Conjunto Z

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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El primer conjunto numérico que se conoce es el conjunto de los números naturales N = ( ,1,2,3……..).

Entonces, luego surgió un nuevo conjunto de la unión del conjunto de los naturales, el cero y el conjunto de los números negativos al que se le denomino conjunto de los números enteros.

Z= -1

1 -2

2 3

-3 4 -4

5

-5….

El conjunto de los números enteros se designa con el símbolo Z y se lee “conjunto zeta”. Z= Z- U (o) U Z+ Enteros ó Z = […-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…]

A los enteros positos se les puede o no escribir el signo +. Por ejemplo: +5, o bien 5. El cero no necesita llevar signo, pues es lo mismo decir +0 que 0. A los enteros negativos siempre se les debe escribir el signo - : -2; -8; -20.


En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural). Para estudiar los numeros enteros es necesario conocer la necesidad de crear un sistema numérico. Los números negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le toca una parte de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar tres balines. Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir: 8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un número entero.


REPRESENTACION RECTA NUMERICA

Para poder ubicar estos números enteros en una recta numérica debemos seguir los siguientes pasos:

1.-Trazamos una línea recta y situamos en ella el 0. 0

El 0 divide a la recta en dos semirrectas. 2.-Dividimos cada una de las semirrectas en partes iguales: 3.-Situamos los números enteros, los enteros positivos a la derecha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero:

VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO En la recta numérica de a continuación, Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero.

Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama “valor absoluto “ de +3 y –3, y se indica así: |+3| = | -3 | = 3 entonces, podemos concluir que Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.


RELACIONES DE ORDEN EN Z El conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado. En el establecemos la relación de orden “Ser menor que “(simbolizada < ). Si tomamos dos números enteros diferentes A y B, siempre se cumple que :

a< b o b < a si a <b se cumple que b > a y decimos que “b es mayor que a”. NUMERO NEGATIVO ES TODO NÚMERO MENOR QUE CERO NUMERO POSITIVO ES TODO NÚMERO MAYOR QUE CERO

Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Todo número entero consta de dos partes: Magnitud o valor absoluto y signo. Ej: +2 tiene valor absoluto 2 y signo + -2 tiene valor absoluto 2 y signo –

Los enteros positivos los escribimos indistintamente con o sin signos. O sea, escribiremos +2 o simplemente 2. Los números enteros positivos +1, +2, +3,+4,+5,+6,+7, ∞ están ordenados como los números naturales. A si decimos que si tomamos dos números diferentes a y b, siempre se cumple que a > b o que b < a.

Si comparamos dos números enteros a y b decimos que a es mayor que b sí y solo si, b es menor que a .

En síntesis V a, b Є Z , a > b ↔ b < a EJ: ( +3) > ( +2 ) ↔ (+2) <

( +3)

(+3) > ( -2) ↔ ( -2) <

( +3)

En la recta numérica observamos que de dos números, es mayor el que esta situado a la derecha y es menor el que esta ubicado a la izquierda.


Negativos

Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___ -8

-7

-6

-5

EJ:

-4

-3

-2

0 +1

+8 > -3

+2 +3 +4 +5

y

+6 +7 +8 +9

-5 < +8

Si comparamos dos números de distinto signo, decimos que todo número negativo es menor que todo numero positivo, o que todo numero positivo es mayor que todo numero negativo. En símbolos:

(-a)

< (+a)

(+a)

> ( -a)

Si comparamos el cero con los números negativos y positivos: 0 y (+3); 0 y (-3). En la recta numérica observaríamos que: 0 < (+3)

y que

0 > (-3)

Negativos

Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___ -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

0 +1

+2 +3 +4 +5

+6 +7 +8 +9

Si comparamos los números enteros con el cero decimos que éste es menor que todos lo números positivos y mayor que todos los negativos, en general: 0 > (-a)

y

0 < (+a)

Al comparar dos números enteros de igual signo (-5) y (-7); (+5) y (+7)

