató. En roma alcanzaron tal popularidad que fue necesario promulgar leyes para prohibirlos en ciertas estaciones. El cálculo combinatorio no parece haber sido cultivado por los antiguos. El interés por el se despierta en los siglos XVI y XVII. Leibniz publicó el tratado de arte combinatoria en 1660 y Wallis de combinatioribusalternatioribuset partibus aliquotistractatus en 1685. Parece haber costado a la humanidad varios cientos de años acostumbrarse a un mundo en el que algunos sucesos no tienen causa, o al menos, donde grandes clases de sucesos están determinados por una causalidad tan remota que pueden representarse de un modo más preciso por un modelo no causal. Apenas echados los cimientos de
la teoría, comenzaron
sus
aplicaciones a la construcción de tablas de mortalidad, rentas vitalicias, etc. A finales del siglo XVII es cuando surgen las compañías de seguros. Detrás de los problemas de juegos se perfilan nuevos
objetivos, basados en las posibilidades que las nuevas ideas ofrecen, de cara a prever el futuro a partir del pasado y del presente. CONFIGURACIÓN
EPISTÉMICA
ASOCIADA
A
LA
NOCIÓN
DE
PROBABILIDAD Y ALGUNAS TÉCNICAS DE CONTEO: Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de referencia que sirva de comparación.(Godino, Font, & Wilhemi, 2006).dicho significado de referencia es organizado en una configuración epistémica (subsistemas de prácticas institucionales ligadas
a
contextos
de
uso
particulares,
y
de
objetos
emergentes(Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006)), de tipo empírico: “se trata de una configuración epistémica en la que los conceptos y las propiedades que se introducen se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matemática” o de tipo formal: “en esta configuración se usa el método axiomático, es decir se eligen ciertos enunciados de la teoría como axiomas y se exige que todos los demás sean probados a partir de ellos ”(Godino, Font, & Wilhemi, 2006). A continuación describiremos de manera sintética los principales elementos sobre el significado de referencia: noción de probabilidad y técnicas de conteo agrupándolos en seis tipos de entidades que propone
el
EOS:
lenguaje,
situaciones,
acciones,
conceptos,
propiedades y argumentos y se organizaran en una configuración epistémica de tipo empírico.
PERSPECTIVA COGNITIVA Desarrollo psicológico de la intuición probabilística en el niño Los textos más significativos sobre el desarrollo de la cognición probabilística son los clásicos de Piaget e Inhelder (1951) Y Fischbein (1975). El trabajo de Fischbein permite una exploración de los fundamentos intuitivos y precursores del conocimiento probabilístico, buscando la existencia de conceptos de probabilidad parcialmente formados.
Según Fischbein (1975) las Intuiciones son adquisiciones cognitivas que intervienen directamente en las acciones prácticas o mentales, en virtud de sus características de inmediatez, globalidad, capacidad extrapolatoria, estructurabilidad y auto evidencia. La inmediatez de una intuición, sin embargo, no implica improvisación, sino que es el resultado de la maduración de muchas experiencias anteriores.
Se
establecen varias clasificaciones de las intuiciones, distinguiendo en primer lugar, entre intuiciones primarias y secundarias. Las intuiciones primarias son adquisiciones cognitivas que se derivan directamente de la experiencia, sin necesidad de ninguna instrucción sistemática. Por el contrario, las intuiciones secundarias consisten en adquisiciones que tienen todas las características de las intuiciones, pero que son formadas por la educación científica, principalmente en la escuela. Desde otro punto de vista, Fischbein distingue entre intuiciones afirmatorias y anticipatorias. Llama intuición afirmatoria a la que da concreción al conocimiento del mundo externo que aceptamos como evidente; mientras que las intuiciones anticipatorias son construcciones mentales que globalmente anticipan la solución a un problema antes de que se hayan encontrado los pasos detallados de la misma. Siguiendo a Fischbein, Godino y otros (1996)resumen los principales resultados hallados en la bibliografía acerca de la génesis de la idea de azar y probabilidad desde la infancia a la adolescencia. Para esta investigación únicamente se analizan las diferentes facetas de la intuición en el periodo de las operaciones formales debido a las características de la población con la cual se va a trabajar:
La intuición del azar; La intuición de la frecuencia relativa; La estimación de probabilidades; Operaciones combinatorias, y
El efecto de la instrucción sobre cada una de estas facetas.
