Matematica dalle frazioni al teorema di pitagora by Alberto

MATEMATICA: Dalle frazioni al teorema di Pitagora

Di Ing. Cervellieri Alice

MATEMATICA:DALLE FRAZIONI AL TEOREMA DI PITAGORA DI ALICE CERVELLIERI

1.LE POTENZE, PAG.2 2.LE PROPRIETA' DELLE POTENZE, PAG.3 3.LE POTENZE DI 10, PAG.11 4.LA NOTAZIONE SCIENTIFICA CON NUMERI MOLTO PICCOLI, PAG.13 5.LE FRAZIONI, PAG.18 6.FRAZIONI IMPROPRIE, PAG.21 7.FRAZIONI EQUIVALENTI, PAG.22 8.CONFRONTO DI FRAZIONI, PAG.24 9.RIDUZIONE DI FRAZIONI ALLO STESSO DENOMINATORE, PAG.26 10.PRODOTTO DI FRAZIONI, PAG. 30 11.ELEVAMENTO A POTENZA DI UNA FRAZIONE, PAG.30 12.TRAPEZI, PAG.31 13.TRIANGOLI, PAG.32 14.SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI, PAG.39 15.TEOREMA DI PITAGORA, PAG.46 16.QUADRILATERI, PAG.51

LE POTENZE L’ elevamento a potenza di un numero alto non è che una nuova forma con cui rappresentiamo una moltiplicazione. Una potenza è sempre espressa da : a. Base b. Esponente

Elevare un numero a potenza significa moltiplicarle per se stesso tante volte quante ne indica l’esponente. La base e l’esponente hanno funzioni ben precise e molto particolari. Proprio sulla definizione di base e di esponente si applicano le proprietà delle potenze: Nell’operare con le potenze abbiamo cosi' seguito 2 percorsi: 1) Abbiamo svolto la moltiplicazione 2) Abbiamo applicato una proprietà delle potenze PROPRIETA’ DELLE POTENZE Le proprietà delle potenze sono: 1) PRODOTTO DI POTENZE AD UGUAL BASE 2) PRODOTTO DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE

3) QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL BASE 4) QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE 5)POTENZA DI POTENZA Questa proprietà è quella che abbiamo utilizzato nell’esempio precedente Possiamo notare che la potenza è stata determinata sommando gli esponenti. Infatti se si devono moltiplicare 2 potenze che hanno la stessa base si possono sommare gli esponenti e determinare la potenza avente come la base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. 1)PRODOTTO DI POTENZE AD UGUAL BASE. Il prodotto di potenze ad ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 2) PRODOTTO DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE In questo caso possiamo scrivere 4 * 4 * 2 * 2 Siccome la moltiplicazione gode della proprietà commutativa: (SCAMBIANDO L’ORDINE DEI FATTORI IL RISULTATO NON CAMBIA). Possiamo scrivere 4*2*4*2 Usando le parentesi possiamo scrivere (4 * 2) . (4 * 2). Vediamo che le parentesi rappresentano lo stesso numero che viene moltiplicato per se stesso. Di conseguenza possiamo scrivere: (4 * 2) 2 Come si può notare l’esponente di questa potenza e lo stesso di quello delle basi precedenti. Si può perciò enunciare la seguente proprietà. PRODOTTO DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE Il prodotto di potenze ad ugual esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. 3) QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL BASE Anche in questo caso consideriamo il significato di potenza.

Questa frazione la possiamo esprimere come il prodotto di più frazioni che possono essere espresse anche nel seguente modo.

Il risultato sarà perciò

A questo risultato si giunge operando anche nel seguente modo:

Per giungere a questo risultato abbiamo applicato una delle proprietà delle potenze e più precisamente: QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL BASE Il quoziente di potenze ad ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Applicando questa proprietà consideriamo il seguente caso: 36:37 Lavoro come nel caso precedente Si avrà perciò (1/3) Se avessimo applicato la proprietà il risultato sarebbe stato il seguente: 36:37=3-1 Per capire il risultato consideriamo l’asse delle X del piano cartesiano. 2+3=5

Quando si sommano 2 numeri ci si posiziona sul primo e ci si sposta versodestra di tante unità quante né indica il secondo numero. 2+3=5 Se si deve fare una differenza ci si posiziona sul primo numero e ci si sposta verso sinistra di tante unità quante né indica il secondo numero.

5–7=-2 In questo caso il risultato è un numero negativo. 5–7=-2

Torniamo alle nostre potenze e analizziamo i risultati. 1/3

3-1

Siccome i 2 risultati rappresentano la stessa operazione devono per forza essere uguali. (1/3)1= 3-1 Il segno dell’esponente non ha nulla a che vedere con il segno della potenza. Una potenza ad esponente negativo corrisponde al reciproco della base ad esponente positivo. 4) QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE. Come al solito consideriamo un esempio e lo sviluppiamo con le potenze. possiamo riscrivere la potenza nel seguente modo. QUOZIENTE DI POTENZE AD UGUAL ESPONENTE. Il quoziente di potenze ad ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente. Anche in questo caso sviluppiamo le potenze e consideriamo il seguente esempio. Come si può notare per giungere al risultato finale bastava moltiplicare tra loro gli esponenti. 5. POTENZA DI POTENZA La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. POTENZE AD ESPONENTI PARTICOLARI Qualunque numero elevato ad esponente 1 corrisponde come potenza, al valore della base. Ogni base corrisponde alla potenza avente quella base elevata ad esponente. Quando l’esponente è 1 la potenza corrisponde al valore della base. Se una potenza ha esponente 1, il suo valore corrisponde al valore della base. Consideriamo ora il quoziente di due potenze che hanno la stessa base e lo stesso esponente.