Negativos

Positivos

__!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___ -7

-6 -5 -4

-3

-2

-1

0

+1

+2 +3 +4 +5

+6 +7 +8 +9

Se observa en la recta numérica, que -7 está más alejado del cero que -5, por lo tanto se dice que: (-5) > (-7)


Si comparamos dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. -a > -b ↔ / -a / < / -b /

Además podemos notar que (+5) esta mas cerca del cero que (+7) se dice que

(+7)

> ( +5)

Si comparamos dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. +a > +b ↔ / +a / > / + b/


ADICION DE LOS NUMEROS ENTEROS.

La adición es una operación definida en Z. Es decir, tomamos dos elementos de (dos números enteros) su suma es un elemento de Z (es un números entero).

Existen tres formas en que puede darse la adicion en el conjunto Z: 

Adición de número enteros del mismo signo:

En esta recta numérica damos un salto de +2 y a continuación otro de +3. El salto total Es de +5.

(+2) +(+3) = +5

En esta otra recta damos un salto de –2 y a continuación otro de –3. El salto total fue -5

(-2) + (-3) = -5


Entonces:

SE OBSERVA QUE: 

La suma de dos números enteros negativos es otro número negativo.

 La suma de dos números enteros positivos es otro número entero positivo. 

Adición de números enteros de distinto signo:

En esta recta, a partir del 0 hemos avanzado 6 unidades hacia la derecha (+6). A continuación hemos retrocedido 8 unidades hacia la izquierda. Estamos en –2.

(+6) + (-8) = -2

En esta otra recta, a partir de 0 hemos retrocedido primero 2 unidades (-2). Luego hemos avanzado 8 unidades (+8). Estamos en +6.

(-2)+(+8) = +6


Entonces:

 Adición de varios números enteros

¿Cómo podemos calcular el resultado de esta suma?

(+4) + (-2) + (+3) + (+5) +(-6) = (+12) + (-8) = +4

Entonces:


PROPIEDADES DE LA ADICION.

A. Ley de Composición Interna o Clausura : La suma de dos enteros de igual signo es un número entero con ese mismo signo y cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de cada uno de los sumandos Simbología: V a ,b Є Z , ( a + b ) Є Z

EJ: (+7) + (+3) = + (7+3)=+10 (-7) + (-3) = - (7+3)=-10

La suma de dos enteros de distintos signos es un entero cuyo signo es el sumando de mayor valor absoluto y cuyo valor absoluto es la diferencia de los valores absolutos de ambos sumandos.

EJ: (+7) + (-3) = + (7-3) = +4 (-8) + (+2)= - (8-2) = -6 (+5) + (-6) = - (6-5) = -1

Para encontrar la suma de dos números enteros se puede utilizar la recta numérica, situándose en el lugar correspondiente al primer sumando y luego -

Si el segundo sumando es positivo debemos desplazarnos a la derecha tanta unidades como tenga el valor absoluto del segundo sumando, y

-

Si el segundo sumando es negativo debemos desplazarnos hacia la izquierda tanta unidades como tenga el valor absoluto del segundo sumando.

-

EJ: RECTA NUMERICA Caso 1:

-3

-2

-1

(-3) + ( +5)

0

+1

(-3) + (+5) = + 2

+2


Caso 2:

-8

-7

(-3) + (- 5)

-5

-6

-3

-4

(- 3) + (- 5) =

-1

-2

o

-8

B. CONMUTATIVIDAD: La adición de números enteros es conmutativa, ya que el orden de los sumandos no altera la suma. En símbolos: Va,b ЄZ,(a+b)=(b+a)

EJ:

( +7 ) +

( -15 )

Y

-8

( -15 )

Y

+

(+7)

-8

Los resultados son iguales, por lo tanto : ( +7 ) + ( -15 ) = ( -15 ) + ( +7)