El período de las operaciones formales La intuición del azar Fischbein sostiene que la síntesis entre el azar y lo deducible no se realiza completa y espontáneamente al nivel de las operaciones formales en experimentos donde se sugiere al sujeto reconocer probabilidades iguales en diferentes condiciones experimentales, es el adolecente quien evita lo impredecible y busca las dependencias causales que reduzcan lo incierto, incluso en situaciones donde no existen tales dependencias. La estructura operacional del pensamiento formal por sí sola no puede hacer inteligible el azar. La explicación para esta deficiencia es que las tradiciones culturales y educativas de la sociedad orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas unívocas. La enseñanza de la escuela lleva implícita que la ambigüedad y que la incertidumbre no son aceptables en el razonamiento científico y que toda explicación consiste en identificar una causa. La intuición de la frecuencia relativa La estrategia óptima ante decisiones en condiciones aleatorias muestra los efectos favorables del desarrollo de la inteligencia sobre las predicciones en ciertas condiciones experimentales. La estimación de posibilidades y la noción de probabilidad El logro de los adolecentes estimando posibilidades a favor y en contra de un resultado es superior al de los niños pequeños, cuando el material experimental consiste en un recipiente con bolas, los niños de
doce años dan respuestas correctas desde el principio, incluso en casos que tienen que comparar razones con términos desiguales. Las operaciones combinatorias Piaget e inhelder afirman que, durante la etapa de las operaciones formales, el niño adquiere la capacidad de usar procedimientos sistemáticos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, de un conjunto dado de elementos. La investigación de fischbein ha demostrado, sin embargo que esto es solo una potencialidad para la mayoría de los sujetos. Bajo su punto de vista, sería más preciso afirmar que estos niños son capaces de asimilar procesos combinatorios con la ayuda de la instrucción OTRAS NOCIONES A TENER EN CUENTA: Conflicto semiótico: “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones). Si una disparidad se produce entre significados institucionales hablamos de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto lo designamos como conflicto semiótico de tipo cognitivo. Cuando la disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumno-alumno, alumno-profesor),
hablaremos
de
conflictos
semióticos
interacciónales”. Los significados son interpretados como “sistemas de prácticas operativas y discursivas es decir significados institucionales y personales que se ponen en juego por una persona para resolver una cierta clase de situaciones”(Godino & Batanero, 1994), respecto a estos significados, Godino y otros(2006)proponen:
Tipos de significados personales: “Es el significado de un objeto matemático, para un sujeto; desde el punto de vista de la institución”. Tipos
de
significados
institucionales:
“Es
el
significado
estandarizado por una comunidad matemática frente a un objeto matemático”. Aprendizaje (según el Enfoque Ontosemiótico): El aprendizaje tiene lugar mediante la participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). PERSPECTIVA DIDÁCTICA EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO, LA NOCIÓN DE IDONEIDAD DIDÁCTICA Y SUS COMPONENTES El Enfoque Ontosemiótico (EOS) es un marco teórico que ha surgido en el seno de la Didáctica de las Matemáticas con el propósito de articular diferentes puntos de vista y nociones teóricas sobre el conocimiento matemático, su enseñanza y aprendizaje.(Godino, 2011) El conjunto de nociones teóricas que componen el EOS se clasifican en cinco grupos cada uno de los cuales permite un nivel de análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de temas específicos de matemáticas: sistema de prácticas, configuración de objetos y procesos, configuración didáctica, dimensión normativa, idoneidad didáctica(Godino, Batanero, & Font, 2008); de estos componentes, fijamos nuestra atención en el ultimo, para la realización del análisis y reflexión sistemática del proceso de enseñanza planeado.