Due potenze che hanno la stessa base e lo stesso esponente rappresentano 2 numeri uguali. Se si opera la divisione tra due numeri uguali il quoziente sarà sempre 1. Consideriamo la potenza vista in precedenza ed applichiamo la proprietà 523=523 quoziente di potenze ad ugual esponente. 523=523=13=1 Considero ora la stessa operazione ma questa volta applichiamo la proprietà quoziente di potenze ad ugual base. 523=523=523-3=1 Come si può notare in apparenza, le 2 proprietà danno risultati diversi. Siccome le 2 proprietà sono vere entrambe i 2 risultati devono per forza essere corrispondenti. Pertanto :

523-3=13=1

Qualunque numero elevato ad esponente o da come valore della potenza SEMPRE 1!!! POTENZA DI POTENZA La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

LE POTENZE DI 10

Se consideriamo le potenze del numero 10 possiamo dire che l'esponente mi indica sempre quanti

zeri sono presenti nel numero. Questa considerazione ci permette di rappresentare anche numeri molto grandi con una scrittura semplificata. Consideriamo il seguente numero 1.500.000.000 Il numero rappresenta un miliardo e cinquecento milioni. Nel linguaggio comune lo descriveremo come un miliardi e mezzo o 1,5 miliardi. Proviamo ora a considerare questo numero come il prodotto di un coefficiente e di una potenza di 10. In questo caso il coefficiente sarĂ 1,5 mentre la potenza di 10 sarĂ un miliardo. Un miliardo Ă¨ un numero con nove zeri: 1.500.000.000 1.000.000.000 = un miliardo.

Dalla tabella possiamo ricavare la potenza di 10 che corrisponde ad un miliardo: Possiamo rappresentare il nostro miliardo e mezzo con la seguente scrittura:

Questa rappresentazione di numeri prende il nome di NOTAZIONE ESPONENZIALE o NOTAZIONE SCIENTIFICA.

Grazie a questa rappresentazione possiamo scrivere in modo molto semplice anche numeri molto grandi. Ad esempio questo tipo di notazione viene usato nella rappresentazione delle grandezze astronomiche.

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA CON NUMERI MOLTO PICCOLI: Considero ora come possiamo rappresentare numeri molto piccoli. Uso le potenze di 10 e le proprietĂ delle potenze. consideriamo il seguente caso: 107:108=10-1 109=108. 101 Applico il ''Quoziente di Potenze ad ugual Base'', ottengo il risultato di Considero la potenza 10-1 Le due scritture rappresentano la stessa operazione.

Possiamo giungere alla seguente tabella: Con la notazione esponenziale possiamo rappresentare sia numeri molto grandi sia numeri molto piccoli.

1. NOTAZIONE ESPONENZIALE AD ESPONENTE POSITIVO: Con questa notazione esponenziale si rappresentano numeri anche molto grandi nei quali l'esponente indica quanti zeri si devono mettere dopo la cifra 1 (con l'esponente positivo gli zeri stanno a destra del numero 1). 2. NOTAZIONE ESPONENZIALE AD ESPONENTE NEGATIVO: Con questa notazione esponenziale si rappresentano anche numeri molto piccoli. l'esponente indica quanti zeri si devono mettere prima della cifra 1 (con l'esponente positivo gli zeri stanno a sinistra del numero 1) ORDINE DI GRANDEZZA Considero il seguente esempio:

Consideriamo il diagramma visto in precedenza osservandolo tra

se un numero ha la sua ultima cifra 0 è divisibile per 10, se le sue due ultime cifre sono 0 è divisibile per 1000. Se un numero termina con 25; 50;75;100, è divisibile PER 25. Se un numero termina con 50 o con 00 è divisibile per 50. Per i calcoli che si dovranno effettuare in futuro è fondamentale conoscere i criteri di divisibilità relativi ai numeri 2; 3; 5; 7; 11. Questi numeri sono i primi numeri che compaiono nella tabella dei numeri PRIMI. Questi numeri sono quelli che ci servono nella scomposizione in fattori primi. Approfondiamo ora un criterio alla volta. CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 2 Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari. I numeri pari sono 0; 2; 4; 6; 8. Qualsiasi numero che termini con una di queste cifre è un numero sicuramente divisibile per 2. CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 3 Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Ovviamente i multipli di 3 sono i numeri che appartengono alla tabellina del 3. Consideriamo il numero 54611321 (6+4+6+1+1+3+2+1) = 26 È possibile evitare di fare la somma completa se si attuano alcune piccole strategie: c. Dal numero si eliminano tutte le cifre che sono multiple di 3 (0; 3; 6; 9...). d. Dal numero si eliminano tutte le coppie di cifre che danno come somma il numero 3. Proviamo ad applicare questo metodo al numero visto in precedenza. CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 5 Un numero è divisibile per 5 se termina con la cifra 0 o 5.

CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 7 Un numero è divisibile per 7 se il numero formato dalle sue decine meno il doppio delle sue unità ( o viceversa) è un numero multiplo di 7. 98 (8x2)-(9)=16-9=7 ( 98 è divisibile per 7) CRITERIO DI DIVISIBILITA’ PER 11 I numeri che non scriviamo sono formati da una serie di cifre che vengono scritte in posti ben precisi. In base al posto che una cifra occupa, potremo stabilire se essa rappresenta le unità, le decine, le centinaia... DPDPDPD 1234567 3472681 Consideriamo il numero 3472681 come possiamo notare ogni cifra occupa in posto ben preciso. Si potranno perciò dividere le cifre che occupano i posti dispari (1; 3; 5; 7) dalle cifre che occupano i posti pari (2; 4; 6). Le cifre che occupano i posti dispari : POSTI DISPARI = 3; 7; 6; 1 Mentre quelle che occupano i posti pari sono:

POSTI PARI = 4; 2; 8. Si potrà calcolare la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari. SOMMA POSTO DISPARI = 3+7+6+1=17 SOMMA POSTO PARI = 4+2+8=14 Grazie a queste due somme possiamo dare la definizione del criterio di divisibilità per 11. Un numero è divisibile per 11 se la somma delle cifre di posto dispari meno la somma delle cifre di posto pari ( o viceversa) da come risultato un numero multiplo di 11 . Prendiamo in considerazione il numero considerato sopra 3472681. Se facciamo la somma delle cifre di posto dispari otteniamo 17 mentre se facciamo la somma delle cifre di posto pari otteniamo 14. Il risultato della sottrazione tra questi due numeri è 17-14=3. Siccome 3 non è un multiplo di 11 allora 3472681 non è divisibile per 11.

Consideriamo il numero 6.210.783 DPDPDPD 1234567 6210783 SOMMA POSTI DISPARI = 6+1+7+3=17 SOMMA POSTI PARI = 2+0+8=10 17-10=7 Anche in questo caso la differenza non è multipla di 11. 6.210.783 non è divisibile per 11 Consideriamo il numero 3.670.216 DPDPDPD 1234567 3670216 SOMMA POSTI DISPARI = 3+7+2+6=18 SOMMA POSTI PARI=6+0+1=7 18-7=11 In questo caso la differenza è 11 ed pertanto un multiplo di 11. 3.670.216 è perciò divisibile per 11.