C. ASOCIATIVIDAD: Adición de números enteros es asociativa, es decir existen dos maneras de asociar tres números enteros, obteniendo un mismo resultado. En símbolos: V a, b , c Є Z , ( a + b ) + c = a + ( b + c)

EJ: Sean los números enteros: + 4, +5, - 2, Podemos sumarlos de distintas maneras [(+4) + (+5)] + (-2)

y

(+9) + ( -2)

y

+7

=

(+4) + [( +5) + ( -2)]

(+4) + (+3)

+7


D. EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO.

En el conjunto de los números enteros existe un elemento neutro para la adición, este es cero En símbolos: V a Є Z З ! e Є Z / a + e

EJ: (24) + 0 = 24

;

=

e+a

= a

(-24) + 0 = -24

E. EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO. Si la suma de dos números enteros es el elemento neutro de la adición, decimos que unos de ellos es inverso aditivo del otro. En símbolos: V a Є Z , !З -a Є Z / a + -a

Ej: (+15) + (-15)

=

=

-a + a = 0

0, el inverso aditivo de +15 es -15, ya que sumados nos da el

neutro aditivo OPUESTO DE UN NUMERO ENTERO

Se le llama opuesto de un número entero a aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. Si

nos

fijamos

en

la

posición

que

ocupa

el

+3

y

el–3

en

la

recta…..

Observamos que 3 y –3 se encuentran a la misma distancia de 0. Son simétricos respecto al 0. Tienen el mismo valor absoluto, pero distinto signo.

0p. (3) = 3 Se llaman opuestos, por tanto:

0p. (-3) = 3


SUSTRACCION DE NUMEROS ENTEROS.

La sustracción es también una operación (ley de composición interna) en Z, pues si se toman dos números enteros, su diferencia también es un número entero

Ejemplo: (+7)

minuendo

( +3)

= ( +7 ) + ( -3)

sustraendo

= +4

-3 es el opuesto de+3

Se observa entonces, que de esta forma la resta de números enteros se transforma en una suma:

(-4)–(+5)

= (-4)+(-5)

(+3)–(- 5)

= ( + 3 ) + ( +5 ) = + 8

(-2)–(- 6)

= ( - 2 ) + ( +6 )

= -9

= +4

Pero, ¿qué ocurre cuando hay un paréntesis?


Se presenta por tanto la siguiente situación, el signo (-) tiene dos significados: 1.- Puede indicar que un número es negativo (signo de número). Ejemplo: - 4.

2.- Puede indicar una resta (signo de operación). Así, en 12 – ( - 5 ) El primer signo menos (– ), está antes del paréntesis, lo que significa que es de operación (resta), y el segundo (-) , es de número.

Puede suceder, que en ocasiones existan otros tipos de expresiones como las siguientes: 8 + (4 –14) Una expresión que se encuentra entre paréntesis se opera de la siguiente manera:

1. Haciendo las operaciones indicadas dentro del paréntesis. 2. Si delante del paréntesis tenemos un signo +, no cambiamos el signo del resultado al efectuar las operaciones del paréntesis.

3.

Pero si delante del paréntesis hay un signo - , cambiamos de signo el

resultado del paréntesis.


MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS. La multiplicación es una ley de composición interna en Z . Si A, B Є Z, entonces a · b Є Z

Reglas de multiplicación de números enteros:

a) el producto de dos números enteros de igual signo es un entero positivo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

(+1) ·

(+1) = +1

(-1) ·

(-1) = +1

b) El producto de dos números enteros de distintos signo es un entero negativo cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

(+1)

·

(-1) = -1

(-1)

·

(+1) = -1

La siguiente tabla es útil para recordar las reglas de la multiplicación de números enteros:


LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION.