La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino, Batanero & Font, 2007): 1. Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o previstos), respecto de un significado de referencia. 2. Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos-implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos-implementados. 3. Idoneidad interaccional, grado en que las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos9 potenciales(que se puedan detectar a priori), y, por otra parte, resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción mediante la negociación de significados. 4. Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. 5. Idoneidad emocional, grado de implicación (interés, motivación) del alumnado en el proceso de estudio. 6. Idoneidad ecológica, grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo del centro10, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc. La propuesta para la enseñanza de la probabilidad Para esta propuesta se consideraron las planteadas en el libro azar y probabilidad de Godino, Batanero, & Castellanos(1996).
Teoría de las situaciones didácticas de BROUSSEAU Según G. brousseau (1986), los procesos de enseñanza aprendizaje se una noción matemática debe realizarse a través del planteamiento de tres tipos de situaciones didácticas que denomina: de acción, formulación y validación.
En una situación de acción deberán
plantearse al alumno problemas cuya solución conduzca al concepto que se pretende enseñar. Para el caso de las nociones relativas al azar y
la
probabilidad
estos
contextos
supondrán
la
práctica
de
experiencias donde un patrón determinista no sea conveniente. Se tratará de poner a los estudiantes en estado de construir un modelo probabilístico implícito, por medio de previsiones o decisiones (por ejemplo, bajo la forma de puestas). Se considera también preciso que el alumno exprese el modelo intuido en
la
fase
de
acción
intercambiando
información
con
otros
compañeros. Se requiere diseñar en el aula situaciones de formulación en las que unos alumnos hacen el papel de emisores y otros de receptores. En un intercambio de mensajes, orales o escritos, se establecerá un diálogo entre la situación, el sujeto y su interlocutor; el sujeto emisor prueba y controla de este modo su vocabulario, dándole sentido. La introducción de un vocabulario preciso debe permitir a los niños formular las comprobaciones que hacen a propósito de estas observaciones, por ejemplo, identificar los sucesos, designados y hablar de su comparación o de su medida. El tercer tipo de situaciones recomendadas son las de validación o prueba, en las que se pretende que el estudiante dé un paso más avanzado en el proceso de matematización; se trata de probar la validez de su modelo ante un interlocutor oponente. El alumno deberá demostrar de este modo la validez de su solución, aportando pruebas semánticas y sintácticas.
Brousseau distingue, además, una cuarta fase, que denomina de institucionalización, en la cual, una vez que el nuevo conocimiento es construido, formulado, validado y aceptado por todos, éste es nombrado y declarado antes de ser poseído por los alumnos participantes. El grupo puede fijar libremente sus convenciones, hablándose en este caso de institucionalización interna; o bien, lo que suele ser la situación didáctica más frecuente, toma sus convenciones de una cultura (institucionalización externa).