LE FRAZIONI Una frazione è composta da tre parti. Linea di frazione numeratore denominatore Il numeratore e il denominatore vengono definiti termini della frazione. La linea di frazione rappresenta l’operazione di divisione. Il denominatore è un numero molto importante in quanto indica in quante parti è stato diviso l’ intero. Il numeratore indica quante di queste parti bisogna prendere in considerazione. In altre parole il denominatore indica in quante fette è stata divisa una torta . Il numeratore indica quante fette sono state mangiate.

Se facciamo la differenza tra il denominatore e il numeratore troviamo quante fette si possono ancora mangiare. Nell’esempio considerato si sono mangiate tre fette delle otto in cui la torta era stata divisa. Si dirà perciò che si sono mangiati i 3/8 della torta. Ovviamente ne rimangono da mangiare i 5 / 8. Abbiamo perciò due frazioni 3 / 8 e 5 / 8. La somma di queste due frazioni ci da l’intera torta infatti tre sono le fette mangiate e cinque le fette rimaste 3+5=8, sono le fette in cui è stata divisa la torta.

3 / 8+5 / 8 = 8 / 8 = torta. Come si può notare la somma dei numeratori è uguale al denominatore. 3/8 e 5/8 sono due frazioni particolari in quanto: 1) hanno lo stesso denominatore. 2) la somma dei numeratori è uguale al denominatore. Quando due frazioni presentano queste caratteristiche si definiscono complementari. Nel nostro caso l’intero è rappresentato dalla torta e l’unità e rappresenta dalla fetta. Nel nostro caso specifico l’ unità è 1 / 8. 3 / 8 = fette mangiate 5 / 8 = fette rimaste 1 / 8 = fetta = unità 8 / 8 = torta = intero Si definiscono complementari due frazioni la cui somma rappresenta l’ intero. In pratica due frazioni complementari hanno lo stesso denominatore e il numero che si ricava dalla somma dei numeratori è uguale al denominatore. Ritorniamo al nostro esempio della torta e consideriamo ancora le fazioni 3/8 e 5/8, ed anche le frazioni 7/8 e 1/8. Come abbiamo visto prima tutte queste azioni non rappresentano l’intero infatti l’unica frazione che rappresenta l’intero è 8/8. Se osserviamo i numeratori di queste frazioni ci accorgiamo che sono tutti più piccoli del denominatore. Quando il numeratore o il denominatore di una frazione sono uguali quella frazione rappresenta l’intero. 7/7; 5/5; 10/10; 9/9;13/13... Sono frazioni che rappresentano l’intero. Come sappiamo la linea di frazione rappresenta l’operazione di divisione perciò si avrà che: 7 / 7 =7 : 7 =1

5 / 5 = 5 : 5 =1 10 / 10 = 10 : 10 =1 9 / 9 = 9 : 9 =1 12 / 12 = 12 : 12 =1 E' palese che ogni frazione che rappresenta l’intero ha come quoziente 1. Qualunque frazione che dia come quoziente 1 è una frazione che rappresenta l’intero. Torniamo ora alla nostra torta e alle frazioni 1 / 8 ; 3 / 8 ; 5 / 8 ; 7 / 8 Nessuna di queste frazioni rappresenta l’intero e il quoziente di queste frazioni è sempre minore di 1 in quanto il numeratore (dividendo) è più piccolo del divisore (denominatore). Quando in una divisione il dividendo è più piccolo del divisore il quoziente è sempre minore di 1. Stabilito questo risulta che tutte le frazioni in cui il numeratore è più piccolo del denominatore il quoziente sarà sempre minore di 1 e pertanto quella frazione rappresenta un numero minore dell’intero. Una frazione che presenti un numeratore più piccolo del denominatore si definisce FRAZIONE PROPRIA.

FRAZIONI IMPROPRIE

Ritorniamo ancora alla nostra torta. E’ ovvio che se l’intero è rappresentato da 8/8 e noi abbiamo servito 13 fette vuol dire che abbiamo utilizzato 2 torte. Ogni torta rappresenta l’intero e pertanto abbiamo a disposizione 16 fette. 8 / 8+8 / 8=16 / 8 = 2 torte. Si definisce FRAZIONE IMPROPRIA una frazione in cui il numeratore è più grande del denominatore. Una frazione impropria rappresenta un valore maggiore o maggiore Prendiamo in considerazione la nostra torta con le sue 8 fette. La nostra torta è rappresentata dalla frazione 8/8 che rappresenta l’intero. Con le frazioni improprie abbiamo visto che possiamo rappresentare numeri che sono maggiori dell’intero, infatti nel caso precedente abbiamo considerato la frazione 13/8 che è una frazione impropria. Consideriamo ora le frazioni: 8 / 8 = 1 intero =1 torta 16 / 8= 2 interi = 2 torte 24 / 8 = 3 interi = 3 torte Si definiscono FRAZIONI APPARENTI una frazione avente il numeratore multiplo del denominatore. Il quoziente di una frazione apparente è sempre un numero naturale.

FRAZIONI EQUIVALENTI Consideriamo 2 torte uguali e dividiamo la prima in 8 parti, la seconda in 16.

Della prima parte coloriamo una fetta, della seconda coloriamo 2 fette e della terza coloriamo 4 fette. Se le parti colorate, anche se non espresse da frazioni diverse rappresentano la stessa quantità di torta. Le2 frazioni 2/8; 4/16 sono perciò frazioni equivalenti in quanto rappresentano la medesima parte dell’intero. Si può osservare che il denominatore è un multiplo del numeratore e, nel nostro caso, il denominatore è il quadruplo del numeratore. 2/8 = 2:8 = 0,25

4/16 = 4:16 =0,25 Tutte le frazioni, proprie, improprie,o apparenti, che sono di origine al medesimo quoziente sono frazioni equivalenti. Si definiscono FRAZIONI EQUIVALENTI tutti quei gruppi di frazioni che danno origine al medesimo quoziente. Sono perciò frazioni equivalenti anche 5/3 ; 10/6; 15/9; 20/12 ... oppure 2/3, 6/4 , 9/6, 12/8, 15/10... Abbiamo visto come di una frazione possiamo ottenerne infinite di equivalenti. Abbiamo visto anche come ridurre una frazione ai minimi termini. Grazie a queste procedure siamo riusciti a determinare il minimo comune denominatore di un gruppo di frazioni. Tutti i calcoli che abbiamo svolto si basano su un'unica proprietà delle frazioni: la proprietà invariantiva. La proprietà invariantiva delle frazioni si enuncia nel seguente modo: Moltiplicando un dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero si ottiene sempre una frazione equivalente alla frazione. Va ricordato che i termini di una frazione sono il numeratore e il denominatore.

