Introducción al concepto de límite

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En esta publicación estudiaremos el concepto de límite en forma intuitiva, la interpretación del límite en un gráfico, algunas estrategias para calcular límites.

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Consideremos los siguientes ejemplos para interpretar intuitivamente el concepto de límite: 1)

Dada la función:

f ( x)  x 2  1 cuyo gráfico es:

 ¿Qué ocurre con los valores de f(x) a medida que nos acercamos, por ejemplo, a x = 2, por derecha o por izquierda? Observamos que si nos acercamos a x = 2, f(x) se acerca a 5 . En símbolos: si x  2  O sea:

f ( x)  5

lim f ( x)  5 x 2

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 Volvamos a repetir el procedimiento:

lim f (x) x0

:

Observamos que acercándonos a x = 0, f (x) se acerca a 1 O sea, si

x0 

Por lo tanto:

lim f ( x)  1

f ( x)  1

x 0

Notemos que:

lim f ( x)  5 x 2

lim f ( x)  1 x 0

En estos casos:

y f(2) = 5

y f(0) = 1

lim f ( x)  f (a) x a

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2)

Consideremos ahora esta función:

x 2 f ( x)   1

Y calculemos

lim f ( x) x2

lim f ( x) = 4 x2

si x  2 si x  2 cuya gráfica es:

:

y

f(2) = 1

Pero en este caso, no coinciden f ( x)  f (a ) Conclusión: puede darse también que lim x a ES 6C- E

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3)

Sea la siguiente funciĂłn: ďƒŹ x  1 si x ď‚ł 1 f ( x)  ďƒ­ ďƒŽď€­ x  2 si x  1

cuyo grĂĄfico es:

f (x) Y calculemos lim xď‚Ž1 Observamos que si x se acerca a 1 por la derecha, f(x) se acerca a 2. En cambio si x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) se acerca a 1. En este caso, vemos que:

lim f ( x)  lim f ( x) ,

x1

x ď‚Ž1

y

por lo tanto, ∄ lim đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘Ľâ†’1

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4)

Y ahora esta función: y su gráfico:

Calculemos

x2 1 f ( x)  5x  5

lim f (x) x1

Resulta que:

lim f (x) = 0,4 x1

Dominio de f(x) = ℝ − {1}, por lo tanto no existe f(1)

f (x) A pesar de no estar definida f(a), existe el lim xa ES 6C- E

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ÂżCĂłmo calculamos un lĂ­mite si no tenemos aĂşn el grĂĄfico? Veamos los siguientes ejemplos: 1. Dada la funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ − 1 Calculamos: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3 ∙ 32 + 4 ∙ 3 − 1 = −16

�→3

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = −3 ∙ (−1)2 + 4 ∙ (−1) − 1 = −8

đ?‘Ľâ†’−1

O sea, calculamos directamente el valor de la imagen, ya que coincide con el lĂ­mite. 3−2 đ?‘Ľ 2. Dada la funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) = ŕľœ đ?‘Ľâˆ’4

đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ > 1 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ≤ 1

Calculamos: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 23 − 2 = 6

�→2

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) =

�→1

en este caso, hay que calcular los lĂ­mites laterales, ya que en x=1 estĂĄ el “corte de la funciĂłnâ€?:

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lim+ đ?‘“(đ?‘Ľ) = 13 − 2 = −1

�→1

lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1 − 4 = −3

đ?‘Ľâ†’1−

Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que no existe el lim �(�) . �→1

2đ?‘Ľ + 3 3. Dada la funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) = { −2 3đ?‘Ľ 2 − 5

đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ > 2 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ = 2 đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ < 2

Calculamos: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) =

�→2

Como x=2 es el valor de “corteâ€?, calculamos los lĂ­mites laterales: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2 ∙ 2 + 3 = 7

�→2+

lim− đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3 ∙ 22 − 5 = 7

�→2

En este caso, como los límites laterales coinciden, decimos que: lim �(�) = 7 �→2

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4. Dada la funciĂłn: đ?‘“(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ 2−1 5đ?‘Ľâˆ’5

,

Calculamos: lim đ?‘“(đ?‘Ľ) =

�→1

En este caso, si reemplazamos a ls ‘x’ por 0, nos 0 queda y este cĂĄlculo no se puede realizar, 0

entonces debemos proceder de otra manera:

x2  1 ( x  1)( x  1) x 1 lim  lim  lim  x1 5 x  5 x1 x  1 5( x  1) 5

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2  0,4 5

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EJERCITACIÓN 1. Calcula el límite en el valor de x indicado en cada una de las siguientes funciones. Luego, grafiquen las funciones con GeoGebra para verificar e interpretar los resultados.

2. Calculen los siguientes límites:

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