LA METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN LA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN EN LA EDUCACIÓN El termino investigación-acción (IA) fue introducido por primera vez en el campo investigativo en el año 1944, por Kurt Lewin quien desde ese entonces
fue
considerado
como
“padre”
de
esta
forma
de
investigación, según Lewin, la investigación acción describía una forma de encadenar el enfoque experimental de la ciencia social con programas de acción social y con el fin de que ambos respondieran a los problemas de entonces. Además; proponía que mediante la investigación-acción se podían lograr en forma simultánea avances teóricos y cambios sociales, conocimiento práctico y teórico. La investigación-acción para Lewin consistía en un análisis-diagnóstico de una situación problemática en la práctica, recolección de la información en la misma, conceptualización de la información, formulación de estrategias de acción para resolver el problema, su ejecución y la evaluación de sus resultados, pasos que luego se repetían en forma reiterativa y cíclica(Miguélez, 2000). Pero fue hasta 1972, cuando Jhon Elliott popularizo esta práctica investigativa través del Ford teaching program, en el cual involucro 40
profesores de educación primaria y secundaria (Elliot, 1990), el propósito de dicha investigación constituía en descubrir métodos de docencia eficientes analizando su propia práctica docente, y el desempeño en el aula a través de la educación. La investigación acción el ámbito educativo, desde entonces presento una tendencia a reconceptualizar el campo de la investigación educacional, en términos más educativos y con miras a esclarecer el origen de los problemas, los contenidos programáticos, los métodos didácticos, los conocimientos significativos y la comunidad de docentes (Miguélez, 2000); los métodos tradicionales de educación, crearon la ilusión de que personas altamente calificadas, podían investigar, pues la ciencia era una verdad incontrovertible, y despreciaba el resto de conocimiento como “vulgar”, la Investigaciónacción posee humildad intelectual, tratando de ser lo más rigurosa, sistemática y autocrítica, procesos que garantizan su cientificidad. “Los centros educativos se transforman así en centros de desarrollo profesional del docente”(Miguélez, 2000). El proceso de investigación acción esta soportado expuestas en la Figura 1: El modo de recoger los datos, de captar cada evento desde sus diferentes puntos de vista de vivir la realidad estudiada y de analizarla e interpretarla inmersos en su propia dinámica, ayuda a superar la subjetividad y aporta rigor y seguridad en las conclusiones, aportándole así el carácter de investigación científica; a partir de la sistematicidad, la rigurosidad y la crítica. La confiabilidad no está dentro del círculo inmediato de intereses de la IA, esta se da hacia el nivel de concordancia interpretativa entre diferentes observadores, evaluadores del mismo fenómeno(Miguélez, 2000).
OBSERVACIÓN EXPLORACIÓN Y REFLEXIÓN
A C C I Ó N
Se observa y se reflexiona sobre la acción para descubrir la preocupación temática se formulan hipótesis de trabajo o las hipótesis de acción..
PLANIFICACIÓN
ACCIÓN Y OBSERVACIÓN
EVALUACIÓN
Se diseña el plan de acción que responde a las preguntas: ¿Cómo? , ¿Dónde?, ¿por qué ?,¿con quién?, ¿Quiénes?
Se aplica el espiral de Lewin, se diseña un plan de acción de acción donde se observa, se corrige, se diseña un nuevo plan, se corrige, se implementa, y así sucesivamente hasta que se mejore la preocupación temática.
Se evalúa el último plan de acción por parte del colectivo docente y de la comunidad objeto de acción. Se registran y se categorizan los datos en busca de ejes temáticos, los cuales se relacionan, para luego conceptualizarse, con el fin de establecer una teoría fundada.
PLANIFICACIÓN
Figura 1: Etapas de la investigación-acción
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Para la recolección de la información se usaron técnicas como la observación participante apoyada en los referentes planteados por la idoneidad didáctica según Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi (2008), fotografías, diario de campo, evidencia documental, la reflexión sistemática a partir de los registros realizados y la documentación obtenida, descripción detallada haciendo uso de herramientas Se diseñó y aplicó los siguientes instrumentos: Cuestionario inicial para el reconocimiento de las intuiciones iniciales relacionadas a los conceptos de probabilidad y algunas técnicas de conteo con su respectivo plan, los Planes de clase y guías de taller pertinentes para el desarrollo de la propuesta secuencial de enseñanza, la evaluación como parte integral de los procesos de enseñanza-aprendizaje, la
R E F L E X I Ó N
matriz de observación fundamentada en los referentes planteados por la idoneidad didáctica según Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi (2008) y cuestionario final para el reconocimiento de las intuiciones finales relacionadas a los conceptos de probabilidad y algunas técnicas de conteo con su respectivo plan. Este proyecto se realizó con la coordinación de la directora del Proyecto Pedagógico VII, Magister: Ana Cecilia Medina Mariño, la docente titular Esp. Gloria Tulia Ojeda y el docente practicante que ejecutará el proyecto. Los avances del proyecto tuvieron un seguimiento continuo tanto por la directora de la asignatura, como por la docente titular. Para el diseño del programa de actividades se tuvo en cuenta la estrategia metodológica: “situaciones didácticas de Brousseaw”. Además de lo anterior, también se realizaron las demás actividades relacionadas al ejercicio docente.
PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA La presente propuesta de enseñanza tiene como objetivo formalizar los conocimientos que tienen los estudiantes acerca de la noción de probabilidad y algunas técnicas de conteo, de grado noveno del colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama. En la secuencia de las unidades hay un progresivo incremento del nivel de complejidad de los conceptos introducidos, que van desde la mera apreciación del carácter imprevisible del azar, la asignación de probabilidades a sucesos simples, probabilidades, juegos equitativos, probabilidad condicional, combinatoria, y responde a los siguientes estándares del Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2006):
Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.). SELECCIÓN DE LOS CONTENIDOS CONCEPTOS
PROCEDIMIENTOS
Nociones de azar y probabilidad Comparación y asignación de probabilidades
Cálculo de probabilidades elementales
Situaciones de la vida cotidiana como pretexto de reflexión sobre los términos que se emplean en la vida cotidiana para la asignación de probabilidades a sucesos aleatorios. Mediante experimentos como el lanzamiento de dados se refuerza las nociones de experimento y suceso aleatorio, así como el carácter imprevisible del azar. Insistencia en la posibilidad de asociar a cada suceso un número comprendido entre cero y uno, que es su probabilidad. Uso de notación conjuntista. Introducción de las operaciones con sucesos unión, intersección y complemento, haciendo un mayor uso de la notación conjuntista para la representación de los sucesos
Regla de la multiplicación
Se presentan al alumno situaciones con ejemplos de experimentos compuestos en los que ha de calcularse la probabilidad de sucesos utilizando la regla de la multiplicación de probabilidades.
variaciones
Se presentan ejemplos de formación de muestras ordenadas sin remplazamiento de una población finita, hasta agotar la población, para deducir la regla de formación y numero de variaciones.
Técnicas de conteo
permutaciones
Combinaciones
Se muestran ejemplos de formación y calculo de combinaciones de m elementos, tomados de n en n (n pequeño) y la situación del muestreo sin remplazamiento, lo cual da ocasión de presentar ejemplos de experimentos dependientes, ya que el resultado de una extracción depende de la anterior.
ACTITUDINAL Actitud positiva y perseverante hacia la solución de situaciones didácticas. Reflexión sobre el significado de las informaciones recibidas, así como de los resultados obtenidos al resolver cualquier actividad o problema. Preferencia por realizar los cálculos mentalmente, siempre que sea posible.
SECUENCIA La propuesta de formalización de las nociones de probabilidad y algunas técnicas de conteo, tiene como énfasis el uso de las situaciones didácticas de Brousseau como método para reconocer las nociones de probabilidad, adquirir habilidad en operaciones donde se usan las técnicas de conteo.
SECUENCIA Secuencia 1: “El lenguaje del azar comparación y asignación de probabilidades. Cálculo de probabilidades elementales” Secuencia 2: Técnicas de conteo “variación, combinación y permutación”
ACTIVIDADES DESCRIPCIÓN SINTÉTICA
QUE SE PRETENDE
“Lanzamiento de monedas” “fenómenos aleatorios” “el azar en la prensa”
Formalización de los términos probabilísticos.