1. Clausura. Si a, b Є Z, entonces a · b Є Z.

2. Conmutatividad: Si a, b Є Z, entonces a · b = b · a

3. Asociatividad: Si a ,b ,c Є Z, entonces ( a · b) · c = a · ( b · c )

4. Existencia del elemento neutro : Si a, b , c , entonces a · 1 = 1 · a = a

5. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la adición en Z: Si a ,b, c Є Z, entonces a · (b + c) = a · b +

a ·

c

El conjunto de los números enteros, con las operaciones multiplicación y adición, tiene estructura algebraica de anillo conmutativo con unidad, porque:

(Z,+) constituye grupo abeliano · es una operación conmutativa · es una operación asociativa · tiene elemento neutro · es distributiva respecto de +

Abreviadamente se escribe (Z,+, ·) es anillo conmutativo con unidad.


5. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS.

Si x Є Z y n Є IN, definimos la potencia enésima de x, como

n X

“ n factores”

= X · X · X……….

En que “ x” es la base de la potencia y “n” el exponente. La quinta potencia de 2 es: 5 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 y se lee “2 elevado a 5”

La tercera potencia de -2 es:

(-2)³ = (-2) · (-2) · (-2)

=

-8

Además:

( 2)³

= 2 · 2 · 2 = 8

(-2)²

= (-2) · (-2) = +4

Observaras siempre que: - Si la base “x” es un entero positivo, sus potencias son siempre un entero positivo, cuales quiera sea el exponente “n” natural. -Si la base “x “es un entero negativo, su potencia enésima es: a) un entero positivo, si su exponente “n” es un natural par. b) Un entero negativo, si su exponente “n” es un natural impar.


DIVISION DE NUMEROS ENTEROS.

Si a y b son números enteros no siempre existe un entero x de modo que ax = b . Para encontrar dicho entero (cuando existe) escribimos x = b: a y decimos “x es el cuociente entre b y a”.

La regla de los signos para la división de números enteros es análoga a la de la multiplicación de enteros: a) El cuociente de dos enteros de igual signo es un número positivo .cuyo valor absoluto es el cuociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, con dividendo múltiplo del divisor.

+:+=+ - : -=+ EJ:

(+14) : (+2) = + ( 14 : 2 ) = +7 (-14) : (-2) = + (14 : 2)

= +7

b) El cuociente de dos enteros de distinto signo es un número negativo. cuyo valor absoluto es el cuociente de los valores absolutos del dividendo y divisor, siendo el dividendo múltiplo del divisor.

+:-=- : +=-

Ej:

(+18) : (-2) = - ( 18 : 2) = (-18) : (+2) = - (18

-9

: 2 ) = -9

Recordar además, que la división por cero no esta definida.


En general: (+a) : (+b) = + (a : b) (+a) : (-b) = - (a : b) (-a) : (+b) = - (a : b) ( -a) : (-b) = + (a : b)

Para calcular el cociente de dos nĂşmeros enteros: 1.- Se halla el cociente de sus valores absolutos. 2.- Al resultado obtenido se aĂąade el signo mĂĄs (+), si ambos tienen el mismo signo, y el signo menos (-), si tienen distinto signo.


ECUACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Definición de Ecuación: es una igualdad condicional en la que intervienen cantidades conocidas y desconocidas (incognitas) y que se convierte en identidad cuando las incognitas sustituidas por determinados valores.

Para resolver ecuaciones en Z se aplican las propiedades de los enteros. 

Propiedad de regularidad para la adición:

Si a dos números enteros se les suman números enteros iguales, las sumas son iguales. 

Propiedad de regularidad para la multiplicación:

Si un número entero a y un número entero b se multiplican por un mismo entero c y los productos resultan iguales, los números a y b deben ser iguales.

Resolución de una ecuación en Z: +2x + -4 = -12 Se aplica la propiedad de regularidad para la adición +2x + -4= -4 + -8 en el segundo termino se descompuso -12 en: -4 + -8, de tal forma que el entero -4 sume ambos términos. Luego: +2x = -8 Se aplica la propiedad de regularidad para la multiplicación +2 * x = -4 * +2 Se descompuso el -8 en -4 *+2, de tal forma que el entero +2 multiplique ambos términos. Luego: X = -4

Para comprobar la ecuación se reemplaza la incógnita por el valor calculado.