CONFRONTO DI FRAZIONI Confrontare due frazioni significa stabilire quale delle due sia maggiore. Per fare questo si effettuano i tre passaggi visti in precedenza: 1. riduzione ai minimi termini 2. determinazione m.c.m. dei denominatori

3. determinazione delle frazioni equivalenti aventi come denominatore il m.c.m. dei denominatori. Fatto tutto questo la frazione maggiore sarà rappresentata dalla frazione che al numeratore presenta il valore più grande. Tra una frazione propria e una impropria è sempre maggiore quella impropria. Tra due frazioni aventi lo stesso denominatore sarà maggiore quella che avrà al denominatore il valore più piccolo. Tra due frazioni avente lo stesso denominatore sarà maggiore quella che avrà il numeratore più grande.

RIDUZIONE DI FRAZIONI ALLO STESSO DENOMINATORE Consideriamo di queste frazioni la frazione 15/10. 15 e 10 hanno dei divisori in comune. Infatti 15 e 10 sono entrambi divisibili per cinque. Effettuiamo ora la divisione sia del numeratore che del denominatore. 18: 2=9 20: 2=10 16/10=8/5 Considero ora 20/8. Anche in questo caso numeratore e denominatore hanno il divisore comune che è il quattro. 20: 4=5 8: 4=2 20/8=5/2

Abbiamo visto che di ogni frazione ne esistono infinite di equivalenti. Abbiamo visto in oltre che la classe di equivalenza è rappresentata dalla frazione ridotta ai minimi termini. La classe di equivalenza è perciò rappresentata da una frazione irriducibile. Quando si opera con le frazioni, in modo particolare, quando si eseguono somme o differenze, è fondamentale che tutte le frazioni con cui si opera abbiano lo stesso denominatore.

Per fare questo dobbiamo trovare le frazioni equivalenti alle frazioni date che abbiano tutte lo stesso denominatore. Per fare questo operiamo in tre stadi: 1) si riducono le frazioni ai minimi termini 2) si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori 3) si determinano le frazioni equivalenti alle frazioni date che hanno come denominatore il denominatore comune. Consideriamo ora le frazioni 2/4 5/7 4/10. Dobbiamo trovare le frazioni equivalenti a queste aventi il denominatore più piccolo possibile. Per fare questo effettuiamo le tre procedure viste in precedenza. 1) RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI 2/4=1/2 5/7=5/7 4/10=2/5 Ho ridotto le seguenti frazioni ai mini termini, semplificando la prima e l'ultima per 2. 2) DETERMINAZIONE DEL m.c.m. DEI DENOMINATORI

Si considerino i denominatori delle frazioni ridotte ai minimi termini e si calcoli il minimo comune multiplo. m.c.m. (2; 7 ;5;) = 2 x 15 x 7= 70 Il denominatore comune che dovranno avere le tre frazioni equivalenti sarà perciò 210

3) DETERMINAZIONE DELLE FRAZIONI EQUIVALENTI AVENTI DENOMINATORE COMUNE. Dividiamo la procedura in due parti che dovremmo imparare a memoria. PARTE A Si moltiplica il denominatore comune per il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. PARTE B Si moltiplica il quoziente così ottenuto per il numeratore della frazione

ridotta ai minimi termini. La frazione equivalente avrà come numeratore il prodotto così ottenuto e come denominatore il denominatore comune. Consideriamo le tre frazioni appena viste 1/2 5/7 2/5 PARTE A 70: 2=35 70: 7=10 70: 5=14 PARTE B 35 x 1=35 50/70 28/70 Le tre frazioni equivalenti aventi denominatore comune saranno perciò: 35/70 50/70 28/70.. SOMMA DI FRAZIONI Per sommare due frazioni dobbiamo operare nel seguente modo : 1) Si riducono le frazioni al minimo comune denominatore . 2) Si sommano il numeratore delle frazioni così ottenute . 3. La frazione somma avrà come denominatore il minimo comune denominatore

calcolato in precedenza e come numeratore la somma dei numeratori. DIFFERENZA DI FRAZIONI Per fare la differenza tra due frazioni si opera nel seguente modo : 1) Si riducono le frazioni al minimo comune denominatore 2) Si fa la differenza tra i numeratori delle frazioni così ottenute . La frazione differenza avrà come denominatore il minimo comune denominatore calcolato in precedenza e come numeratore la differenza dei numeratori . PRODOTTO DI FRAZIONI Il prodotto di due o più frazioni è un operazione molto semplice, basta moltiplicare tra loro i numeratori e moltiplicare tra loro i denominatori. Il quoziente di due frazioni è anch'essa un operazione molto semplice, basta moltiplicare alla prima frazione il reciproco della seconda. Il reciproco di una frazione lo si ottiene scambiando tra loro il numeratore con il denominatore.

ELEVAMENTO A POTENZA DI UNA FRAZIONE

Elevare a potenza una potenza significa moltiplicarla per se stessa tante volte quante ne indica l'esponente. (3/2)2 Come si può notare la frazione da elevare a potenza è stata scritta tra parentesi. Questo significa che tutta la frazione è stata elevata a potenza. Se non avessimo messo la parentesi la situazione sarebbe stata la seguente:

Per elevare a potenza una frazione la si deve SEMPRE scrivere tra parentesi. Nel nostro caso la base è ciò che sta scritto dentro alle parentesi. Si moltiplica il quoziente così ottenuto per il numeratore della frazione ridotta ai minimi termini. La frazione equivalente avrà come numeratore il prodotto così ottenuto e come denominatore il denominatore comune. Consideriamo le tre frazioni appena viste 1/2 5/7 2/5 PARTE A 70: 2=35 70: 7=10 70: 5=14 PARTE B 35 x 1=35 50/70 28/70 Le tre frazioni equivalenti aventi denominatore comune saranno perciò: 35/70 50/70 28/70.. SOMMA DI FRAZIONI Per sommare due frazioni dobbiamo operare nel seguente modo : 1) Si riducono le frazioni al minimo comune denominatore . 2) Si sommano il numeratore delle frazioni così ottenute . 3) La frazione somma avrà come denominatore il minimo comune denominatore

calcolato in precedenza e come numeratore la somma dei numeratori. DIFFERENZA DI FRAZIONI Per fare la differenza tra due frazioni si opera nel seguente modo :