“juegos combinatorios” “Experimentos con dados” “lanzamiento de monedas”
Formalización de las técnicas de conteo (variación, combinación, permutación)
RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO Somos conscientes del reto metodológico que planteó la valoración de las seis dimensiones de idoneidad didáctica para la sistematización del proceso de enseñanza enmarcado en el proyecto de investigación en el aula, además de la recolección de los datos y de la complejidad de su análisis. El interrogante planteado es: ¿Qué tan idóneo es la metodología didáctica “situaciones de Brousseau” para la formalización de significados asociados a probabilidad y algunas técnicas de conteo? El objetivo de la enseñanza observada consiste en que los estudiantes interpreten, consoliden y formalicen las nociones asociadas a términos probabilísticos y algunas técnicas de conteos. A cada estudiante se le entregó una guía taller que contenía las actividades propuestas para el desarrollo de la sesión, cada uno debía diligenciarla de forma clara y ordenada, actividad por actividad a medida que fuera establecido por el docente practicante, para luego hacer la respectiva socialización de cada una; y finalmente su posterior análisis y evaluación tanto del aprendizaje del estudiante como de la pertinencia de las actividades. Idoneidad Epistémica El juicio positivo sobre la idoneidad epistémica del proceso de estudio debe tener en cuenta las conexiones e interacciones entre los elementos mencionados. Los elementos conceptuales, proposicionales y procedimentales deben haber sido contextualizados mediante las situaciones explicados y justificados con argumentos pertinentes y todos estos elementos soportados mediante recursos expresivos y eficaces. El primer aspecto que hay que destacar es que el docente practicante presenta situaciones cotidianas que pretenden ser representativas de la configuración epistémica en las que se puede construir el significado institucional. Las situaciones cotidianas como el uso de monedas, dados, el uso dela prensa, entre otras, permitieron las nociones de probabilidad y técnicas de conteo. Ahora, situaciones de las mismas matemáticas como las operaciones combinatorias, asintieron en la ejercitación de las reglas de técnicas de conteo con el fin de que los significados institucionales implementados tuvieran gran representatividad.
El uso de las “situaciones de Brousseau” involucró la transición del estudiante en cada una de las facetas de aprendizaje, como: el lenguaje que se utilizó fue el adecuado, y la preparación del docente practicante permitió encontrar expresiones que fueran más comprensibles para los estudiantes. Atendiendo a las conexiones entre los distintos objetos matemáticos que conforman los términos probabilísticos y las técnicas de conteo, y la articulación de los diversos significados parciales de los objetos en estudio, se concluye que existe conexión entre de cada una de las sesiones. Reflexionando lo anterior se determina que el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene un grado alto de idoneidad epistémica. Idoneidad Cognitiva El juicio positivo sobre la idoneidad cognitiva del proceso de enseñanza aprendizaje se basará en: a) la existencia de una evaluación inicial de los significados personales (intuiciones iniciales) de los estudiantes, a fin de comprobar que los significados pretendidos suponen un reto manejable; b) la existencia de adaptaciones curriculares que tengan en cuenta las diferencias individuales; y, finalmente, c) que los aprendizajes logrados estén lo más próximos posible a los significados institucionales pretendidos/ implementados. (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). Con relación a los significados previos, es decir a las intuiciones iniciales de los estudiantes, necesarios para: calcular probabilidades, y aplicar técnicas combinatorias, se pueden considerar como no logrados, ya que un alto porcentaje de estudiantes se encuentran en un grado bajo de intuición con respecto al tema en cuestión, otro gran número de estudiantes poseen una intuición primaria, es decir cuentan con una vaga interpretación probabilística que les ha dotado las experiencias convencionales (Ver Gráfico 1: “Cuestionario Inicial vs Cuestionario Final”). En el dialogo anterior se puede observar como la actuación del profesor “P” propició la emergencia del conflicto cognitivo del estudiante “A”, en donde el estudiante manifiesta su significado personal del objeto orden y repetición de los elementos en los eventos muestrales. Se observa que el estudiante hace una afirmación en la que interpreta la repetición de los elementos como el orden de los números naturales. En este dialogo se puede observar un aspecto claramente relacionado con el manejo de una intuición inicial que presentan los estudiantes a través de sus significados personales del