(+2x) + (-4) = -12 (+2) * (-4) + (-4) = -12 (-8) + (-4) = 12 -12

= -12


APLICACIONES DE NUMEROS ENTEROS EN LA VIDA COTIDIANA

Los numeros negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria. 

Para señalar el numero de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos los

números negativos para decir, sótanos o plantas subterráneas.

 Para medir altitudes. Se considera o el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar, con números enteros negativos


 Para medir temperaturas, en el termómetro por ejemplo, las temperaturas se miden en grados. Cuando el termómetro mide 0 grados, el agua se congela

Este termómetro marca 4|° C  Las temperaturas por encima de 0 grados se indican con números enteros positivos.  Las temperaturas por debajo de 0 grados con números enteros negativos.


RESEÑA HISTORICA

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros y rojos según que representarán cantidades negativas o positivas, de acuerdo con una distribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos Hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos Griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa Medieval, los Árabes dieron a conocer los números negativos de los Hindúes, que en le siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las perdidas en el análisis de cuestiones financieras, Durante el Renacimiento el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción de las matemáticas. El Alemán Michael Stifel ( 1487 – 1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue unos de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgo el uso del signo menos “ _” para designar la resta ; de hecho los signos + y - estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. La consideración de las cantidades negativas como correspondiente a números matemáticamente legítimos alcanzo aceptación general hacia el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron hacer entendidos como opuestos de los números positivos.


LUDICIDAD EN Z 

MEMORY DE OPUESTOS

Se forman grupos de 4 alumnos, a cada grupo se reparte un set de 5 pares con números opuestos, se revuelven y se colocan por el reverso. Se tira un dado y el que tenga el numero mayor comienza.

El juego consiste en : Ir descubriendo de a dos cartas los números opuestos, una vez aparecidos, se retira el par, teniendo el derecho de seguir descubriendo mas pares hasta errar. El ganador es aquel que junta mas pares. 

DOMINO DE LA MULTIPLICACION

El domino consta de 24 piezas las que tienen el un extremo operaciones de multiplicación y

en el otro extremo resultados de otras operaciones, con su respectivo signo. Todas las

fichas deben revolverse las que deben estar por su reverso. El juego consiste en : Una vez revueltas se sacan 7 fichas y se comienza a jugar, La idea es que se logren juntar las operaciones con su respectivo resultado. Gana el jugador que quede sin fichas. 

LAS CARTAS DE LA SUSTRACCION

El juego consta de cartas de colores azules y rojas, las cuales contienen en su interior números del 0 al 9. Para comenzar el juego de tres o cuatro personas, el mazo debe colocarse en el centro de la meza, para que cada jugador saque dos cartas, las coloque a ambos lados del mazo y realice la sustracción según los números obtenidos. La idea es que antes de comenzar a jugar entre los participantes otorguen a cada color un respectivo signo. Ejemplo: las cartas rojas representarán números positivos y las cartas azules números negativos.

Los participantes a medida que jueguen deberán escribir sus

resultados en una tarjeta que será entregada por grupo, en donde se especificará el numero de juego, el nombre de cada participante y en la cual deben anotar su puntaje, el que se lo dará el resultado de su sustracción. Una vez que todos han alcanzado el máximo de juegos (5), uno de ellos deberá tomar una tarjeta que especificará quien es el jugador ganador, mediante una condición que deberá cumplir cualquiera de los jugadores. Ejemplo:


JUGADORES Pedro Ana Miguel Claudia Fernanda

NUMERO DE JUEGOS 1 2 3 4 5 -11 5 12 -6 -9 12 4 -4 -7 -1 3 11 5 -2 -9 -12 -4 -18 4 7 -1 -4 7 4 -4

TOTAL -9 4 8 -23 2

Si la tarjeta dice : “Gana cuyo numero sea el negativo mas cercano a 0.” Entonces el ganador es Pedro.


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