1) Si riducono le frazioni al minimo comune denominatore 2) Si fa la differenza tra i numeratori delle frazioni così ottenute . 3)La frazione differenza avrà come denominatore il minimo comune denominatore calcolato in precedenza e come numeratore la differenza dei numeratori . PRODOTTO DI FRAZIONI Il prodotto di due o più frazioni è un operazione molto semplice, basta moltiplicare tra loro i numeratori e moltiplicare tra loro i denominatori. Il quoziente di due frazioni è anch'essa un operazione molto semplice, basta moltiplicare alla prima frazione il reciproco della seconda. Il reciproco di una frazione lo si ottiene scambiando tra loro il numeratore con il denominatore.

ELEVAMENTO A POTENZA DI UNA FRAZIONE Elevare a potenza una potenza significa moltiplicarla per se stessa tante volte quante ne indica l'esponente. (3/2)3=3/2*3/2*3/2

Come si può notare la frazione da elevare a potenza è stata scritta tra parentesi. Questo significa che tutta la frazione è stata elevata a potenza. Se non avessimo messo la parentesi la situazione sarebbe stata la seguente: 33/2=27/2 Nel primo caso la base era 3/2 mentre nel secondo caso la base era 3. Per elevare a potenza una frazione la si deve SEMPRE scrivere tra parentesi. Nel nostro caso la base è ciò che sta scritto dentro alle parentesi. TRAPEZI In geometria un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli.

Facendo riferimento alla figura, i due lati paralleli a e c sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati e sono detti lati obliqui del trapezio. La distanza fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio. Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma, ossia, a seconda dei casi, un quadrato (lati uguali e angoli retti), rettangolo (lati uguali e angoli retti), rombo (lati uguali ma angoli non necessariamente retti) o romboide (lati opposti uguali ma angoli non retti o, in altri termini, un parallelogramma che non sia né un quadrato, né un rettangolo né un rombo). Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico. Proprietà

Un quadrilatero è un trapezio se e solo se i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:

Consideriamo il quadrilatero

e denotiamo con

inoltre con il punto in cui si intersecano le due diagonali trapezio se e solo se

i suoi lati paralleli; denotiamo e

. Tale quadrilatero è un

AREA DEL TRAPEZIO: L'AREA del trapezio SI CALCOLA IN QUESTO MODO:

Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio uniamo un altro trapezio ad esso uguale, ma capovolto sia lungo l'asse delle ascisse sia lungo l'asse delle ordinate, si nota come l'area totale dell'insieme sia data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia del trapezio, ne va presa la metà. Attraverso la formula di Erone è possibile calcolare l'area del trapezio conoscendo solo le misure dei lati. Tale proprietà non si applica tuttavia ai parallelogrammi.

Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti al lato perpendicolare alle basi (cioè l'altezza) sono angoli congruenti e quindi retti.

Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad una base siano congruenti. Di conseguenza i lati obliqui sono anch'essi congruenti.

Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo. Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele.

Si definisce trapezio scaleno un trapezio con i lati di diversa lunghezza e gli angoli di diversa ampiezza: può essere fatto derivare dall'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno. Alcune fonti definiscono il trapezio scaleno richiedendo solamente che i lati obliqui siano diversi fra loro. Trapezio e trapezoide Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che in NORD AMERICA il trapezio viene chiamato trapezoid (a differenza della GRAN BRETAGNA dove viene chiamato trapezium). Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con "trapezoide" si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero. Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.

I TRIANGOLI In geometria, il triangolo è un poligono formato da tre angoli o vertici e da tre lati ,rappresenta la figura minor numero di lati, in quanto tre è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa, non esistono infatti poligoni aventi due angoli e due lati o un solo angolo e lato.Caratteristiche del triangolo

La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°. Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti proprietà: 1. è una figura indeformabile, a differenza dei poligoni con un numero maggiore di lati;

assegnate le lunghezze dei lati, cioè, sono univocamente determinati anche gli angoli; 2. è l'unico poligono per cui non è richiesto che sia regolare perché sia sempre possibile

circoscrivere e inscrivere una circonferenza per tre punti passa sempre una e una sola circonferenza; 3. la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto, ossia 180°; va comunque

precisato che tale uguaglianza vale soltanto nella geometria euclidea e non in altri tipi di geometria come la geometria sferica e quella iperbolica, dove invece tale somma è, rispettivamente, maggiore e minore di 180°; 4. la somma di due lati deve essere sempre maggiore del terzo lato,e la differenza di due lati

deve essere sempre minore del terzo lato. Due triangoli sono CONGRUENTI se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza. Due triangoli si dicono SIMILI se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine. CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati: 

In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può definire equivalentemente come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60°.



In un triangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può definire equivalentemente come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.



In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire equivalentemente come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze.

Equilatero

Isoscele

Scaleno

I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco. 

Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90°, cioè un angolo retto. Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Per questo triangolo vale il teorema di Pitagora.



Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè un angolo ottuso.



Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre angoli acuti.



Un triangolo equiangolo, cioè se ha tutti gli angoli interni uguali, cioè di 60°.

Per i triangoli che non sono rettangoli vale una generalizzazione del teorema di Pitagora nota in trigonometria come teorema di Carnot.