objeto repetición en la ocurrencia de eventos y también, de cierta manera como se logra superarlo. Ahora bien, atendiendo al seguimiento continuado de las evaluaciones: el cuestionario inicial, la evaluación al final de cada sesión y del cuestionario final; se observa como se obtiene y un grado de intuición secundaria en los estudiantes, en relación a las nociones de probabilidad y técnicas de conteo. Se tiene una concepción más acertada del proceso a seguir en la realización de espacios muestrales y el cálculo de probabilidades con las respectivas técnicas de conteo. Sin embargo en algunas facetas de intuición como: la intuición del azar el porcentaje de errores no disminuye significativamente. Considerando lo anterior se determina que el proceso de enseñanzaaprendizaje tiene un grado medio de idoneidad cognitivo. Idoneidad Interaccional Diremos que un proceso de estudio tiene idoneidad interaccional alta en medida en que las configuraciones didácticas posibilitan que el profesor y los alumnos identifiquen conflictos semióticos potenciales (a priori), efectivos (durante el proceso de instrucción) y residuales (a posteriori) y resolver dichos conflictos mediante la negociación de significados. Los formatos de tipo dialógico y trabajo cooperativo como la guía de taller implementada representaron una alta idoneidad interaccional ya que los estudiantes mostraron su relación con los objetos matemáticos y, permitieron al profesor valorar dicha relación (Godino, Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). Evidentemente la inexperiencia docente, es origen de conflictos. En concreto, un problema didáctico se da cuando el profesor no es claro y efectivo en los procesos de comunicación e inconscientemente, genera preguntas incoherentes que quedan sin respuesta, generando discrepancias que van obstaculizando la formalización del conocimiento. Sin embargo, el dominio y manejo de los planes de clase y las guías de taller hacen que dentro del aula surjan diferentes interrogantes en el estudiante, interrogantes que sirven de puente entre las intuiciones iniciales y las intuiciones secundarias. A medida que se fue desarrollando el proceso de enseñanza, fue aumentando la cantidad de interacciones, promoviendo el uso del lenguaje matemático para llegar al consenso entre discente y
docente, aprovechando la interacción para generar y superar los conflictos cognitivos en los estudiantes. Considerando lo anterior se determina que el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene un grado alto de idoneidad interaccional. Idoneidad Mediacional En Godino, contreras y Font (2006) se define la idoneidad mediacional como el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales para el desarrollo del proceso de enseñanzaaprendizaje. Para analizar el grado de idoneidad mediacional se centra la atención en dos aspectos: el uso de recursos materiales, y la incidencia en su aprendizaje. El desarrollo del proceso de enseñanza abarco tres sesiones de clase, cada una de dos horas, los trabajaron de forma individual y en grupo, para facilitar la interacción tanto entre estudiantes, como estudiantedocente. No se tienen medios informáticos en cuenta para el desarrollo de las actividades, sin embargo, se usan recursos materiales manipulables como las guías de taller, las que permiten a los estudiantes formalizar por si mismos nociones de probabilidad, a partir de regularidades que encuentra en las situaciones cotidianas, significados que luego ejercita y consolida por medio de situaciones cotidianas y en contexto matemático, creando un ambiente de competencia y rapidez en su desarrollo. Los medios de presentación de la información, como las guías de taller y las carteleras utilizadas para la “técnicas multiplicativas”, “la combinación”, …entre otros, reflejan un alto indicador de idoneidad mediacional, ya que se ha economizado el tiempo invertido en las actividades, para dar prioridad al significado institucional pretendido. Estos medios interaccionan con los distintos elementos de las configuraciones epistémicas y cognitivas como la representación de técnicas de conteo a través de situaciones cotidianas,… etc. Finalmente, se ha analizado también el uso del tiempo como recurso didáctico, en relación a la opinión de los estudiantes obtenida a través de la encuesta (Anexo ) el tiempo fue adecuado; apreciaciones compartidas por el docente practicante quien consideró que la intensidad horaria fue prudente, ya que las sesiones de tiempo permitieron alcanzar el desarrollo de las actividades para la profundización del tema previsto para la sesión de clase. En conclusión se considera que se alcanzó un grado alto de idoneidad mediacional.