Rettangolo

Ottusangolo

Acutangolo

Triangoli degeneri e triangoli ideali Si dice triangolo degenere un triangolo che presenta un angolo di 180°. Gli altri due angoli hanno necessariamente ampiezza zero, ed un lato misura quanto la somma degli altri due: tale triangolo, come insieme di punti (graficamente), costituisce un SEGMENTO. Si usa il termine triangolo degenere anche per una figura ottenuta come limite di un triangolo nel quale alcuni dei suoi vertici vanno all'infinito; tale figura si chiama anche triangolo ideale. Questa costruzione è molto usata in geometria iperbolica. Un triangolo ideale con un vertice all'infinito risulta essere una striscia delimitata da un segmento e da due semirette che si estendono illimitatamente nella stessa direzione, ciascuna delle quali ha come estremità una di quelle del segmento; in particolare le rette possono essere ortogonali al segmento. Punti notevoli

Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo

i cui vertici denotiamo con

e i cui lati opposti denotiamo

rispettivamente con , e . 

ortocentro di

è l'intersezione delle sue altezze;



baricentro o centroide di



incentro di



circocentro di è l'intersezione dei suoi tre assi, ovvero il centro della sua circonferenza circoscritta (vedi circumcerchio);



excentro di

è l'intersezione delle sue mediane;

è l'intersezione delle sue tre bisettrici, ovvero il centro dell'incerchio di

opposto a un suo vertice

è l'intersezione della sua bisettrice in

bisettrici esterne relative ai due vertici rimanenti 

punto di Bevan di



punto di Apollonio di vertice

vertice 

opposto ad

è tangente al cerchio

;

è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un

con il punto nel quale il lato di

punto di Nagel di

;

è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un

con il punto nel quale l'excerchio di

punto di Gergonne di

e delle due

;

è il circocentro del triangolo excentrale di

tangente ai tre excerchi di 

;

opposto ad

è tangente dell'incerchio di

è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di

con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente del corrispondente excerchio; 

punto di Fermat di di

con il vertice non appartenente a

opposto ad 

ed esterno a

punto di Napoleone di vertice

del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato

;

è l'intersezione dei tre segmenti che collegano ognuno un suo

con il centro del triangolo equilatero costruito, esternamente a

opposto ad 

è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice

, sul lato

;

centro dei nove punti di Feuerbach) di delle altezze di

è il centro del cosiddetto cerchio dei nove punti (o cerchio di

; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di

, i tre piedi

, i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di

con l'ortocentro di

;



punto pedale di



punto ceviano di

L'area

è l'intersezione di ciascuna delle tre rette perpendicolari ai lati di

è l'intersezione di tre rette ceviane.

del triangolo può essere misurata con la formula matematica:

dove è la base e l'altezza ad essa relativa, perché il triangolo va visto come la metà di un parallelogramma di base e altezza . Alternativamente l'area del triangolo può essere calcolata con

dove , e sono i lati e il semiperimetro (Formula di Erone).

Supponiamo di avere una frazione decimale. Come sappiamo una frazione si dice decimale se ha al denominatore 10, 100, 1000. Immaginiamo di avere la frazione 25/1000. Ora vogliamo trasformare questa frazione in un numero decimale, cioè in un numero formato da una parte intera e una parte decimale. Vediamo come occorre procedere. Dobbiamo scrivere il numeratore della frazione, nel nostro caso 25. Quindi mettiamo tante cifre decimali quanti sono gli zeri del denominatore. Nel nostro esempio abbiamo tre zeri, quindi dobbiamo avere tre cifre decimali. Pertanto il nostro numero decimale sarà 0,025. AL NUMERO DECIMALE ALLA FRAZIONE GENERATRICE: Ora cerchiamo di capire come è possibile riconoscere un quadrato perfetto.

Calcolare la radice quadrata di un NUMERO NATURALE vuol dire trovare quel numero positivo che elevato alla seconda ci dà come risultato il numero di partenza. Così, ad esempio:

Generalmente quando si parla di radici quadrate si omette l'indice 2 sopra al segno di radice. Impariamo ora il nome dei termini di questa operazione: - il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata si chiama radicando; 

il simbolo

si dice segno di radice;



Consideriamo alcune radici quadrate, ad esempio:



Radice di 4 =2



radice di 16 =4



radice di 25 =5.



Possiamo notare che solo per alcuni numeri esiste la radice quadrata esatta, ovvero esiste un numero che elevato alla seconda ci dà esattamente un radicando.



Questi numeri si chiamano quadrati perfetti.

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI Scomposizione di un qualsiasi numero nel prodotto di numeri primi, nota anche come scomposizione in fattori primi.Cosa sono i numeri primi? un NUMERO PRIMO è un NUMERO NATURALE maggiore di 1 che è divisibile solamente per 1 e per sé stesso. I primi dieci numeri primi sono, ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Scomporre un numero in fattori primi vuol dire scrivere il numero dato come prodotto di numeri primi. La prima cosa da imparare e da ricordare sono i CRITERI DI DIVISIBILITA'. Criterio di divisibilità per 2: Un numero naturale è divisibile per 2 se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8 o, equivalentemente: un numero è divisibile per 2 se è pari. Criterio di divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. Criterio di divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 o 5. Procedimento pratico per la scomposizione in fattori primi di un numero Voglio scomporre un generico numero naturale in fattori primi. - Se esso stesso è un numero primo, allora abbiamo già finito, perché la fattorizzazione è data dal solo numero. - Se non è primo: si parte col metodo vero e proprio. Per capire quale faccio riferimento ad un esempio: Vogliamo calcolare la fattorizzazione in primi di

1) Scrivo il numero e tracciamo accanto una linea verticale:

2) Guardo il numero - L'ultima cifra è zero. Esso è quindi divisibile sia per 5 che per 2. Scegliamone uno (scelgo il 5) e scriviamolo nella colonna di destra:

3) Divido 180 per il numero scritto, in questo caso 5, ottenendo 180:5=36 Riporto tale numero sotto il 180:

Ripeto i punti 2) e 3) applicandoli al numero 36. - L'utima cifra a destra è un numero pari, esso è quindi divisibile per 2. Scriveremo quindi 2 nella colonna di destra accanto al 36:

- Divido 36 per 2, ottenendo 18 che riporteremo sotto al numero 36:

Ripeto lo stesso procedimento per il numero 18. 18 Ă¨ divisibile per 2, 18:2=9, quindi il passo successivo sarĂ :

9 Ă¨ divisibile per 3 e 9:3=3, pertanto scrivo:

3 Ă¨ un numero primo e come tale divisibile per se stesso; 3:3=1 quindi:

Avendo ottenuto 1 nella colonna di sinistra ho ottenuto il risultato. Devo ora scrivere 180 come prodotto di primi. Radice quadrata con le tavole Come posso calcolare la radice quadrata con le tavole numeriche ? La tavola numerica

Una tavola numerica Ă¨ una tabella con cinque colonne ,ad esempio:

- La prima colonna n riporta tutti i numeri naturali da 1 a 1000;

- le colonne n2 ed n3 indicando rispettivamente la POTENZA quadrata e cubica del numero nella prima colonna;

altro non sono se non la RADICE QUADRATA e la radice cubica del numero n.

Come calcolare la radice quadrata con le tavole numeriche Impariamo ad utilizzare la tavola numerica. Calcoliamo la radice quadrata di un NUMERO NATURALE distinguendo tre casi.

Caso 1)il numero di cui vogliamo calcolare la radice è compreso tra 1 e 1000.

L'uso delle tavole è diretto!La prima colonna contiene tutti i numeri naturali tra 1 e 1000 basta andare a cercare il numero dato nella prima colonna e leggere il corrispondente valore nella colonna .

Supponendo di voler calcolare la radice quadrata di 646

Caso 2) Il numero di cui estrarre la radice quadrata è un numero naturale compreso tra 1001 e 1.000.000 (un milione).

Il numero dato va cercato nella colonna n2 e si possono presentare due possibilità:

2.1) il numero dato è un quadrato perfetto, cioè riusciamo a trovarlo nella colonna n2. La sua radice quadrata si leggerà sulla stessa riga nella colonna n

2.2) non riusciamo a trovare il numero nella colonna n2, cioè non è un quadrato perfetto. Dobbiamo, sempre nella colonna n2 trovare due numeri tra i quali è compreso il nostro trovando in questo modo una radice approssimata all'unità. Più difficile a dirsi che a farsi.. Vediamone un esempio calcolando la radice quadrata del numero 282.300

Leggendo la tavola numerica nella colonna dei quadrati

incontriamo il numero 281.961 seguito da 283.024. Il nostro numero (282.300) è compreso tra essi. Pertanto come visto nella lezione sul calcolo della radice quadrata di un numero:

approssimata per difetto a meno di una unità;

approssimata per eccesso a meno di una unità.

Caso 3) il numero di cui calcolare la radice quadrata è maggiore di un milione. In questo caso le tavole saranno utili solo in parte. Supponiamo ad esempio di voler calcolare :

a) scomponiamo il radicando in gruppi di due cifre a partire da destra

b) partendo da sinistra prendiamo tanti gruppi di cifre tali da formare un numero minore di un milione. Prendero' quindi le prime 3 suddivisioni, ovvero cioè il numero 19.273 e cercherò una radice di questo numero approssimata per difetto come visto nel caso 2)

approssimata per difetto a meno di una unitĂ con 1382=19044.

c)Consideriamo il nostro numero di partenza e inseriamo 138 ed il suo quadrato al posto dove risulterebbero se avessimo calcolato la radice quadrata secondo l'algoritmo visto nella lezione precedente

d)Continuiamo il calcolo

In definitiva avremo approssimato per difetto a meno di una unitĂ .

TEOREMA DI PITAGORA

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del TEOREMA DI CARNOT. In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola). Enunciato In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'IPOTENUSA è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. oppure: In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. È interessante notare come in altre lingue (segnatamente in Inglese, Francese e Spagnolo) la definizione del teorema di Pitagora non ingeneri alcun dubbio circa il corretto utilizzo degli aggettivi "equivalente" al posto di "uguale" e viceversa. Infatti in tali idiomi nella definizione del teorema non si fa riferimento ai "quadrati costruiti sui cateti" o al "quadrato costruito sull'ipotenusa" ma più riduttivamente ci si riferisce ai "quadrati (delle lunghezze) dei cateti" o al "quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa". Questa circostanza consente il solo e semplice utilizzo dei termini "equal" (in Inglese), "égal" (in Francese), "igual" (in Spagnolo) nelle rispettive definizioni del teorema. In italiano, viceversa, se si vuole usare l'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" bisogna necessariamente riferirsi o "alle aree dei quadrati/area del quadrato" costruiti rispettivamente sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura della estensione di una superficie), oppure ci si deve riferire ai "quadrati delle lunghezze dei cateti" e al "quadrato della lunghezza dell'ipotenusa". La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia la superficie della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza. Nella lingua inglese la medesima ambivalenza è mitigata dal fatto che per definire il quadrato inteso come superficie è possibile utilizzare il termine "foursquare" invece del termine "square".

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

o, in alternativa, risolvendolo per c:

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

Se la terna

è costituita da numeri interi essa si chiama TERNA PITAGORICA.

Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato degli Elementi.

Dimostrazione La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli di ELEMENTI DI EUCLIDE, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il POSTULATO DELLE PARALLELE, esso non vale nelle GEOMETRIE EUCLIDEE e nella GEOMETRIA NEUTRALE. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati. La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura. Essendo il teorema uno dei più noti della STORIA DELLA MATEMATICA, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente statunitense James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema sono state classificate dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Propositi

Con i teoremi dell'INCERCHIO: Un'altra dimostrazione può essere ottenuta attraverso alcuni teoremi legati alla circonferenza inscritta ad un triangolo e tramite qualche semplice passaggio algebrico.

Lemma 1: Tenendo conto del teorema delle tangenti si può dedurre dalla figura precedente che la distanza tra un vertice ed il punto di tangenza di uno dei due lati di cui è estremo con l'incerchio è uguale alla differenza tra il semiperimetro ed il lato opposto a quel vertice. Infatti ogni lato è composto da due di questi tre segmenti, inoltre questi segmenti sono uguali a due a due (quelli adiacenti, sempre per il teorema delle tangenti) e la somma di tutti e sei è uguale al perimetro; perciò la somma di tutti e tre i segmenti di lunghezza distinta è uguale al semiperimetro ed ognuno di questi è quindi il semiperimetro meno la somma degli altri due, quindi il lato opposto al vertice a cui appartiene. Lemma 2: Nel caso particolare di un triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta è uguale al segmento che va dal vertice dell'angolo retto al punto di tangenza con l'incerchio. Ciò perché, considerando il quadrilatero avente come vertici il vertice dell'angolo retto, i punti di tangenza sui cateti e l'incentro, si vedrebbe che ha tre angoli retti(quindi anche il quarto) e cioè che è un rettangolo; ma anche che ha due lati consecutivi congruenti(ancora una volta per il teorema delle tangenti), perciò è un rettangolo con le dimensioni congruenti, ovvero un quadrato e quindi per definizione ogni suo lato è congruente a tutti gli altri. Questo implica il lemma che volevamo dimostrare. Lemma 3: Sia il semiperimetro, il raggio della circonferenza inscritta e l'area del triangolo in questione(non necessariamente rettangolo, ma tale nella parte seguente della nostra dimostrazione); si ha la formula: . Questo si può verificare considerando i tre triangoli aventi come altezza Ri e come base ed esso relativa uno dei tre lati e constatando che A è uguale alla somma delle aree di quei tre triangoli; quindi, chiamando , e i tre lati: . Dimostrazione algebrica: Siano e i cateti e l'ipotenusa del nostro triangolo rettangolo. in base a quanto detto fin ora abbiamo:

usando il prodotto notevole "somma per differenza" otteniamo: adesso, tramite "quadrato di un binomio" otteniamo: semplificando i denominatori: segue:

e da qui, come ultimo passaggio: che corrisponde appunto all'enunciato del teorema di Pitagora Inverso Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli ELEMENTI DI EUCLIDE): "Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione rettangolo".

, allora il triangolo è

Dimostrazione. Sia T un triangolo di lati a, b e c tale che . Consideriamo un secondo triangolo rettangolo T' che abbia i cateti pari ad a e b (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo T' sarà pari a , ossia sarà uguale al lato c del triangolo T. I due triangoli T e T' risulteranno dunque congruenti per il terzo CRITERIO DI CONGRUENZA, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo T sarà rettangolo (CVD). Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Laddove c è scelto come ipotenusa, il lato più lungo dei tre, e a + b > c (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni: 

, allora il triangolo è rettangolo



, allora il triangolo è acutangolo



, allora il triangolo è ottusangolo

Inverso Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli ELEMENTI DI EUCLIDE

): "Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione rettangolo".

, allora il triangolo è

, allora il triangolo è rettangolo



, allora il triangolo è acutangolo



, allora il triangolo è ottusangolo

QUADRILATERI

In GEOMETRIA il quadrilatero è un poligono con quattro lati e quattro vertici. Tutti i quadrilateri hanno quattro vertici e quattro angoli interni (cioè sono quadrangoli). La somma delle ampiezze degli angoli interni di un quadrilatero semplice ABCD è uguale a 360°:

Le due diagonali di un quadrilatero convesso sono segmenti che uniscono vertici opposti. Si distinguono vari tipi di quadrilateri; in altre parole nell'insieme dei quadrilateri vengono individuati vari sottoinsiemi. I diversi tipi di quadrilateri hanno diverse applicazioni, spesso importanti; presentano interesse, anche operativo, le relazioni di inclusione che sussistono tra i sottoinsiemi notevoli dell'insieme dei quadrilateri.

Quadrilateri convessi e quadrilateri non convessi "Quadrilatero convesso", come dice il termine, è un quadrilatero e una "figura piana convessa", cioè una figura piana che per ogni coppia di punti interni contiene tutti i punti del segmento di cui essi sono le estremità. Tutti gli angoli interni di un quadrilatero convesso hanno ampiezza inferiore a π. "Quadrilatero non convesso", anche questo termine è autoesplicativo, è un quadrilatero e una "figura piana non convessa", cioè una figura piana che contiene due punti tali che il segmento che li congiunge possiede punti che non appartengono alla figura stessa. Almeno un angolo interno di un quadrilatero non convesso ha ampiezza maggiore di π (in realtà un solo angolo possiede questa proprietà). Dunque l'insieme dei quadrilateri si ripartisce nel sottoinsieme dei quadrilateri convessi e nel sottoinsieme dei quadrilateri non convessi (complementare del precedente). I quadrilateri non convessi sono caratterizzati anche dal fatto che prolungando due loro lati si ottengono punti interni della figura. I vari tipi di quadrilateri convessi - I parallelogrammi Definizione: Il TRAPEZIO è un quadrilatero convesso che ha due lati opposti paralleli. Il è un caso PARALLELOGRAMMA è un caso particolare del trapezio. Le diagonali dividono in due parti congruenti ogni singolo angolo. Caratteristiche del trapezio: Il trapezio può essere di tre tipi diversi: 

trapezio rettangolo - possiede due angoli retti;



trapezio isoscele - ha due lati uguali;



trapezio scaleno - ha tutti gli angoli e i lati diversi.

Il parallelogramma è un quadrilatero che presenta i lati a due a due paralleli. Si tratta di un caso particolare di trapezio. Ha i lati opposti e uguali a due a due, gli angoli adiacenti sono supplementari, sommati formano un angolo di 180°.

Definizione:

Il ROMBO o losanga è un quadrilatero con i lati congruenti e gli angoli due a due uguali. Esso risulta essere un particolare parallelogramma e presenta le due diagonali ortogonali e intersecantesi nel loro punto di mezzo, dette diagonale maggiore e diagonale minore. Il RETTANGOLO è un parallelogramma i cui angoli interni uguali e tutti retti (90°). Ogni angolo è composto da due rette perpendicolari. Il rettangolo è un quadrilatero ciclico. Il QUADRATO è un parallelogramma con tutti i lati e gli angoli congruenti, cioè uguali. È anche un rombo con tutti gli angoli retti. Dall'unione di quadrati e rettangoli si possono ottenere figure interessanti come il rettangolo armonico, il rettangolo aureo (utilizzato soprattutto per le sculture antiche) e il tatami, che è un altro tipo di rettangolo di origine giapponese usato per costruire dei tappeti che compongono il "pavimento" delle loro case. Altri quadrilateri convessi 

Quadrilatero ciclico è un quadrilatero convesso i cui vertici appartengono a una sola circonferenza.



Aquilone o deltoide è un quadrilatero i cui lati sono congruenti a coppie di lati consecutivi.

RISOLUZIONE DI PROBLEMI:

Ho un triangolo rettangolo di cui sappiamo che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il perimetro e l’area del triangolo? · Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo. 

Di un triangolo rettangolo conosciamo che l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm. L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui vogliamo conoscere le misure.

· Un triangolo rettangolo ha un cateto di 14 cm e l’area di 73,5 cm2. L’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo di partenza in due triangoli. Calcola l’area di ciascuno dei due triangoli.



Ho un triangolo rettangolo di cui sappiamo che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il perimetro e l’area del triangolo?

· Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo. · Di un triangolo rettangolo conosciamo che l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm. L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui vogliamo conoscere le misure.