Idoneidad Emocional Para analizar el grado de idoneidad emocional, se ha valorado la mejora de la autoestima del estudiante y su confianza en las matemáticas, así como el grado de motivación del estudiante en el proceso de enseñanza-aprendizaje. La forma de organizar el trabajo en el aula implicó que cada estudiante formara su conocimiento y trabajara sobre sus dificultades, responsabilizándose, de resolver y socializar cada una de las actividades, lo anterior asociado al permanente seguimiento de los docentes posibilitó generar un ambiente de confianza en donde se destacaron las capacidades y cualidades de cada uno, mencionando constantemente la facilidad del desarrollo de la actividad, pero haciendo énfasis en que requería concentración y disciplina. El docente practicante en formación mostró preocupación constante porque el estudiante llevara a cabo las tareas propuestas, insistiendo en las respuestas validas del procedimiento en tratamiento, frente a ello los estudiantes revisan los procedimientos fallidos realizados, y sugieren otras alternativas para su correcto desarrollo. Al revisar las guías de taller pertenecientes a las primeras sesiones desarrolladas por los estudiantes, se evidencia la carencia de orden y pulcritud en los procedimientos, así como en las diferentes representaciones semióticas utilizadas, falencia que va desapareciendo a lo largo de las sesiones implementadas. Considerando lo anterior el proceso de enseñanza-aprendizaje es valorado con un alto grado de idoneidad emocional. Idoneidad Ecológica Por idoneidad ecológica se entiende al grado en que un método para aprender matemáticas resulta adecuado en el entorno donde se utiliza. A pesar de que “entorno” se refiere a todo lo que está dentro y fuera del aula (un hecho que condiciona su actividad)(Alsina & Domingo, 2010), el análisis realizado se centra en particular en el siguiente interrogante: ¿Qué valoración puede hacerse del método desde los estándares básicos de competencias en matemáticas propuestos por el MEN? No cabe duda de la importancia de la enseñanza las nociones de probabilidad y técnicas de conteo para el posterior tratamiento de
manejo y reconocimiento de distribuciones de probabilidad. A través de la propuesta didáctica “Situaciones de Brousseau”, los estudiantes construyeron y manipularon representaciones de las situaciones, las relaciones entre ellas y sus generalizaciones, posibilitando un acercamiento conceptual a la formalización de nuevas estructuras mentales, potenciando el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos. Por estos motivos se determina que el proceso de enseñanzaaprendizaje tiene un alto grado de idoneidad ecológica. CONCLUSIONES El análisis detallado de cada una de las dimensiones ha permitido llegar a la conclusión que el proceso de enseñanza-aprendizaje implementado tiene un grado alto de idoneidad didáctica. La formalización de los conocimientos por parte de los estudiantes desarrolla una estructura cognitiva significativa, donde se dota de significado al objeto matemático, y le permite desarrollar de los procesos generales involucrados con el aprendizaje, en este caso la relación de orden en el sistema de números enteros. Antes de dar lugar a la etapa de la formalización, es importante la ejercitación de procedimientos, permitiendo que el estudiante afiance sus estructuras cognitivas, y luego encuentre similitudes que den paso a la formalización de un objeto matemático. Las prácticas educativas le permiten al docente en formación acercarse de manera directa a su futuro medio laboral y al combinar la teoría la práctica y la investigación, reflexionar sobre su desempeño docente.
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